logik - basismat.compute.dtu.dkbasismat.compute.dtu.dk/modulmat/modul8.pdf · en sammenhæng mellem...

Logik

Helge Elbrønd Jensen og Tom HøholdtFortolket af Michael Elmegard og Øistein Wind-Willassen.

25. juni 2014

Indhold

1 Matematisk Logik 51.1 Udsagnslogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Prædikatlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Formelle Beviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Matematiske Beviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Mængder 29

3 Relationer 373.1 Relationsbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Relationsdatabaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 De naturlige tal 414.1 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

4 INDHOLD

Kapitel 1

Matematisk Logik

I almindelighed defineres logikken som “læren om den rette tænkning”. Dette skal forstas paden made, at logikken undersøger, i hvilken udstrækning man ud fra bestemte forudsætningerkan drage en bestemt konklusion. Logikken beskæftiger sig ikke med, hvorledes mennesket rentfaktisk bærer sig ad med at tænke, og den undersøger heller ikke om tænkningens resultaterstemmer overens med virkeligheden. Logikkens emneomrade er sammenhænge mellem forskel-lige pastande.

Udgangspunktet for logikken er almindelig sund fornuft. Det burde saledes være klart, at udfra forudsætningerne “Peter er et menneske” og “Alle mennesker har to ben” kan man dragekonklusionen “Peter har to ben”. Nar der kan opsta uenighed om, hvorvidt et argument er logiskkorrekt eller ej, skyldes det ikke, at logikken i sig selv er specielt vanskelig. Problemet er, at narlogikken benyttes, det være sig i almindelige samtaler, i diskussioner eller videnskaber, indgarder ofte en lang række overvejelser og pastande, hvis indre logiske sammenhænge det kan væresvært at klargøre og overskue.

Matematisk logik er en formalisering af logisk tænkning. Formaliseringen indebærer, at manmere præcist fastlægger, hvad der skal forstas ved “logisk korrekt”. En væsentlig opgave erherefter at finde regler og metoder af matematisk natur, ved hjælp af hvilke man kan afgøre, omet argument eller en pastaet konklusion er logisk korrekt. Matematisk logik, der opstod omkringforrige arhundredeskifte, er i dag en omfattende disciplin. I den følgende korte indføring læggeshovedvægten pa at forklare de basale begreber og metoder.

1.1 UdsagnslogikLad os betragte følgende to slutninger:

Slutning (I):

1. Hvis det blæser, sa sidder min hue ikke fast.

2. Det blæser.

3. Derfor, sidder min hue ikke fast.

5

6 KAPITEL 1. MATEMATISK LOGIK

og

Slutning (II):

1. Hvis solen skinner, sa gælder, at hvis det regner, bliver jeg vad.

2. Hvis solen skinner, sa er det sommer.

3. Det er ikke sommer.

4. Derfor, hvis solen skinner, sa bliver jeg vad.

Mens (I) forekommer helt oplagt, er (II) mere kompliceret. Der er vel dem, der vil sige, at efter-som konklusionen 4 ikke stemmer med erfaringen, er (II) en forkert slutning. Et sadant synspunktberor imidlertid pa en misforstaelse. Om en slutning er logisk korrekt eller ej har intet at gøremed, om konklusionen “passer” med den virkelighed hvori en person p.t. befinder sig. Problemeti (II) er, om man givet 1,2 og 3 kan komme frem til 4 som nødvendig logisk konklusion.

Udsagnslogikken kan opfattes som en matematisk model til undersøgelse af sadanne proble-mer. Som ved enhver modeldannelse søger man at koncentrere sig om det principielt væsentlige(for det problem der diskuteres, altsa her logik), og man træffer undervejs en række valg i detilfælde, hvor det sædvanlige sprog forekommer tvetydigt. Vi vil her tage udgangspunkt i (I) ogvender senere tilbage til (II).

Lad os starte med at analysere de enkelte dele af slutning (I). Den første sætning har formen“hvis – sa” og derudover indgar ‘ıkke”. Hvis vi kalder udtrykket “det blæser” for P og udtrykket“min hue sidder fast” for Q, kan den første sætning formuleres som “hvis P sa ikke Q”. Denanden sætning er “P” og konklusionen i (I) er “ikke Q”. Vi kan herefter udtrykke hele slutning(I) som følger: Af de to sætninger “hvis P sa ikke Q” og “P” kan man drage konklusionen “ikkeQ”.

Den rolle, P og Q spiller i denne sammenhæng har intet at føre med, hvad P og Q rent faktiskudtrykker i ord. Det afgørende er, at P enten er sand eller falsk, og tilsvarende at Q enten ersand eller falsk. I det følgende vil vi betragte sadanne udsagn, og vi understreger, at det, derkendetegner et udsagn er, at denten er sandt eller falsk, men ikke begge dele:

Definition 1.1 (Udsagn). Et udsagn er karakteriseret udelukkende ved dets sandhedsværdi.

Som eksempler pa udsagn hentet fra matematikken kan nævnes “2 er større end 1”, “3+4 = 8”og “Alle trekanter er retvinklede”.

I det følgende benytter vi store bogstaver, og specielt P,Q,R, . . . , til at betegne udsagn.Vi er nu kommet sa langt i modelleringsprocessen, at vi har fastlagt de objekter, vi vil be-

handle. Vi gar nu over til at undersøge, hvordan man kan danne nye udsagn fra gamle, og ogsaher lader vi os inspirere af de sproglige formuleringer af matematiske og dagligdags sætninger.

Hvis P er et udsagn, og man vil udtrykke det modsatte, bruger man sprogligt udtrykket “ikkeP”. Vi formaliserer dette ved at indføre symbolet ¬P – der læses “ikke P”, “negationen af P”eller “not P” – ved følgende sandhedstavle:

1.1. UDSAGNSLOGIK 7

P ¬PSand FalskFalsk Sand

Tabel 1.1

For at gøre sandhedstavlerne mere overskuelige er det sædvane at benytte symbolet 1 for “Sand”og symbolet 0 for “Falsk”. Med denne konvention bliver sandhedstavlen for negationen altsa

P ¬P1 00 1

Tabel 1.2

Hvis P og Q er to udsagn, dannes et nyt, kaldet konjunktionen af P og Q, der betegnes med P∧Q,ved sandhedstavlen

P Q P∧Q0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabel 1.3

Udsagnet P∧Q er altsa sandt netop hvis bade P og Q er sande udsagn. I stedet for P∧Q benyttesogsa udtrykket “P and Q”.

Pa lignende made som ved konjunktionen, der ud fra to udsagn danner et tredje, indføresdisjunktionen af to udsagn P og Q, betegnet P∨Q eller “P or Q, ved sandhedstavlen

P Q P∨Q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Tabel 1.4

Symbolet P∨Q læses som “P eller Q”, og vi understreger, at med den indførte definition erudsagnet P∨Q sandt, nar mindst et af de indgaende udsagn er sande. I sædvanligt sprog benyttesordet “eller” ofte i betydningen “præcis en af delene”, men her er altsa truffet et andet valg. Vikan dog ogsa sagtens udtrykke denne sproglige formulering symbolsk, nemlig ved (P∨Q)∧¬(P∧Q). Intuitivt er indholdet af dette sammensatte udsagn klart. En sandhedstavle kan fas pafølgende made:


P Q P∧Q ¬(P∧Q) P∨Q (P∨Q)∧¬ (P∧Q)0 0 0 1 0 00 1 0 1 1 11 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0

Tabel 1.5

Her fas tredje og femte søjle direkte af tabel 1.3 og 1.4. Fjerde søjle fas af tredje ved at anvendetabel 1.2, og endelig fas sidste søjle ved at benytte tabel 1.3 pa fjerde og femte søjle. Vi seraltsa, at (P∨Q)∧¬ (P∧Q) er sandt, netop hvis præcis et af de to udsagn P og Q er sandt. Mandefinerer symbolet xor, der kaldes exclusive or ved “P xor Q”. Sandhedstavlen for dette er altsaden vi lige har fundet.

Mange sætninger i matematik har formen “hvis . . . sa”. Vi vil nu formalisere dette udtryk.Hvis P og Q er udsagn, fastlægges et nyt, der skrives P⇒ Q og læses “P medfører Q”, eller“hvis P sa Q” eller “if P then Q”. Sandhedstavlen er

P Q P⇒ Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Tabel 1.6

Symbolet ⇒ kaldes en implikationspil, og som det fremgar af sandhedstavlen, er P⇒ Q kunfalsk i det tilfælde, hvor P er sand og Q er falsk. Her adskiller den indførte formalisme sig lidtfra dagligdags sprogbug, idet man i et udtryk som for eksempel “Hvis det regner, sa bliver gadenvad”, normalt far ud fra, at der er en sammenhæng. I formalismen her er der ikke nødvendigvisen sammenhæng mellem P og Q i udsagnet P⇒Q. Sadan som tingene er stillet op, er (2 = 3)⇒(2 6= 3) et sandt udsagn. Der er her tale om, at man har foretaget et valg, der heldigvis viser sighensigtsmæssigt.

Vi indfører P⇔ Q ved sandhedstabelen

P Q P⇔ Q0 0 10 1 01 0 01 1 1

Tabel 1.7

Symbolet “⇔” kaldes en biimplikation, og P⇔Q læses “P er ensbetydende med Q”, eller “P iffQ” eller “P hvis og kun hvis Q”.

Den indførte symbolik sætter os nu i stand til at formulere sammensatte udsagn, altsa udsagn,der opbygges ved hjælp af symbolerne 6=, ∧, ∨,⇒ og⇔, og ved hjælp af sandhedstavlerne 1.2

1.1. UDSAGNSLOGIK 9

– 1.7 er vi i stand til at afgøre sandhedsværdien af et sammensat udsagn. Vi illustrerer dette i eteksempel.

Eksempel 1.1. Vi vil opstille en sandhedstavle for udsagnet P⇒ (¬Q∨R).

P Q R ¬Q ¬Q∨R P⇒ (¬Q∨R)0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 10 1 0 0 0 10 1 1 0 1 11 0 0 1 1 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1

Tabel 1.8

Her er de tre første søjler de 23 = 8 forskellige muligheder for sandhedsværdier. Søjle 4 erfremkommet ved tabel 1.2, derefter er søjle 5 fremkommet af søjle 3 og 4 ved hjælp af tabel1.4, og endelig er sidste søjle fremkommet ved at benytte tabel 1.6 pa søjle 5 og 1. Hvis vi nuser pa udtrykket

“Hvis (2 = 3) sa er (7 = 8) eller (11 < 12)”,

sa er dette altsa et sandt udsagn, idet det svarer til fjerde række i sandhedstavlen.

Vi vender nu tilbage til spørgsmalet om, hvad man mere præcist skal forsta ved, at en slutningeller et argument er logisk korrekt. Vi indfører først begrebet tautologi, hvorved forstas et altidsandt udsagn. Et sadant ma nødvendigvis være et sammensat udsagt, og U er altsa en tautologi,hvis U er sandt, uanset hvilke sandhedsværdier de enkelte udsagn har. Et simpelt eksempel paen tautologi er P∨¬ P. Pa tilsvarende made indføres en modstrid som et altid falsk udsagn. Etsimpelt eksempel er P∧¬P.

Definition 1.2.

1. Et (sammensat) udsagn B er en logisk konsekvens af et (sammensat) udsagn A, hvisA⇒ B er en tautologi.

2. To (sammensatte) udsagn A og B er logisk ækvivalente, hvis A⇔ B er en tautologi.

I forbindelse med 1. bemærker vi, at A⇒ B ifølge tabel 1.6 automatisk er sandt, hvis A er falsk.At A⇒ B er en tautologi betyder altsa reelt, at B er sand, nar A er sand.


