matematika - fizika - halapa · 1 481 540 dokaz 481 dokažite da je razlika dva broja koji se...

1

481 540

Dokaz 481

Dokažite da je razlika dva broja koji se zapisuju istim znamenkama djeljiva brojem 9.

Teorija

Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da vrijedi

.a b q= ⋅

Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo

ili : .a

q a b qb

= =

Za prirodni broj a i prirodni broj b postoje jedinstveni prirodni brojevi q i r takvi da je

i 0 , je količnik, je ostata .ka b q r r b q r= ⋅ + ≤ <

Prirodni je broj djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenki djeljiv s 9.

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Dva broja a i b zapisana istim znamenkama pri dijeljenju s 9 daju jednake ostatke zato što je zbroj

znamenki svakog od ta dva broja isti. Stoga se oni mogu prikazati u obliku

9 , 91 2

a q r b q r= ⋅ + = ⋅ +

pa je

( )9 9 9 9 9 91 2 1 2 1 2

a b q r q r a b q r q r a b q r rq− = ⋅ + +− ⋅ + ⇒ − = ⋅ + − ⋅ − ⇒ − = − ⋅ −⋅ ⇒

( )9 9 9 .1 2 1 2

a b q q a b q q⇒ − = ⋅ − ⋅ ⇒ − = ⋅ −

Razlika brojeva a i b je djeljiva brojem 9. ■

2

Dokaz 482

Dokažite da je razlika kvadrata dva uzastopna neparna broja djeljiva brojem 8.

Teorija

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve.

Da je proizvoljni prirodni broj m neparan znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodni broj 1 2 1 .,,m m k k N= ⋅ + = ⋅ + ∈


.a b q= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =

Množenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

1.inačica

Neka su zadana dva uzastopna neparna broja:

2 1 , 2 1 , .n n n N⋅ − ⋅ + ∈

Dalje slijedi:

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 4 4 1 4 4 1n n n n n n⋅ + − ⋅ − = ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =

2 24 4 1 4 4 1 4 4

2 24 81 4 1 .n nn n n n n n n⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = + ⋅ + −⋅ =⋅ ⋅+ − ■

2.inačica


2 1 , 2 1 , .n n n N⋅ − ⋅ + ∈

Dalje slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n n n⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2n nn n n n n n= ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ − = ⋅ −+ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + − =

2 4 8 .n n= ⋅ ⋅ = ⋅ ■

3.inačica


2 1 , 2 3 , .n n n N⋅ + ⋅ + ∈

3

Dalje slijedi:

( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 2 1 4 12 9 4 4 1n n n n n n⋅ + − ⋅ + = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + =

2 24 12 9 4 4 1 12 9 4 1 12 9 4

2 24 4 1n n n nn n n nnn⋅ −= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − = + ⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ −⋅ =

( )8 8 8 1 .n n= ⋅ + = ⋅ + ■

4.inačica


2 1 , 2 3 , .n n n N⋅ + ⋅ + ∈

Dalje slijedi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1n n n n n n⋅ + − ⋅ + = ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 3 2 1 2 3 2 1 3 1 42 4 2 4 4n n n nn n nn⋅= ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ + = + − ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅⋅ +− =

( ) ( )2 4 1 8 1 .n n= ⋅ ⋅ + = ⋅ + ■

4

Dokaz 483

Dokažite ako je zbroj dva broja stalan, onda je njihov umnožak najveći kad su oni jednaki.

Teorija

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

��

Brojevi čiji je zbroj a (a je konstanta) mogu se predstaviti u obliku

, .2 2

a ax x+ −

Njihov umnožak

22

2 2 2

a a ax x x

+ ⋅ − = −

bit će najveći za x = 0, odnosno kada su oba broja jednaka .2

a ■

5

Dokaz 484

Dokažite da za realne brojeve a i b vrijedi:

( )

( )

( )

( ) ( )

2 22 2 2 22 3 4 3 91.

2 22 22 294 3 2 3

a b a a b a b a

a ba b a a b a

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −+ + =

⋅ −⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

Teorija

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zbrajanje razlomaka:

.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Množenje potencija jednakih baza:

, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

��

( )

( )

( )

( ) ( )

2 22 2 2 22 3 4 3 9

2 22 22 294 3 2 3

a b a a b a b a

a ba b a a b a

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −+ + =

⋅ −⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 9

a b a a b a a b a a b a

a b a a b a a b a b

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ −= + +

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ +

( ) ( )( ) ( )

3 3

2 3 2 3

b a b a

a b a a b a

⋅ − ⋅ ⋅ ++ =

⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 9 3 3 3

a b a b a b a b b a b a

a b a b a b a b a b a b

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ += + + =

− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 9 3 3

a b a b a b a b b a b a

a b a b a b a b a b a b

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ += + + =

− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 3 33 3

3 3 9 3

3

3

a b a b b a

a b a

a b a b b a

a b a b a bbb a

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= + +

−=

⋅

⋅ − ⋅ +

− ⋅ − + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

( ) ( )( )

( ) ( )3 3 33 3 3 3 3 3

3 3 3 3

a b a b b aa b a b b a a b a b b a

a b a b a b a b a b

⋅ − + + ⋅ + ⋅ −− + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ −= + + = = =

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( ) ( )( )( )

( )( )

33 3 3 31.

3 3

33 3

33

aa ba b a b

a b a b a b

bb a b a

a b

⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ += = =

− ⋅ + + ⋅= =

⋅ + + ⋅ +⋅

−

⋅ +■

6

Dokaz 485

Dokažite da su svaka dva pravokutna jednakokračna trokuta slična.

Teorija

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Nasuprot jednakih stranica leže jednaki kutovi.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Jednakokračni trokut je onaj kome su dvije stranice jednakih duǉina i te stranice se nazivaju krakovi,

dok je treća stranica (osnovica) različite duǉine od duǉine kraka.

Pravokutan jednakokračan trokut ima jedan kut od 90º, a druga dva po 45º.

Sličnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje određuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

��

45°°°° 45°°°° 45°°°° 45°°°°

B2

C1

A1 B1 A2

C2

Trokuti ∆A1B1C1 i ∆A2B2C2 su pravokutni jednakokračni. Kutovi uz osnovicu 1 1

A B trokuta A1B1C1 i

uz osnovicu 2 2

A B trokuta A2B2C2 iznose 45º. Po prvom poučku sličnosti (K – K) trokuti su slični.

.1 1 1 2 2 2

A B C A B C∆ ∆∼ ■

7

Dokaz 486

Točke A i B pripadaju krakovima kuta < MVN tako da je │AV│=│BV│. Točka C je bilo koja točka

simetrale s kuta < MVN. Dokažite da je │AC│=│BC│.

Teorija


Sukladnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da

su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1

, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.

Drugi poučak sukladnosti (S – K – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih.

Treći poučak sukladnosti (K – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici.

Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici.

Simetrala kuta skup je točaka ravnine koje su jednako udaljene od krakova kuta, odnosno od

produžetaka krakova ako je kut izbočen. To je zraka s početkom u vrhu kuta koja dijeli kut na dva

jednaka dijela.

��

s

MA

CV

BN

Budući da je s simetrala kuta < MVN, │AV│=│BV│, a C je točka simetrale s, trokuti ∆ACV i ∆BVC

sukladni su po drugom poučku sukladnosti (S – K – S) jer je │AV│=│BV│, VC im je zajednička

stranica i < MVC = < NVC.

.ACV BVC AC BC∆ ≅ ∆ ⇒ = ■

8

Dokaz 487

Dokažite ako je umnožak dva pozitivna broja stalan, onda je njihov zbroj najmanji kad su oni

jednaki.

Teorija

Važna nejednakost:

12 , 0.x x

x+ ≥ >


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Svaki cijeli broj je racionalan broj:

1, .

