GABARITO

1Matemática A

Matemática A – Extensivo – V. 6

Exercícios

01) C

A função que descreve o custo com a primeira locadora é dada por: f1(x) = 0,5x + 42 em que x é a quantidade de quilômetro rodado.

Função que descreve o custo com a segunda locadora: f2(x) = 1,2x

x

1,2

42

y

1,2 x

f2

f1

A primeira locadora será mais vantajosa a partir de x que encontramos da seguinte forma:

y x

y x

= +=

0 5 42

12

,

,

(i)

(ii)

Substituindo (ii) em (i), obtemos:1,2x = 0,5x + 421,2x – 0,5x = 420,7x = 42

x = 420 7,

x = 60 km

Logo, a primeira locadora será mais vantajosa a partir de 60 km.

02) D

2x + 1 ≤ x + 3 ≤ 4x Vamos calcular separadamente as desigualdades.

De 2x + 1 ≤ x + 3, temos: 2x – x ≤ 3 – 1 x ≤ 2

De x + 3 ≤ 4x, temos: 3 ≤ 4x – x 3 ≤ 3x

33

≤ x

1 ≤ x

Daí,

– 1 2

x 2≤

x 1≥

2x + 1 x + 3 4x≤ ≤

Portanto, S = {x ∈R / 1 ≤ x ≤ 2}.

Logo, a soma dos números inteiros de x que satisfazem a solução S é 1 + 2 = 3.

03) A

8 – 3(2C – 1) < 08 < 3 (2C – 1)83

< 2C – 1

83

+ 1 < 2C

113

< 2C

113 2⋅

< C

116

< C

1,833 … < C

Logo, o menor número inteiro C que satisfaz as condições determinadas é: C = 2.

GABARITO

2 Matemática A

04) A

ERRATA: Considere a inequação ax2 – (a2 + 1)x + a ≤ 0.

Se ax2 – (a2 + 1)x + a ≤ 0

Soma das raízes: S = aa

2 1+ = a + 1a

Produto das raízes: P = aa

= 1

Portanto, as raízes são 1a

e a.

07) C

34

21

235

xx x

−( )−+

< −

3 ( x – 2 ) – 2 ( x + 1 )

4

3 x

5< –

3 6 2 24

35

x x x− − −< −

x – 8 3 x

4 5< –

5 ( x – 8 ) < 4 ( – 3 x )

5x – 40 < – 12x5x + 12 x < 4017 x < 40

x < 4017

x < 2,35 Logo, o maior número natural que satisfaz a sentença é 2.

05) D

Resolvendo separadamente as desigualdades, temos:

Primeira desigualdade:2x + 3 ≤ x + 72x – x ≤ 7 – 3x ≤ 4

Segunda desigualdade:x + 7 ≤ 3x + 17 – 1 ≤ 3x – x6 ≤ 2x62

≤ x

3 ≤ x

Daí,

3

3

4

x 4≤

3 x≤

2x + 3 x + 7 3x + 1≤ ≤

4

Logo, os números inteiros que satisfazem simultaneamente as desigualdades

são {3, 4}.

Como 0 < a < 1, então temos:

a 1

a

Logo, S = aa

;1

.

06) C

3 ( p – 2500 ) 2 ( p + 2400 )≤3p – 7500 ≤ 2p + 48003p – 2p ≤ 4800 – 7500p ≤ 12300

Portanto, a maior produção diária dessa empresa é dada por 12300 barris.

GABARITO

3Matemática A

08) A

3 ( x – 1 ) – 2 ( x + 2 ) 2≥3x – 3 – 2x – 4 – 2 ≥ 0x – 9 ≥ 0 (i)

x – 13

+ 15

(k – 1) ≥ 1

x – 13

+ 15

(k – 1) – 1 ≥ 0 (ii)

Como as desigualdades (i) e (ii) possuem as mesmas soluções, então (i) = (ii).

x – 9 = x – 13

+ 15

(k – 1) – 1

– 9 + 13

+ 1 = 15

(k – 1)

− + +27 1 33

= 15

(k – 1)

–233

= 15

(k – 1)

–233

. 5 = k – 1

–115

3+ 1 = k

– 1123

= k

09) D

Uma página → 1,37Duas páginas → 1,37 + 0,67Três páginas → 1,37 + 0,67 + 0,67n páginas → 1,37 + (n – 1) . 0,67

Queremos calcular n ∈N tal que V(n) > 10.0,7 + 0,67n > 100,67n > 10 – 0,70,67n > 9,3

n > 9 30 67

,,

n > 13,88 Portanto, o menor número de pági-

nas para que o preço da mensagem ultrapase 10 reais é 14.

