limesi pdf
DESCRIPTION
Granicne vrednostiTRANSCRIPT
Limes oblika u beskonačnosti Izračunajte:
(a)
, (b)
.
Rešenje.
(a)
Zadati limes je neodređenog oblika . Izdvojimo li iz brojioca i imenioca funkcije pod limesom, dobijamo
pri čemu koristimo
(b)
Zadani limes je neodređenog oblika . Izdvojimo li iz brojioca i imenioca funkcije pod limesom, dobijamo
jer je
Limes racionalne funkcije oblika Izračunajte
Rešenje. Zadani limes je neodređenog oblika , jer nakon zamene funkcija u brojiocu i funkcija u imeniocu dobijaju vrednost nula. Budući da su obe funkcije polinomi, njihovim rastavljanjem na činioce dobijamo i u brojiocu i u imeniocu (x-1). Tačnije
Limes racionalne funkcije oblika Izračunajte
Rešenje. S obzirom da je
limesi zdesna i sleva zadane funkcije u su neodređenog oblika . Svođenjem na zajednički imenilac dobijamo
Limes iracionalne funkcije oblika Izračunajte:
(a)
, (b)
.
Rešenje.
(a) Zadani limes je neodređenog oblika . Racionalizacijom funkcije u brojiocu dobijamo
(b) Zadani limes je neodređenog oblika . Supstitucijom se oslobađamo iracionalnih izraza u funkciji pod limesom i dobijamo
Limes iracionalne funkcije oblika Izračunajte:
(a)
, (b)
.
Rešenje.
(a) Odmah sledi
S druge strane je neodređenog oblika pa racionalizacijom funkcije pod limesom dobijamo
(b) S obzirom da je
zadani limesi su oblika . Racionalizacijom funkcije pod limesom dobijamo
Budući da je
iz dobivenog rezultata sledi
Primjena kada Izračunajte:
(a)
, (b)
, (c)
, (d)
.
Rešenje. Ideja u ovim zadacima je transformirati funkciju pod limesom tako da možemo primeniti formulu
(4.1)
koja se dobije iz [M1, primjer 4.6] supstitucijom . (a)
Supstitucijom dobijamo
(b)
Supstitucijom i primjenom [M1, teorem 4.3] dobijamo
(c)
Primjenom formula i dobijamo
Zbog neprekidnosti funkcije važi
Pa sada sledi
(d)
Racionalizacijom brojioca, primjenom formule te iz [M1, teorem 4.3] i [M1, teorem 4.7 (ii)] za neprekidnu funkciju , dobijamo
Primena kada Izračunajte
Rešenje. Izdvojimo li iz brojioca i imenioca funkcije pod limesom dobijamo
Budući da je , za svaki , za važi
Kako je
to je
Sada za zadani limes važi
Limes oblika Izračunajte
Rešenje. Budući da je
vrijedi
jer je
Još važi