linearna algebra i geometrija - samo materijali i materijali · linearna algebra i geometrija...

Linearna algebra i geometrija

Berina Cocalić


I parcijalni ispit

1. Definirati pojmove prsten i polje.

Neka je P neprazan skup na kome su definirane dvije operacije Uređena trojka je prsten ukoliko

su zadovoljeni sljedeći uslovi:

- je Abelova grupa

- je polugrupa

Prsten u kojem je { } grupa je tijelo, a komutativno tijelo je polje.

2. Definirati vektorski prostor. Neka je dat skup {(

) } na kojem su operacije sabiranja i

množenja skalarom definirane kao uobičajene operacije za matrice. Ispitati da li je M vektorski prostor

nad poljem realnih brojeva. Ukoliko jeste odrediti mu bazu i dimenziju.

Neka je komutativna grupa, a polje. Neka je definisano preslikavanje sa

, tako da za svako i svako vrijedi:

1)

2)

3)

4)

Tada kažemo da je V vektorski prostor nad poljem skalara F i označavamo ga sa V(F). Elemente skupa V

nazivamo vektorima, a elemente skupa F skalarima. U slučaju kada je F skup realnih brojeva, govorimo u

realnom, a u slučaju kada je F skup kompleksnih brojeva, o kompleksnom vektorskom prostoru.

Da bi {(

) } bio vektorski prostor nad poljem realnih brojeva, on mora zadovoljavati

jednakosti 1), 2), 3) i 4). Umjesto a uvrštavajmo {(

) }, a umjesto b uvrštavajmo {(

) }:

1) ((

) (

)) (

) (

) T

2) (

) (

) (

) T

3) ( (

)) (

) T

4) (

) (

) T


Berina Cocalić

Kako svu sve četiri jednakosti zadovoljene za {(

) } i {(

) } slijedi da skup

{(

) } jeste vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Napišimo sada M kao (

). Kako imamo samo jednu nepoznatu, dimenzija vektorskog prostora je

jedan, a njena baza (

)

3. Definirati bazu i dimenziju konačno generisanog vektorskog prostora. Neka je dat skup

{(

) } na kojem su operacije sabiranja i množenja skalarom definirane kao uobičajene

operacije za matrice. Ispitati da li je T vektorski prostor nad poljem realnih brojeva. Ukoliko jeste

odrediti mu bazu i dimenziju.

Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara F. Skup svih vektora B je baza vektorskog prostora V ako je V

generisan skupom B, tj. i B je linearno nezavisan skup vektora u V. Dimenzija konačno generisanog

vektorskog prostora V je u tom slučaju broj linearno nezavisnih elemenata vektorskog prostora V koji čine

bazu.

Da bi {(

) } bio vektorski prostor nad poljem realnih brojeva, on mora zadovoljavati

jednakosti:

1)

2)

3)

4)

Umjesto a uvrštavajmo {(

) }, a umjesto b uvrštavajmo {(

) }:

1) ((

) (

)) (

) (

) T

2) (

) (

) (

) T

3) ( (

)) (

) T

4) (

) (

) T

Kako svu sve četiri jednakosti zadovoljene za {(

) } i {(

) } slijedi da skup

{(

) } jeste vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Napišimo sada T kao (

). Kako imamo samo jednu nepoznatu, dimenzija vektorskog prostora je

jedan, a njena baza (

)


Berina Cocalić

4. Definirati sabiranje dvaju matrica i i osnovne osobine sabiranja.

Dvije matrice L i V moguće je sabirati samo ukoliko su istog formata, dakle m = r i n = s, pa imamo dvije

matrice i Dvije matrice se sabiraju tako da im se saberu odgovarajući elementi.

Oduzimanje se definiše analogno kao i sabiranje:

( )

Neka je . Sabiranje matrica posjeduje sljedeće osobine:

- asocijativnost: (A+B)+C=A+(B+C)

- komutativnost: A+B=B+A

- nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0 + A = A + 0 = A

5. Definirati množenje matrice skalarom , i osobine množenja matrice skalarom.

Matrica se množi skalarom tako da se svaki element te matrice pomnoži tim skalarom.

