lista 3 - solução homegêna, particular,
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3 Lista de Exerccios Soluo Homognea, Particular, Completa e Diagrama de Blocos
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QUESTO 1.a:
a) 2; (0) 0; (0) 2y y y y = = =gg g
Resposta:
Soluo Homognea (sh):
0y y =gg
2 ( ) ( ) 0y t y t = (3.1)
Como:
( )t
y t e
= (3.2)
Substituindo a equao (3.2) na equao (3.1):
( )
2
2
0
1 0
t t
t
e e
e
=
=(3.3)
2
1 0 =Q 1,2 1 = (3.4)
Soluo Particular (sp):
( ) y t C = (3.5)
2y y =gg
(3.6)
Resolvendo a derivada da equao (3.6):
0 ( ) 2y t = 2C = (3.7)
Soluo Completa (sc):
sc sh sp= + (3.8)
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( ) 2t ty t Ae Be= + (3.9)
Derivando a equao (3.9):
( ) t ty t Ae Be= g
(3.10)
Extraindo os coeficientes da equao (3.9) e da equao (3.10), temos:
( ) 2y t A B= + (3.11)
( ) y t A B= g
(3.12)
Substituindo as condies iniciais, onde (0) 0; (0) 2y y= =g
nas equaes (3.11) e (3.12):
0 2A B= + (3.13)
2 A B= (3.14)
Resolvendo o sistema linear de duas equaes, obtemos:
2A = e 0B =
Substituindo na equao (3.9), temos como resposta:
( ) 2 2ty t e= (3.15)
QUESTO 1.b:
b) sin( ); (0) 3y y t y+ = =g
Resposta:
Soluo Homognea (sh):
0y y+ =g
( ) ( ) 0y t y t + = (3.16)
Como:
( )ty t e= (3.17)
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Substituindo a equao (3.17) na equao (3.16):
( )
0
1 0
t t
t
e e
e
+ =
+ =(3.18)
1 0+ =Q 1 = (3.19)
Soluo Particular (sp):
( ) ( ) cos( )y t Bsin t C t = + (3.20)
sin( )y y t + =g
(3.21)
Resolvendo a derivada da equao (3.21):
cos( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( )B t C t Bsin t C t t + + =
( ) ( )cos( ) sin( ) sin( )B C t B C t t + + =
0B C+ = e 1B C = (3.22)
Resolvendo o sistema linear de duas equaes, obtemos:
1
2
B = e1
2
C= (3.23)
Soluo Completa (sc):
sc sh sp= + (3.24)
( ) ( ) cos( )ty t Ae Bsin t C t = + + (3.25)
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Substituindo as variveis da equao (3.23) na equao (3.25):
1 1( ) ( ) cos( )
2 2
t y t Ae sin t t
= + (3.26)
Aplicando as condies iniciais, onde (0) 3y = na equao (3.26):
0 1 1(0) (0) cos(0)2 2
y Ae sin= +
13
2A= e
7
2A = (3.27)
Substituindo na equao (3.26), temos como resposta:
7 1 1( ) ( ) cos( )
2 2 2
ty t e sin t t = + (3.28)
QUESTO 1.c:
c) 2 3 5; (0) 2; (0) 4y y y y y+ + = = =gg g g
Resposta:
Soluo Homognea (sh):
2 3 0y y y+ + =gg g
2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 0y t y t y t + + = (3.29)
Como:
( )ty t e
= (3.30)
Substituindo a equao (3.30) na equao (3.29):
2 2 3 0t t te e e + + = (3.31)
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( )2 2 3 0te + + =
2 2 3 0 + + =Q 1,2 1 2j = (3.32)
Soluo Particular (sp):
( ) y t C = (3.33)
2 3 5y y y+ + =gg g
(3.34)
Resolvendo a derivada da equao (3.34):
3 5C= 5
3C= (3.35)
