matematika - fizika - halapa · 2014. 9. 13. · 1 zadatak 161 (zdravka, srednja škola) put izme...

1

Zadatak 161 (Zdravka, srednja škola) Put između postaja A i B putnički vlak prevali za 3 sata manje nego teretni. Kolika je

udaljenost od A do B ako je brzina teretnog vlaka 50 km/h, a putničkog 80 km/h?

Rješenje 161

∆t = tt – tp = 3 h, vt = 50 km/h, vp = 80 km/h, s = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =

gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.

Neka je s udaljenost od A do B. Taj put teretni vlak prevali za vrijeme tt brzinom vt.

.s

ttvt

=

Isti put s putnički vlak prevali za vrijeme tp brzinom vp.

.s

t pvp

=

Budući da put s između postaja A i B putnički vlak prevali za 3 sata manje nego teretni, vrijedi

jednadžba

1 1 v vs s p tt t t t s t s tpt

v v v v v vp p pt t t

−− = ∆ ⇒ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒

⋅

50 80

3 400 .

8

/

0 50

km kmv v v vp pvt t h hs t s t h km

km kmv v v

vpt

v vppt th h

t vp

⋅⋅

⋅− ⋅⇒ ⋅ = ∆ ⇒ = ∆ ⋅ = ⋅ =

⋅ − −−

Vježba 161

Put između postaja A i B putnički vlak prevali za 6 sati manje nego teretni. Kolika je

udaljenost od A do B ako je brzina teretnog vlaka 50 km/h, a putničkog 80 km/h?

Rezultat: 800 km.

Zadatak 162 (QW, medicinska škola)

Pretpostavimo da se Sunce 'ugasi'. Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak, ako je

udaljenost Zemlja – Sunce jednaka 152 · 106 km? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 10

8 m/s)

. . . . . 8.44 min . . 8 .A Istog trena B Nakon nekoliko godina C Nakon ute D Nakon s

Rješenje 162

s = 152 · 106 km = 152 · 109 m, c = 3 · 108 m/s, t = ?

11 60 min 1 min

60.h h= ⇒ =


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


Pretpostavimo da se Sunce 'ugasi'. Vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak iznosi:

[ ]9

152 10506.67 8.44 mi5 n .06.67:

0

08

3 1

6s m

t smc

s

⋅= = = = =

⋅

2

Odgovor je pod C.

Vježba 162

Pretpostavimo da se Sunce 'ugasi'. Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak, ako je

udaljenost Zemlja – Sunce jednaka 1.52 · 108 km? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 10

5 km/s)

. . . . . 8.44 min . . 8 .A Istog trena B Nakon nekoliko godina C Nakon ute D Nakon s

Rezultat: C.

Zadatak 163 (Josipa, srednja škola)

Automobil vozi na putu dugom 200 km srednjom brzinom 72 km/h. Prvih 100 km prevalio je

za 1 sat. Koliko mu vremena treba za preostalih 100 km?

Rješenje 163

s = 200 km, v = 72 km/h, s1 = 100 km, t1 = 1 h, s2 = 100 km, t2 = ?


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:

.s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s, onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

.s

vt

=

Izračunamo ukupno vrijeme t potrebno automobilu da put s prijeđe srednjom brzinom v.

.s

tv

=

Budući da je prvi dio puta s1 prevalio za vrijeme t1, ostatak puta s2 prevalit će za vrijeme t2.

2001 1.78 .

2 1 2 172

s kmt t t t t h h

kmv

h

= − ⇒ = − = − =

Vježba 163

Automobil vozi na putu dugom 400 km srednjom brzinom 144 km/h. Prvih 200 km prevalio je

za 1 sat. Koliko mu vremena treba za preostalih 200 km?

Rezultat: 1.78 h.

Zadatak 164 (Pavle, srednja škola)

Filip pliva s jedne na drugu obalu rijeke brzinom 0.5 m/s u smjeru okomitom na tok rijeke.

Rijeka je široka 10 m. Koliko ga je metara rijeka odvukla nizvodno ako je brzina rijeke 3 m/s?

. 10 . 15 . 30 . 60A m B m C m D m

Rješenje 164

v1 = 0.5 m/s, d = 10 m, v2 = 3 m/s, s = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

, , ,s s

s v t t vv t

= ⋅ = =


3

Sličnost trokuta

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:

Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje određuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz taj kut.

Složena gibanja Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja. Pri takvom gibanju vrijedi načelo

neovisnosti gibanja koje glasi:

Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u određenom vremenskom razmaku, a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku.

vvvv1111

vvvv2222

ssss

dddd

αααααααα

dddd

ssss

vvvv2222

vvvv1111

1.inačica

Uočimo dva pravokutna trokuta. Prvi pravokutni trokut ima katete v1 i v2, a drugi d i s. Oni su

međusobno slični jer imaju jednake kutove. Iz sličnosti pravokutnih trokuta dobije se omjer:

4

32 2 2 10 60 .

