1. Pojam sistema diferencijalnih jednačina

Sistem diferencijalnih jednačina od n nepoznatih funkcija u opštem obiku glasi:

....(1)

Svaka diferencijalna jednačina ima svoj red . Opšte rješenje sistema (1) jeste sistem funkcija koje zadovoljavaju svaku jednačinu sistema (1) iz kojih se može dobiti svako partikularno rješenje.

Partikularo rješenje sistema je ono rješenje koje zadovoljava početne uslove.- tzv. Košijeve ili početne uslove.

Sistem ...(1) se može zamijeniti sistemom u kome figurišu najviše izvodi I reda.

Svaki sistem se može napisati u normalnom obliku, a taj oblik glasi:

Teorema 1. Ako u okolini iz početnih uslova funkcije

, ispunjeni uslovi:a) neprekidne su,b) zadovoljavaju uslov Lipšica po y1 do yn.tada u okolini početnih uslova postoji jedinstveno rješenje sistema (1), za koje vrijedi:

2. Svođenje sistema diferencijalnih jednačina na jednu jednačinu

Ovaj metod podrazumjeva svođenje sistema na jednu jednačinu I reda.

....(1)

....(2)

….(3)

Jednačine ...(1), ...(2) i ...(3) čine sistem od (n-1) algebarskih jednačina:

....(*)

1

Tada sistem ima jedninstveno rješenje. Pretpostavimo da je:

i da mu je jedinstveno rješenje: y1,y2,...,yn.

1) ako su funkcije y2, y3, ..., yn rješenje sistema (*) tada je yn rješenje sistema (4).2) ako su funkcije y2, y3, ..., yn rješenje sistema (*) i y1 je rješenje sistema (4) ako je y1, y2, ..., yn rješenje sistema.

3. Prvi integrali sistema diferencijalnih jednačina

Definicija. Ako za svako rješenje sistema , funkcija ima konstantnu vrijednost , onda za funkciju kažemo da je prvi integral sistema i on uvijek ima konstantnu vrijednost.

Sistem funkcija je linearno nezavisan ako je:

- linearno su zavisne ako je:, ako i samo ako:

- su skalari nula.Neka znamo In linearno nezavisnih integrala

.

U tom slučaju sistem se može jednoznačno izračunati iz sistema algebraskih jednačina: iz kojeg slijedi rješenje

sistema.

4. Pojam sistema linearnih diferencijalnih jednačina. Metoda varijacije konstanti.

Sistem diferencijalnih jednačina u normalnom obliku glasi:

....(1)

2

Uvest ćemo slijedeće oznake: ;

;

Matricu A možemo napisati:

- u ovom slučaju rješenje je vektor i ovakav sistem se naziva nehomogeni

sistem.Kada je - dobijamo pojednostavljenje sistema.

- homogeni sistem linearnih diferencijalnih jednačina ...(2)

Teorema 1. Ako je y rješenje sistema (1), onda je Cy (C=const.) rješenje sistema (1).Teorema 2. Ako su y1 i y2 rješenja sistema (2) onda je Cy1 i Cy2 rješenje sistema (1).

; ;

Za funkciju kažemo da je linearno nezavisna na

intervalu (a,b) ako je: ...(3)

na intervalu (a,b) ako je:- skalari nula.

Ukoliko je onda kažemo da su funkcije linearno zavisne na intervalu (a,b). Jednakost ...(3) znači slijedeće:

Definicija. Neka su rješenja sistema ...(1) tada Bronskijan skupa rješenja zovemo slijedeću determinantu:

tada od načina da se dođe do opšteg rješenja sistema (1) je metod varijacije konstanti.

Neka je zadato i neka je , tada opšte rješenje sistema (1) tražimo u

obliku:

...(*)

Pri čemu je Ci(x) nepoznata funkcija koju treba odrediti.

...(**)

Funkcija dobija se iz (**) ili u obiku:

3

4

5. Sistem linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficientima

Posmatrajmo homogeni sistem:

Rješenje tražimo u obliku .

- konstante koje treba odrediti.

....(*)

ili

Mogući su slijedeći slučajevi:1. k – realno rješenje 2. k – kompleksno rješenje

3. k – realno rješenje 4. k – kompleksno rješenje

5

6. Pojam i osobine vektorske funkcije (neprekidnost, diferencijabilnost, integrabilnost)

i) - eksplicitni način zadavanja kriveii) - implicitni način zadavanja krive

iii) - parametarski način zadavanja krive.

