matematika 8
DESCRIPTION
Matematikos vadovelis 8 klaseiTRANSCRIPT
Serijos „Šok“ vadovėlio „Matematika“ komplektą VIII klasei sudaro:. Vadovėlis. Pirmoji knyga. Antroji knyga . Pratybų sąsiuviniai. Pirmasis sąsiuvinis. Antrasis sąsiuvinis . Mokytojo knyga . Uždavinynas
www.sokvadoveliai.lt
Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų• Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai• Dalyvausi diskusijose
8Matematika
8
Matematika
8Viktorija Sičiūnienė, Angelė Bieliauskaitė, Lina Butkevičienė,
Rasa Butkevičienė, Irma Gecevičiūtė, Regina Radavičienė, Sigita Žuklijienė
Vadovėlis. Pirmoji knyga
�
Turinys Apie vadovėlį · 4 Apie projektą „Gimtinė pro rasos lašą“ · 6
1 skyrius. Veiksmai ir jų savybės · 8 1. ��dedame ir atimame��dedame ir atimame · 10 2. Da�giname ir dalijame · 12 3. Ar gerai skai�i�ojame����Ar gerai skai�i�ojame���� · 14 4. �eliame laipsni� ir tra�kiame šaknį�eliame laipsni� ir tra�kiame šaknį · 16 5. Veiksm�� s� laipsniais ir šaknimis savy�ėsVeiksm�� s� laipsniais ir šaknimis savy�ės · 20 6. Veiksm�� tvarka reiškinyjeVeiksm�� tvarka reiškinyje · 30 Pakartokime · 32
2 skyrius. Tarpusavyje susiję dydžiai · 36 1. �antykis�antykis · 38 2. Propor�ingoji daly�aPropor�ingoji daly�a · 40 3. Propor�ijaPropor�ija · 42
4. Dviej�� kintam��j�� ryšio išraiškos · 44 5. Tiesioginis propor�ing�mas · 50 6. Atvirkštinis propor�ing�mas · 52 7. Dydži�� propor�ing�mas · 54 Pakartokime · 58
3 skyrius. Procentai · 62 1. Pro�entai ir tr�pmenos · 64 2. Pro�entai ir propor�ijos · 66 3. Ieškome skai�ia�s pro�ent�� · 68 4. Ieškome skai�ia�s, kai žinome jo dalį pro�entais · 70
5. Ieškome pro�entinio santykio · 72 6. Pro�ent�� taikymas · 74 7. Pro�entai ir lygtys · 78 Pakartokime · 80
4 skyrius. Trikampiai · 82 1. Trikampio p�sia�kraštinės · 84 2. Trikampio a�kštinės · 86 3. Trikampio p�sia�kampinės · 88 4. Trikampi�� lyg�mo požymi�� taikymas · 90
5. Lygiašonio ir lygiakraš�io trikampio savy�ės · 94 6. �aip atpažinti, kokios rūšies yra trikampis���� · 96
7. �ta�iojo trikampio savy�ės · 98 8. Trikampio plotas · 106 Pakartokime · 108
Užd�o�i�� atsakymai · 112 Mokymosi žingsniai · 122 Žodynėlis · 124
62
procentai 3 skyrius
Ìndijoje procentai buvo žinomi jau V a., nes nuo seno jos gyventojai
skaičiavo naudodami dešimtainę sistemą. Euròpoje procentai labiausiai
paplito senovės Ròmoje. Romėnai procentais vadino pinigus, kuriuos
už kiekvieną šimtinę skolintojas mokėjo paskolos gavėjui. Ilgą laiką
procentai buvo suprantami tik kaip pelnas arba nuostolis, gaunamas
nuo kiekvienos šimtinės. 1585 m. belgų mokslininkas Simonas Stevinas
(Stevin) pirmą kartą paskelbė procentų lentelę ir taip Euròpoje pradėjo
vartoti dešimtaines trupmenas.
63
v e i k s m a i i r j ų s a v y b ė s 1 s k y r i u s
Šiame skyriuje prisiminsime, kaip trupmenas užrašyti procentais,
išmoksime apskaičiuoti dydžio procentus, taip pat visą dydį, kai žinoma
jo dalis procentais. Skaičiuosime nuolaidas, procentų uždavinius
spręsime taikydami proporcijas ir lygtis.
64
1Procentai ir trupmenos
Darbas trijulėmis
1. Paprašykite mokytojo, kad jums duotų pavaizduotą korteliųrinkinį.Kortelėseparašytospaprastosios,dešimtainėstrupmenosirprocentai.Kiekvienaspaimkitetikvienosrūšieskortelesirsudėkitejasįkrūvelę.Įsitikinkite,kadkrūvelėseyrapotiekpatkortelių.
50% 43 0,4 4
1 0,25 100%
0,01 20% 53 1% 2
1 0,1
52 0,6 0,75 10
1 40% 5
1
1 25% 11 5% 0,5 60%
10% 201
0,05 0,2 75% 1001
2. Kiekvienasišsavokrūvelėspaeiliuitraukitepovienąkortelę,kitijosatitikmenųieškokitesavokortelėse.
3. Nusibraižykitelentelę.Pirmojejoseilutėjedidėjimotvarkasurašykitekortelėsenurodytaspaprastąsias trupmenas.Pabaikitepildytilentelę.
Paprastoji trupmena
Dešimtainė trupmena 0,01
Procentai 1%
4. Pasiūlykite, kaip būtų �alima len�viau įsiminti lentelės skai�iųPasiūlykite,kaipbūtų�alimalen�viauįsimintilentelėsskai�iųryšius.Taipraverssprendžiantuždavinius.
5. Įsižiūrėkite į paveikslėlius. �uose pavaizduota, kaip �alima įsiĮsižiūrėkiteįpaveikslėlius.�uosepavaizduota,kaip�alimaįsitikinti,kadly�ybė 5
1 =0,2= 10020 (20%)yrateisin�a.
15 = 0,2 =
20100 (20 %)
Nubraižykitebrėžinius,paaiškinan�iusšiasly�ybes:
41 =0,25= 100
25 (25%), 42 = 2
1 =0,5= 10050 (50%).
Netrukus
Prisiminsime, kiek procen
tų atitinka tam tikrą skaičiaus
ar dydžio dalį. išmoksime paprastąsias ir
dešimtaines trupmenas reikš
ti procentais ir atvirkščiai.
1001
pranas Mašiotas (1863–1940) – pedagogas, rašytojas, kultūros veikėjas. pasidomėkite, kiek maždaug knygų parašė ir išleido pranas Ma šiotas; kurios iš jų yra matematinės; kuris matematikos leidinys susilaukė didžiausio pasisekimo (i dalis leista net 13 kartų, ii dalis – 9) ir buvo naudotas tarpukario Lietuvojè XX a.; kuo įdomi prano Mašioto, kaip kultūros veikėjo, veikla. rekomenduojami informacijos šaltiniai: [1], [3], [5], [6], [7], [8] (žr. p. 7).
65
3 s k y r i u sP r o c e n t a i
❶ Kiek procentų atitinka šios trupmenos:Kiekprocentųatitinkašiostrupmenos: a) 100
13 ; b)1003 ; c) 10
9 ; d)107 ;
e) 5013 ; f) 50
21 ; �) 257 ; h) 20
9 ?
Pavyzdys. 103 = 100
30 ,t.y.30%.
❷ Kiek procentų atitinka šie skai�iai:Kiekprocentųatitinkašieskai�iai: a)0,23; b)0,35; c) 0,4; d) 0,7; e)0,04; f)0,07; �)1,05; h)1,5?
Pavyzdys.0,2= 102 = 100
20 ,t.y.20%.
❸ Procentus išreikškite paprastąja trupmena:Procentusišreikškitepaprastąjatrupmena: a)18%; b)80%; c) 4%; d)0,5%; e)5,6%; f)300%; �)0,12%; h)120%.
Pavyzdys. 25%atitinka 10025 = 4
1 .
