m83 tr rik small

8/18/2019 m83 Tr Rik Small

1/39

DOKUMENTACIJA TEHNIQKOG REXEǋA

Rotaciono inverzno klatno

Autori tehniqkog rexeǌa

• Doc. dr Milan R. Ristanovi, dipl.in.max., Maxinski fakultetu uBeogradu

• Slavoǉub V. Stojanovi, Maxinski fakultetu u Beogradu• Prof. dr Dragan V. Lazi, Maxinski fakultet u Beogradu

Naruqilac tehniqkog rexeǌa

• Maxinski fakultetu u Beogradu

Korisnik tehniqkog rexeǌa

• Maxinski fakultetu u Beogradu

Godina kada je tehniqko rexeǌe uraeno

• 2011.

Oblast tehnike na koju se tehniqko rexeǌe odnosi

• Automatsko upravǉaǌe


2/39


3/39

: 28.08.2012.

:

,

,

(„ “, . 38/2008) .

,

:

:

: . , . .

, ...

. , . .

: 83 –

: ,

33047, . , ...

:

: 2011.

:

:

: ,

:

.

.


4/39


5/39

: 28.08.2012.

:

,

,

(„ “, . 38/2008) ..

,

:

:

: . , . .

, ...

. , . .

: 83 –

:

, 33047, . , ...

:

: 2011.

:

:

: ,

:

.

.


6/39


7/39

1 OPIS PROBLEMA KOJI SE REXAVA TEHNIQKIM REXEǋEM 1

1 Opis problema koji se rexava tehniqkim rexeǌem

U okviru projekta TR33047 “Inteligentni sistemi upravǉaǌa klimatizacijeu ciǉu postizaǌa energecki efikasnih reima u sloenim ulsovima eksploat-

acije” u fazi pripreme integracije postrojeǌa na Maxinskom fakultetu uBeogradu, je bilo potrebno izvrxiti testiraǌe koncepata i algoritama up-ravǉaǌa. U tom slislu, pojavila se potreba nabavke ili gradǌe odgovarajueglaboratorijskog postojeǌa. Takvo laboratorijsko postrojeǌe predstavǉa os-novu za edukaciju i istraivaǌe novih algoritama upravǉaǌa. U konkretnomsluqaju, omoguio bi testiraǌe optimalnih algoritama upravǉaǌa u prostorustaǌa, pri qemu bi korekcioni organ bio slobodno programabilni digitalniraqunar za upravǉaǌe u realnom vremenu

2 Staǌe rexenosti problema u svetu - prikaz postojeih

rexeǌa

Inverznim (obrnutim) klatnom naziva se kruto telo proizvoǉnog oblika kojemoe slobodno da rotira u poǉu sile zemǉine tee oko horizontalne ose kojane prolazi kroz teixte tog tela. Prodorna taqka ose rotacije i ravni nor-malne na ǌu a koja sadri i teixte tela, naziva se taqka vexaǌa klatna. Usluqaju inverznog klatna teixte tela nalazi se iznad taqke vexaǌa. Dok jekod obiqnog fiziqkog klatna ravnoteno staǌe stabilno kod inverznog klatnaravnoteno staǌe je nestabilno. Rexavaǌe problema inverznog klatna sas-toji se u konstruisaǌu adekvatnog upravǉaqkog sistema koji ima za ciǉ sta-bilizaciju nestabilnog ravnotenog satǌa. Ovaj problem se naqelno moerexiti na dva naqina: delovaǌem odgovarajueg obrtnog momenta na klatnou taqki vexaǌa klatna ili pomeraǌem taqke vexaǌa klatna u horizontalnojravni. Radi ilustracije problema moe se zamisliti balansiraǌe xtapa nadlanu ili prstu ruke. Inverzno klatno je klasiqan problem u dinamici iteoriji upravǉaǌa, taj problem se odnosi na xiroku klasu sistema kao xtosu: humanoidni roboti, rakete, portalne dizalice, neka prevozna sredstva itd.Kao elektro-mehaniqki sistem sa izraenom nelinearnom dinamikom, sisteminverznog klatna je jako pogodan za testiraǌe i verifikaciju kako klasiqnihtako i savremenih upravǉaqkih algoritama.

3 Suxtina tehniqkog rexeǌa

Tehniqko rexeǌe je zasnovano na kvalitetnim, pouzdanim i robusnim kompo-nentama u industrijskoj izvedbi. Suxtina novog tehniqkog rexeǌa jeste ufleksibilnosti i vixestruko nioj ceni nego za referentne ureaje sliqnihperformansi.


8/39

3 SUXTINA TEHNIQKOG REXEǋA 2

(a) Segway (b) Raketa Soyuz (c) Humanoidni robot

Slika 1: Primeri problema inverznog klatna


9/39

4 DETAǈAN OPIS TEHNIQKOG REXEǋA 3

4 Detaǉan opis tehniqkog rexeǌa

Slika 2: Labaratorijska instalacija sistema rotacionog inverznog klatna .

Na slici sl 2, prikazano je labaratorijsko postrojeǌe koga qine: rotacionoinverzno klatno kao objekat, programabilni digitalni raqunar cRIO kao korek-cioni organ, pojaqivaq signala, merni ureaji (enkoderi), DC motor kao izvr-xni organ, odgovarajua napajaǌa potrebna za rad izvrxnog organa i mernihureaja i korisniqki raqunar koji u ovom sluqaju slui za monitoring, vir-tualnu instrumentaciju i promenu odreenih parametara korekcionog organa.


10/39


H (a) (b) (c)

Slika 3: Objekat upravǉaǌa i aktuator

Na slikama sl 3 moe se videti objekat upravǉaǌa, podexǉiva ruka sl 3bi aktuator sa enkoderom i planetarnim prenosnikom sl 3c. Podexǉiva rukaomoguava promenu duine ruke i na taj naqin promenu momenta inercije kojifigurixe u matematiqkom modelu kao jedna od konstanti sistema. Na ovajnaqin moe se ispitivati uticaj promene parametara sistema na rad uprav-ǉaqkog sistema tj. robusnost.

