longitud de curva , resumen

7/24/2019 Longitud de curva , resumen

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LONGITUD DE ARCO DE CURVA

Una funcin vectorial F: [ a , b ] Rnes regular si F es de clase C1 [ a , b ] y F(t)0,

t [ a , b ] .

Una curva regular admite alguna parametriacin regular! lo mismo se puede asegurar

para las curvas regulares "por troos"#

$ada una curva C con vector de posicin r(t), se define la longitud de arco de curvaentre los puntos r(a) y r(%) al supremo de las longitudes de las poligonales inscritas a lacurva entre dic&os puntos, en caso de e'istir# n este caso se dice ue la curva esrectifica%le# *e precisa en la siguiente

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 1

0.2 1

0.5 0.51 10.8 0 0.8 0

0.6 0.6

0.4 0.5 0.4 0.50.2

1

0.2

10 0

Definicin# *i es el con+unto de todas las particiones ue se pueden definir en el

intervalo [ a , b ] ! la curva C descrita por una funcin F: [ a ,b ] Rn

se dice ue es

rectifica%le si el con+unto -./ . } tiene una cota superior.

$onde -.es la longitud de la poligonal generada por la particin ., y

LP=i=0

n

F( ti )F(ti1)

*i C es una curva rectifica%le y r: [ a , b ] Rn es una parametriacin de C, entonces

la longitud - de la curva C es el supremo del con+unto -./ . }

R23 *i C es una curva regular, entonces es rectifica%le y su longitud es

l (C)=a

b

r '( t)dt

$onde r: [ a , b ] Rn es una parametriacin regular de C#

*i una curva es regular a troos , su longitud se calcula sumando las longitudes de cada

tramo regular#4

Longitud de arco:Longitud de arco de una curva en el espacio:


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Si C es una curva suave dada por r ( t)=x ( t)i+y(t) j+z ( t) k en un intervalo

[ a ,b ] , entonces la longitud de arco de C en el intervalo es:

s=a

b

[x (t) ]2+[y (t)]

2+[z (t)]

2dt=

a

b

r (t)dt

+emplo# Calcular la longitud de arco de par5%ola descrito por F(t) 6 ( t7 , 7t ) ! t

[0,1 ]

n este caso F ( t ) 6 (7t, 7) y F '(t)=4 t2+4=2t2+1

l (C)=20

1

t2+1dt=2+ ln (2+1)

-ongitud de una Curva em Coordenadas .olares

*ea una curva definida en coordenadas polares mediante una ecuacin de laforma r = ( ) con 8 8 # $ic&a curva puede descri%irse enecuaciones param9tricas mediante las ecuaciones

s = ( ) cos , y = ( ) Sin .

-a longitud en coordenadas param9tricas es:

L=

[x '(t)]2+[y '( t)]2 d

$erivando s e y con respecto al par5metro se tiene

x() = () Cos () () Sin()

y () = () Sin() + () cox()

Finalmente, su%stituyendo en L y simplificando resulta la siguiente frmula

para el c5lculo de la longitud de una curva en coordenadas polares

L=

[ f()]2+[ f '()]2d


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FUNCIN LONGITUD DE ARCO

La integral definida

s ( t)=a

t

r '(u)du *e llama la funcin longitud de arco; para la curva C! u es una

varia%le de integracin sustituta# -a funcin s(t) representa la longitud de C entre lospuntos so%re la curva definida por los vectores posicin r(a) y r (t)# 2uc&as veces es


4/6

'6 2cos s

5, y=2 sen

s

5, z=

s

5

*e advierte ue la derivada de la funcin vectorial r(s) con respecto a s, es

2

5sen

s

5, 2

5cos

s

5, 1

5r

'(s )=)

Cuya magnitud es

r '(s)=(2

5sen

s

5 )2

+( 25 cos s

5 )2

+( 15 )2

61

-uego r '(s)=1 ,

3nteriormente se &a visto ue la derivada de una funcin vectorial r (t) con respecto al

par5metro t es un vector tangente a la curva C traada por r# pero si la curva se

parametria en t9rminos de la longitud de arco entonces

La derivada r(s) es un vector tangente unitario

+emplo#> .ro%ar ue la &ipocicloide r(t) 6 (cos3

t , sen3

t) ; t [0,2] es una curva

regular a troos y calcular su longitud total#

*olucin

$erivando la funcin, se tiene

r(t) 6 (3cos2tsent ,3 sen

2t!"st)

&aciendo r(t) 6 0

1) 3cos2tsent=0cos2 t=0# sent=0

7) 3 sen2

t!"st=0sen2 t=0#!"st=0

$e sent 6 0 implica t 6 0 t 6 , t 6 7

De cos2t=0 i$%li!a t=

2& t=

3

2

Estos valores satisfacen amas ecuaciones, luego,

r!"t# $ % si t $ % ,&' , , (&' , '


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Entonces, la curva C no es una curva regular en [0,2]

)ero r es regular en cada su intervalo * % ,&'+ , * &', + , *, (&' +,

* (&', '+.

Sea l1 la longitud de la curva C1 : ) $ r1(t) , t * % ,&'+

r1( t)=( t)=(cos3 t,sen3t) r '( t)=9cos4 t sen2 t+9sen4 tcos2 t

r '( t)=9cos2 t sen2 t( sen2t+cos2t)=3(!"stsent)2=|3!"stsent|

Como cost % - sent % para t * % ,&'+ entonces

l1=

0

2

3!"stsentdt=3 sen

2t

2 ]02

=3

2

)or la simetra de la curva

l1( t)=l

2(t)=l

3(t)=l

4( t)=3

2

E/emplo. Sea C la curva descrita por r "t# $ "sen(t, cos(t , ' t3 /2

# , t

[0,] .

a# 0allar la longitud total de la curva# )arametri1ar C a/o el par2metro longitud de arco s.

Soluci3n

a# r!"t#$ (3cos3 t ,3 sen3 t ,3t) r '(t)=31+t

l=0

31+ t dt=2[ (1+)

3

2

1]

# sea

r '(u)du=0

t

31+u du=2 [(1+t)3 /21 ]

l (t)=0

t

Si l"t# $ s , entonces l1 ( s )=t

S $ 2 [(1+t)3 /21 ] , despe/ando t resulta


6/6

t $ (s2+1)3/2

1

4eempla1ando t en la ecuaci3n original otenemos,

5"s# $ (sen3[(s2+1)3 /2

1] ,cos3 [(s2+1)3/2

1] ,2[(s2+1)3/2

1]3 /2

)

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