❹ Kuri fi�ūros dalis nuspalvinta? Kiek tai sudaKurifi�ūrosdalisnuspalvinta?Kiektaisudaroprocentų?
a) b)
❺ Procentus išreikškite paprastąja trupmena (neProcentusišreikškitepaprastąjatrupmena(nepamirškitejossuprastinti):
a)16%; b)24%; c)36%; d)15%; e)64%; f)90%; �)55%; h)65%.
❻ Trupmeną iš pradžių suprastinkite, tada paTrupmenąišpradžiųsuprastinkite,tadapakeiskitetrupmena,kuriosvardiklisly�us100,ir�aliausiaiišreikškiteprocentais:
a) 4012 ; b) 60
3 ; c) 6817 ; d) 80
68 .
Pavyzdys. 753 = 25
1 = 1004 ,t.y.4%.
❼ Rožyneau�a10raudonų,8�eltonųir7baltųrožiųkrūmai.
a)Kuriąrožynodalįsudarokiekvienosspalvosrožiųkrūmai?
b)Kiekprocentųrožynosudarokiekvienosspalvosrožiųkrūmai?
❽ Kurios trupmenos neįmanoma užrašyti sveiKuriostrupmenosneįmanomaužrašytisveikuojuskai�iumiprocentais?
A 41 B 2
1 C 31 D 5
1
❾ �žrašykite procentais:�žrašykiteprocentais: a)pusę; b) ketvirtį;
c)trisketvir�ius; d)penktadalį.
❿ Bibliotekoje 53 visųkny�ųsudaro�rožinė
literatūra,o35%–pažintinėskny�os.Kuriosrūšieskny�ųbibliotekojeyradau�iau?
⓫VasarąLukasdirbodumėnesius.Liepąjisuždirbo1200Lt,oru�pjūtįatly�inimassudarė0,6visųjouždirbtųpini�ų.
a)Kiekprocentųvisųpini�ųLukasuždirboru�pjūtį?
b)Kuriądalįvisųuždirbtųpini�ųLukas�avoliepą?Kiektaisudaroprocentų?
⓬ Pròmilė(lot.pro mille–nuotūkstan�io)–tūkstantojikokionorsskai�iausardydžiodalis.Promiles�alimaužrašytitrupmenomis,kuriųvardiklisly�us1000.Pavyzdžiui,0,064
atitinka64‰, 1000p atitinkap ‰.
1. Trupmenasišreikškitepromilėmis: a) 1000
9 ; b) 100035 ;c) 100
13 ; d) 5011 ;
e) 2001 ; f) 250
3 ; �) 251 ; h) 20
9 .
2. Promilesužrašykitepaprastosiomistrupmenomis:
a)5‰;b)50‰;c)500‰;d) 5000‰. 3.Geo�rafijosvadovėlyjerašoma,kadPasau
liovandenynovidutinisdruskin�umasyra35‰.Kiek�ramųdruskosyravienamelitrevandenynovandens?
⓭ Išpjovoskampodidumasly�us: a)180°; b)90°; c)36°; d)3,6°. Kuriąskrituliodalįsudaroišpjova?Gautas
trupmenasišreikškiteprocentais.
Užduotys
Žodžių bankas
. Pròcentas
66
Procentai ir proporcijosDarbas grupėmis
Išpradžiųsavarankiškaiišna�rinėkitepavyzdžius,paskui�rupėmisaptarkite,kaip�alimetaikytiproporcijasspręsdamiuždavinius:
• kaip nusprendžiame, kokį dydį pasirinkti nežinomuoju (pasvarstykite,arnaudin�asąly�ąpavaizduotibrėžiniu);
• kaipsudaromeuždaviniosąly�ąatitinkan�iąschemą(atkreipkitedėmesįįduomenųužrašymojojetvarką);
• kaippa�alsudarytąschemąparašomeproporciją;• kaipapskai�iuojamenežinomąproporcijosnarį (pa�alvokite,
kaiptaisyklin�aiužrašytiuždaviniosprendimąiratsakymą).
1 pavyzdysKęstutis�rybaudamasrado125baravykusirraudonviršius.Bara
vykaisudarė36%visųrastų�rybų.KiekbaravykųradoKęstutis?Sprendimas. Nežinomą baravykų skai�ių pažymėkime x. Pa
�al uždavinio duomenis sudarykime schemą, pa�al ją užrašykimeproporcijąirišspręskime:
125�rybai –100% x barav. –36%Atsakymas.Kęstutisrado45baravykus.
2 pavyzdys60%cukraussirupeyra300�cukraus.a)Kokiavisomišinio(sirupo)masė?b)Kiekvandensbuvosumaišytasucukrumi?Sprendimas. a)Viso mišinio masę pažymėkime x �. �i atitinka
100 %. Pa�al uždavinio duomenis sudarykime schemą, pa�al jąužrašykimeproporcijąirišspręskime:
x�–100%300�–60%Atsakymas.Visomišiniomasė500�.b) Atsakymas.200�.Pa�alvokite,kaipapskai�iavomešiąreikšmę.
3 pavyzdysĮ320�vandensįpilta80�druskos.Kokia�autotirpalokoncentra
cija(druskoskiekiotirpaleprocentinėišraiška)?Sprendimas. Apskai�iuokime�autotirpalomasę:320�+80�=
= 400 �. Tirpalo koncentraciją pažymėkime x %. Pa�al uždavinioduomenis sudarykime schemą, pa�al ją užrašykime proporciją irišspręskime:
400�–100%80�– x%Atsakymas.Tirpalokoncentracija20%.
Netrukus
išmoksime taikyti propor
cijos savybę, spręsdami pro
centų uždavinius.
Spręsdamiprocentųuždavinius,pasimokykitetaikytiproporcijossavybę.
Netrukus
išmoksime taikyti propor
cijos savybę, spręsdami pro
centų uždavinius.
Þ 80400 = x
100 Þ x= 40080 100$ =20(%).
125 grybai
100 %
36 %
?
2
Þ x300 = 60
100 Þ x = 60
300 100$ = 500(�).
Þ x125 = 36
100 Þ x = 100125 36$ = 45(barav.).
67
3 s k y r i u sP r o c e n t a i
❽ Tyrimoduomenimis,60%mokyklosmokiniųmano,kadjųį�ūdžiaidirbtikompiuteriuyra�eri.�eitaitiesa,kiekmokiniųiš20mokadirbtikompiuteriu?
❾ Kepsnysorkaitėjeiškepaper2,5h.�isjaukepa2h.Kiekprocentųvisokepimolaikotaisudaro?
❿ Klasėspažan�umąpertrimestrą(pusmetį)išreikškiteprocentais,kaiyražinoma,kad:
a) iš30klasėsmokinių28yrapažan�ūs; b)iš25klasėsmokinių5yranepažan�ūs; c) iš22klasėsmokinių1mokinysturinepa
tenkinamųtrimestriniųpažymių. Pavyzdys. Klasėjeyra27mokiniai.Trysišjų
pirmąjįtrimestrąbuvonepažan�ūs.Išreikškimešiosklasėspažan�umąprocentais.
Sprendimas. Pažan�iųmokiniųklasėjeyra27–3=24.
Visiklasėsmokiniaiatitinka100%. 27mok.–100 %, 24mok.–x %
⓫Oreyra21%de�uonies.Kiekkubiniųmetrųde�uoniesbus200m3oro?
⓬ Sumaišyta10�cukrausir40�vandens. a)Kiekprocentųcukrausyrašiametirpale? b)Kiekprocentųšiotirpalosudarovanduo?
⓭ 600�masėsbronzoslydinyjeyra420�vario. a)Kiekprocentųšiolydiniosudarovaris? b)Kiekprocentųkitųmedžia�ųyralydinyje?
⓮ Prabà–santykinistauriojometalokiekislydinyje.�irodo,kiektauriojometalodaliųtenkatūkstan�iuilydiniodalių.
Sidabrose�ėspraba925°, masė 10 �. Kiek �ra°,masė10�.Kiek�ramų�rynosidabroyrašiojese�ėje?
⓯ 120�masėsdruskostirpaleyra24�druskos. a)Kokiayrašiotirpalokoncentracija? b)Kokiabustirpalokoncentracija,jei�uįjį
darįpilsime80�vandens?
Užduotys
Þ x= 2724 100$ ≈ 88,9(%).
