Le matière topologique – une introduction

Mark O. Goerbig

LPS, Orsay, 03/03/2011

Introduction historique

Quelle est le point commun entre

• le graphène,

• l’effet Hall quantique

• et les isolants topologiques ?

... et qu’est-ce-que c’est ?

Les années 1920 : la théorie des bandes

• traitement quantique des électrons (sans interaction) sur unréseau périodique

• bandes = énergie des électrons en fonction d’unequasi-impulsion

Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch

• translations discrètes T = exp(ip · Rj)représentent une symétrie dans un réseaude Bravais (décrit par les vecteurs deréseau Rj)

• l’opérateur p (générateur destranslations discretes) joue le rôled’une impulsion (quasi-impulsionou impulsion de réseau)

R j

Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch

• translations discrètes T = exp(ip · Rj)représentent une symétrie dans un réseaude Bravais (décrit par les vecteurs deréseau Rj)

• les valeurs propres de p sont debons nombres quantiques :bandes d’énergie ǫl(p)

• fonctions de Bloch :

ψ(r) =∑

p

eip·r/~up(r)

Réseaux de Bravais et réseaux quelconques

réseau quelconque=

réseau de Bravais+

motif (à N “atomes”)

motif compliquéréseau triangulaire +

M. C. Escher (décomposé)

Il y a autant de bandes électroniques que d’atomes par maille

Structures de bande et propriétés de conduction

I II I II

gap

niveau

de Fermisemi−métal (2D)

niveau

énergie

impulsion

de Fermi

isolant (2D)

métal (2D)

métal d’électrons métal de trous

de Fermi

niveau

de Fermi

niveau

énergie

densité

d’états

Les années 1950-70 : théorie à N corps

• système décrit par un paramètre d’ordre(a) ∆k = 〈ψ†

−k,↑ψ†k,↓〉 (supraconductivité)

(b) Mµ(r) = 〈ψ†σ(r)τµ

σ,σ′ψσ′(r)〉 (ferromagnétisme)

• Théorie de Ginzburg-Landau des transitions de deuxièmeordre (1957)

∆ = 0(desordonnee)

↔∆ 6= 0

(ordonnee)

• brisure de symétrie(a) symétrie (de jauge) U(1) brisée(b) symétrie (de rotation) O(3) brisée

• émergence de modes (collectifs) de Goldstone(a) mode superfluide, avec ω ∝ |k|(b) ondes de spin, avec ω ∝ |k|2

Les révolutions des années 1980

3 découvertes essentielles :

• l’effet Hall quantique entier (1980, v. Klitzing, Dorda, Pepper)

• l’effet Hall quantique fractionnaire (1982, Tsui, Störmer,Gossard)

• la supraconductivité à haute température critique (1986,Bednorz, Müller)

L’effet Hall quantique entier (I)

8 12 160 4Magnetic Field B (T)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ρ xy

(h/e

)2

0

0.5

1.0

1.5

2.0

ρΩ

xx(k

)

2/3 3/5

5/9

6/11

7/15

2/53/74/9

5/11

6/13

7/13

8/15

1 2/3 2/

5/7

4/5

3 4/

Vx

VyIx

4/7

5/34/3

8/57/5

123456

Magnetic Field B[T]

[mesure par J. Smet et al., MPI-Stuttgart]

EHQ = plateau dans rés. de Hall & annulation de rés. long.

L’effet Hall quantique entier (II)

Résistance de Hall quantifiée à basse température

RH =h

e21

n

h/e2 : constante universellen : nombre quantique (invariant topologique)

• résultat indépendant des détails géométriques etmicroscopiques

• très grande précision de la quantification (> 109)

⇒ étalon pour la résistance : RK−90 = 25 812, 807 Ω

L’effet Hall quantique fractionnaire

un niveau de Landau partiellement rempli → interactionscoulombiennes pertinentes

1983 : fonction d’onde de Laughlin à N particules

• pas de paramètre d’ordre (local) associé à une brisure desymétrie

• pas de mode de Goldstone• quasi-particules avec des charges et une statistique

fractionnaires

années 1990 : description en termes de théorie des champstopologique (Chern-Simons)

