matemática a – extensivo – v. 8 · 2x – x – 12 = 0 ... ⇒ trocando a base do denominador...

GABARITO

1Matemática A

Matemática A – Extensivo – V. 8

Exercícios

01) B

f(x) = ax

I. x = 2 y = 16 16 = a2 ⇒ fatorando 16 = 42 ⇒ 42 = a2

II. x = –2 y = 1

16

a–2 = 1

16

a–2 = 142

⇒ pela propriedade a–N = 1

aN

a–2 = 4–2

De (I) e (II) podemos afirmar que a = 4, então:

a) log4

116

= x ⇔ 4x =

116

⇒ fatorando 16 = 42 ⇒

4x = 142


aN

4x = 4−2 ⇒ x = –2

b) log4 16 = x ⇔ 4x = 16 4x = 42 ⇒ x = 2

Multiplicando (a) . (b) = –2 . 2 = –4

02) B

2 52

77 5 3

log log log

( )( ) ⇒ trocando a base log5 7 = loglog

2

2

75

22

2

27

75

5 3loglog

log log

( )

⇒ pela propriedade a aN M N M( ) = .

22

2

277

55 3log

log.

log log

( ) ⇒ simplificando a fração

log . loglog

log .2 2

22

7 55

7 1=

2 277 3log log( ) ⇒ da propriedade a ba blog =

7 37 3log =

03) B

Do gráfico temosI. y = 0 x = 1 logb 1 = 0 ⇔ b0 = 1

II. y = 1 x = 2 logb 2 = 1 ⇒ b1 = 2

De (I) e (II) podemos afirmar que b = 2.

04) B

f(x) = g(x)2log x = log 2x ⇒ da propriedade loga b

N = N . loga blog x2 = log 2xx2 = 2xx2 – 2x = 0x . (x − 2) = 0x = 0 ou x – 2 = 0 x = 2

Pela condição de existência: logb N ⇒ N > 0 b > 0 e b ≠ 1

Então eles se interceptam quando x = 2.

05) C

g(x) = log2 2x ⇒ pela propriedade logb ac = logb a + logb cg(x) = log2 2 + log2 x ⇒ log2 2 = y ⇔ 2y = 2 ⇒ y = 1g(x) = 1 + log2 x ⇒ g(x) = 1 + f(x)

06) C

x = 16 y = 2logn 16 = 2 ⇔ n2 = 16 ⇒ fatorando 16 = 42

n2 = 42 ⇒ n = 4

Então, f(x) = log4 x, logo f(128) = log4 128 = y ⇔ 4y = 128 ⇒ fatorando 128 = 27 e 4 = 22

22y = 27

2y = 7 ⇒ y = 72

07) B

h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 – 1,5 = log3 (t + 1)2 = log3 (t + 1) ⇔ 32 = t + 1 9 = t + 1 9 –1 = t ⇒ 8 = t

08) B

Do gráfico temos x = 4 y = 2logn 4 = 2 ⇔ n2 = 4 ⇒ 4 = 22

n2 = 22 ⇒ n = 2

Então: log2 (2

3 + 8) = log2 (8 + 8) = log2 16 ⇒ fatorando 16 = 24

2x = 24 ⇒ x = 4

GABARITO

2 Matemática A

09) 03

01. Verdadeira. Sabemos que a função logarítmica admite inversa, logo podemos afirmar que ela é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

02. Verdadeira. y = 3 + log3 (x – 9) x = 3 + log3 (y – 9) x – 3 = log3 (y – 9) ⇔ 3(x – 3) = y – 9 3(x – 3) + 9 = y–1

04. Falso. Por definição, domínio de logb x é R+* .08. Falso. Para uma função ser par f(x) = f(–x), então: f(–x) = 3 + log3 (–x – 9) ≠ 3 + log3 (x – 9) = f(x).16. Falso. x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Seja x1 = 10, então: f(10) = 3 + log3 (10 – 9) f(10) = 3 + log3 1 ⇒ log3 1 = x ⇔ 3x = 1 f(10) = 3 + 0 3x = 30

f(10) = 3 x = 0

Seja x2 = 36, então: f(36) = 3 + log3 (36 – 9) f(36) = 3 + log3 27 ⇒ log3 27 = x ⇔ 3x = 27 f(36) = 3 + 3 3x = 33

f(36) = 9 x = 3

10) B

I. Falso. log (x2 – x) = 0 ⇔ 100 = x2 – x 1 = x2 – x 0 = x2 – x – 1

xx

x

=−− ± +

⇒±

=+

=−

( )’

"

1 1 42

1 52

1 52

1 52

↗

↘

II. Verdadeiro. f(x) = log (x2 – x) e g(x) = 2 log 2 + log 3. f(x) = g(x) log (x2 – x) = 2 log 2 + log 3 ⇒ pela propriedade

N . logb a = logb aN

log (x2 – x) = log 4 . 3 log (x2 – x) = log 12 (I) x2 – x = 12 x2 – x – 12 = 0

x =−− ± +

⇒±( )1 1 48

21 49

2

x

x

x=± =

=− →1 7

2

4

3↗↘

’

" esse valor não pertence a D.