Lad os dernæst vende tilbage til slutning (I) fra begyndelsen af afsnittet. Det første vi gjordevar at formalisere slutningens enkelte dele. Med den indførte formalisme er spørgsmalet herefter,om udsagnet ¬Q er en logisk konsekvens af udsagnet (P⇒¬ Q)∧P, altsa om

[(P⇒¬ Q)∧P]⇒¬ Q, (1.1)

er en tautologi. For at afgøre dette kan vi opstille en sandhedstavle:

P Q ¬Q P⇒¬ Q (P⇒¬ Q)∧P [(P⇒¬ Q)∧P]⇒¬ Q0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 11 0 1 1 1 11 1 0 0 0 1

Tabel 1.9

Det fremgar heraf, at der virkelig er tale om en tautologi, hvilket betyder, at slutningen heldigviser logisk korrekt. I det betragtede tilfælde er det ikke nødvendigt at opstille hele sandhedstavlen,da, som nævnt tidligere, A⇒ B kun er falsk hvis A er sand, og B falsk. Sandhedstavlen for[(P⇒¬ Q)∧P]⇒¬ Q har kun en linje, hvor (P⇒¬ Q)∧P er sand, nemlig linje 3, sa det ertilstrækkeligt at undersøge denne.

Eksempel 1.2. Lad os betragte slutningen (II) fra begyndelsen af dette afsnit. Vi lader

P =“Solen skinner”Q =“Det regner”R =“Jeg bliver vad”S =“Det er sommer”

Konjunktionen af de første pastande er [P⇒ (Q⇒ R)]∧ [P⇒ S]∧¬ S, og konklusionen 4 erP⇒ R. Problemet er, om dette sidste udsagn er en logisk konsekvens af det første, altsa om

[[P⇒ (Q⇒ R)]∧ [P⇒ S]∧¬ S]⇒ [P⇒ R] (1.2)

er en tautologi.Der er ingen principielle vanskeligheder i at afgøre dette, idet vi blot skal opstille en

sandhedstavle. Lad os imidlertid fa frem pa en lidt anden made. Vi behøver kun at betragteden situation hvor venstre side i (1.2) er sand. Nar dette er tilfældet er S falsk. Da endvidereP⇒ S er sandt, er P nødvendigvis falsk. Men nar P er falsk, er P⇒ R sandt. Altsa, narvenstre side i (1.2) er sand er højre side ogsa sand. Der er derfor tale om en logisk korrektslutning.

Nar man arbejder med udsagn, viser det sig ofte hensigtsmæssigt at erstatte et udsagn med etandet, som er logisk ækvivalent med det første. Lad os fx. se pa de to udsagn P⇒ Q og ¬P∨Q.Sandhedstavlen for P⇒ Q er tabel 1.6, og sandhedstavlen for ¬P∨Q er

1.1. UDSAGNSLOGIK 11

P Q ¬P∨Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Tabel 1.10

Dette er præcis tabel 1.6, altsa er (P⇒Q)⇔ (¬P∨Q) en tautologi, og udsagnene er altsa logiskækvivalente. Man siger ogsa, at

(P⇒ Q)⇔ (¬P∨Q)

er en logisk identitet. Meningen med dette er altsa, at de to udtryk P⇒ Q og ¬P∨Q har enssandhedsværdier.

Ved hjælp af sandhedstavler kan man bevise en lang række logiske identiteter. Et udvalg afdisse er samlet i følgende tabel:

Nummer Venstre Højre(1) P∨Q⇔ Q∨P(2) P∧Q⇔ Q∧P(3) P∨ (Q∨R)⇔ (P∨Q)∨R(4) P∧ (Q∧R)⇔ (P∧Q)∧R(5) P∧ (Q∨R)⇔ (P∧Q)∨ (P∧R)(6) P∨ (Q∧R)⇔ (P∨Q)∧ (P∨R)(7) P∨0⇔ P(8) P∧1⇔ P(9) P∨¬P⇔ 1(10) P∧¬P⇔ 0(11) P⇔ ¬(¬P)(12) (P⇒ Q)⇔ (¬P∨Q)

(13) (P⇒ Q)⇔ (¬Q⇒¬ P)(14) ¬(P∨Q)⇔ ¬P∧¬Q(15) ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q(16) P∧0⇔ 0(17) P∨1⇔ 1(18) P∧P⇔ P(19) P∨P⇔ P(20) (P⇔ Q)⇔ (P⇒ Q)∧ (Q⇒ P)

Tabel 1.11


I tabel 1.11 betegner 0 et udsagn, der altid er falsk, og 1 et udsagn der altid er sandt. Identiteterne(9) og (10) er et udtryk for dette. Identiteterne (14) og (15) kaldes De Morgans love.

Vi har allerede bevist identitet (12) og vil her yderligere bevise (6) og (14). De øvrige overla-des til læseren. Beviset for P∨ (Q∧R)⇔ (P∨Q)∧ (P∨R) foretages som nævnt ved at opskrivesandhedstavlen:

P Q R Q∧R P∨ (Q∧R) P∨Q P∨R (P∨Q)∧ (P∨R)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabel 1.12

Her er 5. og 8. søjle ens, hvilket beviser identiteten. Identitet (14) bevises pa samme made udfra følgende sandhedstabel:

P Q P∨Q ¬(P∨Q) ¬P ¬Q ¬P∧¬Q0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0

Tabel 1.13

Da 4. og 7. og søjle er identiske, har vi vist identiteten. De logiske identiteter kan benyttes til atsimplificere sammensatte udsagn, som det kan ses af nedenstaende eksempel.

Eksempel 1.3. Vi ser pa udsagnet

[(P⇒ Q)∨ (P⇒ R)]⇒ (Q∨R).

Dette kan simplificeres pa følgende made, idet vi i hver linje noterer, hvilke logiske identiteter,der er benyttet:

1.2. PRÆDIKATLOGIK 13

[(P⇒ Q)∨ (P⇒ R)]⇒ (Q∨R)

m via identitet (12)¬ [(¬P∨Q)∨ (¬P∨R)]∨ (Q∨R)

m via identitet (1) og (3)¬ [¬P∨¬P∨Q∨R]∨ (Q∨R)

m via identitet (19)¬ [¬P∨Q∨R]∨ (Q∨R)

m via identitet (11) og (14)

[(P∧¬ (Q∨R)]∨ (Q∨R)


[P∨ (Q∨R)]∧ [¬(Q∨R)∨ (Q∨R)]


[P∨Q∨R]∧1

m via identitet (8)

P∨Q∨R

Tabel 1.14

1.2 PrædikatlogikDen formalisme, vi har indført i udsagnslogikken, viser sig utilstrækkelig til at beskrive og un-dersøge alle de logiske slutninger, vi er interesserede i. Hvis vi igen betragter den slutning, derer nævnt i introduktionen, hvor man ud fra forudsætningerne

Slutning (III):

1. Alle mennesker har to ben.

2. Peter er et menneske.

drager konklusionen

3. Peter har to ben,

sa er vi ikke i stand til udelukkende ved hjælp af udsagnslogikken at udtrykke den sammenhæng,der bestar mellem de tre udsagn. Lad os som et yderligere eksempel se pa sætningen:

Sætning (IV):


Hvis x og y er reelle tal, og xy = 0, sa gælder x = 0 eller y = 0.

Dette er som bekendt en sand sætning, og her er det klart, at vi ikke kan udtrykke denne vedhjælp af udsagnslogik. Udtrykkene xy = 0, x = 0 og y = 0 er ikke udsagn – deres sandhed ellerfalskhed afhænger jo af, hvilke reelle tal x og y er. Slutning (IV) er en typisk matematisk sætning,og en sadan indeholder ofte variable, her x og y.

I det følgende vil vi udvide den modelopbygning, vi startede i afsnit 1.1, saledes at ogsa ud-tryk og slutninger af ovenstaende karakter kan behandles. Vi indfører først begrebet et prædikat,der fx. kan være udtrykket

x = 0

eller udtrykketx er et menneske.

I begge tilfælde indeholder udtrykket en variabel, nemlig x, der tænkes at kunne antage værdierfra en eller anden mængde. I det første tilfælde er der tale om mængden af reelle tal og i det andettilfælde er der tale om mængden af alle pattedyr. Den mængde, den variable kan antage værdieri, kaldes universet, og vi understreger, at selv om det ikke altid nævnes eksplicit, sa hører der tilethvert prædikat et univers.

Den anden afgørende egenskab ved et prædikat er det faktum, at hvis man erstatter x med etbestemt element fra universet, sa fas et udsagn, der altsa enten er sandt eller falsk. Vi præciserer

Definition 1.3. Ved et prædikat i n variable forstas et udtryk af formen

P(x1,x2, . . . ,xn)

med den egenskab, at der fremkommer et udsagn nar man erstatter alle de variable medelementer fra en mængde, der kaldes et univers.

Udtrykket x = 0 er altsa et prædikat. Hvis vi betegner dette med N(x), kan vi ved hjælp af detidligere indførte logiske symboler formulere en del af sætningen (IV) som

N(xy)⇒ [N(x)∨N(y)] .

Ifølge ovenstaende er dette ligeledes et, omend sammensæt, prædikat. Ved at benytte andre lo-giske symboler sammen med prædikater, kan man pa tilsvarende made opna andre sammensatteudtryk.

Lad nu M(x) betyde “x er et menneske” og lad T (x) betyde “x har to ben”. Udtrykket

M(x)⇒ T (x)

er sa den formelle oversættelse af sætningen: “Hvis x er et mennesker, sa har x to ben”. Hvislader p betegne Peter, sa betyder M(p) derfor, at Peter er et menneske, T (p) at Peter har to ben.


For at kunne færdiggøre formaliseringen af slutning (III), mangler vi kun at indføre et symbolfor udtrykket “Alle”. Lad P(x) være et prædikat. Ved symbolet

∀P(x),

der læses, “for ethvert x P(x)”, forstas et udsagn, der er sandt, hvis P(a) er et sandt udsagn, uansethvilket element a fra det betragtede univers, der er tale om. Symbolet ∀ kaldes for alkvantoren.

Med betingelserne ovenfor er ∀xM(x) et falsk udsagn, og ∀xT (x) er ligeledes falsk, men∀x(M(x)⇒ T (x)) er sandt. Slutningen (III) kan nu formaliseres ved

Slutning (III’):

(1) ∀x(M(x)⇒ T (x))(2) M(p)(3) T (p)

hvor den vandrette streg adskiller forudsætningerne fra konklusionen. At der her er tale om enlogisk korrekt slutning, hvad der jo intuitivt er oplagt, afspejles nu i det faktum, at vi fra punkt(1) specielt har M(p)⇒ T (p), og at T (p) er en logisk konsekvens af (M(p)⇒ T (p))∧M(p). At[(M(p)⇒ T (p))∧M(p)]⇒ T (p) er en tautologi følger af udtrykket i ligning (1.1), hvor M(p)svarer til P, og T (p) svarer til ¬Q.

Sætningen (IV) kan ligeledes formaliseres. Vi ser, at den formelle oversættelse bliver

Sætning (IV’)

∀x ∀y (N(xy)⇒ (N(x)∨N(y))).

Hvis vi nu foretager en yderligere abstraktion og glemmer den konkrete betydning, vi har tillagtprædikaterne M(x), T (x) og N(x) og udelukkende opfatter disse som prædikatsymboler, ser vi,at der er en afgørende forskel pa de to situationer. Slutningen (III’) er korrekt uanset betydningenaf symbolerne M(x) og T (x), og uanset hvilket univers man betragter, mens sandhedsværdienaf (IV’) afhænger af den konkrete betydning af N(x) og universet. Hvis N(x) betyder x = 1, oguniverset er de reelle tal, sa er udsagnet jo falsk.

Ved indførelsen af prædikater og alkvantoren har vi nu faet mulighed for at formalisere allede udsagn, vi er interesserede i. I lighed med definition 1.2 indfører vi

Definition 1.4.

1. Et (sammensat) udsagn B er en (prædikat-) logisk konsekvens af et (sammensat) ud-sagn A, hvis udsagnet A⇒ B er en tautologi uanset betydningen af de indgaendeprædikatsymboler, og uanset hvilket univers der betragtes.

2. To (sammensatte) udsagn A og B er (prædikat-) logisk ækvivalente hvis udsagnet A⇔B er en tautologi uanset betydningen af de indgaende prædikatsymboler, og uansethvilket univers der betragtes.


