ndiceCaptulo 1: Nmeros y ProporcionalidadI. Conjuntos numricos1. Nmeros naturales

1.1 Pares e impares1.2 Primos1.3 Mltiplos y divisores1.4 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor1.5 Operaciones en los nmeros naturales

2. Nmeros cardinales2.1 Operaciones en los nmeros cardinales

3. Nmeros enteros3.1 Operaciones en los nmeros enteros3.2 Prioridad de las operaciones

4.Nmeros racionales 4.1 Propiedades de las fracciones4.2 Operaciones en los nmeros racionales4.3 Transformaciones4.4 Comparacin de fracciones

5. Nmeros irracionales6. Nmeros reales

6.1 Anlisis de la significacin de las cifras en la resolucin de problemas6.1.1 Anlisis de cifras significativas6.1.2 Normas para el uso de cifras significativas

6.2 Desafos y problemas numricos6.2.1 Cuadrados mgicos6.2.2 Regularidades numricas

7. Nmeros imaginarios8. Nmeros complejosII. Razones, proporciones, porcentajes e inters1. Razones y proporciones

1.1 Razn1.2 Proporcin

1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones1.2.2 Propiedades de las proporciones1.2.3 Clasificacin de las proporciones1.2.4 Serie de razones o proporciones

2. Proporcionalidad2.1 Directa2.2 Inversa2.3 Compuesta

3. Porcentaje3.1 Relacin en porcentajes3.2 Variacin porcentual (%)3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de prdida (%P)3.4 Inters

3.4.1 Inters simple3.4.2 Inters compuesto

Captulo 2: lgebra y FuncionesI. Potencias y races1. Potencias

1.1 Signos de una potencia1.2 Propiedades

1.2.1 Multiplicacin de potencias1.2.2 Divisin de potencias1.2.3 Potencia de una potencia1.2.4 Potencias de exponente negativo1.2.5 Potencias de exponente cero

1.3 Potencias de base 102. Races

2.1 Propiedades2.1.1 Relacin de la raz y la potencia2.1.2 Multiplicacin de races de igual ndice2.1.3 Divisin de races de igual ndice2.1.4 Composicin o descomposicin de races2.1.5 Raz de una raz

2.2 RacionalizacinII. lgebra1. Conceptos importantes

1.1 Trmino algebraico1.2 Expresin algebraica

1.2.1 Clasificacin1.2.2 Grado

1.3 Trminos semejantes2. Operaciones algebraicas

2.1 Adicin y sustraccin2.2 Multiplicacin

2.2.1 Productos notables2.3 Factorizacin2.4 Mnimo comn mltiplo (m.c.m.)2.5 Mximo comn divisor (M.C.D.)

3. Operatoria con fracciones algebraicas3.1 Adicin y sustraccin3.2 Multiplicacin3.3 Divisin

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones1. Ecuaciones lineales

1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros 1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado1.4 Ecuaciones literales de primer grado

2. Metalenguaje y problemas de planteo3. Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Mtodos de resolucin3.2 Representacin grfica

IV. Inecuaciones lineales1. Desigualdades

1.1 Propiedades1.2 Intervalos

2. Inecuaciones lineales3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incgnitaV. Relaciones y funciones1. Nociones de conjuntos2. Relaciones

2.1 Producto cartesiano2.2 Concepto de relacin

3. Funciones3.1 Concepto de funcin3.2 Representacin grfica3.3 Clasificacin de funciones

VI. Funciones de variable real1. Funcin afn2. Funcin parte entera3. Funcin valor absoluto

3.1 Propiedades del valor absoluto4. Funcin raz cuadrada5. Funcin cuadrtica

5.1 Grfica5.1.1 Concavidad5.1.2 Eje de simetra y vrtice5.1.3 Interseccin con los ejes

5.2 Ecuacin de segundo grado5.2.1 Propiedades de las races o soluciones

6. Funcin exponencial6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento exponencial.

7. Funcin logartmica7.1 Logaritmos

7.1.1 Tipos de logaritmos7.1.2 Propiedades

7.2 Ecuaciones logartmicas y exponenciales7.2.1 Exponencial7.2.2 Logartmica

7.3 AplicacionesCAPTULO 3: GEOMETRAI. ngulos y polgonos1. ngulos

1.1 Sistemas de medida1.1.1 Unidades de los sistemas1.1.2 Transformacin de un sistema en otro

1.2 Clasificacin de ngulos1.3 Relaciones angulares

1.4 ngulos entre paralelas2. Polgonos

2.1 Elementos de un polgono2.2 Clasificacin de polgonos2.3 Generalidades en un polgono convexo de n lados

2.3.1 Nmero de diagonales desde un vrtice2.3.2 Nmero total de diagonales2.3.3 Suma de los ngulos interiores de un polgono2.3.4 Suma de los ngulos exteriores de un polgono convexo

II. Tringulos1. Elementos primarios2. Teoremas fundamentales3. Elementos secundarios

3.1 Altura3.2 Bisectriz3.3 Simetral3.4 Mediana3.5 Transversal de gravedad

4. Generalidades4.1 rea4.2 Permetro

5. Clasificacin de tringulos5.1 Segn sus ngulos

5.1.1 Teoremas en el tringulo rectngulo5.1.2 Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo

5.2 Segn sus lados5.2.1 Propiedades del tringulo equiltero5.2.2 Propiedades del tringulo issceles

III. Trigonometra en el tringulo rectngulo1. Razones trigonomtricas2. Identidades trigonomtricas3. Aplicaciones

3.1 ngulos de elevacin y de depresin3.2 Valores de las funciones trigonomtricas para ngulos ms utilizados

IV. Cuadrilteros1. Elementos primarios2. Teoremas fundamentales3. Clasificacin de los cuadrilteros segn el paralelismo de sus lados

3.1 Paralelgramos3.2 Trapecios3.3 Trapezoides

V. Circunferencia y crculo1. Elementos2. Generalidades

2.1 Permetros2.1.1 Permetro de la circunferencia2.1.2 Permetro del sector circular

2.2 reas2.2.1 rea del crculo2.2.2 rea del sector circular

3. ngulos en la circunferencia3.1 ngulo del centro3.2 ngulo inscrito

3.2.1 ngulo inscrito en una semicircunferencia3.2.2 Cuadriltero inscrito en una circunferencia

3.3 ngulo semi-inscrito3.4 ngulo interior3.5 ngulo exterior

4. Proporcionalidad en la circunferencia4.1 Teorema de las cuerdas4.2 Teorema de las secantes4.3 Teorema de la tangente y la secante4.4 Igualdad de tangentes

VI. Geometra de proporcin1. Congruencia

1.1 Elementos correspondientes en los tringulos1.2 Criterios de congruencia en tringulos

2. Equivalencia3. Semejanza

3.1 Criterios de semejanza en tringulos

3.2 Propiedades de los tringulos semejantes3.3 Teorema de Thales

3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales3.4 Teorema de la bisectriz

4. Divisin de un segmento4.1 Divisin interior

4.1.1 Seccin urea o divina4.2 Divisin exterior4.3 Divisin armnica

VII. Cuerpos geomtricos1. Poliedros

1.1 Elementos1.2 Clasificacin

1.2.1 Poliedros regulares1.2.2 Poliedros irregulares

1.3 rea y volumen de algunos poliedros1.3.1 Cubo o hexaedro1.3.2 Paraleleppedo

2. Cuerpos redondos2.1 Cilindro2.2 Cono2.3 Esfera

VIII. Geometra analtica y Transformaciones isomtricas1. Plano cartesiano

1.1 Definicin1.2 Coordenadas de un punto1.3 Cuadrantes1.4 Distancia y punto medio entre dos puntos

2. La recta2.1 Pendiente2.2 Ecuacin de la recta

2.2.1 Ecuacin general2.2.2 Ecuacin principal

2.3 Posicin relativa entre rectas2.3.1 Rectas coincidentes2.3.2 Rectas paralelas2.3.3 Rectas perpendiculares

3. Transformaciones isomtricas3.1 Traslacin

3.1.1 Propiedades3.2 Rotacin

3.2.1 Propiedades3.3 Simetra

3.3.1 Central3.3.2 Axial3.3.3 Propiedades de las simetras

4. Teselaciones4.1 Teselaciones regulares

5. Homotecia6. Geometra tridimensional

6.1 Plano tridimensional6.2 ngulos diedros6.3 Posicin relativa de planos y rectas

Captulo 4: Probabilidad y EstadsticaI. Probabilidad1. Combinatoria

1.1 Principio multiplicativo1.2 Permutaciones

1.2.1 Sin repeticin1.2.2 Con repeticin

1.3 Variaciones1.3.1 Sin repeticin1.3.2 Con repeticin

1.4 Combinaciones1.4.1 Sin repeticin1.4.2 Con repeticin

2. Probabilidades2.1 Definiciones

2.1.1 Experimento aleatorio2.1.2 Espacio muestral (E)2.1.3 Evento o suceso

2.2 Ley de los Grandes Nmeros2.3 Probabilidad clsica o a priori

2.3.1 Diagrama de rbol2.3.2 Tipos de sucesos

2.4 Probabilidad total2.5 Probabilidad condicionada2.6 Probabilidad compuesta

II. Estadstica1. Conceptos bsicos2. Tipos de grficos

2.1 Grficos de barras2.2 Histogramas2.3 Polgonos de frecuencias2.4 Grficos circulares2.5 Pictogramas

3. Distribucin de frecuencias3.1 Tablas de datos NO agrupados3.2 Tablas de datos agrupados

4. Medidas de tendencia central4.1 Media aritmtica o promedio4.2 Mediana4.3 Moda

5. Medidas de dispersin5.1 Varianza5.2 Desviacin tpica o estndar

Captulo 1: Nmeros y ProporcionalidadAprendizajes Esperados Diferenciar entre nmeros enteros, racionales e irracionales y aplicar sus propiedades determinando sus caractersticas. Resolver problemas que involucren operaciones con nmeros enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de

resolucin. Estimar y analizar los resultados en la realizacin de clculos y ajustarlos a las caractersticas que necesita el problema. Establecer relaciones de orden y posicin de distintos tipos de nmeros, utilizando la recta numrica y la inclusin en los conjuntos.

En la ilustracin se muestra un fragmento de la pintura mural que adorna la tumba de un prncipe en Tebas, que vivi en tiempos del rey Tutmosis IV de laXVII dinasta (siglo XV a.C). Seis escribas contables controlan a cuatro obreros que cuentan el grano pasndolo de un montn a otro.

