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GABARITO
1Matemática E
Matemática E – Extensivo – V. 7
Exercícios
01) B
P(x) = x³ + ax² − x + b é divisivel por x − 1. Pelo teorema do resto, x = 1 é raiz de P(x).
P(1) = 1³ + a . 1² − 1 + b ⇒ a + b = 0
Da mesma maneira, P(x) é divisível por x − 2. Pelo teorema do resto, x = 2 é raiz de P(x).
P(2) = 2³ + a . 2² − 2 + b = 0 ⇒ P(2) = 8 + 4a − 2 + b = 0 ⇒ 4a + b = −6
Resolvendo o sistema: a = −2 e b = 2. Logo, a + b = − 2 + 2 = 0.
02) A
P(x) = x³ + mx²+nx − 2 x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
Logo: P(x) é divisível por x − 1, pelo teorema do
resto: P(1) = 1³ + m . 1²+n . 1 − 2 ⇒ 1+ m + n − 2 = 0 ⇒ m + n = 1
P(x) é divisível por x + 1, pelo teorema do resto:
P(−1) =(−1)³ + m . (−1)²+n . (−1) − 2 = 0 ⇒ −1+ m − n − 2 = 0 ⇒ m − n = 3
Resolvendo o sistema: m = 2 e n = −1.
03) Verdadeiro.
Basta fazer a divisão por Briot-Ruffini ou método tradicional, verificando que os dois restos dão zero.
04) Verdadeiro.
Se fizer duas divisões sucessivas, obser-va-se que a primeira possui Q(x) = x² + 2x − 8 com resto zero. Se dividirmos Q(x) por (x − 1) teremos resto − 5. Logo, P(x) não é divisivel por (x − 1)².
05) Q(x) = 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1
5 6 0 0 0 0 1 2 1
5 10 5 5 4 3 2
6 5 4 3 2 2
6 5 4 4 3 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
− + + + + + − +
− + − + + + ++
− + + + +
− + −
− + + +
− +
1
4 5 0 0 0 1
4 8 4
3 4 0 0 1
3 6
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
4
x x x x x
x x x
x x x x
x x33 2
3 2
3 2
2
2
3
2 3 0 1
2 4 2
2 1
2 1
0
−
− + +
− + −
− +
− + −
x
x x x
x x x
x x
x x
�
06) F − F − V − V− V
(F) gr (Q) = gr(P) − gr(D) Como gr(D) = 5, logo gr(P) = gr(Q) + gr(D) ≥ 5, o que torna a
afirmativa falsa.(F) Pela questão 4, se P(x) divisível por (x − 1), não garante que é
divisível por (x − 1)².(V) P(x) é divisível por (x − 1) e por (x + 9).(V) Pela justificativa da primeira afirmativa.(V) Como P(x) é divisível por x − 3, logo x = 3 é raiz de P(x).
07) A
D(x) = x² − 6x + 5 D(x − 1) . (x − 5)
Logo, P(x) é divisível por (x − 1) e por (x − 5).
P(x) = x4 + px2 + q, pelo teorema do resto: P(1) = 14 + p . 12 + q = 0 1 + p + q = 0 p + q = − 1
P(5) = 54 + p . 52 + q = 0 625 + 25p + q = 0 25p + q = − 625
Resolvendo o sistema, temos p = −26 e q = 25, logo p + q = −1.
GABARITO
2 Matemática E
08) 5
B(x) = x² − 3x + 2 B(x) = (x −2)(x −1)
Logo, A(x) é divisível por (x −2) e por (x −1).
A(x) = x³ + ax² + bx − 6, pelo teorema do resto: A(2) = 2³ + a . 2² + b . 2 − 6 = 0 8 + 4a + 2b − 6 = 0 4a + 2b = −2
A(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 − 6 = 0 1 + a + b − 6 = 0 a + b = 5
Resolvendo o sistema, temos a = − 6 e b = 11. Logo, a + b = 5.
09) Zero
P(x) = x4 − 3x3 + mx2 + nx − 1
Pelo teorema do resto, temos:
Para (x − 2): P(2) = 24 − 3 . 23 + m . 22 + n . 2 − 1 = 0 16 − 24 + 4m + 2n − 1 = 0 4m + 2n = 9
Para (x + 1): P(−1) = (−1)4 − 3 . (−1)3 + m . (−1)2 + n . (−1) − 1 = 0 1 + 3 + m − n − 1 = 0 m − n = − 3
Resolvendo o sistema, m = 12
e n = 72.
Logo, − 7 . m + n = − 7 . 12
+ 72 = −
72 +
72 = 0.
10) a) a = 4 e b = − 5
Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:
1 a
a
b
a+b
o
a+b
o
a+b
Q(x)
o
a+b
I
a+b a+b+1
Logo, R(x) = a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = − 1.
