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L’equazione di Eulero
Bilancio Microscopicodel momento diquantità di motoEquazione di bilancioMicroscopico del MomentoAssiale
Bilancio Macroscopicodel momento assialeCoppia di una turbomachina
Potenza di unaturbomachina
Equazione di Eulerodelle TurbomacchineRelazione fra momentoangolare e moti vorticosi
Entalpia rotazionale diristagno
Invarianti per stadi statoricie rotorici
Caso del gas ideale
Grado di Reazione
14.258
Lecture 14L’equazione di EuleroText:
Motori AeronauticiMar. 26, 2015
Mauro ValoraniUniveristà La Sapienza
L’equazione di Eulero
Bilancio Microscopicodel momento diquantità di motoEquazione di bilancioMicroscopico del MomentoAssiale
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Potenza di unaturbomachina
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Agenda
1 Bilancio Microscopico del momento di quantità di motoEquazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale
2 Bilancio Macroscopico del momento assialeCoppia di una turbomachinaPotenza di una turbomachina
3 Equazione di Eulero delle TurbomacchineRelazione fra momento angolare e moti vorticosiEntalpia rotazionale di ristagnoInvarianti per stadi statorici e rotoriciCaso del gas idealeGrado di Reazione
L’equazione di Eulero
Bilancio Microscopicodel momento diquantità di motoEquazione di bilancioMicroscopico del MomentoAssiale
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14.260
Bilancio microscopico del momento di quantità di motoMomento Polare
Il momento polare d~L, valutato in un punto P del campo di flusso rispetto alpolo O, della quantità di moto di una particella fluida di massa dm è definitocome:
d~L := ~r × ~Vdm = ~r × (ρ~V )dV ~r := P − O
L’equazione di conservazione del momento di quantità di moto si ottieneeseguendo il prodotto vettore fra la posizione~r e l’equazione del moto
~r ×(ρ
D~VDt−∇ · Π + ρ∇φ
)= 0
che dopo opportune rielaborazioni si puo scrivere come:
∂
∂t
∫V
(~r × ~V
)dm = −
∫S2
(~r × ~V
)dm +
∫S1
(~r × ~V
)dm−
−∫
S1+S2+Sw
[(~r × ~n
)p]
dS−∫
S1+S2+Sw
[~r ×
(τ · ~n
)]dS +
∫V
(~r × ~g
)ρdV
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14.261
Bilancio microscopico del momento di quantità di motoMomento Polare
Il vettore momento polare ~M0 risultante dell’azione del fluido sulle pareti solideè definito come
~M0 := −∫Sw
~r ×(
Π · ~n)
dS =
∫Sw
(~r × ~n
)pdS +
∫Sw
~r ×(τ · ~n
)dS
Utilizzando queta definizione nella legge di conservazione del momento dellaquantità di moto si ricava:
~M0 =
∫S1
(~r × ~V
)dm −
∫S2
(~r × ~V
)dm+
+
∫S1
p(~r × d~S
)−∫S2
p(~r × d~S
)+
∫V
(~r × ~g
)ρdV−
∂
∂t
∫V
(~r × ~V
)dm
dove si è ipotizzato che il momento dovuto alle forze viscose sia trascurabilesulle superfici di ingresso e uscita del sistema.
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14.262
Sistema di riferimento cartesiano e cilindrico
Sistema di riferimento cilindrico definito dalle direzioni tangenziale (~i1), assiale(~i2 =~j) e radiale (~i3 =~i1 ×~i2), e un sistema di riferimento cartesiano definitodalle direzioni~i ,~j e ~k
Figure: Schema e nomenclatura per il calcolo del momento della quantità di moto.
