matemática financeira - prof. roberto césar · pdf filematemática...
TRANSCRIPT
SUMÁRIO
1. CONCEITOS _____________________________________________________ 2
2. JUROS SIMPLES __________________________________________________ 3
Taxa Efetiva e Proporcional _______________________________________ 10
Desconto Simples _______________________________________________ 12
Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora __________________________ 13
Desconto Racional ou Por Dentro __________________________________ 16
3. Juros Compostos ________________________________________________ 19
Taxa Equivalente, Nominal, Aparente e Real _________________________ 25
Taxa Bruta e Líquida _____________________________________________ 26
Série de Pagamentos
Pagamentos Iguais Postecipados __________________________________ 29
Pagamentos Iguais Antecipados ___________________________________ 32
Pagamento Diferido _____________________________________________ 35
Série de Depósitos
Renda Postecipada ______________________________________________ 38
Renda Antecipada _______________________________________________ 39
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO _____________________________________ 42
5. HP 12-C __________________________________________________________
6. EXCELL (WINDOWS) ________________________________________________
7. CALC (LINUX) _____________________________________________________
REFERÊNCIAS ______________________________________________________
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 2
1. Conceitos
Antes de adentrarmos aos estudos da matemática financeira é importante
entender o que ela representa e seus conceitos.
Matemática Financeira
Tempo
O tempo é um dos fatores principais na matemática financeira, o capital é
sempre ajustado em função deste.
O período de tempo vem sempre acompanhado de uma unidade de medida.
Exemplo: 1 ano
4 trimestres
12 meses
Juros
Os juros tem como função, fazer com que o capital mantenha ao longo do
tempo seu poder de compra.
Exemplo: Se hoje eu compro um produto por R$ 100 reais, daqui à um ano eu
consigo comprar este produto pelos mesmos R$ 100 reais, é lógico que não
pois o valor das coisas muda com o decorrer do tempo, e para o dinheiro não
perder seu poder de compra deve ser reajustado, e a forma de “reajuste” são
os juros.
Os juros normalmente são dados em percentuais acompanhados do período.
Exemplo: 5 % a.m. = cinco por cento ao mês.
60 % a.a. = Sessenta por cento ao ano.
A matemática financeira estuda a variação do capital (dinheiro) no decorrer
do tempo, mediante a uma taxa de juros.
É uma remuneração sobre o capital. Um reajuste que acontece em função
do tempo.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 3
A matemática financeira estuda a capitalização dos juros sob duas formas, que
são:
Juros Simples
Juros Compostos
2. JUROS SIMPLES
Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de
10% ao mês, durante 5 meses.
Tabela 1: Capitalização usando juros simples
Mês Saldo no início do Mês
Juros mensais Saldo no final do Mês
1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00
2 R$ 110,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 120,00
3 R$ 120,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 130,00
4 R$ 130,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 140,00
5 R$ 140,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 150,00
Dica:
1) A unidade de medida do tempo deve ser sempre a mesma da unidade de
medida da taxa de juros.
2) Para se fazer os cálculos devemos usar os juros em linguagem decimal e
nunca em percentual.
5% = 5 = 0,05
100
É um regime de capitalização onde os juros só incidem sobre o capital.
10% = 10 = 0,10
100
Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado
nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 4
Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros só incidem sobre o capital e não
sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no final dos 5
meses foram pagos R$ 50,00 de juros ( R$ 10,00 por mês vezes os 5 meses) e
o saldo final (montante) foi de R$ 150,00 (R$ 100,00 do capital mais R$ 50,00
de juros.
Pode-se então concluir que o valor dos juros é igual ao capital multiplicado pela
taxa e multiplicado pelo numero de meses, ou seja:
E que o saldo no final do período (montante) é igual ao capital inicial mais os
juros.
Como J = C.i.t
M = C + C.i.t
M = 1.C + C.i.t
M = C . (1) + C . (i.t)
Juros mensais – No caso de juros simples os juros são aplicados sempre
sobre o capital.
Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros
mensais.
J = C.i.t
M = C + J
M = C . (1+ i.t)
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 5
Gráfico 1: Capitalização usando juros simples
O Gráfico 1 foi montado a partir dos dados da Tabela 1, podemos perceber um
gráfico linear, o que significa que no regime de juros simples o capital cresce
de forma linear ou em progressão aritmética.
Convenção:
Exercícios
1) Um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 7 meses a uma taxa de juros
simples de 3% ao mês. Calcule os juros e o montante desta aplicação.
