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�
Resolução das atividades complementares
MatemáticaM19 — Geometria Analítica: Pontos e Retas p. 08
1 (MACK-SP) Identifique a sentença falsa:a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y.b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x.c) O ponto (500, 500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.d) O ponto (80, 280) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.e) O ponto 3 3 11 11,( ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares.
3 (Unitau-SP) Sabendo-se que o ponto Q(1 2 a, b 1 2) pertence ao quarto quadrante do plano cartesiano, pode-se concluir que os possíveis valores de a e b são:a) {a IR | a 5 0} e {b IR | b , 1} d) {a IR | a , 22} e {b IR | b , 1}b) {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22} e) {a IR | a 5 21} e {b IR | b 5 2}c) {a IR | a . 1} e {b IR | b . 22}
2 (FURRN) O ponto P, do eixo Oy, eqüidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) é:
a) 0, 912( ) c) (0, 4) e) (0, 0)
b) 0, 112( ) d) (0, 3)
Resolução:O ponto 3 3 11 11,( ) tem as coordenadas iguais. Logo, pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Resolução:P(0, y); Q(2, 0); R(4, 2) d(P, Q) 5 dd(P, R)
2 (0 4 (2y2
2 1 2 5 2 1 2
1 5 1
0 04 16
2 2 2 2( ) ( )y y) )44 16 42 1 5 54y y 4y P(0, 4)2 ⇒ ⇒ y
Resolução:No quarto quadrante, devemos ter: • abscissa positiva: 1 2 a . 0 ⇒ a , 1 • ordenada negativa: b 1 2 , 0 ⇒ b , 22
Portanto, {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22}.
�
4 (Vunesp-SP) Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, 21) e (23, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?
5 (UFU-MG) São dados os pontos A(2, y), B(1, 24) e C(3, 21). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B?
6 (UESPI) Se os pontos P(1, 2), Q(3, 5), R(6, 7) são os vértices de um triângulo, então o triângulo é:a) isósceles e retângulo c) isósceles e não-retângulo e) escalenob) retângulo e não-isósceles d) eqüilátero
p. 09
2,3
Resolução:d(A, C) d(B, C)
(y 3 (y2
5
2 1 1 5 1( ) )1 12 2 22
1 1 1 5 1 2 1
5 5
4
1 1 9 16
2)
y 2y y 8y10y 23 y 2,3
2 2
⇒
Resolução:Desenhando o triângulo no plano caartesiano:
d(P, Q) (3 1) (5 2)
d(P, R)
2 25 2 1 2 5
5
13
((6 1) (7 2)
d(Q, R) (6 3) (7 5)Co
2 2
2 2
2 1 2 5
5 2 1 2 5
50
13mmo d(P, Q) d(Q, R) d(P, R) e d(P, R) d(P,25 Q) d(Q, R)
o triângulo PQR é isósceles
2 21 ,ee não-retângulo.
B(�3, 4)
C(0, y)
A(1, �1)
A
B C
7
y
5
2P
Q
R
6 x31
2143
Resolução:
O triângulo ABC é retângulo em B.Logo, o lado
• •
AC é a hipotenusa.
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
d A, C( ))[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )
2
2 2
d A, B d B, C
(3 2) ( 1 y)
5 1
2 1 2 2
2 2
22 2 2
2
5 2 1 2 2 1 2 1 2 1
1
(1 2) ( 4 y) (3 1) ( 1 4)
2y
2 2 2 2( ) ( )y 11 5 1 1 1 5 22 13y 8y 17 14
32 ⇒ y
�
7 (UFAL) Sejam o ponto P(2, 1) e o ponto Q, de abscissa 4, localizado no 1o quadrante. Se a distância de Q a P é igual à distância de Q ao eixo das abscissas, então Q é o ponto:
a) 52
, 4( ) c) (4, 3) e) (4, 4)
b) 4, 52( ) d) (2, 4)
8 (Unicruz-RS) O ponto médio do segmento (23, 7) e (11, 15) é:a) (11, 4) c) (4, 5) e) (4, 11)b) (8, 4) d) (8, 11)
9 (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8), (n, n 1 3).Se Z é o ponto médio do segmento
• •
,XY então:a) m 5 2 c) n 5 3 e) n 5 2b) m 5 1 d) m 5 5
Resolução:
x
yM(4,
M
M
52 1
5
51
5
3 112
4
7 152
11
111)
Resolução:X(0, 0); Y(m, 8); Z(n, n 3)
2
1
51n m0
nn
m
1 51
5
5
5
53 0 8 2
2
12
2n
2n
m
n
⇒ ⇒
a
y
1
0 1 2
P
Q
3 4 x
Resolução:
d(Q, P) (4 2) (a 1)a 2a
2 2
2
5 2 1 2 5
1 2 1
a a⇒4 11
5 52
5
5 5
a
2a
Logo, Q 4, 52
2
⇒ a
( )
�
10 Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 26) e C(21, 23).
11 Determine as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades (22, 21) e (3, 2).
Resolução:
x
y
52 1
5 2
52 1
5 2
2
1 0
3 02
12
232
M 121
⇒ ,, 32
232
t2
92
M 32
, 92
2
52 1
5
52 2
5 2
2
( )
z 1 4
3 6⇒
22
2
23
M (2, 3)
d(A, M
3
2
( )
u
v
51
5
52
5 2
2
0 4 2
0 6⇒
))
d(B, M )1
5 2 1 2 2 5
5 2 2 1 2
32
0 92
0 3 102
12
4
2 2
2
( ) ( )( ) 33
26 9 2
2
1 3 3
2
2
2 2 5
5 2 2 1 2 2 2
( )
( ) ( )
( )( ) ( )d(C, M ) 23
2235
Resolução:
x z y t z x t52
52
51
52
2(I) 1
2(II)
2(III)3 2 11 y
2(IV)
Das equações (I) e (III): Das equaçõees (II) e (IV):2x
x 2z
2y
y
2 5 2
2 1 5
2 5 2
2 1
z t2
3
1 22t
Resolvendo o sistema, obtemos: Resol
5 2
vvendo o sistema, obtemos:13
e z ex y5 2 5 543
0 t
Os pontos procurados são: 13
, 0 e 4
5
2
1
( ) 33, 1( ).
