١١٤٢

با در نظر گرفتن نامعینی 21براي ژنراتور مرتبه LQG/LTRو LQGطراحی کنترل کننده در کلیه ماتریس هاي فضاي حالت

3ومحمد مصباح 2سعید طوسی زاده، 1آناهیتا قاسمی

Anh_ghasemi@yahoo.com، دانشگاه آزاد اسلامی،واحدمشهد،گروه برق،مشهد،ایران1 S.toosi@hotmail.com، استادیار دانشکده مهندسی دانشگاه آزاداسلامی واحد مشهد2 M_mesbah65@yahoo.comدانشگاه آزاد اسلامی،واحدبهبهان،گروه برق،بهبهان،ایران، 3

با در نظر گرفتن نامعینی در کلیه ماتریس هاي 21براي ژنراتور مرتبه LQG/LTRو LQGدر این مقاله ظراحی کنترل کننده هاي – چکیدهدر حالت ایده ال و وواقعی اعمال شده و عملکرد این دو کنترل کننده 21به ژنراتور مرتبه ,کنترل کننده هاي مذکور.حالت پرداخته می شود

با در نظر 21به ژنراتور مرتبه LQG/LTRبه منظور بهبود رفتار سیستم در حالت واقعی کنترل کننده . ه می گردددر حالات فوق مقایس .بررسی خواهد شد LQGنسبت به کنترل کننده LQG/LTRاعمال شده و برتري کنترل کننده ,گرفتن نامعینی در کلیه ماتریس هاي حالت

21ژنراتور مرتبه , LQG/LTRکنترل کننده , LQGکنترل کننده -کلید واژه

مقدمه -1

بهبود پایداري گذرا یکی از مسایل مهم در سیستم هاي قدرت می باشد که با توسعه شبکه انتقال اهمیت این موضوع بیشتر می

]1[بدین منظور روش هاي متفاوتی از جمله کنترل فازي . گردددر . ارائه شده است ]4[و کنترل مقاوم ]3[ MPC ،]2[تطبیقی

خطی به منظور توصیف مدل پارامترهاي متغیر پذیر ]6[،]5[خارج از محدوده عملکرد سیستم قدرت نشان SGدینامیک هاي

تطبیقی مدل مرجع براي آن PIDداده شده و کنترل کننده ارزیابی کمی اثرات انبساط و انقباض در ]7[در . پیشنهاد گردید

SG با استفاده از مشاهده گر تطبیقی بهبود داده شد که در آنی به منظور تخمین خطا و پارامترهاي مدل مشاهده گر تطبیق

SG به ترتیب ]9[،]8[در . در توان هاي پایین استفاده شده است

.ارائه شده است 2Hو Hکنترل کننده هاي

همه روش هاي فوق تنها کنترل را حول نقطه کار خطی انجام عملکرد سیستم نمی توان از دهند و در خارج از محدوده می

روش هاي فوق استفاده نمود روش کنترل منطق فازي در منابع اما به علت اینکه پایداري و مقاومت ]10[زیادي ارائه شده است

خیلی خوبی از خود نشان نمی دهد به طور گسترده از آنها طراحی کنترل کننده هاي بهینه با استفاده از . استفاده نمی شود

وجی و فیدبک حالت، بدون در نظر گرفتن نامعینی فیدبک خرنشان داده شده ]11[ هاي پارامتري در توان هاي پایین در

پیشنهاد گردیده ولی هر یک ]12[نیز در MPCهمچنین روش از این روش ها به دلیل کاستی هایی کمتر مورد استفاده قرار

در ادامه روش هاي متفاوتی براي طراحی کنترل . گرفته استحلقه بسته سیستم هاي چند ورودي چند خروجی ارائه شده که

کنترل . اشاره نمود ]LQG ]13[،]14و LQRتوان به از آنها میه منظور کاهش اثر اغتشاشات و نویز مطرح می ب LQGکننده

١١٤٣

طراحی این کنترل کننده ساده بوده ولی توانایی برخورد با . شودداراي مقاومت نسبتاً LQRکنترل کننده . عدم قطعیت را ندارد

خوبی می باشد ولی به دلیل دشوار بودن پیاده سازي آن، به طور مقاله عملکرد در این . گسترده مورد استفاده قرار نمی گیرد

