1 Lista de Exerccios Teoria da Probabilidade 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUO E SISTEMAS DISCIPLINA: PROBABILIDADE E MODELOS ESTOCSTICOS EPS7002 - PROF. CARLOS ERNANI FRIES1 Lista de Exerccios Teoria da Probabilidade 1.Descrevaoespaoamostralparacadaumadasseguintesexperinciasaleatrias:a)umamoedaarremessada4 vezes e se observa, em cada vez, se o resultado cara ou coroa; b) trs itens so selecionados em um lote de parafusos e cada um deles testado e classificado em Bom (B) ou Ruim (R); c) uma caixa contm 10 parafusos dos quais um apenas defeituoso e os demais no so defeituosos. Trs parafusos so escolhidos aleatriamente da caixa e testados. 2.Umsistemaeletrnicocompostodetrscomponentes.Cadaumdestescomponentespodefalharduranteo funcionamento. Uma experincia aleatria consiste em um teste do sistema. Definindo os trs eventos A1, A2 e A3 como: Ai= componente i no falha no teste, com i=1,2,3. a) descreva em palavras, cada um dos seguintes eventos: A1A2, A1A2A3, A1A2, A1A2A3, A1, A1A3, A1A2, A1A2, A3, A1A2, A1A2; b)o teste dito bem sucedido se no maisdoqueumcomponentefalhae,ditomuitobemsucedidosenenhumcomponentefalha.Denoteestesdois eventos por B e C respectivamente e expresse B e C em termos de A1, A2 e A3. 3. Considere um circuito eltrico de dois componentes acoplados em srie como se segue: SuponhaqueoscomponentesR1eR2possamfuncionarouno.SejaSoespaoamostralconsistindodasquatro combinaespossveisdefuncionamentoenofuncionamentodoscomponentes,isto,sejaS={(R1funciona,R2 funciona), ..., (R1 no funciona, R2 no funciona)}. Seja E1 o evento o circuito funciona e E2 o evento pelo menos um dos componentes R1 e R2 funciona. a) So E1 e E2 mutuamente exclusivos? b) interprete E1 e E2; c) o que se pode dizer sobre a relao entre E1 e E2? 4. Um sistema eletrnico consiste de 3 componentes dispostos em um circuito srie-paralelo como se segue: Cadacomponenteoufuncionaoufalhaemregimedecarga.Entretanto,osistemafalhaseocaminhodeAparaB interrompido.SejaSoespaoamostralconsistindodasoitocombinaespossveisdefuncionamentoeno funcionamentodeseuscomponentes.SejaE1oeventoosistemafunciona;E2oeventoR2 falhamasosistema funciona eE3 o evento R3 falha mas o sistema funciona. a) Liste os elementos de S, E1, E2 e E3; b) so os eventos E1 e E2 mutuamenteexclusivos?;c)sooseventosE1eE3 mutuamenteexclusivos?;d)sooseventosE2eE3 mutuamente exclusivos? 5. Considere o seguinte sistema srie-paralelo consistindo de cinco componentes: Respondas as mesmas questes formuladas no exerccio anterior (neste caso, S conter 32 pontos). R1AB R2R1 R3 R2 R4 R2 R5 R3 R1 A B 1 Lista de Exerccios Teoria da Probabilidade 2 6.Quantosnmerosparesdedoisdgitospodemserformadosusando-seosdgitos3,4,5,6,7(sendopermitidas repeties tais como 44)? 7.Emumproblemadecodificao,deseja-seencontraronmerodediferentesgruposdetrsletrasquepodeser formadocomoalfabetoregular(oqualcompostode26letras)caso:a)repetiesnosejampermitidas;b)ecaso repeties sejam permitidas. 8. Um chefe de equipe com 10 homens disposio deseja formar um grupo de trabalho composto de trs homens (para trs tarefas especiais). Dentre quantas atribuies diferentes poder ele fazer a escolha?9.Umaamostrade5objetosextradadeumlotede50itensproduzidosporumamquina.Quantasamostras diferentes podem ser extradas? 10.Umhomem,suaesposaequatroamigosvoaoteatroeentramnumafileiradecadeirasde6lugares.a)Quantas disposies de lugares so possveis de maneira a permitir que a esposa sempre se sente ao lado do marido? B) se aps o teatro, este grupo de pessoas forjantar junto em uma mesa redonda de 6 lugares, quantas disposies diferentes de lugares so possveis, neste caso, a permitir que a esposa sempre se sente ao lado do marido?11. Se dois dados honestos so arremessados, qual a probabilidade de ocorrer o evento soma 7? 