I lighed med de udsagnslogiske identiteter findes en række prædikatlogiske relationer, hvorafnogle er samlet i tabel 1.15. Vi understreger dog, at det i almindelighed kan være svært at afgøre,om to udsagn er logisk ækvivalente, eller om et er en logisk konsekvens af et andet. I princippetskal man jo undersøge alle mulige betydninger af de indgaende prædikatsymboler og alle muligeuniverser.

Nummer Relation

(1) ∀x P(x)⇒ P(a), hvor a er et vilkarligt element i universet

(2) P(b)⇒∃x P(x), hvor b er et element i universet

(3) ¬∀x P(x)⇔∃x ¬P(x)

(4) ∀x ¬P(x)⇔¬ ∃x P(x)

(5) ∀xP(x)⇒∃x P(x)

(6) ∀x P(x)∧∀x Q(x)⇔∀x (P(x)∧Q(x))

(7) ∀x P(x)∨∀x Q(x)⇒∀x (P(x)∨Q(x))

(8) ∃x (P(x)∨Q(x))⇔∃x P(x)∨∃x Q(x)

(9) ∃x (P(x)∧Q(x))⇒∃x P(x)∧∃x Q(x)

Tabel 1.15

Det viser sig hensigtsmæssigt at indføre endnu et symbol. Lad os se pa udsagnet ¬∀x P(x). Dettebetyder altsa, at ∀x P(x) er falsk, altsa at det er falsk, at udsagnet P(a) er sandt for alle a iuniverset. Med andre ord findes der mindst et b i universet, saledes at udsagnet P(b) er falsk,hvad der jo er det samme som at ¬P(b) er sandt. En kort skrivemade for dette er

∃x ¬P(x),

hvor symbolet ∃ kaldes for eksistenskvantoren, og udtrykket ∃x læses “der findes et x”. Betyd-ningen er altsa fastlagt ved, at ¬∀xP(x) og ∃x¬P(x) er prædikatlogiske ækvivalente udsagn.

Relationerne (1)–(5) er en simpel følge af selve den made, vi har indført symbolerne pa. I re-lationerne (6)–(9) er implikationen fra venstre mod højre, altsa “⇒”, igen en simpel konsekvensaf symbolernes betydning. Implikationen den modsatte vej, altsa “⇐”, kan i (6) indses ved atbenytte, at savel P(c) som Q(c) er en udsagnslogisk konsekvens af P(c)∧Q(c). Pa tilsvarendemade kan “⇐” i (8) bevises.

Vi understreger, at i (7) og (9) er der kun tale om implikationer den enevej. Den modsatteimplikation gælder simpelthen ikke. Dette kan indses ved at give et modeksempel. Hvis vi serpa relation (7) skal vi altsa angive et univers og prædikater P(x) og Q(x), saledes at ∀x P(x)∨∀x Q(x) er falsk. Lad universet besta af tallene 0 og 1, lad P(x) betyde x = 0 og lad Q(x) betydex = 1. Det er sa klart, at ∀x ((x = 0)∨ (x = 1)) er sandt, mens det er lige sa oplagt, at ∀x (x =0)∨∀(x = 1) er falsk.


Ved hjælp af den indførte formalisme er vi i stand til pa en kompakt made at udtrykke defleste af de ting, vi er interesserede i indenfor matematikken, og vi har ligeledes en principielmulighed for at undersøge, om en slutning er logisk korrekt. Hvis der er tale om udsagn udenkvantorer og prædikater, kan man træffe afgørelsen ved hjælp af sandhedstavler, men genereltkan det være mere vanskeligt. Vi illustrerer problemet i følgende eksempel.

Eksempel 1.4. Vi vil undersøge om udsagnet ∀x (P(x)⇒ R(x)) er en logisk konsekvens afde tre udsagn

1. ∀x [P(x)⇒ (Q(x)⇒ R(x)]

2. ∀x (P(x)⇒ S(x))

3. ∀x S(x)

Lad derfor P(x), Q(x), R(x) og S(x) være vilkarlige prædikater og lad a være et vilkarligtelement i det tilhørende univers. Vi betragter altsa udsagnet

[P(a)⇒ (Q(a)⇒ R(a))]∧ (P(a)⇒ S(a))∧¬ S(a).

Ifølge definition 1.4 er P(a)⇒ R(a) en logisk konsekvens af dette, og da a var et vilkarligtelement, følger det sa af selve betydningen af alkvantoren, at der gælder ∀x (P(x)⇒ R(x)),som hermed er en prædikatlogisk konsekvens af udsagnene 1, 2 og 3.

Som et eksempel pa formalismens styrke minder vi om definitionen pa, at en funktion er konti-nuert i ethvert punkt:

Eksempel 1.5. Lad f : R→ R være en funktion. f er kontinuert i punktet x0, hvis

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x [|x− x0|< δ ⇒ | f (x)− f (x0)|< ε] .

At f ikke er kontinuert i x0 betyder altsa, at

¬ (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x [|x− x0|< δ ⇒ | f (x)− f (x0)|< ε]) .

Ved hjælp af tabel 1.11 og 1.15 kan dette udtryk omskrives. Vi benytter først 1.11.(12) og far

¬ (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x [¬(|x− x0|< δ )∨| f (x)− f (x0)|< ε]) .

Nu benyttes 1.15.(3) og 1.15.(4)

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ¬ [¬(|x− x0|< δ )∨| f (x)− f (x0)|< ε] ,


der ved brug af 1.11.(11) og 1.11.(14) giver

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x [(|x− x0|< δ )∧| f (x)− f (x0)| ≥ ε] .

Hvis man i ord forsøger at udtrykke, at en funktion ikke er kontinuert i et punkt – uden atbenytte det formelle apparat– vil man opleve, at dette giver svære vanskeligheder.

1.3 Formelle Beviser

I de to foregaende afsnit har vi indført en række begreber og symboler, der muliggør en præcisformulering af matematiske udtryk, og vi har – baseret pa den intuitive opfattelse af “sand” og“falsk” – præciseret, hvad vi forstar ved udtrykket “logisk konsekvens”.

I dette afsnit vil vi indføre begreberne“slutningsregler” og “formelle beviser” og hermedintroducere en anden vigtig synsvinkel i logikken. Vi indskrænker os i det følgende til kun atbetragte udsagn uden prædikater og kvantorer.

Som bekendt er en matematisk sætning et udsagn, der kan bevises, og en matematiker er ikketilfreds, før han eller hun er overbevist om korrektheden af beviset. I et bevis indgar der en ellerflere slutninger af den art, vi har diskuteret i de foregaende afsnit. Som vi har set, er udsagnet Qen logisk konsekvens af udsagnet (P⇒Q)∧P. Dette kan formuleres som en slutningsregel, idetman ud fra udsagnene P⇒ Q og P drager slutningen Q. Vi skriver dette pa følgende made

P⇒ QPQ

I denne formulering kaldes udsagnene over stregen for hypoteser eller præmisser og udsagnetunder stregen for konklusionen. Vi noterer en række sadanne regler i tabel 1.16.

SR1:P⇒ QPQ

SR2:PP∨Q

SR3:P∧QP

SR4:PQP∧Q

SR5:P∨Q¬P∨RQ∨R

Tabel 1.16

I den opsætning vi har valgt, er slutningsreglerne blot en anden made at udtrykke, at konklusionener en logisk konsekvens af konjunktionen af præmisserne.

De slutningsregler, der er medtaget i tabel 1.16, er udtryk for et valg, og de er ikke uafhæn-gige. For eksempel kan SR1 opfattes som et specialtilfælde af SR5, idet SR1 ogsa kan skrivessom

¬P∨QP∨0Q∨0

1.3. FORMELLE BEVISER 19

lad nu P−1,P2, . . . ,Pn og Q være udsagn. Ved et logisk argument forstas et skema af formen

P1P2...PnQ

Det logiske argument siges at være gyldigt, hvis Q er en logisk konsekvens af P1∧P2∧ ·· ·∧Pn,altsa hvis udsagnet

(P1∧P2∧·· ·∧Pn)⇒ Q

er en tautologi. Specielt er slutningsreglerne i tabel 1.16 altsa gyldige argumenter.Nar man vil benytte et gyldigt logisk argument, er det oftest i den situation, hvor man ud

fra sandheden af præmisserne ønsker at slutte sandheden af konklusionen. I selve den formelleopsætning er der dog intet krav om sandhed af præmisserne. Det logiske argument

P¬PQ

er gyldigt da (P∧¬P)⇒ Q, der er logisk ækvivalent med ¬0∧Q altsa 1, er en tautologi.Fra definition 1.4 har vi, at

P⇒ (Q⇒ R)P⇒ S¬SP⇒ R

er et gyldigt logisk argument. Gyldigheden blev bevist ved hjælp af sandhedstavler, og ethvertudsagnslogisk argument kan behandles pa denne made.

Vi vil nu anlægge en lidt anden synsvinkel, idet vi indfører begrebet et formelt bevis for etlogisk argument. Dette leder senere til en næsten automatisk procedure til at konstruere beviserfor gyldigheden af logiske argumenter, men styrker af synspunktet kommer i realiteten først tilsin ret, nar det anvendes i mere generelle situationer, hvor sandhedstavlefilosofien ikke direk-te anvendes. Vi illustrerer meningen med begrebet formelt bevis pa ovenstaende eksempel ogvender senere tilbage til den præcise definition.

Eksempel 1.6. Vi starter med at nummerere præmisserne

Nummer Præmis(1) P⇒ (Q⇒ R)(2) P⇒ S(3) ¬S

Nu tilføjes en række nummererede udsagn, der fremkommer af de foregaende ved at anvendetabel 1.11 eller tabel 1.16, og i hver linje noteres hvilke identiteter eller regler der er benyttet


pa hvilke af de foregaende udsagn. Man far nu

Nummer Præmis Regel/Identitet(4) ¬S⇒¬ P 1.11(13) pa præmis 2(5) ¬P 1.16SR1 pa præmis (4) og (3)(6) ¬P∨R 1.16SR2 pa præmis (5)(7) P⇒ R 1.11(12) pa præmis (6)

og vi ser, at præmis (7) præcis er udsagnet under stregen. I dette tilfælde blev præmis (1) sletikke benyttet.

Lad os betragte et andet tilfælde i følgende eksempel.

Eksempel 1.7. Vi har(1) (P∨Q)⇒ R(2) R⇒ S(3) ¬S

¬Q

For at give et formelt bevis for dette fortsættes med

Nummer Præmis Regel/Identitet(4) ¬S⇒¬ R 1.11(13) pa præmis (2)(5) ¬R 1.16SR1 pa præmis (3) og (4)(6) ¬R⇒¬ (P∨Q) 1.11(14) pa præmis (1)(7) ¬(P∨Q) 1.16SR1 pa præmis (5) og (6)(8) ¬P∧¬Q 1.11(14) pa præmis (7)(9) ¬Q 1.16SR3 pa præmis (8)

Vi kan nu præcisere begrebet et formelt bevis.


Definition 1.5. LadP1P2...PnQ

være et logisk argument. Ved et formelt bevis for det logiske argument forstas en numme-reret liste af udsagn. Listen starter med P1 ∧P2 ∧ ·· · ∧Pn og slutter Q, og ethvert udsagnpa listen er fremkommet ved at anvende identiteterne fra tabel 1.11 eller reglerne fra tabel1.16 pa udsagn tidligere pa listen. Ud fra ethvert udsagn angives, pa hvilken made dette erfremkommet.

Det følger af en made, vi har indført begrebet formelt bevis, at hvis der findes et formelt bevis foret logisk argument, sa er argumentet gyldigt. Det er mere overraskende, men ikke desto mindrerigtigt, at ethvert gyldigt argument har et formelt bevis. Selvom gyldigheden af et logisk argu-ment kan indses ved at benytte sandhedstavler, er formelle beviser generelt set mere velegnede iforbindelse med automatisering af logiske slutninger.

Det er ikke umiddelbart indlysende, hvordan man skal ga frem for at give et formelt bevisfor et logisk argument, men vi vil i det følgende beskrive en fremgangsmade, faktisk næsten enalgoritme, som man altid kan benytte ved konstruktion af formelle beviser i det her betragtederegi.

