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Sapienza - Universita di Roma

Metodi di analisi delle turbomacchine

Mauro Valorani, Francesco Nasuti

Indice

Parte 1. Metodi di analisi delle turbomacchine 1

Capitolo 1. Equazioni del moto dei fluidi 31.1. Equazioni di stato dei fluidi 31.2. Bilanci microscopici dei sistemi isotermi 61.2.1. Equazione di conservazione della massa 61.2.2. Equazioni del moto 81.2.3. Equazione di conservazione della quantita di moto 121.2.4. Equazione di conservazione dell’energia meccanica 141.3. Bilanci macroscopici di sistemi isotermi 151.3.1. Relazione tra bilanci microscopici e macroscopici 161.3.2. Bilancio macroscopico di conservazione della massa del sistema 161.3.3. Bilancio macroscopico di conservazione della quantita di moto del sistema 171.3.4. Bilancio macroscopico dell’energia meccanica di un sistema isotermo 181.3.5. Bilancio macroscopico dell’energia di un sistema isotermo 201.3.6. Relazione fra grandezze micro e macroscopiche 221.4. Bilanci microscopici dei sistemi non isotermi 231.4.1. Primo principio applicato ai campi fluidi 231.4.1.1. Trattazione Euleriana 231.4.1.2. Trattazione Lagrangiana 241.4.2. Primo principio ed equazioni del moto per un flusso compressibile 241.4.2.1. Caso di flusso compressibile ed isotermo 251.4.3. Primo principio ed equazioni del moto per un flusso incompressibile 261.4.4. Conservazione entalpia, entalpia libera e pressione totali lungo una traiettoria 261.4.5. Bilancio dell’energia interna in un volume elementare 271.5. Bilanci macroscopici per sistemi non isotermi 291.5.1. Bilancio dell’energia totale 291.5.2. Altri bilanci di energia 301.6. Bilanci del momento di quantita di moto 311.6.1. Bilancio microscopico del momento di quantita di moto 311.6.2. Bilancio macroscopico di conservazione del momento della quantita di moto 35Bibliografia 38

Capitolo 2. Il flusso nelle turbomacchine 392.1. Moto relativo e moto assoluto 402.1.1. Relazione tra velocita assolute e relative 402.1.2. Stazionarieta nel Moto Relativo 422.1.3. Relazione tra accelerazione assoluta e relativa 422.1.4. Potenziale dell’accelerazione centripeta 442.1.5. Momento assiale delle forze apparenti 442.1.6. Equazione di continuita 462.1.7. Equazioni del moto 462.1.8. Equazione dell’energia nel moto relativo 472.1.9. Bilancio della quantita di moto relativa 47

iii

iv INDICE

2.1.10. Bilancio del momento della quantita di moto 482.2. Flusso nel piano delle superfici di corrente 492.3. Flusso nel piano meridiano 492.3.1. Vortice libero e vortice forzato 502.3.2. Relazione fra flusso assiale e tipo di vortice 51Bibliografia 52

Capitolo 3. Prestazioni delle turbomacchine 533.1. Equazione di Eulero delle Turbomacchine 533.2. Relazione fra momento angolare e moti vorticosi 553.3. Variazione energia totale 553.3.1. Compressione di un liquido 563.3.2. Espansione adiabatica di un gas 563.4. Rendimenti 563.4.1. Rendimento di pompe 573.4.2. Rendimento di turbine 583.4.2.1. Rendimento adiabatico 583.4.2.2. Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico 603.4.2.3. Rendimento di una macchina pluristadio 603.4.2.4. Rendimento politropico 613.4.3. Rendimento di ugelli 623.4.4. Rendimento di diffusori 633.5. Grado di Reazione 643.6. Relazione fra momento angolare e salto di pressione 643.6.1. Pompa 653.6.2. Turbina 653.7. Analisi delle perdite 663.8. Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale 673.8.1. Turbomacchine idrauliche 673.8.2. Turbomacchine termiche 703.8.3. Costruzione del diagramma fondamentale delle turbomacchine 723.8.4. Applicazioni dell’analisi dimensionale 74Bibliografia 74

Parte 2. Il funzionamento di pompe e turbine 75

Capitolo 4. Studio delle pompe 774.1. Generalita 774.2. Analisi del funzionamento delle pompe 784.2.1. Curve caratteristiche delle pompe 784.2.2. Grado di reazione e triangolo delle velocita 794.2.3. Limiti di funzionamento 814.2.4. Effetto della prerotazione sull’ingresso della pompa 814.2.5. Scelta del numero di pale e dell’angolo β2 824.3. Effetto del flusso reale sulle prestazioni della pompa 824.4. Fattore di scorrimento 854.4.1. Trattazione di Stodola 854.4.2. Trattazione di Busemann 864.4.3. Trattazione di Stanitz 864.4.4. Trattazione di Pfleiderer 874.5. Analisi della diffusione 884.5.1. Diffusore liscio 884.5.2. Diffusore palettato 89

INDICE v

4.5.3. Voluta 894.5.3.1. Voluta a pareti piane parallele 904.5.3.2. Voluta a pareti piane divergenti 904.5.3.3. Voluta a sezione circolare 914.6. Calcolo delle curve reali 914.6.1. Stima delle perdite 914.6.1.1. Perdite per ventilazione 914.6.1.2. Perdite per attrito 924.6.1.3. Perdite per urti 934.6.1.4. Girante 934.6.1.5. Diffusore 944.6.2. Curve caratteristiche reali e rendimento idraulico delle pompe 954.7. Cavitazione 974.7.1. Fenomenologia 974.7.2. Teoria della cavitazione 984.7.3. Il Net Positive Suction Head 994.7.4. Similitudine in cavitazione 1004.7.5. L’effetto TSH (Thermodynamic Suppression Head) 1014.7.6. Relazione fra NPSH e angolo di ingresso delle pale 1024.8. Relazione fra numero di giri specifico e geometria della pompa 1034.9. Progettazione del bordo di attacco 1044.9.1. Determinazione del bordo di attacco che minimizza le perdite 1044.9.2. Progettazione del bordo di attacco per minimo NPSH 1054.10. Perdite di portata attraverso le tenute 1064.11. Carichi radiali e assiali nelle turbopompe 1074.11.1. Bilanciamento carichi radiali nella voluta a sezione circolare 1084.11.2. Bilanciamento carichi assiali 1084.12. Esempio: calcolo delle prestazioni di una pompa centrifuga 1104.12.1. Le prestazioni di riferimento della girante 1104.12.2. Test eseguiti sul programma 1114.12.3. Calcolo delle prestazioni di riferimento 1124.12.4. Cavitazione 1144.12.5. Variazione dell’inclinazione delle pale 1154.12.6. Effetto dello swirl 115Bibliografia 117

Capitolo 5. Studio delle Turbine 1195.1. Analisi termodinamica dello stadio 1195.1.1. Analisi del condotto fisso 1205.1.2. Analisi del condotto rotante 1225.1.3. Accoppiamento statore-rotore della turbina 1235.1.4. Grado di reazione cinematico e termodinamico 1255.1.5. Relazione fra triangoli di velocita e grado di reazione 1265.1.6. Ripartizione dei salti entalpici 1285.2. Prestazioni di schiere di pale 1305.3. Perdite nelle turbine 1305.3.1. Perdite di profilo 1325.3.2. Perdite secondarie 1335.3.3. Perdite per urto 1335.3.4. Perdite di tip leakage 1345.3.5. Modello di Soderberg 1355.3.6. Modello di Ainley - Mathieson 136

vi INDICE

5.3.6.1. Perdite di profilo 1365.3.6.2. Perdite secondarie e di tip clearance 1395.3.7. Modello di Dunam-Came 1405.3.8. Modello di Kacker e Okapuu-Moustapha 1415.3.9. Prestazioni fuori progetto: Modello di Moustapha 1445.4. Turbine ad azione monostadio 1455.4.1. Scelta del palettaggio 1455.4.2. Quantificazione delle perdite 1465.4.3. Limiti prestazionali 1485.5. Turbina ad azione a salti di velocita 1485.5.1. Rendimento 1505.6. Turbina ad azione a salti di pressione 1515.6.1. Rendimento 1525.6.1.1. Confronto tra monostadio e pluristadio 1535.6.2. Analisi delle perdite di portata attraverso una turbina a salti di pressione 1535.7. Curve caratteristiche 1545.7.1. Analisi delle curve sperimentali e problematiche connesse 1545.7.1.1. Trasformazioni reali e indice della politropica 1565.7.2. Prestazioni di fuori progetto di macchine a stadio singolo 1585.7.3. Prestazioni di fuori progetto di macchine multistadio 1585.7.3.1. Metodo di Stodola per un numero infinito di stadi 1585.7.3.2. Metodo di Stodola per un numero finito di stadi 160Bibliografia 161

Elenco delle figure 163

Elenco delle tabelle 167

Parte 1

Metodi di analisi delle turbomacchine

CAPITOLO 1

Equazioni del moto dei fluidi

I modelli matematici atti a descrivere il comportamento dei flussi di interesse nelle turbomacchinepossono essere classificati in diversi modi, che dipendono innanzitutto dal tipo di fluido considerato.Il tipo di fluido determina le equazioni di stato del fluido, che permettono di mettere in relazionetra loro le variabili che ne definiscono lo stato termodinamico, e le sue proprieta termodinamiche.

Una prima distinzione deve quindi essere fatta fra modelli per flussi compressibili (gas freddie caldi, vapori), definiti con buona approssimazione come quei flussi in cui il numero di Mach esuperiore a ∼0.3, da quelli per flussi incompressibili (liquidi, gas defluenti a bassa velocita), per iquali il numero di Mach e inferiore a ∼0.3.

Una seconda distinzione puo essere operata fra sistemi isotermi, ovvero sistemi per i quali latemperatura puo ritenersi costante, e sistemi non-isotermi per i quali e indispensabile ricorrere alleleggi di bilancio dell’energia nelle sue varie forme per chiudere il sistema di equazioni di governo.

Inoltre bisognera distinguere fra flussi descritti rispetto ad un sistema di riferimento inerziale1

(moto assoluto) da quelli espressi rispetto ad un riferimento in moto non inerziale, quale, ad esempio,la girante della turbomacchina (moto relativo).

Ci sara inoltre d’aiuto distinguere una descrizione microscopica dei bilanci di massa, quantitadi moto, energia che puo ulteriormente essere distinta nella descrizione Euleriana e in quella La-grangiana, da una descrizione macroscopica del sistema “turbomacchina” inteso nel suo assieme.L’approccio macroscopico richiede l’introduzione di approssimazioni piu forti di quelle normalmenterichieste dall’approccio microscopico. Offre pero il vantaggio di descrivere il comportamento dell’in-tero sistema mediante relazioni algebriche o modelli alle derivate ordinarie al contrario dell’approcciomicroscopico che fornisce modelli basati su equazioni alle derivate parziali.

1.1. Equazioni di stato dei fluidi

In termodinamica si intende per fluido un corpo il cui stato termodinamico e definito da duevariabili indipendenti. In tal senso sono fluidi gli aeriformi (gas o vapori) e i liquidi. Per essi esistonodelle equazioni di stato che permettono di calcolare le altre variabili di stato [1].

Nel caso dei gas vale l’equazione di stato dei gas ideali se lo stato termodinamico del gas esufficientemente lontano da quello critico. In tal caso vale l’equazione di stato:

(1.1) p = ρRT

e, per l’energia interna

(1.2) du = cvdT + pdv

In particolare per i gas termicamente e caloricamente perfetti l’equazione di stato e quella caloricasono:

(1.3)p = ρRTh = cpT + h

mentre l’entropia si calcola come

(1.4) s = s+ cp lnT

T−R ln

p

p

dove i valori soprasegnati sono opportuni valori di riferimento.

1Si intende qui per inerziale un sistema di riferimento che puo essere considerato tale per il problema di interesse.

3

4 1. EQUAZIONI DEL MOTO DEI FLUIDI

Dall’altra parte, nel campo dei liquidi, definiti come fluidi in cui la densita varia molto poco acausa di variazioni di pressione (le variazioni sono poco piu elevate di quelle che si hanno nei solidi),in genere si considera la densita costante, e quindi l’equazione di stato si riduce a:

(1.5) ρ = costante

Questa approssimazione non e sempre valida: ad esempio per l’idrogeno liquido sottoposto ad elevatepressioni bisogna tener conto della possibile variazione di densita. E’ anche il caso di liquidi sottopostia variazioni di temperatura, che hanno come conseguenza una variazione di densita. In questi casi,non essendoci equazioni di stato per solidi e liquidi di validita generale come nel caso dei gas, ericordando ancora che il volume di solidi e liquidi varia poco con la pressione purche le variazionidi pressione non siano troppo grandi, vengono definiti dei parametri che permettono di scrivereun’equazione di stato approssimata, valida in un campo limitato di temperature e pressioni. Siricorre in questi casi ai coefficienti di espansione termica e di compressibilita isoterma:

(1.6) α = −1ρ

(∂ρ

∂T

)p

coefficiente di espansione termica

(1.7) β =1ρ

(∂ρ

∂p

)T

coefficiente di compressibilita isoterma

e integrando in un intorno di una condizione di riferimento la

(1.8) dρ =(∂ρ

∂p

)T

dp+(∂ρ

∂T

)p

dT

dopo aver diviso per ρ

(1.9)dρ

ρ=

1ρ

(∂ρ

∂p

)T

dp+1ρ

(∂ρ

∂T

)p

dT = βdp− αdT

si ottiene

(1.10) ρ = keβp−αT

con

(1.11) k = ρe−βp+αT

(a) (b)

Figura 1.1. Diagramma di stato dell’idrogeno [2].

Gli stati di gas e liquido coprono buona parte del campo di esistenza dei fluidi, tuttavia esistonoregioni in cui il fluido si comporta diversamente da un gas ideale e da un liquido. Cio accade in genere

1.1. EQUAZIONI DI STATO DEI FLUIDI 5

per valori molto elevati di pressione. Piu precisamente quando la pressione del fluido e superiore aquella critica. Osservando il diagramma di stato dell’idrogeno si individuano le diverse regioni.

Nei diagrammi di stato temperatura-pressione e entalpia-pressione (Fig. 1.1) si osserva nellaregione piu a sinistra (basse temperature) la fase solida. Quindi la curva che separa gli stati solido eliquido, la fase liquida, la curva di separazione tra gli stati liquido e vapore che va dal punto triploal punto critico e la zona di vapore o gas. Nel piano entalpia-pressione si puo osservare l’estensionedelle regioni di transizione di fase (liquido-solido e liquido-vapore) che invece collassano in una lineanel piano T-p. In entrambi i diagrammi si puo osservare che per pressioni sufficientemente elevate ein particolare se superiori a quella critica, la fase non e individuata ne come solida, ne come liquida,ne come gas o vapore, ma come “fluid” o “fluido supercritico”. E’ interessante notare che, passandoattraverso lo stato di fluido supercritico, e possibile passare dallo stato gassoso a quello liquido (oviceversa) in maniera continua, senza attraversare una zona bifase.

Nel campo delle applicazioni degli endoreattori a propellente liquido i fluidi si trovano spesso incondizioni di pressione e temperatura prossime o superiori a quelle critiche. In questo caso quindibisogna tener conto che il comportamento del fluido supercritico e diverso sia da quello dei liquidisia da quello dei gas e, man mano che lo stato si avvicina a quello critico, l’equazione di stato delgas si allontana da quella dei gas ideali. In queste condizioni che riguardano la condizione di gas“reale”, di vapore, di miscela liquido-vapore e di fluido supercritico, valgono altre equazioni di statoche a seconda dei campi di applicazione assumono espressioni diverse. Equazioni di questo tipo sonoad esempio le equazioni di Van der Waals:

p =ρRT

1− bρ− aρ2 (a,b, costanti del fluido)(1.12)

di Bettie-Bridgeman:

p = ρRT (1− ε)(1 +Bρ)−Aρ2(1.13)

con A = A0(1− aρ); B = B0(1− bρ); ε = cρ/T 3 (a,b,c,A0,B0 costanti del fluido)

la legge degli stati corrispondenti:

p = ZρRT con Z = f(p/pcr, T/Tcr)(1.14)

dove con pcr e Tcr sono indicate la pressionee la temperatura critica, o equazioni di stato piu complessebasate su un numero maggiore di coefficienti determinati sperimentalmente quale ad esempio la leggedi Benedict-Webb-Rubin [].

Lo scostamento dell’equazione di stato da quella dei gas ideali puo essere misurato dal fattoredi compressibilita, indicato di solito con Z = p/(ρRT ). Ad esempio il comportamento di Z perl’idrogeno al variare di pressione e temperatura e illustrato in Fig. 1.2a. Sono riportati i valori diZ che indicano uno scostamento dell’1%, del 5% e del 10%. Si osserva quindi che l’equazione distato dei gas ideali approssima abbastanza bene il comportamento dell’idrogeno per temperatureabbastanza piu elevate di quella critica (T & 100K) e pressioni anche largamente superiori a quellacritica nel campo delle alte temperature. La Fig. 1.2b, che mostra l’andamento della densita (inkg/m3) al variare di pressione e temperatura, permette di osservare che effettivamente le variazionidi densita nel campo liquido sono limitate anche per forti variazioni di pressione, sebbene l’idrogenosia il liquido con maggiore compressibilita.

Nello studio dei fluidi di interesse e quindi sempre importante sapere quanto le condizioni ope-rative sono lontane da quella critica. Per questa ragione i valori delle variabili critiche di alcuni deipiu comuni propellenti impiegati negli endoreattori a propellente liquido sono riportati in Tab. 1.1.


(a) (b)

Figura 1.2. Diagramma di stato dell’idrogeno e validita dell’equazione di stato deigas ideali.

Fluido pcr (bar) Tcr (K) ρcr (kg/m3)Acqua 221.0 647.3 321Elio 2.3 5.2 68.9Idrazina 147.0 653.0 -Idrogeno 13.0 33.2 31.1Metano 46.1 190.6 162.7MMH 82.4 567.0 -Ossigeno 50.4 154.6 435.2Ottano 25 569.4 235Tetrossido di Azotoa 99.3 431.4 -UDMHa 59.8 523 -a Dati tratti da [3]

Tabella 1.1. Grandezze critiche per alcuni dei propellenti piu comuni (i valoridell’acqua sono riportati per confronto).

1.2. Bilanci microscopici dei sistemi isotermi

Con questa definizione si indicano le relazioni che esprimono le leggi di conservazione della massa,e di bilancio della quantita di moto e dell’energia meccanica riferite ad un campo di flusso di sostanzegassose o liquide. In questa sezione si ricaveranno in particolare le equazioni del moto della singolaparticella fluida da cui derivano le equazioni differenziali di governo.

Si daranno per acquisite le principali definizioni che riguardano la cinematica della particella,ovvero le definizioni di velocita, accelerazione e di tensore di deformazione del campo fluidodinamico.Il lettore interessato ad approfondire questi argomenti potra trovare un ampia trattazione dellacinematica dei campi di flusso su numerosi testi classici (si veda ad esempio Batchelor [4] o Vavra [5]).

1.2.1. Equazione di conservazione della massa. Una particella di fluido con massa infini-tesima dm, densita ρ e volume dV, tali che:

(1.15) dm = ρdV

1.2. BILANCI MICROSCOPICI DEI SISTEMI ISOTERMI 7

si muove con velocita ~V in un campo di flusso spazialmente non uniforme e in generale variabilenel tempo. La massa di tale particella deve rimanere costante nel tempo. Pertanto la derivatasostanziale di dm deve essere nulla, ovvero:

D

Dt(dm) = 0 = ρ

D

Dt(dV) +

Dρ

DtdV

dove si e impiegata la definizione di derivata sostanziale che riportiamo di seguito2:D

Dt(.) =

∂

∂t(.) + ~V · ∇(.)

La divergenza del campo di velocita e definita come:

∇ · ~V :=1dV

D

Dt(dV)

Dalla definizione, si ricava che la divergenza del campo e la velocita di variazione nel tempo delvolume della particella (dilatazione) lungo la sua traiettoria. Si ricava cosı che:

Dρ

DtdV + ρ(∇ · ~V )dV = 0

da cui si ottengono due forme equivalenti dell’equazione di conservazione della massa:la forma Lagrangiana:

(1.16)1ρ

Dρ

Dt= −(∇ · ~V )

che per un flusso a densita costante (incompressibile) suggerisce che:

(1.17) ∇ · ~V = 0

ovvero che il flusso e a divergenza nulla.la forma Euleriana:

(1.18)Dρ

Dt+ ρ(∇ · ~V ) = 0

in forma non conservativa. Da questa, applicando la definizione di derivata sostanziale, siottiene:

∂ρ

∂t+ ~V · ∇ρ+ ρ

(∇ · ~V

)= 0

arrivando cosı alla forma conservativa (differenziale):

(1.19)∂ρ

∂t+∇ · (ρ~V ) = 0

La forma Euleriana conservativa integrata sul volume V di un sistema esteso delimitatodalla superficie S che ha normale esterna ~n, fornisce il risultato:∫

V

∂ρ

∂tdV = −

∫V

∇ · (ρ~V )dV

∂

∂t

∫V

ρdV

= −∫S

ρ(~V · ~n)dS

ovvero:

(1.20)∂

∂t(m) = −

∫S

ρ(~V · ~n)dS

2Si utilizza di seguito il simbolo D/Dt per la derivata sostanziale. In alcuni testi (p.es. [5]) si utilizza per lo stessosignificato il simbolo D/dt, consistente con l’approccio seguito per la manipolazione delle equazioni differenziali.


dove:m =

∫V

ρdV

ovvero che la massa totale del sistema racchiuso nel volume V puo variare nel temposolamente a seguito di un flusso di massa netto non nullo attraverso il bordo S di V.

1.2.2. Equazioni del moto. La legge di Newton (2a legge della dinamica) applicata ad unaparticella di massa elementare dm, accelerazione ~a e soggetta ad una forza d~F fornisce la relazione:

(1.21) d~F = ~adm

La forza d~F puo essere decomposta in modo del tutto generale evidenziando i contributi cheagiscono sulla superficie della particella rispetto a quelli che agiscono sul volume stesso:

(1.22) d~F = d~Fsup + d~Fvol

Forze di volumePer le forze di volume si considereranno solo quelle dovute al campo gravitazionale:

d~Fvol = ~gdm = ~gρdV

Se il campo gravitazionale e conservativo allora ammette l’esistenza di una funzione potenzialeφ tale che:

φ = |~g| z~g = −∇φ

In tal caso le forze di volume potranno scriversi come:

(1.23) d~Fvol = ~gdm = −∇φρdV

Per ottenere l’espressione dell’accelerazione resta quindi da determinare il termine d~Fsup/dV,come descritto nel prossimo paragrafo.Forze di superficie

La forza d~Fsup agente su una faccia di area dS con normale ~n e definita come:

d~Fsup := (σ~n+ τ~t)dS

dove σ e τ sono le componenti di d~Fsup nella direzione rispettivamente normale e tangenziale allafaccia dS. La forza ~Sn per unita di area si puo percio ricavare come:

~Sn :=d~Fsup

dS= σ~n+ τ~t

In base a questa definizione si possono ricavare gli sforzi riferiti alle facce del volumetto dicontrollo che hanno normali lungo le direzioni degli assi del sistema di riferimento x, y e z, individuatidai versori ~i, ~j, e ~k rispettivamente:

~Sx = σx~i+(τxy~j + τxz~k

)~Sy = σy~j +

(τyx~i+ τyz~k

)~Sz = σz~k +

(τzx~i+ τzy~j

)Si puo dimostrare che d~Fsup puo essere calcolato tramite la relazione:

(1.24) d~Fsup = (∇ ·Π)dV


in cui Π e il tensore degli sforzi [4,5], definito come:

(1.25) Π =

σx τyx τzxτxy σy τzyτxz τyz σz

La forza ~Sn agente su una faccia del volumetto di controllo si puo calcolare a partire dal tensore

degli sforzi tramite le relazioni:

~Sn = ~n ·Π = Π · ~n

in quanto il tensore degli sforzi e simmetrico. Le tensioni σn e τij possono essere ricavate da ~Sntramite le relazioni:

σ =(~n ·Π

)· ~n = ~Sn · ~n

τ =(~n ·Π

)· ~t = ~Sn · ~t

Poiche per flussi non viscosi, i termini fuori diagonale di Π sono identicamente nulli, si ha che ivalori sulla diagonale principale sono tutti eguali a pari alla pressione termodinamica p:

Π = −σI = −pIIl legame esistente fra sforzi e deformazioni in un fluido Newtoniano, si puo esprimere tramite le

relazioni:Π = −τ − pI

con:

τ = −2µ[

Ψ− 13

(∇ · ~V )I]

in cui µ e la viscosita dinamica del fluido, ed il tensore simmetrico di deformazione (tensore distretching) Ψ e definito come il tensore simmetrico3:

Ψ =12

[∇~V + (∇~V )T

]che rappresenta la parte simmetrica del tensore ∇~V .

Riassumendo, d~Fsup/dV si puo determinare mediante la seguente sequenza di passaggi:

d~Fsup

dV= ∇ ·Π

= ∇ ·[2µΨ

]−∇ ·

[23µ(∇ · ~V )I

]−∇ ·

[pI]

= ∇ ·[2µΨ

]−∇ ·

[23µ(∇ · ~V )I

]−∇p

= −∇ · τ −∇povvero:

d~Fsup

dV=d~FviscdV

+d~FpresdV

= −∇ · τ −∇pin cui:

3(∇~V )T e il vettore “trasposto”, che si puo ottenere scambiando righe e colonne della matrice dei coefficienti, e lacui definizione e come quell’operatore tale che:

∀~a,~b⇒ [(∇~V ) · ~a] ·~b = [(∇~V )T ·~b] · ~a


d~FviscdV

= −∇ · τ

d ~FpresdV

= −∇p

Se si introduce il simbolo ~f tale che:

~f =d~FviscρdV

si ha che l’espressione piu generale delle forze di superficie e:

(1.26)d~Fsup

dV= ρ~f −∇p

In particolare poi, si puo verificare che per flussi con viscosita variabile, si ha:

ρ~f =d~FviscdV

= −∇ · τ = (∇µ) ·[

2Ψ− 23

(∇ · ~V )I]

+ µ

[∇2~V +

13∇(∇ · ~V )

]Se la viscosita e costante, si ha che il gradiente della viscosita ∇µ e identicamente nullo e quindi

ρ~f = µ

[∇2~V +

13

(∇ · ~V )]

Se anche la densita e costante , si ha che la divergenza di ~V e nulla e quindi:

ρ~f = µ∇2~V ⇒ ~f =µ

ρ∇2~V = ν∇2~V

dove ν e la viscosita cinematica del fluido. Si ottiene cosı che le forze di superficie per flussiincompressibili e a viscosita costante possono essere valutate con la relazione:

d~Fsup

dV= µ∇2~V −∇p

Espressioni delle equazioni del motoSostituendo (1.22), (1.23) e (1.26) in (1.21), si arriva alla valutazione dell’accelerazione lineare

della particella:

~a =1ρ

d~F

dV

= ~f − 1ρ∇p−∇φ

ovvero:

(1.27) ~a = ~f − 1ρ∇p−∇φ

Da questa espressione si deduce che la particella puo variare la sua velocita a causa dell’azionecombinata o isolata degli sforzi di attrito, delle forze di pressione e dall’azione baroclinica dellagravita.

L’accelerazione della particella in un campo di flusso si puo ricavare come derivata sostanzialedella velocita della particella stessa:

(1.28) ~a =D

Dt(~V ) =

∂

∂t(~V ) +

(~V · ∇

)~V


e quindi si ha che l’equazione del moto puo scriversi in diverse forme a seconda se l’accelerazioneviene espressa in forma Lagrangiana o Euleriana.

Sostituendo le diverse espressioni dell’accelerazione (1.28) nella relazione (1.27), si ottengono leequazioni del moto:

(1.29) ~a =D

Dt(~V ) =

∂

∂t(~V ) +

(~V · ∇

)~V = ~f − 1

ρ∇p−∇φ

valide per flussi viscosi e compressibili (equazioni di Navier-Stokes), che possono essere espresse nelleforme:

D

Dt(~V ) = ~f − 1

ρ∇p−∇φ

∂

∂t(~V ) = −

(~V · ∇

)~V + ~f − 1

ρ∇p−∇φ

Se ~f e nulla, ovvero se il flusso e non viscoso, si ottiene:

D

Dt(~V ) = −1

ρ∇p−∇φ

∂

∂t(~V ) = −

(~V · ∇

)~V − 1

ρ∇p−∇φ

I due termini a secondo membro possono essere accorpati in virtu dell’identita:

∇(p

ρ

)=∇pρ− p

ρ

∇ρρ⇒ ∇p

ρ= ∇

(p

ρ

)+p

ρ

∇ρρ

per ottenere:

D

Dt(~V ) = −∇

(p

ρ+ φ

)− p

ρ

∇ρρ

∂

∂t(~V ) = −

(~V · ∇

)~V −∇

(p

ρ+ φ

)− p

ρ

∇ρρ

Qualora il flusso fosse incompressibile (a densita costante), si pensi al flusso di un liquido peresempio, si otterrebbero le relazioni:

D

Dt(~V ) = −∇

(p

ρ+ φ

)∂

∂t(~V ) = −

(~V · ∇

)~V −∇

(p

ρ+ φ

)Le equazioni del moto possono scriversi nella forma dovuta a Lamb, se si esprime l’accelerazione

in funzione del gradiente dell’energia cinetica e del rotore di velocita:

(1.30) ~a =∂

∂t(~V ) +

(~V · ∇

)~V =

∂

∂t(~V ) +∇

(V 2

2

)− ~V ×

(∇× ~V

)per ottenere:

∂

∂t(~V ) +∇

(V 2

2+ φ

)= ~V ×

(∇× ~V

)− ∇p

ρ+ ~f

oppure


∇(V 2

2+p

ρ+ φ

)= ~V ×

(∇× ~V

)− p

ρ

∇ρρ

+ ~f − ∂

∂t(~V )

Il termine in parentesi tonda a primo membro rappresenta l’energia totale, specifica all’unita dimassa, del fluido. Si puo subito notare che per un flusso stazionario, non viscoso, incompressibileed irrotazionale, l’energia totale e costante nello spazio (nel tempo si e assunta costante per viadell’ipotesi di stazionarieta). E’ questa una forma del teorema di Bernoulli che vedremo in seguito.

1.2.3. Equazione di conservazione della quantita di moto. Per definizione la quantita dimoto di una particella fluida vale:

ρ~V dV

La derivata temporale della quantita di moto fornisce quindi la relazione:

∂

∂t

(ρ~V)

= ρ

(∂~V

∂t

)+(∂ρ

∂t

)~V

Sostituendo l’espressione per l’accelerazione della particella ricavata dalle equazioni del moto:

ρ∂~V

∂t= −ρ

(~V · ∇

)~V +

[−∇ · τ −∇p

]− ρ∇φ

e la derivata temporale della densita ricavata dall’equazione di conservazione della massa

∂ρ

∂t= −ρ

(∇ · ~V

)−∇ρ · ~V

si ottiene:

∂

∂t

(ρ~V)

= −ρ(~V · ∇

)~V +

[−∇ · τ −∇p

]− ρ∇φ− ρ

(∇ · ~V

)~V −∇ρ · ~V ~V

E poiche vale l’identita tensoriale:

∇ ·(ρ~V ~V

)= ρ

(~V · ∇

)~V + ρ

(∇ · ~V

)~V +∇ρ · ~V ~V

si ricava:

(1.31)∂

∂t

(ρ~V)

+∇ ·(ρ~V ~V

)=[−∇ · τ −∇p

]− ρ∇φ

Se si integra la precedente espressione sul volume occupato dal fluido si ha:

(1.32)∂

∂t

∫V

ρ~V dV = −

(1)︷︸︸︷∫V

∇ ·(ρ~V ~V

)dV +

(2)︷︸︸︷∫V

[−∇ · τ −∇p

]dV−

(3)︷︸︸︷∫V

ρ∇φdV

Analizziamo uno ad uno i vari contributi integrali. Il primo fornisce:

(1.33)∫V

∇ ·(ρ~V ~V

)dV =

∮S

ρ~V(~V · ~n

)dS =

∮S

~V dm

dove dm rappresenta la portata che attraversa la superficie dS.

dm = ρ(~V · ~n

)dS

Il secondo integrale si puo calcolare cosı:


(1.34)∫V

∇ ·ΠdV =∮S

~n ·ΠdS =∮S

~SndS =∮S

−p~ndS +∮S

τ~tdS

I due integrali curvilinei rappresentano il contributo alla variazione della quantita di moto delfluido dovuta all’azione congiunta degli sforzi normali e tangenziali agenti sulla superficie che delimitail volume occupato dal fluido.

Poiche vale l’identita:

ρ∇φ = ∇ (ρφ)− (∇ρ)φ

il terzo integrale si puo calcolare come segue:

(1.35)∫V

ρ∇φdV =∫V

∇ (ρφ)dV +∫V

∇ (ρ)φdV =∮S

ρφ~ndS−∫V

(∇ρ)φdV

Questa relazione evidenzia che non si riesce a trasformare per intero il terzo integrale di volumein integrali di superficie perche l’ultimo termine della espressione precedente e anch’esso un integraledi volume.

Il bordo di V, ovvero S, puo essere decomposto in tre zone, a seconda se il flusso entri nel volume,S1, esca dal volume, S2, o fluisca tangente ad una parete che contorna il volume, Sw. Percio S eottenibile come l’unione di queste tre zone: S = S1 +S2 +Sw. Gli integrali di superficie sono pertantocostituiti da tre contributi: quello della parte in cui entra il flusso, quello della parte in cui esce ilflusso, e quello delle eventuali pareti solide che contornano il volume V.

Il vettore ~F , cosı definito:

~F =∫Sw

(−p~n+ τ~t

)dS

rappresenta le forze che le pareti esercitano sul fluido, e si puo calcolare in virtu dei risultati(1.32)−(1.35) come:

(1.36) ~F =∫S2

~V dm−∫S1

~V dm−∫

S−Sw=S1+S2

(−p~n+ τ~t

)dS− ∂

∂t

∫V

ρ~V dV− ~G

dove l’ultimo termine ~G e definito come:

~G =∮S

ρφ~ndS−∫V

(∇ρ)φdV

I termini di integrale di volume sono molto onerosi da calcolare perche richiedono la conoscenza delcampo fluido all’interno dell’intero volume di controllo. Se il flusso e stazionario si possono metterea zero le derivate temporali:

∂

∂t(•) = 0

ed inoltre per i liquidi si ha che la densita e costante spazialmente e quindi il gradiente della densitae nullo:

∇ρ = 0

Il contributo di ~G e, in generale, di piccola entita sia per liquidi sia per gas e quindi si puo trascurare.In conclusione ~F puo calcolarsi, in buona approssimazione, come:


(1.37) ~F =∫S2

~V dm−∫S1

~V dm−∫

S−Sw=S1+S2

(−p~n+ τ~t

)dS

1.2.4. Equazione di conservazione dell’energia meccanica. L’energia meccanica dEmecdella particella fluida di massa ρdV si calcola facendo il prodotto scalare fra l’accelerazione dellaparticella e lo spazio infinitesimo d~r = ~V dt percorso dalla particella che si muove alla velocita ~V inun intervallo di tempo infinitesimo dt, ovvero secondo la relazione:

dEmec = ~V dt · ρD~V

DtdV = ρ

D

Dt

(12~V · ~V

)dtdV = ρ

D

Dt

(12V 2

)dtdV

Sostituendo l’equazione del moto in luogo dell’accelerazione si ottiene:

dEmec = ~V dt ·[−∇p+ ρ~f − ρ∇φ

]dV =

=[−(~V · ∇p

)−(~V ·(∇ · τ

))+ ρ

(~V · ~g

)]dtdV = ρ

D

Dt

(V 2

2

)dtdV

La variazione di energia cinetica di particella e valutabile percio come:

(1.38) ρD

Dt

(V 2

2

)= −∇ ·

(p~V)− p

(−∇ · ~V

)−∇ ·

(τ · ~V

)−(−τ : ∇~V

)+ ρ

(~V · ~g

)L’ultimo termine puo essere valutato come segue:

ρ(~V · ~g

)= −ρ

(~V · ∇φ

)= −ρDφ

Dt+ ρ

∂φ

∂tSe il campo e stazionario l’ultimo addendo e nullo, ed allora si puo accorpare la derivata totale

del potenziale gravitazionale insieme alla derivata totale dell’energia cinetica onde ottenere:

(1.39) ρD

Dt

(φ+

V 2

2

)= −

(1)

∇ ·(p~V)−

(2)

p(−∇ · ~V

)−

(3)

∇ ·(τ · ~V

)−

(4)(−τ : ∇~V

)Vediamo quale significato attribuire ai quattro contributi alla variazione di energia cinetica e

gravitazionale della particella, attraverso l’integrazione delle equazioni ottenute sul volume di fluidoV:

(1) lavoro forze di pressione sulle superfici che delimitano la particella fluida:

−∫V

∇ ·(p~V)dV = −

∮S

p(~V · ~n

)dS

(2) lavoro forze di pressione convertibile in energia interna reversibile, che e diverso da zero solonel caso di flusso comprimibile (∇ · ~V 6= 0), e in presenza di forti compressioni o espansioni(urti, espansioni centrate, ecc.):

−∫V

p(∇ · ~V

)dV

(3) lavoro forze viscose sulle superfici, che puo essere positivo o negativo:

−∫V

∇ ·(τ · ~V

)dV = −

∮S

τ ·(~V · ~n

)dS

1.3. BILANCI MACROSCOPICI DI SISTEMI ISOTERMI 15

(4) contributo sempre positivo che rappresenta la dissipazione di energia meccanica dovuteall’azione degli sforzi viscosi (processo irreversibile) in calore (in flussi ad alta velocita, inlubrificazione, ecc.):

−∫V

(τ : ∇~V

)dV > 0

Poiche sia il contributo (2) sia il (4) possono variare la temperatura del sistema, la definizione disistema isotermo deve essere intesa in senso debole, ovvero si considera isotermo un sistema in cui levariazioni di temperatura eventualmente causate dagli effetti (2) e (4) siano in prima approssimazionetrascurabili.

1.3. Bilanci macroscopici di sistemi isotermi

L’analisi di un sistema “esteso”, ad esempio il campo termofluidodinamico all’interno di unapompa o di una turbina, puo essere affrontata seguendo due strade:

(1) integrazione del sistema di equazioni differenziali valide per la particella (ricavate nel pre-cedente paragrafo) mediante tecniche di integrazione numerica (Fluidodinamica Computa-zionale, CFD);

(2) scrittura di opportune equazione di bilancio valide per il sistema nel suo complesso e, perquesto, indicati come bilanci macroscopici; questo secondo approccio consente di ottenererisultati molto utili con un modesto impegno computazionale. Il prezzo da pagare consi-ste nel dover adottare un certo numero di ipotesi semplificative che rendono la soluzionecomplessivamente meno accurata di quella ottenibile mediante CFD.

In questo paragrafo seguiremo il secondo approccio (vedere [6]). Cominceremo con lo scrivere laconservazione della massa per un sistema tipo (Fig. 1.3), per il quale varranno le seguenti ipotesi:

il volume V del sistema non varia nel tempo e nello spazio; la temperatura del fluido nel sistema si assume costante nel tempo e nello spazio; il sistema puo scambiare massa con l’ambiente esterno tramite due condotti aventi sezioni

trasversali di ingresso e uscita designate S1 ed S2 rispettivamente; si ipotizza che il campo di flusso sia distribuito in modo quasi-mono-dimensionale su S1 ed

S2; il sistema puo scambiare lavoro con l’ambiente esterno attraverso superfici mobili Sw,m che

modificano la forma del volume di fluido V; si assegna il segno positivo al lavoro W fatto dal sistema sull’ambiente esterno e negativo

quello ricevuto dall’ambiente esterno; il sistema puo scambiare calore con l’esterno: si considera positivo il calore Q ceduto

dall’ambiente esterno al sistema e negativo quello ceduto dal sistema all’ambiente esterno.