C = Capital M = Montante J = Juros i = Taxa t = Tempo
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 6
2) Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 800,00 durante 2 anos
a uma taxa de juros simples de 6% ao mês.
3) Qual o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida
a partir de uma aplicação de um principal de R$ 1.000,00, com uma taxa de 2%
ao semestre (juros simples).
4) Determinar que valor que deve ser aplicado a juros simples, a uma taxa de
10% ao ano para produzir R$ 100.000,00 em 15 meses.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 7
5) determine qual o tempo que um capital de R$ 800,00 deve ser aplicado para
resultar em um montante de R$ 1.520,00, a uma taxa de juros simples de 9%
ao mês.
6) Qual o tempo que devo aplicar um capital para ele triplicar de valor, com
uma capitalização simples de 2% ao mês.
7) Uma pessoa aplicou em um banco o capital de R$ 1.200,00 por um ano e
resgatou R$ 1.776,00, qual a taxa da aplicação (juros simples).
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 8
8) (Técnico em contabilidade CRC 2001) uma pessoa aplica R$ 4.000,00 por
sete meses e R$ 6.000,00 por um ano à mesma taxa de juros simples. Se “n” é
o numero de meses que esta pessoa deve aplicar R$ 10.000,00 à mesma taxa
de juros anterior para que o montante obtido seja igual ao da soma das duas
aplicações iniciais, então calcule o valor de “n”.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 9
9) (Técnico em contabilidade CRC 200) em uma aplicação financeira, recebeu-
se de juros o correspondente a 1/5 do valor aplicado, num período de quatro
meses. Sabendo-se que o regime é de capitalização simples, calcule a taxa de
juros quadrimestral desta aplicação.
10) (CREA/Assistente Administrativo/2004) Sabendo-se que 60% de um capital
foi aplicado durante três meses, a uma taxa de 12% a.m. O restante foi
aplicado a uma taxa de 15% a.m. durante 6 meses. Sendo o montante total
recebido de R$ 945,60, calcule o valor do capital aplicado (juros simples).
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 10
Taxa Efetiva
São exemplos de taxa efetiva:
3% ao mês, com capitalização mensal.
20 % ao ano, com capitalização anual.
Normalmente costuma-se dizer apenas, 3% a.m. ou 20% a.a., ou seja, a taxa
efetiva é a que se usa na calculadora, no momento de se fazer as contas.
Taxas Proporcionais
Pode-se dizer que duas taxas são proporcionais se a razão entre elas for igual
a razão entre seus períodos.
Exemplo: 24% ao semestre = 4% ao mês
24 = 6 → 6 = 6 4 1
Exercícios
1) Determine a taxa mensal proporcional a 20% ao ano.
É a taxa onde a sua unidade de medida coincide com a unidade de medida
do tempo (período de capitalização).
( i1 / i2 ) = ( n1 / n2 )
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 11
2) Determine a taxa anual proporcional a 3% ao mês.
3) Quais as taxas bimestrais e semestrais proporcionais a taxa de 5% ao
semestre?
4) João aplicou R$ 1.000,00 durante seis meses a uma taxa de 8% ao ano;
qual o valor que João irá resgatar.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 12
Desconto Simples
A Figura 1 mostra como funciona o dinheiro no tempo, se eu tiverum capital de
R$ 100,00 (hoje – Tempo 0) e aplicar por um mês (Tempo 1) receberei um
montante de R$ 110,00, ou seja R$ 10,00 de juros. No entanto se tiver que
pagar uma duplicata que vai vencer no “mês que vem” (Tempo 1) no valor de
R$ 110,00 e quiser antecipar este pagamento em um mês, pagando hoje
(Tempo 0), irei pagar o valor de R$ 100,00, ou seja, irei obter um desconto de
R$ 10,00.
Figura 1: Dinheiro no Tempo
Para o estudo da matemática financeira iremos estudar o desconto simples de
duas maneiras:
Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora
Desconto Racional ou por dentro
Convenção:
R$ 100,00 R$ 110,00
0 1
(Capital) Valor Presente
(Montante) Valor Futuro
Tempo
Desconto
Capitalização (Juros)
Desconto, normalmente, é o que se deixa de pagar quando antecipamos
um pagamento.
