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Universidad Distrital Francisco José de Caldas Maestría en Educación

1

ANEXOS

Anexo A: DISEÑO DE ENTREVISTA A DOCENTE

Tarea Criterios Hipótesis de hallazgos

1. ¿Qué significado

tiene para usted la

integral definida?

Badillo, Azcárate y Font (2011)

propone esta tarea para explorar los

significados que tiene el docente

sobre la integral, conduciendo a

identificar el conocimiento común y

global.

Información asociada al significado

o significados que otorga al objeto

matemático, generará datos en torno

al significado Institucional de

referencia, el conocimiento común,

y el elemento de significado:

Situaciones Problema.

2. ¿Qué tipo de

situaciones-

problemas-tareas-

ejercicios considera

útiles para introducir

en la enseñanza de la

Integral?

En Godino (2013) se presentan las

resolución de situaciones problema

como centro de la actividad

matemática, además es la “tarea” o

factor desencadenante de acciones,

representaciones y en general las

prácticas del estudiante y por ende

preocupación inicial del docente.

Evidencia del conocimiento

didáctico-matemático, es la

selección y/o adaptación de

situaciones problema pues allí se

caracterizan los significados

pretendidos, no aislados de la

dimensión epistémica del proceso de

estudio entorno a los fundamentos

de la integral: Aproximación y tasa

de acumulación.

3. ¿Son para usted

importantes los

problemas extra

matemáticos para la

enseñanza de la

integral?

La pregunta busca determinar si el

docente involucra contextos de uso y

situaciones problema que

condicionan el significado que se le

da a los objetos matemáticos

(integral), además se vinculan el tipo

de representaciones, procedimientos

y demás elementos validos en el

contexto enunciado.

4. ¿Qué

procedimientos

involucra y/o espera

de los estudiantes

cuando enseña la

integral definida?

Se espera obtener información respecto a los elementos primarios de

significado institucional pretendido, en particular del lenguaje, propiedades

y procedimientos que el docente espera que los estudiantes desarrollen. Así

mismo caracteriza el tipo de prácticas que desencadenarán las tareas

propuestas, enmarcadas en el contexto real de la institución, se infiere que se

informará sobre la adecuación del diseño al tiempo disponible y a los saberes

previos de los estudiantes.

5. ¿Qué conceptos

(Temas) están

relacionados con la

integral?

5.1. ¿qué deben saber

sus estudiantes para

afrontar las

(actividades)* que

usted le propone?

Este ítem está orientado a reconocer

el significado parcial de la integral,

partiendo de los conceptos

involucrados. Así mismo indaga

sobre elementos del diseño, como lo

son los saberes previos del estudiante

según la consideración del docente.

Aporta elementos entorno al saber

común y el saber especializado del

docente, en particular a lo que

relaciona el conocimiento del

contenido en relación con los

estudiantes y con el currículo,

generando información sobre la

relación: Docente-Saber y Docente-

Estudiante.

¿Qué idea (definición)

de integral definida

debe resultar en los

estudiantes de grado

Un décimo tras el

El ítem indaga por el conocimiento

didáctico-matemático del docente,

quien debe involucrar sus saberes de

la historia y epistemología de la

integral, así como la didáctica del

Se espera encontrar información

respecto al conocimiento

especializado del contenido en

relación con los estudiantes; con la

enseñanza; y con el currículo y el


2

desarrollo de la

secuencia propuesta?

cálculo para develar desde los

significados de referencia, los

significados pretendidos.

contexto en el que se desarrolla la

práctica de enseñanza y aprendizaje.

Particularmente indicará elementos

(No solo la definición) de

significado institucional Pretendido.

¿Cómo se logra

convencer e invitar al

estudiante a defender

sus procesos,

definiciones y

conclusiones?

Es pertinente indagar sobre la

argumentación y validez de las

prácticas tanto del docente como del

estudiante.

Información relativa a uno de los

elementos de significado

(Argumentos) que reflejará su

relatividad al contexto de uso y

procesos que vinculan los

fundamentos aproximación y tasa de

acumulación. También informará la

dimensión cognitiva del

conocimiento didáctico al indagar

sobre la concepción que tiene el

docente de las manifestaciones del

estudiante.

¿Qué errores son

habituales en los

estudiantes cuando

(aprenden la integral

definida) abordan las

tareas alrededor de la

integral definida?

El diseño dado por el docente hace

parte de un proceso de estudio que

debe estar en coherencia con el

currículo e intereses de la institución,

así mismo debe basarse en la

consideración cognitiva donde se

prevén errores y dificultades.

Frente a la Dimensión cognitiva, el

docente describirá elementos

asociados a las prácticas esperadas

de los estudiantes (aciertos/errores)

involucrando todos los elementos de

significado que se enmarcan en el

significado institucional pretendido.

¿Qué estrategias,

materiales o recursos

involucra en la

enseñanza de la

integral?

Desde la perspectiva del EOS, se

considera la relevancia de los

materiales y recursos puesto que

condicionarán las prácticas de quien

se involucra con la tarea, entre otras

cosas, movilizará un tipo de

representaciones particulares y

determina la situación problema. El

libro de texto en particular orienta el

proceso de diseño, disponiendo de

tareas de contextualización,

ejercitación, aplicación,

profundización o priorizará algunos

de ellos.

Los conocimientos didáctico-

matemático ampliado, se relaciona

directamente con el significado

institucional de referencia y

pretendido; los libros de texto

informaran sobre elementos de

significado que se identificaran y

describirán desde el análisis

documental. Respecto al

conocimiento didáctico-matemático

especializado, este ítem brindará

información sobre la dimensión

mediacional.

¿Qué libros de textos

formales y de

matemática escolar

utiliza?

¿Qué papel juegan

esos textos en la

enseñanza de la

integral?

¿Qué rol desempeña el

docente y los

estudiantes en la

enseñanza de la

integral según lo que

ha dispuesto?

Lurduy (2009) señala que dentro del

sistema didáctico, adicional al diseño,

se presentan dos macro-categorías:

gestión y evaluación, las cuales están

interrelacionadas directamente, por lo

que es pertinente indagar sobre como

el docente piensa los roles, tiempos y

prácticas de los que participan en el

proceso de estudio.

Las consideraciones del docente

frente al diseño, anteponiéndose a

fenómenos que ocurren durante la

gestión, brindarán información

respecto a la Dimensión

interaccional y la relación docente-

estudiante y docente-contexto.

*Entre paréntesis son señalados algunos términos que favorecen la contextualización de las

preguntas.

Instrumento 1: Guía de entrevista (INESE 1)


3

Anexo B: SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL

Situaciones Lenguaje Procedimientos Proposiciones Conceptos Argumentos

Intu

itiv

a

Hallar el área de regiones

planas a través de

procedimientos que

requieren la utilización

implícita de la idea de

integral (Determinar el

área de un segmento

parabólico; de un circulo

por medio de las

sucesivas

aproximaciones de

polígonos regulares [de n

lados inscritos] cuya

cantidad de lados

aumenta infinitamente.

Parte del

lenguaje

común y

recurre al

lenguaje

geométrico,

aritmético y

algebraico

Utilización de métodos

intuitivos.

Procesos estáticos centrados

en cálculo actuales.

Propiedades de las series

y sucesiones.

Propiedades de las

operaciones de los

números reales

asociados a la medida.

El área de las sumas

inferiores o superiores

son aproximadas (tanto

como se quiere)

El concepto de integral

no ha sido formalizado

(o estudiado),

implícitamente se

manejan las nociones

de infinito y de limite.

Área de figuras planas

comprendidas entre

curvas, de polígonos;

partición, sumas de

cuadrados y cubos.