A(0, 0)
M2(z, t)
C(�1, �3)
M1(x, y)
B(4, �6)
M3(u, v)
(�2, �1) (x, y) (z, t) (3, 2)
�
13 (Fafi-BH) O baricentro do triângulo ABC de vértices A(25, 25), B(1, 5) e C(19, 0) é:a) (25, 0) b) (215, 0) c) (5, 0) d) (15, 0)
12 (UFPE) Dado um triângulo ABC, calcule as coordenadas (x, y) do vértice A, sabendo-se que B(1, 1) e que os pontos médios dos lados BC e AC são respectivamente (21, 22) e (1, 0). Indique o valor do produto x ? y.
14 (Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:a) 3x 1 4y 2 12 5 0b) 3x 2 4y 1 12 5 0c) 4x 1 3y 1 12 5 0d) 4x 2 3y 2 12 5 0e) 4x 2 3y 1 12 5 0 �4 O
3
y
x
p. 16
Resolução:Seja o triângulo ABC da figura:
12 551
5 2
2 51
5 2
2 2
12
3
12
5
1
xx
y
CC
C
⇒
⇒2 yC( 3, 5)
C
552 1
5
52 1
5
?
32
5
0 52
5
x x
y
⇒
⇒ yA(5, 5)
Logo, x
yy 5 ? 55 5 25
Resolução:
x
y
G
G
52 1 1
5
52 1 1
5
5 1 193
5
5 5 03
0
G(55, 0)
Resolução:x y 1
4 0 12 012
2 5 2 1 2 52 1 5
0 1
0 3 1
4y 3x3x 4y
⇒00
B(1, 1) A(x, y)
(�1, �2)(1, 0)
C(xC, yC)
25
�
15 (Unifor-CE) Na figura, tem-se um triângulo eqüilátero de lado 6 e cujos vértices A, B e C situam-se sobre os eixos cartesianos. A equação da reta suporte do lado
• •
BC é:
OA B
Cy
x
16 (UFG) Sejam P(0, 0), Q(0, 2), R(2, 2) e S(2, 0) pontos do plano cartesiano. Sejam A e B pontos médios dos segmentos QR e RS, respectivamente.a) Represente, num mesmo plano cartesiano, os pontos P, Q, R, S, A e B, destacando o triângulo APB.b) Mostre que o triângulo APB é isósceles.c) Determine a equação da reta que passa por A e B.
17 (Fuvest-SP) A tabela mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade.Admitindo que a variação da temperatura seja linear entre duas medições consecutivas quaisquer feitas para a profundidade, qual a temperatura prevista para a profundidade de 400 m?
Profundidade(m)
Temperatura(°C)
superfície 27 100 21 500 7 1 000 4 3 000 2,8
a) d)
b) e) 3x
c)
x y x y
x y y
1 2 5 1 2 5
1 2 5 1 2 5
3 0 3 3 3 0
3 3 3 0 3 0
33 3 3 0x y2 1 5
Resolução:
Se cada lado de um triângulo eqüillátero mede , então a medida de sua altur aa é2
. Como
6, temos h . Então, A(
h 5
5 5 2
3
3 3 33, 0), B(3, 0), C 0, 3 3
: 0 1
0 3 3 1
( ).
• •
BC
x y 1
3 05 ⇒⇒ 3 3 0x 1 2 5y 3
b) d(P, A) (1 0) (0 2) 4
d(P, B) (2 0)
2 2
2
5 2 1 2 5 1 5
5 2
1 5
11 2 5 1 5
5
(1 0) 1
Logo, PA PB e o triângulo PAB
2 4 5
é isósceles.
c) Equação da reta que passa poor e :A B
1 2 1
2 1 1
1
0 3 0
x y
x y5 1 2 5⇒
Resolução:
100 21 1
400 1
500 7 1
0 42 0t t5 2 5 5⇒ ⇒4t 10,5 °C
Q RA(1, 2)
B(2, 1)
y
P S x
Resolução:a) Plano cartesiano
x 1 y 2 3 5 0
10,5 °C
�
19 (PUCC-SP) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.
Se os quatro pontos pertencem à reta de equação 4x 2 3y 1 1 200 5 0, a distância entre as cidades A e B, em quilômetros, é aproximadamente:a) 50 c) 800 e) 8 000b) 500 d) 5 000
x (km)
y (km)
M
N
A
B
18 (Faap-SP) Uma reta de demanda estabelece a relação entre o preço de venda p de uma unidade de um produto e a quantidade q que se deseja comprar. Um distribuidor de relógios de mesa estima que, se o preço for R$ 80,00, ele poderá vender 1 000 unidades; se o preço subir para R$ 86,00, venderá 700. Quantos relógios ele poderia vender se o preço fosse R$ 90,00?a) 580 c) 500 e) 860b) 900 d) 730
Resolução:O ponto A tem ordenada y 5 0.4x 2 3y 1 1 200 5 0 ⇒ 4x 2 0 1 1 200 5 0 x 5 2300 kmDaí: A(2300, 0)O ponto B tem abscissa x 5 0.4x 2 3y 1 1 200 5 0 ⇒ 0 2 3y 1 1 200 5 0 y 5 400 kmDaí: B(0, 400)A distância entre A e B é igual a:
d 5 1 1 2 5 1(0 0) (400 0) 90
Portanto, d
2 230 000 160 000
55 500 km.
Resolução:Pelos dados, temos:
q p
x
1 000 80
700 86
990
Os pontos , e estão alinhados, logoA B C ::
86 1
1 000 80 1
3 0003 000
x
xx x
90 1
700 0 6 06 50
5 2 5
5 5
⇒⇒ 00
A BC
x 700 1 000 q
p
908680
�
20 Determine k, sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k, 3) e B(21, 24) é 45°.
21 (PUC-SP) Determine a equação da reta de coeficiente angular igual a 2 45
e que passa pelo ponto P(2, 25).