Les années 2000

• simulation des modèles de la matière condensée par desréseaux optiques (atomes froids)

• 2004 : physique du graphène (graphite 2D)

• 2005-07 : isolants topologiques

Le graphène – premier cristal 2D

• réseau en nid d’abeille =deux réseaux triangulaires

AB

B

B

e3

e1

2e

structure de bandes

Structures de bande et propriétés de conduction (bis)

I II I II

gap

niveau

de Fermigraphène (non dopé)

niveau

énergie

impulsion

de Fermi

isolant (2D)

métal (2D)

métal d’électrons métal de trous

de Fermi

niveau

de Fermi

niveau

niveau

de Fermisemi−métal (2D)

énergie

densité

d’états

Isolants topologiques

forme générique d’un hamiltonien à deux bandes :

H = ǫ0(q)1+∑

j=x,y,z

ǫj(q)σj

• Haldane (1988) : effet Hall quantique anomal• Kane et Mele (2005) : graphène avec couplage spin-orbite• Bernevig, Hughes, Zhang (2006) : prédiction d’un EHSQ

dans HgTe/CdTe• König et al. (2007) : vérification expérimental

⇒ isolants topologiques 3D (à base de bismuth) : états desurface ∼ électrons ultra-relativistes sans masse

Structure du cours

• électrons du graphène

• effets Hall quantiques : entier (non-relativiste et relativiste)et fractionnaire (?)

• invariants topologiques

• isolants topologiques : l’effet Hall de spin quantique, de 2Dà 3D

Prix Nobel de Physique 2010 : Graphène

Kostya Novoselov Andre Geim

"for groundbreaking experiments regarding the two-dimensionalmaterial graphene"

Qu’est-ce que le graphène ?

2s

2p 2p 2p 2px y z zsp spsp

Hybridation sp 2

120o

cristal de carbone 2D(nid d’abeille)

graphène =

Le graphène et sa famille (allotropique)

2D

3D 1D 0D

Du graphite au graphène

dans les plansliaisons covalentes (fortes)

liaisons de van der Waals(faibles) entre les plans

Petite histoire des matériaux graphitiques

• 1565 (?) : Découverte d’une mine de graphite, Barrowdale(Angleterre)

• ∼1750-80 : Découverte que le graphite est composé decarbone (Scheele); première fabrication de crayons

• 1789 : Première occurrence du nom “graphite” (Werner)• 1985 : Synthèse de fullerènes 0D (Curl, Kroto, Smalley; prix

Nobel 1996)• 1991 : Nanotubes de carbones 1D en physique (Iijima)• 2004 : Isolation du graphène 2D (Geim; de Heer)• 2005 : Découverte des propriétés relativistes des électrons

dans le graphène (Geim; Kim)• 2009 : Fabrication du graphène à grande échelle (CVD)

Petite parenthèse

hybridation sp 3cristal 3D

Un carbone bling−bling : le diamant

Comment faire du graphène : recette de cuisine (1)

mettre une pastille de graphite sur du scotch

Comment faire du graphène : recette de cuisine (2)

: replier le scotch sur la pastille et le défaire :~10

Comment faire du graphène : recette de cuisine (3)

coller le scotch (sale) sur un substrat (SiO )2

Comment faire du graphène : recette de cuisine (4)

enlever doucement le scotch du substrat

Comment faire du graphène : recette de cuisine (5)

mettre le substrat sous en microscope optique

graphite épais

marques pourse répérer

graphite moinsépais

graphène ?

Comment faire du graphène : recette de cuisine (6)

agrandir la région où il peut y avoir du graphène

Mesure électronique du graphène

SiO

Si dopé

V

2

g

Novoselov et al., Science 306,p. 666 (2004)

Modèle de liaisons fortes (I)

– Fonction d’onde de Bloch :

ψ(j)k (r) =

∑

Rl

eik·Rlφ(j)(r + δj − Rl)

– Fon d’onde pour n atomes/maille :

ψk(r) =n

∑

j=1

a(j)k ψ

(j)k (r) l

j

iij

R

δδ

δ

– Matrice hamiltonienne, matrice de recouvrement :