Figura 1.3. Schema di sistema macroscopico.


1.3.1. Relazione tra bilanci microscopici e macroscopici. Per scrivere le equazioni dibilancio del sistema macroscopico descritto in Fig. 1.3, si partira dalle equazioni di bilancio micro-scopiche studiate nei precedenti paragrafi. Queste equazioni dovranno essere valide anche all’internodel volume di fluido contenuto nel sistema macroscopico. Quindi per ottenere i bilanci macroscopicisi procedera semplicemente integrando i corrispondenti bilanci microscopici. Prima di fare questeoperazioni e opportuno ricordare le relazioni tra derivate temporali all’esterno e all’interno del segnodi integrale. Bisogna infatti osservare che, sebbene il volume sia costante, esso deve essere conside-rato ancora una funzione del tempo, a causa della presenza di superfici mobili al suo interno che necambiano la forma. Vale allora la nota formula di derivazione (si considera la generica grandezza f):

(1.40)d

dt

∫V

fdV =∫V

∂f

∂tdV +

∮S

f ~VS · ~ndS

dove ~VS indica la velocita con cui si muove la superficie S. Se il volume di riferimento e quello delsistema macroscopico appena descritto si ha quindi che l’integrale superficiale e diverso da zero sololungo le superfici mobili. La relazione che verra usata nel seguito e quindi la:

(1.41)∫V

∂f

∂tdV =

d

dt

∫V

fdV−∫

Sw,m

f ~VS · ~ndS

1.3.2. Bilancio macroscopico di conservazione della massa del sistema. La massa totaledel sistema si puo calcolare con l’integrale di volume:

(1.42) mtot =∫V

ρdV

Si puo valutare la variazione nel tempo della massa totale in funzione dei flussi entranti e uscentinel e dal sistema integrando l’Eq.(1.19) sul volume V occupato dal fluido nel sistema macroscopico,in modo simile a quello gia visto in precedenza nell’Eq.(1.20):

(1.43)∫V

∂ρ

∂tdV +

∫V

∇ · (ρ~V )dV = 0

Trasformando il secondo integrale di volume in integrale di superficie e utilizzando la Eq.(1.41) siottiene:

(1.44)d

dt

∫V

ρdV−∫

Sw,m

ρ~VS · ~ndS +∫S

ρ~V · ~ndS = 0

Indicando con Sw,f le pareti fisse:

(1.45)d

dt

∫V

ρdV +∫

Sw,m

ρ ~W · ~ndS +∫

S1+S2+Sw,f

ρ~V · ~ndS = 0

avendo indicato con ~W = ~V − ~VS la velocita del fluido relativa alle superfici mobili. E’ evidenteche su tutte le pareti gli integrali superficiali si annullano e quindi applicando le ipotesi di bilanciomacroscopico l’espressione si semplifica poiche le sole superfici interessate da flusso di massa sono lesezioni S1 ed S2.

(1.46)d

dt(mtot) = −ρ2V2S2 + ρ1V1S1


dove il valore univoco di velocita e densita deriva dall’ipotesi di flusso monodimensionale4 nellesezioni S1 ed S2. La portata di massa che attraversa la superficie di area S si puo quindi calcolarecome:

m =∫S

ρV dS

oppure, m = ρ < V > S (seguendo la trattazione di [6])

oppure, m = ρV S (nell’ipotesi di flusso monodimensionale)

(1.47)

Nella trattazione successiva si fara costantemente riferimento alle ipotesi di [6] e riportate nella nota.Infine, si introduce l’operatore ∆ (•) definito come:

∆ (•) = (•)2 − (•)1

che rappresenta la differenza fra il valore di una generica variabile valutato all’uscita del sistemameno quello valutato all’ingresso del sistema.

Con queste notazioni, il bilancio macroscopico della massa si puo riscrivere come:

(1.48)d

dt(mtot) = −∆m

Se il problema e stazionario si ricava dunque, molto semplicemente, che:

(1.49) m1 = m2

1.3.3. Bilancio macroscopico di conservazione della quantita di moto del sistema.La quantita di moto totale del sistema si puo calcolare con l’integrale di volume:

(1.50) ~Ptot =∫V

ρ~V dV

La variazione nel tempo della quantita di moto totale in funzione dei flussi entranti e uscenti nel edal sistema attraverso le sezioni S1 ed S2 e delle forze di superficie e gravitazionali si puo valutare

4 Nella trattazione di [6] si fa l’ipotesi di monodimensionalita su Si per lo stato termodinamico, mentre si ammettela variazione lungo le superfici Si della velocita, che ha tuttavia componente non nulla soltanto nella direzione normalead Si. In tal caso si ha quindi che ρ1 e un valore costante su S1 e ρ2 su S2 mentre la velocita, nella sua componentenormale alle superfici S1 ed S2, puo variare lungo di esse. Si ottiene in tal caso ancora una espressione come la Eq.(1.46):

d

dt(mtot) = −ρ2 < V2 > S2 + ρ1 < V1 > S1

dove pero vanno introdotte le opportune medie, con le notazioni relative alla generica grandezza f che hanno il seguentesignificato:

Media temporale: f =1

T

Z T

0

f (~x; t)dt

Media spaziale su una superficie S: < f >=1

S

ZS

f (~x; t)dS

Media spaziale e temporale: < f >=1

T

Z T

0

„1

S

ZS

f (~x; t)dS

«dt

Media rispetto alla portata attraverso una superficie S: f =

ZS

ρf (~x; t)V (~x; t)dSZS

ρV (~x; t)dS


integrando l’Eq.(1.31) sul volume V di fluido contenuto nel sistema e quindi applicando le ipotesi dibilancio macroscopico (si veda [6]). Si ottiene innanzitutto:

(1.51)∫V

∂

∂t

(ρ~V)dV +

∫V

∇ ·(ρ~V ~V

)dV =

∫V

(−∇ · τ −∇p

)dV−

∫V

ρ∇φ dV

e quindi trasformando il secondo integrale di volume in integrale di superficie e utilizzando leEq.(1.41,1.50):

(1.52)d~Ptotdt−∫

Sw,m

ρ~V (~VS · ~n)dS +∫S

ρ~V (~V · ~n)dS = −∫S

(τ · ~n+ p~n

)dS + ~g

∫V

ρ dV

ovvero:

(1.53)d~Ptotdt

+∫

Sw,m

ρ~V ( ~W · ~n)dS +∫

S1+S2+Sw,f

ρ~V (~V · ~n)dS = −∫S

(τ · ~n+ p~n

)dS +mtot~g

dove il primo integrale di superficie e il contributo di Sw,f al secondo sono evidentemente nulli.Infine, se si raccolgono le forze di superficie che il fluido esercita sulle pareti, indicate con ~F :

~F = ~Fvisc + ~Fpress =∫Sw

τ · ~ndS +∫Sw

p~ndS

si ottiene:

(1.54)d~Ptotdt

=

Variazione quantita di moto In/out︷︸︸︷ρ1 < V 2

1 > ~S1 − ρ2 < V 22 > ~S2 +

Pressioni agentisulle sezioni In/Out︷︸︸︷(p1~S1 − p2

~S2

)−

Forze agentisulle pareti delsistema︷︸︸︷

~F +

Forza di V olume︷︸︸︷mtot~g︸︷︷︸

Forze agenti sul sistema

Il vettore ~S = ±S~n e diretto come la normale esterna media ma orientata come ~n nella sezione diuscita e in verso opposto nella sezione di ingresso ed ha modulo pari al valore dell’area della sezionestessa. Nell’equazione ottenuta e stato trascurato il contributo della forza d’attrito τ ·~n sulle superficiS1 e S2, in quanto esso assume valori significativi solo in prossimita di pareti solide.

Con le notazioni introdotte in precedenza si puo riscrivere il bilancio macroscopico di conserva-zione della quantita di moto come:

(1.55)d

dt

(~Ptot

)= −∆

[(ρ < V 2 > +p)~S

]+mtot~g − ~F

Se il problema e stazionario, allora si puo calcolare la forza che il fluido esercita sulle pareti checircondano il sistema:

(1.56) ~F = −∆[(ρ < V 2 > +p)~S

]+mtot~g

La funzione ρ < V 2 > +p e denominata “spinta della corrente” (stream thrust). Questa relazionepermette di trovare risposte a problemi pratici molto importanti quali ad esempio il calcolo dellareazione del fluido su una paletta di pompa o turbina, o sul gomito di una tubazione.

1.3.4. Bilancio macroscopico dell’energia meccanica di un sistema isotermo. Anchela legge che esprime il bilancio macroscopico dell’energia meccanica puo essere ricavata integrandosul volume che definisce il sistema la corrispondente espressione del bilancio microscopico (1.39). Sidefinisce a questo scopo l’energia meccanica totale del sistema come:

(1.57) Emec,tot =∫V

ρ

(φ+

V 2

2

)dV


Integrando sul volume di controllo la (1.39) e utilizzando l’equazione di continuita (1.19) si ottiene:

(1.58)∫V

∂

∂t

(φ+

V 2

2

)dV +

∫V

∇ ·[ρ~V

(φ+

V 2

2

)]dV =

−∫V

∇ ·(p~V)dV +

∫V

p(∇ · ~V

)dV−

∫V

∇ ·(τ · ~V

)dV−

∫V

(−τ : ∇~V

)dV

trasformando quando possibile gli integrali di volume in integrali di superficie e utilizzando leEq.(1.41,1.50):

(1.59)d

dt(Emec,tot) = −

∫S1+S2

ρ(~V · ~n

)(φ+

V 2

2

)dS−

∫S

p(~V · ~n

)dS+

+∫V

p(∇ · ~V

)dV−

∫S

(τ · ~V

)· ~ndS−

∫V

(−τ : ∇~V

)dV

Per comodita si definiscono:

l’energia cinetica complessiva del fluido racchiuso nel sistema macroscopico:

(1.60) Ktot :=∫V

ρV 2

2dV =

∫V

ρkdV

avendo anche per brevita definito k = V 2/2; l’energia potenziale gravitazionale complessiva del fluido racchiuso nel sistema macroscopi-

co:

(1.61) φtot :=∫V

ρφdV

la potenza convertita in energia interna, trasformata in modo reversibile (e presente solonel caso di flussi comprimibili, quando ∇ · ~V 6= 0):

(1.62) Ec := −∫V

p(∇ · ~V

)dV

la potenza meccanica dissipata a causa degli attriti (perdita di energia meccanica nell’unitadi tempo), si tratta di un termine sempre positivo:

(1.63) Ev :=∫V

(−τ : ∇~V

)dV > 0

A questo punto restano da esaminare soltanto gli integrali superficiali. Il primo, quello riguardanteenergia cinetica e potenziale, porta ad un risultato simile a quello ottenuto nelle precedenti equazionidi bilancio, facendo ricorso all’ipotesi di flusso monodimensionale su S1 e S2. Per quanto riguardail secondo e il terzo, questi rappresentano il lavoro compiuto dalle forze di pressione ed attritosulle superfici. Questo e nullo sulle pareti fisse, mentre assume valori non nulli su S1, S2 e Sw,m.Trascurando il contributo di τ su S1 e S2 si ha che moltiplicando e dividendo per ρ si ottiene dalleforze di pressione un’espressione dello stesso tipo di quella presente per k e φ:

(1.64)∫S

p(~V · ~n

)dS =

∫S

ρ(~V · ~n

) pρdS


Il lavoro delle forze di pressione e d’attrito compiuto sulle superfici mobili nell’unita di tempo e pariall’integrale rimanente, quello su Sw,m:

(1.65) W :=∫

Sw,m

(p~n+ τ · ~n

)· ~V dS

Con le definizioni date la forma macroscopica del bilancio di energia meccanica si scrive:

(1.66)d

dt(Emec,tot) =

d

dt(Ktot + φtot) = −∆

[(12< V 3 >

< V >+ φ+

p

ρ

)m

]− W − Ev − Ec

1.3.5. Bilancio macroscopico dell’energia di un sistema isotermo. Abbiamo visto chenell’equazione di bilancio dell’energia meccanica compare il termine Ev che indica l’energia che vienedissipata e che quindi non e piu disponibile per il sistema e il termine Ec. La presenza di quest’ultimotermine e legata alle variabili termodinamiche considerate. L’energia non puo tuttavia scomparire.Se si scrive quindi l’equazione di bilancio di tutta l’energia scambiata dal sistema, dovra apparireche, per mantenere il sistema isotermo, l’energia dissipata Ev, che andrebbe ad aumentare la tempe-ratura del fluido, dovra essere bilanciata da quella che viene sottratta cedendo calore all’esterno. Cidovra essere dunque un raffreddamento del sistema perche esso si mantenga isotermo. L’ipotesi diflusso isotermo rende piu comodo usare come variabili termodinamiche l’energia libera di Helmoltze l’entalpia libera di Gibbs, cosı come nel caso di flusso isentropico le variabili piu comode sonoenergia interna ed entalpia. Queste sono infatti definite come:

l’energia libera di Helmoltz (solo per sostanze gassose):

A = U − TS e il suo valore specifico a = u− Ts

da cui discende che:

da = du− Tds− sdT = −pd(

1ρ

)− sdT e, nel caso isotermo, da = −pd

(1ρ

)e:

Atot :=∫V

ρadV

l’entalpia libera di Gibbs:

G = H − TS e il suo valore specifico g = h− Ts

da cui discende che:

dg = dh− Tds− sdT =dp

ρ− sdT e, nel caso isotermo, dg =

dp

ρ

Si puo dimostrare [6] che, sfruttando l’ipotesi di sistema isotermo, l’equazione di bilancio dell’energiapuo essere riscritta facendo comparire l’energia libera di Helmoltz e l’entalpia libera di Gibbs. Lalegge che esprime la conservazione dell’energia in un sistema isotermo puo essere scritta come:

(1.67)d

dt(Ktot + φtot +Atot) = −∆

[12< V 3 >

< V >+ φ+ g

]m− W − Ev

Questa forma e molto simile a quella del bilancio di energia meccanica, ma il termine Ec non epiu presente cosı come p/ρ. Questi termini sono sostituiti da Atot e g. Si osserva pero che mentrel’equazione di bilancio dell’energia meccanica e una conseguenza del bilancio di quantita di moto,la forma di bilancio dell’energia espressa in termini di A e g e proprio un’equazione di bilanciodell’energia. Per ottenerla e infatti necessario introdurre il principio di conservazione dell’energiaespresso attraverso il primo e secondo principio della termodinamica (in questo caso dall’espressionedg = dp/ρ).


Se il problema e stazionario si puo ricavare il lavoro specifico per unita di massa scambiato dalsistema con l’esterno (tramite opportuni organi con pareti mobili: ad esempio palettature rotanti inuna turbomacchina):

(1.68)W

m= −∆

[12< V 2 > +φ+ g

]− Evm

che si puo riscrivere esplicitando i tre contributi:

W

m= −∆

[12< V 2 >

]−∆

[φ]−∆ [g]− Ev

m

Vediamo come si puo valutare il termine di variazione dell’entalpia libera, distinguendo il casodel flusso comprimibile e incomprimibile:Caso del flusso comprimibile:

E stato gia ricordato che nel caso isotermo (dT = 0):

dg =dp

ρ

Se il fluido e un gas ideale si ha che lungo un processo che colleghi lo stato (1) allo stato (2), lavariazione totale di entalpia libera vale:

∆ [g] =∫ 2

1dg =

∫ 2

1

dp

ρ= RT log

p2

p1

Se le perdite sono nulle (Ev = 0) e il lavoro scambiato con l’esterno e anch’esso nullo (W = 0), siottiene il teorema di Bernoulli per flussi compressibili e per sistemi macroscopici isotermi:

(1.69) ∆[

12< V 2 >

]+ ∆[φ] +RT log

p2

p1= 0

Caso del flusso incomprimibile:Lungo un processo che colleghi lo stato (1) allo stato (2) si ha che la variazione totale di entalpia

libera, a densita costante, vale:

∆ [g] =∫ 2

1dg =

∫ 2

1

dp

ρ=

∆[p]ρ

Si faccia attenzione che il significato fisico del termine (dp/ρ) e alquanto diverso qualora si pensiattribuito ad un flusso compressibile o ad un liquido. Per un gas (dp/ρ) rappresenta un’energia dicompressione ovvero un’energia legata alla possibilita che il gas faccia o subisca un lavoro (reversibile)definito dal termine p(∆V) non nullo, che rappresenta la conversione di energia meccanica in energiainterna.

Nel caso di un liquido, la densita costante implica che la divergenza e nulla ovunque, ovvero cheil liquido non e in grado di variare la sua energia interna, percio (∆p/ρ) in un liquido rappresentaun’energia di pressione essenzialmente di natura idrostatica.

Per un flusso incompressibile isotermo si ottiene dunque:

(1.70) 0 = −∆[

12< V 2 > +φ+

p

ρ

]m

− W − Ev

che e l’equazione di bilancio dell’energia meccanica con Ec = 0 (come si ottiene considerando ∇· ~V =0).

Se le perdite sono nulle (Ev = 0) e il lavoro scambiato con l’esterno e anch’esso nullo (W = 0),si ottiene il teorema di Bernoulli per flussi incompressibili isotermi:

(1.71) ∆[

12< V 2 > +φ+

p

ρ

]= 0


1.3.6. Relazione fra grandezze micro e macroscopiche. Riprendendo le relazioni tra gran-dezze micro e macroscopiche, osserviamo che il lavoro scambiato con l’esterno dal sistema necessita lapresenza di supefici mobili lambite dalla corrente fluida, e che si possono individuare due contributial lavoro W , uno legato alle forze viscose e l’altro alle forze di pressione:

Wpress =∫

Sw,m

p(~V · ~n

)dS

Wvisc =∫

Sw,m

τ ·(~V · ~n

)dS

e quindi il lavoro totale scambiato dal fluido con l’esterno vale:

(1.72) W = Wpress + Wvisc

Per quanto riguarda il termine delle perdite meccaniche Ev se il flusso e incompressibile e Newtonianosi puo calcolare l’integrale che lo definisce a partire dalla relazione:

−(τ : ∇~V

)= µΦv = 2µ

3∑i=1

(∂Vi∂xi

)2

+ . . .

Da un punto di vista dimensionale si puo ricavare che:

[Φv] ≈V 2

0

l2; [dV] = l30 ; [µ] = µ0

Percio le perdite di energia meccanica hanno le dimensioni:[Ev

]=[µ0V 2

0

l20l30

]=[µ0V

20 l0]

=[µ0

ρl0V0

] [ρV 3

0 l20

]=

1Re

[ρV 3

0 l20

]ovvero:

Ev =(ρ0V

30 l

20

)( 1Re

)∫Φ∗vdV

∗ =(ρ0V

30 l

20

)f (Re)

dove i termini con l’asterisco sono adimensionali.Si puo inoltre ricavare la perdita per unita di massa rapportando Ev con la portata m:

ev =Evm

=Ev

ρ < V > S=ρ0V

30 l

20

ρ0V0l20

f (Re)m∗

≈(

12V 2

0

)ξv (Re)

Questa relazione suggerisce che le perdite possano essere quantificate come una frazione dell’energiacinetica del fluido, in cui il fattore di riduzione ξv e adimensionale e tipicamente inferiore ad uno.

Le perdite di energia meccanica della corrente fluida possono essere classificate in perdite distri-buite (lungo tubi, ad esempio) e concentrate (in corrispondenza di gomiti, restrizioni, diaframmi,brusche espansioni, e cosı via).

La forma generale del coefficiente di perdita sara dunque:

ev =∑i

(12< V 2

0 > ξv

)i perdite concentrate

e:

ev =∑i

(12< V 2

0 >L

Rhf

)i

perdite distribuite

dove f e il coefficiente di attrito per tubi lunghi L e con raggio idraulico Rh (formula di Darcy):

f =14

(D

L

)P0 − PL

12ρ < V 2 >

con P = p+ ρgh

1.4. BILANCI MICROSCOPICI DEI SISTEMI NON ISOTERMI 23

1.4. Bilanci microscopici dei sistemi non isotermi

Si sono finora considerati sistemi in cui la temperatura rimane costante. Ovviamente nellamaggior parte dei problemi applicativi la temperatura varia ed e essenziale riuscire a predire ilcampo di temperatura, variabile in generale non solo spazialmente ma anche nel tempo. A talfine, passeremo in rassegna i metodi per lo studio dei sistemi non isotermi. Anche in questo casoaffronteremo l’analisi prima da un punto di vista microscopico e poi da quello macroscopico.

1.4.1. Primo principio applicato ai campi fluidi.1.4.1.1. Trattazione Euleriana. Cominceremo l’analisi partendo dall’espressione del primo prin-

cipio della termodinamica valida per una particella fluida:

Tds = du+ pdv

Dove l’energia interna del fluido si scrive:

du = cvdT

Differenziando la definizione di entalpia h = u+ pv, si ottiene:

dh = du+ pdv + vdp

Sostituendo nel primo principio (con v = 1/ρ), si ha:

(1.73) Tds = dh− 1ρdp

Consideriamo un punto P del campo fluidodinamico che possiede un intorno in cui non sono presentiforti discontinuita, quali onde d’urto. In un tempo infinitesimo dt la particella che al tempo t sitrovava in P si e spostata di una quantita d~r∗ = ~V dt fino ad arrivare al punto P ′ (Fig. 1.4).

Figura 1.4. Particella, suo intorno e linea di corrente.

Si consideri ora uno spostamento infinitesimo d~r qualsiasi non coincidente con d~r∗, che individuaun punto Q nell’intorno di P . Tra il punto P e Q le variazioni delle variabili di stato possono esserestimate con le relazioni seguenti:

ds = (d~r · ∇) sdh = (d~r · ∇)hdp = (d~r · ∇) p

Sostituendo queste relazioni in Eq. (1.73), si ottiene:

T (d~r · ∇) s = (d~r · ∇)h− 1ρ

(d~r · ∇) p

Tale relazione deve essere valida per qualsiasi d~r diverso da d~r∗:

d~r ·[T∇s−∇h+

1ρ∇p]

= 0

Si ottiene cosı una relazione fra i gradienti spaziali delle variabili di stato valida nell’intorno diP ad un tempo t fissato:


(1.74) T∇s = ∇h− 1ρ∇p

Si osservi che non si riesce a valutare questa relazione se non si conosce la storia di tutte leparticelle che attraversano l’intorno di P . In linea di principio, infatti, ogni particella potrebbepossedere un’entropia diversa dalle altre, e quindi non e possibile calcolare il gradiente entropico informa chiusa.

1.4.1.2. Trattazione Lagrangiana. Vediamo invece cosa succede alla particella lungo una linea dicorrente, ovvero come variano le grandezze termodinamiche di stato passando dal punto P al puntoP ′ che appartengono ad una medesima linea di corrente, ovvero:

P ′ = P + d~r∗ = P + ~V dt

In tal caso la particella di massa dm costituisce un sistema chiuso nel quale la massa e costantenel tempo. Non e pero un sistema isolato, perche la particella puo scambiare calore con le altreparticelle.

I differenziali delle variabili di stato lungo la linea di corrente si ottengono proiettando i gradientidelle medesime variabili lungo il vettore che conginuge P con P ′. Introducendo l’operatore:

d′(•) = (d~r∗ · ∇)(•)e applicandolo all’Eq. (1.73), si ottiene:

d′s = (d~r∗ · ∇) sd′h = (d~r∗ · ∇)hd′p = (d~r∗ · ∇) p

e pertanto il primo principio lungo la linea di corrente si puo scrivere:

(1.75) Td′s = d′h− 1ρd′p

Sia d′q il calore scambiato dalla particella tra il punto P e P ′. In tal caso,:

d′q = Td′s

Lo scambio di calore e dovuto essenzialmente alla trasmissione di calore, d′q0 , fra particella eparticella, e alla presenza di fenomeni viscosi il cui lavoro viene dissipato in calore, d′qf . Pertanto seil flusso e adiabatico d′q0 = 0, e se e non viscoso d′qf = 0. Quando il flusso e viscoso si puo calcolared′qf tramite la relazione:

d′qf = −d~r∗ · ~f = −dt(~V · ~f

)dove ~f = −1

ρ∇ · τ

Il primo principio lungo una linea di corrente si scrive percio:

(1.76) d′q0 + d′qf = d′q0 − dt(~V · ~f

)= d′h− 1

ρd′p = Td′s

1.4.2. Primo principio ed equazioni del moto per un flusso compressibile. Si conside-rino le equazioni del moto della particella fluida (Eq. (1.29)):

D~V

Dt= −∇p

ρ+ ~f −∇φ

Si puo sostituire al gradiente di pressione la combinazione fra gradienti di entalpia ed entropiatrovata applicando il primo principio nell’intorno della particella fluida, Eq. (1.74), per ottenere:


D~V

Dt= − (∇h− T∇s) + ~f −∇ (φ)

D~V

Dt= − (∇h+ φ) + ~f + T∇s

ed inoltre si puo scrivere l’accelerazione della particella nella forma alla Lamb (Eq. 1.30) per ricavare:

(1.77)∂~V

∂t+∇

(V 2

2+ φ

)− ~V × (∇× ~V ) = − (∇h− T∇s) + ~f

Percio per un flusso compressibile, viscoso, diabatico, rotazionale, si ottiene che:(1.78)

∇

h︸︷︷︸

energia termicae di compressione

+ φ︸︷︷︸energia potenzialegravitazionale

+V 2

2︸︷︷︸energiacinetica︸︷︷︸

entalpia totale htot del gas

= ~V × (∇× ~V )︸︷︷︸

rotazionalita

+T∇s︸︷︷︸+ ~f︸︷︷︸viscosita

− ∂~V

∂t︸︷︷︸non stazionarieta

ovvero che l’entalpia totale htot del fluido definita come somma dei contributi di energia termica, dicompressione, gravitazionale e cinetica:

(1.79) htot = h︸︷︷︸dh=cpdT

+φ+V 2

2= u︸︷︷︸

du=cvdT

+p

ρ+ φ+

V 2

2

e uniforme spazialmente (∇htot = 0) se il flusso compressibile e isentropico, stazionario, non viscosoe irrotazionale.

1.4.2.1. Caso di flusso compressibile ed isotermo. Se il flusso compressibile e anche isotermo,allora nell’equazione:

∇(h+ φ+

V 2

2

)= ~V × ∇× ~V + T∇s+ ~f − ∂~V

∂t

si puo effettuare la sostituzione:

T∇s = ∇ (Ts)− s∇T︸︷︷︸=0

= ∇ (Ts)

da cui:

∇

=g︷︸︸︷

u+p

ρ− Ts+

V 2

2+ φ︸︷︷︸

=gtot

= ~V × (∇× ~V ) + ~f − ∂~V

∂t

dove si e introdotta l’entalpia libera totale di Gibbs, gtot, definita come:

(1.80) gtot = g + φ+V 2

2Dalle precedenti relazioni si ricava che gtot e uniforme spazialmente se il flusso compressibile

isotermo e per di piu irrotazionale, non viscoso e stazionario.


1.4.3. Primo principio ed equazioni del moto per un flusso incompressibile. In unflusso incompressibile, la densita e costante per definizione e pertanto vale la relazione:

∇pρ

= ∇(p

ρ

)che sostituita nell’equazione di Lamb fornisce direttamente:

∂~V

∂t+∇

(V 2

2+ φ

)= ~V × (∇× ~V )− ∇p

ρ+ ~f

∂~V

∂t+∇

(p

ρ+V 2

2+ φ

)= ~V × (∇× ~V ) + ~f

Da quest’ultima possiamo dedurre la definizione di pressione totale del liquido che e costituitadall’energia di pressione (idrostatica), dall’energia gravitazionale e dall’energia cinetica, e compren-dere quali sono i processi che possono alterare la distribuzione spaziale di pressione totale. Larelazione:

∇

p

ρ︸︷︷︸energia dipressione

+ φ︸︷︷︸energia potenzialegravitazionale

+V 2

2︸︷︷︸energiacinetica︸︷︷︸

energia totale ptot/ρ del liquido

= ~V × ∇× ~V︸︷︷︸

rotazionalita

+ ~f︸︷︷︸viscosita

− ∂~V

∂t︸︷︷︸non stazionarieta

mostra chiaramente che l’energia totale del liquido, ptot/ρ, definita come:

(1.81)ptotρ

=p

ρ+ φ+

V 2

2

puo variare a seguito della presenza di strutture rotazionali (vortici), della viscosita (strati limiti) edella non stazionarita del flusso. Si noti che, sebbene per un liquido sia definita un’energia internaassociabile alla temperatura (puo infatti essere piu o meno caldo, ovviamente), esso non e capace diconvertire la sua energia termica in lavoro non essendo comprimibile.

1.4.4. Conservazione entalpia, entalpia libera e pressione totali lungo una traietto-ria. Ora possiamo definire i bilanci di energia lungo le linee di corrente facendo il prodotto scalaredello spazio percorso dalla particella in un intervallo di tempo infinitesimo dt con l’equazione delmoto:

d~r∗ ·

[∂~V

∂t+∇htot

]= d~r∗ ·

[~V × (∇× ~V ) + T∇s+ ~f

]~V dt ·

[∂~V

∂t+∇htot

]= ~V dt ·

[~V × (∇× ~V ) + T∇s+ ~f

]Effettuando il prodotto scalare della velocita per ognuno dei temini dell’equazione, si ottiene:

∂

∂t

(12V 2

)dt+ d′htot = Td′S +

(~V · ~f

)dt

Sostituendo l’espressione del primo principio scritta lungo la linea di corrente


Td′s+ dt(~V · ~f

)= d′q0

si ha:

(1.82) d′htot = d′q0 −∂

∂t

(12V 2

)dt

Pertanto l’entalpia totale per un flusso compressibile e non isotermo e costante se il sistema eadiabatico e stazionario.

Analogamente per un flusso compressibile ed isotermo si puo scrivere:

d~r∗ ·

[∂~V

∂t+∇gtot

]= d~r∗ ·

[~V × (∇× ~V ) + ~f

]~V dt ·

[∂~V

∂t+∇gtot

]= ~V dt ·

[~V × (∇× ~V ) + ~f

]da cui:

(1.83) d′gtot =(~V · ~f

)dt− ∂

∂t

(12V 2

)dt

Pertanto l’entalpia libera totale per un flusso compressibile ed isotermo e costante se il sistemae non viscoso e stazionario.

Infine per un flusso incompressibile si ottiene:

d~r∗ ·

[∂~V

∂t+∇

(ptotρ

)]= d~r∗ ·

[~V × (∇× ~V ) + ~f

]~V dt ·

[∂~V

∂t+∇

(ptotρ

)]= ~V dt ·

[~V ×∇× ~V + ~f

]da cui:

(1.84) d′(ptotρ

)=(~V · ~f

)dt− ∂

∂t

(V 2

2

)dt

L’energia totale per un flusso incompressibile e costante se il sistema e non viscoso e stazionario.

1.4.5. Bilancio dell’energia interna in un volume elementare. Vediamo come si conserval’energia in un volumetto, nell’intorno della particella considerata. Si puo dimostrare che vale la:

∂

∂t

[ρ

(u+

12V 2

)]= −∇ ·

[ρ~V

(u+

V 2

2

)]−∇ · ~q + ρ

(~V · ~g

)−∇ ·

(p~V)−∇ ·

[τ · ~V

]ovvero:

(1.85)D

Dt

[ρ

(u+

12V 2

)]= − ∇ · ~q︸︷︷︸

flusso termico

+ ρ(~V · ~g

)︸︷︷︸

lavoro forzegravitazionali

− ∇ ·(p~V)

︸︷︷︸lavoro forzedi pressione

−∇ ·[τ · ~V

]︸︷︷︸lavoro forzeviscose

La variazione nel tempo della somma di energia cinetica e interna nel volume di controllo econtrollata dal flusso termico che attraversa le pareti del volumetto, dal lavoro delle forze di gravita,delle forze di pressione e viscose.


Sottraendo all’Eq. (1.85) l’equazione di conservazione dell’energia meccanica (1.39):

ρD

Dt

(12V 2

)= p

(∇ · ~V

)︸︷︷︸

Lavoro reversibiledi compressione

−∇ ·(p~V)

+ ρ(~V · ~g

)−∇ ·

(τ · ~V

)+

(τ : ∇~V

)︸︷︷︸

Dissipazione viscosairreversibile

si ottiene l’equazione di conservazione per la sola energia interna di natura termica (du = cvdT ):

ρDu

Dt= − ∇ · ~q︸︷︷︸

Calore scambiatocon lesterno

− p(∇ · ~V

)︸︷︷︸lavoro forzedi pressione

− (τ : ∇~V )︸︷︷︸Dissipazioneviscosa

Il lavoro di compressione delle forze di pressione e di tipo reversible, mentre il lavoro delle forzeviscose e irreversibile. Questi due termini rappresentano due modalita di conversione fra energiameccanica e termica. Il primo termine puo prendere segno sia positivo che negativo indicando chel’energia meccanica associata al lavoro delle forze di pressione puo essere convertita in energia termicae viceversa, mentre il secondo termine e sempre positivo indicando che l’energia meccanica associataal lavoro delle forze viscose puo solamente essere convertita (degradata, dissipata) in energia termica.

Per un fluido incompressibile la divergenza della velocita e identicamente nulla e quindi le forzedi pressione non possono eseguire lavoro. Pertanto l’energia interna di un flusso incompressibile (lasua temperatura) puo variare solo a causa di scambi di calore con l’esterno oppure per effetto delladissipazione viscosa.

Poiche:~g = −∇φ

si ricavaρ(~V · ~g

)= −ρ

(~V · ∇φ

)e dalla definizione di derivata totale

Dφ

Dt=∂φ

∂t+(~V · ∇

)φ

si ricava che:

−ρ(~V · ∇

)φ = −ρDφ

Dtse il campo gravitazionale e costante nel tempo (∂φ/∂t = 0). In tal caso, il contributo delle for-ze gravitazionali puo essere incluso nel termine a primo membro dell’equazione di conservazionedell’energia, per ottenere:

(1.86) ρD

Dt

u+ φ+12V 2︸︷︷︸

Energia totale =etot

= −∇ · ~q −∇ ·(p~V)−∇ ·

(τ · ~V

)

Vediamo come si puo ricavare una espressione dell’energia interna in termini di temperatura. Sipuo dimostrare che a partire dalla:

ρDu

Dt= − ∇ · ~q︸︷︷︸

Calore scambiatocon lesterno

− p(∇ · ~V

)︸︷︷︸lavoro forzedi pressione

− (τ : ∇~V )︸︷︷︸Dissipazioneviscosa

si puo ottenere:

ρcvDT

Dt= −∇ · ~q − T

(∂p

∂T

)v

(∇ · ~V

)−(τ : ∇~V

)Inoltre, se valgono le seguenti ipotesi: gas caloricamente perfetto:

1.5. BILANCI MACROSCOPICI PER SISTEMI NON ISOTERMI 29

.du = cvdT

. (∂p

∂T

)v

=p

T

conduzione di calore descrivibile dall’equazione di Fourier

∇ · ~q = −k∇2T

lavoro delle forze viscose per un fluido Newtoniano:

−(τ : ∇~V ) = µΦv

si perviene alla:

ρcvDT

Dt= k∇2T − p

(∇ · ~V

)− µΦv

In seguito ai passaggi:Dh

Dt=Du

Dt+D

Dt

(p

ρ

)=Du

Dt+

1ρ

Dp

Dt− p

ρ

1ρ

Dρ

Dt=Du

Dt+

1ρ

Dp

Dt− p

ρ

(∇ · ~V

)si puo anche ricavare una legge per la conservazione dell’entalpia che si scrive:

ρDh

Dt= − (∇ · ~q)−

(τ : ∇~V

)+Dp

Dt

1.5. Bilanci macroscopici per sistemi non isotermi

1.5.1. Bilancio dell’energia totale. Il bilancio macroscopico dell’energia per un sistema nonisotermo si puo ricavare in maniera rigorosa integrando sull’intero volume occupato dal fluido nelsistema macrosopico la relazione (1.86):

ρDetotDt

= −∇ · q −∇ ·(p~V)−∇ ·

(τ · ~V

)Dopo opportune semplificazioni [6], si perviene al bilancio macroscopico:d

dt(Ktot + Utot + φtot) = Variazione nel tempo dell’energia interna del sistema

= ρ1 < V1 > u1S1 − ρ2 < V2 > u2S2 Trasporto di energia interna

+ ρ1 < V 31 > S1 −

12ρ2 < V 3

2 > S2 Trasporto di energia cinetica

+ ρ1 < V1 > φ1S1 − ρ2 < V2 > φ2S2 Trasporto di energia potenziale

+ Q− W Calore e Lavoro scambiati con l’esterno

+ p1 < V1 > S1 − p2 < V2 > S2 Lavoro forze di pressione sulle sezioni di ingresso ed uscita

In forma compatta, si puo scrivere:

(1.87)dEtotdt

= −∆

[(u+

p

ρ+

12< V >3

< V >+ φ

)m

]+ Q− W

Se il flusso e stazionario e se l’approssimazione < V 3 >≈< V >3 e sufficientemente accurata siottiene:

d

dt(•) = 0 m1 = m2 = m

da cui la relazione:

(1.88) ∆[h+

12< V >2 +φ

]=Q

m− W

m


che riveste un ruolo essenziale nel perseguire gli obiettivi del corso.Si possono analizzare due casi limiti per quanto riguarda la variazione di entalpia:

(1) Se il fluido e un gas ideale valgono le relazioni:

dh = cpdT

p = ρRT

cp − cv = R

che forniscono il risultato:

∆ [h] =

T2∫T1

(cv +R)dT =

T2∫T1

cpdT =R

M

T2∫T1

γ

γ − 1dT

da sostituire nella Eq. (1.88);(2) Se il fluido e un liquido valgono le relazioni:

ρ = cos tcp = cv = c

che forniscono il risultato:

∆ [h] =

T2∫T1

cdT +1ρ

(p1 − p2)

da sostituire nella Eq. (1.88).

1.5.2. Altri bilanci di energia. Il bilancio macroscopico dell’energia e stato gia ottenuto perun sistema isotermo, a partire dall’integrazione della (1.38) e dal primo principio espresso comedg = dp/ρ. Si puo ottenere un risultato simile per il caso isentropico in cui e comodo usare il primoprincipio nella forma dh = dp/ρ.

Per i due casi limite di flussi isotermi e isoentropici si puo quindi ottenere un bilancio macrosco-pico di energia nella forma:

1) Per i sistemi isotermi:

(1.89)d

dt(Ktot + φtot +Atot) = −∆

[(g + φ+

12< V >2

)m

]− W − Ev

2) Per i sistemi isentropici:

(1.90)d

dt(Ktot + φtot + Utot) = −∆

[(h+ φ+

12< V >2

)m

]− W − Ev

Confrontando la relazione valida per il sistema isentropico (Eq. (1.90)) con il bilancio dell’energiatotale (Eq. (1.87)) si ricava che Q = −Ev, relazione che esprime il concetto che le perdite di energiameccanica sono convertite in calore.

Inoltre si puo osservare che le variazioni di entalpia libera g e quella di entalpia h nelle precedentiespressioni possono essere valutate come:

Se dT = 0:

∆ [g] =

2∫1

dp

ρ− sdT =

2∫1

dp

ρ

1.6. BILANCI DEL MOMENTO DI QUANTITA DI MOTO 31

Se ds = 0:

∆ [h] =

2∫1

dp

ρ+ Tds =

2∫1

dp

ρ

Pertanto, nel caso stazionario, l’espressione:

(1.91)W

m+ ∆

[12< V >2 +φ

]+

2∫1

dp

ρ+ Ev = 0

che esprime il teorema di Bernoulli generalizzato al caso di flussi compressibili, si puo utilizzare siaper il caso del flusso isotermo che per quello isentropico. In questa espressione l’integrale di (dp/ρ)si calcola in modo diverso a seconda che il flusso sia un gas od un liquido. Infatti, si ha:

Gas ideale non isotermo: ∫ 2

1

dp

ρ=∫ 2

1RT

dp

p

Gas ideale isotermo (T=costante):∫ 2

1

dp

ρ= RT log

p2

p1

Gas ideale che subisce una trasformazione politropica con esponente n (p/ρn=costante):∫ 2

1

dp

ρ=p1

ρ1

n

n− 1

[(ρ2

ρ1

)n−1

− 1

](per la trasformazione isentropica deve considerarsi in questa espressione n = γ); Liquido a ρ=cost: ∫ 2

1

dp

ρ=

1ρ

(p2 − p1)

Si indirizza il lettore alle pagg. 463–492 di [6] per esercizi ed esempi sull’utilizzo dei bilancimacroscopici per risolvere una raccolta di problemi di interesse applicativo.