I. Conjuntos numricos

1. Nmeros naturales

El conjunto de los nmeros naturales, que designaremos por la letra IN, corresponde a:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

Este conjunto tiene algunas caractersticas:

Todo nmero natural tiene un sucesor. El sucesor de un nmero natural es el nmero aumentado en una unidad. El antecesor de un nmero naturales el nmero disminuido en una unidad. Por ejemplo: el sucesor de 27 es 28, el de 501 es 502, etc.

Todo nmero natural, exceptuando el 1, tiene un antecesor. Por ejemplo: el antecesor de 10 es 9, el de 912 es 911, etc.

El conjunto de los Nmeros naturales es infinito, es decir, no existe un ltimo nmero natural.

1.1 Pares e impares

Este conjunto se puede separar en dos subconjuntos: los pares y los impares, y ningn nmero pertenece a ambos.

Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... y los impares son: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

Los conceptos de sucesor y antecesor se pueden tambin generalizar para los nmeros pares e impares, obteniendo de esta forma los conceptos de parsucesor, par antecesor, impar sucesor e impar antecesor. Por ejemplo, el impar sucesor de 37 es 39 y el par antecesor de 48 es 46.

1.2 Primos

Son aquellos que se pueden descomponer en exactamente dos factores distintos: el uno y el mismo nmero, es decir, dichos nmeros se pueden dividirpor uno y por s mismos. Por ejemplo, el 23 es un nmero primo, pues sus factores son exactamente dos, el 1 y el 23. Los primeros nmeros primos son: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

Primos relativos o primos entre s son aquellos que, no siendo primos necesariamente, no tienen factores primos comunes.

Ejemplo:

1) 21 y 25: 21 posee como factores primos el 3 y el 7, 25 posee al 5.2) 32 y 15: 15 posee como factores primos el 3 y el 5, 32 posee al 2.

Los nmeros primos tienen gran importancia, porque cualquier nmero natural mayor que uno es primo o se puede expresar como producto de nmerosprimos. Por ejemplo, el nmero 150 se puede expresar como 2 3 5 5 o escrito en potencias: 2 3 52.

Esta descomposicin se llama factorizacin prima y tiene importancia para el estudio de las propiedades de los nmeros; entre ellas, los divisores de unnmero, el clculo del mximo comn divisor (M.C.D.) y del mnimo comn mltiplo (m.c.m.).

Para descomponer un nmero en factores primos, procederemos dividiendo el nmero sucesivamente por los nmeros primos hasta llegar al ltimo factorprimo, tal como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

Descomponer el nmero 700 en factores primos:

Por lo tanto, la descomposicin de 700 en factores primos corresponde a: 2 2 5 5 7, el cual se puede escribir en notacin de potencias de la siguienteforma: 22 52 7.

1.3 Mltiplos y divisores

En la radio FM Retro, cada 30 minutos se anuncia la hora mediante una grabacin automtica. Las horas son anunciadas a los 30, 60, 90, 120 minutos,etc., despus de la primera vez. Estos nmeros corresponden a los mltiplos de 30 y son la multiplicacin de 30 por los nmeros naturales 1, 2, 3, 4,..., etc.

Un ejemplo de mltiplos de un nmero cualquiera podran ser los mltiplos del nmero 14, los que se designan con el smbolo M(14) y corresponde alconjunto: {14, 28, 42, 56, 70,...}

Supongamos que queremos saber si el nmero 168 est o no en este conjunto. Para ello, deberamos saber si 14 divide exactamente a 168 o no.

Efectivamente, 168 = 14 12; por lo tanto, 168 es mltiplo de 14 y tambin podemos decir que 168 es divisible por 14. Entonces, los conceptos de mltiploy divisor estn fuertemente relacionados: si a es divisor de b, entonces b es mltiplo de a, y viceversa.

Para determinar en forma rpida si un nmero es divisible o no por otro, existen las llamadas reglas de divisibilidad, algunas de las cuales se presentana continuacin:

Un nmero es divisible por dos si su ltima cifra es un nmero par o cero. Ejemplo: 58, ya que 8 es nmero par.

Un nmero es divisible por tres si la suma de sus cifras es mltiplo de tres. Ejemplo: 42, ya que 4 + 2 = 6 y este es mltiplo de tres.

Un nmero es divisible por cuatro si las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o ambos son ceros. Ejemplo: 708, ya que 8 es mltiplo de cuatro.

Un nmero es divisible por cinco si su ltima cifra es cero o cinco. Ejemplos: 85 y 50.

Un nmero es divisible por seis si es divisible por dos y tres a la vez. Ejemplo: 42.

Un nmero es divisible por nueve si la suma de sus cifras es un mltiplo de nueve. Ejemplo: 3.699, ya que 3 + 6 + 9 + 9 = 27 y este es mltiplo de nueve.

Un nmero es divisible por diez si su ltima cifra es cero. Ejemplo: 3.840

Los divisores de un nmero los puedes determinar si ocupas las reglas anteriores o bien si efectas la descomposicin en factores primos. Por ejemplo,para hallar los divisores de 60, podemos encontrar su descomposicin en factores primos:

Entonces 60 = 3 5 22.

Los nmeros que dividen a 60 son el 1, cada uno de sus factores primos y todos los productos posibles entre ellos.

El conjunto de los divisores de 60 se puede escribir:D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

1.4 Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor

El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) se puede calcular desarrollando la descomposicin prima de todos los nmeros y multiplicando todos los factoresdistintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor exponente que tenga en las descomposiciones.

El mximo comn divisor (M.C.D.) se puede calcular desarrollando la descomposicin prima y multiplicando posteriormente los factores comuneselevados cada uno al menor exponente que tenga en las descomposiciones.A continuacin, te presentamos dos situaciones de la vida diaria donde se aplica el clculo del mnimo comn mltiplo y del mximo comn divisor:

Juan compr un vehculo y se dio cuenta de que el cambio de aceite deba hacerse cada 6.000 km; el cambio de filtro de aceite cada 10.000 km; y larevisin de frenos, cada 12.000 km. Luego se pregunt: si tuviera que hacer las tres cosas a la vez, en cuntos kilmetros ms las tendr que realizar?

Al contar determin lo siguiente:

Y luego surgi la respuesta: el nmero corresponde al menor de los mltiplos comunes, es decir, al m.c.m. (mnimo comn mltiplo).

El clculo del m.c.m. se puede realizar utilizando la descomposicin en factores primos de los nmeros, es decir:

Ahora, para hallar el m.c.m. se deben multiplicar todos los factores distintos que aparecen en las descomposiciones, elevados al mayor exponente queaparezca en cada base.

El primer elemento de este conjunto, es decir, el 1, por definicin, NO es primo.

Fanny est a cargo del festival del instituto donde estudia y debe empapelar una parte de una pared con cuadrados de cartulina de diversos colores.

El pliego de cartulina de color tiene un tamao de 84 por 108 cm y quiere hacer la menor cantidad de cortes posibles para que no sobre material en cadapliego. Cunto debe medir el lado de cada cuadrado para que cumpla con lo anterior?

Para resolver esto, Fanny debera calcular el mximo comn divisor (M.C.D.) entre 84 y 108.

El clculo del M.C.D. se obtiene al igual que en los ejemplos anteriores a travs de la descomposicin en factores primos:

Se puede observar que el mayor nmero que divide simultneamente ambos nmeros es 12, el cual corresponde al M.C.D. Finalmente, Fanny debercortar trozos de cartulina de 12 por 12 cm para que no le sobre ningn pedazo y as optimizar la cartulina.

Un nmero se puede escribir de una nica manera como un producto de nmeros primos.

Ejemplo:

1.5 Operaciones en los nmeros naturales

Las operaciones aritmticas que se definen en este conjunto son las siguientes:

a. Adicin

Sean dos nmeros naturales a y b, la adicin de nmeros naturales se expresa por: a + b

Propiedades

Nota: No existe elemento neutro para la adicin.

b. Sustraccin

Sean dos nmeros naturales a y b, la sustraccin o diferencia de nmeros naturales se expresa por a b, con:

c. Multiplicacin

Sean dos nmeros naturales a y b, la multiplicacin o producto de nmeros naturales se expresa por: a b.

Propiedades

La multiplicacin es distributiva con respecto a la suma, es decir:

d. Divisin

Sean dos nmeros naturales a y b, la divisin de nmeros naturales se expresa por (a : b), con:

Ejemplo:

Ser divisible significa que el resto es cero y el cuociente (divisin) no tiene decimales.

2. Nmeros cardinales

Este conjunto se define por:

2.1 Operaciones en los nmeros cardinales

Las operaciones aritmticas que se definen en este conjunto, al igual que en el conjunto anterior, son las siguientes:

a. Adicin Sean dos nmeros cardinales a y b, la adicin de nmeros cardinales se expresa por: a + b.

Propiedades:

b. Sustraccin

Sean dos nmeros cardinales a y b, la sustraccin o diferencia de nmeros cardinales se expresa por (a b), con:

c. Multiplicacin

Sean dos nmeros cardinales a y b, la multiplicacin de nmeros cardinales se expresa por: a b.

Propiedades:

d. Divisin

Sean dos nmeros cardinales a y b, la divisin de nmeros cardinales se expresa por (a : b). La divisin por cero no est definida en este conjunto,luego:

3. Nmeros enteros

Los nmeros enteros conforman el conjunto:Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los nmeros enteros, los nmeros naturales corresponden a los nmeros enteros positivos.

En los nmeros naturales y cardinales ya se han descrito las operaciones aritmticas bsicas, las cuales podemos extender a todo el conjunto de losnmeros enteros.

Al sumar, restar o multiplicar nmeros enteros, el resultado es siempre un nmero entero. En cambio, en la divisin no siempre es as.

3.1 Operaciones en los nmeros enteros

a. Adicin

Sean dos nmeros enteros a y b, la adicin de nmeros enteros se expresa por: a + b.

La adicin de dos nmeros enteros de igual signo se obtiene sumando los valores absolutos de cada nmero entero y manteniendo el signo de lossumandos.

El valor absoluto de un nmero se puede interpretar en la recta numricacomo la distancia del nmero al cero. Por lo tanto, siempre es positivo o cero. Larepresentacin del valor absoluto de un nmero entero se puede establecer a travs de la siguiente regla.

La suma de un nmero positivo con uno negativo se obtiene restando los valores absolutos de cada nmero y colocando el signo del mayor valorabsoluto.

b. Sustraccin

Sean dos nmeros enteros a y b, la sustraccin o diferencia de nmeros enteros se expresa por (a b), con:

La anterior definicin determina que en este conjunto siempre existe un elemento que representa la diferencia entre dos elementos cualesquiera, es decir,a partir del conjunto de los nmeros enteros se puede realizar cualquier sustraccin.

