lygčių sistemos modeliai
DESCRIPTION
Lygčių sistemos modeliai. Literatūra: Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (12. Simultaneous Equation Models) psl. 230-237 Gujaraty D, 18, 19 , 20 skyreliai (Simultaneous Equation Models) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
VU EF V.Karpuškienė 1
Lygčių sistemos modeliai
2012-11-28
Literatūra:• Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (12. Simultaneous Equation Models) psl. 230-237
• Gujaraty D, 18, 19, 20 skyreliai (Simultaneous Equation Models)
• G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition, Wiley, 2009,chapter 9 “Simultaneous Equation Models”. 555-400psl.
VU EF V.Karpuškienė 2
Lygčių sistemos modeliai
1. Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos
2. Parametrų vertinimo problemos
3. Lygčių sistemos modelių parametrų vertinimo būdai
VU EF V.Karpuškienė 3
1.Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos
• Bendra modelio forma
• Modelių pavyzdžiai
• Sąvokos
VU EF V.Karpuškienė 4
Bendra lygčių sistemos modelio forma
ikikiimimiii uXXXYYYY 11212111131321211 ......
ikikiimiiii uXXXYYYY 222221211231312122 ......2
ikikiimimiiii uXXXYYYYY 33232131343423213133 ......
mikimkimimimmimimmmi uXXXYYYY ...... 2211,12211
VU EF V.Karpuškienė 5
Modelio kintamieji
• Y1, Y2, ...Ym –endogeniniai kintamieji
• X1, X2, ...Xk–egzogeniniai kintamieji
• β1, β2, ... βm -endogeninių kintamųjų koeficientai
• γ1 γ2 ...γk – egzogeninių kintamųjų koeficientai
• u1 u2 ...um – modelio lygčių paklaidos
• i – stebėjimų skaičius (i=1n)
VU EF V.Karpuškienė 6
Sąvokos
• Egzogeniniai kintamieji
• Endogeniniai kintamieji
• Redukuota lygtis
• Redukuoti koeficientai
VU EF V.Karpuškienė 7
Modelių pavyzdžiai
• Modelių pavyzdžiai: – Pasiūlos paklausos modelis – Keinso modelis – Darbo užmokesčio - kainų modelis– IS- modelis
VU EF V.Karpuškienė 8
Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos
• Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0
• MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti
VU EF V.Karpuškienė 9
PVZ: Keinso modelis
• Vartojimo funkcija:• Pajamų tapatybė:
Kur C = vartojimo išlaidosY = pajamos I = visuminės investicijosS = santaupost = laikasu = atsitiktinių veiksnių įtaka
ir = parametrai
ttt uYC 21 ttttt SCICY
10 2
1 2
VU EF V.Karpuškienė 10
PVZ: Keinso modelis
• Parametras - tai ribinis polinkis vartoti (MPC) (reikšmė yra tarp 0 ir 1).
• Parametra - tai nepriklausomas nuo pajamų (autonominis) vartojimas
2
1
VU EF V.Karpuškienė 11
PVZ: Keinso modelisRedukuota lygtis
ttt uIY222
1
1
1
1
1
1
ttt IuY 121
ttt uYC 21
ttt ICY
tttt uYIY 21
ttt IY 21
ttt
ttt
IYC
uYC 21
C, Y– endogeninis kintamasis
I – egzogeniniai kintamieji
VU EF V.Karpuškienė 13
PVZ: Keinso modelis
•
• Tačiau, kur
• Taigi ir
.
ttt uYfC ,
ttt
ttt
ICY
uYC 21
ttt IY 21
•
• Tačiau, kur
• Taigi ir
• Netenkinama klasikinės regresijos prielaida, teigianti, kad nepriklausomi kintamieji nėra atsitiktiniai dydžiai.