22 (Esam-RN) A equação da reta que tem coeficientes angular e linear, respectivamente, iguais a 23
e 1 é:2
a x c e y
b d y
) ) )
) )
1 2 5 2 1 5 5
2 2 5 5
3y 2x 3y 23
x
2x 3y
5 0 3 0
3 0 22 1x 23
23 (UERJ) Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico ao lado apresenta dados sobre seu movimento.A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 s, é igual à área do trapézio destacado. Calcule essa distância.
5
v (m/s)
t (s)
4
10
2
O
k 5 6
Resolução:Se o gráfico representativo da velocidade está contido em uma reta, a função horária da velocidade tem a forma v(t) 5 at 1 b
Do gráfico, temos:t 2 m/s
10 s 4 m/
5 5
5 5
0 →→
v
t v ss
b
10a b
→2
4
5
5 1
Substituindo b por 2, obtemos: 4 5 10a 1 2, ou seja, a 5 15
.
Logo, v(t) 15
t5 1 2
A base maior do trapézio mede (para t 5 5 s):
v(5) 15
Portanto, S S
5 ? 1 5
51
51 ?
5 2 3
23 2 5
2( ) ( )B b h ⇒ 55 12,5
A distância é de 12,5 m.
12,5 m
4x 1 5y 1 17 5 0
Resolução:
mk
k5 52 22 2
5 5tg 45° 1 4 31
1 6⇒
Resolução:
m 5 2 2
1 5 2 2 1
45
; P(2, )
y 45
(x ) 5y
5
5 2 25⇒ 55 2 1 1 1 54x 4x 5y8 17 0⇒
Resolução:
y n y x5 1 5 2 5 2 2 2 5mx 3y 2x 2x 3y⇒ ⇒ ⇒23
1 3 3 0
�
24 (FGV-SP) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por mês; quando a renda é R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00.a) Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em função de X, sabendo-se que o gráfico
de C em função de X é uma reta.b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P
em função de X e encontre os valores da renda para os quais a poupança é maior que R$ 1 000,00.
25 (Vunesp-SP) A figura mostra os gráficos de uma função exponencial
y 5 ax e da reta que passa pelo ponto 0, 53( ) e tem coeficiente angular 10
7.
Pelo ponto C 12
, 0( ) passou-se a perpendicular ao eixo x, que corta os gráficos,
respectivamente, em B e A.
Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme mostra a figura, e que a medida
do segmento • •
AB é dada por 821
, determine o valor de a.
A
B
Cx
y
0, 53( )
12
p. 17
X . 9 000
C(X) 5 0,8X 1 800
4
Resolução:a) A sentença que define a função é do tipo C(X) 5 aX 1 b, uma vez que o gráfico de C é uma reta. Pelo enunciado:
4 800 5 000
7 200 8 000
5 ? 1
5 ? 1
a b
a b
(I)
(II)
Fazendo (II) 2 (I): 3 000a 5 2 400 a 5 0,8 Substituindo a por 0,8, em (I): 4 800 5 0,8 ? 5 000 1 b b 5 800 Então: C(X) 5 0,8X 1 800
b) P(X) 5 X 2 C(X) e C(X) 5 0,8X 1 800, então: P(X) 5 X 2 (0,8X 1 800) ou P(X) 5 0,2X 2 800 P . 1 000 ⇒ 0,2X 2 800 . 1 000 X . 9 000
Resolução:
De acordo com a figura:
r : y1 2 553
1007
107
12
(x 0) ou y 53
r : x
r r
2
1 2
2 5 1
5
5
x
A{ }
A
B
C0 x
y
r2
r1
0, 53( )
12
x y5 5 ? 1 512
107
53
5021
⇒ ⇒y 12
Logo, A 12
, 5021
, B( ) 112
, y e d(A, B)( )( ) ( )
5
5 2 1 2
821
821
12
12
5021
2
y22
821
5021
2
⇒
⇒ ⇒5 2 5y y
Então, B 12
, 2
Como per
( )B ttence ao gráfico da função y ax5
5 5
,
2 412a a⇒
�0
26 (UFSM-RS)
B(8, 0)x
y
P(x, y)
A(0, 12)
O
A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos carte-sianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0, 12) e B(8, 0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a:a) 4 e 6 c) 5 e 7 e) 6 e 3
b) 5 e 92
d) 4 e 7
27 (UERN) Seja M o ponto de intersecção das retas de equações x 2 y 2 6 5 0 e 3x 1 y 2 2 5 0. A equação da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por M, é:a) x 2 2y 5 10 c) x 5 2 e) y 5 24b) y 5 2 d) x 5 24
p. 24
Resolução:A P BOs pontos , e estão alinhadoss, logo:
24 2y 3x 32
x (1
0 12 1
1
8 0 1
0 0 12x y y5 2 2 5 5 2⇒ ⇒ ))
A (2)
Substituindo (1) em (2),
retângulo 5 ?x y
vem:
A 3 x 12x 3x 24x
Par
2 25 2 5 2 1 5 2 1x x A A12 32 2( ) ⇒ ⇒
aa que a área seja máxima, temos:
x b2a
xv v52 ⇒ 55
2? 2
5
5
243
42
Substituindo x 4 em (1), vem:
( )
yy
As dimensões do retângulo sã
5 2 ? 512 32
4 6 y .
oo 4 e 6.
Resolução:
12 2 5
1 2 5
2 5 5
2
x 6
3x4x
y
yx
x y
0
2 08 0 2
⇒22 5
2 2 5 5 2
2
62 6 4
4
00
M(2, )A equação da reta
y y⇒
““ ”horizontal e que passa por é yM 5 24.
��
28 (UFPA) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P 12
, 12( ) e é perpendicular a uma reta que
forma com o sentido positivo do eixo do x um ângulo cuja tangente é 52
.
