limesi, levi i desni limes
DESCRIPTION
Granicna vrednost funkcijeTRANSCRIPT
Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio
Granicne vrijednosti realnih nizovaFunkcija f : N R, gde je N skup prirodnih brojeva a R skup realnih brojeva, zove se niz realnih brojeva ili realan niz. Opsti clan niza f je f (n),n N, i obicno se obelezava sa fx, dok se sam niz obelezava sa (fn), ili saf = (f1, f2, . . . , fn, . . . ). Niz se cesto obelezava sa (xn), (yn) ili (an). Na
1 primer xn = 2n
1 je opsti clan niza x = (1, ,1 3
1 15 , 7
, . . . ).
IV.1. Granina vrijednost funkcije
Definicija 1. Neka je funkcija definisana u okolini neke take , osim eventualno u samoj taki . Za broj kaemo da je granina vrijednost funkcije u taki i piemo ako za dat postoji koje zavisi samo od (to piemo kao ) tako da vrijedi
.Ovo moemo zapisati kao
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
Ovdje po definiciji pretpostavljamo da je . Granina vrijednost funkcije () moe da bude i beskonanost (+ ili - ).Sada emo dati deficiciju u sluaju da je granina vrijednsot .
Definicija 2. Neka je funkcija definisana u nekoj okolini take osim eventualno u samoj taki . Tada je ako za proizvoljno veliko, pozitivno M postoji broj koji zavisi samo od (dakle, ) takav da vrijedi
.Napomenimo da funkcija u nekoj taki ne moe primati vrijednost ili .
Pogledajmo primjer funkcije sa grafika:
Ova funkcija oigledno nema graninu vrijednost kada . Meutim ima tzv. "desnu" i "lijevu" graninu vrijednost. S slike se vidi da je lijeva granina vrijednost neki konaan broj, dok je desna granina vrijednost .Sada emo dati definiciju desne i lijeve granine vrijednosti.
Definicija 3. Neka je funkcija definisana na intervalu (). Broj je lijeva granina vrijednost funkcije f kad (ili kada , to znai da se pribliava broju s lijeve strane) ako za svako postoji takvo da vrijedi
EMBED Equation.DSMT4 .
(lijevu graninu vrijednsot analogno definiemo i kada je ).Ovo piemo kao .Desna granina vrijednost funkcije (bila ona konana ili beskonana) analogno se definie se na isti nain, samo je potrebno da funkcija bude definisana desno od take i treba vrijediti
EMBED Equation.DSMT4 .
Za desnu graninu vrijednost koristimo oznaku (ili ).Teorem. Funkcija f ima u taki graninu vrijednost A (ili ) ako i samo ako postoje limesi i i jednaki su A (ili ).Na kraju, daemo definiciju granine vrijednosti funkcije kada , odnosno kada .
Definicija 4. Neka je funkcija f definisana na intervalu (). Funkcija f ima graninu vrijednost kada () ako za dato postoji takvo da vrijedi
() .(U sluaju ili imali bi () za unaprijed dato .)Primjer 1. Izraunajmo .
Direktnim uvrtavanjem u funkciju vidimo da je .
Analogno, zakljuujemo da je .
Primjer 2. Ukoliko elimo direktnim uvrtavanjem izraunati , to nije mogue jer za dobijamo da je , to nije definisano. Ukoliko bismo napisali da je , takoer bismo napravili greku, jer limes moe biti samo ili , a ne . To nas navodi da posmatramo posebno lijeve i desne granine vrijednosti, pa imamo:
, gdje nam znak "-" iznad broja 0 oznaava da je za (jer posmatramo lijevi limes) izraz negativan. To znai da je kolinik takoer negativan (jer je eksponencijalna funkcija uvijek pozitivna), pa je .
Analogno, moemo zakljuiti da je, za izraz uvijek pozitivan, pa je .
Kako se lijevi i desni limesi funkcije , kad razlikuju, to ne postoji limes te funkcije kad , nego samo lijevi i desni limesi.
Primjer 3. Izraunajmo . Pri izraunavanju limesa racionalne funkcije kada , jednostavnije je podijeliti brojnik i nazivnik sa varijablom podignutom na najvei stepen koji se nalazi u nazinviku (u ovom primjeru je to 2). Imamo:
. (Koristili smo injenicu da je ).Analogno emo izrainati i . Imamo:
.