10) E

– 3x + a > 7a – 7 > 3xa − 7

3> x

Como a solução é x < 2, então:a − 7

3> 2

a – 7 > 2 . 3a – 7 > 6a > 6 + 7a > 13

11) D

2 32

x −−

< 3

2x – 3 > (–2) . 32x – 3 > –62x > – 6 + 32x > – 3

x > –32

Temos ainda: x2 + 2x ≤ 8 x2 + 2x – 8 ≤ 0

– 4 2

Logo, a solução é dada por { x ∈ R/ –4 < x < 2}. Segue,

–3

2

2

x >

x + 2x –8 02 ≤2

–3

2

–4

–3

2

Portanto, o número de soluções inteiras do sistema é { –1, 0, 1, 2},

isto é, 4 soluções inteiras.

GABARITO

4 Matemática A

12) B

x2 < 10 000

x

x

x

x

<

< ⋅

< ⋅

<

10000

10 10

10 10

100

2 2

Portanto, o número de elementos é 199.

14) Ex

x

2 9

11 4 0

≤− >

(i)

(ii)

De (i), temos: x2 ≤ 9

x

x

≤

≤

9

3

– 3 ≤ x ≤ 3

De (ii), temos: 11 – 4x > 0 11 > 4x

x < 114

Segue,

11

4

3

I x I ≤

x <

3–3

–3

3

11

4

11

4

Portanto, a solução é dada por:

S = { x ∈ R / –3 ≤ x < 114

}.

Logo, possui 6 soluções inteiras.

{–99 . . . –2 –1 0 1 2 99 100

99 elementos

1 elemento

– 100 < x < 100

99 elementos {–100 . . .

13) a) S = {x ∈ R/ x < –1 ou x > 6}

b) k = 494

a) f(x) > g(x) x – 14 > – x2 + 6x – 8 x – 14 + x2 – 6x + 8 > 0 x2 – 5x – 6 > 0

–1 6

Portanto, S = {x ∈ R/ x < –1 ou x > 6}.

b) f(x) + k ≥ g(x) x – 14 + k ≥ – x2 + 6x – 8 x2 – 6x + 8 + x – 14 + k ≥ 0 x2 – 5x – 6 + k ≥ 0

Note que essa equação possui concavidade para cima, logo Δ ≤ 0, ou seja: Δ = 25 + 24 – 4k ≤ 0 49 – 4k ≤ 0 4k ≥ 49

k ≥ 494

Como queremos o menor k, seu valor é k = 494

.

GABARITO

5Matemática A

15) E x2 – 2x – 3 ≤ 0

–1 3

Portanto, a solução é dada por: S = { x ∈R / –1 ≤ x ≤ 3}.

16) Cx2 + 7x < – 6x2 + 7x + 6 < 0

–6 –1

Portanto, a solução é dada por: S = { x ∈R / –6 < x < –1}. Logo, o número de soluções inteiras é 4.

17) B Note que kx + l2 é uma equação do 1o grau, então kx + l2 ≤ 0 possui pelo menos uma solução para k ≠ 0.

18) Cx2 + 1 < 2x2 – 31 + 3 < 2x2 – x2

4 < x2

4

2

<

<

x

x

Logo, x > 2 ou x < –2.Temos ainda:2x2 – 3 ≤ –5x2x2 + 5x – 3 ≤ 0

–3 1

2

Logo, –3 ≤ x ≤ 12

.

Segue,

1

2

2 < I x I

2x + 5x – 3 02 ≤

x + 1 < 2x – 3 – 5x2 2 ≤

2–2

–3

–3 –2

Portanto, a solução é dada por S = { x ∈R / –3 ≤ x < –2}.