Grafik funkcije je raspored tačaka po krivoj. - vektor položaja tačke M.

ako su ove dvije osobine ispunjene, tada se kaže da se radi o izomorfnom preslikavanju.

Definicija 1. Ako su skalarne funkcije definisane na nekom

skupu , onda kažemo da su vektorske funkcije definisane na .

Definicija 2. Za funkciju kažemo da ima graničnu vrijednost kada , ako za proizvoljno , tako da vrijedi:

Definicija 3. Neka su nam zadate vektorske funkcije:

Osobine vektorske funkcije:

a)

b)

c)

d)

Definicija 4. Za vektorsku funkciju kažemo da je neprekidna u tački , ako

postoji granična vrijednost i ako vrijedi: .

Definicija 5. Ukoliko postoji granična vrijednost onda se ona zove

izvod vektorske funkcije u toj tački i označava se kao , gdje je:

priraštaj.

6

Definicija 6. Za funkciju koja ima konačan izvod u

tački kažemo da je diferencijabilna u toj tački .Definicija 7. Diferncijal funkcije , ima slijedeće osobine:i)

ii)

iii) Definicija 8. Vektor I zovemo određenim integralom vektorske funkcije , na

segmentu ako je neovisan o podjeli segmenta i neovistan broj tačaka :

Osobine:

1.

2.

3.

4.

5.

7. Retifikacija krive u prostoru

- kriva

Vektorska jednačina krive glasi:

U ovom slučaju smatramo da tački A odgovara vrijednost parametra ,

Analogno, tački B odgovara parametar

Luk krive u vektorskom obliku.

8. Prirodni triedar krive. Frenet – ove formule

Neka je glatki luk AB zadan prirodnim jednačinama

7

Vektor predstavlja vektor tangente na zadanu

krivu u posmatranoj tački čije se smijer poklapa sa smijeromrasta prirodnom parametra s.

- jedinični vektor tangente.

Prva Frenetova formula

- poluprečnik krivine krive.

8

Definicija. Skalar označava torziju krive u posmatranoj tački, a označava se na slijedeći način:

, gdje je:

- ugao za koji se rotira vektor , pri priraštaju .

Terorema. Neka je luk AB gladak i neka je prirodna parametrizacija tog luka koja ima neprekidne izvode do trećeg reda, tada vrijedi:

- Druga Frenetova formula.

i) - rotira se u pozitivnom smijeru (suprotan smijer kretanja kazaljke sata),ii) - rotira se u negativnom smijeru (smijer kretanja kazaljke na satu).

U slučaju kada je , odnos zove se poluprečnik torzije krive.

- Treća Frenetova formula.

10. Prave i ravni prirodnog triedra

- uslov da je T na tangenti.

9

Ravni:

- ima dovoljno diferencijala zove se normalna ravan krive u posmatranoj tački.

- vektorska jednačina normalne ravni.

Skalarna jednačina normalne ravni glasi:

zove se oskulatorna ravan krive u posmatranoj tački.

- zove se retrifikaciona ravan krive u posmatranoj tački.

Vektorska jednačina retrifikacione ravni:

Skalarna jednačina retrifikacione ravni:

11. Pojam i orjentacija površi

U svakoj tački površi S postoje dva jedinična jedan drugom suprotna vektora normale na površ (vektor normale na površ je vektor normale tangencionalne ravni postavljen u tangencionalnoj tački).

10

Neka je M0 proizvoljna fiksna tačka u povši S. Neka je L proizvoljna zatvorena, prosta kriva koja sadrži tačku M0, leži na povši S i ne sijeće rub . Neka je proizvoljna tačka sa krive l, posmatrajmo normalu u koja se stalno mijenja, dok tačka M, počev od M0, obilazi krivu l. Imamo dvije mogućnosti:

Ako za svaku tačku i za svaku krivu poslije obilaska krive l, normala se poklopi sa početnim položajem M0, onda kažemo da je površ S dvostrana povš. Ako

se normala poslije obilaska poklopi sa - , onda kažemo da je površ S jednostrana.Definicija. Skup tačaka površi sa izabranom normalom na pvrš, zove se strana površi.

p i q su neparne na definicijonom području.

......(1)

Izborom predznaka u jednačinama ...(1) vršimo izbor smijera normale na površ.Posljedica. Izborom smijera normale površi izvšili smo i smijer normale povši. Izborom strane

površi kažemo da smo orjentisali površ. Pozitivnom stranom površi možemo nazvati bilo koju od dvije strane. U tom slučaju, ona druga će biti negativna strana povši.

