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Andre Toom.Resumo teorico de disciplina MA-521,

“Analise 1A”

CONTEUDO

1. Afirmacoes e quantores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2]

2. Conjuntos basicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[5]

3. 1-1 relacao. Conjuntos contaveis e nao contaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [15]

4. Continuidade do conjunto de numeros reais. max, min, sup, inf. . . . . . . . [19]

5. Sistema decimal e outros sistemas numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [24]

6. Sequencias em IR . Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [27]

7. Pontos de aderencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [31]

8. O criterio de Cauchy para sequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [34]

9. Conjuntos abertos e fechados em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [36]

10. Limsup, liminf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [40]

11. Sequencias em IR2 . Limites e pontos de aderencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [41]

12. Conjuntos abertos e fechados em IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [43]

13. Funcoes IR → IR . Limite e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [46]

14. Continuidade uniforme e condicao de Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [52]

15. Convergencia de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[54]

16. Funcoes IR2 → IR . Limites e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [56]

17. Funcoes IR → IR . Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [57]

18. Integral de Riemann de funcoes IR → IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [61]

19. Series em IR e convergencia deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [68]

20. Series de funcoes e convergencia deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [72]

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [74]

Aviso. Matematica e uma ciencia rigorosa, cujo maior conteudo e argumentos quais provamafirmacoes, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teorico do curso. Para estudar-lo, atividade mental e necessaria. Encontrando uma definicao ou um teorema, pensa de exemp-los. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matematico e uma sequencia deafirmacoes, daquelas cada e ou geralmente conhecida, ou e uma consequencia de afirmacoes an-teriores. Quando usamos o metodo de “contradicao”, supomos que a afirmacao, qual queremosprovar, e falso e obtemos uma contradicao.


1. Afirmacoes e quantores.

Na vida cotidiana encontramos muitas afirmacoes vagas ou pessoais, daqueles e

possivel ter opinioes diferentes, por exemplo: Esta roupa e horrivel. Claudio e um

gatao. Pera e mais gostosa que maca. Na matematica lidamos com afirmacoes,

quais sao ou verdadeiras ou falsas. Dado duas afirmacoes A e B , podemos formar

outras: A∧B , o que significa A e B , i.e. ambos sao verdadeiras, A∨B , o que

significa A ou B , i.e. pelo menos um deles e verdadeiro, negacao A = A =

nao A e varias combinacoes delas.

Existe analogia entre formulas algebricas e formulas logicas. Cada formula

algebrica toma valores numericos quais dependem de valores de variaveis incluidas

nela. Analogamente, cada formula logica toma valor “verdadeira” ou “falsa” de-

pendente de veracidade de afirmacoes incluidas nela. Como na aritmetica usamos

tabua de multiplicacao, a seguinte tabua ajuda obter a veracidade da formula se

sabemos veracidades de variaveis logicas incluidas nela. Aqui V e F significam

“verdadeira” e “falsa”:

V = F, F = V,

V ∨ V = V, V ∧ V = V

V ∨ F = V, V ∧ F = F

F ∨ V = V, F ∧ V = F

F ∨ F = F, F ∧ F = F.

O sinal ⇒ significa implicacao logica. Na matematica A ⇒ B significa o mesmo

que A∨ B . Logo A ⇒ B significa o mesmo que B ⇒ A , o que sempre

usamos nas provas pela contradicao.


(Isto e diferente da vida cotidiana. No uso cotidiano a frase “se 2 × 2 = 5 , eu

sou imperador do Brasil” e um absurdo. Na matematica esta afirmacao e sempre

correta, independentemente de por quem dita: imperador do Brasil ou nao.)

O sinal ⇐⇒ significa equivalencia de afirmacoes. Ela acontece se ambos A ⇒ B

e B ⇒ A sao verdadeiros.

Exercıcio. E verdade que (A ∧B) e equivalente a ( A) ∨ ( B) ?

Exercıcio. E verdade que (A ∨B) e equivalente a ( A) ∧ ( B) ?

Aviso: e possivel provar as duas equivalencias anteriores considerando quatro casos

e enchendo as vazias colunas nesta tabela:

A B (A ∧B) ( A) ∨ ( B)

V V

V F

F V

F F

onde V significa “verdadeiero” e F significa “falso”.

Depois disto, e possivel provar as duas equivalencias embaixo pela inducao.

Exercıcio. Provar que((A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An)

)⇐⇒

(( A1) ∨ ( A2) ∨ · · · ∨ ( An)

).

Exercıcio. Provar que((A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An)

)⇐⇒

(( A1) ∧ ( A2) ∧ · · · ∧ ( An)

).

Quantores.

O quantor de universalidade ∀ significa “para todos”.

O quantor de existencia ∃ significa “existe”.


Negacoes de quantores.

Seja S um conjunto e P (x) e uma afirmacao feita para elementos deste conjunto.

Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa que todos elementos de S tem a

propriedade P . Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa negacao da formula

anterior, i.e. nao todos elementos de S tem a propriedade P . Isto e mesmo

que existe pelo menos um elemento de S qual nao tem a propriedade P . Entao

temos a equivalencia de afirmacoes:(∀ x ∈ S : P (x)

)⇐⇒

(∃ x ∈ S : P (x)

). (1)

Analogamente obtemos a equivalencia parecida:(∃ x ∈ S : P (x)

)⇐⇒

(∀ x ∈ S : P (x)

). (2)

Exemplo.

x ∈⋃

C∈F

C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C

e

x ∈⋂

C∈F

C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C.

Observacao. As vezes espressoes algebricas dependem de variaveis, as vezes nao

dependem. Apresentamos varios exemplos.

O valor de somatorio∑10

k=1 k2 nao depende de k .

A afirmacao x2 − 1 = 0 e verdadeira para x = 1 e x = −1 e falsa para todos

outros valores de x . Diferente disto, a veracidade das afirmacoes

∀ x ∈ IR : x2 − 1 = 0 e ∃ x ∈ IR : x2 − 1 = 0

nao depende de x . De fato, a primeira afirmacao e falsa e a segunda afirmacao e

correta. Geralmente, veracidade duma afirmacao nao depende de variavel prece-

dida por quantor.


2. Conjuntos basicos.

Na vida cotidiana e frequentemente dificil dizer se um objeto pertence a um con-

junto ou nao. Por exemplo, se queremos falar de uma turma de alunos, um aluno

pode ser incluido na lista, mas ausente nas todas aulas.

Na matematica temos um conjunto A se cada objeto x ou pertence ou nao

pertence a A .

Um conjunto e chamado de finito se ele tem um numero finito de elementos. Se

este numero e pequeno, podemos denotar o conjunto simplesamente enumerando-

los em chaves, separando-los com virgulas. Por exemplo, o conjuntoa

tem so

um elemento a , o conjuntoa, b

(onde a 6= b ) tem dois elementos a e b etc.

O sinal # significa cardinalidade, qual e uma medida de grandeza de conjuntos.

Para conjuntos finitos a cardinalidade e simplesamente o numero de elementos.

Por exemplo, #a

= 1 , #a, b

= 2 etc. Existe o conjunto vazio denotado

g , qual nao tem elementos. Sua cardinalidade e zero.

Observacao. Lima [Lima, vol. 1] use notacao card (S) no lugar de #S .

Alguns conjuntos infinitos tem notacoes especiais:

INI =1, 2, 3, . . .

o conjunto dos numeros naturais.

ZZ =. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

o conjunto dos numeros inteiros,

QO =m/n : m, n ∈ ZZ , n 6= 0

o conjunto dos numeros racionais.

Para todo numero racional q definimos seu modulo ou valor absoluto denotado

|q| assim:

|q| = q se q ≥ 0,

−q se q < 0.

Usando estas notacoes, podemos definir outros conjuntos de forma:


x ∈ INI : x < 100

o conjunto de numeros naturais, quais sao menor que 100 .

x ∈ ZZ : |x| > 7

o conjunto de numeros inteiros, cujo modulo e maior que 7 .x ∈ QO : x < 0

o conjunto de numeros racionais, quais sao menor que zero.

Para cada numero racional o seu modulo e igual a distancia entre o ponto qual

representa-lo na reta e o ponto O qual representa zero. O modulo de diferenca

entre dois numeros e a distancia entre os pontos quais representam estes numeros

na reta. Veja pontos X e Y na reta e a distancia |X − Y | entre eles:

|X − Y |︷︸︸︷X Yw w -

-1 -1/2 0 1/2 1

Para todos conjuntos A e B :

A e subconjunto de B se cada elemento de A pertence a B .

Notacoes para qualquer objeto x e conjuntos A e B :

x ∈ A ou A 3 x : objeto x pertence ao conjunto A ou conjunto A contem ou

inclue objeto x . Neste caso x e chamado de elemento de A .

A ⊂ B ou B ⊃ A : A e um subconjunto de B , i.e. cada elemento de A

pertence a B . O conjunto vazio e subconjunto de todos conjuntos.

A = B : os conjuntos A e B coincidem, i.e. cada elemento de A pertence a B

e cada elemento de B pertence a A . Logo

(A = B) ⇐⇒ ((x ∈ A) ⇐⇒ (x ∈ B)) ⇐⇒((A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)

).

Se temos dois conjuntos A e B , podemos formar outros conjuntos:

A ∩ B : intersecao de A e B . Qualquer objeto x pertence a A ∩ B se ele


pertence a A e pertence a B .

A ∪ B uniao de A e B . Qualquer objeto x pertence a A ∪ B se ele pertence

a A ou pertence a B . (Pode pertencer a ambos.)

A \ B : a diferenca entre A e B . Qualquer objeto x pertence a A \ B se ele

pertence a A e nao pertence a B .

A ∆ B : a diferenca simetrica definida assim:

A ∆ B = (A \B) ∪ (B \ A).

Ω \ (A ∪B)

A B

A ∩BA \B B \ A

Este desenho e chamado de diagrama de Venn. Ele ajuda visualizar relacoes entre

dois conjuntos arbitrarios e resolver problemas com eles. Consideremos so subcon-

juntios de Ω apresentado com o retangulo. Os dois cırculos apresentam conjuntos

A e B . Eles cortam Ω em quatro partes, quais apresentam os conjuntos

A ∩B, A \B, B \ A, Ω \ (A ∪B).


A tabela no lado pode ajudar resolver

problemas com tres conjuntos. Aqui o

sinal + significa “pertence” e o sinal −

significa “nao pertence”. As oito linhas

apresentam os oito casos quais podem

acontecer com qualquer elemento de Ω

e correspondem as oito partes, naquelas

os tres cırculos cortam o retangulo no de-

senho.

A B C o conjunto

+ + + A ∩B ∩ C

+ + − A ∩B ∩ Cc

+ − + A ∩Bc ∩ C

+ − − A ∩Bc ∩ Cc

− + + Ac ∩B ∩ C

− + − Ac ∩B ∩ Cc

− − + Ac ∩Bc ∩ C

− − − Ac ∩Bc ∩ Cc


A B

C

A ∩Bc ∩ Cc Ac ∩B ∩ Cc

Ac ∩Bc ∩ C

A ∩B ∩ Cc

A ∩Bc ∩ C Ac ∩B ∩ C

A ∩B ∩ C

O desenho acima e diagrama de Venn para tres conjuntos. O retangulo apresenta

o conjunto Ω . Os tres cırculos apresentam conjuntos A, B, C quais pertencem a

Ω . Eles cortam Ω em oito partes quais correspondem nas oito linhas da tabela.

Classes de conjuntos.


Se temos um conjunto F , cujos elementos sao conjuntos, por razoes estilisticas

evitamos de chamar F conjunto e chamamos ele de classe ou familia.

Se temos uma classe F de conjuntos, a uniao de todos elementos de F e a

intersecao de todos elementos de F sao denotadas de

⋃C∈F

C e⋂

C∈F

C.

Exercıcio. E verdade que para todo conjunto A e todo classe de conjuntos F

a)⋂

B∈F

(A \B) = A \⋃

B∈F

B ? b)⋃

B∈F

(A \B) = A \⋂

B∈F

B ?

A lei distributiva para uniao e intersecao. Lidando com numeros, sabemos

que multiplicacao e adicao satisfazem a lei distributiva:

a× (b + c) = (a× b) + (a× c).

Mas nao oposto: geralmente

a + (b× c) 6= (a× c) + (b× c).

Lidando com conjuntos, a mesma lei e verdadeira para uniao e intersecao nas

ambas direcoes:

a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c), a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c).

Exercıcio. a) Provar estas formulas.

b) Provar as generalizacoes destas formulas:

A ∪⋂

B∈F

=⋂

B∈F

(A ∪B), A ∩⋃

B∈F

=⋃

B∈F

(A ∩B).

Geralmente uma operacao denotada ∗ e chamada comutativa se a ∗ b = b ∗ a e

associativa se (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) . Se aplicamos uma operacao com estes


propriedades varias vezes, nao precisamos parenteses e nao precisamos cuidar de

ordem de termos.

Exercıcio. Provar que operacoes ∩, ∪ e ∆ sao comutativas e associativas.

Produto de dois conjuntos A e B e o conjunto das pares (a, b) , onde a ∈ A

e b ∈ B . Por exemplo, nos livros sobre xadrez o conjunto de quadrinhos de tabua

de xadrez e apresentado como produtoa, b, c, d, e, f, g, h

×1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

.

Produto de varios conjuntos

S1 × S2 × · · · × Sn

e o conjunto das sequencias de n termos (a1, a2, . . . , an) , onde a1 ∈ S1, a2 ∈

S2, . . . , an ∈ Sn . Por exemplo, se jogamos uma moeda, o conjunto dos resultados

possiveis ecara, coroa

. Se jogamos duas moedas, o conjunto dos resultados

possiveis e o produto dos dois conjuntos iguais:

cara, coroa

×cara, coroa

=

cara, coroa

2.

Se jogamos n moedas, o conjunto ecara, coroa

n. Na teoria da probabilidade

o conjunto de todos casos possiveis e chamado espaco amostral.

Existem produtos infinitos, por exemplo

cara, coroa

INI,

o que e o conjunto de sequencias infinitas, cada termo daquelas e cara ou coroa .

Nunca consideramos os todos conjuntos no mundo. Isto conduza a

paradoxos. Um destes paradoxos: chamemos um conjunto de “estranho” se ele

e seu proprio elemento. Por exemplo, o conjunto de todos conjuntos e estranho.

Denotamos de N a classe de nao-estranhos conjuntos. Seguinte logica, N e ou


estranho, ou nao-estranho. Vamos provar que ambos casos sao impossiveis. Se

N e estranho, ele e seu proprio elemento, o que e falso pois todos seus elementos

sao nao-estranhos. Se N nao e estranho, ele nao e seu proprio elemento, o que

e falso pois todos conjuntos nao-estranhosseus sao seus elementos.

Por esta causa, na cada pesquisa matematica temos um conjunto bastante grande,

qual pode ser chamado Ω e consideramos so seus sub-conjuntos. Neste caso,

para cada sub-conjunto S ⊂ Ω o conjunto Ω \ S e denotado de Sc e chamado

complementar de S . Logo, quando escrevemos “para todos conjuntos”, queremos

dizer “para todos subconjuntos dum Ω ”, onde Ω cada vez deve ser escolhido na

maneira apropriada.

Exercıcio. Provar para todos conjuntos A, B, C :

A ∩B = (Ac ∪Bc)c, A ∪B = (Ac ∩Bc)c.

Exercıcio. Provar para toda famılia F de conjuntos: ⋂S∈F

S

c

=⋃

S∈F

Sc,

⋃S∈F

S

c

=⋂

S∈F

Sc.

Classes de equivalencia. (Aqui o sentido de palavra “equivalencia” e diferente

de equivalencia de afirmacoes.)

Uma relacao ∗ entre alguns elementos dum conjunto S e chamada reflexiva se

para cada a ∈ S : a ∗ a ;

comutativa se para cadas a, b ∈ S : a ∗ b ⇒ b ∗ a ;

transitiva se para cada a, b, c ∈ S : a ∗ b, b ∗ c ⇒ a ∗ c .

Uma relacao ∗ entre alguns elementos dum conjunto S e chamada relacao de

equivalencia se


a) (reflexidade) para cada a ∈ S : a ∗ a ;

b) (comutatividade) para cadas a, b ∈ S : a ∗ b ⇒ b ∗ a ;

c) (transitividade) para cada a, b, c ∈ S : a ∗ b, b ∗ c ⇒ a ∗ c .

Teorema sem provar: se temos uma relacao de equivalencia num conjunto S ,

logo existe uma familha F de conjuntos tais que:

a) a uniao de todos elementos de F e S ;

b) intersecao de cadas dois elementos diferentes de F e vazia.

Exemplos.

a) Se S e o conjunto de triangulos e x ∗ y se os triangulos x e y tem areas

iguais, logo ∗ e relacao de equivalencia.

b) Se S e o conjunto de triangulos e x∗y se os triangulos x e y tem perimetros

iguais, logo ∗ e relacao de equivalencia.

c) Se S e o conjunto de habitantes duma cidade e x ∗ y significa que x e y sao

visinhos, logo ∗ nao e relacao de equivalencia.

Exercıcio. Seja S = ZZ . Para cada caso seguinte descobrir, se a relacao ∗ e

relacao de equivalencia e se e, descrever os classes de equivalencia.

a) x ∗ y se x− y e par.

b) x ∗ y se x− y e ımpar.

c) x ∗ y se x− y e multiplo de 7.

Exercıcio. Seja S = ZZ 2 e seus elementos sao denotados (x, y) onde x, y ∈ ZZ .

Para cada caso seguinte descobrir, se a relacao ∗ e relacao de equivalencia e se e,

descrever os classes de equivalencia.

a) (x, y) ∗ (p, q) se x + y = p + q .

b) (x, y) ∗ (p, q) se x · q = y · p .


Voce provavelmente ja reparou a semelhanca entre notacoes da logica e da teoria

de conjuntos. Esta semelhanca tem sentido. Para cada conjunto A podemos

considerar a afirmacao x ∈ A . Logo

x ∈ (A ∪B) e equivalente a (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)

e

x ∈ (A ∩B) e equivalente a (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).


3. 1-1 relacao. Conjuntos contaveis e nao contaveis.

Disemos que existe uma 1-1 relacao entre dois conjuntos A e B se existe uma

regra, tal que para cada elemento de A corresponde exatamente um elemento de

B e vice versa. Dois conjuntos, para aqueles tal relacao existe, sao chamados

equivalentes. Tambem dizemos que eles tem a mesma cardinalidade. Por exemplo,

todos conjuntos finitos com a mesma quantidade de elementos sao equivalentes e

sua cardinalidade e o numero de elementos de cada um deles:

#1, 2, 3

= #

a, b, c

= #

Argentina, Brasil, Columbia

= 3.

Definicao. n! (pronunciado “eni fatorial”) e definido para todos n = 0, 1, 2, 3, . . .

assim:

n! =

1 se n = 0,

1 · 2 · 3 · . . . · n se n = 1, 2, 3, . . .

Definicao. 1-1 relacao de um conjunto par ele mesmo e chamado de permutacao

deste conjunto.

Exercıcio. Para cada conjunto finito com n elementos existem n! permutacoes

dele.

Mais dificeis sao conjuntos infinitos. Um conjunto e chamado contavel se ele e

equivalente ao conjunto INI =1, 2, 3, . . .

.

Em outras palavras, qualquer conjunto S e contavel se os elementos dele podem

ser escritos na forma duma sequencia infinita: S =a1, a2, a3, . . .

com termos

diferentes. Todos conjuntos contaveis tem a mesma cardinalidade.

Observacao. Lima [Lima, vol. 1] chama de conjuntos enumeraveis todos conjuntos

finitos e contaveis.


Teorema. ZZ , o conjunto dos numeros inteiros, e contavel.

Teorema. O produto INI × INI e contavel.

Consequencia: O produto de dois conjuntos contaveis e contavel.

Lema. Se A ⊂ B e A e infinito e B e contavel, logo A e contavel.

Teorema. O conjunto QO de numeros racionais e contavel.

Exercıcio. Explicar o sentido da formula

# INI = # ZZ = #QO.

Exercıcio. Temos uma sequencia S1, S2, S3, . . . de conjuntos contaveis. Provar

que sua uniao S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ . . . e contavel tambem.

Exercıcio. Provar que estes conjuntos sao equivalentes:

cara, coroa

ne

0, 1

n.

Exercıcio. Provar que estes conjuntos sao equivalentes:

cara, coroa

INIe

0, 1

INI.

Teorema. O conjunto0, 1

INInao e contavel. Logo existem conjuntos nao

contaveis, cuja cardinalidade e mais de cardinalidade de N .

Prova pela contradicao usando o metodo diagonal de Cantor. Seja todos elementos

de0, 1

INIsao ordenados numa sequencia a1, a2, a3, . . . Cada deles e uma


sequencia: ak = (ak1, ak

2, ak3, . . .) Logo temos uma sequencia de sequencias:

a1 = (a11, a1

2, a13, . . .)

a2 = (a21, a2

2, a23, . . .)

a3 = (a31, a3

2, a33, . . .)

.....................................

Agora consideremos um elemento de0, 1

INIdefinido como sequencia

1− a11, 1− a2

2, 1− a33, . . .

Observe que esta sequencia nao pode coincidir com nenhum termo da sequencia

a1, a2, a3, . . . pois ela tem o primeiro termo diferente do primeiro termo de a1 ,

o segundo termo diferente do segundo termo de a2 , o terceiro termo diferente do

terceiro termo de a3 etc. Entao temos contradicao qual mostra que nossa suponha

foi falsa: e impossivel colocar todos elementos de0, 1

INInuma sequencia.

Teorema. O conjunto dos numeros reais nao e contavel.

Exercıcio. Uma sequencia a1, a2, a3, . . . e chamada periodica se existem numeros

naturais p, s tais que

∀ n ≥ s : an = an+p.

Provar que o conjunto de periodicos elementos de0, 1

INIe contavel.

Exercıcio. Apresentar uma 1-1 relacao entre0, 1

INIe0, 1, 2, 3

INI.

Definicao. Dizemos que o conjunto A caiba no conjunto B se existe B′ ⊂ B e

uma 1-1 relacao entre A e B′ .

Teorema (sem provar). Entre cadas dois conjuntos pelo menos um caiba noutro.


Teorema (sem provar). Temos dois conjuntos A e B . Se A caiba em B e B

caiba em A , existe 1-1 relacao entre A e B .

Devido a estes teoremas, para cadas dois conjuntos A e B ha so tres possibili-

dades:

a) A caiba em B e B caiba em A . Neste caso dizemos que A e B sao

equivalentes e suas cardinalidades sao iguais: #A = #B .

b) A caiba em B , mas B nao caiba em A . Neste caso dizemos que cardinalidade

de A e menos que cardinalidade de B : #A < #B .

c) A nao caiba em B , mas B caiba em A . Neste caso dizemos que cardinalidade

de A e mais que cardinalidade de B : #A > #B .

Por exemplo,

# g < #a

< #a, b

< . . . < # INI < . . . < #

0, 1

INI.

Entao todas as cardinalidades formam um conjunto ordenado. Se passar o con-

junto de cardinalidades na ordem de crescimento, comecamos em zero - a cardi-

nalidade do conjunto vazio, passamos todos numeros naturais - cardinalidades de

conjuntos finitos e... o que depois?

Exercıcio. Provar que a primeira cardinalidade depois de todos numeros naturais

e a cardinalidade de conjuntos contaveis.


4. Continuidade do conjunto de numeros reais. max, min, sup, inf.

Conjuntos ordenados. Um conjunto S e chamado ordenado se para cadas

dois elementos diferentes dele, denotados x 6= y , exatamente um de dois casos

seguintes acontece:

ou x < y , o que e mesmo que y > x ,

ou x > y , o que e mesmo que y < x ,

com condicao de transitividade

(x ≤ y, y ≤ z) ⇒ x ≤ z,

onde x ≤ y significa x < y ou x = y .

Por exemplo, os conjuntos INI , ZZ , QO sao ordenados.

Pergunta: e possivel ordenar ZZ 2 ? Resposta: possivel, mas inutil. Por exemplo,

podemos definir: (x, y) < (a, b)) se x < a ou x = a, y < b .

Exercıcio. provar transitivide desta ordenacao.

Exercıcio. Seja q numero racional tal que q ≥ 0 e ∀ n ∈ INI : q < 1/n. Provar

que q = 0 .

Por que precisamos de numeros reais? Por que nao somos satisfeitos

com numeros racionais? Explicamos isso nas duas maneiras conectadas.

Chamemos um conjunto ordenado S de continuo se ele satisfaz duas condicoes.

A primeira condicao e simples: para cadas a, b ∈ S , onde a < b , deve existir

c ∈ S tal que a < c < b . E evidente que QO satisfaz esta condicao: podemos

tomar c = (a + b)/2 .

O que de segunda condicao, vamos apresentar-lo em duas maneiras.


Se temos um conjunto ordenado S , sua corte e apresentacao S = Smenor ∪ Smaior

onde

∀ x ∈ Smenor, y ∈ Smaior : x < y.

Chamemos Smenor de classe menor e Smaior de classe maior. Chamemos de

buraco uma corte onde a classe menor nao tem maximo e a classe maior nao tem

minimo.

Seguinte Dedekind, queremos um conjunto ordenado sem buracos, qual inclue

todos numeros racionais.

Apresentamos a mesma dificuldade na outra maneira. Se temos um conjunto orde-

nado S , chamemos de segmento fechado [a, b] o conjuntox ∈ S : a ≤ x ≤ b

.

Chamemos de sequencia segmentos fechados encaixados ou sequencia de s.f.e. uma

sequencia

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .

onde cada segmento contem o proximo segmento. Outra maneira de apresentar a

segunda condicao:

Para cada sequencia de s.f.e. a intersecao de todos segmentos deve ser nao-vazio.

Mostremos que o conjunto QO nao satisfaz nenhuma versao da segunda condicao.

Apresentamos uma sequencia de s.f.e.

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .

tal que a intersecao de todos segmentos e vazia. Definimos os segmentos pela

inducao. Base de inducao: seja a1 = 1 e b1 = 2 .

Passo de inducao: seja temos an e bn . Denotamos mn = (an + bn)/2 e com-

paramos m2n com 2 . Pois mn e racional, m2

n e 2 nao podem ser iguais. Logo


temos so dois casos:

Se m2n < 2 , definimos an+1 = mn e bn+1 = bn .

Se m2n > 2 , definimos an+1 = an e bn+1 = mn .

Entao os todos [an, bn] sao definidos. Observe que bn − an = 1/2n−1 para todos

n . Logo a intersecao de todos segmentos [an, bn] nao pode ter mais que um

elemento. Mas nao pode ter mesmo um elemento, pois se tivesse, seu quadrado

seria 2 , o que e impossivel.

Explicamos a conexao entre as duas apresentacoes. Para cada sequencia de s.f.e.

[an, bn] chamemos de classe menor e de classe maior os conjuntos

Qmenor =q ∈ QO : ∃ n : q < an

, Qmaior = QO \Qmenor.

Clases Qmenor e Qmaior nao podem ter elementos comuns. e sua uniao e QO .

Qmenor nao tem maximo. A sequencia [an, bn] defina um buraco se Qmaior nao

tem minimo.

Esta situacao nao e unica, mas muito tipica em QO . E possivel provar que o

conjunto de buracos em QO e infinito e mesmo nao contavel. Agora concertamos

a situacao. Declaramos cada buraco de numero irracional. Numeros racionais

e irracionais juntos sao chamados de numeros reais. Denotamos o conjunto de

numeros reais de IR . Numeros reais fazem um conjunto ordenado e continuo.

Exemplo. O numero real√

2 e irracional. Os numeros reais√

3, 3√

2,√

3 −√

2

sao irracionais tambem.

Exemplo. Consideremos uma sequencia de numeros racionais x1, x2, x3, . . . , onde

xn =

(1 +

1

2n

)2n

.

E facil provar que esta sequencia cresce, i.e. x1 < x2 < x3 < . . . E possivel provar


tambem que todos seus termos sao menor que 3. Logo podemos definir uma corte

onde

Rmenor =r ∈ IR : ∃ n : r < xn

e Rmaior = IR \Rmenor.

Esta corte define um numero irracional importantissimo denotado e . Aproxi-

madamente e = 2, 718 . . .

Definicao. Para cada numero real x denotamos:

|x| = x se x ≥ 0,

−x se x < 0.

[x] - o maximo numero inteiro, qual nao e maior que x ;

]x[ - o minimo numero inteiro, qual nao e menor que x .

Exemplos: se x e inteiro, logo [x] =]x[= x .

Se 0 < x < 1 , logo [x] = 0 e ]x[= 1 .

Se −1 < x < 0 , logo [x] = −1 e ]x[= 0 .

Exercıcio. Quais valores pode tomar ]x[−[x] ?

Exercıcio. Quais valores pode tomar [x2]− [x]2 ?

max, min, sup, inf.

Chamemos um conjunto S ⊂ IR limitado se existem numeros A e B tais que

A ≤ x ≤ B para todos x ∈ S .

Exercıcio. Dados n conjuntos de numeros reais, daqueles cada e limitado. Provar

que seu uniao e intersecao tambem sao limitados.

Exercıcio. Dada uma familha F de subconjuntos de IR , daqueles cada e limi-

tado. Podemos concluir que a uniao destes conjuntos e limitada? Podemos con-

cluir que a intersecao deles e limitada?


Para cada conjunto limitado nao-vazio S ⊂ IR , chamemos um numero f cota

superior de S se x ≤ f para todos x ∈ S .

Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S . Pois S e limitado e

nao-vazio, ambos conjuntos IR \S e S sao nao-vazios, logo eles fazem uma corte

no conjunto de numeros reais. Logo existe fronteira entre eles, chamada supremo

de conjunto S e denotada sup S . Definimos inf S o infimo de S analogamente.

Se S nao tem nenhuma cota superior, dizemos que sup S = ∞ . Analogamente,

se S nao tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S = ∞ .

Teorema. Se um conjunto de numeros reais e nao vazio, ele tem um supremo e

um infimo (talvez, infinitos).

Exercıcio. Provar que qualquer conjunto nao pode ter mais que um maximo ou

mais que um supremo. Tambem provar que o maximo e o supremo de mesmo

conjunto sao iguais se ambos existem.

Teorema. Seja o conjunto IR apresentado como uniao de dois conjuntos S1 e

S2 tais que cada elemento de S1 e menor que cada elemento de S2 . Entao, so

dois casos sao possiveis: ou S1 tem maximo e S2 nao tem minimo, ou S1 nao

tem maximo e S2 tem minimo.


5. Sistema decimal e outros sistemas numericos.

Cada numero natural mais que um pode ser usado como base de sistema nu-

merica. O sistema numerica mais usada e decimal. Neste sistema temos dez

algarizmos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e podemos escrever cada numero natural como

uma sequencia

an an−1 . . . a1 a0︸︷︷︸notacao decimal

= 10n · an + 10n−1 · an−1 + . . . + 101 · a1 + 100 · a0. (3)

Teorema. Cada numero natural pode ser escrito na maneira (3) num unico

jeito.

Usando a mesma notacao, podemos escrever os numeros reais em [0, 1] como

fracoes decimais infinitas

0, a1, a2, a3, . . . onde ai ∈0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Fracoes finitas podem ser interpretadas como infinitas com zeros ate ∞ .

Todos estes numeros sao diferentes com execao seguinta:

0, a1, a2, . . . ak, 999 . . . = 0, a1, a2, . . . (ak + 1), 000 . . .

O conjunto [0, 1] e ordenado.

Exercıcio. Denotamos X = 0, 999999 . . . O numero X e menor que um, igual a

um ou maior que um?

Teorema. a) Cada numero racional se-apresenta como uma fracao decimal

periodica. b) Cada fracao decimal periodica apresenta um numero racional.

Cada numero natural mais que um pode ser usado como base duma sistema de

notacao. Dado qualquer inteiro b > 1 cada numero natural pode ser apresentado


na maneira unica como

an an−1 . . . a1 a0︸︷︷︸notacao com base b

= bn · an + bn−1 · an−1 + . . . + b1 · a1 + b0 · a0.

onde an, . . . , a0 sao algarismos base b , i.e. numeros inteiros entre zero e b− 1 .

Sistema com b = 2 , chamada binaria, e muito usada nos computadores. Nesta

sistema ha so dois algarismos: 0 e 1 e cada numero natural pode ser escrito num

unico jeito como uma sequencia deles:

an an−1 . . . a1 a0︸︷︷︸notacao com base 2

= 2n · an + 2n−1 · an−1 + . . . + 21 · a1 + 20 · a0.

Numeros reais entre zero e um tambem podem ser escritos nesta maneira - como

∞∑k=1

ak · 2−k = 0, a1a2a3 . . . , onde ai ∈0, 1

.

O conjunto de Cantor e intersecao de uma sequencia de conjuntos C = ∩∞n=0Cn ,

onde C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 . . . sao definidos indutivamente. Os primeiros tres sao:

C0 = [0, 1], C1 =

[0,

1

3

]∪[

2

3. 1

],

C2 =

[0,

1

9

]∪[

2

9.

1

3

]∪[

2

3,

7

9

]∪[

8

9. 1

].

Cada conjunto Cn e uma uniao de 2n segmentos fechados, cada com comprimento

3−n , e torna-se em Cn+1 se cortamos cada segmento em tres partes iguais e

eliminamos a parte media sem eliminar suas fronteiras.

Para entender melhor o conjunto de Cantor, e util apresentar os numeros

reais em [0, 1] como fracoes infinitas com base 3 . Cada fracao e escrita como

0, a1, a2, a3, . . . , i.e. zero, vırgula, e apos uma sequencia infinita de algarismos,

daqueles cada e 0 , 1 ou 2 . O valor desta fracao e

valor(0, a1, a2, a3, . . .) =∞∑

n=1an · 3−n.


Isto e analogo de fracoes decimais.

Se uma fracao deste tipo tem todos zeros comecando dum lugar, podemos apa-

gar estes zeros e obter uma fracao finita. Cada numero, qual pode ser rep-

resentado como fracao finita, tem duas fracoes representantes, por exemplo,

1 = 0, 222222 . . . . Cada outro numero em [0, 1] tem exatamente uma fracao

representante. Usando isto, o conjunto de Cantor pode ser definido como o con-

junto de numeros em [0, 1] , qual podem ser representados como fracoes base 3

sem usar o algarismo 1 , i.e.

C =

∞∑

n=1an · 3−n, ∀n : an ∈

0, 2

. (4)

Exercıcio. Provar que o conjunto (4) e o conjunto de Cantor.

Exercıcio. Provar que o conjunto de Cantor nao e contavel.


6. Sequencias em IR . Limites.

Definicao. Dizemos que uma sequencia xn tem limite finito L ou tende-se para

numero L quando n →∞ e escrevemos

limn→∞xn = L ou xn

n →∞→ L

se

∀ ε > 0 ∃ k ∀ n > k : |xn − L| < ε. (5)

Aqui n deve ser natural, mas k pode ser real.

A formula (5) nao e unica possivel. Existem outras formulas com o mesmo sentido.

De outro lado, existem formulas parecidas em (5) , cujo sentido e diferente.

Exercıcio. Quais das formulas seguintes sao equivalentes a (5) ?

a) ∀ ε > 0 ∃ k ∀ n ≥ k : |xn − L| ≤ ε.

b) ∃ k ∀ ε > 0 ∀ n > k : |xn − L| < ε.

Teorema. Uma sequencia nao pode ter dois limites diferentes.

Demonstracao. Seja xn → A e xn → B onde A 6= B . Tomemos ε =

|A−B|/2 > 0 . Logo existem k1 e k2 tais que

∀ n > k1 : |xn − A| < ε, ∀ n > k2 : |xn −B| < ε.

Tomemos qualquer n > max(k1, k2) . Lembramos que o modulo de diferenca

entre dois numeros e a distancia entre os pontos quais representam estes numeros

na reta. Logo a distancia entre xn e A sera menor que ε e a distancia entre xn

e B sera menor que ε . Logo a distancia entre A e B sera menor que

2ε = 2 · |A−B|2

< |A−B|,


o que e impossivel pois esta distancia e igual a |A−B| .

Definicao. Uma sequencia xn e chamada limitada se existe um numero C tal

que ∀ n : |xn| < C .

Teorema. Se uma sequencia tende-se para um numero, entao ela e limitada.

Como escrever a afirmacao que xn nao tende-se para L ? O jeito mais facil e

simplesamente colocar o sinal de negacao no comeco:

∀ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − L| < ε.

Agora transformamos esta formula usando a regra (1) :

∃ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − L| < ε.

Continuamos transformar usando a regra (2) :

∃ ε > 0 ∀ n ∀ k > n : |xk − L| < ε

e mais

∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − L| < ε

e finalemente

∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − L| ≥ ε.

Esta formula e mais apropriada quando queremos provar que uma sequencia nao

tende-se para um numero. Entao esta provado o teorema seguinte:

Teorema. xn nao tende-se para L se e somente se

∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xn − L| ≥ ε.

Exercıcio. Seja

xn =

0 se n e par,1 se n e ımpar.


Provar que a sequencia xn nao tende-se nem para zero nem para um.

Teorema. Se xn n→∞→ A , entao C · xn → C · A para cada numero C .

Teorema. Se xn → A e yn → B , entao xn + yn → A + B .

Definicao. Dizemos que uma sequencia xn tende-se para ∞ e escrevemos

xn n→∞→∞ se

∀ M ∃ n ∀ k > n : xk > M.

Tambem dizemos que uma sequencia xn tende-se para −∞ e escrevemos

xn n→∞→ −∞ se

∀ M ∃ n ∀ k > n : xk < M.

Exercıcio. a) Transformar negacoes destas formulas na maneira parecida de

transformacao acima.

b) Seja

xn =

n se n e par,−n se n e ımpar.

Provar que a sequencia xn nao tende-se nem para ∞ nem para −∞ .

Definicao. Se uma sequencia tende-se para um numero ou para ∞ ou para −∞ ,

dizemos que ela tem limite. Se este limite e finito, dizemos que esta sequencia

converge. Se ela tem limite infinito ou nao tem nenhum limite, dizemos que ela

diverge.

Teorema. Uma sequencia xn tende-se para numero L se e somente se para

cada ε > 0 o conjunton : |xn − L| ≥ ε

e finito.

Teorema. Se uma sequencia tem limite, cada outra sequencia obtida dela

eliminando, incluindo e mudando um conjunto finito de termos, tem o mesmo


limite.

Teorema. Se xn → A , entao cada permutacao e cada sub-sequencia de xn

tambem tende-se para A .

Definicao. Dizemos que uma sequencia xn e limitada se existe numeros A, B

tal que A ≤ xn ≤ B para todos n .

Definicao. Dizemos que uma sequencia xn e crescente se xn < xn+1 para todos

n . Definimos uma sequencia decrescente analogamente.

Definicao. Dizemos que uma sequencia xn e nao-decrescente se xn ≤ xn+1 para

todos n . Definimos uma sequencia nao-crescente analogamente.

Teorema. Cada sequencia nao-decrescente xn tem limite. Se xn e limitada,

seu limite e finito, caso contrario o seu limite e ∞ .

Definicao. Chamemos um numero f cota superior de um conjunto S ⊂ IR se

x ≤ f para todos x ∈ S . Chamamos uma cota superior f de S o supremo de

S se f e o mınimo do conjunto das cotas superiores de S . Definimos o infimo

de um conjunto analogamente.

Teorema. Cada conjunto nao vazio tem um supremo e um infimo. (O supremo

pode ser ∞ e o infimo pode ser −∞ .)

Exercıcio. Provar que qualquer conjunto nao pode ter mais que um maximo ou

mais que um supremo. Tambem provar que o maximo e o supremo de mesmo

conjunto sao iguais se ambos existem.

Teorema. Se o numero S e o supremo do conjunto C , logo existe uma

sequencia (xn) , todos cujos termos pertencem a C e tal que xn → S .


7. Pontos de aderencia.

Teorema. Se uma sequencia tem limite, cada subsequencia dela tem o mesmo

limite.

Definicao.

a) Um numero A e chamado um ponto de aderencia ou ponto aderente duma

sequencia se ela tem uma subsequencia, qual tende-se para A .

b) Dizemos que ∞ e um ponto de aderencia duma sequencia se ela tem uma

sub-sequencia, qual tende-se para ∞ .

c) Dizemos que −∞ e um ponto de aderencia duma sequencia se ela tem uma

sub-sequencia, qual tende-se para −∞ .

Observacao. Lima [Lima, vol. 1] use a frase valor de aderencia com mesmo sentido

que o nosso ponto de aderencia.

Teorema. Um numero A e um ponto de aderencia de xn se e somente se

∀ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − A| < ε.

Teorema. X. Um numero A e um ponto de aderencia de xn se e somente se

para cada ε > 0 o conjunton : |xn − A| < ε

e infinito.

Teorema. Um numero A nao e um ponto de aderencia de xn se e somente se

∃ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − A| ≥ ε.

Teorema. Um numero A nao e um ponto de aderencia de xn se e somente se

existe ε > 0 tal que o conjunton : |xn − A| < ε

e finito.

Pergunta: Existe sequencia, qual contem todos numeros racionais?


Pergunta: Existe sequencia, qual contem todos numeros reais?

Teorema. Para cada sequencia, qual contem todos numeros racionais, todos

numeros reais sao pontos de aderencia.

Teorema. O teorema de Bolzano-Weierstrass. Cada sequencia limitada tem

pelo menos um ponto de aderencia.

Demonstracao. Seja sequencia xn limitada,i.e. existe C tal que ∀ n : −C ≤

xn ≤ C . Chamemos um conjunto S magro se o conjunton : xn ∈ S

e finito e

gordo se o mesmo conjunto e infinito. E claro que se temos dois conjuntos magros,

sua uniao e magra tambem.

Agora observamos que o segmento [−C, C] e gordo. Apresentmos-lo como uniao

de dois segmentos fechados:

[−C, C] = [−C, 0] ∪ [0, C].

Logo pelo menos um deles e gordo. Denotamos-lo de [a1, b1] e cortamos este

segmento emduas partes iguais:

[a1, b1] =

[a1,

a1 + b1

2

]∪[a1 + b1

2, b1

].

Pelo menos um destes segmentos e gordo. Chamamos-lo de [a2, b2] e procedemos

na mesma maneira indutivamente. Na casa passo de inducao temos um segmento

gordo [an, bn] e apresentmos-lo como

[an, bn] =

[an,

an + bn

2

]∪[an + bn

2, bn

].

Pelo menos um destes segmentos e gordo. Denotamos-lo de [an+1, bn+1] e pro-

cedemos na mesma maneira. Logo obtemos uma sequencia infinita de segmentos

gordos

[−C, C] ⊃ [a1, a2] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .


Os comprimentos destes segmentos tendem para zero, logo todos estes segmentos

tem exatamente um ponto comum L . Logo, devido ao teorema X, este ponto e

ponto de aderencia de nossa sequencia xn .

Corolario. Cada sequencia tem pelo menos um ponto de aderencia: ou um

numero ou ∞ ou −∞ .

Teorema. Seja A o conjunto de pontos de aderencia da sequencia xn e B o

conjunto de pontos de aderencia da sequencia yn . Logo A ∪ B e o conjunto de

pontos de aderensia da sequencia x1, y1, x2, y2, x3, y3, . . .

Teorema. Seja A o conjunto de pontos de aderencia da sequencia xn e B o

conjunto de pontos de aderencia da sequencia yn . Seja xn uma subsequencia de

yn . Logo A ⊂ B .

Teorema. Se uma sequencia xn tem so um ponto de aderencia (um numero ou

∞ ou −∞ ), entao xn tende para este limite.

Teorema. Se uma sequencia e obtida atravez de eliminacao dum conjunto finito

de termos de outra sequencia, estas sequencias tem o mesmo conjunto de pontos

de aderencia.

Teorema. Se uma sequencia e obtida atravez de permutacao de outra sequencia,

estas sequencias tem o mesmo conjunto de pontos de aderencia.


8. O criterio de Cauchy para sequencias.

Definicao. Dizemos que uma sequencia xn satisfaz a condicao de Cauchy se

∀ ε > 0 ∃ k ∀ m,n > k : |xm − xn| < ε. (6)

Teorema. O criterio de Cauchy. Uma sequencia xn dos numeros reais tem

limite finito se e somente se ela satisfaz a condicao de Cauchy.

Demonstracao. Numa direcao: seja xn → L . Provemos (6) . Escolhemos

qualquer ε > 0 . Pois xn → L , existe k tal que

∀ n > k : |xn − L| < ε

2.

Logo

∀ m, n > k : |xm − xn| < ε.

Isto e a condicao de Cauchy.

Noutra direcao. Seja a condicao (6) satisfeita. Primeiro provemos que a sequencia

xn e limitada. Pois (6) e verdadeira para todos ε > 0 , e verdadeira para ε = 1 .

Logo

∃ k ∀ m, n > k : |xm − xn| < 1.

Tomemos k com esta propriedade e m o primeiro numero natural qual e mais

que k . Logo

∀ n ≥ m : |xm − xn| < 1.

Logo ∀ n : |xn| ≤ C onde

C = max|x1|, . . . , |xm−1|, |xm − 1|, |xm + 1|

.

Entao, esta provado que a sequencia xn e limitada. Logo, devido ao teorema de

Weierstrass-Bolzano, ela tem pelo menos um ponto de aderencia, o qual denotamos


de L . Provemos que xn → L , i.e.

∀ ε > 0 ∃ k ∀ n > k : |xn − L| < ε.

Tomemos qualquer ε > 0 . Devido a (6) , existe k tal que

∀ m,n > k : |xm − xn| < ε/2.

Pois L e um valor de aderencia de xn , existe q > k tal que |xq − L| < ε/2 .

Logo ∀ n > k : |xn − L| < ε , o que presicamos.

O criterio de Cauchy esta provado nas ambas direcoes.

Exercıcio. Aplicando regras (1) e (2) , transformar a formula dizendo que uma

sequencia nao tem limite finito.

Exercıcio. Provar que a sequencia 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . nao tem nenhum limite, nem

finito, nem infinito.

Exercıcio. Seja todos numeros racionais enumerados. Provar que esta sequencia

nao tem nenhum limite.


9. Conjuntos abertos e fechados em IR .

Definicao. Para cada ponto p ∈ IR e cada ε > 0 chamemos ε -vizinhanca de

p e denotamos de Vε(p) o conjunto

Vε(p) def=q : |q − p| < ε

.

A nocao de visinhanca poderia ser util em todos os capitulos anteriores. Por

exemplo, usando-lo obtemos criterios novos de limite e ponto de aderencia:

Teorema. A sequencia xn tende para p quando n →∞ se e somente se para

cada ε > 0 o conjunton : xn /∈ Vε(p)

e finito.

Teorema. O numero p e um ponto de aderencia duma sequencia xn se e

somente se para cada ε > 0 o conjunton : xn ∈ Vε(p)

e infinito.

Agora vamos falar de coisas novas.

Definicao. Um ponto p ∈ IR e chamado de ponto interior dum conjunto S ⊂ IR

se existe ε > 0 tal que

Vε(p) ⊂ S.

Definicao. Chamemos um conjunto C ⊂ IR aberto se todos seus pontos sao

interiores.

Exemplos. Os conjuntos g , IR , (a, b) , (−∞, b) , (a,∞) sao abertos.

Teorema. Seja F qualquer famılia de conjuntos abertos. Logo sua uniao

∪C∈FC e aberta tambem.

Teorema. Se conjuntos C1, . . . , Cn sao abertos, sua intersecao e aberta


tambem.

Exercıcio. Apresentar uma sequencia de conjuntos abertos, cuja intersecao nao e

aberta.

Definicao. Chamemos um ponto p ∈ IR ponto de aderencia dum conjunto S ⊂ IR

se existe uma sequencia xn , todos cujas termos pertencem a S , qual converge a

p .

Teorema. Um ponto p ∈ IR e ponto de aderencia dum conjunto S ⊂ IR se e

somente se para cada ε > 0 os conjuntos S e Vε(p) tem intersecao nao-vazia.

Exercıcio. Provar que um ponto p nao e um ponto de aderencia de conjunto S

se e somente se existe ε > 0 tal que S ∩ Vε(p) = g .

Teorema. Um ponto p ∈ S ⊂ IR e interior em S se e somente se p nao e

ponto de aderencia de IR \ S .

Teorema. Um ponto p ∈ S ⊂ IR e ponto d aderencia de S se e somente se p

nao e ponto interios de IR \ S .

Definicao. Para cada conjunto S ⊂ IR chamemos de seu fecho e denotamos de

fecho(S) o conjunto de pontos de aderencia de S .

Exercıcio. Provar que qualquer S ⊂ fecho(S) .

Definicao. Chamemos um conjunto S ⊂ IR fechado se ele coincide com seu fecho.

Exercıcio. Provar que cada fecho e fechado.

Exemplos. Os conjuntos g , IR ,

x

, [a, b] , (−∞, b] , [a,∞) sao fechados.

Mais exemplos. Os conjuntos (a, b] e [a, b) sao nem abertos, nem fechados. O


conjunto dos numeros racionais tambem e nem aberto, nem fechado, e o conjunto

dos numeros irracionais tambem.

Teorema. O conjunto de pontos de aderencia duma sequencia limitada e fechado.

Teorema.

a) Se o conjunto C ⊂ IR e aberto, entao IR \ C e fechado.

b) Se o conjunto S ⊂ IR e fechado, entao IR \ S e aberto.

Teorema. Seja F qualquer famılia de conjuntos fechados. Logo sua intersecao

∩C∈FC e fechada tambem.

Exercıcio. Provar que o conjunto de Cantor e fechado.

Teorema. Se conjuntos S1, . . . , Sn sao fechados, sua uniao e fechada tambem.

Exercıcio. Apresentar uma sequencia de conjuntos fechados, cuja uniao nao e

fechada.

Teorema. (Lema de Heine-Borel-Lebesgue.)

Temos uma familha F de conjuntos abertos na reta tal que a uniao de todos estes

conjuntos inclue o segmento fechado [a, b] . Logo existe uma sub-familha finita

F ′ ⊂ F tal que a uniao de todos seus elementos tambem inclue [a, b] .

Demonstracao. Chamemos um conjunto mole se e possivel escolher uma sub-

familha finita tal que a uniao de todos seus elementos inclue este conjunto e duro

caso contrario. Observamos que se dois conjuntos sao moles, sua uniao e mole

tambem.

Agora supomos que o segmento [a, b] e duro e obtemos um contradicao. Apre-


sentamos [0, 1] como uniao de dois segmentos fechados:

[a, b] =

[a,

a + b

2

]∪[a + b

2, b

].

Se ambos estes segmentos sao moles, sua uniao e mole tambem, o que e contra

nossa suponha. Logo pelo menos um destes segmentos e duro. Chamemos este

segmento de [a1, b1] e cortamos-lo em duas metades na maneira parecida:

[a1, b1] =

[a1,

a1 + b1

2

]∪[a1 + b1

2, b1

].

Na mesma maneira concluimos que pelo menos destes segmentos e duro e

chamamos-lo de [a2, b2] . Fazemos o mesmo pela inducao: apos de receber um

segmento duro an, bn , apresentamos-lo como uniao de dois segmentos

[an, bn] =

[an,

an + bn

2

]∪[an + bn

2, bn

],

concluimos que pelo menos um destes segmentos e duro e denotamos-lo de

[an+1, bn+1] . Logo obtemos um sequencia de segmentos duros encaixados:

[a, b] ⊃ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ . . .

O comprimento de [an, bn] e (b− a)/2n , logo tende para zero quando n →∞ .

Estes segmentos tem um ponto comum, qual denotamos de L . Lembramos que

a uniao de elementos de F inclue [a, b] , logo inclue o ponto L . Logo existe

um conjunto aberto C ∈ F tal que L ∈ C . Pois C e aberto, existe ε > 0 tal

que (L − ε, L + ε) ⊂ C . Escolhemos n tal grande que (b − a)/2n < ε . Logo

[an, bn] ⊂ C . Mas isto significa que [an, bn] e mole! Temos uma contradicao,

qual mostra que nossa suponha foi falsa; na verdade o segmento [a, b] e mole.


10. Limsup, liminf.

Definicao. Dada sequencia xn .

Denotamos lim supn→∞ xn o supremo (de fato, maximo como reconhecemos em

baixo) de conjunto de pontos de aderencia dela.

Analogamente denotamos lim infn→∞ xn o infimo (de fato, minimo) de conjunto

de pontos de aderencia dela.

Teorema. Dada sequencia xn , denotamos

Tn =xn, xn+1, xn2

, . . ., In = inf Tn, Sn = sup Tn.

Logo

lim infn→∞ xn = lim

n→∞ In, lim supn→∞

xn = limn→∞Sn.

(Isto e como Lima [Lima, vol. 1] define lim inf e lim sup .)

Exercıcio. Seja xn = (−1)n/n . Descobrir lim inf xn e lim sup xn .

Exercıcio. Provar que

lim sup (xn + yn) ≤ lim sup xn + lim sup yn.

Pode ser que

lim sup (xn + yn) < lim sup xn + lim sup yn ?


11. Sequencias em IR2 . Limites e pontos de aderencia.

Toda teoria desenvolvida acima pode ser aplicada para o plano IR2 com mudancas

pequenas. Supomos que no plano e escolhido um sistema de coordenadas, tal que

cada ponto e um par (x, y) onde x, y ∈ IR . Denotamos de dist(p, q) a distancia

entre pontos p, q ∈ IR2 . Seguinte o teorema de Pitagoras, a distancia entre

qualquer pontos (x, y) e (a, b) e

dist((x, y), (a, b)

)=√

(x− a)2 + (y − b)2.

Para cada ponto p ∈ IR2 denotamos ‖p‖ e chamamos a norma de p a distancia

entre p e O . Neste caso ε -vizinhanca dum ponto p , denotada Vε(p) , e definida

como o conjunto dos pontos, cuja distancia de p e menor que ε :

Vε(p) =q ∈ IR2 : dist(p, q) < ε

.

Dizemos que uma sequencia xn tende-se para um ponto p ou que o ponto p e o

limite de xn se a distancia dist(xn, p) tende-se para zero quando n →∞ .

Definicao. Um ponto e chamado ponto de aderencia duma sequencia se ela tem

uma sub-sequencia, qual tende-se para este ponto.

Chamemos uma sequencia xn em IR2 limitada se existe um numero C tal que

∀ n : ‖xn‖ ≤ C .

Teorema. Cada sequencia limitada em IR2 tem pelo menos um ponto de

aderencia.

Dizemos que um ponto p ∈ IR e um ponto de aderencia dum conjunto S ⊂ IR2

se existe uma sequencia qn , todos cujas termos pertencem a S , qual converge

a p .


Teorema. (Outra versao de criterio Cauchy.)

Uma sequencia pn dos pontos em IR2 tem limite se e somente se

∀ ε > 0 ∃ k ∀ m, n > k : dist(pm, pn) < ε.


12. Conjuntos abertos e fechados em IR2 .

IR2 significa plano onde usamos uma sistema de coordenados chamados x e y .

A teoria de conjuntos abertos e fechados ali e muito parecido na mesma teoria em

IR . A maior diferenca - definicao de visinhanca. No plano visinhanca Vε(p) com

raio ε > 0 dum ponto p ∈ IR2 e um cırculo aberto com centro p e raio ε :

Vε(p) def=q ∈ IR2 : dist(q, p) < ε

onde dist e distancia euclideana.

Um ponto p ∈ IR2 e chamado interior dum conjunto C ⊂ IR2 se existe ε > 0

tal que Vε(p) ⊂ C . Um conjunto C ⊂ IR2 e chamado aberto se todos seus pontos

sao interiores.

Exemplos de conjuntos abertos: g , IR2 ,

(x, y) : x > 0

,

(x, y) : y > x2

,

(x, y) : x2 + y2 < 1

.

Definicao. Chamemos um ponto p ∈ IR2 ponto de aderencia dum conjunto

S ⊂ IR2 se existe uma sequencia (xn) , todos cujas termos pertencem a S , qual

converge a p .

Teorema. Um ponto p ∈ IR2 e ponto de aderencia dum conjunto C ⊂ IR2 se

para cada ε > 0 os conjuntos C e Vε(p) tem intersecao nao-vazia.

Para cada conjunto S ⊂ IR2 chamemos de seu fecho o conjunto dos seus pontos

de aderencia.

Exercıcio. Cada conjunto em IR2 pertence a seu fecho.

Chamemos um conjunto em IR2 fechado se ele coincide com seu fecho, i.e. contem

todos seus pontos de aderencia.


Exemplos. Para qualquer ponto p ∈ IR2 e numero r > 0 o conjuntoq ∈ IR2 : dist(q, p) < r

e aberto e o conjunto

q ∈ IR2 : dist(q, p) ≤ r

e

fechado.

Como antes, para cada S ⊂ IR2 denotamos Sc = IR2 \ S .

Teorema.

Se S ⊂ IR2 e aberto, Sc e fechado.

Se S ⊂ IR2 e fechado, Sc e aberto.

Lema. Temos um plano IR2 =(x, y) : x, y ∈ IR

. Chamemos caixa cada

sub-conjunto de R2 de tipo

caixa(a, b, c, d) =(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

.

Temos uma sequencia de caixas caixa(an, bn, cn, dn) tal que cada intersecao

finita deles e nao-vazia:

∀ n :n⋂

k=1caixa(ak, bk, ck, dk) 6= g .

Logo a intersecao de todos e nao-vazia tambem:

∞⋂k=1

caixa(ak, bk, ck, dk) 6= g .

Exemplos de conjuntos fechados: g , IR2 ,

(x, y) : x ≥ 0

,

(x, y) : y ≥ x2

,

(x, y) : x2 + y2 ≤ 1

.

Teorema.

a) Se temos qualquer familha F de conjuntos abertos em IR2 , a uniao de todos

conjuntos em F e aberta tambem.

b) Se temos uma lista finita de conjuntos abertos em IR2 , logo sua intersecao e


aberta tambem.

c) Se temos qualquer familha F de conjuntos fechados em IR2 , a intersecao de

todos conjuntos em F e fechada tambem.

d) Se temos uma lista finita de conjuntos fechados em IR2 , logo sua uniao e

fechada tambem.

Dado conjunto S ⊂ IR2 , chamemos de sua fronteira a intersecao do fecho de S e

o fecho se IR2 \ S .

Teorema.

a) Um conjunto em IR2 e aberto se e somente se sua intersecao com sua fronteira

e vazia.

b) Um conjunto em IR2 e fechado se e somente se ele inclue sua fronteira.

Teorema.

a) Os unicos sub-conjuntos de IR2 cuja fronteira e vazia sao g e IR2 .

a) Os unicos sub-conjuntos de IR2 quais sao abertos e vazios no mesmo tempo

sao g e IR2 .


13. Funcoes IR → IR . Limite e continuidade.

Definicao. Dada uma funcao f : S → IR , definida em um conjunto S ⊂ IR ,

qual contem uma visinhanca de ponto x0 , mas nao precise conter o mesmo ponto

x0 . Dizemos que um numero A e o limite de f quando x → x0 e escrevemos

A = limx→x0f(x) ou f(x) x→x0

→ A se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S : 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− A| < ε.

Tambem dizemos que limx→x0f(x) = ∞ se

∀ M ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S : 0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) > M.

Tambem dizemos que limx→∞ f(x) = A se

∀ ε > 0 ∃ M ∀ x ∈ S : x > M ⇒ |f(x)− A| < ε.

Tambem dizemos que limx→∞ f(x) = ∞ se

∀ M ∃ N ∀ x ∈ S : x > N ⇒ f(x) > M.

Exercıcio. Provar que uma funcao nao pode ter dois limites quando x → x0 ou

quando x →∞ .

Tambem, podemos definir esquerdo e direito limites duma funcao f(x) num ponto

x0 denotados

limx→x0−

f(x) = limx↑x0

f(x) e limx→x0+

f(x) = limx↓x0

f(x)

e definidos analogamente, so no lugar de 0 < |x − x0| < δ escrevemos x0 − δ <

x < x0 ou x0 < x < x0 + δ .


Teorema. Uma funcao tem limite no ponto x0 se e somente se ela tem esquerdo

e direito limites, qual sao iguais.

Definicao. Dizemos que uma funcao f e continua em ponto x0 se ela e definida

neste ponto, o limite dela quando x → x0 existe e este limite e igual a f(x0) .

Teorema. Uma funcao e continua no ponto x0 se e somente se ela tem esquerdo

e direito limites, qual sao iguais para um outro e para f(x0) .

Teorema. Uma funcao f : IR → IR e continua no ponto x0 se e somente se

para cada sequencia (xn) , cujos termos sao diferentes de x0 e qual tende-se para

x0 , a sequencia f(xn) tende-se para f(x0) .

Teorema. limx→x0(f(x) + g(x)) = limx→x0

f(x) + limx→x0g(x).

Teorema. limx→x0(f(x) · g(x)) = limx→x0

f(x) · limx→x0g(x).

Teorema. Seja g(x) > 0 para todos x . Logo

limx→x0

(f(x)/g(x)) = limx→x0

f(x)/ limx→x0

g(x).

Dizemos que uma funcao f : IR → IR e nao-decrescente se

∀ x, y ∈ IR : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y).

Teorema. Seja f(x) uma funcao nao-decrescente definida em todo IR . Logo

f(x) tem esquerdo e direito limites no cada ponto e

∀ x, x1, x2 > x : x1 < x < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x−) ≤ f(x) ≤ f(x+) ≤ f(x2).

Tambem

∀x1 < x2 : f(x1+) ≤ f(x2−).


Teorema. Se funcao f(x) e nao-decrescente, logo

∀ x1 < x2 : f(x1+) ≤ f(x2−).

Lema. Temos um conjunto C de intervalos abertos na reta, daqueles cadas dois

nao tem pontos comuns. Provar que o conjunto C e vazio, finito ou contavel.

(Mesmo para discos abertos no plano.)

Definicao. Dizemos que uma funcao f e continua num conjunto S se ela e

continua no cada x ∈ S .

Teorema. Seja uma funcao f definida na toda reta. Logo as tres condicoes

seguintes sao equivalentes:

a) Funcao f e continua na toda reta.

b) Pre-imagem de cada conjunto aberto e aberta.

c) Pre-imagem de cada conjunto fechado e fechada.

Definicao. Dizemos que uma funcao f(x) e limitada num conjunto se existe

numero C tal que |f(x)| ≤ C neste conjunto.

Teorema. Se f(x) e continua em [a, b] , logo:

a) f(x) e limitada em [a, b] .

b) f(x) tem maximo e minimo em [a, b] , i.e.

∃ x∗ ∈ [a, b] : f(x∗) = max[a,b]

f(x), ∃ x∗ ∈ [a, b] : f(x∗) = min[a,b]

f(x).

c) Para cada y ∈ [f(a), f(b)] existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = y .

Teorema. Se uma funcao e continua num segmento fechado [a, b] , ela e limitada


e tem maximo e minimo neste segmento.

Teorema. Seja f(x) continua em [a, b] e f(a) < 0 e f(b) > 0 . Logo existe

x ∈ (a, b) tal que f(x) = 0 .

Dica. Consideramos o conjunto C =x ∈ [a, b] : f(x) ≤ 0

, denotamos s o

supremo deste conjunto e provemos que f(s) = 0 .

Observacao. E claro que o valor de x ∈ [a, b] onde e f(x) = 0 nao precise estar

unico. Pode existir muito valores com esta condicao, mesmo um conjunto infinito.

Corolario. Se n e ımpar, o polinomio

P (x) = xn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0

tem pelo menos uma raiz real.

Teorema. Se z = z(y) e y = y(x) e ambas sao continuas, logo z(x) e continua

tambem.

Dado conjunto S ⊂ IR , chamemos um ponto x ∈ S interios de S se existe ε > 0

tal que Vε(x) ⊂ S .

Para cada conjunto S ⊂ IR , denotamos int(S) o conjunto dos pontos interiores

de S .

Definicao. Para cada S ⊂ IR chamemos fronteira de S e denotamos front(S)

a intersecao de fecho de S e fecho de IR \ S .

Teorema. int(S) = S \ front(S) .

Para cada funcao f : IR → IR denotamos Im f e chamamos imagem de f o

conjuntof(x) : x ∈ IR

.


Chamamos um conjunto C ⊂ IRd convexo se para cadas a, b ∈ C o todo segmento

[a, b] pertence a C .

Teorema. Para cada funcao continua f : IR → IR o imagem de f e convexo.

Observacao: Seria melhor diser que o imagem de f e conectado, pois isto e

verdade em todas dimencoes, mas a nocao de conectividade e mais complicada e

na dimencao 1 e equivalente a convexidade.

Teorema. Todos sub-conjuntos convexos de IR sao:

g , IR, (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞), [a, ∞),(a, b), [a, b), (a, b], [a, b],

a,

(7)

onde a < b ∈ IR sao parametros.

Corolario. Para cada funcao continua f : IR → IR o imagem de f pertence a

lista (7) .

Chamemos uma funcao f(x) definida num segmento S crescente se

∀ a, b ∈ S : a < b ⇒ f(a) < f(b).

Teorema. Se f(x) e crescente em S , para cada a ∈ int(S) :

a) Os limites

limx→a−

f(x) e limx→a+

f(x)

existem e

limx→a−

f(x) ≤ limx→a+

f(x).

b) Estes limites sao iguais se e somente se f(x) e continua no ponto a .

Teorema. Se f(x) definida na toda reta e continua e crescente, a imagem dela

e aberto.


Corolario. Se f(x) definida na toda reta e continua e fortemente monotonica,

a imagem dela pertence a lista

IR, (−∞, b), (a, ∞), (a, b).


14. Continuidade uniforme e condicao de Lipschitz.

Dizemos que uma funcao f : S → IR e uniformemente continua em S se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, x0 ∈ S : |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Exemplo. Funcao y = x2 definida em IR e continua em IR , mas nao uniforme-

mente continua.

Exemplo. Funcao y = 1/x definida em S =x : x > 0

e continua em S , mas

nao uniformemente continua.

Exercıcio. Sabemos que uma funcao e continua na toda reta IR . Podemos

concluir que ela e uniformemente continua na IR ?

Teorema. Se uma funcao e continua em [a, b] , ela e uniformemente continua

em [a, b] .

Teorema. Se uma funcao e uniformemente continua em (a, b) , ela e limitada

e existem limites

limx→a+

f(x) e limx→b−

f(x).

Teorema. Se f(x) e continua na toda reta e tem limites quando x → −∞ e

x →∞ , ela e uniformemente continua na toda reta.

Definicao. Dizemos que uma funcao f : S → IR satisfaz a condicao de Lipschitz

com constanta C ou e C-Lipschitz se existe um numero C > 0 tal que

∀ x, y ∈ S : |f(x)− f(y)| ≤ C · |x− y|.


Teorema. Se uma funcao satisfaz a condicao de Lipschitz, ela e uniformemente

continua.

Exercıcio. Apresentar uma funcao uniformemente continua, mas nao Lipschitz.


15. Convergencia de funcoes.

Seja temos uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes definidas na toda reta.

Disemos que esta sequencia converge para funcao f no cada ponto se

∀ x ∈ IR : fn(x)n →∞

→ f(x),

i.e.

∀ x∀ ε∃ n0∀n > n0 : |fn(x)− f(x)| < ε.

Disemos que esta sequencia converge uniformemente para funcao f se temos uma

condicao parecida, so com outra ordem de quantores:

∀ ε∃ n0∀ x∀n > n0 : |fn(x)− f(x)| < ε.

Teorema. Se uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes definidas na toda

reta converge uniformemente para funcao f , ela converge para funcao f no cada

ponto.

Exercıcio. O oposto e verdade? Se uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes

continuas definidas na toda reta converge no cada ponto para funcao continua f ,

podemos concluir que ela converge uniformemente para funcao f ?

Exercıcio. Seja uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes continuas definidas na

toda reta converge para funcao f no cada ponto. Podemos concluir que funcao

f e continua tambem ?

Exercıcio. Seja uma sequencia f1, f2, f3, . . . das funcoes continuas definidas na

toda reta converge no cada ponto para funcao f . Podemos concluir que funcao

f e continua tambem ?

Teorema. Teorema de Weierstrass. Seja uma sequencia f1, f2, f3, . . . das


funcoes continuas definidas na toda reta converge uniformemente para funcao f .

Logo funcao f e continua tambem.


16. Funcoes IR2 → IR . Limites e continuidade.

Para cadas dois pontos (x, y), (a, b) ∈ IR2 definimos a distancia Euclideana entre

eles seguinte o teorema de Pitagoras:

dist((x, y), (a, b)) =√

(x− a)2 + (y − b)2.

Exercıcio. Observe que:

a) a distancia entre (x, y) e (a, b) e sempre nao-negativa.

b) a distancia entre (x, y) e (a, b) e zero se e somente se os pontos coincidem.

Definicao. Dada uma funcao f definida em todo plano salvo um ponto (a, b) ,

chamemos um numero L o limite de f quando (x, y) → (a, b) se para cada

ε > 0 existe δ > 0 tal que

0 < dist((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f(x, y)− f(a, b)| < ε.

Exercıcio. Apresentar uma funcao qual nao tem limite quando (x, y) → (0, 0) .

Exercıcio. A funcao f e definida no todo plano salvo (0, 0) e igual a

f(x, y) =xy

x2 + y2 .

Esta funcao tem limite quando (x, y) → (0, 0) ?


17. Funcoes IR → IR . Derivada.

Definicao. Chamemos derivada de uma funcao f : S → IR no ponto x o limite

(se ele existe)

d

dxf(x) =

df

dx= f ′(x) = lim

∆x→0

f(x + ∆x)− f(x)

∆x.

Se f(x) e continua e a mesma fracao tende para ∞ quando ∆x → 0 , dizemos

que sua derivada e ∞ .

Exemplo. A funcao f(x) = a x + b tem derivada f ′(x) = a para todos x .

Definicao. Tambem podemos definir esquerda e direita derivadas como limites

analogos esquerdo e direito:

f ′(x−) = lim∆x→0−

f(x + ∆x)− f(x)

∆x, f ′(x+) = lim

∆x→0+

f(x + ∆x)− f(x)

∆x.

Exemplo. A funcao f(x) = |x| tem derivada em todos pontos salvo zero. No

ponto zero ela tem esquerda e direita derivadas, mas diferentes.

Teorema. Uma funcao tem derivada num ponto se e somente se ela tem

esquerda e direita derivadas neste ponto e elas sao iguais.

Teorema. Se uma funcao tem derivada num ponto, esta funcao e continua no

mesmo ponto.

Teorema. Se uma funcao e nao-decrescente e tem derivada, sua derivada e

nao-negativa para todos x .

Teorema. (f + g)′ = f ′ + g′ .

Teorema. (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ .


Teorema. Se y = y(x) e uma funcao de x e z = z(y) e uma funcao de y ,

logodz

dx=

dz

dy· dy

dx.

Teorema. (f/g)′ = (f ′ · g − f · g′)/g2 .

Teorema. Se f(x) = xn , f ′(x) = n · xn−1 para todos n ∈ Z .

Sem provar: Se f(x) = ex , f ′(x) = ex .

Teorema. Se f(x) = sen x , f ′(x) = cos x .

Teorema. Se f(x) = cos x , f ′(x) = −sen x .

Teorema. Se f(x) = tan x , f ′(x) = 1/ cos2 x .

Teorema. Temos funcao continua f(x) em [a, b] tal que df/dx > 0 para

todos x ∈ (a, b) . Logo podemos considerar x como funcao de f em (f(a), f(b))

com derivada dx/df = 1/(df/dx) .

Exercıcio. O que sao derivadas de ln x , arcsen x , arccos x , arctan x ?

Teorema. Se uma funcao e definida em (a, b) , tem derivada no ponto x0 ∈

(a, b) e f(x) ≤ f(x0) para todos x ∈ (a, b) , entao f ′(x0) = 0 .

Definicao. Derivada de derivada de funcao f(x) e chamada segunda derivada e

denotada f ′′(x) . Para cada k natural definimos k -esima derivada pela inducao,

como derivada de (k − 1) -esima derivada. Primeira derivadas sao denotadas

f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) . Geralmente a k -esima derivada e denotada fk(x) .

Teorema. Se uma funcao f(x) e definida em (a, b) , tem continuas primeira e


segunda derivadas em (a, b) e f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) < 0 , onde x0 ∈ (a, b) , entao

existe ε > 0 tal que

∀ x ∈ (x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) : f(x) < f(x0).

Teorema. Se uma funcao f(x) e continua em [a, b] tem derivada em (a, b) e

f(a) = f(b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0 .

Teorema. (de valor medio) Se uma funcao f(x) continua em [a, b] tem

derivada em (a, b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = (f(b)− f(a))/(b− a) .

Teorema. Se f ′′(x) existe e continua numa visinhanca de x , logo

f ′′(x) = limt→0

f(x + t)− 2f(x) + f(x− t)

t2.

Teorema. Se funcoes f(x) e g(x) continuas em [a, b] tem derivadas em

(a, b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) · (g(b)− g(a)) = g′(c) · (f(b)− f(a)).

(Este teorema tem interpretacao geometrica.)

Prova. Definimos uma nova funcao φ : [a, b] → IR assim:

φ(x) = (f(x)− f(a)) · (g(b)− g(a)) + (g(b)− g(x)) · (f(b)− f(a)).

Logo φ(x) e continua em [a, b] , tem derivada em (a, b) e φ(a) = φ(b) . Logo

(teorema de valor medio) existe c ∈ (a, b) tal que φ′(c) = 0 . Fim da prova.

Teorema. (Regra de L’Hospital.) Seja funcoes f(x), g(x) definidas e continuas

em [a, b) . Seja f(a) = g(a) = 0 , ambas funcoes tem derivadas em (a, b) e

g′(x) > 0 para todos x ∈ (a, b) . Logo, se o limite limx→a+ f ′(x)/g′(x) existe, o

limite limx→a+ f(x)/g(x) existe tambem e estes limites sao iguais.


Prova. Denotamos L = limx→a+ f ′(x)/g′(x) . Logo para cada ε > 0 existe

δ > 0 tal que

∀ x ∈ (a, a + δ) : L− ε <f ′(x)

g′(x)< L + ε.

Devido ao teorema do valor medio, para todos t, s tal que a < t < s < a + δ

existe u ∈ (t, s) tal que

f(t)− f(s)

g(t)− g(s)=

f ′(u)

g′(u)∈ (L− ε, L + ε).

Pois g(0) = 0 e g′(x) > 0 para todos x ∈ (a, b) , logo g(x) > 0 para os mesmos

x , logo podemos ir para a limite e obter

∀ t ∈ (a, a+δ) :f(t)

g(t)∈ (L−ε, L+ε). Fim da prova.

Teorema. Seja f(x) definida na toda reta, continua e fortemente monotonica.

Denotamos C = Im f . Logo existe uma funcao g : C → IR tal que:

a) ∀ x ∈ IR : g(f(x)) = x ,

b) ∀ y ∈ C : f(g(y)) = y ,

c) g e fortemente monotonica, i.e. y1 < y2 ⇒ g(y1) < g(y2) ,

d) g e continua.

e) Seja tambem f tem derivada positiva no cada ponto. Logo g tambem tem

derivada positiva no cada ponto.


18. Funcoes IR → IR . Integral de Riemann.

Lema 0. Dada funcao f(x) definida num conjunto S . Se S1 ⊂ S2 ⊂ S ,

supx∈S1

f(x) ≤ supx∈S2

f(x), infx∈S1

f(x) ≥ infx∈S2

f(x).

Definicao. Para todos p < q reais chamemos de segmentos os conjuntos

[p, q], (p, q], [p, q), (p, q),

cujo comprimento (chamado m ) e igual a q − p :

m [p, q] = m (p, q] = m [p, q) = m (p, q) def= q − p. (8)

Seja f(x) uma funcao definida em [a, b] . Queremos definir seu integral de

Riemann neste segmento. Chamemos uma partilhagem D de [a, b] uma rep-

resentacao

D : [a, b] = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn,

onde todos Pk , chamados pedacos, sao segmentos sem pontos comuns: ∀ i 6= j :

Pi ∩ Pj = g . Para cada partilhagem D de [a, b] chamemos

a soma superior: Ssup(D) =∑n

k=1 supx∈Pkf(x) ·mPk ,

e soma inferior: Sinf(D) =∑n

k=1 infx∈Pkf(x) ·mPk .

(9)

Lema 1. Para cada partilhagem D de qualquer conjunto Sinf(D) ≤ Ssup(D).

Dizemos que uma partilhagem e mais fina que outra partilhagem de mesmo con-

junto se cada pedaco da segunda partilhagem e uma uniao de varios pedacos da

primeira partilhagem.

Lema 2. Se D e D′ sao duas partilhagens de mesmo conjunto e D e mais fina

que D′ ,

Sinf(D′) ≤ Sinf(D) ≤ Ssup(D) ≤ Ssup(D

′).


Lema 3. Para todas partilhagens D e D′ de mesmo conjunto Sinf(D) ≤

Ssup(D′).

Prova. Definimos uma terceira partilhagem D′′ de mesmo conjunto, cujos

pedacos sao intersecoes de pedacos de D e pedacos de D′ . Logo D′′ e mais

fina que D e mais fina que D′ . Logo

Sinf(D) ≤ Sinf(D′′) ≤ Ssup(D

′′) ≤ Ssup(D′). Fim da prova.

Dada f : [a, b] → IR consideramos o conjunto de todas somas superiores para

todas partilhagens de [a, b] e chamemos o seu inferior supint [a,b]f(x) def=

infD Ssup(D).

Analogamente consideramos o conjunto de todas somas inferiores para todas par-

tilhagens de [a, b] e chamemos o seu superior infint [a,b]f(x) def= supD Sinf(D).

Lema 4. infint [a,b]f(x) ≤ supint [a,b]f(x) para cada funcao e cada segmento.

Definicao.

a) Se

infint [a,b]f(x) = supint [a,b]f(x),

dizemos que a funcao f(x) tem integral de Riemann no segmento [a, b] , cujo

valor e este numero e qual denotamos∫ b

af(x) dx .

b) Se

infint [a,b]f(x) < supint [a,b]f(x),

dizemos que a funcao f(x) nao tem integral de Riemann no segmento [a, b] .

Exemplo. Seja

f(x) =

0 se x e irracional,1 se x e racional.


O que sao valores de infint [0,1]f(x) e supint [0,1]f(x) desta funcao? Esta funcao

tem integral de Riemann em [0, 1] ou nao?

Improprios integrais.

Exemplo. Seja f(x) = x−1/2 . Como definir∫ 10 f(x) dx ? Pois f(0) nao e definida,

nao podemos usar o segmento [0, 1] . Temos que considerar um outro segmento,

sem zero. Usemos (0, 1) , mas mesmo assim, na qualquer partilhagem, o supremo

de f(x) no primeiro pedaco e sempre ∞ , logo supint (0,1)f(x) = ∞ . Temos que

definir este integral como limite:∫ 1

0x−1/2 dx def= lim

ε→0

∫ 1

εx−1/2 dx = lim

ε→02 (1− ε1/2) = 2.

Definicao. Geralmente, quando f(x) x→a+→ ∞ , definimos (se este limite

existe) ∫ b

af(x) dx def= lim

ε→0+

∫ b

a+εf(x) dx .

Analogamente definimos (se estes limites existem)∫ b

−∞f(x) dx def= lim

a→−∞

∫ b

af(x) dx,

∫ ∞a

f(x) dx def= limb→∞

∫ b

af(x) dx ,

∫ ∞−∞

f(x) dx def= lima→−∞, b→∞

∫ b

af(x) dx .

Exemplo. Usamos improprios integrais para definir e calcular esperanca duma

variavel aleatoria continua, qual tem a funcao de densidade f(x) :

EX =∫ ∞−∞

x · f(x) dx = lima→−∞, b→∞

∫ b

ax · f(x) dx .

Se este limite nao existe, dizemos que v.a. X nao tem esperanca.

Exemplo. Continua v.a. X tem distribuicao de Cauchy (padrao) se

f(x) =1

π (1 + x2).


Esta v.a. nao tem esperanca, pois nao existe limite

lima→−∞, b→∞

∫ b

a

x

1 + x2 dx . Por que?

Exercıcio. Provar que para todos M e L existem a < −M e b > M tal que

∫ b

a

x

1 + x2 dx = L.

Definicao. Ate agora temos definicao de integral de a a b somente se a < b .

Definimos integral para outros casos assim:

∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx se a > b e

∫ a

af(x)dx = 0 .

Teorema. Para todos a, b, c reais

∫ b

af(x) dx +

∫ c

bf(x) dx =

∫ c

af(x) dx.

A mesma formula e correta se substituir ∞ ou −∞ no lugar de a , b ou c .

Teorema. (se integral existe)∫ ba C · f(x) dx = C · ∫ b

a f(x) dx.

Teorema. (se integrais existem)∫ ba (f(x)+g(x))dx =

∫ ba f(x)dx+

∫ ba g(x)dx.

Teorema. Se f(x) ≥ 0 para todos x ∈ [a, b] , logo∫ ba f(x) dx ≥ 0 se este

integral existe.

Corolario. Se f(x) ≤ g(x) para todos x ∈ [a, b] e seus integrais neste segmento

existem, logo ∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx . (10)

Corolario. Se |f(x)| ≤ C para todos x ∈ [a, b] e seu integral neste segmento

existe, | ∫ ba f(x) dx| ≤ C · (b− a) .


Lema.∫ ba C · dx = C · (b− a) para todos numeros a, b, C .

Teorema. sobre aproximacao de integral de Riemann. Temos uma C-Lipschitz

funcao f(x) em [a, b] . Logo podemos aproximar o integral de f(x) em [a, b]

assim. Cortamos o segmento [a, b] em n partes iguais e em cada parte escolhemos

o ponto central pk, k = 1, . . . , n . Logo podemos aproximar o integral assim:∣∣∣∣∣∣∫ b

af(x) dx − b− a

n

n∑k=1

f(pk)

∣∣∣∣∣∣ ≤ C · (b− a)2

4n.

Aproximacao de trapezios.

Neste caso aproximamos integral duma funcao f(x) num segmento, por exemplo

[0, 1] , cortando este segmento em n partes iguais. Se uma parte e [a, b] , o integral

nesta parte e aproximado por (b − a) · (f(a) + f(b))/2 . Estimamos o erro desta

aproximacao, a saber a diferenca

∫ b

af(x) dx− 1

2· (b− a) · (f(a) + f(b)). (11)

Teorema. Se uma funcao e uniformemente continua num segmento, ela tem

integral de Riemann neste segmento.

Teorema. Se uma funcao e nao-decrescente em [a, b] , ela tem integral de

Riemann neste segmento.

Prova. Consideramos o retangulo

(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(a) ≤ y ≤ f(b)

. (12)

Chamamos D a partilhagem de [a, b] em n pedacos iguais. (Nao importa

para qual pedaco pertencem seus pontos finais. Tambem cortamos o segmento

[f(a), f(b)] em m pedacos iguais. Logo o retangulo (12) e cortado em m · n


partes, quais chamemos de azulejos. Chamemos o grafico de nossa funcao o

conjunto(x, f(x)) : a ≤ x ≤ b

. E claro que o grafico e um subconjunto de

retangulo (12) . Chamemos um azulejo marcado se ele contem pelo menos um

ponto comum com o grafico. Observamos que para nossa partilhagem D a

diferenca Ssup(D) − Sinf(D) nao excede a area total dos azulejos marcados.

Tambem, e possivel provar pela inducao em n e m que o numero dos azule-

jos marcados nao excede m + n− 1 . Logo

Ssup(D)− Sinf(D) <

(1

m+

1

n

)· (b− a) · (f(b)− f(a)) .

Logo, tomando m e n bastante grande, podemos fazer esta diferenca tao pequena

como quizemos. Logo infint [a,b]f(x) = supint [a,b]f(x) . Fim da prova.

O Teorema Fundamental de Calculo.

Parte 1. Seja f(x) limitada na toda reta e tem integral de Riemann no cada

segmento. Escolhemos um ponto inicial x0 e chamemos

F (x) =∫ x

x0

f(t) dt para todos x ∈ IR.

Logo a funcao F (x) e continua na toda reta e para cada x , onde f(x) e continua,

a funcao F (x) tem derivada, qual e igual a f(x) :

F ′(x) =d

dxF (x) = f(x) .

Parte 2. Seja funcao F (x) definida e tem derivada F ′(x) na toda reta. Logo

para todos a, b ∫ b

aF ′(x) dx = F (b)− F (a).

Provemos a segunda afirmacao de Parte 1, a saber que se f(·) e continua

no ponto x , logo f(x) e igual a

d

dxF (x) = lim

∆x→0

∆F (x)

∆x= lim

∆x→0

1

∆x

∫ x+∆x

xf(t) dt .


Para cada ε > 0 devemos apresentar δ > 0 tal que

0 < ∆x < δ ⇒ f(x)− ε <1

∆x

∫ x+∆x

xf(t) dt < f(x) + ε .

Pois f(·) e continua no ponto x , para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que

0 < |t− x| < δ ⇒ f(x)− ε < f(t) < f(x) + ε .

Logo, devido a (10) ,

(f(x)− ε) ·∆x <∫ x+∆x

xf(t) dt < (f(x) + ε) ·∆x .

Logo

f(x)− ε <1

∆x·∫ x+∆x

xf(t) dt < f(x) + ε . Fim da prova.


19. Series em IR e convergencia deles.

Uma serie e uma soma infinita

a1 + a2 + a3 + · · · =∞∑

n=1an.

A soma desta serie e definida como limite (se ele existe)

limn→∞Sn, onde Sn =

n∑k=1

ak.

Se uma serie tem uma soma finita, dizemos que esta serie converge, senao diverge.

Exercıcio. Dada serie∑∞

n=1 2−n . Escrever a formula de Sn . Mostrar que esta

serie tem soma finita. O que e valor da soma dele?

Exercıcio. Apresentar uma serie, cuja soma e ∞ .

Exercıcio. Dada serie∑∞

n=1(−1)n . Escrever a formula de Sn . Mostrar que esta

serie nao tem soma, nem finita, nem infinita.

Teorema. Se a serie∑

an converge, entao an n→∞→ 0 .

Teorema. Se uma serie converge, cada outra serie, obtida dela eliminando,

incluindo e mudando um conjunto finito de termos, converge tambem.

Teorema. Tomemos um numero r > 0 e consideremos a serie

∞∑n=1

nr.

Logo:

a) se r < −1 , esta serie converge e tem soma finita.

b) Se r ≤ −1 , esta serie converge para ∞ .

Dica: comparar esta serie com integral∫ ∞1

xr dx.


Teorema. Se an ≥ 0 para todos n e a serie∑

an converge, entao cada

permutacao desta serie converge tambem e tem a mesma soma.

Teorema. Tomemos a serie∑

(−1)n+1/n . Permutando seu termos, e possivel

obter uma serie, qual converge para qualquer numero, para ∞ , para −∞ ou nao

converge para nada.

Definicao. Dizemos que uma serie∑

an converge absolutamente se a serie∑ |an|

converge.

Lembramos o criterio de Cauchy para sequencias:

Uma sequencia xn tem limite se e somente se

∀ ε > 0 ∃ k ∀ m,n > k : |xm − xn| < ε.

Podemos aplicar este criterio para series.

Criterio Cauchy para series: Uma serie∑

an converge se e somente se

∀ ε > 0 ∃ k ∀ m > n > k : |an+1 + . . . + am| < ε.

Demonstracao: isto e consequencia do criterio Cauchy para sequencias.

Corolario:

Se uma serie converge absolutamente, logo:

a) ela converge,

b) sua soma nao depende da ordem de termos.

Demonstracao de a).

Sabemos que∑ |an| converge. Logo podemos usar o criterio de Cauchy para a

sequencia

Tn = |a1|+ · · ·+ |an|.


Obtemos que para cada ε > 0 existe k tal que

∀ n > k : |an|+ |an+1|+ |an+2|+ . . . < ε.

Logo para todos m > n > k

|an+1|+ . . . + |am| < ε.

Mas

|Sm − Sn| = |an+1 + . . . + am| ≤ |an+1|+ . . . + |am|.

Logo obtemos a condicao do criterio Cauchy para a sequencia das somas da nossa

serie:

∀ ε > 0 ∃ k ∀ m > n > k : |Sm − Sn| < ε.

Demonstracao de b).

Seja bn sao an permutados. Isto significa que existe uma 1-1 relacao f : INI → INI

tal que ∀ i ∈ INI : bf(i) = ai . Denotamos A =∑

an e B =∑

bn . Supomos que

A 6= B e obtemos uma contradicao. Denotamos ε = |A− B|/3 . Escolhemos m

tal que |am+1|+ |am+2|+ |am+3|+ . . . < ε . Denotamos de S a imagem de conjunto

1, 2, . . . ,m sob acao de f , i.e.

S =f(i) : i ≤ m

e depois t = max

i∈Sf(i).

Obseravmos que

|(a1 + a2 + · · ·+ am)− A| < ε.

e

|(b1 + b2 + b3 + · · ·+ bt)−B| = |bt+1|+ |bt+2|+ |bt+3|+ · · · | ≤

|bt+1|+ |bt+2|+ |bt+3|+ · · · < ε.

Entao ∣∣∣∣∣∣m∑

i=1ai − A

∣∣∣∣∣∣ < ε,

∣∣∣∣∣∣t∑

i=1bi −B

∣∣∣∣∣∣ < ε.


Agora comparamos duas somas finitas:

m∑i=1

ai et∑

i=1bi.

O modulo da diferenca entre elas e menor que ε . Entao

|L−M | < 3ε = |L−M |.

Esta contradicao mostra que nossa suponha L 6= M foi falsa.


20. Series de funcoes e convergencia deles.

Teorema. (de Taylor) Se funcao f(x) tem todas derivadas em todos pontos,

logo para cada n natural e cada x > 0 existe t ∈ [0, x] tal que

f(x) =n∑

k=0

xk

k!f (k)(0) +

xn+1

(n + 1) !f (n+1)(t) .

Prova. Denotamos g(x) = f(x)−Pn(x)−C ·xn+1 , onde Pn(x) =∑n

k=0 (xk/k!)·

f (k)(0) e C e escolhido tal que g(x) = 0 . Logo a funcao g(x) tem todas derivadas

e

g(0) = g′(0) = · · · = g(n)(0) = 0 e g(n+1)(x) = f (n+1)(x)− C · (n + 1) !.

Agora a afirmacao qual queremos provar pode ser apresentado assim: existe ξ ∈

(0, x) tal que C = f (n+1)(ξ)/(n+1) ! , o que e equivalente a existencia de ξ ∈ (0, x)

tal que g(n+1)(ξ) = 0 .

Provemos pela inducao que para cada k = 0, 1, . . . , n + 1 existe ξk ∈ (0, x] tal

que g(k)(ξk) = 0 . Base de inducao: pois g(x) = 0 , podemos tomar ξ0 = x .

Passo de inducao: se temos ξk ∈ (0, x) tal que g(k)(ξk) = 0 , onde 0 ≤ k ≤ n ,

lembramos que g(k)(0) = 0 e aplicamos o teorema do valor medio para a funcao

g(k)(·) para achar ξk+1 ∈ (0, ξk) tal que g(k+1)(ξk+1) = 0 . Afinal das contas temos

ξ = ξn+1 ∈ (0, x) tal que g(n+1)(ξ) = 0 . Fim da prova.

Podemos tambem considerar serie de Taylor:

f(x) =∞∑

k=0

xk

k!f (k)(0) . (13)

Teorema. XXX Se para cada M > 0 existe C(M) tal que |f (n)(x)| ≤ C(M)

para todos x ∈ [−M, M ] e n = 0, 1, 2, . . . , a serie de Taylor converge para cada


x ∈ IR para o valor de funcao f(x) , i.e. a igualdade (13) e verdadeira para todos

x ∈ IR .

Exemplo. Provar convergencias de series de Taylor para sen (x) e cos(x) .

Contra-exemplo. Definimos uma funcao f(x) assim:

f(x) =

e−1/x2

se x 6= 0,0 se x = 0.

Provar que esta funcao tem todas derivadas na toda reta e que no ponto zero

todas suas derivadas sao iguais a zero. Logo sua serie de Tailor tem todos termos

iguais a zero e nao converge a funcao mesma. Por que o argumento acima nao e

verdadeiro neste caso?


Leitura presente:

[Lima, vol. 1] Elon Lages Lima. Curso de analise. Vol. I. 7-a edicao. IMPA, 1992.

Codigo 515 L732c

[Lang, part I] Serge Lang. Analysis I. Addison-Wesley, 1968. Codigo 515 L271a

[HW] E. Hairer e G. Wanner. Analysis by Its History. Springer, 1996.

[Rudin.port] Walter Rudin. Princıpios de Analise Matematica. Rio de Janeiro, Ao

Livro Tecnico, 1971.

[Rudin.ingles] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Second Edition,

McGraw-Hill, 1964. Codigo 515 R916p

[Cohen] Ehrlich Cohen. The structure of the Real Numbers. N. Y. Van Nostrand,

1963.

[IP] V. A. Ilyin and E. G. Poznyak. Fundamentals of Mathematical Analysis. Mir

Publishers, Moscow, 1982. Codigo 515 I29f

Leitura futura:

[Lima, vol. 2] Elon Lages Lima. Curso de analise. Vol. II. 7-a edicao. IMPA, 1992.

Codigo 515 L732c

[Lang, part II] Serge Lang. Analysis II. Addison-Wesley, 1968. Codigo 515 L271a

[KF] Kolmogorov and Fomin.

[Ash] Robert B. Ash. Measure, Integration, and Functional Analysis. Academic

Press, New York and London, 1972.

teor.tex october 3, 2007 [74] pages [1] -...

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