Given a position­time function, s = f(t) we differentiate to find

the velocity,  v =  dsdt

Given a velocity­time function, we integrate to find the total 

net distance traveled, s(b) ­ s(a) =  s '(t) dta

b

change in f =  rate of change * time

change of f = f(b) ­ f(a)

f(b)

f(a)

a b

Fundamental Theorem of Calculus

Let the function f be continuous on [a, b] with derivative f '.Then

total change in f = f(b) ­ f(a) =   f ' (t) dta

b

* If we know f(a), the Fundamental Theorem enables us to reconstruct the function from a knowledge of its derivative

The price of a new car is $24 500. The price of a new car is

changing at a rate of  120 + 180  t dollars per year. =dPdt

How much will the car cost 5 years from now? 

Change in price = 

P(5) ­ P(0) = 0

5

P '(t) dt =0

5

120 + 180  t( ) dt

Calculate an RSUM 

Given the function  f(x) = x3

Compute 

a) left and right sums with 50 subdivisions

b) the Fundamental Theorem of Calculus

the derivative is:  

1

2

The velocity of a car in km per hour is given by 

v(t) = 3t2 + 2t for  t 0

Calculate the distance traveled from t = 1 to t = 4 hours

a) using the left and right sums with n = 100

b) using the Fundamental Theorem and the fact that if 

f(t) = t3 + t2 f '(t) = 3t2 + 2t

The function f(x) = sin(2x) has the derivative f '(x) = 2 cos(2x)

Compute 0

/2

2cos(2x) dx

a) left and right sums with 50 subdivisions

b) the Fundamental Theorem of Calculus

using

The graph below shows the rate in gallons per hour at which oil is leaking out of a tank

y = r(t)

Write a definite integral that represents the total amount of oil that leaks out in the first hour. 

y = r(t)

0

1

r(t) dt

Shade the region whose area represents the total amount of oil that leaks out in the first hour. 

y = r(t)

Give a lower and upper estimate of the total amount of oil that leaks out in the first hour.  

y = r(t)