❶ Kuriproporcijayrateisin�a?
A 32 = 4
6 B 31 = 15
6 CC 54 = 15
12 DD 54 = 8
6
❷Apskai�iuokitenežinomąproporcijosnarį: a) 30
x = 35140 ; b) 24
1 = x3 ;
c) 1234 = x6 ; d) 24
96 = x100 .
❸ Kurischemaatitinkauždaviniosąly�ą? Iš32karatėbūrelįlankan�iųvaikų24turimė
lynąjįdiržą.Kiekprocentųvisųbūreliovaikųturimėlynąjįdiržą?
A 24vaikai–100%, B 24vaikai–32%, 32vaikai–x % xvaikų –100 % C 24vaikai–32vaikai, D 32vaikai–100%, 100% –x % 24vaikai–x %
❹ Kuriproporcijaatitinkauždaviniosąly�ą? Iš820mokyklosmokinių60%yramėlynakiai.
Kiekmėlynakiųvaikųmokosišiojemokykloje? A 820
x = 60100 B 820
x = 10060
C 820x = 60100 D 60
820 = x100
❺ Pa�alschemąsudarykiteproporcijąirjąišspręskite.Sukiekvienaschemasu�alvokitepouždavinį.
a)150�–100%, b) 40Lt –100 %, x� –80%; 8Lt –x %; c) xkm–100%, d)1200k� –100%,
240km –60%; 36k� –x %.
❻ Išspręskiteuždavinį,sudarydamiproporciją. a)Ryžiuoseyra70%krakmolo.Kiek�ramų
krakmoloturi150�ryžių? b)8mokiniaisudaro25%visųklasėsmoki
nių.Kiekmokiniųyraklasėje? c) Iš900elektroslempu�ių27yraperde�usios.
Kiekprocentųvisųlempu�iųyraperde�usios? d)Iš 28 maršrutiniu autobusu važiavusių ke
leiviųstotelėjeišlipo21keleivis.Kiekprocentųkeleiviųišlipo?
❼ Iš80žurnalopuslapių30tenkasportui.Kiekprocentųžurnalopuslapiųskiriamasportui?
Þ x125 = 36
100 Þ x = 100125 36$ = 45(barav.).
68
Pasimokykiteapskai�iuotitamtikrąskai�iųdydžioprocentų.
Netrukus
Prisiminsime, kaip apskai
čiuoti tam tikrą skaičių dy
džio procentų.
Tai įdomu
natūralusis gyventojų prieaugis – gimimų ir mirčių skaičiaus skirtumas per tam tikrą laikotarpį, tenkantis 1 000čiui žmonių. Jis reiškiamas promilėmis (‰). pasaulyje vidutinis natūralusis gyventojų prieaugis siekia apie 12 ‰. 2005 m. Lietuvojè jis buvo apie –2 ‰. Ką tai galėtų reikšti?
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
483 0Užrašas ekrane
× 1 % →0 6
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
29,7 %
23,8 %21,1 %
13,4 %
12 %Panaudota miltams ir
riebalams gaminti
Suvalgyta šviežia
Sušaldyta
Išrūkyta
Užkonservuota
3ieškome skaičiaus procentų
Au�ustasirVilijamė�staskaityti.�iemslabiausiaipatinkakny�osapie Harį Poterį.Apklausę 25 drau�us, vaikai sužinojo, kad 20%apklaustųjų yra perskaitęvisas septynias serijos kny�as, o 75% likusiųjų–po1–6kny�as.Au�ustuiirVilijaiįdomu,kiekjųdrau�ųneperskaitėnėvienoskny�osapieHarįPoterį.
augustas skaičiuoja taip: �ilija skaičiuoja taip:�ilija skaičiuoja taip:
Visaskny�asperskaitė20%,t.y.penktojidalis,drau�ų:25:5=5(drau�.).Liko25–5=20(drau�.).Po1–6kny�asperskaitė75%,t.y.trysketvirtadaliai,šiųdrau�ų:20:4·3=15(drau�.).Vadinasi,serijoskny�ųneskaitė25–5–15=5drau�ai.Abiejųvaikųsprendimas�eras,norsjieskai�iavoskirtin�ai.
pprocentųskai�iausarandametaip:a :100·p,arbaa · 100
p .
Procentųpato�uieškotiirskai�iuotuvu.Pavyzdžiui,apskai�iuokime16%skai�iaus300.Turėsimepaspaustitokiusmy�tukus:
Atkreipkitedėmesįįtai,kadsprendimąužrašysimetaip:300:100·16=48,arba300·0,16=48.
Darbas poromis
Apskai�iuokiteskai�iuotuvu,užrašykitesprendimąirjįaptarkite.1. Euròpos plotas 23947919 km2.
43,5 % jo sudaro miškai. Kiek kvadratinių kilometrų visos Euròposapau�ęmiškais?
2. Pa�auta 20170000 t žuvies.Dia�ramavaizduoja,kokiomsreikmėms ji buvo panaudota. Kiektonųžuviespanaudotakiekvienaireikmei?
Visaskny�asperskaitė20%,t.y.0,2,drau�ų:25·0,2=5(drau�.).Liko25–5=20(drau�.).Po1–6kny�asperskaitė75%,t.y.0,75,šiųdrau�ų:
20·0,75=15(drau�.).Vadinasi,serijoskny�ųneskaitė25–5–15=5drau�ai.
69
3 s k y r i u sP r o c e n t a i
P 24= cm
A
C
B
Užduotys
❿ Pienoriebumas2,5%.Kiekkilo�ramųriebalųyra50k�pieno?
⓫ Kaiautomobilisvažiuoja60km/h�rei�iusausuasfaltuotukeliu,stabdymokelias(metrais)sudaro0,039%�rei�io.Apledėjusiamekelyjestabdymokeliaspail�ėja4kartus.Kiekmetrųįveiks60km/h�rei�iuvažiuojantisautomobilis,kaijįstabdysimeapledėjusiamekelyje?
⓬Vištoskiaušiniomasė60�.10%jostenkalukštui,pusė–baltymui,okitadalis–tryniui.Apskai�iuokitetryniomasę.
⓭ Linaiš�ėrė10puodeliųavie�ių�ėrimo,kuriokoncentracija22%.Kiekpuodelių�rynųavie�iųsul�iųiš�ėrėLina?
⓮ Tei�iama,kada�urkųsultyseyradau�mineraliniųmedžia�ų.Apie40%jųsudarokalis,10%–natris,7,5%–kalcis,20%–fosforas.Kiek�ramųkiekvienosmineralinėsmedžia�osyra30m�a�urkųsul�ių?
⓯ TrikampiokraštinėsAB il�issudaro35%,kraštinėsBC il�is–25%,kraštinėsAC il�is –40%trikampioperimetro.Apskai�iuokitekiekvienoskraštinėsil�į.
⓰ Sta�iakampioil�is82cm,oplotissudaro65%il�io.Apskai�iuokitesta�iakampioperimetrą.
⓱ KrepšininkasDeividasbaudasmeta70%,oVytenis–60%taiklumu.
a)KiektaškųsurinktųDeividas,jei�unuobaudoslinijosmestų20kartų?
b)Kuriskrepšininkassurinktųdau�iautaškų:Deividas,mesdamas10kartų,arVytenis–15kartų?
⓲Apskai�iuokite: a)p %skai�iaus60; c)60%skai�iausk; b)p %skai�iaus50; d)a %skai�iausp.
Pavyzdys. p %skai�iaus40apskai�iuojametaip: p %atitinka0,01p;40·0,01p=0,4p.
12 cm
A B C72 %1 cm5
A B C68 %
❶Apskai�iuokite(žodžiu): a)10%skai�iaus200; b)10%skai�iaus45; c)20%skai�iaus80; d)20%skai�iaus15; e)25%skai�iaus60; f) 25%skai�iaus12; �)50%skai�iaus1; h)50%skai�iaus0,5; i) 75%skai�iaus40; j) 75%skai�iaus60.
❷ Kiekcentimetrųsudarys1%šiosdydžioreikšmės:
a)1m; b)1dm; c)3m; d)15dm?