III. Verdadeiro.

g(x) = 2

103

103 2log log+ ⇒ por mudança de base

logloglog log3 10

103

13

= =

logloglog log2 10

102

12

= =

g x( )log log

= +2

13

31

2g(x) = 2 . log3 + 3 log 2f(x) = g(x)

log(x2 – x) = 2 . log 3 + 3 log 2log(x2 – x) = log 32 + log 23

log(x2 – x) = log 9 . 8log(x2 – x) = log 72x2 – x − 72 = 0

x =± +

⇒±1 1 288

21 289

2

xx

x

x D

=± =

=−∉

1 172

9

8↗↘

↘

’

"

"

11) C

Como as funções 3x e log3 x são inversas, então os gráficos são simétricos em relação a y = x.

12) D

y = log3 x ⇔ 3x = y–1.

13) A

y = 9 . et−

3 + 1

x = 9 . et−

3 + 1

x – 1 = 9 . et−

3

x−19

= et−

3

n x−

19

= n et−

3

n x−

19

= −t3

. n e

−3 .n x−

19

= t

n x−

−1

9

3

= t

n 91

3

x−

= t

GABARITO

3Matemática A

14) A

f(x) = loglog

2

3

xx ⇒ trocando a base do denominador para 2

f(x) =

logloglog

2

2

2 3

xx ⇒ f(x) = log .

log

log22

2

3x

x⇒ simplificando

f(x) = 1 . log2 3 f(x) = 1 .log2 3

Note que f(x) é constante.

15) D

f(x) = logn x A (9, 2)2 = logn 9 ⇔ n2 = 9 ⇒ fatorando 9 = 32

n2 = 32 ⇒ n = 3

* Para B(x, 1) 1 = log3 x ⇔ 31 = x 3 = x

16) D

log2 a + 1

2logb

= 6 ⇒ por mudança de base

logb 2 = loglog

2

2

2b

= 1

2log b

log2 a + 11

2log b

= 6 ⇒ por operação de fração

1 . log2

1b = log2 b

log2 a + log2 b = 6 ⇒ pela propriedade logc a + logc b = logc ablogc ab = 6 ⇒ 26 = ab 64 = ab

17) B

log9 160 = loglog

1609

⇒ fatorando 160 = 10 . 24 e 9 = 32

log9 160 = log .log

10 23

4

2 ⇒ pelas propriedades

log9 160 = log loglog

10 4 22 3+ = 1 4

2+ a

b

18) B

De P.A sabemos que

a2 = a a1 3

2+ ⇒ 2 . a2 = a1 + a3

2 . log4 4x = log2 x + log8 8x ⇒ mudando para a base 2

2 . loglog

2

2

44x = log2 x + log

log2

2

88x

24

2

8

32

22.

loglog

logxx

x= +

log2 4x = log2 x + 13

log2 8x

log2 4x = log2 x + log283 x

log2 4x = log2 x . 83 x

4x = x . 83 x . x3

4x = x . 2 . x3

42

xx

= x3

2 = x13 ⇒ x = 8

Então, a1 + a2 + a3 = log2 8 + log4 4 . 8 + log8 8 . 8 log2 8 + log4 32 + log8 64

3 + 52

+ 2 = 6 5 42+ + = 15

2

log2 8 = x ⇔ 2x = 8, log4 32 = y ⇔ 4y = 322x = 23 22y = 25

x = 3 2y = 5 ⇒ y = 52

log8 64 = z ⇔ 8z = 64 23z = 26

3z = 6 ⇒ z = 63

= 2

19) D

log x2

1

22 1

= 0

DP – DS = 022 – log2 x = 04 = log2 x ⇔ 24 = x 16 = x

20) E

log2 (10x + 21) = 2 log2 (x + 2)log2 (10x + 21) = log2 (x + 2)2

10x + 21 = x2 + 4x + 4x2 + 4x – 10x + 4 – 21 = 0x2 – 6x – 17 = 0

xx

x

=± +

⇒±

=+

=−

6 36 682

6 1042

6 1042

6 1042

↗↘

’

"

Condição de existência:I. 10x + 21 > 0 10x > – 21 x > −21

10 ⇒ x > –2,1

GABARITO

4 Matemática A

II. (x + 2)2 > 0 x2 + 4x + 4 > 0

xx

x x=− ± − =

−

=− ⇒ >−

4 16 162

422 2

↗↘

Note que o único valor que satisfaz a condição de existência é:

6 1042

+ .