GABARITO

6 Matemática A

19) Ax x

x

− ≤ −

− ≥

1 3 3

4 02

De x – 1 ≤ 3x – 3, temos:–1 + 3 ≤ 3x – x2x ≥ 2x ≥ 1

Temos ainda:x2 – 4 ≥ 0x2 ≥ 4

x

x

≥

≥

4

2

x > 2 ou x < –2Segue,

x 1≥

I x I 2≥2–2

1

2

Portanto, a solução é dada por: S = {x ∈ R / x ≥ 2}.

20) C Sejam f(x) = 2x + 6 e g(x) = 14 – 2x. Analisando os sinais de cada função, temos: f(x) = 2x + 6

–3

g(x) = 14 – 2x

7

Segue,

–3

–3

7

7

f (x)

g (x)

f (x)

g (x)

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + – – – – – –

– – – – – –

Portanto, a solução da inequação 2 614 2

0x

x+

−≥ é dada

por: S = {x ∈ R / –3 ≤ x < 7}. Logo, o número de soluções inteiras é 10.

21) E Sejam f(x) = x + 2 e g(x) = – x + 3. Analisando os sinais de cada função, temos:

f(x) = x + 2

–2

g(x) = – x + 3

3

Segue,

–2

–2

3

3

f (x)

g (x)

f (x)

g (x)

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + – – – – – –

– – – – – –

Logo, a solução da inequação é dada por: S = {x ∈ R / x ≤ –2 ou x > 3}.

GABARITO

7Matemática A

22) 09

3 23

xx

−−

–1 ≤ 0

3 2 33

x xx

− − +−

≤ 0

2 13

xx

+−

≤ 0

Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3 Analisando os sinais, temos: f(x) = 2x + 1

–1

2

g(x) = x – 3

3

Segue,

+ + + + + +

12

–

3

3

f (x)

g (x)

f (x)

g (x)

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – –

– – – – – – – – – – –

+ + + + + +

+ + + + + +

54

Logo, S = {x ∈R / – 12

≤ x < 3}.

Portanto, a = – 12

e b = 3.

01. Correta.

a . b = – 12

. 3 = –32

< 0

02. Incorreta.

a – b = – 12

– 3 = – 72

< 0

04. Incorreta.

a + b = – 12

+ 3 = 52

é racional.

08. Correta.

ab

= −

=−⋅

12

31

2 3= – 1

6∈ Q

23) Dxx

−+

11

– 1 < 0

x xx

− − −+

1 11

< 0

−+21x

< 0 .(–1)

21x +

> 0

Logo, 21x +

> 0 para todo x ∈ tal que x + 1 > 0.

Entãox + 1 > 0x > – 1Portanto, a solução é dada porS = {x ∈ R / x > –1}

24) Bx

x +1> x

xx +1

– x > 0

x – x ( x + 1 )

x + 1> 0

x x xx

− −+

2

1> 0

−+x

x

2

1> 0 .(–1)

xx

2

1+< 0

Note que x2 ≥ 0 ∀ x ∈ .

Então xx

2

1+< 0 para x + 1 < 0

x + 1 < 0x < –1Portanto, a solução é dada por:S = { x ∈ R / x < –1}.

25) 992

1x −< 3

21x −

– 3 < 0

2 – 3 ( x – 1 )

x – 1< 0

2 3 31

− +−x

x< 0

− +−

3 51

xx

< 0

GABARITO

8 Matemática A

Sejam f(x) = – 3x + 5 e g(x) = x – 1Analisando separadamente os sinais, temos:

f(x) = – 3x + 5

5

3

g(x) = x – 1

1

Segue,

1

1

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

5

3

– – – – – – – – – – – –+ + + + + + + + + +

5

3

Portanto, a solução é dada por:

S = { x ∈ R / x < 1 ou x ≥ 53

}

01. Correta. Pois A ⊂ S.02. Correta. Pois B ⊂ S.04. Correta. Pois C ⊂ S.08. Incorreta. Pois 1 ∉ S.16. Correta. Pois E ⊂ S.32. Correta. Pois F ⊂ S.64. Correta. Pois G ⊂ S.