Soluo Completa (sc):
sc sh sp= + (3.36)
( ) ( )1 2 1 2( )
j t j t y t Ae Be C
+ = + +
( ) ( )1 2 1 2 5( )
3
j t j t y t Ae Be
+ = + + (3.37)
Derivando a equao (3.37):
( )( )
( )( )1 2 1 2
( ) 1 2 1 2
j t j t
y t j Ae j Be
+
= + +
g
(3.38)
Extraindo os coeficientes da equao (3.9) e da equao (3.10), temos:
5( )
3y t A B= + + (3.39)
( ) ( )( ) 1 2 1 2y t j A j B= + + g
(3.40)
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Substituindo as condies iniciais, onde (0) 2; (0) 4y y= =g
nas equaes (3.39) e (3.40):
5
23
A B= + + 1
3A B+ = (3.41)
( ) ( )4 1 2 1 2j A j B= + +
( ) ( )1
4 1 2 1 23
j B j B = + +
1 14 2 2 2
3 3B j Bj B Bj= + +
1 14 2 2 2
3 3j Bj+ =
13 12 2 2
3 3j Bj =
13 1 266 2 2
j Bj j
+ =
1 13
6 6 2B
j=
(3.42)
Substituindo a equao (3.42) na equao (3.41), temos:
13 1 1
6 36 2A j + =
13 1 1
6 36 2A
j= +
1 13
6 6 2A
j= + (3.43)
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Substituindo na equao (3.37), temos como resposta:
( ) ( )1 2 1 21 13 1 13 5( )
6 6 36 2 6 2
j t j t y t e e
j j
+ = + + +
2 21 13 1 13 5( )6 6 36 2 6 2
t j t t j t y t e e e ej j
= + + +
2 21 13 13 5( ) 1 16 32 2
t j t j t y t e e ej j
= + + +
Como:2
2
cos
cos( 2 ) ( 2 )
cos( 2 ) ( 2 ) cos( 2 ) ( 2 )
j t
j t
jae a jsena
e t jsen t
e t jsen t t jsen t
= +
= +
= + =
( ) ( )1 13 13 5
( ) 1 cos( 2 ) ( 2 ) 1 cos( 2 ) ( 2 )6 32 2
t y t e t jsen t t jsen t
j j
= + + + +
13 13cos( 2 ) s n( 2 ) cos( 2 ) s n( 2 ) cos( 2 ) ( 2 )
2 21 5( )
13 136 3cos( 2 ) ( 2 )
2 2
t
t j e t t j e t t jsen t j j
y t e
t jsen t j j
+ + + + = + +
1 26 5
( ) 2 cos( 2 ) s n( 2 )6 32
t y t e t e t
= + +
1 26 5( ) cos( 2 ) s n( 2 )
3 36 2
t y t e t e t
= + +
1 13 5( ) cos( 2 ) s n( 2 )
3 33 2
t t y t e t e e t
= + + (3.44)
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QUESTO 1.d:
d) 4 4 5 ; (0) 1; (0) 6y y y t y y + = = =gg g g
Resposta:
Soluo Homognea (sh):
4 4 0y y y + =gg g
2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 0y t y t y t + = (3.45)
Como: ( )ty t e= (3.46)
Substituindo a equao (3.30) na equao (3.29):
2 4 4 0t t te e e + = (3.47)
( )2 4 4 0te + =
2 4 4 0 + =Q 1,2 2 = (3.48)
Soluo Particular (sp):
( )y t C Dt = + (3.49)
4 4 5y y y t + =gg g
(3.50)
Resolvendo a derivada da equao (3.50):
4 4 4 5 D C Dt t + + = (3.51)
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Assim:
4 5Dt t = 5
4
D = (3.52)
4 4 0C D + = 5
4C D= = (3.53)
Soluo Completa (sc):
sc sh sp= + (3.54)
2 2 5 5( )4 4
t ty t Ae Bte t = + + + (3.55)
Derivando a equao (3.55):
2 2 2 5( ) 2 24
t t ty t Ae Bte Be= + + +g
(3.56)
Extraindo os coeficientes da equao (3.55) e da equao (3.56), temos:
5 5( )
4 4y t A Bt t = + + + (3.57)
5( ) 2 2
4 y t A Bt B= + + +
g
(3.58)
Substituindo as condies iniciais, onde (0) 1; (0) 6y y= =g
nas equaes (3.57) e (3.58):
5
14
A= + 1
4A = (3.59)