21) D

2 . log x + log x = 13 log x = 1

log x = 13

1013 = x

22) A

log (3x + 23) – log (2x – 3) = log 4

log 3 232 3xx+( )−( )

= log 4

3 232 3xx+−

= 4

3x + 23 = 4(2x – 3)3x + 23 = 8x – 1223 + 12 = 8x – 3x35 = 5x355

= x

x = 7

23) B

log2 (x2 – 2x + 1) = 2 ⇔

x2 – 2x + 1 = 22

x2 – 2x + 1 = 4x2 – 2x + 1 – 4 = 0x2 – 2x – 3 = 0

x =−− ± +

⇒±( )2 4 12

22 16

2

xx

x=± =

=−2 4

2

3

1↗↘

’

"

Logo, somando as raízes x' + x" = 3 +(–1) = 3 – 1 = 2.

24) 05

log2 (x + 4) + log2 (x – 3) = log2 18log2 (x + 4) . (x – 3) = log2 18(x + 4) . (x – 3) = 18x2 – 3x + 4x – 12 = 18x2 + x – 12 – 18 = 0x2 + x – 30 = 0

x =− ± +

⇒− ±1 1 120

21 121

2

xx

x=− ± =

=−1 11

2

5

6↗↘

’

"

Condição de existência:I. x + 4 > 0 II. x – 3 > 0 x > –4 x > 3

Da intersecção de (I) e (II), então x > 3.Logo, S = {5}.

25) A

log3 (2x – 1) – log3 (5x + 3) = –1

log3 2 15 3

xx−+

= –1 ⇒ 2 15 3

xx−+

= 3–1

2 15 3

xx−+

= 13

3(2x – 1) = 5x + 3 6x – 3 = 5x + 3 6x – 5x = 3 + 3 x = 6

26) D

Resolução:log2 . x

2 – 3 log2 x = 0 trocando log2 x = y (I)y2 – 3y = 0y(y – 3) = 0y' = 0 ou y" = 3 = 0 y" = 3

* Substituindo os valores de y em (I) temos: a log2 x = y' b log2 x = y" a log2 x = 0 ⇔ 20 = x log2 x = 3 ⇔ 23 = x 1 = x 8 = x

Somando as raízes: a + b = 1 + 8 = 9

27) B

log2 (x2 – 7x + 10) – log2 (x – 5) = log2 10 ⇒ pela

propriedade logb a – logb c = logb ac

log2 x x

x

2 7 105

− +−

= log2 10 ⇒ reescrevendo a

equação de 2º grau da forma fatorada

log2 x x

x

−( ) −( )

−( )

5 2

5 = log2 10 ⇒ simplificando

(x – 5) do numerador com o denominador

GABARITO

5Matemática A

log2 (x – 2) = log2 10 x – 2 = 10 ⇒ x = 10 +2 x = 12

28) E

3 log82 x = log2 x ⇒ mudando para base 2

3 . loglog

2

2

2

8x

= log2 x ⇒ log2 8 = y ⇔ 2y = 8

* Encontrando as raízes:

x =± −

⇒±8 64 16

28 48

2

x

x x

x x

=±

=+

⇒ = +

=−

⇒ = −

8 4 32

8 4 3

24 2 3

8 4 3

24 2 3

↗↘

’ ’

" "

Sabemos que x > 2, então analisando as raízes temos:

x' = 4 + 2 3 ⇒ x' ≅ 7,5 > 2

x'' = 4 – 2 3 ⇒ x" ≅ 0,6 < 2

30) B

log (x2 – 1) + colog (x – 1) = 2 ⇒ cologb a = – logb a log (x2 – 1) − log (x – 1) = 2 ⇒ pela propriedade logb a

– logb c = logb ac

log xx

2 11−−

= 2 ⇔ 102 = xx

2 11−−

⇒ por produto notá-

vel a2 − b2 = (a + b)(a – b)

100 = x x

x

+( ) −( )