Ejemplo:

7 4 = 38 19 = 11

La diferencia entre dos nmeros enteros no es conmutativa, por lo que tampoco es asociativa.

Ejemplo:

7 4 = 34 7 = 3

c. Multiplicacin

Sean dos nmeros enteros a y b, la multiplicacin de nmeros enteros se expresa por: a b. Se deben mencionar los siguientes casos:

El producto de dos nmeros enteros de igual signo se obtiene multiplicando los nmeros y anteponiendo el signo positivo, es decir, lamultiplicacin de nmeros enteros de igual signo es siempre positiva.

El producto de dos nmeros enteros de distinto signo se obtiene multiplicando los valores absolutos de los nmeros y anteponiendo el signonegativo, es decir, la multiplicacin de nmeros enteros de distinto signo siempre es negativa.

Ejemplo:

3(120.000) = 360.000(3)(120.000) = 360.000

Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0

d. Divisin

Sean dos nmeros enteros a y b, la divisin de nmeros enteros se expresa por (a : b).

La divisin, al igual que en los Nmeros Naturales, es la operacin inversa de la multiplicacin. Es decir, dividir 14 : 2 corresponde a determinar qunmero multiplicado por 2 da como resultado 14.

Luego, para dividir nmeros enteros se deben dividir los valores absolutos de los nmeros y asignarles signo de la misma forma que al multiplicar:

Si se dividen dos nmeros de igual signo, el resultado es positivo.

Si se dividen dos nmeros de distinto signo, el resultado es negativo.

En el ejemplo anterior 14 : 2 = 7.

En resumen, se puede establecer una regla de signos para la multiplicacin y divisin de nmeros enteros, la cual se resume en la siguiente tabla:

Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0 .

3.2 Prioridad de las operaciones

Al igual que en la operatoria con nmeros naturales y cardinales, en los nmeros enteros hay algunas operaciones que tienen prioridad sobre otras. De locontrario, en clculos como 20 : 5 + 7, no se sabra si calcular primero la divisin o la suma.

En clculos con expresiones que tengan parntesis y operaciones combinadas, el orden para ejecutar las operaciones es el siguiente:

1 Las operaciones que estn entre parntesis, partiendo de los interiores a los exteriores.

2 Potencias.

3 Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

4 Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

4.Nmeros racionales

Son aquellos que se pueden escribir de la forma y pertenecen al conjunto:

a : numerador (dividendo)b : denominador (divisor)

stos estn formados por todos los nmeros que se pueden escribir como una fraccin, cuyos numerador y denominador son nmeros enteros, pero eldenominador es diferente de cero.

Ejemplo:

4.1 Propiedades de las fracciones

Amplificar y simplificar fracciones son procedimientos que no cambian el valor de una fraccin.

Ejemplo:

Simplificar una fraccin es el proceso inverso de amplificar, o sea, se dividen el numerador y el denominador por un mismo nmero.

Ejemplo:

El inverso multiplicativo o recproco del nmero

siempre que a y b sean distintos de cero.

La prioridad de operaciones tambin se aplica a la operatoria con fracciones.

4.2 Operaciones en los nmeros racionales

Sean a, b, c, d diferentes de cero.

No es lo mismo

porque el primero es un producto de un nmero entero por una fraccin y el segundo un nmero mixto.

4.3 Transformaciones

a. De fraccin a decimal

Para esto basta dividir el numerador por el denominador.

b. De decimal finito a fraccin comn

La fraccin que resulta tiene por numerador un nmero sin la coma y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente ser el nmero total dedecimales.

c. De decimal peridico a fraccin comn

La fraccin resultante tiene como numerador el perodo y como denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.

Ejemplo:

d. De decimal semiperidico a fraccin comn

La fraccin tiene como numerador un nmero formado por el nmero sin la coma menos lo que est antes del perodo, y como denominador un nmerocon tantos nueves como cifras tiene el perodo seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo.

4.4 Comparacin de fracciones

Comparar fracciones significa ordenarlas en forma creciente o decreciente dos o ms fracciones. Los mtodos ms comunes son:

Multiplicacin cruzada: Este mtodo es conveniente si son pocas fracciones a comparar.

Ejemplo:

Al comparar

Igualar denominadores: Este mtodo es conveniente utilizar cuando son varias fracciones a comparar. Se calcula el m.c.m. de los denominadores ycada fraccin es amplificada para que tenga el mismo denominador, luego se comparan los numeradores.

Transformar a decimal: Se transforma de fraccin a decimal y despus se compara decimal a decimal.

Ejemplo:

Al comparar decimales el primero es igual para los tres, en el segundo el 8 es el mayor entonces, es la fraccin mayor y en el tercer decimal 7 > 0

5. Nmeros irracionales

Las transformaciones anteriores permiten determinar que los elementos del conjunto de los nmeros racionales se clasifican en nmeros decimalesfinitos, infinitos peridicos y semiperidicos, los cuales se pueden tambin representar a travs de una fraccin.

Adems de los nmeros mencionados anteriormente, existen nmeros decimales que tienen infinitas cifras decimales, sin perodo, los cuales no sepueden escribir como una fraccin con numerador y denominador enteros. Estos elementos se llaman nmeros irracionales.

En resumen, los nmeros Irracionales son todos aquellos que no se pueden escribir de la forma, con

Propiedades

Una secta matemtica

Nacido en la isla de Samos, Pitgoras habra sido discpulo de Thales, que enseaba en Mileto, la ciudad vecina. Viaj mucho a Egipto y a Babilonia,antes de instalarse en una colonia griega del sur de Italia, Crotona. Fund una secta a la vez cientfica, religiosa y poltica. Los pitagricos estudiabanmatemtica y msica. Buscaban la armona universal, explicando el mundo con los nmeros (enteros), atribuyendo un nombre a cada cosa. Predicabanuna vida austera; compartan sus bienes y sus descubrimientos cientficos.La escuela pitagrica, que existi hasta aproximadamente el ao 400 a.C., dio origen a la aritmtica. Los pitagricos se consagran exclusivamente alestudio de los nmeros enteros, que asimilaban a las figuras geomtricas. El descubrimiento de los irracionales

... que volva imposible esta correspondencia, provoc una gran crisis entre los pitagricos, el primer drama de la historia de la matemtica.

6. Nmeros reales

La unin entre los conjuntos de nmeros racionales e irracionales forma el conjunto de los nmeros reales. La recta numrica nos permite representareste conjunto, sta est formada por infinitos puntos. A cada punto sobre la recta le corresponde un nmero real nico, que se denomina coordenada deese punto. Por esta razn se dice que existe una correspondencia entre puntos de la recta y los nmeros reales. Dicha recta se llama recta decoordenadas o recta de nmeros reales. Finalmente, existe la libertad de tratar los nmeros reales como puntos sobre dicha recta y viceversa.

6.1 Anlisis de la significacin de las cifras en la resolucin de problemas

6.1.1 Anlisis de cifras significativas

Excepto cuando todos los nmeros de una operacin son enteros (como, por ejemplo, al contar las aves de un corral), a menudo es imposible obtener elvalor exacto de la cantidad que se investiga.

Por este motivo, es importante indicar el margen de error en las mediciones indicando claramente el nmero de cifras significativas: dgitosrepresentativos de una magnitud medida o calculada. Cuando se cuentan las cifras significativas se sobreentiende que el ltimo dgito es incierto.

Como ejemplo, si una probeta est graduada en mililitros y se encuentra que el volumen de un lquido es de 6 ml, el volumen real estar en el intervalo de5 a 7 ml. El volumen del lquido se presenta como (6 1) ml. En este caso solo hay una cifra significativa, el nmero 6, que tiene incertidumbre de ms omenos 1. Para mejorar la medicin se podra utilizar una probeta con divisiones ms finas, de tal manera que la incertidumbre fuera de solo 0,1 ml si seencuentra que el volumen del lquido es de 6,0 ml, la cantidad se puede expresar como (6 0,1) ml, y el valor correcto estar entre 5,9 y 6,1 ml. Se puedecontinuar mejorando las mediciones mediante el empleo de otros dispositivos y obtener ms cifras significativas. En todo caso, el ltimo dgito es siempreincierto; el valor de esta incertidumbre depender del instrumento de medicin.

6.1.2 Normas para el uso de cifras significativasEl anlisis previo demuestra que en el trabajo cientfico siempre se debe tener cuidado de anotar el nmero adecuado de cifras significativas. En general,es bastante fcil determinar cuntas cifras significativas hay en un nmero si se siguen las siguientes reglas:

a. Cualquier dgito diferente de cero es significativo. As, 845 tiene tres cifras significativas; 1,234 kg tiene cuatro cifras significativas, etctera.

b. Los ceros ubicados entre dgitos distintos de cero son significativos. As, 606 m tiene tres cifras significativas; 40.501 tienen cinco cifrassignificativas, etctera.

c. Los ceros a la izquierda del primer dgito diferente de cero no son significativos. Estos ceros se usan para indicar el lugar del punto decimal. As,0,08 L tiene una cifra significativa; la medida 0,0000349 cm tiene tres cifras significativas, etctera.

d. Si un nmero es mayor de 1, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal cuentan como cifras significativas. As 2,0 mg tiene dos cifrassignificativas; 40,062 ml tiene cinco cifras significativas; 3,040 tiene cuatro cifras significativas. Si el nmero es menor de 1, solamente los ceros que estnal final del nmero o entre dgitos diferentes de cero son significativos. As, la cifra 0,090 kg tiene dos cifras significativas; 0,3005 m/s tiene cuatro cifrassignificativas y, como ltimo ejemplo, 0,00420 min tiene tres cifras significativas.

e. Para nmeros sin punto decimal los ceros que estn despus del ltimo dgito de cero pueden ser o no significativos. As, 400 cm puede tener unacifra significativa (el dgito 4), dos (40) o tres (400). No es posible saber cul es la cantidad correcta de cifras significativas si no se cuenta con mayorinformacin. Sin embargo, empleando notacin cientfica se puede evitar esta ambigedad. En este caso particular, el nmero 400 puede expresarsecomo 4 x 102 para una cifra significativa, 4,0 x 102 para dos y 4,00 x 102 para tres.