1.6. Bilanci del momento di quantita di moto

Nello studio delle turbomacchine riveste una cruciale importanza il principio della conservazionedel momento della quantita di moto. In questo paragrafo, riportiamo i principali risultati validi alivello micro e macroscopico.

1.6.1. Bilancio microscopico del momento di quantita di moto. Il momento polare d~L,rispetto al polo O, della quantita di moto di una particella fluida di massa dm e definito come:

(1.92) d~L := ~r × ~V dm = ~r × (ρ~V )dV

e quindi per il fluido che occupa il volume V:

(1.93) ~L :=∫V

(~r × ρ~V

)dV

L’equazione di conservazione della quantita di moto in forma differenziale (1.31) e stata ottenutacombinando l’equazione del moto (1.29) con l’equazione di conservazione della massa (1.19). Unaequazione dello stesso tipo per il momento della quantita di moto puo essere ottenuta come unaconseguenza delle suddette equazioni. Per ottenere questo risultato si puo procedere come fatto in


§1.2.4 per l’energia meccanica, dove si e moltiplicata l’equazione del moto scalarmente per ~V . Inquesto caso l’equazione del moto viene premoltiplicata vettorialmente per ~r:

(1.94) ~r ×

(ρD~V

Dt−∇ ·Π + ρ∇φ

)= 0

Si osserva che:

D

Dt

(~r × ~V

)=D~r

Dt× ~V + ~r × D~V

Dt︸︷︷︸~V :=D~r/Dt; e ~V×~V=0

= ~r × D~V

Dt

Introducendo per comodita il simbolo ~l = ~r × ~V e utilizzando l’equazione di continuita moltiplicataper ~l, il primo termine della (1.94) puo essere ancora elaborato per ottenere:

ρ~r × D~V

Dt= ρ

D~l

Dt= ρ

∂~l

∂t+ ρ

(~V · ∇

)~l +~l

∂ρ

∂t+~l ∇ ·

(ρ~V)

=∂

∂t

(ρ~l)

+∇ ·(ρ~l ~V

)

da cui discende l’equazione di conservazione del momento della quantita di moto in forma differen-ziale:

(1.95)∂

∂t

(ρ~l)

︸︷︷︸(1)

+∇ ·(ρ~l ~V

)︸︷︷︸

(2)

−~r ×(∇ ·Π

)︸︷︷︸(3)

+~r × (ρ∇φ)︸︷︷︸(4)

= 0

Si puo integrare questa relazione sull’intero volume di controllo dV, ricordando che il vettore posizione~r ed il volume V non variano nel tempo. I quattro contributi integrali si possono calcolare comeillustrato di seguito.

Per il primo contributo si ha:

(1.96)∫V

∂

∂t

(ρ~r × ~V

)dV =

∂

∂t

∫V

ρ~r × ~V dV =∂~L

∂t

Per il secondo contributo si ha:

(1.97)∫V

∇ ·(ρ~l ~V

)dV =

∮S

ρ~l ~V · ~ndS =∮S

ρ(~r × ~V

)~V · ~ndS =

∮S

(~r × ~V

)dm


Per il terzo contributo e comodo passare per la notazione indiciale5. Si ha quindi:

(1.98)∫V

~r ×(∇ ·Π

)dV =

∫V

εijkxi

(∂Πjl

∂xj

)~ikdV =

=∫V

[εijk

∂

∂xl(xiΠjl)~ik − εijk

(∂xi∂xl

Πjl~ik

)]dV =

=∫V

[εijk

∂

∂xl(xiΠjl)~ik − εijk (δilΠjl)︸︷︷︸

εijkδilΠjl=εijkΠji=0

poiche Π e simmetrico

~ik

]dV =

=∮S

εijk (xiΠjlnl)~ikdS =∮S

~r ×(Π · ~n

)dS =

=∮S

(~r × ~Sn

)dS = −

∫S

[(~r × ~n) p] dS

︸︷︷︸Momento forzedi pressione

−∫S

[~r ×

(τ · ~n

)]dS

︸︷︷︸Momento forzeviscose

Per il quarto contributo si ha:

(1.99) −∫V

[~r × ρ∇ (φ)] dV =∫V

(~r × ~g) ρdV =∮S

~r × (−~nρφ) dS +∫V

~r × (∇ρ)φdV

La presenza dell’integrale di volume a secondo membro fa sı che il quarto contributo possa esserecalcolato come semplice integrale di superficie solo quando il flusso e incompressibile.

Ricapitolando, il bilancio di conservazione del momento polare della quantita di moto si puovalutare come segue:

5 Con la notazione indiciale il generico vettore ~V si esprime attraverso i suoi componenti Vi nella base ~ii:

~V = Vi~ii

Analogamente un tensore:

T = Tij~ii~ij

In entrambe le definizioni precedenti e stata usata la convenzione di Einstein. Essa prevede che si intenda sottintesala sommatoria nel caso di indici ripetuti:

Tijbj =

3Xj=1

Tijbj

Il simbolo di Kronecker ha il seguente significato:

δij =

(1 se i = j

0 se i 6= j

Il simbolo delle permutazioni (o di Levi-Civita) e definito come:

εijk =

8><>:+1 se (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) o (3, 1, 2)

−1 se (i, j, k) = (3, 2, 1), (2, 1, 3) o (1, 3, 2)

0 se i = j, o j = k, o k = i

ed e utile nel calcolo dei prodotti vettoriali. Infatti si ha:

~a×~b = εijkaibj~ik

Si osserva che, facendo coincidere il polo rispetto al quale viene calcolato il momento di forze e quantita di moto conl’origine di un sistema di riferimento cartesiano, i componenti del vettore ~r possono essere presi come le coordinate del

punto (ri = xi) per cui ∇~r = I = δij~ii~ij .


(1.100)∂

∂t

∫V

(~r × ~V

)dm = −

∫S2

(~r × ~V

)dm+

∫S1

(~r × ~V

)dm−

−∫

S1+S2+Sw

[(~r × ~n) p] dS−∫

S1+S2+Sw

[~r ×

(τ · ~n

)]dS +

∫V

(~r × ~g) ρdV

dove si sono esplicitati i contributi che dipendono dalle sezioni di ingresso S1 e di uscita S2. Si notiche il contributo del trasporto di momento di quantita di moto lungo le pareti del sistema e nulloperche, per definizione, la velocita e parallela alle pareti e quindi la sua proiezione sulla normale allaparete e nulla, il che rende identicamente nulli i termini dm su Sw.

Analogamente a quanto fatto per l’equazione della conservazione della quantita di moto, intro-duciamo il vettore momento polare ~M0 risultante dell’azione del fluido sulle pareti solide:

(1.101) ~M0 := −∫

Sw

(~r × ~Sn

)dS =

∫Sw

(~r × ~n)pdS +∫

Sw

~r ×(τ · ~n

)dS

che puo essere calcolato in base alla legge di conservazione del momento della quantita di moto:

(1.102) ~M0 := −∫Sw

(~r × ~Sn

)dS =

∫S1

(~r × ~V

)dm−

∫S2

(~r × ~V

)dm+

+∫S1

p~r × d~S−∫S2

p~r × d~S +∫V

(~r × ~g) ρdV− ∂

∂t

∫V

(~r × ~V

)dm

dove si e ipotizzato che il momento dovuto alle forze viscose sia trascurabile sulle superfici di ingressoe uscita del sistema.

Nello studio delle turbomacchine, il momento polare non e una grandezza particolarmente inte-ressante, mentre lo e il momento assiale che e la proiezione di ~M0 su un asse passante per il polo.Interessa dunque il momento assiale rispetto all’asse di rotazione della macchina e quindi la proie-zione del momento polare ~M0 calcolato rispetto ad un punto qualsiasi dell’asse di rotazione sulladirezione dell’asse di rotazione, che e anche quella del vettore ~ω, velocita angolare della girante:

~Ma = ~j

(~M0 ·

~ω

ω

)= ~j

(~M0 ·~j

)Essendo la direzione e il verso dell’asse di rotazione fissati si fa spesso riferimento al valore delcomponente del momento (preso col segno) Ma. Si puo quindi ragionare ancora sulla particellafluida di massa dm e osservare che la componente del momento della quantita di moto in direzioneassiale, detto momento angolare, e pari a:

(1.103)(ρ~r × ~V dV

)·~j

Per poter studiare meglio le equazioni di bilancio del momento delle forze in direzione assiale e delmomento angolare e opportuno utilizzare un sistema di riferimento cilindrico definito dalle direzionitangenziale (~i1), assiale (~i2 = ~j) e radiale (~i3 = ~i1 ×~i2), e un sistema di riferimento cartesianodefinito dalle direzioni~i, ~j e ~k come illustrato in Fig. 1.5. In questo sistema di riferimento si possonoesprimere i vettori ~V ed ~r attraverso i loro componenti:

~V = Vθ~i1 + Vz~i2 + VR~i3

~r = z~i2 +R~i3


Figura 1.5. Schema e nomenclatura per il calcolo del momento della quantita di moto.

avendo indicato con R la distanza del punto considerato dall’asse di rotazione. Moltiplicando scalar-mente per ~j la (1.95) si ottiene un’equazione di conservazione per il momento angolare della particellafluida in forma differenziale:

(1.104)[∂

∂t

(ρ~r × ~V

)]·~j +∇ ·

[(ρ~r × ~V

)~V]·~j −

[~r ×∇ ·Π

]·~j + [~r × ρ∇φ] ·~j = 0

La relazione appena scritta si puo semplificare tenendo conto che utilizzando la base ortogonalecilindrica definita sopra, per un generico vettore ~b vale la relazione:

(1.105) ~r ×~b ·~j = ~j × ~r ·~b =~i2 ×(z~i2 +R~i3

)·~b = R~i1 ·~b

Questa relazione e utile per tutti i termini della (1.104) tranne il secondo. Per quest’ultimo si puofacilmente verificare che:

(1.106)∇ ·[ρ(~r × ~V

)~V]·~j = ∇ ·

~j ·[ρ(~r × ~V

)~V]

= ∇ ·[(ρR~i1 · ~V

)~V]

= ∇ ·(ρRVθ~V

)La (1.104) puo essere quindi riscritta come:

(1.107)∂

∂t(ρRVθ) +∇ ·

(ρRVθ~V

)−R∇ ·

(~i1 ·Π

)+ ρR (∇φ) ·~i1 = 0

oppure, ricordando che ∇ ·Π = −∇p−∇ · τ , si ha:

(1.108)∂

∂t(ρRVθ) +∇ ·

(ρRVθ~V

)+R (∇p) ·~i1 +R∇ ·

(~i1 · τ

)+ ρR (∇φ) ·~i1 = 0

1.6.2. Bilancio macroscopico di conservazione del momento della quantita di moto.Per ottenere il bilancio macrospcopico del momento della quantita di moto in direzione assiale, si puoprocedere come gia visto in precedenza, integrando l’equazione (1.95) e sfruttando la (1.41). Definen-do quindi il momento angolare polare ~Ltot del volume di fluido contenuto nel sistema macroscopicodi Fig. 1.3:

~Ltot =∫V

(~r × ρ~V

)dV

si ottiene una forma uguale alla (1.100) poiche la parte relativa alla presenza di superfici mobili hasoltanto il ruolo di annullare il termine convettivo (secondo contributo, Eq. (1.95)) sulle superfici


mobili. Si riporta allora per comodita la (1.100) riscritta nella forma:

(1.109)d~Ltotdt

= −∫S2

(~r × ~V

)dm+

∫S1

(~r × ~V

)dm−

−∫

S1+S2+Sw

[(~r × ~n) p] dS−∫

S1+S2+Sw

[~r ×

(τ · ~n

)]dS +

∫V

(~r × ~g) ρdV

Come e stato gia visto nel paragrafo precedente, nello studio delle turbomacchine il maggiore interessee rivestito dal momento della quantita di moto (momento angolare) fatto rispetto ad un asse dirotazione. Quest’ultimo si ottiene ancora una volta moltiplicando scalarmente il momento polare,fatto rispetto ad un punto qualsiasi dell’asse, con la direzione dell’asse. Si definisce quindi momentoangolare assiale La del volume di fluido contenuto nel sistema macroscopico rispetto all’asse direttocome ~j:

La,tot =∫V

RVθdm

e si ottiene:

(1.110)dLa,totdt

= −∫S2

(~r × ~V ·~j

)dm+

∫S1

(~r × ~V ·~j

)dm−

−∫

S1+S2+Sw

[(~r × ~n ·~j

)p]dS−

∫S1+S2+Sw

[~r ×

(τ · ~n

)·~j]dS +

∫V

(~r × ~g ·~j

)ρdV

Come e stato gia visto nel paragrafo precedente, i termini possono essere semplificati utilizzando la(1.105):

(1.111)dLa,totdt

= −∫S2

(RVθ) dm+∫S1

(RVθ) dm−

−∫

S1+S2+Sw

[R(~n ·~i1

)p]dS−

∫S1+S2+Sw

[R(τ · ~n

)·~i1]dS +

∫V

R(~g ·~i1

)ρdV

o ancora:

(1.112)dLa,totdt

= −∆ [(< RVθ >) m]−∆(< pR~i1 > ·~S

)−Ma,m −Ma,f +Ma,g

avendo trascurato il contributo degli sforzi viscosi su S1 e S2 e avendo riassunto negli opportunisimboli il momento assiale esercitato sul fluido dal suo peso e dal fluido sulle pareti fisse e mobili:

Ma,m =∫

Sw,m

[R(p~n+ τ · ~n

)·~i1]dS(1.113)

Ma,f =∫

Sw,f

[R(p~n+ τ · ~n

)·~i1]dS(1.114)

Ma,g =∫V

R(~g ·~i1

)ρdV(1.115)

Il secondo termine a secondo membro puo essere in genere trascurato, visto che esso si annullase le sezioni S1 e S2 sono scelte in modo che il versore normale ad esse abbia componenti solo indirezione radiale ed assiale (giaccia cioe su un piano meridiano, vedi Cap. 2). Per quanto riguardail termine gravitazionale, esso e identicamente nullo sia per gas che per liquidi quando l’asse dirotazione e parallelo alla gravita (girante ad asse di rotazione verticale), mentre esso non e nulloquando l’asse di rotazione non e parallelo alla gravita (girante ad asse di rotazione non verticale);


il termine resta tuttavia ugualmente trascurabile per sostanze gassose o per macchine di piccoledimensioni. Con queste ipotesi, se il flusso e stazionario si ottiene una relazione fondamentale per ilcalcolo delle turbomacchine, ovvero la relazione che esprime il legame tra coppia applicata all’alberodella girante e variazione delle grandezze cinematiche (medie) del flusso tra ingresso ed uscita dellagirante stessa:

(1.116) Ma = −∆ [m < RVϑ >]

In virtu di tale relazione, si ricava che: Per una Pompa (Macchina Operatrice): il momento assiale e velocita angolare sono con-

troversi (coppia agisce in direzione opposta al senso di rotazione della macchina); infatti siha che:

[< R2Vϑ2 > − < R1Vϑ1 >] > 0 ⇒ ∆ [< RVϑ >] > 0

⇒Ma < 0⇒ ~Ma controverso a ~ω(1.117)

Per una Turbina (Macchina Motrice): il momento assiale e velocita angolare sono equiversi(coppia agisce nella stessa direzione del senso di rotazione della macchina); infatti si ha che:

[< R2Vϑ2 > − < R1Vϑ1 >] < 0 ⇒ ∆ [< RVϑ >] < 0

⇒Ma > 0⇒ ~Ma equiverso a ~ω(1.118)

Si puo inoltre calcolare la potenza (lavoro per unita di tempo) scambiata tra palettatura eambiente esterno:

(1.119) W = ~Ma · ~ω = −mω∆ [< RVϑ >]

La potenza specifica all’unita di massa elaborata dalla palettatura vale: per macchine radiali o a flusso misto:

(1.120)W

m= −∆ [< UVϑ >]

dove U = ωR; e per macchine di tipo assiale (R1 = R2):

(1.121)W

m= −U∆ [< Vϑ >]

Riassumendo: per una Pompa (Macchina Operatrice):

∆ [< RVϑ >] > 0⇒Ma < 0⇒ W < 0

che rappresenta potenza assorbita da fornire all’albero della girante; Per una Turbina (Macchina Motrice):

∆ [< RVϑ >] < 0⇒Ma > 0⇒ W > 0

che rappresenta potenza disponibile all’albero.Per ovviare all’inconveniente di attribuire una potenza negativa ad una macchina operatrice si e

convenuto di definire la potenza relativa ad una turbomacchina nel seguente modo: Per una Pompa (Macchina Operatrice):

Wp = −W = +m∆ [< UVϑ >] > 0

Per una Turbina (Macchina Motrice)

Wt = +W = −m∆ [< UVϑ >] > 0

Siamo cosı in grado di calcolare il momento assiale scambiato tra:


palettature statoriche e cassa della macchina:

ω = 0 M statorea = −m∆

12[< RVϑ >] 6= 0

e tra palettature della girante ed albero della macchina:

ω 6= 0 Mgirantea = −m∆

23[< RVϑ >] 6= 0

Questi risultati sottolineano che la macchina e sollecitata da un momento torcente sia nelcaso di una schiera di pale statorica che rotorica.

Diversamente, per le potenze si ottiene che: per le palettature statoriche:

ω = 0 W = M statorea ω ≡ 0

mentre per quelli della girante:

ω 6= 0 W = Mgirantea ω 6= 0

che ci permette di concludere che lo scambio di energia della macchina con il mondo esterno puoavvenire solo mediante la girante.

Bibliografia

[1] G. Parolini, A. Del Monaco, and D. Fontana. Fisica Tecnica. UTET, Torino, 1983.[2] H.M. Roder, R.D. McCarty, and W.J. Hall. Computer programs for thermodynamic and

transport properties of hydrogen. NASA CR 129261, Nasa, 1972.[3] Hans Immich. Short Course: Combustion chambers of liquid rocket engines. Master in sistemi di

trasporto spaziale, 2003.[4] G. K. Batchelor. An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press, 1967.[5] M.H. Vavra. Aero-Thermodynamics and Flow in Turbomachines. Robert E. Krieger Publ. Co.,

1974.[6] R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. N. Lightfoot. Transport Phenomena. Wiley, 1960.

CAPITOLO 2

Il flusso nelle turbomacchine

I risultati ottenuti nell’approssimazione macroscopica indicano che relazioni semplici possonoessere ottenute tra lo scambio energetico che avviene in una macchina in rotazione e la variazione dicomponente di velocita in direzione tangenziale. Tali relazioni sono ancor piu valide quanto piu i valo-ri medi sono valutati correttamente. L’evoluzione del flusso attraverso una turbomacchina e tuttaviapiuttosto complessa e tipicamente rappresentabile come un flusso totalmente tridimensionale.

Per uno studio completo e quindi necessario studiare il moto complessivo che comporta varia-zioni delle componenti radiali, tangenziali e assiali della velocita. Questo e possibile soltanto coni mezzi della fluidodinamica computazionale, mentre cercare di riportare lo studio del flusso a dueflussi bidimensionali permette di svolgere considerazioni interessanti. Per fare questo ci si riduceinnanzitutto a studiare, anziche il flusso attraverso l’intera macchina, un tubo di flusso generatodal flusso entrante da una sezione identificata come quella compresa tra due circonferenze separateda una distanza infinitesima nelle direzioni radiale e assiale. In genere si suppone che in primaapprossimazione il flusso sia assialsimmetrico, e quindi il tubo di flusso possa essere consideratoassialsimmetrico. Il suddetto tubo di flusso e delimitato da due superfici di corrente assialsimetricheche nel caso generale assumono ciascuna l’aspetto illustrato in Fig. 2.1. Il flusso lungo la superficie di

Figura 2.1. Flusso tridimensionale nelle turbomacchine.

corrente sara caratterizzato da una componente di velocita “meridiana” e una componente di velo-cita “tangenziale”. La prima e costituita dalle componenti assiale e radiale della velocita, la secondae la componente che da il contributo principale (l’unico nell’approssimazione vista) allo scambio dienergia tra fluido e rotore.

L’intersezione della superficie di corrente con un piano meridiano, cioe un piano che contienel’asse di rotazione della macchina, individua la linea di corrente nel piano meridiano.

39

40 2. IL FLUSSO NELLE TURBOMACCHINE

Nel tubo di flusso considerato, se ci muoviamo lungo la linea di corrente nel piano meridiano, legrandezze non variano in direzione normale alla linea di corrente, a causa dello spessore infinitesimodel tubo di flusso. In generale invece potranno variare nella direzione tangenziale. Rimuovendol’ipotesi di tubo di flusso di spessore infinitesimo, l’intersezione delle pareti del tubo di flusso conciascun piano meridiano individua un tubo di flusso 2D nel piano meridiano.

L’approssimazione che viene fatta nello studio delle turbomacchine e quella di studiare duesottoproblemi 2D del problema 3D:

Flusso quasi-bidimensionale nel piano delle superfici di corrente: Ciascuna delle su-perfici di corrente assialsimmetriche, che possono essere ottenute per rotazione di ciascunadelle linee di corrente che possono essere disegnate nel piano meridiano, puo essere studiatacome un flusso bidimensionale in cui i vettori hanno solo componenti “meridiana” (lungola linea di corrente nel piano meridiano) e “tangenziale” (la direzione perpendicolare). Lostudio lungo la superficie di corrente (viene anche detta “piano interpalare’) e di particolareimportanza perche permette di studiare come si ottengono le variazioni di componente tan-genziale di velocita, quelle decisive dal punto di vista del momento assiale esercitato sullamacchina o dalla macchina.

Flusso bidimensionale nel piano meridiano: Nello studio del flusso nel piano meridianosi fa l’ipotesi di flusso assialsimmetrico e cioe che il flusso ha la stessa soluzione in ogni pianomeridiano. Lo studio riguarda l’evoluzione del flusso in direzione normale alle superfici dicorrente e quindi l’approssimazione bidimensionale considera vettori che hanno soltantocomponenti assiale e radiale, sebbene possano essere presenti forze inerziali dovute allacomponente tangenziale.

2.1. Moto relativo e moto assoluto

L’analisi del campo di flusso attraverso le palettature delle giranti e di piu facile effettuazione sele equazioni che descrivono il flusso vengono espresse rispetto ad un sistema di riferimento solidalecon la girante stessa. Nel seguito viene discusso il caso di particolari sistemi di riferimento relativi:essi sono caratterizzati da un moto rotatorio attorno ad un asse di rotazione (p.es. l’asse di rotazionedella girante), ma non hanno nessun atto di moto traslatorio.

2.1.1. Relazione tra velocita assolute e relative. Consideriamo dunque un sistema di ri-ferimento relativo (non inerziale) con asse ~i2 parallelo alla velocita angolare ~ω e solidale alla girante(Fig. 2.2)1; un qualunque punto P sara individuato in tale sistema da un vettore ~rr che e legato alvettore ~r dalla relazione2:

(2.1) ~r = ~rr +−−→OOr

Considerato un intervallo di tempo dt il punto P si spostera nella posizione P ′ individuata dal vettorespostamento d~r nel sistema di riferimento fisso e dal vettore d~rr nel sistema di riferimento relativo.Per costruzione, d~r e d~rr soddisfano le relazioni3:

(2.2) ~r + d~r = ~r + d~rr + (~ω × ~rr) dt

e quindi:

(2.3) d~r = d~rr + (~ω × ~rr) dt = d~rr + ~ω ×(~r −−−→OOr

)dt = d~rr + (~ω × ~r)dt

1Diversamente dal Cap. 1 dove con ~i1, ~i2, ~i3 si e indicato un sistema di riferimento cilindrico assoluto, in questocapitolo con la stessa terna si indichera sempre un sistema di riferimento relativo, e, in molti casi un sistema diriferimento cilindrico relativo.

2I valori delle grandezze e degli operatori nel sistema di riferimento relativo sono evidenziati dal pedice ()r, mentrequelli nel sistema di riferimento assoluto sono presentati senza pedice.

3Per i sistemi di riferimento scelti vale la relazione ~ω × ~r = ~ω × ~rr.

2.1. MOTO RELATIVO E MOTO ASSOLUTO 41

Figura 2.2. Sistema di riferimento relativo solidale con la girante rotante a velocitaangolare costante

La velocita nel sistema di riferimento assoluto si ottiene rapportando il vettore spostamento d~rall’intervallo di tempo infinitesimo dt:

(2.4)d~r

dt=: ~V =

d~rrdt

+ ~ω × ~rr = ~W + ~ω × ~r = ~W + ~U

I tre vettori di velocita giacciono tutti localmente sul piano tangente alla superficie di corrente (perdefinizione) e quindi su questo piano si puo sempre comporre un triangolo che mostra il vettorevelocita assoluta ottenuto come somma dei due vettori velocita di trascinamento e velocita relativa.Tale relazione e detta triangolo delle velocita (Fig. 2.3):

(2.5) ~V = ~W + ~U

da cui si puo dedurre la seguente relazione tra i moduli delle velocita:

(2.6) W 2 = U2 + V 2 − 2UV cosα

Si osserva che diverse convenzioni sono seguite nei diversi testi per gli angoli α e β. Nel seguito si

Figura 2.3. Triangolo delle velocita

fara riferimento alla convenzione mostrata in Fig. 2.3 e cioe: α = angolo formato tra il vettore velocita assoluta e il vettore velocita di trascinamento; β = angolo formato tra il vettore velocita relativa e un vettore parallelo alla velocita di

trascinamento ma di verso opposto; Vθ = componente tangenziale della velocita assoluta, positiva se diretta come la velocita di

trascinamento; Wθ = componente tangenziale della velocita relativa, positiva se opposta alla velocita di

trascinamento;


Vm = Wm componente meridiana della velocita assoluta, uguale alla componente meridianadella velocita relativa, che si divide a sua volta nelle componenti assiale (proiezione nelladirezione dell’asse di rotazione) e radiale (parte della componente meridiana giacente su unpiano perpendicolare all’asse di rotazione); Va = Wa componente assiale della velocita assoluta, uguale alla componente assiale della

velocita relativa; Vr = Wr componente radiale della velocita assoluta, uguale alla componente radiale della

velocita relativa.

2.1.2. Stazionarieta nel Moto Relativo. Supponiamo che il flusso attraverso un canale in-terpalare sia stazionario rispetto ad un sistema di riferimento relativo alla girante sulla quale ilcanale e calettato. Osservando pero il flusso allo scarico del canale si osserva che gli strati limitiformatisi alle pareti del canale si separano dai profili per poi riunirsi a formare una scia a valle diciascun profilo (Fig. 2.4). Questo rende non uniforme la distribuzione spaziale delle velocita relativeall’uscita della girante, seppur stazionaria:

(2.7) ~W (θr, t) = ~W (θr)

dove θr indica la coordinata in direzione circonferenziale del punto in un sistema di riferimentorelativo solidale con la girante. Poiche θ = θr + θ0 con θ0 = ωt, ne segue che il modulo della velocitaassoluta varra:

(2.8) ~V (θ, t) = ~W (θ − ωt) + ~U

e quindi non e costante nel tempo. Percio, non uniformita spaziali in un flusso relativo sitraducono in non stazionarieta del flusso assoluto.

Figura 2.4. Flusso in uscita dalla girante

Le approssimazioni che si possono fare per semplificare la trattazione dei flussi nelle turbomac-chine sono:

la girante viene rappresentata con una distribuzione infinita di palette di spessoreinfinitesimo: con tale schematizzazione il flusso allo scarico di una schiera di profili euniforme (non si ha piu la presenza di un gradiente di velocita tra ventre e dorso dellasingola pala), e la girante viene vista come una discontinuita del flusso assoluto. la velocita angolare e costante: non vengono cosı analizzati i transitori.

Queste approssimazioni consentono di trattare il flusso come assialsimmetrico, e sono tanto piuaccurate quanto piu e elevato il numero di pale della schiera e quanto piu sottili sono i profili cheformano la schiera.

2.1.3. Relazione tra accelerazione assoluta e relativa. Si ricorda che la definizione diderivata totale (o sostanziale) nel sistema assoluto e:

(2.9)D ( )Dt

=∂ ( )∂t

+(~V · ∇

)( )


mentre la definizione di derivata totale (o sostanziale) nel sistema relativo e:

(2.10)Dr ( )Dt

=∂r ( )∂t

+(~W · ∇r

)( )

Come noto le accelerazioni assoluta e relativa sono legate attraverso l’accelerazione di trascinamentoe di deviazione:

(2.11) ~a = ~ar +d~ω

dt× ~rr + ~ω × (~ω × ~rr) + 2~ω × ~W = ~ar + ~ω × (~ω × ~rr) + 2~ω × ~W

con l’ultima uguaglianza ottenuta nelle ipotesi considerate di origine fissa e velocita di rotazionecostante nel tempo. Ora, osservando che:

(2.12) ~a =D~V

Dte ~ar =

Dr~W

Dtsi ottiene:

(2.13)D~V

Dt=Dr

~W

Dt+ ~ω × (~ω × ~rr) + 2~ω × ~W

dove si ricorda che:

(2.14)

~acen = ~ω × (~ω × ~rr) = accelerazione centripeta~acor = 2~ω × ~W = accelerazione di Coriolis

e si osserva che il modulo dell’accelerazione centripeta, sempre diretta verso l’asse di rotazione, epari a ω2R, avendo indicato con R la distanza del punto considerato dall’asse di rotazione. Allastessa relazione si puo giungere considerando che la particella fluida in un sistema di riferimento noninerziale e sottoposta alle forze apparenti consistenti nel caso in esame nella forza centrifuga e laforza di Coriolis.4

4 Un’interessante procedura formale per ricavare la relazione tra accelerazione assoluta e relativa e riportata nelCap. 7 di [1]. Essa consiste nel sostituire la relazione tra velocita assoluta e relativa:

~V = ~W + ~ω × ~rrnella definizione di velocita assoluta:

D~V

Dt=∂~V

∂t+“~V · ∇

”~V

e quindi espandere gli operatori di derivazione temporale e spaziale. Perche si ottenga il risultato corretto va osservatoche gli operatori devono essere calcolati rispetto al riferimento assoluto. Procedendo come su indicato si arriva alle:

D~V

Dt=

∂

∂t

“~W + ~ω × ~rr

”+“~W + ~ω × ~rr

”· ∇“~W + ~ω × ~rr

”=

=∂ ~W

∂t+ ~W · ∇ ~W +

∂

∂t(~ω × ~rr) + ~W · ∇ (~ω × ~rr) + (~ω × ~rr) · ∇ ~W + (~ω × ~rr) · ∇ (~ω × ~rr)

Per semplificare questa espressione si osserva che, considerando che ~ω e un vettore che non dipende dalla posizioneconsiderata e quindi ∇~ω = 0, si ottiene (per la simbologia si veda la nota a pag. 33):

~W · ∇ (~ω × ~r) = ~W · ∇ (~ω × ~rr) = Wl∂

∂xl

“εijkωixj~ik

”= εijkωiWl

∂xj∂xl

~ik = εijkωiWj~ik = ~ω × ~W

e inoltre che ci sono due termini del tipo (~ω × ~rr) · ∇~b, avendo indicato con ~b un generico vettore. Questi ultimi si

possono semplificare osservando che ~ω × ~rr = ωR~i1 dove con ~i1 e stata indicata la direzione tangenziale e cioe quellaperpendicolare al piano individuato da ~ω e ~rr. Il prodotto scalare di questa direzione per il gradiente e pari alladerivata direzionale e quindi, indicando con Rωdt lo spostamento infintesimo nella direzione tangenziale:

(~ω × ~rr) · ∇~b = ωRd~b

ωRdt=d~b

dt

In un atto di moto rotatorio d~b/dt = ~ω ×~b e quindi:

(~ω × ~rr) · ∇~b = ~ω ×~bsostituendo queste relazioni nella prima, si ha:

D~V

Dt=∂ ~W

∂t+ ~W · ∇ ~W +

∂~ω

∂t× ~rr + ~ω × ~W + ~ω × ~W + ~ω × (~ω × ~rr)


2.1.4. Potenziale dell’accelerazione centripeta. L’accelerazione centripeta e diretta versol’asse di rotazione ed il suo modulo vale ω2R (Fig. 2.2). E’ possibile quindi definire una funzionepotenziale (la forza centripeta e conservativa in quanto centrale):

(2.15) f (R) = R

in modo da poter ricavare l’accelerazione centripeta come il gradiente di tale funzione:

(2.16) ~acen = −ω2R∇ (R) = −ω2∇(R2

2

)= ∇

(−ω2R

2

2

)= ∇

(−U

2

2

)2.1.5. Momento assiale delle forze apparenti. Se adesso consideriamo il caso semplice di

palette piane (questa ipotesi comporta Wθ = 0) possiamo vedere che l’accelerazione di Coriolis el’unica che provoca un momento assiale. Infatti, ricordando che il momento assiale dMa di asse ~j

Figura 2.5. Moto relativo nel caso di palette piane.

esercitato dalla forza apparente dovuta all’accelerazione ~a sulla particella elementare di fluido dm edefinito come:

(2.17) dMa = −~j · (~r × ~adm)

si osserva che essendo l’accelerazione centripeta radiale:

(2.18) ~acen = −ω2R∇ (R)

essa non fornisce momento assiale. L’accelerazione relativa e meridiana, essendo Wθ = 0:

(2.19) ~arel =(~W · ∇

)~W

e quindi anch’essa non fornisce alcun contributo al momento assiale delle forze apparenti. L’accele-razione di Coriolis e infine completamente tangenziale (~ω e ~W individuano in questo caso un pianomeridiano) e fornisce momento assiale:

(2.20) ~acor = 2~ω × ~W

Il momento assiale quindi in modulo sara:

(2.21) dMa = 2ωRWrdm = 2ωRW sin δdm (6= 0)

Questo e l’unico contributo al momento assiale nel caso di palette piane.

avendo anche osservato che ∂r~rr/∂t = 0. Dal confronto della relazione ottenuta con la (2.13) si ottiene che deve essere:

Dr ~W

Dt=∂ ~W

∂t+ ~W · ∇ ~W =

∂r ~W

∂t+ ~W · ∇r ~W

Quest’ultima relazione puo essere utilizzata per procedere con la sostituzione della velocita assoluta con la sommadi quella relativa e di trascinamento, per ricavare sistematicamente le equazioni di conservazione scritte rispetto alsistema di riferimento relativo a partire da quelle gia ottenute per il sistema assoluto.


Nel caso piu generale ci potra essere anche un contributo dell’accelerazione relativa, ma si puovedere facilmente che e solo la componente radiale di velocita relativa a contribuire al momentoassiale dovuto all’accelerazione di Coriolis, che nel caso particolare di assenza di componente assiale(come e il caso di turbomacchine puramente centrifughe o centripete) si scrive:

(2.22) dMa = 2ωRWdm

Si consideri ora una girante a palette piane come quella schematizzata in Fig. 2.5. Nel sistema diriferimento relativo non ci sono superfici mobili e pertanto nelle equazioni di bilancio non comparelo scambio di lavoro con l’esterno. Bisogna tuttavia tener conto della presenza delle forze apparenti.In tal caso nell’ipotesi di palette piane, l’equazione di bilancio del momento della quantita di motoscritta nel sistema di riferimento relativo, non vedra variazioni di componente di velocita tangenziale,ne, nelle ipotesi di funzionamento stazionario, alcun altro termine se non il momento delle forzeapparenti e il momento delle forze applicate sulle pareti solide (fisse nel sistema di riferiento relativo).Il momento assiale esercitato dal fluido sulle pareti solide e dunque pari in modulo a quello esercitatodalle forze apparenti sul fluido ed il calcolo del secondo permette di valutare il primo e quindi lapotenza scambiata dalla macchina con l’esterno. Per calcolare questo momento assiale si puo valutarela massa del fluido che passa attraverso la palettatura. La massa dell’elemento fluido compreso trale ascisse curvilinee ξ e ξ + dξ, posto ad una distanza R dall’asse di rotazione ed avente altezza hnella direzione normale a ξ, potra essere calcolata (indicando con Z il numero di palette e con t lospessore di ciascuna) come:

(2.23) dm = ρ

(2πRZ− t)Zhdξ

Nelle stesse ipotesi, la portata che entra nella girante puo essere calcolata considerando la genericasezione perpendicolare alla velocita ~W , a sua volta diretta come ξ:

(2.24) m = ρ

(2πRZ− t)ZhW

dividendo membro a membro le ultime due relazioni ottenute si ha:

(2.25)dm

m=dξ

W⇒ dm =

mdξ

W

che ci permette di esprimere il dm che appare nell’espressione della forza di Coriolis in funzionedi W , dξ e m. Il momento assiale fornito dall’elementino (considerato come la corona circolare diraggio medio R attorno all’asse di rotazione ~j) assumera quindi l’espressione:

(2.26) dMa = 2ωRW sin δ(mdξ

W

)= 2mωR sin δdξ = 2mωRdR = mωd

(R2)

Il momento assiale delle forze apparenti agenti sul fluido presente all’interno della girante e calcolabilecome integrale lungo il raggio:

(2.27) Ma =∫ R2

R1

dMa = mω(R2

2 −R21

)e quindi per ottenere il moto relativo ipotizzato tra le palette piane e necessario fornire al fluido unapotenza pari a:

(2.28) W = Maω = mω2(R2

2 −R21

)= m

(U2

2 − U21

)ossia, in virtu dell’accelerazione di Coriolis (presente se si ha una variazione di raggio con palettepiane),5 si ha una potenza non nulla all’asse se varia l’accelerazione di trascinamento.

5Nel caso piu generale di palette non piane si possono avere contributi anche derivanti dall’accelerazione relativa.


2.1.6. Equazione di continuita. L’equazione di continuita nel sitema di riferimento relativosi scrive:

(2.29)∂rρ

∂t+(~W · ∇r

)ρ+ ρ

(∇r · ~W

)= 0

Questo risultato puo essere anche ottenuto6 sostituendo le relazioni tra velocita assolute e relati-ve nell’equazione di continuita scritta nel sistema di riferimento assoluto seguendo la procedurariportata nella nota di pagina 43.

