linearna algebra i geometrija · pdf filelinearna algebra i geometrija predavanja sarajevo,...

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehni£ki fakultet

Linearna algebra i geometrija

� predavanja �

Sarajevo, septembar 2012.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

2 Matrice i determinante 2

2.1 Pojam matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Sabiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Mnoºenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Mnoºenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 Transponovanje matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

POGLAVLJE 1

Uvod

POGLAVLJE 2

Matrice i determinante

U ovom poglavlju uvest ¢emo pojam matrice. Matrice i operacije s ma-tricama su pogodne za zapisivanje i rje²avanje sistema linearnih jedna£ina,koriste se u teoriji linearnih transformacija, kao i u mnogim drugim oblas-tima matematike. Pogodne su za zapisivanje podataka koji zavise od dvaparametra.

2.1 Pojam matrice

De�nicija 2.1. Neka je P skup brojeva. Funkciju

A : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} → P

datu sa (i, j) 7→ aij nazivamo matricom formata m× n nad skupom P .

Matrice obi£no zapisujemo u obliku pravougaone sheme elemenata aiji = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n skupa P , to jeste u obliku

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

.

2.1.Pojam matrice Doc. dr. Almasa Odºak

Koristi se i skra¢ena oznaka A = (aij)m×n. U literaturi se koriste i sljede¢eoznake A = [aij]m×n i A = ∥aij∥m×n. Brojeve aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,nazivamo elementima matrice. Elementi ai1, ai2, . . . , ain £ine i-ti red (vrstu)matrice, dok brojevi a1j, a2j, . . . , amj £ine j-tu kolonu (stubac) matrice A.Dakle, element aij leºi u i-tom redu i j-toj koloni.

Obi£no je P neko polje brojeva. Skup svih matrica formata m × n nadpoljem P obiljeºavamo sa Mm,n(P ). U slu£aju kada je P = R govorimo orealnim, a za P = C o kompleksin matricama. Skup svih realnih matrica seobiljeºava i sa Rm×n, a kompleksnih sa Cm×n

Mi ¢emo se u nastavku, radi jednostavnosti bazirati na rad s realnimmatricama, mada se svi pojmovi mogu generalizirati i za slu£aju proizvoljnogskupa brojeva.

De�nicija 2.2. Matricu sa istim broj redova i kolona, to jeste matricu for-mata n× n nazivamo kvadratnom matricom reda n.

Dakle, kvadratna matrica reda n je oblika

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

.

Za elemente a11, a22, . . . , ann kaºemo da su elementi glavne dijagonale kva-dratne matrice A, dok su elementi a1n, a2n−1, . . . , an1 elementi sporedne di-jagonale matrice A.

Primjer 2.1. Neka je

A =

2 5 0 50 1 −3 2−2 2 4 1

,B =

3 2 −14 0 4−2 3 7

.

Matrica A je pravougaona matrica formata 3×4, dok je matrica B kvadratnamatrica reda 3. Elementi 0,1,-3,2 su elementi drugog reda matrice A, ele-menti 0,-3,4 su elementi tre¢e kolone te matrice. Elementi 3, 0, 7 £ine glavnudijagonalu matrice B, dok su elementi -1,0,-2 elementi sporedne dijagonalete matrice.

Postavljaju¢i zahtjeve na format matrice ili na elemente matrice dobijamoneke specijalne tipove matica.

3


• Matricu formata 1× n nazivamo matrica red ili matrica vrsta(a11 a12 · · · a1n

),

a matricu formata m× 1 matrica kolona ili matrica stubaca11a21...

am1

.

Matrice red i matrice kolona nazivamo i vektorima.

• Kvadratnu matricu £iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0nazivamo dijagonalnom

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

......

0 0 · · · ann

.

• Kvadratnu matricu £iji su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki0 nazivamo donjom trougaonom matricom

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...

......


,

a onu £iji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0 nazivamogornjom trougaonom

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

......

0 0 · · · ann

.

4


• Matricu £iji su svi elementi jednaki nula nazivamo nula matrica0 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

.

Nula matrica se obiljeºava sa 0m×n ili samo sa 0 ako se iz kontekstazna o kojem formatu se radi.

• Dijagonalnu matricu reda n £iji su elementi na dijagonali jednaki 1nazivamo jedini£nom matricom i obiljeºavamo je sa En ili In

En =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

.

�esto se pi²e samo E ili I ukoliko je iz konteksta jasno o kojem redumatrice se radi.