Za pozitivnu stranu biramo onu čiji vektor normale zaklapa oštar ugao. Neka nam je zadana površ S i neka je po dijelu glatka kriva rub površi S. Ako

posmatramo iz vrha izabranog vektora normale površ S, ostaje sa lijeve strane, onda kažemo da su rub i površ S sukladno orjentisani.

11

12. Površina površi

Definicija. Povšina je skalar koji se dodaje površini. kažemo da ima površ P(D) ako za proizvoljno malo postoji konačna familija paralelograma tako da je:

Teorema. Povšina P(E) koja leži u ravni data je

formulom: , pri čemu je D ortogonalna projekcija površi E na xOy

ravan koja ima površinu: .

Neka su Dj (j=1,2,...,n) paralelogrami koji pokrivaju površinu D.

....(*)

Podrazumijeva se da paralelogrami Dj imaju zajedničke eventualno samo rubne tačke. Posmatrajmo familiju paralelograma Ej, Lj koji leži u ravni i ostvaruju paralelogram Dj. Jasno je da familija paralelograma Ej pokriva površ E.

To znači da se može naći takva familija paralelograma Dj za koju vrijedi ...(*) i koja definiše familiju paralelograma Ej, Lj sa osobinom:

Neka je površ S koja se obostrano jednoznačno projektuje na ravan xOy zadana u

obliku pri čemu su funkcije , i neprekidne u oblasti

. Podijelimo oblast D an dijelove D1, D2, ..., Dn pri čemu imaju zajedničke eventualno samo rubne tačke.

Ova podjela oblasti D odgovara pravilnoj podjeli površi S na podoblasti S1, S2,..., Sn. Dj je ortogonalna projekcija sa površi Sj, uočavamo tangencijalnu ravan . Na osnovu teoreme 1 dobijamo da je:

12

Jednačina tangencijalne ravni je:

- Posljednja jednakost integralne sume

Ako su date smjene

13. Površinski integral I vrste (pojam i osobine)

Neka je glatka površ S zadana jednačinom: ...(1)

Kako je po pretpostavci površ S glatka to znači da su

neprekidne na D i da imaju neprekidne prve izvode. Vrijedi da je vektor

normale. Osim toga, za funkciju dodatno pretpostavljamo da oblast , obostrano jednoznačno preslikava na površ S. Neka je pravilno podijeljena oblast D. To znači:

1.

2. , imaju zajedničko eventualno samo rubne tačke.Zbog obostrano jednoznačnog preslikavanja, podjeli odgovara tačno jedna podjela

površi S. Podjela je pravilna podjela i vrijedi:

1.

2. , imaju zajedničko eventualno samo rubne tačke.Neka je funkcija definisana i ograničena na površi S.

Izaberimo proizvoljne tačke .Formirajmo sada integralnu sumu funkcije f za podjelu uz navedeni izbor tačaka.

13

...(2)

Definicija. Broj I naziva se površinski integral prve vrste funkcije po površi S, ako za proizvoljno malo , takvo da vrijedi:

kada

14

14. Površinski integral II vrste (pojam i osobine).

Definicija 1. deka je zadana glatka površ S i vektorski fluks . Broj

nazivamo fluks vektora kroz onu stranu površi S koja odgovara

vektoru normale .Napomena: Često pišemo da je Neka se glatka površ S može izraziti na jedan od načina:

Pretpostavimo da se glatka površ obostrano i jednoznačno preslikava (ortogonalno preslikava) na svaku koordinatnu ravan. Izborm normala na površ izvršimo orjentaciju površi S. Strana površi S koja odgovara vektoru koji sa z – osom zaklapa oštar ugao proglasimo pozitivnom stranom i označimo je sa , a suprotnu sa .

- Ortogonalna projekcija

15

Broj nazivamo površinski integral druge vrste funkcije

po pozitivnoj strani površi (S) i po koordinatama x i y. Ubuduće ćemo ga

obilježavati sa .

Na isti način se definišu površinski integrali II vrste od i po koordinatama y i z odnosno x i z.

Konačno fluks vektorskog polja glasi:

Odnosno:

15. Pojam skalarnog polja. Izvod u zadanom pravcu. Gradijent.

Definicija1. skalarno polje zvaćemo preslikavanje , .

- skalarno polje.

- vektorsko polje.

Definicija 2. Jednačinom zadan je nivo površinskog skalarnog polja f.

- površ zadana implicitno.P1)

Neka nam je zadano skalarno polje (int- unutrašnja tačka).