.
Na kraju, navedimo neke vane granine vrijednosti:
(po definiciji);
;
.
IV. 2. Neprekidnost funkcije. Osobine neprekidnih funkcija.
IV.2.1. Definicija neprekidnosti.
Definicija 1. Neka je funkcija f definisana u taki i u nekoj okolini take . Za funkciju f kaemo da je neprekidna u taki ako postoji i jednak je .
Mogue je definisati neprekidnost s desna (s lijeva) na sljedei nain:Neka je funkcija f definisana u intervalu (). Za funkciju f kaemo da je neprekidna s desna (lijeva) u taki ako postoji () i jednak je .Funkcija je neprekidna u taki ako i samo ako je neprekidna i s desna i s lijeva u toj taki.
Primjer 1.
Neprekidna funkcija u
Funkcija neprekidna s lijeva u
Funkcija neprekidna s desna u
Geometrijski, funkcija je neprekidna u tada je grafik te funkcije kriva koja se "ne prekida" pri prolasku kroz .Elementarne funkcije, o kojima emo vie rei u treem dijelu, su neprekidne u svim takama u kojima su definisane.
Funkcija f definisana u taki i nekoj njenoj okolini je u toj taki prekidna ako i samo ako nije .
Zavisno od toga da li gornji limesi postoje ili ne postoje razlikujemo nekoliko vrsta prekida funkcije.1. Taka je taka prekida funkcije f s konanim skokom ako postoje konane vijednosti lijevog i desnog limesa funkcije u , ali je . Skok je jednak vrijednosti izraza .
2. Ako funkcija ima u konanu graninu vrijednost razliitu od tada je taka otklonjivog prekida funkcije . (Prekid otklanjamo tako da definiemo .)
Primjer. Funkciju u taki definiemo tako da bude jednaka jedan. Tada dobijamo neprekidnu funkciju.
Take prekida koje su navedene pod 1. i 2. nazivamo take prekida I vrste.
3. Za funkciju kaemo da u taki ima prekid II vrste ako bar jedna od graninih vrijednosti ili ne postoji ili je beskonana.
IV.2.1. Osobine neprekidnih funkcija Teorem 1. Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , onda je ona na tom intervalu ograniena i prima svoju najmanju i najveu vrijednost.
Teorem 2. Ako je funkcija neprekidna na i ako su i razliitog znaka, tad funkcija ima na segmentu barem jednu nulu.
Teorem 3. Funkcija neprekidna u otvorenom ili zatvorenom intervalu prolazi u tom intervalu sve vrijednosti izmeu ma koje dvije vrijednosti i za i iz tog intervala.
IV.3. Neke elementarne funkcije: stepena, eksponencijalna i logaritamska.
U elementarne funkcije stadaju stepena funkcija, eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije i sve funkcije koje se sa konano mnogo algebarskih operacija i operacijom kompozicije funkcija mogu dobiti iz navedenih funkcija. Mi se neemo baviti trigonometriskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama, jer one nemaju iroku primjenu u ekomoniji. 1. Stepena funkcija je funkcija oblika ().Mi emo posmatrati samo neke specijalne sluajeve stepene funkcije. To su:a)
.
Funkcija , gdje je prirodan broj definisana je za svako i neprekidna za svako .
, kada za n neparno i , kada za n parno.Za neparno n funkcija moe biti pozitivna i negativna, dok je za parno n funkcija uvjek pozitivna. Na intervalu funkcija je strogo rastua i neprekidna. Na intervalu funkcija je strogo rastua za neparno n a za parno n je opadajua i neprekidna. Na intervalu funkcija ima inverznu funkciju koja je strogo rastua i neprekidna. Ako je parno inverzna funkcija postoji samo na ,dok za neparno n funkcija ima inverznu funkciju koja je definisana na , rastua i neprekidna na .
Na slici je prikazano nekoliko stepenih funkcija.
b)
, za prirodan broj .Funkcija , , to jest , definisana je za svako , . Ova funkcija je parna kada je parno i neparna kada je neparno. Za parno je:funkcija rastua na intervalu , opadajua na intervalu .
Vrijedi ; .