1 a
a 2a+b
a+b
3a+2b
a+b
4a+3b
a+b
5a+4b
a+b
R(x) = 5a + 4b = 0 ⇒ 5a + 4b = 0
Do sistema, temos a = 4 e b = − 5.
b) Q(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1
4 5 0 0 0 1 2 1
4 8 4 4 3 2 1
3 4
5 4 3 2 2
5 4 3 3 2
4 3
x x x x x x x
x x x x x x
x x
− + + + + − +
− + − + + +
− ++ + +
− + −
− + +
− + −
− +
− +
0 0 1
3 6 3
2 3 0 1
2 4 2
2 1
2
2
4 3 2
3 2
3 2
2
2
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x−−1
0�
11) E
P(x) = x5 − 2x4 + ax3 + bx2 − 2x + 1 D(x) = x² − 2x + 1 = (x −1) (x − 1)
Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x −1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:
1 1
1
–2
–1
a
a–1
b
a+b–1
Q(x)
–2
a+b–3
1
a+b+2
resto
Logo, a + b − 2 = 0 ⇒ a + b = 2.
1 1
1
–1
0
a–1
a–1
a+b–1 a+b–3
2a+b–2 3a+2b–5
resto
Logo, 3a + 2b − 5 = 0 ⇒ 3a + 2b = 5.
Resolvendo o sistema, temos a = 1 e b = 1. Logo, a + b = 1 + 1 = 2.
12) D
I) Falso. gr(P) = n e gr(Q) = n, logo gr(P + Q) = n.II) Verdadeiro. Pelo teorema do resto: P(1) = m . 1³ + 1² −1 = m. Logo, o resto de P(x) por
(x − 1) é igual a m.III) Verdadeiro. Se gr(P) = n e gr(Q) = 1, em que Q(x) = x − a, logo gr(P . Q) = n + 1.
GABARITO
3Matemática E
13) D
P(x) = 2x4 + x3 + αx2 + βx + 2 D(x) = (x − 1)² = (x − 1) (x − 1)
Como P(x) é divisível por D(x), então P(x) é divisível por (x − 1) e o quociente dessa divisão também. Por Briot-Ruffini:
1 2
2
1
3
α
3+α
β 2
3+ +α β 5+ +α β
restoQ(x)
Logo, α + β + 5 = 0 ⇒ α + β = − 5.
1 2
2
3
5
3+α
8+α
3+ +α β
11+2 +α β
resto
Logo, 2α + β + 11 = 0 ⇒ 2α + β = − 11.
Resolvendo o sistema, temos: α = −6 e β = 1. Temos α + β = − 6 + 1 = − 5
14) B
Se P(x) = x4 e D(x) = x + 12
, podemos dividir P(x) por
D(x) pelo método de Briot-Ruffini
–1
2 1
1
0
–1
2
0
1
4
0
–1
8
0
1
16
Logo, Q(x) = x³ − 12
x² + 14x −
18.
Pelo teorema do resto, o resto da divisão de Q(x) por
x − 12
é:
Q12
=
12
3 − 1
2 .
12
2 +
14 .
12
−
18 = 0
15) E
y
7
5
3
v
Observe que xV = 5 e xV = x x1 2
2+
, em que x1 e x2 são
raízes da função. Se x1 = 3, logo x2 = 7.
Logo, se P1(x) dividido por x − 2 possui resto 3 e P2(x) dividido por x − 2 tem resto 7, a divisão de
P1(x) . P2(x) por x − 2 possui resto 3 . 7 = 21.
16) a) r(x) = − x + 3
P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x) P(1) = 0 + r(1) r(1) = 2 P(2) = 0 + r(2) r(2) = 1
r(x) = ax + b a b
a b
+ =+ =
2
2 1 ⇒ a = − 1, b = 3
Logo, r(x) = −x + 3.
b) 52
P(x) = (x − 2) (x − 1) . Q(x) + r(x) Termo independente: P(0) = 8 P(0) = (0 − 2) (0 − 1) . Q(0) + (− 0 + 3) 8 = (− 2) (− 1) . Q(0) + (+ 3) 8 = 2 . Q(0) + 3 5 = 2 . Q(0)
Q(0) = 52
17) A
18) D
x² − x + 2c = 0 4² − 4 + 2c = 0 16 − 4 + 2c = 0 12 + 2c = 0 2c = − 12 c = − 6
19)a) S = {3, 8, − 4}b) S = {1, 1, 1, 5, 5, − 10} ⇒ S = {1, 5, − 10}
GABARITO
4 Matemática E
c) S = {1 + i, 1 − i}
−− ± − −( ) ( ) . .
.
2 2 4 1 2
2 1
2
= 2 4 8
2± −
=
= 2 2
2± i
1 1
1 1
+−
i
i
d) S = {0, 4, 1} x³ − 5x² + 4x = 0 ⇒ x (x² − 5x + 4) = 0 x (x − 4) (x − 1) = 0
e) S = {2, − 2, 3i, − 3i}
Usando a mudança de variável x² = y: x4 − x² − 12 = 0 ⇒ y² − y − 12 = 0
y = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )
.