1

n nn n= =

Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:

( ) ( )2 2

, .a a a a= =

Množenje nejednakosti pozitivnim brojem:

0 .,a b c a c b c≥ > ⇒ ⋅ ≥ ⋅

��

Ako je umnožak dva broja a (a je konstanta) te brojeve možemo prikazati u obliku

i , 0.a

a x xx

⋅ >

Stvarno je

( )2

.a a

a xx

x a a a a ax

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

Zbroj tih brojeva iznosi:

1 12 jer je 2.

aa x a x a x

x x x

⋅ + = ⋅ + ≥ ⋅ + ≥

Taj zbroj je najmanji za x = 1. Tada je

1 2 .1

aa a a a⋅ + = + = ⋅

Dakle, za x = 1, zbroj je 2 a⋅ , a svaki od pribrojnika je .a ■

9

Dokaz 488

Dokažite da vrijedi identitet ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).a b c b c c a a b a b c c a a b b c+ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ +

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Dijeljenje potencija jednakih baza:

.:n m n m

a a a−

=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Reduciramo lijevu stranu jednakosti.

( ) ( )a b c b c c a a b a b c+ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

2 2 2 2 2 2a b c c a a b b c b c a a b b c c a c a b a b c= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

2 2 2 2 2 2c a a b b c b c aa b c a b ca b b c c a c a b= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ −⋅ ⋅+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ =

2 2 2 2 2 2c a a b b c b c a a b b c c a c a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2c a c a a b b c a b c a b b c c a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2c a a c a b a c b c a b c c a a c c a a b b b c= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2a c c a b c a b b a c c a b b a b = + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ ⋅ + + ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).a c a b c b c a a b b c= + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + ■

10

Dokaz 489

Dokažite ako su A(x1, y1), B(x2, y2) dvije točke ravnine, tada vrijedi

( ) ( ) .2 1 2 1

AB x x i y y j→ → →

= − ⋅ + − ⋅

Teorija

Vektori ii j→ →

su jedinični i međusobno okomiti vektori.

O

y

x1

1

j

i

Ako točka T ima koordinate (x, y) tada radijus – vektor OT→

ima prikaz

.OT x i y j→ → →

= ⋅ + ⋅

Za vektore ia a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ vrijedi:

( ) ( ) .a b a b i a b jx x y y

→ → → →− = − ⋅ + − ⋅

Oduzimanje vektora

a

b a - b

Vektore ia b→ →

smjestimo tako da im se hvatišta poklope. Tada je vrh od a→

ujedno vrh od a b→ →

− , a

vrh od b→

ujedno hvatište od .a b→ →

−


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Prikažimo vektor AB→

pomoću radijus – vektora i .OB OA→ →

11

x2

y2

y1

x1O

y

x

A

B

2 2

1

1

1

2 2 1

OB x i y j

OA x i y

AB OB OA AB x i x i y j

j

y j

→ → → → → → → →

= − ⇒ ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

→ → →= ⋅ + ⋅

→ → →= ⋅ + ⋅

( ) ( ) .2 2 1 1 2 1 2 1

AB x i y j x i y j AB x x i y y j→ → → → → → → →

⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ■

12

Dokaz 490

Dokažite cos30 cos45 1.+ >� �

Teorija

Vrijednosti trigonometrijske funkcije kosinus kutova 30º i 45º.

3 2cos30 cos 45

2,

2.= =

� �

Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:

, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =

Približne vrijednosti realnih brojeva:

2 1.41 3, 3.1.7≈ ≈

��

3 2 3 2cos30 cos45 cos30 cos 45

2 2 2

++ = + ⇒ + = ⇒� � � �

1.73 1.41 3.14cos30 cos 45 cos30 cos 45 cos30 cos45 1.57

2 2

+⇒ + ≈ ⇒ + ≈ ⇒ + ≈ ⇒

� � � � � �

cos30 cos 45 1.⇒ + >� �

■

13

Dokaz 491

Dokažite 2 2 2 2sin sin .tg x x tg x x− = ⋅

Teorija

Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa:

sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


1, .

1

n nn n= =

Oduzimanje razlomaka:

.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Temeljni trigonometrijski identitet

2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +

��

( )2 2sin 1 cos2 2 2 2 2 2sin sin sin sin sin cos2 2 2sin sin2 2 2 21cos cos cos cos

x xx x x x x x

tg x x xx x x x

⋅ −− ⋅− = − = − = = =

2 2 2 2 2sin sin sin sin sin 2 2 2sin sin .2 2 21cos cos cos

x x x x xx tg x x

x x x

⋅= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ■

14

Dokaz 492

Dokažite 3

sin.

3cos cos

xtg x

x x=

−

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


.:n m n m

a a a−

=


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +



��

( )3 3 3sin sin sin sin sin

.3 22 coscos cos cos sin coscos

3

2sio n1 c s

x x x x xtg x

xx x x x xx xx= = = = =

− ⋅ ⋅⋅ − ■

15

Dokaz 493

Dokažite 1

cos sin .cos

x x tg xx

− = ⋅

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅



Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Množenje cijelog broja i razlomka:

, , .b a b a b b a b a

a a bc c c c c c

⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅

��

2 21 1 cos 1 cos sin sincos sin sin .

cos cos 1 cos cos cos

x x x xx x x tg x

x x x x x

−− = − = = = ⋅ = ⋅ ■

16

Dokaz 494

Dokažite 12 2 2 .

2 2sin costg x ctg x

x x+ + =

⋅

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Definicija kotangensa pomoću kosinusa i sinusa:

cos cos

si i.

n s n,

x xctg x ctg x

x x= =

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:

( ) ( ), , , .: : : :

n nn na a a an nn n n n

a b a b a b a bn nb bb b

= = = =


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅




, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Potenciranje potencije:

( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m

a a a a a a⋅ ⋅

= = = =

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

��

2 2 4 4 2 2sin cos 2 sin cos 2 cos sin2 2 22 2 2 21cos sin cos sin

x x x x x xtg x ctg x

x x x x

+ + ⋅ ⋅+ + = + + = =

⋅

( ) ( )2 2

2 2 2 2cos 2 cos sin sin4 2 2 4cos 2 cos sin sin

2 2 2 2cos sin cos sin

x x x xx x x x

x x x x

+ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ += = =

⋅ ⋅

( )2

2 2 2cos sin 1 1.

2 2 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin

x x

x x x x x x

+= = =

⋅ ⋅ ⋅ ■

17

Dokaz 495

Dokažite ( )sin

.cos cos

x ytg x tg y

x y

++ =

⋅

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Adicijska formula za sinus zbroja

Za svaka dva realna broja x i y vrijedi

( ) ( )sin sin cos cos sin sin cos cos sin s, in .x y x y x y x y x y x y+ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = +

��

( )sinsin sin sin cos cos sin.

cos cos cos cos cos cos

x yx y x y x ytg x tg y

x y x y x y

+⋅ + ⋅+ = + = =

⋅ ⋅ ■

18

Dokaz 496

Dokažite ( )sin

.cos cos

x ytg x tg y

x y

−− =

⋅

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Adicijska formula za sinus razlike


( ) ( )sin sin cos cos sin sin cos cos sin s, in .x y x y x y x y x y x y− = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = −

��

( )sinsin sin sin cos cos sin.

cos cos cos cos cos cos

x yx y x y x ytg x tg y

x y x y x y

−⋅ − ⋅− = − = =

⋅ ⋅ ■

19

Dokaz 497

Dokažite ( )cos

1 .cos cos

x ytg x tg y

x y

−+ ⋅ =

⋅

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Množenje razlomaka:

.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Adicijska formula za kosinus razlike


( ) ( )cos cos cos sin sin cos cos sin sin c, os .x y x y x y x y x y x y− = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = −

��

sin sin sin sin 1 sin sin cos cos sin sin1 1 1

cos cos cos cos 1 cos cos cos cos

x y x y x y x y x ytg x tg y

x y x y x y x y

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅ = + ⋅ = + = + = =

⋅ ⋅ ⋅

( )cos.

cos cos

x y

x y

−=

⋅ ■

20

Dokaz 498

Dokažite ( )

( )

1 sin 2 1.