El siguiente paso consiste en explicar cmo se manejan las cifras significativas en los clculos. Es posible formular las siguientes normas:

1. En la adicin y la sustraccin el nmero de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la cantidad resultante est determinado por elnmero mnimo de cifras significativas a la derecha del punto decimal en cualquiera de los nmeros originales. Por ejemplo:

El procedimiento para redondear es el siguiente: si se desea redondear un nmero hasta cierto punto, simplemente se eliminan los dgitos que no deseanconservarse, si el primero, de izquierda a derecha, de los que se eliminan es menor de cinco (5). As 8,724 se redondea a 8,72 si solo se quieren doscifras significativas despus del punto decimal. Si el primer dgito que sigue al ltimo nmero que se desea conservar es igual o mayor de cinco (5), dichonmero se incrementa en una unidad. As 8,727 se redondea a 8,73 y 0,425 se redondea a 0,43.

2. En el caso de la multiplicacin y la divisin, el nmero de cifras significativas del producto o el del cuociente es igual al menor nmero de cifrassignificativas en las cantidades originales.

Por ejemplo:

2,8 4,5039 = 12,61092 se redondea a 13; 6,85 : 112,04 = 0,0611388789 se redondea a 0,0611.

3. Debe tenerse presente que los nmeros exactos obtenidos por definicin o al contar un nmero de objetos pueden considerarse constituidos poruna cantidad infinita de cifras significativas. Si un objeto tiene 0,2786 gramos, entonces la masa de 8 de tales objetos ser: 0,2786 8 = 2,229 gramos. Eneste caso el producto no se redondea a una cifra significativa porque el nmero 8 es en realidad 8,0000000.., por definicin. En forma parecida, paracalcular el promedio de dos longitudes dadas de medidas 6,64 cm y 6,68 cm se escribe:

porque el nmero 2 es en realidad 2,00000, por definicin.

6.2 Desafos y problemas numricos

6.2.1 Cuadrados mgicosSon cuadrculas de 3 x 3; 4 x 4 de 5 x 5 o, en general, de n x n.

La magia de un cuadrado mgico consiste en que todas las sumas de los nmeros que all aparecen, ya sea esta suma en forma horizontal, vertical odiagonal, tienen el mismo resultado, al cual se le llama constante mgica K.

etc.

El jugar con cuadrados mgicos es muy divertido, pero adems permite desarrollar los siguientes conceptos y habilidades:

El concepto de orden en los nmeros Naturales. Practicar las operaciones aritmticas bsicas. Establecer relaciones numricas. Determinar y crear patrones. Desarrollar estrategias para la resolucin de problemas. Generalizar. Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento.

6.2.2 Regularidades numricasCorresponden a secuencias numricas que cumplen patrones

Ejemplos:

En este caso el numerador y el denominador aumentan en una unidad, por lo tanto, el trmino n-simo o trmino de orden n ser

Esta notacin nos permite calcular el trmino que deseemos, por ejemplo, ell duodcimo trmino de la secuencia es:

ii) 2, 4, 8, 16, 32...En este caso el n-simo trmino es (2)n pus(2)1 = 2, (2)2 = 4, (2)3 = 8, (2)4=16, (2)5= 32,por lo tanto, el dcimo trmino es (2)10 =1.024

En este caso, el n-simo trmino es ms complicado, 3-n si n es impar y 3n si n es par.

7. Nmeros imaginarios

Los nmeros reales permiten representar infinitos nmeros, pero no pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como, por ejemplo, lassoluciones de las ecuaciones:

A estos nmeros se les asigna otro conjunto, llamado nmeros imaginarios, ya que no pueden representarse a travs de nmeros reales.

Estos nmeros poseen como unidad la solucin de la ecuacinla que determina la siguiente expresin:

que da origen a la unidad imaginaria

Finalmente, la solucin de la ecuacin es

El conjunto de los nmeros imaginarios se puede representar por:

donde (0, b) es un par ordenado, que representa el nmero imaginario bi.

Ejemplos:

8. Nmeros complejos

C=IR x II; C: (a,b) = a + bi

Dondea: parte realb: parte imaginariai: unidad imaginaria(a,b): complejo escrito en forma de par ordenadoa + bi: complejo escrito en forma binomial

Ejemplo: (3, 4) = 3 + 4i

(a,0): nmero real puro. Ejemplo (2,0)=2 (0,b): nmero imaginario puro. Ejemplo (0,3)=3i

II. Razones, proporciones, porcentajes e inters

1. Razones y proporciones

1.1 Razn

Es la comparacin entre dos cantidades a y b, distintas de cero, se anota: , o bien a:b, y se lee a es ab.

Es una razn, el numerador (a) es el antecedente y el denominador (b) es el consecuente.

Ejemplo:

La razn entre 36 y 12 es:

Dadas las cantidades a y b, se pueden establecer dos razones a:b y b:a, generalmente distintas. Por ello, es importante aclarar el orden en una razn.

1.2 Proporcin

Es una igualdad entre dos razones.

Ejemplo:

La igualdad de fracciones , es una proporcin.

En una proporcin, los trminos a y b se denominan extremos, b y c son medios.

Tambin se escribe a : b = c : d y se lee: a es a b como c es a d

1.2.1 Teorema fundamental de las proporcionesLa propiedad fundamental de las proporciones establece que el producto de los medios es igual al producto de los extremos; es decir:

a : b = c : d si y solo si a d = b c si y solo si a d = b c

Ejemplo:

Es la expresin 15:18=20:24 una proporcin?

Efectivamente se verifica lo anterior, estableciendo que:15 24 = 18 20 360 = 360

1.2.2 Propiedades de las proporciones

Si entonces se cumple:

Alternando extremos

Invirtiendo

Permutando

Componiendo

Descomponiendo

Componiendo y descomponiendo a la vez

1.2.3 Clasificacin de las proporciones

a. Proporcin discontinua

Es aquella que tiene todos sus trminos desiguales.

Se denomina cuarta proporcional a cada uno de los trminos de una proporcin discontinua.

b. Proporcin continua

Es la que tiene los medios o los extremos iguales:

Se denomina tercera proporcional geomtrica a cada trmino no repetido de una proporcin continua. 4 es una tercera proporcional entre 6 y 9.

9 es una tercera proporcional entre 6 y 4.

Se denomina media proporcional geomtrica al trmino que se repite en una proporcin continua.

6 es la media proporcional entre 4 y 9.

1.2.4 Serie de razones o proporciones

Si tenemos:

podemos escribir:

Esta igualdad de dos o ms razones se llama serie de razones o serie de proporciones. Se puede escribir tambin como:

Teorema: En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a suconsecuente.

De esto se tiene:

Sumando obtenemos

a + c + e = k (b + d + f)

entonces:

2. Proporcionalidad

2.1 Directa

X es directamente proporcional a Y si al aumentar (disminuir) Y, X aumenta (disminuye) en la misma proporcin.

Esto se escribe:

, con k constante

Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5 km/L.Cuntos litros de bencina consumir en 370 kilmetros?

La relacin de 18,5 km/L indica que por cada 18,5 km consumir un litro de bencina. El cuociente entre estas cantidades permanece constante e igual a18,5 (el cual no posee unidad de medida). Por lo tanto, se trata de una proporcionalidad directa entre las variables kilmetros y litros:

Por ser sta una proporcin, utilizamos la propiedad fundamental:

Si dos variables poseen una proporcionalidad directa, la grfica es un conjunto de puntos que estn en una lnea recta como lo indica la figura, sin incluirel (0, 0).

En resumen, cuando dos variables estn en proporcionalidad directa, el cuociente entre sus respectivos valores es constante. Este cuociente se llamaconstante de la proporcionalidad directa.

2.2 Inversa

X es inversamente proporcional a Y si al aumentar (disminuir) Y, X disminuye (aumenta) en la misma proporcin.

Esto se escribe:

, con k constante

Ejemplo: 36 jvenes scouts tienen alimento para 15 das. Si faltan seis, para cuntos das ms alcanzar el alimento si consumen diariamente la mismaracin?

El nmero de scouts y la cantidad de das estn en proporcionalidad inversa y tienen la caracterstica de que una de ellas disminuye y la otra aumenta conrespecto a la cantidad de alimento disponible, de modo que el producto entre los valores respectivos de ambas variables permanece constante. Luego,sea x el nmero de das:

Entonces, alcanzar para 3 das ms.

Cuando dos variables estn en proporcionalidad inversa, la grfica es un conjunto de puntos que estn en una curva denominada hiprbola.

En resumen, cuando dos variables estn en proporcionalidad inversa, el producto de sus respectivos valores es constante. Este producto se denominaconstante de la proporcionalidad inversa.

2.3 CompuestaEn este tipo de proporcionalidad estn los dos tipos antes mencionados, pero en vez de dos variables hay tres.

Para determinar la constante de proporcionalidad, se comparan las variables de dos en dos. De esta manera, la tercera queda como constante. Se hacevariar una de ella y se observa qu pasa con la otra (con respecto a la proporcionalidad). Si A y B son directamente proporcionales y A con C soninversamente proporcionales, entonces la constante de proporcionalidad es

Ejemplo:

5 pasteleros fabrican en 8 horas 10 tortas de matrimonio. Cuntos pasteleros se necesitan para fabricar 3 tortas de matrimonio en 6 horas?

Sean P: Nmero de pasteleros H: Nmero de horas T: Cantidad de tortas de matrimonio

Al comparar P con H: Si aumentan los pasteleros, disminuye el nmero de horas al fabricar la misma cantidad de tortas (inversa).

Al comparar P con T: Si aumentan los pasteleros, aumenta la cantidad de tortas que se fabricar en la misma cantidad de horas (directa).

Se necesitan 2 pasteleros.

3. Porcentaje

Es comn en los fines de temporada encontrar grandes letreros publicitando liquidaciones en las tiendas comerciales.

Qu significa la informacin presente en este letrero?

En este caso el total se divide en 100 partes de las cuales se rebajarn 40 de estas partes. Si un artculo costaba $ 10.000, al dividirlo en 100 partes cadauno vale

Luego se descontarn 40 de estas partes o se cancelar el resto de ellas, es decir, las 60 partes restantes.

El porcentaje es un tipo de proporcionalidad directa, pues el a% significa dividir la cantidad en 100 partes y se toman a de ellas.

a%: se lee el a por ciento, 25% se lee el 25 por ciento

Ejemplo:

Resumiendo, sacar un tanto por ciento de una cantidad se llama sacar porcentaje

3.1 Relacin en porcentajes

Con esta igualdad se puede obtener:

Porcentaje de un nmero: Cul es el a% de N?

Ejemplo: Calcular el 20% de $ 3.600

Un nmero, conocido un porcentaje de l: De qu nmero p es el q%?