D = Desconto
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 13
Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora
No regime de juros simples este desconto é feito aplicando diretamente o
desconto sobre o montante e multiplicando pelo período (tempo)
Para exemplificar imagine a seguinte situação:
João tem um boleto para pagar com vencimento para daqui a 2 meses, o valor
do boleto é de R$ 100,00, no boleto tem a seguinte informação: conceder 10%
de desconto para cada mês de antecipação. Caso João queira pagar o boleto
hoje qual seria o desconto.
Concluímos então que:
M = 100 i = 0,01 t = 2 D = M.i.t D = 100 x 0,01 x 2 D = 20
O desconto que João obteve é de R$ 20,00
Também podemos concluir que o valor que deverá ser pago (Capital = Valor
presente) é igual ao valor do título (Montante = Valor futuro) menos o desconto.
Ou seja:
C = M - D C = 100 – 20 C = 80
O valor que João irá pagar é de R$ 80,00
Desconto comercial é o desconto que é dado diretamente sobre o valor do
título (Montante = Valor futuro).
D = M.i.t
C = M - D
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 14
E se fosse perguntado qual a taxa que João teve de desconto. Podemos
analisar da seguinte forma:
Se pegarmos o valor pago e dividirmos pelo valor do título (Capital/Montante)
chegaríamos a uma relação percentual.
C 80 0,8 M 100
Se pegarmos o valor total que iriamos pagar (100% = 1) e subtrairmos o valor
que foi pago (0,8) chegaremos ao desconto (0,2 = 20%)
1- 0,8 = 0,2 = 20%
Mas os 20% foi o desconto obtido em 2 meses, então se dividirmos os 20%
(0,2) pelos 2 meses, chegaremos a taxa de desconto que é de 0,1 (10%).
i 1 -80 1 - 80 x 1 0,1 100 100 2 2
Se substituirmos os números por suas letras pode chegar a seguinte fórmula
para se calcular a taxa:
i 1 - 80 x 1 100 2
Exercícios
1) Uma loja descontou uma Nota Promissória no valor de R$ 10.000,00, com
90 dias antes do seu vencimento á uma taxa de 7% ao mês. Qual o desconto e
o valor resgatado?
i = 1 – C x 1 M t
2
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 15
2) Um título de R$ 7.500,00 foi pago por R$ 5.000,00. Calcule o prazo de
antecipação, sabendo que a taxa foi de 5% a.m.
3) Uma duplicata de R$ 5.000,00 foi resgatada por R$ 4.100,00, faltando seis
meses para o seu vencimento. Calcule a taxa de desconto anual.
4) Um título foi resgatado por R$ 500,00, 10 meses antes do vencimento,
sabendo-se que a taxa de desconto é de 5% a.m. Qual o valor do título e do
desconto.
5) Um título de R$ 850,00 teve um desconto de R$ 60,50 para ser pago 2
meses antes do vencimento, qual foi a taxa do desconto?
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 16
Desconto Racional ou Por Dentro
Imagine a seguinte situação:
Uma loja compra um produto por R$ 100,00 e vende com um lucro de 50%, ou
seja: por R$ 150,00. O dono da loja resolve pegar este produto para ele e sabe
que o preço de venda é de R$ 150,00 e que o lucro é de 50%, então ele pega o
Preço de R$ 150,00 e desconta os 50% (do lucro) e paga R$ 75,00 pelo
produto.
Esta conta está certa?
Apesar de aplicar a mesma taxa (50%) nos deparamos na seguinte situação:
R$ 75,00(Valor pago) - R$ 100,00(Preço de compra) = - R$ 25,00, ou seja, a
loja teve prejuízo.
O desconto é o mesmo, mas o valor não em um está aplicando o desconto
sobre R$ 100,00 e no outro estou aplicando sobre R$ 150,00.
Então o desconto seria igual aos juros, aplicado sobre o capital.
J = C.i.tentão
Se analisarmos o problema anterior podemos constatar que o preço de custo é
de R$ 100,00, e que o preço de venda é de R$ 150,00, ou seja, o desconto
máximo que se pode dar para não ter prejuízo é de R$ 50,00.
R$ 150,00 (preço de venda) –R$100,00 (Preço de compra) = R$ 50,00
O preço de venda neste caso equivale ao montante, o custo seria o capital e o
lucro seria o desconto. Sendo assim podemos concluir que:
No desconto racionala taxa de desconto que é dada, é sobre o capital e não
sobre o montante.