ttt uIfY ,
ttttt uuIYfC ),,( tuY tt ,0,cov
21
t
t
u
VU EF V.Karpuškienė 14
2. Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos
• Modelio lygtys netenkina klasikinių regresijos prielaidų
• Modelio koeficientai gali būti neįvertinami
VU EF V.Karpuškienė 15
Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos
• Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0
• MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti
VU EF V.Karpuškienė 16
Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos
• Koeficientų vertinimo procedūra:– MKM apskaičiuojami redukuotos regresijos
lygties parametrai– Taikant formules iš redukuotų koeficientų
gaunami pradinės lygčių sistemos koeficientai
VU EF V.Karpuškienė 17
Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos
• Galimi perskaičiavimo iš redukuotų koeficientų į pirminius atvejai:– Neįvertinamumas (underidentification)
• Neįmanoma perskaičiuoti pirminių koeficientų (nėra sprendinių)
– Tikslus įvertinamumas (identification)• Gaunami vieninteliai pirminių koeficientai (vienintelis
sprendinys)
– Pervertinamumas – (overidentification)• Gauname daug pirminių koeficientų variantų (begalybė
sprendinių)
VU EF V.Karpuškienė 18
Lygčių sistemos modelio koeficientų tikslaus įvertinamumo
sąlygos
• Eilės sąlygos – būtinos bet nepakankamos
• Rango sąlygos – būtinos ir pakankamos
VU EF V.Karpuškienė 19
Eilės sąlygos
• Žymėjimai: – G – endogeninių kintamųjų skaičius lygčių
sistemoje– M – neįtrauktų į nagrinėjamą lygtį kintamųjų
(egzogeninių ir endogeninių) skaičius
• Eilės sąlygos• Jeigu M<G-1 → lygties koeficientai neįvertinami• Jeigu M=G-1 → lygties koeficientai tiksliai įvertinami • Jeigu M>G-1 → lygties koeficientai pervertinami
– Eilės sąlygos modelio įvertinimui būtinos, bet nepakankamos
VU EF V.Karpuškienė 20
Rango sąlygos
• Procedūra:– Sudaryti lentelę (Koef, 0, 1), kurioje stulpeliai
yra kintamieji, eilutės - sistemos lygtys– Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties
įvertinamumą
VU EF V.Karpuškienė 21
Rango sąlygos
iiiii uXYYY 1111313212101 ________________________
iiiii uXXYY 2222121323202 _____________
iiiii uXXYY 3232131131303 ________________
iiiii uXYYY 4343242141404 ___________________
VU EF V.Karpuškienė 22
Rango sąlygos1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10 1 -β12 -β13 0 -γ11 0 0
-β20 0 1 -β23 0 -γ21 -γ22 0
-β30 - β31 0 1 0 -γ31 -γ32 0
-β40 -β41 -β42 0 1 0 0 -γ43
VU EF V.Karpuškienė 23
Rango sąlygos
• Procedūra:– Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties
įvertinamumą• pagal eilės sąlygas nustatome neįvertinamas lygtis. Jų
rango sąlygų vėliau nenagrinėjame• sudarome naują lentelę rango sąlygoms nustatyti
– Išbraukiame iš lentelės nagrinėjamą lygtį
– Išbraukiame tuos pradinės lentelės stulpelius, kurių nagrinėjamos lygties kintamieji lygūs 0
• Išvados: jeigu antroje lentelėje iš išbrauktų stulpelių elementų (pažymėti mėlynai) galime sudaryti bent vieną (G-1) matavimo eilės kvadratinę matricą, kurios determinantas būtų nelygus 0, tuomet lygtis yra įvertinama
VU EF V.Karpuškienė 24
Rango sąlygos (1lygtis) Koeficientai prie kintamųjų
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β20 0 1 -β23 0 -γ21 -γ22 0
-β30 - β31 0 1 0 -γ31 -γ33 0
-β40 -β41 -β12 0 1 0 0 -γ43
Pirma lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas
VU EF V.Karpuškienė 25
Rango sąlygos (2 lygtis)Koeficientai prie kintamųjų
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10 1 -β12 -β13 0 -γ11 0 0
-β30 -β31 0 1 0 -γ31 -γ32 0
-β40 -β41 -β12 0 1 0 0 -γ43
Antra lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas
VU EF V.Karpuškienė 26
Rango sąlygos (3 lygtis)
Trečia lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas
Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10 1 -β12 -β13 0 -γ11 0 0
-β20 0 1 -β23 0 -γ21 -γ22 0
-β40 -β41 -β42 0 1 0 0 -γ43
VU EF V.Karpuškienė 27
Rango sąlygos (4 lygtis)
Ketvirta lygtis įvertinama pagal rango sąlygas
