retas geometria analitica
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retas geometria analiticaTRANSCRIPT
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3.1.1 - Objetivos
Site: AVA - Moodle UTFPRCurso: GAAL - Cmpus CTLivro: 3.1 - RetasImpresso por: ALAN ROBERTO RIBEIROData: sexta, 12 junho 2015, 22:07
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3.1.1 - Objetivos
3.1.2 - Introduo
3.1.3 - Equao Vetorial da Reta
3.1.4 - Equaes paramtricas da reta
3.1.5 - Reta definida por dois pontos
3.1.6 - Equaes simtricas da reta
3.1.7 - Equaes reduzidas da reta
3.1.8 - Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados
3.1.9 - ngulo entre duas retas
3.1.10 - Condio de paralelismo de duas retas
3.1.11 - Condio de ortogonalidade de duas retas
3.1.12 - Condio de coplanaridade de duas retas
3.1.13 - Posies relativas de duas retas
3.1.14 - Interseo de duas retas
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Identificar as diferentes formas de representar uma reta, atravs de suas equaes;Determinar pontos da reta;Verificar se as retas so: ortogonais, perpendiculares, coplanares, concorrentes e reversas;Determinar ngulo entre retas.
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No primeiro momento, veremos o estudo da reta, nesse percorreremos o estudo de suas equaes e ngulo entreduas retas.
Estes podem ser representados geometricamente como segmentos de reta orientados ou como flechas nosespaos bi e tridimensional. A direo e o sentido da flecha especificam a direo e o sentido do vetor e ocomprimento descreve sua magnitude.
Denotamos vetores por .
, onde A o ponto de origem do segmento orientado e B o extremo final ou extremidade.
Um mesmo vetor determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantesdesse vetor, todos equivalentes entre si. Dois vetores so ditos equivalentes, se tiverem o mesmo comprimento,mesma direo e sentido.
Quando nos referimos ao estudo da reta estamos familiarizados com a equao de uma reta no plano cartesiano.
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Agora, consideraremos retas em R2 do ponto de vista vetorial. A habilidade de visualizar esses elementos epensar em um problema do ponto de vista geomtrico ser de grande valia.
Para iniciarmos o estudo veremos como obter a equao de uma reta na sua forma vetorial.
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Consideramos um ponto A (x1, y1, z1) e um vetor no nulo . S existe uma reta r que passa
pelo ponto A e tem a direo de . Um ponto P(x, y, z) pertence reta r se, e somente se, o vetor paralelo a , como podemos observar na FIGURA 1:
Figura1: Representao do vetor no sistema cartesiano.
Isto , (o vetor paralelo ao vetor v), para algum real t.
Assim ou , ou em coordenadas:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c)
Esta a equao vetorial da reta.
O vetor chamado vetor diretor da reta e t denominado parmetro.
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Exemplo 1: Escreva a equao vetorial da reta r que passa por A(-1,2,3) e tem a direo de
Soluo: A equao vetorial descrita por: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c),
substituindo o ponto A(-1,2,3) e o vetor diretor, temos:
r: (x,y,z) = (-1,2,3) + t.(2,3,2), onde (x,y,z) representa um ponto qualquer de r.
OBSERVAES: 1. Se desejarmos obter pontos de basta atribuir valores para t.
Por exemplo: Para t=1, obtemos:
(x,y,z) = (-1,2,3) + 1.(2,3,2), efetuando a multiplicao por escalar obtemos:
(x,y,z) = (-1,2,3 )+(2,3,2), da soma de vetores tem-se o ponto:
(x,y,z) = (1,5,5).
Portanto P1(1,5,5)
De forma anloga, obtemos os demais pontos.
Para t=2, obtm-se: P2(3,8,7)
Para t=3, obtm-se: P3(5,11,9)
Para t=0, obtm-se o prprio ponto A(-1,2, 3), e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremostodos os infinitos pontos da reta.
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2. Vimos que a cada real t corresponde um ponto . A recproca tambm verdadeira, isto , a cada corresponde um numero real t.
Por exemplo, sabe-se que o ponto P(-3,-1,1) pertence reta.
r: (x,y,z) = (-1,2,3) + t(2,3,2) , equao vetorial da reta r que passa pelo ponto (-1,2,3) e tem como vetordiretor (2,3,2), portanto verdadeira a afirmao:
(-3,-1,1) = (-1,2,3)+t(2,3,2), para algum real t.
Desta igualdade vem: (-2,-3,-2)=t(2,3,2) e, da igualdade temos que t = -1.
3. A equao vetorial de r, no nica, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro qualquervetor no nulo que seja mltiplo de .
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Sejam um sistema de coordenadas, P(x, y, z) um ponto genrico e A(x1, y1, z1) e um ponto dada
reta r, e um vetor de mesma direo de r.