12. Um grupo de quatro televisores consiste de dois bons, representados por b1 e b2, e dois defeituosos, representados por d1 e d2. Se trs televisores so selecionados aleatoriamente do grupo, qual a probabilidade do evento A:dois dos trs selecionados serem defeituosos? 13.Emmuitosprocedimentosindustriaisdecontroledequalidade,humgrandelotedepeas,nosquaisalgumas peaspodemserdefeituosas.Parasemanterbaixososcustosdeinspeo,extrai-seumaamostraapartirdolote,ao invs de se examinar cada pea. Dessa amostra tenta-se inferir o nmero de peas defeituosas no lote. Suponha que um lotetenha12peasequeseextraiaumaamostrade3peas.Se6peasdoloteforemdefeituosas,quala probabilidade de que todas as 3 peas que constituem a amostra estejam boas? 14.Considereumgrupodenpessoasescolhidasaleatoriamente.Qualaprobabilidadedeque2oumaisdessas pessoas aniversariem no mesmo dia? 15. Uma companhia possui duas fbricas que produzem artigos semelhantes. A fbrica 1 produz 1000 artigos, 100 dos quaiscomdefeitos.Afbrica2produz4000artigos,200dosquaiscomdefeito.Umartigodacompanhiaescolhido aleatoriamente, e verifica-se a presena do defeito. Qual a probabilidade que seja oriundo da fbrica 1? 16.Umacaixacontmduasmoedas.Umahonestaeoutracomduascaras.Umamoedaescolhidaaleatoriamente, arremessadaeoresultadoobservadocara.Qualaprobabilidadedequeooutroladodestamoedaescolhida,seja cara? Repita os clculos supondo que hajam 3 moedas na caixa, sendo duas honestas e uma com duas caras. 17. Uma das trs hipteses possveis H1, H2 e H3 pode explicar a ocorrncia de um acidente de estrada. Se H1 estiver correto, a probabilidade do acidente de 0.75. Se H2 estiver correto, a probabilidade do acidente de 0.80. Se H3 estiver correto, a probabilidade do acidente de 0.85. H1 tem probabilidade 0.4 de ocorrer; H2 tem probabilidade 0.5 de ocorrer e H3 tem probabilidade 0.1 de ocorrer. Determine a hiptese mais provvel para explicar o acidente observado. 18.SejaocircuitoeltricodoExerc.4.Cadacomponentetemprobabilidade0.10defalharsobcarga.Entretanto,o sistema inteiro falha somente se o caminho de A a B estiver interrompido. SejaAi o evento o componente i falha e C oeventoosistemafalha.a)EscrevaC,simbolicamente,emtermosdeA1,A2 eA3;b)calculeaprobabildiadequeo sistema falhe (suponha que as falhas dos componentes sejam independentes). 19.SejaocircuitoeltricodoExerc.5.Cadacomponentetemprobabilidade0.10defalharsobcarga.Entretanto,o sistema inteiro falha somente se o caminho de A a B estiver interrompido. SejaAi o evento o componente i falha e C o evento o sistema falha. a) Escreva C, simbolicamente, em termos de A1, A2, A3, A4 e A5; b) calcule a probabilidade que o sistema falhe (suponha que as falhas dos componentes sejam independentes). 20. Uma companhia produz eixos e mancais. Os procedimentos de fabricao e inspeo produzem eixos de 0,95, 1,00 e 1,05polegadasdedimetroemancaisde1,00;1,05e1,10polegadasdedimetro.Sejamoseventos:A1eixotem dimetro0,95;A2-eixotemdimetro1,00;A3eixotemdimetro1,05;B1mancaltemdimetro1,00;B2 mancal tem dimetro 1,05; B3 mancal tem dimetro 1,10. Suponha que os procedimentos de controle de qualidade foram tais que: Pr[A1]=0.10; Pr[A2]=0,70; Pr[A3]=0,20; Pr[B1]=0,25; Pr[B2]=0,60 e Pr[B3]=0,15. Um eixo e um mancal so escolhidosaleatoriamenteeacoplados.Seodimetrodomancalexcederodoeixopor0,05polegadas,diz-sequeh encaixe,seexcederpor0,10polegadas,diz-sequehumencaixefrouxo,edeoutramaneira,noencaixe.a) Calcule as probabilidades dos 3 eventos encaixe, encaixe frouxo e no encaixe, supondo que os eventos A sejam todosindependentesdoseventosB(eixoemancalsoescolhidosindependentemente);b)calcule a probabilidade do encaixe perfeito. 1 Lista de Exerccios Teoria da Probabilidade 3 21. Quais das seguintes correspondncias definem variveis aleatrias? (a)(b)(c) (d)(e) 22.Paracadaumadasvariveisaleatriasencontradasnoexerccioanterior,determine(supondoqueospontos amostrais sejam equiprovveis): a) Pr[X8]; c) Prj4