❸ Kiekcentųsudarys25%šiossumos: a)1Lt; b)2Lt; c) 0,4 Lt; d) 0,04 Lt? c) 0,4 Lt; d) 0,04 Lt?c)0,4Lt; d) 0,04 Lt? d) 0,04 Lt?d)0,04Lt?
❹Apskai�iuokite: a) 10
1 skai�iaus36; b) 52 skai�iaus130;
c) 83 skai�iaus64; d) 5
4 skai�iaus15.
❺Apskai�iuokite: a)15%skai�iaus240; b)28%skai�iaus30; c)120%skai�iaus50; d)132%skai�iaus48; e)1,2%skai�iaus20; f)0,5%skai�iaus180.
❻Artiesa,kad: a)50%skai�iaus10ly�u10%skai�iaus50; b)25%skai�iaus40ly�u40%skai�iaus25? Atsakymąpa�rįskite.
❼Apskai�iuokite: a)3‰skai�iaus100; b)30‰skai�iaus1000.
Pavyzdys. 1,2‰skai�iaus15apskai�iuojametaip: 1,2‰atitinka0,0012;15·0,0012==0,018.
❽Apskai�iuokiteatkarposAB il�į. a)
b)
❾ Braškėseyra6%cukraus.Kiekkilo�ramųcukrausyra12k�braškių?
70
Pasimokykiteapskai�iuotivisądydįarskai�ių,kaiyražinomajodalisprocentais.
Netrukus
Prisiminsime, kaip rasti
visą skaičių ar dydį, kai yra
žinoma jo dalis procentais.
Tai įdomu
•Medūzos sudėtyje yra 95 % vandens.•86 % internete pateikiamos tekstinės informacijos parašyta anglų kalba.•92 % viso lietaus iškrinta į pasaulio vandenynus.•plastikinės pakuotės sudaro 10 % visų pasaulyje išmetamų šiukšlių.
ieškome skaičiaus, kai žinome jo dalį procentais
Vasarąvaikaikeliavoįskautųstovyklą.Įveikę30km,jiesustojoapžiūrėtisenomalūno.Pasiteiravę,kiekkilometrųdarlikovažiuoti,vaikaiiš�irdotokįvadovoatsakymą:„Nuvažiavometik24%visokelio.“Keliauninkamsįdomu,kiekkilometrųyranuonamųikiskautųstovyklos.
SprendimasI būdas30kmsudaro24%,arba
10024 ,visokelio.Apskai�iuo
jamevisąkelią:30:24·100=125(km).
Atsakymas. Nuonamųikiskautųstovyklosyra125km.Skai�iuodamiabiembūdais,�avometąpatįatsakymą.
Norint rasti visą skai�ių (dydį), kai yra žinoma, kad p %jo ly�uskai�iui(dydžiui)b, reikiaskai�ių(dydį)bpadalyti išprocentų,užrašytųtrupmena:b : 100
p .
Iš skautų stovyklos į namus vaikai nutarė �rįžti kitu keliu irpakeliuiapžiūrėtiatstatytą�ynybinįpiliesbokštą.Priepiliesvadovaspasakė,kad jienuvažiavo40%visokelio ir ikinamųdar liko67,2km.Vaikai susidomėjo: il�esniuar trumpesniukeliujie�rįžtanamo?Padėkimevaikamsatsakytiįšįklausimą.
Sprendimas. Vaikaiįveikė40%kelio,todėljiemsdarlikonuvažiuoti100%–40%=60%.Tai sudaro0,6visokelio.Yra žinoma,kadliko67,2km.Apskai�iuojamevisąkelią:
67,2:60·100=112(km),arba67,2:0,6=112(km).112km<125km.Atsakymas. Vaikai�rįžtanamotrumpesniukeliu.
4
II būdas24%atitinka 100
24 =0,24.Dalydamiapskai�iuojamevisąkelią:30:0,24=125(km).
71
2 s k y r i u st a r P u s a v y j e s u s i j ę D y D ž i a i 3 s k y r i u sP r o c e n t a i
❶ Pasakykiteskai�ių,kurio: a)1%ly�u8; b) 1%ly�u33; c)10%ly�u14; d) 10%ly�u2,5; e)20%ly�u7; f) 20%ly�u30; �)25%ly�u9; h)25%ly�u2,5; i) 50%ly�u43; j) 50%ly�u0,12.
❷ Kurioskai�iaus: a)24%ly�u72; b) 42%ly�u6,3; c)99%ly�u990; d)0,3%ly�u0,27; e)12,5%ly�u7,5; f) 120%ly�u240? Pavyzdys. Skai�iaus,kurio15%ly�u8,4,ieš
kometaip:8,4:0,15=56.
❸ Kokiayradydžioreikšmė,jei�ujo: a)5%ly�u200Lt; b)3%ly�u90m; c)10%ly�u89cm; d)25%ly�u45min; e)20%ly�u18°; f)30%ly�u120€?
❹Apskai�iuokitevisosatkarposil�į.
a)
b)
❺Aštuntoseklasėsemokosi75mokiniai.�iesudaro12%visųmokyklosmokinių.Kiekišvisomokiniųmokosimokykloje?
❻ Pirmądienąturistainukeliavo15km,arba30%visokelio.Kokioil�iobuvoturistųmaršrutas?
❼Ūkininkaspardavėvalstybei180tmėsos.Taisudaro75%visoplanuotoparduotikiekio.Kiektonųmėsosbuvonumatęsparduotiūkininkas?
❽Apskai�iuokitevisosatkarposil�į.
a)
b)
Užduotys
Drama Šokis Muzika Dailė
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
❾Vienosklasėsvisimokiniaipasirinkovienąišketuriųmeninėsraiškosstudijų.Paveikslėlyjeparodyta,kaipmokiniaiyrapasiskirstę.
Apskai�iuokite,kiekmokiniųyraklasėje,jei�u: a)šokiostudijąlanko5mokiniai; b)dailėsstudijąlanko2mokiniai; c)dramosirmuzikosstudijaslanko21mokinys.
❿ Pirmąvalandąmotociklininkasnuvažiavo35%visokelio,antrąvalandą–0,4kelio,otre�ią–37,5km.Kokįatstumąmotociklininkasįveikėpertrisvalandas?
⓫ Ievaišleido70%savopini�ų,oDiana–10%.TadaIevailiko15Lt,oDianai–45Lt.Artiesa,kadabimer�aitėsišpradžiųturėjopoly�iaipini�ų?Atsakymąpa�rįskite.
⓬Aštuntokai,apklausęklasėsdrau�us,sužinojo,kad21mokinys,arba75%visųklasėsmokinių,kasdienpusry�iaujanamie,o15mokinių,arba50%visųklasėsmokinių,nemokamuspietusval�omokykloje.Mokytojasapklausosrezultatusįvertinokaipneteisin�us.Paaiškinkitekodėl.
⓭ Bukasiskampaspadalytasįtriskampus.Pirmasisišjųsudaro40%bukojokampo,antrasis–20%,otre�iasisly�us48°.Apskai�iuokitebukojokampodidumą.
⓮ Raskiteskai�ių,kurio: a)50%ly�ua; b) 20%ly�ub; c)p %ly�u100; d) a %ly�un.
Pavyzdys. Skai�iaus,kurio 8%ly�up, ieškometaip:8%atitinka 100
8 ;p : 1008 =p · 8
100 ==12,5p.
Atlikdamipirmojopratybųsąsiuvinio6testą,(p.47),pasitikrinkite,kaipišmokotetaikytiprocentus.
72
Pasimokykiteapskai�iuotidviejųdydžiųprocentinįsantykį.
Netrukus
išmoksime apskaičiuoti
dviejų skaičių (dydžių) pro
centinį santykį.
atkreipkite dėmesį!Jeigu dydžių a ir b procentinis
santykis ab · 100 % < 100 %, tai a < b.