Da equao vetorial da reta ou
, vem:
(Equaes paramtricas da reta)
onde, a, b, c no so todos nulos
Exemplo 2: Descreva as equaes paramtricas da reta r que passa pelo ponto A(-2,3,2) e paralela ao vetor
Soluo:
Vamos obter a equao paramtrica da reta , substituindo o ponto A nos valores (x1, y1, z1) e as coordenadasdo vetor diretor em (a, b, c).
De acordo com as equaes obtidas anteriormente, as equaes paramtricas sero descritas como
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A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) uma reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem amesma direo do vetor:
Exemplo 3: Escrever equaes paramtricas da reta r que passa por A(-2,-1,3) e B(4,1,7).
Soluo:
Para expressar a equao, precisamos de um ponto e um vetor diretor.
Assim vamos escolher o ponto A e o vetor , tem-se:
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A partir das equaes paramtricas da reta:
Supondo que abc 0, temos:
Assim,
(Equaes simtricas da reta)
Pois para cada ponto da reta corresponde um s valor para t.
A equao simtrica da reta passa pelo ponto A(x1, y1, z1) e tem a direo do vetor .
Exemplo 4: Represente a reta que passa pelo ponto A(-3,0,5) e tem a direo do vetor atravs de suas equaes simtricas.
Soluo:
Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variveis. Porexemplo, para x=3, tem-se:
, resolvendo as equaes encontramos y=-6 e z=2, logo o ponto (3,-6,-2) pertence a reta.
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Partindo das equaes simtricas da reta, isolando as variveis y e z e expressando-as em funo de x, temos:
(Equaes reduzidas da reta)
onde,
Observaes:
Nas equaes reduzidas, a varivel x figura como varivel independente. Se expressarmos as equaes de formaque a varivel independente seja y ou z,
ainda assim as equaes so chamadas equaes reduzidas. Das equaes reduzidas pode-seobter:
Comparando estas equaes com as equaes simtricas da reta:
Verifica-se que as equaes reduzidas representam a reta que passa pelo ponto N (0, n, q) e tem a direo do
vetor
Exemplo 5: Considere a reta r definida pelo ponto A(1,-2,-3) e pelo vetor diretor e expressapelas equaes simtricas:
Soluo:
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A partir destas equaes pode-se expressar duas variveis em funo da terceira.
Isolando, primeiramente, as variveis y e z e expressando-as em funo de x, obtm-se:
Estas duas ltimas equaes so equaes reduzidas da reta r, na varivel x.
At o momento, estudamos as formas de representar uma reta atravs de suas diferentes equaes.
Na sequncia dos estudos de retas veremos:
retas paralelas aos planos e eixos coordenados, ngulo entre duas retas, retas ortogonais e interseco de
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duas retas.
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As equaes:
ou as equaes:
representam uma reta r determinada por um ponto A(x1, y1, z1) e por um vetor diretor
Uma ou duas destas componentes podem ser nulas. Assim temos dois casos a considerar:
a) Uma s componente de nula.
Neste caso, o vetor ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r paralela ao plano dosoutros eixos. Assim:
(1) Se a = 0, Ox r // yOz
As equaes de r ficam:
nas quais se verifica que, das coordenadas (x, y, z) de um ponto genrico P da reta r, variam somente y e z,conservando-se x = x1 constante.
Isto significa que a reta r acha um plano coordenado yOz. (Figura 2)
Figura 2: Representao da reta paralela a yOz.
(2) Se b = 0, Oy r // xOz
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As equaes de r ficam:
das coordenadas (x, y, z) de um ponto genrico P da reta r, variam somente x e z, conservando-se y = y1constante.
Isto significa que a reta r acha um plano coordenado xOz. (Figura 3)
Figura 3: Representao da reta paralela a xOz.
(3) Se c = 0, Oz r // xOy
As equaes de r ficam:
das coordenadas (x, y, z) de um ponto genrico P da reta r, variam somente x e y, conservando-se z=z1constante.
Isto significa que a reta r acha um plano coordenado xOy. (Figura 4)
Figura 4: Representao da reta paralela a xOy.
b) Duas componentes de so nulas.
Neste caso, o vetor tem a direo de um dos vetores = (1, 0, 0) ou = (0, 1, 0) ou = (0, 0, 1) e, portanto,
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a reta r paralela ao eixo que tem a direo de ou de ou de . Assim:
(1) Se a = b = 0, // r // Oz
As equaes de r ficam:
Costuma-se dizer, simplesmente, que as equaes da reta r so:
subentendendo-se z varivel.
Figura 5: Representao da reta paralela Oz.
(2) Se a = c = 0, // r // Oy
As equaes de r ficam:
ou simplesmente:
subentendendo-se y varivel.
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Figura 6: Representao da reta paralela Oy.
(3) Se b = c = 0, // r // Ox
As equaes de r ficam:
ou simplesmente:
subentendendo-se x varivel.