Primjer 2.2. Primjeri matrica su

A1 =(2 3 5 1

),A2 =

(a b

),A3 =

(xy

),A4 =

2.304

,

A5 =

2 0 00 1 00 0 4

,A6 =

a 0 0 00 0 0 00 0 b 00 0 0 c

,A7 =

1 3 2 20 2 8 60 0 3 30 0 0 4

,

A8 =

2 0 0 03 6 0 04 4 5 06 3 0 7

,A9 =

(0 0 0 00 0 0 0

),A10 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Matrice A1 i A2 su matrice vrsta, matrice A3 i A4 su matrice kolona. Ma-trice A5, A6 i A10 su primjeri dijagonalnih matrica. Matrica A7 je gornjatrougaona, a matrica A8 donja trougaona. Matrica A9 je primjer pravouga-one nula matrice, dok je matrica A10 jedini£na matrica reda 3.

5

2.2.Operacije s matricama Doc. dr. Almasa Odºak

U nastavku ¢emo uvesti osnovne operacije s matricama, no prije togade�nirajmo relaciju jednakosti.

De�nicija 2.3. Matrice A = (aij)m×n i B = (bij)p×q su jednake ako su istogformata i ako su im odgovaraju¢i elementi jednaki, to jeste m = p, n = q iaij = bij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Zadatak 2.1. Pokazati da je relacija jednakosti za matrice na skupu Mm,n

relacija ekvivalencije.

2.2 Operacije s matricama

U ovom odjeljku de�nirat ¢emo osnovne operacije sa matricama: transpono-vanje, sabiranje, mnoºenje skalarom i mnoºenje.

2.2.1 Sabiranje matrica

Dvije matrice istog formata A = (aij)m×n i B = (bij)m×n sabiraju se tako²to im se saberu odgovaraju¢i elementi, to jeste

A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n.

Primijetimo da je sabiranje matrica de�nirano samo za matrice istog for-mata. Matrice razli£itog formata se ne mogu sabirati.

Oduzimanje matrica se de�ni²e analogno. Dvije matrice istog formataA = (aij)m×n i B = (bij)m×n oduzimaju se tako ²to im se oduzimaju odgo-varaju¢i elementi, to jeste

A−B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n.

Neka je A,B,C,0 ∈ Rm×n. Sabiranje matrica posjeduje sljede¢e osobine

(i) Asocijativnost: (A+B) +C = A+ (B+C),

(ii) Komutativnost: A+B = B+A,

(iii) Nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0+A = A+ 0 = A.

6


2.2.2 Mnozenje matrica skalarom

Matrica A = (aij)m×n se mnoºi skalarom α ∈ R tako ²to se svaki elementpomnoºi tim skalarom, to jeste

αA = α(aij)m×n = (αaij)m×n.

Neka je A,B,0 ∈ Rm×n, α, β ∈ R. Mnoºenje matrica skalarom posjedujesljede¢e osobine

(i) α(A+B) = αA+ αB,

(ii) (α + β)A = αA+ βA,

(iii) (αβ)A = α(βA),

(iv) 1A = A,

(v) 0A = 0.

Za svaku matricu A ∈ Rm×n matricu (−1)A ozna£avamo kra¢e sa −A inazivamo suprotnom matricom matrice A. Za suprotnu matricu vrijedi

(vi) A+ (−A) = −A+A = 0.

2.2.3 Mnozenje matrica

Matrice A = (aij)m×n i B = (bij)p×q se mogu mnoºiti samo ako je brojkolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = p. Uovom slu£aju kaºemo da su matriceA i B saglasne za mnoºenje. Rezultuju¢amatrica C = AB je formata m × q. Elemente cij matrice C ra£unamo poformuli

cij =n∑

k=1

aikbkj, (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , q).

Dakle, elemenat cij koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice C = ABdobijemo tako ²to svaki element i-te vrste matrice A pomnoºimo odgovara-ju¢im elementom j-te kolone matrice B i te proizvode saberemo.

Mnoºenje matrica posjeduje sljede¢e osobine

(i) A(BC) = (AB)C, (A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p,C ∈ Rp×q),

7


(ii) AEn = EmA = A, (A ∈ Rm×n),

(iii) A0n×p = 0m×p, 0k×mA = 0k×n, (A ∈ Rm×n),

(iv) A(B+C) = AB+AC, (A ∈ Rm×n,B,C ∈ Rn×p),

(v) (A+B)C = AC+BC, (A,B ∈ Rm×n,C ∈ Rn×p),

(vi) αAB = (αA)B = A(αB), α ∈ R,A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p).