Udgangspunktet er slutningsregel 1.16.SR5, altsa:

(1) P∨Q(2) ¬P∨R(3) Q∨R

Her kaldes udsagnet Q∨ R for resolventen af udsagnene P∨Q og ¬P∨ R, og man siger, atkonklusionen (3) er fremkommet ved at anvende resoluion pa (1) og (2).

Nu er det jo ikke altid tilfældet, at præmisserne i et forelagt logisk argument har en form,der med det samme tillader anvendelse af resolution. Der gælder imidlertid, at ethvert logiskargument kan bringes pa en form, hvor dette er tilfældet. Det følgende gar ud pa at indse dette.Vi definerer først, at vi ved et simpelt udsagn forstar er udsagn af formen P eller ¬P, hvor P er etudsagn, der ikke indeholder logiske operatorer. Et sammensat udsagn siges at være pa konjunktivnormalform, hvis det er en konjunktion af udsagn, der enten er simple eller er en disjunktion afsimple udsagn.

Udsagnet P∧ (Q∨¬R)∧¬ S er pa konjunktiv normalform, mens ¬(P⇒Q)⇒ (R∧P) ikke erdet. Ved hjælp af tabel 1.15 kan det sidste udsagn omskrives til et dermed logisk ækvivalent pakonjunktiv normalform. Omskrivningen kan for eksempel forløbe saledes (idet der henvises tilreglerne i tabel 1.11):


¬(P⇒ Q)⇒ (R∧P)

m via identitet (12)¬¬(P⇒ Q)∨ (R∧P)

m via identitet (11)

(P⇒ Q)∨ (R∧P)

m via identitet (12)

(¬P∨Q)∨ (R∧P)

m via identitet (6)

(¬P∨Q∨R)∧ (¬P∨Q∨P)

m via identitet (1), (9) og (17)

(¬P∨Q∨R)∧1

m via identitet (8)¬P∨Q∨R

Udsagnet ¬P∨Q∨ R er altsa pa konjunktiv normalform, selv om der faktisk ikke optræderkonjunktioner. De enkelte deludsagn i et udsagn pa konjunktiv normalform kaldes klausuler.I udsagnet P∧ (Q∨¬ R)∧¬ S er klausulerne P, Q∨¬ R og ¬S. Udsagnet ¬P∨Q∨R indeholderkun en klausul, nemlig ¬P∨Q∨R. Omskrivningen illustrerer følgende:

Sætning 1.1. Ethvert udsagn er logisk ækvivalent med et udsagn pa konjunktiv normalform.

Bevis. Vi angiver det trin, der skal udføres for at omskrive et givent udsagn.(1) Fjern alle optrædende “⇔” og “⇒” ved at udnytte de logiske ækvivalenser

(P⇔ Q)⇔ (P⇒ Q)∧ (Q⇒ P)

og(P⇒ Q)⇔ (¬P∨Q).

(2) Fjern negationer, eller flyt dem sa langt muligt ind, ved at benytte ækvivalenserne

¬¬P⇔ P,

¬(P∧Q)⇔¬ P∨¬Q

og¬(P∨Q)⇔¬ P∧¬Q.


(3) Benyt ækvivalenserne

(P∨Q)∧R⇔ (P∨R)∧ (Q∨R)

P∨ (Q∧R)∨R⇔ (P∨Q)∧ (P∨R)

Det er sa forholdsvist nemt at indse, at denne proces fører til et udsagn pa konjunktiv normalform.Vi kan nu angive en procedure til at angive et formelt bevis for et logisk argument:

• Først erstattes præmisserne med dermed ækvivalente udsagn pa konjunktiv normalform.

• Hver enkelt præmis erstattes af klausulerne i den pagældende normalform, sagt pa en andenmade anvendes slutningsregel 1.16.SR3 gentagne gange.

• Nu anvendes resolution, indtil man opnar et udsagn, som er logisk ækvivalent med denønskede konklusion (pa konjunktiv normalform).

Vi illustrerer metoden i et eksempel:

Eksempel 1.8. Vi vil angive et formelt bevis for det logiske argument

(1) (P∧Q)⇒ R(2) T ⇒ Q(3) W ⇒ P(4) ¬R

W ⇒¬ T

Vi anvender den metode, der er skitseret ovenfor, og far

Nummer Præmis Regel/Identitet(5) ¬(P∧Q)∨R 1.11(12) pa præmis (1)(6) ¬P∨¬Q∨R 1.11(15) pa præmis (5)(7) ¬T ∨Q 1.11(12) pa præmis (2)(8) ¬P∨R∨¬ T Resolution pa præmis (6) og (7)(9) ¬W ∨P 1.11(12) pa præmis (3)(10) R∨¬ T ∨¬W Resolution pa præmis (8) og (9)(11) ¬T ∨¬W Resolution pa præmis (10) og (4)(12) W ⇒¬ T 1.11(12) pa præmis (11)

og dette er den ønskede konklusion.

Man kan med nogen ret indvende, at proceduren stadig ikke er helt mekanisk. Det er ikke klart,i hvilken rækkefølge og pa hvilke udsagn resolution skal anvendes. Det er ikke desto mindre


rigtigt, at man ved at anvende ovenstaende procedure kan levere et formelt bevis for ethvertgyldigt logisk argument.

Automatiske bevisførere (programmer) udnytter ofte resolution pa en lidt anden made, idetman kombinerer anvendelsen heraf med det indirekte bevis. Dette bygger pa den kendsgerning,at det logiske argument

PQ

er gyldigt, netop hvis det logiske argument

P¬Q

0

er gyldigt. Dette kan indses ved at benytte tabel 1.11 som følger:

Udsagn Identitet

P⇒ Q⇔ (12)¬P∨Q⇔ (11) og (15)

¬(P∧¬Q)⇔ (7)¬(P∧¬Q)∨0⇔ (12)

(P∧¬Q)⇒ 0

Heraf ses, at udsagnet P⇒ Q er en tautologi, hvis og kun hvis (P∧¬Q)⇒ 0 er en tautologi. Etindirekte bevis for

P1P2

...PnQ

bestar sa i et bevis forP1P2

...Pn¬Q

0


Eksempel 1.9. Vi vil undersøge, om P⇒ Q kan konkluderes ud fra præmisserne

(1) ¬(P∧R)(2) ¬Q⇒ R

Negationen af konklusionen, altsa ¬(P⇒ Q), er logisk ækvivalent med P∧¬Q, som er pakonjunktiv normalform. Vi vil derfor besvare spørgsmalet ved at angive et formelt bevis for

(1) ¬(P∧R)(2) ¬Q⇒ R(3) P(4) ¬Q

0

ved at benytte den tidligere beskrevne metode. Vi far

(5) ¬(¬Q)∨R 1.11(12) pa præmis (2)(6) Q∨R 1.11(11) pa præmis (5)(7) R Resolution pa præmis (4) og (6))(8) ¬P∨¬R 1.11(15) pa præmis (1)(9) ¬R Resolution pa præmis (3) og (8)(10) 0 Resolution pa præmis (7) og (9)

Heraf følger altsa, at¬(P∧R)¬Q⇒ RP⇒ Q

er et gyldigt argument, og ovenstaende er et formelt bevis for dette.

Vi har hidtil kun beskæftiget os med formelle beviser for logiske argumenter i udsagnslogikken.Det er imidlertid muligt, om end mere besværligt, at gennemføre en tilsvarende begrebsdannelsei prædikatlogik. Dette kan fx ske ved at inddrage som slutningsregler

SR6:∀x P(x)P(c) for ethvert c

SR7:P(a) for et eller andet a∃x P(x)

Tabel 1.17

I lighed med udsagnslogikken gælder sa ogsa, at ethvert gyldigt logisk argument har et formeltbevis, og det er ogsa muligt at formulere en generel version af resolutionsprincippet, saledes atdet i en vis forstand er muligt at mekanisere bevisførelsen.


1.4 Matematiske Beviser

Det kan maske forekomme lidt ejendommeligt, at vi efter afsnittet om formelle beviser har etafsnit med overskriften “Matematiske Beviser”. For der ligger jo heri en antydning af en forskelmellem to typer af beviser, og man skulle umiddelbart mene, at et bevis er et bevis, og at derikke i matematikken kan være debat om den sag. Overskriften pa afsnittet er da ogsa lidt af enprovokation, der imidlertid afspejler en reel forskel mellem en meget formel fremgangsmade ogen mere bredt anlagt anskuelsesform, hvor den formelle logik godt nok ligger til grund for deslutninger, der drages, men hvor logikken først og fremmest manifesterer sig gennem sproget.Matematik som levende og kreativt fag handler om begrebet og logiske sammenhænge mellembegreber. Disse sammenhænge etableres gennem matematiske beviser, der kan have forskelligegrundlæggende strukturer og kan fremtræde pa forskellige mader. En mulighed er, at begreberneog det givne er formaliseret i en sadan udstrækning, at man kan gennemføre et formelt bevis.Om end noget sadant for mange star som idealet for matematisk tænkning, er det dog kun i rin-ge udstrækning blevet realiseret for interessante matematiske sætninger. Den fuldt ud formellebevisførelse er central i debatten om matematikkens (filosofiske) grundlag og i alle situationer,hvor logisk tænkning søges gennemført “maskinelt”. Men i selve matematikken som fag betrag-tet, spiller formelle beviser en yderst tilbagetrukken rolle. Nu er de ovenstaende bemærkningermaske placeret lovligt tidligt, idet resten af bogen handler om matematiske sætninger og mate-matiske beviser. Først nar man har faet en grundlæggende forstaelse af, hvad et matematisk beviser, kan man for alvor forholde sig til den formelle logiks betydning for matematikken. Pa dettested vil vi præsentere en række eksempler, der illustrerer forskellige bevisteknikker og -metoder.

Eksempel 1.10. Vi ser først pa den sætning, der blev nævnt i afsnit 1.2, nemlig

Hvis x og y er reelle tal, og xy = 0, sa gælder x = 0 eller y = 0.

Dette er et eksempel pa en (simpel) interessant matematisk sætning. Som vi har set, kan denformuleres ved hjælp af prædikater, men konklusionen er ikke en prædikatlogisk konsekvensaf præmisserne. Det er præcis derfor, at sætningen har et egentligt matematisk indhold.Sætningen kan for eksempel bevises pa følgende made:

Vi har xy= 0, og hvis x er forskellig fra 0, sa findes et reelt tal x−1, saledes at x−1x= 1.Af xy = 0 følger sa x−1(xy) = x−10. Nar man regner med reelle tal, kan man sombekendt flytte parenteser, sa vi far (x−1x)y = x−10 og derfor 1y = x−10. Nu er 1y = yog x−10 = 0, sa vi far y = 0, og hermed er sætningen bevist.

Ingen matematiker vil indvende noget imod ovenstaende bevis, selv om det selvfølgelig er langtfra at være et formelt bevis i den forstand, vi har defineret dette. Alligevel udnyttes i beviseten del af de metoder, vi har beskæftiget os med i det foregaende. Sætningen far formen P⇒(Q∨R), mens den sætning der faktisk bevises er (P∧¬Q)⇒ R. Begge disse udsagn er jo logisk

1.4. MATEMATISKE BEVISER 27

ækvivalente med udsagnet ¬P∨Q∨R, sa vi har bevist en sætning, der er logisk ækvivalent medden oprindelige, og det er jo fuldt tilstrækkeligt. Beviset udnytter endvidere en række egenskaberved de reelle tal: eksistensen af x−1, nar x er forskellige fra 0, at man kan flytte parenteser, at1y = y, og at a0 = 0. Disse egenskaber er enten fundamentale for de reelle tal, eller kan bevisesfor sig. Det vil sige, at beviset udnytter en række allerede beviste sætninger om reelle tal udenegentlig at ga helt formelt til værks. I princippet er det muligt ud fra de fundamentale egenskaberfor de reelle tal, de sakaldte aksiomer, ved brug af de logiske identiteter, de logiske relationer ogslutningsreglerne, at bevise sætningen pa en made, der ligger meget tæt pa et formelt bevis. Ensadan fremgangsmade ville dog give et urimeligt langt og uigennemskueligt bevis, og det ville,hvad der er værre, ikke bidrage til forstaelsen.