29 (UMC-SP) Dois barcos navegam durante um nevoeiro, segundo as direções das retas r e s, num sistema de coordenadas cartesianas.
Sendo r: 2x 2y 6 0 e s: x3
y3
2, pode-se af1 2 5 1 5 iirmar que:
a) O ponto possível de colisão é 23
, 23( ). d) O ponto possível de colisão é (3, 0).
b) O ponto possível de colisão é 23
, 23
2 2( ). e) Não poderá haver colisão.
c) O ponto possível de colisão é (0, 3).
Resolução:
m
m m
m
5
2
? 5 2
5 2
52
125
P 12
, 1( )y y m (x x )
25
2x 5y
1 22 5 2
1 5 2 2
1 1 5
y x1 12
4 0
( )
Resolução:Ponto de intersecção:
2x 2y
x3
y3
1 5
1
6
55
1 5
1 52
3
6
⇒x y
x y
Não há ponto de colisãão, pois as retas são paralelas.
2x 1 5y 1 4 5 0
��
31 (UFPI) A equação da reta perpendicular à reta y 5 2x 1 1 e que passa pela intersecção das retas 2x 2 3y 2 1 5 0 e 3x 2 y 2 2 5 0 é:a) 2x 1 2y 1 7 5 0 c) 7x 2 7y 2 4 5 0 e) 22x 1 2y 2 5 5 0b) 5x 2 5y 1 1 5 0 d) 7x 1 7y 2 6 5 0
30 (UFSM-RS) Sejam r: x 1 qy 2 1 5 0 e s: px 1 5y 1 2 5 0 duas retas perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar que:
a pq
c pq
e p q
b pq
d p q
) ) )
) )
5 2 5 ? 5
5 ? 5 2
5 1 5
5 1
p. 25
Resolução:
tReta :y
Observando que
5 2 1 5 2x mt1 1
u t, temos:
m ( 1)m
Coordent u
⊥⇒ ⇒? 5 2 2 5 2 5m mu u1 1 1
aadas do ponto , intersecção das retas eP r .
2x 3y
3x y
Resolvendo o sistem
s
2 2 5
2 2 5
1 0
2 0
aa, temos x e y 17
, ou seja, P 57
,
E
5 557
17( ).
qquação da reta : y 17
7y 7x 5
7x
u 2 5 2
2 5 2
2
1 57
1
x( )77y 2 54 0
r u
t
s
P
Resolução:
m 1q
e m p5
Para as retas sere
r s5 2 5 2
mm perpendiculares:
m m 1q
p5r s? 5 2 2 2 5 21 1⇒
( )
pp5q
5q pq
5 2 5 2 5 21 5⇒ ⇒p
��
Em questões como a 32, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
32 (UEM-PR) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado.Sabe-se que a equação de r é 2y 5 x 2 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar:(01) O ponto A sobre o eixo x, intersecção de r e t, é (2, 0).
(02) O ponto é 0, 32
C ( ).(04) A distância entre r e s é 3.
(08) Os coeficientes angulares das retas r, e são, respectivamente, 12
, 12
es t 22.
(16) A equação da reta t é y 5 22x 1 6.(32) A equação da reta horizontal que passa por A é x 5 0.(64) A equação da reta vertical que passa por A é x 5 3.
O
BA
C
t
r
s
x
y
Resolução:
r: 2y m
Como as r
r5 2 5 2 5x y x3 12
32
12
⇒
eetas e são paralelas, temos m
A
rr s 5 5ms12
.
reta é perpendicular à reta .t r
m mr t? 5 21 ⇒ 112
1 2? 5 2 5 2m mt t⇒
(01) Falsa. A reta intercepta o eixo quar x nndo
y
3. Logo, A(3, 0).
(02) Verd
5
? 5 2 5
0
2 0 3
.
x x⇒aadeira. A reta intercepta o eixo quandr y oo
x
2
Então, 0,2
. Como o p
5
5 2 5 2
2
0
2 0 3 3
3
.
y y⇒
( ) oonto é simé-
trico de em relação ao eix
C
B oo das abscissas,
0,2
.
(04) Falsa. A reta
C 3( )tem coeficiente angular 1
2e
passa pelo
s
pponto C 0, 32
.
s: y 2y
( )2 5 2 2 1 53
212
0 3 0( )x x⇒
A distância do ponto B 0, 32
à reta é:
d
2( ) s
((B, s)( 2)
(08)
25
2 ? 2 1
1 25
5 5
0 2 32
3
1
65
6 55
2
( )
Verdaadeira
Verdadeira
.
.(16)Equação da reta :
y
t
2 00 65 2 2 5 2 12(x 3) 2x
(32)A equação da re
⇒ y
Falsa.tta horizontal que passa por
é y
(64)
A 5 0.
Verddadeira.São corretas as afirmativas 2, 8, 116 e 64,somando 90.
2 1 8 1 16 1 64 5 90
��
33 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x 2 y 1 3 5 0. Seja t a reta perpendicular a r, passando pelo ponto P(21, 5).a) Obter o ponto de intersecção da reta t com o eixo da abscissas.b) Qual o ponto da reta r mais próximo de P?
34 (UFSC) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A(4, 1), B(1, 1), C(4, 5) e a reta r representada pela equação x 1 y 2 2 5 0.Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
(01) O ponto médio do lado é o ponto de• •
BC M coordenadas 52
, 3( ).
(02) A distância do ponto C à origem do sistema de coordenadas cartesianas é de 6 unidades.(04) O ponto A pertence à reta r.(08) A reta s de equação 25x 1 5y 2 13 5 0 e a reta r são perpendiculares.(16) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y 2 1 5 0.