1 1 1 0.5

/

mv v vs s ss d m m

md v d v v

s

d= ⇒ = ⇒ ⋅ =⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod D.

2.inačica

Uočimo dva pravokutna trokuta. Prvi pravokutni trokut ima katete v1 i v2, a drugi d i s. Budući da

pravokutni trokuti imaju jednake kutove, pomoću funkcije tangens dobije se:

metoda/

kompar

32 2 2 10 60 .

2 1 1acije

1 0.5

1

smtg

d v v vs s ss d m mv md v d v v

tgsv

d

α

α

=

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =

=

⋅

Ili

10 6 60 .362

1 0.5

/s

tgsdtg

d s d tgms m m

v tgstg tgm

d

v

s

αα

α

αα α

==

= ⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ =

== =

⋅

Odgovor je pod D.

3.inačica

Koristimo se načelom neovisnosti složenog gibanja. Vrijeme za koje plivač prepliva rijeku širine d

brzinom v1 kad bi plivao okomito na suprotnu obalu je

1020 .

1 0.5

d mt s

mv

s

= = =

Za to vrijeme struja je plivača ponijela nizvodno za udaljenost s brzinom v2 pa je:

3 20 60 .2

ms v t s m

s= ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod D.

Vježba 164

Filip pliva s jedne na drugu obalu rijeke brzinom 1 m/s u smjeru okomitom na tok rijeke.

Rijeka je široka 10 m. Koliko ga je metara rijeka odvukla nizvodno ako je brzina rijeke 6 m/s?

. 10 . 15 . 30 . 60A m B m C m D m

Rezultat: D.

Zadatak 165 (4A, TUPŠ)

Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom od 315 km/h pod kutom od 22° prema ravnini

piste. Na kojoj se visini izraženoj u metrima zrakoplov nalazi nakon 8 s?

Rješenje 165

v = 315 km/h = [315 : 3.6] = 87.5 m/s, α = 22°, t = 8 s, h = ?


,s v t= ⋅


Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

5

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

αααα

hhhh

ssss

Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom v pa za vrijeme t prevali put

s v t= ⋅

i postigne visinu h. Uočimo pravokutan trokut čija je kateta h, a hipotenuza s. Pomoću funkcije sinus

dobije se:

sin sin sinsin

/ v

s v th h

h v thv t v t

s

tα α αα

= ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ =⋅ ⋅=

087.5 8 sin 22 262.22 .

ms m

s= ⋅ ⋅ =

Vježba 165

Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom od 315 km/h pod kutom od 22° prema ravnini

piste. Na kojoj se visini izraženoj u metrima zrakoplov nalazi nakon 16 s?

Rezultat: 524.45 m.

Zadatak 166 (Maja, srednja škola)

Na brojčaniku automobila pročitamo s1 = 15159 km u 9 h 40 min i s2 = 15301 km u 11 h 25

min. Odredite srednju brzinu automobila.

Rješenje 166

s1 = 15159 km, t1 = 9 h 40 min, s2 = 15301 km, t2 = 11 h 25 min, v = ?



prijeđeni dio puta2 1

pripadni dio vremena2

, .

1

,s ss

v v vt t t

−∆= = =

∆ −

[ ]15301 15159 1422 1

11 25 min 9 40 min 10 81

5 min 9 40 min0 n

1

mi

2

6s s km km km

vt t h h h h

h− −

= = === =− − −

142 142 142 142 60 14281.14 .

45 60 45 1051 45 min 1051

60 60 60

km km km km km km

h h hh h h h

⋅= = = = = =

++

6

Vježba 166

Na brojčaniku automobila pročitamo s1 = 15158 km u 8 h 40 min i s2 = 15300 km u 10 h 25

min. Odredite srednju brzinu automobila.

Rezultat: 81.14 km/h.

Zadatak 167 (Panter, obrtnička škola)

Gibanje materijalne točke prikazano je u v – t dijagramu. Odredite ukupan put što ga je

prešla materijalna točka za 0.6 sati od početka gibanja. Nacrtajte s – t dijagram danog gibanja.

Odredite prosječnu vrijednost brzine materijalne točke za prvih 0.6 sati.

v / v / v / v /

kmkmkmkm

hhhh

t / ht / ht / ht / h

30303030

20202020

0.60.60.60.60.50.50.50.50.40.40.40.40.30.30.30.30.20.20.20.20000 0.10.10.10.1

10101010

Rješenje 167

t1 = 0 h, t2 = 0.2 h, t3 = 0.3 h, t4 = 0.6 h, s = ?, v = ?

U v – t dijagramu površina ispod krivulje odgovara veličini puta što ga je tijelo prešlo gibajući se u

vremenu ∆t brzinom v. Dakle, prijeđeni put može se odrediti računajući površinu ispod krivulje v(t).

s

∆∆∆∆t

v = konst.