cos 2 1

x tg x

x tg x

− ⋅ −=

⋅ +

Teorija

Formule za sinus i kosinus dvostrukog kuta

( ) ( )sin 2 2 sin cos 2 sin cos sin, .2α α α α α α⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( )2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin, c s 2 .oα α α α α α⋅ = − − = ⋅

Osnovna trigonometrijska relacija

2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nα α α α+ = = +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Oduzimanje razlomaka jednakih nazivnika:

, .a b a b a b a b

n n n n n n

− −= − − =


, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =

��

( )( )

2 2 2 21 sin 2 cos sin 2 sin cos cos 2 sin cos sin

2 2 2 2cos 2 cos sin cos sin

x x x x x x x x x

x x x x x

− ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ += = =

⋅ − −

( )( ) ( )

( )( ) ( )

22cos sin cos sin cos sin

cos sin cos s cin cos sin cos sos si nn i

x x x x x x

x x x x x xx x x x

− − −= = =

⋅−=

− ⋅ + + +

cos sin cos sin sin

1cos cos cos cos.

cos sin cos sin sin 1

cos cos co

cos

cos

cos

cos oss c

x x x x x

tg xx x x x

x x x x x tg x

x x x x

x

x

x

x

−− −

−= = = =

+ ++ +

■

21

Dokaz 499

Dokažite cos sin

.4 cos sin

x xtg x

x x

π + + =

−

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =

Trigonometrijska funkcija specijalnog šiljastog kuta

4.1tg

π=


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

1 sin cos sin cos sin

1 1 1 cos cos41 sin cos sin

cos

c

cos sin4 1 1 11

4 1 cos cos os

x x x x xtg tg x

tg x tg x x xtg x

x x x x xtg x tg xtg tg

x xx

x

x

ππ

π

+ +++

+ + + = = = = = = = − −− ⋅ − − ⋅ −

cos sin.

cos sin

x x

x x

+=

− ■

22

Dokaz 500

Dokažite ( ) ( )sin sin cos cos 1 0.x x x x⋅ − − ⋅ − + =

Teorija

Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo parnom, ako je

( ) ( ).f x f x− =

Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo neparnom, ako je

( ) ( ).f x f x− = −

Funkcija sinus je neparna funkcija, a funkcija kosinus je parna funkcija:

( ) ( ),sin sin cos s .cox x x x− = − − =



Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( ) ( ) 2 2sin sin cos cos 1 sin sin cos cos 1 sin cos 1x x x x x x x x x x⋅ − − ⋅ − + = − ⋅ − ⋅ + = − − + =

( )2 2sin cos 1 1 1 0.x x= − + + = − + = ■

23

Dokaz 501

Dokažite jednakost ( )2 2 6 7 4 3 2.⋅ + ⋅ − ⋅ =

Teorija

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Množenje drugih korijena:

, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥

Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:

( ) ( )2 2

, .a a a a= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

��

1.inačica

Preoblikujemo lijevu stranu jednakosti.

( ) ( )2 2 6 7 4 3 2 2 2 3 4 4 3 3⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( )2 22

2 2 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ − =

( ) ( ) ( ) ( )22

2 2 3 2 3 2 2 3 2 4 3 2 1 2.

= ⋅ + ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =

2.inačica

Odredimo kvadrat lijeve strane jednakosti:

( ) [ ]kvadrira2 2 6 7 4 3 mo juednakostx = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒

( ) ( )( )2

22 2 6 7 4 3 2 2 6 7 4 32/x x⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( )222

2 2 6 7 4 3x⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )2 22

2 2 2 2 2 6 6 7 4 3x

⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( )22 2

2 2 4 12 6 7 4 3x

⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 24 2 4 12 6 7 4 3 8 4 4 3 6 7 4 3x x⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

24

( ) ( ) ( ) ( )2 214 4 4 3 7 4 3 14 4 2 3 7 4 3x x⇒ = + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 214 8 3 7 4 3 2 7 4 3 7 4 3x x⇒ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2

2 7 4 3 2 49 4 3 2 49 16 3x x x

⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

( ) ( )22 2 2 2

2 49 48 2 1 2 2 .x x x x⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

To je jednako kvadratu desne strane jednakosti. Budući da su oba izraza u zadanoj jednakosti

pozitivna, iz jednakosti kvadrata lijeve i desne strane slijedi da su korijeni tih kvadrata jednaki. ■

25

Dokaz 502

U školi ima 755 učenika. Dokažite da barem 3 učenika te škole imaju rođendan istog dana u godini.

Teorija

Dirichletov princip ili pravilo jedno je od najjednostavnijih kombinatornih pravila. U literaturi je

poznat i pod raznim drugim imenima: pravilo pretinaca, pravilo kutija ili pravilo golubinjaka (od engl.

pigenhole principle). Najčešće se zove Dirichletovo pravilo prema njemačkom matematičaru

francuskog podrijetla G. L. Dirichletu (1805. – 1859.). Slikovito rečeno, to pravilo tvrdi sljedeće: ako

puno golubova doleti u nekoliko golubinjaka, onda će bar u jednome golubinjaku biti bar dva goluba.

?

Malo preciznije, Dirichletovo pravilo možemo formulirati ovako:

Ako n + 1 predmeta bilo kako rasporedimo u n kutija (pretinaca), onda bar jedna kutija sadrži bar dva

predmeta.

��

Godina ima najviše 366 dana. U školi je 755 učenika pa prema Dirichletu postoje barem 3 učenika koji

slave rođendan istog dana. ■

26

Dokaz 503

Dokažite da je p2 – 1 djeljivo brojem 24, ako je p ≥ 5 prost broj.

Teorija

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi s 2, a

neparni su oni koji nisu djeljivi s 2. Parni brojevi rastu za 2.

Da je proizvoljni prirodni broj m paran znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodni , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈

Umnožak dva uzastopna prirodna broja je paran broj.

( )1 2 , .n n k k N⋅ + = ⋅ ∈

Umnožak dva uzastopna parna broja je djeljiv s 8.

( )2 2 2 8 , .n n k k N⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ∈

Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa

sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se

složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i

barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore.

Broj 1 nije ni prost, ni složen broj. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …

��

Rastavimo izraz na faktore.

( ) ( )21 1 1 .p p p− = − ⋅ +

Budući da je p prost broj, brojevi p – 1 i p + 1 su uzastopni parni brojevi pa je njihov umnožak djeljiv

brojem 8. Od tri uzastopna broja p – 1, p, p + 1 jedan mora biti djeljiv brojem 3. Budući da je p prost

broj, on ne može biti djeljiv s 3. Dakle, broj p – 1 ili p + 1 djeljiv je brojem 3. Znači da je p2 – 1

djeljivo brojem 24. ■

27

Dokaz 504

Zadan je paralelogram ABCD i pravac p koji s paralelogramom ima samo zajedničku točku D.

Neka su A', B' i C' podnožja okomica iz A, B i C na pravac p. Dokažite da je │AA'│+ │CC'│=

│BB'│.

Teorija

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi

kutovi manji od 180°.

Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne).


Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

1 0 .8α β γ+ + =�

Sukladnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da

su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1

, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.

Drugi poučak sukladnosti (S – K – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih.

Treći poučak sukladnosti (K – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici.

Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici.

Kod kutova s paralelnim kracima moguća su dva slučaja:

αααα + ββββ = 180°°°°αααα

ββββ

αααα = ββββ

ββββ

αααα

��

E

C'B'

A'

C

A

B

D

Trokuti ∆BCE i ∆ADA' sukladni su po trećem poučku o sukladnosti ( ,BC AD=

', ' 90BCR ADA CEB DA A∠ = ∠ ∠ = ∠ =�

). Slijedi:

' .AA BE=

Sa slike vidi se:

' ' ' ' .AA CC BE EB BB+ = + = ■

28

Dokaz 505

Dokažite za po volji odabrane prirodne brojeve m i n broj ( ) ( )1 1

2

m m n n⋅ + + ⋅ + je prirodan broj.

Teorija





Umnožak dva uzastopna prirodna broja je paran broj.

