many students think: “if a figure is enlarged k times, the area and … · 2016. 1. 20. · the...
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The over-use of
proportionality/linearity in geometry
Many students think: “If a figure is enlarged k times,
the area and volume are enlarged k times as well”
Geometry
“If a figure is enlarged k times, the area and volume
are enlarged k times as well”
11
k2k k3k
… the area enlarges k² times and the volume k³
times
x
1
k2k k3k
1k
k3
1k
k2
Geometry
How much does the gnome weigh ?
SECONDARY SCHOOL PUPILS’
ILLUSION OF LINEARITY
How much does a gnome weigh ?
Human Gnome
180 cm 15 cm
70 000 gr 40,5 gr
SECONDARY SCHOOL PUPILS’
ILLUSION OF LINEARITY
: 12
: 123
How much does a human weigh ?
Human Gnome
180 cm 15 cm
518 400 gr 300 gr
SECONDARY SCHOOL PUPILS’
ILLUSION OF LINEARITY
× 12
× 123
Plan triparti de recherche
• Etudier l’ampleur et la persistance de l’illusion de la linéarité dans le contexte de l’agrandissement et de la réduction de figures géométriques semblables par le biais de tests collectifs
• Interviewer de façon individuelle un groupe restreint d’élèves et analyser leurs processus de raisonnement dans ce contexte
• Realiser un « design experiment » à fin de rémedier cette phénomène de l’illusion de la linéarité
Apercu
• Introduction
• Tests collectifs
• Interview individuel
• Design experiment
• Conclusions
Problème proportionel et non-
proportionel
• Proportionel: « Pour creuser un fossé autour d’un champ carré de 100 m de côté, le fermier Gustave a besoin d’environ 4 jours. Combien de jours lui faut-il, environ, pour creuser un fossé autour d’un champ carré dont le côté mesure 300 m ? »
• Non-proportionel: « Pour fertiliser un champ carré de 200 m de côté, le fermier Charles a besoin d’environ 8 heures. Combien d’heures, environ, lui prendra la fumure d’un champ carré dont le côté mesure 600 m ? »
Résultat 1
• 12-13 ans: seulement 2 à 7 % de réponses
correctes aux questions non-proportionnelles
• 15-16 ans: seulement 17 à 22 % de réponses
correctes aux questions non-proportionnelles
Résultat 2
• Meilleures résultats dans les cas de figures
régulières (carré, cercle)
que
• dans les cas de figures irrégulières (par exemple la
carte de la Belgique).
Example of circular and irregular
non-proportional problem
• Circular figure: You need approximately 400
grams of flower seed to lay out a circular flower
bed with a diameter of 10 m. How many grams…
• Irregular figure: On a map of Belgium in an atlas
the distance from Genk to Tongres is
approximately 2 cm while the area of Belgium is
approximately 250 cm…2
Résultat 3
• La démarche de résolution des élèves n’est guère
influencée ni par la consigne de faire un dessin
pour chaque question, ni même par les dessins qui
leur sont présentés
Example of self-made drawings with
low and high representational quality
Ready-made picture of square
problem
Résultat 4
• Sans aide metacognitive: 12 % des problèmes
non-proportionnels ont été résolus
• Avec aide metacognitive: pas de augmentation
significative: 18 % des problèmes non-
proportionnels ont été résolus
Two pupils, Wim and Steve,
give a different solution to a
problem… Who is right, Wim
or Steve?
Résultat 5• L’ énoncé « valeur manquante » : Pour fertiliser
un champ carré de 200 m de côté, le fermier Charles a besoin d’environ 8 heures. Combien d’heures, environ, lui prendra la fumure d’un champ carré dont le côté mesure 600 m ? : 23 % de réponses correctes
• Questions formulées sous forme de « comparaisons » : Le fermier Charles a fertilisé aujourd’hui un champ carré. Demain, il doit fertiliser un champ carré dont le côté est trois fois plus grand. Combien de fois plus de temps lui faudra-t-il pour fertiliser ce champ ? : 41 % de réponses correctes
Résultat 6
• Quand les prestations des élèves ont été
améliorées grâce à l’une ou l’autre forme d’ aide
offerte, ceci allait chacque fois de pair avec des
prestations moins bonnes pour les questions
“habituelles” proportionelles
Aperçu
• Introduction
• Tests collectifs
• Interview individuel
• Design experiment
• Conclusions
Étude par interviews
• Déroulement des interviews et constatations
principales
• Quatre grandes catégories de processus de
raisonnement
Problème
Un peintre de publicité a
besoin de 6 ml de peinture
pour peindre le petit Père
Noël sur une vitre.
