m103 linearna algebra 1 · m103 linearna algebra 1 tema: egzistencija i jedinstvenost rjesenja....
TRANSCRIPT
M103 Linearna algebra 1
Tema: Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice.
15. 3. 2016.
predavac: Darija Markovic asistent: Ivan Soldo
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja
2 Matrice
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 2/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Egzistencija i jedinstvenost rjesenjaLinearni sustav je konzistentan ako i samo ako najdesniji stupac prosirenematrice nije stozerni stupac, tj. ako i samo ako gornje stepenasti oblikprosirene matrice ne sadrzi redak oblika[
0 . . . 0 b]
gdje je b 6= 0.
Ako je linearni sustav konzistentan tada skup rjesenja sadrzi ili
(i) jedinstveno rjesenje, kada nema slobodnih varijabli;
(ii) beskonacno mnogo rjesenja, kada ima barem jednu slobodnuvarijablu.
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 3/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja
2 Matrice
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 4/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
• za prirodne brojeve m i n, preslikavanje
A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} → F
naziva se matrica tipa (m,n) s koeficijentima iz F
A = [aij ] =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
• skup svih matrica s m redaka i n stupaca s koeficijentima iz polja F
oznacavamo sMmn(F). Ako je m = n pisemo kraceMn(F), aelemente tog skupa zovemo kvadratnim matricama reda n
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 5/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
• za prirodne brojeve m i n, preslikavanje
A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} → F
naziva se matrica tipa (m,n) s koeficijentima iz F
A = [aij ] =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
• skup svih matrica s m redaka i n stupaca s koeficijentima iz polja F
oznacavamo sMmn(F). Ako je m = n pisemo kraceMn(F), aelemente tog skupa zovemo kvadratnim matricama reda n
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 5/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
• za prirodne brojeve m i n, preslikavanje
A : {1, . . . ,m} × {1, . . . , n} → F
naziva se matrica tipa (m,n) s koeficijentima iz F
A = [aij ] =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
...am1 am2 · · · amn
• skup svih matrica s m redaka i n stupaca s koeficijentima iz polja F
oznacavamo sMmn(F). Ako je m = n pisemo kraceMn(F), aelemente tog skupa zovemo kvadratnim matricama reda n
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 5/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Definicija
Matrica A ∈Mmn(F) jednaka je matrici B ∈Mpq(F) ako vrijedim = p, n = q i
aij = bij , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
U tom slucaju pisemoA = B.
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mpq(F). Ako je m = p i n = q, ondamatricu C ∈Mmn(F) s elementima
cij = aij + bij , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
nazivamo zbrojem ili sumom matrica A i B i pisemo
C = A+B.
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 6/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Definicija
Matrica A ∈Mmn(F) jednaka je matrici B ∈Mpq(F) ako vrijedim = p, n = q i
aij = bij , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
U tom slucaju pisemoA = B.
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mpq(F). Ako je m = p i n = q, ondamatricu C ∈Mmn(F) s elementima
cij = aij + bij , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
nazivamo zbrojem ili sumom matrica A i B i pisemo
C = A+B.
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 6/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
(S1) A+ (B + C) = (A+B) + C , ∀A,B,C ∈Mmn(F)(S2) Postoji matrica 0 ∈Mmn(F) (neutralni element) sa svojstvom da je
A+ 0 = 0 +A = A za svaku matricu A ∈Mmn(F). Svi elementimatrice 0 jednaki su nuli.
(S3) Za svaki A ∈Mmn(F) postoji jedna i samo jedna matrica kojuoznacavamo s −A (inverzni element), takva da vrijediA+ (−A) = −A+A = 0. Ako je A = [aij ], onda je−A = [−aij ].
(S4) A+B = B +A , ∀A,B ∈Mmn(F)
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 7/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Definicija
Ako je A ∈Mmn(F) i λ ∈ F, matricu B ∈Mmn(F) s elementima
bij = λaij , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
nazivamo umnozak ili produkt matrice A sa skalarom λ i pisemo
B = λA.
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 8/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
(M1) λ(A+B) = λA+ λB, ∀λ ∈ F, ∀A,B ∈Mmn(F)(M2) (λ+ µ)A = λA+ µA, ∀λ, µ ∈ F,∀A ∈Mmn(F)(M3) (λµ)A = λ(µA), ∀λ, µ ∈ F, ∀A ∈Mmn(F)(M4) 1A = A , ∀A ∈Mmn(F)
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 9/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mrs(F). Kazemo da su matrice A i Bulancane ako je n = r.
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mnp(F). Umnozak ili produkt matrica A iB je matrica
C = A ·B ∈Mmp(F)
ciji elementi su odredeni formulom
cij =n∑
k=1
aikbkj , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.
Mnozenje matrica opcenito nije komutativno!!!
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 10/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mrs(F). Kazemo da su matrice A i Bulancane ako je n = r.
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mnp(F). Umnozak ili produkt matrica A iB je matrica
C = A ·B ∈Mmp(F)
ciji elementi su odredeni formulom
cij =n∑
k=1
aikbkj , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.
Mnozenje matrica opcenito nije komutativno!!!
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 10/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mrs(F). Kazemo da su matrice A i Bulancane ako je n = r.
Definicija
Neka je A ∈Mmn(F) i B ∈Mnp(F). Umnozak ili produkt matrica A iB je matrica
C = A ·B ∈Mmp(F)
ciji elementi su odredeni formulom
cij =n∑
k=1
aikbkj , za sve 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.
Mnozenje matrica opcenito nije komutativno!!!
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 10/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
• vaznu klasu matrica cine dijagonalne matrice. Dijagonalna matrica jeona kvadratna matrica kod koje su svi izvandijagonalni elementijednaki nuli. Dijagonalnu matricu ciji su dijagonalni elementia1, a2, . . . , an oznacavamo s diag (a1, a2, . . . , an), odnosno
diag (a1, a2, . . . , an) =
a1 0 0 · · · 00 a2 0 · · · 0...
.... . .
...0 0 an
• najpoznatija dijagonalna matrica je jedinicna matrica koju
oznacavamo s I , a ciji su svi dijagonalni elementi jednaki 1
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 11/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
• vaznu klasu matrica cine dijagonalne matrice. Dijagonalna matrica jeona kvadratna matrica kod koje su svi izvandijagonalni elementijednaki nuli. Dijagonalnu matricu ciji su dijagonalni elementia1, a2, . . . , an oznacavamo s diag (a1, a2, . . . , an), odnosno
diag (a1, a2, . . . , an) =
a1 0 0 · · · 00 a2 0 · · · 0...
.... . .
...0 0 an
• najpoznatija dijagonalna matrica je jedinicna matrica koju
oznacavamo s I , a ciji su svi dijagonalni elementi jednaki 1
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 11/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 2Egzistencija i jedinstvenost rjesenja Matrice
PropozicijaZa mnozenje matrica vrijedi
(1) A(B + C) = AB +AC , ∀A ∈Mmn,∀B,C ∈Mnp;
(2) (A+B)C = AC +BC , ∀A,B ∈Mmn,∀C ∈Mnp;
(3) (αA)B = A(αB) = α(AB), ∀α ∈ F,∀A ∈Mmn, ∀B ∈Mnp;
(4) (AB)C = A(BC), ∀A ∈Mmn,∀B ∈Mnp,∀C ∈Mpr;
(5) IA = A, AI = A, ∀A ∈Mmn.
M103 Linearna algebra 1 Egzistencija i jedinstvenost rjesenja. Matrice. 12/12