(a) (b)

Slika 4: Upravǉaqki deo sistema.

Korekcioni organ pomou koga se realizuje algoritam upravǉaǌa dat jena sl 4, to je digitalni raqunar cRIO sa ulazno izlaznim modulima. U re-alizaciji ovog sistema korixeni su 16bit-ni moduo sa analognim izlazimakoji daje upravǉaqki signal u rasponu od −10V do + 10V i moduo sa digi-talnim ulazima za prikupǉaǌe informacije o trenutnoj poziciji i brzini saenkodera.


11/39


(a) (b) (c)

Slika 5: Naponski pojaqivaq signala.

Takoe prilikom realizacije sitema javila se potreba za izradom napon-skog pojaqivaqa signala sl 5. U kompaktno kuxte pored pojaqivaqa signalasmexten je i differntial line receiver, elektronski deo za obradu i odstraǌivaǌexumova sa digitalnih signa koji dolaze od enkodera.

Iz uvodnog razmatraǌa inverznog klatna jasno je da se ovaj mehaniqki sis-tem moe izvesti na vixe naqina. U praksi se najqexe koriste dve real-izacije, translatorno inverzno klatno i rotaciono inverzno klatno. Obe overealizacije ravnopravno prezentuju sve fenomene ovog mehaniqkog sistema.Rotaciono inverzno klatno sastoji se od jednog kraka (ruke) koji rotira uhorizontalnoj ravni oko vertikalne nepokretne ose, na ǌegovom kraju nalazise klatno koje moe slobodno da rotira u vertikalnoj ravni, sl 6.

y

x

z

M u

Slika 6: Jednostavna xema rotacionog inverznog klatna.


12/39


4.1 Primeǌena metodologija

Razvoj algoritma upravǉaǌa zasnovan je na matematiqkom modelu objekta, koji je izveden za te potrebe. Upravǉaqki algoritam sastoji se iz dva dela, za

razvoj jednog dela korixen je linearizovani matematiqki model objekta a zarazvoj drugog dela korixen je nelinearni model. Numeriqkim simulacijamaizvrxena je analiza dinamiqkih osobina upravǉanog objekta za ǌegov neli-nearni model, radi verifikacije sintetisanog algoritma upravǉaǌa. Zatim

je izvrxena fiziqka realizacija objekta i na ǌemu eksperimentalnim putempotvrena verodostojnost korixenih matematiqkih modela i testiran rad razvijenog algoritma upravǉaǌa.

4.2 Matematiqki model

Izvoeǌe matematiqkog modela inverznog klatna izvrxeno je korixeǌem prin-

cipa analitiqke mehanike. Na predhodnoj slici prikazana je jednostavna xemarotacionog inverznog klata.Rotaciono inverzno klatno predstavǉa sistem sa dva stepena slobode i u

svakom trenutku vremena ǌegov poloaj jednoznaqno je odreen poznavaǌemugla rotacije kraka θ(t) i ugla rotacije klatna ϕ(t), samim tim ovi uglovipredstavǉaju generalisane koordinate sistema rotacionog inverznog klatna.Broj ovih nezavisnih parametara jednak je broju stepeni slobode materijalnogsistema.

q 1(t) = θ(t)

q 2(t) = ϕ(t)

Za dobijaǌe diferencijalnih jednaqina kretaǌa koriste se Lagraneve jed-naqine druge vrste.

d

dt

∂T

∂ q̇ k− ∂T

∂q k= Qk k = (1, 2) (1)

U jednaqini (1):

• T je kinetiqka energija sitema.• Qk je generalisana sila.

4.3 Generalisane sile

Generalisane sile ovog mehaniqkog sistema mogue je dobiti iz rada silana virtualnim (moguim) pomeraǌima, odnosno ukoliko elementarni rad silaizrazimo pomou generalisanih koordinata sistema, jednaqina (2).

δA = Q1δq 1 + Q2δq 2

δA = (M u − Bθ θ̇) · δθ + (m2gζ c sin(ϕ) − Bϕ ϕ̇ − T ϕsign( ϕ̇)) · δϕ(2)

Iz izra za elementarni rad dobijamo da su generalisane sile:


13/39


Q1 = M u − Bθ θ̇Q2 = m2gζ c sin(ϕ)

−Bϕ ϕ̇

−T ϕsign( ϕ̇)

• M u obrtni moment na vratilu ruke.• Bθ koeficijent viskoznog treǌa.• m2 masa klatna.• ζ c rastojaǌe centra mase klatna od ose rotacije klatna.• Bϕ koeficijent viskoznog treǌa.• T ϕ koeficijent suvog treǌa.

Sve spoǉaxǌe sile koje deluju na sistem delimo na aktivne sile F a i reak-

cije veza R, pri qemu se veze dele na idealne i realne. Idealnim vezama senazivaju takve veze za koje je zbir elementarnih radova svih sila reakcija vezana svakom virtualnom pomeraǌu jednak nuli. Xto znaqi da je vektor reakcijeidealne veze normalan na vektor virtualnog pomeraǌa proizvoǉne taqke ma-terijalnog sistema. Idealnih veza u stvarnosti nema i reakcija svake povrxiili linije sastavǉena je iz dve komponente: normalne N i tangentne F µ kojase naziva sila treǌa pri klizaǌu i usmerena je u suprotnom smeru od vektoravirtualnog pomeraǌa.

R = N + F µ

Realne veze moemo svesti na idealne tako xto silu treǌa realne vezetretiramo kao aktivnu silu. U izrazu za rad (2), pored rada sile zemǉinetee m2gζ c sin(ϕ) i rada obrtnog momenta motora M u, uvrxteni su i radovisila reakcija veza kao posledica neidealnosti veza odnosno pojave treǌa. Tosu delovi sa negativnim predznakom.