R$ 100,00 R$ 150,00 R$ 75,00
- 50% + 50%
D = C.i.t
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 17
Podemos também dizer que:
D = C.i.t e C = M - D
D = (M - D).i.t
D = M.i.t – D.i.t
D + D.i.t = M.i.t
D.(1) + D.(i.t) = M.i.t
D.(1+i.t) = M.i.t
Exercícios
1) O portador de um boleto no valor de R$ 1.500,00, referente a um
empréstimo adquirido a uma taxa de 6% ao mês, resolveu pagar este boleto 60
dias antes do vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor pago.
2) Um lojista recebeu uma duplicata de R$ 8.000,00 um mês antes do
vencimento. Considerando a taxa de desconto racional de 3% a.m. qual foi o
valor recebido?
C = M - D
D = M.i.t (1+i.t)
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 18
3) Um título de R$ 4.000 recebe um desconto por dentro de R$ 1.142,86 à taxa
de 8% a.m. Calcule o tempo de antecipação.
4) Um título teve R$ 3.600,00 de desconto pelo pagamento antecipado de um
semestre, sabendo que foi descontado por dentro à 15% a.m. Calcule o valor
pago.
5) Um título foi pago por 1/3 de seu valor, sabendo que a taxa de desconto por
dentro é de 5% ao mês, calcule o tempo de antecipação.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 19
3. Juros Compostos
Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de
10% ao mês, durante 5 meses.
Tabela 1: Capitalização usando juros compostos
Mês Saldo no início do Mês
Juros mensais Saldo no final do Mês
1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00
2 R$ 110,00 R$ 110,00 x 0,10 = R$ 11,00 R$ 121,00
3 R$ 121,00 R$ 121,00 x 0,10 = R$ 12,10 R$ 133,10
4 R$ 133,10 R$ 133,10 x 0,10 = R$ 13,31 R$ 146,41
5 R$ 146,41 R$ 146,41 x 0,10 = R$ 14,64 R$ 161,05
Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros incidem sobre o capital e
também sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no
final dos 5 meses foram pagos R$ 61,05 de juros contra R$ 50,00 reais dos
juros simples, isto acontece porque no sistema de juros compostos os juros
incidem também sobre os juros do mês anterior.
É um regime de capitalização onde os juros incidem sobre o capital e sobre
os juros gerados pelo capital.
10% =10 = 0,10
100
Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado
nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior.
Juros mensais – No caso de juros compostos os juros são aplicados sempre
sobre o saldo do final do mês anterior, ou seja, o capital acrescido dos juros.
Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros
mensais.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 20
Gráfico 2: Capitalização usando juros compostos
Se continuarmos a tabela 2 podemos construir oGráfico 2, podemos perceber
um gráfico exponencial, o que significa que no regime de juros compostos o
capital cresce de forma exponencial ou em progressão geométrica.
Convenção:
Fórmulas:
Valor Futuro Taxa
Valor Presente Tempo
VP = Valor Presente VF = Valor Futuro J = Juros i = Taxa n = Tempo
VF = VP x (1+i) n
VP = VF.
(1+i) n
n = Log (VF/VP)
Log (1+i)
i = (VP/VF)𝐧 - 1
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 21
Exercícios
1) Determine o valor futuro de um capital de R$ 3.000,00 durante dez meses a
uma taxa de 3% ao mês.
2) Uma quantia de R$ 800, aplicada a uma taxa de juros compostos de 2,5%
a.m., durante 30 meses, resulta em qual montante.
3) Determine o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de
2% ao mês, a partir de um investimento inicial de R$ 3.500,00 (Principal).
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 22
4) Determine os juros resultantes de uma aplicação de R$ 1.300,00 durante 3
meses a uma taxa de 2% ao mês.
5) João aplicou R$ 2.000,00 na caderneta de poupança por um ano e meio,
sabendo que a taxa de juros desta aplicação é de 0,5% a.m., quanto João
ganhou de juros.
6) Calcule o capital que aplicado a uma taxa de 8% ao mês, durante 15 meses,
resulta em um montante de R$ 15.860,85.
7) Uma pessoa resgatou após um ano R$ 743,17 da caderneta de poupança;
sabendo que a taxa de juros é de 0,5% a.m. Determine o valor aplicado.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 23
8) Durante quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado a uma
taxa de juros compostos de 4% a.m. para resultar um montante de R$
3.202,06.
9) Por quantos meses (aproximadamente) se deve aplicar um capital a uma
taxa de juros compostos de 0,06 a.m. para que este capital triplique de valor.