Vaºno je napomenuti da mnoºenje matrica u op²tem slu£aju nije komu-tativno. Naime, ako postoji proizvod AB matrica A i B, ne mora postojati iproizvod BA. Dodatno, i ako postoje oba proizvoda AB i BA to ne morajubiti matrice istog formata, ali ako i jesu istog formata, one u op²tem slu£ajunisu jednake.

U slu£aju kada je matricaA kvadratna moºemo je mnoºiti samu sa sobom.U tom slu£aju govorimo o stepenovanju matriceA. ZaA ∈ Rn×n po de�nicijistavjamo

A0 = En, An = An−1A (n ∈ N).

2.2.4 Transponovanje matrice

Transponovana matrica matrice A = (aij)m×n je matrica AT = (aji)n×m.Dakle, transponovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to zamijenimo

ulogu kolona i vrsta.Operacija transponovanja zadovoljava sljede¢e osobine

(i) (AT )T = A, (A ∈ Rm×n),

(ii) (αA+ βB)T = αAT + βBT , (α, β ∈ R,A,B ∈ Rm×n),

(iii) (AB)T = BTAT , (A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p).

U slu£aju kada je A = AT kaºemo da je matrica A simetri£na, a kada je−A = AT kaºemo da je ona kososimetri£na. Ukoiko je AAT = Em kaºemoda je matrica A ortogonalna.

Ukoliko su elementi matrice iz skupa kompleksnih brojeva onda se £estoposmatra matrica koja se dobije od po£etne transponovanjem i konjugova-njem elemenata. Takva matrica se obiljeºava sa AH . Dakle, za A = (aij)m×n

je AH = (aji)n×m.Koriste¢i upravo uvedenu matricu uvodimo i sljede¢e tipove matrica.

8

2.3.Determinante Doc. dr. Almasa Odºak

Imaju¢i u vidu uvedene operacije sa matricama i njihove osobine moºe sezaklju£iti da vrijede sljede¢i teoremi.

U slu£aju kada je A = AH kaºemo da je matrica A hermitska, a kada je−A = AH kaºemo da je ona kosohermitska. Ukoiko je AAH = Em kaºemoda je matrica A unitarna, a ako je AAH = AHA kaºemo da je matrica Anormalna.

Teorem 2.1. (Rm×n,+) je Abelova grupa.

Teorem 2.2. (Rm×n,+, ·), gdje je · operacija mnoºenja matrica skalarom,je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Primijetimo da (Rm×n, ∗), gdje je ∗ operacija mnoºenja matrica u op²temslu£aju nije ni grupoid. Naime, proizvod dvije matrice formata m × n zam = n ne postoji, pa taj skup nije zatvoren u odnosu na mnoºenje. Spe-cijalno, za m = n skup (Rn×n, ∗) jeste grupoid, zbog zadovoljenog uslovaasocijativnosti, to je i polugrupa. No, postavlja se pitanje da li je (Rn×n, ∗)grupa. Iz osobine (ii) mnoºenja matrica slijedi da jedini£na matrica redan neutralni element u (Rn×n, ∗), pa za odgovor na postavljeno pitanje neo-phodno je ispitati egzisteniciju inverznog elementa matrice A u odnosu naoperaciju mnoºenja.

U nastavku ¢emo posebnu paºnju posvetiti kvadratnim matricama, jersu upravo one matrice koje mogu posjedovati inverzni elemenat u odnosu namnoºenje.

2.3 Determinante

U svrhu ispitavanja egzistencije i nalaºenja inverznog elementa matrice A ∈Rn×n u odnosu na operaciju mnoºenja matrica uvodimo pojam determinante.

Precizna de�nicija determinanti se uvodi pomo¢u pojma permutacija imatemati£ki je prili£no zahtjevna i ovdje je ne¢emo navoditi. Smatrat ¢emoda je determinata matrice A ∈ Rn×n realan broj pridruºen toj matrici iopisati induktivni postupak za ra£unanje tog broja. Determinantu matriceA obiljeºavamo sa detA, det(A) ili |A|. U op²tem slu£aju determinantumatrice reda n pi²emo u obliku∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣9


i za determinantu kaºemo da je reda n. Pojmovi elemenata, redova, kolona,dijagonale i sporedne dijagonale determinante su potpuno analogni odgova-raju¢im pojmovima za matrice.