Figura 7: Representao da reta paralela Ox.
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Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A1(x1, y1, z1) e tem a direo de um vetor = (a1, b1, c1), e
r2, que passa pelo ponto A2(x2, y2, z2) e tem a direo de um vetor = (a2, b2, c2).
Chama-se ngulo de duas retas r1 e r2, o menor ngulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2.
Sendo este ngulo, tem-se:
, com
Figura 8: Representao de ngulo entre duas retas.
ou, em coordenadas:
Exemplo 6: Calcular o ngulo entre as retas
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e
Soluo:
Os vetores que definem as direes das retas r1 e r2 so, respectivamente, = (1,-2,1) e = (0,3,-3),utilizando a formula
Logo,
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A condio de paralelismo das retas r1 e r2 a mesma dos vetores = (a1, b1, c1) e = (a2, b2, c2),
que define as direes dessas retas, isto : ,
ou seja, podemos escrever um vetor como mltiplo de outro, ou: .
Exemplo 7: A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) paralela reta determinada por C(3,-1,-1) eD(0,y,z). Determine o ponto D.
Soluo:
Vamos considerar a reta r1 dada por e a direo de r2 dada por
.
A condio de paralelismo de duas retas dada por , e neste caso:
resolvendo as equaes, obteremos os valores de y e z do ponto D, assim y= 1 e z=0.
Portanto o ponto D(0,1,0).
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A condio de ortogonalidade das retas r1 e r2 a mesma dos vetores = (a1, b1, c1) e = (a2, b2, c2),
que define as direes dessas retas, isto : (Produto escalar entre os vetores igual zero)
ou: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
Observaes:
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou no. Para ilustramos melhor esse caso observe a Figura 9, asretas r1 e r2 so ortogonais a r.
Porm, r2 e r so concorrentes. Neste caso, diz-se que so perpendiculares.
Figura 9: Representao de retas perpendiculares e ortogonais
Exemplo 8: Verifique se as retas, so ortogonais:
e
Soluo:
Sendo = (1,-2,4) e = (-2, 1, 1) os vetores diretores de r1 e r2 vamos verificar o produto escalar entre osvetores diretores:
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= 1.(-2)+(-2).2+4.1=0, logo as retas r1 e r2 so ortogonais.
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A reta r1, que passa por um ponto A1(x1, y1, z1) e tem a direo de um vetor = (a1, b1, c1), e a reta r2,
que passa por um ponto A2(x2, y2, z2) e tem a direo de um vetor = (a2, b2, c2) so coplanares se
os vetores , e forem coplanares, isto , se for nulo o produto misto .
.
Figura 10: Representao de duas retas coplanares.
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Posies relativas de duas retas r1 e r2, no espao, podem ser:
a) Coplanares, isto , situadas no mesmo plano. Nesse caso as retas podero ser:
1) Concorrentes: r1 r2 = { I }
Figura 11: Representao de retas concorrentes.
Ou seja, existe um ponto em comum entre essas duas retas, denominado de interseco. Trataremos dainterseo de duas retas na sequncia
2) Paralelas: r1 r2 =
Figura 12: Representao de retas paralelas.
Ou seja, as duas retas no possuem interseco.
b) Reversas, isto , no situadas no mesmo plano. Nesse caso r1 r2 = .
Figura 13: Representao de retas reversas.
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Ou seja, no existe um plano que as contenha.
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Duas retas r1 e r2 coplanares e no paralelas so concorrentes.
Antes de qualquer coisa vale ressaltar que:
Se existe um ponto I(x,y,z) comum s duas retas, suas coordenadas, verificam todas as equaes de r1 e r2,
isto , o ponto I soluo nica do sistema formado pelas equaes das duas retas.
Exemplo 9: Verificar se as retas so concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseo.
a) e
Soluo:
Igualando as expresses em y e z nas equaes de r1 e r2, tem-se:
ou , logo x = 1.
Substituindo nas equaes r1, obtemos:
y=3.1-1=2
z=2.1+1=3
ao substituirmos em r2 obtemos os mesmos valores, ou seja, o mesmo ponto.
Assim, o ponto de interseco I(1, 2, 3).
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b) e
Soluo:
Substituindo x, y e z das equaes de r1 nas equaes de r2, resulta o sistema:
Da primeira equao obtemos t=-7 e da segunda t=-2, dessa forma o sistema no tem soluo, no existeponto de interseco,
isto , as retas r1 e r2 no so concorrentes.
c) e
Soluo:
Observando que = (1, -3, 2) e = (2, -6, 4) so vetores diretores de r1 e r2, respectivamente, e que
,
conclui-se que as retas so paralelas e no coincidentes.
Basta ver que o ponto A(0,2,-5) r1 e A no pertence a r2.
Pode-se tambm resolver o sistema formado por r1 e r2, e este sistema no ter soluo.
Teste resolvendo este sistema, s para provar.
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