( )1 2 , .n n k k N⋅ + = ⋅ ∈

Zbroj dva parna broja je paran broj.


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

��

Brojevi m · (m + 1) i n · (n + 1) umnošci su dva uzastopna prirodna broja. Parni su pa je njihov zbroj,

također, paran broj.

( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 , , .m m n n a b a b a b N⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ∈

Sada je

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2.

2

22 2

m m n n a b a ba b N

⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = = + ∈ ■

29

Dokaz 506

Dokažite ako je n paran prirodan broj, onda je izraz n3 – 1990 · n djeljiv sa 6.

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


.:n m n m

a a a−

=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


.a b q= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =

Umnožak tri uzastopna prirodna broja je djeljiv sa 6.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 6 , ili 1 1 6 , .n n n k k N n n n k k N⋅ + ⋅ + = ⋅ ∈ − ⋅ ⋅ + = ⋅ ∈





Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

��

( ) ( )3 3 3 21990 1989 1989 1 1989n n n n n n n n n n n− ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1989 1 1 1989uvjet

2n kn n n n n n n n

= ⋅ − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ ⋅ + − ⋅

= ⋅= =

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1989 2 2 1 2 2 1 3 663 2k k k k k k k k= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 6 663 2 1 2 2 1 6k k k mk k k k= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ =

( )6 6 663 6 663 .m k m k= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ■

30

Dokaz 507

Dokažite ako je n prirodan broj, onda je izraz n3 – 1990 · n djeljiv brojem 3.

Teorija

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


.:n m n m

a a a−

=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


.a b q= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =

Umnožak tri uzastopna prirodna broja je djeljiv sa 6.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 6 , ili 1 1 6 , .n n n k k N n n n k k N⋅ + ⋅ + = ⋅ ∈ − ⋅ ⋅ + = ⋅ ∈

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

��

( ) ( )3 3 3 21990 1989 1989 1 1989n n n n n n n n n n n− ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1989 1 1 198 1 19 6n n n n n n n nn n n k= ⋅ − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ ⋅ + − ⋅ = − ⋅ ⋅ + = ⋅ =

( )6 3 663 3 2 3 663 3 2 663 .k n k n k n= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ■

31

Dokaz 508

Dokažite da zbroj četiri uzastopna prirodna broja nikada ne može biti prost broj.

Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa

sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se

složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i

barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore.

Broj 1 nije ni prost, ni složen broj. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Neka su zadana četiri uzastopna prirodna broja: n, n + 1, n + 2, n + 3. Tada je

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 4 6 2 2 3 .n n n n n n n n n n+ + + + + + = + + + + + + = ⋅ + = ⋅ ⋅ +

To je složen broj. ■

32

Dokaz 509

Dokažite da je razlika kvadrata dva uzastopna prirodna broja uvijek neparan broj.

Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve.

Da je proizvoljni prirodni broj m neparan znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodni broj 1 2 1 .,,m m k k N= ⋅ + = ⋅ + ∈

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

��

1.inačica

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1.n n n n n n n n n nn−+ − = + − ⋅ + + = + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ + ■

2.inačica

( )2 2 2 2

1 2 12 2

2 1 2 1.n n n n n nn nn+ − = + ⋅ + − = =−+ ⋅ + ⋅ + ■

33

Dokaz 510

Dokažite ako je u trokutu ABC kut:

• α = 0º, tada je a = b – c

• α = 90º, tada je a2 = b2 + c2

• α = 180º, tada je a = b + c.

Teorija


Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Drugi korijen:

2, 0.a a a= ≥

Vrijednosti trigonometrijske funkcije kosinus kutova 30º i 45º.

cos 0 1 cos 90 0, , c .os180 1= = = −� � �

��

♥ 0 2 2 2

2 cos02 2 2

2 cosa b c b c

a b c b c

α

α

= ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅

�

�

2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2a b c b c a b c b c a b b c c⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) /2 22 2

.a b c a b c a b c⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

♥ 90 2 2 2

2 cos902 2 2

2 cosa b c b c

a b c b c

α

α

= ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅

�

�

2 2 2 2 2 22 0 .a b c b c a b c⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = +

♥ 180 2 2 2

2 cos1802 2 2

2 cosa b c b c

a b c b c

α

α

= ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅

�

�

( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2a b c b c a b c b c a b b c c⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ = + + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) /2 22 2

.a b c a b c a b c⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ■

34

Dokaz 511

Dokažite da postoji realni broj M takav da za svaki n N∈ vrijedi 1 1 1 1

1 ... .2 2 2 2

2 3 4M

n+ + + + + <

Teorija

Pamtimo nejednakost

1 1, , .n m n m N

n m> ⇒ < ∈

Važna jednakost

( )1 1

1 1.

1

n n n n= −

− ⋅ −

��

Za n > 1 vrijedi

( )( )

1 1 1 1 121

2 21 1n n n

n n n nn n> − ⋅ ⇒ < ⇒ < −

− ⋅ −

pa možemo pisati

( )

1 1 1 1 11 ...

2 2 2 2 22 3 4 1 nn

+ + + + + + <−

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ...

2 2 3 3 4 2 1 1n n n n< + − + − + − + + − + − =

− − −

1 1 1 1 1 1 1 1...

2 2 3 3 4 2 1 1

1 11 1 2 2.

n n nn n− + − + − + + − +

− − −= + − = − <

Dakle, M = 2 je najmanji broj za koji tvrdnja vrijedi. ■

35

Dokaz 512

Zadan je polinom P(x) = a · x3 – a · x2 + b · x + b gdje su a, b proizvoljni realni brojevi različiti od

nule. Dokažite da njegove nultočke x1, x2, x3 zadovoljavaju jednakost

( ) 1 1 11.

1 2 31 2 3

x x xx x x

+ + ⋅ + + = −

Teorija


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Nultočke (korijeni) x1, x2, x3 polinoma trećeg stupnja P(x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d zadovoljavaju

sljedeće jednakosti:

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 3

.

2

bx x x

a

cx x x x x x

a

dx x x

a

+ + = −

⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ = −

��

( ) ( ) 3 23 2

, , ,

P x a x a x b x bP x a x a x b x b

a a b a c b d b

= ⋅ − ⋅ + ⋅ += ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒

= = − = =

1 2 3

1 2 1 3

1 2 3

1 2 1 3 2 32

1 2 3 1 3

3

2

bx x x

a

cx x x x x x

a

dx x x

a

ax x x

a

bx x x x x x

a

bx x x

a

− + + = −

⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

+ + = −

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = −

=

=

⋅ ⋅ −

11 2 3

.1 2 1 3 2 3

1 2 3

x x x

bx x x x x x

a

bx x x

a

+ + =

⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ = −

Sada je

( ) 1 1 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3 2 311 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

x x x x x x x x x x x xx x x

x x x x x x x x x

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

36

1.

b

ab

b

ab

a a

= = = −

− −

■

37

Dokaz 513

Dokažite da je zbroj dvaju vanjskih kutova trokuta uvijek manji od 360º i veći od 180º.

Teorija


Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

1 0 .8α β γ+ + =�

γγγγ'γγγγ

ββββ 'ββββαααα' αααα

Kutovi α, β i γ nalaze se unutar trokuta pa ih nazivamo unutarnji kutovi trokuta. Kut koji je susjedni

kut nekog unutarnjeg kuta trokuta nazivamo vanjskim kutom tog trokuta. Vrijedi:

' 180 ' 180, .' 0, 18α α β β γ γ+ = + = + =� � �

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju njemu nasuprotnih unutarnjih kutova, odnosno:

' ' , .',α β γ β α γ γ α β= + = + = +

Zbrajanje jednakosti:

.a b

a c b dc d

=⇒ + = +

=

��

γγγγ'γγγγ

ββββ 'ββββαααα' αααα

( )zbrojimo

jednakosti

'' ' ' '

'

α β γα β β γ α γ α β α β γ γ

β α γ

= +⇒ ⇒ + = + + + ⇒ + = + + + ⇒

= +

' ' 180 .α β γ⇒ + = +�

Budući da je γ < 180º, slijedi:

180 180 360 180 ' ' 360 .γ α β< + < ⇒ < + <� � � � �

Slično dokazujemo:

180 ' ' 360 , 180 ' ' 360 .α γ β γ< + < < + <� � � �

■

38

Dokaz 514

Dokažite da je ( )

1 1 1.