35
215
,( )Resolução:a) Cálculo do coeficiente angular da reta r
2x 2 y 1 3 5 0 ⇒ y 5 2x 1 3 mr 5 2
Cálculo do coeficiente angular da reta , pt eer-pendicular a
m m m
Equação da
r t t
r
? 5 2 5 21 12
⇒
reta , passando pelo ponto
P( 1, 5)
y
t
2
2 5 25 112
1 9 0( )x x1 1 2 5⇒ 2y
Para obtermos o ponto A de intersecção da reta t com o eixo das abscissas, devemos ter y 5 0.
x 1 2 ? 0 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 Portanto, A 5 (9, 0).
b) Seja o ponto de intersecção das retasM r e .Logo:
2x
x 2y
Resolvendo o
t
2 1 5
1 2 5
y 3 0
9 0
ssistema, temos M 35
,
O ponto da reta
5 215( ).
mais próximo de é
M 35
,
r P
5 215( ).
1 1 8 1 16 5 25
Resolução:(01) (1, 1); C (4, 5)
x
y
M
B 5 5
51
51 4
252
MM
M 52
, 3
Verdadeira.
(02) d(C,
51
5
51 5
23
( )
O )
Falsa.
(04) A (4, 1);
5 2 1 2 5
5
( ) ( )4 0 5 0 41 62 2
r: x
0
Falsa.
1 2 5
1 2 5
5
y 2 04 1 2 03
(08) s: 5x 5y
r:
2 1 2 5 5 1
5
1 2 5 5 2
13 0 135
12 0
⇒
⇒
y x
mx y y x
s
11
5 2
? 5 2
5
21
1mm m s
r
r s ⇔ ⊥r
Verdadeira.
(16) A (4, 1);; B (1, 1)
m
0(x0
Verdade
5
522
5
2 5 2
2 5
1 11 4
0
1 41
yy
)
iira.São corretas as afirmativas 1, 8 e 16,ssomando 25.
(9, 0)
��
35 (MACK-SP) Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC são A(0, 0), B(3, 6) e C(8, 0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) desse triângulo é:
a c e
b d
) ) )
) )
125
136
113
112
1312
36 (FGV-SP) O quadrado representado ao lado tem lados paralelos aos eixos x e y e sua diagonal AB está contida numa reta cuja equação é:a) y 5 x 2 1 c) y 5 x 1 3 e) y 5 3x 1 1b) y 5 2x 1 3 d) y 1 x 1 1
x
y
A
B
(�, 2�)
(2�, �)
Resolução:Considerando a representação gráfica do triângulo, temos:
O ponto O (encontro das alturas) tem abscissa 3, pois BH2 é uma altura do ABC. Sendo y sua ordenada, sabemos que o ortocentro é da forma (3, y). Sabendo que OC
←→ é perpendicular a AB
←→,
podemos afirmar que m mOC AB 1, logo:←→ ←→? 5 2
y y2
2?
2
25 2
2? 5 2
25 2
5
03 8
6 03 0
15
63
1 1
15
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
6y15
6y yy y5 5156
52
⇒
Sendo O 3, 52
, a soma dessas co( ) oordenadas será: 3 1 51
552
6 52
112
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x
1
2
3
4
5
6
7
y
H1
A
B
O
C
H2
H3
Resolução:Sabendo que as diagonais do quadrado são perpendiculares, o coeficiente angular da reta
AB será m4 ( 2)
1 5
←→5 2
2 22 2
5 2
2
5 22
51 166
11
1.
Sendo A(21, 22), a equação de AB será:
←→
y 2 (22) 5 1(x 2 (21)) ⇒ y 1 2 5 x 1 1 ⇒ y 5 x 2 1
��
37 (FGV-SP) No plano cartesiano, a reta de equação y 5 x 1 1 corta o lado AC do triângulo de vértices A(1, 7), B(1, 1) e C(10, 1), no ponto:a) (3, 4) c) (5, 6) e) (5,5; 4)
b) (4, 5) d) 1172
, 1172
1 1( )
38 (MACK-SP) A equação de uma reta, paralela à reta x 1 y 2 4 5 0 e distante 3 2 do ponto P(2, 1), é:a) x 1 y 1 3 5 0 c) x 1 y 2 3 5 0 e) x 1 y 2 12 5 0b) x 1 y 1 9 5 0 d) x 2 y 2 6 5 0
Resolução:
Sendo A(1, 7) e C(10, 1), mAC 521 7
110 16 2
25 2 5 2
2
9 3
A equação da reta AC será: y←→
77 2 1
21 2 0
5 2 2
2 5 2 1 1 2 5
33y 2x 2x 3y 23
O ponto p
( )x ⇒
⇒
rrocurado é a intersecção entre AC e a ret←→
aa y
2x
2x 2y
2x 3
5 1
2 1 5 ?
1 5
2 1 5
1
x
x y
y
1
1 2
3 23
2
:
( )
⇒yy
5y
O ponto procura
55 5
2 1 5 5
2325 5
5 1 4
⇒ ⇒
⇒
y
x x
ddo é (4, 5).
Resolução:Uma paralela à reta x 0 é da1 2 5y 4 fforma x 0.
Se a distância de P(2, 1) at
1 1 5y c
éé essa reta é 3 2 , então:2| |
|1 1
15
1
1 13 2 3
2 2
c⇒ 11 5 ? 1 5
1 51 5 5
1 5 2
c c
cc c
c
| | |3 2 2 3 6
63 6 3
3 6
⇒
⇒⇒
Se |3 |cc
y
5 2
1 2 5
9
4As paralelas à reta x 0, distantes 3 2 do ponto são x 0 e xP, 1 2 5 1 1 5y y9 3 0.
��
39 (Fuvest-SP) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.
40 (FGV-SP) Considere os pontos A(1, 22) e B(22, 4) e C(3, 3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:a) 2y 2 x 2 3 5 0 c) 2y 1 x 1 3 5 0 e) 2y 1 x 2 9 5 0b) y 2 2x 1 3 5 0 d) y 1 2x 1 9 5 0
22
Resolução:O enunciado remete à seguinte figuura:
O coeficiente angular da reta éy
s ms 5 AA
A
A
AXyx
.
Se considerarmos o OBC, tere
2
25
OO
mmos bc
o A A , então AOBC OAB OAC
m
Send
s 5
5 ?
.
3 55 ? 5
?
5?