با استفاده از کنترل کننده پیشنهادي 21ژنراتور مرتبه LQG/LTR مورد بررسی قرار می گیرد که این کنترل کننده

در نهایت به . نواقص ذکر شده را تا حدودي برطرف می سازدنشان دادن تأثیر این کنترل کننده نتایج شبیه سازي منظور

.اده شده استاعمال آن روي یک سیستم عملی نشان د

توصیف سیستم-2

عادله حالت مربوط به توربین ژنراتور متصل به شین بی نهایت با م .به صورت زیر می باشد 21مرتبه

)1( ))(()()( tXGtButAXX

شامل Gماتریس هاي حالت و کنترل هستند و Bو Aکه در آن لذا باید ابتدا آن را حول نقطه کار . ترم هاي غیرخطی می باشد

براي این کار از بسط تیلور را استفاده می شود . خطی سازي نمود .که در نهایت مدل خطی شده را می توان به صورت زیر نوشت

)2( )()( tButAXX

ماتریس هایی با مقادیر ثابت Bو Aکه در آن ماتریس هاي کنترل (در این سیستم براي بهبود عملکرد سیستم . باشند می

از دو حلقه کنترلی استفاده ...) فراجهش، حالت دائمی، خطا و به منظور کنترل ولتاژ و AVRمی شود که یکی حلقه کنترلی

. دیگري حلقه کنترلی گاورنر براي کنترل فرکانس می باشد :در اینجا عبارتست ازحالت سیستم

)3 (

که در آن , زاویه بار روتور برحسب شین بی نهایت و مشتق. آن است

dkdتا

. حالات الکترومغناطیسی هستند

ef VV حالات mTو pAو ) 1شکل (حالات تنظیم کننده ولتاژ , )2شکل . (گاورنر می باشند

rv+

-

1v

1U

ava

a

sTG1

maxev

mineve

e

sTG1

evmaxfv

minfv

fv

مدل تنظیم کننده ولتاژ-1شکل

مدل گاورنر -2شکل

طراحی کنترل کننده-3

ابتدا اشاره مختصري LQG/LTRبه منظور طراحی کنترل کننده .به این کنترل کننده ها خواهیم داشت

کنترل کننده فیدبک حالت -3-1

.دیاگرام بلوکی این کنترل کننده به صورت زیر می باشد

+

-

v xBuAXX

ptk

دیاگرام بلوکی کنترل کننده فیدبک حالت -3شکل

قطبها با همان طور که در شکل مشاهده می شود عمل جابجایی .استفاده از فیدبک حالت صورت می گیرد

١١٤٤

)(,)(...

...

BkAABrXBkAXXkXkXkkX

kxkkkkXru

xx

2211

21

)(به صورت بهینه انتخاب شود kدر صورتی که ptk آن گاهاین . عمل جابجایی قطبها را به بهترین شکل می توان انجام داد

کنترل کننده داراي مقاومت نسبتاً مناسبی می باشد اما به دلیل زیاد بودن متغیرهاي حالت و همچنین عدم دسترسی به برخی از

براي رفع این . حالات براي اندازه گیري قابل اجرا نمی باشداز فیدبک حالت از فیدبک خروجی مشکل به جاي استفاده

LQGشود که در واقع اساس طراحی کنترل کننده استفاده می .می باشد

LQG 1کنترل کننده -3-2

.شاخص کارایی این کنترل کننده به صورت زیر می باشد

)4(

T

dtRUUQXXETJ TT })({)/1lim(

توان انحرافات از حالت تعادل را کنترل با این کنترل کننده میوزنی حالت ماتریس Qو يماتریس وزنی ورود Rدر اینجاکرد که

باشند که به ترتیب مثبت معین و مثبت نیمه معین در نظر می Rو Qدر این جا هدف تعیین ماتریس هاي . گرفته می شوند

. براي دستیابی به بهترین حالت می باشد

:دیاگرام بلوکی زیر را در نظر بگیرید

+

-

U XuAXX

ptk

C

ت یمخ زن نلاح ت

X

y

y

LQGدیاگرام بلوکی کنترل کننده -4شکل

1Liner Quadratic Gaussian

در واقع عمل جابجایی قطبها را با استفاده از LQGکنترل کننده LQRدهد و از ادغام دو کنترل کننده تخمین حالت انجام می