Jeigu dydžių a ir b procentinis santykis a
b · 100 % > 100 %, tai a > b.
ieškome procentinio santykio
Lentelėjepateiktiduomenysapiedviejųklasiųmokiniųskai�ių.
klasė mergaičių skaičius berniukų skaičius iš viso
8a 18 12 30
8b 7 21 28
• Apskai�iuokime,kiek procentųvisų8aklasėsmokiniųsudaromer�aitės.Mer�ai�iųyra18iš30,arba 30
18 visųklasėsmokinių.Sprendimą�alimaužrašytitaip:mer�ai�iųsk.visųmokiniųsk. = 30
18 = 53 = 100
60 ,t.y.60%.
Sakome,kad8aklasėsmer�ai�iųirvisųklasėsmokiniųskai�iausprocentinis sántykisyra60%.
• Apskai�iuokime8aklasėsberniukųirvisųklasėsmokiniųskai�iausprocentinįsantykį,t.y.nustatykime,kiekprocentųvisosklasėsmokiniųsudaroberniukai.Berniukųyra12iš30,arba
berniukųsk.visųmokiniųsk. = 30
12 = 52 = 100
40 ,t.y.40%.
• 8a klasės berniukų ir mer�ai�ių skai�iaus procentinį santykįtrumpiauapskai�iuojametaip:
berniukųsk.mer�ai�iųsk.
·100%= 1812 ·100%= 3
2 ·100%= 66=66 32 %.
Sakome,kadberniukųskai�iussudaro66 32 %mer�ai�iųskai�iaus.
• 8aklasėsmer�ai�iųirberniukųskai�iausprocentiniosantykioieškometaip:
mer�ai�iųsk.berniukųsk.
·100%= 1218 ·100%== 2
3 ·100%= 150 %.=150%.
Sakome,kadmer�ai�iųskai�iussudaro150%berniukųskai�iaus.
Dydžiųa irb procentiniù sántykiu vadinametųdydžiųdalmenį,išreikštąprocentais(padau�intąiš100%):
ba ·100%(b≠0).
Užduotys1. Apskai�iuokite8bklasėsberniukų irvisų tosklasėsmokinių
skai�iausprocentinįsantykį.2. Nustatykite, kurią 8b klasės mer�ai�ių skai�iaus dalį sudaro
berniukųskai�ius,irtądalįišreikškiteprocentais.3. Pratęskitely�ybę8bmer�ai�iųsk.
8bberniukųsk. = ... Paaiškinkite, ką apskai=...Paaiškinkite,kąapskai�iavote.
4. Išsiaiškinkite,kaipdviejųdydžiųprocentinįsantykį�alimaapskai�iuotiskai�iuotuvu.
5
73
3 s k y r i u sP r o c e n t a i
❶ Paaiškinkite,kąreiškiaužrašas: a) 2
1 ·100%=50%; b) 12 ·100%=200%;
c) ba ·100%,a<b; d) b
a ·100%,a>b.
❷ Kiekprocentųskai�iausbsudaroskai�iusa: a)a=4,b =5; b) a =5,b =4; c)a=50,b =100; d)a =100,b =50; e)a=4,5,b =36; f) a =28,b =25?
❸ Pa�albrėžinioduomenisapskai�iuokite:
a)kiekprocentųatkarposAC il�iosudaroatkarposAB il�is;
b)koksyraatkarpųBC irAC il�iųprocentinissantykis;
c)kiekprocentųatkarposAB il�iosudaroatkarposBC il�is;
d)koksyraatkarpųAB irBC il�iųprocentinissantykis.
❹ Kiekprocentųsudaro: a)2haplotas5haploto; b)32k�masė200k�masės; c)33cmil�ioatkarpa1mil�ioatkarpos; d)36°kampassta�iojokampo?
❺ Sodeau�a400vaismedžių.280išjųyraobelys.Apskai�iuokite,kiekprocentųvisųsodovaismedžiųsudaro:
a)obelys; b)kitivaismedžiai?
❻ Kiekprocentųpilnutiniokampo(360°)sudaroišpjovoskampas,kuriodidumas:
a)90°; b)36°; c)144°; d)198°?
❼Gretaturėjo120Lt.�žkelionęįAukštaitjosnacionalinįparkąjisumokėjo42Lt.ĮšiąkainąįeinairbilietoįBitininkystėsmuziejųkaina–6,3Lt.Apskai�iuokite:
a)kiekprocentųturėtųpini�ųGretaišleidokelionei;
b)kiekprocentųkelionėskainossudarobilietoįBitininkystėsmuziejųkaina.
Užduotys
A B C
9,3 cm 3,1 cm
10 m100 m
= 0,1, arba 10 %
Žodžių bankas
❽Mokyklossalėsremontuiskirta92000Lt.Pirmąmėnesįpanaudota41400Lt,antrąmėnesį–32200Lt.
a)Kiekprocentųvisųpini�ųpanaudotapirmąmėnesį?
b)Kiekprocentųvisųpini�ųpanaudotaantrąmėnesį?
c)Kiekprocentųvisųlėšųdarnepanaudota?
❾ Krepšiniovaržybosedalyvavoseptintųiraštuntųklasiųmokiniųkomandos.Septintokaiiš15tritaškiųpataikė3,oaštuntokaiiš16tritaškių–4.Kurikomandataikliaumėtėtritaškius?
❿Nuokiekvienosprekėssulipduku„Dovanoju�erumą“10ctskiriamavaikams,ser�antiemsonkolo�inėmisli�omis.Kiekapytiksliaiprocentų(0,1tikslumu)prekėskainossudarėvaikamsskiriamasuma,jeibuvopirkta:
a)šokoladinisbatonėlisuž1,8Lt; b)sausainiųdėžutėuž2,4Lt; c)virtuviniųrankšluos�iųkomplektasuž4,5Lt?
⓫ Įkalnėsstatumasarbanuokalnėsnuolydis– taiaukš�iųskirtumoirhorizontaliosiosatkar
posil�iosantykis,reiškiamasprocentais.
a)Keliaskylaįkalnątaip,kad1000mil�io
horizontaliąjąatkarpąatitinka40maukš�ioskirtumas.Įkalnėsstatumąišreikškiteprocentais.Nupieškiteatitinkamąženklą.
b)Keliasleidžiasinuokalnotaip,kad500mil�iohorizontaliąjąatkarpąatitinka30maukš�ioskirtumas.Nuokalnėsnuolydįišreikškiteprocentais.Nupieškiteatitinkamąženklą.
. Procentnis sántykis
74
Procentų taikymas1 Pigiau, brangiau
Skaitydamispaudą,žiūrėdamiteleviziją,vaikš�iodamipoparduotuves ar naršydami internete, dažnai matome spalvin�ų skelbimų,siūlan�iųpirktiprekiųirpaslau�ųsunuolaida.Núolaida–tainuokainosnuleidžiamasuma.
1 pavyzdysSportoprekiųparduotuvėjeprietųpa�iųfutbolosir�aliųmarški
nėliųMariusmatoduskirtin�usužrašusapietaikomąnuolaidą:
Marius norėtų nusipirkti marškinėlius, bet dvejoja, ar skirtin�iužrašaižymitokiopatdydžionuolaidą.Berniukasskai�iuoja:
dabartinėmarškinėliųkainayra39Lt,todėl60–39=21(Lt);Atsakymas.Abiejuoseužrašuoseskelbiamataspats.
2 pavyzdysAtėjus žiemai, pieno produktai pabran�o 5 %. Kiek dabar teks
mokėtiuž2,8Ltkainavusįindelįjo�urto?
SprendimasIbūdas5%sudaro0,05visoskainos,todėlindelisjo�urtopabran�o2,8·0,05=0,14(Lt).Tai�iužjįteksmokėti2,8+0,14=2,94(Lt).
Atsakymas.2,94Lt.
3 pavyzdysKrepšinio kamuolys, kainavęs 125 Lt, atpi�o iki 100 Lt. Kiek
procentųtaikomanuolaida?
Sprendimas.Nuolaidayra125–100=25(Lt).Ieškomenuolaidosirbuvusioskainosprocentiniosantykio: 125
25 ·100%=20%.
Atsakymas.Taikoma20%nuolaida.
Pasimokykiteapskai�iuotiprekėskainąsunuolaida,taippatnuolaidą,išreikštąprocentais.
Netrukus
išmoksime taikyti procen
to sąvoką, spręsdami realaus
turinio uždavinius.