∆∆∆∆t

s = v ⋅⋅⋅⋅ ∆∆∆∆t

v

tt1 t2t2t1 t

v





, .

1

,s ss

v v vt t t

−∆= = =

∆ −


, ,s

v s v tt

= = ⋅


7

ssss3333ssss2222

ssss1111

tttt4444tttt3333

tttt2222tttt1111

v / v / v / v /

kmkmkmkm

hhhh


30303030

20202020

0.60.60.60.60.50.50.50.50.40.40.40.40.30.30.30.30.20.20.20.20000 0.10.10.10.1

10101010

Pri rješavanju zadataka tog tipa moramo najprije pogledati koje su veličine naznačene za

koordinatne osi. Vidjet ćemo da je riječ o vremenu t iskazanom satima t / h i brzini v iskazanoj

kilometrima po satu v / kmh-1

. To znači da dijagram prikazuje promjenu brzine nekoga gibanja.

Prijeđeni put odgovara površini ispod krivulje.

Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v – t dijagramom glasi:

• u prvom vremenskom intervalu ∆t = t2 – t1 tijelo se giba stalnom brzinom v = 30 km/h

• u drugom vremenskom intervalu ∆t = t3 – t2 tijelo miruje, v = 0

• u trećem vremenskom intervalu ∆t = t4 – t3 tijelo se giba stalnom brzinom v = 10 km/h.

Na prvom dijelu puta, od nula do 0.2 h, put ćemo izračunati iz izraza za površinu pravokutnika:

( ) ( )30 30 0.2 0 30 0.2 6 .1 2 1 1 1 1

km km kms t t s h h s h s km

h h h= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ =

Na drugom dijelu puta, od 0.2 h do 0.3 h, materijalna točka miruje jer je brzina nula.

( )0 0 .2 3 2 2

kms t t s km

h= ⋅ − ⇒ =

Na trećem dijelu puta, od 0.3 h do 0.6 h, put ćemo izračunati iz izraza za površinu pravokutnika:

( ) ( )10 10 0.6 0.3 10 0.3 3 .3 4 3 3 3 3

km km kms t t s h h s h s km

h h h= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ =

Prijeđeni put iznosi:

6 0 3 9 .1 2 3

s s s s s km km km km= + + ⇒ = + + =

tttt4444tttt3333tttt2222

tttt1111

s / kms / kms / kms / km


9999

8888

7777

6666

5555

4444

3333

2222

0.60.60.60.60.50.50.50.50.40.40.40.40.30.30.30.30.20.20.20.20000 0.10.10.10.1

1111

Kako se iz formule za put s v t= ⋅

8

vidi, put je linearna funkcija vremena. To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s, t – dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t – osi), a

nagib je ovisan o brzini v.

Prosječnu vrijednost brzine materijalne točke za prvih 0.6 sati iznosi:

915 .

0.6

s km kmv

t h h= = =

Vježba 167

Gibanje materijalne točke prikazano je u v – t dijagramu. Odredite ukupan put što ga je

prešla materijalna točka za 0.6 sati od početka gibanja.


v / v / v / v /

kmkmkmkm

hhhh

0.50.50.50.50.30.30.30.3

30303030

20202020

0.60.60.60.60.40.40.40.40.20.20.20.20000 0.10.10.10.1

10101010

Rezultat: 7 km.

Zadatak 168 (Šumski, šumarska škola)

Tijelo se dio puta giba brzinom 4 m/s, zatim tri desetine puta brzinom 5 m/s, a zadnju desetinu

puta brzinom 3 m/s. Kolika je prosječna brzina tijela?

Rješenje 168

s1, v1 = 4 m/s, 3

,2 10

s s= ⋅ v2 = 5 m/s, 1

,3 10

s s= ⋅ v3 = 3 m/s, v = ?


, ,s

s v t tv

= ⋅ =






, .

1

,s ss

v v vt t t

−∆= = =

∆ −

Najprije odredimo koji dio ukupnog puta s odpada na početni put s1.

( ) 3 1 4

1 2 3 1 2 3 1 110 10 10s s s s s s s s s s s s s s s= + + ⇒ = − + ⇒ = − ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒

4

10

2 3.

1 1 15 5s s s s s s s s⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅

Svaki je dio puta tijelo prešlo za određeno vrijeme:

• na putu s1 gibalo se brzinom v1 pa je proteklo vrijeme

9

3

3511 1 1 5

1 1 1

ss st t t

v v v

⋅⋅

= ⇒ = ⇒ =⋅


3

31022 2 2 10

2 2 2

ss st t t

v v v

⋅⋅

= ⇒ = ⇒ =⋅


1

3 10 .3 3 3 10

3 3 3

ss st t t

v v v

⋅

= ⇒ = ⇒ =⋅

Ukupno vrijeme na putu je:

6 33 3 2 3 1 3 1 21 2 3 5 10 10 10

1 2 3 1 2 3

v v s v v s v v ss s st t t t t t

v v v v v v

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅= + + ⇒ = + + ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

6 32 3 1 3 1 2 .