باشد و دیاگرام آید که یکی از آنها فیلتر کالمن میبدست می .بلوکی آن در زیر نمایش داده شده است

Plant

B

C

A

U 2 1

+

ck

X

fk

X

y

y+

همراه با دیاگرام بلوکی کالمن فیلتر LQGدیاگرام بلوکی -5شکل

.معادله حالت سیستم به صورت زیر در نظرگرفته می شود

)5(

CXyBuAXX

باید نویز است که این دو سیگنال اغتشاش و که در آن گوسی باشند در غیر این صورت ابتدا با فیلتر گوسی شده و در

.حالت تخمین زده می شود,نهایت

)6(

)ˆ(ˆˆ

ˆˆ

yykBuXAX

XCy

f

باشد و در نهایت تخمین متغیر حالت میX̂در این رابطه .ننده به صورت زیر به دست می آیدکنترل ک

)7( LQGLQGLQGLQGLQG

DBASICsK 1)()(

c

ffc

kkckBkA

.در فیلتر کالمن به صورت زیر خواهد بودfkو ckکه در آن

)8( cT

c PBRk 1

-

١١٤٥

)9( 1 VCPk Tff

و متقارنی ماتریس هاي مثبت نیمه معینfPو cPدر اینجا هستند که از دو حل معادله جبري ریکاتی به صورت زیر حاصل

.گرددمی

)10( QMMPBBRPAPPA Tc

Tccc

T 1

)11( Tf

Tff

Tf WCPVCPAPAP 1

حالات . وزنی فیلتر کالمن می باشند يهاماتریسV , Wدر اینجا خطی معادله يهاتخمین زده شده در فیلتر کالمن شامل تقریب

بوده و توسط بهره بهینه از پیش تعیین شده، حالتها و ) 1(fkو ckبا جایگذاري . کنندژنراتور را تغذیه می يهاورودي

ماتریس جدید زیر حاصل می) 7(حاصل از روابط فوق در رابطه .شود

)12(

cT

Tf

Tcc

T

LQGPBR

vCPCvCPPBBRAsk

1

111

)(

تعیین ماتریس هاي وزنی LQGهدف از طراحی کنترل کننده Q وR می باشد.

تخمین و محاسبه سیگنال بهینه را 21یک کنترل کننده مرتبه میلی ثانیه بدون عمل دشواري انجام 5باید به ازاي هر

به طور قابل توجهی 11به 21کاهش تعداد حالت ها از .دهدولی از دقت آن چه باعث کاهش محاسبات ریاضی می گردد

در واقع می توان مرتبه سیستم را .مورد نظر است کم نمی شودکاهش داد و بهترین مدل را بدست آورد به گونه اي که تابع

2× 2 ماتریس Rبنا براین در اینجا . انتقال سیستم تغییر نکند

به صورت

2

1

rr

R

وQ با 11× 11نیز ماتریس قطري

هدف از این . در نظر گرفته شده است11qتا 1qطري عناصر قطراحی کاهش اولین نوسان زاویه بار است که به دنبال خطا

بعدي و در نهایت بهبود يهاشود و بهبود میراییایجاد می

در اینجا با اعمال یک سیگنال . پایداري گذرا را نتیجه می دهدمیلی ثانیه اي عملکرد 100اغتشاش قوي و یک اتصال کوتاه

براي بهبود . کنترل کننده طراحی شده را بررسی می کنیمپایداري باید سیستم را حول نقطه کار خطی نمود و با توجه به

قطبهاي غالب را شناسایی و رفتار آنها را مورد مقادیر ویژه، معادلات % 1معادل ییدر اینجا می توان با خطا. بررسی قرار داد

همچنین در صورت کاهش . کاهش داد 3را به مرتبه 11با مرتبه خواهیم داشت و این بدان معنی % 15معادل یخطای 2به مرتبه

طب خواص است که سیستم داراي سه قطب غالب است که دو قکنند و در مکانیکی و یک قطب خواص مغناطیسی را توصیف می