6
nuolaidayra35%,arba0,35visoskainos,todėl60·0,35=21(Lt).
125 Lt
100 Lt
125 Lt
39 Ltnuolaida
35 %
IIbūdasKadan�iproduktaipabran�o5%,taijųkainasudaro100%+5%=105%pradinėskainos.Vadinasi,užindelįjo�urtoreikėsmokėti2,8·1,05=2,94(Lt).
75
3 s k y r i u sP r o c e n t a i
Žodžių bankas
Užduotys
❶Mokyklinėjemu�ėjeRokaspirko2400Ltkainuojantįkompiuterįsu20%nuolaida.KiekužkompiuterįsumokėjoRokas?
❷Mokykloskrepšiniokomandoskapitonasinterneteradotokįskelbimą:„Krepšinioapran�avienamžmo�ui–90Lt.�eipirksi21apran�oskomplektą,�ausi6%nuolaidą.“
a)Kieksunuolaidakainuotųapran�oskomplektas?
b)Kiektadakainuotųapran�avienamžaidėjui?
❸Atlikiteveiksmą: a)skai�ių200sumažinkite10%; b)skai�ių350sumažinkite8%; c) skai�ių64padidinkite50%; d)skai�ių74padidinkite100%. Pavyzdys.Skai�ių800sumažinkime45%. I būdas II būdas 800·0,45=360; 100%–45%=55%; 800–360=440. 800·0,55=440.
❹ Žurnalaskainuoja4,6Lt.Padidinuspuslapiųskai�ių,žurnalokainapadidėjo10%.Kiekdabarkainuojašisžurnalas?
❺ Si�itanorinusipirktijaipatinkan�iąkny�ą.Įprastamekny�ynešikny�akainuoja43Lt,betSi�itai,kaipnuolatineipirkėjai,taikoma5%nuolaida.Internetiniamekny�yneužtąpa�iąkny�ątektųmokėti38Ltirdar6%kny�oskainosužpristatymą.KurSi�itailabiauapsimokapirktikny�ą?
❻Vienameoptikossalonenuolaidaakiniamstaikomapa�altokiąformulę:
(100 – JŪSŲ AMŽIUS) �� �� �U��AI�A ���)��� �� �U��AI�A ���)� �� �U��AI�A ���)�
�ei�ujūspirktumėteakiniusšiamesalone,tai: a)kokiodydžionuolaida(procentais)jiems
būtųtaikoma; b)kiekmokėtumėteužakinius,kainuojan�ius
120Lt?
❼ PonasLukošiussušeimakeliaujaįpajūrį.Kelialapius,kainuojan�iuspo600Lt,jissužmonaįsi�ijosu10%nuolaida,odviemvaikams–su15%nuolaida.KiekišvisosumokėjoLukošiųšeimaužkelialapius?
❽ �ūratė,akcijosmetupirkdamabateliussu35%nuolaida,sumokėjo104Lt.Kiekkainavobateliaipriešnukainojimą?
❾Dudrau�ai–RimantasirTauras–priešmokslometųpradžiąpirkonaujaskuprines.Rimantokuprinėsu40%nuolaidakainavo78Lt,Taurosu33%nuolaida–87Lt.Rimantastei�ia,kadkuprinėsbenuolaidųkainuotųtiekpat.Taurasnesutinka.Kurisberniukasteisus?
❿ Kny�akainavo25Lt.Poatpi�inimojikainuoja20,25Lt.Kiekprocentųatpi�okny�a?
⓫ Kompiuteriųparduotuvėjeskelbiama:
rugsėjo 1osios proga kompiuteris net 600 litų pigesnis.
Apskai�iuokite,kiekprocentųsudaronuolaida,jei:
a)anks�iaukompiuteriskainavo3000Lt; b)dabarkompiuteriskainuoja1800Lt.
⓬Metųpradžiojeelektrosener�ijostarifasbuvo30ctužkilovatvalandę.Metųviduryjejispadidėjo50%,ometųpabai�oje–dar50%.Kaipmanote,kiekprocentųpermetuspabran�oelektra:100%,mažiaunei100%ardau�iaukaip100%?Atsakymąpa�rįskiteskai�iuodami.
. Núolaida
76
2 kas ką pergudravo?
Kartą �udrus ir �obšus karalius tarė savosar�ybiniams:
–Tarnaujateman�erai.Nusprendžiaujumsal�ąpadidintinet20%!
–Valio!–sušukoapsau�ininkai.–Bettikvienąmėnesį.–tęsėkaralius.–Otada
ašjąsumažinsiutaispa�iais20%.Arsutinkate?– Kodėl turėtume nesutikti? – nustebo apsau�ininkai.– Te�ul
bentvienąmėnesįal�abusdidesnė.Praėjomėnuo.Visibuvolaimin�i.– Tai bent! – sako senas sar�ybinis drau�ui. – Kas mėnesį aš
�audavau10auksinių,ošįmėnesį�avau12.Te�yvuojakaralius!Praėjo dar mėnuo, ir sar�ybinis al�os �avo tik 9,6 auksinio.sar�ybinis al�os �avo tik 9,6 auksinio. al�os �avo tik 9,6 auksinio.
–Kaip�itaip?–susijaudinojis.–�eipraėjusįmėnesįmanoal�apadidėjo20%,odabarsumažėjo20%,taiarjineturėjobūtitokiakaipanks�iau?
–Visiškai ne. – paaiškino protin�asis žynys. – Padidinus al�ą,�avai 12 auksinių, o 20 % nuo 12 auksinių yra 2,4 auksinio. Tiekkitąmėnesį turėjosumažėti tavoal�a, t.y. turėjai�auti12–2,4==9,6auksinio.
Apsau�ininkainusiminė,betpasitaręsumanėper�udrautikaralių.Kitądienąjiesako:
–�ūsųdidenybe!Buvoteteisus,kaipasiūlėtemumsal�ąišpradžių padidinti 20 %, paskui sumažinti 20 %. Gal �alėtumėte kitąmėnesįmumsal�ą20%sumažinti,ovėliau20%padidinti?
–Na,–pasakėkaralius,–jūsųprašymaslo�iškas.Tebūnietaip,kaipnorite.
Tarkime,kadsar�ybinio al�a yra 10 auksinių. Apskai�iuokime,sar�ybinio al�a yra 10 auksinių. Apskai�iuokime,al�ayra10auksinių.Apskai�iuokime,kiekal�osjisdabar�aus.
Pirmąmėnesį:10·0,8=8(auksiniai). Kai alga buvo sumažinta 20 %, arba 0,2, jos liko 0,8.
Antrą mėnesį:Antrąmėnesį:8·1,2=9,6(auksinio). padidinta 20 %, arba 0,2, alga sudarė 1,2 pirmo mėnesio algos.
Abuveiksmuspato�usujun�tiirsprendimąužrašytitaip: 10·0,8·1,2=9,6.
Kaipmanote,kaskąper�udravo?Paaiškinkite,kodėlsar�ybiniaisuklydo.
Ardydįišpradžiųpadidinę,opaskuisumažinętiekpatprocentųarbaatvirkš�iai,�ausimepradinįdydį?Kaipmanote,kodėl?
Pasimokykitedydžiusdidintiarbamažintinurodytąskai�iųprocentų.
Netrukus
išmoksime dydį padidinti
arba sumažinti nurodytą skai
čių procentų.
P r o c e n t ų t a i k y m a s
savo
tadakate?
77
2 s k y r i u st a r P u s a v y j e s u s i j ę D y D ž i a i 3 s k y r i u sP r o c e n t a i
❶Apskai�iuokite: a)110%skai�iaus200;b)310%skai�iaus45; c)220%skai�iaus80; d)120%skai�iaus15; e)125%skai�iaus60; f) 225%skai�iaus12; �)150%skai�iaus1; h)520%skai�iaus0,5. Pavyzdys. Apskai�iuokime130%skai�iaus64. 130%atitinka1,3,todėl64·1,3=83,2.
❷ Kokįskai�ių�ausime,skai�ių20padidinę: a)20%; b)25%; c)50%; d)100%? Pavyzdys. Skai�ių20padidinkime10%.
I būdas100%+10%=110%;110%atitinka1,1;20·1,1=22.