26) A5

3x −> 3

53x −

– 3 > 0

5 – 3 ( x – 3 )

x – 3> 0

5 3 93

− +−x

x> 0

14 33

−−

xx

> 0

Sejam f(x) = 14 – 3x e g(x) = x – 3Analisando os sinais separadamente, temos:

f(x) = 14 – 3x

14

3

g(x) = x – 3

3

Segue,

3

3

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

143

– – – – – – – – – – – –+ + + + + + + + + +

143

f (x)

g (x)

g (x)

f (x)

Portanto, a solução é dada por:

S = { x ∈ R / 3 < x < 143

}

Logo, o maior número inteiro é 4, ou seja, múltiplo de 2.

27) CAnalisando os sinais separadamente, temos:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

0

0

1

1

2

2

3

3

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + ++ + + + ++ + + + +

+ + + + +

+ + + + ++ + + + +

– – – – –– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –

– – – – –– – – – –

Portanto, a solução é dada:S = { x ∈ R / 0 < x < 1 ou 2 < x < 3}

28) B2 1x

x− > 1

2 1xx− – 1 > 0

2 1x xx

− − > 0

xx−1 > 0

Sejam f(x) = x – 1 e g(x) = x. Analisando separadamente os sinais, temos:

f(x) = x – 1

1

GABARITO

9Matemática A

g(x) = x

0

Segue,

+ + + + + +

0

0

– – – – – – + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

1

– – – – – –– – – – – –– – – – – – + + + + + +

+ + + + + +

1

Portanto, a solução é dada por:S = { x ∈ R/ x < 0 ou x > 1}

29) A

x > 1x

x – 1x

> 0

xx

2 1− > 0

Sejam f(x) = x2 – 1 e g(x) = x. Analisando separadamente os sinais das funções,

temos:

f(x) = x2 – 1

–1 1

g(x) = x

0

Segue,

+ + + + + +

0

–1 0

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + +

1

– – – – – –– – – – – – + + + + + ++ + + + + +

1

+ + + + + +

– – – – – –

–1

– – – – – –

Portanto, a solução é dada por:S = { x ∈ R / –1 < x < 0 ou x > 1}

30) D

x x x

x

+( ) +( ) −( )−( )

3 5 3

3

4 2 3

6 ≤ 0

x x x

x

+( ) +( ) −( )

−( )

3 5 3

3

4 2 3

6 ≤ 0

x x

x

+( ) +( )−( )

3 5

3

4 2

3 ≤ 0

Sejam f(x) = (x + 3)4, g(x) = x2 + 5 e h(x) = (x – 3)3. Analisando separadamente os sinais das funções,

temos:f(x) = (x + 3)4 > 0, ∀ x ∈ R.g(x) = x2 + 5 > 0,∀ x ∈ R.h(x) = (x – 3)3

3

– – – – – – + + + + + + + + + + + +– – – – – –

Segue,

– – – – – –– – – – – –

+ + + + + +

– – – – – –– – – – – –

+ + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

3

3

f (x)

g (x)

h (x)

f (x) . g (x)

h (x)

Portanto, a solução é dada por:S = { x ∈ R / x < 3}.

31) 02x xx x

2

2

8 124 4

+ ++ +

≥ 2

x xx x

2

2

8 124 4

+ ++ +

– 2 ≥ 0

x + 8 x + 12 – 2 ( x + 4x + 4 )2 2

0≥x + 4x + 42

x x x xx x

2 2

2

8 12 2 8 84 4

+ + − − −+ +

≥ 0

44 4

2

2

−+ +

xx x

≥ 0

Sejam f(x) = 4 – x2 e g(x) = x2 + 4x + 4. Analisando os sinais das funções separadamente,

temos:

GABARITO

10 Matemática A

f(x) = 4 – x2

–2 2

g(x) = x2 + 4x + 4

–2

Segue,

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

–2

–2

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

2

2

– – – – – –

– – – – – –

–2

Portanto, a solução é dada por:{x ∈R/ –2 < x ≤ 2}.

