1 IV.PARCIJALNE JEDNAINE PRVOG REDA (1) LINEARNEHOMOGENEPARCIJALNEJEDNAINE.OSNOVNETEOREME.OPTE REENJE. -Parcijalna diferencijalna jednaina prvog reda je jednaina oblika: F_x1, ., xn, u,0u0x1, .,0u0xn] = gde je u nepoznata f-ja nezavisno promenljivih x1, ., xn.-F-ja u = u(x1, ., xn) naziva se reenje jednaine na datoj oblasti D ako je identiki zadovoljava na toj oblasti, tj. ako je za (x1, ., xn) e : F _x1, ., xn, u(x1, ., xn),ouox1(x1, ., xn), .,ouoxn(x1, ., xn)_ = u -Linearna homogena parcijalna jedn. prvog reda je jedn. oblika: P1(x1, ., xn),0u0x1++Pn(x1, ., xn)0u0xn= -Kodlinearnihjednaina,primeujemodajeu = Creenje.Dabismodolidodrugih,neoiglednih reenja, ovoj jednaini pridruujemo sistem dif.jedn. u simetrinom obliku: Jx1P1(x1, ., xn)= =JxnPn(x1, ., xn) -Teorema:F-ja(x1, ., xn),neprekidnodiferencijabilnairazliitaodkonstantenaoblasti,je reenje jednaine akko je (x1, ., xn) = C prvi integral pridruenog sistema. -Dokaz: Kako je Pn(x1, ., xn) = u, sistem se moe zapisati: JxJxn=P(x1, ., xn)Pn(x1, ., xn), i = 1, ., n -1 Pretpostavimodaje(x1, ., xn) = Cprviintegralsistema.Naosnovuteoremeopotrebnomi dovoljnom uslovu za prvi integral sistema, je za (x1, ., xn) e : ooxn+P1Pnoox1++Pn-1Pnooxn-1= u = P1oox1++Pnooxn= u odakle se vidi da je f-ja zadovoljava jednainu. -Teorema:Nekasu1= C1, ., k= CkprviintegralisistemainekajeFproizvoljnaneprekidno diferencijabilna f-ja k promenljivih. Tada je f-ja u = F(1, ., k) reenje polazne jednaine. -Dokaz: Na osnovu pravila diferenciranja sloenih f-ja je: ouox1=oFo1o1ox1++oFokokox1.ouoxn=oFo1o1oxn++oFokokoxn 2 odakle sledi da je: P1ouox1++Pnouoxn= P1_oFo1o1ox1++oFokokox1] ++Pn_oFo1o1oxn++oFokokoxn]=oFo1_P1o1ox1++Pnokoxn] ++oFok_P1o1ox1++Pnokoxn] Kako su 1= C1, ., k= Ck prvi integrali sistema, na osnovu predhodne teoreme je: P1oox1++Pnooxn= u = P1ouox1++Pnouoxn= u -Nekasu1(x1, ., xn) = C1, ., n-1(x1, ., xn) = Cn-1nezavisniprviintegalisistema,inekajeF proizvoljnanep.dif.f-jan - 1promenljivih.Tadasefamilijaf-ja:u = F(1, ., n-1)nazivaopte reenje linearne homogene jednaine. -Postupak za nalaenje opteg reenja: (1) linearnoj parcijalnoj jednaini se pridrui sistem (2) odreuje se n -1 nezavisnih prvih integrala sistema: 1= C1, ., n-1= Cn-1 (3) opte reenje je u = F(1, ., n-1), gde je F nep.dif. f-ja. (2) PROBLEM S POETNIM USLOVOM ZA LINEARNU HOMOGENU JEDNAINU.-Neka je data linearna homogena parcijalna jednaina: P1(x1, ., xn)ouox1++Pn(x1, ., xn)ouoxn= u neka su f-je P1, ., Pn nep.dif. na , i neka je npr. Pn(x1, ., xn) = u za (x1, ., xn) e . Pretpostavimo da (x10, ., xn0) e . Koijev problem za ovu jednainu je sledei: nai ono reenje koja zaxn= xn0 zadovoljava uslov: u(x1, ., xn-1, xn0) = (x1, ., xn-1), gde je data nep.dif. f-ja. -Pokaimo da pod navedenim pretpostavkama Koijev problem ima reenja. Na osnovu njih sistem: Jx1P1(x1, ., xn)= =JxnPn(x1, ., xn) iman -1nezavisnihprvihintegraladefinisanihuokolinitake(x10, ., xn0).Nekasu: 1(x1, ., xn) = C1, ., n-1(x1, ., xn) = Cn-1 nezavisni prvi integrali. Za xn= xn0 dobijamo sistem: 1(x1, ., xn-1, xn0) = C1.n-1(x1, ., xn-1, xn0) = Cn-1.Neka je:x1= z1(C1, ., Cn-1).xn-1= zn-1(C1, ., Cn-1) reenje sistema (zbog nezavisnosti prvih integrala reenje postoji). Razmotrimo sloenu f-ju: u = |z1(1(x1, ., xn), ., n-1(x1, ., xn)), ., zn-1(1(x1, ., xn), ., n-1(x1, ., xn))] to predstavlja reenje polazne jednaine. Osim toga, za xn= xn0 je: u(x1, ., xn-1, xn0) = (x1, ., xn-1) pa je sa ovim izrazom zaista dato reenje postavljenog Koijevog problema. 3 (3) KVAZILINEARNEPARCIJALNEJEDNAINE.SVOENJENAHOMOGENU JEDNAINU.-Neka je data kvazilinearna homogena parcijalna jednaina: P1(x1, ., xn),0u0x1++Pn(x1, ., xn)0u0xn= Pn+1(x1, ., xn, u) gde su: P1, .Pn+1 definisane i nep.dif. na n +1 dimenzionoj oblasti i neka je npr. Pn(x1, ., xn) = u za (x1, ., xn) e . Reenje traimo u implicitnom obliku: :(x1, ., xn, u) = u, gde je : nep.dif. f-ja na D i pritom je u= u. -Teorema:Nekajef-ja: = :(x1, ., xn, u)nep.dif.naD,inekaje u= u.Tadajetaf-jareenje pridruene linearne jednaine: P1(x1, ., xn, u)o:ox1++Pn(x1, ., xn, u)o:oxn+Pn+1(x1, ., xn, u)o:ou= u akko je f-ja u(x1, ., xn), implicitno zadata sa :(x1, ., xn, u), reenje poetne jednaine. -Dokaz: Imamo da je f-ja u(x1, ., xn), implicitno zadata sa :(x1, ., xn, u). Sledi: o:ox+o:ououox= u =ouox= -o:oxo:ou Pretpostavimo da je : = :(x1, ., xn, u) reenje pridruene linearne jednaine, tj da je: P1o:ox1++Pno:oxn+Pn+1o:ou= u: _-o:ou] P1_-o:ox1o:ou_++Pn_-o:oxno:ou_-Pn+1= u = P1ouox1++Pnouoxn= Pn+1 to znai da f-ja u zadovoljava jednainu. -Neka je : = F(1, ., n) opte reenje pridruene linearne jednaine, gde su: 1(x1, ., xn, u) = C1, ., n(x1, ., xn, u) = Cn nezavisni prvi integrali pridruenog sistema: Jx1P1= =JxnPn=JuPn+1 Tada je sa:F(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u)) = u implicitno zadato opte reenje kvazilinearne jednaine. -Postupak za nalaenje opteg reenja: (1) kvazilinearnoj parcijalnoj jednaini se pridrui sistem (2) odreuje se n nezavisnih prvih integrala sistema: 1= C1, ., n= Cn (3) opte reenje je u = F(1, ., n), gde je F nep.dif. f-ja. 4 (4) PROBLEM SA POETNIM USLOVOM ZA KVAZILINEARNU JEDNAINU. -Neka je data kvazilinearna homogena parcijalna jednaina: P1(x1, ., xn),ouox1++Pn(x1, ., xn)ouoxn= Pn+1(x1, ., xn, u) neka su P1, .Pn+1 definisane i nep.dif. na oblasti , i neka je npr. Pn(x1, ., xn) = u za (x1, ., xn) e. Koijev problem za ovu jednainu je sledei: nai reenje koje za xn= xn0 zadovoljava uslov: u(x1, ., xn-1, xn0) = (x1, ., xn-1) gdejedatanep.dif.f-jaipritomovajuslovvaizasvex1, ., xn-1takveda (x1, ., xn-1, xn0(x1, ., xn-1)) e . -Pokaimo da pod navedenim pretpostavkama Koijev problem ima reenja. Na osnovu njih sistem: Jx1P1(x1, ., xn, u)= =JxnPn(x1, ., xn, u)=JuPn+1(x1, ., xn, u) ima u okolini take (x10, ., xn0) n nezavisnih prvih integrala: 1(x1, ., xn) = C1, ., n(x1, ., xn) =Cn. Za xn= xn0 dobijamo sistem: 1(x1, ., xn-1, xn0, u) = C1.n(x1, ., xn-1, xn0, u) = Cn Neka je: x1= z1(C1, ., Cn).xn-1= zn-1(C1, ., Cn)u = zn(C1, ., Cn) reenjesistema(zbognezavisnostiprvihintegralareenjepostoji).Razmotrimof-juuimplicitno definisanu sa(-): zn(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u)) == |z1(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u)), ., zn-1(1(x1, ., xn, u), ., n(x1, ., xn, u))] Dalje,imamodaje:: = zn(1, ., n) -(z1(1, ., n), ., zn-1(1, ., n))reenjepridruene linearnejednaine,pa,podpretpostavkomdajeuokolinitake(x10, ., xn0, u0) ddu= u,sledidaje : = u, tj. sa (-) je dato reenje postavljenog Koijevog problema. 5 V.ELEMENTI TEORIJE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE (1) ELEMENTARNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. -Neka je dat skup c C. Ako je zadato pravilo kojim se svakom z e dodeljuje odreeni kompleksan broj w, kaemo da je na D zadata kompleksna funkcija kompleksne promenljive i piemo: w = (z). -Potojesvakikompleksnibrojodreenparomrealnihbrojeva(realnimiimaginarnimdelom), zadavanje funkcionalne veze izmeu w = u +i: i z = x +iy je ekvivalentno zadavanju dve realne f-je u i : od dve realne promenljive x i y. Dakle: w = u(x, y) -i:(x, y). -Neka jeF skup vrednosti f-je w = (z) kada z prolazi skupom . F-ja uspostavlja korespodenciju izmeutaakaskupaFtakotosvakojtakiz e dodeljujetakuw = (z) e .Samimtim uspostavljenajeiinverznakorespodencija,kojatakamaskupaFdodeljujetakeskupa.Dakle, inverzna korespodencija predstavlja: -1(w) = {z e | (z) = w ] -U optem sluaju inverzna korespodencija moe jednoj taki skupa F dodeljivati vie taaka skuipa D- Tada kaemo da je -1(w) vieznana inverzna korespodencija. -Elementarne f-je kompleksne promenljive: (1) Polinom stepena n: w = P(z) definie se sa: P(z) = o0zn+o1zn-1++on-1z +on (2) Racionalna f-ja: w = R(z) definie se sa: R(z) =P(z)(z), gde su P i stepena n i m. (3) Eksponencijalna f-ja: w = cz definie se sa: cz= cx+= cx(cos y +i siny). Vai: cz1cz2= cz1+z2 icz1cz2= cz1-z2 (4) Trigonometrijske f-je: w = sin ziw = cos z definiu se sa: sin z =cz-c-z2i; cos z =cz+c-z2 Vai i: sin2z +cos2z = 1; sin (-z) = -sin z ;sin ( z1_z2) = sinz1cos z2_cos z1sinz2; cos ( z1_z2) = cos z1cos z2+sinz1sinz2; cz= cos z +i sinz (5)Inverznaf-jaf-jez = wnoznaavasezninazivasen-tikoren.Kakojep = |z|, = aig z tada: w = zn= |z|n_cos _aig z +2knn] +i sin_aig z +2knn]] , k = 1, .n -1 6 Ova f-ja je vieznana. Sledee jednoznane f-je se nazivaju grane vieznane f-jezn: wk= |z|n_cos _aig z +2knn] +i sin_aig z +2knn]] , k = 1, .n -1 (6)Inverznaf-jaeksponencijalnef-jez = cwnazivaselogaritamskaf-jaioznaavasaLnz. Ukoliko u jednainu z = cw stavimo: z = |z|c arg z, w = u +i:: |z|c arg z= cu+= cuc; za z = u=cu= |z|, : = aig z +2kn = u = ln|z| , : = Aig|z| Prema tome, imamo da je w = Lnz = ln|z| +i Aig z (f-ja Lnz je takoe vieznana). (7) Opta stepena f-ja w = zu, gde a moe biti kompleksan broj, definie se sa: zu= cu Lnz. (8) Opta eksponencijalna f-ja w = oz, ako je a kompleksan broj = u,1, c, definie se: oz= c (2) GRANINE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE.-Nekajef-jaw = (z)definisananaskupuinekajez0datataka.Pretpostavimodausvakoj okolini take z0 postoji bar jedna taka iz D razliita od samog z0. -Brojw0jegraninavrednostf-je(z)utakiz0akkozasvakoe > upostoji o(e) > u,takodaza svako z e :|z -z0| < o(e)= |(z) -w0| < e. Za graninu vrednost se koristi oznaka: limz-z0 (z) =w0 =lim(x,)-(x0,0)u(x, y) = u0lim(x,)-(x0,0):(x, y) = :0 -Geometrijska interpretacija: za svaku e okolinu take w0 moe se nai o okolina take z0 tako da se sve take iz o okoline u kojima je definisana preslikavaju u datu e okolinu. -Broj w0 je granina vrednost f-je (z) u taki z0 akko za svaki niz (zn) taaka iz koji konvergira ka z0 odgovarajui niz vrednosti f-je ((zn)) konvergira ka w0. Iz ovoga, i gornjih tvrdnji izvodi se: limz-z0 (z) = lim(x,)-(x0,0)u(x, y) +i lim(x,)-(x0,0):(x, y) -F-ja (z) je neprekidna u taki ze D akko je: limz-z0 (z) =(z0) -Zarazlikuodgraninevrednost,neprekidnostsedefiniesamoutakamaskupa.Akojef-ja neprekidna u svim takama skupa kae se da je ona neprekidna na . -Teorema: F-ja (z) = (x +iy) = u(x, y) +i:(x, y) je neprekidna u taki z0 akko su f-je u(x, y) i :(x, y) neprekidne u taki (x0, y0). -Teorema: Ako su 1 i 2 neprekidne f-je, onda su: 1_ 2; 1 2; 12 takoe neprekidne f-je. 7 (3) IZVODFUNKCIJEKOMPLEKSNEPROMENLJIVE.KOIRIMANOVIUSLOVI.POJAM ANALITIKE FUNKCIJE.-F-ja (z) je diferencijabilna u taki z0 akko postoji konana gran. vrednost kolinika kad Az -u: (z0+Az) - (z0)Az -Ako je f-ja diferencijabilna u taki z0 tada se odgovarajui limes naziva izvod f-je (z) u taki z0: i(z0) = limAz-0(z0+Az) -(z0)Az -Ako postoji neka e okolina take z0 takva da je (z) diferencijabilna u svakoj taki te okoline, kaemo da je (z) analitika f-ja u z0. Ako je (z) diferencijabilna u svakoj taki oblasti , kaemo da je (z) analitika f-ja na . -Teorema: Ako su (z) i g(z) analitike f-je na oblasti D, onda vae pravila diferenciranja: (1)((z) _g(z))i= i(z) _gi(z) (2)(c(z))i= ci(z) (S)((z)g(z))i= i(z)g(z) +(z)gi(z) (4)_(z)g(z)_i=i(z)g(z) -(z)gi(z)(g(z))2 (S)(g(z))i= gi(g(z))gzi(z) (6) ((z))i=1(-1(w))i;ako je -1 jeunoznacna f -ja. -Teorema(neophodniuslovidiferencijabilnosti):Akoje(z) = u(x, y) +i:(x, y)diferencijabilnau taki z0= x0+iy0, tada postoje parcijalni izvodi: ouox(x0, y0),ouoy(x0, y0),o:ox(x0, y0),o:oy(x0, y0) i pri tome vae tzv. Koi-Rimanovi uslovi: 0u0x(x, y) =0u0y(x, y)i0u0y(x, y) = -0u0x(x, y) -Dokaz: Neka je Az = Ax + iAy: i(z0) = limAz-0(z0+Az) -(z0)Az =limAx+A-0u(x0+Ax, y0+Ay) +i:(x0+Ax, y0+Ay) -u(x0, y0) -i:(x0, y0)Ax +iAy 8 Specijalno, za Ax = u sledi: i(z0) = limA-0_u(x0, y0+Ay) -u(x0, y0)iAy+i:(x0, y0+Ay) -:(x0, y0)iAy_=o:oy(x0, y0) -iouoy(x0, y0) -Takoe, za Ax = u imamo: i(z0) = limAx-0_u(x0+Ax, y0) -u(x0, y0)Ax+i:(x0+Ax, y0) -:(x0, y0)Ax_=ouox(x0, y0) +io:ox(x0, y0) -Izjednaavanjem realnih i imaginarnih delova ova dva izraza izvodimo Koi-Rimanove uslove. -Teorema(dovoljniuslovidiferencijabilnosti):Akosuf-jeu(x, y)i:(x, y)diferencijabilneutaki (x0, y0)iakosuutojtakiispunjeniKoi-Rimanoviuslovi,tadajefunkcija(z) = u +i: diferencijabilna u taki z0= x0+iy0. -Dokaz: Kako su u i : difrencijabilne u (x0, y0) sledi: u(x0+Ax, y0+Ay) -u(x0, y0) =ouox(x0, y0)Ax +ouoy(x0, y0)Ay +o1Ax +[1Ax :(x0+Ax, y0+Ay) -:(x0, y0) =o:ox(x0, y0)Ax +o:oy(x0, y0)Ay +o2Ax +[2Ax (z0+Az) -(z0)Az= =ouox(x0, y0)Ax +ouoy(x0, y0)Ay +o1Ax +[1AxAx +iAy+io:ox(x0, y0)Ax +o:oy(x0, y0)Ay +o2Ax +[2AxAx +iAy =ouox(x0, y0)Ax -o:ox(x0, y0)Ay +o1Ax +[1AxAx +iAy+io:ox(x0, y0)Ax +ouox(x0, y0)Ay +o2Ax +[2AxAx +iAy =ouox(x0, y0)Ax + iAyAx + iAy+io:ox(x0, y0)Ax -1iAyAx + iAy+o1Ax +[1AxAx +iAy+o2Ax +[2AxAx +iAy Poslednja dva izraza tee nuli kad Ax i Ay tee nuli, tako da se konano dobija da postoji: limAz-0(z0+Az) -(z0)Az=ouox(x0, y0) +io:ox(x0, y0) = i(z0) 9 (4) INTEGRALI FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. DEFINICIJA I SVOJSTVA.