❸ Kokįskai�ių�ausime,skai�ių80sumažinę: a)10%; b)20%; c)25%; d)50%? Pavyzdys. Skai�ių80sumažinkime5%.
I būdas 100%–5%=95%; 95%atitinka0,95; 80·0,95=76.
❹Darbdavyspažadėjodarbuotojamsatly�inimąpadidinti1,2%.Kiektadauždirbsdarbuotojas,kurioal�adabaryra1850Lt?
❺Mokyklosmokiniųskai�iussumažėjo26%.Kiekmokiniųdabarmokosimokykloje,jeiišpradžiųjųbuvo450?
❻Metųpradžiojemiestebuvo78000�yventojų.Permetusjųskai�iuspadidėjo5%.Kiek�yventojųdabar�yvenamieste?
❼Džiovinamažolėnetenka28%savomasės.Kiektonųšieno�autaiš144tžolės?
❽ Kokįskai�ių�ausime: a)skai�ių100padidinę20%,paskui–dar20%; b)skai�ių120sumažinę20%,paskui–40%; c) skai�ių80padidinę20%,paskui–dar50%; d)skai�ių56padidinę30%,paskui–15%?
Užduotys
II būdas10%atitinka0,1;20·0,1=2;20+2=22.
II būdas5%atitinka0,05;80·0,05=4;80–4=76.
❾Donatasuž500Ltįsi�ijonaująspausdintuvą.Kasmetjisnusidėvi5%(prarandavertę).Kokiabusspausdintuvovertėtre�iųjųmetųpabai�oje?
❿ Kątikišsiritusiopaukšteliomasė28�.Kiekvienądienąjispriau�a10%savomasės.Kokiabuspaukšteliomasėpodviejųdienų?
⓫ Kokįskai�ių�ausime: a)68sumažinę25%,vėliaupadidinę15%; b)8padidinę75%,paskuisumažinę10%?
⓬ Karštąvasarosdienąledųbuvoparduota50%dau�iau,oramsatvėsus–20%mažiaune�uįprastai.Kiekdabarparduodamaledų,jeiišpradžiųjųketintaparduoti:
a)700k�; b)0,5t; c)nk�?
⓭ Žieminiųbatųporakainuoja240Lt.Rudenįjųkainabuvopadidinta15%,opavasarįsumažinta25%.Kiekbataikainavopavasarį?
⓮ Šeimosmėnesiopajamossudarė4200Lt.Kaitėtis�avo�eriauapmokamądarbą,šeimospajamospadidėjo10%,bet,sumažėjusmamosatly�inimui,jossumažėjo5%.Kokiosdabaryrašeimosmėnesiopajamos?
⓯ Kvadratokraštinėsil�is4cm. a)Kiekprocentųpadidėskvadratoperimet
ras,kraštinępail�inus25%? b)Kiekprocentųsumažėskvadratoperimet
ras,kraštinęsutrumpinus25%? c)Kiekprocentųsumažės(padidės)kvadrato
perimetras,kraštinęišpradžiųsutrumpinus25%,paskuipail�inus25%?
⓰ Koksyrapradinisskai�ius,jei: a)padidintas10%,jisly�us33; b)sumažintas85%,jisly�us150?
⓱ Kokįskai�ių�ausime: a)apadidinę20%irdar20%; b)bsumažinę10%irdar10%; c)csumažinę30%,paskuipadidinę20%?
78
Procentai ir lygtysPrisiminkime,kaipapskai�iuojamevisumosdalį,kaižinomevi
sumąirdalįatitinkan�iusprocentus.
procentų skaičius
↓ ·
100= .
↑ ↑ �isuma �isumos dalis
Šia schema pato�u remtis sprendžiant net trijų tipų procentųuždavinius:
·100
=? · ?100= ?·
100= .
ieškome visu ieškome pro ieškome mos dalies. centų skaičiausskaičiaus. visumos.
Kamly�u30%skai�iaus120?
Sprendimas30%atitinka0,3;120·0,3 =?; ?=36.Atsakymas. 36.Išna�rinėkiteiraptarkiteporąsudėtin�esniųprocentųuždavinių
sprendimopavyzdžių.
1 pavyzdys60cmil�iojuostelėpadalytaįdvidalis.Trumpesnėsdaliesil�is
sudaro50%il�esniosiosil�io.Koksyrakiekvienosdaliesil�is?Sprendimas. Tarkime,juostelėsil�esnėsdaliesil�isyrax cm.Tada
trumpesniosiosil�isyra0,5x cm.x+0,5x =60, 1,5x=60, x =40. 0,5x=0,5·40=20.Atsakymas. 40cmir20cm.
2 pavyzdysStalasirkėdėkainuoja156Lt.Stalasyra60%bran�esnisužkėdę.
Kiekkainuojastalasirkiek–kėdė?Sprendimas. Tarkime, kad kėdė kainuoja x Lt. Tada stalo kaina
yra1,6x Lt.x +1,6x=156, 2,6x=156, x =60. 1,6x=1,6·60=96.Atsakymas. Kėdėkainuoja60Lt,stalas–96Lt.
Pasimokykitespręstiprocentųuždavinius,sudarydamily�tis.
Netrukus
išmoksime spręsti nesu
dėtingus procentų užda
vinius, sudarydami lygtis.
7
Kiekprocentųskai�iaus120sudaroskai�ius36?Sprendimas120· ?
100=36;
?=30%.
Atsakymas.30%.
Kurioskai�iaus30%ly�uskai�iui36?
Sprendimas30%atitinka0,3;? ·0,3 =36;
?=120.Atsakymas. 120.
79
3 s k y r i u sP r o c e n t a i
❶ Raskitenežinomąskai�ių,kai: a)20%skai�iausa ly�u15; b)25%skai�iausb ly�u39; c)75%skai�iausc ly�u150; d)0,5%skai�iausd ly�u10. Pavyzdys.18%skai�iausa ly�u36.Raskime
skai�iųa. Procentusišreikškimetrupmena0,18,sudary
kimely�tįirjąišspręskime: 0,18a=36,| :0,18 a =200.
❷Apskai�iuokite: a)13%skai�iaus56; b)kurioskai�iaus18%ly�u81; c) kiekprocentųskai�iaus5sudaroskai�ius3; d)kiekprocentųskai�iaus3sudaroskai�ius6. Pavyzdys. Apskai�iuokime,kiekprocentų
skai�iaus435sudaroskai�ius52,2. 435· x
100 =52,2,| ·100 435x=5220,| :435 x =12(%).
❸ Fotoaparatassu40%nuolaidakainuoja320,4Lt.Kiekkainuojašisfotoaparatasbenuolaidos?
❹ 20%pabran�ęstransportobilietaskainuoja1,32Lt.Kiekšisbilietaskainavopriešpabran�imą?
❺ Re�inauž187,6Ltnusipirkobatussu33%nuolaida.Kiekanks�iaukainavošiebatai?
❻ 36asklypaspadalytasįdvidalistaip,kadvienosjųplotassudaro80%kitosploto.Apskai�iuokitekiekvienossklypodaliesplotą.
❼ 15cmil�ioatkarpapadalytaįdvidalistaip,kadvienajųyra50%il�esnėužkitą.Apskai�iuokitekiekvienosdaliesil�į.
❽ 12 cm il�io atkarpa padalyta į dvi dalis taip,kad viena jų yra 40 % trumpesnė už kitą.Remdamiesibrėžiniu,sudarykitely�tįirjąspręsdamiapskai�iuokitekiekvienosdaliesil�į.
❾Dviejoseaštuntoseklasėsemokosi37moki
niai.8aklasėsmokiniųskai�iussudaro85%8bklasėsmokiniųskai�iaus.Kiekmokiniųmokosikiekvienojeklasėje?
❿ 30,6mil�iovirvėpadalytaįdvidalistaip,kadvienadalisyra20%trumpesnėužkitą.Apskai�iuokitekiekvienosdaliesil�į.
⓫ 30,6mil�iovirvėpadalytaįdvidalistaip,kadvienadalisyra40%il�esnėužkitą.Apskai�iuokitekiekvienosdaliesil�į.