101 2 3

v v v v v vt s

v v v

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Prosječna brzina tijela iznosi:

6 3 6 32 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2

10 101 2 3 1 2 3

s sv v v

v v v v v v v v v v v vts

v v v v v

s

sv

= ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

101 1 2 36 3 6 32 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2

101 2 3

v v vv v

v v v v v v v v v v v v

v v v

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅

10 4 5 3

4.11 .

6 5 3 3 4 3 4 5

m m m

ms s s

m m m m m m s

s s s s s s

⋅ ⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

Vježba 168

Tijelo se tri petine puta giba brzinom 4 m/s, zatim tri desetine puta brzinom 5 m/s, a zadnji dio

puta brzinom 3 m/s. Kolika je prosječna brzina tijela?

Rezultat: 4.11 m/s.

Zadatak 169 (Neodlučna, gimnazija)

Biciklist učini 1500 okreta pedalama u 10 minuta. Polumjer kotača bicikla je 30 cm. Kolikom

se stalnom brzinom giba biciklist?

Rješenje 169

n = 1500, t = 10 min = 600 s, r = 30 cm = 0.30 m, v = ?

Opseg kruga polumjera r:

2 .O r π= ⋅ ⋅

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za

to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:

10



, .

1

,s ss

v v vt t t

−∆= = =

∆ −

s = n s = n s = n s = n ⋅⋅⋅⋅ OOOO

OOOOOOOO

Ako se kotač bicikla jedanput okrene prijeđeni put po iznosu jednak je opsegu kotača

2 .O r π= ⋅ ⋅

Budući da se kotač n puta okrenuo ukupan put dan je izrazom

2 .s n O s n r π= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

Brzina kojom se giba biciklist iznosi:

metoda

supstituc

22 1500 2 0.30

600ije

s n rn r m

vst sv

t

ππ π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = = = =

[ ]4.71 3.64.71 16.96 .m km

s h= = =⋅

Vježba 169

Biciklist učini 3000 okreta pedalama u 20 minuta. Polumjer kotača bicikla je 30 cm. Kolikom

se stalnom brzinom giba biciklist?

Rezultat: 16.96 .km

h

Zadatak 170 (Neodlučna, gimnazija)

Na kojoj je udaljenosti od Marka nastao grom, ako je bljesak munje vidio 5 s prije nego što je

čuo grom? Brzina svjetlosti je 3 · 108 m/s, a brzina zvuka 330 m/s.

Rješenje 170

∆t = 5 s, c = 3 · 108 m/s, v = 330 m/s, s = ?


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


Računamo vrijeme za koje Marko:

• vidi munju: s

tmc

=

• čuje grom: .s

tgv

=

Budući da je razlika u vremenima ∆t, slijedi:

1/

1s s c v c vt t t t s t s t s tg m

v

v c v c v c v

c

c vc

− −− = ∆ ⇒ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒

⋅ ⋅

⋅⋅

−

8330 3 10

5 1650 1.65 .8

3 10 330

m m

v c s ss t s m kmm mc v

s s

⋅ ⋅⋅

⇒ = ∆ ⋅ = ⋅ = =−

⋅ −

11

Vježba 170

Na kojoj je udaljenosti od Marka nastao grom, ako je bljesak munje vidio 10 s prije nego što je

čuo grom? Brzina svjetlosti je 3 · 108 m/s, a brzina zvuka 330 m/s.

Rezultat: 3.3 km.

Zadatak 171 (Amer, srednja škola)

Automobil je projurio pored policajca 10 min nakon kamiona. Na kojoj će udaljenosti

automobil stići kamion, ako se on giba brzinom 60 km/h, a kamion 40 km/h?

Rješenje 171

∆t = 10 min = 600 s, v1 = 60 km/h = [60 : 3.6] = 16.67 m/s,

v2 = 40 km/h = [40 : 3.6] = 11.11 m/s, s = ?


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


VVVV2222

VVVV1111

Neka je t vrijeme za koje automobil sustigne kamion. Put automobila iznosi:

.1 1

s v t= ⋅

Budući da je kamion vozio ∆t vremena dulje od automobila, prevalio je put

( ) .2 2

s v t t= ⋅ + ∆

U trenutku stizanja je

( )1 2 1 2 1 2 2 1 2 2s s v t v t t v t v t v t v t v t v t= ⇒ ⋅ = ⋅ + ∆ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∆ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ∆ ⇒

( ) ( ) 21 2 2 1 2 2

1/

1 2 1 2

v tt v v v t t

vv v v t

vt

v v

⋅ ∆⇒ ⋅ − = ⋅ ∆ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ =

− −⋅∆ =

11.11 600

1198.92 .