22
2
A , como A
e A , e
OAB OAC
OAB
C X
b y
A
A nntão:C X
2b y
2by
m
A A A?5 ?
?5 ? 52 1
212
⇒ ⇒ ⇒CX
bc
yXA
A
A
ss ? 5 5 5 5m m m ms s s s12
12
12
222⇒ ⇒ ⇒
Resolução:
A altura do triângulo ABC pelo vérrtice é perpendicular a AB, logo:
AB
C←→
←m →→←→
⇒52 2
2 25
25 2 5 2 5 2
25
4 ( 2)
A
AB2 163
2 1 12
121m
m.
eequação da altura será: y 2y2 5 2 2 53 12
3 6( )x x⇒ 22
2 2 5
3
3 0
⇒
⇒ 2y x .
A
�
�
XA
XA
yA
x
yA
y
s
r
B(b, 0)
C(0, c)
O
��
41 (Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y 5 .1x
, x 0. As abscissas de
A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.a) Encontre as coordenadas do ponto D.b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.
42 (FGV-SP) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas equações paramétricas: x 5 t 1 1 e y 5 t 2 2, num ponto B, tal que AB 3 25 .
p. 26
Resolução:
A B Ca) Os pontos , e são, respectiivamente, 2, 12
, 3, 13
e 4, 14
. Send( ) ( ) ( ) oo a abscissa do ponto ,
esse ponto será
k D
dda forma k, 1k
, k
Se a reta que passa
( ) 0.
ppor e é paralela à reta que passa porA B CC De , então . Ou seja:AB CDm m←→ ←→5
213
12
3 225
2
2
2
5
2
22 5
2 2
22
1 144
2 361
4
4kk
k
k⇒ ⇒4k 1
6(k 4)
4k(k 44)32
O ponto tem coordenadas 3
⇒ ⇒2 5 2 54 6k k .
D22
, 23
b) Os pontos médios de AB e CD são,
( ).
respectivamente, 52
, 512
e 114
, 1124
.( ) ( )
AA reta que passa por esses pontos será:
x y 11
052
512
1
114
1124
1
5x12
11y4
5548
5548
11x
5
1 1 2 2
⇒
⇒224
5y2
10x 66y 11x 60y 024
6y
A
2 5
1 2 25 2 1 5
0
240
⇒
⇒ ⇒ x .
rreta 6y 0 passa pela origem.2 1 5x
x 1 y 2 7 5 0Resolução:
Sendo r: , temos:x t
y t
t x5 1
5 2
51
2
22
5 12 5 1 2 2 5
5 1
1
21 2 3 0
3t y
x y y
x y
⇒ ⇒ r: x
(I)
O pon
tto e e d 2. Logo: d (x )AB AB2B r 5 5 2 1 23 2 5 2( )y 55
2 1 2 5
3 2
2 5 182 2
⇒⇒ (x (y (II)
De I e II, vem: (
) )
yy ) (y y 2y y 10y2y
2 2 2 21 2 1 2 5 1 1 1 2 1 53 2 5 18 1 25 18) ⇒ ⇒⇒ 22 8y B(5, 2)
A reta que pas
2 1 5 5 5 1 58 0 2 2 3 5⇒ ⇒y x
ssa por A(2, 5) e B(5, 2) será:x y 1
2 5 1
5 2 1
05 ⇒ 55x 5y 2y 0 ( 3)1 1 2 2 2 5 1 2 5
1 2 5
4 25 2 0 3 3 21
7
x x y
x y
⇒ ⇒
⇒ 00.
��
43 (FGV-SP) Na figura ao lado, os ângulos OCA e AMN^ ^
são retos, o ângulo COA
^ mede 45°, e as medidas dos segmentos OC e MN são,
respectivamente, 2 cm e 5 cm.Escreva a equação da reta t, suporte do segmento MN.
P
MB
C
A ON
ty
x
44 (FGV-SP)A
E
CB
D
a) Os lados do triângulo ABC da figura acima medem:AB 28 cm, AC 21 cm e BC 35 cmUma pa
5 5 5
rralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos e , respectivamente.Dete
D E
rrmine a medida dos lados BD, DE, EC do trappézio BDEC, sabendo que o seu perímetro é 774 cm.b) Escreva a equação da reta que passaa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r ddada por suas equações paramé-
tricas: x t5 1 11 e y 2, num ponto , tal que AB5 2 5t B 3 2.
x y1 2 53 2 0
Resolução:
O triângulo ACO é retângulo e isóssceles. Se OC 2 cm, então
O tri
5 5 5AC OA cm2 2 .
âângulo AMN também é retângulo e isósceles. Se MN 5 cm, então NA 5 2 cm.
Se NA 5 2 e O
5 5 5
5
AM
AA 2 2 , então ON 5 2 2; logo, as coordena5 5 2 52 2 3 ddas de
serão 3 2 , 0A reta passa por
N
t N( ).
e tem inclinação de 135°.
Sendo N 3 2 , 0 e( ) m ° , a equação da reta será:
y
5 5 2
2
tg 135 1
0
t
55 2 2 5 2 1 1 2 51 x 3 2 3 2( ) ⇒ ⇒y x x y 3 2 0.
8 cm, 25 cm e 6 cm
x 1 y 2 7 5 0Resolução:a) Os triângulos ABC e ADE são semeelhantes, então:
ADAB
AEAC
DEBC
AD28
AE21
5 5 5 5x ⇒ 55 5
5
5
5
DE35
x
AD 28x
AE 21x
DE 35x
Com base ne
⇒
sssas igualdades, temos:BD 28xEC
5 2 5 2
5
AB ADA
28CC AE2 5 221 21x
Como o perímetro do trapézio BDEEC é 74 cm, teremos:BD 74 (28 28x1 1 1 5 2DE EC BC ⇒ )) 35x (21 21x)
14x 14x
1 1 2 1 5
2 5 2 5 2
35 74
84 74 10
⇒
⇒ ⇒ ⇒ x 55
5 2 ? 5 2 5
5 ?