4.3.1 Kinetiqka energija inverznog klatna

Da bi odredili diferencijalne jednaqine kretaǌa rotacionog inverznog klatnanajpre treba odrediti ǌegovu kinetiqku energiju u funkciji od generalisanihkoordinata θ(t) i ϕ(t). Ona se odreuje kao zbir kinetiqke energije klatna ikinetiqke energije ruke:

T = T 1 + T 2

Kinetiqka energija ruke T 1 odreuje se kao kinetiqka energija krutog telakoje rotira oko nepokretne ose.

T 1 = 1

2J Oz θ̇

2 (3)

U jednaqini (3), J Oz predstavǉa aksijalni moment inercije ruke za z osu okokoje ona rotira. Klatno je izraeno od aluminijumske cevi, pa se moe tre-tirati kao homogeno kruto telo sa neprekidnim rasporedom mase. Ako je masa


14/39


elementarne qestice dm onda je kinetiqka energija klatna odreena izrazom(4):

T 2 = 1

2 V

v2 dm (4)

Klatno za razliku od ruke vrxi sloeno kretaǌe, u ciǉu odreivaǌa ǌegovekinetiqke energije T 2, na naqin (4) prvo moramo odrediti brzinu proizvoǉnetaqke klatna u odnosu na nepokretni Dekartov pravougli koordinatni sistemreferencije Oxyz, sl. 7.

x

y

z

i

j

k

O

r A

A

r M

M

M

Slika 7: Klatno i koordinatni sistemi od interesa.

rM = rA + ρM (5)

vM = drM

dt =

drAdt

+ d ρM

dt (6)

• rM vektor poloaja proizvoǉne taqke M klatna u odnosu na koordinatnisistem Oxyz.

• rA vektor poloaja pokretnog pola A (tqke vexaǌa) pokretnog sistemareferencije Aξηζ , kruto vezanog za klatno u odnosu na nepokretni pol O.

• ρM vektor poloaja taqke M klatna u odnosu na koordinatni sistem Aξηζ .

Nakon odreivaǌa vektora brzine vM i projekcija brzine vMx, vMy, vMztaqke M na ose nepokretnog sitema referencije Oxyz, moemo odrediti kvadratintenziteta brzine taqke M .

vM = vMx +vMy

j + vMz

k (7)


15/39


16/39


A

LC

Slika 8: Koordinatni sistem kruto vezan za klatno.

J Aζη = 0, J Aξη = 0, J Aξζ = 0 (14)

Aksijalni momenti inercije za ose ξ i η meusobno su jednaki zbog ge-ometrije klatna (15).

J Aξ = J Aη = J 2 (15)

Poloaj centra mase klatna odereen je koordinatama ξ c, ηc, ζ c. Konaqnisreeni izrazi za kinetiqku energiju klatna i kinetiqku nenergiju sistemarotacionog inverznog klatna dati su respektivno izrazima (16) i (17).

T 2 = 1

2J 2 ϕ̇

2 + 1

2J 2 θ̇

2 sin2(ϕ) + 1

2J Aζ θ̇

2 cos2(ϕ) + 1

2m2r

2A

θ̇2 − m2ζ crA θ̇ ϕ̇ cos(ϕ) (16)

T =

1

2

J 1 + m2r2A + J 2 sin

2

(ϕ) + J Aζ cos2

(ϕ)

θ̇2

+

1

2 J 2 ϕ̇2

− m2ζ crA θ̇ ϕ̇ cos(ϕ) (17)

4.3.2 Diferencijalne jednaqine kretaǌa i model u prostoru staǌa

Primenom Lagranevih jednacina druge vrste (1) dobijamo skalarne neline-arne diferencijalne jednaqine kretaǌa rotacionog inverznog klatna.


17/39


J 1 + m2r

2A + J 2 sin

2(ϕ) + J Aζ cos2(ϕ)

θ̈ + (J 2 − J Aζ ) sin(2ϕ)θ̇ ϕ̇−

−m2ζ crA ϕ̈ cos(ϕ) + m2ζ crA ϕ̇

2 sin(ϕ) = M

−Bθ θ̇

J 2 ϕ̈ − m2ζ crAθ̈ cos(ϕ) − 12

(J 2 − J Aζ ) sin(2ϕ)θ̇2 = m2gζ c sin(ϕ)−− Bϕ ϕ̇ − T ϕsign( ϕ̇)

(18)


18/39


Usvajamo vektor staǌa u obliku:

X = ϕ θ ϕ̇ θ̇ T

X u = M u

Lako se uoqavaju dva ravnotena staǌa iz diferencjalnih jednaqina kreta-ǌa (18), Xr1 i Xr2:

Xr1 =

0 0 0 0T

Xr2 = π 0 0 0 T

Linearizacijom oko ovih ravnotenih staǌa dobijaju se linearne diferen-cijalne jednaqine kretaǌa:

• Linearizacija oko ravnotenog staǌa Xr1. Ovo je nestabilno ravnotenostaǌe, u ovoj poziciji klatno se nalazi vertikalno uspravno, teixte jeiznad taqke vexaǌa.

J 1 + m2r

2A + J Aζ

θ̈ − m2ζ crA ϕ̈ + Bθ θ̇ = M u (19)

J 2 ϕ̈

−m2ζ crAθ̈ + Bϕ ϕ̇

−m2gζ cϕ = 0 (20)

• Linearizacija oko Xr2. Ovo je stabilno ravnoteno staǌe.

J 1 + m2r

2A + J Aζ

θ̈ + m2ζ crA ϕ̈ + Bθ θ̇ = M u (21)

J 2 ϕ̈ + m2ζ crAθ̈ + Bϕ ϕ̇ + m2gζ cϕ = 0 (22)

Iz linearizovanih diferencijalnih jednaqina kretaǌa potrebno je formi-rati matematiqki model u prostoru staǌa (23):

Ẋ = A ·X+B · X uXi = C ·X

(23)

Da bi dobili matematiqki model dat predhodnim izrazom, linearizovaneskalarne diferencijalne jednaqine (19) najpre trnsformixemo u oblik vek-torske linearne diferencijalne jednaqine (24).

