linearna algebra 1 - odjel za matematiku · prikazati kao linearna kombinacija elemenata baze. vje...

Linearna algebra 1

Linearna algebra 1

Vjezbe 1

27.2.2012.

Vjezbe 1 Linearna algebra 1

Linearna algebra 1

E 2 - ravnina u kojoj je dan pravokutni koordinatni sustav sasredistem u ishodistu OA ∈ E 2;

−→OA je radij-vektor

V 2(O) - skup svih radij-vektora u ravnini

Za ~a 6= ~0 definiramo suprotan radij-vektor −~a koji ima isti modul ismjer kao ~a, ali suprotnu orijentaciju.


Linearna algebra 1

A = (a1, a2), B = (b1, b2)

−→OA +

−→OB =

−→OC

C = (a1 + b1, a2 + b2)


Linearna algebra 1

Binarna operacija + : V 2(O)× V 2(O)→ V 2(O) ima sljedecasvojstva:

1 (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)asocijativnost

2 ~a +~0 = ~0 +~a = ~a~0 je neutralni element za zbrajanje

3 ~a + (−~a) = −~a +~a = ~0−~a je suprotni element za zbrajanje

4 ~a + ~b = ~b +~akomutativnost


Linearna algebra 1

A = (a1, a2),−→OA = ~a, α ∈ R

α~a =−→OC

C = (αa1, αa2)


Linearna algebra 1

Operacija mnozenja vektora skalarom · : R× V 2(O)→ V 2(O) imasljedeca svojstva:

1 α(β~a) = (αβ)~akvaziasocijativnost

2 (α + β)~a = α~a + β~adistributivnost mnozenja prema zbrajanju skalara

3 α(~a + ~b) = α~a + α~bdistributivnost mnozenja prema zbrajanju

radij-vektora

4 1~a = ~a1 je neutralni element za mnozenje

V 2(O) je vektorski prostor.


Linearna algebra 1

Neka su ~a,~b ∈ V 2(O) kolinearni i ~a 6= ~0. Tada postoji jedinstveniskalar α ∈ R takav da je

~b = α~a ?

Obratno, ako za neke ~a,~b ∈ V 2(O) i α ∈ R vrijedi ?, onda su ~a i ~bkolinearni.


Linearna algebra 1

Radij-vektori ~a,~b ∈ V 2(O) su nekolinearni ⇐⇒ α~a + β~b = ~0⇒ α = β = 0

Neka su ~a i ~b nekolinearni. Tada za svaki ~v ∈ V 2(O) postojejedinstveni skalari α i β takvi da je ~v = α~a + β~b.

Svaki dvoclani skup {~a,~b} ciji su clanovi nekolinearni nazivase baza vektorskog prostora V 2(O).To znaci da se svaki clan V 2(O) moze na jedinstven nacinprikazati kao linearna kombinacija elemenata baze.


Linearna algebra 1

Operacije zbrajanja vektora i mnozenja vektora skalarom uprostoru V 3(O) imaju ista svojstva kao zbrajanje vektora imnozenje vektora skalarom u prostoru V 2(O).⇒ V 3(O) je takoder vektorski prostor.

Kazemo da su radij-vektori−−→OT1,

−−→OT2, . . . ,

−−→OTn, komplanarni ako

tocke O,T1,T2, . . . ,Tn leze u istoj ravnini.


Linearna algebra 1

Radij-vektori ~a,~b,~c ∈ V 3(O) su nekomplanarni ⇐⇒α~a + β~b + γ~c = ~0 ⇒ α = β = γ = 0

Neka su ~a, ~b i ~c nekomplanarni. Tada za svaki ~v ∈ V 3(O)postoje jedinstveni skalari α, β i γ takvi da je~v = α~a + β~b + γ~c .

Svaki skup {~a,~b,~c} od tri nekomplanarna radij-vektora nazivase baza prostora V 3(O).To znaci da se svaki clan V 3(O) moze na jedinstven nacinprikazati kao linearna kombinacija elemenata baze.


Linearna algebra 1

Kanonska baza (~i ,~j , ~k) prostora V 3(O) je trojka jedinicnih vektoraKartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava.

Radij-vektor ~r =−→OT = x~i + y~j + z~k = (x , y , z).


Linearna algebra 1

Bilo koji vektor ~a =−→AB pri cemu je A = (a1, a2, a3) i

B = (b1, b2, b3) prikazujemo u obliku

−→AB = (b1 − a1)~i + (b2 − a2)~j + (b3 − a3)~k

−→AB =

−→OT pri cemu je T = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3).


Linearna algebra 1

Zadatak 1.

Dokazite da vrijede relacije:

a) (−1)~a = −~ab) (α− β)~a = α~a− β~ac) α(~a− ~b) = α~a− α~b

za sve ~a,~b ∈ V 3(O) i sve α, β ∈ R.


Linearna algebra 1

Zadatak 2.

Neka je A = (1, 2, 1), B = (1, 1, 0) i C = (0, 1, 1). Ispitajte cine li

radij-vektori−→OA,−→OB i

−→OC bazu prostora V 3(O).


Linearna algebra 1

Zadatak 3.

Pokazi da vektori

−→i +−→j +−→k−→

i +−→j + 2

−→k−→

i + 2−→j + 3

−→k

tvore bazu za R3 i prikazi vektor 6−→i + 9

−→j + 14

−→k u toj bazi.


Linearna algebra 1

Domaca zadaca

Zadatak 4.