Il doit peindre le grand
Père Noël sur une autre
vitre. Combien de peinture
lui fallait-il ?
Hauteur:
56 cmHauteur:
168 cm
Problème
Sûrement
fausse
Probablement
fausse
Aucune
idée
Probablement
correcte
Sûrement
correcte
20153
Correct2
Questions
Pourquoi ?
Sûr ?
38
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
Nous avons donné ce problème
aux élèves d’une autre école. Voici
leurs réponses …
Réponse Pourcentage d’élèves
18 ml 41%
54 ml 41%
autres 18%
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Correct2
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Un élève m’a explique que si le
dessin est trois fois plus grand,
alors aussi la largeur est multipliée
par 3, donc on a besoin de 3 x 3 = 9
fois plus de peinture …
Correct2
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Correct2
Correct14
INDICE 3
22
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Correct2
Correct14
INDICE 3
22
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Correct2
Correct14
INDICE 3
22
INDICE 4
13
Correct9
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Correct2
Correct14
INDICE 3
22
INDICE 4
13
Est-ce que tu peux calculer les aires des
deux rectangles et les comparer ? …
Correct9
Problème
Questions
Correct2
INDICE 1
38
INDICE 2
36
Correct2
Correct14
INDICE 3
22
INDICE 4
13Correct
5
FIN
8
Correct9
Étude par interviews
• Déroulement des interviews et constatations
principales
• Quatre grandes catégories de processus de
raisonnement
Quatre éléments d’explication
complémentaires
• Caractère intuitif du modèle linéaire
• Application consciente et voulue du modèle linéaire
• Lacunes dans les connaissances géométriques
• Habitudes et convictions inappropriées sur la
résolutions de problèmes de maths
Over-use of proportionality
Linearity is such a suggestive property of relations that
one readily yields to the seduction to deal with each
numerical relation as though it were linear.
(Freudenthal, 1983)
Quatre éléments d’explication
complémentaires
• Caractère intuitif du modèle linéaire
• Application consciente et voulue du modèle linéaire
• Lacunes dans les connaissances géométriques
• Habitudes et convictions inappropriées sur la
résolutions de problèmes de maths
Habitudes et convictions
inappropriées sur la résolutions de
problèmes de maths• il vaut mieux se baser sur des formules que sur des
dessins ;
• il vaut mieux se tenir à sa première idée ;
• on ne peut utiliser que les informations mentionnées explicitement dans l’énoncé ;
• les problèmes mathématiques n’ont rien à voir avec la réalité ;
• lorsqu’on a utilisé toutes les données de l’énoncé, on est dans le bon ;
• pour la résolution d’un problème, on attend de l’élève qu’il effectue une ou quelques opérations standard.
Apercu
• Introduction
• Tests collectifs
• Interview individuel
• Design experiment
• Conclusions
Principes de design du programme
• Variation de méthodes d’instruction: travail individuel et en petit groupes, discussions en classe, projets, …
• Inspiré sur l’enseignement « réaliste » des maths: partir de contextes riches, construire le savoir sur les bases des connaissances et des stratégies informelles des élèves, …
• Utiliser des représentations multiples: dessins, schèmes, graphs, tableaux, formules, mots, …
Méthode
• Sujets: élèves de 13-14 ans
• Thème: les longeurs, périmètres, aires et volumes de figures géometriques semblables
• Pretest, posttest, test de retention avec groupe expérimental en groupe contrôle
• Un cours de 10 leçons
• Tests collectifs, questionnaires, observation
Design
Pretest Posttest (6 months)Retention
test
Experim.
group
10 exper.
lessons
Control
group
Regular
lessons
Example 1: Similitude
Quelle réproduction est meilleure ?