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14.263
Equazione di bilancio Microscopico del Momento Assiale
Il momento assiale si ottiene come proiezione di ~M0 sull’asse di rotazioneidentificato dal vettore velocità angolare della girante, ~ω =~i2|ω|:
~Ma =~i2
(~M0 ·
~ω
ω
)=~i2
(~M0 ·~i2
)L’equazione di bilancio microscopico del momento assiale si scrive
∂
∂t(ρRVθ)+∇·
(ρRVθ~V
)+R (∇p) ·~i1 +R∇·
(~i1 · τ
)+ρR (∇φ) ·~i1 = 0 (42)
in cui i vettori~r e ~V sono espressi incoordinate cilindriche
~V = Vθ~i1 + Vz~i2 + VR~i3
~r = z~i2 + R~i3
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14.264
Bilancio Macroscopico del momento assiale
Il momento angolare polare ~Ltot ed assiale La rispetto all’asse diretto come~jdel volume di fluido contenuto nel sistema macroscopico sono definiti come:
~Ltot :=
∫V
(~r × ρ~V
)dV La,tot :=
∫V
RVθdm
L’equazione di bilancio macroscopico del momento assiale si scrive
dLa,tot
dt︸ ︷︷ ︸=0 se staz.
= −∆ [(< RVθ >) m]−∆(< pR >~i1 · ~S
)︸ ︷︷ ︸�1 se~i1⊥~S1,2
−(Ma,m + Ma,f
)︸ ︷︷ ︸=Ma
+ Ma,g︸︷︷︸=0 se ~g⊥~i1
avendo trascurato il contributo degli sforzi viscosi su S1 e S2 in cui:
Ma,m :=
∫Sw,m
[R(
p~n + τ · ~n)·~i1]
dS
Ma,f :=
∫Sw,f
[R(
p~n + τ · ~n)·~i1]
dS
Ma,g :=
∫V
R(~g ·~i1
)ρdV
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14.265
Coppia di una turbomachina
Sotto le ipotesi viste in precedenza, si ottiene la relazione fondamentale per ilcalcolo delle turbomacchine:
Ma = −∆ [m < RVϑ >]
per la quale:
Macchina Operatrice:
[< R2Vϑ2 > − < R1Vϑ1 >] > 0 ⇒ ∆ [< RVϑ >] > 0
⇒ Ma < 0⇒ ~Ma controverso a ~ω
Macchina Motrice:
[< R2Vϑ2 > − < R1Vϑ1 >] < 0 ⇒ ∆ [< RVϑ >] < 0
⇒ Ma > 0⇒ ~Ma equiverso a ~ω
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14.266
Potenza di una turbomachina
Potenza scambiata tra palettatura e ambiente esterno:
W = ~Ma · ~ω = −mω∆ [< RVϑ >]
Potenza specifica all’unità di massa elaborata dalla palettatura vale:
macchine radiali o a flusso misto:
Wm
= −∆ [< UVϑ >] dove U = ωR
macchine di tipo assiale (R1 = R2):
Wm
= −U∆ [< Vϑ >]
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14.267
Potenza di una turbomachina
Riassumendo:
Macchina Operatrice:
∆ [< RVϑ >] > 0⇒ Ma < 0⇒ W < 0
che rappresenta potenza assorbita da fornire all’albero della girante;
Macchina Motrice:
∆ [< RVϑ >] < 0⇒ Ma > 0⇒ W > 0
che rappresenta potenza disponibile all’albero.
Per ovviare all’inconveniente di attribuire una potenza negativa ad unamacchina operatrice si definisce la potenza relativa ad una turbomacchina nelseguente modo:
Macchina Operatrice:
WP := −W = +m∆ [< UVϑ >] > 0
Macchina Motrice
WT := +W = −m∆ [< UVϑ >] > 0
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14.268
Momento assiale e potenze scambiate tra palettaggi e cassa/girante
Momento assiale scambiato tra:
palettature statoriche e cassa della macchina:
ω = 0 Mstatorea = −m ∆
12[< RVϑ >] 6= 0
palettature della girante ed albero della macchina:
ω 6= 0 Mgirantea = −m ∆
23[< RVϑ >] 6= 0
La macchina è sollecitata da un momento torcente sia nel caso di una schieradi pale statorica che rotorica.