-Akosux(t)iy(t) realnef-jeneprekidnenao t btadajesa:z(t) = x(t) +iy(t)definisana neprekidnakrivaukompleksnojravnikojaspajatakez(o) = Aiz(b) = B.Akojeo = b,a z(o) = z(b), kriva je zatvorena. Kriva koja sama sama sebe ne see naziva se prosta kriva. -Akosux(t)iy(t)neprek.difer.f-jezao t b,krivasenazivaglatka.Krivakojasesastojiod konano mnogo glatkih delova naziva se deo po deo glatka kriva. Ako je C glatka kriva, tada je sa: zi(t) = xi(t) +iyi(t) datpravactangentenakrivuC utakiz(t) = x(t) +iy(t).Svakuprostu,deopodeoglatku, zatvorenu krivu nazivamo kontura. -Pretpostavimodaje(z)udefinisanausvimtakamaC. NekajekrivaCpodeljenatakama:z1= z1(t), ., zn-1=zn-1(t) na n delova i oznaimo A sa z0 i b sa zn. Na svakom odlukovakriveCkojispajatakezk-1izk,k = 1 .n, izaberimo taku zk-. Neka je: Sn= (zk-)nk=1Azk -AkopostojigraninavrednostsumeSn,kadan - imax|zk| - u,kojajenezavisnaodnaina podele krive C i izbora taaka zk-, onda se ta granina vrednost naziva integral f-je (z) du krive C: (z)JzCili (z)JzAB -Nekaje:(z) = u +i:;zk= xk+iyk;zk-= xk-+ iyk-;Axk= xk-xk-1;Ayk= yk-yk-1 =Azk= Axk+iAyk. Tada imamo da je: Sn= (u(xk-, yk-) +i:(xk-, yk-))(Axk+iAyk) =nk=1 = (u(xk-, yk-)Axk-:(xk-, yk-)Ayk) +i (:(xk-, yk-)Axk+u(xk-, yk-)Ayk)nk=1nk=1 Realni i imaginarni deo sume Sn predstavljaju integralne sume krivolinijskog integrala druge vrste: (z)JzC= uJx -:JyC+i :Jx +uJyC -Ako je data kontura C:x = x(t)y = y(t), o t b, onda je: P(x, y)Jx +(x, y)JyC= P(x(t), y(t))xi(t)Jtbu+ (x(t), y(t))yi(t)Jtbu 10 -Neposredno iz definicije integrala slede sledee osobine: (1)c(z)JzC= c (z)JzC (2)((z) _g(z))JzC= (z)JzC_ g(z)JzC (S)(z)JzAB= - (z)JzBA (4) (z)JzC1+C2= (z)JzC1+ (z)JzC2 (S)(z)JzC= (z(t))zi(t)Jtbu; C:z = z(t), o t b (5) KOIJEVA TEOREMA ZA JEDNOSTRUKO I VIESTRUKO POVEZANU OBLAST.-Pozitivan oblilazak konture: suprotno kretanju kazaljke na satu. -Pozitivan obilazak oblasti D: oblast ostaje sa leve strane. -Jednostrukopovezanaoblast:svakakonturasemoedeformisatiu taku bez naputanja oblasti . -Viestrukopovezanaoblast:ogranienaspoljasaC0,aiznutrasa C1, ., Cn. -Koijevateorema(zajednostrukopovezanuoblast):Nekajejednostrukopovezanaoblast ograniena konurom C i neka je f-ja (z) analitika na i na C. Tada je: (z)JzC+= u 11 -Posledica 1: Ako je 0 proizvoljna kontura koja pripada oblasti D: (z)Jzu+= u -Posledica 2: Ako su A i B dve proizvoljne take iz . Tada je sledei integral nezavisan od puta koji spaja take A i B (pod uslovom da putanja pripada oblasti ): (z)JzAB -Dokaz: Neka su 01 i 02 dve proste deo po deo glake krive u koje spajaju take A i B sa orjentacijom od A ka B. Neka je 1 oblast ograniena krivom 0 koja se sastoji od krivih 01 i 02. Tada je:(z)Jzu-= (z)Jzu1-+ (z)Jzu2= u gde je sa 01- oznaena orjentacija krive 01 od B ka A, pa je dalje: (z)Jzu2= - (z)Jzu1-= (z)Jzu1 -Koijeva teorema (za viestruko povezanu oblast): Neka je viestruko povezana oblast ograniena spolja konturom C0, a iznutra sa C1, ., Cn. Neka je f-ja (z) analitika na i na C0, C1, ., Cn. Tada je: (z)JzC+= u gde je C granica oblasti , koja se sastoji od kontura C0, C1, ., Cn. -Dokaz:Akosedodajuzaseci01, ., 0ndobijasejednostruko povezana oblast sa granicom C. Obziromdasezaseciobilazedvaputausuprotnimsmerovima to je: u = (z)JzC0++ (z)Jzu1++ (z)Jzu1-++ (z)Jzun++ (z)Jzun-+ + (z)JzC1-++ (z)JzCn-= (z)JzC0++ (z)JzC1-++ (z)JzCn-= (z)JzC+ -Posledica: pod uslovima ove teoreme, vai: (z)JzC0+= (z)JzC1+++ (z)JzCn+ 12 (6) NEODREENIINTEGRALFUNKCIJEKOMPLEKSNEPROMENLJIVEIOSNOVNA SVOJSTVA.-Neka je (z) analitika f-ja na jednostruko povezanoj oblasti . Neka je z0 data taka i neka je z e proizvoljno. Ako oznaimo integral du neke putanje koja pripada i spaja take z0 i z sa: (z)Jzzz0 prema posledici Koijeve teoreme, vrednost ovog integrala ne zavisi od putanje ve samo od z. Dakle, (z)Jzzz0= F(z) -Teorema: Ako je (z) analitika na jednostruko povezanoj oblasti D i ako z0e tada je f-ja: F(z) = (z)Jzzz0 analitika na oblasti i Fi(z) = (z). -Svaku f-ju sa osobinom Fi(z) = (z), z e nazivamo primitivna f-ja f-je (z). Moe se pokazati da je skup svih primitivnih f-ja date f-je (z) dat sa F(z) + c. -Skup svih primitivnih f-ja date f-je (z) nazivamo neodreeni integral f-je (z) i obeleavamo sa:(z)Jz -Osobine neodreenog integrala: (1)c(z)Jz = c (z)Jz (2)((z) _g(z))Jz = (z)Jz _g(z)Jz (S) (z)Jzz2z1= F(z) z2z1= F(z2) -F(z1) - N|utn -La|bntuva Iurmula 13 (7) KOIJEVE FORMULE ZA FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE.-Ako je poznata vrednost analitike funkcije na konturi okoz0, onda je vrednost fukcije u samoj taki z0 jednoznano odreena. -Teorema:Nekajef-ja(z)analitikanajednostrukopovezanojoblasti.Nekajez0e inekaje 0 proizvoljna kontura oko take z0 koja pripada oblasti . Tada je: (z0) =12ni(z)z -z0Jzu+ -Dokaz:Nekajeykrugradijusapokotakez0,priemujepizabranotakodasekonturaynalazi unutar 0. Posmatramo viestruko povezanu oblast i ogranienu spolja konturom 0, a iznutra sa y: Tada je f-ja ](z)z-z0 analitika na i i 0 +y, pa je , prema posledici Koijeve teoreme: (z)z -z0Jzu+= (z)z -z0Jzy+= i (z0+pcq)pcqpcqJ2n0 _z = z0+pcqu 2nJz = picqJ_ =limp-0(z)z -z0Jzu+= ilimp-0 (z0+pcq)J2n0 =(z)z -z0Jzu+= i(z0) J2n0= 2ni(z0) -Posledica: Neka je f-ja (z) analitika na jednostruko povezanoj oblasti ogranienoj konturom C i na konturi C. Tada, za proizvoljnu taku z0e vai: (z0) =12ni(z)z -z0JzC+(Prva Kust|eva Iurmula) -Teorema: Nekaje f-ja (z) analitika na jednostruko povezanoj oblasti ogranienoj konturom C i na konturi C. Tada na D postoje svi izvodi f-je (z) i za svako z0e vai: (n)(z0) =n!2ni(z)(z -z0)n+1JzC+(Druga Kust|eva Iurmula) -Ova teorema (tj. Koijeve formule) se koristi za nalaenje kompleksnih integrala. 14 (8) REZIDUUM FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE.-Neka je z = z0 izolovani singularitet f-je (z). Reziduum f-je (z) u taki z0 definie se formulom: Res|(z), z0] =12ni(z)JzC+ gde je C kontura oko z0 koja pripada oblasti u kojoj je f-ja (z) analitika i koja u svojoj unutranjosti nema drugih singulariteta sem z0. -Postupak raunanja reziduuma: (1) Ako je z otklonjiv singularitet onda je: Res|(z), z0] = u (2) Ako je z pol prvog reda Tada, po definiciji postoji ltmz-z(z -z)(z) = Definiimo funkciju 1(z): 1(z) = _(z -z0)(z);z = z0limz-z0(z -z0)(z) ;z = z0 Akojeoblastnakojojosimz0nemadrugihsingularitetaf-je(z),pokazujesedajef-ja1(z) analitika na . Stoga, prema prvoj Koijevoj formuli, vai: 1(z0) =12ni1(z)z -z0JzC+=12ni(z -z0)(z)z -z0JzC+ Poslednji izraz predstavljaRes|(z), z0], dakle sledi: Res|(z), z] = ltmz-z(z -z)(z) (3) Ako je z pol n-tog reda f-je (z) Tada, po definiciji, postoji: limz-z0(z -z0)n(z) = u Definiimo funkciju 1(z): 1(z) = _(z -z0)n(z);z = z0limz-z0(z -z0)n(z) ;z = z0 15 Akojeoblastnakojojosimz0nemadrugihsingularitetaf-je(z),pokazujesedajef-ja1(z) analitika na . Stoga, prema drugoj Koijevoj formuli, vai: 1(n-1)(z0) =(n -1)!2ni1(z)(z -z0)nJzC+=(n -1)!2ni(z -z0)n(z)(z -z0)nJzC+= (n -1)! Res|(z), z0] A, obzirom da je: 1(n-1)(z0) = limz-z0((z -z0)n(z))(n-1) Sledi da je, konano: Res|(z), z] =1(n -1)!ltmz-z((z -z)n(z))(n-1) -Teorema: Neka je jednostruko povezana oblast ograniena konturom C i neka je (z) analitika na i C, osim u singularnim takama z1, ., zke . Tada je: (z)dzC+= 2a| Res|(z), z|]k|=1 -Dokaz:Nekasuykrugoviokoztakvidayc .Tadaje(z)analitikanaviestrukopovezanoj oblasti i koja je spolja ograniena konturom C, a iznutra konturama y. Prema posledici Koijeve teoreme za viestruko povezane oblasti vai: (z)JzC+= (z)Jzy1++ (z)Jzyk= 2ni _12ni(z)Jzy1++12ni(z)Jzyk_= 2ni Res|(z), z]k=1 16 VI.LAPLASOVE TRANSFORMACIJE (1) DEFINICIJA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE I DOVOLJNI USLOVI ZA POSTOJANJE.-Neka je (t) f-ja realne promenljive. Laplasovom transformacijom L|(t)] se datoj f-ji pridruuje f-ja kompleksne promenljive F(s) po formuli: L|(t)] = F(S) = e-xt(t)dt -Napomena: c-st0(t)Jt = lim1-c-st10(t)Jt -Skup vrednosti s e C za koje c-st0(t)Jt konvergira naziva se oblast definisanosti f-je F(S). -Pretpostavimo da (t) zadovoljava sledee uslove: (1) (t) je definisana na intervalu |u,) (2) (t) ima najvie konano mnogo prekida prve vrste na svakom konanom podintervalu intervala |u,) (3) (t) je eksponencijalnog reda rasta, tj. postoji realna konstanta o i pozitivna konstanta M, da: |(t)| Hcut,vt e |u,) -Teorema (dovoljni uslovi za egzistenciju L): Neka f-ja (t) zadovoljava navedene uslove. Tada: c-st0(t)Jt konvergira za svako s za koje je Re s > o. -Dokaz: Vae teoreme o nesvojstvenim integralima (ako je u 1(x) 2(x), x o): 2(x)Jxukon:crgiro= 1(x)Jxukon:crgiro |1(x)|Jxukon:crgiro= 1(x)Jxukon:crgiro Prema drugoj teoremi dovoljno je ispitati konvergenciju integrala |c-st(t)|Jt0. Kako je: u |c-st(t)|______]1 |c-st|Hcut= |c-(u+[)t|Hcut= c-utHcut= Hc(u-u)t______]2 Prema prvoj teoremi dovoljno je ispitati konvergenciju integrala Hc(u-u)tJt0. Dakle: 17 Hc(u-u)tJt0=Ho -oc(u-u)tu=Ho -oj lim1-c(u-u)t-1[ = -Ho -o jerjelim1-c(u-u)t= uzao -o < u.Dakle,zaRe s > okonvergira Hc(u-u)tJt0odaklesledi dakonvergira|c-st(t)|Jt0aodatlesledidakonvergira c-st0(t)Jt,tj.F(S)jedefinisanaza Re s > o. -Teorema: Neka f-ja (t) zadovoljava sva tri uslova. Tada je: F(s) = c-st(t)Jt0 analitika funkcija u oblasti Re s > o. (2) LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJE (t) = eht.