Ejemplo: Calcular la edad de la mam de Jaime que tiene 4 aos, cuya edad es el 12,5% de la edad de su mam.

La mam de Jaime tiene 32 aos.

Relacin porcentual: Qu porcentaje es a de b?

Ejemplo: En una tienda comercial todas las poleras estaban rebajadas. Si una polera me cost $ 12.750 y costaba $ 15.000, cul fue el porcentaje dedescuento?

La polera fue rebajada en un 15%.

Porcentajes sucesivos

Se calculan porcentajes de porcentajes

Cul es el a% del b% del c% del... de N?

Ejemplos:

Calcular el 25% del 50% del 75% de 8.000

En una universidad, el 40% de los alumnos son mujeres y de ellas el 30% son alumnas de primer ao. Si las alumnas que no estn en primer ao son560, cuntos alumnos (hombres y mujeres) tiene la universidad?

x: total de alumnos

La universidad tiene 2.000 alumnos.

3.2 Variacin porcentual (%)

con:

Ci = Cantidad InicialCf = Cantidad Final

Ejemplo:

Al comienzo del verano, una empresa de buses interprovinciales sube los pasajes a una cierta ciudad de $ 1.800 a $ 2.250. Cul es la variacinporcentual?

La variacin es de un 25%.

3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de prdida (%P)

Sea Pc: Precio de compra y Pv: Precio de venta, donde Pv = Pc + G

Pv Pc : Indicar ganancia si es mayor que cero y ser prdida si es menor que cero

3.4 Inters

Inters es una forma de pago por el uso del dinero segn tiempo. Cuando pedimos dinero prestado, comnmente debemos pagar algn dinero, o inters,por el uso de l. Cuando ahorramos dinero en el banco, este nos paga un inters.

El dinero es un medio de intercambio entre personas, entre instituciones y entre personas e instituciones; por lo tanto, el dinero es un bien y un producto y,como tal, se posee, se adquiere, se presta y se invierte.

Los bancos e instituciones financieras ofrecen guardar y/o prestar dinero. Una de sus principales funciones es prestar dinero a las personas y empresas,en otras palabras, otorgar crditos. Es decir, facilitar dinero para comprar y/o invertir, haciendo adquirir una deuda que deber ser cancelada dentro de uncierto plazo, bajo condiciones de pago de las instituciones.

El crdito conlleva aplicar una tasa de inters a las operaciones de prstamo de dinero.

El inters simple y el inters compuesto son los ms usados en estas operaciones. El monto solicitado ms el inters es la suma total del dinero quese adeuda. Esta suma se divide en los periodos en que se cancelar. Este cuociente es el valor de la cuota que se debe cancelar en los periodosacordados.

3.4.1 Inters simple

Inters simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos se deben nicamente al capital inicial.

con:

K: capital inicialn: perodosC: capital acumulador: tasa de inters simple

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses a una tasa de inters simple mensual (r) del 10% sobre un capital inicial (K) de $ 5.000.

Aplicando la frmula:

Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses corresponde a $ 6.500.

3.4.2 Inters compuestoEs el que se obtiene cuando al capital se le suman peridicamente los intereses producidos. As, al final de cada perodo, el capital que se tiene es elcapital anterior ms los intereses producidos en dicho perodo.

con:

K:capital iniciali: tasa de inters compueston: perodosC: capital acumulado

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una tasa de inters compuesto (i) 10% sobre un capital inicial (K) de $ 5.000.

Capital acumulado al primer mes:C1 = 5.000 + 5.000 0,1 = $ 5.500

Capital acumulado al segundo mes:C2 = 5.500 + 5.500 0,1 = $ 6.050

Capital acumulado al tercer mes:C3 = 6.050 + 6.050 0,1 = $ 6.655

o bien por frmula:

Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses corresponde a $ 6.655.

Captulo 2: lgebra y FuncionesAprendizajes Esperados Expresar en forma algebraica categoras de nmeros, valorando el nivel de generalizacin que permite el lenguaje algebraico y su poder de

sntesis. Explicar y expresar algebraicamente relaciones cuantitativas incluidas en problemas y desafos.

Resolver problemas de planteo, analizando posteriormente la pertinencia de las soluciones. Analizar frmulas e interpretar las variaciones que se producen por cambios en las variables. Representar informacin en forma cuantitativa a travs de grficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de

ubicacin. Aplicar y ajustar modelos matemticos para la resolucin de problemas y el anlisis de situaciones concretas. Reconocer y utilizar conceptos matemticos asociados al estudio de la ecuacin de la recta y de las funciones cuadrtica, entera, valor absoluto,

exponencial y logartmica. Analizar comportamiento grfico y analtico de las funciones.

Matemtico, astrnomo y gegrafo musulmn, Abu Abdal Mohamed Ben Musa Al Juarism (Abu Yafar), vivi aproximadamente entre 780 y 850.Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, nuestras palabras lgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, esconsiderado como el padre del lgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeracin.

I. Potencias y races

1. Potencias

Una potencia corresponde a una multiplicacin reiterada de trminos o nmeros iguales. El trmino o nmero que se va multiplicando se llama base y lacantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente. La definicin anterior se puede expresar en forma general por:

En el ejemplo anterior, la base es 2 y la cantidad de veces en que se multiplica la base es 3, es decir, 3 es el exponente.

En resumen, una potencia se puede escribir como una multiplicacin iterada.

1.1 Signos de una potencia

Si el exponente es par

Si el exponente es par, entonces el resultado es siempre positivo (siempre que la base no sea cero):

Si el exponente es impar

Si el exponente es impar, entonces el resultado mantiene el signo de la base:

Si el exponente es negativo

1.2 Propiedades

1.2.1 Multiplicacin de potencias

a. De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

b. De igual exponente

Se multiplican las bases y el resultado se eleva al exponente.

Ejemplo:

En el ejercicio: 85 42 22, el 4 y el 2 tienen igual exponente, entonces 42 22 = (4 2)2 = 82

Por lo tanto:

85 42 22 = 85 82 (Multiplicacin de potencias de igual base) = 85 + 2 = 87

1.2.2 Divisin de potencias

a. De igual base

Se conserva la base y se restan los exponentes.

Como fraccin

Ejemplo:

b. De igual exponente

Se dividen las bases y el resultado se eleva al exponente.

Como fraccin

Ejemplo:

, por divisin de potencias de igual exponente:

, entonces:

, por divisin de potencias de igual base:

Por lo tanto,

1.2.3 Potencia de una potenciaSe deben multiplicar los exponentes.

Ejemplo:

(82)4 26, se tiene que:

26 = 23 2 = (23)2 = 82, y tambin (82)4 = 82 4 = 88 entonces:

(82)4 26 = 88 82 = 88 + 2 = 810

El resultado de 810 tambin se puede presentar como potencia de base 2, ya que 8 = 23, entonces

810 = (23)10 = 23 10 = 230.

1.2.4 Potencias de exponente negativoEn forma general, corresponde al recproco de la base (inverso multiplicativo) y se cambia el signo del exponente.

Con base entera

Con base fraccionaria

Ejemplo:

, por potencia de exponente negativo, se tiene

entonces

por multiplicacin de potencias de igual exponente:

1.2.5 Potencias de exponente ceroEl resultado es uno, siempre que la base no sea cero:

La potencia de exponente cero se aplica por la divisin ante dos cantidades iguales:

1.3 Potencias de base 10

a. Exponente positivo

Entonces:

Se toma la cantidad significativa del nmero y se multiplica por 10n siendo n el nmero de ceros que se dejan de anotar.

Ejemplo:

b. Exponente negativo

Entonces:

Se toma la cantidad significativa y se multiplica por 10-n, siendo n el nmero de decimales que tiene la cifra. Ejemplo:

2. Races

Una raz corresponde a un nmero que, al multiplicarse por s mismo la cantidad de veces que indique el ndice, se obtiene la cantidad subradical.

x es la raz ensima de c, donden: ndicec: cantidad subradical

Ejemplo:

4 es la raz cbica de 64

2.1 Propiedades

2.1.1 Relacin de la raz y la potenciaUna raz siempre se puede escribir como potencia de la siguiente manera:

Ejemplo:

De esta propiedad se pueden extraer ciertas conclusiones:

El ndice y el exponente del subradical son simplificables entre s:

El ndice y el exponente del subradical son amplificables entre s:

2.1.2 Multiplicacin de races de igual ndiceSe conserva el ndice y se multiplican los subradicales:

Ejemplo:

como no tienen igual ndice, entonces se puede amplificar para igualarlos.

2.1.3 Divisin de races de igual ndice

Se conserva el ndice y se dividen los subradicales:

2.1.4 Composicin o descomposicin de racesa. Composicin

Un factor puede ingresar a una raz si lo elevo al ndice de ella (ingresa como factor del subradical).

Ejemplo:

b. DescomposicinUn factor puede salir de una raz si dicho factor tiene raz exacta.

Ejemplos:

2.1.5 Raz de una razSe deben multiplicar los ndices.

Ejemplo:

2.2 Racionalizacin

Consiste en dejar el denominador de una fraccin en forma racional, es decir, sin races. Al racionalizar el valor de la expresin no vara pues se multiplicapor un uno especial.

Caso 1: Raz cuadrada: Se debe amplificar por la misma raz.

Ejemplo:

Caso 2: Raz no cuadrada: Se debe amplificar por una raz de igual ndice, preocupndose de igualar el exponente del subradical con el ndice dela raz.

Ejemplo:

Caso 3: Racionalizar un binomio con races cuadradas: Se debe amplificar por el conjugado del binomio.

Ejemplo:

II. lgebra

La rama de la matemtica que permite modelar situaciones a travs de generalidades literales, se conoce con el nombre de lgebra. El lenguaje queocupa el lgebra permite realizar representaciones a travs de factores literales, coeficientes numricos y relaciones matemticas de la Aritmtica.

El lenguaje algebraico es el lenguaje del lgebra, el cual permite representar cantidades por medio de letras y, de esta forma, generalizar variadassituaciones, como por ejemplo los problemas de enunciado matemtico.

1. Las calificaciones de un estudiante son 6,4 y 6,2. Qu nota debe sacarse en un tercer control para que su promedio sea de 6,5?

2. Una tienda est liquidando su mercadera y anuncia que todos sus precios fueron rebajados un 20%. Si el precio de un artculo es $ 28.000, cul erasu precio antes de la liquidacin?

3. A la presentacin de una pelcula asistieron 600 personas. El valor de boletos para adultos fue de $ 5.000 mientras que los nios pagaron solo $ 2.000.Si los ingresos de boletera fueron de $ 2.400.000, cuntos nios asistieron a la premiere?