. شبیه سازي نشان داده شده است

LQG/LTRطراحی کنترل کننده -3-3

، LQG/LTRدر کنترل کننده f

f

R

Q بهره فیلتر کالمن است که

qzQQrzRRدر آن ff و , Tzz در این کنترل کننده، بهره فیلتر کالمن را زیاد می کنیم . باشد می

بهره حلقه اول مربوط ) 5(در شکل . کم شود fRتا اثر تخریبی کنترل . می باشد LQRو بهره حلقه دوم مربوط به LQGبه

را در حوزه LQG، مسئله کنترل کننده LQG/LTRکننده ین بهره هاي حلقه هاي اول و دوم بنابرا. فرکانس بررسی می کند

را می توان در حوزه فرکانس به صورت زیر بیان ) 5(در شکل .کرد

)()()()(

)()(

)(.)()()(

sGBASIksLLQR

sGkkBkASIk

sGsksLLQG

c

ffcc

LQG

12

11

انجام Rو Qرا با تعیین ماتریس هاي وزنی LQRطراحی مسئله داده و با بالا بردن بهره فیلتر کالمن بهره حلقه اول را که مربوط

می باشد و داراي مقاومت ضعیفی است به بهره حلقه LQGبه

١١٤٦

است و توانایی خوبی LQRدوم که مربوط به کنترل کننده .نسبت به عدم قطعیت دارد، نزدیک می کنیم

.طراحی اتوماتیک فیلتر کالمن به صورت زیر انجام می شود

qIQQ f

زه فرکانسی نسبتاً را افزایش داده تا وقتی در یک با qدر اینجا بزرگ ماتریس تبدیل جبران شده در ژنراتور به ماتریس تبدیل

BASIkcحلقه در آن به 1 با بالا بردن . همگرا شود )(

را به سمت fCkAدر واقع مقادیر ویژه qمقادیر پارامتر منتقل شده و بدین ترتیب اثر مطلوب فیدبک jwچپ محور

با طراحی این . حالت روي رفتار ژنراتور را می توان به دست آوردرا به LQRو LQGکنترل کننده مزایاي هر دو کنترل کننده

خصوص از نظر توانایی برخورد با عدم قطعیت و نامعینی خواهیم .داشت

شبیه سازي -4

ر نظر گرفتن نامعینی و با در نظر عملکرد ژنراتور مذکور را بدون د GUIدر LQG/LTRو LQGگرفتن آن با کنترل کننده هاي

.بررسی می کنیم نرم افزار متلب :ماتریس هاي فضاي حالت ژنراتور مذکور عبارتند از

را به منظور بهبود پایداري گذرا و LQGابتدا کنترل کننده دینامیکی براي ژنراتور مذکور بدون در نظر گرفتن نامعینی در

2rو 1rو 11qتا 1qضرایب حالت آن، با تنظیم پارامترهاي .به صورت زیر به کار می گیریم

براي ژنراتور بدون در نظر گرفتن LQGبه کارگیري کنترل کننده -6شکل

نامعینی در سیستم

که در آن منحنی که با نقطه چین نشان داده شده عملکرد سیستم بدون کنترل کننده و منحنی که به صورت ممتد رسم شده عملکرد آن را در صورت اعمال کنترل کننده مذکور، نشان

سه ،11qتا 1qشایان ذکر است که از میان پارامترهاي . می دهدبیشترین تأثیر را در بهبود عملکرد 1q ،2q ،10qپارامتر

ژنراتور دارند که این موضوع مبین وجود سه قطب غالب در کاهش اولین 1qبدین ترتیب با افزایش .می باشد,سیستم مذکور

١١٤٧

نوسان بهبود می یابد ولی باعث تضعیف میرایی هاي نوسان هاي باعث بهبود پایداري گذرا 1qبه عبارتی افزایش . بعدي می گردد

عکس اثر 2qدر حالی که .و تضعیف پایداري دینامیکی می شود

1q 10و با افزایش را در عملکرد ژنراتور داردq میرایی نوسان. هاي بعدي بهبود یافته ولی باعث کاهش نوسان اول می شود

پایداري دینامیکی بهبود یافته در حالی که 1rهمچنین با کاهش 2rاین در حالی است که . باعث تضعیف پایداري گذرا می گردد