56 2
4A B= + +
192
4A B+ = (3.60)
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Substituindo a equao (3.60) na equao (3.59), temos:
21
4
B = (3.61)
Substituindo na equao (3.55), temos como resposta:
2 21 21 5 5( )4 4 4 4
t ty t e te t = + + + (3.62)
QUESTO 1.e:
e) 25 500 ; (0) 20ty y e y
+ = =g
Resposta:
Soluo Homognea (sh):
5 0y y+ =g
( ) 5 ( ) 0y t y t + = (3.63
Como:
( )t
y t e
= (3.64)
Substituindo a equao (3.64) na equao (3.63):
( )
5 0
5 0
t t
t
e e
e
+ =
+ =(3.65)
5 0+ =Q 5 = (3.66)
Soluo Particular (sp):
2( ) ty t Be= (3.67)
25 500 ty y e+ =g
(3.68)
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Resolvendo a derivada da equao (3.68):
2 2 2
2 2
2 5 500
3 500
3 500
t t t
t t
Be Be e
Be e
B
+ =
=
=
500
3B = (3.69)
Soluo Completa (sc):
sc sh sp= + (3.70)
5 2( ) t ty t Ae Be = + (3.71)
Aplicando as condies iniciais, onde (0) 20y = na equao (3.71):
0 0500(0) 3y Ae e= +
50020
3A= +
440
3A = (3.72)
Substituindo na equao (3.37) o valor da equao (3.35) e (3.38), temos como resposta:
5 2440 500( )3 3
t ty t e e = + (3.73)
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QUESTO 1.f:
d)2
10 24 50 cos(3 ); (0) 4; (0) 1t
y y y e t y y
+ + = = =
gg g g
Resposta:
Soluo Homognea (sh):
10 24 0y y y+ + =gg g
2 ( ) 10 ( ) 24 ( ) 0y t y t y t + + = (3.74)
Como:
( )
t
y t e
= (3.75)
Substituindo a equao (3.75) na equao (3.74):
( )
2
2
10 24 0
10 24 0
t t t
t
e e e
e
+ + =
+ + =(3.76)
2 10 24 0 + + =Q 1 6 = e 2 4 = (3.77)
Soluo Particular (sp):
2 2( ) cos(3 ) sin(3 )t ty t Ce t De t = + (3.78)
210 24 50 cos(3 )ty y y e t + + =
gg g(3.79)
Resolvendo a derivada primeira da equao (3.78):
2 2 2 2( ) 2 cos(3 ) 3 (3 ) 2 sin(3 ) 3 cos(3 )t t t t y t Ce t Ce sin t De t De t = +g
( ) ( )2 2( ) 2 3 cos(3 ) 3 2 sin(3 )t ty t C D e t C D e t = + +g
(3.80)
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Resolvendo a derivada segunda da equao (3.78):
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
( ) 2 2 3 cos(3 ) 3 2 3 sin(3 )
2 3 2 sin(3 ) 3 3 2 cos(3 )
t t
t t
y t C D e t C D e t
C D e t C D e t
= + +
+ + +
gg
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
( ) 4 63 cos(3 ) 6 9 sin(3 )
6 4 sin(3 ) 9 6 cos(3 )
t t
t t
y t C D e t C D e t
C D e t C D e t
= +
+ + +
gg
( ) ( )2 2( ) 4 6 9 6 cos(3 ) 6 9 6 4 sin(3 )t ty t C D C D e t C D C D e t = + + +gg
( ) ( )2 2( ) 5 12 cos(3 ) 12 5 sin(3 )t ty t C D e t C D e t = + gg
(3.81)
Aplicando as condies iniciais, onde (0) 4; (0) 1y y= =g
na equao (3.83):
210 24 50 cos(3 )ty y y e t + + =gg g
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
5 12 cos(3 ) 12 5 sin(3 ) 10 2 3 cos(3 ) 3 2 sin(3 )
24 ( ) 50 cos(3 )
t t t t
t
C D e t C D e t C D e t C D e t
y t e t
+ + + + + =
( ) ( )2 2 25 12 20 30 cos(3 ) 12 5 30 20 sin(3 ) 24 ( ) 50 cos(3 )t t tC D C D e t C D C D e t y t e t + + + =