Ovenstaende bevis er et eksempel pa et sakaldt direkte bevis, hvor man altsa ud fra præmis-serne ved at (1) regne, (2) udnytte tidligere beviste sætninger, (3) benytte logiske identiteter og(4) slutningsregler, nar frem til konklusionen.

Den bevisteknik som bestar i direkte at bevise et udsagn, der er logisk ækvivalent med det,man faktisk ønsker, har vi allerede set et eksempel pa. Specielt hvis sætningen fra formen P⇒Q,er det ofte nemmere at bevise udsagnet ¬Q⇒¬ P. Dette kaldes kontraposition.

Eksempel 1.11. Lad os se pa følgende sætning om de hele tal:

Hvis x2 er lige, sa er x lige.

Vi beviser den hermed ækvivalente pastand, altsa

Hvis x er ulige, sa er x2 ulige.

pa følgende made: Da x er ulige, er x = 2y+1, og derfor x2 = 4y2 +4y+1, som jo er ulige.

En anden bevisteknik, det sakaldte indirekte bevis, er allerede omtalt i afsnit 1.3. Metoden bestari, at man til præmisserne føjer negationen af konklusionen, og sa heraf udleder en modstrid.Et klassisk eksempel pa denne metode er følgende bevis for, at

√2 er et irrationelt tal. Beviset

bygger – selvfølgelig– pa læserens viden om de rationelle tal, altsa at disse er brøker af hele tal,og specielt at ethvert rationelt tal kan skrives som en uforkortelig brøk.

Eksempel 1.12. Her er sa beviset:

Vi gar altsa ud fra, x2 = 2. Negationen af konklusionen er, at x = ab , hvor brøken a

b

ikke kan forkortes. Med udgangspunkt i disse to udsagn far vi sa 2 = a2

b2 , og derfor2b2 = a2. Da 2b2 er et lige tal, ma a2 være et lige tal. Men sa er a selv lige (ifølgeovenstaende), sa a = 2c. Heraf fas 2b2 = (2c)2, og derfor b2 = 2c2. Da 2c2 er et ligetal, er b2 lige, og derfor er b et lige tal. Altsa har vi nu, at savel a som b er et lige tal,og a

b kan derfor forkortes med 2, i modstrid med uforkorteligheden.


Hermed er det indirekte bevis tilendebragt.

Indirekte beviser benyttes oftest i de tilfælde, hvor man skal bevise, at “noget” ikke er opfyldt.Senere i bogen møder man mange flere beviser, og det er bestemt en ikke triviel opgave at

konstruere sadanne. At kunne dette er en nødvendig betingelse for at dyrke matematik.

Kapitel 2

Mængder

Formalet med dette afsnit er at minde om begrebet en mængde, der er fundamentalt for modernematematik og datalogi. Hovedvægten er lagt pa de operationer, man kan foretage pa mængderfor at danne nye mængder, samt de regler, der gælder i denne forbindelse.

Ved en mængde forstas intuitivt en samling af objekter saledes, at det i princippet er muligt forethvert objekt at afgøre, om det er med i samlingen eller ej. De objekter, der er med i samlingen,kaldes mængdens elementer. Hvis x er et element i en mængde A, skrives x ∈ A, i modsat faldskrives x /∈ A. Typisk kan en mængde angives ved en opremsning af dens elementer, og manbenytter krøllede paranteser uden om elementerne til at angive selve mængden. For eksempel,

A = {1,2,7} eller A = {1,2,3, . . . ,98}.

En anden hyppig anvendt angivelse af mængder er

{x ∈M | P(x)}.

Her er P(x) et prædikat, og skrivemaden benyttes til at angive de elementer fra M, som gørprædikatet sandt. Vi tillader ogsa skrivemaden x | P(x), hvis det er underforstaet eller fremgar afsammenhængen, hvorfra objekterne x hentes. Der er selvfølgelig intet i vejen for at elementernei en mængde selv kan være mængder, sa det er helt lovligt at skrive {{1,2},{1}}. Det viser sigogsa hensigtsmæssigt at kunne tale om en mængde uden elementer. Denne kaldes den tommemængde og betegnes med /0. For den tomme mængde gælder altsa ∀x(x /∈ /0).

Overdreven og uforsigtig brug af ovennævnte symbolik kan imidlertid føre til paradokser.Disse kan kun undgas, hvis man gar formelt til værks og opstiller et egentligt aksiomssystemfor mængdelæren. En sadan fremgangsmade falder uden for denne bogs rammer og er da ogsahelt unødvendig i den daglige matematiske praksis, hvor man er omhyggelig med kun at benyttesymbolikken og begreberne i overensstemmelse med deres intuitive indhold.

I det følgende præciseres en række begreber, der benyttes i mængdelæren. Mængder er be-tegnet med store bogstaver og elementer med sma. De elementer, der er tale om, er tænkt valgtfra en fast mængde M, selv om vi ikke altid nævner dette eksplicit.

29

30 KAPITEL 2. MÆNGDER

Definition 2.1. Lad A og B være mængder.

(1) A = B hvis A og B har præcis de samme elementer.(2) A⊆ B hvis ethvert element i A ogsa er element i B.

Her er (1) blot en præcisering af, at en mængde er karakteriseret alene ved de elementer, denindeholder. For eksempel,

{0,1,4,9,16,25}= {x2 | x ∈ N ∧ x≤ 5}.

Nar A ⊆ B siges A at være en delmængde af B. Det følger af (2), at /0 ⊆ A lige meget hvilkenmængde A, der er tale om. Ligeledes gælder A⊆ A og endvidere, at

A = B⇔ (A⊆ B) ∧ (B⊆ A). (2.1)

Definition 2.2. Lad A være en mængde. Ved P(A) forstas mængden af delmængder af A.

Eksempel 2.1. Hvis A = {1,2,3} er

P(A) = { /0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

I det trivielle tilfælde hvor A = /0 er

P(A) = { /0}.

Elementerne i P(A) er altsa mængder, nemlig præcis alle de mængder, som er delmængder afA.

Sætning 2.1. Hvis A er en endelig mængde med n elementer, sa er der 2n elementer i P(A).

Bevis. Lad A’s elementer være a1,a2, . . . ,an i denne bestemte rækkefølge. En delmængde Dkan sa entydigt karakteriseres ved en bitstrengen (x1,x2, . . . ,xn) hvor xi ∈ {0,1}, idet vi sætterxi = 1 hvis ai ∈ D og xi = 0 hvis ai /∈ D. Det vil sige at bitstrengen (0,0, . . . ,0) svarer til /0, og atbitstrengen (1,1, . . . ,1) svarer til A.

Nu er det klart, idet der pa hver af de n pladser er to muligheder, antallet af sadanne bitstrengeer 2n, og hermed er sætningen bevist.

31

Definition 2.3. Lad A og B være mængder (delmængder af M).(1) A∩B er mængden af elementer, der er med i bade A og B.(2) A∪B er mængden af elementer, der er med i mindst en af mængderne A og B.(3) A er mængden af elementer fra M, der ikke er med i A.(4) A\B er mængden af elementer fra A, der ikke er med i B.

A∩B kaldes fællesmængden af A og B, og der gælder altsa

A∩B = {x ∈M | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}. (2.2)

A∪B kaldes foreningsmængden af A og B, og der gælder

A∪B = {x ∈M | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}. (2.3)

A kaldes A’s komplementærmængde, og A\B kaldes differensmængden mellem A og B, og vi har

A = {x ∈M | x /∈ A}, (2.4)A\B = {x ∈M | (x ∈ A)∧ (x /∈ B)}. (2.5)

Det er ikke vanskeligt at indse, at der er en række sammenhænge mellem disse mængder. Vifremhæver nogle af egenskaberne i

Lad A,B og C være delmængder af en mængde M. Sa gælder

(1) A∪B = B∪A(2) A∩B = B∩A(3) A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C(4) A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C(5) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)(6) A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)(7) A∪ /0 = A(8) A∩M = A(9) A∪A = M(10) A∩A = /0

Tabel 2.1

De fleste af disse pastande følger direkte af definitionerne, men man kan ogsa indse mange afkonsekvenserne ved at visualisere mængderne i sakaldte Venn diagrammer som det i Figur 2.1.Hvis man vil bevise relationerne algebraisk kan (5) for eksempel indses pa følgende made:

A∩ (B∪C) = {x ∈M | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B∨ x ∈C)},= {x ∈M | (x ∈ A∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A∧ x ∈C)},= {x ∈M | x ∈ (A∩B) ∨ x ∈ (A∩C)},= (A∩B) ∪ (A∩C).


Figur 2.1: Eksempler pa Venn diagrammer.

Beviset bygger altsa udelukkende pa definitionerne og omskrivninger af disse samt en anvendelseaf den logiske identitet i Tabel 1.11.(5). Denne fremgangsmade kan ofte benyttes til at vise lighedmellem mængdeudtryk, som illustreret i følgende eksempel.

Eksempel 2.2. Lad A og B være delmængder af en mængde M. Vi vil vise at A∩B = A∪B :

Udsagn Identitet

A∩B = {x ∈M | ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)} Ligning (2.2) og (2.4)

A∩B = {x ∈M | ¬(x ∈ A)∨ ¬(x ∈ B)} Tabel 1.11.(15)

A∩B = A∪B Ligning (2.3) og (2.4)

Tilsvarende kan det vises at A∪B = A∩B. Disse to identiteter kaldes De Morgans Love –ligesom de udsagnslogiske identiteter i Tabel 1.11.(14)-(15).

I almindelighed, det vil sige, nar der er tale om mere indviklede relationer mellem mængder, eren sadan simpel omskrivningsmetode ikke fremkommelig. I stedet kan man med fordel udnytteLigning (2.1). Vi illustrerer dette i de næste to eksempler.

Eksempel 2.3. Lad A, B og C være mængder. Sa gælder

A∩ (B\C) = (A∩B)\ (A∩C).

Dette kan indses pa følgende made. Lad x ∈ A∩ (B\C), sa gælder x ∈ A og x ∈ B og x /∈C.Heraf fas x ∈ A∩B og x /∈ A∩C. Følgelig er x ∈ (A∩B)\(A∩C), og vi har vist, at mængdenpa venstre side af lighedstegnet er en delmængde af mængden pa højre side.

33

C

A

B B

C

A

= A

= B \ C= A ∩ (B \ C)

= A ∩B

= A ∩ C

= (A ∩B) \ (A ∩ C)

Figur 2.2: Til venstre er et Venn diagram som er arbejdet frem fra A∩ (B \C). Til højre er dettilsvarende resultat for (A∩B)\ (A∩C). Det er visuelt klart at de to mængder er ens.

Lad sa x ∈ (A∩B)\ (A∩C). Dette betyder jo x ∈ A∩B og x /∈ A∩C. Heraf sluttes x ∈ A,x ∈ B, og da altsa x ∈ A, men x /∈ A∩C, ma der gælde x /∈ C. Altsa gælder x ∈ B \C, sa ialt fas x ∈ A∩ (B \C). Mængden pa højre side af lighedstegnet er altsa en delmængde afmængden pa venstre side.

Sammenholdes disse to resultater er ligheden vist. I Figur 2.2 er et Venn diagram somviser resultatet grafisk.

Eksempel 2.4. Vi vil vise, at hvis A∪B = M og A∩B = /0, sa gælder B = A. For at bevisedette antages det, at A∪B = M og A∩B = /0. Det skal sa vises at B = A.

Lad x ∈ B. Da A∩B = /0 gælder x /∈ A og derfor x ∈ A. Hermed har vi vist, at

B⊆ A.

Lad sa y ∈ A, det vil sige y /∈ A. Hvis nu y /∈ B er y /∈ A∪B = M, hvad der jo er en modstrid,sa derfor gælder y ∈ B. Vi har nu vist

A⊆ B.

Sammenholdt med B⊆ A giver dette B = A.

Bevisgangen her er altsa lige som ovenfor, at man for at vise ligheden viser de to inklusionerhver for sig. Man kan her ogsa nyde, at det bliver helt klart, hvor de to forudsætninger benyttes ibeviset.