-Eksponencionalna f-ja (t) = eht, b = u. Imamo da je: F(S) = c-st0(t)Jt = c(b-s)t0Jt = lim1-1b -sc(b-s)tIu=1b -s[ lim1-c(b-s)1-1 Kako je: c(b-s)1= c(b-u)1c-[1= c(b-u)1(cos [I - i sin[I); gue je o = Re s; [ = Im s Sledi da je, kada uvrstimo to u gornji izraz: F(S) =1b -s[ lim1-c(b-u)1cos [I -ilim1-c(b-u)1sin[I - 1 za b -o < u; Re s > b= lim1-c(b-u)1cos [I = u;lim1-c(b-u)1sin[I = uouakle sleui ua je, za Re s > b= F(S) =1x -h (3) LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJA 1(t) = stn ht,2(t) = us ht.-Trigonometrijske f-je stnht i us ht, b = u realan broj: Kako je: sinbt =cbt-c-bt2i = F1(s) = c-st0(t)Jt = c-st0sinbt Jt=12i(c(b-s)t-c(-b-s)t)0Jt =12ilim1-_1ib -sc(b-s)t-1-ib -sc(-b-s)t] Iu=12ilim1-__1ib -sc(b-s)1-1-ib - sc(-b-s)1] -1ib -s+1-ib -s_ Kako je: 18 c(b-s)1= c-u1(cos(b -[)I +i sin(b - [)I)c(-b-s)1= c-u1(cos(b -[)I -i sin(b - [)I);gue je o = Re s; [ = Im s Sledi da za Re s > u: lim1-c(b-s)1= u;blim1-c-(b-s)1= u== F1(s) =12i_-1ib -s+1-ib - s] =F1(x) =hx2+ h2 Analogno se dokazuje i da je za Re s > u: F2(x) = c-st0cos bt Jt =xx2+h2 (4) LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJE (t) = tn.-Stepena f-ja tn, n = u,1,2, . Neka je: In= c-st0tnJt -Za n = u imamo: I0= c-st0Jt = lim1-_-1sc-st] Iu=-1slim1-(c-st-1) Kako je:c-s1= c-u1(cos [I -i sin[I); gde je o = Re s;[ = Im s, sledi da je, za Re s > u: lim1-c-s1= u Pa za Re s > u dobijamo da je: I0=1s (= L(t)) -Za n 1, primenjujui parcijalnu integraciju (tn= u;c-stJt = J:), za Re s > u dobijamo: In= c-st0tnJt = -1sc-sttnu+ns c-st0tn-1Jt = lim1-_-1sc-sttn] Iu+nsIn-1= -1slim1-(c-s1In) +nsIn-1=nsIn-1 jer je zbog: c-s1In= c-u1In(cos [I -i sin[I), za o = Re s > u ispunjeno: lim1-c-s1In= u Iz date rekurentne veze sledi da je, za Re s > u: In=nsn - 1s1sI0=n(n -1) 1snI0=n!sn+1 =F(x) =n!xn+1 19 (5) DEFINICIJAJEDININEODSKONEFUNKCIJE(t) = U(t - h).LAPLASOVA TRANSFORMACIJA FUNKCIJE (t).-Neka je b > u. Jedinina odskona f-ja se definie sa: u(t -b) = _u, t < b1, t b -Imamo da je: F(s) = c-st0u(t -b)Jt = c-stb0u(t -b)______=0Jt + c-stbu(t -b)______=1Jt= c-stbJt = lim1-_1sc-st] Iu= -1s[ lim1-(c-s1-c-sb) =1sc-sb t]:L|U(t -h)]= 1xe-xh

(6) OSOBINA LINEARNOSTI ZA LAPLASOVU TRANSFORMACIJU. DOKAZ.-Neka je 1(t) e E(o1) i 2(t) e E(o2) i neka je: L|1(t)] = F1(s) i L|2(t)] = F2(s). Tada vai: L|c11(t) + c22(t)] = c1F1(x) +c2F2(x), Re s > max{o1, o2] -Dokaz: S obzirom na definiciju Laplasove transformacije i osobinu linearnosti odreenih integrala, za Re s > max{o1, o2] vai: L|c11(t) +c22(t)] = c-st0(c11+c22)Jt = c1L(1(t)) +c2L(2(t)) = c1F1(s) +c2F2(s) (7) DOKAZATIDAZALAPLASOVUTRANSFORMACIJUVAIL{(ht)] = 1h F(xh),Re x > ah, AKO JEL{(t)] = F(x), Re x > a.-Neka (t) e E(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o. Neka je b > u. Tada je: L|(ht)] =1hF[xh , Re s > ob -Dokaz: Koristei smenu bt = x imamo: L|(bt)] = c-st0(bt)Jt =1b c-sbx0(x)Jx =1bF [sb , Re sb=Re sb> o (8) AKO JE L{(t)] = F(x), Re x > a, DOKAI DA VAI L|eht(t)| = F(x -h), Re x > a +h.-Neka (t) e E(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o. Tada je: L|eht(t)] = F(x -h),Re s > o +b; b e R 20 -Dokaz: Imamo da je: L|cbt(t)] = c-st0cbt(t)Jt = c-(s-b)t0(t)Jt = F(s - b) gde je Re (s -b) = Re s- b > o =Re s > o +b. (9) NEKA JEL{(t)] = F(x), Re x > a. TADA JE L{(t -h)U(t -h)] = e-hxF(x), Re x > a, GDE JE b > 0, AU(t - h) JE JEDININA ODSKONA FUNKCIJA.-Neka (t) e E(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o, a u(t -b) jednina odskona f-ja. Tada je: L|(t -h)U(t -h)] = e-hxF(x), Re s > o; b > u -Dokaz: S obzirom na definiciju jedinine odskone f-je, imamo: L|(t -b)u(t -b)] = c-st0(t -b)u(t -b)Jt= c-stb0(t -b) u(t -b)______=0Jt + c-stb(t -b) u(t -b)______=1Jt = c-stb(t -b)Jt odakle, koristei smenu: t - b = x, dobijamo: L|(t -b)u(t -b)] = c-s(b+x)0(x)Jx = c-bs c-sx0(x)Jx = c-bsF(s), Re s > o (10)OSOBINA IZVODA ZA LAPLASOVU TRANSFORMACIJU. -Neka (t) e E(o), i(t) e Ei(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o, L|i(t)] = 0(s), Re s > o: 0(s) = sF(s) -(u)t].L|i(t)] = xL|(t)] -(),Re s > o -Dokaz: Koristei parcijalnu integraciju (: = c-st, Ju = i(t)Jt) imamo da je, za Re s > o: L|i(t)] = c-st0i(t)Jt = c-st(t) u+s c-st0(t)Jt = lim1-c-st(t) Iu+sL|(t)]= sL|(t)] -(u) jer je to zbog |(I)| Hcu1 ispunjeno: lim1-c-s1(I) = u,Re