2.1.7. Equazioni del moto. L’equazione del moto scritta nel sistema di riferimento relativoe la stessa di quella scritta nel sistema di riferimento assoluto purche si tenga conto della presenzadelle forze apparenti, cosı come descritto dal legame tra accelerazione relativa e accelerazione assoluta(2.11-2.13). L’equazione del moto diventa quindi:

(2.30)Dr

~W

Dt+(∂~ω

∂t× ~rr

)+ 2

(~ω × ~W

)+ ~ω × (~ω × ~rr) = −∇rp

ρ+ ~fr −∇rφ

con

(2.31) ~fr =1ρ∇r · τ

Assumendo velocita angolare costante (∂~ω/∂t = 0), utilizzando il primo principio della termodina-mica (1.73), e la (2.16), l’equazione (2.30) diventa:

(2.32)Dr

~W

Dt+ 2

(~ω × ~W

)−∇r

(U2

2

)+∇rh = T∇rs+ ~fr −∇rφ

Ricordando la (1.30) e procedendo come a pagina 25 si ottiene:

(2.33)∂r ~W

∂t+∇rhtot,r = ~W ×

(∇× ~W + 2~ω

)+ T∇rs+ ~fr

avendo definito un’entalpia totale che contiene al suo interno i contributi di entalpia, energia poten-ziale ed energia cinetica:

(2.34) htot,r = φ+ h+W 2

2− U2

2= φ+ h0,r −

U2

2Nel caso di flusso incompressibile, visto che

(2.35)∇pρ

= ∇(p

ρ

)l’equazione (2.30) puo essere facilmente modificata ricordando ancora la (2.16):

(2.36)Dr

~W

Dt+ 2~ω × ~W = −∇r

(φ+

p

ρ− ω2R2

2

)+ ~fr

e sviluppando la derivata materiale:

(2.37)∂r ~W

∂t+∇rptot,r = ~W ×

(∇× ~W + 2~ω

)+ ~fr

avendo definito una pressione totale del moto relativo come:

(2.38) ptot,r = φ+p

ρ+W 2

2− ω2R2

2

6 Per i passaggi e la discussione si veda [1], § 7.3.


2.1.8. Equazione dell’energia nel moto relativo. Moltiplicando scalarmente per d~r∗ =~Wdt l’equazione del moto relativo (2.33) e ricordando che il differenziale lungo la linea di correntee il gradiente sono legati dalla

(2.39) d′r () = d~r∗ · ∇r ()

vale la seguente relazione:

(2.40)∂r∂t

(W 2

2

)dt+ d′rhtot,r = Td′rs+ dt

(~W · ~fr

)mentre il I principio lungo la linea di corrente si esprime come:

(2.41) Td′rs = d′rq0 − dt(~W · ~fr

)e quindi la variazione dell’entalpia totale del moto relativo e dovuta agli scambi di calore con l’esternoe alla non stazionarieta:

(2.42) d′rhtot,r = d′q0 −∂r∂t

(W 2

2

)dt

Per un flusso adiabatico stazionario (quindi anche non isoentropico) si ha quindi:

(2.43) φ+ h+W 2

2− U2

2= costante

oppure

(2.44) (d~r∗ · ∇r)htot,r = 0

che rappresenta: un flusso con entalpia totale relativa costante ovunque; un flusso con l’entalpia totale relativa che varia solamente in direzione normale alle linee di

corrente del moto relativo.Per un flusso incomprimibile si riparte dalla relazione (2.37) e quindi si scrive:

(2.45)1ρd′ (ptot,r) = −∂r

∂t

(W 2

2

)dt+

(~W · ~fr

)dt

con la pressione totale del moto relativo che rimane costante solamente se il flusso e stazionario enon viscoso.

2.1.9. Bilancio della quantita di moto relativa. Nel caso dello studio del moto nel sistemadi riferimento relativo, lo studio del generico volume di controllo equivale a quello del sistema ma-croscopico, purche vengano distinte le superfici di ingresso ed uscita del fluido dalle pareti. Infatti lepareti sono tutte fisse nel sistema di riferimento relativo e quindi il sistema macroscopico si riducead un caso speciale di volume di controllo (determinato da superfici di controllo tutte fisse). Siricorda che l’assenza di superfici mobili fa’ si che non ci sia scambio di lavoro tra fluido e pareti nelsistema di riferimento relativo (Wr = 0). L’equazione di bilancio della quantita di moto nel sistemadi riferimento relativo puo essere quindi scritta per l’elemento di volume dV:

(2.46)∂r∂t

(ρ ~W

)dV +∇ ·

(ρ ~W ~W

)dV = −

(∇r · τ

)dV−∇pdV− ρ∇φdV− ρ~ω ×

[2 ~W + ~ω × ~r

]dV

e integrata sul volume di controllo (cioe nel sistema macroscopico costituito dalla girante o rotoredi una turbomacchina):

(2.47)d

dt

∫V

~Wdm+∫

S2

~Wdm−∫

S1

~Wdm =∫

S

(−p~n− τ · ~n

)dS + ~G−

∫Vρ~ω ×

[2 ~W + ~ω × ~r

]dV

L’ultimo termine tra parentesi si puo trasformare calcolando il doppio prodotto:

(2.48)∫

Vρ~ω ×

[2 ~W + ~U

]dV = 2

∫Vρ(~ω × ~W

)dV− 1

2

∫Sρω2R2~ndS


La forza che il fluido esercita sulla parete si ha, come si e gia visto in (1.56):

(2.49) ~F =∫

Sw

(p~n+ τ · ~n

)dS

e la sua proiezione lungo l’asse sara, nel caso stazionario e trascurando il termine ~G

(2.50) ~Fr,a = ~j

[∫S1

Wadm−∫

S2

Wadm+∫

S1

p cos δdS−∫

S2

p cos δdS]

risultato ottenuto facendo riferimento a Fig. 2.5 dove con δ si e indicato l’angolo tra la direzioneassiale e quella individuata dall’ascissa curvilinea ξ nel piano meridiano e si sono considerate superficiS1 e S2 perpendicolari alla direzione individuata da ξ.

2.1.10. Bilancio del momento della quantita di moto. Moltiplicando vettorialmente per~rr l’equazione del moto si ottiene l’equazione di bilancio del momento della quantita di moto, checonsente di ottenere una espressione per il momento che il fluido scambia con le pareti solide.Ricordando la (1.105) e la (1.108) l’equazione di bilancio del momento della quantita di moto nelsistema di riferimento relativo si scrive7:

(2.51)∂r∂t

(ρR ~W ·~i1

)+∇r ·

(ρR ~W ·~i1 ~W

)+R (∇p) ·~i1+

+R∇ ·(~i1 · τ

)+ ρR (∇φ) ·~i1 + ρR~acen ·~i1 + ρR~acor ·~i1 = 0

si tratta quindi della (1.108) scritta nel sistema di riferimento relativo con l’aggiunta dei terminidelle forze apparenti. Ricordando le (2.14) si nota facilmente che il termine della forza centrifuganon da’ contributo alla (2.51), mentre per quanto riguarda il termine della forza di Coriolis, si ha:

2~ω × ~W ·~i1 = 2ω~i2 × ~W ·~i1 = 2ω~i1 ×~i2 · ~W = 2ω~i3 · ~W = 2ωWr

Integrando sul volume e procedendo come in § 1.6.2 si ottiene un’espressione identica alla (1.111)dove si sostituiscono le velocita relative a quelle assolute e si aggiunge a secondo membro l’integralegenerato dalle forze apparenti:

(2.52)dLr,a,totdt

= −∫S2

(R ~W ·~i1

)dm+

∫S1

(R ~W ·~i1

)dm−

∫S1+S2+Sw

[R(~n ·~i1

)p]dS−

−∫

S1+S2+Sw

[R(τ · ~n

)·~i1]dS +

∫V

R(~g ·~i1

)ρdV−

∫V

2RωWrρdV

Da quest’ultima espressione e possibile ricavare il momento assiale esercitato dal fluido sulle pareti(che nel caso del sistema di riferimento relativo saranno solo pareti fisse):

(2.53) Mr,a = − d

dt

∫V

(R ~W ·~i1

)dm+

∫S1

(R ~W ·~i1

)dm−

∫S2

(R ~W ·~i1

)dm−

∫V

2RωWrρdV

avendo considerato sezioni di ingresso e di uscita perpendicolari all’asse di rotazione (lungo di esse~n ·~i1 = 0).

7 In questo caso si e preferito indicare esplicitamente il prodotto scalare ~W · ~i1 per indicare la componentetangenziale della velocita relativa. Questo perche nella discussione si considera una terna destra definita da versoridiretti secondo la direzione dell’asse di rotazione (orientato come ~ω), la direzione radiale (orientata verso l’esterno), ela direzione circonferenziale (orientata come la velocita di trascinamento), mentre con Wθ si intendera nel seguito del

testo la componente tangenziale di ~W cambiata di segno, come indicato in Fig. 2.3.

2.3. FLUSSO NEL PIANO MERIDIANO 49

2.2. Flusso nel piano delle superfici di corrente

Si puo studiare il flusso lungo la superficie di corrente riportandolo nel piano ξ − θ, dove ξ el’ascissa curvilinea, calcolata lungo l’intersezione della superficie di corrente con il piano meridiano.La turbomacchina puo essere classificata come assiale, radiale o mista in base alla direzione dell’a-scissa curvilinea ξ, rispettivamente, assiale, radiale oppure generica (con componenti sia radiale siaassiale).

(a) Assiale (b) Radiale (c) Mista

Figura 2.6. Tipi di turbomacchina in base alla direzione della linea di corrente.

In questo piano la velocita avra ovviamente una componente lungo l’ascissa ξ (componentemeridiana) e una componente tangenziale. Lungo questo piano potranno essere individuate le traccedelle superfici mobili (pale) che indirizzano il flusso come desiderato e che sono quelle che permettonolo scambio energetico (e su di esse infatti che viene applicato un momento assiale che compie lavoro).La presenza di superfici mobili in numero discreto fa cadere le ipotesi di flusso assialsimmetrico fatteall’inizio del capitolo. Quelle ipotesi vanno quindi viste come rappresentative di un comportamentomedio del flusso.

L’angolo che localmente forma la pala (o idealmente il flusso nell’ipotesi di numero infinito dipale di spessore nullo) con la direzione tangenziale e:

(2.54) tanβ = −dξ

rdθ

L’angolo β (vedi anche Fig. 2.3) viene preso positivo se la pala e inclinata in direzione opposta allarotazione. Nel caso particolare di β costante si ha una pala rettilinea nel caso di turbomacchinaassiale e pala a spirale logaritmica nel caso di turbomacchina radiale. Il caso di β = 90o indica chela pala e meridiana (in tal caso se β e costante si ha una pala piana anche nel caso di turbomacchinaradiale).

Lo studio nel piano della superficie di corrente (o piano interpalare) ci permette di individuarela forma della palettatura. Infatti dall’equazione di Eulero per le turbomacchine, sappiamo che loscambio di energia e legato alla variazione della componente tangenziale di velocita (e solo ad essa nelcaso di turbomacchina assiale). Di conseguenza si puo vedere quale deve essere il tipo di curvaturache devono avere le superfici mobili per ottenere questa variazione. Il primo passo sara quello difare l’ipotesi di “guida perfetta” e cioe nell’ipotesi che il flusso segua perfettamente la direzione dellepale (cio equivale a considerare un numero infinito di pale di spessore nullo).

Nei capitoli seguenti si vedra il dettaglio del flusso nel piano delle superfici di corrente per il casospecifico di pompe e turbine.

2.3. Flusso nel piano meridiano

L’altezza dei tubi di flusso nel piano meridiano mostrata in Fig. 2.6 indica che bisogna considerarein flusso non solo nel piano ξ−θ ma anche quello che si stabilisce in direzione normale a questo piano,e cioe nel piano meridiano. Si tratta quindi di studiare le relazioni tra le evoluzioni del flusso lungo


le diverse possibili superficie di corrente. Per capire queste relazioni conviene scrivere le equazionidel moto in coordinate cilindriche.

Si consideri l’equazione della quantita di moto nel caso ideale:

(2.55) ρD~V

Dt= −∇p

che puo essere trasformata in coordinate cilindriche attraverso le posizioni8:

(2.56) ~V = Vr~ir + Vθ~iθ + Va~ia

(2.57) ∇ () =∂ ()∂R

~ir +1R

∂ ()∂θ~iθ +

∂ ()∂z~ia

e proiettata radialmente:

(2.58)∂Vr

∂t+ Vr

∂Vr

∂R+VθR

∂Vr

∂θ−V 2θ

R+ Va

∂Vr

∂z= −1

ρ

∂p

∂R

2.3.1. Vortice libero e vortice forzato. Considerando che: il flusso sia stazionario; i gradienti spaziali della velocita radiale Vr siano trascurabili rispetto al termine non

derivato;allora e possibile affermare che il gradiente di pressione radiale e fornito dalla forza centrifuga:

(2.59)dp

dR= ρ

V 2θ

R

Tale equazione differenziale ordinaria ha due soluzioni notevoli: vortice libero: e una soluzione irrotazionale in cui

(2.60) VθR = ωfR2 = C

ossia la velocita angolare del fluido (indicata con ωf ) e inversamente proporzionale alquadrato del raggio

(2.61) ωf (R) =C

R2

sostituendo nella (2.59) si ottiene, per flussi incomprimibili, che la pressione ha un’espres-sione del tipo:

(2.62)p

ρ= −1

2C2

R2+ cost = −1

2V 2θ + cost

con l’energia delle particelle pari a:

(2.63) eθ =p

ρ+

12V 2θ = cost

e quindi non occorre fare del lavoro per portare le particelle da un raggio ad un altro: taleflusso si riscontra nei condotti di mandata e di ritorno dalle turbomacchine ove, in assenza diparti mobili, non e possibile fornire lavoro al flusso e quindi questa e l’unica configurazioneimmaginabile. vortice forzato: e tipico dei corpi rigidi in rotazione attorno ad un’asse:

(2.64)VθR

= ωf = cost.

e quindi la pressione sara:

(2.65) p (R) = ρω2f

R2

2+ cost. =

12ρV 2

θ + cost.

8 Per maggior chiarezza i versori vengono indicati con ~ir =~i3, ~iθ =~i1 e ~ia =~i2.

2.3. FLUSSO NEL PIANO MERIDIANO 51

Figura 2.7. Andamenti della velocita e pressione per un vortice libero

e l’energia associata al moto vorticoso e:

(2.66) eθ =p

ρ+

12V 2θ = V 2

θ + cost. = ω2fR

2 + cost.

che aumenta con il raggio e dunque e necessario compiere un lavoro per spostare le particelleda un raggio ad un altro (negativo se il raggio aumenta):

(2.67)∆pρ

= ω2f

(R2

2 −R21

)

Figura 2.8. Andamenti delle velocita e pressione per un vortice forzato

2.3.2. Relazione fra flusso assiale e tipo di vortice. La derivata lungo il raggio del primoprincipio (1.74) puo essere calcolata come:

(2.68) ~ir ·(T∇s = ∇h− ∇p

ρ

)ottenendo:

(2.69) Tds

dR=dh

dR− dp

dR

e per l’equilibrio radiale e per la definizione di entalpia di ristagno assoluta per un moto vorticoso(VR = 0)

(2.70) h0 = h+12(V 2θ + V 2

a

)si ha:

(2.71) Tds

dR− dh0

dR= −1

2d

dR

(V 2θ + V 2

a

)−V 2θ

R


Nell’ipotesi che il flusso il flusso sia isoentropico e isoentalpico allora vale

(2.72)d

dR

(V 2a

2

)= −

V 2θ

R− d

dR

(V 2θ

2

)ma si ha anche:

(2.73)V 2θ

R+

d

dR

(V 2θ

2

)=

12

1R2

d

dR

[(RVθ)

2]

e quindi:

(2.74)d

dR

(V 2a

)= − 1

R2

d

dR

[(RVθ)

2]

che lega le componenti assiali e tangenziali del moto del flusso vorticoso nelle ipotesi sopra descritte.Nei casi particolari esaminati si ha:

per il vortice libero essendo RVθ costante ne segue che:

(2.75) Va = costante

ossia la velocita di avanzamento assiale e la medesima a tutte le distanze dall’asse; per il vortice forzato invece Vθ = ωfR e integrando:

(2.76) −∫ R2

R1

d

dR

(V 2a

)dR =

∫ R2

R1

1R2

d

dR

[(R2ωf

)2]dR

ottenendo

(2.77) V 2a (R) = 2ωf 2R2 + cost.

oppure in altra forma:

(2.78)12(V 2a2− V 2

a1

)= ωf

2(R2

2 −R21

)= ωfR2Vθ2 − ωfR1Vθ1 =

W

m

Per una macchina assiale, dalla (1.121) e derivando entrambi i membri secondo il raggio, considerandoil flusso ad entalpia costante lungo lo stesso:

(2.79) ωfd

dR(R∆ [Vθ]) = 0

ossia:

(2.80) R∆ [Vθ] = cost.

che contempla due casi: RVθ = cost. ossia il flusso e di vortice libero: questo tipo di progettazione pero porta a

svergolamenti elevati; Vθ2 = Vθ1 e quindi viene conservata la velocita tangenziale tra ingresso e uscita ma il flusso

non e in generale quello di vortice libero.

Bibliografia

[1] M.H. Vavra. Aero-Thermodynamics and Flow in Turbomachines. Robert E. Krieger Publ. Co.,1974.

CAPITOLO 3

Prestazioni delle turbomacchine

3.1. Equazione di Eulero delle Turbomacchine

Il bilancio macroscopico che esprime la conservazione del momento della quantita di moto in unaturbomacchina e espresso dall’Eq. (1.119):1

W

m= −∆ [< UVϑ >]

Si e visto inoltre che la dinamica dell’energia totale del fluido obbedisce ad una legge di con-servazione diversa a seconda se il flusso e comprimibile o incomprimibile, cioe a seconda se si staconsiderando una macchina termica o una macchina idraulica2. Tuttavia e interessante mostrare leanalogie tra le diverse espressioni nel caso in cui si fa’ l’ipotesi di fluido comprimibile isentropico(cio equivale a considerare la macchina di interesse non adiabatica, mentre di solito si considerala macchina adiabatica, essendo quest’ultima un’ipotesi piu prossima al comportamento reale dellamacchina). Per avere un fluido comprimibile isentropico bisognera sottrarre dall’esterno una quan-tita di calore pari a quella generata dall’irreversibilita della trasformazione (vedi pag. 30). Si haquindi:

incomprimibile (liquido):3

(3.1)W

m= −∆

[12< V 2 > +φ+

p

ρ

]− Evm

comprimibile isentropico:

(3.2)W

m= −∆

[12< V 2 > +φ+ h

]− Evm

comprimibile (caso generale, vedi Eq. (1.88)):

(3.3)W

m= −∆

[12< V 2 > +φ+ h

]+Q

m

Si ricorda che nel caso comprimibile adiabatico (3.3) la variazione di entalpia totale e pari proprioal lavoro scambiato e descritto dalla (3.2) con l’ultimo termine nullo (Ev 6= 0 ma esso non comparenella (3.2) perche Q = 0).

Cerchiamo di uniformare le relazioni (3.2) e (3.1) in una forma tale che possano valere sia perun gas che per un liquido. Allo scopo, introduciamo una variabile di stato H tale che:

1In questo capitolo appaiono contemporaneamente l’energia interna e la velocita di trascinamento, entrambeindicate con il simbolo U . Nonostante cio possa in principio generare confusione e stata mantenuta questa simbologiache e quella piu diffusa per queste grandezze. Per evitare ogni rischio di confusione si segnala che in questo capitolol’energia interna apparira esclusivamente attraverso il suo valore specifico (u) e quindi il simbolo maiuscolo U identificainequivocabilmente la velocita di trascinamento (U = ωR).

2Una macchina a fluido incomprimibile e di solito classificata come macchina idraulica mentre una macchina afluido comprimibile come macchina termica. Inoltre una macchina che cede energia al fluido compiendo lavoro su diesso e detta operatrice, mentre una macchina che estrae lavoro dal fluido e detta motrice. In particolare una macchinaoperatrice idraulica e chiamata pompa, una macchina operatrice termica compressore, mentre per le macchine motricisi parla sempre di turbina (turbina idraulica o turbina a gas).

3Si ricorda che V e il modulo della velocita che puo essere espresso come V = V 2ϑ + V 2

a + V 2R.

53

54 3. PRESTAZIONI DELLE TURBOMACCHINE

|~g|H := φ+ u+p

ρ≈ u+

p

ρper un gas

|~g|H := φ+p

ρper un liquido(3.4)

Confrontando le due espressioni si nota che si puo istituire la seguente analogia:

energia interna del gas (∆u = cv∆T ) ⇔ altezza piezometrica (∆φ = |~g|∆z);energia di compressione ⇔ energia di pressione idrostatica

Questa notazione permette di scrivere il bilancio dell’energia totale (valido sia per un gas isentropicoche per un liquido) nella forma:

(3.5)W

m= −∆

[12< V 2 > +|~g|H

]− Evm

o piu in generale per un gas nella forma:

(3.6)W

m= −∆

[12< V 2 > +|~g|H

]+Q

m

Introducendo la notazione di energia di ristagno H0 = H + V 2/2, si ha infine:

(3.7)

W

m= −∆

[|~g|H0

]− Evm

Liquido (gas incomprimibile), gas isentropico

W

m= −∆

[|~g|H0

]+Q

mGas (caso generale)

e quindi definendo una nuova grandezza, Q che rappresenta energia sottratta al fluido per effetto diattrito o di scambio di calore o della combinazione di entrambi e in particolare:

(3.8)

Q = Ev Liquido (gas incomprimibile)

Q = Ev = −Q Liquido isotermo (gas comprimibile isentropico)

Q = −Q Gas (caso generale)

e confrontando la legge che esprime la conservazione del momento della quantita di moto (1.119),con quella dell’energia totale nella forma generalizzata (3.7), si ottiene la relazione fondamentaledelle turbomacchine (o Equazione di Eulero) che stabilisce che:

(3.9) |~g|∆ [H0] = ∆ [< UVθ >]− Q

m= −(

W

m+

Q

m)

valida sia per sostanze gassose che per liquidi.L’Eq. (3.9) indica che la variazione di altezza totale H0 del fluido tra ingresso ed uscita della

macchina si traduce quindi in potenza meccanica disponibile all’asse e perdite meccaniche ed inoltreche a tale variazione corrisponde una variazione delle grandezze cinematiche (medie) del flusso traingresso ed uscita della girante stessa.

La relazione (3.9) si puo riscrivere come:

∆[|~g|H

]+ ∆

[12< V 2 >

]−∆

[< UVϑ >

]= − Q

m

e quindi come:

3.3. VARIAZIONE ENERGIA TOTALE 55

∆

|~g|H +12< V 2 > − < UVϑ >︸︷︷︸

Entalpia rotazionale di ristagno=I0

= − Q

m

Tale relazione suggerisce di introdurre una nuova variabile di stato I0 designata come Rotalpiadi ristagno o Entalpia rotazionale di ristagno

(3.10) I0 = |~g|H +12V 2 − ωRVϑ

che ha la proprieta di conservarsi inalterata tra l’ingresso e l’uscita di una macchina che ruota avelocita angolare ω costante se il secondo membro e nullo. Cio accade ad esempio per una macchinaidraulica ideale (Ev = 0) o per una macchina termica adiabatica (Q = 0).

In conclusione, la relazione di Eulero per le turbomacchine si scrive:

|~g| ∆[H0

]︸︷︷︸

(1)

= ∆[UVϑ

]︸︷︷︸

(2)

− Q

m︸︷︷︸(3)

= −(W

m︸︷︷︸(4)

+Q

m

)

e mette in relazione fra loro:(1) Variazione dell’energia totale del fluido |~g|∆ [H0] che assume una diversa espressione a

seconda che il fluido sia un liquido o un gas;(2) Espressione della variazione del momento angolare ∆ [UVϑ] nelle sue componenti vorticose;(3) Perdite di energia meccanica o calore scambiato con l’esterno;(4) Lavoro scambiato con l’esterno.

3.2. Relazione fra momento angolare e moti vorticosi

Partendo dalla relazione (2.6), calcolata studiando il triangolo delle velocita e riportata di seguitoper comodita:

W 2 = V 2 + U2 − 2UV cosα

il termine UVϑ si puo calcolare come:

(3.11) UVϑ =12(V 2 + U2 −W 2

)Inoltre possiamo esprimere la velocita relativa e quella assoluta in funzione delle componenti

meridiane e circonferenziali:V 2 = V 2

ϑ + V 2m

W 2 = W 2ϑ +W 2

m

osservando che il moto di trascinamento e puramente circonferenziale e quindi che le componenentimeridiane assoluta e relativa coincidono, si ha:

(3.12) ∆ [UVϑ] = ∆[V 2

2+U2

2− W 2

2

]= ∆

[V 2ϑ

2+U2

2−W 2ϑ

2

]Questa relazione mostra che le uniche componenti di velocita che contribuiscono a variare il

momento di quantita di moto sono quelle circonferenziali, ovvero quelle associate al moto vorticosoassoluto e relativo.

3.3. Variazione energia totale

Esamineremo il caso di un liquido e quello di un gas separatamente.


3.3.1. Compressione di un liquido. Per un liquido, l’equazione di Eulero diventa:

∆[|~g|H +

V 2

2

]= ∆ [UVθ]−

Evm

e sostituendo sopra la relazione (3.11) e trascurando le variazioni di energia potenziale si ha lasemplice relazione che lega il salto di pressione alla variazione di energia cinetica del moto relativoe di trascinamento:

(3.13) ∆[p

ρ

]= ∆

[U2 −W 2

2

]− Evm

p2

ρ− p1

ρ=U2

2 − U21

2+W 2

1 −W 22

2− Evm

che ci porta alla conclusione che se: la macchina e radiale deve essere R2 > R1 cioe la macchina deve essere centrifuga; la macchina e assiale (ma puo valere anche se e radiale) deve essere comunque W2 < W1.

In ogni caso per le aree deve essere A1 < A2.

3.3.2. Espansione adiabatica di un gas. Per un gas, nelle ipotesi di flusso adiabatico,l’equazione di Eulero diventa:

(3.14) −∆[h+

V 2

2

]= −∆

[V 2

2

]+ ∆

[W 2

2

]−∆

[U2

2

]ossia:

−∆ [h] = ∆[W 2

2

]−∆

[U2

2

]h1 − h2 =

U21 − U2

2

2+W 2

2 −W 21

2e considerando il gas termicamente e caloricamente perfetto:

−cp∆ [T ] = ∆[W 2

2

]−∆

[U2

2

]oppure dalla equazione (3.9):

(3.15)W

m= −cp∆ [T0] = −∆ [UVθ]

e quindi:∆ [T0]T01

=∆ [UVθ]cpT01

=1

cpT01

(∆[V 2

2− W 2

2+U2

2

])3.4. Rendimenti

Per una pompa possiamo immaginare il flusso di energia che:(1) viene fornita, mediante una turbina o altro organo motore, all’asse della pompa ed e detta

potenza reale all’albero ed e pari a W ;(2) attraverso delle perdite meccaniche (dovute a cuscinetti, tenute), schematizzabili con un

rendimento meccanico ηmecc, diventano l’energia disponibile per la girante;(3) la rotazione della stessa trasferisce energia al fluido (|~g|∆ [H0]) (energia disponibile per

il fluido) con delle perdite (per flusso non potenziale) quantificabili con un rendimentoidraulico ηidr;

e il rendimento della pompa e nell’insieme:

ηp = ηmeccηidr

Per una turbina invece:

3.4. RENDIMENTI 57

Figura 3.1. Schematizzazione del flusso energetico in una pompa.

(1) l’energia disponibile iniziale e quella del fluido (∆ [h0]) (energia disponibile per il flui-do) e, attraverso le perdite fluidodinamiche (quantificate attraverso il rendimento adiaba-tico ηts) dovute a sforzi tangenziali, ricircoli, flussi secondari arriva a costituire l’energiadisponibile per la girante;

(2) attraverso l’organo rotante, con perdite dovute agli attriti e alle tenute (ηmecc), si arriva aduna potenza detta potenza all’albero da cedere all’utilizzatore

(W)

che puo essere unapompa od altra macchina operatrice.

e quindi:ηT = ηmeccηts

Figura 3.2. Schematizzazione del flusso energetico in una turbina.

3.4.1. Rendimento di pompe. L’equazione di Eulero specializzata per le pompe e riferitaalla girante nel caso reale e:4

W rep

m= −W

re

m= ∆

[p0

ρ+ φ

]+Evm

avendo introdotto la pressione totale per fluidi incomprimibili: p0 = p + ρV 2/2. Nel caso ideale(perdite nulle) si ha invece:

W idp

m= ∆

[p0

ρ+ φ

]e il rendimento della pompa potra essere espresso come il rapporto tra le due espressioni del lavoro(trascurando il termine gravitazionale):

ηp =W id

p

W rep

=1

1 +Ev/m

(p02 − p01)/ρ

4 Si ricorda che a pag. 37 erano state definite le potenze di pompa e turbina con segni opposti in modo che venganoconsiderati sempre valori positivi.


ed il lavoro necessario alla girante per realizzare un certo salto di pressione si calcolera semplicemente:

Wp =1ηpW id

p =1ηp

p01

ρ

(p02

p01− 1)

=1ηp

(p2 − p1

ρ+V 2

2 − V 21

2

)3.4.2. Rendimento di turbine. Si possono individuare diversi tipi di rendimento: Rendimento adiabatico (o isentropico) di macchina:

. Rendimento total-to-total;

. Rendimento total-to-static; Rendimento pluri-stadio

. Numero finito di stadi;

. Numero infinito di stadi: rendimento politropico.3.4.2.1. Rendimento adiabatico. Consideriamo ora una turbina che effettui un’espansione adia-

batica attraverso uno statore ed un rotore in due diversi casi: per un’espansione ideale la variazione di entropia e nulla attraverso i componenti:

∆sI = ∆sII = 0

cio equivale anche ad assumere, essendo Q = 0 che:

Ev ≡ 0

Se l’energia cinetica del flusso in uscita e utile al sistema (per esempio per una successivaaccelerazione in un ugello) allora il lavoro utile che puo essere idealmente estratto dallaturbina e detto total to total ed e pari alla variazione di entalpia totale del flusso:

(3.16)W idtt

m= −∆ [h0]idtt = h01 − h03s (s1, p03s)

mentre se l’energia cinetica residua non e utile si definisce il lavoro massimo idealmen-te estraibile (quello in condizioni isentropiche) il lavoro total to static che e pari allavariazione tra l’entalpia totale a monte e l’entalpia statica a valle:

(3.17)W idts

m= −∆ [h0]idts = h01 − h3s (s1, p3)

ma entrambe sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto di espansione dellaturbina.

Figura 3.3. Evoluzione del flusso in turbina riportata nel piano entalpico.

3.4. RENDIMENTI 59

per un’espansione reale le perdite sono diverse da zero e vanno sottratte al lavoro idealeper avere il valore reale estratto. Tuttavia, nelle macchine motrici a fluido comprimibilebisogna tener conto che parte del lavoro perso a causa dell’attrito viene recuperato grazieal riscaldamento del fluido (cosidetto “lavoro di recupero”, 0 ≤ Erec ≤ Ev):

W rett

m= −∆ [h0]rett = −∆ [h0]idtt −

Evm

+Erecm

= h01 − h03s (s1, p03s)−Evm

+Erecm

W rets

m= −∆ [h0]rets = −∆ [h0]idts −

V 23

2− Evm

+Erecm

= h01 − h3s (s1, p3s)−

(Evm− Erec

m+V 2

3

2

)e possiamo quindi definire il rendimento adiabatico total to total:

ηtt =W rett

W idtt

=h01 − h03

h01 − h03s= 1− Ev − Erec

m (h01 − h03s)

e il rendimento adiabatico total to static:

ηts =W rets

W idts

=h01 − h3

h01 − h3s= 1− Ev − Erec + mV 2

3 /2m (h01 − h3s)

e quindi il lavoro estratto sara:

W =

ηtt

(h03s, Ev, Erec

)W idtt (h03s)

ηts

(h3s, Ev, Erec,

V 232

)W idts (h3s)

Adesso, considerando anche la (3.15) si puo legare il rendimento adiabatico total to static con ilrapporto di espansione e il lavoro estratto:

(3.18) ηts =cp (T01 − T03)cp (T01 − T3s)

=1− T03

T01

1− T3s

T01

=1− T03

T01

1−(p3

p01

) γ−1γ

=W

mcpT01

[1−

(p3s

p01

) γ−1γ

]visto che nel caso ideale l’espansione e isentropica; per il rendimento total to total:

(3.19) ηtt =1− T03

T01

1−(p03

p01

) γ−1γ

=W

mcpT01

[1−

(p03s

p01

) γ−1γ

]e il lavoro per unita di massa puo essere quindi espresso come:

(3.20)Wts

m= ηtscpT01

[1−

(p3s

p01

) γ−1γ

]oppure

(3.21)Wtt

m= ηttcpT01

[1−

(p03s

p01

) γ−1γ

]Se consideriamo piccole le differenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale:

V 23

2' V 2

3s

2allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti:

(3.22) ηtt =ηts

1− V 23

[2cp (T01 − T3s)]


e risulta subito:ηtt > ηts

3.4.2.2. Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico. Si riprenda la definizione(3.18)

ηts =1− T03

T01

1−(p3

p01

) γ−1γ

e si consideri che per una turbina5

∆scp

= lnT03

T03s

visto che i due punti sono sulla stessa curva di pressione totale; si puo anche esprimere il rapportotra le temperature finali e iniziali come:

T03

T01=

T03

T03s

T03s

T01= e

∆scp

(p03

p01

) γ−1γ

e quindi il rendimento total to static sara:

ηts =1−

(p03

p01

) γ−1γ

e∆scp

1−(p3

p01

) γ−1γ

ed analogamente per il rendimento total to total:

ηtt =1−

(p03

p01

) γ−1γ

e∆scp

1−(p03

p01

) γ−1γ

3.4.2.3. Rendimento di una macchina pluristadio. La presenza di un’espansione reale, con au-mento di entropia, porta ad un vantaggio per la turbina quantificabile in un fattore di recupero;consideriamo per semplicita una macchina a tre stadi con il medesimo rendimento adiabatico delsingolo stadio:

ηst =h01 − h02

h01 − h02s=

h02 − h03

h02 − h03ss=

h03 − h04

h03 − h04sss

ed il rendimento totale che sara definito semplicemente come:

ηT =h01 − h04

h01 − h04s= ηst

(h01 − h02s) + (h02 − h03ss) + (h03 − h04sss)h01 − h04s

ma dal piano entalpico (Fig. 3.4) possiamo anche dire che:

h02 = h02s + ∆h′2

h03 = h03ss + ∆h′3

5Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha:

ds = cpdT0

T0−Rdp0

p0

ma per un’isobara (dp0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all’aumentare della temperatura (e quindi dell’entalpia):

dT0

ds

˛p0=cost.

=T0

cp

3.4. RENDIMENTI 61

h04sss = h04s + ∆h′4 + ∆h

′′4

e sostituendo:

ηT = ηsth01 − h02s +

(h02s + ∆h

′2 − h03ss

)+[h03ss + ∆h

′3 −

(h04s + ∆h

′4 + ∆h

′′4

)]h01 − h04s

ossia:

(3.23) ηT = ηst

1 +∆h

′2 + ∆h

′3 −

(∆h

′4 + ∆h

′′4

)h01 − h04s

con in generale

ηT > ηst

vista la divergenza delle isobare.

Figura 3.4. Stati termodinamici all’ingresso e all’uscita di ciascuno dei tre stadisimili di una turbina nel piano entalpico.

3.4.2.4. Rendimento politropico. Se consideriamo ora infiniti stadi che compiono ciascuno un’e-spansione infinitesima il rendimento politropico si puo definire come:

(3.24) ηp =dh0

dhid0

ma dall’espressione dell’entropia della nota 5 di pagina 60 si ha:

Tds = dh0 −1ρ0dp0

che nel caso isoentropico:

dhid0 =1ρ0dp0

e il rendimento politropico (3.24) diventa:

ηp =ρ0cpdT0

dp0=p0

T0

γ

γ − 1dT0

dp0

ma considerando il rendimento ηp costante tra due stati (1) e (2) e integrando per separazione dellevariabili si ha:

(3.25)T02

T01=(p02

p01

) γ−1γηp


Si puo introdurre quindi il fattore di recupero politropico definito come il rapporto tra ilrendimento dello stadio e quello politropico:

ηisηp

=

h01 − h02

h01 − h02s

ηp=(

1ηp

) 1− T02

T01

1− T02s

T01

=(

1ηp

) 1−(p02

p01

) γ−1γηp

1−(p02

p01

) γ−1γ

Si dimostra che tale rapporto e maggiore di uno e quindi e un’effettivo fattore di recupero; risultafunzione del rendimento politropico e del rapporto di espansione (per la divergenza delle isobare).6

Per una trasformazione politropica di indice n (che puo approssimare un’adiabatica non isentro-pica) rappresentata dall’espressione

p · ρ−n = cost.

si ha, differenziando rispetto alle grandezze totali:

(3.26)dp0

p0− ndρ0

ρ0= 0

mentre differenziando l’equazione di stato per un gas ideale si ottiene:

(3.27)dp0

p0− dρ0

ρ0=dT0

T0

e combinando (3.26) e (3.27) si ha:

(3.28)dT0

T0=n− 1n

dp0

p0

e confrontando le relazioni (3.25) e (3.28) si ha un’espressione di ηp legata all’indice della politropican:

(3.29) ηp =γ

γ − 1n− 1n

3.4.3. Rendimento di ugelli. Per un ugello il rendimento7 puo essere espresso come rapportotra la variazione dell’entalpia statica reale e quella ideale nel caso in cui il processo sia isoentropico:

(3.30) ηn =h1 − h2

h1 − h2s=V 2

2 − V 21

V 22s − V 2

1

≈ V 22

V 22s

con l’ultima approssimazione valida nel caso in cui la velocita all’ingresso dell’ugello sia molto piupiccola di quella all’uscita. Distinguendo per i diversi fluidi:

6In maniera del tutto simile puo essere definito un fattore di controrecupero per i compressori che e minoredi uno per le medesime ragioni esposte sopra.

7Ricordiamo che in un ugello o in un diffusore, essendo assenti parti mobili, il lavoro compiuto sul fluido e nullo:

W = 0

e quindi, nell’ipotesi che il flusso possa essere considerato in buona approssimazione anche adiabatico (Q = 0) l’entalpiatotale (o l’altezza totale) si conserva.

3.4. RENDIMENTI 63

per un gas il rendimento dell’ugello si puo esprimere ricordando che:(T01

T2s

)=(p01

p2

) γ−1γ

;(T01

T2

)=(p02

p2

) γ−1γ

e (T2

T2s

)=(p01

p02

) γ−1γ

;(T2s

T1

)=(p2

p1

) γ−1γ

da cui si ottiene:

ηn = 1−1−

(p01

p02

) γ−1γ(p2

p1

) γ−1γ

1−(p2

p1

) γ−1γ

≈ 1−1−

(p2

p02

) γ−1γ

1−(p2

p01

) γ−1γ

Poiche la variazione di entropia per un processo ad entalpia totale costante e:

∆sR

= lnp01

p02

si puo anche scrivere:

ηn = 1−1− e

∆sR

(p2

p1

) γ−1γ

1−(p2

p1

) γ−1γ

per un liquido invece, nel caso isoentropico si ha:

dh =1ρdp

e quindi integrando tra 1 e 2s

h1 − h2s =1ρ

(p1 − p2)

mentre nel caso reale

h1 − h2 =V 2

2

2− V 2

1

2Si puo quindi facilmente ottenere per il rendimento:

ηn = 1− p01 − p02

p1 − p2

3.4.4. Rendimento di diffusori. Per un diffusore possiamo definire il rendimento come ilrapporto tra il salto ideale e quello reale che, per la divergenza delle isobare, e piu grande:

(3.31) ηd =h2s − h1

h2 − h1=V 2

1 − V 22s

V 21 − V 2

2

Per un liquido si possono fare le posizioni precedenti trovando:

(3.32) ηd =1

1 +p01 − p02

p2 − p1


Figura 3.5. Rappresentazione sul piano (h, s) espansione e compressione di ugelli e diffusori

3.5. Grado di Reazione

Il grado di reazione si definisce come il rapporto tra la variazione dell’entalpia statica e quellatotale attraverso lo stadio rotorico:

(3.33) R =∆ [H]∆ [H0]

= 1−∆[V 2

2

]∆[UVθ

] =∆[U2

2− W 2

2

]∆[UVθ

]Dalla definizione di grado di reazione si puo trovare la relazione fra la variazione dell’energia cineticaassoluta del flusso con la variazione di momento di quantita di moto:

∆[V 2

2

]= (1− R) ∆ [|~g|H0] = (1− R) ∆ [UVθ]

Assegnando diversi valori al grado di reazione, si possono distingurere diversi tipologie di mac-chine:

macchine ad azione (R = 0): la variazione di energia cinetica e pari alla variazione dienergia totale del flusso e non si ha variazione di entalpia statica (turbine) o pressione(pompe) attraverso la girante; macchine a reazione: l’energia fornita al flusso e in parte di tipo statico ed in parte di

tipo cinetico; macchine a reazione pura: poco usate, producono una variazione di entalpia statica pari

a quella totale (ossia l’energia cinetica del flusso rimane costante).