10) Um capital de R$ 750,00 foi aplicado por seis meses e resultou em R$
1.257,83. Qual era a taxa da aplicação.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 24
11) R$ 1.103,61 foi resgatado de quinze meses de aplicação. Sabendo-se que
o valor inicial era R$ 400,00 calcule a taxa desta aplicação.
12) Um capital foi aplicado durante 30 meses a uma taxa de juros simples de
5% e rendeu um montante “X”. Qual deveria ser a taxa de juros compostos
desta aplicação para render o mesmo montante no mesmo período.
13) Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada
taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se
obterá o maior rendimento?
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 25
Taxas Equivalentes
Pode-se dizer que duas taxas são equivalentes se aplicadas a um mesmo
capital, durante o mesmo intervalo de tempo, resultarem em montantes iguais.
Exemplo: 24% ao semestre = 3,65% ao mês
(1+0,24)1 = ( 1+ i2 )6 → 1,24 = ( 1+ i2 )
6
√ = 1 + i2 → 1,0365 = 1+ i2
i2 = 1,0365 - 1 → i2 = 0,0365 → i2 = 3,65%
Taxa Nominal
É a taxa em que sua unidade de medida não coincide com a unidade de tempo
do período de capitalização.
São exemplos de taxa nominal:
12% ao semestre, com capitalização mensal.
24% ao ano, com capitalização bimestral.
Obs.: A taxa nominal apesar de ser bastante utilizada não representa uma taxa
efetiva, por isto não deve ser utilizada nos cálculos financeiros com juros
compostos.
Taxa Aparente
É a taxa que vigora nas operações financeiras, sem levar em consideração a
inflação do período.
Taxa Real
É a taxa que leva em consideração a inflação do período.
( 1 + i1 )n = ( 1 + i2 )
n
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 26
Taxa Bruta
É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da
aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o imposto de renda
descontado.
Taxa Líquida
É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da
aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o imposto de renda
descontado.
Exercícios
1) Determine a taxa anual equivalente a 4% a.m.
2) Determine a taxa mensal equivalente a 12% a.a.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 27
3) Uma pessoa recebeu em um ano dois aumentos salariais consecutivos,
sabendo que o primeiro foi de 5% e o segundo de 6%, sabendo-se que a
inflação no período foi de 10% determine:
a) A taxa aparente de aumento que esta pessoa teve.
b) A taxa real de aumento que esta pessoa teve.
4) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante um ano e resgatou R$ 1.5000,00,
sabendo-se que o imposto de renda é de 27% calcule:
a) A taxa bruta.
b) a taxa líquida.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 28
Exercícios Complementares
1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?
2) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado?
3) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?
4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?
5) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?
6) (CONCURSO BANCO DO BRASIL) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta.
Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão:
7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?
9) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
10) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752.
11) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
12) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.
Respostas:
1) J= R$ 3.362,96
2) C= R$ 20.801,91
3) i = 2,25% a.m.
4) n = 41,18 meses
5) i = 2,79698 a.m.
6) R$ 101,00
7) 44,22 a.t.
8) 7,18 a.m.
9) R$ 12.100,72
10) R$ 15.000,00
11) 13 meses
12) 2,5 a.m.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 29
Série de Pagamentos
Na maioria das vezes quando fazemos um financiamento, o pagamento não
ocorre de uma única vez no final do período; ele ocorre gradativamente (em
parcelas) durante o período financiado. Isto também acontece quando
tentamos juntar dinheiro para comprar algo, o dinheiro não surge de uma única
vez, fazemos depósitos várias vezes no decorrer do período.
Pagamentos Iguais Postecipados
Chamamos de pagamentos quando fazemos qualquer financiamento ou
empréstimo e temos que pagar as parcelas (prestações).
O termo postecipado significa que esta parcela será paga no final do período.
Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais
Data da compra da moto 01 de Janeiro
Pagamento da 1ª parcela 01 de Fevereiro
Pagamento da 2ª parcela 01 de Março
Pagamento da 3ª parcela 01 de Abril
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma:
Jan Fev Mar Abr
Fórmula:
PMT = Prestação
VP
PMT
PMT = VP .
1 - (1+i) -n
i
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 30
Exercício Resolvido
José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais
iguais á uma taxa de 2% a.m. Calcule o valor da prestação?