4. Si se espera que la poblacin P de una ciudad crezca de acuerdo a , en donde t est en minutos, hallar cundo se espera que lapoblacin alcance 20.000 personas.

1. Conceptos importantes

1.1 Trmino algebraico

Es una relacin entre nmeros y letras donde intervienen operaciones como multiplicacin, divisin, potencias y/o races (no se incluyen sumas nirestas). Consta de un factor numrico denominado coeficiente y un factor literal.

Ejemplos:

1.2 Expresin algebraica

Combinacin de nmeros y letras relacionados entre s mediante operaciones aritmticas como sumas y/o restas.

Ejemplos:

1.2.1 Clasificacina. MonomioExpresin algebraica constituida por el producto de un nmero (coeficiente) y/o variables representadas por letras, que consta de un solo trmino.

Ejemplos: x2, 6a, 7xy.

Si un monomio no tiene escrito su coeficiente numrico, entonces su valor es 1.

Ejemplos: a2 = 1a2, m3x2y = 1m3x2y1

b. Polinomio

Expresin algebraica construida por una suma de varios monomios. Cuando se dice suma de monomios, est incluido el caso de las diferencias entreellos, que consta de dos o ms trminos.

Binomio: Expresin algebraica obtenida por la suma de dos monomios. Ejemplos:

Trinomio: Expresin algebraica obtenida por la suma de tres monomios.

Ejemplos:

1.2.2 Gradoa. De un trmino algebraico

Este puede ser relativo o absoluto:

Relativo: Est dado por el exponente de la variable considerada. Absoluto: Est dado por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: 5x2y3es de 2 grado con respecto a la variable x.es de 3er grado con respecto a la variable y.es de 5 grado absoluto con respecto a la variable x e y.

El exponente 1 no se escribe. Debe tenerlo presente cuando calcule el grado de un polinomio.

Ejemplos: y = y1, x2ym = x2y1m1

b. De un Polinomio

Relativo: Est dado por el mayor exponente de una variable considerada. Absoluto: Est dado por el mayor grado absoluto de sus trminos o por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: 17x2y 3x3 + 5y4 2x2y3

es de grado 3 con respecto a x es de grado 4 con respecto a y es de 5 grado absoluto.

1.3 Trminos semejantes

Son aquellos trminos o monomios que tienen los mismos factores literales e igual exponente.

Ejemplo: Los trminos 8a3b2 y 5a3b2, son semejantes. Los trminos 2x2 y 5x3, no son semejantes. Los trminos x2, 3x2 y 0,5x2, son semejantes.

Los trminos semejantes siempre se pueden reducir a un solo trmino y para ello se suman o restan los coeficientes numricos, segn corresponda, y seconserva la parte literal. Los trminos que no son semejantes no se pueden reducir a un solo trmino.

2. Operaciones algebraicas

2.1 Adicin y sustraccinSolo pueden ser sumados o restados los trminos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual parte no numrica, llamada tambin literal.Ejemplo: xy2 + 2xy2 = 3xy2

Sumar dos polinomios (sumandos) significa obtener un nuevo polinomio (suma), escribiendo un polinomio a continuacin del otro, conectados con unsigno ms, y reduciendo sus trminos semejantes, cuando existan.

Ejemplos:

El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando los signos de sus trminos.

Ejemplo: El inverso aditivo de

Recuerda que la resta de enteros est definida por

De la misma forma se define la resta de polinomios, lo que significa que para restar se escribe el polinomio minuendo con sus propios signos y se suma elpolinomio sustraendo con los signos cambiados, reduciendo los trminos semejantes, si los hay.

Ejemplo:

2.2 Multiplicacin

a. Multiplicacin de monomios

Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numricos y las partes literales entre s.

Ejemplos:

b. Multiplicacin de monomios por polinomios

La multiplicacin de un monomio por un polinomio es una consecuencia directa de la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma,es decir, para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio.

Ejemplos:

c. Multiplicacin de polinomios por polinomios

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplica cada uno de los trminos del primer polinomio por cada uno de los trminos del segundopolinomio.

Ejemplo:

Se sugiere recordar los productos notables para agilizar la resolucin de problemas algebraicos.

2.2.1 Productos notablesSon aquellos cuyos factores cumplen ciertas caractersticas que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los pasos de lamultiplicacin.Los productos notables son:

Algunos productos notables se pueden determinar utilizandogeometra.

Ejemplo: El cuadrado de un binomio se puede representar por el rea formada por un cuadrado cuyo lado es el binomio.

2.3 Factorizacin

Factorizar una expresin algebraica (o suma de trminos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicacin. Las formas ms comunes defactorizacin son:

a. Factor comn monomio

Se factoriza por un trmino comn entre los factores de la expresin.

Ejemplo:

b. Factor comn polinomio

No todos los trminos de una expresin algebraica contienen factores comunes, pero realizando una adecuada agrupacin de ellos, se puede encontrarfactores comunes de cada grupo.

Ejemplo:

c. Resultado de productos notables

Diferencia de cuadrados: El producto de una suma de dos trminos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos trminos.

Ejemplos:

Trinomios ordenados: Un trinomio ordenado (segn el grado) es una expresin de la forma ax2 + bx + c, donde a, b y c representan nmeros reales.

Los trinomios ordenados ms utilizados son de la forma (x2 + bx + c) cuya factorizacin ser de la forma

x2 + bx + c = (x + m)(x + n) tal que m + n = b y m n = c

Los siguientes ejemplos ayudan a entender este tipo de factorizacin.

Dos nmeros que multiplicados den 6 y sumados den 5

Dos nmeros que multiplicados den 24 y sumados den 14

Dos nmeros que multiplicados den 20 y sumados den 8

Dos nmeros que multiplicados den 21 y sumados den 4

Sumas o diferencias de cubos:

Los factores de una diferencia de cubos son:

Los factores de una suma de cubos son:

Ejemplo:

2.4 Mnimo comn mltiplo (m.c.m.)

a. Entre monomios

Se determina el m.c.m. entre los coeficientes numricos y luego el de los literales. Para este caso, ser el literal con mayor exponente.

b. Entre polinomios Para este caso es conveniente factorizar previamente, como se hace a continuacin.

Deben estar presente en el m.c.m. cada una de las expresiones resultantes en la factorizacin y si estn repetidas, la de exponente mayor.

2.5 Mximo comn divisor (M.C.D.)

a. Entre monomios

Se determina el M.C.D. entre los coeficientes numricos y luego el de los literales.

b. Entre polinomios Al igual que en el m.c.m., tambin es conveniente factorizar:

Corresponde a la o las expresiones algebraicas repetidas en ambos polinomios, pero la de exponente menor.

3. Operatoria con fracciones algebraicas

Sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas se realiza de la misma manera que con nmeros fraccionarios.

3.1 Adicin y sustraccin

Si los denominadores son iguales:

Ejemplo:

Si los denominadores son diferentes, primero debe calcularse el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo:

En algunos casos, es conveniente observar los denominadores y factorizarlos para buscar el m.c.m.

Ejemplo:

3.2 MultiplicacinAntes de multiplicar las fracciones algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores, pues generalmente se simplifican algunasexpresiones. Una vez hechas las simplificaciones (si es que las hubo) se multiplican las expresiones en forma horizontal.

Ejemplos:

3.3 Divisin

La divisin de expresiones algebraicas fraccionarias se efecta igual que con fracciones numricas, ocupando adems las factorizaciones anteriores.

Ahora bien, el caso ms general es una divisin de polinomios, como la que se muestra a continuacin.

Ejemplo:

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Ecuaciones lineales

Una ecuacin es una igualdad que contiene una o ms cantidades desconocidas llamadas incgnitas o variables.

Resolver una ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita (variable) que hace verdad la igualdad que la contiene, es decir, se busca el valor de laincgnita que convierta la ecuacin en una identidad. Dicho valor se dice que es solucin de la ecuacin.

En la resolucin de una ecuacin, se deben considerar las siguientes propiedades:

Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, sta se mantiene. Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.

En general, para resolver una ecuacin se tiene que despejar la incgnita. Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar trminos ocoeficientes hasta lograr despejarla.

Ejemplos:

Restar 3x, a ambos lados, para agrupar la incgnita.

Restar 9, a ambos lados, para despejar 4x.

Dividir por 4, a ambos lados, para despejar x.

Eliminar parntesis.

Reducir trminos semejantes.

Restar 2x a ambos lados.

Dividir por 8 ambos lados.

Simplificar la fraccin.

La solucin es .

Hay ecuaciones tales como: 4 (x + 5) = 9x (5x 7), que al resolverlas conducen a un resultado falso, 20 = 7. En este caso, no existe un valor que lassatisfaga, es decir, no tiene solucin.

Hay ecuaciones tales como: 2 (3x 8) = 10x (4x + 16), que al resolverlas conducen a un resultado siempre cierto, 16 = 16. En este caso, todo valorque se asigna a x satisface la ecuacin, por lo tanto, tiene infinitas soluciones.

En la mayora de los casos, el nmero de incgnitas determina el nmero de ecuaciones que se deben utilizar para determinar el valor de stas.Adems, el exponente que posea la incgnita determina la cantidad de soluciones posibles que se pueden encontrar para dicha incgnita, es decir, si laincgnita est al cuadrado se buscan dos posibles valores para ella, si posee exponente tres, se buscan tres posibles soluciones y as sucesivamente.

1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros

Ejemplos:

Resolver la ecuacin 5x + 3 = 12Debemos despejar x, para ello restamos 3 en ambos miembros:

Dividimos ambos miembros por 5

Efectuamos las operaciones, entonces:

Verificamos:

Resolver la ecuacin 9 2x = 9x 13Despejamos x. Para ello sumamos 13 y sumamos 2x en ambos miembros.9 2x + 2x + 13 = 9x 13 + 13 + 2x

Efectuamos las operaciones:

9 + 13 = 9x + 2x22 = 11x

2 = x

1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios

Ejemplo: Resolver la ecuacin

El mtodo ms conveniente para resolver este tipo de ecuaciones es multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el m.c.m. De esta forma, se obtieneuna ecuacin equivalente con coeficientes enteros.

El m.c.m. entre 4, 20, 5 y 16 es 80. Luego:

Simplificando se obtiene:

Resolviendo se obtiene:

1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejemplo:

, x debe ser distinto de 1 y de 1,

ya que para estos valores las fracciones se indeterminan. Estos valores no pueden considerarse como solucin de la ecuacin.