16.67 11.11

ms

s sm m

s s

⋅

= =

−

Udaljenost s susreta automobila i kamiona može se izračunati na dva načina:

• 1

16.67 1198.92 199861

1 1

s s ms v t s m

s v t s

=⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅

• ( )

( ) ( )211.11 1198.92 600 19986 .

22 2

s s ms v t t s s m

ss v t t

=⇒ = ⋅ + ∆ = ⋅ + =

= ⋅ + ∆

Vježba 171

Automobil je projurio pored policajca 10 min nakon kamiona. Na kojoj će udaljenosti

automobil stići kamion, ako se on giba brzinom 120 km/h, a kamion 80 km/h?

Rezultat: 19986 m.

12

Zadatak 172 (Josip, tehnička škola)

Autobus duljine 20 m vozi brzinom 36 km/h, a automobil duljine 4 m brzinom 90 km/h.

Izračunaj koliko vremena treba da se mimoiđu.

Rješenje 172

d1 = 20 m, v1 = 36 km/h = [36 : 3.6] = 10 m/s, d2 = 4 m,

v2 = 90 km/h = [90 : 3.6] = 25 m/s, t = ?


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


dddd2222dddd1111

vvvv2222

vvvv1111

Pri mimoilaženju automobil mora prijeći put koji je jednak njegovoj duljini d2 i duljini autobusa d1 pa

je ukupni put

.1 2

d d d= +

Budući da se vozila mimoilaze, relativna brzina automobila u odnosu na autobus je

.1 2

v v v= +

Vrijeme mimoilaženja iznosi:

20 41 2 0.69 .

1 2 10 25

d dd m mt t s

m mv v v

s s

+ += ⇒ = = =

++

Vježba 172

Autobus duljine 40 m vozi brzinom 72 km/h, a automobil duljine 8 m brzinom 180 km/h.

Izračunaj koliko vremena treba da se mimoiđu.

Rezultat: 0.69 s.

13

Zadatak 173 (Mario, srednja škola)

Srednja brzina autobusa iznosi 90 km/h. Ako krene u 9 h 10 min, u koliko sati će stići u

mjesto udaljeno 123 km? Uračunaj 10 min stajanja.

Rješenje 173

v = 90 km/h = [90 : 3.6] = 25 m/s, t1 = 9 h 10 min, s = 123 km = 123000 m,

∆t = 10 min, t = ?


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


9 h 10 min9 h 10 min9 h 10 min9 h 10 min ????

vvvv

Vrijeme koje je autobus proveo na putu iznosi:

[ ]123000

4920 82 min .2

4920 : 60

25

st s

mv

s

= = = = =

Računamo u koliko će sati autobus stići u mjesto.

[ ]9 10 min 82 min 10 min 9 102 mi 1n 10 42 min .1 2

60 mint t t t h h hh= + + ∆ = + + = = ==

Vježba 173

Srednja brzina autobusa iznosi 90 km/h. Ako krene u 7 h 10 min, u koliko sati će stići u

mjesto udaljeno 123 km? Uračunaj 10 min stajanja.

Rezultat: 8 42 min .h

Zadatak 174 (Mislav, srednja škola)

S obale je istodobno odaslan zvučni signal kroz vodu i zrak. Na brodu su ti signali primljeni u

razmaku ∆t = 16 s. Brzina zvuka u zraku iznosi v1 = 340 m/s, a u vodi v2 = 1450 m/s. Kolika su

vremena putovanja zvuka kroz vodu i zrak?

Rješenje 174

∆t = 16 s, v1 = 340 m/s, v2 = 1450 m/s, t1 = ?, t2 = ?


,s v t= ⋅


Budući da je udaljenost s kroz zrak i vodu od obale do broda jednaka, vrijedi:

1 1.

1 1 2 22 2

s v tv t v t

s v t

= ⋅⇒ ⋅ = ⋅

= ⋅

• Računamo vrijeme t1 putovanja zvuka kroz zrak.

1/ metoda

2supsti

11 1 2 21 1 2 2 2 1

21 2

1 2 1

tuci e

2

j

vv t v tv t v t t t

vt t t

t t t t t t

v⋅ = ⋅⋅ = ⋅ = ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒− = ∆

− = ∆ − = ∆

⋅

11 1 1 2 111 1 1 1 11

2 2 2 2

v v v v vt t t t t t t t t

v v v v

−⇒ − ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒

14

1450 162 1 2 20.9 .

1 12 2 1 1450 3

2

1 40

/

2

msv v v t

st t t sm mv v v

s

v

v v

s

⋅−

⋅− ⋅ ∆⇒ ⋅ = ∆ ⇒ = = =

−−

• Računamo vrijeme t2 putovanja zvuka kroz vodu.

1/ metoda

1supsti

21 1 2 21 1 2 2 1 2

11 2

1 2 1

tuci e

2

j

vv t v tv t v t t t

vt t t

t t t t t t

v⋅ = ⋅⋅ = ⋅ = ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒− = ∆

− = ∆ − = ∆

⋅

12 2 2 2 112 2 2 2 21

1 1 1 1

v v v v vt t t t t t t t t

v v v v

−⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒

340 162 1 1 4.9 .