Suma de áreas. Sumas

inferiores y superiores.

Inductivos

[comprobación

de fórmulas

(suma de

cuadrados,…)]

Deductivos

(demostrar

resultados de

problemas con

ayuda de

propiedades

aritméticas, de

series y

limites)

Geo

mét

rica

De naturaleza

geométrica con

orientación al uso

implícito o explícito de

la integral.

Hallar el área de regiones

planas, hallar el volumen

de sólidos (de

revolución), calcular la

longitud de arco de una

curva, calcular el área de

una superficie de

revolución.

Predomina

el lenguaje

geométrico,

algebraico

y

simbólico.

- Análisis de propiedades

geométricas de las curvas

involucradas;

Reinterpretación del área

como suma de Riemman; -

Deducción de la integral,

como valor numérico de la

medida de la magnitud;

- Desarrollo de técnicas de

integración para encontrar

una primitiva;

- Desarrollo de métodos y

construcción de regiones

planas, discos y láminas,

sumas de muchas/infinitas

particiones. - Acumulación.

Caracterizar las curvas

desde sus propiedades

geométricas y su

interpretación como

familia de ordenadas.

Visualización de

relaciones geométricas.

Teorema fundamental

del cálculo, Regla de

Barrow, principio de

Cavalieri.

Límite de las sumas de

los infinitos rectángulos

en un intervalo cerrado

para hallar el área de una

región plana.

Áreas de regiones

planas, volumen de

sólidos, longitud de

arco de curva, área de

superficie en

revolución.

Recurrencia de

conceptos previos

como área del

rectángulo, volumen

del cilindro, teorema de

Pitágoras, limite, suma

de Riemman, derivada

y primitiva.

Deductivos

(justificar los

desarrollos

analíticos

sobre los

problemas

geométricos).

Cadenas

deductivas de

relaciones

geométricas

entre la curva y

las

construcciones

realizadas

sobre ellas.


4

SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL


Sum

ato

ria

Surge de los

problemas

geométricos desde

una representación y

tratamiento formal y

generalizado del

cálculo de áreas y

volúmenes.

De carácter

analítico,

simbólico y

algebraico.

Determinación del

límite de las

sumas de

Riemman.

Deducción de la

integral definida.

El límite de las sumas

de partes

infinitesimales

permite encontrar el

área de una superficie.

Acercamiento

intuitivo de una

sucesión que “Se

acerca a […]”.

Integral como el límite de una

suma; función (Familia de

ordenadas), limite,

infinitesimal, continuidad,

convergencia de series,

diferencial y derivada;

Infinitésimo (sucesión

convergente que tiene por

limite cero); Variabilidad de

la función. Limite como una

noción aritmética. La derivada

de una función continúa como

un límite.

Deducción formal

de propiedades y

expresiones

analíticas.

Fundamentados en

el rigor matemático.

Acu

mu

lad

a

Estudio del cambio y

del movimiento;

Calcular el cambio

acumulado de una

función que

representa una tasa de

variación en un

determinado intervalo

de tiempo.

Uso de la

representación

gráfica para

explicar la

variación;

Predomina el

lenguaje gráfico y

algebraico.

Cuantificar el

cambio

acumulado

Deducción de las

propiedades de la

integral. Teorema del

valor medio

Cambio acumulado, función,

partición, tasa de cambio,

limite, derivada, área y

volumen, trabajo, velocidad,

etc.

Uso del álgebra

geométrica para

visualizar las

proposiciones.

SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES EVIDENCIADOS EN EL DISEÑO DE TAREAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA INTEGRAL

5

SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL


Pri

mit

iva

Establecer la

relación inversa

entre la

integración y la

diferenciación.

Hallar la primitiva

de una función

calcular la

primitiva a partir

de las técnicas de

integración.

Algebraico y simbólico.

Secuencias de fórmulas y

relaciones con notación

simbólica, incluyendo las

alongada, limites superior

e inferior y “dx” como

notación del estudio de la

variación sobre la variable

“x”; Condicionado por las

primitivas inmediatas

cada función (expresión

simbólica); Algebra de los

infinitamente pequeños.

Desarrollos de cálculos

aritméticos.

Cálculo de integrales

como operación inversa

de las derivas

(Primitiva inmediata)

Uso y desarrollo de

técnicas de integración

(por Partes, por

sustitución, de

funciones racionales,

…)

Función primitiva

muestra la

correspondencia

entre dos funciones

para la integración.

Propiedades de la

integral, Teorema

fundamental del

Cálculo,

Propiedades de las

líneas curvas.

Conceptos previos

asociados a

polinomios,

funciones,

operaciones con

expresiones

algebraicas,

trigonometría,

simplificación, etc.

Primitiva, derivada,

función.

Partiendo de procesos

deductivos para la

demostración del

teorema fundamental del

cálculo y las

propiedades de la

integral indefinida,

permitiendo utilizar

estos resultados para

desarrollar cuestiones y

encontrar primitivas.

Extr

a-M

ate

mát

ica

Incluyente con la

conf. Primitiva. Aplicación de la

integral (hallar

primitivas) y

propiedades de

ésta en contextos

extra

matemáticos.

Lenguaje algebraico,

analítico y simbólico,

conjugado con el juego de

lenguaje impuesto por el

contexto (trabajo, fuerzas,

etc.)

Análisis de los datos del

problema.

Identificación de

fórmulas asociadas al

problema,

interpretación como

una suma de Riemman,

deducción de la integral

(Primitiva y el valor

numérico).

Teorema

fundamental del

cálculo, Sumas de

Riemman, Regla de

Barrow.

F es la primitiva de

g, si g es una de las

derivadas de f.

Emergentes del

contexto: Presión,

fuerza hidrostática,

momento, centro de

masa, función de

densidad de

probabilidad.

Heurísticos y deductivos

desde el comportamiento

de los conceptos

asociados.


6

SIGNIFICADOS DE REFERENCIA PARCIALES DE LA INTEGRAL Situaciones Lenguaje Procedimientos Proposiciones Conceptos Argumentos

Tecn

oló

gica

Resolución de

problemas matemáticos

y extra matemáticos

desde la utilización de

software.

Uso predominante

de lenguaje

tecnológico,

algebraico,

simbólico y gráfico,

con especial

consideración del

lenguaje asociado a

la simulación del

movimiento y

cambio.

1. Manipulación manual del

problema para determinar la

función a integrar, llevada a

un desarrollador de

expresiones algebraicas. 2.

Exploración de problemas

mediante una secuencia lógica

de construcciones en el

software con cálculos

auxiliares. 3. Construcción

auxiliar de cuerpos

geométricos por exceso y por

defecto.

Teorema

fundamental del

cálculo, Sumas

de Riemman,

Regla del valor

medio.

Asociado a los

contextos

matemáticos y

extra-

matemáticos en

juego. Área,

volumen, cambio.

Corroboración de

propiedades con ayuda

de las herramientas del

software. Comparación

entre distintas

representaciones

incluyendo la gráfica y

los cálculos numéricos.

Interacción intuitiva

con la tecnología y los

conceptos.

Ap

roxi

mad

a

Encontrar el valor exacto de la integral

definida para problemas cuando no

se puede encontrar la

primitiva o no hay una

fórmula para la

función, una vez que

los datos se han

recogido desde

experimentos

científicos o lectura de

instrumentos.

Integración

numérica desde la

evaluación de

funciones en puntos

fijos.

Analítico,

algebraico, Tabular

y gráfico.

Integración numérica desde la

construcción de una función

escalonada considerando la

suma de rectángulos

construidos

Regla del punto

medio, regla de

Simpson, Regla

del Trapecio.