A2 ·

ϕ̈

θ̈

+A1 ·

ϕ̇

θ̇

+A0 ·

ϕ

θ

= B0 · M u (24)


19/39


A2 =

J 2 −m2ζ crA

−m2ζ crA J 1 + m2r2A + J Aζ

A1 =

Bϕ 0

0 Bθ

A0 =

−m2gζ c 0

0 0

B0 =

0

1

Iz jednaqine (24) dobijamo matrice A, B i C. Matrica A data je izrazom(25).

0 0 1 0

0 0 0 1

m2gζ cJ 1 + m2r

2

A + J Aζ

(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2

0 −Bϕ

J 1 + m2r

2

A + J Aζ

(J 1 + m2r2A + J Aζ) J 2 − (m2ζ crA)2

−Bθm2ζ crA

(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2

m22ζ 2

c rAg

(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2

0 −Bϕm2ζ crA

(J 1 + m2r2A + J Aζ) J 2 − (m2ζ crA)2

−BθJ 2

(J 1 + m2r2A + J Aζ)J 2 − (m2ζ crA)2

(25)

B =

0

0

m2ζ crAJ 1 + m2r2A + J Aζ

J 2 − (m2ζ crA)2

J 2J 1 + m2r2A + J Aζ

J 2 − (m2ζ crA)2

(26)

C =

1 0 0 0

0 1 0 0

(27)

u X C

A

BX X iX

Slika 9: Blok dijagram linearizovanog modela inverznog klatna.


20/39


0 5 10 15 20 25 30−100

−50

0

50

100

t [s]

ugao klatnaugaona brzina klatna

ugao ruke

ugaona brzina ruke

Slika 10: Kretaǌe svih veliqina staǌa linearnog matematiqkog modela usled

poqetnog odstupaǌa X0 = ( 15◦ 0 0 0 )T .

0 5 10 15 20 25 30−100

−50

0

50

100

t [s]

ugao klatna [o]

ugaona brzina kaltna [o /s]

ugao ruke [o]

ugaona brzina ruke [o /s]

Slika 11: Kretaǌe svih veliqina staǌa nelinearnog matematiqkog modela

usled poqetnog odstupaǌa X0 = ( 15◦ 0 0 0)T .

4.3.3 Matematiqki model elektro mehaniqkog pokretaqa

Zadatak izvrxnog organa u sistemu upravǉaǌa je da obezbedi upravǉaǌe do-

voǉnog intenziteta u svakom trenutku vremena qijim se delovaǌem na objekat

obezbeuje ǌegovo zadovoǉavajue dinamiqko ponaxaǌe. U ovom upravǉaqkom

sistemu funkciju izvrxnog organa, elektro mehaniqkog pokretaqa obavǉa mo-

tor jednosmerne struje sa permanentnim magnetom (DC motor), sl 13.

Upravǉaǌe jednosmernim motorom sa permanentnim magnetom vrxi se promenom

parametara armature. Jednaqine (28)-(29) opisuju ponaxaǌe motora.


21/39


0 5 10 15 20 25 30−15

−10

−5

0

5

10

15

t [s]

φ [

o ]

nelinearni modellinearni model

Slika 12: Poreeǌe kretaǌa klatna nelinearnog i linearizovanog matemati-

qkog modela usled poqetnog odstupaǌa X0 = ( 15◦ 0 0 0)T .

ua

ia

e

Ra

La

Slika 13: Elektriqna xema DC motora.

ua = Ladiadt

+ Raia + e, e = kE ωm (28)

J mdωm

dt = M m − M H − M fric (29)

U opxtem sluqaju moment treǌa zavisi od: brzine, pozicije i vremena

M fric(ωm, θm, t). Ali u praksi najqexe se posmatra kao funkcija brzine ωm.

Moment treǌa (31) koji se javǉa u diferencijalnim jednaqinama ponaxaǌa mo-

tora sastoji se iz dva dela, momenta suvog treǌa i momenta viskoznog treǌa.

M m = kM ia (30)

M fric = c · sign(ωm) + Bmωm (31)


22/39


• ua napon namotaja armature.

• ia struja armaturnog namotaja.• La koeficijent samoindukcije armaturnog namotaja.• Ra omski otpor armaturnog namotaja.• e kontra elektromotorna sila.• kE koeficijent kontra elektromotorne sile.• J m moment inercije pokretnih delova motora i prenosnika.• ωm ugaona brzina elekromotora.• M m aktivni obrtni moment motora.• M H obrtni moment optereeǌa motora.• M fric obrtni moment treǌa.• kM konstanta obrtnog momenta.• c konstanta suvog treǌa.• Bm konstanta viskoznog treǌa.

mmai

e

au

1

1

sT R

a

a

M k

m B

E k

s J m

1

s

1

m M

H M

fric M

Slika 14: Blok dijagram DC motora.

Vremenska konstanta armaturnog namotaja odreuje se iz sledeeg izraza:

T a = La

Ra

Treba naglasiti da se posmatra jdnosmerni motor zajedno sa planetarnim

prenosnikom. Osnovna funkcija prenosnika je trasformacija ulazne ugaone

brzine izraene brojem obrtaja koji dolaze od motora nul, u izlazni broj obr-


23/39


0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12

−1

0

1

2

3

4

5

6

x 10−3

t [s]

M [

N m ]

DC motor sa dinamikom armaturnog kola

DC motor bez dinamike armaturnog kola

Slika 15: Poreeǌe aktivnog momenta na vratilu motora, pri jediniqnoj

odskoqnoj promeni napona na namotajima armature.

taja u jedinici vremena niz koji odgovara potrbama radnog dela odgovarajueg

mehanizma. Odnos ovih brojeva predstavǉa radni prenosni odnos ired.

ired = nul

niz

= ωul

ωiz

(32)

Gubitci nastali usled treǌa u prenosniku izraavaju se preko stepena

iskorixeǌa (efikasnosti) ηred prenosnika (33).