Hijk = ψ

(i)∗k Hψ

(j)k , S ij

k = ψ(i)∗k ψ

(j)k

– Equation séculaire :det

[

Hijk − ǫλkS

ijk

]

= 0

Modèle de liaisons fortes (II)

– Matrice de saut (hamiltonienne) :

tijk =∑

Rl

eik·Rl

∫

d2rφ(i)∗(r)∆Hφ(j)(r+δij−Rl)

∆H : potentiel ionique au-delà del’atome

– Matrice de recouvrement :

sijk =

∑

Rl

eik·Rl

∫

d2rφ(i)∗(r)φ(j)(r+δij−Rl)

l

j

iij

R

δδ

δ

ǫ(i) : énergie atomique (énergie sur site du sous-réseau i)

– Equation séculaire :det

[

tijk −(

ǫλk − ǫ(i))

sijk

]

= 0

Relation de dispersion du graphène

• Relation de dispersion en fonction de kx et ky

Relation de dispersion du graphène (bis)

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4(a)(b)

π

π∗

π

π∗

Ene

rgy

K K’K

K’KK’

k

ky

x

2 31−1−2

−1

4

2

1

3

−2

Ene

rgy

[in u

nits

of t

]

wave vector

M KK Γ

• Relation de dispersion avec saut deuxième plus prochevoisin tnnn/t = 0.1

Contours d’énergie constante

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

(a) (b)

K’K’ K

q

k

k

x

y

y

xq

1eV

1.5eV

2eV

Γ

• Contours de la relation de dispersion du modèle de liaisonsfortes

• “Plissage triangulaire” (trigonal warping) à plus hauteénergie

Mesures d’ARPES (I)

Mesures d’ARPES (II)

(a) Dispersion d’énergie

(b) Première zone de Brillouin

(c) Contour d’énergie au niveau de Fermi (∼ 0.45 eV)

(d) “Plissage triangulaire” à ǫ ∼ −1.0 eV

Symétries et structure de bandes

• symétrie ponctuelle→ forme précise de la structure de bandes(rotations/miroire/... : théorie des groupes discrets)

• brisure de la symétrie d’inversion du réseau (échange dessous-réseaux)→ deux bandes séparées (sans points de contact)

• symétrie de renversement du temps– Hk = H∗

−k et ǫλ,k = ǫλ,−k

– dégénérescence de Kramers si T 2 = −1 (pour unnombre impair de spin 1/2 par atome)

Séparation des bandes sans brisure de symétrie

AB

B

B t t

t’

saut anisotrope :

tγk → γ′k

avec

γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)

KK’

t′ = t

Séparation des bandes sans brisure de symétrie

AB

B

B t t

t’

saut anisotrope :

tγk → γ′k

avec

γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)

KK’

M

t′ = 1.5t

Séparation des bandes sans brisure de symétrie

AB

B

B t t

t’

saut anisotrope :

tγk → γ′k

avec

γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)

KK’

M

t′ = 2t

Séparation des bandes sans brisure de symétrie

AB

B

B t t

t’

saut anisotrope :

tγk → γ′k

avec

γ′k = t′ + t(eik·a2 + eik·a2)

KK’

M

t′ = 2.5t

Transport diffusif (incohérent) dans le graphène

relation d’Einstein donne :

σ ≃ ge2

h

τ

~max(kBT, |ǫF |)

temps de diffusion (règle d’or de Fermi) :

1

τk=

2π

~

∑

k′

|〈k|V |k′〉|2δ(ǫk − ǫk′) ∼2π

~nimp[v(kF )]2ρ(ǫF )

• diffuseurs de courte portée : τ ∝ 1/ǫF

• diffuseurs coulombiens écrantés : τ ∝ ǫF

• diffuseurs résonants (courte portée) : τ ∝ ǫF ln2(ǫF )

Effet Hall classique (1879)

B

I

résistancelongitudinale

résistancede Hall

gaz d’électrons 2D

C1

C4

C2 C3

C5C6

_ _ _ _ _ _

++ + + ++

système à effet Hall quantique :électrons 2D dans un champ B

RH

rési

stan

ce d

e H

all

champ magnétique B

résistance de Hall :