Neka je , i . Množenje matrice skalarom posjeduje sljedeće osobine:

-

-

-

-

-

Za svaku matricu matricu (-1)K označavamo kraće sa –K i nazivamo je suprotnom matricom

matrice K. Za suprotnu matricu matrice K vrijedi:

-

6. Definirati množenje dvaju matrica i i osnovne osobine množenja.

Dvije matrice L i V su saglasne za množenje samo ako je broj kolona matrice L jednak broju vrsta matrice V (tj.

ako je n = r), u suprotnom se matrice ne mogu množiti. Rezultujuća matrica (označimo je sa R), je

formata . Elemente matrice R, računamo po formuli:

∑

Dakle, element koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice dobijemo tako što svaki element i-

te vrste matrice L pomnožimo sa svakim elementom j-te kolone matrice V i te proizvode saberemo.


Berina Cocalić

Množenje matrica posjeduje sljedeće osobine:

U slučaju kada je matrica kvadratna:

7. Definirati pojam ranga matrice. Opisati metode određivanja istog.

Neka je . Rang ne-nula matrice A je red njene najveće kvadratne podmatrice kojoj je determinanta

različita od nula. Rang nula matrice je nula. Rang matrice A označavamo sa r(A) ili rang(A).

Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih kolona matrice A. Maksimalan broj

linearno nezavisnih kolona jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice.

Najčešće se rang matrice očitava iz njoj ekvivalentne trapezne matrice . Ekvivalentnu trapeznu matricu neke

matrice dobijamo koristeći elementarne transformacije nad matricama:

- zamjena mjesta dvije vrste ili kolone

- množenje vrste ili kolone skalarom različitim od nula

- množenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom različitim od nule i dodavanje odgovarajućim

elementima neke druge vrste ili kolone

Rang matrice jednak je broju ne nula elemenata na glavnoj dijagonali njoj ekvivalentne trapezne matrice.

8. Definirati pojmove minore (subdeterminante) i kofaktora (algebarskog komplementa) determinante.

Opisati Laplaceov postupak (razvoj) za računanje determinante n-tog reda.

Neka je i proizvoljan element te matrice. Determinanta reda n-1 koju dobijemo brisanjem i-tog

reda i j-te kolone iz determinante matrice A nazivamo minor elementa matrice A. Obilježavamo ga sa .

Neka je i proizvoljan element te matrice. Broj nazivamo kofaktorom elementa

matrice A. Obilježavamo ga sa .

Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste ili kolone i njima odgovarajućih

kofaktora:


Berina Cocalić

∑

∑

9. Definisati pojam transponovane matrice i navesti osobine koje operacija transponovanja zadovoljava.

Neka je zadana matrica . Transponovana matrica matrice A je matrica . Dakle,

transponovanu matricu matrice A dobijemo tako što zamijenimo ulogu vrsta i kolona.

Operacija transponovanja zadovoljava sljedeće osobine:

-

-

-

U slučaju kada je , kažemo da je matrica simetrična, a kada je , kažemo da je

kososimetrična. Ukoliko je , kažemo da je matrica A ortogonalna.

10. Definisati pojam inverzne matrice, regularne matrice, singularne matrice, a zatim pojam adjungovane

matrice i opisati metod dobivanja iste.

Neka je zadana matrica . Inverzna matrica matrice A je matrica B takva da vrijedi:

.

Ako postoji matrica B koja zadovoljava jednakost (1), onda je ona jedinstvena.

Za matricu kažemo da je regularna ukoliko ona ima inverznu matricu. U protivnom kažemo da je

matrica A singularna.

Neka je . Matricu zovemo adjungovanom matricom matrice A Dakle,

adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako što svaki element matrice A, zamijenimo njegovim

kofaktorom i tako dobijenu matricu transponujemo.

11. Navesti Cramerov stav za sistem sa s jednadžbi i t nepoznatih. Navesti rezultat pomenutog stava na

homogeni sistem jednadžbi.

Neka je dat sistem s linearnih jednadžbi sa t nepoznatih:

Cramerov stav može se primijeniti na kvadratne sisteme.

1) Ako determinanta sistema , sistem je saglasan i ima jedinstveno rješenje dato sa

.


Berina Cocalić

2) Ako je i barem jedna od determinanti različita od nule, sistem je nesaglasan i

nema rješenja.

3) Ako je i , tada je sistem ili nesaglasan ili neodređen, što određujemo na

sljedeći način:

a) ako je barem jedna subdeterminanta reda n-1 determinante D različita od nule, sistem je neodređen

b) ako je svaka subdeterminanta reda n-1 determinante D jednaka nuli, a barem jedna od

subdeterminanti različita od nule, sistem je nesaglasan

c) ako je svaka subdeterminanta reda n-1 svih determinanti D i jednaka nuli, nastavljamo postupak

ponavljanjem koraka a), b) i c) za subdeterminante jednog reda manje.

Posmatrajmo homogen sistem linearnih jednadžbi:


za svako

Homogen sistem linearnih jednadžbi uvijek ima trivijalna rješenja. Homogen sistem je određen ako je ,

a neodređen kada je .

12. Navesti Kronecker-Capelliev stav za sistem sa s jednadžbi i t nepoznatih. Navesti rezultat pomenutog

stava na homogeni sistem jednadžbi.


Sistem linearnih jednadži možemo napisati i u obliku matrične jednadžbe: .

Matrica A je matrica sačinje uz koeficiente uz nepoznate , a matrica (A|B) je

matrica A proširenja kolonom slobodnih članova .

Sistem je saglasan akko je:

|

Dodatno, ako je ispunjena gornja relacija, onda:

- ako je r = s sistem ima jedinstveno rješenje


Berina Cocalić

- ako je r < s sistem ima beskonačno mnogo rješenja

Sistem je nesaglasan i nema rješenja akko je:

|

Za homogeni sistem linearnih jednadžbi:


Homogeni sistem linearnih jednadžbi možemo napisati i u obliku matrične jednadžbe , .

Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima netrivijalno rješenje akko je .

13. Definirati sopstveni polinom, sopstvene vrijednosti i sopstvene vektore matrice, te navesti Kejli

Hemiltonov stav.

Neka je zadana kvadratna matrica . Ako je , , a X vektor , onda se skalar naziva

sopstvena vrijednost matrice A, a X sopstveni vektor matrice A. Skup svih sopstvenih vrijednosti matrice A

naziva se spektar te matrice.

Neka je matrica karakteristična matrica. Tada je funkcija karakteristični polinom, a

jednačina karakteristična jednadžba matrice A.

Sopstvene vrijednosti matrice A su nule karakterističnog polinoma matrice A.

Kejli Hemiltonov stav: svaka matrica je nula svog sopstvenog polinoma.


Berina Cocalić

II parcijalni ispit

1. Definirati skalarni produkt vektora i njegove osobine.

Skalarni produkt vektora je operacija : koja vektorima pridružuje skalar:

- ako su , | | | |

- ako je makar jedan od vektora ,

Neka je . tada vrijedi:

akko

( ) ( )

( )

(

2. Definirati vektorski produkt vektora, navesti njegovu geometrijsku interpretaciju i njegove osobine.

Skalarni produkt vektora je operacija : koja uređenom paru vektora pridružuje vektor

, definiran na sljedeći način:

- ako su vektori kolinearni,

- ako vektori nisu kolinearni:

o intenzitet vektora : | | | | | |

o pravac vektora je pravac okomit na pravac vektora

o smjer vektora je takav da čine desno orijentiranu bazu prostora

Apsolutna vrijednost vektorskog proizvoda dva vektora | | jednaka je površini paralelograma

konstruiranog nad predstavnicima vektora koji imaju zajednički početak.


( ) ( )

( )

(


Berina Cocalić

3. Definirati mješoviti produkt vektora, navesti njegovu geometrijsku interpretaciju i njegove osobine.

Mješoviti proizvod vektora je operacija m : koja trojci vektora pridružuje skalar (

. Pišemo ( ) .


- kod cikličnih promjena vektora, vrijednost mješovitog proizvoda ostaje nepromijenjena, dok kod

necikličnih mijenja predznak ( ) ( )= ( ) ( ) ( )

-

- ( ) +

- ( )= ( )

Apsolutna vrijednost mješovitog proizvoda vektora | | jednaka je zapremini paralelopipeda

konstruisanog nad predstavnicima tih vektora koji imaju zajednički početak.

Jedna šestina apsolutne vrijednosti mješovitog proizvoda vektora :

| | jednaka je zapremini

tetraedra konstruisanog nad predstavnicima tih vektora koji imaju zajednički početak.

Jedna trećina apsolutne vrijednosti mješovitog proizvoda vektora :

| | jednaka je zapremini

piramide konstruisane nad predstavnicima tih vektora koji imaju zajednički početak.

4. Definirati pojam prave u prostoru koja sadrži tačku i ima vektor pravca Izvesti

sve oblike jednadžbe prave.

Neka je data tačka i vektor . Postoji tačno jedna prava (označimo je sa p)

koja prolazi krot tačku i paralelna je vektoru koji nazivamo vektorom pravca prave p.

Označimo sa po volji odabranu tačku prave p. Formirajmo vektor .

Vektori su kolinearni, što znači da postoji skalar takav da je : . Označimo sa

radijus vektore tačaka retrospektivno. Tada vektor možemo napisati kao : .

Uvrštavajući u imamo : , odnosno:

što nazivamo jednadžbom prave u parametarskom vektorskom obliku. Raspisujući po koordinatama

dobija se:

{

, što je parametarski koordinatni oblik jednadžbe prave.

Kada se iz izrazi , ima se da je:


Berina Cocalić

što nazivamo kanonski/simetrični oblik jednadžbe prave.

Ako je , gdje je , tada vektor možemo zapisati preko koordinata

tačaka kao: , pa uvrštavajući to u jednadžbu prave , slijedi

jednadžba prave kroz dvije tačke:

Prava zadana kao presjek dvije ravni:

{

5. Odrediti formulu za udaljenost tačke od prave u prostoru.

Neka je data prava i tačka , . Udaljenost tačke jednaka je udaljenosti

tačke od podnožja normale kroz tačku na pravu .

Neka je prava data jednadžbom , gdje je radijus vektor po volji odabrane tačke T koja

pripada pravoj p, a radijus vektor tačke prave p. Neka je tačka tačka prave p za koju je .

Primijetimo da je udaljenost tačke jednaka dužini visine trougla . Iz standardne

formule za površinu trougla, slijedi da je:

| | , gdje je tražena udaljenost

tačke .

Kao formulu za površinu trougla možemo koristiti i geometrijsku interpretaciju apsolutne vrijednosti

vektorskog proizvoda, odnosno:

|

|

| | (2).

Kobiniranjem izraza (1) i (2) imamo:

| |

| |

| |

| |

6. Definirati međusobni odnos dvije prave u prostoru, a zatim izvesti formulu za udaljenost dvije

mimoilazne prave.

Dvije prave u prostoru mogu biti mimoilazne, mogu se sjeći pod nekim uglom, mogu se poklapati ili biti

paralelne.

Neka su date dvije prave p i q sa vektorima pravaca retrospektivno. Označimo sa ugao

između te dvije prave. Ugao koji zaklapaju dvije prave jednak je uglu između njihovih vektora pravaca,

odnosno:


Berina Cocalić

| | | |

Ukoliko su dvije prave u prostoru ortogonalne, tada su i njihovi vektori pravaca ortogonalni, pa je ,

odnosno: , što je uslov ortogonalnosti dvije prave u prostoru.

Ukoliko su dvije prave u prostoru paralelne, tada su i njihovi vektori pravaca paralelni, pa slijedi uslov

paralelnosti dvije prave:

Da bi se prave u prostoru sijekle ili bile paralelne, njihovi vektori pravaca , kao i vektor

, i moraju biti komplanarni, iz čega slijedi da je njihov mješoviti proizvod

jednak nuli:

|

| (potreban, ali ne i dovoljan uslov da se dvije prave u prostoru sijeku)

Odredimo sada formulu za udaljenost dvije mimoilazne prave:

Neka su date dvije mimoilazne prave:

Vektor zajedničke normale okomit je na vektore pravaca , odnosno paralelan mješovitom proizvodu

, pa pišemo: .

Zajednička normala sa pravom formira ravan (koja može biti zadana uslovom komplanarnosti vektora

) , a sa pravom formira ravan (koja može biti zadana uslovom komplanarnosti vektora

) , pa pišemo:

(1)

(2)

Zajednička normala n određena je presjekom ravni (1) i (2). Udaljenost mimoilaznih ravni računa se kao

udaljenost tačaka presjeka normale n sa pravima p i q.

7. Definirati pojam ravni u prostoru koja sadrži tačku i ima vektor normale

Izvesti sve oblike jednadžbe ravni.

Neka je dat vektor normale ravni R: , i tačka koja pripada toj ravni. Neka je

po volji odabrana tačka te ravni R. Formirajmo vektor , koji je ortogonalan na

vektor normale .


Berina Cocalić

Kako je .

- jednadžba ravni određena vektorom normale i

tačkom koja joj pripada.

Kada u jednadžbi izmnožimo sve, imamo oblik: . Označimo sa

, i jednadžba poprima oblik:

što je jednadžba ravni u implicitnom obliku.

Označimo sa radijus vektore tačaka retrospektivno. Tada vektor možemo napisati kao :

, imamo

( što je vektorski normalni oblik jednadžbe ravni.

Neka su zadana dva nekolinearna vektora i , i neka je tačka

ravni R. Odaberimo po volji neku tačku koja također pripada ravni, i formirajmo vektor

. Slijedi da su vektori i komplanarni, što znači da postoji netrivijalan izbor skalara

takav da vrijedi: .

što je jednadžba ravni u vektorskom parametarskom obliku. Kada

raspišemo po koordinatama:

{

što je parametarski koordinatni oblik jednadžbe ravni.

Kako su vektori i komplanarni, njihov mješoviti proizvod je jednak nuli:

|

| pa imamo jednadžbu ravni određenu tačkom koja joj pripada i sa dva

nekolinearna vektora s kojima je paralelna.

Ako za vektore i odaberemo da vrijedi: i

, , i uvrstimo to u , imamo jednadžbu ravni kroz 3 tačke:

|

|

Specijalno, ako za tačke odaberemo tačke presjeka sa koordinatnim osama, odnosno: ,

, :

|

|


Berina Cocalić

segmentni oblik jednadžbe ravni, gdje su l, m i n odsječci na x, y, z osi

retrospektivno.

8. Izvesti formulu za udaljenost tačke od ravni.

Neka je zadana ravan u svom implicitnom obliku (sa vektorom normale ) i

tačka sa koordinatama koja ne pripada toj ravni. Udaljenost tačke od ravni jednaka je

udaljenosti od tačke do njene ortogonalne projekcije N na ravan .

| | |

| ||

Ako tačke predstavimo preko njihovih radijus vektora, i retrospektivno, tada vektor

možemo napisati kao , i kada to uvrstimo u imamo:

| | |

| ||

| |

| |

| |

| |

| |

√

Kako , slijedi da je , pa jednakost vrijedi.

9. Odrediti formulu za ugao između prave i ravni, paralelnosti i okomitosti prave i ravni.

Neka je data prava p oblika

sa vektorom pravca i ravan u

implicitnom obliku sa vektorom normale .

Ugao između prave p i ravni definira se kao ugao između prave i njene ortogonalne projekcije na ravan, pa

razmatramo ugao između dvije prave.

Označimo sa ugao između vektora pravca prave i vektora pravca njene projekcije na ravan . Kako su

i međusobno ortogonalni, tada ugao između računamo kao (

)=

| | | | .

Kako je (

) , pišemo:

=

| | | |

| |

√ √ – formula za ugao između prave i ravni. (1)

Iz formule (1) jednostavno izvodimo uslove paralelnosti i okomitosti. Prava i ravan su paralelne kada je ugao

između njih jednak nuli, a sinus ugla 0 je 0, pa imamo uslov paralelnosti: .

Kod uslova okomitosti potrebo je znati da su vektor pravca prave i vektor normale ravni međusobno

paralelni, pa imamo uslov okomitosti:

.


Berina Cocalić

10. Definirati međusobni odnos dvije ravni u prostoru.

Dvije ravni u prostoru mogu se sjeći (i tada zaklapaju neki ugao), mogu biti paralelne ili se poklapati.

Neka su zadane dvije ravni u prostoru svojim jednadžbama u implicitnom obliku:

Ugao između dvije ravni koje se sijeku (označimo ga sa ) jednak je uglu koji zaklapaju njihovi vektori

nomala. Iz skalarnog produkta vektora slijedi da je:

=

| | | | [

]

Ako su dvije ravni međusobno okomite, tada su i njihovi vektori normala međusobno okomiti, pa je skalarni

proizvod vektora u tom slučaju jednak nuli: , pa pišemo: .

slijedi uslov okomitosti dvije ravni:

Dvije ravni su paralelne ako i samo ako su njihovi vektori normala kolinearni, pa slijedi uslov okomitosti dvije

ravni:

11. Definisati površ drugog reda.

Neka je dat Dekartov pravougli koordinatni sistem u prostoru { ( )}. Razmatramo skup tačaka u

prostoru opisan algebarskom jednadžbom drugog reda u varijablama . Dakle, posmatramo polinom

drugog reda u varijablama .

gdje je

Skup { } nazivamo algebarskom površi drugog reda.

12. Definisati rotacionu površ, i navesti primjere rotacionih površi.

Neka je data ravan i prava p u toj ravni. Pri rotaciji ravni oko prave p, svaka tačka ravni koja ne leži na

pravoj , opisuje kružnicu, a tačke prave ostaju nepokretne.

Ako je u ravni zadana kriva , onda rotacijom ravni oko prave , tačke krive opisuju kružnice. Skup svih

tih kružnica formira površ koju nazivamo rotaciona površ.

Posebni slučajevi rotacionih površi su: elipsoid, jednokrilni i dvokrilni hiperboloid, eliptički i hiberbolički

paraboloid.


Berina Cocalić

13. Definisati cilindričnu površ.

Neka je data kriva u prostoru i neka je zadan određeni pravac u prostoru. Površ koja nastaje tako da

svakom tačkom krive provučemo pravu paralelnu datom pravcu nazivamo cilindričnom površi

generisanom krvom . Kriva se naziva generatrisom, a prave koje čine tu površ su generatrise. Kada je

kriva drugog reda, razlikujemo

- eliptički cilindar

, pri čemu je data prava paralelna z-osi

- hiperbolički cilindar

, u slučaju kada je zadati pravac paralelan z-osi

- parabolički cilindar , kada je dati pravac paralelan sa z-osom

14. Definisati konusnu površ i napisati njenu jednadžbu.

Neka je data kriva u prostoru, i data tačka koja ne leži na datoj krivoj . Površ koju dobijemo od pravih

nastalih spajanjem tačke sa svim tačkama krive nazivamo konusnom površi generisanom krivom . Prave

pomoću kojih nastaje konusna površ nazivaju se generatrise, a kriva pomoću koje se kreira konus je

direktrisa.

U slučaju kada je kriva kriva drugog reda, jednadžba konusne površi je oblika:

linearna algebra i geometrija - samo materijali i materijali · linearna algebra i geometrija...

Documents