Za neparno je: funkcija uvjek opadajua, ,
.
Takoer, i funkcija je neprekidna svuda gdje je deifinisana.
c)Mogu se posmatrati i sluajevi kada je ali to neemo initi.
Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika , pri emu uzimamo da je . Ova funkcija je definisana za svako i pozitivna za sve .
Razlikujemo dva sluaja: i . U sluaju funkcija je konstanta (jednaka je 1 za svako x).
a)Za , funkcija je rastua i neprekidna na cijelom definicionom podruju. Vrijedi
, .
b)Za , funkcija je opadajua i neprekidna na cijelom definicionom podruju i vrijedi , .
Logaritamska funkcija
Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. To je funkcija oblika , pri emu smatramo da je i . Ova funkcija je definisana samo za pozitivne realne brojeve, i slino kao kod eksponencijalne funkcije, razlikovat emo dva sluaja:
a)Za funkcija raste na cijelom definicionom podruju, neprekidna je, ima nulu u taki
i vrijedi , te .
b)Za tada funkcija opada na cijelom definicionom podruju, neprekidna je, ima nulu u taki i vrijedi , te .
Vaan specijalni sluaj eksponencijalne i logaritamske funkcije je kada je () tako da tada funkcije i spadaju u klasu .
Napomenimo jo da je i .
IV. 4. Pojam izvoda funkcije. Geometrijsko znaenje izvoda funkcije.
U ispitivanju ekonomskih pojava do sada smo se bavili tzv statikom analizom, tj odreivali smo stanje ekvilibrijuma datog modela. Pri tome se nismo bavili pitanjem koliko se taj ekvlibrijum mijenja ukoliko promijenimo poetne uvjete. Time se bavi dinamika analiza. U dinamikoj analizi bavit emo se tzv stepenom promjene odreene varijable pri nekoj promjeni varijable . Taj stepen promjene moemo ispitivati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom - sa dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena. Pretpostavimo sada da naa varijabla y zavisi samo od x.
.
Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od do , tada y mijenja svoju vrijednost od do . Razmjera, ili stepen promjene y po jedinici promjene x-a je . Vidimo da je funkcija i (za dato f).
Ako je ugao oznaen na slici, vidimo da je .
Definicija. Ako postoji kaemo da je funkcija diferencijabilna u taki (odnosno da ima izvod u ). Izvod funkcije u oznaavamo sa .
Piemo jo i .Dakle, za malo . (ovdje je oznaka za priblinu vrijednost).Geometrijski gledajui, prvi izvod funkcije u taki (dakle, ) jednak je koeficijentu pravca tangente na krivu u taki .
Prvi izvod nam odreuje smjer promjene funkcije. Ako je tu je promjena pozitivna (s rastom x-a raste i y), a ako je tu je promjena negativna (s rastom x-a y opada).
Proces nalaenja izvoda zovemo diferenciranjem.
Vidjeli smo ranije da ne mora postojati. Meutim mogu postojati lijevi i desni limesi. Takvi limesi su desni i lijevi izvod funkcije u taki (tu funkcija nije diferencijabilna). ( Sluaj kada postoje dvije razliite tangente (lijeva i desna), tj. kada su desni i lijevi izvod funkcije u taki razliiti prikazan je na slici dole lijevo).
Ukoliko je tu funkcija nije diferencijabilna, ali to geometrijski znai da je tangenta u taki okomita na x osu.
Moemo rei da izvod funkcije oznaava "brzinu njene promjene".
IV.5. Primjena izvoda u ekonomiji. Marginalna funkcija. Koeficijent elastinosti.
Kao to smo vidjeli, izvod funkcije nam govori kojom se brzinom i kako funkcija mijenja. Ukoliko je prvi izvod veliki pozitivan broj, to znai da funkcija brzo rasle, ukoliko je malen (po apsolutnoj vrijednosti) negativan broj, to znai da funkcija sporo opada i sl.
Ukoliko je rije o funkciji koja ima neko ekonomsko znaenje, tada nam prvi izvod predstavlja graninu ili marginalnu funkciju te funkcije.
Primjer 1. Ako je funkcija trokova (gdje smo sa oznaili koliinu proizvodnje) , u ekonomiji se definie tzv. funkcija marginalnog ili graninog troka, koju oznaavamo sa MC(Q) sa
.Ako sa oznaimo funkciju prosjenog troka, tj. , tada je
za male Q.