1 1 4 1 12
2 1
2
= 1 49
2±
y = 1 7
2±
y
y
==−
4
3
x² = 4 ⇒ x = ± 2
x² = − 3 ⇒ x = ± 3i
f) S = {i, − i, 7} x³ − 7x² + x − 7 = 0 ⇒ x² . (x − 7) + x − 7 = 0 (x² + 1) (x − 7) = 0 x² + 1 = 0 x − 7 = 0 x² = − 1 x = 7 x = ± i
20) E
x4 − 3x2 − 4 = 0, pelo método da mudança de variável: y² − 3y − 4 = 0
y = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )
.
3 3 4 1 4
2 1
2
= 3 25
2±
y = 3 5
2±
y
y
==−
4
1
Logo: x² = 4 ⇒ x = ± 2 x² = − 1 ⇒ x = ± i
Como S ⊂ R, logo S = {2, − 2}.
21) C
H1(t) = H2(t) 150t³ − 190t + 30 = 50t³ + 35t + 30 150t³ − 50t³ − 190t − 35t + 30 − 30 = 0 100t³ − 225t = 0 t (100t² − 225) = 0 t = 0 ou 100t² − 225 = 0 100t² = 225
t² = 225100
⇒ t = 1510
= 1,5
22) B
x = ( )6−x
x² = 6 − x x² + x − 6 = 0
x = − ± − −1 1 4 1 6
2 1
2 . . ( )
. = − ±1 25
2
x = − ±1 5
2
x
x
=−=
3
2
Como x > 0, logo possuímos uma solução, S = {2}.
23) D
x4 − 10x2 + 9 = 0 ⇒ y2 − 10y + 9 = 0
y = −− ± − −( ) ( ) . .
.
10 10 4 1 9
2 1
2
= 10 64
2±
y = 10 8
2±
x
x
==
9
1
x² = 9 ⇒ x = ± 3 x² = 1 ⇒ x = ± 1
Logo, x x x x12
22
32
42+ + + = 3 3 1 12 2 2 2+ − + + −( ) ( ) =
20= 2 5.
24) B
5x4 + x2 −3 = 0 ⇒ 5y2 + y − 3 = 0
y = − ± − −1 1 4 5 3
2 5
2 . . ( )
. = − ±1 61
10
Como y = x², temos:
x² = − +1 61
10
x
x
1
2
1 6110
1 6110
=− +
=−− +
x² = − −1 61
10
x
x
3
4
1 6110
1 6110
=− −
=−− −
Observe que x1 e x2 possuem radicandos positivos, pois
61 < 1.
GABARITO
5Matemática E
Da mesma maneira, x3 e x4 possuem radicandos nega-tivos, logo x3 e x4 são números complexos.
Temos, assim, duas raízes reais, x1 e x2.
25) 12
3 1
1 2
7 3
8
→→→→
multiplicidade
multiplicidade
multiplicidade
multipplicidade
grau
6
12
26) Falso.
x + x² = x³ x³ − x² −x = 0 x . (x² − x − 1) = 0 x = 0 ou
x² − x − 1 = 0 x
x
=+
=−
1 52
1 52
Observe que 1 5
2−
< 0, logo a afirmação é falsa.
27) E
3x³ − 5x² − 2x = 0 x . (3x² − 5x − 2) = 0 x = 0 3x² − 5x − 2 = 0
x = + ± − − −5 5 4 3 2
2 3
2( ) . .( )
.
x = 5 49
6±
x = 5 7
6
2
13
±=
=−
x
x
S = 0 213
, ,−
28) D
(3x − 1) (3x² − 2x − 1) = 0
3x − 1 = 0 3x² − 2x − 1 = 0
3x = 1 x = −− ± − − −( ) ( ) . . ( )
.
2 2 4 3 1
2 3
2
x = 13 x =
2 166±
x = 2 4
6
1
13
±=
=−
x
x
Logo: 13
2 + −
13
2
+ 1² = 19 +
19 + 1 =
119
.
29) C
x +1 x +1
–2 –2
1 1
0 0
x x =
–1 –1
0
0
x –2
(x + 1) . x . (x − 2) + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = − 2 (x² + x) (x − 2) = −2 x³ − x² − 2x + 2 = 0 x² (x − 1) − 2 (x − 1) = 0 (x² − 2) (x − 1) = 0
x − 1 = 0 x² − 2 = 0 x = 1 x² = 2
x = ± 2
Logo, S = {1, 2, − 2}, possuindo duas raízes irracio-
nais, 2 e − 2.