El m.c.m. entre:

Luego, multiplicando por (x + 1)(x 1) cada uno de los trminos y simplificando se obtiene la ecuacin equivalente:

Resolviendo esta ecuacin se tiene:

Luego, 10 s es solucin, ya que es distinto de 1 y de 1.

1.4 Ecuaciones literales de primer grado

Ejemplo:

x + m(mx + 1) = (1 + m) m(2x 1)

Resolvemos los parntesis y reducimos trminos semejantes.

x + m2x + m = 1 + m 2mx + mx + m2x + m = 1 + 2m 2mx

Agrupando los trminos que contienen x en el primer miembro y los que no la contienen en el segundo.

x + m2x + 2mx = 1 + 2m m

Factorizamos ambos miembros:

x(1 + 2m + m2) = 1 + mx(1 + m)2 = 1 + m

Dividimos ambos miembros por (1 + m)2:

2. Metalenguaje y problemas de planteo

Si x representa un nmero, entonces:

El doble de x: 2x

La tercera parte de x:

Los cinco cuartos de x:

El triple de x: 3x

El cudruple de x: 4x

El cuadrado de x: x2

El consecutivo o sucesor de x:

El anterior o el antecesor de x:

Tres nmeros consecutivos: (n 1), n, (n + 1)

Tres pares consecutivos: (2n 2), 2n, (2n + 2) o x 2, x, x + 2

Tres impares consecutivos: (2n 1), (2n + 1), (2n + 3) o x 2, x , x + 2

Cmo debe empezar a trabajar con un problema verbal?

1 Lea todo el problema para ver de qu tipo es y de qu se trata.

2 Busque la pregunta al final del problema. A menudo esto aclara qu es lo que se est resolviendo, y en qu ocasiones son dos o tres cosas.

3 Empiece el problema diciendo sea x = algo (generalmente la incgnita se representa con x); x es lo que se intenta encontrar, y suele expresarse enla pregunta que se plantea al final del problema. Es preciso indicar y etiquetar qu representa x en cada problema para que la(s) ecuacin(es) tenga(n)significado.

4 Relea el problema y detngase en cada dato o informacin. Los problemas sencillos generalmente contienen dos enunciados. Uno de ellos ayuda adeterminar las incgnitas; el otro proporciona datos y/o vnculos para expresar lo escrito en forma de ecuaciones y/o smbolos (metalenguaje). Debetraducir el problema de datos a smbolos dato por dato, es decir, plantear el problema.

5 Cuando sea preciso hallar ms de una cantidad o incgnita, intente determinar la incgnita que sea ms fcil de despejar.

Ejemplos:

Hallar tres nmeros consecutivos que al sumarlos den 102.Si llamamos x al primer nmero, el siguiente es (x + 1) y el que sigue es (x + 2).

Como los tres nmeros suman 102, podemos decir que:

Si x = 33, entonces:

Respuesta: Los nmeros pedidos son 33, 34 y 35.

Como alternativa de solucin se puede utilizar el concepto de que si la cantidad de nmeros es impar, la suma dividida por el nmero de elementos dacomo resultado el trmino central, y si hay una cantidad par de nmeros, la misma operacin entrega el nmero que est entre los dos centrales.Utilizando el mismo ejemplo.

102 : 3 = 34, como es el trmino central, entonces los nmeros buscados son 33, 34 y 35.

En una granja, hay 5 conejos ms que patos y 3 gansos ms que conejos. Si en total hay 55 animales, cuntos conejos, patos y gansos hay?

Sea x el nmero de patos, entonces:(x + 5) ser el nmero de conejos y(x + 5 + 3) ser el nmero de gansos

Como en total hay 55 animales, podemos decir que:

Respuesta: Hay 14 patos, 19 conejos y 22 gansos.

Si el cuadrado del antecesor de un nmero excede en 8 al cuadrado del nmero menos 5 unidades, cul es el nmero?

El problema plantea que (x 1)2 excede en 8 a (x 5)2, es decir:

(x 1)2 = (x 5)2 + 8:

Resolviendo esta ecuacin se tiene:

Respuesta: El nmero pedido es 4.

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Dos o ms ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas puede escribirse de la forma:

Donde x e y son las incgnitas, y a, b, c, d, e y f son coeficientes reales. La solucin de un sistema compatible es el par ordenado (x, y) de nmerosreales que satisface ambas ecuaciones.

3.1 Mtodos de resolucin

a. Sustitucin

Consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuacin

Ejemplo:

Solucin

Reemplazando en (2):

Reemplazando en

b. Reduccin

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminenlos trminos cuyos coeficientes se igualaron. Ejemplo:

Solucin

Sumando

Reemplazando en (2)

c. Igualacin

Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la nica variableque queda. El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema o en alguno de los despejes realizados.

Ejemplo:

Solucin

Despejando x de ambas ecuaciones, se tiene:

Igualando las ecuaciones:

Reemplazando en (1):

d. Algoritmo de Crmer

En el sistema general de dos ecuaciones con dos incgnitas:

los valores de x e y se pueden calcular aplicando las siguientes frmulas:

Este mtodo es conveniente utilizar si nos preguntan por el tipo de solucin del sistema, el que se puede detallar como:

1. Si El sistema tiene una solucin.2. Si El sistema no tiene solucin o tiene infinitas soluciones.

a) No tiene solucin: si

b) Infinitas soluciones: si

Ejemplo:

En este sistema

Calculando

Para determinar si son infinitas o no tiene solucin, se calcula

luego el sistema no tiene solucin.

e. Incgnita auxiliar

Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones es a travs de incgnitas auxiliares, si el sistema no posee coeficientes enteros o racionales, es decir,si las variables se encuentran escritas de una forma tal que no se parezcan al sistema analizado anteriormente.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Para simplificar este sistema, asignaremos las incgnitas auxiliares:

Reemplazando estas incgnitas obtenemos un nuevo sistema:

Al resolver el nuevo sistema, se obtienen los valores de las incgnitas auxiliares:

Reemplazando en obtenemos:

por lo cual

Del mismo modo, reemplazamos en y obtenemos:

por lo cual

3.2 Representacin grfica

Para el ejemplo:

encontramos que su solucin viene dada por un punto que corresponde a la interseccin de dos rectas representadas por las ecuaciones del sistema.

Ahora bien, cada ecuacin del sistema representa en el plano XY una recta o funcin de 1er grado (y = mx + n)

Si las graficamos

Nota: Estos grficos no estn a escala

Por lo tanto, la solucin de un sistema de ecuaciones de 1er grado nos entrega el punto de interseccin de las dos rectas asociadas.

IV. Inecuaciones lineales

1. Desigualdades

Una desigualdad es una relacin entre dos nmeros o expresiones, tal que:

x es menor que y si: (x y) es negativo x es mayor que y si: (x y) es positivo

Para trabajar esta unidad se utilizar la siguiente simbologa:

< Menor que> Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que

Ejemplo:

Al construir un tringulo se debe tener en cuenta que la suma de dos lados es siempre mayor que el tercero y la resta es menor. Entonces, determine quvalor(es) se le puede(n) dar al tercer lado de un tringulo si los otros dos miden 3 cm y 7 cm.

El menor valor del tercer lado ser mayor que 7 3 = 4

El mayor valor del tercer lado ser menor que la suma de los lados conocidos 7 + 3 = 10

Por lo tanto, si al tercer lado lo llamamos x, la respuesta ser: 4 < x < 10

1.1 Propiedades

Si se suma o resta una misma cantidad a los miembros de una desigualdad, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplo:

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad positiva, resulta otra desigualdad del mismo sentido que la dada.

Ejemplo:

Si los miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, resulta otra desigualdad de distinto sentido que ladada.

Ejemplo:

Si se elevan ambos miembros de la desigualdad a un exponente impar positivo, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplo:

Si se tiene una desigualdad de trminos positivos y se elevan ambos miembros a un exponente par positivo, se obtiene una desigualdad en elmismo sentido que la dada.

Ejemplos:

Si se tiene una desigualdad de trminos negativos y se elevan ambos miembros a un exponente par positivo, resulta otra igualdad en sentido

opuesto a la dada.

Ejemplos:

Si se tiene una desigualdad en que ambos miembros sean positivos o ambos negativos y se genera el inverso multiplicativo, resulta otradesigualdad en sentido opuesto a la dada.

Ejemplos

El sentido de una desigualdad queda indeterminado si ambos tienen signos contrarios y se elevan a un exponente par.

1.2 Intervalos

Un intervalo es un subconjunto de los nmeros reales.

Intervalo cerrado

Intervalo abierto

Intervalo semiabierto o semicerrado

Intervalos indeterminados

Para trabajar con intervalos, se definirn las operaciones de conjunto unin e interseccin como: Es el conjunto formado por todos loselementos que estn en A o que estn en B.

A B: Es el conjunto formado por todos los elementos que estn presentes en el conjunto A y tambin en B.

Ejemplos:

2. Inecuaciones lineales

Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazar en una variable cumpla con la desigualdad.

Ejemplos:

Es decir, se cumple para todo valor de x mayor o igual que 1. Entonces x [ 1, + [

3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incgnita

Ejemplo: Cul es la solucin del sistema?

Solucin

En este caso tenemos dos inecuaciones, por lo cual cada una se resolver por separado y la solucin del sistema quedar dada por la interseccin de losintervalos solucin de cada una.

c) Entonces, la solucin final ser es decir:

Grficamente, la solucin est representada por el doble achuramiento.

V. Relaciones y funciones

1. Nociones de conjuntos

El concepto de conjunto est referido al hecho de reunir o agrupar objetos o cosas para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar en o entredichos grupos.

La escritura o notacin significa que el objeto a es un elemento del conjunto M.

La notacin significa que a NO es un elemento de M.

As, si escribimos

Un conjunto puede definirse por comprensin cuando se da una propiedad que la cumplen todos los elementos del conjunto o por extensin cuandose especifican grficamente todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una vocal} se define por comprensin.A = {a, e, i, o, u} se define por extensin.

Si un conjunto no tiene elementos se denomina conjunto vaco y se designa por As, por ejemplo,

El conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento en A es tambin elemento de B. Esto se escribe

Si hay cuando menos un elemento en B que no est tambin en A, entonces A se llama subconjunto propio de B. Segn lo anterior es subconjuntode cualquier conjunto.

Ejemplo: Si M = {a, b, c, d}; N = {c, d}; P = {d, b, a, c}, entonces, (ntese que

Dos conjuntos M y N son iguales si, y solamente si, contienen los mismos elementos. En este caso escribimos M = N.

Esto es equivalente a escribir: si A y B son conjuntos, entonces:

Si A es conjunto con n elementos diferentes, se dice que su cardinalidad es n (nmero de elementos del conjunto) y se puede demostrar que posee 2nsubconjuntos.

Ocasionalmente, nos interesan solo aquellos conjuntos que estn contenidos en un conjunto fijo dado, llamado conjunto universal o universo (tambinllamado conjunto universo relativo).

Operaciones con conjuntos

Si A y B son subconjuntos de un conjunto universo U, entonces se define:

Unin Definicin: Sean A y B conjuntos

Ejemplo: Sean los conjuntos

(ntese que el elemento comn a los dos conjuntos se cuenta una sola vez)

Interseccin ():

Definicin: Sean A y B conjuntos

Del ejemplo anterior se observa que

Diferencia (): Definicin: Sean A y B conjuntos

Ejemplos:

Complemento (C):

Definicin: Sean A y B conjuntos tales que, simultneamente, entonces A es complemento de B y B es complemento deA con respecto al universo U.

Por tanto, si U designa el universo y C el complemento de un conjunto dado C, tenemos:

C = U C

El complemento de C se define como el conjunto de los elementos del universo que no estn en C.

Ejemplo:

Sean U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} C = {a, b, c, e, g, i, k}Luego, C = {d, f, h, j}

Los conjuntos formados por uniones, intersecciones y diferencias pueden representarse pictricamente por medio de diagramas llamados Diagramas deVenn.

Complemento (A)

Otros ejemplos:

2. Relaciones

2.1 Producto cartesiano

Dados dos conjuntos M y N, se define una operacin entre los elementos de ellos tal que originan elementos especiales llamados pares ordenados.

Si M tiene m elementos y N tiene n elementos, entonces por distributividad, M x N tendr (m n) elementos. De igual forma, el nmero de subconjuntos deM x N es 2m n.

Notemos que el conjunto A x B presenta como elementos a entes matemticos llamados pares ordenados (a, b).

Ejemplo:

Sean

Una vez conocido el conjunto A x B podemos asociar los componentes de los pares ordenados de alguna manera; por ejemplo, busquemos odeterminemos el conjunto formado por los pares ordenados en los cuales se verifiquen que la segunda componente es mltiplo de la primeracomponente. Observando tenemos:

S = {(1, 6), (1, 4), (2, 6), (2, 4)}

Podemos notar que

2.2 Concepto de relacin

Todo subconjunto R de A x B se dice relacin entre los conjuntos A y B

As, podemos escribir de nuestro ejemplo anterior.

Se dice que:

a es la preimagen de b, bajo la relacin R. b es la imagen de a, bajo la relacin R.

B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto A se llama conjunto de partida. El subconjunto de A que est formado por todos los elementos que tienen imgenes en B bajo la

relacin R se llamar conjunto de preimgenes o dominio.

3. Funciones

3.1 Concepto de funcin

Si tenemos una relacin f entre 2 conjuntos A y B, f se dir funcin si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y solo un valor en elconjunto de llegada B.

La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable dependiente. Sedesigna generalmente por y o f(x) [se lee f de x].Decir que y es funcin de x equivale a decir que y depende de x.

Se dir: f : A B b B es la imagen de a A bajo la funcin f y se denota por b = f(a)

Diremos que f es una funcin de A en B, si y solo si se verifican:

Toda funcin es relacin,pero no toda relacin es funcin.

El recorrido o rango de una funcin es aquel subconjunto del conjunto de llegada en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen deldominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

Veamos el siguiente ejemplo:

Se puede ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B.

Luego, para la funcin f denotada:

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al Rango de f.

3.2 Representacin grfica

Una forma de representar una funcin es mediante un sistema de coordenadas rectangulares o ejes cartesianos.

Entonces, la funcin

y = f(x) corresponde al conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuacin y = f(x).

Ejemplo:

Indica cul de los siguientes grficos representa una funcin de x en y.

Analizando cada caso:

A) Es funcin, ya que a cada valor de x le corresponde un nico valor en y.

B) NO es funcin, ya que a un mismo valor de x le corresponden dos imgenes en y.

C) NO es funcin por las mismas causas del ejemplo anterior. Cabe destacar que si se toma cada curva por separado, cada una de ellas s es unafuncin.

D) S es funcin.

3.3 Clasificacin de funciones

a. Funcin inyectivaUna inyeccin de A en B es toda funcin f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imgenes distintas en el

codominio B. Cada elemento de A tiene una nica imagen en B (y solo una), de tal forma que se verifica que # A # B.

b. Funcin Epiyectiva o SobreyectivaUna epiyeccin o sobreyeccin de A en B es toda funcin f de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al menos, un

elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que #A #B. Es decir, que en este caso elcodominio es igual al recorrido.

c. Funcin BiyectivaUna funcin f es biyectiva de A en B si y solo si la funcin f es tanto inyectiva como epiyectiva. Si cumple que sea Inyectiva y Epiyectiva a la vez, por

lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una nica imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una nicapreimagen en A.

VI. Funciones de variable real

1. Funcin afn

Es de la forma f(x) = mx + n, con n 0, m 0

conm : Pendienten : Ordenada del punto de interseccin entre la recta y el eje Y (coeficiente de posicin)

Ejemplo:La funcin f(x) = 5x 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada 3.

Anlisis de la pendiente

Para saber con qu tipo de funcin se est trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

Si m < 0, entonces la funcin es decreciente. Si m = 0, entonces la funcin es constante. Si m > 0, entonces la funcin es creciente

Relaciones grficas para la pendiente y el coeficiente de posicin

Tipos de funciones especiales

a) La funcin de la forma f(x) = x, se conoce como funcin identidad y su grfica es:

b) La funcin de la forma f(x) = c, con c: Constante real, se conoce como funcin constante y su grfica es:

c) La funcin de la forma f(x) = mx, m 0 se conoce como funcin lineal y su grfica es una lnea recta que pasa por el origen.

Evaluacin de una funcin

Dada la funcin f(x) = mx + n, si se busca el valor de la funcin para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, as como tambin si se buscael valor de x conociendo el valor de la funcin.

Ejemplo:

La funcin que representa el valor a pagar en un taxi, despus de recorridos x metros es:

f(x) = 0,8[x] + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en pesos

3 km = 3.000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilmetros es :

f(3.000) = 0,8 [3.000] + 250 = 2.650

Por tres kilmetros se pagan $ 2.650

Construccin de una funcin con comportamiento lineal conocidos valores de ella

Se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la funcin, es decir:

(x1, f(x1)) y (x2, f(x2))

O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:

(x1, y1) y (x2, y2)

Donde la funcin buscada ser:

Ejemplo: Si se sabe que el agua se congela a 32 F 0 C y hierve a 212 F 100 C, cmo se puede expresar los F en funcin de los C, si existe uncomportamiento lineal?

Solucin:

Se tiene la siguiente informacin:

C : variable independiente (x)

F : Variable dependiente (y)

Reemplazando en:

Se tiene:

Donde la funcin que representa los F respecto de C es:f(x) = 1,8x + 32

Se le llama crecimiento aritmtico a la progresin cuyos trminos aumentan en una misma cantidadconstante llamada diferencia. Este crecimiento aritmtico grficamente est representado por unarecta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmtico.

Ejemplo:

Grficamente

2. Funcin parte entera

sta se escribe:

El valor de [x] es el menor de los dos nmeros enteros entre los cuales est comprendido x, o si x es un nmero entero, [x] = x, es decir:

Ejemplo:

Obsrvese que esta funcin es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[,con n Z. Por tanto, los segmentoshorizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos.

3. Funcin valor absoluto

Es frecuente en el clculo al tener que operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la nocin de valor absoluto.

Si el x IR valor absoluto de x es un nmero real no negativo que se define:

Ejemplo:

| 3| = 3 |12| = 12 | 18| = 18 | 5,3| = 5,3

Si los nmeros reales estn representados geomtricamente en el eje real, el nmero |x| se llama distancia de x al origen.

3.1 Propiedades del valor absoluto

Si |x| a, entonces a x a; con a 0 Si |x| a, entonces x a x a |xy|= |x| |y| |x + y| |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

Esta ltima propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando se generaliza a vectores, indica que la longitud de cada lado de un tringulo esmenor que la suma de las longitudes de los otros dos.

Ejemplos:

|x 3| 2

Aplicando la primera propiedad:

|3x 4| 5

Aplicando la segunda propiedad:

4. Funcin raz cuadrada

5. Funcin cuadrtica

Es de la forma:

5.1 Grfica

Siempre es una parbola, dependiendo, su forma y ubicacin, de los coeficientes a, b y c.

5.1.1 Concavidad

El coeficiente a de la funcin cuadrtica indica si la parbola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

5.1.2 Eje de simetra y vrtice

El eje de simetra es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vrtice de la parbola.

El vrtice est dado por:

5.1.3 Interseccin con los ejes

a. Interseccin con el eje Y

El coeficiente c nos da la ordenada del punto en el cual la parbola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

b. Interseccin con el eje X

Para determinar si la parbola corta o no al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante () de la funcin cuadrtica.

Se define el discriminante como:

Si = 0, la parbola corta en un punto al eje X

Si > 0 la parbola corta en dos puntos al eje X

Si < 0 la parbola no corta al eje X

5.2 Ecuacin de segundo grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax2 + bx + c = 0, llamada Ecuacin de 2 grado en su forma general.

Toda ecuacin de 2 grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresin:

Estas soluciones, races o ceros de la ecuacin corresponden grficamente a las abscisas de los puntos donde la funcin f(x) = ax2 + bx + c corta al ejeX. Estos puntos tienen como coordenadas (x1, 0) y (x2, 0).

5.2.1 Propiedades de las races o soluciones

A partir de las soluciones x1,y x2 , se puede obtener la ecuacin, aplicando las propiedades anteriormente mencionadas. As se tiene que:

O de otra forma

Ejemplos:

1. Sea la ecuacin de 2 grado: x2 + 2x 15 = 0. Cules son las soluciones a esta ecuacin?

Solucin Sabemos que las soluciones de una ecuacin de 2 grado vienen dadas por

En nuestro caso: a = 1 b = 2 c = 15

Luego,

Luego,

2. Dada la ecuacin x2 + px + qx 3p = 0, determinar los valores que deben tener p y q para que 2 y 3 sean races de esta ecuacin.

Solucin

Si 2 y 3 son races de la ecuacin, al aplicar las propiedades deber cump