ηred = P iz

P ul=

P ul − P gP ul

(33)

M iz

M ul=

P iz

ωizP ul

ωul

= ηredired (34)

M iz = ηrediredM ul (35)

Poznato je da su granice objekta relativne i zavise od toga xta se usvaja

za objekat. Zbog potreba sinteze upravǉaqkog algoritma proxiriemo objekat

na sistem inverznog klatna zajedno sa DC motorom, sl 16.

Zbog preglednosti uvexemo slede smene:


24/39


u iXai1

1

sT

R

a

a

M k

m B

E k

P k red i B

A

C

red i T K

u M X X

au

ИК

e

m

Slika 16: Blok dijagram inverznog klatna sa motorom.

• a1 = J 2

• a2 = m2ζ crA

• a3 = Bϕ• a4 = m2gζ c• a5 =

J 1 + m2r

2A + J Aζ

• a6 = Bθ

Diferencijalne jednaqine klatna (19)-(20) i matrice A, B, C mogu se sada

zapisati u kompaktnijem obliku:

a1 ϕ̈ − a2θ̈ + a3 ϕ̇ − a4ϕ = 0a5θ̈ − a2 ϕ̈ + a6 θ̇ = M u


25/39


A =

0 0 1 0

0 0 0 1a4a5

a1a5 − a220

−a3a5a1a5 − a22

−a6a2a1a5 − a22

a2a4

a1a5 − a220

−a3a2a1a5 − a22

−a6a1a1a5 − a22

B =

0

0

a2

a1a5 − a22a1

a1a5 − a22

C =

1 0 0 0

0 1 0 0

U ovako objediǌenom sistemu ulazna i upravǉaqa veliqina postaje napon

na namotajima armaturnog kola. Aktivni moment motora dobija se iz strujne

jednaqine (28) armaturnog kola kao proizvd struje armature i konstante mo-

menta motora. Poxto je vremenska konstanta T a jako mala, dinamika armature

tj. zavisnost struje od napona moe se aproksimirati pojaqaǌem 1

Ra , sl 17.

u iXai1 Ra

M k

E k

P k red i B

A

C

red i T

K

u M X X

au

ИК

e

m

red

Slika 17: Blok dijagram sistema inverznog klatna sa motorom pri qemu je

dinamika armaturnog namotaja aproksimirana pojaqaǌem 1

Ra.

θ̇(t) = KT θ̇ ·X(t) =

0 0 0 1

·

ϕ(t)

θ(t)

ϕ̇(t)

θ̇(t)


26/39


θ̇(t) · ired = ωm(t)

M u(t) = kP kM

Rairedηredu(t) −

kE k

M

Ra

i2redηredK

T θ̇ ·X(t)

Ẋ(t) = A ·X(t) + B · M u =A−B

kE

kM

Ra

i2redηredK

T θ̇

X(t) + BkP

kM

Rairedηredu(t)

Xi(t) = C ·X(t)

Posle sreivaǌa dobijamo konaqni matematiqki model objekta u prostoru

staǌa (36)-(37) na osnovu koga vrximo daǉu sintezu upravǉaqkog algoritma.

Ẋ = As ·X+Bs · X u (36)Xi = Cs ·X (37)

As = A−BkE kM Ra

i2redηredKT θ̇

(38)

Bs = BkP kM

Ra

iredηred, Cs = C (39)


27/39


As =

0 0 1 0

0 0 0 1

a4a5

a1a5 − a220

−a3a5a1a5 − a22

−a6a2 − a2

kE kM

Ra

i2redηred

a1a5 − a22a2a4

a1a5 − a220

−a3a2a1a5 − a22

−a6a1 − a1

kE kM

Ra

i2redηred

a1a5 − a22

Bs =

0

0a2

a1a5 − a22· kP kM

Rairedηred

a1

a1a5 − a22· kP kM

Rairedηred

Cs =

1 0 0 0

0 1 0 0

4.4 Sinteza upravǉaqkog algoritma

Pre nego se krene u sintezu upravǉaqkog algoritma treba razmotriti zahteve

koji se postavǉaju pred budui upravǉaqki sistem. Kod konkretnog problema

to se moe formulisati na sledei naqin: potrebno je prevesti sistem iz

proizvoǉnog poqetnog staǌa xo ∈ X koje pripada prostoru staǌa X ∈ R4 unulto ravnoteno staǌe xr = 0x, odnosno prevesti rotaciono inverzno klatno

iz bilo kog poloaja u vertikalno uspravan poloaj delovaǌem upravǉaq-

kog napona na DC motor, tako da ugaone brzine ruke i klatna kao i pozicija

ruke budu jednake nuli. Ovi zahtevi su rexeni upravǉaqkim sistemom koji

se sastoji od dva algoritma upravǉaǌa. Za podizaǌe klatna blizu nultog

ravnotenog staǌa koristi se kontroler enenergije klatna dok se za stabi-

lizaciju koristi optimalno upravǉaǌe. Koji algoritam upravǉaǌa je aktivan

odreuje se u zavisnosti od trenutnog staǌa.


28/39


Slika 18: Funkcionalna xema sistema upravǉaǌa.

4.5 Optimalno upravǉaǌe

Ako se uvede neki kriterijum na osnovu koga se porede rexeǌa nekog problema

i pritom taj kriterijum ima drugaqiju vrednost za svako pojedinaqno rexe-

ǌe, onda bi maksimalna ili minimalna vrednost tog kriterijuma trebalo da

ukae na rexeǌe koje u najveoj meri zadovoǉava postavǉeni kriterijum tj.

na optimalno rexeǌe. Jasno je da ovako definisano optimalno rexeǌe ne mora

biti i najboǉe rexeǌe od svih moguih, ono je samo najboǉe po nekom usvo-

jenom kriterijumu. To znaqi da ako je kriterijum loxe izabran ni rexeǌe ne

moe biti dobro.