57
28 28 57
28 20
35 5
Portanto: BD 8 cm
DE77
25
21 21 57
21 15
5
5 2 ? 5 2 5
cm
EC 6 cm
b) O item éb eexatamente o exercício 42 resolvido na págiina anterior.
�0
45 (MACK-SP) Na figura, a reta r encontra o gráfico de y 5 log3 x no ponto (9, b).
O valor de a 1 b é:
a c e
b d
) ) )
) )
2 74
29
12
12 2
b
y
x9
r
a
Resolução:rA reta intercepta o gráfico de yy x num ponto de abscissa 9 e num pont35 log oo de ordenada 0.
Assim, temos:x 935 5 59 2⇒ y log b
y x
5
5 5 5
2, e o ponto será (9, 2).
x3
0 0⇒ ⇒log 33 1, e o ponto será (1, 0).
A equação da r
0 5
eeta será: y 9y 2x 8yr
x y
x
1
9 2 1
1 0 1
0 2 2 05 1 2 2 5 2 2⇒ ⇒ 22 05 .
A reta intercepta o eixo no pontor y dde ordenada , ou seja:
2
a
? 2 ? 2 5 2 50 8 2 0 8 2a a a⇒ ⇒ 55 2
1 2 1 52 1
5
14
1 2 1 8 74
.
.O valor de a b é4 4
��
46 (FGV-SP) Seja r a reta 4x 1 7y 2 56 5 0 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem O(0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo OAC.a) Encontre a equação da reta s.b) Determine as coordenadas do ponto C.
y
x
8
14 r
s
C
A
B
O
mx
x
Resolução:
sa) A reta é da forma y mx. Saben5 ddo que AA
2e com base na figura tOCB
OAC
5 eemos:
A
A
OCB
OAC
5?
5
5?
5 ?
142
7
82
4
| | | | | |
| |
mx m x
x || || | | | | | | |
xm x x m
m
m
D
⇒ ⇒7 42
27
27
27
? ? 5 5 5
5
5 2
ees y xse modo, a reta será y x ou
b
s 5 5 227
27
.
)) O ponto é a intersecção entre as retasC rr se .
Se s: y x, temos:4x
51 2 5
5
27
7 56 0
27
y
y x
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
4x
4x 2x
1 ? 2 5
1 5 5 5 5
7 27
56 0
56 6 56 566
2
x
x x 883
27
283
83
27
7 56
y
y
5 ? 5
5 21 2
Se s: y x, temos:4x 55
5 2 1 2 2 5
2 5
0
27
7 27
56 0
56
y xx
( )⇒ ⇒
⇒ ⇒
4x
4x 2x 2x 55 5
5 2 ? 5 2
56 28
27
28 8
⇒ x
y
O ponto terá coordenaC ddas 283
, 83
ou (28, 8).( ) 2
y 27
x ou y5 5 2 27
x283
, 83
ou (28, )( ) 28
��
47 (Fuvest-SP) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x 1 y 5 4. Determine seus vértices sabendo que um deles é o ponto (1, 1).
48 (FGV-SP) Dado o ponto P(2, 3), determine o ponto simétrico de P com relação à reta y 5 x 2 3.
(1, 3), (3, 3), (1, 1) e (3, 1)
(6, 21)
Resolução:
Diagonal :
y
m2
• •
AD
x m
m
5 2 1 5 2
5 2
4 1
11
1
⇒
⇒ mm
AD x
2
2 2
1
1 2 1 2
5
5 2 1 2 5
2 1
d(C, M) (2
A A(x,
) ( )• •
44
2 42
) e M(2, 2)
d (A, M) d (C, M)2 25 2 1 2 1⇒ ( ) (x x 22 5 2 1 5
5 5 5 5
2 2 4 3 0
1 3 3 1
2)
A(1, 3)
2 2( ) ⇒⇒ ⇒
x x
x y x y DD(3, 1)
Logo, A(1, 3), B(3, 3), C(1, 1) e D((3, 1)
Diagonal :
y
y
y
x
• •
( )
BC
x y x
x
x
2 5 2 2 5
5 2 1
5
1 1 1 0
4
⇒
⇒
55
5
51
5
51
5
2
2
2 1 3
2 1 3
yM(2, 2)
x2
y2
⇒
⇒
x
yBB(3, 3)
B
M
A
DC(1, 1)
Resolução:sCálculo de m : Equação da reta :r
y 55 2 5 2 5 2 2
1 2 5
x m yx y
m
r3 1 3 25 0
1(xCálculo de m :s
)
rr s
s
mm? 5 2
? 5 2 5 2
11 1 1 m
Ponto , intersecção d
s
M aas retas e : e y
L
r sy x
x yx
5 2
1 2 55 5
3
5 04 1⇒
oogo, M(4, 1).Cálculo das coordenadas de P•
51
Como é ponto médio de , temos:
xM
M• •
PPxP xx x
xy y yPP P
P MP P6 e y
5
15 5
15
1
24
22 2
13
2⇒ ⇒ ⇒ ⇒ yyP
Logo, P (6, ).
5 2
2
1
1
P(2, 3)
P�
M r
s
��
50 (Fatec-SP) Sejam 3x 2 4y 1 10 5 0 e 6x 2 8y 1 15 5 0 as equações das retas suporte das bases de um trapézio. Determine a altura desse trapézio.
49 (UFPI) Há dois pontos sobre a reta y 5 2 que distam 4 unidades da reta 12y 5 5x 1 2. A soma das abscissas desses pontos é:
a c e
b d
) ) )
) )
445
6 435
2 425
2
51 (PUC-MG) Na figura, a reta que passa pelos pontos C(2, 0) e M(0, 3) intercepta a reta que passa pelos pontos B(21, 0) e N(0, 1) no ponto A, formando com o eixo das abscissas o triângulo de vértices A, B e C. A medida da altura do ABC, relativa ao vértice A, é:a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1
M
N
A
BC
O x
y
Resolução:Seja A(a, 2) um ponto que dista 4 unidades da reta , 12y
d(A, r) 5r 5 1
5
5 2
4
x .|⇒ aa 5a
Resolvendo
2 ? 1
1 25 2 5
12 2 2
5 124 22 52
2 2
|
( )| |⇒
aa equação modular: 5a ou 5a2 5 5 222 52 745
22⇒ a 55 2 5 2
1 2 5
52 6
6 745
⇒ a .