⓬ Skai�iųpadidinus10vienetų,paskui10%,�autasskai�ius77.Koksbuvopradinisskai�ius?
⓭Vienasiš�retutiniųkampųsudaro125%kitokampo.Kokiodydžioyrašiekampai?
⓮Vienasiš�retutiniųkampųyra20%mažesnisužkitą.Apskai�iuokitekiekvienokampodidumą.
⓯ Trijųtei�iamųjųskai�iųsumaly�i16,8.Antrasisskai�iusly�us60%pirmojo,otre�iasisyra20%didesnisužpirmąjį.Raskitetuosskai�ius.
⓰ Trijųtei�iamųjųskai�iųsumaly�i7,4.Antrasisskai�iusyra60%mažesnisužpirmąjį,otre�iasissudaro20%antrojoskai�iaus.Raskitetuosskai�ius.
⓱ Kairytąišaikštelėsišvažiavo50%stovėjusiųautomobilių,paskui50%likusiųjų,aikštelėjeliko9automobiliai.Kiekautomobiliųrytąbuvoaikštelėje?
Užduotys
x
80
Pakartokime
80
Kurioskai�iaus30%ly�uskai�iui36?30%atitinka0,3;? ·0,3 =36; ?=120.Atsakymas.120.
pavyzdžiui, 12 % skaičiaus 15 apskaičiuojame taip:15 : 100 · 12 = 1,8 arba 12 % atitinka 0,12, todėl 15 · 0,12 = 1,8.
Skaičių, kurio 15 % lygu 8,4, randame taip: 8,4 : 0,15 = 56.
apskaičiuokime, kiek procentų skaičiaus 25 sudaro skaičius 12:1225 · 100 % = 48 %.
prekė, kainavusi 300 Lt, parduodama su 30 % nuolaida. apskaičiuokime dabartinę prekės kainą:300 · 0,3 = 90 (Lt); 300 – 90 = 210 (Lt);arba 100 % – 30 % = 70 %; 300 · 0,7 = 210 (Lt).
125�–100% x �–36% x�–100%300�–60%400�–100%80�–x%
Kiekprocentųskai�iaus120sudaroskai�ius36?120· ?
100=36;
?=30%.Atsakymas.30%.
1 Procentai ir trupmenos
Paprastoji trupmena
Dešimtainė trupmena 0,01 0,25 0,5 0,75 0,2 0,4 0,6 0,8 0,1 0,05 1atitinkami procentai 1% 25% 50% 75% 20% 40% 60% 80% 10% 5% 100%
2 Procentai ir proporcijos
⇒ 125x = 10036 ⇒ x = 100
125 36$ = 45(�)
⇒ 300x = 60
100 ⇒ x = 60300 100$ = 500(�)
⇒ 80400 = 100x ⇒ x= 400
80 100$ = 20 (%)=20(%)%)
3 ieškome skaičiaus procentų
pprocentųskai�iausarandametaip: a :100·p,arbaa · 100
p .
4 ieškome skaičiaus, kai žinome jo dalį procentais Norintrastivisąskai�ių,kaiyražinoma,
kadjop%ly�uskai�iuib,reikiaskai�iųbpadalytiišprocentų,užrašytųtrupmena:b : 100
p .
5 ieškome procentinio santykio
Dydžiųa irb (b≠0)procentiniusantykiu vadinametųdydžiųdalmenį,išreikštąprocentais(padau�intąiš100%): b
a ·100%.
6 Procentų taikymas
Nuolaida–tainuokainosnuleidžiamasuma.Prekybojejidažnaireiškiamaprocentais.
7 Procentai ir lygtys
Kamly�u30%skai�iaus120?
120·0,3=?; ? =36. Atsakymas. 36.
1001
41
21
43
51
52
53
54
101
201
11
81
v e i k s m a i i r j ų s a v y b ė s 1 s k y r i u s
81
P r o c e n t a i 3 s k y r i u s
❽ Kiekprocentų: a)parossudaro6h; b)ištiestiniokamposudaro45°kampas; c)metrosudaro13cm; d)300Ltsumossudaro72Lt?
❾ Kny�ojeyra280puslapių.Ilonaperskaitė35%visoskny�os.Kiekpuslapiųjailikoperskaityti?
❿ Sta�iakampioil�is80cm,oplotissudaro45%il�io.Apskai�iuokitesta�iakampioperimetrąirplotą.
⓫ Mokyklosmatematikųolimpiadojedalyvavo120mokinių.10%visųdalyvių�avoteisęatstovautimokyklairajonoolimpiadoje,o50%jųužėmėprizinesvietas.Kiekmokiniųdalyvavorajonoolimpiadojeirkiekišjųtapoprizininkais?
⓬ Bai�iantissezonui,1k�braškiųkainapadidėjonuo3Ltiki4,5Lt.Kiekprocentųpakilobraškiųkaina?
⓭ 800°prabosauksokarūnojeyra320��rynoaukso.Apskai�iuokitekarūnosmasę.
⓮ Su10%nuolaidatelevizoriusbuvoparduotasuž720Lt.Kokiayrašiotelevizoriauskainabenuolaidos?
⓯ Per�yvenvietęeina3,2kmil�iokelias.Mokiniai2kmjoapsodinomedžiais.Kiekprocentųkeliolikoneapsodinta?
⓰ Bai�iantisžiemai,kalnųslidėsbuvonukainotosdukartus:pirmąkartą–15%,antrąkartą–10%.Kiekdabartektųmokėtiužslides,kuriosžiemospradžiojekainavo850Lt?
⓱ Verdamamėsanetenka35%savomasės.Kiekmėsosreikiapirkti,kadišvirtosjosbūtų650�?
⓲ Į300�20%druskostirpaloįpilta100�10%druskostirpalo.Kokiayra�autotirpalokoncentracija?
Kartojimo užduotys
Vasara 55 %
Pavasaris 30 %
Žiema 10 %
Ruduo 5 %
❶ Apskai�iuokite: a)20%skai�iaus55; b)65%skai�iaus12; c)44%skai�iaus180; d)18%skai�iaus125.
❷ Nustatykite,kokioskai�iaus: a)25%ly�u14; b)8%ly�u36; c)5%ly�u105; d)80%ly�u120.
❸ Procentusišreikškitepaprastąjatrupmena(nepamirškitejossuprastinti):
a)32%; b)45%; c)64%; d)35%.
❹ Kiekprocentųatitinkašieskai�iai: a)0,67; b)0,03; c)1,4; d)0,007?
❺ 80tiesaštuntųklasiųmokiniųbuvoklausiama,koksmetųlaikasjiemslabiausiaipatinka.Apklausosduomenyspavaizduotiskritulinedia�rama.Kiekmokiniųmė�stakiekvienąmetųlaiką?
❻ Išspręskitesudarydamiproporciją. a)Pupelėseyra23%baltymų.Kiek�ramų
baltymųturi200�pupelių? b)30kny�ųsudaro15%visųRimantėsturi
mųkny�ų.Kiekkny�ųyraRimantėsbibliotekoje?
❼ Mokyklojemokosi800mokinių. a)Kiekišjųyrakairiarankių,jei�uyra
žinoma,kadjiesudaro5%visųmokinių? b)Kiekprocentųmokyklosmokiniųsudaro
mer�aitės,jei�uyražinoma,kadmokyklojemokosi480mer�ai�ių?
c)Kiekmokiniųyramieste,jei�uyražinoma,kadminėtosmokyklosmokiniaisudaro4%visųmiestomokinių?
d)45%mokiniųsportobūreliuslankosavomokykloje.Kiekmokiniųšiųbūreliųnelanko?
Serijos „Šok“ vadovėlio „Matematika“ komplektą VIII klasei sudaro:. Vadovėlis. Pirmoji knyga. Antroji knyga . Pratybų sąsiuviniai. Pirmasis sąsiuvinis. Antrasis sąsiuvinis . Mokytojo knyga . Uždavinynas
www.sokvadoveliai.lt
Apsilankyk www.knyguklubas.lt • Rasi naujausių knygų• Sužinosi, ką skaito tavo bendraamžiai• Dalyvausi diskusijose
8Matematika
8