3.6. Relazione fra momento angolare e salto di pressione

Con riferimento alla Fig. 2.3 visto che la velocita meridiana Vm (assoluta e relativa) e legata allealtre componenti dalle relazioni:

V 2 = V 2m + V 2

θ

W 2 = W 2m +W 2

θ

dove per costruzione Wm = Vm e dalla relazione (3.12) si ha una relazione per le sole componenticirconferenziali:

∆ [UVθ] = ∆[V 2θ

2+U2

2−W 2θ

2

]Ma ancora dalla Fig. 2.3 si ha:

Vθ = U −Wθ

e quindi:

(3.34) ∆ [UVθ] = ∆[U2]−∆ [UWθ]

3.6. RELAZIONE FRA MOMENTO ANGOLARE E SALTO DI PRESSIONE 65

che introduce la variazione di momento angolare nel sistema relativo.

3.6.1. Pompa. Considerando ora un flusso incomprimibile con portata di volume Q = WmA econsiderando la Wθ si ha:

(3.35)∆p0

ρ= |~g|∆ [H0] = ∆ [UVθ]−

Evm

= ∆[U2]−Q∆

[U

A tanβ

]− Evm

che lega le prestazioni della turbomacchina alla sua portata e quindi permette di trovare le curvecaratteristiche della stessa.

Se si vuol far apparire il rapporto tra le pressioni totali all’uscita e all’ingresso della pompa (opiu precisamente della girante della pompa), si osserva che:

Wp =1ηp

p01

ρ

(p02

p01− 1)

= ∆ [UVθ]

e quindi:p02

p01= 1 + ηp

∆ [UVθ]p01/ρ

che e pari al rapporto tra le prevalenze visto che la densita e costante:

p02/ρ

p01/ρ=|~g|H02

|~g|H01

e introducendo ancora la portata:

H02

H01= 1 +

ηp|~g|H01

(∆[U2]−Q∆

[U

A tanβ

])che mostra come la prevalenza massima sia a portata nulla.

3.6.2. Turbina. Dall’espressione (3.20) e considerando che il lavoro per unita di massa e parialla variazione di momento angolare si puo ricavare un’interessante relazione tra il salto di pressionee la variazione di momento:

(3.36)p3

p01=(

1 +∆ [UVθ]ηtscpT01

) γγ−1

dove si ricorda che la variazione di UVtheta riguarda esclusivamente il rotore e quindi nel casospecifico dello stadio di turbina in esame, con le denominiazioni di Fig. 3.3, indica:

∆UVθ = U3V3,θ − U2V2,θ

Queste relazioni esprimono il fatto che, per forti variazioni di pressione (p3/p01 1) e necessaria unavariazione notevole del termine ∆ [UVθ] che puo essere raggiunto attraverso due differenti strategie:

si opera una notevole variazione di U (quindi del raggio) mentre e piu contenuta la varia-zione di Vθ (angoli β bassi); tale e la strategia con cui vengono progettate le macchinecentripete; si adotta una grossa variazione di Vθ mentre e piccola o addirittura assente la variazione di

raggio; le turbine di questo tipo sono le turbine assiali.

Da notare comunque che, dalla relazione 3.18, il rendimento e funzione del rapporto delle pressioni :occorre quindi bilanciare gli effetti per avere un sistema efficiente. Dalle ultime relazioni trovate(3.34), (3.35) e (3.36) si ha:

p3

p01=[1 +

1ηts

1cpT01

(∆[U2]−Q∆

[U

A tanβ

])] γγ−1


Per turbine assiali, visto che la velocita assiale e la medesima, si ha invece:

p3

p01=

1− 1ηts

(Q

A

)︸︷︷︸

(1)

(U

cpT01

)︸︷︷︸

(2)

∆[

1tanβ

]γγ−1

con il termine (1) che rappresenta una velocita meridiana media mentre (2) e rappresentativa diun numero di Mach di pala; e chiaro che per avere un’espansione e necessario che:

1tanβ1

<1

tanβ2oppure cotβ1 < cotβ2 oppure β1 > β2

Figura 3.6. Triangoli di velocita e paletta di turbina assiale

3.7. Analisi delle perdite

Le sorgenti di perdite per le turbomacchine sono di tre tipi principali: perdite idrauliche: sono dovute all’energia del flusso che, attraverso sforzi tangenziali,

ricircoli dovuta a gradienti di pressione e a moto con circolazione, provocano perdite dienergia totale del flusso (abbassamento della prevalenza o della pressione totale del flusso).Attraverso un rendimento fluidodinamico (turbine) o idraulico (pompe)8 possiamotenere conto:. della viscosita: quindi dello strato limite, delle separazioni, della scia a valle dei profili,

dei vortici che nascono in un flusso rotazionale;. della comprimibilita: della presenza degli urti e dell’interazione che lo stesso ha con

lo strato limite e la scia a valle (importante per sistemi pluristadio); perdite di portata: sono dovute alla presenza di flussi secondari che, guidati da gradienti

di pressione non voluti, fanno si che la portata che evolve all’interno della pompa (turbina)sia maggiore (minore) di quella che effettivamente entra dal collettore (visto che in parte esempre la medesima) e quindi viene richiesto (fornito) un lavoro maggiore (minore) rispettoal caso ideale (si introduce un rendimento volumetrico ηvol); perdite di energia meccanica: sono dovute alla presenza di attrito tra superfici solide

e quindi tenute, cuscinetti, guide al rotolamento e sono schematizzate con un rendimentomeccanico.

A seconda del punto di funzionamento le perdite possono essere classificate anche come:(1) perdite in condizioni di progetto ossia in condizioni nominali (in termini di portata,

numero di giri, ecc. . . ) possiamo pensare che le perdite siano dovute principalmente:(a) attrito nei condotti (fissi o mobili);(b) perdite concentrate (dovute ai ricircoli per grosse variazioni di sezione);(c) perdite nei divergenti;(d) perdite per variazioni brusche della direzione della velocita (gomiti);

8Sono quelli precedentemente definiti rendimenti adiabatici (total to total e total to static).

3.8. ANALISI DELLE PRESTAZIONI CON L’AUSILIO DELL’ANALISI DIMENSIONALE 67

(e) vortici alla base e all’estremita del palettaggio (per i gradienti di pressioni tra dorso eventre);

(f) urti nei sistemi transonici;(g) ventilazione dovuta la trascinamento da parte della girante di fluido che non partecipa

al ciclo;(2) perdite fuori condizioni di progetto: alle perdite sopra elencate si aggiungono:

(a) ricircoli ed urti per incidenze fuori progetto;(b) stallo (per i compressori) o pompaggio (per le pompe) per basse portate;(c) chocking per palettature transoniche;(d) cavitazione per la presenza di basse pressioni in aspirazione.

Il lavoro reale potra quindi essere espresso dal prodotto:

W re = ηmecc (ηvolm) (ηidr∆ [H0])

3.8. Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale

L’analisi e il confronto tra le turbomacchine puo essere reso piu agevole dall’analisi dimensionale:con l’ausilio del Teorema di Buckingham9 possiamo ridurre i parametri su cui agire per provareo confrontare diversi sistemi. Possiamo distinguere:

parametri di funzionamento quali. la velocita angolare ω (o il numero di giri N);. la portata massica m o quella di volume Q;. la coppia applicata Ma;. la variazione delle caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperaturaT , volume specifico v);

prestazioni in termini di. prevalenza |~g|∆ [H0] o di variazione di entalpia totale ∆ [h0];. rendimento η;. potenza trasmessa o ricevuta dall’asse W ;

proprieta del fluido. densita del flusso entrante ρ o ρ;. viscosita dinamica µ;. peso molecolare M;. calore specifico;

geometria del sistema. dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro);. una serie di lunghezze caratteristiche ì che possono rappresentare le dimensioni delle

mandate, uscite, giochi, ecc. . .

3.8.1. Turbomacchine idrauliche. Dall’analisi sperimentale o dalla simulazione numerica siottengono delle relazioni funzionali del tipo:

g∆ [H0] = H (Q,N,D, ρ, µ,D, ì, . . .)

η = η (Q,N,D, ρ, µ,D, ì, . . .)

W = W (Q,N,D, ρ, µ,D, ì, . . .)

9Il Teorema di Buckingham (o teorema Π) afferma che:Qualunque legge fisica puo essere espressa mediante un relazione tra una serie completa di gruppi adimensionali.

Il numero di gruppi adimensionali che sono necessari sono pari al numero di grandezze influenti il fenomeno diminuitedel numero di grandezze fondamentali necessarie per rappresentarle. La serie si dice completa se:

ciascun gruppo compare almeno una volta nella serie; i gruppi debbono essere indipendenti tra di loro, ossia nessun gruppo puo essere espresso mediante prodotto

di potenze degli altri gruppi.


e visto che il fluido e isotermo allora possiamo dire che le grandezze fondamentali sono tre: massa,lunghezza e tempo. Le grandezze indipendenti scelte per rappresentare lo stato del sistema sonola densita ρ, il numero di giri N e il diametro caratteristico D. I parametri non dimensionali chepossono essere definiti in maniera indipendente sono:

(1) la cifra di flusso che rappresenta una portata adimensionalizzata

(3.37) ϕ =Q

ND3

(2) la cifra di pressione che e la prevalenza adimensionale

(3.38) ψ =g∆ [H0](ND)2

(3) il rendimento(4) la cifra di potenza che e una potenza adimensionale

(3.39) λ =W

ρN3D5

(5) i rapporti tra le misure geometriche caratteristiche e il diametro D

ìD

(6) il numero di Reynolds indicativo del tipo di deflusso

Re =ρND2

µ

con le quali le relazioni precedentemente trovate assumono la forma non dimensionale con sole 3gruppi indipendenti:

ψ = ψ

(ϕ,Re,

ìD

)η = η

(ϕ,Re,

ìD

)λ = λ

(ϕ,Re,

ìD

)In alcuni casi vi possonoi essere definizioni differenti per i gruppi adimensionali: per la cifra di flusso possiamo manipolare la sua definizione10

ϕ =Q

ND3=π2

60VmU

e quindi una definizione alternativa per la cifra di pressione e

ϕ =VmU

oppure

¯ϕ =Q

ωD3

10Si ha infatti che

N =30

πω

U =ωD

2

Q = VmπD2

4


per la cifra di pressione invece, con le posizioni della nota 10, diventa:

ψ = g∆ [H0]U2

oppure¯ψ = g

∆ [H0](ωD)2

Ipotizzando ora che: i rapporti `i

D siano sempre i medesimi (la classe delle macchine sia la stessa) si abbia cioesimilitudine geometrica; il numero di Reynolds di macchina ReD sia sempre lo stesso ovvero sia verificata la simi-

litudine fluidodinamica;11

ne consegue che le prestazioni della pompa sono funzione della sola cifra di flusso (quindi dellaportata)

ψ = ψ (ϕ)

η = η (ϕ)

λ = λ (ϕ)

ma solo due delle tre relazioni sono indipendenti ; infatti la potenza puo essere scritta come il prodottodella portata massica per la prevalenza reale:

W = ρQg∆[H0re

]=

ρQ

ρND3

1ηp

g∆[H0id

](ND)2

[(ND3

)(ND)2 ρ

]e quindi la cifra di potenza12

λ =W

ρN3D5=

ϕ

ηpψ

In condizioni quindi di similitudine (geometrica e fluidodinamica) e possibile collassare le diversecurve della prevalenza in funzione della portata (a diversi numeri di giri e diametri) in un’unicacurva di ψ in funzione di ϕ; possiamo notare che:

i diversi punti delle curva caratteristica non dimensionale (ϕ costante) sono, sul pianofisico, su delle parabole per l’origine a diversa pendenza visto che la portata e, per diametroassegnato, funzione lineare del numero di giri

Q = ϕND3

e la prevalenza e funzione quadratica del numero di giri

g∆ [H0] = (ND)2 ψ

nel caso in cui il numero di giri sia assegnato allora la portata e funzione del cubo deldiametro e il salto funzione quadratica dello stesso. l’analisi dimensionale e valida (in particolare l’ipotesi di similitudine fisica e rispettata)

quando la cifra di flusso si mantiene entro un intervallo [ϕmin, ϕmax] visto che per flussi aldi sopra o al di sotto di tali valori si hanno fenomeni che fanno cadere le ipotesi di studio(chocking o stallo).

11Bisogna precisare che la similitudine geometrica non e in generale sufficiente per confrontare i risultati di duepompe visto che il numero di Reynolds identifica il tipo di deflusso: in generale per aumento della scala della macchinail numero di Reynolds va aumentando e gli effetti viscosi non essendo predominanti non influenzano il confronto; nelcaso in cui si passi a scale piu basse il risultato non e garantito.

12Sotto le stesse ipotesi si puo dimostrare che per una turbina idraulica si ha:

λ = ηT ϕψ


Figura 3.7. Curva caratteristica per una turbopompa

Nel caso in cui la geometria della pompa sia variabile (ad esempio gli angoli caratteristici possanovariare) allora se ne terra conto nelle relazioni attraverso un angolo caratteristico α:

ψ = ψ (ϕ, α)

η = η (ϕ, α)e quindi il rendimento potra anche essere espresso come funzione della cifra di flusso e della cifra dipressione:

η = η[ϕ,ψ−1 (ϕ,ψ)

]= η (ϕ,ψ)

e quindi si avra la curva risultante come l’inviluppo delle curve a diverse cifre di potenza.

Figura 3.8. Curva del rendimento per una pompa a geometria variabile

3.8.2. Turbomacchine termiche. La differenza fondamentale nell’analisi dei flussi non iso-termi rispetto a quelli isotermi sta nella presenza della temperatura tra le grandezze fondamentali;dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo:

∆h0 = h (m,N,D, ρ01, µ01, a01, γ, ì)

η = η (m,N,D, ρ01, µ01, a01, γ, ì)

W = W (m,N,D, ρ01, µ01, a01, γ, ì)ove il pedice ()01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione di ingresso; scegliendocome grandezze fondamentali la densita ρ, il diametro caratteristico D, il numero di giri N e latemperatura T possiamo definire i seguenti gruppi:

la cifra di flusso

(3.40) ϕ =m

ρ01ND3

il numero di Reynolds di macchina

ReD =ρ01ND

2

µ01


il numero di Mach di pala

MaD =ND

a01

la cifra di pressione

(3.41) ψ =∆[h0is

](ND2)

la cifra di potenza

(3.42) λ =W

ρ01N3D5

e si hanno relazioni non dimensionali del tipo

ψ = ψ (ϕ,ReD,MaD, γ)

η = η (ϕ,ReD,MaD, γ)λ = λ (ϕ,ReD,MaD, γ)

Definizioni alternative prevedono: per la cifra di flusso si puo far comparire il numero di Mach di pala

ϕ =m

ρ01ND3=

m

ρ01a01D2

a01

ND=

m

ρ01a01D2

1MaD

e se i numero di Mach di pala sono i medesimi allora possiamo utilizzare la cifra di flussosemplificata

ϕ =m

ρ01a01D2

che dalla definizione della velocita del suono e dalla legge dei gas perfetti diventa:

(3.43) ϕ =m√RT01

p01D2√γ che la cifra di pressione possa, attraverso la definizione di entalpia (gas caloricamente per-

fetto) e la legge delle isoentropiche, essere scritto come prodotto del numero di Mach dipala per una cifra modificata

ψ = cp(T01−T02s)

(ND)2 = cpT01

(ND)2

[1−

(p02

p01

) γ−1γ

]= γRT01

(γ−1)(ND)2

[1−

(p02

p01

) γ−1γ

]=(3.44)

= 1(γ−1)

[1−

(p02

p01

) γ−1γ

]1

Ma2D

(3.45)

e quindi la cifra di pressione e proporzionale al rapporto tra le pressioni. che anche nella cifra di potenza entri il Mach di pala e la cifra di flusso

(3.46) λ =W

ρ01N3D5=

mcp∆T0

ρ01 (ND) (ND)2

a201

a201

=ϕ

M2D

cp∆T0

γRT01=

ϕ

(γ − 1)M2D

(∆T01

T01

)e quindi e funzione del salto di temperature totali.

Possiamo dunque scrivere in maniera equivalente:

p02

p01= p

(m√RT01

p01D2√γ,ReD,MaD, γ

)η = η

(m√RT01


)∆T01

T01= T

(m√RT01


)Facendo ancora le ipotesi che:


il fluido sia lo stesso in tutte le macchine (γ e Re costanti); le macchine abbiano tutte lo stesso diametro D; il numero di Mach di pala MaD sia il medesimo in tutti i casi;

i possono definire una portata ridottam√T01

p01

e un numero di giri ridottoN√T01

In tale caso possiamo costruire le curve caratteristiche a diversi numeri di giri ridotti e diversirendimenti.

Figura 3.9. Curve caratteristiche per compressori e turbine

3.8.3. Costruzione del diagramma fondamentale delle turbomacchine. Consideriamoora una macchina, sia turbina che pompa: dall’analisi dimensionale sara possibile ricavare le curvecaratteristiche in termini di rendimento e di cifra di pressione in funzione della cifra di flusso. Volendocaratterizzare tale macchina con una sola coppia di valori (quindi con un solo punto su un’opportunopiano) e possibile seguire il seguente algoritmo:

si considera la condizione di massimo rendimento come quella significativa a cui corrispondela cifra di flusso ϕ∗:

∂η

∂ϕ

∣∣∣∣ϕ∗

= 0

da cuiϕ∗ = η−1 (ηmax)

si trova in corrispondenza il valore della cifra di pressione

ψ∗ = ψ[η−1 (ηmax)

]= ψ (ηmax)

ma dalle definizioni 3.37 e 3.38 si ha la dipendenza contemporanea dal numero di giri e dal diametro;a tal proposito conviene definire:

il numero di giri specifico. per una pompa come

(3.47) Ns =(ϕ∗)

12

(ψ∗)34

=N√Q

(g∆ [H0])34

che dipende solo dal numero di giri;13

13Per una turbina idraulica si preferisce definire il numero di giri specifico alla potenza come

Nsp =λ

12

ψ54

= NW

12

√ρ (g∆ [H0])

54


. per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione della nota 1314

(3.48) Nsp =λ

12

ψ54

= NW

12

√ρ01 (∆ [h0])

54

il diametro specifico

Ds =(ψ∗)

14

(ϕ∗)12

=D(g∆[H0is

]) 14

√Q

che dipende solo dal diametro;15

e la cosa importante che mentre le cifre sono funzione del disegno della macchina in termini didimensioni, portata numero di giri, il numero di giri specifico e il diametro specifico essendo rapportitra cifre, sono funzione della sola architettura della turbina o pompa (assiale, radiale o mista).

Si verifica che preso un piano (Ns, Ds) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia apendenza negativa. si ha inoltre che:

macchine ad angolo di uscita β2 costante sono su curve a pendenza negativa all’incircaparallele tra di loro; macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescenti decrescenti con

i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori; le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori: visto che il numero di

giri specifico e il diametro specifico sono inversamente proporzionali, volendo una maggioreprevalenza (quindi un diametro specifico maggiore) si andrebbe verso rendimenti semprepiu bassi; la soluzione prevede quindi il passaggio, per salti elevati, a macchine pluristadioprobabilmente assiali (quindi a rendimenti del singolo stadio superiori).

Figura 3.10. Curva fondamentale delle turbomacchine

Il fatto che all’aumentare del numero di giri il diametro diminuisca e si passi da macchine centrifughea macchine assiali lo si puo spiegare nella seguente maniera: considerando che, dalla definizione,all’aumentare del numero di giri specifico la prevalenza

g∆[H0]

= ∆[U2]− Q

A∆[

U

tanβ

]=︸︷︷︸Q=0

ω2

4(D2

2 −D21

)

14Per un compressore e utile invece la definizione 3.47 opportunamente modificato

Ns =(ϕ∗)

12

(ψ∗)34

=N√m

√ρ01 (∆ [h0])

34

15Invertendo le relazioni si ha:

ϕ∗ =1

NsD3s

ψ∗ =1

(NsDs)2


diminuisce quindi i diametri diventano simili e la portata

Q ' VmπD2i

4aumenta e quindi il diametro di ingresso aumenta e chiaro che si passa da una situazione con elevatedifferenze tra i numeri di giri e basse portate (tipica delle macchine assiali) ad una macchina cheelabora elevate portate con piccole (al limite nulle) differenze tra i diametri. Facendo inoltre ilrapporto tra le cifre di flusso e pressione otteniamo:

ϕ

ψ=Ns

Ds

e quindi per numeri di giri molto piu grandi dei diametri specifici si hanno cifre di flusso superiorialle cifre di potenza (ancora macchine assiali) e viceversa [1].

3.8.4. Applicazioni dell’analisi dimensionale. Con l’analisi dimensionale e possibile, tragli altri, risolvere i seguenti problemi:

dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpia totale), laportata (massica o di volume) e il numero di giri e possibile determinare il numero di girispecifico e quindi il tipo di macchina; dal tipo di macchina (Ns), il salto entalpico e la portata si puo trovare il numero di giri al

quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabile come condizione di progetto); noto il diametro specifico (Ds), il salto entalpico e la portata si puo determinare il diametro

della macchina che fornisce il massimo rendimento; dato Ns e il range di valori che puo assumere il numero di giri (N ∈ [Nmin, Nmax]) si possono

determinare gli estremi valori assunti dalla potenza; si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: si suddivide il diagram-

ma (Ns, Ds) in zone a ciascuna delle quali verra assegnata una condizione di riferimento dacui costruire la macchina; la classificazione delle turbomacchine; la prova su diverse scale.

Bibliografia

[1] S. Sandrolini and G. Naldi. Macchine. Pitagora Ed., 1996.

Parte 2

Il funzionamento di pompe e turbine

CAPITOLO 4

Studio delle pompe

4.1. Generalita

In generale [1] per lo studio delle pompe vengono definite grandezze simili al numero di girispecifico; dalla definizione di questi infatti si puo ricavare il parametro ωs come:

(4.1) Ns =N√Q

(g∆ [H0])34

=30π

ω√Q

(g∆ [H0])34

= 9.55ωs

oppure in termini non adimensionali si ha anche (specie nella letteratura americana)

(4.2) ns =N√Q

(∆ [H0])34

La classificazione delle pompe definisce: pompe radiali quelle per cui

0.18 ≤ ωs ≤ 1.2

pompe miste quando1.2 < ωs ≤ 2.6

pompe assiali quelle per cui si ha

2.6 < ωs ≤ 5.5

I componenti fondamentali di una pompa si suddividono in: componenti che partecipano al ciclo termodinamico del fluido quali:

. i canali di aspirazione che conducono il flusso alla pompa;

. l’induttore che e una pompa assiale con poche pale ad elevato angolo di ricoprimentoche effettua una precompressione utile per evitare problemi di cavitazione nella girante;

. un raddrizzatore che serve a imporre una componente vorticosa al flusso in ingressoalla girante;

. la girante che compie il maggior lavoro sul fluido;

. la voluta o il distributore che servono ad convertire l’energia cinetica del flusso inuscita dalla girante in pressione;

componenti che, pur non lavorando direttamente sul fluido, sono essenziali per il correttofunzionamento della pompa:. l’albero di trasmissione che fornisce coppia alla girante e all’induttore fornita da

una macchina motrice;. gli organi di tenuta necessari per evitare perdite di portata;. i sistemi di lubrificazione per abbassare gli attriti meccanici e aumentare l’omonimo

rendimento;. il riduttore di velocita utile se la macchina motrice che fornisce potenza lavora ad

un numero di giri troppo elevato per la pompa.Coppia e potenza assorbite all’albero sono:

Ma = ρQ∆ [RVθ]

P = ρQω∆ [RVθ] = ρQ∆ [UVθ]

77

78 4. STUDIO DELLE POMPE

Se consideriamo quindi la legge di Eulero con l’espressione di g∆[H0]

e di Vθ (nel moto relativo conla relazione 3.11) si ha:

g∆ [z] + ∆[p

ρ

]+ ∆

[V 2

2

]= ∆

[U2

2

]+ ∆

[V 2

2

]−∆

[W 2

2

]che diventa, trascurando l’energia potenziale:

1ρ

∆ [p] = ∆[U2 −W 2

2

]che poteva anche essere ricavata imponendo che la rotalpia si conservi tra ingresso e uscita).

E’ utile notare anche come le particelle abbiano traiettorie differenti nei due sistemi di riferimento: nel moto relativo, in condizioni di guida perfetta, le traiettorie sono i profili della pala; nel moto assoluto si ha una traiettoria elicoidale che segue il senso di rotazione della girante.

Figura 4.1. Traiettoria delle particelle nel moto assoluto e relativo

4.2. Analisi del funzionamento delle pompe

4.2.1. Curve caratteristiche delle pompe. Le curve che caratterizzano il funzionamentoideale (in assenza di perdite) delle pompe possono essere ricavate dalla relazione 3.9 utilizzando perVθ le relazioni trigonometriche che si determinano dal triangolo di velocita di figura 2.5:

g∆[H0]

= ∆[U2]− Vm∆

[U

tanβ

]avendo considerato il caso in cui Vm e costante, e quindi:

g(H0

2 −H01

)= U2

2 −VmU2

tanβ2−(U2

1 −VmU1

tanβ1

)che in termini adimensionali (dividendo per U2

2 si ottiene qualcosa di proporzionale alla cifra dipressione definita nella 3.38) e:

ψ2 =g(H0

2 −H01

)U2

2

= 1− VmU2

1tanβ2

−(U2

1

U22

− VmU2

U1

U2

1tanβ1

)

4.2. ANALISI DEL FUNZIONAMENTO DELLE POMPE 79

ossia, ricordando una possibile definizione alternativa per la funzione di flusso:

ψ2 = 1− ϕ2

tanβ2−

[(R1

R2

)2

− U1

U2

ϕ2

tanβ1

]con il termine tra parentesi quadre che si annulla quando la prerotazione e nulla. Possiamo oraesaminare il contributo dei vari termini al variare della cifra di flusso ϕ2:

nel caso di prerotazione nulla si ha

ψ2 = 1− ϕ2

tanβ2

che e funzione lineare di ϕ2 con andamento dipendente da β2:. per β2 < 90 (pale all’indietro) la cifra di pressione e decrescente con la cifra di flusso;. con β2 = 90 (pale diritte) la cifra di pressione e costante con ϕ2;. con β2 > 90 (pale in avanti) la cifra di pressione e crescente con la cifra di flusso:

questi ultimi due casi si dimostrano instabili a variazioni della cifra di flusso; il termine di prerotazione ha un segno che:

. nel caso di pale all’indietro che dipende dalla cifra di flusso; per la cifra di flusso

ϕ∗2 =U1

U2tanβ1

il termine si annulla; mentre per∗ ϕ2 < ϕ∗2 allora il contributo e negativo e la prevalenza diminuisce;∗ ϕ2 > ϕ∗2 allora il contributo e positivo e la prevalenza aumenta rispetto al caso

in assenza di prerotazione;. nel caso di pale diritte il contributo e costante e non dipende da ϕ2;. nel caso di pale in avanti il termine e sempre negativo e aumenta con la cifra di flusso.

Figura 4.2. Curve ψ, ϕ per diverse pompe

La potenza quindi: sara lineare nel caso di pale diritte; aumentera in maniera piu che lineare per pale in avanti; aumentera meno che linearmente nel caso di pale all’indietro.

4.2.2. Grado di reazione e triangolo delle velocita. Dalla definizione del grado di reazionecome

R =∆[pρ

]g∆ [H0]

= 1−∆[V 2

2

]∆ [UVθ]

e ipotizzando che:


Figura 4.3. Curve P , Q per diverse macchine

la variazione di velocita meridiana tra ingresso e uscita sia nulla ∆ [Vm] = 0 e quindi

∆[V 2

2

]' ∆

[V 2θ

2

] non vi sia prerotazione

Vθ1 = 0

si ha:

R = 1−V 2θ22

U2Vθ2= 1− Vθ2

2U2

e possiamo analizzarla in diversi casi:

per reazione completa (R = 1) deve essere Vθ2 = 0 (velocita assoluta diritta e quindi Wθ2 =U2) e quindi le pale debbono essere all’indietro con angolo

tanβmin2 =VmU2

= ϕ2

che e il minimo per avere la necessaria componente di attraversamento per smaltire laportata richiesta; per reazione pari al 50% deve essere

Vθ2 = U2

ossia le pale debbono essere diritte (Wθ2 = 0) e con velocita assiale pari alla necessariavelocita di attraversamento; per reazione nulla (R = 0) si ha

Vθ2 = 2U2

e quindi le pale debbono essere inclinate in avanti con angolo

βmax2 = π − βmin2

che e il massimo possibile sempre per ragioni di continuita;

Dai vari triangoli possiamo dedurre che a parita di prevalenza totale al diminuire del grado direazione aumenta l’energia del fluido ma contemporaneamente il modulo della velocita in uscitadalla girante aumenta e quindi la voluta e piu sollecitata; l’aumento della pressione dinamica inoltreeleva l’aliquota di perdite, proporzionali alla pressione dinamica. L’utilizzo delle pompe a grado direazione unitario sembrerebbe allora migliore: in realta avendo tali palette un grado di ricoprimentomaggiore portano ad un aumento di grado di reazione nei condotti e quindi maggiori perdite perattrito.

4.2. ANALISI DEL FUNZIONAMENTO DELLE POMPE 81

Figura 4.4. Triangoli di velocita a diversi R

4.2.3. Limiti di funzionamento. Partiamo dalla condizione di progetto (in termini di portatae quindi di velocita di attraversamento Vm2), per una pompa con pale all’indietro, e facciamo variarela portata medesima1 nelle due diverse direzioni ipotizzando che, per un flusso ideale, l’angolo diuscita sia sempre pari all’angolo di costruzione β2:

(1) se la portata diminuisce vediamo che l’angolo di uscita α2 diminuisce mentre aumenta inmodulo e ruota la velocita di uscita; se la portata si annulla allora V2 = Vθ2 = U2 e quindisi ha un vortice forzato e la prevalenza totale e massima

g∆[H0]

= U22

quindi ψ → 1;(2) se la portata aumenta l’angolo α2 tende a 90 e la velocita al valore massimo

V maxm2

= U2 tanβ2

e quindi, in assenza di prerotazione, la prevalenza e nulla:

g∆[H0]

=U2

2

2−W 2θ2

2= 0

vista anche che il flusso in termini assoluti e radiale; la cifra di flusso corrispondente e:

ϕmax =V maxm2

U2= tanβ2

Figura 4.5. Triangolo ai limiti di funzionamento

4.2.4. Effetto della prerotazione sull’ingresso della pompa. Supponiamo che il flussoin ingresso alla mandata sia uniforme e non viscoso: se la girante e in rotazione si verra a creareuna distribuzione di velocita tipica di un vortice libero in maniera tale da avere comunque unadistribuzione di pressione uniforme.

In presenza di un raddrizzatore invece la velocita e costretta a mantenere un angolo α1 in ingressofisso al variare della portata e questo puo essere dannoso: in condizioni fuori progetto (numero digiri o portata non nominali) si ha una componente meridiana maggiore o minore del previsto conla possibilita di formazione di urti in ingresso o distacco della vena fluida. Situazione simile lasi ha quando il condotto di mandata e troppo corto: in questi casi il flusso non uniforme si va a

1Per esempio attraverso un aumento delle perdite a monte della pompa (con la variazione della sezione di unavalvola).


sovrapporre ad una prevalenza non uniforme e il flusso in uscita della girante presenta forti ricircolicon bassi rendimenti.

4.2.5. Scelta del numero di pale e dell’angolo β2. Una semplice relazione che ci permettedi stimare il numero di pale necessarie per avere un’efficiente girante e:

zmin = 2kRs`

sinβm

con Rs, βm rispettivamente raggio medio e angolo medio mentre k e un coefficiente che dipendedall’architettura:2

k = 6.5 per macchine radialik = 4.5 per macchine assiali

Per la scelta dell’angolo di uscita bisogna tenere conto di diversi aspetti: il raggio di uscita; la curva caratteristica desiderata; il lavoro massimo ottenibile; a diversi gradi di reazione avremo, per prerotazione nulla:3

R g∆[H0]

= U2Vθ20 2U2

212 U2

2

1 0

4.3. Effetto del flusso reale sulle prestazioni della pompa

In presenza di viscosita le caratteristiche della pompa variano: visto che per ogni canale interpa-lare, osservato il senso di rotazione, possiamo individuare un lato in pressione ed uno in depressionee quindi, ipotizzando che la rotalpia si conservi lungo il raggio (quindi la velocita di trascinamentonon entra nell’espressione visto che e la medesima per entrambi i punti):

pPρ

+W 2P

2=pSρ

+W 2S

2e quindi WP < WS ossia la distribuzione delle velocita in uscita non e uniforme.

Altro motivo di non uniformita, per pompe miste, sta nella presenza di un raggio di curvaturanon nullo nel piano meridiano e quindi, a parita di ascissa x, le linee di corrente vicine al controdiscosubiscono una forza centrifuga superiore e dunque un battente idrostatico superiore (con la possibilita

2Si vede come il coefficiente k sia piu elevato per le macchine radiali visto che la variazione di direzione e piumarcata.

3Si vede quindi come all’aumentare del grado di reazione, a lavoro stabilito, debba aumentare il numero di girie/o il raggio. Si potrebbe pensare di utilizzare quindi R = 0 ma:

. si hanno condotti a sezioni fortemente variabili e quindi possibilita di separazione;

. velocita in uscita elevate e quindi carichi e perdite nel diffusore elevati;

. instabilita di funzionamento.

4.3. EFFETTO DEL FLUSSO REALE SULLE PRESTAZIONI DELLA POMPA 83

di separazione).

Figura 4.6. Gradienti di pressione nella pompa reale

In termini quantitativi si puo considerare l’equazione di Navier-Stokes scritta in termini relativi eproiettarla lungo la direzione tangenziale:[

(~w · ∇r) ~w = −∇pρ

+ ~fr − 2~ω × ~w

]· ~gθ

e visto che l’accelerazione di Coriolis e il gradiente di pressione non sono nulli si ha un flusso di ~wdetto flusso secondario che si oppone alla rotazione del flusso imposto alla girante e quindi:

una componente di ingresso ∆Wθ1 > 0 una componente di uscita ∆Wθ2 < 0

e quindi un’energia fornita al fluido inferiore visto che:

g∆[H0re

]= ∆

[UV

′θ

]= U2V

′θ2− U1V

′θ1

= U2 (Vθ2 −∆Wθ2)− U1 (Vθ1 + ∆Wθ1) =

= (U2Vθ2 − U1Vθ1)− (U2∆Wθ2 + U1∆Wθ1)

con il I termine tra parentesi che rappresenta la variazione di energia ideale e la seconda che e unaperdita di potenza per la limitata capacita delle palette di indirizzare il flusso: normalmente si stimauna correzione da apportare agli angoli β1 e β2 dell’ordine di 2-3.

Figura 4.7. Deviazione della corrente sul piano palare per flusso secondario

Nel piano meridiano la potenza associata al filetto fluido in uscita la possiamo scrivere come:1ρ

dP

dQ= ∆ [UVθ (z)] = U2

2 − U2Wθ2 (z)

ma la portata per unita di lunghezza e la velocita meridiano potranno essere espresse dalle

dQ = Vm (z) (πD2dz)


Wθ2 =Vm2

tanβ2

e sostituendo nella I relazione e integrando dP tra il valore 0 e la larghezza del canale b si ha

1ρ

∫ b

0dP =

∫ b

0

[U2

2 − U2Vm2 (z)tanβ2

]πD2V

2m (z) dz = U2πD2

[U2

∫ b

0Vm2dz −

∫ b

0

V 2m2

tanβdz

]e reintroducendo la portata

Q = πD2

∫ b

0Vmdz

si ha:P

ρQ= U2

2 −U2

tanβ2

∫ b0 V

2mdz∫ b

0 Vmdz

con il II termine che puo essere semplificato solo nell’ipotesi, peraltro adottata in precedenza perottenere semplici relazioni, che ⟨

V 2m

⟩' 〈Vm〉2

Nel caso si adotti una distribuzione di velocita lineare tra i valori Vmp e Vms si ha una cifra di flussopari a:

ϕ = V

[1 +

Vmp − Vms12V 2

]che e maggiore per velocita medie piu elevate (tipiche di macchine ad elevata portata come quelleassiali).4

Si potranno definire una serie di rendimenti quali il rendimento idraulico

ηid =g∆[H0id

]− ∆ploss

ρ

g∆[H0id

] considerando che nel triangolo di velocita l’area tra ~V2 e ~U2 e proporzionale alla potenza

P = ρQg∆[H0]' ρgVmA2U2Vθ2 = (2ρgA2U2)

(VmVθ2

2

)e che nel caso reale si ha, dalla figura 4.7, un’area minore si puo definire il rendimento dipalettaggio

ηvane =PrealPid

=V′θ2

Vθ2

4Altro effetto da considerare e la necessaria rastremazione delle palette (specie nelle macchine assiali) che portail gradiente di pressione tra dorso e ventre ad annullarsi all’estremita e quindi portando l’ultima tratto della pala adessere “inerte”.

4.4. FATTORE DI SCORRIMENTO 85

il rendimento volumetrico viene ancora definito semplicemente come

ηv =Qre

Qre +Qflusso +Qricircoli

il rendimento meccanico invece:

ηmecc =ρgQid∆

[H0id

]Palbero

e il rendimento totale sara il prodotto dei rendimenti

ηtot =ρgQre∆

[H0re

]Palbero

= ηidηvηmecc

4.4. Fattore di scorrimento

Per una determinazione computazionalmente semplice del fattore di scorrimento (ovverodell’angolo compreso tra la direzione di uscita del flusso e la tangente alla paletta in uscita) sidispone di diverse trattazioni con diverso approccio e approfondimento analitico.

4.4.1. Trattazione di Stodola. Si introduce un fattore pari al rendimento di palettaggio

σ =V′θ2

Vθ2

tale da permettere subito il calcolo delle prestazioni reali della pompa una volta note quelle ideali

g∆[H0re

]= ∆

[UV

′θ

]' U2V

′θ2 = U2σVθ2 = σg∆

[H0id

]Stodola ipotizza che “il flusso secondario sia approssimabile con un vortice forzato di diametro d2

compreso tra il bordo di uscita di una pala e tangente alla pala successiva con velocita angolareΩ uguale e contraria al quella della girante”. La velocita di scorrimento (slip) puo essere quindicalcolata come

∆V slipθ = Vθ − V

′θ = Ω

d

2con

d ' 2πR2

zsinβ2

con z numero di pale. Sostituendo

∆Vθ =πU2

zsinβ2

mentreVθ2 = U2 − Vm2 cotβ2

e il fattore di Stodola e

σ = 1 +πz sinβ2

1− ϕ cotβ2

ed e funzione:

del numero di pale: all’aumentare di queste diventa migliore la capacita di guida del flussoe quindi maggiore σ che al massimo e unitario (per portata nulla); dall’angolo di uscita β2; dalla cifra di flusso ϕ: man mano che la portata aumenta si ha una minore capacita delle

palette di incanalare il flusso e dunque una diminuzione del fattore σ.


Figura 4.8. Fattore σ nella trattazione di Stodola

4.4.2. Trattazione di Busemann. Tale teoria e valida solo per i profili a spirale logaritmica5

e trova un fattore σ pari a

σ =A−Bϕ2 tanβ′

1− ϕ2 tanβ′

che presenta lo stesso denominatore ma un numeratore con coefficienti6 che sono funzione del: numero di pale; del rapporto tra i raggi;7

dell’angolo β′

4.4.3. Trattazione di Stanitz. Egli considera una trattazione di flusso potenziale valida soloper campi 2-D (quindi per pale a semplice curvatura) e ritrova che il fattore lo scorrimento ∆Vθ:

non dipende dall’angolo di uscita β2; dipende dal numero di pale z; dipende in maniera debole dalla comprimibilita;

ottenendo:

∆V slipθ = 0.63

U2π

z

σ = 1−0.63πz

1− ϕ cotβ2

5I profili a spirale logaritmica sono profili che mantengono il medesimo angolo indicato qui con β′ = −β a tutti iraggi e possiamo determinare le seguenti relazioni:

l’angolo di ricoprimento e

γ = tanβ′ lnR2

R1

il rapporto tra la lunghezza e l’apertura del canale interpalare e

`

s=

z

2π cosβ′lnR2

R1

con

s =2π (R2 −R1)

z ln R2R1

6In generale si ha A > 1 e B ' 1.7Dipendenza questa che scompare se

`

s 1

ossia seR2

R1 e

z2π cos β′

Normalmente vengono adottati 50 < β′ < 70 e 5 < z < 12 e la relazione e ben verificata.