( ) ( )2 2 225 18 cos(3 ) 18 25 sin(3 ) 24 ( ) 50 cos(3 )t t tC D e t C D e t y t e t + + + =
Como:
2 2( ) cos(3 ) sin(3 )t ty t Ce t De t = + (3.82)
( ) ( )2 2 2 2 225 18 cos(3 ) 18 25 sin(3 ) 24 cos(3 ) 24 sin(3 ) 50 cos(3 )t t t t t C D e t C D e t Ce t De t e t + + + + =
Assim:
( )
( )
2 2 2
2 2
25 18 cos(3 ) 24 cos(3 ) 50 cos(3 )
18 25 sin(3 ) 24 sin(3 ) 0
t t t
t t
C D e t Ce t e t
C D e t De t
+ + =
+ =
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( )
( )
2 2
2
25 18 24 cos(3 ) 50 cos(3 )
18 25 24 sin(3 ) 0
t t
t
C D C e t e t
C D D e t
+ + =
+ =
18 50
18 0
C D
C D
+ =
=(3.83)
Resolvendo o sistema linear, referente equao (3.83):
2
13C = e
36
13D = (3.84)
Soluo Completa (sc):
sc sh sp= + (3.85)
4 6 2 22 36( ) cos(3 ) sin(3 )13 13
t t t t y t Ae Be e t e t = + + (3.86)
4 6 2 2 2 24 6 72 108( ) 4 6 cos(3 ) sin(3 ) sin(3 ) cos(3 )13 13 13 13
t t t t t t y t Ae Be e t e t e t e t = + + +g
(3.87)
Aplicando as condies iniciais, onde (0) 4; (0) 1y y= =g
na equao (3.83):
0 0 0 02 36(0) cos(0) sin(0)13 13
y Ae Be e e= + +
24
13A B= +
54
13A B+ = (3.88)
0 0 0 0 0 04 6 72 108(0) 4 6 cos(0) sin(0) sin(0) cos(0)13 13 13 13
y Ae Be e e e e= + + +g
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4 1081 4 6
13 13A B= + +
1124 6 1
13A B+ = +
994 6
13A B+ = (3.89)
Resolvendo o sistema linear composto pelas equaes (3.88) e (3.89), temos:
225
26A = e
117
26D = (3.90)
Substituindo na equao (3.86) os valores da equao (3.90), temos como resposta:
4 6 2 2225 117 2 36( ) cos(3 ) sin(3 )26 26 13 13
t t t t y t e e e t e t = + (3.91)
QUESTO 2: Construa o diagrama de blocos para o sistema descrito pela equao
diferencial
4 11 15 2 5 y y y y u u+ + + = +
ggg gg g g
Resposta:
Isolando o termo de numerador da equao diferencial e adicionando o nmero de
integradores da ordem do sistema, temos:
2 5 4 11 15y u u y y y= + ggg g gg g
(3.92)
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18
yggg
ygg
yg
y
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QUESTO 3.a: Determine a equao diferencial relacionada a cada um dos diagramas
de blocos:
Resposta:
Dado nomes a todas as entradas e sadas do sistema, escreve-se a equao de cada
componente:
9 32 60y u y y y= ggg gg g
9 32 60u y y y y= + + +ggg gg g
(3.93)
7 2y u u= +
g
(3.94)
Assim, a FT igual a:
7 2
9 32 60
N y u uFT
D u y y y y
+= = =
+ + +
g
ggg gg g (3.95)
Obtem-se ento a equao diferencial:
9 32 60 7 2y y y y u u+ + + = +ggg gg g g
(3.96)
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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira3 Lista de Exerccios Soluo Homognea, Particular, Completa e Diagrama de Blocos
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19
y
ggg
y
gg
y
g
y
-
8/8/2019 Lista 3 - Soluo homegna, Particular, ...