Dessin A Dessin B
Hauteur dessin … mm … mm
Diagonale … mm … mm
Hauteur
armoire
… mm … mm
… … mm … mm
Example 2: Proportionalité/linéarité
Est-ce qu’une bouteille de 1,5 l a la
même forme qu’une boiteille de 0,5 l?
Quand on enlève les étiquettes des
bouteilles, on observe que l’étiquette
de la petite bouteille mesure 5 cm sur
20 cm.
La grande étiquette a une hauteur de
7,3 cm. Quelle est la largeur ?
Example 3: Croissance
proportionnelle du périmètre
C’est l’anniversaire de Anne. Sa mère fait des crêpes.
Elle utilise des formats divers de poêles.
Anne propose à sa copine : « tu peux choisir entre
- deux grandes crêpes (diamètre de 30 cm)
- trois crêpes normales (diamètre de 20 cm)
- six petites crêpes (diamètre de 15 cm)”
Sa copine raisonne : “Je pense que je prendrai six
petites, parce que c’est le plus : 6 15 cm = 90”
Example 4: Croissance
quadratique de l’aire
Un fructiculteur vend deux sortes de pommes. Une
sorte a un diamètre de 6 cm et coûte € 0.10, l’autre a un
diamètre de 9 cm et coûte € 0.15. Quelle sorte faut-il
choisir pour faire de la compote de pommes ?
La semaine prochaine, le fructiculteur vend ces deux
sortes à un autre prix. Maintenant, les pommes de 6 cm
coûtent € 1,00 par kilo, en celles de 9 cm coûtent € 1,20
par kilo. Quelle sorte choisit-on maintenant ?
Example 5: Croissance cubique de
la volume
Quelle est la longueur d’une ceinture d’un gnome?
Combien de tissu faut-il pour faire une jupe ?
Combien de café peut-on servir dans une tasse ?
Example 6: Projet “Le
Gnome”
Hypothèses pour le groupe de
controle
pre post retention
TEST
% C
OR
RE
CT
AN
SW
ER
S
nonproportionalproblems
proportionalproblems
Résultats du groupe de contrôle
0
25
50
75
100
prétest posttest test de
rétention
TEST
% R
EP
ON
SE
S C
OR
RE
CT
ES
non-proportionnel
proportionnel
Hypothèses pour le groupe
experimental
pre post retention
TEST
% C
OR
RE
CT
AN
SW
ER
S
nonproportionalproblems
proportionalproblems
0
25
50
75
100
prétest posttest test de
rétention
TEST
% R
EP
ON
SE
S C
OR
RE
CT
ES
non-proportionnel
proportionnel
Résultats du groupe experimental
Aperçu
• Introduction
• Tests collectifs
• Interview individuel
• Design experiment
• Conclusions
Summary of the results
After teaching experiment: strong overgeneralisations!
application of non-linear strategies to linear
items (solved well before)
Still strategy choices based on superficial problem
characteristics
“mindless” application of learnt strategies
lots of new errors appeared
Non-linearity was counter-intuitive for many students
Some students continued reasoning proportionally
Conclusion
Did we break the illusion of linearity?
successful for only some students
superficial problem-solving continued
new errors originate
performance decrease for some problems (i.e.
proportional ones)
Implications for educators
• For students to develop adaptive expertise in
proportional problems in arithmetic and geometry,
it is essential that they acquire the habit of
explicitly and systematically questioning whether
proportionality is the most appropriate
mathematical model for the situation at hand.
• To this end, educators should provide a variety of
proportional and non-proportional problems to be
juxtaposed and discussed.