30) a) d = 10
P(x) = x³ − 2x² − 5x + d Pelo teorema do resto, P(2) = 0. Logo: P(2) = 2³ − 2 . 2² − 5 . 2 + d = 0 8 − 8 − 10 + d = 0 d = 10
b) S = {0, 1 − 6, 1 + 6}
x³ −2x² − 5x + 10 = 10 x³ −2x² − 5x = 0 x (x² −2x − 5) = 0
Temos que x = 0 ou x² −2x − 5 = 0.
x² −2x − 5 = 0 ′ = −
′′ = +
x
x
1 6
1 6
Logo, as raízes são S = {0, 1 − 6, 1 + 6}.
GABARITO
6 Matemática E
31) C
(x − 1) (x² + 1) + (x + 1) (x² − 1) = 0 x³ + x − x² − 1 + x³ − x + x² − 1 = 0 2x³ − 2 = 0 2x³ = 2 x³ = 1
x = 13
x = 1
Se x ∈ C, x = 1 + 0i. Logo, o conjugado de x é x = 1 − 0i = 1.
32) E
2x³ − x² − 2x + 1 = 0 x² (2x − 1) − 2x + 1 = 0 x² (2x − 1) − (2x − 1) = 0 (x² − 1) (2x − 1) = 0 x² − 1 = 0 2x − 1 = 0 x² = 1 2x = 1
x = ± 1 x = 12
33) P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12
P(x) = ax³ + bx² + cx + d
Temos que: P(0) = a . 0³ + b . 0² + c . 0 + d = 12 Logo d = 12 P(2) = a . 2³ + b . 2² + c . 2 + 12 = 0 8a + 4b + 2c = − 12 P(3) = a . 3³ + b . 3² + c . 3 + 12 = 0 27a + 9b + 3c = − 12 P(−1) = a . (−1)³ + b . (−1)² + c . (−1) + 12 = 0 − a + b − c = − 12
Portanto, possuímos um sistema de 3 equações com três in-cógnitas. Podemos resolver de várias maneiras, uma delas pela regra de Cramer.
Temos assim, a = 2, b = − 8 e c = 2. Logo, nosso polinômio será P(x) = 2x³ − 8x² + 2x + 12.
34) a) p(x) = x4 − 81 Como 3, −3, 3i e − 3i são raízes de p, logo p(3) = 0, p(−3) = 0, p(3i) = 0 e p(− 3i) = 0 Temos que p(x) é p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
p(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e = 0 p(−3) = 81a − 27b + 9c − 3d + e = 0 p(3i) = 81a − 27ib − 9c + 3id + e = 0 p(−3i) = 81a + 27ib − 9c − 3id + e = 0
Observe que temos um sistema de 4 incógnitas e 4 equações, pois a = 1 segundo o enunciado. Pelo método da soma temos:
324 + 4 e = 0 ⇒ 324 = − 4e ⇒ e = − 81
Como e = − 81, o sistema fica: 81 + 27b + 9c + 3d − 81 = 0 81 − 27b + 9c − 3d − 81 = 0 81 − 27ib − 9c + 3id − 81 = 0 81 + 27ib − 9c − 3id − 81 = 0 ⇓ 27b + 9c + 3d = 0 − 27b + 9c − 3d = 0 − 27ib − 9c + 3id = 0 27ib − 9c + 3id = 0
Resolvendo o sistema temos que: b = c = d = 0. Logo o polinômio é p(x) = x4 − 81b) r(x) = − 65 Podemos dividir p(x) por q(x) pelo método
das chaves:x x x x x x x
x x x x x
x x x
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
0 0 0 81 2 4 8
2 4 8 2
2 4 8 81
+ + + − − + −
− + − + +
− + −
−22 4 8 16
65
3 2x x x+ − +
−
Logo, r(x) = − 65.
35) C
Podemos resolver essa questão por elimina-ção.
Como 23 é raiz de multiplicidade 2 e 1
2 de mul-
tiplicidade 3, logo o polinômio possui 5 raízes. Temos assim um polinômio de grau 5. Com isso eliminamos as alternativas a e b.
Observe que as raízes da alternativa d são: (3x − 2) (3x − 2) (3x − 2) (2x − 1) (2x − 1) = 0
3x − 2 = 0 ⇒ x = 23 de multiplicidade 3.
2x − 1 = 0 ⇒ x = 12
de multiplicidade 2.
Temos assim descartada a alternativa d.
Com o mesmo raciocínio, obtemos na letra e
as raízes 2 de multiplicidade 3 e −
32 de multipli-
cidade 2.
Logo, resta-nos a alternativa c.
GABARITO
7Matemática E
36) C
Pelo teorema do resto, se f(x) é divisível por x e x + 2, logo:
f(0) = 0 ⇒ 0³ − 0² + k . 0 + t = 0 ⇒ t = 0 f(−2) = 0 ⇒ (−2)³ − (−2)² + k . (−2) + 0 = 0 ⇒ k = − 6
Assim, f(x) = x³ − x² − 6x. Fatorando: x³ − x² − 6x = x (x² − x − 6) = x (x + 2) (x − 3)
37) B
x x− + − =1 2 2 2
x − 1 + 2 2x− = 4
2 2x− = − x + 5
2x − 2 = (− x + 5)² 2x − 2 = x² − 10x + 25 x² − 12x + 27 = 0 Em que temos: x' = 3 e x'' = 9
Observe que x = 9 não é solução, pois:
9 1 2 9 2− + −. = 8 16+ = 8 4+ = 12 ≠ 2
Já com x = 3, temos a solução. Logo, S = {3}.
38) S= {3, −3, 4}
3 3
3 3
x x
x x
x x = –9x –4x –9x +9x +36 +x2 3
3 3
–x
–4
–3
Logo, P(x) = x³ − 4x² − 9x + 36.
Calculando as raízes: x³ − 4x² − 9x + 36 = 0 x² . (x − 4) − 9x + 36 = 0 x² . (x − 4) − 9 . (x − 4) = 0 (x² − 9) . (x − 4) = 0 x² − 9 = 0 x − 4 = 0 x² = 9 x = 4 x = ± 3
S = {3, −3, 4}
39) a) S = {2, −2, 3, −3, 1} x x x x x5 4 3 213 13 36 36− − + + −� ��� ��� � ������ ������ � ���� ���� = 0
x4 . (x − 1) − 13x² . (x − 1) + 36 . (x − 1) = 0 (x4 − 13x² + 36) . (x − 1) = 0
Temos que x4 − 13x² + 36 = 0. Resolvendo pelo método da mudança de variável, temos:
y2 − 13y + 36 = 0 y
y
==
9
4
Logo, x = ± 3 e x = ± 2.
Do outro passo, x − 1 = 0. Logo, x= 1.
S = {2, −2, 3, −3, 1}b) S = {0, 1, −1, i, −i} x5 −x = 0 x . (x4 − 1) = 0
Temos x = 0 ou x4 − 1 = 0. Pela mudança de variável: y² − 1 = 0 y = ± 1 x = ± 1 x = ± i
S = {0, 1, −1, i, −i}
40) D
x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
Temos como raiz de multiplicidade 2, x = − 1.
–1 1
1
1
4
3
2
6
3
1
4 1
1
0
0
Q(x) = x² + 2x + 1 com raízes de Q(x) x' = − 1 e x'' = − 1.
Logo, S = {− 1, − 1, − 1, − 1}.
41) S = {1, 2, 7}
1 1
1
–10
–9
23
14
–14
0
Q(x) = x² − 9x + 14 r(x) = 0
As raízes de Q(x) = x² − 9x + 14, por Bháskara, são x' = 7 e x'' = 2
Assim, a solução para P(x) é S = {1, 2, 7}.
GABARITO
8 Matemática E
42) A
–1 1
1
1
0
–2
–2
–2
0
Q(x) = x² − 2 r(x) = 0
As raízes de Q(x) = x² − 2, são: x² − 2 = 0 x² = 2
x = ± 2
S = { 2, − 2}
Logo, duas raízes irracionais.
43) A
Rebaixando o P(x) duas vezes:
1 1
1
1
–5
–4
–3
3
–1
–4
5 –4
4
0
0
resto da divisão
resto da divisão
1º rebaixamento
2º rebaixamento
Logo, temos Q(x) = x² −3x − 4. Temos, assim, as raízes de Q(x) por Bháskara, x' = 4 e x'' = −1.
Portanto |4 − (−1)| = |5| = 5.
44) −1 e −2.
Rebaixando o P(x) duas vezes:
3 1
1
1
–3
0
3
–7
–7
2
15 18
–6
0
0
Dessa forma Q(x) = x² + 3x + 2. Temos assim que as raízes de Q(x) são, pela fórmula de Bháskara, x' = −2 e x'' = −1.
S = {−1, −2, 3, 3}
45) E
Como x = 2 é raiz da equação x³ − 4x² +mx − 4 = 0, então:
2³ − 4 . 2² +m . 2 − 4 = 0 8 − 16 + 2m − 4 = 0 − 12 + 2m = 0 2m = 12 m = 6
Logo, a equação é x³ − 4x² +6x − 4 = 0. Rebaixando essa equação para grau 2, temos:
2 1
1
–4
–2
6
2
–4
0
Q(x) = x² − 2x + 2. As raízes de Q(x), pela fórmula de Bháskara, são x' = 1 + i e x'' = 1 − i, dois números complexos.
46) C
Rebaixando P(x) para grau 2.
2 1
1
1
–4
–2
0
3
–1
–1
4 –4
2
0
0
Logo, Q(x) = x² − 1. Temos que as raízes de Q(x) são x = 1 e x = −1. Com isso, as raízes de P(x) são {2, 2, −1, 1} e P(x) pode
ser escrito como: P(x) = (x − 2) (x − 2) (x − 1) (x + 1), sendo, portanto, divisível por (x − 2)².