−( )1 1

1 ⇒ 100 = x + 1

100 – 1 = x ⇒ x = 99

31) C

Sabemos que a razão da P.G é aa

aa

2

1

3

2

= , então:

loglog

loglog

84 8=

x

log x = log . loglog8 8

4 ⇒ fatorando 8 = 23 e 4 = 22

log x = log . loglog2 2

2

3 3

2 ⇒ da propriedade

n . logb a = logb an

log x = 3 2 3 2

2 2

log . log

log⇒ simplificando log 2 do nume-

rador com o denominador

log x = 92

log 2 ⇒ pelas propriedades

n . logb a = logb an e a a

NM NM=

log x = 29

x = 512

x = 16 2

2y = 23

y = 3

3 .log

2

2

23

x

= log2 x

39

32

3

2(: )

(: ).log x = log2 x ⇒ simplificando o numerador e

denominador

1 . log2

2

3

x = log2 x ⇒ multiplicando toda equação por 3

log22 x = 3log2 x ⇒ trocando log2 x = y (I)

y2 = 3y ⇒ y2 – 3y = 0y(y – 3) = 0y' = 0 ou y" – 3 = 0 ⇒ y" = 3

Substituindo y em (I) temos:a log2 x = y' b log2 x = y"log2 x = 0 ⇔ 20 = x log2 x = 3 ⇔ 23 = x 1 = x 8 = x

Somando os valores de x ⇒ 1 + 8 = 9.

29) D

log2 (x – 2) – log4 x = 1 ⇒ trocando por base 2

log2 (x – 2) – loglog

2

2 4x

= 1 ⇒ log2 4 = y ⇔ 2y = 4

2y = 22 y = 2

log2 (x – 2) – 12

. log2 x = 1 ⇒ pelas propriedades

n logb a = logb aN e a

nm = logb anm

log2 (x – 2) . log2 x = 1 ⇒ pela propriedade

logb a – logb c = logb ac

log2

x

x

−

2 =1 ⇒ 21 =

x

x

−2

2 x = x – 2 ⇒ elevando a equação ao quadrado4x = x2 – 4x + 4 x2 – 4x – 4x + 4 = 0x2 – 8x + 4 = 0

GABARITO

6 Matemática A

32) D

* Se N = N1, então: N1 = 120 + 10 log I1 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb a

N

N1 = 120 + log I110

* Se N = N2, então: N2 = 120 + 10 log I2 ⇒ pela propriedade N . logb a = logb a

N

N2 = 120 + log I210

* Sabemos que N1 – N2 = 20 dB, então:120 + log I1

10 – (120 + log I210) = 20

120 + log I110 – 120 – log I2

10 = 20

log I210 – log I2

10 = 20 ⇒ pelas propriedades

logb a – logb c = logb ac

e a

bab

N

N

N

=

log II1

2

10

= 20 ⇒ 1020 = II1

2

10

⇒ elevando os dois lados

da equação a 110

10201

10 1

2

101

10

( ) =

II

⇒ pela propriedade a aN MNM( ) =

102 = II1

2

33) E

log3 (1 – cos x) + log3 (1 + cos x) = –2 ⇒ pela propriedade: logb a – logb c = logb ac

log3 [(1 – cos x) . (1 + cos x)] = –2 ⇒ por produto notável: (a + b)(a – b) = a2 – b2

log3 (1 – cos2 x) = –2 ⇒ sen² x + cos² x = 1 ⇒ sen² x = 1 − cos² x

log3 sen2 x = –2 ⇔ sen2 x = 3–2 ⇒ a–N = 1

aN

sen2 x = 132

sen2 x = 19

⇒ sen x ± 13

Como 0 < x < π, então sen x = 13

.

cos (2x) + sen x = cos 2x = cos2 x – sen2 xcos2 x – sen2 x + sen x ⇒ cos2 x + sen2 x = 1 ⇒cos² x = 1 – sen2 x1 – sen2 x – sen² x + sen x1 – 2 sen2 x + sen x

1 – 2 . ( 19

) + 13

= 1 − 29 +

13

= 9 2 3

9− +

= 109

34) 24

* Primeiro vamos encontrar o valor de p:log2 x – log x – 6 = 0 ⇒ log x = y (I)y2 – y – 6 = 0

y=± +

⇒±1 1 24

21 25

2

yy

y=± =

=−1 5

2

3

2↗↘

’

"

Substituindo y em I temos:ay' = log x b log x = y"3 = log x ⇔ x = 103 log x = –2 ⇔ x = 10–2