Logo, as soluções inteiras são {–1, 0, 1, 2}, daí a soma é –1 + 0 + 1 + 2 = 2.

32) ASegundo o gráfico, temos:

+ + + + + +

+ + + + + +f(x)

1

– – – – – –

– – – – – –

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

3

3

– – – – – –

– – – – – –

1

– – – – – – – – – – – –

2

2

g(x)

f(x)

g(x)

Portanto, a solução é dada por:{x ∈R/ x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 3}.

33) D− + +( )

−( )3 1

1

x x

x

! !

!

≥ 3

–3 x (x –1)! + (x + 1) x (x – 1)!

(x – 1)!≥ 3

– 3 x + ( x + 1 ) x 3≥– 3x + x2 + x – 3 ≥ 0x2 – 2x – 3 ≥ 0

–1 3

Note que, para x ≤ –1, temos x! < 0, (x + 1)! < 0 e (x – 1)! < 0. Portanto, a solução é dada por:S = {x ∈R/ x ≥ 3}

34) D Cometeu um erro apenas, na passagem de 1 para 2,

pois está desconsiderando valores negativos, o que inverteria a desigualdade.

35) B

Devemos ter 92

2

2

−+ −

xx x

≥ 0.

Sejam f(x) = 9 – x2 e g(x) = x2 + x – 2. Analisando separadamente os sinais das funções,

temos:

f(x) = 9 – x2

–3 3

g(x) = x2 + x – 2

–2 1

Segue,

–3

–2

–2 1

1

+ + + + +

– – – – –

– – – – –

–3

3

3

+ + + + + – – – – – + + + + + – – – – –

+ + + + ++ + + + ++ + + + + – – – – –

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

GABARITO

11Matemática A

Portanto, o domínio de f(x) é dado por:D = {x ∈R/ – 3 ≤ x < –2 ou 1 < x ≤ 3}.

36) C

f(x) = x x−( ) −( )1 25

Devemos ter (x – 1) (2 – x)5 ≥ 0Analisando separadamente o sinal temos:

1

– – – – –(x – 1)

– – – – –

1

2

2

+ + + + + + + + + + – – – – –

+ + + + ++ + + + ++ + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

– – – – –(2 – x)

Portanto, o domínio de f(x) é dado por:D = [1, 2].

37) ADesenvolvimento correto.

Devemos ter 22

xx +

≥ 0. Analisando o sinal separada-

mente, temos:

–2

– – – – –2x

2x

–2

0

0

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

–––––x + 2

x + 2

– – – – –

+ + + + +

+ + + + + – – – – – + + + + + + + + + +

Logo, a solução será dada por:S = {x ∈R/ x < –2 ou x ≥ 0}.Logo, concluímos que os alunos 1 e 3 estão corretos.

38) B

f(x) = 3 2

1

−

−

x

x⇒ f(x) =

3 21

−−

xx

Devemos ter 3 2

10

−−

≥x

x.

Analisando separadamente, temos:

1

– – – – –3 – 2x

– – – – –

1 3

2

+ + + + + + + + + +– – – – –

+ + + + ++ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

– – – – –

3

2

x – 1

3 – 2x

x – 1

Logo, a solução é dada por:

S = { x ∈R/ 1 < x ≤ 32

}

39) A

f(x) = x

x2 4−+

1

9 2− x

Domínio de x

x2 4−. Devemos ter:

x2 – 4 > 0x2 > 4

x

x

<

>

4

2

Logo, x < –2 ou x > 2.

Domínio de 1

9 2− x. Devemos ter:

9 – x2 > 09 > x2

x

x

<

<

9

3

Logo, – 3 < x < 3.Portanto, o domínio de f(x) é dado por:

– 2 2

– 3 3

– 3 3– 2 2

Logo a solução é dada:S = { x ∈R/ –3 < x < –2 ou 2 < x < 3}.