1 1n n n n= −

⋅ + +

Teorija


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


, .a b a b a b a b

n n n n n n

− −= − − =

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

.1 1 1

1

1 11 1

n n n n

n n n n n n n n n n n

n n

n n n

+ − += = − = − = −

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ++⋅ +

+

+

Obrat.

( )( ) ( ) ( ) ( )

11 1 1 1 1.

1 1 1 1 1

n n n n

n n n n n

n n

n n n n n

+ − + − +− = = = =

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

− ■

39

Dokaz 515

Racionalan broj jest broj oblika ,m

n gdje je , .m Z n N∈ ∈ Dokažite da je zbroj dva racionalna broja

ia c

b d racionalan broj.

Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Cijeli brojevi jesu brojevi:

..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...− − − − − Oni čine skup cijelih brojeva koji označavamo slovom Z, a zapisujemo kao

{ } { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... ili 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... .Z Z= − − − = − − −

Racionalni broj je broj koji nastaje dijeljenjem dva cijela broja. To su svi negativni razlomci, nula i

pozitivni razlomci. Svaki razlomak možemo zapisati u obliku a

b, gdje je a cijeli broj, a b prirodni

broj.

, .|a

Q a Z b Nb

= ∈ ∈


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Umnožak dva cijela broja je cijeli broj.

.,x y Z x y Z∈ ⇒ ⋅ ∈

Zbroj dva cijela broja je cijeli broj.

.,x y Z x y Z∈ ⇒ + ∈

Umnožak dva prirodna broja je prirodan broj.

.,x y N x y N∈ ⇒ ⋅ ∈

��

Zbroj je

.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅

Komentari:

♥ brojnik a · d + b · c je cijeli broj jer je umnožak i zbroj cijelih brojeva cijeli broj

♥ nazivnik b · d je prirodan broj jer je umnožak prirodnih brojeva prirodan broj.

Dakle,

.a c

Qb d

+ ∈ ■

40

Dokaz 516


n gdje je , .m Z n N∈ ∈ Dokažite da je razlika dva racionalna

broja ia c


Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +



{ } { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... ili 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... .Z Z= − − − = − − −




broj.

, .|a

Q a Z b Nb

= ∈ ∈


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


.,x y Z x y Z∈ ⇒ ⋅ ∈

Razlika dva cijela broja je cijeli broj.

.,x y Z x y Z∈ ⇒ − ∈


.,x y N x y N∈ ⇒ ⋅ ∈

��

Razlika je

.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Komentari:

♥ brojnik a · d – b · c je cijeli broj jer je umnožak i razlika cijelih brojeva cijeli broj


Dakle,

.a c

Qb d

− ∈ ■

41

Dokaz 517


n gdje je , .m Z n N∈ ∈ Dokažite da je umnožak dva racionalna

broja ia c


Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +



{ } { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... ili 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... .Z Z= − − − = − − −




broj.

, .|a

Q a Z b Nb

= ∈ ∈


.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅


.,x y Z x y Z∈ ⇒ ⋅ ∈


.,x y N x y N∈ ⇒ ⋅ ∈

��

Umnožak je

.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Komentari:

♥ brojnik a · c je cijeli broj jer je umnožak cijelih brojeva cijeli broj


Dakle,

.a c

Qb d

⋅ ∈ ■

42

Dokaz 518


n gdje je , .m Z n N∈ ∈ Dokažite da je količnik dva racionalna

broja ia c


Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +



{ } { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... ili 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... .Z Z= − − − = − − −




broj.

, .|a

Q a Z b Nb

= ∈ ∈

Dijeljenje razlomaka:

: .a c a d a d

b d b c b c

⋅= ⋅ =

⋅


.,x y Z x y Z∈ ⇒ ⋅ ∈


.,x y N x y N∈ ⇒ ⋅ ∈

��

Količnik je

: .a c a d a d

b d b c b c

⋅= ⋅ =

⋅

Komentari:

♥ brojnik a · d je cijeli broj jer je umnožak cijelih brojeva cijeli broj

♥ nazivnik b · c je prirodan broj jer je umnožak prirodnih brojeva prirodan broj.

Dakle,

: .a c

Qb d

∈ ■

43

Dokaz 519

Dokažite da se među bilo kojih 11 prirodnih brojeva uvijek mogu izabrati takva dva broja čija je

razlika djeljiva brojem 10.

Teorija


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Dekadski brojevni sustav je sustav s brojevnom bazom 10, što znači da ima 10 znamenki te je sve

brojeve dekadskog sustava moguće predstaviti pomoću znamenki 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, i 9.

Prirodni je broj djeljiv s 10 ako mu je posljednja znamenka 0.

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da

vrijedi

.a q b= ⋅

Dirichletov princip ili pravilo jedno je od najjednostavnijih kombinatornih pravila. U literaturi je

poznat i pod raznim drugim imenima: pravilo pretinaca, pravilo kutija ili pravilo golubinjaka (od engl.

pigenhole principle). Najčešće se zove Dirichletovo pravilo prema njemačkom matematičaru

francuskog podrijetla G. L. Dirichletu (1805. – 1859.). Slikovito rečeno, to pravilo tvrdi sljedeće: ako

puno golubova doleti u nekoliko golubinjaka, onda će bar u jednome golubinjaku biti bar dva goluba.

?

Malo preciznije, Dirichletovo pravilo možemo formulirati ovako:

Ako n + 1 predmeta bilo kako rasporedimo u n kutija (pretinaca), onda bar jedna kutija sadrži bar dva

predmeta.

��

Primijetimo da se među 11 bilo kojih prirodnih brojeva uvijek mogu odabrati barem dva koji

završavaju jednakom znamenkom (jer znamenki ima 10). Razlika tih brojeva završava nulom, tj.

djeljiva je brojem 10. ■

44

Dokaz 520

Dokažite ( )( )

sin.

sin

x yctg x ctg y

ctg x ctg y y x

++=

− −

Teorija


cos cos

si i.

n s n,

x xctg x ctg x

x x= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅







��

cos cos cos sin cos sin cos sin cos sin

sin sin sin sin

cos cos cos sin cos sin cos sin cos sin

sin

sin sin

sin ssin sin sin in

x y x y y x x y y x

ctg x ctg y x y x y

x y x y y x x y y xctg x ctg y

x y x y

x y

x y

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+

+ ⋅ ⋅= = = =

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅−−

⋅ ⋅

( )( )

cos sin cos sinsincos sin cos sin1 .

cos sin cos sin cos sin cos sin sin

1

x y y xx yx y y x

x y y x x y y x y x

⋅ + ⋅+⋅ + ⋅

= = =⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

■

45

Dokaz 521

Dokažite ( )( )

sin.

sin

x ytg x tg y

tg x tg y x y

−−=

+ +

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅







��

sin sin sin cos sin cos s

cos cos

co

in cos sin cos

cos cos cos cos

sin sin sin cos sin cos sin cos s

s cos

in cos

cos cos cos cos

x y x y y x x y y x

tg x tg y x y x y

x y

x y

x y

x y y x x y y xtg x tg y

x y x y

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅−

− ⋅ ⋅= = = =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅++

⋅ ⋅

( )( )

sin cos sin cossinsin cos sin cos1 .

sin cos sin cos sin cos sin cos sin

1

x y y xx yx y y x

x y y x x y y x x y

⋅ − ⋅−⋅ − ⋅

= = =⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +

■

46

Dokaz 522

Dokažite ( )cos

1 .cos cos

x ytg x tg y

x y

+− ⋅ =

⋅

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅

Adicijska formula za kosinus zbroja


( ) ( )cos cos cos sin sin cos cos sin sin c, os .x y x y x y x y x y x y+ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = +

��

sin sin sin sin 1 sin sin cos cos sin sin1 1 1


x y x y x y x y x ytg x tg y

x y x y x y x y

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅− ⋅ = − ⋅ = − = − = =

⋅ ⋅ ⋅

( )cos.

cos cos

x y

x y

+=

⋅ ■

47

Dokaz 523

Dokažite ( )( )

sin.