Primjer 2. Koeficijent elastinosti pojave u odnosu na promjenu pojave se definie sa . Ekonomski, to znai da, ako se promijeni za 1% (tj. ) tada se varijabla y promijeni za . Ako je tada je y elastina na promjenu x, a za kaemo da je y neelastina na promjenu x. Zapravo kad je rije o malim promjenama (u ekonomiji su uglavnom takve u vremenu) , moemo smatrati da je .
(U mikroekonomiji se definiu razliite elastinosti, npr. elastinost supstitucije proizvodnih faktora skupljeg faktora jeftinijim, ili elastinost potranje u odnosu na dohodak, ...).
Neto kasnije emo vidjeti kako pomou izvoda moemo, za datu funkciju ukupnih trokova proizvodnje izraunati nivo proizvodnje na kome su jedinini trokovi proizvodnje minimalni. EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED Equation.DSMT4
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED CorelDRAW.Graphic.10
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
_1218653634.unknown
_1219486295.unknown
_1219487597.unknown
_1219488504.unknown
_1219490450.unknown
_1219490848.unknown
_1219490925.unknown
_1219670458.unknown
_1219670579.unknown
_1267180202.unknown
_1219670467.unknown
_1219670334.unknown
_1219490868.unknown
_1219490807.unknown
_1219490830.unknown
_1219490708.unknown
_1219489185.unknown
_1219489967.unknown
_1219490084.unknown
_1219489475.unknown
_1219488797.unknown
_1219489171.unknown
_1219488562.unknown
_1219487749.unknown
_1219488172.unknown
_1219488385.unknown
_1219488464.unknown
_1219488217.unknown
_1219487822.unknown
_1219487848.unknown
_1219487763.unknown
_1219487685.unknown
_1219487723.unknown
_1219487743.unknown
_1219487659.unknown
_1219487641.unknown
_1219487312.unknown
_1219487487.unknown
_1219487529.unknown
_1219487535.unknown
_1219487523.unknown
_1219487415.unknown
_1219487431.unknown
_1219487358.unknown
_1219486514.unknown
_1219487134.unknown
_1219487299.unknown
_1219487115.unknown
_1219486446.unknown
_1219486483.unknown
_1219486365.unknown
_1218702655.unknown
_1218706611.unknown
_1219485738.unknown
_1219485833.unknown
_1219486272.unknown
_1219486280.unknown
_1219485996.unknown
_1219485799.unknown
_1219485809.unknown
_1219485752.unknown
_1219485784.unknown
_1218710239.unknown
_1218710718.unknown
_1218745552.unknown
_1218745829.unknown
_1218745954.unknown
_1218746073.unknown
_1219485606.unknown
_1219485723.unknown
_1218746129.unknown
_1218746019.unknown
_1218745927.unknown
_1218745727.unknown
_1218745750.unknown
_1218745623.unknown
_1218745676.unknown
_1218745319.unknown
_1218745407.unknown
_1218712849.unknown
_1218712904.unknown
_1218712871.unknown
_1218710725.unknown
_1218712836.unknown
_1218710331.unknown
_1218710534.unknown
_1218710610.unknown
_1218710465.unknown
_1218710308.unknown
_1218710321.unknown
_1218710271.unknown
_1218708185.unknown
_1218710046.unknown
_1218710132.unknown
_1218710223.unknown
_1218710118.unknown
_1218709393.unknown
_1218709519.unknown
_1218709717.unknown
_1218709903.unknown
_1218709784.unknown
_1218709553.unknown
_1218709432.unknown
_1218708216.unknown
_1218709368.unknown
_1218708207.unknown
_1218707951.unknown
_1218707992.unknown
_1218708124.unknown
_1218707985.unknown
_1218706711.unknown
_1218707945.unknown
_1218706638.unknown
_1218704174.unknown
_1218704551.unknown
_1218705062.unknown
_1218705122.unknown
_1218705171.unknown
_1218705082.unknown
_1218705003.unknown
_1218705052.unknown
_1218704843.unknown
_1218704921.unknown
_1218704753.unknown