Per le potenze si ottiene:
per le palettature statoriche:
ω = 0 W = Mstatorea ω ≡ 0
mentre per quelli della girante:
ω 6= 0 W = Mgirantea ω 6= 0
Lo scambio di energia della macchina con il mondo esterno può avvenire solomediante la girante.
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14.269
Equazione di Eulero delle Turbomacchine
Bilancio macroscopico conservazione momento quantità di moto:
Wm
= −∆ [< UCu >]
Bilancio macroscopico conservazione energia:
Wm
= −∆
[12< C2 > +φ+ h
]+
Qm
Per un gas ∆ [φ]� 1, e quindi:
Wm
= −∆
[h +
12< C2 >
]+
Qm
= −∆ [h0] +Qm
Per confronto, si ottiene la relazione fondamentale delle turbomacchine(Equazione di Eulero):
∆ [h0] = ∆ [< UCu >] = −Wm
se il sistema è adiabatico (Q = 0)
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14.270
Equazione di base per il calcolo dei rendimenti
La relazione di Eulero per le turbomacchine si scrive:
∆
[h0
]︸ ︷︷ ︸
(1)
= ∆
[UCu
]︸ ︷︷ ︸
(2)
+Qm︸︷︷︸(3)
= −Wm︸ ︷︷ ︸
(4)
+Qm︸︷︷︸(3)
e mette in relazione fra loro:
1 Variazione entalpia di ristagno ∆ [h0]
2 Variazione del momento angolare ∆ [UCu ] nelle sue componentivorticose;
3 Perdite di energia meccanica o calore scambiato con l’esterno;Valutazione delle perdite meccaniche tramite il coefficiente di perdita dienergia meccanica Ev oppure tramite la misura diretta della variazione dientropia ∆s nel processo in esame.
4 Lavoro scambiato con l’esterno.
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14.271
Rappresentazione a blocchi della Equazione di Eulero
! h0"# $%
!W
!m
! UCU[ ]=
=
=
Primo Principio
(sistema adiabatico Q
=0)
Con
serv
azio
ne
Mom
ento
Ang
olar
e
Equazione di Eulero delle Turbomacchine
Variazione Contenuto Energetico del Fluido
VariazioneMomento Angolare del Flusso
Lavoro scambiato con l’esterno
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14.272
Relazione fra momento angolare e moti vorticosi
Dal triangolo delle velocità si ricava:
W 2 = C2 + U2 − 2 UC cosα
Il termine UCu(= U C cosα) si può quindi calcolare come:
UCu =12
(C2 + U2 −W 2
)Inoltre:
C2 = C2u + C2
a
W 2 = W 2u + W 2
a
Sostituendo e notando che per costruzione Ca = Wa, si ricava
∆ [UCu ] = ∆
[C2
2+
U2
2−
W 2
2
]= ∆
[C2
u
2+
U2
2−
W 2u
2
]
Questa relazione mostra che le uniche componenti di velocità checontribuiscono a variare il momento di quantità di moto sono quellecirconferenziali, ovvero quelle associate al moto vorticoso assoluto (Cu),relativo (Wu), ed al moto di rotazione rigido attorno all’asse (U).