Exercícios
1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações. Determine o valor de cada prestação?
PMT = VP .
1 - (1+i) -n
i
PMT = 2.000,00 .
1 - (1+0,02) -5
0,02
PMT = 2.000,00 .
1 - (1,02) -5
0,02
PMT = 2.000,00 .
1 - 0,905731
0,02
PMT = 2.000,00 .
0,094269
0,02
PMT = 2.000,00 .
4,71345 PMT = 424,32
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 31
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao
BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa
contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos. Calcule o
valor da prestação mensal.
3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4%
ao mês para pagar de 12 vezes. Calcule o valor das prestações?
4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de
R$ 922,99, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o valor da moto.
5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar
prestações mensais de R$ 298,94, durante três anos com uma taxa de 1,7%
a.m.
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 32
Pagamentos Iguais Antecipados
O termo antecipado significa que esta parcela será paga no início do período,
ou seja, a primeira parcela será paga no ato do financiamento.
Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais
Data da compra da moto 01 de Janeiro
Pagamento da 1ª parcela 01 de Janeiro
Pagamento da 2ª parcela 01 de Fevereiro
Pagamento da 3ª parcela 01 de Março
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma:
Jan Fev Mar
Fórmula:
VP
PMT
PMT = VP .(1+i) -1.
1 - (1+i) -n
i
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 33
Exercício Resolvido
José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais
iguais, sendo a primeira prestação paga no ato do financiamento, a taxa
cobrada foi de 2% a.m. Calcule o valor da prestação?
Exercícios
1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira no ato da compra. Determine o valor de cada prestação?
PMT = VP . (1+i) -1.
1 - (1+i) -n
i
PMT = 2.000 x (1+0,02) -1.
1 - (1+0,02) -5
0,02
PMT = 2.000,00 x (1,02) -1.
1 - (1,02) -5
0,02
PMT = 2.000 x 0,980392.
1 - 0,905731
0,02
PMT = 1.960,78.
0,094269
0,02
PMT = 1.970,78 .
4,71345 PMT = 416,00
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 34
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao
BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa
contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo a
primeira prestação paga no momento de assinatura do contrato. Calcule o valor
da prestação mensal.
3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4%
ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela á vista. Calcule o
valor das prestações?
4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de
R$ 896,10, sendo a primeira á vista, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês.
Calcule o valor da moto.
5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar
prestações mensais de R$ 293,94, durante três anos com uma taxa de 1,7%
a.m. (pagamento antecipado).
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 35
Pagamento Diferido
O termo diferido significa que a primeira parcela só será paga após um período
(carência).
Ex.: Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais, com a primeira
prestação para 90 dias.
Data da compra da moto 01 de Janeiro
Pagamento da 1ª parcela 01 de Abril
Pagamento da 2ª parcela 01 de Maio
Pagamento da 3ª parcela 01 de Junho
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma:
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Fórmula:
VP
PMT
PMT =VP . (1+i) k-1.
1 - (1+i) -n
i
k
PMT = Prestação
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 36
Exercício Resolvido
José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais
iguais, sendo a primeira prestação paga após 3 meses, a taxa cobrada foi de
2% a.m. Calcule o valor da prestação?
Exercícios
1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira com 120 dias. Determine o valor de cada prestação?
PMT =VP . (1+i) k-1.
1 - (1+i) -n
i
PMT =2.000 x (1+0,02) 2.
1 - (1+0,02) -5
0,02
PMT =2.000,00 x (1,02) 2.
1 - (1,02) -5
0,02
PMT =2.000 x 1,0404.
1 - 0,905731
0,02
PMT = 2.080,80
0,094269
0,02
PMT = 2.080,80.
4,71345
PMT =441,46
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 37
2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao
BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa
contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo 1
ano de carência. Calcule o valor da prestação mensal.
3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4%
ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela com 6 meses.
Calcule o valor das prestações?
4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou em seis parcelas de R$ 900,00,
sendo a primeira com 90 dias, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o
valor da moto.
5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar
prestações mensais de R$ 300,00, durante três anos com uma taxa de 1,7%
a.m. (carência de 6 meses).
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 38
Série de Depósitos
É quando se poupa dinheiro por um período pensando em um gasto futuro.
Renda Postecipada
Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um
período e no ato do último depósito faço o saque.
Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer
uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o
valor total.