1 cos

x ytg x tg y

tg x tg y x y

++=

+ ⋅ −

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


1, .

1

n nn n= =


.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅





jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅



( ) ( )cos cos cos sin sin cos cos sin sin c, os .x y x y x y x y x y x y− = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = −

��

sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos

cos cos cos cos cos cos cos cos

sin sin sin sin 1 sin sin cos cos sin sin11 1


x y x y x y x y y x

tg x tg y x y x y x y x y

x y x y x y x y y xtg x tg y

x y x y x y x y

⋅ + ⋅+ + +

+ ⋅= = = = =

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ ⋅+ ⋅ + +

⋅ ⋅ ⋅

( )( )

sin cos sin cos sin cos sin cossinsin cos sin cos1 .

cos cos sin sin cos co

cos cos

co

s sin sin cos cos sin sin cos

1s cos

x y y x x y y xx yx y y x

x y y x x y y x x y y x

x

x y

x

y

y

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+⋅ + ⋅⋅

= = = =⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ −

⋅

■

48

Dokaz 524

Neka je { }\ 2 : .x R k k Zπ π∈ + ⋅ ⋅ ∈ Dokažite ako je ,2

xt tg= onda je

2sin .

21

tx

t

⋅=

+

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅

Formule za sinus dvostrukog kuta


sin 2 sin cos 2 sin cos sin2

.2

,2 2

α α α αα α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

��

sin sin sin sin sin2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 cos cos cos cos2 2 2 2 2 2

2 1 12 2 2 2 21 1 sin sin cos sin12 2 2 2 2 21 cos cos12 2 2 2 2cos cos cos

2 2 2

cos2

2

2

x x x x x

x x x x xtg

t

x x x x xt tg

x x

g

x

x

x

x

x

t t

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

= = = = = = = = + + ++ +

=

sin22 2 sin cos

1 2 2 2 sin cos sin 2 sin sin .1 1 2 2 2

cos

22

2

x

x x

x x x xx

x

⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

■

49

Dokaz 525


xt tg= onda je

21

cos .2

1

tx

t

−=

+

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅



Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅

Formule za kosinus dvostrukog kuta


2 2 2 2cos cos sin cos sin, cos2 2 2 2

.α α α α

α α= − − =

��

2 2 2 2 2 2sin sin cos sin cos sin12 2 2 2 2 2112 2 2 22 1 cos cos cos

1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 1 sin sin c

2cos2

2

2

os sin cos sin12 2

c

2 2 2 2 2112 2 2cos cos cos

2o

22 2s

x x x x x x

x x x xtg

t

x x x x x x xt tg

x

x

x xx

t tg

x

− −− −

−−

= = = = = = = + + + +

=

+ +

50

2 2cos sin2 2 2 22 2 cos sin cos sin

2 21 2 2 2 2 cos sin cos 21 2 2 22 2 2 2cos sin cos sin

2 2 2 2

1

x x

x x x x

x x x

x x x x

−− −

= = = = − = ⋅ =

+ +

cos c2 s .2

ox

x

= ⋅ =

■

51

Dokaz 526


xt tg= onda je

2.

21

ttg x

t

⋅=

−

Teorija


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Dvojni razlomak:

.

a

a db

c b c

d

⋅=

⋅

Formule za sinus i kosinus dvostrukog kuta


sin 2 sin cos 2 sin cos sin2

.2

,2 2

α α α αα α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =


2 2 2 2cos cos sin cos sin, cos2 2 2 2

.α α α α

α α= − − =

��

sin sin sin sin2 2 2 22 2 2 2

2 cos cos cos2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 sin sin cos sin cos sin12 2 2 2 2 2 2112 2 2cos cos cos

cos

cos

2

2

2 2 2

2

2

x

x

x x x x

x x x xtg

t tgt

x x x x x x xt tg

x x x x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

= = = = = = = − − − −− −

=

sin2 sin 2 sin2 2 sin cos

sin21 2 2 .cos2 2 2 2cos sin cos sin cos 2 cos

2 2 2 2

22

222

cos2

xx xx x

xtg x

x x x x x x x

x

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= = = = = = − − ⋅ ⋅

■

52

Dokaz 527

Kvadrat nekog broja n završava istom znamenkom kao i kvadrat znamenke jedinica broja n.

Dokažite!

Teorija

Brojevna vrijednost što je nosi neka znamenka određena je ne samo vrijednošću te znamenke već i pozicijom te znamenke u zapisu broja. Takav zapis broja zovemo pozicijskim zapisom. Općenito:

Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =

dekadski zapis prirodnog broja N, onda je njegova vrijednost

1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n

N a a a a a an n n− −

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �

Broj 10 zove se baza dekadskog brojevnog sustava.


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Za broj n < 10 tvrdnja je očigledna. Ako je n ≥ 10 možemo ga zapisati u obliku 10 ,n k a= ⋅ + gdje je a

broj jedinica od n. Dalje slijedi:

( )kvadriramo 2/jednako

2210 1 10

st0n k a n k a n k a

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒

( )22 2 2 2 2

10 2 10 100 20n k k a a n k k a a⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⇒

( )2 2 210 10 2 .n k k a a⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

Primijetimo da broj ( )210 10 2k k a⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ završava nulom pa je zadnja znamenka broja n2 znamenka

jedinica broja a2. ■

53

Dokaz 528

Zadani su pozitivni brojevi a, b, c, d takvi da je .a c

b d< Dokažite da je .

a a c c

b b d d

+< <

+

Teorija

Množenje nejednakosti pozitivnim brojem:

0 .ia b c a c b c< > ⇒ ⋅ < ⋅

Svojstvo nejednakosti:

, .a b c R a c b c< ∈ ⇒ + < +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Dijeljenje nejednakosti pozitivnim brojem:

i 0 .a b

a b cc c

< > ⇒ <

��

Iz a c

b d< slijedi:

/ /a c a c

a d b c a d b c a d a b b c a bb d b d

b d a b⋅ ⋅ +< ⇒ < ⇒ ⋅ < ⋅ ⇒ ⋅ < ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ < ⋅ + ⋅⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1/a d b b c a a b d b a c a b d b a c

b b d⇒ ⋅ + < ⋅ + ⇒ ⋅ + < ⋅ + ⋅

⋅⋅ + < ⋅ +

+⇒ ⇒

.a a c

b b d

+⇒ <

+

Iz a c

b d< također slijedi:

/ /a c a c

a d b c a d b c a d c d b c c db d b d

b d c d⋅ ⋅ +< ⇒ < ⇒ ⋅ < ⋅ ⇒ ⋅ < ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ < ⋅ + ⋅⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )( )

1/ .

a c cd a c c b d d a c c b

d b dd

b d d⋅

⋅ +

+⇒ ⋅ + < ⋅ + ⇒ ⋅ + < ⋅ + ⇒ <

+

Sada je:

.

a a c

a a c cb b d

a c c b b d d

b d d

+ < ++

⇒ < <+ +<

+

■

54

Dokaz 529

Dokažite ako su u troznamenkastom prirodnom broju sve znamenke jednake, onda je broj djeljiv

brojem 37.

Teorija


Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =


1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n


= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �


Za troznamenkasti prirodni broj vrijedi

1 0 0 ,0 1abc a b c= ⋅ + ⋅ +

gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =

��

100 10 111 37 3 .n aaa n a a a n a n a= ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ■

55

Dokaz 530

Ako su znamenke troznamenkastog prirodnog broja uzastopna tri prirodna broja, onda je razlika

tog broja i broja zapisanog istim znamenkama ali obrnutim redom djeljiva sa 198. Dokažite!