Content
1. Proportionality/linearity: some terminology
2. Proportionality/linearity: representations
3. Proportionality/linearity: properties
4. Proportionality/linearity in the curriculum
5. Proportionality/linearity: solution strategies
6. Additive reasoning errors
7. The over-use of proportionality/linearity in
arithmetic word problem solving
8. The over-use of proportionality/linearity in
geometry
9. Proportional reasoning in school and real life
9. Proportional reasoning in school
and real life
• Word problems as excercises in realistic mathematical
modeling
• Ascertaining studies
• Intervention studies
The mathematical modeling cycle
Verschaffel et al. (2000)
The mathematical modeling cycle (cont)
Verschaffel et al. (2000)
Word
problem
Answer
Two types of word problems:
S- vs. P-items
• Standard problems (S-items): can be solved
straightforwardly and unquestionably by applying
the most obvious arithmetic operation(s) with the
given numbers
• Problematic problems (P-items): the match
between the problem situation and the arithmetic
operation(s) is not straightforward but unclear,
dubious, questionable, debatable,…
Examples of P-items
• Rope: A man wants to have a rope long enough tostretch between two poles 12 meters apart, but heonly has pieces of rope of 1,5 meters long. Howmany of these would he need to tie together tostretch between the poles?
• Planks: Steve has bought 4 planks of 2.5 meterseach. How many planks of 1 meter can he saw outof these planks?
• Friends: Carl has 5 friends and Georges has 6friends. Carl and Georges decide to give a partytogether. They invite all their friends. All friendsare present. How many friends are there at theparty
Examples of P-items from Greer’s
(1993) and Verschaffel et al.’s
(1994) test
- Runner: John’s best time to run 100 m is 17
seconds. How much time will it take him to
run 1 km?
- Flask: A cone-shaped flask is being filled from
a tap at a constant rate. If the depth of the
water is 2,4 cm after 10 seconds, about how
deep will it be after 30 seconds?
- Christmas: A shop sells 312 christmas cards in
December. How many will he sell during
January, February and March?
Two types of reactions:
NRs vs. RRs
• Non-realistic reaction (NR): if a P-item was
answered in the predictable routine-based way
(i.e., straightforward proportional reasoning)
without any further adaptation, consideration or
comment
• Realistic reaction (RR):
• If the answer given indicated that realistic
considerations had been taken into account, or
• If a comment was added to a non-realistic answer
indicating that the student was aware of the modeling
complexity
NR and RR to the runner item
• Item: “John’s best time to run 100 m is 17
seconds. How much time will it take him to run 1
km?”
• NR:
• “100 x 17 = 170 sec”
• RR:
• “It is impossible to answer precisely what John’s best
time will be”
• “A bit more than 170 sec because John will get tired
after a while”
• 100 x 17 = 170 sec plus may-be another 60 sec because
he will get tired”
Effects of altering the problem
presentation
• Providing a general warning (“metacognitive
alert”)
• Enriching the problem with a representational
drawing
• Enriching the problem with a textual clarification
Verschaffel et al. (2000, 2008)
• Little or no effect of general
warning at the start of the test
• No effect of representational
drawings (even not when the
realistic modelling issue was
highlighted)
• Only a small positive effect of the
textual articulation of the realistic
modelling in the text itself (from
20 to 35 % realistic responses)
“Attention, the test contains
non-routine problems that are
not as simple as they seem and
may require unsual answers”
“Think about the amount of
rope that is needed to tie the
ropes together and to tie
them to the poles.”
• Every problem is solvable and makes sense.
• There is a single, correct, and precise numericalanswer to every word problem.
• This answer can be obtained by performing(known) mathematical operations with thenumbers in the problem,
• The text contains all the information needed; noinformation extraneous to the problem should, andeven may, be sought.
• Violations of one’s knowledge about the everydayworld should be ignored.
Students’ beliefs about word problems
Looking for an explanation: the
traditional mathematics classroom
culture
• The nature of the problems with which pupils areconfronted on a day-by-day basis in mathematicslessons and tests
• The way in which these problems are conceivedand handled in the current classroom practice andculture by the teacher (in assessment, ininstruction…)
The nature of the problems
• Phrased as semantically impoverished, stereotyped verbal vignettes.