40) EDevemos ter:2 – x + 3 – 5 ≥ 0x + 3 – 5 ≤ 2 (x ≤ a ⇔ –a ≤ x ≤ a)–2 ≤ x + 3 – 5 ≤ 2

Trabalhando separadamente as desigualdades, obte-mos:– 2 ≤ x + 3 – 5– 2 + 5 ≤ x + 33 ≤ x + 3 (x ≥ a ⇔ x ≤ –a ou x ≥ a)

x + 3 ≤ –3 ou x + 3 ≥ 3x ≤ –6 ou x ≥ 0Temos ainda,x + 3– 5 ≤ 2x + 3 ≤ 2 + 5x + 3 ≤ 7 (x ≤ a ⇔ –a ≤ x ≤ a)– 7 ≤ x + 3 ≤ 7– 7 – 3 ≤ x ≤ 7 – 3– 10 ≤ x ≤ 4

GABARITO

12 Matemática A

Portanto, a solução é dada por:

– 6 0

– 10 4

– 10 4– 6 0

Portanto a solução f(x) é:S = [–10, –6] ∪ [0 , 4].

41) A

f(x) = xx x

−− + −

2122

Devemos ter x

x x−

− + −2

122≥ 0.

Analisando separadamente, temos:

2

– – – – – –x –2

2

+ + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

–x + x – 122 – – – – – – – – – – – –

– – – – – –

– – – – – – – – –

– – – – – – – – –

Logo, a solução é:S = {x ∈R/ x ≤ 2}.

42) Ex + 2 6x − ≤ 9

2 6x − ≤ 9 – x

– (9 – x) ≤ 2x – 6 ≤ 9 – x Trabalhando separadamente as desigualdades, obte-

mos:– (9 – x) ≤ 2x – 6– 9 + x ≤ 2x – 6– 9 + 6 ≤ 2x – x–3 ≤ xPor outro lado,2x – 6 ≤ 9 – x2x + x ≤ 9 + 63x ≤ 15x ≤ 5Segue,

– 3

5

– 3 5

Logo, S = [–3, 5].

43) B

−( )+ −

−

<

−

2 432

20

52

1

2

x

–1 < − + −

−

−

2 432

205

2

2

x< 1

–1 < 2 4

23

205

2

2

+ −

−x

< 1

–1 < 2 4

49

4

2

+ − −x< 1

– 2 < 2 449

2+ − −x < 2

– 2 < 4x – 49

< 2

– 2 + 49

< 4x < 2 + 49

– 149

< 4x < 229

– 14

9 4

22

9 4⋅< <

⋅x

–7

9 211

9 2⋅< <

⋅x

–7

181118

< <x

Portanto, a solução é dada:

S = {x ∈R/ –7

181118

< <x }.

44) C

20 5

4

−

−

x

x– 8x ≥ – 136

20 5

4

−

−

x

x– 8x + 136 ≥ 0

20 5 8 136 4

4

− + − + −

−

x x x

x

( )( ) ≥ 0

Vamos analisar os sinais separadamente: 20 – 5x + (–8x + 136)(4 – x) ≥ 0 quando

(– 8 x + + 136) (4 – x) > 0

– 32x + 8x2 + 544 – 136x > 08x2 – 168x + 544 > 0

GABARITO

13Matemática A

4 17

Temos ainda,

+ 4

Segue,

4

4

17

4 17

+ + + + + + +

+ + + + + + +

– – – – – – – – – – – – –

– – – – – – –

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

– – – – – –

Logo, a solução é:S = ] – ∞, 17 [.

Portanto, para x > 4 o valor inteiro da solução S é 12.

45) E x2 – 2 < 1–1 < x2 – 2 < 1–1 + 2 < x2 < 1 + 21 < x2 < 3

Analisando separadamente as desigualdades, temos:1 < x2

1 < xx < –1 ou x > 1Temos ainda,x2 < 3

x < 3

– 3 < x < 3

Segue,

– 1 11< xl l

l l <x

– 3 – 1 1 3

– 3 3

3

Portanto,

S = ( – 3, –1) ∪ (1, 3).

46) E Trabalhando a desigualdade separadamente, temos:

1 < x + 3x + 3 < –1 ou x + 3 > 1x < – 4 ou x > –2

x + 3 < 4– 4 < x + 3 < 4– 4 – 3 < x < 4 – 3– 7 < x < 1

Segue,

– 4 –2

– 4 –2 1

– 7 1

– 7

Logo, S = (–7, –4) ∪ (–2, 1).Portanto, o número inteiro não nulo de x é 3.