Teorija


Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =


1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n


= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �


Za troznamenkasti prirodni broj vrijedi

1 0 0 ,0 1abc a b c= ⋅ + ⋅ +

gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi

.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 100 2 10 1 100 10 1 2n n n n n n n n n n n n+ + − + + = ⋅ + + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ + + + =

( ) ( ) ( ) ( )100 2 10 1 100 10 1 2n n n n n n= ⋅ + + ⋅ + + − ⋅ − ⋅ + − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100 2 100 2 100 2 1010 1 10 0 21n nn n n n n n n n= ⋅ + + − ⋅ − + = ⋅ + ++ ⋅ + − − ⋅ −⋅ ++ =

( ) ( ) ( )99 2 99 99 2 99 2 99 2 198 198 1.n n n n nn −= ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − = ⋅ + = ⋅ = = ⋅ ■

56

Dokaz 531

Dokažite jednakost 1 1

.1 1

tg ctg

tg ctg

α α

α α

+ +=

− −

Teorija

Sveza tangensa i kotangensa

1,

1, .1tg x ctg x tg x ctg x

ctg x tg x⋅ = = =


1, .

1

n nn n= =


.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅+ =

⋅


.a c a d b c

b d b d

⋅ − ⋅− =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


sin sin

cos co, .

s

x xtg x tg x

x x= =


cos cos

si i.

n s n,

x xctg x ctg x

x x= =


, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =


, .a b a b a b a b

n n n n n n

− −= − − =


.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

1.inačica

57

1 1 1 1

1 11.

1 1 1 11 1

1

ctg ctg

tg ctgctg ctg

ctg ctgtg ctg

ctg c ctg

ctg

tg

α

α α

α αα α

α αα αα α α

+ ++

+ += = = =

− −− −−

■

2.inačica

sin 1 sin cos sin cos 1

1 sin cos sin coscos 1 cos sin

sin 1 sin sin 11 sin cos sin cos

cos 1 cos s

cos

cos in

tg

ctg ctgtg

α α α α α

α α α α αα α α

α α α α αα α α α αα

α

αα α

+ ++

+ + += = = = = ⋅ =

− −− − −−

sin

sin

sin cos cos

1s

sin

in sin sin.

sin cos cos 1

sin sin ss n ini

ctg

ctg

α α α

αα α α

α α α αα α α

α

α

α

α

+ ++

= = =−

− −

■

58

Dokaz 532

Graf funkcije ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x a x b x b x c x c x a= − ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅ − siječe os x za sve , , .a b c R∈

Dokažite ovu tvrdnju.

Teorija

Kvadrat realnog broja je nenegativan broj.

20 , .a a R≥ ∈

Diskriminanta kvadratne jednadžbe

20a x b x c⋅ + ⋅ + =

je broj

24 .D b a c= − ⋅ ⋅

Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja.

Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.

Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.

Kvadrat trinoma:

( ) ,2 2 2 2

2 2 2a b c a b c a b a c b c+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )2

2 .2 2 2

2 2a b c a b a c b c a b c+ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Množenje zagrada:

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x a x b x b x c x c x a= − ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅ − ⇒

( ) 2 2 2f x x b x a x a b x c x b x b c x a x c x a c⇒ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

( ) 23 2 2 2f x x a x b x c x a b b c a c⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )23 2 .f x x a b c x a b b c a c⇒ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Diskriminanta D funkcije f može se zapisati u obliku

( ) ( )23 2f x x a b c x a b b c a c= ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )

( )

23 2

3 ,

24

2 ,

f x x a b c x a b b c a c

a b a b c c a b b c a cD b a c

= ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ = = − ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅−

⋅

= ⋅

( )( ) ( )2

2 4 3D a b c a b b c a c⇒ = − ⋅ + + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2

4 12D a b c a b b c a c⇒ = ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

( )2 2 24 2 2 2 12 12 12D a b c a b a c b c a b b c a c⇒ = ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

2 2 24 4 4 8 8 8 12 12 12D a b c a b a c b c a b b c a c⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

59

2 2 24 4 4 4 4 4D a b c a b b c a c⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

( )2 2 22 2 2 2 2 2 2D a b c a b b c a c⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

( )2 2 2 2 2 22 2 2 2D a a b b b b c c a a c c⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2D a a b b b b c c a a c c ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2

2 0.D a b b c a c ⇒ = ⋅ − + − + − ≥

■

60

Dokaz 533

Dokažite apsolutna vrijednost kompleksnog broja a i

za i

+=

− iznosi 1 za svaki .a R∈

Teorija

Kompleksan broj je broj oblika

,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a

broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:

I .Re m,x z y z= =

Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika

,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi.

Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.

Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:

.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:

( ) ( ) .2 2

x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +


jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom

2 2.z x y= +

Svojstvo modula:

, .z zz z

w w w w= =

Potenciranje potencija:

( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m

a a a a a a⋅ ⋅

= = = =

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Svojstvo potencije:

1 1, .a a a a= =


, .n m n m n m n m

a a a a a a+ +

⋅ = = ⋅

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:

61

( ) ( ), , , .: : : :

n nn na a a an nn n n n

a b a b a b a bn nb bb b

= = = =


, .a b a b a b a b

n n n n n n

+ += + + =


.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅

Kvadrat imaginarne jedinice:

2 21 , 1 .i i= − − =

��

1.inačica

( ) ( )( ) ( )

( )2 2 2

2

2 2 21 1

a i a i a ia i a i a i a a i iz z z z z

a i a i a i a i a i a a

+ ⋅ + ++ + + + ⋅ ⋅ += ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

− − + − ⋅ + + +

2 2 22 1 1 2 1 2

2 2 2 21 1 1 1

a a i a a i a az z z i

a a a a

+ ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⋅ ⇒

+ + + +

( )( )

( )

( )

222 2 22 1 21 2

2 2 2 22 21 1

1 1

a aa az z

a aa a

− ⋅− ⋅ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ + + + +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 224 2 2 4 21 2

2 1 4 2 1

2 2 22 2 2

1 1 1

a aa a a a a

z z z

a a a

− + ⋅− ⋅ + + ⋅ + ⋅ +

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + +

( )( )

( )( )

22

22

1

1 1.2

2 21

1

21

aa

z z z z

aa

++⇒ = ⇒ =

+

⇒ = ⇒ =

+

■

2.inačica

( )

2 2 21 1

2 2211

a i a aa i a iz z z z z

a i a i a iaa

+ + ++ += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

− − −++ −

21

21.

1

z za

a

+

+

⇒ = ⇒ = ■

62

Dokaz 534

Dokažite da se kao rezultat eliminacije x i y iz jednadžba sin sin 2 , cos cos 2 ,x y a x y b+ = ⋅ + = ⋅

( )cos 4x y a b− = − ⋅ ⋅ dobije ( )12

.2

a b+ =

Teorija

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +




( ) ( ), .n nn n n n

a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Zbrajanje jednakosti:

, .a b c d a c b d= = ⇒ + = +



( )cos cos cos sin n .six y x y x y− = ⋅ + ⋅

��

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2sin sin 2sin sin 2sin sin 2

2 2cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2

cos 4 co

2/

2/

/ 2s 4 2 cos 8

x y ax y ax y a

x y b x y b x y b

x y a b x y a b x y a b

+ = ⋅+ = ⋅ + = ⋅

+ = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ − = ⋅− ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

sin sin cos cos 2 czbrojim

os 2o

jednadžbe2 8x y x y x y a b a b

⇒ ⇒ + + + − ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( )2 2 2 2sin 2 sin sin sin cos 2 cos cos cos 2 cosx x y y x x y y x y⇒ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ − =

2 24 4 8a b a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2sin cos sin cos 2 sin sin 2 cos cos 2 cosx x y y x y x y x y⇒ + + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − =

2 24 4 8a b a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( ) 2 21 1 2 sin sin 2 cos cos 2 cos cos sin sin 4 4 8x y x y x y x y a b a b⇒ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

2 22 2 sin sin 2 cos cos 2 cos cos 2 sin sin 4 4 8x y x y x y x y a b a b⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

2 sin sin 2 cos co2 2

2 4s 2 4cos cos 2 sin sin 8x y x y x y x a by b a⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⇒ + = ⋅ + ⋅ +− ⋅⋅ ⋅⋅ ⇒

2 2 2 22 4 4 8 4 4 8 2a b a b a b a b⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒

63

22 2 2 24 4 8 2 2

1

4/

4a b a b a b a b⋅⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ + + ⋅ ⋅ = ⇒

( )122 2

2

22 .