s > o -Viestrukaprimenaovogpraviladovodidosledeegrezultata:Ako(t), i(t), ., (n)(t)pripadaju klasi E(o) tada je: L|(n)(t)] = xnL|(t)] -xn-1() -- x(n-2)() -(n-1)(), Re s > o 21 (11)OSOBINA INTEGRALA ZA LAPLASOVU TRANSFORMACIJU. -Neka (t) e E(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o. Tada je: L_(x)dxt_ =L|(t)]x=F(x)x,Re s > o -Dokaz: Dokaimo prvo da ovaj integral pripada E(o). Zaista, zbog |(x)| Hcux sledi, za o = u: _(x)Jxt0_ |(x)|Jxt0 HcuxJxt0=Ho(cut-1) H1cut Koristei parcijalnu integraciju [Ju = c-stJt;: = (x)Jxt0 imamo da je: L _(x)Jxt0_ = c-st0_(x)Jxt0_Jt = -1sc-st_(x)Jxt0_u+1s c-st0(t)Jt= -1slim1-c-st_(x)Jxt0_Iu+1sL|(t)] = -1slim1-c-s1_(x)Jx10_______________=0+L|(t)]s=L|(t)]s=F(s)s -Viestruka primena ovog pravila dovodi do sledeeg: ako je (t) e E(o) tada je: dt1t dt2t1 (tn)dtntn-1=F(x)xn,Re s > o 22 (12)DEFINICIJAKONVOLUCIJE.KOMUTATIVNOSTKONVOLUCIJE.OSOBINA KONVOLUCIJE ZA LAPLASOVU TRANSFORMACIJU.-Konvolucija f-ja 1(t) i 2(t) je f-ja g(t) definisana sa: g(t) = 1- 2= 1(x)t2(t -x)dx -Lako je proveriti da je konvolucija komutativna: 2- 1= 2(x)t01(t - x)Jx = -2(t -xi)0t1(xi)Jxi= 1(xi)2(t - xi)t0Jxi= 1- 2 -Neka je 1(t) e E(o1) i 2(t) e E(o2) i neka je: L|1(t)] = F1(s) i L|2(t)] = F2(s). Tada vai: L|1- 2] = F1(x) F2(x), Re s > max{o1, o2] -Dokaz: Pokaimo prvo da je g(t) = 1- 2e E(o), gde je o = max{o1, o2]. Zaista, zbog: |1(t)| H1cu1t; |2(t)| H2cu2t imamo da je za o1= o2: |g(t)| |1(x)2(t -x)|Jxt0 H1H2cu1xcu2(t-x)Jxt0=H1H2o1-o2cu1tcu2t2H1H2|o1-o2|cut= Hcut pajepoteoremioegzistencijiLaplasovetransformacijeg(t)definisanazaRe s > o.Promenom poretka integracije (u x < t < - slika), imamo da je: L|g(t)] = c-st0_1(x)t02(t -x)Jx_Jt = 1(x)0_ c-stx2(t -x)Jt_Jx odakle, smenom t -x = ti u unutranjem integralu dobijamo: L|g(t)] = 1(x)0_ c-s(t|+x)02(ti)Jti_Jx= c-sx1(x)0_ c-st|02(ti)Jti_Jx= _ c-sx02(x)Jx__ c-st|02(ti)Jti_= F1(s) F2(s),Re s > o 23 (13)AKO JE L{(t)] = F(x), Re x>a, DOKAZATI L{t(t)] = -F'(x), Re x > a.-Neka (t) e E(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o. Tada je: L|t(t)] = -Fi(x), Re s > o -Dokaz: Prema drugoj teoremi iz prvog pitanja f-ja: F(s) = c-st(t)Jt0 je analitika u oblasti Re s > o. Diferenciranjem dobijamo: Fi(s) =JJs c-st(t)Jt0= JJsc-st(t)Jt0= - c-stt(t)Jt0= -L|t(t)], Re s > o -Viestrukom primenog ovog pravila dolazimo do sledeeg rezultata: L|tn(t)] = (-1)nF(n)(x), Re s > o (14)DOKAZATI DA JE L{(t)t] = F(p)dpx, Re> a, AKO JE L{(t)] = F(x), Re x > a. -Neka (t) e E(o),](t)te E(o) i neka je L|(t)] = F(s),Re s > o. Tada je: 0(s) = L_(t)t_ = F(p)dpx, Re s > o -Dokaz: Diferenciranjem analitike f-je: 0(p) = c-pt(t)tJts = 0i(p) = - c-ptt(t)tJts= -F(p) Integracijom u granicama od S do s dolazimo do: 0i(p)JpsS= -F(p)JpsS =0(s) -0(S) = F(p)JpsS Prelaskom na granicu kad Re S - dobijamo: 0(S) = F(p)JpsS jer je zbog ](t)t Hcut: |0(S)| _c-pt(t)t_ Jts H c(u-Rc S)tJts=HRe S -o = limRc S-0(s) = u 24 (15)INVERZNA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA. JEDNOZNANOST.-NekajeF(s)dataf-jakompleksnepromenljive.Akopostojif-jarealnepromenljive(t)takodaje L|(t)] = F(s), f-ju (t) nazivamo inverznom Laplasovom transformacijom f-je F(x), tj: (t) = L-1|F(x)] -Teorema: Ako (t) e E(o) i g(t) e E(o) i ako je: (t) = L-1|F(s)]; g(t) = L-1|F(s)] tada ne postoji interval (c, J) duine vee od nule na kome je (t) = g(t) za svako t e (c, J). -Posledica: Ako (t) i g(t) zadovoljavaju uslove teoreme i uz to su neprekidne f-je, tada je: (t) = g(t);t > u UprakslisezaL-1|F(s)]uzimaobinoneprekidnaf-ja(t)takvadajeL|(t)] = F(s),pase inverznatransformacijamoesmatratijednoznanom.StogasetabelaLaplasovetransformacijemoe posmatrati istovremeno i kao tabela inverzne Laplasove transformacije. -Pitanjejekakonaiinverznutransformacijuf-jeF(s)kojanijeobuhvaenatabelom.Tadase, najee, ta f-ja moe transformisati u zbir ili proizvod tablinih f-ja. (16)EGZISTENCIJAINVERZNELAPLASOVETRANSFORMACIJEIMELINOVA FORMULA.