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14.273
Entalpia rotazionale di ristagno
In un sistema adiabatico Q = 0, ed eliminando ∆ [UCu ] dalle due espressioni∆ [h] + ∆[
C2
2
]−∆ [UCu ] = 0
∆ [UCu ] = ∆[
C2
2 + U2
2 −W 2
2
]si ottiene:
∆
[h +
W 2
2−
U2
2
]= 0⇒ ∆ [I0] = 0
in cui la "Rotalpia" di ristagno o "Entalpia rotazionale" di ristagno I0 vale
I0 := h +W 2
2−
U2
2= h0,rel −
U2
2(43)
e l’Entalpia relativa di ristagno é definita:
h0,rel := h +W 2
2
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14.274
Invarianti per stadi statorici e rotorici
Attraverso un palettaggio non rotante:
∆ [h0] = ∆
[h +
C2
2
]= 0⇒ h0 = const
Attraverso un palettaggio rotante a ω costante
macchina a flusso assiale, ∆[U2/2
]= 0:
∆ [h0,rel ] = ∆
[h +
W 2
2
]= 0⇒ h0,rel = const
macchina a flusso misto, ∆[U2/2
]6= 0:
∆ [I0] = ∆
[h +
W 2
2−
U2
2
]= 0⇒ I0 = const
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14.275
Caso del gas ideale
Per un gas ideale (termicamente e caloricamente perfetto):
∆ [h0] = cp∆ [T0] = ∆
[C2
2+
U2
2−
W 2
2
]
dividendo per h0,1 = cpT01 si ricava:
∆ [T0]
T01=
∆ [UCu ]
cpT01=
1cpT01
(∆
[C2
2−
W 2
2+
U2
2
])
in cui
∆ [T0] = ∆ [T0]Rotore + ∆ [T0]Statore = ∆ [T0]Rotore
perché
∆ [T0]Statore = 0
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14.276
Grado di Reazione
Per uno stadio statorico individuato dagli stati (1) e (2), ed uno stadio rotoricoindividuato dagli stati (2) e (3), l’Equazione di Eulero suggerisce che:
∆1,3 [h0] = ∆2,3 [h0] = ∆2,3
[h +
C2
2
]= ∆2,3
[C2
2+
U2
2−
W 2
2
]
si ricava che la variazione di entalpia statica ∆1,2 [h] attraverso il rotore vale
∆2,3 [h] = ∆2,3
[U2
2−
W 2
2
]
Si definisce grado di reazione il rapporto tra variazione di entalpia staticaattraverso il rotore e quella attraverso tutto lo stadio:
R :=∆2,3 [h]
∆1,3 [h]=
∆2,3
[U2
2−
W 2
2
]∆1,3 [h]
= 1−∆2,3
[C2
2
]∆1,3 [h]
(44)
Nel caso di stadio ripetuto, cioè tale per cui C1 = C3, il salto di entalpia staticaattraverso lo stadio è pari al salto di entalpia totale, essendo:
∆1,3 [h] = ∆1,3 [h0]−∆1,3
[C2
2
]= ∆1,3 [h0]
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14.277
Classificazione in base al Grado di Reazione
Si ottiene quindi la relazione:
∆2,3
[C2
2
]= (1− R) ∆1,3 [h0] = (1− R) ∆2,3 [UCu ]
che permette di classificare le turbomacchine in base al grado di reazione:
macchine ad azione (ad impulso) (R = 0): la variazione di energiatotale del flusso è dovuta interamente alla variazione di energia cinetica,non avendosi variazione di entalpia statica attraverso la girante;
macchine a reazione (0 < R < 1): l’energia fornita al flusso è in parte ditipo statico ed in parte di tipo cinetico;
macchine a reazione pura (R = 1): producono una variazione dientalpia statica pari a quella totale (energia cinetica costante).
L’entità delle perdite attraverso lo stadio è fortemente influenzata dalla sceltadel grado di reazione, ovvero di come si distribuisce il carico di lavoro fra lacomponenente staorica e rotorica dello stadio.
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14.278
Grado di reazione per uno stadio ripetuto a velocità assiale costante
Nel caso in cui:
C1 = C3
Ca1 = Ca2 = Ca3
si perviene ad un’espressione molto semplice:
R =h3 − h2
h03 − h01=
h03 − h02 − (C23 − C2
2 )/2h03 − h02
= 1−C2
3 − C22
2(h03 − h02)=
= 1−C2
a3+ C2
θ3− C2
a2− C2
θ2
2U(Cθ3 − Cθ2 )= 1−
Cθ3 + Cθ2
2U