Aproximación

por extremidad

media, izquierda

y derecha. Error.

Área de

polígonos

(rectángulos,

triángulos y

trapecios)

Corroboración

procedimientos

numéricos con

expresiones analíticas

para el área de

rectángulos.

Deducción,

interpretación y

corroboración de

relaciones entre

representaciones

Tabla N° 2: Configuraciones parciales de la Integral desde los Elementos de Significado


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Anexo C:

Configuración Global e intermedia de la Integral en el Libro de Texto

Matemático

Estructura del Texto indagado para identificar el Significado Institucional de

Referencia

El texto “Calculus” de Apóstol (1999) esta subdividido en partes en las que aborda

ejes temáticos asociados al cálculo, como se muestra a continuación: Parte 1.

Introducción histórica al Cálculo-, Parte 2. Conceptos básicos de la Teoría de

Conjuntos. Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números Reales. Parte

4. Inducción Matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas. Capítulo 1.

Los conceptos del cálculo integral. Capítulo 2. Algunas aplicaciones de la integración.

Capítulo 3. Función continúa. Capítulo 4. Cálculo Diferencial. Capítulo 5. Relación

entre integración y Derivación. Capítulo 6. Función Logaritmo, función exponencial y

funciones trigonométricas inversas. Capítulo 7. Aproximación de funciones por

polinomios. Capítulo 8. Introducción a las ecuaciones diferenciales. Capítulo 9.

Números Complejos. Capítulo 10. Sucesiones, series e integrales impropias. Capítulo

11. Sucesiones y series de funciones. Capítulo 12. Álgebra vectorial. Capítulo 13.

Aplicaciones del álgebra vectorial a la geometría analítica. Capítulo 14. Cálculo con

funciones vectoriales. Capítulo 15. Espacios lineales. Capítulo 16. Transformaciones

lineales y matrices.


8

CONFIGURACIONES INTERMEDIAS De acuerdo a lo señalado dentro del EOS y por Crisóstomo (2012), las configuraciones

epistémicas y los significados son emergentes de sistemas de prácticas que resultan de

la resolución de problemas, la comunicación de resultados y la extrapolación de los

mismos, de allí que las unidades de contexto (Reconocidas como configuraciones

epistémicas intermedias), resultan de la enunciación del concepto, propiedades y

operaciones aplicadas al área vista como la función de un conjunto, donde S es una región

plana, para la cual se le asigna un área (a(S)). Se enunciarán los problemas referidos a

la integral dentro del texto a continuación:

A. La interpretación analítica y representación geométrica de la suma de secciones de

una función escalonada; B. Determinación de integrales para funciones, donde se

considera la función como una familia de ordenadas1, acudiendo el tratamiento analítico y

simbólico de las magnitudes y de las variables que se relacionan funcionalmente en la

construcción de rectángulos o sucesiones de polígonos en consideración de un sistema

de coordenadas (La determinación del área del circulo desde su representación como

sistema de coordenadas cartesianas), hasta acá se asocian las configuraciones parciales

de la noción matemática señaladas por Crisóstomo (2012) como Intuitiva, geométrica y

analítica. C. El cálculo del volumen de sólidos cuya área superficial es prefijada partiendo

de la integración del área seccional. De esta aplicación de la integral y el tratamiento

analítico sugerido, emerge la aplicación de la integral a conceptos de la Física, por ejemplo

en la determinación del trabajo desde la integración de una función de fuerza para el

desplazamiento de una partícula de un punto “a” a un punto b.

Ya en el desarrollo analítico de las propiedades del área e integración de funciones, se

habla de “Integral definida” para funciones continuas, partiendo de la construcción o

inscripción de una función escalonada de límite inferior en un determinado intervalo, que

implica el desarrollo de nociones intuitivas hacia su formalización.2

1

Si bien se habla de un tratamiento intuitivo, geométrico y analítico asociado a los problemas de áreas, los contextos sobre los cuales se

desarrolla esta noción matemática, incluyen cuerpos geométricos como curvas o polígonos, hasta incorporar regiones planas que se comportan según patrones escalonados de rectángulos; Todo esto lleva al estudio de regiones encerradas por funciones (entendidas como familias de

ordenadas). 2Se vinculan nociones de continuidad y límite de una función, se da un tratamiento simbólico y la demostración de propiedades y teoremas

analíticos.


9

En el último apartado, se asume el estudio previo del cálculo diferencial, desde el cual se

contextualiza la relación entre integración y derivación. Así y con un vasto cuerpo de

representaciones, propiedades, teoremas y expresiones analíticas se constituye el

problema de integración de funciones definidas e indefinidas desde la manipulación de las

derivadas y anti-derivadas. Como un apartado específico de problemas se busca la

derivada de una función integrada y viceversa, de manera tal que desde una manipulación

formal de la noción matemática sean evidenciadas las propiedades y operaciones con

anti-derivadas, teoremas fundamentales del cálculo y métodos de integración, como la

integración por partes. Este último campo de problemas devela una configuración

epistémica intermedia que según Crisóstomo (2012) se determinaría como una

“configuración epistémica formal de la integral”.


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Anexo D: Guia del Estudiante

Momento 1: Lea cuidadosamente la siguiente situación e intente dar respuesta a las preguntas

planteadas, apoyese en representaciones gráficas u otras, según considere necesario:

Situación 1:

El comprador de un lote esquinero de forma rectangular sabe que el valor de

éste se determina por la superficie o área. El dato que busca no está disponible

en el documento que acredita al propietario, sin embargo se sabe que la

longitud de la cerca implementada para encerrar (el frente y uno de los lados)

es 24.5 metros. Es necesario encontrar las medidas del lote, su área y precio.

¿Cuál podría ser el valor del lote si cada metro cuadrado tiene un valor de un millón de pesos?

¿Aumentaría el valor del lote si tuviese una forma de trapecio como en la figura?

Momento 2: De manera individual, realiza una lectura de la situación, intentando dar

repuesta/solución a las cuestiones planteadas:

Situación 2: La empresa El Roble,

trabaja por contrato en la elaboración

de estructuras en madera según

medidas y necesidades de sus

clientes, cobra $87.000 por metro

cuadrado procesado. El último cliente

solicita la construcción de una puerta

cuya forma y medidas se

especificaron en el siguiente

bosquejo:


11

Los encargados de medir y construir la puerta han presentado un inconveniente respecto a

los materiales, cuentan solo con una máquina que realiza cortes rectos, por lo que es imposible

obtener de manera inicial la curva superior de la puerta.

¿Cuántos retazos de madera (tablas de borde recto) se requieren para la construcción? Explique su respuesta

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Teniendo en cuenta que el cobro se realiza por la cantidad de metros cuadrados, ¿Qué cantidad de madera se necesita para la construcción de la puerta con tablas de bordes rectos?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuál será el costo de la puerta?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Momento 4: Teniendo en cuenta los procesos realizados en las actividades anteriores, da lectura y

respuesta a la siguiente situación:

Situación 3: “El proceso de reestructuración de un tunel requiere de compuertas en sus extremos por

seguridad ambiental y laboral, el Arquitecto ha determinado que la forma de la entrada corresponde a

medio círculo, cuyo diametro es 4 metros , además ha determinado que cumple con las propiedades de

una sección cónica expresada por (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 4,

¿Cuál es la superficie de la entrada al tunel?


12

Momento 3: Describa el proceso que usted considera óptimo para construir la puerta con las herramientas que se tienen.


