m103 linearna algebra 1 - odjel za matematiku · 2016. 3. 23. · m103 linearna algebra 1 tema:...

M103 Linearna algebra 1

Tema: Matrice. Linearna zavisnost i nezavisnost.

22. 3. 2016.

predavač: Darija Marković asistent: Ivan Soldo

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Matrice Linearna zavisnost i nezavisnost

1 Matrice

2 Linearna zavisnost i nezavisnost

M103 Linearna algebra 1 Matrice. Linearna zavisnost i nezavisnost. 2/13

PropozicijaZa množenje matrica vrijedi

(1) A(B + C) = AB +AC , ∀A ∈Mmn,∀B,C ∈Mnp;(2) (A+B)C = AC +BC , ∀A,B ∈Mmn,∀C ∈Mnp;(3) (αA)B = A(αB) = α(AB), ∀α ∈ F,∀A ∈Mmn, ∀B ∈Mnp;(4) (AB)C = A(BC), ∀A ∈Mmn,∀B ∈Mnp,∀C ∈Mpr;(5) IA = A, AI = A, ∀A ∈Mmn.

• potencije kvadratne matrice A se definiraju induktivno

A0 = I, Ar+1 = AAr za r ≥ 0.

• lako se pokaže da vrijedi

ApAq = AqAp = Ap+q za sve nenegativne cijele brojeve p i q

• ako je A 6= 0 i Ak = 0 za neko k ∈ N, tada se A naziva nilpotentnamatrica

A0 = I, Ar+1 = AAr za r ≥ 0.

Definicija

Neka je A ∈Mmn(F). Matrica AT ∈Mnm(F) se naziva transponiranamatrica matrice A ako vrijedi

aTij = aji, za sve 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

PropozicijaOperacija transponiranja ima sljedeća svojstva

(1) (AT )T = A, ∀A ∈Mmn(F);(2) (A+B)T = AT +BT , ∀A,B ∈Mmn(F);(3) (αA)T = αAT , ∀α ∈ F,∀A ∈Mmn(F);(4) (AB)T = BTAT , ∀A ∈Mmn(F),∀B ∈Mnp(F).

Definicija

Neka je A ∈Mmn(F). Matrica AT ∈Mnm(F) se naziva transponiranamatrica matrice A ako vrijedi

aTij = aji, za sve 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

PropozicijaOperacija transponiranja ima sljedeća svojstva

(1) (AT )T = A, ∀A ∈Mmn(F);(2) (A+B)T = AT +BT , ∀A,B ∈Mmn(F);(3) (αA)T = αAT , ∀α ∈ F,∀A ∈Mmn(F);(4) (AB)T = BTAT , ∀A ∈Mmn(F),∀B ∈Mnp(F).

• Matrica A je simetrična ako je AT = A.• Matrica A je antisimetrična ako je AT = −A.• Matrica Q je ortogonalna ako je QTQ = QQT = I .

Definicija

Neka je A ∈Mmn(F). Matrica A∗ ∈Mnm(F) se naziva hermitskiadjungirana (kompleksno transponirana) matrica matrice A ako vrijedi

a∗ij = aji, za sve 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

PropozicijaOperacija hermitskog adjungiranja ima sljedeća svojstva

(1) (A∗)∗ = A, ∀A ∈Mmn(F);(2) (A+B)∗ = A∗ +B∗, ∀A,B ∈Mmn(F);(3) (αA)∗ = αA∗, ∀α ∈ F,∀A ∈Mmn(F);(4) (AB)∗ = B∗A∗, ∀A ∈Mmn(F), ∀B ∈Mnp(F).

Definicija

Neka je A ∈Mmn(F). Matrica A∗ ∈Mnm(F) se naziva hermitskiadjungirana (kompleksno transponirana) matrica matrice A ako vrijedi

a∗ij = aji, za sve 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

PropozicijaOperacija hermitskog adjungiranja ima sljedeća svojstva

(1) (A∗)∗ = A, ∀A ∈Mmn(F);(2) (A+B)∗ = A∗ +B∗, ∀A,B ∈Mmn(F);(3) (αA)∗ = αA∗, ∀α ∈ F,∀A ∈Mmn(F);(4) (AB)∗ = B∗A∗, ∀A ∈Mmn(F), ∀B ∈Mnp(F).

• Matrica A je hermitska ako je A∗ = A.• Matrica A je antihermitska ako je A∗ = −A.• Matrica U je unitarna ako je U∗U = UU∗ = I .• Matrica N je normalna ako je N∗N = NN∗.

Elementarne matrice

Definicija

Neka je n ∈ N. Elementarne matrice n−tog reda su (elementi koji nisueksplicitno navedeni jednaki su nula)

Elementarne matrice

1 Matrice

2 Linearna zavisnost i nezavisnost

• neka su ai ∈Mn1(F) za i = 1, . . . ,m

Skup vektora {a1, a2, . . . , am} je linearno zavisan ako postoje skalariλ1, λ2, . . . , λm, od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je (izraz slijeve strane jednakosti zovemo linearnom kombinacijom vektoraa1, a2, . . . , am)

m∑i=1

λiai = 0.

U suprotnom kažemo da je gornji skup vektora linearno nezavisan.

Teorem

Ako su vektori a1, . . . , am ∈Mn1(F) linearno nezavisni, tada niti jedanod njih ne može biti jednak 0.

m∑i=1

λiai = 0.

Teorem

m∑i=1

λiai = 0.

Teorem

TeoremSljedeće su tvrdnje ekvivalentne:

(a) {a1, . . . , am} je linearno zavisan skup.(b) Barem jedan od gornjih vektora se može prikazati kao linearna

kombinacija ostalih.

MatriceLinearna zavisnost i nezavisnost

m103 linearna algebra 1 - odjel za matematiku · 2016. 3. 23. · m103 linearna algebra 1 tema:...

Documents