2 21 2 1 1450 3

1/

02 41

msv v v t

st t t sm mv v

v

v v v

s s

⋅−

⋅− ⋅ ∆⇒ ⋅ = ∆ ⇒ = = =

−−

Vježba 174

S obale je istodobno odaslan zvučni signal kroz vodu i zrak. Na brodu su ti signali primljeni u

razmaku ∆t = 32 s. Brzina zvuka u zraku iznosi v1 = 340 m/s, a u vodi v2 = 1450 m/s. Kolika su

vremena putovanja zvuka kroz vodu i zrak?

Rezultat: 41.8 , 9.8 .1 2t s t s= =

Zadatak 175 (Dado, tehnička škola)

Na tijelo djeluju tri sile sa zajedničkim hvatištem: sila od 112 N ima smjer prema zapadu, sila

od 100 N prema istoku, a sila od 5 N prema sjeveru. Kolika je rezultanta sila i koji joj je smjer?

A) 18 N u smjeru jugozapada

B) 118 N u smjeru sjeveroistoka

C) 13 N u smjeru sjeverozapada

D) 218 N u smjeru jugoistoka

E) 30 N u smjeru sjeverozapada

Rješenje 175

F1 = 112 N, F2 = 100 N, F3 = 5 N, Fr = ?

Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma

Zbroj dvaju vektora sa zajedničkom početnom točkom (hvatištem) je vektor čiji je početak ta točka, a

završetak četvrti vrh paralelograma konstruiranog zadanim vektorima.

cccc = = = = a a a a + + + + bbbb

ccccbbbb

aaaa

ABABABAB + + + + AC AC AC AC = = = = ADADADADDDDD

AAAA BBBB

CCCC

Ako vektori komponenata leže na istom pravcu zbrajaju (oduzimaju) se algebarski.

15

vvvv = = = = vvvv2222 - - - - vvvv1111

vvvvvvvv1111

vvvv2222vvvv1111

Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak

zbroju kvadrata nad katetama.

Slike govore sve! ☺

FFFF12121212

FFFF2222

FFFF3333FFFF3333

FFFF2222FFFF1111

JJJJ

SSSS

IIIIZZZZ

JJJJ

S

IIIIZZZZ

Vektori i1 2

F F→ →

leže na istom pravcu, a imaju suprotne orijentacije pa je iznos njihove rezultante F12

jednak:

112 100 12 .12 1 2

F F F N N N= − = − =

FFFF12121212

FFFF3333 FFFF3333

FFFFrrrr

FFFF12121212

JJJJ

SSSS

IIIIZZZZ

JJJJ

S

IIIIZZZZ

16

Rezultanta Fr sila dobije se pomoću Pitagorinog poučka:

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

12 5 13 .12 3 12 3 12 3

/F F F F F F F F F N N Nr r r= + ⇒ = + ⇒ = + = + =

Sa slike vidi se da je smjer rezultante sila sjeverozapad.

Odgovor je pod C.

Vježba 175

Na tijelo djeluju tri sile sa zajedničkim hvatištem: sila od 112 N ima smjer prema istoku, sila

od 100 N prema zapadu, a sila od 5 N prema sjeveru. Kolika je rezultanta sila i koji joj je smjer?

A) 18 N u smjeru jugozapada

B) 13 N u smjeru sjeveroistoka

C) 13 N u smjeru sjeverozapada

D) 15 N u smjeru jugoistoka

E) 13 N u smjeru sjeverozapada

Rezultat: B.

Zadatak 176 (Moni, priprema za prijamni)

Udaljenost od Zagreba do Dubrovnika iznosi 600 km. Prvih 150 km automobil vozi brzinom

od 120 km/h. Kolikom srednjom brzinom mora prevaliti preostalih 450 km da ukupna srednja brzina

bude 80 km/h?

Rješenje 176

s = 600 km, s1 = 150 km, v1 = 120 km/h, s2 = 450 km, v = 80 km/h, v2 = ?


,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


Prvi dio puta s1 automobil je brzinom v1 prevalio za vrijeme t1:

1 .1

1

st

v=

Drugi dio puta s2 automobil je brzinom v2 prevalio za vrijeme t2:

2 .2

2

st

v=

Cijeli put s, od Zagreba do Dubrovnika, automobil je prevalio za vrijeme t:

.1 2

t t t= +

U istom vremenu t mogao je prijeći cijeli put s vozeći srednjom vrzinom v pa vrijedi:

1 2 2 1 2 1 1 2 11 2

1 2 2 1 2 1 2 1 1

s s s s s s v v s v v vs st t t

v v v v v v v v v s s v v s

⋅ − ⋅ ⋅+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ − ⋅

/2

2 1 12 2

2 1 1 1 1

v v v v vv s

s s v v s vs

s v s

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⋅ =

⋅ − ⋅ ⋅⋅

− ⋅

80 120

450 72 .