• Are undoubtedly solvable.
• Contain key words and other kinds of hints that help to identify the operation(s)-to-perform.
• Include no non-relevant information.
• Ask for a single, precise numerical answer.
• Do not require and sometimes even do not allow to look outside the problem statement for additional (real-world) information.
• May contain unrealistic assumptions (stated as preconditions) or lead to unrealistic outcomes.
Problems may contain unrealistic
assumptions
John’s best time to run 100 m is 17 s. How long will it
take him to run 1 km?
Answer A:
10 x 17 s = 170 s
Score: …
Answer B:
100 x 17 s = 1700 s
Score: …
Answer C:
100 + 17 = 117 s
Score: …
Answer D:
It is impossible to give a
precise answer
Score: …
Handling of RRs and NRs in assessment
by (pre-service) teachers (Verschaffel et
al., 1997)
Handling of RRs and NRs in assessment
by (pre-service) teachers (Verschaffel et
al., 1997)
Results
More 1-scores (= totally correct) and fewer 0-scores (= totally incorrect) for the NR than for the RR to the 7 P-items !
So, by their scoring, teachers reward NRs and discourage RRs…
Examples of design experiments
• Verschaffel, L., & De Corte, E. (1997). Teaching realistic mathematical modeling in the elementary school. A teaching experiment with fifth graders. Journal for Research in Mathematics Education, 28, 577-601.
• Verschaffel, L., De Corte, E., Lasure, S., Van Vaerenbergh, G., Bogaerts, H., & Ratinckx, E. (1999). Design and evaluation of a learning environment for mathematical modeling and problem solving in upper elementary school children. Mathematical Thinking and Learning, 1, 195-230.
Major pillars of the instructional
programs• More realistic and challenging tasks, which do involve
some, if not most, of the characteristics and complexities of real modeling tasks
• A variety of teaching/learning activities, including expert modeling, small-group work, and whole-class discussion
• A classroom climate that is conducive to the development of the genuine modeling view and of the accompanying beliefs
Overall conclusion of the design
studies
“[…] application and modeling capability can be
learnt, and according to the above-mentioned
findings has to be learnt, but at a cost, in terms of
effort, complexity of task, time consumption, and
reduction of syllabus in the traditional sense.”
(Niss, 2001, p. 8)
Barriers for the implementation of the
genuine modeling perspective (Niss,
2001)
• The curriculum pressure to cover the traditional
“content” (i.e., classes of word problems)
• The difficulty to change the current assessment
culture (“What you test is what you get”) and to
design and apply adequate assessment tools
• The demands on the preparation and support of the
teachers -- mathematically, pedagogically, and
personally
Realistic mathematical modeling:
Educational implications
• Textbook authors and teachers should enrich their
set of proportional application problems with
genuine modeling tasks that invite, and even force,
children to use their mathematical and real world
knowledge in an in integrative way, when trying
to make sense of and solve real-life application
problems, with a view to develop a disposition
towards genuine mathematical modeling
A realistic modeling task about
proportionality (Lesh & Doerr,
2003)
A realistic modeling task about
proportionality (Lesh & Doerr,
2003)
Recommended publications
• Degrande, T., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2014).
How do Flemish children solve ‘Greek’ word problems?
On children’s quantitative analogical reasoning in
mathematically neutral word problems. Mediterranean
Journal for Research in Mathematics Education, 13(1-2),
57-74.
• Van Dooren, W., De Bock, D., & Verschaffel, L. (2010).
From addition to multiplication … and back. The
development of students' additive and multiplicative
reasoning skills. Cognition and Instruction, 28(3), 360-
381.
• Verschaffel, L., & Educational Committee of the EMS
(2015). Solid findings: students’ over-reliance on linearity.
Newsletter of the European Mathematical Society, nr. 95,
51-53.
The end…
81Beyond Flatland in Primary Mathematics Education | Dynamic Data Modelling
• Faculty of Social and Behavioural Sciences
Interpreting graphs: A piece of cake?
Examples