4.5.1 Kriterijum performanse

”Formulisati xta se eli je qesto tee od pronalaeǌa naqina da se to i

ostvari”

Ukoliko se za dinamiqko ponaxaǌe upravǉanog objekta ili procesa uvede

kriterijum koji svakoj trajektoriji X (t; t0,x0;u[t0,t]) iz skupa dopuxtenih trajektorija, prostora staǌa X na vremenskom intervalu [t0, t], dodeǉuje neku jedinstvenu realnu vrednost onda se takav kriterijum naziva kriterijum per-

formanse ili mera performanse ili indeks performanse.

U najopxtijem sluqaju ciǉ upravǉaǌa je da delovaǌem na objekat ili proces

ostvari ǌegovo ǉeno dinamiqko ponaxaǌe. To eǉeno dinamiqko ponaxaǌe

moe se iskazati kroz kriterijum performanse sistema. Koncept optimalnog


29/39


upravǉaǌa moe se formulisati na sledei naqin: potrbno je odrediti up-

ravǉaǌe u[t0,t] za koje se sistem kree trajektorijom X (t; t0,x0;u[t0,t]) koja min-imizira usvojeni kriterijum performanse ili maksimizira ǌegovu negativnu

vrednost. Ovakvo upravǉaǌe naziva se optimalno upravǉajne, a odgovarajua

trajektorija optimalna trajektorija. Podrazumeva se da se trai globalni

a ne lokani ekstremum indeksa performanse. Kao xto se vidi odreivaǌe

optimalnog upravǉaǌa svodi se na neku vrstu apstraktnog poreeǌa efekata

koje razni upravǉaqki signali mogu imati na sistem. Stoga je od suxtinskog

znaqaja raspolagaǌe verodostojnim matematiqkim modelom objekta ili pro-

cesa na osnovu kogaa se moe predvideti kretaǌe sistema za razne upravǉaqke

signale. Razliqiti pristupi odreivaǌa optimalne strategije upravǉaǌa u

najveem broju sluqajeva zasnivaju se na matematiqkom modelu sistema u pros-

toru staǌa. Primer modela u prostoru staǌa za deterministiqke kontinualne

sisteme dat je sledeim izrazom, (40).

ẋ(t) = f (x(t),u(t), t), x(0) = x0

xi(t) = g(x(t),u(t), t)(40)

• poqetno vreme t0 i poqetno staǌe x0 odreeno i poznato.

• krajǌe vreme tf zadato ili proizvoǉno.

• krajǌe staǌe xf zadato, proizvoǉno ili pripada sukupu xf ∈ S f .

Klasiqna teorija upravǉaǌa zasniva se na nizu analitiqkih i grafo-analitiqkih

metoda pomou kojih se u skladu sa postavǉenim zahtevima odreuju parametri

kontrolera. Ovakvim pristupom uspexno se projektuju linearni sistemi sa

jednim izlazom i jednim ulazom. Meutim glavni ǌihov nedostatak je da se

zadovoǉi vixe kriterijuma istovremeno koji nisu meusobno kompatibilni.

Ovaj problem bi se mogao prevazii ako bi se definisao jedan kriterijum

koji bi objedinio sve relevantne pokazateǉe u jednu brojnu vrednost, xto bi

za performanse sistema u vremenskom domenu moglo da glasi:

J = k1(vreme uspona ) + k2(vreme smireǌa ) + k3(preskok ) + k4(statiqka grxka ) + · · ·

• ki je teinski koeficijent.

Meutim ovako usvojen kriterijum ne moe dovesti do analitiqkog rexeǌa

problema. Zahtev za poreeǌem rexeǌa koja se mogu dobiti primenom precizno


30/39


definisanih analitiqkih metoda doveo je do ideje da se formiraǌu kriteri-

juma performanse pristupi sa aspekta eǉenog globalnog ponaxaǌa sistema.

To znaq da se eǉeno dinamiqko ponaxaǌe sistema moe iskazati kroz zahtev

da se dostigne neko zadato krajǌe staǌe pri qemu je nebitno kako se sistem

ponaxa u procesu prelaza do tog staǌa ili se zahteva da sistem celo vreme u

najveoj moguoj meri prati neku zadatu trajektoriju u prostoru staǌa ili

je pak pri oceni ponaxaǌa sistema od izuzetne vanosti koliqina utroxene

energije pri dostizaǌu krajǌeg ciǉa itd. Iz pomenutog se moe zakǉuqiti da

je potrebno da se napravi razlika izmeu mere performanse dostizaǌa krajǌeg

staǌa i prelaza od poqetnog do krajǌeg staǌa. U skladu sa tim opxti oblik

kriterijuma performanse sistema moe se iskazati sledeim izrazom:

J = G(x(tf ), tf ) +

tf

t0

F (x(t), t) dt (41)

• G(x(tf ), tf ) - mera dostizaǌastaǌ, izraava odstupaǌe krajǌeg staǌa od eǉenog krajǌeg staǌa, G je proizvoǉna skalarna funkcija.

• tf t0

F (x(t), t) dt - mera prelaznog procesa, zavisi od trajektorije staǌa koja

nosi kompletnu informaciju o sistemu ali i od upravǉaǌa koje odreuje

koliqinu energije koja se troxi pri prelazu sistema iz jednog staǌa u

drugo, F je skalarna funkcija.

Treba istai da u praksi qesto dolazi do sukoba izmeu fiziqkog znaqeǌa

samog kriterijuma performase i analitiqkih mogunosti za ǌegovo rexavaǌe,

pa se zbog toga qesto pravi kompromis izmeu eǉene mere performanse i

raspoloivog analitiqkog aparata. U praksi se javǉaju razliqiti prob-

lemi pa na osnovu toga i odgovarajui kriterijumi perfomanse. Ovde emo

izloiti samo jedan oblik kriterijuma performanse vezano za problem stabi-

lizacije inverznog klatna.