47) C
Como x = 1 é raiz de x³ − 2x² + ax + 6 = 0, então: 1³ − 2 . 1² + a . 1 + 6 = 0 1 − 2 + a + 6 = 0 a + 5 = 0 a = − 5
Nossa equação então é x³ − 2x² − 5x + 6 = 0. Rebai-xando essa equação para grau 2, temos:
1 1
1
–2
–1
–5
–6
6
0
Logo, Q(x) = x² − x − 6. Temos que as raízes de Q(x), pela fórmula de Bhaskara, são x' = −2, x'' = 3.
48) D
Rebaixando a equação para grau 2, temos:
2 9
9
0
18
–31
5
–10
0
Temos Q(x) = 9x² + 18x + 5. As raízes de Q(x) são, pela
fórmula de Bháskara, x' = − 13 e x'' = −
53
.
Logo, as raízes da equação são S = − −
13
53
2, , ,
chamaremos p = − 13 e q = −
53
.
p² + q² = 19 +
259
= 269
GABARITO
9Matemática E
49) a) x³ − 5 . x² = 36 6³ − 5 . 6² = 36 216 − 180 = 36 36 = 36 ou 36 − 36 = 0
b) xi
’=− +12
232
e xi
"=− −12
232
Temos a equação x³ − 5x² − 36 = 0, Rebaixando essa equação a grau 2:
6 1
1
–5
1
0
6
–36
0
Temos assim, Q(x) = x² + x + 6, onde suas raízes, pela fórmula
de Bháskara, xi
’=− +12
232
e xi
"=− −12
232
50) a) 2 é raiz.b) S = {1, −1, 2}
x x
0 0
2 2
1 1
x x = x + (2 –x) + 0 – 0 – 0 – 2x3 2
P(x) =
0 0
x
x–2
x
1
P(x) = x³ − 2x² − x + 2
a) P(2) = 2³ − 2 . 2² − 2 + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0 Logo, 2 é raiz de P(x).b) Rebaixando P(x) ao grau 2:
2 1
1
–2
0
–1
–1
2
0
Q(x) = x² − 1. Logo, as raízes de Q(x) são x² = 1 ⇒ x' = 1 e x'' = − 1. S = {1, −1, 2}
51) C
Pois toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite ao menos uma raiz real.
52) V − F − F − F − V.
Teoria.
53) 12
Raízes: 3 1 1 1 9+i
9–i
3–2 7
3+2 7
8–3i 8–3i
8+3i 8+3i
Ou seja, são 12 raízes, logo o menor grau possível é 12.
54) C
Como 1 + i e 1 − 2i são raízes do polinômio, então 1 − i e 1 + 2i também são. Como o polinômio é de grau 8, temos assim 4 raízes reais e 4 complexas.
55) B
Como −1 e 2 são raízes de P(x), então: (−1)³ + a . (−1) + b = 0 ⇒ − 1 − a + b = 0 a − b = −1 2³ + a . 2 + b = 0 ⇒ 8 + 2a + b = 0 2a + b = −8
Do sistema, tiramos a = −3 e b = − 2. Temos assim P(x) = x³ + 0x² −3x − 2. Reduzindo P(x)a grau 1, tem-se:
–1 1
1
1
0
–12
1
–3
–2
0
–2
0
Temos Q(x) = x + 1. Logo, a raiz de Q(x) é −1. c = −1
56) 06
01. Falso. P(1) = 2 . 14 – 5 . 13 + 5 . 12 – 5 . 1 – 3 P(1) = −6 ≠ 002. Verdadeiro. P(1) = 1³ + a . 1² + b . 1 + 3 = 0 1 + a + b + 3 = 0 a + b = −4 P(−1) = (−1)³ + a . (−1)² + b . (−1) + 3 = 0 −1 + a − b + 3 = 0 a − b = −2
Temos a = −3 e b = −1. Assim, x³ −3x² − x + 3 pode ser rebaixado
a grau 1.
1 1
1
1
–3
–2–1
–3
–1
–3
0
3
0
Q(x) = x − 3. Logo, a raiz de Q(x) é 3. S = {1, −1, 3}04. Verdadeiro. Pois é uma equação de grau
ímpar e coeficientes reais.08. Falso. Pelo teorema do resto f(3) = 3³ + m . 3 − 5 = 0
pois tem queser divisível
�
9 + 3m − 5 = 0 3m + 4 = 0
m = − 43
GABARITO
10 Matemática E
57) 03
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (x − 1) (x − 1) (x + 2) (x − i) (x + i) x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x + 2
Logo, a = 0, b = −2, c = 2, d = −3, e = 2. Temos assim:01. Verdadeiro.02. Verdadeiro.04. Falso.08. Falso.16. Falso.