600 120 80 150

km km

km kmh h

km km h hkm km

h h

⋅

= ⋅ =

⋅ − ⋅

17

vvvv2222vvvv1111

ssss

ssss2222ssss1111

Vježba 176

Udaljenost od Zagreba do Dubrovnika iznosi 600 km. Zadnjih 450 km automobil vozi

brzinom 72 km/h. Kolikom srednjom brzinom mora prevaliti prvih 150 km da ukupna srednja brzina

bude 80 km/h?

Rezultat: 120 km/h.

Zadatak 177 (Hana, medicinska škola)

Koliko je daleko od promatrača eksplodirala raketa vatrometa ako je promatrač vidio njezin

bljesak 2 s prije nego što je čuo zvuk eksplozije? Brzina zvuka u zraku iznosi 340 m/s i puno je manja

od brzine svjetlosti.

. 170 . 340 . 680 . 1360A m B m C m D m

Rješenje 177

t = 2 s, v = 340 m/s, s = ?


,s v t= ⋅


Budući da je brzina svjetlosti mnogo veća od brzine zvuka, promatrač je vidio bljesak vatrometa

trenutačno. Zvuk eksplozije rakete čuo je 2 s kasnije pa njegova udaljenost do mjesta eksplozije

rakete iznosi:

340 2 680 .m

s v t s ms

= ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod C.

Vježba 177

Koliko je daleko od promatrača eksplodirala raketa vatrometa ako je promatrač vidio njezin

bljesak 4 s prije nego što je čuo zvuk eksplozije? Brzina zvuka u zraku iznosi 340 m/s i puno je manja

od brzine svjetlosti.

. 170 . 340 . 680 . 1360A m B m C m D m

Rezultat: D.

Zadatak 178 (Tonka, gimnazija)

Putnički vlak prelazi put između dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka. Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 km/h, a prosječna brzina brzog vlaka 100 km/h, koliko iznosi udaljenost

postaja?

Rješenje 178

t1 = t + 2 vrijeme putničkog vlaka u satima, t2 = t vrijeme brzog vlaka u satima,

v1 = 60 km/h, v2 = 100 km/h, s = ?


18

,s

s v t tv

= ⋅ ⇒ =


Dogovor!

Mjerna jedinica za brzinu je km/h, mjerna jedinica za vrijeme je h, mjerna jedinica za put je km.

1.inačica

Budući da je jednaki put s putnički vlak prešao za 2 sata sporije od brzog vlaka, vrijedi:

( )1 12 2

1 1 2 2 1 2 1 1 22 2

s v tv t v t v t v t v t v v t

s v t

= ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅

( )2 2 22 1 1 2 1 1 2 1 1

v t v t v v t v t v t v v v⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

( ) 1/

2

212 .

2 1 121 1

vt v v v t

vv v v⋅

−

⋅⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ =

−

Našli smo vrijeme, u satima, za koje brzi vlak prevali put s. Duljina puta s iznosi:

2 21

2 2 221 1 1 22 1 2

2 1 2 1 2 12 2

2 2

t tv

tv v v vv vt s v s

v v v v v vs v t

s v t

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅−= ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒

− − −= ⋅

= ⋅

2 60 100300 .

100 60s s km

⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

−

2.inačica

Vrijeme t1 za koje putnički vlak prevali put s brzinom v1 iznosi:

.1

1

st

v=

Vrijeme t2 za koje brzi vlak prevali put s brzinom v2 iznosi:

.2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put s dva sata dulje od brzog vlaka, slijedi:

1 1 2 12 2 2 21 2

1 2 1 2 1 2

v vs st t s s

v v v v v v

−− = ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒

⋅

2 2 60 1002 1 1 22 300 .10

1 2/0 60

1 2 2 1 2 1

v v

v v

v v v vs s s s km

v v v v

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅⋅

−⋅ − −

Vježba 178

Putnički vlak prelazi put između dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka. Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 km/h, a prosječna brzina brzog vlaka 200 km/h, koliko iznosi udaljenost

postaja?

Rezultat: 600 km.

19

Zadatak 179 (Dalibor, strukovna škola)

Na crtežu je prikazan (v, t) graf gibanja nekoga tijela. Koliko iznosi srednja brzina tijela

tijekom prvih 5 s gibanja?

t/s

v/ms-1

54321

5

4

3

0

1

2

Rješenje 179

t = 5 s, ?v =

Ploština pravokutnog trokuta duljina kateta a i b izračunava se po formuli:

2.

a bP

⋅=

Trapez je četverokut kojemu su dvije suprotne stranice usporedne (paralelne). Usporedne stranice zovu

se osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Ploština trapeza izračunava se po formuli

2,

a cP v

+= ⋅

gdje je v visina trapeza.