Op²ti oblik matrice prvog reda je (a11). Njena determinanta je |a11| = a11.Dakle, determinanta matrice prvog reda jednaka je njenom jedinom elementu.

Op²ti oblik matrice drugog reda je(

a11 a12a21 a22

). Njena determinanta je

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.

Dakle, determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici proizvoda eleme-nata na glavnoj dijagonali i proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali.

Op²ti oblik matrice tre¢eg reda je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. Njena determi-

nanta je ∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Izraz za determinantu tre¢eg reda moºe se izvesti koriste¢i tzv. Sarusovopravilo. Ono se sastoji u sljede¢em. S desne strane determinante dopi²emoprvu i drugu kolonu te determinante, ra£unamo proizvod elemenata na glav-noj dijagonali i na dvjema linijama paralelnim sa glavnom dijagonalom injih uzimamo sa znakom plus, a potom ra£unamo proizvode elemenata nasporednoj dijagonali i dvjema linijama paralalnim sa njom i uzimamo ih saznakom minus. Ilustracija Sarusovog pravila data je u nastavku.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Treba napomenuti da se opisano pravilo moºe koristiti isklju£ivo za ra£unanjedeterminanti tre¢eg reda i ne moºe se uop²titi na determinante ve¢eg reda.Drugi na£in ra£unanja matrica tre¢eg reda je pomo¢u matrica drugog reda.

10


Ovaj drugi metod je zna£ajan jer se moºe uop²titi i za ra£unanje determinantivi²eg reda. Da bi smo ga mogli opisati potrebno je uvesti pojmove minora ikofaktora elementa aij matrice A.

De�nicija 2.4. Neka je A ∈ Rn×n i aij proizvoljan elemenat te matrice.Determinanta reda n− 1 koju dobijemo brisanjem i-tog reda i j-te kolone izdeterminante matrice A nazivamo minor elementa aij matrice A. Obiljeºa-vamo ga sa Mij.

De�nicija 2.5. Neka je A ∈ Rn×n i aij proizvoljan element te matrice. Broj(−1)i+jMij nazivamo kofaktorom elementa aij matrice A. Obiljeºavamo gasa Aij.

Primijetimo da determinantu tre¢eg reda moºemo napisati na sljede¢ina£in.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣= a11M11 − a12M12 + a13M13

= a11A11 + a12A12 + a13A13.

Dakle, determinantu tre¢eg reda napisali smo kao proizvod elemenata prvevrste i njima odgovaraju¢ih kofaktora. Kaºemo da smo determinantu razvilipo prvoj vrsti. Moºe se pokazati da se razvoj moºe izvr²iti po bilo kojoj vrstiili koloni. Pokazuje se da se opisani postupak moºe poop²titi na ra£unanjedeterminante bilo kojeg reda, to jeste vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 2.3. Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata makoje vrste ili kolone i njima odgovaraju¢ih kofaktora

det(A) =n∑

i=1

aijAij, (∀j = 1, . . . , n),

det(A) =n∑

j=1

aijAij, (∀i = 1, . . . , n).

11


Opisani postupak se naziva Laplasov razvoj determinante. Obzirom dase u ovom postupku kofaktori mnoºe sa elementima vrste ili kolone po kojojse razvoj vr²i jasno je da je najpogodnije za razvoj birati kolonu ili vrstu kojaima najvi²e elemenata jednakih nuli.

Postupak opisan u teoremu 2.3 je induktivnog karektera i teorijski omo-gu¢ava ra£unanje determinante bilo kojeg reda, no ovaj postupak za deter-minante ve¢eg reda nije od prakti£nog zna£aja. Naime broj operacija kojetreba obaviti za ra£unanje determinante reda n je reda n!. E�kasniji na£iniza ra£unanje determinanti zasnivaju se na primjeni osobina determinanti. Unastavku ¢emo navesti neke od njih.

(i) Determinanta matrice koja ima vrstu (kolonu) koja se sastoji od samihnula jednaka je 0.

(ii) Determinanta gornje ili donje trougaone matrice jednaka je proizvoduelemenata na dijagonali. Specijalno, determinanta dijagonalne matricejednaka je proizvodu elemenata na dijagonali.

(iii) Determinanta matrice koja ima dvije jednake ili proporcionalne vrste(kolone) jednaka je 0.

(iv) Ukoliko vrste i kolone matrice zamijene uloge determinanta matrice sene mijenja. Dakle det(A) = det(AT ).

(v) Determinanta mijenja predznak ukoliko dvije susjedne vrste (kolone)zamijene mjesta.