• Generalisani problem praeǌa

Zadatak :odravaǌe staǌa sistema xto je mogue blie zadatim trajektori-

jama staǌa xž(t) vodei raquna o utroxenoj energiji i ostvarivaǌu krajǌeg

ciǉa.

Oblik kriterijuma performanse :


31/39


J = (xf − xž)T H (xf − xž) + tf t0

eT (t)Q(t)e(t) + uT (t)R(t)u(t)

dt (42)

J = xf − xž2H +

tf

t0

xf (t) − xž(t)2Q(t) + u(t)2R(t) dt (43)

• H - simetriqna, pozitivno poluodreena matrica.

• Q(t) - realna, simetriqna, vremenski promenǉiva, pozitivno poluodred- jena matrica.

• R(t) - realna, simetriqna, vremenski promenǉiva, pozitivno odreenamatrica.

4.5.2 Optimalno upravǉaǌe inverznim klatnom

Optimalno upravǉaǌe rotacionim inverznim klatnom odreuje se na osnovu

ǌegovog linearizovanog matematiqkog modela u prostoru staǌa koji je dat

izrazom (44). Treba istai da se teoriski rezultati odreivaǌa optimalnog

upravǉaǌa ne ograniqavaju samo na linearne sisteme ve se primeǌuju na

daleko xiru klasu sistema, kao xto su na primer nelinearni nestacionarni

sistemi ili diskredtni sistemi.

Ẋ(t) = As ·X(t) + Bs · u(t) (44)

Poxto je zahtev postavǉen upravǉaqkom sistemu odravaǌe staǌa xto je

blie mogue staǌu 0x odnosno ǉenoj trajektoriji xž ≡ 0 koja je svo vremeidentiqki jednaka nuli, uz xto maǌi utroxak energije. Moe se na osnovu

ovako definisanog zahteva uvesti kriterijum performanse u sledeem obliku:

J =

+∞t0

xT (t)Qx(t) + u(t)RuT (t)

dt (45)

Odnosno za sisteme sa jednim ulazom i vixe izlaza kakav je rotaciono in-

verzno klatno kriterijum (45) prelazi uoblik (46).

J =

+∞t0

xT (t)Qx(t) + Ru2(t)

dt (46)

• x(t) ∈ R4

• u(t) ∈ R

• Q

∈ R4×4


32/39


• R ∈ R+

Zahtev za xto maǌim utroxkom energije uvodi se zbog mogunosti fizi-

qke realizacije dobijenog algoritma upravǉaǌa. Ukoliko u kriterijum ne bi

bio ukǉuqen ovaj uslov, minimizacija kriterijuma dovela bi do upravǉaq-

kih signala koji vrlo qesto izlaze iz opsega fiziqke ostvarǉivosti. Moe

se primetiti da u kriterijumu nigde nije postavǉeno konkretno ograniqeǌe

upravǉaqkog signala, pogodnim izborom Q i R moe se dobiti ostvarivo re-

xeǌe, o tome e u nastavku biti vixe reqi. Problem koji se razmatra ovde u

literaturi je poznat kao problem regulisaǌa odnosno regulacija staǌa. Pro-

jektovaǌem linearnog regulatora na osnovu kvadratnog kriterijuma (45) bavi

se LQ teorija, ovaj akronim potiqe od engleskih reqi (Linear Quadratic ).

Ve je objaxǌeno da se do optimalnog upravǉaǌa dolazi odreivaǌem glob-

alnog ekstremuma kriterijuma performanse. Meutim za odreivaǌe ekstremuma

kriterijuma performanse usvojenog u obliku (46), nije mogua upotrba matem-

atiqke analize. Poxto je kriterijum performanse funkcija od upravǉaǌa

na nekom zadatom ili proizvoǉnom vremenskom intervalu a upravǉaǌe funk-

cija od vremena, proizilazi da je indeks performanse ”funkcija od funkcije”

J = J (u(t)) odnosno funkcional J : u(t) → R, J = {u, J (u) : u ⊂ Ω, J (u) ∈ R}.Funkcional J se definixe kao preslikavaǌe koje svakoj funkciji u(·) iz klase

funkcija Ω pridruuje jedan realni broj. Funkcija upravǉaǌa koja mini-mizira indeks performanse (46) data je izrazom (47)

u(t) = −R−1BT Px(t) (47)

• P = PT ≥ 0

• P ∈ R

Nepoznata matrica P dobija se rexavaǌem matriqne jednaqine (48) koja je

u literaturi poznata kao Rikatijeva algebarska jednaqina.

PA+AT P−PBR−1BT P+Q = 0 (48)

uopt(t) = −R−1BT Px(t) = −KLQx(t) (49)

4.5.3 Izbor teinskih matrica

Jasan fiziqki znaqaj elemenata matrice Q i R vidi se ukoliko se one izaberu

kao dijagonalne matrice, pri qemu je u ovom sluqaju R pozitivan realni broj.


33/39


Kod matrice (50) vidi se da dijagonalni elementi omoguavaju specifikaciju

znaqaja koji ima odstupaǌe pojedine veliqine staǌa (51). Teoretski ove ma-

trice ne moraju biti dijagonalne, meutim postaje nejasno koji zanqaj imaju

ustali, nedijagonalni elementi matrice. Moglo bi se rei da je ovo neusa-

glaxenost matematiqke mogunosti rexavaǌa problema i ǌegovog fiziqkog

zanqeǌa.