Então, p = ab ⇒ p = 103 . 10–2 ⇒ p = 10

* Agora vamos calcular o valor de m:

m = 2 4

8

3 7− −

−

( )p p

p

. ⇒

2 48

3 10 10 7

10

− −

−

( ) . ⇒ fatorando 8 = 23

m = 2 4

2

3 10 3

3 10

− −

− −

( )

( )

. ⇒ note que temos 2

2

30

30

−

− . 43 = 1 . 43

* Com isso podemos afirmar que: 60 < m < 70 e que m > p

35) C

log4 0,5 < log4 0,2 ⇒ 0,5 < 0,2

36) E

log4 (x + 3) ≥ 2

(I) Condição de existência: x + 3 > 0 x > –3

(II) Solução da inequação: log4 (x + 3) ≥ 2 log4 4 ⇒ n logb a = logb a

n

log4 (x + 3) ≥ log4 42 (base > 1)

x + 3 ≥ 42

x + 3 ≥ 16 x ≥ 16 – 3 x ≥ 13

Fazendo a intersecção de (I) e (II) temos x ≥ 13.

37) B

log12

(x – 3) ≥ log12

4

(I) Condição de existência: x – 3 > 0 x > 3

GABARITO

7Matemática A

(II) Solução da inequação: log1

3

(x – 3) ≥ log13

4 (0 < base < 1)

x – 3 ≤ 4 x ≤ 4 + 3 ⇒ x ≤ 7

Fazendo a intersecção de (I) e (II) temos 3 < x ≤ 7.

38) D

log13

x ≥ log13

(4x – 1)

(I) Condição de existência: a) x > 0 e b) 4x – 1 > 0 4x > 1

x > 14

(II) Solução da inequação: log1

3

x ≥ log13

4x – 1 (0 < base < 1)

x ≤ 4x – 1 x – 4x ≤ –1 –3x ≤ –1

x ≤ −−

13

⇒ x ≤ 13

Fazendo a intersecção de (I . a), (I . b) e (II) temos 14

< x ≤ 13

.

39) D

log12

(x2 + 4x – 5) ≥ –4

* Primeiro vamos analisar a condição de existência:x2 + 4x – 5 > 0

* Encontrando as raízes:x2 + 4x – 5 = 0

x =− ± +

⇒− ±4 16 20

214 36

2

yx

x=− ± =

=−4 62

1

5↗↘

’

"

1–5

x

Então, temos x < − 5 ou x > 1 (I).

* Agora vamos analisar a inequação:

log12

(x2 + 4x – 5) ≥ –4 . log12

12 ⇒ pela propriedade

N . logb a = logb aN

log12

(x2 + 4x – 5) ≥ log12

412

−

⇒ pela propriedade

a–N = 1

aN

x2 + 4x – 5 ≤ 24 ⇒ x2 + 4x – 5 ≤ 16x2 + 4x – 5 – 16 ≤ 0 ⇒ x2 + 4x – 21 ≤ 0

* Encontrando as raízes:x2 + 4x – 21 = 0

x =− ± +

⇒− ±4 16 84

2 14 100

2.

xx

x=− ± =

=−4 10

2

3

7↗↘

’

"

3–7

x

Então, temos –7 ≤ x ≤ 3 (II).Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temosS = {x ∈R/–7 ≤ x < –5 ou 1 < x ≤ 3}.

40) C

I. Falso. log14

19

= log

log

2

2

1914


aN

e fatorando 9 = 32 e 4 = 22

– loglog

22

22

32

−

− ⇒ pela propriedade N . logb a = logb a

N

−−

= =2 3

2 2

31

32

2

22

log

log

loglog

II. Verdadeira.

logloglog

loglog

. log log42

2

2

22 2 215

154

152

12

15 15= = = =

Então 2 152 15log =III. Verdadeira. log1

3

9 < log13

5 (base 0 

5

GABARITO

8 Matemática A

41) C

log12

(x – 1) – log12

(x + 1) < log12

(x – 2) + 1

Primeiro vamos analisar a condição de existência:(I) x – 1 > 0 (II) x + 1 > 0 (III) x – 2 > 0 x > 1 x > –1 x > 2

Então, temos x > 2(a).

* Vamos verificar a inequação:

log12

(x – 1) – log12

(x + 1) < log12

(x – 2) + log12

12

⇒ pelas

propriedades de logaritmos.

log12

xx−+

11

< log12

(x – 2) . 12

(base 0 −1

12

2 ⇒ 2x – 2 > x2 – x – 2 ⇒ x2 – 3x < 0 ⇒

encontrando as raízes, temos:x2 – 3x = 0x(x – 3) = 0x' = 0 ou x = 30 < x < 3(b)

Fazendo a intersecção entre (a) e (b), temos:S = {x ∈R / 2 < x < 3}

42) E

log12

(x – 3) > –2

* Analisando a condição de existência:(x – 3) > 0x > 3

Então, temos x > 3 (I).