(vi) Determinanta se mnoºi skalarom tako ²to se jedna, proizvoljno oda-brana, vrsta ili kolona determinante pomnoºi tim skalarom. Drugimrije£ima, zajedni£ki faktor elemenata jedne vrste (kolone) moºe se iz-vu¢i ispred determinante.

(vii) Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona (vrsta), to jeste

12

2.4.Inverzna matrica Doc. dr. Almasa Odºak

vrijedi∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i . . . a1na21 . . . a2i . . . a2n...

......

an1 . . . ani . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . βb1i + γc1i . . . a1na21 . . . βb2i + γc2i . . . a2n...

......

an1 . . . βbni + γcni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= β

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . b1i . . . a1na21 . . . b2i . . . a2n...

......

an1 . . . bni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ γ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . c1i . . . a1na21 . . . c2i . . . a2n...

......

an1 . . . cni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .(viii) Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko sve elemente

jedne vrste (kolone) pomnoºimo nekim realnim brojem i saberemo saodgovaraju¢im elementima neke druge vrste (kolone).

(ix) Za A,B ∈ Rn×n vrijedi det(AB) = det(A)det(B).

(x) Determinanta je razli£ita od nule ako i samo ako su vrste (kolone)matrice linearno nezavisne.

Prilikom ra£unanja determinante posebno je pogodno koristiti osobinu(viii). Primjenom transformacija opisanih ovom osobinom vrijednost deter-minante se ne mijenja. Cilj je, njihovom primjenom, determinantu transfor-misati na determinantu gornje ili donje traougaone matrice, a takve je laganoizra£unati primjenom osobine (ii).

2.4 Inverzna matrica

Pojam inverznog elementa u op²tem slu£aju smo uveli ranije. Specijalno zamatricu A ∈ Rn×n inverzna matrica je matrica B takva da je

AB = BA = En. (2.1)

Jedinstvenost inverzne matrice, ukoliko ona postoji, garantovana je slje-de¢im teoremom.

Teorem 2.4. Neka je A ∈ Rn×n. Ako postoji matrica B koja zadovoljava(2.1), onda je ona jedinstvena.

13


Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije matrice B1 i B2 koje zadovoljavaju(2.1). Pokaºimo da je B1 = B2. Iz (2.1) slijedi

(B1A)B2 = EnB2 = B2,

(B1A)B2 = B1(AB2) = B1En = B1.

Dakle, B1 = B2, pa je dokaz zavr²en.

Obzirom na jedinstvenost, inverznu matricu matrice A, ozna£avamo saA−1.

De�nicija 2.6. Za matricu A ∈ Rn×n kaºemo da je regularna ukoliko onaima inverznu matricu. U protivnom kaºemo da je matrica A singularna.

Prirodno je postaviti pitanje postoji li e�kasan metod za ispitivanje re-gularnosti matrice.

U nastavku ¢emo dokazati teorem koji nam daje metod ispitivanja regu-larnosti pomo¢u determinate i istovremeno eksplicitnu formulu za ra£unanjeinverzne matrice matrice A. Prije formulacije pomenutog teorema uvedimopojam adjungovane matrice i dokaºimo jedan vaºan rezultat za adjungovanumatricu koji ¢emo koristiti u nastavku.

De�nicija 2.7. Neka je A ∈ Rn×n. Matricu adj(A) = (Aij)T = (Aji)

zovemo adjungovanom matricom matrice A.

Dakle, adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to svaki elementaij matrice A zamijenimo njegovim kofaktorom Aij i tako dobijenu matricutransponujemo. U nekoj literaturi se matrica sa£injena od kofaktora matriceA obiljeºava sa A∗, a adjungovana matrica sa A∗∗.

Operacija adjungovanja zadovoljava sljede¢e osobine.

(i) adj(AB) = adj(B)adj(A), (A,B ∈ Rn×n),

(ii) adj(AT ) = (adj(A))T , (A ∈ Rn×n).

Jo² jedna vaºna osobina adjungovanja matrice data je sljede¢im teore-mom.

Teorem 2.5. Neka je A ∈ Rn×n. Vrijedi Aadj(A) = adj(A)A = det(A)En.

14


Dokaz. Iskoristimo li razvoj determinante matrice A po j-toj (j = 1, . . . , n)koloni dobijamo jednakost

n∑i=1

aijAij = det(A).