Q =

Q1 0 0 0

0 Q2 0 0

0 0 Q3 0

0 0 0 Q4

(50)

xTQx = Q1x21 + Q2x

22 + Q3x

23 + Q4x

24 (51)

Adekvatan izbor teinskih matrica Q i R uvek predsavǉa kompromis izmeu

suprotstavǉenih zahteva: dobre performanse upravǉaǌa (velike vrednosti

elemenata matrice Q) i minimalno mogue uloene energije (velika vrednost

R ). Generalno matrice Q i R se moraju podexavati sve dok se ne ostvari

eǉeno dinamiqko ponaxaǌe sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi. Meutim

inicijalni izbor dijagonalnih elemenata matrice Q i vrednosti R moe se

izvrxiti na sledei naqin:

Qi =

1

xmaxi, i = (1, 2, 3, 4) (52)

√ R =

1

umax (53)

xmaxi , umax - predstavǉaju maksimalno prihvatǉivu promenu i-te veliqine

staǌa odnosno upravǉaqkog signala.

4.6 Kontrolisaǌe energije klatna

Strategija koja se koristi za rexavaǌe problema podizaǌa klatna zasnovana

je na kontroli energije klatna. Posmatrae se izdvojeno klatno qije ponaxaǌe

je opisano jednaqinom (54), u ovom izrazu treǌe je zanemareno.

J 2 ϕ̈ − m2gζ c sin(ϕ) − m2aζ c cos(ϕ) = 0 (54)

a = rAθ̈ - ubrzaǌe taqke vexaǌa klatna. Energija klatna kada je taqka

vexaǌa nepomiqna moe se izraziti jednaqinom (55), ovako napisana energija


34/39


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

100

200

t [s]

pozicija klatna [o]

brzina klatna [o /s]

pozicija ruke [

o

]brzina ruke [

o /s]

Slika 19: Numeriqka simulacija optimalnog upravǉaǌa nelinearnim matem-

atiqkim modelom pri poqetnim uslovima x0 = ( 30◦ 0 0 0 )T .

klatna jednaka je nuli kada se klatno nalazi uspravno i pritom brzina ϕ̇ je

jednaka nuli.

E = 1

2

J 2 ϕ̇2 + m2gζ c (cos(ϕ)

−1) (55)

Da bi doxli do adekvatnog zakona upravǉaǌa koji e poveati energiju

klatna kada se ono nalazi u doǌem poloaju, potrebno je odrediti uticaj

ubrzaǌa taqke vexaǌa kaltna na promenu energije klatna. U tom ciǉu vr-

xi se diferenciraǌe izraza za energiju (55):

dE

dt = J 2 ϕ̇ϕ̈ − m2gζ c ϕ̇ sin(ϕ) (56)

Povezivaǌem diferencijalne jednaqine kretaǌa klatna(54) i izvoda energije

po vremenu (56) dobijamo izraz (57) koji pokazuje uticaj ubrzaǌa taqke vexaǌana promenu energije klatna.

dE

dt = (m2ζ c ϕ̇ cos(ϕ)) a(t) (57)

Ovako formulisan problem kontrole energije pomou ubrzaǌa taqke vexaǌa

klatna, predstavǉa sistem prvog reda integralnog tipa deǉstva sa promenǉivim

pojaqaǌem, xto je sasvim logiqan i oqekivan rezultat. Sada je potrebno odred-

iti zakon upravǉaǌa tako da se enegija klatna dovede do eǉene vrednosti


35/39


E ̌z = 0. Ovo se moe rexiti uvoeǌem povratne sprege po energiji, pa se

dobija zakon upravǉaǌa u sledeem obliku:

u(t) = a(t) = k(E ̌z − E ) ϕ̇ cos(ϕ) (58)k - pojaqaǌe.

U ciǉu poboǉxaǌa performanse upravǉaǌa a takoe i lakxe implementacije

moe se uvesti modifikovani zakon upravǉaǌa (59), poznat kao beng-beng naqin

upravǉaǌa.

u(t) = k · sign ((E ̌z − E ) ϕ̇ cos(ϕ)) (59)

U zakonu upravǉaǌa (59) upravǉaqki signal na celom intervalu upravǉa-

ǌa uzima svoje ekstremne vrednosti. Ovakav upravǉaqki signal u praksi moe

da dovede do vrlo negativne pojave qeteringa. Radi spreqavaǌa takve pojave

umesto funkcije sign(·) koristi se funkcija simetriqnog zasieǌa sa linear-nim delom kod koje izbor nagiba linearnog dela odgovara sistemu na koji se

implemetira ovakav kontroler, sl 20.

u(t) = satkn ((E ̌z − E ) ϕ̇ cos(ϕ)) (60)

Slika 20: Nelinearnost tipa simetriqnog zasieǌa sa linearnim delom.

Na sledeim slikama date su numeriqke simulacije rada razvijenog upravl-


36/39


jackog sistema. Sitem se u poqetnom trenutku nalazi u staǌu x0 =

180◦ 0 0 0

T .

Simulacija je uraena za dva karakteristiqne vrednosti parametra k, funk-

cije zasieǌa, od koga zavisi maksimalni gradijent ubacivaǌa energije u sis-

tem.


37/39


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

t[s]

pozicija klatna [o]


pozicija ruke [o]

brzina ruke [o /s]

Slika 21: Numeriqka simulacija kretaǌa sistema za k = 0.5.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

t [s]

E [ J ]

energija

Slika 22: Numeriqka simulacija promene energije klatna za k = 0.5.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

t [s]

U

[ V ]

upravljanje

Slika 23: Upravǉaqki signal.


38/39


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−600

−400

−200

0

200

400

600

t [s]

pozicija klatna [o]


pozicija ruke [o]

brzina ruke [o /s]

Slika 24: Numeriqka simulacija kretaǌa sistema za k = 3.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

t [s]

E [ J ]

energija

Slika 25: Numeriqka simulacija promene energije klatna za k = 3.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t [s]

U

[ V ]

upravljanje

Slika 26: Upravǉaqki signal.


39/39

5 LITERATURA 33

5 Literatura

m83 tr rik small

Documents