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Anexo E: Transcripción de la entrevista al docente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

ENTREVISTA a P1: Profesor Instituto Clara Fey Gestor del Proceso de Estudio: Acercamiento a la enseñanza de la integral definida

Instrumento: INESE 1 Duración: 50 Minutos

I: Investigador P1: Entrevistado

INTRODUCCIÓN

I: Buenas tardes: Inicialmente quisiera agradecerte por participar y colaborar en el desarrollo de este proyecto, entiendo que es complicado articular las actividades que habitualmente se deben desarrollar en la institución con este tipo de trabajos…. Espero que los resultados de este trabajo no solo me permitan desarrollar la investigación, sino que nos permita reflexionar y aprender conjuntamente sobre la enseñanza del cálculo. P1: Aunque en verdad por estas fechas hay bastante trabajo y por la cantidad de actividades programadas en la institución se ha perdido muchas clases, en especial con las chicas de once. Creo que puedo participar en tu trabajo, igual según lo que me comentas, las clases las tengo que hacer normalmente y no debo aprenderme algo adicional, ¡Porque no hay tiempo! I: Exacto, yo te buscare en algunos momentos para acordar aspectos acerca del diseño, la grabación y las entrevistas que te comentaba. P1: O.k. I: Comencemos, la idea de este trabajo es estudiar lo sucedido con la enseñanza de la integral definida, en particular con los conceptos y procesos asociados, quisiera saber ¿Cómo vez este año el proceso de enseñanza de la integral y los otros conceptos del cálculo? P1: Mmm, bueno, con grado once siempre se dificulta por el tiempo ver todos los temas que aparecen en la malla (Malla Curricular de la Institución), con los límites y las derivadas, la verdad fue que se abordaron desde las propiedades y las formulas, con talleres y ejercicios, ahí lo importante es que manejen el álgebra bien, los casos de factorización, la simplificación… Todos esos temas de noveno y octavo. Para la integral, normalmente se inicia con las integrales indefinidas, se trabaja con las anti-derivadas y se resuelven ejercicios para los distintos tipos de funciones. I: ¿Ya iniciaste con las integrales este año? P1: Bien, como le comentaba, se debe ajustar la programación de clases a las actividades de once, el retiro, la salida pedagógica y ellas organizan otras actividades casi todas las semanas. La próxima semana (29/09/2014 a 03/10/2014) inicio ya con eso y voy a aprovechar para relacionar algunas cosas con Física (asignatura también dirigida por P1), la notación y algunos problemas al final. Pretendo iniciar con problemas de áreas, después las propiedades y problemas y terminar con lo de las anti-derivadas. I: ¿Qué significado tiene para usted la integral definida? P1: Si, bueno normalmente los libros y la malla muestran son las anti-derivadas, colocan tipos de funciones y distintos métodos y reglas para deducir las integrales de distintas funciones, ahí a los estudiantes les va mal porque no manejan la factorización y comenten muchos errores. Yo personalmente desde que estaba en la universidad he visto que hay varias definiciones de la integral: aplicaciones a problemas, las anti derivadas y el área bajo la curva, esa sería la misma que las sumas de Riemman…. I: ¿Qué significan cada una de esas? P1: Con las anti-derivadas lo que se sabe es que hay funciones que son integrables y dependiendo el tipo de función que sean, se puede utilizar la propiedad de la derivada de una Función, es decir, uno cuando deriva va desde “f de x a la derivada” [f(x) -› f´(x)], ahora es al revés, vamos de esa derivada a la función inicial, la primitiva [f´(x) -› f(x)], solo que se le llama primitiva, entonces para una función buscamos su anti-derivada, y si cogemos esa anti derivada y la derivamos nos va a dar la función que se está integrando, de hecho si le colocamos más uno, más dos, cualquier número acá, esa derivada va a ser la misma. Con lo de los problemas y aplicaciones, lo que se hace es que dependiendo de la pregunta, se pueden utilizar las anti derivadas y evaluarla en los dos valores o limites que nos pidan, depende del tipo de problemas, por ejemplo cuando se integran funciones de la velocidad de un objeto, se puede encontrar el recorrido que ese objeto ha realizado. I: ¿Esas son las formas comunes de enseñar la integral? P1: si, bueno lo de las áreas es que la integral también es el área debajo de la curva, si yo tengo una función o una figura en el plano cartesiano, puedo determinar el área que queda encerrada entre dos líneas


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52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

perpendiculares que son los limites inferior y superior, arriba la curva o la función y abajo el eje de las equis. Se puede resolver de varias maneras, yo me acuerdo que para el círculo no se utiliza todo lo de la integral, pero se hacen procesos con triángulos para tratar de medir el área, y si se hace en el plano cartesiano más aproximado o exacto se puede con las sumas de Riemman, que es armando debajo de la curva una serie de rectángulos con las bases “pequeñitas” y la unión de todos ellos, hace que se aproxime su área al área de la curva, ahí también se necesitan artos conocimientos de álgebra, de sumatorias, de límites para que no quede solo en cosas intuitivas de la medida a donde se acerca la suma de rectángulos. I: Bien, ¿esa última manera de ver la integral es cómo vas a iniciar a ver las integrales? P1: si, inicialmente vamos a dar un tiempo para eso y al final trabajamos las anti derivadas y reglas de integración. I: ¿Qué tipo de situaciones-problemas-tareas-ejercicios considera útiles para introducir en la enseñanza de la Integral? P1: Mmmm Depende, depende de lo que uno quiera lograr con los estudiantes, por ejemplo si la idea es cumplir con la malla y los temas a veces toca pasar directamente a las anti-derivadas y proponer unas aplicaciones, ya que las reglas son artas y para que las manejes los estudiantes se deben hacer ejercicios con cada tipo de funciones y trabajar las propiedades. Pero, para enseñar lo mejor es iniciar con problemas de distintos tipos de áreas de figuras curvas, volúmenes, problemas del cálculo del área bajo la curva por sumas y aplicaciones como tal, para que le den sentido de que son y ara que sirven las integrales y todas esas fórmulas. Ahorita tenemos casi un mes para trabajar las integrales así que voy a proponer más o menos dos semanas con problemas de áreas, primero las figuras geométricas en problemas o aplicaciones, que ellos hallen el área. Después yo creo que lo más apropiado sería trabajar con problemas de áreas bajo la curva, con métodos más específicos, usando las sumas de Riemman, el método de aproximación con rectángulos e ir formalizando para utilizar cálculos concretos y más aproximados. Cuando se vaya a profundizar en el tema para pasar a las propiedades y anti derivadas, se vinculan eso problemas de áreas con límites y cálculos hasta llegar poco a poco a la definición formal. ¿Son para usted importantes los problemas extra matemáticos para la enseñanza de la integral? P1: Realmente sí, no siempre hay tiempo para trabajarlos con la profundidad necesaria, pero son esos problemas extra matemáticos los que le dan sentido al porqué de la integral, ayudan a los estudiantes a tomar decisiones sobre los procesos que se deben aplicar para resolver el problema. Para uno como profesor también permiten explicar y socializar tanto la situación, como los distintos procesos que se quieren aclarar, depende del problema y de los conocimientos que ya tienen los estudiantes, pues si se coloca un contexto, pero no es del todo clara la relación con la integral, las chicas pueden confundirse aún más. Por ejemplo, en un problema de física sobre el “trabajo”, no es inmediato que los estudiantes comprenden que se debe utilizar la integral. I: ¿Qué procedimientos involucra y/o espera de los estudiantes cuando enseña la integral definida? P1: Puntualmente, en la manera como estoy pensando abordar esa temática este año, esperaría que los estudiantes iniciaran reconociendo y ejecutando los procedimientos necesarios para calcular el área de figuras a partir de las básicas, es decir, rectángulos y triángulos, no solo que los dibujen, sino que también puedan escribir las cantidades y deducirlas de manera sistemática. Posteriormente esperaría que los estudiantes utilicen esos procedimientos para hallar áreas de figuras encerradas por curvas, por ejemplo en el círculo que utilicen triángulos y cuadrados de distintas dimensiones para agotar la superficie. Conforme iniciemos el trabajo más formal con la integral, lo ideal es que los estudiantes partan del tipo de curva para organizar las secuencias de figuras o rectángulos que harán parte de la suma. Al finalizar esa parte los estudiantes deben reconocer que no hay una respuesta inmediata para el área bajo la curva, y que dependiendo de la aproximación, cantidad y tamaño de los rectángulos se obtendrán valores que nos sirvan como solución para el problema. I: ¿Qué Temas están relacionados con la integral? P1: Cuando los estudiante desarrollen la actividad, ellos deben tener en cuenta y usar procesos relacionados con el área y problemas de álgebra geométrica, no solo que el área del rectángulo es base por altura, sino que dependiendo de las propiedades de las figuras, va a haber unos procedimientos específicos. También deben saber simplificación de expresiones algebraicas, factorización, cosas de límites, cómo varían las magnitudes de las figuras, por ejemplo al fijar el perímetro, funciones para caracterizar las curvas, sumas y series para facilitar el cálculo de sumas de rectángulos que se comportan según un patrón. I: ¿Qué deben saber sus estudiantes para afrontar las actividades que usted le propone? P1: Aparte de los temas que le mencione y algo que es una dificultad casi siempre con ellas, es que sepan leer los problemas, por lo general no comprenden y preguntan ¿Qué hay que hacer?, es importante que utilicen el razonamiento lógico para comprender lo que les pide el problema, pero bueno, en esa parte inicial del cálculo también se necesita que los estudiantes manejen bien la aritmética, las operaciones, las propiedades, eso hace ruido cuando se necesita operar o relacionar cosas, magnitudes. Por ejemplo, cuando ellos tienen un segmento con longitud fija k, y un segmento l contenido en él desde uno de los extremos, se les dificulta reconocer cuánto mide el segmento restante, es decir k menos l.