Modi�kujemo li matricu adj(A) tako ²to algebarske komplemente Aij kolonej zamijenimo komplementima iz kolone k, k = j, dobijamo matricu koja imadvije iste kolone, pa je prema osobini (iii) determinanti determinanta takvematrice 0. Dakle, vrijedi

n∑i=1

aijAik = 0,

jer je gornja suma razvoj modi�kovane matrice po j-toj koloni. Dvije pos-ljednje jednakosti moºemo objediniti koriste¢i Kronekerov simbol dat sa

δjk =

{1, j = k;0, j = k.

Dakle,n∑

i=1

aijAik = δjkdet(A).

Sada koriste¢i de�niciju mnoºenja matrica jednostavno zaklju£ujemo da jeAadj(A) = det(A)En. Analogno se dobije i adj(A)A = det(A)En, pa jetvrdnja teorema dokazana.

Teorem 2.6. Neka je A ∈ Rn×n. Matrica A je regularna akko je det(A) = 0.Ako je A regularna, onda je

A−1 =1

det(A)adj(A).

Dokaz. Neka je A regularna matrica. Tada postoji matrica A−1 takva daje AA−1 = A−1A = En. Prema osobini (ix) determinanti slijedi da jedet(AA−1) = det(A)det(A−1), a prema osobini (ii) determinanta jedini£nematrice je 1, pa vrijedi det(A)det(A−1) = 1. Dakle, mora biti det(A) = 0, pasmo dokazali da ukoliko je matrica A regularna , determinanta joj je razli£itaod nula. Tako�e slijedi da je u tom slu£aju

det(A−1) =1

det(A).

15

2.5.Rang matrice Doc. dr. Almasa Odºak

Pokaºimo sada da vrijedi obrat. Neka je det(A) = 0, pokaºimo da je ma-trica A regularna. Dijeljenjem sa det(A) jednakosti iz teorema 2.5 dobijamoda vrijedi

1

det(A)adj(A)A = A

1

det(A)adj(A) = En,

pa iz de�nicije inverzne matrice slijedi da je A−1 = 1det(A)

adj(A).

Invertovanje matrice zadovoljava sljede¢e osobine.

(i) Ako je A ∈ Rn×n regularna matrica, tada je i A−1 tako�e regularna ivrijedi (A−1)−1 = A.

(ii) Ako su A,B ∈ Rn×n regularne matrice tada je i AB regularna matricai vrijedi (AB)−1 = B−1A−1.

(iii) Ako je A ∈ Rn×n regularne matrica tada je i AT regularna matrica ivrijedi (AT )−1 = (A−1)T .

2.5 Rang matrice

Vaºan pojam vezan za matrice je i rang matrice. Moºe se koristiti za ispitiva-nje regularnosti matrice, a vrlo je pogodan za rje²avanje sistema jedna£ina,kao ²to ¢emo vidjeti u sljede¢em poglavlju.

Za razliku od determinante matrice koja moºe biti pridruºena samo kva-dratnim matricama, rang matrice moºe se odrediti za proizvoljnu matricuformata m× n.

Neka je A ∈ Rm×n proizvoljna matrica. Ukoliko je m = n, determinantamatrice A ne postoji. Me�utim od kolona i vrsta matrice A mogu¢e jeformirati nove matrice koje su kvadratne, pa je za njih mogu¢e ra£unatideterminantu. Upravo navedeno sluºi za uvo�enje pojma ranga matrice. Zapreciznu de�niciju prvo uvedimo pojam podmatrice.

De�nicija 2.8. Neka je A ∈ Rm×n. Svaka matrica koja se iz matrice Amoºe dobiti uklanjanjem bilo kojih vrsta i (ili) kolona je podmatrica matriceA. Ukoliko je B podmatrica matrice A formata r × r kaºemo da je onakvadratna i da je reda r.

De�nicija 2.9. Neka je A ∈ Rm×n. Rang ne-nula matrice A je red njenenajve¢e kvadratne podmatrice kojoj je determinanta razli£ita od nula. Rangnula matrice je 0. Rang matrice A ozna£avamo sa r(A) ili rang(A).

16


Iz de�nicije odmah slijedi da za A ∈ Rm×n vrijedi r(A) ≤ min{m,n}.Pokazuje se da se rang matrice moºe izraziti i pomo¢u linearne nezavis-

nosti redova i kolona. Ovu osobinu navodimo u narednom teoremu kojegdajemo bez dokaza.

Teorem 2.7. Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neza-visnih kolona matrice A. Maksimalan broj linearno nezavisnih kolona jednakje maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice.

Iz posljednjeg teorema odmah slijedi jo² jedna osobina ranga matrice.Vrijedi r(A) = r(AT ).

Odre�ivanje ranga matrice, bilo po de�niciji bilo koriste¢i teorem 2.7, jezahtjevan posao, jednostvaniji na£in opisat ¢emo u nastavku. Zasniva se naprimjeni elementarnih transformacija.

De�nicija 2.10. Elementarne transformacije matrice su

(i) zamjena mjesta dvije vrste ili kolone,

(ii) mnoºenje vrste ili kolone skalarom razli£itim od 0,

(iii) mnoºenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom razli£itim od 0 idodavanje odgovaraju¢im elementima neke druge vrste ili kolone.

De�nicija 2.11. Ako se matrica A moºe dobiti iz matrice B primjenomkona£nog broja elementarnih transformacija kaºemo da su matrice A i Bekvivalentne i pi²emo A ∼ B.

Zna£aj ekvivalentnih matrica se ogleda u sljede¢em teoremu.

Teorem 2.8. Ekvivalentne matrice imaju isti rang.

Dokaz. Za dokaz teorema ¢emo koristiti karakterizaciju ranga pomo¢u line-arne nezavisnosti datu u teoremu 2.7.

Imaju¢i u vidu de�niciju linearne nezavisnosti odmah slijedi da se zamje-nom mjesta dvije vrsta (kolone) ili mnoºenjem vrste (kolone) nenultim bro-jem ne mijenja maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta (kolona), pa za-klju£ujemo da se elementarnim transformacijama tipa (i) i (ii) ne mijenjarang matrice.

Poaºimo da je to slu£aj i za elementarnu transformaciju tipa (iii). Ma-tricu A ∈ Rm×n moºemo napisati u sljede¢em obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

), (2.2)

17


pri £emu smo saKi, (i = 1, . . . , n) ozna£ili i-tu kolonu matriceA. Primjenomelementarne transformacije tiopa (iii) na kolone i i j dobijamo matricu oblika

B =(K1 K2 . . . Ki + αKj . . . Kj . . . Kn

),

gdje je α ∈ R, α = 0.Slijedi da ako je kolona Ki linearno zavisna od ostalih kolona onda je i

kolona Ki+αKj linearno zavisna od tih kolona i obratno. Moºemo zaklju£itida matrice A i B imaju isti broj linearno nezavisnih kolona, onda imaju iisti rang.

Postupak za prakti£nu primjenu prethodnog teorema se ogleda u sljede-¢em. Elementarnim transformacijama je potrebno datu matricu transformi-sati na matricu £iji je rang jednostavno odrediti. U tu svrhu uvodimo pojamtrapezne matrice.

De�nicija 2.12. Neka je A ∈ Rm×n. Mantrica A se naziva trapeznommatricom ako je oblika

t11 t12 · · · t1nt21 t22 · · · t2n...

......

tm1 tm2 · · · tmn

,

pri £emu postoji broj r (r ≤ min{m,n}) takav da je

• t11, t22, . . . , trr = 0,

• tij = 0, za svako i, j takvo da je i > j,

• tij = 0, za svako i, j takvo da je r < i ≤ j.

Koriste¢i teorem 2.7 jednostavno se zaklju£uje da je rang trapezne matricejednak broju elemenata na glavnoj dijagonili koji su razli£iti od 0. Dakle,upravo su trapezne matrice one £iji je rang jednostavno odrediti.

Vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 2.9. Za svaku ne-nula matricu postoji njoj ekvivalentna trapeznamatrica.

Dokaz ovog teorema ne¢emo izvoditi. Dat ¢emo ilustraciju pomo¢u pri-mjera.

18


Primjer 2.3. Neka je data matrica

A =

1 2 0 20 3 5 11 3 −1 −1

.

Odredimo rang date matrice svo�enjem na trapezni oblik. U prvom korakuvrste 1 i 2 prepi²imo, a zatim od tre¢e vrste oduzmimo prvu. U drugomkoraku zamijenimo drugu i tre¢u vrstu, a zatim od tre¢e oduzmimo tri putadrugu. 1 2 0 2

0 3 5 11 3 −1 −1

∼

1 2 0 20 3 5 10 1 −1 −3

∼

1 2 0 20 1 −1 −30 3 5 1

∼

1 2 0 20 1 −1 −30 0 8 10

.

Rang posljednje matrice je 3, pa je onda i rang matrice A tako�e 3.