58) C
21 – 2x
21 – x
x
V = (21 − 2x) (21 − x) x = 810 V = (441 − 21x − 42x + 2x²) x = 810 441x − 63x² + 2x³ − 810 = 0
Temos assim 2x³ − 63x² + 441x − 810 = 0, com uma das raízes x = 3, segundo o enunciado. Rebaixando a equação:
3 2
2
–63
–57
441
270
–810
0
Logo, Q(x) = 2x² − 57x + 270, em que as raízes de Q(x), pela fórmula de Bháskara, são x' = 22,5 e x'' = 6. Como x' não é possível, logo x = 6, que está no intervalo (5, 7).
59) a) i é raiz de P(x) P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2 P(i) = i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 P(i) = 1 − 2i − 3 + 2i + 2 P(i) = 0
Logo, i é raiz de P(x).b) S = {i, −i, − 1 + i, − 1 − i} Como i é raiz de P(x), temos que − i também é raiz de P(x).
Rebaixando P(x) para grau 2, temos:
i 1
1
1
2
2+i–i
2
3
2i+2
2 0
2 2
2i 0
Temos Q(x) = x² + 2x + 2. Logo, as raízes de Q(x) pela fórmula de Bháskara, são x' = − 1 + i e x'' = − 1 − i.
60) C
P(x) = x5 − ax3 + ax2 − 1 P(−i) = 0
(−i)5 − a . (−i) 3 + a . (−i) 2 − 1 = 0 −i − ai − a − 1 = 0 (− a − 1) + (− a − 1) . i = 0 − a − 1 = 0 a = − 1
Logo: P(x) = x5 + x3 − x2 − 1 P(x) = x³ . (x² + 1) − (x² + 1) P(x) = (x³ − 1) (x² + 1) P(x) = (x − 1) (x² + x + 1) (x² + 1)
Para P(x) = 0 x − 1 = 0 ⇒ x = 1
x² + x + 1 = 0 ⇒ x' = − 12
+ 3
2i e x'' = − 1
2 −
32
i
x² + 1 = 0 ⇒ x' = i e x'' = − i
61) x= ( )7 37
3−
x
4 – 3/2x
8 – 2x
V = 432
−
x . (8 − 2x) . x
V = 432
−
x . (8x − 2x²)
V = 32x − 12x² − 8x² + 3x³ ⇒ V = 3x³ − 20x² + 32x
Vamos determinar o valor de x, além do valor 2, em que V = 8 dm³
3x³ − 20x² + 32x = 8 ⇒ 3x³ − 20x² + 32x − 8 = 0, em que 2 é raiz da
equação. Rebaixando a equação para uma de 2o grau:
2 3
3
–20
–14
32
4
–8
0
Q(x) = 3x² − 14x + 4. As raízes de Q(x), pela
fórmula de Bháskara, são x' = ( )7 37
3−
e
x'' = 7 37
3+
. Observe que x'' ≅ 4,36, e
8 − 2x = − 0,36.
Logo, x = ( )7 37
3−
.
GABARITO
11Matemática E
62) S = {1, 2, 3}
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 Divisores de − 6: p = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 Divisores de 1: q = ± 1
Candidatos a raiz da equação: {1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6}.
Observamos que uma das raízes é x = 1. Rebaixando a equação:
1 1
1
–6
–5
11
6
–6
0
Q(x) = x² − 5x + 6. Temos como raízes de Q(x), x = 2 e x = 3.
S = {1, 2, 3}
63) S = 132
,
2x³ − 7x² + 8x − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2
Candidatos a raiz: 1 1 3 332
32
12
12
, , , , , , ,− − − −
Sabemos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:
1 2
2
–7
–5
8
3
–3
0
Q(x) = 2x² − 5x + 3. Logo, as raízes de Q(x) são x' = 1
e x'' = −
32.
S = 132
,
64) S = 1 313
, ,
3x³ − 13x² + 13x − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 3: q = ± 1, ± 3
Possíveis raízes da equação: 1 1 3 313
13
, , , , ,− − −
Observamos que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando a equação:
1 3
3
–13
–10
13
3
–3
0
Q(x) = 3x² − 10x + 3, com raízes x' = 3 e x'' = 13.
S = 1 313
, ,
65) S = {−3, 3, − 3}
x³ + 3x² − 3x − 9 = 0 Divisores de − 9: p = ± 1, ± 3, ± 9 Divisores de 1: q = ± 1
Possíveis raízes: {1, −1, 3, −3, 9, −9}
Observamos que x = −3 é raiz da equação. Rebaixando:
–3 1
1
3
0
–3
–3
–9
0
Q(x) = x² − 3, com raízes x = ± 3.
S = {−3, 3, − 3}
66) Falso.
3x4 − 9x3 + 17x2 − 88x + 7 = 0
Observamos que uma raiz racional, da forma pq, será:
Divisores de 7: p = ± 1, ± 7 Divisores de 3: q = ± 1, ± 3
Possíveis raízes: 1 113
13
7 773
73
, , , , , , ,− − − −
Notamos que x = 12 não está na lista.