15

109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 152 153 154 155 156 157 158 159

I: ¿Qué idea (definición) de integral definida debe resultar en los estudiantes de grado Un décimo tras el desarrollo de la secuencia propuesta? P1: pues, mmm… básicamente espero que después de estas primeras actividades se logre que los estudiantes hablen de la integral como un concepto y como un proceso, por un lado digan que la integral definida se asocia al cálculo del área bajo la curva y delimitada por un eje del plano cartesiano y dos limites, uno superior y otro inferior, resultando una cantidad que mide esa cantidad de superficie. Y en cuanto al proceso, yo esperaría que para calcular esas áreas, los estudiantes comprendan la dificultad para inscribir los rectángulos y encontrar con esos cálculos iniciales una cantidad exacta para la integral, pero si logren reconocer que se acerca o que si se incorporan otros métodos o conceptos como el límite, se llega a respuestas de otro tipo. I: ¿Cómo se logra convencer e invitar al estudiante a defender sus procesos, definiciones y conclusiones? P1: Lo ideal es que el estudiante resuelva las situaciones, puede llegar a una respuesta correcta al final, como puede que presente dificultades, por eso es que el estudiante para defender sus procesos comunicará sus decisiones y los demás contrastaran con sus propios procesos, siempre está abierta la posibilidad de refutar o estar de acuerdo con las posturas o procesos de los compañeros. La idea es que todos sus argumentos se soportes en los procesos que realicen y que se apoyen en la visualización, ese es el aporte del problema con las áreas. I: ¿Qué errores son habituales en los estudiantes cuando (aprenden la integral definida)? P1: Comúnmente los estudiantes tienen dificultades al confundir las reglas que aplican en cada problema; los casos de factorización ya se les han olvidado, incluso hay muchos que comenten errores con los cálculos básicos, operaciones, despejes y cuando remplazan las variables. Con los problemas del cálculo de áreas, ellos hacen los cálculos esenciales, pero algunos no ven la necesidad de hacer por ejemplo rectángulos cada vez más pequeños para recubrir la superficie y se conforman con aproximaciones no muy buenas. En eso mismo, encuentran los rectángulos pero no logran representarlos de una manera formal para hallar los valores buscados. I: ¿Qué estrategias, materiales o recursos involucra en la enseñanza de la integral? P1: Algunas veces se les presenta diapositivas con imágenes que explican la integral, pero casi siempre la ayuda visual la da el tablero. I: ¿Qué libros de textos formales y de matemática escolar utiliza? P1: ese es otro recurso que tenemos los profesores del colegio, se usa el libro matemáticas 11° de Santillana para apoyar las explicaciones y retomar ejercicios; para planear las clases, por lo general necesito retomar algunas cosas que se me han olvidado, para saber al que quiero llegar cuando se resuelvan los problemas, para eso utilizo el Cálculo de Apóstol, ahí es claro la manera como lo presentan y contiene desde lo esencial hasta lo formal, además aparecen tanto los problemas de área, aplicaciones y propiedades y teoremas formales. I: ¿Qué rol desempeña el docente y los estudiantes en la enseñanza de la integral según lo que ha dispuesto? P1: Al comienzo es necesario empezar a revisar o retomar ejercicios de álgebra, ecuaciones, casos de factorización, por eso yo propongo unos ejercicios o problemas básicos sobre áreas, los estudiantes lo ideal es que los resuelvan para suplir dudas. Después de eso, se les propone un problema y se aclaran las dudas iniciales para que ellos trabajen por grupos y yo paso por cada grupo mirando avances, vigilando el trabajo, solucionando dudas, que si son importantes se aclara en ese momento para toda la clase y si veo que los grupos van desorientados les hago preguntas o doy pistas que los ubique en la solución de problemas. Cuando todos los grupos han avanzado y algunos ya llegan a conclusiones sobre el problema, se les propone socializar los procesos, entre ellos se van corrigiendo o complementando y cuando vea conveniente se va formalizando y dando las conclusiones y definiciones finales. I: Muchas Gracias profesora, con esta información y su ayuda yo creo que la investigación va a avanzar, por ahora eso es todo, pero cualquier cosa yo acudo nuevamente en búsqueda de tu ayuda. P1: no se preocupe, desde que haya posibilidad de colaborar, cuente con eso. En el transcurso de la próxima semana nos contactamos para gestionar lo de la grabación. …


16

Anexo F: Distinción y transcripción de video grabaciones de la gestión de clase [FRAGMENTO]

Unidad Trascripción-

Práctica discursiva

Prácticas operativas (Acciones) Prácticas normativas (teoría)

1 E: ¿Cuál de esas

para tener en

cuenta?

Señala la gráfica y el enunciado

2 P: Para marcar las

tablas, esta es la

puerta que les va a

ayudar

3 E: Si esta es la

puerta

P y E señalan el borde de la puerta

delimitando la curva y los limites,

incluyendo la base (eje x)

4 E: primero

necesitamos saber

cuántas tablas

necesita para la

puerta

5 P: A simple vista

cuantas tablas se

necesitan para

construir la puerta.

4 E: dos Señalando dos rectángulos inscritos

uno sobre otro dentro de la puerta

5 P: Recuerden que

solo se pueden sacar

cortes rectos. O sea

que con solo dos

tablas ya le salió la

puerta

P señala las dos tablas desde los

bordes, dejando ver que sobran unos

espacios o que las tablas no coinciden

con el borde de la puerta. La docente

va a la guía, lee la situación problema

y las condiciones que allí se

especifican, para así refutar o validar

la afirmación de las estudiantes.