4.4. FATTORE DI SCORRIMENTO 87

Figura 4.9. Fattore di Busemann

4.4.4. Trattazione di Pfleiderer. Se consideriamo l’espressione della prevalenza nel caso diun numero infinito di pale e nel caso discreto, pensando a prerotazione nulla

g∆[H0]∞ = U2Vθ2

g∆[H0]z

= U2V′θ2

possiamo introdurre la differenza tra questi due valori

g∆[H0]∞ − g∆

[H0]z

= U2Vθ2 (1− σ)

e definire cosi un coefficiente di Pfleiderer

Cp =1− σσ

tale cheg∆[H0]z

=1

1 + Cpg∆[H0]∞

Pfleiderer calcola il coefficiente con la seguente relazione

Cp = ψR2

2

zMst

con Mst momento statico della linea media del canale meridiano rispetto all’asse di rotazione8

Mst =∫ R2

R1

Rds

e ψ coefficiente da determinare in base all’architettura del diffusore.9

8Per pali radiali

Mst =1

2

`R2

2 −R21

´quindi

Cp = 2ψ

z

1

1−“R1R2

”2

mentre per quelle ad elica

Mst = R`

9Si hanno i seguenti casi:

per diffusore palettato. a semplice curvatura o d2

d1≥ 2 si ha ψ1 = 0.5 + 0.63 sinβ2

. a doppia curvatura o d2d1< 2 si ha ψ2 = (1.1÷ 1.2) (1 + sinβ2) R1

R2

per diffusore liscio ψ = (1.1÷ 1.2)ψ2


4.5. Analisi della diffusione

Compito principale della diffusione e la conversione dell’energia cinetica del flusso in uscita dallagirante in energia di pressione; il rallentamento del flusso e anche utile per diminuire le perdi-te per attrito (proporzionali alla pressione dinamica). Tale rallentamento viene effettuato in piucomponenti:

il diffusore (che puo essere liscio o palettato) ove si ha un aumento della sezione di passaggiodel flusso e/o una variazione del momento della quantita di moto; la voluta che raccoglie il flusso del diffusore e puo eseguire un’ulteriore compressione; il condotto divergente di uscita del flusso dalla pompa;

con tutti i componenti che, non avendo parti mobili, non scambiano lavoro con il fluido.

4.5.1. Diffusore liscio. Visto che il lavoro scambiato e nullo il momento della quantita di motosi conserva:

∆ [UVθ] = ω∆ [RVθ] = 0

che ha come soluzione il vortice libero:

R2Vθ2 = R3Vθ3

cui vanno affiancati l’equazione di continuita e di conservazione dell’energia:

ρ2πR2b2Vm2 = ρ2πR3b3Vm3

∆[p

ρ

]+ ∆

[V 2

2

]= 0

e decomponendo la velocita nel parte tangenziale e meridiana(V 2 = V 2

θ + V 2m

)si ha:

∆[p

ρ

]= −∆

[V 2m

2

]−∆

[V 2θ

2

]p3 − p2

ρ=

12[(V 2m2− V 2

m3

)+(V 2θ2 − V

2θ3

)]e ricavando dalla continuita e dalla condizione di vortice libero le velocita in uscita:

p3 − p2

ρ=

12

[V 2m2

(1− R2

2b22

R23b

23

)+ V 2

θ2

(1− R2

2

R23

)]che mette in luce la dipendenza del recupero di pressione da:

la variazione delle sezioni di passaggio; la variazione della distanza da centro.

4.5. ANALISI DELLA DIFFUSIONE 89

4.5.2. Diffusore palettato. Quando il recupero di pressione deve essere elevato l’uso di undiffusore liscio presenta diversi problemi: il rapporto tra i raggio puo essere tale da rendere il sistematroppo ingombrante ed un angolo di divergenza troppo grande puo causare separazione del flussocon elevate perdite idrauliche.

Nei casi piu frequenti si utilizza pertanto un diffusore palettato: la presenza di canali inter-palari (che costituiscono dei divergenti con angolo 8-12) permette una guida del flusso migliore emaggiori recuperi di pressione ottenibili rispetto al diffusore liscio; accorgimenti progettuali sono:

l’utilizzo di un numero di pale del diffusore primo rispetto al numero di pale della girante(per evitare fenomeni di risonanza del flusso nel diffusore); la presenza di un prediffusore liscio per eseguire una precompressione e omogeneizzazione

del flusso a valle delle palette rotoriche.Per il diffusore palettato le equazioni da utilizzare sono la conservazione dell’energia

∆[p

ρ

]= −∆

[V 2

2

]la continuita (indicando con b2 e b3 la profondita dei canali in ingresso e uscita)

Vm2b2R2 = Vm3b3R3

e la relazione tra velocita tangenziale e meridiana:

Vθ =Vm

tanα

Il recupero di pressione viene quindi calcolato dalla conservazione dell’energia sostituendo levelocita a valle del diffusore con le relazioni presentate trovando quindi:

p3 − p2

ρ=

12V 2m2

[(1 +

1tan2 α2

)−(b2R2

b3R3

)2(1 +

1tan2 α3

)]che vede la dipendenza dall’angolo di deviazione e dalla divergenza del canale.

4.5.3. Voluta. La voluta, che ha il compito di raccolta ed eventualmente di rallentamento delflusso, puo avere differenti sezioni trasversali a seconda della quale il flusso viene studiato in manieradifferente: in ogni caso per definire la parete esterna ci si riferisce alla prima particella che esce daldiffusore (per θ = 0) che va a definire il contorno.

Per lo studio della voluta occorre considerare che: il flusso e a vortice libero e quindi per ogni punto vale che

RVθ = R3Vθ3 = k1

la portata a distanza R dal centro della pompa la possiamo scrivere come:

Q (R) = 2πRVm (R) b (R)

con b (R) funzione della forma della sezione trasversale;


che tra la velocita meridiana e tangenziale sussiste la gia incontrata relazione

tanα =VmVθ

=Q

2πRbR

k1=

Q

2πk1

1b

che e quindi funzione della sezione trasversale e definisce le pareti (che in ogni punto debbonoessere tangenti alla velocita assoluta).

Essendo inoltre, per definizione

tanα =dR

Rdθ

si puo integrare da 0 a θ trovando la forma in pianta

R (θ) =∫ θ

0

Q

2πk1

R

bdθ′

4.5.3.1. Voluta a pareti piane parallele. Si ha in questo caso

b (R) = cost.

e quindi

tanα = tan α

ossia il flusso ha angolo costante e descrive quindi una spirale logaritmica; integrando infatti:∫ θ

0dθ′ =

∫ R

R0

1tan α

dR

R

θ =1

tan αln

R

R0

e quindi la sezione di passaggio sara:

A (θ) = [R (θ)−R0] b = R0b

(e

Q2πR3Vθ3

bθ− 1)

che cresce esponenzialmente con l’angolo θ e pertanto puo portare alla separazione del flusso perl’elevata compressione che imprime.

4.5.3.2. Voluta a pareti piane divergenti. La distanza tra le pareti per un raggio R e in questocaso

b (R) = b1 +m (R−R0) = k2R

e quindi l’angolo della velocita e:

tanα =Q

2πk1

1k2R

e quindi integrando:

dR =Q

2πk1k2dθ

R = R0 +Q

2πk1k2θ

che aumenta linearmente con θ descrivendo in tale frangente una spirale archimedea e la sezionedi passaggio cresce in questo caso linearmente con θ:

A (θ) =b2 + b1

2[R (θ)−R0] =

b2 + b12

Q

2πk1k2θ

4.6. CALCOLO DELLE CURVE REALI 91

4.5.3.3. Voluta a sezione circolare. Scopo principale dell’adozione di tale sezione e mantenerela velocita costante in tutte le sezioni : in questa maniera si evitano i problemi di carichi lateralisull’albero per un campo di pressione non uniforme. La velocita sara fissata dalla portata complessivauscente dalla voluta e la sezione finale della stessa:

Q (2π) = AgVg

con Vg ' 0.5 ÷ 0.65Vθ3 . Si puo fare il bilancio tra la portata proveniente dal diffusore per un certoraggio R e la portata uscente per l’angolo θ corrispondente:

Vm3R3θb3 = VgA (θ)

che deve valere anche all’uscita e quindi:A (θ)Ag

=Q (θ)Q (2π)

=Vm3R3θb3Vm3R3b32π

=θ

2π

ossia in questo caso l’area cresce linearmente con θ

A (θ) =Ag2πθ

e quindi il raggio cresce in maniera meno che lineare:

R (θ) = R3 + d (θ) = R3 +

√4A (θ)π

e in questa maniera si ottiene un campo di pressioni uniformi anche se in realta la velocita non ecostante lungo la sezione per la presenza della distribuzione di un vortice libero.10

4.6. Calcolo delle curve reali

4.6.1. Stima delle perdite. Abbiamo visto che le perdite possono essere suddivise grossola-namente in:

perdite per ventilazione; perdite per attrito; perdite per urto.

4.6.1.1. Perdite per ventilazione. Tale tipo di perdite e dovuto al fatto che la girante deve metterein moto e mantenere un flusso che non partecipa al ciclo termodinamico della pompa ma che dissipasoltanto, per mezzo dell’attrito, l’energia meccanica fornita dalla girante stessa; a seconda che questofluido partecipi ad un flusso secondario o meno si hanno perdite differenti.

La coppia resistente che agira sull’albero sara, per un tratto infinitesimo dA, pari a:

dM = τRdA

conτ = ξρU2

rel = ξρ (ω − ωf )2R2

ove ξ e il coefficiente di attrito (funzione del Reynolds e della rugosita) mentre Urel e la velocitarelativa tra fluido e parete e quindi esprimibile come differenza delle velocita angolari al quadrato.La coppia totale agente per ventilazione sul disco sara pertanto:

10Questo lo si puo capire se si considera la pompa a mandata chiusa: la velocita tangenziale in uscita dal diffusoree diversa da zero (vortice forzato) ma per continuita la velocita tangenziale nella voluta deve essere nulla e quindi sicreera uno strato limite che dissipa l’energia trasferita dalla girante al fluido.


Md =∫Ad

dM = ρ (ω − ωf )2∫Ad

ξdR3dA = ρ (ω − ωf )2 Jd

ove Jd assume il ruolo di un momento di inerzia; per la carcassa, visto che la sua rotazione e nulla:

Mc = ρω2fJc

Dobbiamo ora distinguere i due casi: per un flusso nullo la coppia che viene trasmessa dal disco al fluido e pari a quella che

il fluido cede alla carcassa (non si ha una variazione di momento di quantita di moto delfluido); uguagliando le due espressioni possiamo quindi ricavare la velocita di rotazione delfluido ωf

ωf = ω

√Jd√

Jd +√Jc

=︸︷︷︸Jd=Jc

ω

2

e di seguito la coppia sulla girante:

Md = ρω2 1(1√Jd

+ 1√Jc

)2

che vale quando la superficie e piccola, liscia e a distanza sufficientemente piccola; per flusso diverso da zero allora la coppia data dalla girante e pari a quella ceduta alla

carcassa piu la variazione di momento di quantita di moto del fluido:

Md = Mc + ∆Mf

ed esistono formule empiriche che legano la potenza persa per ventilazione alle dimensionicaratteristiche della girante:

Pvent = kρU3D (D + 5e) = [KW ]

con

k = 7.3 · 107

(106

Re

) 16

4.6.1.2. Perdite per attrito. La presenza di forze tangenziali porta ad una diminuzione dellapressione totale (quindi dell’energia meccanica disponibile per il fluido) lungo i condotti proporzionalealla pressione dinamica; tra la sezione di ingresso e uscita di ciascun tratto in esame possiamo quindiscrivere: (

∆p0

ρ

)i,i+1

= ξϕ︸︷︷︸ζ

V 2rif

2

con ϕ che tiene conto della geometria del condotto:

ϕ =∫ `

0

2PA

(V

Vrif

)2

ds

con P perimetro bagnato. Scelta un’area di riferimento Arif per la continuita

ArifVrif = AV


e una lunghezza di riferimento `rif =√Arif si ha

ϕ =∫ ˆ

0

2PA3

ds

In condizioni fuori progetto, essendo la velocita funzione lineare della portata, le perdite varianocon il quadrato e quindi: (

∆p0

ρ

)eff

=(

∆p0

ρ

)N

(Q

QN

)2

In maniera semplificata possiamo per la girante tenere conto della velocita assoluta e quella relativaper mezzo di opportuni coefficienti:(

∆p0

ρ

)= KV

V 22

2+Kw

W 22

2

con KV = 0.2÷ 0.4 e Kw = 0.1÷ 0.2.

4.6.1.3. Perdite per urti. In condizioni di fuori progetto e per angoli di deflusso reali si hannodelle perdite fluidodinamiche ascrivibili ad vortici, scie, ecc. . . che vanno sotto il nome di perditeper urti e che possiamo calcolare per la girante come(

∆p0

ρ

)gir

= ζgir∆W 2

θ1

2

e per il diffusore (palettato) (∆p0

ρ

)diff

= ζdiff∆V 2

θ1

2

con ζ = 0.7 per Q < QN e ζ = 0.5 per Q > QN in entrambi i casi. Per la determinazione dellavariazione di velocita tangenziale in condizioni fuori progetto si esegue un’analisi separata per i duecomponenti:

4.6.1.4. Girante. Per la girante, a partire dalla condizione nominale e ipotizzando che l’angolodella velocita in ingresso rimanga costante possiamo tracciare, per portate differenti (quindi differentiVm), il vettore Wθ1 : il vettore ∆Wθ1 sara proporzionale alla distanza tangenziale tra l’estremo delvettore tracciato e la direzione della velocita in condizioni nominali. Analiticamente:

∆Wθ1 = U

(1− Q

Qn

)= U2

R1

R2

(1− Q

QN

)e la perdita sara: (

∆p0

ρ

)= ζ

U22

2

(R1

R2

)2(1− Q

QN

)2

proporzionale al quadrato della portata.


Figura 4.10. Determinazione di ∆Wθ nella girante

4.6.1.5. Diffusore. Per il diffusore bisogna innanzitutto considerare che il triangolo in uscita dallagirante presenta un fattore di slip differente da quello di progetto; le approssimazioni possibili sonodue:

consideriamo che al variare della portata il rapporto

δV slipθ2

U2

rimanga costante; ne segue che dall’espressione della prevalenza si ha:

gH0 = U22 − U2Wθ2 = U2

2

(1− Wθ2

U2

)e introducendo il fattore di slip

Wθ2 = W∞θ2 − δVslipθ2

si ha

gH0 = U22 − U2W

∞θ2 − U

22

(δV slip

θ2

U2

)con il termine tra parentesi costante per ipotesi. Ne segue che lo scorrimento ad una portatadiversa dalla nominale lo si puo valutare come segue:. si considera la condizione di progetto e si determina, con una trattazione opportuna,

il fattore di scorrimento e quindi il triangolo reale;. a partire dallo scorrimento nominale si traccia la parallela alla W∞θ2 e l’estremo di tutti

i vettori ~V2 sara su tale retta;. quindi la distanza tangenziale tra la retta delle velocita V2 nominale e tale parallela

fornisce lo scorrimento alle differenti portate;ed allora la correzione di slip alle varie portate sara:

∆Vθ =(

1− Q

QN

)[U2

(1−

δV slipθ2

U2

)]mentre tra ingresso e uscita del diffusore possiamo ipotizzare flusso a vortice libero conα2 = α3 visto che le particelle descrivono una spirale archimedea:

∆Vθ3 = ∆Vθ2R2

R3

e quindi la correzione e:(∆p0

ρ

)diff

= ζdiffU2

2

2

(1− Q

QN

)2(

1−δV slip

θ2

U2

)2(R2

R3

)2

e la curva delle prevalenze reali ha una distanza verticale costante da quella ideale;


Figura 4.11. Perdite per urti nel diffusore:δV slipθ2U2

= cost.

altra possibilita e considerare il coefficiente di Pfleiderer costante con una differenza tra leprevalenze che diminuisce con l’aumentare della portata:

gH0∞ = (1 + Cp) gH0

z

e il ∆Vθ2 alle varie portate si trova nella seguente maniera:. si considera ancora il triangolo di velocita in condizioni nominali con la correzione di

scorrimento opportuna;. sulla velocita U2 si stacca il vettore U2

1+Cpindividuando il punto B che corrisponde

all’estremo del vettore ~V2 per portata nulla;. si individua il punto A che corrisponde all’estremo del vettore ~V2 in condizioni di

prevalenza nulla e si traccia la retta per AB;. gli estremi del vettore ~V2 si troveranno su tale retta e quindi la distanza dal prolunga-

mento del vettore ~w∞2 e lo scorrimento cercato;Calcolato lo scorrimento come

∆Vθ2 =(

1− Q

QN

)(1

1 + Cp

)U2

e ipotizzato ancora un vortice libero tra le sezioni 2 e 3

∆Vθ3 = ∆Vθ2R2

R3

e quindi la correzione e:(∆p0

ρ

)diff

= ζdiffU2

2

2

(1− Q

QN

)2( 11 + Cp

)2(R2

R3

)2

Per il diffusore liscio vi sono perdite per attrito che dipendono dalla traiettoria delle particelle: vistoche essa e piu lunga a portate inferiori tale aliquota di perdite e inversamente proporzionale allaportata.

4.6.2. Curve caratteristiche reali e rendimento idraulico delle pompe. Le curve carat-teristiche reali delle pompe avranno pertanto una diversa espressione a seconda delle ipotesi assuntesul rendimento dei palettaggi. Nei due casi limiti da noi esaminati nella stime delle perdite per urto,

siottienee quindi nel caso in cui∆V slipθ2U2

= cost.:

gH0 =

[gH0∞ − U2

2

δV slipθ2

U2

]−

(∆p0

ρ

)attr

+(

∆p0

ρ

)urtogirante

+(

∆p0

ρ

)urtodiffusore

e nel caso in cui Cp = cost.:


Figura 4.12. Perdite nel diffusore per Cp = cost.

Figura 4.13. Curve reali nel caso∆V slipθ2U2

= cost.

gH0 =gH0∞

1 + Cp−

(∆p0

ρ

)attr

+(

∆p0

ρ

)urtogirante

+(

∆p0

ρ

)urtodiffusore

Figura 4.14. Curve reali a Cp = cost.

Il rendimentoidraulicoo della pompa si otterra infine tramite l’espressione:

ηidr =H0

H0z

= 1−

∑i

(∆pρ

)iH0z

4.7. CAVITAZIONE 97

4.7. Cavitazione

4.7.1. Fenomenologia. Una particella fluida e composta da: liquido, gas disciolti, vapore delliquido disciolto.

La pressione parziale pG dei gas e la pressione parziale pV del vapore (denominata tensione divapore) disciolti nel liquido sono funzioni principalmente della temperatura e ovviamente del tipo diliquido e di gas disciolto.

A parita di pressione totale, la pressione statica della particella diminuisce laddove la sua velocitaaumenta come ad esempio accade sul lato in pressione delle pale di una girante di pompa.

Se la pressione statica del fluido diviene inferiore a quella della tensione di vapore del liquidoo diella pressione parziale dei gas disciolti (p < pV o pG) allora vapore e gas possono evaporarelocalmente formando micro-bolle e dando origine cosı ad un flusso bifase.

Man mano che la velocita sul dorso della pala diminuisce, la pressione statica riaumenta e questocomporta l’implosione dei vapori e gas che tornano in soluzione (monofase).

I principali effetti della cavitazione sono: Rumore e vibrazioni

Sono causate dall’implosione delle micro bolle. Rumore e vibrazioni possono pero essereanche causate da pale con elevati angolo di attacco del flusso all’ingresso in condizioni difuori progetto. E’ bene percio non confondere le diverse cause; Caduta della curva caratteristica H-Q e del rendimento: In funzione del numero specifico

di giri della girante si hanno diverse conseguenze sulla curva caratteristica della pompa(Fig. 4.15). In particolare se:. ns < 1500 (pompe radiali) allora si ha un’improvvisa caduta della prevalenza ad una

certa portata che dipende dal numero di giri e dalla pressione totale all’aspirazionedella girante; in tal caso i canali interpalari sono lunghi e stretti, e la condizionedi cavitazione iniziata sul lato in depressione riesce ad estendersi attraverso l’interasezione di passaggio del canale; questo determina una parziale occlusione del canalecon conseguente crollo della prevalenza elaborata dalla girante;

. 1500 < ns < 5000 (pompe miste) la caduta della prevalenza e piu graduale ma ancoraapprezzabile; in tal caso i canali interpalari sono piu corti e larghi; per poter estenderela condizione di cavitazione a tuuta la sezione di passaggio bisogna far defluire unaportata maggiore rispetto a quella da una pompa radiale;

. ns > 5000 (pompe assiali) la caduta della prevalenza non e piu apprezzabile; i canaliinterpalari sono pochi, corti e larghi; questo determina una bassa sovrapposizione fradue canali consecutivi; anche ad elevate portate la zona di flusso bifase determinatadalla cavitazione non riesce mai ad invadere l’intero canale e quindi si riesce ad otteneresoddisfacenti prestazioni della pompa anche in regime di cavitazione sviluppata.

Figura 4.15. Effetto della cavitazione per ns differenti

Azione meccanica di martellamento delle pale e eventuale rottura per corrosione e/o faticadel metallo: durante l’implosione le bolle presenti sulla parete della pala, esercitano unmartellamento della superficie ad alta frequenza (600-25000 Hz) e ad elevatissime pressioni(300 e 1000 atmosfere). Se le bolle si formano sulla superficie della pala, si possono creare


cricche.Un parametro importante e il rapporto fra le dimensioni della bolla e le microporosita della superficie. La penetrazione delle micro bolle nelle micro porosita e facilitataquando la cavitazione si sviluppa a bassa frequenza.

4.7.2. Teoria della cavitazione. Vediamo da quali parametri dipende la condizione di in-cipiente cavitazione. La conservazione dell’energia meccanica (Teorema di Bernoulli per flussi in-compressibili) fra la sezione A nel serbatoio del liquido e la sezione S all’aspirazione della girante(Fig. 4.16) ci permette di scrivere il bilancio:

pAρ

+ gzA +V 2A

2=pSρ

+V 2S

2+ gzs +

(∆p0

ρ

)loss

Figura 4.16. Schema del circuito all’aspirazione della pompa

Ed inoltre tra la sezione S e la sezione dove si registra la minima pressione statica nel canalepalare:

(4.3)pmin

ρ=pSρ− λw

W 21

2dove

λw = 0.2− 0.4La relazione diretta tra le condizioni nel serbatoio ed il punto di minima pressione si ottiene

eliminando ps dalle due espressioni e :

pAρ

+V 2A

2− gh = gH0

A − gzS =(

∆p0

ρ

)loss

+pmin

ρ+V 2S

2+ λw

W 21

2

dove VS = QAS

e h = zs − zA.La condizione di cavitazione e definita dalla diseguaglianza:

pmin ≤ pV (T ) + pG (T )dove la condizione di incipiente cavitazione si verifica quando nella vale il segno di eguaglianza. Intal caso possiamo sostituire l’espressione di pmin nella per ottenere che:

pAρ

+V 2A

2− gh = gH0

A − gzS =(

∆p0

ρ

)loss

+pV (T ) + pG (T )

ρ+

12

(Q

AS

)2

+ λwW 2

1

2Questa espressione rappresenta un vincolo al quale devono sottostare tutte le grandezze onde far

preservare le condizioni di incipiente cavitazione, ovvero se una grandezza aumenta si deve verificareun simultaneo aggiustamento delle altre onde prevenire il manifestarsi della cavitazione.

Fra le principali situazioni che possono essere di interesse citiamo i casi di:

4.7. CAVITAZIONE 99

Una diminuzione di pA nei serbatoi di propellente liquido (dovuta ad un funzionamento inquota con pA = patm, oppure con serbatoi sottovuoto) come pure un progetto dei condotti dialimentazione della pompa non ottimale che determini elevate perdite di pressione implicanouna riduzione della portata smaltibile, oppure una diminuzione di W1 il che vuol dire, aparita di V1, una minor U1 = ωR1, ovvero una ridotta velocita angolare ω od un diametroall’aspirazione R1 piu piccolo; Un’aumento di temperatura produce un’aumento della pV che provoca effetti analoghi

all’abbassamento di pA; L’uso di un propellente ad elevata densita consente portate o W1 piu elevate; idrocarburi

sono percio piu facilmente gestibili di LOX che a sua volta e meno gravoso dell’ LH2; Propellenti con bassa tensione di vapore sono preferibili; Un disegno fluidodinamico del canale della girante che minimizzi il coefficienteλw e au-

spicabile in quanto, a parita di altre condizioni, consente di operare con una W1 piuelevata. presenza di gas disciolti aumenta pG, che provoca effetti analoghi all’abbassamento di pA;

pero i vari gas disciolti non evaporano tutti alla stessa pressione di vapore, e quindi il loroeffetto e ripartito su un campo di pressioni ampio e non e concentrato ad una sola pressione.E’ quindi complessivamente meno gravoso.

4.7.3. Il Net Positive Suction Head. In letteratura si e introdotto un parametro capacedi qua.jpgicare le prestazioni della pompa e/o dell’impianto di alimentazione della pompa nei con-fronti della cavitazione: tale parametro e denominato Net Positive Suction Head (altezza nettaall’aspirazione) ed e definito dalla espressione:

(4.4) NPSH :=(pSρ

+V 2S

2

)−(pV + pG

ρ

)=p0S

ρ− pV (T ) + pG(T )

ρ

Si possono fare delle prove al banco in modo che la pompa funzioni a numero di giri N e pressioneall’aspirazione pS fissate. Dall’andamento delle curve caratteristiche H = f(Q,N, pS) si ricavano ipunti di incipiente cavitazione che indicheremo con il simbolo *.

Le condizioni di incipiente cavitazione sono definte convenzionalmente nel punto della curvacaratteristica ottenuta per Q ed N costanti ed al variare (diminuire) della pressione all’aspirazionein cui la prevalenza sviluppata dalla pompa raggiunge il 97% del suo valore nominale (Fig. 4.17).

Figura 4.17. NPSH critico

Si possono pertanto costruire le curve di NPSH = f(Q∗, N, pS) come:

NPSHpompa =

(pSρ

+12

(Q∗)2

A2S

)−(pV + pG

ρ

)Inoltre, si puo caratterizzare il comportamento della pompa nei confronti della cavitazione

tracciando le curve di NPSH(Q,N) (Fig. 4.18).


Figura 4.18. NPSH in funzione di Q e N

Una volta caratterizzata la pompa si devono determinare le prestazioni dell’impianto di alimenta-zione. Combinando l’equazione di conservazione dell’energia meccanica con la definizione di NPSH,si ottiene che:

pSρ

+V 2S

2=pAρ− g(zs − zA) +

V 2A

2−(

∆p0

ρ

)loss

= NPSH +(pV + pG

ρ

)da cui si puo ricavare che l’NPSH dell’impianto vale:

NPSHimpianto =pAρ

+V 2A

2− gh−

(∆p0

ρ

)loss

− pV + pGρ

Pertanto la condizione per far funzionare la pompa in assenza del pericolo della cavitazione e :

NPSHimpianto ≥ NPSHpompa

4.7.4. Similitudine in cavitazione. Il NPSH non e un parametro adimensionale. In lette-ratura si sono utilizzati il parametro di Thoma σ e il numero di giri specifico all’aspirazione NSS

definiti come:

σ =NPSH

g∆ [H0]e

NSS = N

√Q

(NPSH)3/4

I due parametri sono legati fra loro dalla relazione:

σ =(NS

NSS

)1,333

I parametri di similitudine possono risolvere il problema di estrapolare le curve di NPSH(Q,N)note per una macchina che ha un certo diametro caratteristico D1 e che ruota al numero di giri N1

a macchine aventi diverso diametro e rotanti a diversi giri.Se il funzionamento della macchina prototipo e delle altre macchine in esame rispetta le condizioni

di similitudine geometrica e fluidodinamica, allora entrambe le machine avranno gli stessi valori diσ e NSS . Se inoltre si troveranno in condizioni di incipiente cavitazione caratterizzate dallo stessovalore del parametro di Thoma, allora si avra :

4.7. CAVITAZIONE 101

σ1 = σ2 →(NPSH)1

gH01

=(NPSH)2

gH02

ϕ1 = ϕ2 →Q1

N1D31

=Q2

N2D32

ψ1 = ψ2 →gH0

1

N21D

21

=gH0

2

N22D

22

Da cui se si vuole valutare l’effetto del diverso numero di giri si ha:

(NPSH)2 [Q2] = (NPSH)1 [Q1](N2

N1

)2

con

Q2 = Q1N1

N2

Mentre l’effetto del diverso diametro comporta che:

(NPSH)2 [Q2] = (NPSH)1 [Q1](D2

D1

)2

con

Q2 = Q1

(D1

D2

)3

Il numero di giri specifico all’aspirazione e un parametro di similitudine piu utilizzato di recentee serve a caratterizzare immediatamente il tipo di pompa nei confronti delle sue prestazioni incondizione di incipiente cavitazione. Ad esempio un valore di NSS di 10,000 prevede una pompasenza inducer, mentre per ottenere NSS dell’ordine dei 100,000 e indispensabile aggiungere l’inducerin serie alla girante centrifuga. Un ulteriore problema che puo essere facilmente risolto con l’ausiliodel NSS e quello di determinare il massimo numero di giri per una pompa con un dato NSS e chedebba operare alla portata QN in un’impianto che fornisce un certo NPSHi. In tal caso si ha che:

Nmax =NSS

4

√(NPSH)3

i√QN

4.7.5. L’effetto TSH (Thermodynamic Suppression Head). Quando la pressione staticalocale scende sotto la tensione di vapore, il liquido evapora formando vapore. Il processo di eva-porazione richiede una quantita di calore che viene sottratta alla fase liquida della particella fluidaprovocando un’abbassamento della temperatura della particella stessa. Ma la tensione di vapore eanch’essa funzione della temperatura e quindi il confronto fra pressione statica e tensione di vaporedeve essere effettuato tenendo in debito conto questa dipendenza.

Si puo osservare che l’abbassamento di tensione di vapore dovuto all’evaporazione si puo qua.jpgicarecome segue:

(4.5) ∆pvap ≈ ∆TdpvapdT

=xvaphgcpliq

dpvapdT

ed inoltre, per l’equazione di Clapeyron, vale la:

(4.6)dpvapdT

≈ pvaphgRvapT 2


dove xvap e la frazione molare di vapore nella miscela, hg e il calore latente di evaporazione, cp,liq eil calore specifico del liquido, Rvap = R/wvap e la costante del vapore e wvap e il peso molecolare delvapore e R e la costante universale dei gas. Con queste posizioni, l’abbassamento percentuale dellapressione di vapore in funzione della percentuale di vapore presente vale:

∆pvappvap

=

[(hgcpliqT

)2( cpliqRvap

)]xvap = K

Questo comporta che:

(NPSH)V 2m

2g

≈ 3 nel caso di H2O

(NPSH)V 2m

2g

≈ 2 nel caso di LOX

(NPSH)V 2m

2g

≈ 1 nel caso di LH2

Che indica che l’idrogeno liquido gode del piu elevato TSH, ovvero che a parita di velocitameridiana richiede il minimo NPSH.

4.7.6. Relazione fra NPSH e angolo di ingresso delle pale. Nella progettazione de-gli induttori si tiene conto che questi sono organi anticavitazione. Si utilizza anche qui analisiadimensionale. U e la velocita piu elevata, nelle pompe assiali al tip

τ =(p0S−pVρ

)/U2

2

Ut = −ωRT ip

ψ1η = F (ϕ, τ, disegno)

τ = F (ϕ, disegno)

E’ una funzione definita sperimentalmente per vari tipi di pompa.Se lavoriamo con delle Ut elevate, data

pos − pV→

deve essere

τmin ↓

Numero di pale deve essere basso e quindi le pale hanno un forte ricoprimento l’una contro l’altra.Questo perche lavorano in condizioni di incipiente cavitazione.

L’uso degli induttori ci permette di lavorare a ω piu elevato e a diminuire la pressione nei serbatoi,tutte caratteristiche che ci servono.

τmin = f

[sinϑ

1 + cosϑϕ

]

4.8. RELAZIONE FRA NUMERO DI GIRI SPECIFICO E GEOMETRIA DELLA POMPA 103

4.8. Relazione fra numero di giri specifico e geometria della pompa

Dalla definizione di cifra di flusso e di portata si possono ricavare la portata e la prevalenza infunzione del diametro D2 e dello spessore del canale b2 allo scarico della girante

gH0 = ψ2U22

Q = ϕ2U2πD2b2

Dalla definizione di numero di giri specifico kq:

kq :=ω√Q

(gH0)34

si puo ricavare la:

kq :=ω√ϕ2U2πD2b2

(ψ2U22 )

34

= 2√π

√b2√D2

√ϕ2

(ψ2)34

che mostra esplicitamente come valori bassi di kq si ottengono per valori bassi di cifra di flusso, alti dicifra di pressione e per bassi rapporti fra b2 e D2 (macchine a flusso radiale) e viceversa ((macchinea flusso assiale).

Estendendo l’analisi alle condizioni all’aspirazione si trova che le relazioni:

ϕ1 =V1e

U1e

U1e = U2D2

D1e

consentono di scrivere la portata come:

Q = V1eπ(D2

1e −D21i)

4= ϕ1U1e

π

4D2

1e(1−D2

1i

D21e

) = ϕ1U2D2

D1e

π

4D2

1e(1−D2

1i

D21e

)

e infine la velocita specifica come:

kq :=ω

√ϕ1U2

D2D1e

π4D

21e(1−

D21i

D21e

)

(ψ2U22 )

34

=√π

√(D1e

D2

)3√

(1−D2

1i

D21e

)√ϕ1

(ψ2)34

Esplicitando questa relazione rispetto al rapporto tra diametro max all’aspirazione e diametroallo scarcio della girante di ha:

(4.7)D1e

D2=

13√π

(kq

1− ν2

) 23√ψ2

3√ϕ1

dove:

ν =D1i

D1e

Dalla relazione (4.7) si ricava che il rapporto D1e/D2 e tanto maggiore quanto piu e alta lavelocita specifica e la cifra di pressione e piu bassa la cifra di flusso. Inoltre tanto maggiore e ilprolungamento del bordo d’attacco verso l’aspirazione (piccolo ν < 1) tanto maggiore diventa ilrapporto D1e/D2. Il rapporto ottimale fra D1e e D2 potra essere identificato come illustrato nellasezione che segue.


4.9. Progettazione del bordo di attacco

Per la determinazione del bordo di ingresso delle palette della girante si possono seguire duestrategie differenti:

minimizzazione delle perdite per urto; minimizzazione del fattore NPSH per essere il piu lontani possibile dalle condizioni di

cavitazione.

4.9.1. Determinazione del bordo di attacco che minimizza le perdite. Sotto l’ipotesiche siamo fuori dalle condizioni di cavitazione, si puo trovare quel valore del diametro esterno D1e

che rende minimi gli urti; la portata in ingresso e:

Q = π(R2

1e −R21i

)V1

mentre dal triangolo di velocita nel caso di prerotazione nulla la portata, con la velocita meridianaV1 costante, si ricava la portata in funzione delle relativa e di rotazione:

Q = π(R2

1e −R21i

)√W 2

1e− ω2R2

1e

ma le perdite d’urto sono proporzionali alla velocita W1e (che tra l’altro e la piu grande nell’intervalloR1i < R < R1e); possiamo:

minimizzare, a parita di portata Q, la velocita W1e e ottenere quindi la condizione di ottimoin termini di R1e ; massimizzare, a parita di W1e , la portata Q trovando quindi ancora la condizione di ottimo

in termini di R1e che ancora minimizza le perdite d’urto.

Considerando questa seconda possibilita, definiamo il rapporto

ν =R1i

R1e

Si puo dimostrare che il valore della cifra di flusso che massimizza la portata Q a W1e = costvale:

ϕott1 :=V1e

U1e

=

√12

(1− ν2)

e l’angolo di attacco della pala all’ingresso esterno:

β1 = tan−1(ϕott1

)che, per 0.3 ≤ ν ≤ 0.5 e 0.614 ≤ ϕ ≤ 0.674, va da un valore di 31 a 34 gradi. Dalla definizione dellacifra di flusso:

ϕott1 [ν] =V1,e,ott

U1,e,ott=

Q

π(Rott1,e

)2(1− ν2)

1ωRott1,e

si ricava il valore ottimale del raggio:

4.9. PROGETTAZIONE DEL BORDO DI ATTACCO 105

(4.8) Rott1,e = 3

√Q

πϕott1 [ν]ω (1− ν2)

e da qui il valore del raggio interno11

Rott1,i = νRott1,e

Il valore ottimale del rapporto D1e/D2 si puo quindi ricavare inserendo nella relazione (4.7) ivalori ottimali di ϕott1 per assegnati ν, ψ2 e kq.

4.9.2. Progettazione del bordo di attacco per minimo NPSH. Dalla definizione diNPSH, Eq. (4.4, sostituendo alla pressione totale la sua definizione e dalla pressione minima illegame con la pressione all’aspirazione, Eq. (4.3), si ha:

NPSH =V 2

1

2+ λw

W 21

2

Esprimendo la portata come:

(4.9) Q = ϕ1eU1eπR21e

(1− ν2

)e dal triangolo di velocita del bordo esterno

W 21 = U1e

(1 + ϕ2

1e

)si trova

NPSH =U2

1

2[ϕ2

1e (λw + 1) + λw]

Si puo definire il parametro di cavitazione (analogo a NPSH):

Kcav =ω√Q

4

√(NPSH)3

e sostituendo

K2cav =

πϕ1e

(1− ν2

)12

[ϕ2

1e(λw + 1) + λw

] 32

si puo massimizzarlo rispetto a ϕ∂(K2cav

)∂ϕ1e

= 0

per avere il minimo valore di NPSH. Si trova

ϕott1e =

√λw

2 (1 + λw)

che per i normali valori di λw (0.2÷ 0.4) vale 0.289 ÷ 0.375 fornendo un valore di β1 compresonell’intervallo 16÷ 21 che e piu restrittivo rispetto al caso precedente: occorre infatti in questo casominimizzare non solo la velocita relativa ma anche quella assoluta e quindi gli angoli possibili dideviazione sono inferiori. Il valore minimo di NPSH e

NPSHmin =34λwω

2R21e

Questa relazione indica quali siano le opzioni di disegno capaci di minimizzare l’NPSH, ovverodi incrementare le prestazioni anticavitative della pompa, ossia:

diminuire λw, che sottolinea l’importanza del disegno fluidodinamico della girante;

11Nel caso in cui si abbia R1,i < R1,e il bordo di viene detto bordo di attacco prolungato all’aspirazione.


diminuire la velocita di rotazione della girante; tale soluzione confligge pero con la necessitadi accoppiare la girante della pompa con quella della turbina senza l’impiego di riduttori divelocita; diminuire il raggio esterno all’aspirazione della girante.

Inserendo il valore ottimo della cifra di flusso nella (4.9) possiamo ricavare il raggio ottimoesterno:

(4.10) Rott1e =

√Q

πϕott1eω (1− ν2)

Confrontando le due soluzioni ottime (4.8) e (4.10) si ricava:

Rcav1e

Rurti1e

= 3

√ϕurti1 (ν)ϕcav1 (λw)

Tale rapporto e sempre maggiore di uno poiche ν e λw sono sempre minori di 1.

4.10. Perdite di portata attraverso le tenute

Scopo delle tenute e limitare, attraverso una serie di labirinti che determinano elevate perdite dicarico, le portate di ricircolo del fluido che tende a muoversi da zone a pressione maggiore verso zonea pressione minore; considerando una geometria semplice (un condotto a sezione costante, Fig. 4.19)possiamo, una volta risolto il campo potenziale, schematizzare le perdite del flusso attraverso:

(1) una perdita all’imbocco proporzionale alla pressione dinamica di riferimento; possiamoquindi scrivere l’equazione di Bernoulli a cui sommiamo le perdite di pressione totale:

pA − p1

ρ=V 2

2+ β1

V 2

2

dove V = Q/A e la sezione di passaggio A e calcolata come:

A = π

[(R+

a

2

)2−(R− a

2

)2]

= 2πRa

(2) una perdita nel condotto proporzionale, attraverso il coefficiente di attrito λ funzione(Fig. 4.10) del numero di Reynolds riferito alla velocita assoluta ReV = DidrV/ν e delnumero di Reynolds riferito alla velocita di trascinamento ReU = DidrU/ν, al rapporto trala lunghezza e il diametro idraulico (a sua volta proporzionale allo spessore del meato a):

Didr =4A2p

= 2a

poiche il perimetro bagnato 2p vale:

2p = 2π[(R+

a

2

)−(R− a

2

)]= 4πR

e infine al quadrato della velocita di riferimento

p1 − p2

ρ= λ[ReV ;ReU ]

`

Didr

V 2

2

(3) una perdita in uscita sempre proporzionale alla pressione dinamica di riferimento

p2 − pBρ

=V 2

2+ β2

V 2

2

4.11. CARICHI RADIALI E ASSIALI NELLE TURBOPOMPE 107

Figura 4.19.

Figura 4.20.

Le perdite totali saranno quindi:

pA − pBρ

=V 2

2

[λ`

Didr+ (β1 + β2)

]=

1µ2

V 2

2=

1µ2

(Q

A

)2

conµ =

1√λ `Didr

+ (β1 + β2)

da cui possiamo ricavare la velocita di deflusso

V = µ

√2∆pρ

e la portata persa

Q = µA

√2∆pρ

che risulta proporzionale: alla “conduttanza” fornita dal circuito idraulico: geometrie piu complesse abbassano la

portata persa; alla sezione di passaggio: conviene quindi lavorare con meati sottili (compatibilmente con

le tolleranze di lavorazione e le dilatazioni termiche); al gradiente di pressione: portate minori si hanno se si riesce ad avere camere a pressioni

intermedie.Una volta stimate tutte le portate perse, si potra valutare il rendimento volumetrico con la defini-zione:

ηvol =Q

Q+∑

iQloss

4.11. Carichi radiali e assiali nelle turbopompe

In una turbopompa, l’azione del fluido sulle giranti di pompe e turbine, in termini di variazioni diquantita di moto e di risultante delle distribuzioni di pressioni sulle superfici delle giranti, si traduce,in virtu del principio di conservazione della quantita di moto, in una spinta non nulla che insiste


sull’albero che collega le giranti. In particolare, la spinta puo essere decomposta in una componenteradiale ed una assiale rispetto all’albero della turbopompa. Vediamo nelle due sezioni che seguonoquali sono le origini di queste componenti di spinta e come il progetto della turbopompa deve essereconcepito in modo da minimizzare l’impatto di tale spinta.

4.11.1. Bilanciamento carichi radiali nella voluta a sezione circolare. In condizioni diprogetto e stato visto come la voluta a sezione circolare sia l’unica ad avere il campo di pressionicostante lungo θ; in condizioni fuori progetto pero si ha la presenza di una distribuzione non uniformevisto che la velocita Vg non e quella prevista.

Considerando il semplice caso di mandata nulla abbiamo che le condizioni al contorno all’iniziodella voluta e alla fine sono differenti:

per θ = 0 la velocita Vg coincide con la componente tangenziale della velocita in uscita daldiffusore

Vg (0) = Vθ3e dunque diversa da zero; per θ = 2π per la continuita la velocita deve essere nulla

Vg (2π) = 0

e quindi, dividendo grossolanamente la girante in quadranti, verso l’uscita la velocita si annulla e lapressione tende a quella totale: si ha un carico netto verso l’alto e quindi una sollecitazione a faticadell’albero. La risultante puo essere graficamente individuata sul piano (θ,H) come l’area tratteg-giata in blu tra la curva nominale e quella reale a portata inferiore a quella nominale. Per portatasuperiore a quella nominale si ha un carico di segno opposto visto che la velocita va aumentandomentre la pressione diminuisce. Una relazione empirica che ci fornisce il modulo di tale risultanteper tutte le condizioni e:

F = k

[1−

(Q

QN

)2]

che vede una proporzionalita quadratica con la portata.

Figura 4.21. Carichi laterali

4.11.2. Bilanciamento carichi assiali. In presenza di un flusso non nullo nella girante esisteuna spinta assiale: in virtu dei trafilaggi di fluido dietro il disco e dietro al controdisco esiste unarisultante in direzione x che dipende dalla portata visto che dalla portata dipende il salto di pressionirealizzato. Possiamo scrivere il bilancio della quantita di moto in direzione assiale:

F = pdAd + patmAa − pcdAcd − p1A1 − mVmidove pcd e pd sono le pressioni medie delle distribuzioni di pressione dei meati interessati. Conside-rando che la parte piu lontana dall’asse presenta distribuzioni simmetriche e quindi equilibrata, larisultante dipende fondamentalmente dalla differenza tra p1 e pd che, per portate non troppo elevate,e negativa e quindi la spinta e diretta a sinistra; quando la prevalenza giunge a zero allora la spintaassiale puo cambiare segno.

Con riferimento a Fig. 4.22, per il calcolo della distribuzione di pressione pc possiamo ipotizzare:

4.11. CARICHI RADIALI E ASSIALI NELLE TURBOPOMPE 109

Figura 4.22. Distribuzione di pressione per impeller senza foro di comunicazione.

che le tenute siano tali da portare le portate di fuga a zero: il fluido quindi si mette inrotazione come un corpo rigido con una velocita angolare ωf

ωf =ωd2

come visto nel paragrafo 4.6.1.1; oppure che si abbia una portata non nulla: per i nostri scopi possiamo adottare l’ipotesi

di Pfleiderer che, anziche considerare il bilancio di momento di quantita di moto, considerache il fluido sia ad una velocita di rotazione maggiore di quella del paragrafo 4.6.1.1:

0.8ωg < ωf < ωg

e in ogni caso avremo una distribuzione di pressione di vortice forzato:

p (R) = ρω2f

2R2 + cost.

con la condizione al contorno

p (R2) = p2 = ρω2f

2R2

2 + cost.

e quindi

p (R) = p2 − ρω2f

2(R2

2 −R2)

da cui la pressione media

p =∫ R2

R1

p (R) 2πRdR = p2 (Q)− ρω2f

4(R2

2 −R21

)Per il dimensionamento e necessario considerare il valore massimo di p2 che si raggiunge per mandatanulla (Q = 0)

p2 − p1

ρ= U2

2

che fornisce la massima spinta negativa.Un possibile rimedio alla spinta assiale la creazione di camere stagne dietro al disco che, essendo

in comunicazione con l’imbocco della girante, siano a pressione p1 e quindi limitino al massimo iltratto ove si risente della differenza pd − p1 (Fig. 4.22). In tale tratto si risente infatti sia dellapresenza del foro che della pressione atmosferica:

p (R) = p1 + ρω2f

2(R2 −R2

f

)con una pressione media:

p = p1 + ρω2f

4(R2t +R2

a − 2R2f

)


e, imponendo ad una certa portata che sia pari alla pressione p1 si trova la posizione del foro

Rf =

√R2t +R2

a

2la risultante:

F = (pd − p1)A0 − (p1 − patm)Aa − mV1i

risulta la minima in condizioni nominali.

Figura 4.23. Distribuzione di pressione per impeller con foro di comunicazione.

4.12. Esempio: calcolo delle prestazioni di una pompa centrifuga

4.12.1. Le prestazioni di riferimento della girante. La girante in esame, di tipo centri-fugo (con variazione del raggio medio tra la sezione di ingresso e quella di uscita), ha le seguenticaratteristiche:

GeometriaRaggio interno aspirazione R0h = 68.3mmRaggio esterno aspirazione R0t = 93.9mmRaggio interno ingresso R1h = 74.6mmRaggio esterno ingresso R1t = 93.9mmRaggio interno ed esterno uscita R2h = R2t = 139mmPrestazioniPortata di progetto mD = 191.4 m3

sSalto di pressione nominale ∆pd = 112.4 atmNumero di giri nominale RPM = 12000FluidoTipo di fluido Ossigeno liquido

La girante, visibile in una vista frontale nella tavola 1, e una girante radiale (il bordo di uscitae parallelo all’asse di rotazione) con bordo prolungato all’aspirazione visto che i raggi R deldisco e del controdisco non sono i medesimi: da una semplice analisi si deduce immediatamente chele linee di corrente, subendo accelerazioni differenti perche a differente distanza dall’asse, fornirannoun profilo di velocita non uniforme all’uscita con conseguente presenza di flussi secondari importanti(che pero con l’analisi 1-D qui presentata non possono essere evidenziati).

Nel piano meridiano la potenza associata al filetto fluido in uscita la possiamo scrivere come:1ρ

dP

dQ= ∆ [UVθ (z)] = U2

2 − U2wθ2 (z)

ma la portata per unita di lunghezza e la velocita meridiano potranno essere espresse dalle

dQ = Vm (z) (πD2dz)

wθ2 =Vm2

tanβ2

4.12. ESEMPIO: CALCOLO DELLE PRESTAZIONI DI UNA POMPA CENTRIFUGA 111

e sostituendo nella I relazione e integrando dP tra il valore 0 e la larghezza del canale b si ha

1ρ

∫ b

0dP =

∫ b

0

[U2

2 − U2Vm2 (z)tanβ2

]πD2V

2m (z) dz = U2πD2

[U2

∫ b

0Vm2dz −

∫ b

0

V 2m2

tanβdz

]e reintroducendo la portata

Q = πD2

∫ b

0Vmdz

si ha:

P

ρQ= U2

2 −U2

tanβ2

∫ b0 V

2mdz∫ b

0 Vmdz

che ritorna all’espressione derivante dall’equazione di Eulero

P

ρQ= U2

2 −U2Vm2

tanβ2

solo nel caso in cui il profilo di velocita sia proprio un profilo uniforme.L’utilizzo nell’esempio dell’ossigeno liquido elimina i problemi legati alla comprimibilita ; nel

caso si fosse fatto uso di idrogeno liquido la densita sarebbe stata funzione della pressione e dellatemperatura secondo delle relazioni semiempiriche del tipo:

ρ = ρep−pβ−α(T−T)

con β e α costanti valide in un intorno di(p, T

).

Per il disegno della pala si considera un arco di cerchio il cui centro si individua con il seguentealgoritmo:

(1) si considerano i due cerchi di raggio (medio nel nostro caso) R1 e R2 che delimitano la pala;(2) a partire da una direzione di riferimento, si traccia un angolo di apertura β1 + β2;(3) individuato B, si traccia, rispetto al raggio corrispondente, una retta inclinata β2 rispetto

al raggio;(4) l’intersezione dell’asse di AB con tale retta fornisce il centro C cercato.

4.12.2. Test eseguiti sul programma.


Figura 4.24. Disegno di assieme della girante e dei canali palari

4.12.3. Calcolo delle prestazioni di riferimento. Con le caratteristiche sopra presentateed inoltre

ps = 1 atm α1 = 90 β1 = 13 β2 = 25


si possono trovare, a diversi RPM, il salto di pressione e la potenza assorbita (prestazioni chesaranno poi di riferimento per tutti i test successivi) sotto le ipotesi che12

(1) il rendimento di progetto di una girante sia una funzione del numero di giri specifico (ricavatain base all’analisi di un numero elevato di pompe differenti)

ηdidr = 0.41989 + 2.1524Ns − 3.1434N2s + 1.5673N3

s

per Ns ≤ 0.8 oppureηdidr = 1.020− .120Ns

per Ns > 0.8

Figura 4.25. Grafico delle funzione polinomiale relativa al rendimento η.

(2) il rapporto tra il rendimento in condizioni di progetto e fuori progetto sia una funzione dellaportata non dimensionale

ξ =ηidr

ηdidr= 0.86387 + .3096F − .14086F 2 − .029265F 3

(3) il numero di giri specifico all’aspirazione richiesto sia funzione della portata

N reqss = −.28607 + 4.14245F − 12.0967F 2 + 20.708F 3 − 15.42122F 4 + 3.9366F 5

(4) il fattore di scorrimento sia, in rapporto al suo valore di progetto, funzione anch’esso dellaportata

σ

σd= 1.534988− .6681668F + .077472F 2 + .0571508F 3

Figura 4.26. Grafici delle funzioni polinomiali relative a ξ, NSS e σ.

e possiamo rilevare:

12Le funzioni sotto introdotte sono rappresentate nei grafici allegati.


essendo le pale inclinate all’indietro (β2 < 90) la prevalenza decresce con la portata (leperdite introdotte sono troppo piccole per influenzare la pendenza della curva); la potenza assorbita, sempre lo stesso motivo, e crescente in maniera meno che lineare. la velocita tangenziale in uscita (indicata nel grafico con CU 2) decresce all’aumentare della

portata (ed e proprio questo il fattore che determina la diminuzione di prevalenza) percheaumenta lo scorrimento (visibile nel grafico adiacente) all’uscita della girante.

Figura 4.27. Velocita tangenziale in uscita (indicata nel grafico con CU 2) decresceall’aumentare della portata

4.12.4. Cavitazione. L’insorgere della cavitazione porta ad una variazione delle prestazionidella girante: pur non potendo con il modello utilizzato ricavare le prestazioni della pompa (e neces-saria la conoscenza del flusso all’interno della girante per sapere l’esatta distribuzioni di pressioni)possiamo ricavare le coppie di punti (Q,NPSH), per un certo numero di giri, in cui si ha che lapressione minima e pari o inferiore alla pressione di vapore saturo del liquido in oggetto (incipientecavitazione).

Si possono rappresentare, per ciascun numero di giri, tale coppie di valori al variare della pressionein ingresso e della pressione di vapore saturo osservando:

all’aumentare della portata, aumentando la velocita in ingresso e quindi la depressionesulla pala, il valore di NPSH aumenta ossia anche con pressioni aspirazione superiori si hacavitazione; anche all’aumentare della pressione di vapore saturo il fenomeno si ripete; le curve tracciate dovrebbero mostrare anche che per RPM superiori NPSH deve essere

superiore (maggiore velocita relativa in ingresso) ma la discretizzazione dell’intervallo in unnumero basso (16) di portate esplorabili non permette di avere la risoluzione necessaria (daqui anche la pendenza anomala a basse portate delle curve a RPM superiori).

Pressione di aspirazione (atm) 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Pressione di vapore saturo 1000 5000 10000 50000 100000

Figura 4.28. NPSH al variare della pressione di aspirazione


Figura 4.29. NPSH al variare della pressione di vapore saturo

4.12.5. Variazione dell’inclinazione delle pale. Dall’equazione di Eulero per le turbo-macchine, considerando la prerotazione nulla, la prevalenza sviluppata dalla girante e espressacome:

g∆H0 = U2Vθ2 = U22 − U2wθ2 = U2

2 − U2Q

A2 tanβ2

e quindi risulta funzione crescente con l’angolo β2. Dal triangolo di velocita infatti

Figura 4.30. Nomenclatura per il triangolo delle velocita in uscita della girante.

si vede come all’aumentare dell’angolo si ha un aumento della componente tangenziale della velocitae quindi, a parita di condizioni iniziali, una aumento di quantita di moto che si ripercuote, dall’equa-zione di Eulero, in energia totale. Altresı pero si ha un aumento del modulo della velocita e quindiun maggior carico sulla voluta con le conseguenti perdite; i dati forniti non davano informazionisulla voluta e quindi le reali prestazioni della pompa non sono state appurate. Si puo pero immagi-nare che all’aumentare di β2 la prevalenza sviluppata abbia un andamento crescente decrescente invirtu dell’esistenza, per un diffusore palettato, di una condizione di progetto che si verifica per unacerta portata ed una certa direzione del flusso in uscita dalla girante (ancora funzione di Q e di β2

appunto).I valori utilizzati per β2 sono riportati sotto in tabella e gli andamenti rispecchiano le previsioni

fatte dato che: la prevalenza aumenta con β2; la potenza assorbita aumenta, e in particolare cambia la concavita , passando da pale

all’indietro a pale in avanti.angoli β2 utilizzati 25!‘ 50!‘ 75!‘ 100!‘ 125!‘

4.12.6. Effetto dello swirl. Sempre dall’equazione di Eulero, in forma completa pero :

g∆H0 = U2Vθ2 − U1Vθ1


Figura 4.31. Effetto dell’angolo di uscita delle pale sulla potenza assorbita

Figura 4.32. Effetto dell’angolo di uscita delle pale sulla prevalenza

Figura 4.33. Curve caratteristiche della prevalenza a diversi numeri di giri

si vede come all’aumentata dell’angolo di ingresso α1 diminuisca Vθ1 e, per θ > 90, cambi addiritturasegno; non stupisce allora il fatto che, all’aumentare di α1, si abbia un aumento della prevalenza edella potenza assorbita ma ancora una volta non si tiene conto delle perdite per urto che sono, a paritadi portata (quindi di velocita meridiana) superiori a quelle in condizioni nominali per l’aumento ola diminuzione dell’incidenza rispetto al valore di progetto.

angoli α1 utilizzati 70!‘ 80!‘ 90!‘ 100!‘ 110!‘

Bibliografia 117

Figura 4.34. Curve caratteristiche della potenza assorbita a diversi numeri di giri

Figura 4.35. Curve caratteristiche adimensionali

Figura 4.36. Prevalenza al variare della pre-rotazione all’aspirazione

Bibliografia

[1] A.J. Stepanoff. Centrifugal and Axial Flow Pumps. Wiley, 2 edition, 1957.


Figura 4.37. Potenza assorbita al variare della pre-rotazione all’aspirazione

CAPITOLO 5

Studio delle Turbine

5.1. Analisi termodinamica dello stadio

Preso uno schema di principio come quello sotto mostrato: per la macchina nel suo complesso

possiamo adattare i concetti gia visti quali: il lavoro estratto dal flusso e pari alla variazione di entalpia totale

− W

CpT 00

=Cp∆

[T 0]

CpT 00

=1

CpT 00

∆ [UVθ]−

Evm

=

1CpT 0

0

∆[V 2

2+U2

2− w2

2

]− Evm

la definizione dei rendimento total-total e total-static

ηts =h0

0 − h2

h00 − h2s

=1− T2

T 00

1−(p2

p00

) γ−1γ

ηtt =h0

0 − h02

h00 − h0

2s

=1− T 0

2

T 00

1−(p0

2

p00

) γ−1γ

l’espressione del lavoro reale quindi

Wts = ηtsCpT00

[1−

(p2

p00

) γ−1γ

]

Wtt = ηttCpT00

[1−

(p0

2

p00

) γ−1γ

] la relazione tra la variazione di momento di quantita di moto e salto di pressione

p2

p00

=[1− 1

ηts

∆ [UVθ]CpT 0

0

] γ−1γ

p02

p00

=[1− 1

ηtt

∆ [UVθ]CpT 0

0

] γ−1γ

119

120 5. STUDIO DELLE TURBINE

Per una politropica di indice n, e con rendimento politropico ηp = γγ−1

n−1n , si ha che il

rapporto delle temperature totali vale:

T 02

T 00

=(p0

2

p00

)n−1n

=(p0

2

p00

) γ−1γηp

=(p0

2

p00

) γ−1γ

e∆SCp

il fattore di recupero

Rtt =ηttηp

=1−

(p0

2

p00

) γ−1γηp

ηp

[1−

(p0

2

p00

) γ−1γ

]5.1.1. Analisi del condotto fisso. Essendo il condotto fisso si ha un lavoro estratto nullo e

quindi l’entalpia totale si conserva (sia nel caso isoentropico che nel caso reale):

h0 +V 2

0

2= h1 +

V 21

2= h1s +

V 21s

2da cui possiamo ricavare l’entalpia statica in entrambi i casi

h1 = h00 −

V 21

2

h1s = h00 −

V 21s

2

Figura 5.1. Piano entalpico per un condotto fisso

L’ipotesi fondamentale e che la velocita reale V1 sia proporzionale alla velocita isentropica V1s

secondo un fattore ϕ minore di uno1 (la trasformazione di energia termica in cinetica non e completa)

V1 = ϕV1s

e quindi

ϕ2 =h0

0 − h1

h00 − h1s

da cui

h1 = h00 − ϕ2

(h0

0 − h1s

)= h0

0 − ϕ2V2

1s

2

Le perdite nello statore possono quindi essere legate a ϕ e alla velocita V1s:

Rst = h1 − h1s =(1− ϕ2

) (h0

0 − h1s

)=(1− ϕ2

) V 21s

21Valori tipici sono di 0.96 per condotti convergenti e 0.86− 0.9 per condotti convergenti-divergenti.

5.1. ANALISI TERMODINAMICA DELLO STADIO 121

con

V1s =

√√√√ 2γγ − 1

RT 00

[1−

(p1

p00

) γ−1γ

]Per adimensionalizzare e quindi semplificare le analisi sperimentali le perdite si possono adimen-

sionalizzare in differenti maniere: rispetto al salto entalpico ideale

ζ =Rst

h00 − h1s

= 1− ϕ2

rispetto al salto reale

ζ ′ =Rst

h00 − h1

=ζ

ϕ2=

ζ

1− ζ=

1− ϕ2

ϕ2

introducendo in fattore di perdita, piu facile da misurare sperimentalmente visto cheutilizza le pressioni

Y =p0

0 − p02

p01 − p1

=p0

0 − p01

ρ1V 2

12

che quindi permette di ricavare il rapporto tra le pressioni totali

p01

p00

=1 + Y

(p1

p00

)1 + Y

Si dimostra che:

ζ =

(1+Y

1+Yp1p00

) γ−1γ

− 1

(p1

p00

) 1−γγ − 1

che nel caso di accelerazione nulla(p1

p00

= 1)

e

ζ0 =1

1 + Y

e che in un piano(p1

p00, ζζ0

)vede le perdite attenuarsi con l’aumento dei rapporti di espansione e al

diminuire di Y (che tiene conto della fluidodinamica).

Figura 5.2. Perdite in relazione al rapporto di espansione

Il rendimento per gli ugelli puo essere: isoentropico

ηis =h0 − h1

h0 − h1s=V 2

1 − V 20

V 21s − V 2

0


fluidodinamico

ηfl =h0

0 − h1

h00 − h1s

=V 2

1

V 21s

= ϕ2 = 1− ζ =1

1 + ζ ′

legato al quadrato di ϕ.

5.1.2. Analisi del condotto rotante. In questo caso e invece la rotalpia totale relativa che siconserva

∆ [IR] = 0e quindi e la medesima sia per lo stato 1, lo stato 2 e lo stato 2 isoentropico

h1 +w2

1

2− U2

1

2= h2 +

w22

2− U2

2

2= h2s +

w22s

2− U2

2

2relazione che permette di ricavare la velocita relativa nel caso isoentropico:

w2s =

√2[(h1 +

w21

2

)− h2s +

(U2

2

2− U2

1

2

)]che presenta un termine aggiuntivo dovuta alla forza centrifuga.

Figura 5.3. Piano entalpico per il condotto mobile

Ipotizzando ancora una proporzionalita tra la velocita nel caso ideale e reale:

w2 = ψw2s

si puo calcolare l’entalpia reale

h2 =[(h1 +

w21

2

)+U2

2 − U21

2

]− ψ2

[(h1 +

w21

2

)− h2s +

U22 − U2

1

2

]con le perdite nel rotore

Rrot = h2 − h2s =(1− ψ2

) [h1 +

w21

2− h2s

]= ζR

w22s

2

introducendo ancora i fattori di perdita:2

ζR =Rrot

h01 − h2s

=Rrotw2

2s

= 1− ψ2

2Si ricorda che la pressione totale relativa viene definita come

p0r = p+ ρ

w2

2


ζ′R =

Rroth0

1 − h2=

1ψ2

=ζR

1− ζR

Y =p0

1r − p02r

p02r − p2

=p0

1r − p02r

ρ2w2

22

con Y che ha senso solo per macchine assiali in quanto per macchine mista la variazione di U2 puo farinvertire il segno al numeratore. Una volta note le prove sui condotti fissi, quindi nota Y , si puo, conl’uso della definizione per i condotti mobili, trovare la variazione di pressione totale e quindi trovarele perdite per lo stadio rotante della turbina. I rendimenti per i condotti mobili sono sempre quelloisoentropico e fluidodinamico (quest’ultimo ancora legato al quadrato del fattore di proporzionalitaψ)

ηis =h1 − h2

h1 − h2s=

w22 − w2

1 −(U2

2 − U21

)(w2

2s − w21

)−(U2

2 − U21

)ηfl =

h01 − h2

h01 − h2s

=w2

2

w22s

= ψ2

5.1.3. Accoppiamento statore-rotore della turbina. Supponiamo note:

la geometria dello stadio in termini di angoli αi (per lo statore) e βi (per il rotore) delpalettaggio; le condizioni del fluido in ingresso allo statore (distributore) come T0, p0, ~V0 e γ; il punto di funzionamento della turbina conoscendo ω, R, p1 e p2;

e supponiamo che lo stadio di turbina (assiale) sia progettato a velocita meridiana costante: per lostudio delle prestazioni dello stadio e possibile seguire il seguente algoritmo:

(1) dalla conoscenza degli angoli di deviazione ∆α (nello statore) e ∆β (nel rotore) e possibiletrovare i valori ϕ e ψ che legano le velocita in uscita reali a quelle ideali e di conseguenza irendimenti che sono i quadrati di ϕ e ψ;

(2) dalla conoscenza del numero di Mach di ingresso

M0 =V0√γRT0

si possono trovare le grandezze totali in ingresso3

T 00 = T0

(1 + δM2

0

)p0

0 = p0

(1 + δM2

0

) γγ−1

h00 = CpT

00

(3) per lo statore si parte dalla considerazione che, non essendoci parti mobili, il lavoroscambiato con il fluido e nullo e pertanto l’entalpia totale si conserva

∆[h0]

= 0

ed e la medesima tra ingresso, uscita, e uscita ideale (alla medesima pressione p1)

h00 = h1 +

V 21

2= h1s +

V 21s

2

3E’ utile definire il parametro

δ =γ − 1

2

che dipende dal tipo di fluido considerato.


Tra il primo e l’ultimo termine si trova, visto che la trasformazione e isentropica, la velocitaideale in uscita dallo statore

V1s =

√√√√ 2γγ − 1

RT 00

[1−

(p1

p00

) γ−1γ

]e quindi la velocita reale

V1 = ϕV1s

e quindi la temperatura

T1 =1Cp

(h0

0 −V 2

1

2

)da cui il Mach, la pressione totale, ecc. . .

(4) per il rotore possiamo subito trovare la velocita relativa in ingresso dal triangolo dellevelocita

w21 = V 2

1 − U2 − 2V1U1 cosα1

e in questo caso la rotalpia totale relativa risulta costante

∆[I0R

]= 0

che per una macchina assiale equivale a dire che l’entalpia totale relativa e costante e lastessa tra ingresso rotore, uscita e uscita ideale

h01R

= h1 +w2

1

2= h2 +

w22

2= h2s +

w22s

2

Ancora dal primo e l’ultimo termine

w2s =

√√√√√ 2γγ − 1

RT 01R

1−

(p2

p01R

) γ−1γ

con

T 01R

= T1

(1 + δM2

1R

)p0

1R= p1

(1 + δM2

1R

) γγ−1

eM1R =

w1√γRT1

Possiamo quindi trovare lo stato finale del fluido

h2s = h01R− w2

2s

2

h2 = h01R− ψ2w

22s

2e da qui le perdite

Rrot = h2 − h2s

Trovando la velocita totale

V 22 = U2 + w2

2 − 2Uw2 cosβ2

si trovano le condizioni totali in termini di entalpia

h02 = h2 +

V 22

2


e di seguito temperatura, pressione, ecc. . .Lavoro e rendimento potranno quindi essere calcolati

W = h00 − h0

2

η =h0

0 − h02

h00 − h0

2ss

con

h00 − h0

2ss = Cp(T 0

0 − T 02ss

)= CpT

00

[1−

(p0

0

p02

) γ−1γ

]

La variazione di entropia e

S2 − S1 = R lnp0

1R

p02R

Figura 5.4. Sistema statore-rotore sul piano entalpico

5.1.4. Grado di reazione cinematico e termodinamico. Il lavoro estratto dal fluido puoessere calcolato in differenti maniere

W = ∆0→2

[h0]

= ∆1→2

[h0]

= ∆1→2 [UVθ] = ∆1→2

[V 2

2− w2

2+U2

2

]mentre il lavoro estratto per reazione (ossia ottenuto dalla variazione dell’entalpia statica del flusso)e, dalla seconda e l’ultima espressione

Wreaz = ∆1→2 [h] = ∆1→2

[U2 − w2

2

]con il lavoro di azione (variazione di energia cinetica)

Waz = W −Wreaz = ∆1→2

[V 2

2

]Si definisce quindi il grado di reazione cinematico il rapporto tra il lavoro di reazione e quellototale

(5.1) R =Wreaz

W= 1− Waz

W


che puo essere scritto in diverse maniere a seconda che le espressioni del lavoro vengano calcolatedalla variazioni di entalpia e/o di energia cinetica:

R =

∆1→2[h]∆1→2[h0]

∆1→2

hU2−w2

2

i∆1→2

hV 2−w2+U2

2

i∆1→2[h]

∆1→2

hV 2−w2+U2

2

iIl grado di reazione termodinamico fa riferimento invece alle variazioni di entalpia statica

nel rotore e nello statore ideali

(5.2) χ =∆1→2s [h]

∆0→1s [h] + ∆1→2s [h]=

∆1→2s [h]∆ [htot]

=w2

2s − w21

V 21s − V 2

0 + w22s − w2

1

ed in generale queste due grandezze sono differenti.4

5.1.5. Relazione fra triangoli di velocita e grado di reazione. Definite le cifre di flussoϕ (3.40), di pressione Ψ (3.41), di potenza Λ (3.42) e rendimento η (o i loro equivalenti 3.43, 3.46,3.45) possiamo esprimere la relazione di Eulero in termini adimensionali. Il risultato consente diesplicitare il legame esistente fra cifra di pressione e grado di reazione con la cifra di flusso e gli angoliche individuano la forma dei triangoli di velocita in ingresso ed uscita di uno stadio di turbina. Inparticolare, per la cifra di pressione, anche detta coefficente di carico palare, si ottiene che:

(5.3) Ψ = φ (cotβ1 + cotβ2) = φ (cotα1 + cotβ2)− 1

ed il grado di reazione

(5.4) R =ϕ

2(cotβ2 − cotβ1) =

12− ϕ

2(cotα1 − cotβ2)

.Tali risultati possono essere specializzati per i casi: macchina assiale ad azione; imponendo che il grado di reazione cinematico sia nullo nella

relazione (5.4) si ottiene:

R = 0R = ϕ

2 (cotβ2 − cotβ1)

⇒ (cotβ2 − cotβ1)⇒ β2 = β1

ovvero che la condizione per ottenere uno stadio ad azione e quella di prendere palettaggicon angoli di ingresso β1 ed uscita β2 identici, il che implica palettaggi simmetrici. Per unafissata velocita assoluta Vθ,1, si otterranno infinite geometrie, tutte ad azione, al variaredella velocita periferica U della girante. Sostituendo questa condizione nella (5.3) si ottieneper la cifra di pressione:

Ψ = ϕ (cotβ1 + cotβ2)− 1 = 2ϕ cotβ1 − 1

che mostra come la cifra di pressione a parita di cifra di flusso dipenda solamente dall’angoloβ1;

4Nel caso in cuiψ ' ϕ w2 = V1 V1 = w1 = V0

allora

R = χ =1

2


macchina a 50% di reazione; imponendo che il grado di reazione cinematico sia 0.5 nellarelazione (5.4) si ottiene:

R = 12

R = 12 −

ϕ2 (cotα1 − cotβ2)

⇒ (cotα1 − cotβ2)⇒ β2 = α1

ovvero che la condizione per ottenere uno stadio ad 50% di reazione e quella di prenderepalettaggi con angoli di ingresso α1 ed uscita β2 eguali. Per una fissata velocita assoluta Vθ,1,si otterranno infinite geometrie, tutte a 50% di reazione, al variare della velocita perifericaU della girante. Sostituendo questa condizione nella (5.3) si ottiene per la cifra di pressione:

Ψ = 2ϕ cotα1 − 1che mostra come la cifra di pressione a parita di cifra di flusso dipenda solamente dall’angoloα1; macchina a scarico assiale; imponendo che l’angolo α2 sia nullo nella relazione (5.4), ovvero

che la velocita assoluta allo scarcio sia assiale, si ottiene per il grado di reazione:

α2 = 0R = 1

2 −ϕ2 cotβ1

⇒ tanβ2 =

VmU

= ϕ

che indica che la cifra di flusso e uguale alla tangente dell’angolo β2. Imponendo che l’angoloα2 sia nullo nella relazione (5.3) fornisce direttamente:

Ψ = 1 + ϕ cotβ1

che mostra come la cifra di pressione a parita di cifra di flusso dipenda solamente dall’angoloβ1.

Per calcolare il rendimento di una macchina assiale consideriamo che la differenza tra l’entalpiatotale iniziale e quella totale a valle del processo isentropico (con il rapporto di espansione ideale) eil lavoro nel caso ideale e quindi

h00 − h0

2s = h00 −

(h2s +

V 22s

2

)=[V 2

1s − V 22s + w2

2s − w21s

2

]e quindi

h00 − h2s =

[V 2

1s + w22s − w2

1s

2

]Il rendimento total to static sara

ηts =W

h00 − h2s

=2ΨU2

V 21s + w2

2s − w21s

=2Ψ

V 21

ϕ2U2 + w22

ψ2U2 −w2

1U2

esprimendo tutto in funzione delle velocita reali; considerando poi il teorema di Pitagora per w1

w21

U2=V 2m

U2+

1U2

(Vθ1 − U)2 = φ2 + (φ cotα1 − 1)2

e la relazione 5.3 si ha

(5.5) ηts =φ(

cotα1 + cotβ′2

)− 1

φ2

2

(1

ϕ2 sin2 α1+ 1

ψ2 sin2 β′2

− 1)− 1

2 (φ cotα1 − 1)2

Ognuna delle relazioni trovate in precedenza rappresenta una retta nel piano (Ψ, ϕ) e (R,ϕ) conpendenze funzione degli angoli α e β. Pertanto le coordinate di un punto appartenente ad una ditali rette rappresenta le prestazioni di uno specifico disegno di stadio di turbina come schematizzatoin Fig. 5.5. In letteratura si trovano i diagrammi riassuntivi delle prestazioni nel punto di progettodi macchine a diversi gradi di reazione dovuti a Hawthorne, Shaw e Smith (fonte [1]).


Figura 5.5. Punti di progetto per uno stadio di turbina assiale

5.1.6. Ripartizione dei salti entalpici. Assegnato il grado di reazione χ e supponiamo notoil salto entalpico totale possiamo subito trovare entalpia e temperatura all’uscita dello statore unavolta note le condizioni ideali in uscita dal rotore T2s o h2s

h1 = h2s + χ∆ [htot]

T1 = T2s + χ∆ [Ttot]e sempre dalla definizione 5.2

w22s

ψ2− w2

1 = χ[V 2

1s − V 20 + w2

2s − w21

]si puo ricavare la velocita relativa w1

w22s − w2

1 =χ

1− χ[V 2

1s − V 20

]Dalla conoscenza dei Mach relativi quindi e visto che l’entalpia totale relativa va conservandosi lungoil rotore di una macchina assiale

p2s

p1=p0

2sR

p01R

[1 + δM2

1R

1 + δM22sR

] γγ−1

si ricava la pressione p1.Dalle espressioni trovate, nell’ipotesi di macchina assiale con velocita meridiana costante e V0 =

V2, possiamo confrontare le prestazioni e le forme stadi a diverso grado di reazione per uno stadio ad azione o impulso

χ = 0

vediamo subito che non si ha variazione delle caratteristiche fluidodinamiche tra ingressoe uscita5 che portano quindi a triangoli ideali simmetrici; essendo pero

h1 = h2s T1 = T2s w1 = w2s

w2 = ψw2s

si hanno triangoli reali non simili, la presenza di una componente meridiana inferiore inuscita e quindi la necessita di aumentare la sezione verso l’uscita anche se non vi e alcunaespansione nel rotore;

5Essendo la trattazione integrale, non si hanno informazioni sul comportamento del flusso nel rotore e sul realeprofilo di velocita: la forma dei palettaggio comporta comunque la presenza di una zona di accelerazione seguita dauna decelerazione (affinche la velocita media del flusso sia sempre la medesima).


per uno stadio al 50% di reazione si ha i salti entalpici ideali sono i medesimi nello statoree nel rotore

h1 − h2s = h0 − h1s

e anchew2

2s − w21 = V 2

1s − V 20

e triangoli sono similiconp2

p1< 1

ovvero si ha un’espansione nel rotore. per uno stadio ad azione invece si ha l’espansione nel solo rotore mentre lo statore provvede

solo a deviare la corrente.

Figura 5.6. Confronto tra diversi χ

Dalla figura mostrata si puo notare che:(1) dato che il lavoro per una macchina assiale e data dall’espressione

W = U (Vθ1 − Vθ2)

a parita di Vθ2 e Vm allora Vθ1 diminuisce man mano che si passa da macchine ad azione aquelle a reazione e ne segue dunque che il lavoro aumenta quando si va verso macchine adazione (R→ 0) ma con esso aumenta: la deviazione ∆α e quindi le perdite fluidodinamiche rappresentate da ϕ; il modulo della velocita V1 e quindi le perdite per attrito;

Ne segue che la migliore soluzione e un grado di reazione intermedio(R = 1

2

)per una

ripartizione ottimale delle perdite.(2) in condizioni χ = 0 si ha che

w2s = w1

in modulo maw2 = ψw2s < w2s

e quindi il lavoro di reazione e negativo

Wreaz =12

(w2

1 −w2

2s

ψ2

)< 0

e cosı il grado di reazione cinematico

R =Wreaz

W< 0

Ne segue che si progetta la macchina con χ = ε > 0 con ε piccolo a piacere ma tale daprovocare nella girante un’espansione tale da bilanciare il rallentamento del flusso dovutoalle forze di attrito.


Figura 5.7. Confronto tra stadi con χ = 0 o χ > 0

5.2. Prestazioni di schiere di pale

La geometria della schiera viene definita mediante l’assegnazione dell’aspect ratio nello specificodai seguenti dati: corner point al root ed al tip delle palette i quali vengono definiti rispetto all’assedi rotazione, corda aerodinamica,corda assiale, raggio della superficie scoperta (definisce la formadella zona a valle della sezione di gola di conseguenza impone di quanto il flusso viene deviato),angoli metallo relativi all’inlet ed all’outlet, questi di fatto definiscono la deviazione alla quale vienesottoposto il flusso. Seguono l’angolo di flusso assegnato solo all’ingresso del primo statore dellaturbina per definire lo swirl (incidenza con cui il flusso arriva sul primo statore), seguono inoltre lospessore massimo della paletta, l’apertura di gola, raggio al leading edge, spessore del trailing edge,corda assiale, pitch (distanza tra due punti corrispondenti delle palette adiacenti). Nella fig. 5.8e possibile vedere una sezione di una schiera ove sono evidenziati tutti i parametri geometrici cheabbiamo citato.

Figura 5.8. Sezione della schiera bidimensionale.

5.3. Perdite nelle turbine

Le perdite in turbina possono essere quantificate in molti modi diversi. I principali coefficientidi perdita sono:

Coefficienti di velocita

KN =V1

V1,isKR =

W2

W2,is

5.3. PERDITE NELLE TURBINE 131

Figura 5.9. Sezione del distributore di una turbina ad azione supersonica.

Figura 5.10. Sezione della schiera bidimensionale di una turbine a reazione.