1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10 1 -β12 -β13 0 -γ11 0 0
-β20 0 1 -β23 0 -γ21 -γ22 0
-β30 - β31 0 1 0 -γ31 -γ32 0
VU EF V.Karpuškienė 28
3. Lygčių sistemos parametrų vertinimo metodai
• Neįvertinamas modelis –lygčių sistemos parametrų apskaičiuoti neįmanoma
• Tiksliai įvertinami modelio parametrai – NMKM (Netiesioginis mažiausių kvadratų metodas ) (ILS- indirect least square)
• Pervertinamas modelis – 2ŽMKM (Dviejų žingsnių mažiausių kvadratų metodas) (TSLS –two stages least square)
VU EF V.Karpuškienė 29
NMKM=ILS metodas
NMKM žingsniai:
1. Surandame lygčių sistemos redukuotą lygtį
2. Apskaičiuojame redukuotos lygties parametrus taikydami MKM
3. Apskaičiuojame pradinius koeficientus naudodamiesi redukuotų koeficientų formulėmis
VU EF V.Karpuškienė 30
2ŽMKM=TSLS metodas
Idėja:
Endogeninius kintamuosius Yj, kurie koreliuoja su lygčių sistemos paklaidomis ui, pakeičiame jų pakaitalais , kurie nekoreliuoja su u i
pakaitalai gaunami apskaičiavus Yj
priklausomybę nuo modelio egzogeninių kintamųjų, vadinamų instrumentais
jY
jY
VU EF V.Karpuškienė 31
2ŽMKM=TSLS metodas Žingsniai:
1. Apskaičiuojame paprastu MKM modelio endogeninių kintamųjų, kurie kartu yra įtakojantys veiksniai, t.y., sutinkami dešinėje modelio lygčių pusėje, priklausomybę nuo egzogeninių ir vėluojančių egzogeninių kintamųjų, jeigu pastarieji yra įtraukti į modelį. Tokios apskaičiuotos endogeninių kintamųjų reikšmės, priklausančios tik nuo egzogeninių kintamųjų, yra vadinamos instrumentais
2. Suskaičiuojame pradinius sistemos lygčių koeficientus paprastu MKM pakeitę endogeninių kintamųjų faktines reikšmes apskaičiuotomis 1 žingsnyje instrumentų reikšmėmis
VU EF V.Karpuškienė 32
PVZ: Keinso modelis2ŽMK metodas
ttt uYC 21
ttt ICY
ttt IY 21
ttt
ttt
ICY
uYC
ˆ
21
C, Y– endogeninis kintamasis
I – egzogeniniai kintamieji
Pirmas žingsnis:
tt IY 21ˆ
Antras žingsnis:
VU EF V.Karpuškienė 33
2ŽMKM=TSLS metodas
• Praktinės įžvalgos:– MKM ir 2ŽMK metodu apskaičiuotos lygties
paklaidos skiriasi, todėl ir R2 yra skirtingi
– Kuo stipresnė instrumentinių kintamųjų priklausomybė nuo egzogeninių kintamųjų, tuo MKM ir 2ŽKM regresijų paklaidos ir R2 yra panašesni
– R2 paprastai yra didesnis tuomet, kai turime daugiau egzogeninių kintamųjų
Du svarbūs klausimai
1. Kurie kintamieji yra egzogeniniai, o kurie endogeniniai?
2. Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS)?
VU EF V.Karpuškienė 34
1 klausimo atsakymas
• Nusprendžia analitikas
• Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas
VU EF V.Karpuškienė 35
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas
(Hausman exogeneity specification test)
Tarkim:• turime trijų lygčių sistemą, kurios endogeniniai kintamieji yra Y1 ,Y2;,Y3; o X1, X2, X3 egzogeniniai kintamieji
•Pirmoji sistemos lygtis yra:
•
VU EF V.Karpuškienė 36
ikiiii uXXXYYY 11321211131321211
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas
(Hausman exogeneity specification test)
• Suskaičiuojame tris papildomas lygtis:– Dvi lygtis instrumentiniams kintamiesiems įvertinti (tik nuo
egzogeninių)
– Papildoma Hausman testo lygtis su instrumentais
• VU EF V.Karpuškienė 37
iuYYXXXYYY 1332231321211131321211ˆˆ
33221102 XXXY
33221112 '''ˆ XXXY
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas
(Hausman exogeneity specification test)
• H0 (Y2;,Y3 egzogeniniai kintamieji)
• H1 bent vienas (Y2;,Y3 kintamieji/bent vienas endogeniniai )
• Testas su ∝ reikšmingumo lymeniu– Jeigu Fapskaičiuota>F (m;n-k,∝) atmetam H0
• Išvada: Y2;,Y3 yra endogeniniai
– Fapskaičiuota<F (m;n-k,∝) atmesti H0 negalime
• Išvada: Y2;,Y3 egzogeniniai
• VU EF V.Karpuškienė 38
021 0j
Priminimas• F testo statistika
• m –tikrinamų (ribojančių) kintamųjų skaičius
• n – stebėjimų skaičius
• k –vertinamų koeficientų prie visų kintaųjų skaičius nagrinėjamoje lygtyje
VU EF V.Karpuškienė 39
)/()1(
/)(2
22.
1 knR
mRRF
papl
lygtiespapltaapskaičpsk