6 P:

¿Entonces cómo

hacemos para que

quede bien?

7 E: Acá vamos a

colocar otras más

pequeñas.

E señalan los lugares y formas que van

a tener las tablas para rellenar la

puerta

8 P: o sea que para no

perder la forma

curva de la puerta,

van a colocar más y

más pequeñas tablas

por ahí.

Resume la idea de la estudiante de

agotar la superficie de la puerta sin

secuencia u orden alguno.

9 E: E: Marca Tablas dentro de la puerta

tratando de acaparar toda la superficie

de la puerta y armando agrupándolas

de manera que se formen tablas más

grandes.

Buscan simplificar el cálculo del

área


17

10 E: Intenta abordar la situación

problema desde la segunda pregunta:

desde los cortes que se necesitan, para

ello señala rectas secantes que se

acerquen a la curva.

11 E: Ella lo que está

haciendo es

cogerlos por tramos

así [Rectángulos de

base pequeña],

siguiendo las líneas

[cuadricula de la

guía]

Con el Lápiz señalan, marcan y

delimitan los rectángulos o tablas

construidas, hablan de las propiedades

de la curva, [aquí es más difícil,

porque el corte no coincide con el

borde, es más curvo]

12 E: Cuando se hace

la línea acá [señala

una secante en la

curva], se mantiene

el corte recto, es en

diagonal pero sigue

siendo recto

E: Cuando se hace la línea acá

[señala una secante en la curva], se

mantiene el corte recto, es en

diagonal pero sigue siendo recto

14 E: yo lo que digo es

que se quieren hacer

los cortes, acá

podría ir un corte,

no necesariamente

los cortes son

horizontales.

[Remarcan otras líneas formando

trapecios y dejando ver que ocupan

más espacio, eliminan la conjetura de

que los cortes deben ser horizontales

siempre]

15 E: Acá podemos

partir este segmento

en dos y hacer

[Marcan lugares donde la tabla

construida genera mayor sobrante o

espacio no ocupado, allí hacen más


18

cortes más

pequeños, con eso

se acerca ahí más a

la curva.

cortes], [No todas las tablas deben ser

de la misma base], [Camino hacia una

secuencia en los cortes solo de la base]

16 E: Si mira, acá esta

la puerta es desde A

hasta B, a los lados

es fácil el corte.

Marca y recorre el borde de la puerta

con la mano.

17 E: Abajo es más sencillo, porque

podemos hacer una tabla como

cuadrado. [Uso de las definiciones

de área para delimitar el problema

al área bajo el segmento de

parábola]

18 E: ¿Esto viene en

centímetros o

Metros?, mmmm,

metros

19 E: esta tabla viene

de aquí a acá. E2: de

A hasta B.

[señala en la gráfica los extremos en la

base y altura de las tablas construidas,

acude al lenguaje geométrico al

nominar los puntos vértice]

21 E2: No podemos

construir una sola

tabla más grande

acá que reúna estas

otras

[Como estrategia asume que puede

agrupar varias tablas y armar una sola

de mayor tamaño], propiedad de la

magnitud superficie, aditivita un

conjunto y sus partes. Conservación de

la magnitud.

24 E: No, la idea es

hacer la puerta

completa, pero acá

por más pequeño

que sea el corte, va

a ser más o menos

curvo, o sea ¿Cómo

hacer esas curvas?

Ahí tocaría hacerlo

manual o hacer

muchas tablas

pequeñitas para que

casi no se note.

[reconocimiento de un problema con

los infinitesimales, acercarse a la

curva, aproximar la superficie de un

polígono a la de la gráfica, …]

25 E: Se supone que la

puerta debe abrir

P: Por la mitad o por

un costado

Las estudiantes indagan sobre los

cortes necesarios para abrir la puerta y

detectan una propiedad adicional, la

simetría desde el corte vertical por el

punto medio de la base que coincide

con el vértice de la puerta. Así es

necesario construir media puerta,

contar el número de cortes, de tablas y

multiplicar por dos, han simplificado

la cantidad de procedimientos.

26 P: si ustedes quieren

esa puerta ara el

apartamento de sus

[La docente valida los procedimientos

de las estudiantes, quienes para

perfeccionar los bordes de la puerta,


19

sueños y les

entregan la puerta

así, la aceptarían,

que sobrará eso.

[allí está añadiendo

un argumento

asociado a la

belleza, perfección y

exactitud con el que

las estudiantes

identificaran que

entre mejor sea la

aproximación, más

óptima será la

respuesta que

buscan]

recurren a argumentos empíricos como

“coger la máquina y seguir el borde de

la puerta o lijar los bordes puntudos”]

29 P: efectivamente

para que no

devuelvan las tablas

necesitamos hacer

unos cortes

estratégicos.

E: Acá tomamos dos

tablas de 2,5 por 1

metro y hacemos 6

cortes a cada lado,

entre más cerca a la

cima, más pequeños.

32 P: ¿Cuánto valdría

la puerta entonces?,

pero el señor no se

va a llevar este

excedente de

madera, ¿o sea que

pagaría más de lo

que se lleva, no?

Simultáneamente las estudiantes

determinan que los 5 metros

cuadrados valen proporcionalmente

$435.000 [proporcional al precio de un

metro cuadrado]

37 E: acá no estaría el

metro completo

porque ya le

cortamos, entonces

¿cuál sería el precio

aproximado?

Muestran los cálculos parciales.


20

Anexo G: Organización y reducción de la información: Significado I. Implementado

Nivel de

expresión

Icónico Indicial Simbólico

Situación

problema

Hallar el área de la

puerta

Cuantas tablas

caben en la puerta

Todos intentaron

realizar la puerta sin

entrar en perdidas,

ni estafar al cliente,

es decir, siendo

justos.

A simple vista cuantas tablas se

necesitan para construir la puerta

P: Recuerden que solo se pueden

sacar cortes rectos. O sea que con

solo dos tablas ya le salió la puerta

P señala las dos tablas desde los

bordes, dejando ver que sobran unos

espacios o que las tablas no

coinciden con el borde de la puerta.

La docente va a la guía, lee la

situación problema y las condiciones

que allí se especifican, para así

refutar o validar la afirmación de las

estudiantes.

: No sé cuál sea la mejor respuesta,

“La menor cantidad de tablas

E: Es que el problema es como hacer

la curva como tal.

P: Ese es el problema, eso es lo que

estamos buscando, hasta ahí vamos

bien, pero falta algo para terminar la

puerta.

P: Ya sea la cantidad de tablas o la

cantidad de cortes que van a hacer

para que quede la puerta

P: Si usted desperdicio todo este

pedazo, el cliente le debe pagar por

eso. Llevan bien la construcción, la

cantidad de cortes y de tablas, falta

medir, no toda la tabla que se usó o

corto, sino la que quedo en la puerta.

Al leer el enunciado nos damos

cuenta que el señor que va a

construir la puerta, no la puede hacer

de un solo corte porque la maquina

solo hace cortes rectos.

E: Acá vamos a colocar otras más

pequeñas

E: Pero es que tiene que ser más

pequeña, al llegar arriba hay un

problema, debe haber algo que haga

la forma [Los cortes rectos no se

asemejan a la curva]

E: No, la idea es hacer la puerta

completa, pero acá por más pequeño

que sea el corte, va a ser más o

menos curvo, o sea ¿Cómo hacer

esas curvas?

Ahí tocaría hacerlo manual o hacer

muchas tablas pequeñitas para que

casi no se note. [reconocimiento de

un problema con los infinitesimales,

acercarse a la curva, aproximar la

superficie de un polígono a la de la

gráfica, …]

ha obtenido 60 Mts. de Malla con la

que pretende encerrar la zona de

cultivo, tiene las opciones A y B

ilustradas a continuación – Gráfica

1 - (La primera dispone la malla

para encerrar toda la zona de cultivo

y en la segunda se ayuda del cercado

de la finca para encerrar el cultivo).

La intención de Jacinto es

determinar la Zona más grande

posible para el cultivo. (Buscar la

zona más apta, la zona más grande

para el cultivo.)

E: nos toca acercarnos a la forma de

la puerta [Los bordes de las tablas

deben acercarse al borde para

garantizar que se está recubriendo la

superficie de la puerta], también es

difícil encontrar la cantidad de cortes

[Una situación problema que no es

de inmediata respuesta, promueve la

exploración y lleva a un choque con

el tamaño de cada tabla vs la

cantidad de tablas]

Lenguaje P y E señalan el

borde de la puerta

delimitando la

curva y los limites,

incluyendo la base

(eje x)


pequeñas

los cortes que se necesitan, para ello

señala rectas secantes que se

acerquen a la curva

E: Marca Tablas dentro de la

puerta tratando de acaparar toda

la superficie de la puerta y

armando agrupándolas de manera

que se formen tablas más grandes


21

primero

necesitamos saber

cuántas tablas

necesita para la

puerta

señala en la gráfica

los extremos en la

base y altura de las

tablas construidas,

acude al lenguaje

geométrico al

nominar los puntos

vértice

¿Cómo podría distribuir esos 60

metros de alambre?, ¿Cómo lo

harían ustedes? (de la expresión a la

representación tabular)

E: Obvio si uno las saca así, da muy

sencillo, pero si uno se pone a mirar

las dimensiones del cultivos eso no

va a dar 10, ni arriba 20. [Confusión

en la interpretación del bosquejo,

pues asume que el dibujo es

proporcional y fijo, por lo que

tendría que buscarse una medida

especifica que coincida con las

dimensiones del dibujo, omitiendo

que es una simulación manipulable

de la realidad]

Base Altura Área

20 10 200 𝑥2

25 5 125 𝑥2

15 15 225 𝑥2

5 25 125 𝑥2

Manipulación de la

representación

P: Si ustedes buscan optimizar el

terreno, coger el mejor para el

cultivo, ¿Cuál creen ustedes que

es el mejor? (relacionado

directamente con la

aproximación a la mejor de las

opciones)

Definiciones Unidad de Medida,

E: ¿Esto viene en

centímetros o

Metros?, mmmm,

metros (propiedad

del plano y la

gráfica, escala y

unidad de medida)

Geometría, áreas,

parábolas, la

función, punto

máximo.

P y E señalan el borde de la puerta

delimitando la curva y los limites,

incluyendo la base (eje x)

(caracterización de la curva a estudiar)

E: Cuando se hace la línea acá [señala

una secante en la curva], se mantiene el

corte recto, es en diagonal pero sigue

siendo recto (define secante, corte recto e

infiere sobre la definición de plano

cartesiano)

E: Acá podemos partir este segmento en

dos y hacer cortes más pequeños, con

eso se acerca ahí más a la curva.[Marcan

lugares donde la tabla construida genera

mayor sobrante o espacio no ocupado,

allí hacen más cortes], [No todas las

tablas deben ser de la misma base],

[Camino hacia una secuencia en los

cortes solo de la base] (Aproximación)

Es proporcional el área con

respecto a la base y la altura. Hay

una opción más óptima que las

demás, pese a que el perímetro es

el mismo. (Definición del caso

más óptimo para el área.)

E: nos toca acercarnos a la forma

de la puerta [Los bordes de las

tablas deben acercarse al borde

para garantizar que se está

recubriendo la superficie de la

puerta], también es difícil

encontrar la cantidad de cortes

[Una situación problema que no

es de inmediata respuesta,

promueve la exploración y lleva

a un choque con el tamaño de

cada tabla vs la cantidad de

tablas]


22

E: Si mira, acá esta la puerta es desde A

hasta B, a los lados es fácil el corte.

(definición a partir de la señalización de

los objetos y procesos en la gráfica)

E: Abajo es más sencillo, porque

podemos hacer una tabla como cuadrado.

[Uso de las definiciones de área para

delimitar el problema al área bajo el

segmento de parábola](Definición de

área a partir de unidades cuadradas)

Si es una parábola, entonces hallemos el

área de esa parte. [Identifica que la curva

corresponde a una función o cónica]

Todos intentaron realizar la puerta sin

entrar en perdidas, ni estafar al cliente, es

decir, siendo justos.

El área bajo una curva, encerrada

así como en la puerta por un eje,

unos límites, una curva y así

mismo tiene muchas

aplicaciones.

Propiedades E con intervención,

interpretación y

registro de P: se le

dio 20 arriba, 10 a

los lados,20 abajo y

10 al otro lado

[Propiedad

explorada, pero no

validada, en

adelante solo

mencionan base y

altura] (propiedad

de equivalencia en

los lados opuestos

de las rectángulos)

Cuando es 15 y 15.

P: ¿Qué quedaría

ahí?, E: Un

cuadrado

[Propiedad] (Se

abordan

propiedades en

general de las

figuras geométricas)


pequeñas(se pueden partir y mantener la

magnitud más y más pequeñas)

Con el Lápiz señalan, marcan y

delimitan los rectángulos o tablas

construidas, hablan de las propiedades de

la curva, [aquí es más difícil, porque el

corte no coincide con el borde, es más

curvo](propiedades de la curva, los

polígonos y el plano cartesiano-

cuadricula)

E: nos toca acercarnos a la forma de la

puerta [Los bordes de las tablas deben

acercarse al borde para garantizar que se

está recubriendo la superficie de la

puerta], también es difícil encontrar la

cantidad de cortes [Una situación

problema que no es de inmediata

respuesta, promueve la exploración y

lleva a un choque con el tamaño de cada

tabla vs la cantidad de tablas]

P: efectivamente para que no devuelvan

las tablas necesitamos hacer unos cortes

estratégicos.

E: Acá tomamos dos tablas de 2,5 por 1

metro y hacemos 6 cortes a cada lado,

entre más cerca a la cima, más pequeños.

(Razón de cambio y secantes)

E: si, haciendo los cortes en trapecios

tendríamos que cobrarle menos al señor.

P: pero sin dejar "mochita" la puerta, y

nos vamos acercando. No era justo con

el pobre señor que iba a comprar la

puerta porque miren todo lo que iban a

desperdiciar. (la exhaución como

propiedad que lleva a la aproximación)

E: Marca Tablas dentro de la

puerta tratando de acaparar toda

la superficie de la puerta y

armando agrupándolas de manera

que se formen tablas más grandes

(agrupación, aditividad,

distributiva la los números

medida)

Buscan simplificar el cálculo del

área

[Como estrategia asume que

puede agrupar varias tablas y

armar una sola de mayor

tamaño], propiedad de la

magnitud superficie, aditivita un

conjunto y sus partes.

Conservación de la magnitud.

E: Acá podemos partir este

segmento en dos y hacer cortes

más pequeños, con eso se acerca

ahí más a la curva.[Marcan

lugares donde la tabla construida

genera mayor sobrante o espacio

no ocupado, allí hacen más

cortes], [No todas las tablas

deben ser de la misma base],

[Camino hacia una secuencia en

los cortes solo de la base]

Base Altura Área

20 10 200 𝑥2

25 5 125 𝑥2


23

E: entre más poquito le ponga a la base,

más le tenemos que colocar a la altura.

(Variación de la altura, la base, cuando

los rectángulos se hacen con el límite

inferior o superior)

Yo creo que debemos buscar una

proporción entre la base y la altura. (Idea

de propiedad para la aproximación

cuando se fija el perímetro )

Al leer el enunciado nos damos cuenta

que el señor que va a construir la puerta,

no la puede hacer de un solo corte

porque la maquina solo hace cortes

rectos.

Si es una parábola, entonces hallemos el

área de esa parte. [Identifica que la curva

corresponde a una función o cónica]

: El propósito era conseguir esta forma,

entonces hicimos los cortes laterales,

pero arriba como era curva nos tocó

hacer cortes en diagonal, sabemos que es

simétrica porque se puede partir en dos

secciones iguales. [Linealizar la curva a

partir de secantes que aparentemente

estuviesen cerca a la curva] y donde

cortan las secantes con la curva era el

lugar para cortar verticalmente y sacar la

tabla.

15 15 225 𝑥2

5 25 125 𝑥2

Acude a una ecuación

B*H=A

Y la generaliza para ver el

cambio del área

: que se reduce el área (estudio de

la relación entre las magnitudes

de un polígono a partir del

estudio de la representación

tabular para buscar una

regularidad)

Se unían y se sumaban.

Procedi-

mientos

E: Necesitamos

saber cuántas tablas

se necesitan para la

puerta, miren 1, 2,

3, 4, 5, van a salir

muchas

E: así utilizando las

dos tablas grandes

sería 2.5 por 2

metros, o sea 5

metros cuadrados.

Señalando dos rectángulos inscritos

uno sobre otro dentro de la puerta

(Procedimiento inicial

desencadenante de razonamientos y

procedimientos auxiliares)


pequeñas

E: Marca Tablas dentro de la puerta

tratando de acaparar toda la

superficie de la puerta y armando

agrupándolas de manera que se

formen tablas más grandes

E: Acá vamos a colocar otras

más pequeñas (Resume la idea de

la estudiante de agotar la

superficie de la puerta sin

secuencia u orden alguno.)


24

Contando lo que

sobra.

los cortes que se necesitan, para ello

señala rectas secantes que se

acerquen a la curva

Entonces podemos hacerlas más

bonitas, hagamos 12 [Número par de

tablas – por la simetría de la puerta]

cortes [de la base], acá si es

necesario hacemos los cortes en

diagonal [generando trapecios]

cálculos parciales

E: Se supone que la puerta debe abrir

P: Por la mitad o por un costado

(Las estudiantes indagan sobre los

cortes necesarios para abrir la puerta

y detectan una propiedad adicional,

la simetría desde el corte vertical por

el punto medio de la base que

coincide con el vértice de la puerta.

Así es necesario construir media

puerta, contar el número de cortes,

de tablas y multiplicar por dos, han

simplificado la cantidad de

procedimientos.)

E: Acá podemos partir este

segmento en dos y hacer cortes

más pequeños, con eso se acerca

ahí más a la curva.[Marcan

lugares donde la tabla construida

genera mayor sobrante o espacio

no ocupado, allí hacen más

cortes], [No todas las tablas

deben ser de la misma base],

[Camino hacia una secuencia en

los cortes solo de la base]

la ordenación de los datos

permite realizar inferencias sobre

la aproximación)

Base Altura Área

25 m 5 m 125 𝑚2

20 m 10 m 200 𝑚2

18 m 12 m 216 𝑚2

16 m 14 m 224 𝑚2

15 m 15 m 225 𝑚2

13 m 17 m 221 𝑚2

5 m 25 m 125 𝑚2

: El propósito era conseguir esta

forma, entonces hicimos los

cortes laterales, pero arriba como

era curva nos tocó hacer cortes

en diagonal, sabemos que es

simétrica porque se puede partir

en dos secciones iguales.

[Linealizar la curva a partir de

secantes que aparentemente

estuviesen cerca a la curva] y

donde cortan las secantes con la


25

P: efectivamente para que no

devuelvan las tablas necesitamos

hacer unos cortes estratégicos.

E: Acá tomamos dos tablas de 2,5

por 1 metro y hacemos 6 cortes a

cada lado, entre más cerca a la cima,

más pequeños.

En la parte de abajo tenemos las

medidas, hasta la mitad de la base es

un metro, entonces los partimos o

medimos cuanto da cada base

pequeña, hasta acá hay un metro y

medio [Hasta el punto donde inicia

la curvatura de la puerta], ahí

hallamos el área de los rectángulos.

En la parte de arriba es más

complicada, nos toca aplicar la

fórmula para el área del trapecio.

[Las alturas se determinan por la

escala de la gráfica, ausencia de un

patrón o técnica para hallar con

precisión una altura buscada

curva era el lugar para cortar

verticalmente y sacar la tabla.

Nosotras lo que hicimos, fue

hallar la mayor cantidad posible

de tablas rectangulares, así

[Muestra la gráfica]

Acá lo que hicimos fue organizar

la mayor cantidad de tablas

horizontales en toda la puerta y

después recurrir a triángulos para

completarla.

Se unían y se sumaban.


26

Algo así se busca con la integral,

una suma de todos esos pedacitos

pequeños como estrategia para

hallar el área de esas superficies

encerradas por curvas.

“Acumulación”

Argumentos A simple vista

cuantas tablas se

necesitan para

construir la puerta.

(Asocia los

procedimientos

matemáticos con los

de un carpinteros)

E: Necesitamos

saber cuántas tablas

se necesitan para la

puerta, miren 1, 2,

3, 4, 5, van a salir

muchas

Señalando dos rectángulos inscritos uno

sobre otro dentro de la puerta

(Comparación entre construcciones para

verificar la más óptima)

P: si ustedes quieren esa puerta para el

apartamento de sus sueños y les entregan

la puerta así, la aceptarían, que sobrará

eso. [allí está añadiendo un argumento

asociado a la belleza, perfección y

exactitud con el que las estudiantes

identificaran que entre mejor sea la

aproximación, más óptima será la

respuesta que buscan][La docente valida

los procedimientos de las estudiantes,

quienes para perfeccionar los bordes de

la puerta, recurren a argumentos

empíricos como “coger la máquina y

seguir el borde de la puerta o lijar los

bordes puntudos”]

P: desde lo que se percibe es una buena

aproximación, tendríamos que ver

cuando ya estuviera la puerta grande si

esos cortes si quedan sobre la curva.

E: No porque por ejemplo [argumento]

en la segunda y en la cuarta las bases son

distintas pero el área es igual: [, (5x25),

(25x5)] (Contraejemplo como argumento

para verificar las regularidades en la

variación de las aproximaciones)

E: No es tan cierto eso, porque

[contraejemplo] por ejemplo cuando la

base baja de 20 a 15, el área aumenta,

pero cuando baja de 15 a 5 aumenta.

(Argumentos a partir de ejemplos

buscando un patrón y contraejemplos)

E: Pero es que tiene que ser más

pequeña, al llegar arriba hay un

problema, debe haber algo que

haga la forma [Los cortes rectos

no se asemejan a la curva]

(Corroboración de

procedimientos)

Entre más rectángulos, más

pequeños serán.

Al colocar unidades más

pequeñas, se rellenará y se

aproximara a la superficie de la

puerta

Base Altura Área

25 m 5 m 125 𝑚2

20 m 10 m 200 𝑚2

18 m 12 m 216 𝑚2

16 m 14 m 224 𝑚2

15 m 15 m 225 𝑚2

13 m 17 m 221 𝑚2

5 m 25 m 125 𝑚2

universidad distrital francisco josé de caldas...

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