* Analisando a inequação:

log12

(x – 3) > log12

12

2

−

⇒ (base 0 1 ⇒ pela propriedade de potência

12

5 3

+log ( )x

> 12

0 ⇒ potência base 0 0 x > –3 (b)

Fazendo a intersecção entre (a) e (b) temos–3 < x < –2.

44) A

log14

x > log4 7.

* Primeiro vamos mudar a base:

log4 7 = log

log

log14

14

14

7

4

7

1= =

= –log14

7 = log14

7–1 = log14

17

* Voltando para inequação temos:

log14

x > log14

17

⇒ base 0 1

* Primeiro vamos verificar a condição de existência:

(I) 2x + 5 > 0 (II) 3x – 1 > 0 2x > –5 3x > 1

x > – 52

x > 13

Então, temos x > 13

(I).

* Analisando a inequação: log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > log2 2 ⇒ pela pro-

priedade de logaritmo.

GABARITO

9Matemática A

log2 2 53 1xx+−

> log2 2

2 53 1xx+−

> 2

2x + 5 > 6x – 25 + 2 > 6x – 2x7 > 4x

x < 74

(II)

Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos 13

< x < 74

.

46) C

log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1)

Verificando a condição de existência:(I) 3x + 4 > 0 (II) 2x – 1 > 0 3x > –4 2x > 1

x > –43

x > 12

Então, x > 12

(I).

* Analisando a inequação: log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1) > log3 3 ⇒ pela propriedade

de logaritmo.

log33 42 1xx+−

> log3 3

3 42 1xx+−

> 3

3x + 4 > 6x – 34 + 3 > 6x – 3x7 > 3x

x < 73

(II)

Fazendo a intersecção entre (I) e (II) temos

12

< x < 73

.

47) A

(log5 x)2 – log5 x – 2 ≤ 0 ⇒ troque log5 x = y (I)y2 – y – 2 ≤ 0

Encontrando as raízes, temos:y2 – y – 2 = 0

y=± +

⇒±1 1 8

21 9

2

yy

y=± =

=−1 3

2

2

1↗↘

’

"

2–1

x

* Substituindo as raízes em (I) temos:a log5 x = y' b log5 x = y"log5 x = 2 log5 x = –1

x = 52 ⇒ x = 25 x = 5–1 ⇒ x = 15

48) E

x2 + 2x + log2 m = 0, para que essa equação tenha raizes Δ ≥ 0, então:

b2 – 4 . a . c ≥ 0 22 – 4 . 1 . log2 m ≥ 0 4 – 4 log2 m ≥ 0 4 ≥ 4 log2 m 4 ≥ log2 m

4

24 ≥ m4 ⇒ m ≤ 2

Pela condição de existência, m > 0. Então, 0 < m ≤ 2

49) E

Analisando o domínio de cada função temos:

I. f(x) = (− − +2 6 82x x

− 2x² − 6x + 8 ≥ 0

Encontrando as raízes:–2x2 – 6x + 8 = 0

x =± +−

⇒±−

6 36 642 2

6 1004.( )

xx

x=− ± =−

=6 10

4

4

1↗↘

’

"

1

–+

–4

x

+

Então, domínio de f(x) = [–4, 1].

GABARITO

10 Matemática A

II. g(x) = log (x + 2) x + 2 > 0 x > –2

–2

+

–

Então, domínio de g(x) = ]–2, +∞).Logo, D(f) ∩ D(g) = ]–2, 1].

50) E

Pela condição de existência: |x – 3| > 0, sabemos que qualquer valor em módulo é maior ou igual a zero, então temos que verificar quando o valor do módulo é diferente de zero, pois o domínio da função logarítmica é estritamente maior que zero.

I. x – 3 ≠ 0 I. x + 3 ≠ 0 x ≠ 3 x ≠ –3

* Analisando a inequação temos: log (|x – 3|) + log (|x +3|) + log 5 – log 23 < log 10 log (|x – 3|) + log (|x + 3|) + log 5 – log 8 < log 10 ⇒ pelas propriedades de logaritmo:

log x x− +

3 3 58

. . < log 10 ⇒ base b > 1

x x− +3 3 58

. . < 10 ⇒ pela propriedade de módulo

|(x – 3)| . |(x + 3)| < 10 85. ⇒ por produto notável

|x2 – 9| < 16

Caso I Caso IIx2 – 9 > –16 x2 – 9 < 16x2 > –16 + 9 x² < 9 + 16x2 > –7 x2 < 25 ⇒ –5 < x < 5

xEntão, o conjunto solução é: S = ]–5, 5[ \ {–3, 3}.