Begreberne forenings- og fællesmængde kan pa naturlig made udvides til at omfatte uendelig


mange mængder. Vi illustrer dette i

Eksempel 2.5. For ethvert reelt tal a er

Ma = {(x,y) ∈ R2|(x−a)2 + y2 ≤ 1}

mængden af punkter i planen, der ligger pa eller inden for en cirkel med centrum i (a,0)og radius 1. Ved

⋃a∈RMa forstas sa mængden af punkter i planen, som ligger i mindst en af

mængderne Ma, og ved ∩a∈RMa forstas mængden af punkter i planen, som ligger i enhver afmængderne Ma. Pa Figur 2.3 er cirklerne tegnet for forskellige værdier af tallet a. En sadantegning er en god hjælp til at fa ideer. Her ser det ud som at⋃

a∈RMa = {(x,y) ∈ R2| |y| ≤ 1}.

Det er rigtig nok, her er beviset:Antag at (u,v)∈⋃a∈RMa. Sa findes der mindst et reelt tal a, saledes at (u− a)2+v2 ≤ 1.

Derfor gælder v2 ≤ 1 sa (u,v) ∈ {(x,y) ∈ R2||y| ≤ 1}. Dermed er⋃a∈R

Ma ⊆ {(x,y) ∈ R2| |y| ≤ 1}. (2.6)

Pa den anden side, hvis (u,v) ∈ {(x,y) ∈ R2| |y| ≤ 1} gælder altsa v2 ≤ 1 og sa gælder(u,v) ∈Mu, idet dette er tilfældet præcis nar (u−u)2 + v2. Altsa har vi (u,v) ∈⋃a∈RMa ogdermed

{(x,y) ∈ R2| |y| ≤ 1} ⊆⋃

a∈RMa. (2.7)

Sammenholdes de to inklusioner, er pastanden vist.

Af hensyn til senere anvendelser nævner vi her

Definition 2.4. Lad A og B være mængder. Ved det kartetiske produkt af A og B, A×B,forstas mængden af ordnede par 〈a,b〉, hvor a ∈ A og b ∈ B.

I denne forbindelse indgar begrebet et ordnet par, men det er jo intuitivt klart hvad der menesmed dette. Parret 〈2,1〉 er saledes forskelligt fra parret 〈1,2〉. Definitionen udvides pa oplagtmade til at omfatte mere end to mængder. I stedet for A×A benyttes ogsa betegnelsen A2, og forA×A×·· ·×A︸︷︷︸

m

benyttes Am.

35

Figur 2.3: En skitse af cirklerne Ma for forskellige værdier af a.

Eksempel 2.6. Den repræsentation af delmængder af en given mængde, der blev anvendti beviset for Sætning 2.1, kan med fordel anvendes i en computer. Vi forudsætter altsa, atde mængder, vi opererer pa, er delmængder af en mængde A, hvis elementer er angivet i enbestemt rækkefølge a1,a2, . . . ,an. Lad nu A = {a,b,c,d,e}, delmængden D1 = {a,c} er sarepræsenteret ved bitstrengen 10100, og delmængden D2 = {c,e} repræsenteres ved 00101.For at finde en repræsentation af D1 ∩D2 udfører vi operationen 10100 and 00101, somstar for AND pa sammenhørende bits. Vi far derfor 00100 som resultat. Ligeledes kan vibestemme D1 ∪D2 ved 10100 or 00101, altsa ved OR pa sammenhørende bits. Dette giver10101, som repræsenterer {a,c,e}.

Kapitel 3

Relationer

Ordet relation indgar i dagligsproget, for eksempel i far-datter relationen, bror-søster relationenog sa videre. Fra tallene er udtrykket ”større end”og ”lig med”ligeledes eksempler pa relationer.Her er der tale om relationer mellem to objekter, men vi kender ogsa relationer mellem tre ellerflere objekter, for eksempel mellem forældre og børn.

Relationsbegrebet spiller en fundamental rolle i moderne matematik og datalogi, og i detfølgende vil vi give en præcis matematisk definition af begrebet ”en relation”samt specielt be-handle to vigtige typer af binære relationer.

3.1 Relationsbegrebet

Definition 3.1. Lad A1,A2, . . . ,An være mængder. Ved en relation pa A1 × A2 × ·· · × Anforstas en delmængde R af A1×A2×·· ·×An.

3.2 Relationsdatabaser

Overskriften er maske en lille msule misvisende. Det er ikke hensigten her at gennemga en fuld-stændig teori for relationsdatabaser, men blot papege anvendelsen af relationsbegrebet og opera-tioner pa relationer i forbindelse med relationsbegrebet og operationer pa relationer i forbindelsemed relationsdatabasesystemer. I relationsmodellen er en database en samling n-ære relationer,der svarer til ”filer”eller ”tabeller”i mere traditionel datasprogbrug.

For eksempel kan en fabrikant, der ønsker at opbevare information om levering af ravarer,gøre dette i form af nedenstaende tre relationer.

Relation nr. 1, der kan kaldes ”Leverandør”, er en delmængde af

N×{navne}×{0,1,2,3,4}×{adresser}.

37

38 KAPITEL 3. RELATIONER

Meningen hermed er, at enhver af 4-tuplerne, der er med i relationen, entydigt bestemmer enleverandør ved

〈et nummer, et navn, en grad af palidelighed, en adresse〉.

Relation nr. 2, der kan kaldes ”Vare”, er en delmængde af

N×{navne pa varer}×{farver}×R+.

Her er meningen, at enhver af 4-tuplerne, der er med i relationen, entydigt bestemmer en vareved

〈et nummer, et navn, farven, vægten〉.

Relation nr. 3, som vi kalder ”Ordrer”, er en delmængde af

N×N×N.

Meningen hermed er, at enhver af triplerne, der er med i relationen, entydigt bestemmer en bestilt,men ikke leveret ordre ved

〈leverandør nummer, varenummer, antal af varen〉.

I den rigtige verden er dette sikkert ikke nok, men det er tilstrækkeligt til at illustrere de opera-tioner pa relationer, der er involverede.

Vi definerer først en række operationer pa relationer og vender senere tilbage til eksemplet.Lad R1 og R2 være relationer pa A1×A2×·· ·×An. Da R1 og R2 sa er delmængder af A1×

A2×·· ·×An, giver mængdeoperationer saledes operationer pa relationerne.

• Foreningen af R1 og R2 er R1∪R2.

• Fællesrelationen af R1 og R2 er R1∩R2.

• Differensen mellem R1 og R2 er R1 \R2.

• Komplementet til R1 er A1×A2×·· ·×An \R1.

De følgende to operationer er mere specielle.

Definition 3.2. Lad R ⊆ A1×A2× ·· ·×An være en n-ær relation, og lad {i1, i2, . . . , is} ⊆{1,2, . . . ,n}. Ved projektionen af R med hensyn til i1, i2, . . . , is forstas den s-ære relation

{〈x1,x2, . . . ,xs〉|∃〈a1,a2, . . . ,an〉 ∈ R(ai j = x j, j = 1, . . . ,s)}

3.2. RELATIONSDATABASER 39

Eksempel 3.1. Lad R ⊆ {a,b,c}×{a,b,c}×{a,b,c} bestar af triplerne 〈a,a,a〉, 〈a,b,c〉,〈b,b,c〉, 〈a,a,c〉, 〈b,a,c〉, 〈b,c,c〉 og 〈a,c,c〉. Projektionen af R med hensyn til positionerne1 og 3, er den binære relation {〈a,a〉,〈a,c〉,〈b,c〉}, mens projektionen af R med hensyn tilposition nr. 1 er den unære relation {a,b}.

En anden hyppigt anvendt operation er den sakaldte join

Definition 3.3. Lad

R1 ⊆ A1×A2×·· ·×An,

R2 ⊆ B1×B2×·· ·×Bm,

være relationer og antag, at Ai = B j for et eller andet i og j. Ved join af R1 og R2 med hensyntil komponent nr. i i R1 og komponent nr. j i R2 forstas relationen

{〈a1,a2, . . . ,an,b1,b2, . . . ,bm〉|〈a1,a2, . . . ,an〉 ∈ R1∧〈b1,b2, . . . ,bm〉 ∈ R2∧ai = b j}.

Eksempel 3.2. Lad

R1 = {〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,a〉} ⊆ {a,b,c}×{a,b,c}

og lad

R1 = {〈a,b,x〉,〈c,a,y〉,〈a,a,x〉,〈a,c,x〉} ⊆ {a,b,c}×{a,b,c}×{x,y}.

Sa er join af R1 og R2 med hensyn til komponent nr. 1 i R1 og komponent nr. 2 i R2 den 5-ærerelation

{〈a,b,c,a,y〉,〈a,b,a,a,x〉,〈a,c,c,a,y〉,〈a,c,a,a,x〉,〈b,a,a,b,x〉}.

Lad os nu vende tilbage til eksemplet fra før. Antag at fabrikanten vil vide, fra hvilke leve-randører, der har palidelighedsgrad 3, han har bestilt vare nummer k, samt antallet af den pagældendevare, han har bestilt hos hver.

De par 〈s,q〉 ⊆ N×N, hvor s er leverandørnummeret og q antallet af bestilte varer, er en nybinær relation, der kan fremkomme ved gentagne anvendelser af projektion og join, som vi skalse.{k} er en unær relation K(⊆ N). Ved at danne join af ”Ordrer”og K med hensyn til første

komponent i begge fas en 4-nær relation, som vi kalder R1. Elementerne i R1 er quadrupler〈x,k,z,k〉, hvor 〈x,k,z〉 tilhører ”Ordrer”.

For at eliminere uønsket information danner vi projektionen af R1 med hensyn til 1. og 3.

40 KAPITEL 3. RELATIONER

position og far en binær relation R2 pa N×N, der bestar af de par 〈a,b〉, hvor a er et nummer paen leverandør af vare k, og der er bestilt b af denne vare hos den pagældende.

Nu er {3} en unær relation T (⊆ N). Hvis vi danner join af ”Leverandører”og T med hensyntil den tredje komponent i ”Leverandører”og komponenten i T , fas en 5-ær relation R3. Dennebestar af 5-tupler 〈x,y,3,z,3〉, hvor 〈x,y,3,z〉 ∈ ’Leverandører’.

Hvis vi nu danner projektionen af R3 med hensyn til 1. position, fas en unør relation R4, dergiver leverandørnumre pa de leverandører, der har palidelighedsgrad 3. Dannes nu join af R2 ogR4 med hensyn til komponent nr. 1, fas en ternær relation R5, der bestar af triplerne 〈s,q,s〉, hvors er nummeret pa en leverandør med palidelighedsgrad 3, der leverer vare nummer k, og q erantallet af den pagældende vare, der er bestilt hos ham.

Hvis vi endelig pa R5 anvender projektion med hensyn til de to første positioner, fas denønskede relation.

Det er selvfølgelig ikke fra dette ene eksempel indlysende, at relationssynspunktet pa data-basesystemer er fornuftigt. At det faktisk forholder sig sadan, hænger sammen med, at de invol-verede operationer, som vi kun har nævnt nogle fa af, er nemme at udføre i en datamaskine.

Kapitel 4

De naturlige tal

4.1 InduktionVi vil i dette afsnit gennemga en række fundamentale egenskaber ved de naturlige tal, specieltinduktionsbeviser og division. Vi har valgt at udelade en egentlig aksiomatisk opbygning, menunderstreger betydningen af

Induktionsaksiomet. Lad S være en delmængde af de naturlige tal N= {0,1,2, . . .} der opfylder:

(1) 0 ∈ S(2) Hvis j ∈ S, sa gælder j+1 ∈ S

sa er S = N.

Dette aksiom leder umiddelbart til den bevismetode, der kaldes induktionsbevis. Lad P(n) væreet udsagn om det naturlige tal n. Indholdet i induktionsaksiomet er sa, at hvis P(0) er et sandtudsagn, og hvis P( j)⇒ P( j+1) er et sandt udsagn for ethvert naturligt tal j sa er udsagnet P(n)sandt for alle naturlige tal. Dette kan formuleres som en slutningsregel pa følgende made.