20/23
QUESTO 3.b: Determine a equao diferencial relacionada a cada um dos diagramas
de blocos:
Resposta:
Dado nomes a todas as entradas e sadas do sistema, escreve-se a equao de cada
componente:
3 x u x= g
3u x x= +g
3u
px
= + (3.99)
4 12z x z z = gg g
4 12x z z z = + +gg g
2 4 12
xp p
z= + + (3.97)
3 2y z z = +g 3 2
yp
z= + (3.98)
Assim, a FT igual a:
( )2
1 13 2
3 4 12
N yFT p
D u p p p
= = = +
+ + +
( )23 2
3 4 12
N y pFT
D u p p p
+= = =
+ + +
3 2
3 2
7 24 36
y p
u p p p
+=
+ + +(3.99)
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20
xg
x zgg
zg
z
u yx z1
3p + 21
4 12p p+ +2 3p +
-
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21/23
Obtem-se ento a equao diferencial:
7 24 60 3 2y y y y u u+ + + = +ggg gg g g
(3.100)
QUESTO 3.c: Determine a equao diferencial relacionada a cada um dos diagramas
de blocos:
Resposta:
Dado nomes a todas as entradas e sadas do sistema, escreve-se a equao de cada
componente:
3 x u x= g
(3.101)
4 12z u z z = gg g
(3.102)
5 3 2 y z z x= + +g
(3.103)
Aplicando Laplace nas equaes (3.101), (3.102) e (3.103):
Primeira equao: 3u x x= +g
( ) ( ) 3 ( )U s SX s X s= + ( ) 1
( ) 3
X s
U s s=
+(3.104)
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21
xg
x
zgg
zg
z
-
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22/23
Segunda equao: 4 12u z z z = + +gg g
2( ) ( ) 4 ( ) 12 ( )U s s Z s sZ s Z s= + + 2( ) 1
( ) 4 12
Z s
U s s s
=
+ +
(3.105)
Terceira equao: 5 3 2 y z z x= + +g
( ) 5 ( ) 3 ( ) 2 ( )Y s Z s sZ s X s= + +
( )( ) 5 3 ( ) 2 ( )Y s s Z s X s= + +
Substituindo as equaes (3.104) e (3.105), temos a FT, onde:
( )2
1 2( ) 5 3 ( ) ( )
4 12 3Y s s U s U s
s s s= + +
+ + +
2
( ) 5 3 2
( ) 4 12 3
Y s s
U s s s s
+= +
+ + +
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
5 3 3 2 4 12( )
( ) 4 12 3
s s s sY s
U s s s s
+ + + + +=
+ + +
2 2
3 2 2
( ) 5 15 3 9 2 8 24
( ) 3 4 12 12 36
Y s s s s s s
U s s s s s s
+ + + + + +=
+ + + + +
2
3 2
( ) 5 22 39
( ) 7 24 36
Y s s s
U s s s s
+ +=
+ + + (3.106)
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22
-
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23/23
Logo, a transformada inversa de Laplace :
2
3 2
5 22 39
7 24 36
y u u
u y y y
+ +=
+ + +(3.106)
Obtem-se ento a equao diferencial:
7 24 36 5 22 39y y y y u u+ + + = + +ggg gg g gg g
(3.107)
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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira