geometrija i smer - deo 4: analitichka geometrija u...
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/1.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
UNIVERZITET U BEOGRADU
MATEMATIQKI FAKULTET
Geometrija I{smerdeo 4: Analitiqka geometrija u prostoru
Tijana Xukilovi�
7. decembar 2015
![Page 2: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/2.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Implicitna jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada inormalnim vektorom ravni # «nα.
M(x, y, z) ∈ α =⇒ # «
AM ⊥ # «nα
0 = # «nα ◦# «
AM
= (a, b, c) ◦ (x− x0, y − y0, z − z0)= a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)= ax+ by + cz−ax0 − by0 − cz0︸ ︷︷ ︸
d
α
A
M
# «nα
Slika 1: Implicitna
jednaqina ravni
![Page 3: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/3.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Implicitna jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada inormalnim vektorom ravni # «nα.
M(x, y, z) ∈ α =⇒ # «
AM ⊥ # «nα
0 = # «nα ◦# «
AM
= (a, b, c) ◦ (x− x0, y − y0, z − z0)= a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0)= ax+ by + cz−ax0 − by0 − cz0︸ ︷︷ ︸
d
α
A
M
# «nα
Slika 1: Implicitna
jednaqina ravni
![Page 4: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/4.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Normalizovana jednaqina ravni
Imlicitna jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, # «nα = (a, b, c)
Normalizovana jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, | # «nα|2 = a2 + b2 + c2 = 1
![Page 5: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/5.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Normalizovana jednaqina ravni
Imlicitna jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, # «nα = (a, b, c)
Normalizovana jednaqina ravni:
ax+ by + cz + d = 0, | # «nα|2 = a2 + b2 + c2 = 1
![Page 6: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/6.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan z = 0
![Page 7: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/7.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan z − 4 = 0
![Page 8: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/8.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan x = 0
![Page 9: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/9.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
x
y
z
z = 0
4
z − 4 = 0
y = 0
x = 0
Slika 2: Ravan y = 0
![Page 10: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/10.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primer { skicirati ravan
x
y
z
A(6, 0, 0)
B(0, 3, 0)C(0, 0, 2)
x+ 2y + 3z − 6 = 0
Slika 3: Ravan x+ 2y + 3z − 6 = 0
![Page 11: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/11.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primer { skicirati ravan
x
y
z
A(5, 0, 0)
B(
0, 52 , 0)
x+ 2y − 5 = 0
Slika 3: Ravan x+ 2y − 5 = 0
![Page 12: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/12.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Polurostor
Poluprostor je skup svih taqaka sa iste strane neke ravni
α : ax+ by + cz + d = 0.Odre�en je jednaqinom ax+ by + cz + d > 0, odnosnoax+ by + cz + d < 0.
Primer 1
Da li se taqke A(1, 1, 1) i C(−1,−1, 3) nalaze sa iste straneravni β : x− 3y + 4z − 12 = 0.
![Page 13: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/13.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Polurostor
Poluprostor je skup svih taqaka sa iste strane neke ravni
α : ax+ by + cz + d = 0.Odre�en je jednaqinom ax+ by + cz + d > 0, odnosnoax+ by + cz + d < 0.
Primer 1
Da li se taqke A(1, 1, 1) i C(−1,−1, 3) nalaze sa iste straneravni β : x− 3y + 4z − 12 = 0.
![Page 14: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/14.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Parametarska jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada idva vektora #«v , #«u paralelna α.
M(t, s) = M = A+ t #«v + s #«w, t, s ∈ R
Parametarska jednaqina ravni:
x = x0 + tvx + swx,
y = y0 + tvy + swy,
z = z0 + tvz + swz, t, s ∈ R
α
A
M
t #«v
s #«w
#«v
#«w
α
Slika 4: Parametarska
jednaqina ravni
![Page 15: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/15.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Parametarska jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada idva vektora #«v , #«u paralelna α.
M(t, s) = M = A+ t #«v + s #«w, t, s ∈ R
Parametarska jednaqina ravni:
x = x0 + tvx + swx,
y = y0 + tvy + swy,
z = z0 + tvz + swz, t, s ∈ R
α
A
M
t #«v
s #«w
#«v
#«w
α
Slika 4: Parametarska
jednaqina ravni
![Page 16: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/16.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Parametarska jednaqina ravni
Ravan α je odre�ena taqkom A(x0, y0, z0) koja joj pripada idva vektora #«v , #«u paralelna α.
M(t, s) = M = A+ t #«v + s #«w, t, s ∈ R
Parametarska jednaqina ravni:
x = x0 + tvx + swx,
y = y0 + tvy + swy,
z = z0 + tvz + swz, t, s ∈ R
α
A
M
t #«v
s #«w
#«v
#«w
α
Slika 4: Parametarska
jednaqina ravni
![Page 17: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/17.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Prelazak iz jednog oblika ravni u drugi
Parametarski −→ implicitni:
# «nα = #«v × #«w = (a, b, c)d = −ax0 − by0 − cz0 = − # «nα ◦
# «
OA
Implicitni −→ parametarski:
#«v ⊥ # «nα { proizvoan#«w = # «nα × #«v
a 6= 0 : A(−da, 0, 0
)
![Page 18: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/18.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Prelazak iz jednog oblika ravni u drugi
Parametarski −→ implicitni:
# «nα = #«v × #«w = (a, b, c)d = −ax0 − by0 − cz0 = − # «nα ◦
# «
OA
Implicitni −→ parametarski:
#«v ⊥ # «nα { proizvoan#«w = # «nα × #«v
a 6= 0 : A(−da, 0, 0
)
![Page 19: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/19.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Izbor koordinatnog sistema vezanog za ravan
α : ax+ by + cz + d = 0
WCS
−→ α′ : z′ = 0
UCS
α
A
# «nα
#«w
#«v
O
#«e1
#«e2
#«e3
Slika 5: Koordinatni sistem prilago�en datoj ravni
![Page 20: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/20.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 2
a) Odrediti ortonormirani koordinatni sistem (x′, y′, z′)u odnosu na ravan α : x− y − 2 = 0 i napisati vezu tih
koordinata sa koordinatama (x, y, z).
b) Odrediti parametrizaciju kruga sa centrom u taqki
C(1,−1, 2) ∈ α, polupreqnika r = 3.
![Page 21: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/21.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 2
a) Odrediti ortonormirani koordinatni sistem (x′, y′, z′)u odnosu na ravan α : x− y − 2 = 0 i napisati vezu tih
koordinata sa koordinatama (x, y, z).
b) Odrediti parametrizaciju kruga sa centrom u taqki
C(1,−1, 2) ∈ α, polupreqnika r = 3.
![Page 22: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/22.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Jednaqine kruga u ravni i prostoru
O x
y
x2 + y2 = 1
Slika 6: Krug
x
y
z
x2 + y2 = 1
Slika 7: Cilindar
![Page 23: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/23.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Jednaqine kruga u ravni i prostoru
O x
y
x2 + y2 = 1
Slika 6: Krug
x
y
z
z = 0
x2 + y2 = 1
Slika 7: Cilindar −→ krug
![Page 24: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/24.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Parametarska jednaqina prave
Prava u prostoru se zadaje taqkom P (x0, y0, z0) i nenula
vektorom pravca #«p (px, py, pz):
M(t) = M = P + t #«p , t ∈ R.
Parametarska jednaqina prave:
x = x0 + tpx,
y = y0 + tpy,
z = z0 + tpz, t ∈ R.
Kanonska jednaqina prave:
x− x0px
= y − y0py
= z − z0pz
.
![Page 25: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/25.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Parametarska jednaqina prave
Prava u prostoru se zadaje taqkom P (x0, y0, z0) i nenula
vektorom pravca #«p (px, py, pz):
M(t) = M = P + t #«p , t ∈ R.
Parametarska jednaqina prave:
x = x0 + tpx,
y = y0 + tpy,
z = z0 + tpz, t ∈ R.
Kanonska jednaqina prave:
x− x0px
= y − y0py
= z − z0pz
.
![Page 26: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/26.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Parametarska jednaqina prave
Prava u prostoru se zadaje taqkom P (x0, y0, z0) i nenula
vektorom pravca #«p (px, py, pz):
M(t) = M = P + t #«p , t ∈ R.
Parametarska jednaqina prave:
x = x0 + tpx,
y = y0 + tpy,
z = z0 + tpz, t ∈ R.
Kanonska jednaqina prave:
x− x0px
= y − y0py
= z − z0pz
.
![Page 27: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/27.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Prava kao presek dve ravni
α : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0β : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
}=⇒ #«p = # «nα × # «nβ
α
p
β
# «nα
# «nβ#«p
Slika 8: Prava kao presek dve ravni
![Page 28: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/28.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 3
Pravu p : x− z = 0, 2x− y + 1 = 0 zapisati parametarski.
Primer 4
Pravu p : x = t+ 4, y = −t+ 1, z = 3t, t ∈ R zapisati kao
presek dve ravni.
Primer 5
Odrediti jednaqinu prave koja sadr�i taqke A(1, 2, 3) iB(3, 2, 1).
![Page 29: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/29.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Pramen ravni
Teorema 1.1
Skup svih ravni koje sadr�e pravu p = α ∩ β je dat
jednaqinom:
γ : λ1(a1x+ b1y + c1z + d1) + λ2(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0,
za λ1, λ2 ∈ R.
Primer 6
Odrediti jednaqinu ravni koja sadr�i taqku M(1, 4,−2) ipravu p : x− y − 1 = 0, z − 2x = 0.
![Page 30: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/30.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Pramen ravni
Teorema 1.1
Skup svih ravni koje sadr�e pravu p = α ∩ β je dat
jednaqinom:
γ : λ1(a1x+ b1y + c1z + d1) + λ2(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0,
za λ1, λ2 ∈ R.
Primer 6
Odrediti jednaqinu ravni koja sadr�i taqku M(1, 4,−2) ipravu p : x− y − 1 = 0, z − 2x = 0.
![Page 31: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/31.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji dve prave
P
Q
#«p
#«q
p ≡ q
Slika 9: Prave koje se poklapaju
#«p #«q# «
PQ
kolinearni
![Page 32: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/32.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
Q
q
#«p
#«q
Slika 9: Paralelne prave
#«p #«q
kolinearni
# «
PQ
nekolinearan
![Page 33: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/33.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
M
Q
q
#«p #«q
Slika 9: Prave koje se seku
#«p #«q
nekolinearni
# «
PQ
![Page 34: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/34.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
M
Q
q
#«p #«q
Slika 9: Prave koje se seku
#«p #«q# «
PQ
koplanarni
![Page 35: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/35.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji dve prave
p
P
Q
q
#«p#«q
Slika 9: Mimoilazne prave
#«p #«q# «
PQ
nekoplanarni
![Page 36: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/36.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primer 7
Odrediti me�usobni polo�aj pravih:
(a) p : x− 21 = y − 19
5 = z − 21 , q : x− 1
2 = y
3 = z + 24 ;
(b) p : x− 21 = y − 2
0 = z − 2−1 , q : 2x = y, 3x = z;
(v) p : x− 21 = y − 2
0 = z − 2−1 , q : x− 1
1 = y − 20 = z − 3
−1 ;
(g) p : x− 21 = y − 2
0 = z − 2−1 , q : x+ 1
−2 = y − 20 = z + 7
2 .
![Page 37: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/37.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Mimoilazne prave
Teorema 2.1
Mimoilazne prave p i q imaju jedinstvenu zajedniqkunormalu, tj. pravu koja seqe obe prave i normalna je na �ih.
α
γ
N
M
n
Pp
β
p1
q
Slika 10: Mimoilazne prave
![Page 38: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/38.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
A
A1
B
D C
B1
C1D1
M
NS
p
p1
n
q
Slika 11: Kocka
Primer 8
Dijagonale naspramnih posni kocke su mimoilazne prave,
a �ihova zajedniqka normala je odre�ena sredixtima tih
dijagonala.
![Page 39: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/39.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
P
R
Q
S
M
N
n
Slika 12: Tetraedar
Primer 9
Xta je zajedniqka normala mimoilaznih ivica PQ i RSpravilnog tetraedra PQRS?
![Page 40: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/40.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji prave i ravni
Prava p i ravan α mogu da:
se seku;
budu paralelne;
prava pripada ravni.
Primer 10
Odrediti me�usobni polo�aj prave p : x+ 40 = y
−1 = z − 11 i
ravni α : x− 2y + 5z − 1 = 0.
![Page 41: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/41.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Me�usobni polo�aji prave i ravni
Prava p i ravan α mogu da:
se seku;
budu paralelne;
prava pripada ravni.
Primer 10
Odrediti me�usobni polo�aj prave p : x+ 40 = y
−1 = z − 11 i
ravni α : x− 2y + 5z − 1 = 0.
![Page 42: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/42.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Prodor prave kroz trougao
P
M
A
B
C
p
#«u
#«v#«w
#«p
Slika 13: Prodor prave kroz trougao
sign[ # «
PA,# «
PB, #«p ] = sign[ # «
PB,# «
PC, #«p ] = sign[ # «
PC,# «
PA, #«p ]
![Page 43: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/43.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Prodor prave kroz trougao
P
M
A
B
C
p
#«u
#«v#«w
#«p
Slika 13: Prodor prave kroz trougao
M = P + t #«p ,
t = [ # «
PA,# «
PB,# «
PC][ # «
PA,# «
PB, #«p ] + [ # «
PB,# «
PC, #«p ] + [ # «
PC,# «
PA, #«p ]
![Page 44: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/44.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Prodor prave kroz trougao
P
M
A
B
C
p
#«u
#«v#«w
#«p
Slika 13: Prodor prave kroz trougao
Primer 11
Da li prava p : x− 1−1 = y
3 = z + 12 seqe trougao ABC,
A(2, 4, 6), B(−4, 2, 0), C(6, 4,−2)?
![Page 45: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/45.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Presek trougla i ravni
Slika 14: Presek ravni i trougla
![Page 46: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/46.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Rastoja�e taqke od prave/ravni
Teorema 3.1
Rastoja�e taqke M od prave p zadate taqkom P i vektorom
pravca P dato je formulom:
d = |#«p × # «
PM || #«p |
.
Teorema 3.2
Rastoja�e taqke M(x0, y0, z0) od ravni
α : ax+ by + cz + d = 0 dato je formulom:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
.
![Page 47: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/47.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Rastoja�e taqke od prave/ravni
Teorema 3.1
Rastoja�e taqke M od prave p zadate taqkom P i vektorom
pravca P dato je formulom:
d = |#«p × # «
PM || #«p |
.
Teorema 3.2
Rastoja�e taqke M(x0, y0, z0) od ravni
α : ax+ by + cz + d = 0 dato je formulom:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
.
![Page 48: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/48.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 12
Odrediti rastoja�e taqke M(1, 0,−1) od:a) Prave p : x1 = y + 1
1 = z
2 ;
b) Ravni α : x+ y − 4z = 0.
![Page 49: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/49.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih
Teorema 3.3
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih p i q dato jeformulom:
d = |[#«p , #«q ,
# «
PQ]|| #«p × #«q |
.
Primer 13
Odrediti zajedniqku normalnu i rastoja�e izme�u
mimoilaznih pravih
p : x− 63 = y − 5
4 = z
0 ,
q : x+ 14 = y − 4
−3 = z − 15−5 .
![Page 50: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/50.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih
Teorema 3.3
Rastoja�e izme�u mimoilaznih pravih p i q dato jeformulom:
d = |[#«p , #«q ,
# «
PQ]|| #«p × #«q |
.
Primer 13
Odrediti zajedniqku normalnu i rastoja�e izme�u
mimoilaznih pravih
p : x− 63 = y − 5
4 = z
0 ,
q : x+ 14 = y − 4
−3 = z − 15−5 .
![Page 51: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/51.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Uglovi izme�u pravih i ravni
Ugao izme�u pravih p i q je oxtar ugao izme�u �ihovih
normalnih vektora.
∠(p, q) = oxtar∠( #«p , #«q ) = arccos |#«p ◦ #«q || #«p | · | #«q |
O
p
q
#«p
#«q
# «np# «nq
Slika 15: Ugao izme�u dve prave
![Page 52: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/52.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Uglovi izme�u pravih i ravni
Ugao izme�u ravni α i β je oxtar ugao izme�u pravih ai b.
∠(α, β) = arccos |# «nα ◦ # «nβ|| # «nα| · | # «nβ|
α
β
pa
b
γ
Slika 16: Ugao izme�u dve ravni
![Page 53: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/53.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Uglovi izme�u pravih i ravni
Ugao izme�u prave p i ravni α je ugao izme�u prave p i�ene normalne projekcije p′ na ravan α.
∠(p, α) = π
2 − arccos |#«p ◦ # «nα|| #«p | · | # «nα|
α
P
p
# «nα#«p
p′
π
2
Slika 17: Ugao izme�u prave i ravni
![Page 54: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/54.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 14
Odrediti taqku prodora prave p : x+ 13 = y + 3
2 = z − 5−4
kroz ravan α : 3x+ y + 5z − 7 = 0.
Koliki ugao prava p zaklapa sa ravni α?
![Page 55: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/55.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Poliedarski model glatke povrxi
![Page 56: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/56.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Poliedarska povrx
Definicija 4.1
Poliedarska povrxM je objekat prostora koji je unija
konaqno mnogo posni:
1 Posni su konveksni poligoni;
2 Svaka ivica pripada najvixe dvema posnima
(unutrax�e i rubne ivice);
3 Presek dve posni mo�e biti samo ivica.
apstraktna poliedarska povrx
poliedar
povezana povrx
![Page 57: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/57.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Poliedarska povrx
Definicija 4.1
Poliedarska povrxM je objekat prostora koji je unija
konaqno mnogo posni:
1 Posni su konveksni poligoni;
2 Svaka ivica pripada najvixe dvema posnima
(unutrax�e i rubne ivice);
3 Presek dve posni mo�e biti samo ivica.
apstraktna poliedarska povrx
poliedar
povezana povrx
![Page 58: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/58.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Poliedarska povrx
Definicija 4.1
Poliedarska povrxM je objekat prostora koji je unija
konaqno mnogo posni:
1 Posni su konveksni poligoni;
2 Svaka ivica pripada najvixe dvema posnima
(unutrax�e i rubne ivice);
3 Presek dve posni mo�e biti samo ivica.
apstraktna poliedarska povrx
poliedar
povezana povrx
![Page 59: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/59.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Poliedarska povrx
Definicija 4.1
Poliedarska povrxM je objekat prostora koji je unija
konaqno mnogo posni:
1 Posni su konveksni poligoni;
2 Svaka ivica pripada najvixe dvema posnima
(unutrax�e i rubne ivice);
3 Presek dve posni mo�e biti samo ivica.
apstraktna poliedarska povrx
poliedar
povezana povrx
![Page 60: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/60.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Tabela temena i povezanosti
Tabela temena Tabela povezanosti
Primer 15
Odrediti tabelu povezanosti tetraedra.
Primer 16
Data je apstraktna poliedarska povrx tabelom povezanosti:
p0 = 〈0, 1, 3〉, p1 = 〈0, 1, 5, 4〉, p2 = 〈1, 2, 6, 5〉,p3 = 〈5, 6, 7〉, p4 = 〈7, 4, 0, 3〉, p5 = 〈2, 6, 7, 3〉.
(a) Odrediti joj listu temena i ivica;
(b) Ispitati da li povrx povezana;
(v) Odrediti joj rub i broj komponenata ruba;
(g) Skicirati povrx.
![Page 61: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/61.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Tabela temena i povezanosti
Tabela temena Tabela povezanosti
Primer 15
Odrediti tabelu povezanosti tetraedra.
Primer 16
Data je apstraktna poliedarska povrx tabelom povezanosti:
p0 = 〈0, 1, 3〉, p1 = 〈0, 1, 5, 4〉, p2 = 〈1, 2, 6, 5〉,p3 = 〈5, 6, 7〉, p4 = 〈7, 4, 0, 3〉, p5 = 〈2, 6, 7, 3〉.
(a) Odrediti joj listu temena i ivica;
(b) Ispitati da li povrx povezana;
(v) Odrediti joj rub i broj komponenata ruba;
(g) Skicirati povrx.
![Page 62: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/62.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Tabela temena i povezanosti
Tabela temena Tabela povezanosti
Primer 15
Odrediti tabelu povezanosti tetraedra.
Primer 16
Data je apstraktna poliedarska povrx tabelom povezanosti:
p0 = 〈0, 1, 3〉, p1 = 〈0, 1, 5, 4〉, p2 = 〈1, 2, 6, 5〉,p3 = 〈5, 6, 7〉, p4 = 〈7, 4, 0, 3〉, p5 = 〈2, 6, 7, 3〉.
(a) Odrediti joj listu temena i ivica;
(b) Ispitati da li povrx povezana;
(v) Odrediti joj rub i broj komponenata ruba;
(g) Skicirati povrx.
![Page 63: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/63.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Tabela temena i povezanosti
Tabela temena Tabela povezanosti
Primer 15
Odrediti tabelu povezanosti tetraedra.
Primer 16
Data je apstraktna poliedarska povrx tabelom povezanosti:
p0 = 〈0, 1, 3〉, p1 = 〈0, 1, 5, 4〉, p2 = 〈1, 2, 6, 5〉,p3 = 〈5, 6, 7〉, p4 = 〈7, 4, 0, 3〉, p5 = 〈2, 6, 7, 3〉.
(a) Odrediti joj listu temena i ivica;
(b) Ispitati da li povrx povezana;
(v) Odrediti joj rub i broj komponenata ruba;
(g) Skicirati povrx.
![Page 64: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/64.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Orijentabilnost poliedarske povrxi
4
0
1
2
3
54
0
1
2
3
5
Slika 18: Susedne posni iste i razliqite orijentacije
M { orijentabilna ako su svake dve susedne posni iste
orijentacije.
![Page 65: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/65.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Orijentabilnost
Primer 17
Kocka je orijentabilna.
Teorema 4.1
Poliedarski modeli neke glatke povrxi su ili svi
orijentabilni ili svi neorijentabilni.
Teorema 4.2
Svaki prost poliedar je orijentabilna povrx.
![Page 66: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/66.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Orijentabilnost
Primer 17
Kocka je orijentabilna.
Teorema 4.1
Poliedarski modeli neke glatke povrxi su ili svi
orijentabilni ili svi neorijentabilni.
Teorema 4.2
Svaki prost poliedar je orijentabilna povrx.
![Page 67: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/67.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Orijentabilnost
Primer 17
Kocka je orijentabilna.
Teorema 4.1
Poliedarski modeli neke glatke povrxi su ili svi
orijentabilni ili svi neorijentabilni.
Teorema 4.2
Svaki prost poliedar je orijentabilna povrx.
![Page 68: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/68.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Mebijusova traka
0
1 2
3
4
5
Slika 19: Poliedarski modeli Mebijusove trake
Primer 18
Poliedarski model Mebijusove trake je neorijentabilan.