را در عملکرد ژنراتور دارد و در نهایت همان طور که 1rعکس اثر Rو Qمشاهده می شود با تنظیم ماتریس هاي وزنی 6در شکل

به ازاي پارامترهاي زیر پایداري گذرا و دینامیکی ژنراتور به .صورت مطلوب تأمین می گردد

q1=350 , q2=150,5 , q10= 5,5 , r1=0,19 , r2=0,09

در محاسبات فوق مقدار سایر پارامترها واحد در نظر گرفته شده را براي بهبود عملکرد LQG/LTRدر نهایت، کنترل کننده . است

.ژنراتور به کار می گیریم

براي ژنراتور بدون در نظر LQG/LTRبه کارگیري کنترل کننده - 7شکل در حوزه فرکانس - در حوزه زمان ب - گرفتن نامعینی در سیستمالف

LQGابیم که رفتار کنترل کننده یدرمی 7و 6با مقایسه شکل

می LQG/LTRبدون حضور نامعینی بهتر از کنترل کننده فراوانی از جمله بهبود يهاقابلیت LQGکنترل کننده .باشد

م، پایدارسازي و مصونیت در برابر نویز را د ارا میعملکرد سیستباشد اما توانایی برخورد با عدم قطعیت و وجود نامعینی در

.سیستم را ندارد

سیستم ژنراتور بدون اعمال کنترل کننده -8شکل

براي ژنراتور با در نظر گرفتن LQGبه کارگیري کنترل کننده - 9شکل نامعینی در سیستم

LQGرفتار سیستم در دو حالت اعمال کنترل کننده 9در شکل . به آن و بدون در نظر گرفتن آن توأما نشان داده شده است

همان طور که در این شکل مشاهده می شود کنترل کننده LQG قادر به کنترل ژنراتور با در نظر گرفتن نامعینی در کلیه

ماتریس هاي حالت نیست و باعث ناپایدار شدن سیستم می بدین منظور استفاده می LQG/LTRگردد لذا از کنترل کننده

اثر qهمان طور که پیش از این اشاره گردید با بالا بردن . شود .اهش می یابدک LQGمخرب فیلتر کالمن بر کنترل کننده

١١٤٨

براي ژنراتور LQG/LTRکارگیري کنترل کننده به- 10شکلدر حوزه ) در حوزه زمان ب) الفq= 100گرفتن نامعینی در سیستم نظر در با

)0و 10 3(در حوزه فرکانس در بازه)ج )- 10 3و 10 3(در بازه فرکانس

مشاهده می شود کنترل کننده )10(همان طور که در شکل LQG/LTR با وجود نامعینی در کلیه ماتریس هاي حالت

به صورت مطلوب به پایدارسازي آن می q=100سیستم به ازاي بدین صورت عمل نمی LQGدر حالی که کنترل کننده . پردازد

ج نشان داده می شود که کنترل - 10ب و - 10در شکل . کندکه توانایی برخورد با نامعینی را ندارد در حالی که LQGکننده

در شکل . رفتار مناسبتري نشان می دهد LQRکنترل کننده با LQG/LTRنشان داده شده است که پاسخ 13و 12،11هاي

و با افزایش بیش از حد آن پاسخ مطلوبی نخواهد qکاهش

. داشت

ژنراتور براي LQG/LTRبه کارگیري کنترل کننده - 11شکل

q= 10با در نظر گرفتن نامعینی در سیستم در حوزه فرکانس) در حوزه زمان ب )الف

ژنراتور براي LQG/LTR به کارگیري کنترل کننده- 12شکل

در ) در حوزه فرکانس ب) الفq= 1000با در نظر گرفتن نامعینی در سیستم حوزه زمان

١١٤٩

براي ژنراتور با در نظر LQG/LTRبه کارگیري کنترل کننده - 13شکل در حوزه ) در حوزه زمان ب) الف q= 10000گرفتن نامعینی در سیستم

فرکانس

را LQGمعایب کنترل کننده LQG/LTRنجا کنترل کننده یدر اتا حدودي برطرف نموده و با پاسخ زمانی و فرکانسی مطلوب

.تري حاصل می شود

نتیجه گیري -5

براي ژنراتور LQG/LTRنده در این مقاله به طراحی کنترل کنکاهش 11را به مرتبه 21ژنراتور مرتبه .پرداخته شد 21مرتبه