51) 31

01. Verdadeiro. log0,25 32 = x ⇒ (0,25)x = 32

25100

x

= 32 ⇒ fatorando 25 = 52,

100 = 22 . 52 e 32 = 25

52 5

2

2 2.

x

= 25 ⇒ pelas propriedades de potência

2 5 52 2 2− −( ). .x = 25

2–2x = 25

–2x = 5

x = – 52

02. Verdadeiro. x = a

b c

3

2

log x = a

b c

3

2

log x = log a3 – (log b2 + log c12)

log x = 3 log a – 2 log b – 12

log c

04. Verdadeiro. Aplicando a mudança de base

temos: loga b = loglog

c

c

ba

08. Verdadeiro. 4x – 2x = 56 (2x)2 – 2x = 56 ⇒ troque 2x = y (I) y2 – y – 56 = 0

* Encontrando as raízes

y=± +

⇒±1 1 224

21 225

2

yy

y=± =

=−1 15

2

8

7↗↘

’

"

* Substituindo as raízes em (I) temos: a) 2x = y' b) 2x = y" 2x = 8 2x = –7 2x = 23 x x = 3

16. Verdadeiro. 23

23

2 3 17 >

− −, ,

⇒ proprieda-

de de potência

32

32

2 3 17 >

, ,

⇒ base b > 1

2,3 > 1,7

52) 18

01. Falso. log (x2 – 9) ≥ log (3 – x)

* Condição de existência: (I) x2 – 9 > 0 (II) 3 – x > 0 x < –3 ou x > 3 (a) 3 > x (b)

3–3

GABARITO

11Matemática A

* Analisando a inequação: log (x2 – 9) ≥ log (3 –x) x2 – 9 ≥ 3 – x x2 + x – 9 – 3 ≥ 0 x2 + x – 12 ≥ 0

Encontrando as raízes:

x =− ± +

⇒±1 1 48

21 49

2

x

x

x=− ± =

=−1 72

3

4↗↘

’

"

3–4(c)

* Fazendo a intersecção entre (a), (b) e (c) temos:

–3

–4

3

3

3

Então, S = (–∞,–4[.

02. Falso. Seja x = –e, tal que x ∈ R*, então n |x| < ex

n |–e| < e–e

n e < 1ee

1 < 1ee

⇒ 0 < 1e

< 1

04. Falso. ex = ex2

x = x2

x2 – x = 0 x (x – 1) = 0 x = 0 ou x – 1 = 0 x = 1 Note que as duas soluções são inteiras. 08. Falso. Para a > 1, as duas funções são crescentes.

16. Verdadeiro. log 360 = log 23 . 32 . 5 log 360 = log 23 + log 32 + log 5 log 360 = 3 log 2 + 2 log 3 + log 5

360

180

90

45

15

5

1

2

2

2

3

3

5

32. Falso. log N12 =

12

log N = 12

(–3,412) = –1,706.

53) 14

01. Falso. log a5 = log a15 = 1

5log a

02. Verdadeiro. log .loglog

log .loga

a

aa

a

a8

33

1

31= = .

04. Verdadeiro. loga 4 + loga 9 = loga 4 . 9 = loga 22 . 32

= loga (2 . 3)2 = 2 loga 2 . 3 = 2 loga 6.

08. Verdadeiro. 10log3 ⇒ pela propriedade de logarit-mo ⇒ = 3

16. Falso. 2A = loga 5 = loga 52 ≠ loga 2

5 = B

54) F – F – F – V – F

Falso. pHA = 2 pHB

log 1HA+

= 2 log 1HB+

log 1HA+

= log 1HB+

1HA+

= 12

HB+

1HA+

= 12

HB+( )

H HA B+ += ( )2

Falso. Sabemos que o pH da água é 7, também sabe-mos que pH abaixo de 7 é ácido. Para deixar a água com o pH alcalino, é necessário adicionar OH–,

55) V – V – V – V – V

f(x) = 5x e g(x) = log5 x

Verdadeiro. Podemos afirmar que f(x) é crescente, pois a base é maior que zero.

Verdadeiro. Sabemos que a função logarítmica é bije-tora, logo ela é sobrejetora.