Površina pravokutnika je jednaka produktu njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za

to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:

.s

vt

∆=

∆

Srednja brzina pri jednoliko ubrzanom ili usporenom gibanju je

2,1 2

v vv

+=

gdje su v1 početna brzina gibanja i v2 konačna brzina gibanja.


,s v t= ⋅


Za izračunavanje prijeđenog puta iz bilo kojeg (v, t) grafa primijenjujemo tvrdnju da je prijeđeni put

tijela pri svakom gibanju brojčano jednak površini ispod (v, t) grafa.

1.inačica

20

s2s1

t/s

v/ms-1

A

B

54321

5

4

3

0

1

2

Put se može izračunati kao površina ispod krivulje koja prikazuje zavisnost brzine o vremenu. U ovom

slučaju to je pravokutan trokut 02B i trapez 25AB pa je:

2 5 5 202 2 2 5

25 3 15.5 .1 2 2 2 2 2

m m ms

B B A s s ss s s s s m

⋅ +⋅ += + ⇒ = + ⋅ = + ⋅ =

Srednja brzina iznosi:

15.53.1 .

5

s m mv

t s s= = =

2.inačica

s3

s2

s1

t/s

v/ms-1

C A

B

54321

5

4

3

0

1

2

Put se može izračunati kao površina ispod krivulje koja prikazuje zavisnost brzine o vremenu. U ovom

slučaju to su pravokutni trokutu 02B i CAB te pravokutnik 25AC pa je:

02 225 5

1 2 3 2 2

B CA CBs s s s s A

⋅ ⋅= + + ⇒ = + + ⋅ =

2 5 3 3

3 2 15.5 .2 2

m ms s

ms s s ms

⋅ ⋅

= + + ⋅ =


21

15.53.1 .

5

s m mv

t s s= = =

3.inačica

v0

t/s

v/ms-1

v2

v1

54321

5

4

3

0

1

2

Sa slike vidi se da u početnom trenutku t = 0 s tijelo miruje, v0 = 0 m/s. Nakon t1 = 2 s brzina tijela je

v1 = 5 m/s, a nakon t2 = 5 s ona iznosi v2 = 2 m/s.

U vremenskom intervalu 02 tijelo se giba jednoliko ubrzano i promijeni brzinu od v0 = 0 m/s na

v1 = 5 m/s. Njegova srednja brzina iznosi

0 50 1 2.5 ,

1 2 2

m mv v ms sv

s

++= = =

a prijeđeni put

2.5 2 5 .1 1 1

ms v t s m

s= ⋅ = ⋅ =

U vremenskom intervalu 25 tijelo se giba jednoliko usporeno i promijeni brzinu od v1 = 5 m/s na

V2 = 2 m/s. Njegova srednja brzina iznosi

5 21 2 3.5 ,

2 2 2

m mv v ms sv

s

++= = =

a prijeđeni put

( ) ( )2 2 33.5 5 2 10.5 .

2 2 2 13 2 1

s v t ms v t t s s m

st t t

= ⋅⇒ = ⋅ − = ⋅ − =

= −


5 10.51 2 3.1 .5

s s m m mv

t s s

+ += = =

Vježba 179

Na crtežu je prikazan (v, t) graf gibanja nekoga tijela. Koliko iznosi srednja brzina tijela

tijekom prvih 5 s gibanja?

22

t/s

v/ms-1

54321

10

8

6

0

2

4

Rezultat: 6.2 m/s.

Zadatak 180 (Nela, gimnazija)

Kuharica Nela ☺ prolila je pola litre mlijeka na pod. Koliku će površinu morati obrisati ako je

nastala lokvica dubine (debljine) 1 mm?

Rješenje 180

V = 0.5 l = 0.5 dm3 = 500 cm3, d = 1 mm = 0.1 cm, S = ?

31 .1l dm=

3 31 10 1 10, 1,00 .10dm cm dm cm cm mm= = =

2 21 1 , .00 1 10 000m cm m cm= =

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke, koju zovemo središte kruga,

manja ili jednaka određenom broju, koji zovemo polumjer kruga. Ploština kruga:

2.S r π= ⋅

Obujam valjka

Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove. Taj obujam

iznosi:

2.V S v V r vπ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Sd

Lokvica mlijeka na podu ima oblik valjka obujma V kojemu je ploština osnovke S, a visina d (dubina

lokvice). Ploština lokvice iznosi:

[ ]3

500 2 25000 0.5 .

0.1

1/ 5000 : 10 000

V cmV S d V S d S c

dm m

d cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = = = = =⋅

23

Vježba 180

Kuharica Nela ☺ prolila je 5 dl mlijeka na pod. Koliku će površinu morati obrisati ako je

nastala lokvica dubine (debljine) 0.01 dm?

Rezultat: 0.5 m2.

matematika - fizika - halapa · 2014. 9. 13. · 1 zadatak 161 (zdravka, srednja škola) put izme...

Documents