Data da programação 01 de Janeiro
1ª Economia 01 de Fevereiro
2ª Economia 01 de Março
3ª Economia 01 de Abril
Retirada 01 de Abril
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma:
Jan Fev Mar Abr
Fórmula:
VF
PMT
VF = PMT x (1 + i) n - 1
i
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 39
Renda Antecipada
Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um
período sendo o primeiro depósito imediato e a retirada acontece um período
após o ultimo depósito.
Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer
uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o
valor total.
Data da programação 01 de Janeiro
1ª Economia 01 de Janeiro
2ª Economia 01 de Fevereiro
3ª Economia 01 de Março
Retirada 01 de Abril
De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma:
Jan Fev Mar Abr
Fórmula:
VF
PMT
VF = PMT x ((1 + i) n - 1) x (1 + i)
i
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 40
Exercícios
1) João e Maria pretendem juntar dinheiro para comprar um apartamento, para
isto abrem uma caderneta de poupança e fazem depósitos de R$ 1.000,00 todo
mês, sabendo-se que a taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,7%
a.m., e que eles fizeram 50 depósitos.
a) Calcule o valor arrecadado considerando a renda postecipada?
b) Calcule o valor arrecadado considerando a renda antecipada?
2) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no final
de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto beatriz
deverá juntar?
3) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no
inicio de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto
beatriz deverá juntar?
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 41
4) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no final de cada
mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.?
5) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no inicio de cada
mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.?
6) Pensando em comprar um violão novo Artur depositou dia 01/01 R$ 200,00;
dia 01/02 depositou R$ 180,00 e dia 01/03 R$ 140,00, sabendo que a taxa de
juros que o banco pagou para Artur foi de 2% a.m. Quanto ele resgatou no
banco dia 01/05?
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 42
4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que
cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento
dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os
juros são sempre calculados sobre o saldo devedor
Sistema de Pagamento Único
O devedor paga o montante = capital + juros compostos da dívida em um único
pagamento ao final de n períodos. O montante pode ser calculado pela fórmula:
Uso comum: letras de câmbio, títulos descontados em bancos, certificados a
prazo fixo com renda final.
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a
uma taxa de 10% a.m.
Sistema de Pagamento Único
Mês Juros Amort. Capital
Prestação Sd. Devedor
0 Financiamento 50.000,00
1 5.000,00 0,00 0,00 55.000,00
2 5.500,00 0,00 0,00 60.500,00
3 6.050,00 50.000,00 66.550,00 0,00
VF = VP x (1+i) n
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 43
Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a
uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema de pagamento único.
Sistema de Pagamento Único
Mês Juros Amort. Capital
Prestação Sd. Devedor
Sistema de Pagamentos Variáveis
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua
condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os
juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.
Uso comum: Cartões de crédito
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a
uma taxa de 10% a.m. No primeiro mês ela pode pagar R$ 15.000,00, no
segundo mês ela paga R$ 20.000,00 e o restante no terceiro mês.
Sistema de Pagamentos Variáveis
Mês Juros Amort. Capital
Prestação Sd. Devedor
0 Financiamento 50.000,00
1 5.000,00 10.000,00 15.000,00 40.000,00
2 4.000,00 16.000,00 20.000,00 24.000,00
3 2.400,00 24.000,00 26.400,00 0,00
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 44
Sistema Americano
O devedor paga o principal em um único pagamento no final do período e
realiza o pagamento dos juros do saldo devedor do período no final de cada
período.
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a
uma taxa de 10% a.m.
Sistema Americano
Mês Juros Amort. Capital
Prestação Sd. Devedor
0 Financiamento 50.000,00
1 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00
2 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00
3 5.000,00 50.000,00 55.000,00 0,00
Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a
uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema Americano.
Sistema Americano
Mês Juros Amort. Capital
Prestação Sd. Devedor
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O devedor paga o Principal em n pagamentos sendo que as amortizações são
sempre constantes e iguais.
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação
Matemática Financeira
Professor: Roberto César Faria e Silva Página 45
Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a
uma taxa de 10% a.m.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Mês Juros Amort. Capital
Prestação Sd. Devedor
0 Financiamento 50.000,00
1 5.000,00 16.666,67 21.666,67 33.333,33
2 3.333,33 16.666,67 20.000,00 16.666,67
3 1.666,67 16.666,67 18.333,33 0,00
5. HP 12-C
6. EXCELL (WINDOWS)
7. CALC (LINUX)
REFERÊNCIAS