Neka je proizvoljna tačka na polupravoj . Neka su vektori položaja tačaka A i M, a označavamo ih sa . Euklidska udaljenost između A i M:

16

Definicija 3. Izvod skalarnog polja f po pravcu l u oznaci , definiše se na slijedeći

način:

Dodatno pretpostavimo da je funkcija diferencijabilna na .

Definicija 4. Vektor zvat ćemo gradijentom skalarnog polja f I

označavati kao grad f.Definicija 5. Operator definiše se kao:

Napomena: 1. Kako je nabla očito diferencijabilni operator on je očito linearan (homogen i aktivan)2.

Osobine:1. 2. 3.

4.

5.

16. Pojam vektorskog polja. Vektorske linije vektorskog polja.

Definicija 1. preslikavanje nazivamo vektorskim poljem.

Ubuduće ćemo vektorsko polje predstavljati u obliku:

17

Pri čemu su P,Q i R skalarna polja.Definicija 2. Vektorskom linijom L, vektorskog polja , naziva se geometrijsko

mjesto tačaka koje sve imaju osobinu da tangente na liniju L u tim tačkama leže na pravcima određenim vektorom , pri čemu je vektor položaja posmatrane tačke.

Rješenja posljednjeg sistema su dvolinearno nezavisna rješenja prvog integrala. Neka su to:

Primijetimo da svki od prvih integrala predstavlja familiju povši. Vektorske linije L, vektorskog polja nalaze se u presjecima površi uzetih iz ove dvije familije.

18

18. Prostorni izvod skalarnog polja.

Neka nam je zadano skalano polje f, odnosno vektorsko polje . Označimo njihova definiciona područja sa odnosno .

Neka je A unutrašnja tačka definicijonog područja .Neka je , oblasti , takva da sadrži tačku A kao svoju unutrašnju tačku.

Osim toga tražit ćemo da oblast bude zatvorena i ograničena oblast čija je rub glatka površ S. Sa označit ćemo zapreminu od . Osim toga, definišimo diametar oblasti .

Ako Definicija 1.a) Prostornim izvodom skalarnog polja nazivamo graničnu vrijednost:

, ukoliko limes postoji.

b) Prostornim izvodom vektorskog polja u skalarnom obliku nazivamo slijedeću graničnu vrijednost:

, ukoliko limes postoji.

c) Prostornim izvodom vektorskg polja u vektorskom obliku nazivamo slijedću graničnu vrijednost:

, ukoliko limes postoji.

Teorema 1. Prostorni izvod skalarnog polja (ukoliko postoji) jednak je gradijentu tog polja u posmatranoj tački A.

19. Divergencija vektorskog polja. Teorema Gaus – Ostrogradskog.

Definicija 1. Divergencija vektorskog polja je po definiciji jednaka prostornom izvodu vektorskog polja u skalrnom obliku, tj:

Osobime divergencije:

19

Teorema (Gaus-Ostrogradskog). Ako za vektorsko polje postoji površinski integral po zatvorenoj glatkoj površi S koja je rub oblasti , i ako su i neprekidne funkcije u oblasti , tada vrijedi:

20. Rotor vektorskog polja.

Rotor vektorskog polja je po definiciji jednak prostornom izvodu vektorskog polja u vektorskom obliku, tj:

Osobine rotora:

20

Dokaz

21. Klasifikacija vektorskog polja.

Definicija 1. Vektorsko polje zovemo potencijalno polje ako je i .

Teorema 1. Ako je skalarno polje, onda je definisano kao

potencijalno polje.

Dokaz. Pokažimo da je :

Teorema 2. ako je vektorsko polje potencijalno polje, onda postoji skalarno polje takvo da vrijedi:

Napomena: Skalarno polje iz posljednje teoreme nazivamo potencijalom. Svako potencijalno polje ima svoj potencijal.

Definicija 2. Ukoliko postoji vektorski krivolinijski integral oblika ,

onda se on zove cirkulacija vektorskog polja duž orjentisane krive L.Teorema 3. Cirkulacija potencijalnog vektorskog polja duž krive L, jednaka je

razlici potencijala u krajnjoj i početnoj tački krive L.Neka je potencijalno polje, onda je:

Definicija 3. Vektorsko polje nazivamo Laplasovim poljem ako vrijedi da i .

21

- Laplasijan

22. Stoksova teorema.

Ako vektorsko polje:

ima neprekidne funkcije P, Q, R, , na glatkoj

površi S koja je određena krivom L, tada je cirkulacija vektorskog polja duž krive L jednaka fluksu kroz površ S.

- cirkulacija vektorskog polja .

- rotor vektorskog polja .

22