GABARITO

12 Matemática A

Verdadeiro. g(f(x)) = log5 f(x) = log5 5

x = = x log5 5 = x . 1 = x Verdadeiro. log5 x = 1 ⇔ 51 = x 5 = x Verdadeiro. Sabemos que f(x) é crescente, então, para

a < b, temos f(a) < f(b).

56) B

log (x + 2) + log (x – 2) = 1log (x + 2)(x – 2) = 1log (x2 – 4) = 1x2 – 4 = 101

x2 – 4 = 10x2 = 10 + 4

x = ± 14

* Analisando a condição de existência, temos:(I) x + 2 > 0 (II) x – 2 > 0 x > –2 x > 2

Fazendo a intersecção de I e II: x > 2 Então, o único valor que pertence ao domínio da função

é 14 .

57) E

log3 (3x) – log9 x – log2 x = 2 log3 3 + log log log3 9 2x x x− − = 2

1 – log9 x = 2

* log13

3x = log13

3 . 19

= log13

13

= 1

1 – 2 = log9 x–1 = log9 x ⇔ x = 9–1

x = 19

58) C

Seja 0 logb 2 ⇒ 10 < 2 b) Falso. logb 12 = logb 2

2 . 3 = log 2² + log 3 = log 4 + log 3c) Verdadeiro. logb 18 = logb 2 . 32 = logb 2 + 2 logb 3d) Falso. Basta tomar b = 10−2, pois logb b = 1

e) Falso. logb 53 = logb 513 = 1

3 . logb 5 =

logb 5

3

59) D

log2 a + log .

log .

log

log .

2

2 2

14

12

b c− = 3

log2 a + log log2 2

2 1b c

−−−

= 3

log2 a – log2

2b + log2 c = 3 ⇒ multiplicando por 2

2 log2 a – log2 b + 2log2 c = 6log2 a

2 – log2 b + log2 c2 = 6

log2 a c

b

2 2.

= 6 ⇒ a c

b

2 2. = 26

a cb

2 2. = 64

b = a c2 2

64

60) C

a1 = x; a2 = x . 10x = y; a3 = x . 102x = zlog (xyz) = log (x) . (x . 10x) . (x . 102x)log (xyz) = log (x3 . 103x) = log x3 + log 103x = log (xyz) = 3 log x + 3x log 10

Então:log (xyz) = 3x + 3 log x

61) A

log4 8x = loglog

2

2

84x = log2 8

2x

log2 |x| = log2 82

x ⇒ multiplicando por 2

2 . log2 |x| = log4 8x

Caso I Caso IIlog2 x

2 = log4 8x log2 x2 = –log2 8x

x2 = 8x log2 x2 = log2 (8x)–1

x² − 8x = 0 x2 = 18x

x (–x – 8) = 0 8x3 = 1

x' = 0 ou x" = 8 x3 = 18

x = 18

3

x = 12

Então, 8 + 12

= 16 1

2+

= 172

.

62) D

M = log AA0

l. Falso. 9 = log AA0

⇔ 109 = A

A0

.

GABARITO

13Matemática A

ll. Falso. 5 = log AA0

⇔ 105 = A

A0

100 000 = AA0

.

Ill. Verdadeiro. 8 = log AA0

⇔ 108 = A

A0

107 . 10 = AA0

lV. Verdadeiro. Dos itens acima, é possível afirmar que

quanto menor a magnitude, menor a razão AA0

.

63) E

MW = –10,7 + 23

log M0

7,3 = –10,7 + 23

log M0

7,3 + 10,7 = 23

log M0

18 . 3 = 2 log M0

542

= log M0

27 = log M0 ⇔ 1027 = M0

64) B

h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)3,5 – 1,5 = log3 (t + 1)2 = log3 (t + 1) ⇔ 32 = t + 1 9 = t + 1 9 – 1 = t 8 = t

65) D

Er = log EL pH = log 1H+

I. Verdadeiro. Para que as dimensões possam ser bem entendidas observando os expoentes das potências na base 10, por isso o uso do logaritmo é justificado.

II. Verdadeiro. 4 = log 1H+

⇔ 104 = 1H+

H+ = 10–4

8 = log 1H+

⇔ 108 = 1H+

H+ = 10–8

Já que 1010

4

8

−

− = 104, a concentração de H+ para pH = 4

é 10 mil vezes maior que a da solução com pH = 8.III. Falso. log EL = 6 ⇔ 106 = EL 103 . 103 = EL

matemática a – extensivo – v. 8 · 2x – x – 12 = 0 ... ⇒ trocando a base do denominador...

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