mat numeros inteiros slides
TRANSCRIPT
1
Colégio Trilíngüe Inovação
Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Chapecó – Santa Catarina
CEP. 89801-600
Prof. Denise Ortigosa Stolf
Aulas
Sumário
Números inteiros ....................................................................................................................................... 2
Bibliografia ............................................................................................................................................... 6
2
NÚMEROS INTEIROS Slide 1
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Números inteiros
1
Slide 2 Números positivos e números negativos
2
Em nosso dia-a-dia, muitas medidas ou contagens são representadas por números negativos. Medidas de temperaturas, dados de extratos bancários e saldos de gols são apenas alguns exemplos de situações em que os números negativos costumam aparecer.
Slide 3
3
Situação 1
Em um mesmo dia, é possível encontrar dois locais no mundo com temperaturas muito diferentes. No dia 19 de março de 2007, por exemplo, a temperatura mínima em São Luís, no Maranhão, era 24°C, já em Berlim, na
Alemanha, registrava-se −1°C.
Você percebeu que, para indicar a temperatura em Berlim, usamos o sinal
negativo (−), mas para indicar a temperatura em São Luís, que foi positiva (estava acima de zero), não escrevemos o sinal positivo (+). Isso porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal + junto ao número é optativo, na representação dos valores negativos, o uso do sinal −−−− deve, necessariamente, acompanhar o número a que se refere.
Já para representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois o zero não é positivo nem negativo.
Slide 4
4
Situação 2
O extrato bancário a seguir descreve alguns créditos (valores positivos) e débitos (valores negativos) em uma conta-corrente e mostra como o saldo da conta ficou negativo.
Slide 5
5
Situação 3
No Campeonato Brasileiro de Futebol, os números negativos podem aparecer no saldo de gols, ou seja, na diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos. Abaixo, apresentamos a classificação final de alguns times da série A no Campeonato Brasileiro de 2006.
Slide 6 Conjunto dos números inteiros
6
O número - 4 é elemento do conjunto Z, assim como +5, que também pertence a esse conjunto.
Indicamos: - 4 ∈ Z e +5 ∈ Z (lê-se “- 4 pertence a Z e +5 pertence a Z”).
O conjunto dos números inteiros é, portanto, o conjunto formado pelos números naturais, acrescidos dos números negativos.
OBS:
{ }...5,4,3,2,1,0N =
{ }...,4,3,2,1,0,1,2,3,4...,Z −−−−=
• Em Z não há menor número, nem maior número;• O conjunto dos números inteiros sem o zero é representado por ;
• Todos os elementos do conjunto são também elementos do conjunto Z, isto é, N ⊂ Z (lê-se “ N está contido em Z”).
*Z{ }...,4,3,2,1,1,2,3,4...,Z* −−−−=
3 Slide 7 Representação dos números inteiros na reta
numérica
7
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à direita do número dado. Já o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à esquerda do número dado.
Por exemplo: o sucessor de - 4 é - 3, e o antecessor de - 4 é - 5.
Slide 8 Par ordenado: localização de pontos no plano
8
Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:
• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;
• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;
• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;
• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;
• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);
• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.
• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.
Slide 9
9
Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P(3,4), teria sua representação assim:
Slide 10 Módulo ou valor absoluto de um número
10
No esquema abaixo:• o menino está ao nível do mar, então dizemos que sua distância em relação
ao nível do mar é nula (0);• já a pipa está 6 m acima do nível do mar;• e o cardume 10 m abaixo do nível do mar.
Slide 11
11
A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada de valor
absoluto, ou módulo, do número que corresponde a esse ponto.
Assim, o valor absoluto, ou módulo, do número +4 é 4 distância (do ponto A à origem). Da mesma forma, o módulo de - 3 é 3 (distância do ponto B à origem).
Indicamos o valor absoluto, ou módulo, de um número, colocando esse número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de - 3 é representado por .
Exemplos:
55 =−
77 = 1010 =+
1818 =−
00 =
Slide 12 Números opostos ou simétricos
12
Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros - 5 e 5. A distância do ponto A’ à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por isso, - 5 é 5 são chamados de números simétricos ou números opostos.
Exemplos:
• −7 e 7 são números opostos, ou simétricos.• 4 é o oposto de −4, e −4 é o oposto de 4.
4 Slide 13 Comparação de números inteiros
13
Símbolos:
> Maior
< Menor
= Igual
Quanto mais à direita um número estiver na reta numérica, maior ele será.
1º) Os dois números são positivos
Quem é maior, 15 ou 21?
21 > 15 ou 15 < 21
2º) Um número é positivo e o outro é zero
Quem é maior, 0 ou 17?
17 > 0 ou 0 < 17
Slide 14
14
3º) Um número é negativo e o outro é zero
Quem é maior, 0 ou - 17?
0 > - 17 ou - 17 < 0
4º) Um número é positivo e o outro é negativo
Quem é maior, 23 ou - 41?
23 > - 41 ou - 41 < 23
5º) Os dois números são negativos
Quem é maior, - 21 ou - 14?
- 14 > - 21 ou -21 < - 14
Slide 15 Operações com números inteiros
15
Na adição, podemos encontrar dois casos:
Adição de números inteiros
Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles.
Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.
Slide 16 Propriedades da adição de números inteiros
16
Fechamento: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.a + b = b + a
Associativa: Na adição, podemos associar as parcelas de diferentes maneiras, pois o resultado será o mesmo.a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Elemento neutro: O elemento neutro da adição é o zero, que, somado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.a + 0 = a ou 0 + a = a
Elemento oposto: Qualquer número inteiro tem um oposto que, adicionado a ele, resulta no elemento neutro.a + (- a) = 0 ou (- a) + a = 0
Slide 17
17
Subtração de números inteiros
Para subtrair números inteiros, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo.
Adição algébrica
Vimos que a subtração com dois números inteiros equivale a uma adição do minuendo ao oposto do subtraendo. Por isso, a adição e a subtração com números inteiros são consideradas uma única operação: a adição algébrica.
A idéia de adição algébrica ajuda a simplificar uma expressão numérica pela eliminação dos parênteses e dos sinais de + e - das operações. Veja:
Slide 18
18
=++−−=++−−+−−
128710
)12()8()7()10(
Podemos resolver essa expressão de duas maneiras:
1ª) Resolvendo as operações na ordem em que aparecem
2ª) Agrupando os valores e, ao final, calculando a diferença
3129
12817
128710
=+−=++−
=++−−
32017
128710
=+−=++−−
5 Slide 19
19
Multiplicação de números inteiros
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a⋅⋅⋅⋅bou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Exemplos:
a)
b)
c) d)3248 =⋅
15)3(5 −=−⋅
Slide 20 Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (+1)
(–1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (+1)
(+1)⋅⋅⋅⋅( –1) = (–1)
(–1)⋅⋅⋅⋅(+1) = (–1)
Com o uso das regras apresentadas, pode-se concluir que:
20
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo
Slide 21 Propriedades da multiplicação de números inteiros
21
Fechamento: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Comutativa: Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.a ⋅ b = b ⋅ a
Associativa: Na multiplicação com três ou mais fatores, podemos associar os fatores de maneiras diferentes, pois o resultado será o mesmo.a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c
Distributiva da multiplicação em relação à adição: Em uma multiplicação, dado por uma adição algébrica, podemos multiplicar o primeiro número pelas parcelas e adicionar os resultados.a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )
Elemento neutro: O elemento neutro da multiplicação é o 1, que, multiplicado a qualquer número inteiro, resulta no próprio número.a ⋅ 1 = a ou 1 ⋅ a = a
Slide 22
22
Divisão de números inteiros
Para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.(+ 20) : (+ 5) = + 4 ou (- 20) : (- 5) = + 4
Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.(+ 20) : (- 5) = - 4 ou (- 20) : (+ 5) = - 4
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do quociente
iguais positivo
diferentes negativo
Slide 23
23
Potenciação de números inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
Expoente Base positiva Base negativa
Par Potência positiva Potência positiva
Ímpar Potência positiva Potência negativa
4434421vezesn
n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ... a é multiplicado por a n vezes
Sinal de uma potência de base não nula
Slide 24
24
1ª) Produto de potências de mesma base
2ª) Quociente de potências de mesma base
3ª) Potência de uma potência
4ª) Potência de um produto ou de um quociente
mnmn aaa +=⋅
mnmn aaa −=:
( ) mnmn aa ⋅=
nnn
nnn
baba
baba
:):(
)(
=
⋅=⋅
Propriedades da potência no conjunto Z
6 Slide 25
25
Raiz quadrada exata de um número inteiroVamos considerar o exemplo abaixo:
Ao descobrir que o número 3 ao quadrado é igual a 9, encontramos a raiz quadrada de 9. A operação realizada foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 9. O símbolo da raiz quadrada é: ou .
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número positivo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.
Assim: é o mesmo que , com b > 0.
23339 =⋅=
2
ba = ab =2
Slide 26
26
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Bened ito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática . São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.