4a b a b a b⇒ + + ⋅ ⋅ = ⇒ + = ■

64

Dokaz 535

Dokažite kompleksan broj z za koji je 1z = ima svojstvo da je 1

.zz

=

Teorija

Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a

broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:

I .Re m,x z y z= =

Standardni ili algebarski oblik kompleksnog broja je oblika ,z x y i= + ⋅

gdje su x i y realni brojevi.

Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.

Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:

.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅

Umnožak dvaju konjugirano kompleksnih brojeva realan je broj i nenegativan broj:

( ) ( ) .2 2

x y i x y i x y+ ⋅ ⋅ − ⋅ = +


jedinice

, 0 ., 1a a n

n nb b n

⋅= ≠ ≠

⋅


.a c a c

b d b d

⋅=

⋅⋅


1, .

1

n nn n= =

��

Neka je z = x + y · i. Iz uvjeta slijedi:

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1

1

/ .2z x y

x y x y x y

z

= +⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

=

Sada je:

( ) ( )1 1 1 1 1x y i x y i

z x y i z x y i x y i z x y i x y i

− ⋅ − ⋅= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

1 1 1 1.

2 2 1

x y i x y ix y i z

z z z zx y

− ⋅ − ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ ⇒ =

+ ■

65

Dokaz 536

Dokažite broj je djeljiv sa 7, 11, 13 ako je razlika između broja što ga čine posljednje 3 znamenke i

broja što ga čine ostale znamenke djeljiva sa 7, 11, 13.

Teorija

Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b (b ≠ 0) ako postoji prirodni broj q tako da

vrijedi

.a q b= ⋅


ili : .a

q a b qb

= =

Da a dijeli broj b zapisujemo ovako: a | b.

.|a b b q a⇔ = ⋅

Ako su a i b cijeli brojevi djeljivi cijelim brojem m, m ≠ 0, onda je s m djeljiv i njihov zbroj a + b i

njihova razlika a – b.

, .| i | | | i | |m a m b m a b m a m b m a b⇒ + ⇒ −


Ako je ... ,1 2 2 1

N a a a a a an n n=

− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =


1 2 210 10 10 ... 10 .10

1 2 2 1n n n


= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �


��

Neka je n višeznamenkasti broj.

1000 1001 7 11 13 .n a b n a b b n a b b= + ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⇒ = − + ⋅ ⋅ ⋅

Ako je razlika a – b djeljiva sa 7 ili 11 ili 13 i broj n je djeljiv s njima. ■

66

Dokaz 537

Dokažite ako brojevi a1, a2, a3, … čine aritmetički niz, onda čine aritmetički niz i brojevi: a1 + b,

a2 + b, a3 + b, …

Teorija

Niz (slijed) je aritmetički ako je razlika svakog člana niza (osim prvog) i člana ispred njega stalna i

iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .

6.a a d a a d a a d a a d a a da d an n

−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza. Aritmetički niz je jednoznačno određen ako

znamo prvi član a1 i razliku d.


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��

Ako brojevi a1, a2, a3, … čine aritmetički niz, onda je razlika između člana i člana pred njim stalna.

Vrijedi:

... ... .2 1 3 2 4 3 1

a a a a a a a a dnn− = − = − = = − = =

+

Treba pokazati da isto vrijedi i za navedeni niz.

♥ ( )2 1 2 1 2 1 2 1a b a b a b a b a db a ab a+ − + = + − − = − = −− =+



…

♥ ( )1 1 1 1a b a b a b a b a a a a dn n n nn n n n

b b++ − + = + − − = − = −+ +

− =+ +

itd. ■

67

Dokaz 538

Dokažite ako brojevi a1, a2, a3, … čine aritmetički niz, onda čine aritmetički niz i brojevi: a1 · b,

a2 · b, a3 · b, …

Teorija


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

��


Vrijedi:

... ... .2 1 3 2 4 3 1

a a a a a a a a dnn− = − = − = = − = =

+


♥ ( )2 1 2 1a b a b a a b d b⋅ − ⋅ = − ⋅ = ⋅

♥ ( )3 2 3 2a b a b a a b d b⋅ − ⋅ = − ⋅ = ⋅

♥ ( )4 3 4 3a b a b a a b d b⋅ − ⋅ = − ⋅ = ⋅

…

♥ ( )1 1a b a b a a b d bn nn n

⋅ − ⋅ = − ⋅ = ⋅+ +

itd. ■

68

Dokaz 539

Dokažite ako brojevi a1, a2, a3, … čine aritmetički niz, onda čine aritmetički niz i brojevi:

1 ,a

b 2 ,

a

b 3 ...

a

b

Teorija


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




, .a b a b a b a b

n n n n n n

− −= − − =

��


Vrijedi:

... ... .2 1 3 2 4 3 1

a a a a a a a a dnn− = − = − = = − = =

+


♥ 2 1 2 1a a a a d

b b b b

−− = =

♥ 3 3 22a a aa d

b b b b

−− = =

♥ 3 4 34a a aa d

b b b b

−− = =

…

♥ 1 1a a aa n dn n n

b b b b

−+ +− = = itd. ■

69

Dokaz 540

Dokažite da stranice trokuta ne mogu činiti aritmetički niz, ako kutovi trokuta čine aritmetički niz i

obrnuto.

Teorija


iznosi d.

5 52 1 3 2 4 3 4 1, , , , , ... , . .


−− = =− = − = − = =−

−

, .21

a a d nn n− = ≥

−




( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Kvadrat zbroja:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +

Kvadrat razlike:

( ) ( )2 22 2 2 2

2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −

Razlika kvadrata:

( ) ( ) ( ) ( ),2

.2 2 2

a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −

Kvadrat realnog broja je nenegativan broj.

20 , .a a R≥ ∈


Zbroj kutova u trokutu je 180°.

1 0 .8α β γ+ + =�

Nasuprot jednakim stranicama trokuta nalaze se jednaki kutovi.

Nasuprot većoj stranici u trokutu leži veći kut. Nasuprot manjoj stranici u trokutu leži manji kut.

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti:

2 2 22 cos ,a b c b c α= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos ,b a c a c β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 cos .c a b a b γ= + − ⋅ ⋅ ⋅

��

Ako stranice trokuta čine aritmetički niz mogu se zapisati u obliku:

, , .a d a a d− +

Ako kutovi trokuta čine aritmetički niz mogu se zapisati u obliku:

, , .α δ α α δ− +

Zbroj kutova u trokutu je 180º pa slijedi:

180 180 3 180 3 1 /:80 3α δ α α δ α α α α αδ δ−− + + + = ⇒ + + = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒+� � � �

70

60 .α⇒ =�

Nasuprot kuta α leži stranica a. Poučak o kosinusu daje:

( ) ( ) ( ) ( )2 22

2 cosa a d a d a d a d α= − + + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 cos60a a a d d a a d d a d⇒ = − ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⇒

�

( ) 12 2 2 2 2 2 22 2 2

2a a a d d a a d d a d⇒ = − ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⇒

( )2 22 2

12 2 2 2

2

22a a a d ad dda a d⇒ = + + + − ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− + ⇒

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0d a d a d d a d a d⇒ = + + − − ⇒ = + + − + ⇒

2 2 2 20 0 3 0

2 2.d da ad d d⇒ = + + ⇒ = ⋅ ⇒ =+ −

Dakle, sve tri stranice su jednake duljine pa je i δ = 0. ■

matematika - fizika - halapa · 1 481 540 dokaz 481 dokažite da je razlika dva broja koji se...

Documents