Rendimenti di espansione

ηN =h00 − h1

h00 − h1,s

Perdite di entalpia

ξN =h1 − h1,s

V 212

=h1 − h1,s

h00 − h1ξR =

h2 − h2,s

W 22

2

=h2 − h2,s

h01,rel − h2

Produzione di entropia

s1 − s0 = s1 − s1,s s2 − s1 = s2 − s2,s

Perdite di pressione totale


YN =p00 − p01

p01 − p1=p00 − p01

V 212

YR =p01,rel − p02,rel

p02,rel − p2=p01,rel − p02,rel

W 22

2

Sebbene tutte queste forme siano atte a quantificare la perdita attraverso una schiera di palette,non tutte presentano la stessa facilita d’uso, nel senso che le grandezze che intervengono non sonotutte egualmente agevoli da misurare, ne posseggono un campo di validita egualmente ampio. Adesempio, si puo dimostrare che fra YN e ξN vale la seguente relazione:

YN ∼= ξN

(1 +

γM2

2

)per M < 1

che dimostra che YN ingloba la dipendenza rispetto al numero di Mach, contrariamente a ξN . Questofa si che valori di YN calcolati a bassi valori di Mach possano essere validi anche ad elevati Mach,con l’ovvio vantaggio di poter fare prove sperimentali solo a basso Mach.

Figura 5.11. Break-up dei principali contributi di perdite meccaniche.

I modelli predittivi di stima dei coefficienti di perdita si basano su relazioni trovate sperimental-mente analizzando un elevato numero di tipi di palette in galleria del vento con precise connotazionigeometriche e in condizioni di funzionamento sia di progetto che di fuori progetto. Sono state classi-ficate in relazione alla loro origine in perdite di profilo, perdite secondarie, perdite per urto, perditeper trafilamento al tip delle palette e infine perdite dovute al raffreddamento delle palette. Il loropeso percentuale e riassunto nel grafico riassuntivo di fig. 5.11.

5.3.1. Perdite di profilo. Le perdite dovute allo strato limite che si forma sulla superficiedella paletta, quelle dovute ai fenomeni di separazione di questo, gli effetti legati ad elevati angolid’incidenza ed elevati valori del numero di Mach del flusso all’ingresso delle palette sono classificatecome perdite di profilo. Gli incrementi di entropia e le conseguenti perdite di pressione totale offronouna misura dell’entita dei fenomeni suddetti. L’entalpia totale del flusso rimane invece costantequalora l’approssimazione di adiabaticita del sistema sia sufficientemente accurata. La difficoltaprincipale che si riscontra nella predizione delle perdite di energia meccanica e legata al fenomenodella transizione; in particolare e difficile individuare quando e dove questa potra verificarsi. Ilflusso da laminare puo passare successivamente ad un regime separato a causa dei locali gradienti dipressione avversi che danno origine a delle bolle di ricircolo, che di fatto causano la transizione, connotevole incremento delle perdite di energia meccanica. In fig. 5.12 viene data la schematizzazionedel fenomeno appena descritto.

Le perdite dovute allo spessore finito della paletta al bordo d’uscita, che provoca separazione delflusso ed e la zona in cui avvengono interazioni tra le onde d’urto e le onde di espansione, sono di


Figura 5.12. Separazione del flusso all’ingresso delle palette in condizioni di fuori progetto.

fatto accorpate alle perdite di profilo. Questi effetti sono ben evidenziati in turbine transoniche esupersoniche ove vengono trattati separatamente.

5.3.2. Perdite secondarie. Sono generate dal sistema di vortici illustrato schemativamentenella fig. 5.13 a sinistra. La variazione di circolazione lungo lo span della paletta e il principalefattore che ingenera un sistema di vortici che attraversano il canale della turbina. Un secondofattore e di produzione di vorticita e il basso livello di energia cinetica della parte di flusso relativoallo strato limite che non permette il mantenimento dell’equilibrio tra forze centripete e forze dipressione. Di fatto vi e un impedimento del flusso a proseguire senza una deviazione verso il latoin aspirazione della paletta adiacente, percio si viene a creare un movimento di flusso dal lato inpressione di una paletta verso quello in aspirazione dell’altra. In questo modo si da origine ad unmoto vorticoso, detto Passage Vortex, responsabile della diffusione di energia nel canale, e di unanotevole perdita di energia meccanica.

Un altro elemento importante e il vortice a staffa (fig. 5.13 a destra) che si forma quando il flussoindisturbato proveniente da monte incontra la paletta. La zona in cui il fenomeno ha origine e ilbordo d’attacco della paletta, dove il flusso dello strato limite, a causa del gradiente di velocita dicui e dotato nell’impatto con la paletta della turbina, genera un moto vorticoso definito LeadingEdge Vortex. Tale vortice si separa in due parti che proseguono separatamente, il primo sul lato inaspirazione della pala, il secondo sul lato in pressione. Questi interagiscono in maniera diversa conil Passage Vortex in quanto il primo viene trascinato da quest’ultimo, mentre il secondo ne vieneavvolto.

Infine bisogna tenere conto del flusso nel punto in cui interagiscono lo strato limite dell’endwall equello della paletta. Queste strutture vorticose interagiscono fra loro provocando perdite di energiameccanica.

5.3.3. Perdite per urto. Le perdite che si sviluppano mediante la dissipazione viscosa attra-verso il sistema di urti, che si ingenerano al bordo d’uscita delle palette (fig. 5.14) in condizioni diflusso transonico e supersonico, prendono il nome perdite per urto.


Figura 5.13. Vortice di passaggio (a sinistra) e vortice a staffa (a destra).

Figura 5.14. Sistema d’urti allo scarico del canale palare

5.3.4. Perdite di tip leakage. Le perdite dovute alle clearance che sono comprese tra l’e-stremita superiore della pala e la cassa della turbina vengono definite come un contributo separatodagli altri e vengono chiamate Tip Leakage losses. Questo tipo di perdite dipende dalla formadel tip della paletta, in quanto esistono due diverse tipologie costruttive, definite rispettivamentetip shrouded e tip unshrouded. Il primo tipo e relativo ad una paletta provvista di un’appendicesimile alle winglets delle ali degli aerei alloggiata in una cava realizzata nella cassa; naturalmente leforme possono cambiare in base alle esigenze costruttive, ed e una prerogativa sia delle pale dellostatore che di quelle del rotore. Molto importante ai fini della caratterizzazione delle perdite, ecapire la modalita di realizzazione dell’accoppiamento con la cassa, che deve essere tale da ridurreal minimo il passaggio di flusso. Tale accoppiamento, perquanto riguarda il tip shrouded, vienerealizzato mediante utilizzo delle cosiddette tenute a labirinto, cosı come schematizzato in fig. 5.15.La figura rappresenta molto semplicemente lo schema costruttivo di una paletta con shroud; si puonotare inoltre il particolare della tenuta a labirinto atta a limitare il piu possibile il passaggio diflusso dalla pressure side alla suction side: quest’ultimo e agevolato dalla differenza di pressione traun lato e l’altro della paletta. Tale passaggio permette l’immissione nel canale di flusso con diversavelocita e differente angolo. Tale immissione permette la formazione del vortice di leakage, il quale,interagendo con il flusso principale,origina le perdite di energia meccanica.

La configurazione della figura 5.15 non e l’unica possibile; infatti, dalla fig. 5.16, si puo vedereche esistono due tipologie costruttive rispettivamente tip shrouded e tip unshrouded. Nel primo


Figura 5.15. Perdite al tip delle palette

caso la paletta e priva di qualsiasi tipo di appendice; l’accoppiamento e la tenuta vengono realizzatimediante anelli ancorati alla cassa con struttura a nido d’ape, caratterizzati da interferenza con lepalette, le quali girando a basso regime costruiscono l’alloggiamento nell’anello consumandone unaparte. In entrambi i casi non si riesce mai a fermare il passaggio di flusso; pur tuttavia si riesce aridurre le perdite dovute al miscelamento sulla suction side.

Figura 5.16. Palette con e senza shroud

5.3.5. Modello di Soderberg. Viene considerato a ragione il primo tentativo di modellizzarele perdite di energia meccanica che si verificano in turbina. Queste vengono definite in funzione del-l’angolo di deflessione ∆α del flusso tra monte e valle del canale interpalare, il quale e caratterizzatodalle correzioni relative al numero di Reynolds Re, dell’ aspect ratio b/h e della tip clearance. Ilcoefficiente di perdita di base ξ∗ al netto delle correzioni e definito in funzione della deflessione ∆αattraverso il canale, il quale e rappresentativo delle perdite di profilo ed e espresso dalla seguenterelazione:

(5.6) ξ∗ = 0.04 + 0.06(

∆α100

)2

Partendo dalla (5.6) come base, Soderberg ha provveduto a tenere conto delle correzioni ag-giungendone i contributi in cascata. Il primo effetto e quello legato all’aspect ratio b/h ed erappresentativo delle perdite secondarie:

(5.7) ξ′

= (1− ξ∗)(

0.975 + 0.075b

h

)− 1

L’effetto del numero di Reynolds Re e definito come segue:

(5.8) ξ′′

=(

105

Re

) 14

ξ′

dove per lo statore abbiamo:

(5.9) Re =DV1

νcon D =

2hs cosα1

h+ s cosα1

e per il rotore si ha:


(5.10) Re =DW1

νcon D =

2hs |cosβ2|h+ s |cosβ2|

Infine l’effetto del trafilamento al tip delle palette (tip clearance), e quantificato moltiplicandoil coefficiente ξ

′′per il rapporto tra l’area del canale interpalare della schiera considerata meno

l’area della clearance e l’area del canale. Questo modo di tenere conto dell’effetto della clearance econsiderato adeguato per turbine ad impulso le cui palette hanno piccole dimensioni. Il metodo diSoderberg e stato usato in particolare per predire l’efficienza al punto di progetto di macchine aventivelocita tangenziale in uscita nulla (scarico assiale).

5.3.6. Modello di Ainley - Mathieson. Ainley e Mathieson [2] svilupparono un metodoempirico per la predizione delle prestazioni degli stadi di turbina sia in condizioni di progetto che difuori progetto. Il metodo e piu complesso di quello proposto da Soderberg ed esprime le perdite intermini di pressione totale Y invece che di entalpia ξ. Vengono presi in considerazione gli effetti diperdita legati al profilo YP , ai flussi secondari YS , al tip clearance YT l, allo spessore del trailing edgeχTe ed infine all’incidenza i. Le relazioni sono state sviluppate in base ad una serie di test effettuatisu palette il cui rapporto tra lo spessore massimo e la corda del profilo varia tra 0.15 e 0.25.

La perdite totali Y vengono stimate combinando i diversi contributi di perdita secondo l’espres-sione:

(5.11) Y = (YP + YS + YT l)χTe5.3.6.1. Perdite di profilo. Nella (5.11), le perdite di profilo YP nel modello Ainley e Mathieson

sono calcolate individuando per prima cosa le perdite che intervengono con un flusso a incidenzanulla e quindi corregendo questa stima per includere i contributi che intervengono quando il flussoentra nella schiera con un’incidenza diversa da zero.

Le perdite a incidenza nulla YP (i=0) per palettaggi con angoli α′1 6= 0 e α

′1 6= α2 sono espresse

come una combinazione delle perdite che si incontrano in un palettaggio a reazione YP (α

′1=0)

e quelleriferibili ad un palettaggio ad impulso Y

P (α′1=α2)

, che sono definiti dalle fig. 5.17, per un valore delrapporto tra spessore massimo tmax e corda c pari a 0.2, in funzione del rapporto tra il passo s ela corda c del profilo e parametrati in funzione dei vari valori degli angoli d’uscita α2, secondo larelazione:

(5.12) YP (i=0) =

YP (α

′1=0)

+

(α′1

α2

)[YP (α

′1=α2)

− YP (α

′1=0)

]( tmax/c

0.2

)α′1α2

in cui l’ultimo fattore permette di estendere il modello a valori tmax/c diversi da 0.2. E’ da in-tendersi che gli angoli da utilizzare nella (5.12) sono del tipo α (tra velocita assoluta e velocita ditrascinamento) per lo statore e β (tra velocita relativa e velocita di trascinamento) per il rotore.

I grafici di fig. 5.17 sono stati ottenuti mediante prove sperimentali in galleria di schiere di palecon un valore del numero di Reynolds pari a 2× 105, con un rapporto tra spessore del trailing edgeed il passo pari a 0.02 e e con un numero di Mach allo scarico minore di 0.6.

Nel modello Ainley e Mathieson, si puo correggere il valore di perdita ottenuto a Re = 2× 105

con la relazione:

YP (i=0,Re6=2×105) =(

105

Re

)0.2

YP (i=0,Re=2×105)

e poi includere il contributo legato all’impiego di rapporti tra spessore del trailing edge te ed il passopari s a 0.02 con la:

(5.13) YP = YP (te/s=0.02)(1 + 7 (te/s− 0.02))


Figura 5.17. Perdite di profilo secondo Sodeberg: in alto, palettaggio a reazione,α′1 = 0; in basso, palettaggio ad impulso, α

′1 = α2.

che approssima bene l’andamento del grafico di fig. 5.18.

Figura 5.18. Perdite dovute allo spessore del trailing edge


A partire dalle perdite di profilo a incidenza nulla, si ottengono quelle ad incidenza qualsiasi,come segue. Si introduce un coefficiente χi definito come rapporto tra YP (i 6=0) e YP (i=0):

(5.14) χi =YP (i 6=0)

YP (i=0)

Figura 5.19. a) Incidenza di stallo is(s/l = 0.75) in funzione del rapporto fra angolodel flusso all’ingresso e allo scarico α1/α2; b) Fattore di correzione sull’angolo in uscitadella schiera di pale in funzione del rapporto s/c. Grafici validi per Re = 2 × 105,Mach < 0.5 , rapporto passo/corda s/l pari a 0.75.

Figura 5.20. Variazione dell’incidenza di stallo is − is(s/l=0.75) in funzione delrapporto s/c

Il calcolo del coefficiente χi procede come segue.Si definisce l’incidenza di stallo is come l’incidenza alla quale YP diviene il doppio del valore

ottenuto ad incidenza nulla, ovvero:

is :=YP (i=is) = 2× YP (i=0)

L’incidenza di stallo is per schiere con rpporto s/l = 0.75 e graficata in fig. 5.19(a) in funzione del

rapporto fra angolo del flusso all’ingresso e allo scarico α1/α2 per vari valori dell’angolo α2. Quando


α1/α2 = 0 si ha un palettaggio a reazione, quando e pari ad 1 si ha un palettaggio ad impulso (adazione).

Quando s/l 6= 0.75 occorre correggere il valore di α2 nel rapporto α1/α2, in ascissa del grafico difig.5.19(a). Il fattore di correzione si ottiene dal grafico di fig. 5.19(b) in funzione del rapporto s/c.

Inoltre, anche l’incidenza di stallo is deve essere corretta quando s/l 6= 0.75. La variazione daapportare ∆is si ricava dal grafico di fig. 5.20(c) in funzione del rapporto s/c.

Il valore is(s/l=0.75) +∆is per definzione e quello che corrisponde ad una perdita di profilo doppiarispetto a quella ottenuta ad incidenza nulla.

A questo punto, noto il valore effettivo di incidenza i al quale lavora il palettaggio in fase diprogetto, si ricava il coefficiente χi in funzione del rapporto i/is dal grafico in fig. 5.21(d).

Noto χi, si puo infine determinare dal grafico di fig. 5.21(e) l’andamento della variazione del-l’angolo in uscita dalla schiera α2 rispetto all’angolo α2(YP,min) che corrisponde a minime perdite diprofilo in funzione del rapporto YP /YP,min.

Figura 5.21. d) Coefficiente di perdita χi = YP /YP (i=0) in funzione del rapportoi/is; e) variazione dell’angolo in uscita dalla schiera α2 in funzione del coefficienteχi = YP /YP (i=0)

5.3.6.2. Perdite secondarie e di tip clearance. Le perdite secondarie YS e quelle dovute alle tipclearance YT l vengono correlate mediante un’unica relazione:

(5.15) YS + YT l =(λ+B

τ

h

)(CLs/c

)2 cos2 α2

cos2 αm


dove λ e una funzione della geometria:

(5.16) λ =(A2/A1)2

1 + (din/dout)

in cui A1, A2, din, dout sono le aree delle sezioni di ingresso ed uscita, i diametri medi all’ingressoed uscita, rispettivamente, del canale palare.

Il coefficiente B nella (5.15) assume due diversi valori a seconda della tipologia costruttiva:B = 0.25 per palette con shroudB = 0.50 per palette senza shroud

Inoltre, nella (5.15), τ e lo spessore del gioco al bordo della paletta (tip clearance), e:

(5.17) αm = tan−1[12

(tanα1 − tanα2)]

ed il rapporto tra coefficiente di portanza CL e s/c e esprimibile in funzione degli angoli della schieratramite la:

(5.18)(CLs/c

)= 2 (tanα1 + tanα2) cosαm

E’ opportuno comunque distinguere gli effetti dovuti alle perdite secondarie da quelle relativealle tip clearance.

Per quanto riguarda le perdite secondarie abbiamo:

(5.19) YS = λ

(CLs/c

)2 cos2 α2

cos2 αm

dove le perdite sono proporzionali al quadrato del coefficiente di portanza; λ aumenta al diminuiredell’aspect ratio s/c.

Gli effetti dovuti alle tip clearance vengono quantificati dalla:

(5.20) YT l =(CDes/c

)cos2 α2

cos2 αm

dove:

(5.21) CDe = BC2L

(τs

)( ch

)5.3.7. Modello di Dunam-Came. Si tratta di uno sviluppo del modello di Ainley-Mathieson

che riprende l’espressione delle perdite di profilo e viene elaborato in modo tale da poter essereutilizzato anche per l’analisi delle prestazioni di turbine di piccole dimensioni. L’espressione delleperdite globali e la seguente:

(5.22) Y =

[(YP + YS)

(Re

2 ∗ 105

)2

+ YT l

]χTe

Le perdite di profilo YP vengono calcolate riprendono l’espressione di Ainley-Mathieson edaggiungendo gli effetti degli eventuali alti valori del numero di Mach in uscita Mout della schiera:

(5.23) YP = YP (i=0)χi[1 + 60(Mout − 1)2]


Il contributo dell’incidenza viene calcolato sfruttando il metodo di Ainley-Mathieson. Le perditesecondarie vengono calcolate usando l’espressione precedentemente sviluppata sempre da Ainley eMathieson, ottimizzando la dipendenza rispetto all’aspect ratio c/h e semplificando il parametro λ:

(5.24) YSAMDC = 0.0334( ch

)(cosα2

cosα′1

)(CLs/c

)2 cos2 α2

cos2 αm

in cui:

(5.25)CLs/c

= 2 (tanα1 + tanα2) cosαm

e:

(5.26) αm = tan−1[12


La somma delle perdite di profilo e secondarie viene moltiplicata per il coefficiente relativo alnumero di Reynolds. Per quanto riguarda le perdite dovute alle tip clearance anche in questo casoviene rielaborata l’espressione trovata da Ainley-Mathieson:

(5.27) YT l = Bc

h

(τc

)0.784 (tanα1 − tanα2)2 cos2 α2

cosαmin cui B prende i valori:

B = 0.47 per palette con shroudB = 0.37 per palette senza shroudτ = radial tip clearance× (no. dei seals)−0.42

Il termine correttivo delle perdite dovute al trailing edge si calcola con la medesima metodologiausata nel modello di Ainley-Mathieson.

5.3.8. Modello di Kacker e Okapuu-Moustapha. Questa modellizzazione e una delle piurecenti almeno per quanto riguarda i calcoli mean line, che per come sono stati concepiti richiedonomodelli di perdita che non abbiano bisogno di altri dati se non quelli che abbiamo specificato nellasezione del dimensionamento. E’ basato sul modello di Ainley Mathieson ottimizzato da Dunam eCame e puo fornire risultati con accuratezze dell’ordine del 2%. L’espressione delle perdite totali e

(5.28) Y = χReYP + YS + YTet + YTc

dove χRe e il fattore di correzione del numero di Reynolds che corregge solamente le perdite di profilomentre le perdite dovute al trailing edge in questo modello risultano separate da quelle di profilo. Ilfattore di correzione del numero di Reynolds viene calcolato come segue:

χRe =(Re

2 ∗ 105

)−0.4

Re ≤ 2 ∗ 105

χRe = 1.0 2 ∗ 105 > Re < ∗106

(5.29) χRe =(Re106

)−0.2

Re > 106

Le perdite di profilo sono cosı definite:

(5.30) YP = 0.914(23KpYP (i=0) + Yshock)


dove YP (i=0) rappresenta le perdite di profilo a incidenza nulla basate sul modello di Ainley-Mathieson(5.14) tranne che per il termine in valore assoluto del rapporto tra l’angolo metallo in ingresso dellagenerica paletta e l’angolo di flusso in uscita, il quale tiene conto di eventuali incidenze negative:

(5.31) YP (i=0) =

YP (α

′1=0)

+

∣∣∣∣∣α′1

α2

∣∣∣∣∣(α′1

α2

)[YP (α

′1=α2)

− YP (α

′1=0)

]( tmax/c

0.2

)α′1α2

Nella (5.30), il fattore correttivo KP che e stato inserito per ovviare al comportamento troppoconservativo della correlazione di Ainley-Mathieson riguardo a casi in cui il valore del numero diMach e elevato. Il fattore correttivo viene definito come segue:

(5.32) KP = 1−K2 (1−K1)

dove entrambi i coefficienti correttivi dipendono dal valore del numero di Mach in ingresso ed inuscita della schiera:

(5.33) K1 = 1− 1.25 (M2 − 0.2) per M2 > 0.2

(5.34) K2 = (M1/M2)

L’altro termine fondamentale e quello relativo alle perdite dovute agli urti che si presentano acausa delle variazioni di velocita in zone diverse del canale:

(5.35) Yshock = 0.75 (M1,H − 0.4)1.75

(rHrT

)(P1

P2

) 1−(

1 + γ−12 M2

1

) γγ−1

1−(

1 + γ−12 M2

2

) γγ−1

in cui P1 e P2, M1 e M2 sono le pressioni totali e i numeri di Mach a monte e valle della schiera.La relazione dipende dal rapporto dei raggi rispettivamente al tip rT ed al root rH per tenere contodella differenza di velocita delle due zone del canale interpalare. Il valore M1,H e calcolato con larelazione:

(5.36) M1H = M1

(1 +K

∣∣∣∣rHrT − 1∣∣∣∣2.2)

in cui K e una costante che vale 1.8 per lo statore e 5.2 per il rotore.Le perdite secondarie vengono espresse in funzione dell’aspect ratio, il quale da una misura

dell’ampiezza del canale dove e appunto presente il sistema vorticoso. L’espressione di Kacker-Okapuu e stata elaborata sulla base del modello di Ainley-Mathieson ottimizzata successivamenteda Dunam e Came, la relazione fondamentale elaborata e :

(5.37) YS = 1.2 KS YSAMDC

in cui:

(5.38) Ks = 1−K3 (1−KP )

tiene in conto gli effetti delle accelerazioni del flusso in prossimita degli endwall che di fatto sonofonti di perdite, e:


(5.39) K3 =(

1h/b

)2

ed ancora:

(5.40) YSAMDC = 0.0334FAR

(cosα2

cosα′1

)(CLs/c

)2 cos2 α2

cos2 αm

dove:

(5.41)(CLs/c

)= 2 (tanα1 + tanα2) cosαm

e.

(5.42) αm = tan−1[12


Il fattore correttivo FAR e una funzione dell’aspect ratio h/c e prende due diverse formulazionia seconda h/c sia maggiore o minore di 2. Cio consente di coprire uno spettro di forme delle palettequanto piu ampio possibile:

(5.43) FAR =1− 0.25

√2− h/c

h/cper (h/c) ≤ 2

(5.44) FAR =1h/c

per (h/c) > 2

Le perdite dovute al trailing edge producono effetti in termini di bloccaggioche possono quindiessere espresse in funzione del rapporto tra lo spessore al trailing edge e apertura di gola. Perottenere una stima quantitativa di questo tipo di perdite si introduce un coefficiente di energia ∆Φcalcolato tramite la relazione:

(5.45) ∆Φ2Tet = ∆Φ2

Tet(α′1=0)

+

∣∣∣∣∣α′1

α2

∣∣∣∣∣(α′1

α2

)[∆Φ2

Tet(α′1=α2)

−∆Φ2Tet(α

′1=0)

]in cui i valori dei coefficienti relativi ai casi di turbina ad impulso ∆Φ2

Tet(α′1=α2)

e di quella con

ingresso assiale ∆Φ2Tet(α

′1=0)

sono definiti mediante il grafico della fig. 5.22.

Figura 5.22. Perdite dovute al trailing edge


La (5.45) viene trasformata in termini di perdite di pressione YTet con la seguente:

(5.46) YTet =

[1− γ−1

2 M22

(1

1−∆Φ2Tet− 1)]− γ

γ−1 − 1

1−(

1 + γ−12 M2

2

)− γγ−1

Le perdite dovute alle eventuali velocita supersoniche che potrebbero caratterizzare il flussovengono inglobate nelle perdite di profilo.

Le perdite dovute alla tip clearance devono tenere conto del fatto che la paletta puo essererealizzata secondo le due tecniche costruttive che prevedono o meno uno shroud che contorna lepalette. I palettaggi senza shroud generano perdite di trafilalamento superiori a quelli con shroud acausa delle perdite legate al flusso tridimensionale che si ingenera al tip delle palette. Tali perditesono espresse in termini di caduta di efficienza ∆η secondao la relazione:

(5.47)∆ηη0

∆Kh cosα2

∗ RtipRMean

= 0.93

in cui ∆K definisce la variazione della clearance tra il tip della paletta e la cassa.Il termine ∆η puo essere convertito in termini di perdita di pressione totale YTc mediante una

procedura iterativa imponendo un valore di efficienza con un valore di clearance nullo. Per quantoriguarda le palette con shroud, la correlazione e espressa in funzione dell’inverso c/h dell’aspect ratio,dipende dal coefficiente di portanza del profilo CL ed in particolare dal numero delle tenute (seals:protusioni che cosituiscono il labirinto della tenuta (vedi fig. 5.16).

(5.48) YTc = 0.37c

h

(K′

c

)0.78(CLs/c

)2 cos2 α2

cos3 αm

(5.49) K′

=K

(nseals)0.42

5.3.9. Prestazioni fuori progetto: Modello di Moustapha. Fino a questo momento sonostate definite le correlazioni in condizione di progetto, lasciando fuori la stima delle perdite che sisviluppano in condizione di fuori progetto. Il modello proposto e quello elaborato da Moustapha cheha sviluppato delle correlazioni sperimentali per definire le perdite di profilo e secondarie quando lamacchina lavora in condizioni di fuori progetto. In particolare verranno analizzati i contributi dovutialle incidenze del flusso rispetto alle pale diverse da quelle di progetto. A questo proposito troviamoche le perdite d’incidenza sono funzione del diametro del leading edge, del pitch, dell’aspect ratio edella forma del canale. La perdita sotto forma di coefficiente energia ∆Φ sono espresse mediante lerelazioni:

(5.50) ∆Φ2 = 0.778× 10−5x+ 0.56× 10−7x2 + 0.4× 10−10x3 + 2.054× 10−19x6 per 800 > x > 0

(5.51) ∆Φ2 = −5.1734× 10−6x+ 7.6902× 10−9x2 per 0 > x > −800

dove definiamo:

(5.52) x =(d

s

)−1.6

(cos′αin

cos′ αout)−2 (α1 − α1des)

5.4. TURBINE AD AZIONE MONOSTADIO 145

il quale e funzione dello scarto fra l’angolo di incidenza α1 in fuori progetto da quello in condizioni diprogetto α1des. La conversione di ∆Φ2 in perdita di pressione totale Yoff di fuori progetto avvienemediante la seguente:

(5.53) Yoff =

[1− γ−1

2 M22

(1

∆Φ2 − 1)]− γ

γ−1 − 1

1−(

1 + γ−12 M2

2

)− γγ−1

Per quanto riguarda il calcolo delle perdite secondarie d’incidenza, la forma delle equazionirimane invariata ma i coefficienti sono diversi. Non viene inoltre usato il coefficiente ∆Φ2, bensı simodellizzano direttamente i rapporti tra le perdite in termini di pressione, riferite al comportamentoin condizioni di design e quello fuori design:

(5.54) (YoffYdes

) = exp(0.9x) + 13x2 + 400x4 per 0.3 > x > 0

(5.55) (YoffYdes

) = exp(0.9x) per 0 > x > 0.4

(5.56) x′

=α1 − α

′1

α′1 − α

′2

(d

c

)−0.3

(cosα

′1

cosα′2)−1.5

Le perdite di miscelamento possono essere schematizzate con modelli piu complessi i quali ri-chiedono una serie di parametri aggiuntivi come ad esempio le velocita del flusso nel mixing layer.Infatti esiste la possibilita di suddividere il canale interpalare in tre parti rispettivamente del latoin pressione, quello in aspirazione e la porzione centrale. Il flusso viene miscelato nei mixing layered infine ponendo l’ipotesi di pressione statica costante all’uscita del canale vengono miscelati i trediversi flussi. Tale modellizzazione e difficilmente praticabile nei codici mean line per via della ne-cessita di nuovi parametri di velocita , temperature e pressione da definire nei canali intercalari, ede percio piu semplice seguire l’approccio sperimentale con l’individuazione dei coefficienti correttivii

5.4. Turbine ad azione monostadio

5.4.1. Scelta del palettaggio. Se consideriamo un triangolo delle velocita generico per unaturbina con χ = 0, ove vale che

w2 = ψw2s = ψw1

e definito un rapporto caratteristico

X =U

Vθ1il problema di progettazione consiste nella determinazione del rapporto X tale da massimizzare illavoro fornito dallo stadio. Le velocita relative e di scarico all’uscita possono essere ricavate dallavelocita tangenziale in ingresso con semplici relazioni trigonometriche

Vθ2 = U − w2 cosβ′2 = U − ψw1 cosβ

′2 = U − ψ (Vθ1 − U)

cosβ′2

cosβ1

e il lavoro dunque

L = −W = U (Vθ1 − Vθ2) = U (Vθ1 − U)

(1 + ψ

cosβ′2

cosβ1

)che in termini non dimensionali introduce il parametro X

(5.57)L

V 2θ1

= X (1−X)

(1 + ψ

cosβ′2

cosβ1

)


che, nel caso di perdite ψ costanti, rappresenta una parabola con il massimo per X = 12 . In realta le

perdite sono funzione di X: considerando infatti V1 vettorialmente costante per X > 12 la velocita

w1 tende all’asse della macchina e, visto che la macchina e ad azione, la stessa cosa dicasi per w2 equindi la deviazione ∆β nella girante della corrente e inferiore e quindi ψ e piu basso; ne consegueche per una turbina monostadio ad azione si preferisce un valore di X leggermente superiore a 0.5.

Figura 5.23. Rendimento in funzione di X

Dall’analisi condotta il valore ottimale di velocita e pari a due volte la velocita in ingresso equindi il valore massimo del lavoro e

L ' U2 (1 + ψ) ≤ 2U2

ossia in termini adimensionali ψ ≤ 2: se consideriamo la geometria del distributore fissata (in terminidi α1) allora

Uott =12V1 cosα1

con V1 funzione del salto entalpico disponibile e realizzato nel distributore; se la turbopompa e a cicloaperto allora il salto disponibile e elevato e quindi la velocita tangenziale ottimale e troppo grandeper permettere un semplice accoppiamento con la pompa e/o un ingombro limitato del gruppo.

5.4.2. Quantificazione delle perdite. Dal fatto che la turbina sia ad impulso ne seguono ledue note condizioni termodinamiche mentre l’energia cinetica in uscita dal distributore puo essere

h1 = h2s p1 = p2

scritta in funzione delle condizioni di ristagno e ideali

V 212 = h0

0 − h1 = h00 −

(h0

0 −V 2

12

)= h0

0 −(h1s + V 2

1s2 −

V 212

)=

=(h0

0 − h1s

)− V 2

1s2

(1− ϕ2

)=(h0

0 − h1s

)−(1− ϕ2

) (h0

0 − h1s

)visto che le condizioni di ristagno 0, 1 e 1s coincidono; il lavoro puo essere visto come somma dellavoro ideale estrabilbile e delle perdite nel distributore, nella girante e allo scarico

(5.58) L =V 2

1

2− V 2

2

2+w2

2

2− w2

1

2=(h0

0 − h1s

)−(1− ϕ2

) (h0

0 − h1s

)︸︷︷︸Rdistr

− w21

2(1− ψ2

)︸︷︷︸

Rgir

− V 22

2︸︷︷︸Rscar

che mostra come per massimizzare il lavoro occorre, oltre a minimizzare le perdite nei condottifissi e mobili, anche mantenere bassa la velocita sia nei condotti della girante (quindi diminuirew1 il che significa, a pari V1, aumentare U) sia allo scarico e quindi possibilmente realizzare una

5.4. TURBINE AD AZIONE MONOSTADIO 147

girante a scarico assiale. Il rendimento total to static, detto anche rendimento periferico, assumel’espressione

ηp = 1− Rdistr +Rgir +Rscarh0

0 − h1s

che in termini adimensionali, con le relazioni trovate sopra tra le velocita e Vθ1

(5.59) ηp =LV 2

1s2

=V 2θ1X (1−X)

(1 + ψ

cosβ′2

cosβ1

)V 2θ1

2ϕ2 cos2 α1

= X (1−X)

(1 + ψ

cosβ′2

cosβ1

)2ϕ cos2 α1

che mostra, data la dipendenza di ϕ e ψ da X, un massimo spostato per X > 12 e che diminuisce

con α (visto che aumenta la deviazione della corrente nella girante).

Figura 5.24. Rendimento reale in funzione di X

Il rendimento complessivo della turbina deve tenere conto anche delle perdite per attrito eventilazione (quest’ultime proporzionali all’area del disco girante)

ηturb =L− (Rdistr +Rgir +Rscar)− Rattr+Rvent

m

h00 − h1s

= ηp −∆η

Ancora nel caso di macchine ad azione e possibile avere, con palettaggi leggermente divergenti, ungrado di reazione cinematico nullo ed uno scarico assiale: aumentando pero la velocita w2s necessariaaumentano le perdite ma il rendimento e complessivamente migliore. Visto che χ > 0 e quindi

p2 < p1

mantenendosi la portata tra l’ingresso e l’uscita

m = ρ1w1A1 = ρ2w2A2

e il rapporto tra le aree sara dunqueA2

A1=ρ1

ρ2

1ψ> 1

e supponendo che A = hb e h1 = h2 allora

b2 > b1

e la sezione longitudinale deve essere leggermente divergente.


5.4.3. Limiti prestazionali. Il rotore della turbina e sottoposto a due diversi tipi di sollecita-zioni meccaniche

forze aerodinamiche non costante dovute al campo di pressioni del fluido; forze di inerzia che in un regime di funzionamento costante sono costanti;

e una volta che e stato scelto il materiale e determinata, in base alla temperatura di esercizio, losforzo di trazione σ ammissibile; si dimostra che la sollecitazione massima che viene esercitata peruna certa configurazione e proporzionale alla velocita di trascinamento

σmax ∝ U2

calcolata per il diametro medio; esiste quindi un valore massimo di velocita tangenziale utilizza-bile che dipende dal materiale e che e dell’ordine di 300 ÷ 350 m

s . Il lavoro sara quindi limitatosuperiormente

Lmax ≤ 2U2max = 245.000

m2

s2

e quindi il massimo salto entalpico sfruttabile, con un rendimento tipico di 0.8 sara

∆hmax =Lmaxηp' 306.000

m2

s2

Visto che il salto entalpico puo essere anche espresso come

h00 − h1s =

V 21s

2=

V 21

2ϕ2=

12ϕ2

U2

cos2 α1

1X

e per sfruttare il salto entalpico disponibile si hanno due possibili strade:(1) aumentare l’angolo α1 ma questo comporta aumento della velocita V1 e quindi perdite nello

statore e quindi minore rendimento, ecc. . . ;(2) diminuire X ma si lavora cosı in condizioni di basso rendimento, minor lavoro e U ma,

a parita di potenza all’albero che deve essere fornita, maggiore deve essere la portata cheevolve nella turbina e quindi minore e l’impulso specifico della stessa.

oppure si puo considerare la possibilita di ulteriori stadi per una ripartizione del salto entalpicototale.

5.5. Turbina ad azione a salti di velocita

In contrapposizione alla turbina monostadio, detta turbina a salti di pressione, per macchinea prestazioni piu elevate si possono utilizzare turbine a salti di velocita ove ad un primo stadiodel tutto identico a quello delle macchine sopra descritte, si fa seguire uno o piu stadi ove la pressionerimane costante e il flusso viene solamente deviato (almeno nel caso ideale) di stadio in stadio.

Nel caso in figura e stato preso Vθ1 = 4U : si vedra che questa e la soluzione migliore per unsistema bistadio; il lavoro estratto sara

L = LI + LII = U (Vθ2 − Vθ1) + U (Vθ3 − Vθ4) = 8U2

che a parita di salto di pressione (legato al salto entalpico disponibile) e pari U (funzione del mate-riale) e di quattro volte superiore al lavoro ottenibile dal singolo stadio.Ne segue che per una macchina pluristadio:

5.5. TURBINA AD AZIONE A SALTI DI VELOCITA 149

Figura 5.25. Schema di una turbina a salti di velocita

il lavoro massico aumenta quindi a parita di potenza la portata puo diminuire con conse-guente beneficio sull’impulso specifico; il salto entalpico sfruttabile puo, a parita di velocita tangenziale, aumentare con la possi-

bilita di avere macchine a ciclo aperto; l’angolo di deviazione per la girante e il distributore aumenta con aumento delle perdite e

conseguente diminuzione del rendimento.Si dimostra che per una macchina con Z stadi il valore ottimale di X e

Xott =U

Vθ1=

12Z

e il lavoro massimoLmax = 2Z2U2

Considerando ora il caso reale con le perdite ψ e ϕ dalle relazioni trovate per la macchina monostadioe adattate alla bistadio si ha:

V 21

2=(h0

0 − h1s

)−(1− ϕ2

dist

)(h0 − h1s)

e il lavoro sara possibile scriverlo come somma del salto entalpico ideale (per il rapporto di espansionedato) e delle perdite

L = LI + LII =[V 2

1 −V 22

2 − w21

2

(1− ψ2

I

)]+[V 2

3 −V 24

2 − w23

2

(1 + ψ2

II

)]=

=(h0

0 − h1s

)︸︷︷︸salto ideale

−(1 + ϕ2

dist

) (h0

0 − h1s

)︸︷︷︸Rdistr

− w21

2(1 + ψ2

I

)︸︷︷︸

RI

+V 2

2

2(1− ϕ2

radd

)︸︷︷︸

Rradd

− w23

2(1− ψ2

II

)︸︷︷︸

RII

mentre il rendimento

ηp = 1−∑

iRih0

0 − h1s

Consideriamo ora per semplicita che non vi siano perdite (ϕ = ψ = 1) e consideriamo l’espressionedel rendimento

ηp =V 2

1s−V 24

2V 2

1s2

= 1−(V4

V1s

)2

che nello condizioni di ottimo(X = 1

4 e V4 = Vm)

ηpmax = 1−(V1 sinα1

V1

)2

= cos2 α1

che vale anche per Z salti e che mostra che all’aumentare di questi aumenta l’angolo iniziale dideviazione e dunque diminuisce il rendimento. Il lavoro massimo per Z salti sara calcolabile una


Figura 5.26. Piano entalpico turbina pluristadio

volta noto il rendimento

(Lmax)Z = ηpmax(∆h0

is

)= cos2 α1

(V 2

1s

2

)= cos2 α1

12

(2ZUcosα1

)2

= 2Z2U2

e quindi il rapporto con il lavoro massimo per uno stadio

(5.60)(Lmax)Z(Lmax)1

= Z2

mentre il rapporto tra le velocita tangenziali ottime

(5.61)(Uott)Z(Uott)1

=1Z

5.5.1. