más sobre funciones
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Más sobre funciones….
Antes de derivar….
Aurora Domenech
1. Función valor absoluto xxf )(
x -2 -5 4 0 1f(x) 2 5 4 0 1
Si trabajamos Con tabla de
valores
0
0
)(
xsix
xsix
xf
Se p
uede
exp
resa
r com
o un
a fu
nció
n de
finid
a a
troz
os
Otra de valor absoluto 2)( xxfx -2 -5 4 0 1f(x) 0 7 2 2 1
Si trabajamos Con tabla de
valores
02)2(
022
)(
xsix
xsix
xf
Se puede expresar como una
función definida a trozos
22
22
)(
xsix
xsix
xf
“limpiando” un poco…
2)( xxf
22
22
)(
xsix
xsix
xf
Gráficamente, ya vemos que es continua, pero vamos a comprobar, que el punto “especial” de unión como función a trozos, se respeta la definición de función continua en un punto:
022)2( fExiste el valor de la función en x=2
y vale 0.
0222lim)(lim22
xxfxx
Observa que hemos quitado el superíndice del 2 en el instante en que hemos especificado ya la expresión de la función que se acerca por su izquierda
0222lim)(lim22
xxf
xx
Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=2
Y además, como 0)(lim)2(2
xffx
Concluimos que f(x) es continua en x=2
Otro ejemplo de valor absoluto 21)( xxfx -2 -5 4 0 1f(x) 5 8 5 3 2
Si trabajamos Con tabla de
valores
012)1(
0121
)(
xsix
xsix
xf
Se puede expresar como una
función definida a trozos
13
11
)(
xsix
xsix
xf
“limpiando” un poco…
Gráficamente, ya vemos que es continua, pero vamos a comprobar, que el punto “especial” de unión como función a trozos, se respeta la definición de función continua en un punto:
211)1( f Existe el valor de la función en x=1
y vale 2.
2313lim)(lim11
xxfxx
Observa que hemos quitado el superíndice del 1 en el instante en que hemos especificado ya la expresión de la función que se acerca por su izquierda
2111lim)(lim11
xxf
xx
Como ambos límites existen y son iguales, entonces aseguramos que existe el límite en x=1
Y además, como 1)(lim)1(1
xffx
Concluimos que f(x) es continua en x=1
21)( xxf
13
11
)(
xsix
xsix
xf
Valor absoluto en parábolasObserva estas gráficas y sus correspondientes expresiones
4)( 2 xxf4)( 2 xxf
Observarás, que al introducir el valor absoluto, la parte de gráfica que estaba en la parte del plano de las “y” negativas, ha desaparecido…digamos que se ha “girado” , y ahora toda la gráfica está en la parte positiva del eje OY.
¿Cómo escribir su expresión como función definida a trozos?
4)( 2 xxfRecordamos la definición de valor absoluto
04)4(
044
)(22
22
xsix
xsix
xf
Recuerda la resolución de inecuaciones
-2 +2
-+ +
24
22)4(
24
)(2
2
2
xsix
xsix
xsix
xf
Estudio de su continuidad aplicando la definición de continuidad en un punto..
24
22)4(
24
)(2
2
2
xsix
xsix
xsix
xf
X= -2 X= +2 042)2( 2 f
Existe el valor de la función en x=-2 y vale 0.
0444lim)(lim 2
22
xxf
xx
004lim)(lim 2
22
xxf
xx
0)(lim)2(2
xffx
Concluimos que f(x) es continua en x=-2
042)2( 2 fExiste el valor de
la función en x=2 y vale 0.
0)4(lim)(lim 2
22
xxf
xx
04lim)(lim 2
22
xxf
xx
0)(lim)2(2
xffx
Concluimos que f(x) es continua en x=2
2. Composición de funciones
-102-25...a
La idea sería: sobre un elemento actúa una primera función. Sobre la imagen obtenida actúa una segunda función, obteniéndose a sí una segunda “imagen” del primer valor.
f(x)=2·x
-20
4
-410
2·a
g(x)=x+1
-11
5
-3
11
2a+1
)(xfgxfg
2. Composición de funciones
xgfxgf
NO ES
CONMUTATIVA
)(xfgxfg
2. Composición de funciones
f
x
f(x)
g
g(f(x))
)(xfgxfg
Observa, que esta función compuesta solo será posible, para empezar, si los valores de x pertenecen al dominio de la función f; y además las imágenes calculadas, deben pertenecer a su vez al dominio de la función g.
Ejemplos de composición de funciones
32)( 2 xxxf 1)( xxg
231211)(2
xxxxfxgf
13232)( 22 xxxxgxfg
Dominio: todos los reales Dominio: todos los reales positivos
Dominio: todos los reales
Dominio: todos los reales que satisfacen la desigualdad 0322 xx
Inversa de una función
• ¿Cuál es la función identidad? Id(x)=x
• ¿Y la función inversa de una dada?
xxffxff )()( 11
Es un recta, que pasa por el origen. Es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes
Es una función que al componerla con la dad en ambos sentidos nos genera la función identidad. Se designa por f-1
Cómo calcular la inversa de una función dada.
¡OJO! NO SIEMPRE ENCONTRAREMOS LA FUNCIÓN INVERSA Y NO SIEMPRE EL DIBUJO INVERSO SERÁ UNA FUNCIÓN
Truco: “cambiamos la x por la y en la función dada; y luego despejamos la y en la segunda expresión”
5)( xxf 5xy 5yx
5xy5)(1 xxf
Cambiamos f(x) por y
Donde pone x ponemos y. Donde y,
ponemos x
Desp
ejam
os y
Cambiamos y por f -1 (x)
Comprobamos que lo hemos hecho bien con la composición
de ambas funciones5)( xxf 5)(1 xxf
xxffxff )()( 11 ??xxxfxff 55)5()(1
xxxfxff 55)5()( 11 Por lo tanto ambas funciones son inversas la una de la otra
¿Cómo dibujarlas partiendo de la original?
• Tenemos f(x) dibujada
• Dibujamos la recta y=x (bisectriz de los cuadrantes primero y tercero; en discontinua)
• Reproducimos la simetría axial de f(x) respecto al eje y=x (la recta y=x haría de “espejo”)
TRABAJANDO CON FUNCIONES INVERSAS
1.- Halla la función inversa; dibuja las dos gráficas y comprueba que la composición de la función y su inversa, generan la función identidad mediante su composición.
a)f(x)= 2x+2
b)f(x)= 1-x
c)f(x)= 3-x/2
d)f(x)=3x-1
2.- Comprueba mediante la composición de funciones si f(x) y g(x) son inversas:
a)f(x)= 2x+7 g(x)= (x-7)/2
b) f(x)= 2/x g(x)= 2/x
c)f(x)= 2x g(x)= 2x