47) D p – 41 ≤ 15– 15 ≤ p – 41 ≤ 15– 15 + 41 ≤ p ≤ 15 + 4126 ≤ p ≤ 56

Portanto, a diferença entre o maior e o menor preço, em reais, é:56 – 26 = 30.

48) DH−

≤1726

1

–1 ≤ H−1726

≤ 1

–1 . 6 ≤ H – 172 ≤ 1 . 6– 6 ≤ H – 172 ≤ 6– 6 + 172 ≤ H ≤ 6 + 172166 ≤ H ≤ 178Logo, [166; 178].Portanto, [166; 178] ⊂ [166; 179].

49) DSegundo o gráfico, temos:10 = k . 2 2 . 0

10 = k . 20

10 = k (i)Temos ainda,20 = k . 2a.2

20 = k . 22a (.2–1)10 = k . 22a . 2–1

10 = k . 22a –1 (ii)

GABARITO

14 Matemática A

Substituindo (i) em (ii), obtemos:

10 10 22 1= ⋅ −a

1 = 2 2a – 1

2 20 2 1

=−a

0 = 2a – 12a = 1

a = 12

Logo, a função é dada por N = 10. 22t

.

Segue,Para t = 4

N1 = 10 . 242

N1 = 10 . 22

N1 = 10 . 4N1 = 40

Para t = 8

N2 = 10 . 282

N2 = 10 . 24

N2 = 10 . 16N2 = 160

Portanto, N2 – N1 = 160 – 40 = 120, logo a diferença em milhares é 120 000.

50) At = 0 ⇒ k

t = 5 ⇒ k . 255

t = 10 ⇒ k . 2105

Logo, a lei de formação é dada por k . 25t

.

51) C1) Falsa. Para x = 0

P = 36009 3 40+ ⋅

= 36009 3 1+ ⋅

= 360012

= 3000

2) Verdadeira. Pois a função é crescente.3) Verdadeira.

P = 3600

934

+ t

Note que, conforme t cresce, 34t

se aproxima cada

vez mais do número zero. Logo, para t tão grande quanto queremos, dizemos

que t tende ao infinito. Então temos:

34t

= 0.

Assim, para t tão grande como queremos:

P = 36009 0+

= 36009

= 400

52) DN(t) = 500 . 2t

7000 500= . 2t

70 5= . 2t

14 = . 2t

Note que,23 < 14 < 24

Logo, 3 < t < 4, ou seja, t ∈ [3, 4].

53) DPara v(t) = 0, temos:0 = 512 – 2t

2t = 512

2 29t

=t = 9

Portanto, o tanque levará t = 9 horas para ficar total-mente vazio.

54) C

T(n) = 2n – 12047 = 2n – 12047 + 1 = 2n 2048 = 2n

2 211

=n

n = 11

2048

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

211

GABARITO

15Matemática A

55) E

Para t = 10 e N = 24 000, temos:N = 20 000 (1 + k)t

24 000 20 000= (1 + k)10

24 = 20 (1 + k)10

24

20

4

4

÷

÷= (1 + k)10

65

= (1 + k)10 (i)

Temos ainda, para t = 20:N = 20 000 (1 + k)20

N = 20 000 ((1 + k)10)2 (ii)Substituindo (i) em (ii), teremos:

N = 20 000 . ( 65

)2

N = 2000036

25⋅

N = 800 . 36N = 28 800

56) 13

y

10

x

2

1

31

01. Correta. Facilmente verificamos que o domínio da função f(x) é R.02. Incorreta. Para x = 0 f(0) = 20 = 104. Correta. f(–1) = 2–1 < 1

f(f(–1)) = f(2–1) = 22 1−

= 21/2 > 1 f( f f −( )( )1

21 2/

) = f(21/2 ) = (21/2)2 + 1 = 22/2 + 1 = 2 + 1 = 3

08. Correta. Facilmente verificamos no gráfico.16. Incorreta. Pois Im = (0, ∞).

GABARITO

16 Matemática A

57) E

t = 0 ⇒ q(0) = q0 . 2

t = 1,5 ⇒ q(1,5) = q0 . 21 51 5,,

t = 3 ⇒ q(3) = q0 . 23

1 5,

t = 4,5 ⇒ q(4,5) = q0 . 24 51 5,,

t = t0 ⇒ q0(t0) = q0 . 20

1 5t,

t = t0 ⇒ q0(t0) = q0 . 20

3 2t/

t = t0 ⇒ q0(t0) = q0 . 22

30.