GABARITO
12 Matemática E
67) D
x x
–1 –1
2 2
–1 –1
0 0 =P =
–x2 –x2
x+1
1
1
0 − 2 + x³ + x² − 1 + x³ + 0 ⇒ P = 2x³ + x² − 3
2x³ + x² − 3 = 0 Divisores de − 3: p = ± 1, ± 3 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2
Possíveis raízes: 1 112
12
3 332
32
, , , , , , , ,− − − −
Rebaixando a equação, sabendo que x= 1 é raiz:
1 2
2
1
3
0
3
–3
0
Q (x) = 2x² + 3x + 3, e suas raízes são x' = − +3 15
4i e x'' =
− −3 154
i.
Logo, temos uma única raiz real.
68) C
P(x) = x³ − 7x² + 14x − 6
Pelo teorema do "chute", x = 3 é raiz de P(x). Rebaixando a equação:
3 1
1
–7
–4
14
2
–6
0
Q(x) = x² − 4x + 2, com raízes x' = 2 + 3 e x'' = 2 − 3. Temos assim, x' + x'' = 2 + 3 + 2 − 3 = 4.
69) Verdadeiro.
x x
1 1
1 1
1 1
x x = 0 x – 2 + x – x + 2x –x = 0⇒ 3 2
x x
1
–2
x
x³ + 2x² − x − 2 = 0 Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2 Divisores de 1: q = ± 1
Possíveis raízes: {1, −1, 2, −2}
Observe que x = 1 é raiz da equação. Rebaixando:
1 1
1
2
3
–1
2
–2
0
Q(x) = x² + 3x + 2, em que suas raízes são x' = −2 e x'' = −1.
Logo, S = {1, −1, −2} ⊂ [−2, 1].
GABARITO
13Matemática E
70) E
f(x) = 9x³ + 15x² − 32x + 12 Divisores de 12: p = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Divisores de 9: q = ±1, ±3, ±9
Observamos que x = 23 é raiz da equação.
Reduzindo-a, temos:
2
3 9
9
15
21
–32
–18
12
0
Q(x) = 9x² + 21x − 18, onde as raizes são
x' = − 3 e x'' = − 23.
71) C
3x4 − 7x3 + 14x2 − 28x + 8 = 0
Temos, pelo teorema do "chute", que:
P13
2 = 3 .
13
4 − 7 .
13
3 + 14 .
13
2 − 28 .
13
2 + 8
P13
2 = 3 .
181
− 7 . 1
27 + 14 .
19 −
283
+ 8
P13
2 =
127
− 7
27 +
149
− 283
+ 8
P13
2 = 0
72) E
2x4 − 3x3 −3x2 + 6x − 2 = 0 Divisores de − 2: p = ± 1, ± 2 Divisores de 2: q = ± 1, ± 2
Possíveis raízes: 1 112
12
2 2, , , , ,− − −
Observamos que x = 12
é raiz da equação. Observamos
também que x = 1 é raiz da equação. Logo, podemos reduzir a equação até o grau 2.
1
1
2
2
2
2
–3
–1
0
–3 –2
–4 0
–4
6
2
0
Q(x) = 2x² − 4, com raízes x' = 2 e x'' = − 2.
S = 12
1 2 2, , ,−
73) E
24x4 − 50x3 + 35x2 − 10x + 1 = 0 Divisores de 1: p = ±1 Divisores de 24: q = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ± 12, ±24
Observe que, de todas as possibilidades de raízes, não há nenhuma com denominador 5.
74) B
x4 + x3 − 4x2+ x + 1 = 0 Divisores de 1: p = ±1 Divisores de 1: q = ±1
Possíveis raízes: {1, −1}.
Observe que, segundo o enunciado, temos mais de uma raiz inteira. Como −1 não é raiz, logo x = 1 é de multiplicidade de 2. Reduzindo a equação:
1
1
1
1
1
1
2
3
–4 1
–2 0
1
1
–1
0
Temos assim Q(x) = x² + 3x + 1, em que suas raízes
são x' = − +3 5
2 e x'' =
− −3 52
.
Logo, − +3 5
2 +
2
3 5− + = − 3.
75) E
P(x) = x5 − 5x3 + 4x2 − 3x −2
Como 2 é raiz de P(x), vamos rebaixar a equação:
2 1
1
0
2
–5 –3
–1 1
4 –2
2 0
Q(x) = x4 + 2x3 − x2 +2x + 1. Para acharmos as raízes de Q(x), temos:
x x x x
x x
4 3 2
2 2
2 2 1 0+ − + +=
x² + 2x − 1 + 2x +
12x = 0
xx
22
1+
+ 2 . x
x+
1 − 1 = 0
Vamos chamar de xx
+
1 = y (1)