Elementarne transformacije nad matricom A mogu se opisati i pomo¢umnoºenja te matrice odgovaraju¢im matricama koje se nazivaju elementar-nim matricama. U nastavku ¢emo opisati elementarne matrice koje dajuelemntarne transformacije nad vrstama.

(i) Elementarna matrica Eij kojom se postiºe zamjene vrsta i i j datematrice A dobije se iz jedini£ne matrice zamjenom vrsta i i j.

(ii) Elementarna matrica Ei(α) kojom se postiºe mnoºenje vrste i matriceA skalarom α jednaka je jedini£noj matrici u kojoj je i-ta vrsta pom-noºena sa α.

(iii) Elementarna matrica Eij(α) kojom se postiºe dodavanje j-te vrste pom-noºene sa α i-toj vrsti matrice A dobija se iz jedini£ne matrice tako²to se u i-toj vrsti i j-toj koloni umjesto vrijednosti 0 pi²e skalar α.

Primjer 2.4. Transformacije kojim smo matricu A iz prethodnog primjerasveli na trapezni oblik mogu biti opisane elementarnim matricama. Dobi-jeni trapezni oblik se moºe dobiti i mnoºenjem po£etne matrice odgovara-ju¢im elementarnim matricama. Transformaciji oduzimanja prve vrste od

19


tre¢e odgovara matrica E31(−1), zamjeni tre¢e i druge vrste matrica E23 ikona£no transformaciji oduzimanja tri puta druge vrste od tre¢e odgovaramatrica E32(−3), pa je

E32(−3)E23E31(−1)A

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 1 0−1 0 1

1 2 0 20 3 5 11 3 −1 −1

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 2 0 20 3 5 10 1 −1 −3

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 2 0 20 1 −1 −30 3 5 1

=

1 2 0 20 1 −1 −30 0 8 10

Na kraju ovog poglavlja navest ¢emo teorem koji slijedi iz prethodno

izloºenog, a daje nam vezu regularnosti matrice i njenog ranga. Tako�e ¢emoopisati i alternativni na£in za nalaºenje inverzne matrice za datu matricu.

Teorem 2.10. Neka je A ∈ Rn×n. A je regularna akko je ekvivalentnajedini£noj matrici reda n.

Postupak za nalaºenje inverzne matrice pomo¢u elementarnih transforma-cija poznat je pod nazivom Gaus-�ordanov postupak i sastoji se u sljede¢em.

Neka je data matrica A ∈ Rn×n, £iju inverznu matricu traºimo. Formi-ramo matricu formata n × 2n tako ²to s desne strane matrice A dopi²emojedini£nu matricu reda n. Dakle, za

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


20


novoformirana matrica je oblikaa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

.

Zatim nad novoformiranom matricom vr²imo elementarne transformacije ucilju dobijanja jedini£ne matrice na lijevoj strani nove matrice. Dakle, cilj jedobiti matricu oblika

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

bn1 bn2 · · · bnn

(2.3)

Mogu¢a su dva ishoda. Ukoliko u postupku primjene elemntarnih transfor-macija dobijemo na lijevoj strani novoformirane matrice red sa£injen od svihnula moºemo zaklju£iti da je matricaA singularna, to jeste da nema inverznumatricu. U protivnom dobit ¢emo matricu oblika (2.3). Tada je matrica Aregularna i vrijedi

A−1 =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

bn1 bn2 · · · bnn

. (2.4)

Opravdanost opisanog postupka se zasniva na sljede¢em. Ve¢ smo napo-menuli da se primjena elementarnih transformacija na matricu A moºe opi-sati mnoºenjem te matrice odgovaraju¢im elementarnim matricama. Dakle,ukoliko smo primjenom k elementarnih transformacija do²li do matrice oblika(2.3), onda se ona moºe napisati u obliku

(Xk . . .X2X1A|Xk . . .X2X1En),

pri £emu smo sa X1,X2, . . . ,Xk ozna£ili odgovaraju¢e elementarne matrice ipri £emu je Xk . . .X2X1A = En, pa slijedi da je A−1 = Xk . . .X2X1. No, nadesnoj strani (2.3) se upravo nalazi ovaj produkt matrica, pa vrijedi (2.4).

Upravo opisani postupak za nalaºenje inverzne matrice je zna£ajan jer jeza matrice ve¢eg reda znatno e�kasniji od ranije opisanog postupaka pomo¢uadjungovane matrice.

21

linearna algebra i geometrija · pdf filelinearna algebra i geometrija predavanja sarajevo,...

Documents