Induktion

(1) P(0)(2) ∀ j (P( j)⇒ P( j+1))

∀n P(n)

At sætningen er korrekt følger umiddelbart af Induktionsaksiomet ved at sætte S til mængden afn ∈ N for hvilke P(n) er sand.

41

42 KAPITEL 4. DE NATURLIGE TAL

Eksempel 4.1. For ethvert naturligt tal n gælder:

15

n5 +13

n3 +7

15n

er et naturligt tal.Sætningen er oplagt for n = 0, sa (1) er vist. For at etablere (2), der kaldes induktions-

skridtet, antages altsa at 15 j5 + 1

3 j3 + 715 j er et naturligt tal. Vi betragter dernæst

15( j+1)5 +

13( j+1)3 +

715

( j+1),

og skal vise, at dette, under den givne antagelse, ligeledes er et naturligt tal. Nu gangesparenteserne ud, sa vi far:

15( j+1)5 +

13( j+1)3 +

715

( j+1)

=15( j5 +5 j4 +10 j3 +10 j2 +5 j+1)+

13( j3 +3 j2 +3 j+1)+

715

( j+1),

=

(15

j5 +13

j3 +7

15j)+( j4 +2 j3 +2 j2 + j)+

15+( j2 + j)+

13+

715

,

=

(15

j5 +13

j3 +7

15j)+( j4 +2 j3 +2 j2 + j)+( j2 + j)+1.

Her er de tre sidste led oplagt naturlige tal, og den første parentes er antaget at være etnaturligt tal, sa i alt har vi altsa bevist (2). Det følger sa af slutningsreglen, at sætningen ersand for alle n.

Eksempel 4.2. Vi vil vise, at der for ethvert naturligt tal gælder

n

∑i=0

i2 =n(n+1)(2n+1)

6.

Igen er sætningen oplagt for n = 0. Antag derfor at

j

∑i=0

i2 =j( j+1)(2 j+1)

6

4.1. INDUKTION 43

og betragt ∑j+1i=0 i2. Nu gælder jo

j+1

∑i=0

i2 =j

∑i=0

i2 +( j+1)2,

=j( j+1)(2 j+1)

6+( j+1)2, (ifølge antagelsen)

= ( j+1)(

j(2 j+1)6

+ j+1),

= ( j+1)(

2 j2 + j+6 j+66

),

= ( j+1)(

2 j2 +7 j+66

),

= ( j+1)((2 j+3)( j+2)

6

),

= ( j+1)((( j+1)+1)(2( j+1)+1)

6

).

Vi har altsa vist, at hvis sætningen er sand for n = j, sa er den ogsa sand for n = j + 1.Anvendes induktion fas da, at sætningen er sand for alle de naturlige tal.

Det er ikke nødvendigt at starte et induktionsbevis med 0. Dette er udtrykt i slutningsreglen:

Slutningsreglen

(1) P(k)(2) ∀ j ≥ k (P( j)⇒ P( j+1))

∀n≥ k P(n)

Denne kan indses ved hjælp af Induktionsaksiomet ved at sætte

S = {0,1, . . . ,k−1}∪{m ∈ N | P(m) er sand}.

Eksempel 4.3. Vi vil vise, at der for ethvert naturligt tal n≥ 1 gælder

(1+2+ · · ·+n)2 = 13 +23 + · · ·+n3.


Sætningen er oplagt rigtig for n = 1. Antag at sætningen er rigtig for n = j, og betragt(1+2+ · · ·+ j+( j+1))2. Nu kvadreres og vi far

(1+2+ · · ·+ j+( j+1))2,

= (1+2+ . . .+ j)2 +( j+1)2 +2(1+2+ · · ·+ j)( j+1),

= 13 +23 + · · ·+ j3 +( j+1)(( j+1)+2(1+2+ · · ·+ j)) ,

= 13 +23 + · · ·+ j3 +( j+1)(( j+1)+2

12( j+1) j

), (idet 1+ · · ·+ j =

12

j( j+1)),

= 13 +23 + · · ·+ j3 +( j+1)3.

Heraf ses at hvis sætningen er sand for n = j, sa er den ogsa sand for n = j + 1, og slut-ningsreglen ovenfor, der ogsa kaldes induktion, giver sa resultatet.

Som eksempel pa en mere interessant anvendelse af induktion beviser vi

Sætning 4.1. Lad a1,a2, . . . ,an være positive reele tal. Da gælder:

a1 +a2 + · · ·+an

n≥ n√

a1 ·a2 · . . . ·an.

Udtrykket pa venstre side af ulighedstegnet kaldes den aritmetiske middelværdi, og udtrykket pahøjre side den geometriske middelværdi.

Bevis. Beviset for sætningen foregar ved induktion efter n. For n= 1 siger sætningen a1≥ a1, ogdet er jo rigtigt. Antag sa at sætningen er rigtig for et vilkarligt valg af j tal. Lad a1,a2, . . . ,a j+1være j+ 1 positive reelle tal, som uden indskrænkning kan tænkes ordnet saledes at a1 ≤ a2 ≤·· · ≤ a j+1. Sæt

A =a1 +a2 + · · ·+a j+1

j+1.

Da a1 ≤ a2 ≤ ·· · ≤ a j+1 gælder

( j+1)a1 ≤ a1 +a2 + · · ·+a j+1 ≤ ( j+1)a j+1,

og derfor

a1 ≤ A≤ a j+1. (∗)

Vi skal bevise, at A j+1 ≥ a1 ·a2 · . . . ·a j+1. Betragt de j positive tal a2,a3, . . . ,a j,(a1+a j+1−A).Ifølge induktionsantagelsen gælder

a2 +a3 + · · ·+a j +(a1 +a j+1−A)j

≥ j√

a2 ·a3 · . . . ·a j · (a1 +a j+1−A),

4.1. INDUKTION 45

men her er venstre side = A, sa vi har

A j ≥ a2 ·a3 · . . . ·a j · (a1 +a j+1−A)

og derfor

A j+1 ≥ a2 ·a3 · . . . ·a j · (a1 +a j+1−A) ·A.

Beviset kan nu gøres færdigt ved at vise uligheden

(a1 +a j+1−A)A≥ a1a j+1.

Denne er ensbetydende med

0≥ A2−A(a1 +a j+1)+a1a j+1⇔0≥ (A−a1)(A−a j+1).

At den sidste ulighed er opfyldt følger nu direkte af (∗)

Ved at benytte induktion kan vi ogsa bevise

Sætning 4.2. Enhver delmængde A af N, hvor A 6= /0 har et mindste element.

Bevis. Lad

S = {n ∈ N | ∀a ∈ A (n≤ a)}.

Vi skal bevise at der findes et element i S∩A. Vi vil derfor antage at S∩A = /0 og vise at dettefører til en modstrid.

Det er klart, at 0 ∈ S. Antag nu at x ∈ S. Da S∩A = /0 ma det gælde at x /∈ A, men sa har vix < a for ethvert a ∈ A, og derfor x+1≤ a, altsa x+1 ∈ S. ved induktion kan vi slutte at S = Nog dermed /0 = S∩A = A, hvilket er i modstrid med A 6= /0. Følgelig findes et x ∈ S∩A og dettex er mindste element i A.

I en række situationer er det ikke muligt at bevise en pastand for tallet j+1 ud fra sandheden afpastanden for tallet j alene. Der kan derfor ofte forekomme tilfælde, hvor man ogsa skal udnyttesandheden for tallene j− 1, j− 2, . . . . Dette volder nu ingen problemer. Vi formulerer dennepastand som slutningsreglen:

Slutningsreglen

(1) P(0)∧P(1)∧·· ·∧P(k), for et k ≥ 0(2) ∀ j ≥ k (P(0)∧P(1)∧·· ·∧P( j)⇒ P( j+1))

∀n P(n)


At der er tale om en gyldig slutningsregel indses nemmest ved at betragte mængden F = {m ∈N | P(m) er falsk}. Hvis F 6= /0 har F ifølge Sætning 4.2 et mindste element j0. Her er j0 > 0ifølge (1). At j0 er det mindste element i F betyder, at P(0)∧·· ·∧P( j0−1) er sand, sa af (2) fasP( j0) i strid med at j0 ∈ F . Heraf sluttes sa at F = /0, og at der derfor gælder ∀n P(n).

Eksempel 4.4. Lad f : N→ N være givet ved

f (0) = 1, f (1) = 4, f (n+1) = 4 f (n)−4 f (n−1). (4.1)

Vi vil vise at f (n) = (n+ 1) · 2n. Da (0+ 1) · 20 = 1 og (1+ 1) · 21 = 4 er pastanden sandfor n = 0 og n = 1. Antag nu at pastanden er sand for j og j− 1, altsa at der gælderf ( j) = ( j+1) ·2 j og f ( j−1) = j ·2 j−1. Sa fas

f ( j+1) = 4 f ( j)−4 f ( j−1),

= 4( j+1) ·2 j−4 j ·2 j−1,

= 2 j+1(2 j+2− j),

= 2 j+1(( j+1)+1).

Denne generelle pastand fas sa af ovenstaende slutningsregel, der ogsa kaldes induktion.

4.2 DivisionI det følgende vil vi beskæftige os med division af tal. Selv om overskriften pa kapitlet er denaturlige tal, og selv om det er muligt at gennemføre undersøgelse af egenskaber, der er knyttettil division, helt inden for de naturlige tal, sa er det fornuftige talbegreb i denne sammenhæng dehele tal, altsa

. . . ,−2,−1,0,1,2, . . . .

De hele tal kaldes I (for integer) eller Z.Vi minder først om nogle fundamentale egenskaber i

Definition 4.1. Et helt tal n siges at have et helt tal d (6= 0) som divisor, hvisder findes ethelt tal q, saledes at

n = q ·d.

I denne situation skrives d|n. Tallet q kaldes for kvotienten mellem n og d.

4.2. DIVISION 47

At d|n ogsa udtrykkes ved at sige, d gar op i n eller n er et multiplum af d.

Sætning 4.3.

(1) a|b⇒ a|bc for ethvert helt tal c.

(2) ac|bc⇔ a|b for ethvert helt tal c 6= 0.

(3) a|b∧b|c⇒ a|c.

(4) a|b∧a|c⇒ a|(xb+ yc) for alle hele tal x og y.

Bevis.

(1) Hvis a|b gælder b = qa og derfor bc = (qc)a, som viser a|bc.

(2) Hvis ac|bc gælder bc = qac og derfor (da c 6= 0) at b = qa, sa a|b.

(3) Af b = q1a og c = q2b fas c = q1q2a sa a|c.

(4) Af b = q1a og c = q2b fas

xb+ yc = xq1a+ yq2a,= (xq1 + yq2)a,

hvoraf a|(xb+ yc).

Den næste sætning danner grundlaget for resten af resultaterne i dette afsnit.

Sætning 4.4. For vilkarlige hele tal n og d > 0, findes entydigt bestemte hele tal q og r,saledes at

n = qd + r, 0≤ r < d.

(Tallet r kaldes den principale rest.)

Bevis. Sætningen udtaler sig altsa dels om eksistensen af q og r og dels om entydigheden heraf.Entydigheden kan indses ved at antage, at

n = q1d + r1, hvor 0≤ r1 < d ogn = q2d + r2, hvor 0≤ r2 < d.


Ved subtraktion fas 0 = (q1−q2)d +(r1− r2), og derfor r2− r1 = (q1−q2)d. Da savel r1 somr2 er mindre end d, ligger r2− r1 i intervallet [−(d−1), . . . ,(d−1)]. Heraf sluttes at r2− r1 = 0og q1−q2 = 0. Altsa er r1 = r2 og q1 = q2, sa entydigheden er bevist.

For at bevise eksistensen betragter vi først tilfældet n > 0 og sætter

S = { j ∈ N | n− jd < 0}.

Da n+1 ∈ S er S 6= /0 og har derfor et mindste element ifølge Sætning 4.2. Lad os kalde dette j0.Af definitionen pa S ses, at j0 > 0, og der gælder altsa n− j0d < 0 og n− ( j0−1)d ≥ 0. Heraffas n− j0d +d < d, altsa n− ( j0−1)d < d. Da nu

n = ( j0−1)d +(n− ( j0−1)d)

har vi ved at sætte q = j0−1 og r = n− ( j0−1)d skrevet n = qd + r, hvor 0≤ r < d.Hvis n = 0 gælder 0 = 0 ·r+0. Hvis n < 0 har vi af ovenstaende−n = qd+r, hvor 0≤ r < d.

Hvis r = 0 fas n =−qd. Hvis r > 0 fas

n =−qd− r =−(q+1)d +(d− r) = q1d + r1

hvor 0≤ r1 < d. Hermed er eksistensen bevist i alle tilfælde, og derfor sætningen.

Eksempel 4.5. Lad n = 57 og d = 11. Sa har vi 57 = 5 ·11+2, svarende til q = 5 og r = 2.Man kan jo ogsa skrive 57 = 4 ·11+13, men dette har ikke den ønskede form, idet 13 > 11.

Lad n = −57 og d = 11. Sa gælder −57 = (−5) · 11− 2, der imidlertid ikke er denønskede form, idet −2 < 0. Det rigtige udtryk er −57 = (−6) ·11+9, idet 0≤ 9 < 11.

Et helt tal d siges at være en fælles divisor i tallene a og b, hvis d|a og d|b. Da et helt tal (6= 0)kun kan have endeligt mange divisorer, har to tal, der ikke begge er nul, højst endelig mangefælles divisorer. Mængden af fælles divisorer har derfor et største element, der naturligt nokkaldes største fælles divisor. Man benytter betegnelsen sfd(a,b) for største fælles divisor i a ogb.

Vi noterer en række elementære egenskaber ved den største fælles divisor.

Sætning 4.5. Lad a og b være hele tal, der ikke begge er 0. Sa gælder

(1) sfd(a,b)≥ 1

(2) sfd(a,b)=sfd(b,a)

(3) sfd(a,b)=sfd(−a,b)

En af de centrale sætninger i talteorien udtrykker, at største fælles divisor i to tal kan udtrykkessom en linearkombination af de to tal. Præcist formulerer vi dette i

4.2. DIVISION 49

Sætning 4.6. Lad a og b være hele tal, der ikke begge er 0. Sa findes der hele tal x0 og y0,saledes at

sfd(a,b) = x0a+ y0b.

Bevis. Vi betragter mængden S = {xa+ yb | x,y ∈ I}. S indeholder savel positive som negativeelementer og har derfor ifølge Sætning 4.2 et mindste positivt element z (det mindste elementi S∩N). Lad x0 og y0 være valgt sa x0a+ y0b = z. Vi vil bevise, at z faktisk er sfd(a,b). Førstbevises at z er en divisor i a og b, og dernæst at det er den største.

Af Sætning 4.4 følger, at der findes et tal q og r, sa

a = qz+ r, hvor 0≤ r < z.

Da gælder

r = a−qz,= a−q(x0a+ y0b),= (1−qx0)a−qy0b,

sa r ∈ S. Men da 0≤ r < z, og z var det mindste positive tal i S, sluttes r = 0. Altsa har vi a = qzog derfor z|a. Pa tilsvarende made ses at z|b, sa z er divisor i bade a og b.

Nu gælder der jo a = q1 · sfd(a,b) og b = q2 · sfd(a,b) og derfor

z = (x0q1 + y0q2) · sfd(a,b),

som viser at sfd(a,b)|z. Da z er divisor i bade a og b, og da sfd(a,b) er den største fælles divisor,ma der gælde z = sfd(a,b).

Inden vi diskuterer, hvordan man finder sfd(a,b) og de to tal x0 og y0 omtalt i sætningen, noterervi en række umiddelbare konsekvenser af Sætning 4.6.

Sætning 4.7. Hvis f er en fælles divisor i a og b, gælder f |sfd(a,b).

Bevis. Da a = q1 f , b = q2 f og sfd(a,b)= x0a+ y0b ifølge Sætning 4.6, fas

sfd(a,b) = (x0q1 + y0q2) f ,

sa f |sfd(a,b).


Sætning 4.8. For ethvert helt tal m > 0 gælder

sfd(ma,mb) = m · sfd(a,b).

Bevis. Vi vil vise, at

(1) m · sfd(a,b)|sfd(ma,mb),

(2) sfd(ma,mb)|m · sfd(a,b),

for heraf sluttes, at de ma være ens.For at vise (1) noterer vi, at sfd(a,b)|a og sfd(a,b)|b, og derfor følger af Sætning 4.3.(2), at

m · sfd(a,b)|ma og m · sfd(a,b)|mb. Af Sætning 4.7 sluttes sa, at m · sfd(a,b)|sfd(ma,mb).For at indse (2) benyttes Sætning 4.7 til at slutte at m|sfd(ma,mb), sa sfd(ma,mb)= qm, hvoraf

der fas qm|ma og qm|mb. Herefter giver Sætning 4.3.(2) at q|a og q|b, og derfor fas af Sætning4.7, at q|sfd(a,b). Da qm = sfd(ma,mb) er (2) dermed bevist.

Sætning 4.9. Hvis c|ab, a > 0 og sfd(b,c)= 1, sa gælder c|a.

Bevis. Det ses, at Sætning 4.8 giver

sfd(ab,ac) = a · sfd(b,c) = a,

idet sfd(b,c)= 1. Da c|ac, og vi har antaget c|ab, fas af Sætning 4.7, at c|sfd(ac,ab), altsa c|asom skulle vises.

Vi vender os nu til spørgsmalet om bestemmelse af største fælles divisor for to tal a og b. Derfindes hertil en effektiv metode, som kaldes Euklids algoritme. Metoden bygger pa

Sætning 4.10.

sfd(a,b) = sfd(a,r), hvor b = qa+ r, 0≤ r < a.

Bevis. Vi har r = b−qa og da største fælles divisor altid er positiv vil vi bevise sætningen vedat vise

(1) sfd(a,b)|sfd(a,b−qa)(2) sfd(a,b−qa)|sfd(a,b)

Da sfd(a,b)|b og sfd(a,b)|qa, har vi ifølge Sætning 4.3.(4) at sfd(a,b)|(b−qa). Der gælder ogsasfd(a,b)|a, sa Sætning 4.7 giver sfd(a,b)|sfd(a,b−qa), altsa (1).

4.2. DIVISION 51

For at vise (2) bemærker vi først at sfd(a,b− qa)|a og at sfd(a,b− qa)|(b− qa). Det følgerherefter af Sætning 4.3.(4), at sfd(a,b−qa)|1 ·(b−qa)+qa, altsa at sfd(a,b−qa)|b. Af Sætning4.7 fas sa sfd(a,b−qa)|sfd(a,b). Hermed er sætningen bevist.

Vi noterer, at der naturligvis ogsa gælder, at

sfd(a,b) = sfd(r1,b), hvor a = q1b+ r1,0≤ r1 < b.

Inden vi formulerer Euklids algoritme præcist, illustrerer vi metoden i

Eksempel 4.6. Lad a = 1644 og b = 956.

1644 = 1 ·956+688 ⇒956 = 1 ·688+268 ⇒688 = 2 ·268+152 ⇒268 = 1 ·152+116 ⇒152 = 1 ·116+36 ⇒116 = 3 ·36+8 ⇒36 = 4 ·8+4 ⇒8 = 2 ·4+0 ⇒

sfd(1644,956) = sfd(688,956)sfd(688,956) = sfd(688,268)sfd(688,268) = sfd(268,152)sfd(268,152) = sfd(152,116)sfd(152,116) = sfd(116,36)

sfd(116,36) = sfd(36,8)sfd(36,8) = sfd(8,4)

sfd(8,4) = sfd(4,0) = 4

Euklids Algoritme har som input to hele tal a og b, hvor b > 0. Først sættes r−1 = a og r0 = b.Det j’te trin i algoritmen bestar i at bestemme kvotient q j og rest r j, saledes at

r j−2 = q jr j−1 + r j, 0≤ r j < r j−1.

Processen standser nar resten bliver 0; dette sker jo før eller siden. Lad os nu sige, at rn+1 = 0,altsa at rn−1 = qn+1rn. I hvert trin har vi ifølge Sætning 4.10 at sfd(r j−1,r j−2) = sfd(r j−1,r j) ogsamlet ses det at

sfd(a,b) = sfd(r−1,r0) = sfd(r0,r1) = . . .

= sfd(rn,rn+1) = sfd(rn,0) = rn.

Største fælles divisor er altsa den sidste rest, der er forskellig fra 0.

Eksempel 4.7. a =−231, b = 75


i ri qi−1 −231 —0 75 —1 69 −42 6 13 3 114 0 2

Heraf fremgar, at sfd(−231,75)=r3 = 3.

I algoritmen har vi forudsat, at b > 0. Dette er ingen indskrænkning, da sfd(a,−b) = sfd(a,b).Ved hjælp af Euklids algoritme kan man ogsa bestemme de i Sætning 4.6 nævnte tal x0 og

y0, der altsa opfylder at

x0a+ y0b = sfd(a,b).

For at se hvordan, noterer vi, at vi fra algoritmen har

r−1 = a = 1a+0b,r0 = b = 0a+1b.

Nu er

r1 = r−1−q1r0,

= (1a+0b)−q1(0a+1b),= (1−q10)a+(0−q11)b.

Vi sætter s1 = (1−q10) og t1 = (0−q11) og har

r1 = a1a+ t1b.

Videre har vi

r2 = r0−q2r1,

= (0a+1b)−q2(s1a+ t1b),= (0−q2s1)a+(1−q2t1)b.

Sættes s2 = (0−q2s1)a og t2 = (1−q2t1) har vi

r2 = s2a+ t2b.

Vi far sa

r3 = r1−q3r2,

= s1a+ t1b−q3(s2a+ t2b),= (s1−q3s2)a+(t1−q3t2)b.

Nu er systematikken til at fa øje pa. Vi formulerer dette i

4.2. DIVISION 53

Sætning 4.11. Lad s−1 = 1 og s0 = 0, t−1 = 0 og t0 = 1. Vi definerer

si = si−2−qisi−1,

si = ti−2−qiti−1,

for i≥ 1, hvor qi er den kvotient, der optræder i det i’te skridt i Euklids algoritme. Sa gælder

ri = sia+ tib, for alle i≥−1.

Specielt har vi altsa med betegnelsen fra Euklids algoritme, at sfd(a,b) = rn = sna + tnb, sax0 = sn og y0 = tn.

Bevis. Sætning 4.11 er oplagt rigtig for i =−1 og i = 0. Antag nu at ri = sia+ tib for alle i < j,hvor j ≥ 0. Sa fas

ri+1 = ri−1−qi+1r1,

= (si−1a+ ti−1b)−qi+1(sia+ tib), (ifølge antagelsen)= (si−1−qi+1si)a+(ti−1−qi+1ti)b,= si+1a+ ti+1,

hvor sidste lighedstegn følger af definitionerne for si+1 og ti+1. Induktionen giver os hereftersætningen.

Eksempel 4.8. a = 1644, b = 956

i ri qi si ti−1 1644 — 1 0

0 956 — 0 11 688 1 1 −12 268 1 −1 23 152 2 3 −54 116 1 −4 75 36 1 7 −126 8 3 −25 437 4 4 107 −1848 0 2

Sa sfd(1644,956) = 4 = 107 ·1644−184 ·956.


Vi vender os nu til en anden vigtig og meget gammel del af talteorien. Som bekendt forstasved et primtal et helt tal p > 1, der kun har 1 og p som divisorer. Et helt tal m > 1, der ikke er etprimtal, kaldes et sammensat tal. Med denne definition er de første primtal

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, . . .

Sætning 4.12. Lad p være et primtal. Sa gælder

p|ab⇒ p|a∨ p|b.

Bevis. Hvis p ikke gar op i a gælder sfd(a, p) = 1, og Sætning 4.9 giver sa p|b.Dette resultat kan umiddelbart generaliseres til, at hvis p er et primtal, gælder

p|a1a2 . . .am⇒ p|a1∨ p|a2∨ . . .∨ p|am.

logik - basismat.compute.dtu.dkbasismat.compute.dtu.dk/modulmat/modul8.pdf · en sammenhæng mellem...

Documents