RH = B/enel

modèle de Drude (équation classique stationnaire) :

dp

dt= −e

(

E +p

m× B

)

−p

τ= 0

Effet Shubnikov-de Haas (1930)

Bc

(a)

EF

(b)

rési

stan

ce lo

ngitu

dina

le

rési

stan

ce d

e H

all

champ magnétique B

dens

ité d

’éta

ts

énergie

n+1E −E n

oscillations dans la résistance longitudinale→ relations d’Einstein→ quantification de Landau (en niveaux ǫn)

σ0 ∝ ρ(ǫF ) ∝∑

n

f(ǫF − ǫn)

Effet Hall quantique (EHQ)

8 12 160 4Magnetic Field B (T)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ρ xy

(h/e

)2

0

0.5

1.0

1.5

2.0ρ

Ωxx

(k)

2/3 3/5

5/9

6/11

7/15

2/53/74/9

5/11

6/13

7/13

8/15

1 2/3 2/

5/7

4/5

3 4/

Vx

VyIx

4/7

5/34/3

8/57/5

123456

Magnetic Field B[T]

EHQ = plateau dans RH & RL = 0

1980 : Effet Hall quantique entier (EHQE)1982 : Effet Hall quantique fractionnaire (EHQF)

Transistor à effet de champ (MOSFET)

métal oxyde

E

z

F

bande deconduction

bande de valence

niveauxd’accepteurs

métal oxyde semiconducteur

E

z

F

bande deconduction

bande de valence

niveauxd’accepteurs

métal semiconducteur

E

z

F

bande deconduction

bande de valence

niveauxd’accepteurs

(a)oxyde

(isolant)

(isolant) (isolant)

(b) (c)

VVG

G

II

I

métaloxyde

semiconducteurV

G

z

z

E

E

E

1

0

électrons 2D

matériaux à base de silicium (interfaces Si/SiO2)

Heterostructure GaAs/AlGaAs

dopants(récepteurs)

AlGaAs

z

EF

GaAs

dopants(récepteurs)

AlGaAs

z

EF

GaAs(a) (b)

électrons 2D

rugosité de surface réduite (comparée à Si/SiO2)

⇒ meilleure mobilité (EHQF)

µ ∼ 107cm2/Vs

Graphène

2300 nmSiO

Vg

graphène (métal 2D)

silicium dopé (métal)

(isolant)

Changement de la densité des porteurs par l’application d’unetension de grille Vg

Spectroscopie par transmission infra-rouge

10 20 30 40 50 60 70 80

0.96

0.98

1.00

B

E

2L3L

2L

3L

0L

1L

Be2cE1 ~1L

1E

1E

A

B

C

D

B

E

2L3L

2L

3L

0L

1L

Be2cE1 ~1L

1E

1E

A

B

C

D

(D)(C)

(B)

Rel

ativ

e tra

nsm

issi

on

Energy (meV)

(A)

0.4 T1.9 K

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

10

20

30

40

50

60

70

80 )(32 DLL )(23 DLL

)(12 CLL )(21 CLL

)(01 BLL )(10 BLL

)(21 ALL

Tran

sitio

n en

ergy

(meV

)

sqrt(B)

10 20 30 40 50 60 70 80 900.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

Rel

ativ

e tra

nsm

issi

on

Energy (meV)

1 T

0.4T

2T4T

10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.99

1.00

0.7T

0.2T

0.3T

0.5T

Grenoble high−field group: Sadowski et al., PRL 97, 266405 (2007)

transition C

transition B

rela

tive

tran

smis

sion

rela

tive

tran

smis

sion

Energy [meV]

Energy [meV]

Tra

nsm

issi

on e

nerg

y [m

eV]

Sqrt[B]

règles desélection :

λ, n→ λ′, n±1

États de bord

ymaxn+1

ν = n ν =

n−1

yymaxymaxn n−1

n+1

n

n−1

(a)

(b)

y

xν = n+1

µ

NL courbés vers le hautaux bords (potentiel deconfinement)

états de bord chiraux⇒ seule diffusion versl’avant

ν= n+1 ν= n ν= n−1

Mesure à quatre terminaux

I I

R ~

56

2 3

41

R ~ µ − µ = µ − µ

3µ − µ = 02

5

L

H

µ = µµ = µ2 LL3

µ = µ = µ6 5 R

3 R L

[Klass et al, Z. Phys. B:Cond. Matt. 82, 351 (1991)]: points chauds

EHQE – localisation à une particule

n

ε

(n+1)

ν

NL

(a)

densité d’états

RxyxxR

B=n

h/e n2

FE

EHQE – localisation à une particule

n

ε

(n+1)

ν

NL

(a)

n

ε(b)

densité d’états densité d’états

RxyxxR

B=n

h/e n2

FE

RxyxxR

B

EF

EHQE – localisation à une particule

n

ε

(n+1)

ν

NL

(a)

n

ε

n

ε(b) (c)

densité d’états densité d’états

états localisés

états étendus

densité d’états

RxyxxR

B=n

h/e n2

FE

RxyxxR

B

EF

Rxy

B

xx

EF

R

h/e (n+1)

h/e n2

2

EHQE dans le graphène Novoselov et al., Nature 438, 197 (2005)

Zhang et al., Nature 438, 201 (2005)

V =15V

Density of states

B=9T

T=30mK

T=1.6K

∼ ν

∼ 1/ν

Graphene IQHE:

R = h/e

at = 2(2n+1)

at = 2n

ν

ν

H ν2

(no Zeeman)

Usual IQHE:

g

Modèle de percolation – mesure

gaz 2D sur surface de n-InSb Hashimoto et al., PRL 101, 256802 (2008)

(a)-(g) dI/dV pour différentes valeurs du potential (branche despin inf. du NL n = 0)

(i) densité d’états locale (calculée) pour un potentiel de désordredonné dans n = 0

(j) dI/dV dans branche de spin sup. du NL n = 0

Modèle de percolation – lois d’échelle

0.10 1.00T(K)

1.0

10.0

100.0

(∆B)−1

(∆B

)−1

N = 1N = 1

N = 0N = 1N = 1dxydB max dxydB max largueur de plateau ∆B

Wei et al., Phys. Rev. Lett. 61, 1294 (1988)

⇒ transition de second or-dre (transition de phasequantique)

exposants critiques : 1/zν = 0.42 ± 0.04 et z ≃ 1⇒ ν ≃ 2.3

percolation classique : ν = 4/3modèle quantique particulier (numérique): ν = 2.5 ± 0.5

Transport non local dans l’EHQS (I)

puits quantique de CdTe/HgTe [Roth et al., Science 2009]

I1

2 3

4

56

V

I1

2 3

4

56

V

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

5

10

15

20

25

30

35

40

R (

kΩ)

V* (V)

(1 x 0.5) µm2

(2 x 1) µm2

R14,14=3/2 h/e2

R14,23=1/2 h/e2

Transport non local dans l’EHQS (II)

puits quantique de CdTe/HgTe [Roth et al., Science 2009]

Fig. 4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

5

10

15

20

25

R (

kΩ)

V* (V)

I: 1-4

V: 2-3

1

3

2

4

R14,23=1/4 h/e2

R14,14=3/4 h/e2

Isolants topologiques 3D (I)

Première génération à base de Bi1−xSbx [Hasan et Kane, RMP 2010]

→ inversion de bande au-delà d’un dopage critique xc ≃ 0.04

Isolants topologiques 3D (II)

• fermeture du gap (∼ masse) lors de l’inversion de bande

⇒ fermions de Dirac à la surface d’un isolant topologique 3D(∼ états de bord en 2D) :

Hsurface = vp · σ

p : impulsion dans la surfaceσ : caractérise vrai spin

⇒ un seul point de Dirac (contrairement au graphène avec 4)

Isolants topologiques 3D (III)

2e génération à base de Bi2Se3, Bi2Te2, Sb2Te3 [Zhang et al., 2009]

(calculs ab initio)

Isolants topologiques 3D (IV)

mesures d’ARPES de fermions de Dirac à une surface deBi2Se3 [Hsieh et al., 2009]

→ changement du niveau de Fermi par dopage chimique(absorption de NO2)