_1218704822.unknown
_1218704480.unknown
_1218704505.unknown
_1218704538.unknown
_1218704497.unknown
_1218704290.unknown
_1218704381.unknown
_1218704426.unknown
_1218704185.unknown
_1218703101.unknown
_1218703451.unknown
_1218703507.unknown
_1218704061.unknown
_1218704150.unknown
_1218703925.unknown
_1218703952.unknown
_1218703830.unknown
_1218703499.unknown
_1218703350.unknown
_1218703415.unknown
_1218703294.unknown
_1218702966.unknown
_1218703062.unknown
_1218703070.unknown
_1218703018.unknown
_1218702761.unknown
_1218702933.unknown
_1218702698.unknown
_1218655135.unknown
_1218657916.unknown
_1218702160.unknown
_1218702237.unknown
_1218702621.unknown
_1218702197.unknown
_1218701793.unknown
_1218701958.unknown
_1218702043.unknown
_1218701986.unknown
_1218701827.unknown
_1218701706.unknown
_1218701757.unknown
_1218657928.unknown
_1218657661.unknown
_1218657876.unknown
_1218657885.unknown
_1218657850.unknown
_1218657626.unknown
_1218657650.unknown
_1218657514.unknown
_1218654303.unknown
_1218654430.unknown
_1218654944.unknown
_1218655092.unknown
_1218654563.unknown
_1218654816.unknown
_1218654898.unknown
_1218654725.unknown
_1218654538.unknown
_1218654397.unknown
_1218654425.unknown
_1218654321.unknown
_1218654153.unknown
_1218654234.unknown
_1218654262.unknown
_1218654193.unknown
_1218653652.unknown
_1218654136.unknown
_1218653646.unknown
_1218486415.unknown
_1218559816.unknown
_1218652418.unknown
_1218653348.unknown
_1218653489.unknown
_1218653524.unknown
_1218653626.unknown
_1218653512.unknown
_1218653455.unknown
_1218653484.unknown
_1218653433.unknown
_1218652987.unknown
_1218653156.unknown
_1218653327.unknown
_1218653141.unknown
_1218652492.unknown
_1218652902.unknown
_1218652973.unknown
_1218652727.unknown
_1218652440.unknown
_1218651910.unknown
_1218652250.unknown
_1218652362.unknown
_1218652390.unknown
_1218652351.unknown
_1218652097.unknown
_1218652158.unknown
_1218651990.unknown
_1218651418.unknown
_1218651793.unknown
_1218651844.unknown
_1218560032.unknown
_1218643319.unknown
_1218651249.unknown
_1218560031.unknown
_1218559835.unknown
_1218559975.unknown
_1218487463.unknown
_1218559065.unknown
_1218559346.unknown
_1218559512.unknown
_1218559227.unknown
_1218559228.unknown
_1218559128.unknown
_1218558611.unknown
_1218558729.unknown
_1218558826.unknown
_1218558670.unknown
_1218487534.unknown
_1218558538.unknown
_1218487464.unknown
_1218487129.unknown
_1218487225.unknown
_1218487321.unknown
_1218487331.unknown
_1218487462.unknown
_1218487266.unknown
_1218487189.unknown
_1218487213.unknown
_1218487149.unknown
_1218487025.unknown
_1218487083.unknown
_1218487111.unknown
_1218487047.unknown
_1218486591.unknown
_1218486603.unknown
_1218486493.unknown
_1218384456.unknown
_1218385151.unknown
_1218385365.unknown
_1218385822.unknown
_1218385972.unknown
_1218486061.unknown
_1218385845.unknown
_1218385453.unknown
_1218385719.unknown
_1218385740.unknown
_1218385401.unknown
_1218385329.unknown
_1218385340.unknown
_1218385311.unknown
_1218384843.unknown
_1218384923.unknown
_1218384930.unknown
_1218384870.unknown
_1218384523.unknown
_1218384551.unknown
_1218384498.unknown
_1218314593.unknown
_1218384222.unknown
_1218384368.unknown
_1218384416.unknown
_1218384305.unknown
_1218314709.unknown
_1218384198.unknown
_1218314609.unknown
_1218314458.unknown
_1218314535.unknown
_1218314578.unknown
_1218314472.unknown
_1218314411.unknown
_1218314427.unknown
_1218314389.unknown