تابع تبدیل و دقت مورد , داده شد که ضمن کاهش محاسبات مورد بررسی قرار LQRابتدا کنترل کننده . نظر حفظ می گردد

قطبهاي سیستم به ,گرفت که در آن به واسطه فیدبک حالتاما به علت زیاد بودن متغیرهاي انتقال می یابند مکان مطلوب

حالت و عدم دسترسی به برخی از آنها جهت اندازه گیري، اجراي آن امکان پذیر نیست بدین منظور براي رفع این مشکل از فیدبک خروجی و تخمین حالت براي جابجایی قطب ها استفاده

راحی ط LQGمی شود و به واسطه فیلتر کالمن کنترل کننده 11کاهش داده شده به مرتبه 21و به ژنراتور مرتبه خواهدشد

با در نظر گرفتن نامعینی در کلیه ماتریس هاي حالت اعمال شد

که این کنترل کننده مزایایی همچون بهبود عملکرد و پایدارسازي داشته ولی توانایی برخورد با عدم قطعیت و نامعینی

را در LQGل کنترل کننده ها را ندارد و براي رفع این مشکطراحی LQG/LTRحوزه فرکانس بررسی کرده و کنترل کننده

شود که در نهایت نتایج حاصل از شبیه سازي تائید کننده میاین موضوع می باشد که کنترل کننده طراحی شده علاوه بر

توانایی برخورد با ,اینکه مزایاي کنترل کننده هاي فوق را دارد . نیز خواهد داشتنامعینی ها را

مراجع

A.Girish yajurvedi, " LQG/LTR control of induction motor", Thesis Faculty of Louisiana State University December 2011.

[1]

A.P.Ambos. “the application of H2 control design with disturbance feed forward to steam generator level in EDF PWR units”. Symposium on control. optimization supervision p 1299-1304 Lilhe France July 1996

[2]

A.Bendotti. “ identification and H control system design for a pressurized water reactor”, 33rd IEEE conference decision and control. p. 1072-1077. Orlando. FL. 1994

[3]

A.CS chin and B. N. Munro "The analysis and control of the alstomgasifier benchmark problem", 15 th triennial world congress, Barcelona, spain 2002.

[4]

A.Ali Feliachi. “Sub optimal level controller for steam generator in pressurized water reactor”, IEEE trans. on Energy Conversion.. Vol. 3, no. 2. June 1988.

[5]

A.H. FotovatAlunadi and B. SaeidSetayeshi. “Design of self timing real time controller for steam generator of PWR” Amukabuunrelsity of technology MS thesis Tehran, Iran. Jun 1999

[6]

A.Luis Garcia and B.manuel. J. lopez," LQG/ LTR control with fault detection method based on genetic algorithms" proceeding of the 5 thwseas/iasme Int. conf. on systems theory and scientific computation, malta, September 15- 17, 2005 (pp 26- 31).

[7]

A.W. Hafbauer and B. P. Dolovai, " LQG/ LTR controller design for a gas engine", GE energy, 6200 Jenbuch, Austria, 2007.

[8]

A.E.Irving .“Towarcl efficient full automatic operation of the PWR steam generator with water level adaptive control” .BNES. London, Boiler dynamic and control in nuclear

[9]

١١٥٠

rower stations. p.309-329.1980.

A.C. Koun and B. C. Lii. “Fuzzy logic control of the nuclear steam generator water level in PWR”, Nuclear Technology. Vol.100, PP. 125-134. 1992.

[10]

A.Yahaya.Md and B.Sam,Mohd. " LQR controller for active car suspension"0-7803-6355-8/00/2000 IEEE.

[11]

A.M.Kothare. “Level control iii the steam generator of a nuclear power plant”. IEEE trans. Control systems tech,. vol. 8. no. 1,Jan 2000

[12]

A.M.G.Na “desian of an adaptive observer based controller for water level of steam generators”. nuclear engineering and design. vol. 135. p. 379-394, 1993.

[13]

A.F. Mrilla, "Benchmark for PID control based on the boiler control problem", C. Juandel rosal 16, 28040. Madrid 2012.

[14]