![Page 69: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/69.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Mebijusova traka
0
1 2
3
4
5
Slika 19: Poliedarski modeli Mebijusove trake
Primer 18
Poliedarski model Mebijusove trake je neorijentabilan.
![Page 70: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/70.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Ojlerova karakteristika i rod povrxiOjlerova karakteristika poliedarske povrxiM je broj
χ(M) = T
temena
− I
ivice
+ P
posni
Teorema 4.3
Svi poliedarski modeli neke glatke povrxi imaju istu
Ojlerovu karakteristiku.
Va�i:
χ(M) = 2− 2 r
rod poliedra
![Page 71: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/71.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Ojlerova karakteristika i rod povrxiOjlerova karakteristika poliedarske povrxiM je broj
χ(M) = T
temena
− I
ivice
+ P
posni
Teorema 4.3
Svi poliedarski modeli neke glatke povrxi imaju istu
Ojlerovu karakteristiku.
Va�i:
χ(M) = 2− 2 r
rod poliedra
![Page 72: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/72.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Ojlerova karakteristika i rod povrxiOjlerova karakteristika poliedarske povrxiM je broj
χ(M) = T
temena
− I
ivice
+ P
posni
Teorema 4.3
Svi poliedarski modeli neke glatke povrxi imaju istu
Ojlerovu karakteristiku.
Va�i:
χ(M) = 2− 2 r
rod poliedra
![Page 73: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/73.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 19
Ako jeM poliedarski model sfere, tada je χ(M) = 2.
Slika 20: Poliedarski model sfere
Primer 20
Ojlerova karakteristika Mebijusove trake je nula.
![Page 74: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/74.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Primeri
Primer 21
Data je poliedarska povrx:
p0 = 〈0, 1, 4, 3〉, p5 = 〈4, 5, 8, 7〉,p1 = 〈1, 2, 5, 4〉, p6 = 〈8, 7, 1, 2〉,p2 = 〈2, 0, 3, 5〉, p7 = 〈0, 1, 7, 6〉p3 = 〈6, 8, 5, 3〉, p8 = 〈0, 6, 8, 2〉.p4 = 〈6, 3, 4, 7〉
a) Dokazati da je ona poliedar, tj. da nema rub.
b) Izraqunati �enu Ojlerovu karakterisku i rod.
![Page 75: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/75.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Platonova tela
Teorema 4.4
Postoji taqno pet Platonovih tela.
poliedar p q T I P
tetraedar 3 3 4 6 4
kocka (heksaedar) 3 4 8 12 6
oktaedar 4 3 6 12 8
dodekaedar 3 5 20 30 12
ikosaedar 5 3 12 30 20
Slika 21: Dualna Platonova tela
![Page 76: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/76.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Platonova tela
Teorema 4.4
Postoji taqno pet Platonovih tela.
poliedar p q T I P
tetraedar 3 3 4 6 4
kocka (heksaedar) 3 4 8 12 6
oktaedar 4 3 6 12 8
dodekaedar 3 5 20 30 12
ikosaedar 5 3 12 30 20
Slika 21: Dualna Platonova tela
![Page 77: Geometrija I smer - deo 4: Analitichka geometrija u prostorupoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2015/prostor.pdf · deo 4: Analitiqka geometrija u prostoru Tijana Xukilovi](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052209/5a7878397f8b9a7b698b8663/html5/thumbnails/77.jpg)
Ravan i prava u postoru Polo�aji Rastoja�a i uglovi Poliedarske povrxi
Platonova tela
Teorema 4.4
Postoji taqno pet Platonovih tela.
poliedar p q T I P
tetraedar 3 3 4 6 4
kocka (heksaedar) 3 4 8 12 6
oktaedar 4 3 6 12 8
dodekaedar 3 5 20 30 12
ikosaedar 5 3 12 30 20
Slika 21: Dualna Platonova tela