neprekidnostgradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/matematika/psgg ma... · 2017-05-30 · 0 (tzv....
TRANSCRIPT
![Page 1: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/1.jpg)
Neprekidnost
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
![Page 2: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/2.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 3: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/3.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija.
Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 4: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/4.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija,
te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 5: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/5.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X .
Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 6: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/6.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0
ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 7: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/7.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 8: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/8.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 9: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/9.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 10: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/10.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
![Page 11: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/11.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena.
Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
![Page 12: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/12.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene.
Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
![Page 13: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/13.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
![Page 14: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/14.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
![Page 15: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/15.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
![Page 16: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/16.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
![Page 17: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/17.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 18: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/18.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 19: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/19.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 20: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/20.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 21: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/21.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 22: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/22.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 23: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/23.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
![Page 24: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/24.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak.
Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 25: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/25.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 26: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/26.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2,
b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 27: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/27.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2,
c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 28: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/28.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 29: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/29.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki?
Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 30: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/30.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 31: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/31.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje.
a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 32: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/32.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a)
Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 33: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/33.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 34: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/34.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b)
Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 35: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/35.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 36: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/36.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c)
Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 37: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/37.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
![Page 38: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/38.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija.
Kazemo da je funkcija f : X → R neprekidna ako jeneprekidna u svakoj tocki domene X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
![Page 39: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/39.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Kazemo da je funkcija f : X → R neprekidna
ako jeneprekidna u svakoj tocki domene X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
![Page 40: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/40.jpg)
Neprekidnost funkcije
Definicija. Kazemo da je funkcija f : X → R neprekidna ako jeneprekidna u svakoj tocki domene X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
![Page 41: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/41.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
![Page 42: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/42.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;
2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
![Page 43: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/43.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
![Page 44: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/44.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,
2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
![Page 45: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/45.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
![Page 46: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/46.jpg)
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
![Page 47: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/47.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 48: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/48.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem.
Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 49: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/49.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 50: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/50.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 51: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/51.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem.
Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 52: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/52.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0.
Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 53: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/53.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 54: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/54.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem.
Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 55: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/55.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0,
a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 56: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/56.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0),
onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 57: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/57.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 58: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/58.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 59: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/59.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem.
Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 60: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/60.jpg)
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
![Page 61: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/61.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak.
Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 62: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/62.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 63: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/63.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 ,
b) f (x) ={x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 64: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/64.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 65: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/65.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 66: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/66.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje.
a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 67: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/67.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a)
Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 68: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/68.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 69: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/69.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =
11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 70: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/70.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11=
1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 71: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/71.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 72: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/72.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) =
limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 73: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/73.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 =
[1
1− 0+ 1 =1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 74: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/74.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 75: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/75.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] =
−∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 76: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/76.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 77: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/77.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) =
limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 78: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/78.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x=
[11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 79: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/79.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] =
1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 80: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/80.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 81: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/81.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
![Page 82: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/82.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b)
Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 83: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/83.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 84: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/84.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) =
22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 85: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/85.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 =
3
limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 86: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/86.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3
limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 87: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/87.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) =
limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 88: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/88.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) =
[4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 89: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/89.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] =
3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 90: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/90.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 91: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/91.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) =
limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 92: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/92.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) =
[3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 93: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/93.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] =
1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 94: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/94.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 95: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/95.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
![Page 96: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/96.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c)
Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 97: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/97.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 98: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/98.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) =
2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 99: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/99.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) =
21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 100: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/100.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 =
2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 101: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/101.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 102: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/102.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) =
limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 103: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/103.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x =
[2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 104: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/104.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] =
2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 105: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/105.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 106: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/106.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) =
limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 107: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/107.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) =
[3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 108: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/108.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] =
2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 109: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/109.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 110: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/110.jpg)
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
![Page 111: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/111.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti).
Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 112: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/112.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna
nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 113: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/113.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] .
Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 114: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/114.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost.
Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 115: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/115.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 116: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/116.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 117: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/117.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 118: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/118.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 119: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/119.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 120: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/120.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 121: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/121.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena.
Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 122: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/122.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna,
2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 123: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/123.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren,
su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 124: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/124.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni
jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 125: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/125.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 126: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/126.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 127: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/127.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
![Page 128: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/128.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica:
ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
![Page 129: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/129.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi
da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
![Page 130: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/130.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka,
onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
![Page 131: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/131.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
![Page 132: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/132.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
![Page 133: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/133.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem.
Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
![Page 134: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/134.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
![Page 135: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/135.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0,
onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
![Page 136: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/136.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
![Page 137: Neprekidnostgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA... · 2017-05-30 · 0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u toµcki x 0 konaµcni, ali meƒusobno razli](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040818/5e64715bf6843959f80ad729/html5/thumbnails/137.jpg)
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14