( )Soma das abscissas: 745
22 56 445
12
Resolução:
x y
h
5 ? 2 1 5 5
5?
0 3 0 10 0 52
0
⇒ ⇒ ⇒4y 0, 52
6
( )11 2 ? 1
1 25
( )
( )
8 52
15
6 8122 2
⇒ h
Resolução:
Equação da reta CM:←→
x y 1
2 0 1
0 3 1
5 00 3 6 0
1
1 0 1
0
⇒
←→
x
x y
1 2 5
2
2y
Equação da reta BN :
11 1
0 1 05 2 1 5
1 5
⇒ x y
Coordenadas do ponto :3x 2y
A66
x y 1
Resolvendo o sistema, obtemos x
2 5 2
5
445
95
e y
Logo, A 45
, 95
e a medida da al
5 .
( ) ttura do ABC relativa ao vértice é y A 5 595
11,8.
��
52 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere os pontos A(1, 3) e B(25, 4). Considere também a reta r de equação 2x 1 3y 5 7.a) Obtenha a equação da reta s que é paralela a r e que passa por A.b) Obtenha a equação da reta t que é perpendicular a r e que passa por A.c) Seja P o ponto onde a reta r intercepta o eixo x. Obtenha a distância de P a B.d) Obtenha a distância do ponto B à reta r.
53 (UEMA) Seja H a área limitada pelas retas 3y 1 2x 5 0, y 2 x 1 5 5 0 e pelo eixo y. Identifique a área H em um sistema de eixo cartesiano e calcule o seu valor.
2x 1 3y 2 11 5 03x 2 2y 1 3 5 0
35325 13
13
Resolução:
rO coeficiente angular da reta é 23
O coeficiente angular da reta é
2
2
.
)a s 223
Como a reta passa pelo ponto A(1, 3),
.
s uma de suas equações é y 1), ou s2 5 2 23 23
(x eeja,
2x 3y
O coeficiente angular da r
1 2 511 0
b) eeta é 32
Como a reta passa pelo ponto
t
t
.
AA(1, 3), uma de suas equações é y 12 5 23 32
(x )), ou seja,
3x 2y
c) Como y 0 na equação
2 1 5
5
3 0.
de , temos x
Logo, P 72
, 0
A distânc
r 5 72
.
.( )iia pedida é , ou seja, 353
272
5 4 02
21 1 2( ) ( ) .
dd) A distância do ponto à reta é |B r 2 5? 2( )) .1 ? 2
1
3 4 72 3 132 2
| , ou seja, 5 13
152
Resolução:Sejam as retas r: 3y 2x 0 e s: y1 5 2 xx
x
y
1 5
1 5
5 0
2 0
.
Resolvendo o sistema, temos:3y
22 1 5
5 5 2 2
xx
5 02
3 e y 2, logo P(3, )
Cálculo dda área do triângulo OAP:
S 1
3 1
5 ? 2
2
512
0 0 1
0 5
2
112
15 152
| | 5(0, �5)
(0, 0)
y
A
P
xO
s
r
��
55 (UFPel-RS) A área de um triângulo é 12 cm2. Dois de seus vértices são (21, 22) e (2, 3).Sabendo-se que o terceiro vértice está sobre a reta 2x 1 y 5 2, calcule as coordenadas desse vértice.
54 (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm coordenadas (21, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N são os pontos médios de AB e BC, respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a:
a ua b ua c d ua) . . ) . . ) . ) . .53
85
32
1 u.a
3111
4011
1711
5611
, ,2 2( ) ( )ou
Resolução:
M N• Cálculo dos pontos e , pontos médios dos lados AB e BC.
X2
e YM 52 1
5 21 02
1MM
N N
2, 2
X e Y N(
51
5 2
51
5 51
5
0 42
2 1
0 22
1 4 02
2
M( )11, 2)
• Cálculo da área do triângulo OMN:
S 5 122
0 0 1
12
3 32
? 2 5 2 512
2 1
1 2 1
| |
Resolução:
r: 2x 2xC(x, 2x ) é um
1 5 5 2 1
2 1
y y2 22
⇒ponto qualquer da reta .r
S D
D
ABC5 ?
5
12
2
| |
44
2 2 1
7
7 24 1711
D
x x
x
5
2 1
2 2 5 2 1
2 1 5 5 2
1 2 1
2 3 1
11x
11x ⇒ e y C 1711
, 5611
11x
5 2
2 1 5 2 5
5611
7 24 311
( )ou
x⇒11
4011
e y C 3111
, 4011
5 2 2( )
y
xCOA
M N
B
x
C
�2
2
B
A
�1
y
r
0
3
��
56 (Fuvest-SP) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r: y 5 5x 2 13, e um de seus catetos está contido na reta s: y 5 x 2 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine:a) todos os vértices do triângulo;b) a área do triângulo.
Resolução:
a) A(k, 5) sEntão: A(6,
⇔ ⇔5 1 65 2 5k k55)
(r) y 5x
(s) y x3 e y C(3, 2)
(
5 2
5 25 5
13
12
⇔ x
mm 1 e t s)A(6, 5) t e 1(x
s 5 5 2
5 2 2 5 2 2
⊥ ⇒⇔
mm y
t
t
11 5 6 ) ⇔⇔
⇔ ⇔
y x
x
5 2 1
5 2 1
5 25 5
1111
137
(t) y x
(r) y 5x4 e y
BB(4, 7)
6 5 1
3 2 1
4 7 1
6 u.ab A ABC) | |
5 ? 5 ? 2 512
12
12 ..
(6, 5), (4, 7) e (3, 2)6
C
A(k; 5)s
y � x � 1
B t
r
y � 5x � 13