Pokazi da vektori

−→e1 = (2, 1,−3)−→e2 = (3, 2,−5)−→e3 = (1,−1, 1)

tvore bazu za R3 i prikazi vektor −→x = (6, 2,−7) u toj bazi.


Linearna algebra 1

Zadatak 5.

Koja linearna kombinacija vektora −→u = (1, 2) i −→v = (3, 1) dajevektor −→w = (14, 8)?


Linearna algebra 1

Zadatak 6.

a) Neka je {−→a ,−→b } baza prostora V 2(O). Pokazite da je tada i

{−→a −−→b ,−→a +

−→b } jedna baza za V 2(O).

b) Odredite nuzan i dovoljan uvjet na skalare α, β, γ, δ ∈ R da bi

skup {α−→a − β−→b , γ−→a + δ

−→b } bio baza za V 2(O).


Linearna algebra 1

Zadatak 7.

Opisite sve linearne kombinacije vektora −→v = (1, 1, 0) i−→w = (0, 1, 1). Pronadite barem jedan vektor koji nije kombinacijavektora −→v i −→w .


Linearna algebra 1

Domaca zadaca

Zadatak 8.

Ako su tri vrha paralelograma (1, 1), (4, 2), (1, 3), odredite cetvrtivrh paralelograma. Skicirajte rjesenje(a).


Linearna algebra 1

Zadatak 9.

Cetiri vrha kocke u prostoru imaju kordinate (0, 0, 0), (1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1). Kako glase koordinate preostalih vrhova? Kolikovrhova bi kocka imala u cetverodimenzionalnom prostoru, akotipicni vrh ima koordinate (0, 0, 1, 0).

Rjesenje:

Koordinate preostalih vrhova glase:(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).Kocka u R3 ima 8 vrhova, a u 4D prostoru bi imala 24 = 16vrhova: (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1),(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1),(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).


Linearna algebra 1

Zadatak 10.

Cetiri vrha kocke u prostoru imaju kordinate (0, 0, 0), (1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1). Kako glase koordinate preostalih vrhova? Kolikovrhova bi kocka imala u cetverodimenzionalnom prostoru, akotipicni vrh ima koordinate (0, 0, 1, 0).

Rjesenje:

Koordinate preostalih vrhova glase:(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).Kocka u R3 ima 8 vrhova, a u 4D prostoru bi imala 24 = 16vrhova: (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1),(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1),(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).


Linearna algebra 1

Zadatak 11.

U Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu odredi tockuT = (x , y , z) takvu da radij-vektor −→r tocke T ima duljinu 6, dazatvara s osi Ox kut od π/4, a s osi Oy kut od π/3, te da jeaplikata z tocke T negativna.


Linearna algebra 1

Zadatak 12.

Neka su −→u i −→v dva nekolinearna radij-vektora u ravnini. Odreditesve linearne kombinacije α−→u + β−→v uz ogranicenja 0 ≤ α ≤ 1 i0 ≤ β ≤ 1.


Linearna algebra 1

Zadatak 13.

Koji vektori u prostoru R3 su linearna kombinacija vektora −→u i −→v ,ali i vektora −→v i −→w ? Pretpostavite da su −→u , −→v i −→wnekomplanarni.

Rjesenje:

Vektore koji su kolinearni sa vektorom −→v mozemo prikazati kaolinearnu kombinaciju vektora −→u i −→v , ali i vektora −→v i −→w .


Linearna algebra 1

Zadatak 14.

Koji vektori u prostoru R3 su linearna kombinacija vektora −→u i −→v ,ali i vektora −→v i −→w ? Pretpostavite da su −→u , −→v i −→wnekomplanarni.

Rjesenje:

Vektore koji su kolinearni sa vektorom −→v mozemo prikazati kaolinearnu kombinaciju vektora −→u i −→v , ali i vektora −→v i −→w .


Linearna algebra 1

Zadatak 15.

Neka su O,A,B tri razlicite tocke u ravnini, a A1,B1 takve tockeda je −−→

OA1 = λ−→OA

−−→OB1 = λ

−→OB

λ 6= 0 realan broj. Dokazite da je tada−−−→A1B1 = λ

−→AB.


Linearna algebra 1

Zadatak 16.

Neka su O,A,B tri medusobno razlicite tocke. Nacrtajte skup svihtocaka C za koje je

−→OC = (1− λ)

−→OA + λ

−→OB

kad λ ide po skupu realnih brojeva.


Linearna algebra 1

Zadatak 17.

Dokazite da se tezisnice trokuta sijeku u jednoj tocki.


Linearna algebra 1

Domaca zadaca

Zadatak 18.

Dokazite da je tocka T koja zadovoljava

−→OT =

1

3(−→OA +

−→OB +

−→OC )

teziste trokuta ABC .


Linearna algebra 1

Domaca zadaca

Zadatak 19.

Ako u trokutu ABC tocke P,Q,R dijele stranice u istim omjerima,dokazi da trokuti ABC i PQR imaju isto teziste.

Napomena:

Iskoristite cinjenicu da za teziste T trokuta ABC vrijedi

−→OT =

1

3(−→OA +

−→OB +

−→OC )


Linearna algebra 1

Zadatak 20.

Neka je u trokutu ABC tocka P poloviste duzine AB, tocka R

takva da je 3−→AR =

−→AC , te S poloviste duzine PR. U kojem omjeru

pravac AS dijeli stranicu BC?


linearna algebra 1 - odjel za matematiku · prikazati kao linearna kombinacija elemenata baze. vje...

Documents