t

t = t0 ⇒ q0(t0) = q0 . 40

3t

t = t0 ⇒ q0(t0) = q0 . 4 03 t

58) 29

ERRATA: Na alternativa 16, considere a função

V(t) = 200 . 210

100

2− −( )t

.

01. Correta. V(10) = 200 00002. Incorreta. Pois o valor máximo é dado por

V(10) = 200 00004.Correta. Note que o valor inicial é 100 000 reais.

Como a curva do valor do imóvel está compreendi-da no intervalo 200 000 a 0 e decresce a partir de V(20), então em algum momento o custo do imóvel valerá 37,5% do valor inicial.

08.Correta. V(10) = V(20) = 100 00016.Correta. Para t = 30

V(30) = 200 . 230 10100

2− −( )

V(30) = 200 . 220

100

2−

V(30) = 200 . 24 00

100−

V(30) = 200 . 2–4 = 200 . 116

= 12,5

Mas 18

do inicial é:

18

. 100 = 12,5

59) A

Seja M(t) = a.2bt

Para t = 0, temos: 16 = a.2b.0

16 = a.20

16 = aPara x = 150, temos: 4 = a.2b.150

4 = 16 . 2b.150

4

16= 2b.150

14

= 2b.150

122

= 2b.150

2 –2 = 2 b.150

–2 = b . 150

b = –2

150

b = –1

75Portanto,

M(t) = 16 . 2 75−

t

M(t) = 24 . 2 75−

t

M(t) = 24

75−

t

.

60) E

Para t = 4

r(4) = 30

π. 40,5

r(4) = 30

π. 2

r(4) = 60

πVolume de 4 horas de vazamento:

V4 = ππ

602

. 0,005

V4 = ππ

602

. 0,005

V4 = 3600 . 0,005V4 =18 m3

Para t = 9

r(9) = 30

π. 90,5

GABARITO

17Matemática A

r(9) = 30

π. 3

r(9) = 90

π

Volume de 9 horas de vazamento:

V9 = ππ

902

. 0,005

V9 = ππ

902

. 0,005

V9 = 8100 . 0,005V9 = 40,5 m3

Portanto, o volume do óleo que vazou no intervalo de 4 a 9 horas foi:

V9 – V4 = 40,5 – 18 = 22,5 m3.

61) A

Q = 1000Q = 1512 – 2–0,5t + 16

1000 = 1512 – 2–0,5t + 16

2–0,5t + 16 = 1512 – 10002–0,5t + 16 = 512

2 –0,5t + 16 = 2 9

–0,5t + 16 = 916 – 9 = 0,5t0,5t = 7

t = 70 5,

t = 14 meses.

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

29

62) A

Temos que:4,5 ℓ = 4,5.10–3 m3 = 4,5.10–3 . 109 mm3

4,5 ℓ = 4,5.106 mm3

Cada 1mm3 possui 5 milhões de glóbulos vermelhos, ou seja, 5 . 106 glóbulos vermelhos.

Segue, 5 . 106 . 4,5 . 106 = 22,5 . 1012 glóbulos vermelhos em

uma pessoa de 70 kg.

Assim, 22,5 . 1012 = 2,25 . 1013 = α . 10k.Logo, α . 2,25 e k = 13.Daí, α + k = 2,25 + 13 = 15,25.

63) B

Porcentagem do nível de glicose na corrente sanguínea:

302494

= 0,61 = 61 %

Logo, após uma hora de tratamento, houve uma queda de:

100% – 61% = 39% Portanto, após uma hora de tratamento houve uma

queda superior a 36%.