-Teorema(dovoljniuslovizaegzistenciju):Nekaf-jaF(s)kompleksnepromenljives = x +iy zadovoljava sledee uslove: (1) F(s) je analitika funkcija u oblasti Re s = x > o; (2) lim|s|-F(s) = u, uniformno po aig s; (3)zasvakos > ointegral|F(s)|Jyx+x-(integralrealnef-je|F(s)|dupraveRe s = x) konvergira. Tada je f-ja F(s) za Re s > o Laplasova transformacija f-je (t), i pritom je, za t > u: (t) =12a| extF(x)dxx+|x-|, x > o -Ova formula naziva se Melinova formula i pokazuje da je vrednost navedenog integrala nezavisna od x. Tj. integracija se moe obaviti du bilo koje prave Re s = x uz uslov da je x > o. -Pod odreenim uslovima ovaj integral se moe izraunati primenom teoreme o reziduumima. -Teorema:Nekaf-jaF(s)zadovoljavauslovepredhodneteoreme.Nekaje,osimtoga,f-jaF(s) analitika za Re s o, osim u konano mnogo izolovanih singulariteta s1, ., sk.Tada je, za x > o: 12a| extF(x)dxx+|x-|= Res|extF(x), x|]k|=1 25 -Skicadokaza:PosmatramokonturuCRkojasesastojiod polukrugaradijusaRiodsekaduine 2RnapravojRe s = x. Oznaimo polukrug sa CRi. Imamo da je: cstF(s)JsCR+= cstF(s)JsCR|________poIukrug+ cstF(s)Jsx+x-__________prccnIk ZadovoljnovelikoRsvisingularitetif-jecstF(s)nalazese unutar konture CR. Stoga vai: cstF(s)JsCR+= 2ni Res|cstF(s), s]k=1 cstF(s)JsCR|+ cstF(s)Jsx+x-= 2ni Res|cstF(s), s]k=1 Pod odreenim pretpostavkama dokazuje se da je, za t > u: limR-cstF(s)JsCR|= u pa, prelaskom na graninu vrednost, kad R - dobijamo: cstF(s)Jsx+x-= 2ni Res|cstF(s), s]k=1 26 (17)NALAENJE L-1{P(x)Q(x)].-NekajeF(s) = P(s)(s)gdesuP(s)i(s)polinomikompleksnepromenljivessarealnim koeficijentima, a stepen polinom (S) je vei od stepena P(S). Pokazuje se da se kolinik P(s)(s) uvek moe razloiti na sabirke odreenog tipa. Pritom:(1) Svakom jednostrukom realnom korenu a jednaine (S) = u odgovara po jedan sabirak oblika: As -o (2) Svakom viestrukom korenu a jednaine (S) = u odgovara k sabiraka oblika: A1(s -o),A2(s -o)2, .,Ak(s -o)k; k -visestiukost koiena o (3)Svakomparujednostrukihkonjugovanokompleksnihkorenau _|jednaine(S) = u odgovara po jedan sabirak oblika: As +B(s -o)2+ [2 (4)Svakomparuviestrukihkonjugovanokompleksnihkorenau _|jednaine(S) = u odgovara k sabiraka oblika: A1s +B1(s -o)2+[2,Aks +Bk((s -o)2+[2)2, .,Aks + Bk((s -o)2+ [2)k; k -visestiukost koiena o _i[ -Konstante A, B, ., Ak, Bk mogu se odrediti metodom neodreenih koeficijenata. -NalaenjeinverznetransformacijekolinikaP(s)(s)svodise,naosnovuosobinelinearnosti Laplasove transformacije, na nalaenje inverzne transformacije kolinika oblika: As -oAn(s -o)nAs +B(s -o)2+ [2Ans +Bn((s -o)2+ [2)n -Pokaimo da se inverzna transformacija izraza ovih oblika uvek moe nai direktno iz tabele: L-1_As -o_ = AL-1_1s -o_ = Aeat L-1_An(s - o)n_ =A(n -1)!L-1_(n -1)!(s -o)n_ =A(n -1)!eattn-1 L-1_As +B(s -o)2+[2_ = L-1_A(s -o) +Ao +B(s -o)2+[2_ = L-1_A(s -o)(s -o)2+[2_ +L-1_Ao +B(s -o)2+[2_ = = AL-1_s -o(s -o)2+[2_ +Ao +B[L-1_[(s -o)2+[2_ = Aeatus t +Au +Beatstnt 27 (18)NALAENJE L-1{F(x) 6(x)] .-Neka je F(s) = F1(s) F2(s), a pritom je poznato da je: L-1|F1(s)] = 1(t); L-1|F2(s)] = 2(t) U tom sluaju je, a na osnovu osobine konvolucije: L-1|F1(s)F2(s)] = 1(t)2(t -x)Jxt0 (19)PRIMENA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA DIFERENCIJALNE JEDNAINE.-RazmatramoprimenunareavanjeKoijevogproblemazalinearnediferencijalnejedn.n-togredasa konstantnim koeficijentima. -Neka je data jednaina i Koijev problem: o0x(n)+o1x(n-1)+on-1xi+onx = (t);x(u) = x0 , xi(u) = x0i , ., x(n-1)(u) = x0(n-1) Pretpostavimo da f-ja (t) ima eksponencijalni red rasta. Moe se pokazati da tada reenje Koijevog problemax(t)takoeimaeksponencijalniredrasta.PrimenomLaplasovetransformacijenalevui desnu stranu diferencijalne jednaine dobijamo algebarsku jednainu: o0[snX(s) -sn-1x0 -- sx0(n-2)-x0(n-1) +o1[sn-1X(s) -sn-2x0 --sx0(n-3)-x0(n-2)+on-1(sX(s) -x0 ) +onX(s) = F(s) Reavanjem po X(s) dobijamo: X(s) (o0sn-o1sn-1--on-1s -on)______________________(s)= F(s) + [o0[sn-1x0 ++x0(n-1) ++on-1x0 ____________________________P(s) X(s)(s) = F(s) +P(s)=X(s) =F(s) +P(s)(s) Primenom inverzne Laplasove transformacije, konano dobijamo: x(t) = L-1|X(x)] = L-1_F(x) +P(x)Q(x)_ 28 (20)PRIMENALAPLASOVETRANSFORMACIJENASISTEMEDIFERENCIJALNIH JEDNAINA.-RazmatramoprimenunareavanjeKoijevogproblemazalinearnesistemediferencijalnihjedn.sa konstantnimkoeficijentima.Ovajpostupaksemoeformalnoopisatikorienjemmatrinogzapisa sistema. Neka je dat Koijev problem: JXJt= AX +b(t); X(u) = X0 gde je: JXJt= _x1i.xni_ ; A = _o11 o1n..on1 onn_ ; X = _x1.xn_ ;X0= _x10.xn0_ Primenom Laplasove transformacije na dati sistem dobijamo: L _JXJt_ = sA(s) -X0 =sA(s) -X0= AA(s) +B(s); _A(s) = L|X(t)] = _L|x1].L|xn]__ (sI -A)A(s) = B(s) +X0 =A(s) = (sI -A)-1(B(s) +X0) Primenom inverzne Laplasove transformacije dobijamo: X(t) = L-1|A(s)] = L-1|(sI -A)-1(B(s) +X0)] X(t) = eA(t-x)h(x)dxt+eAtX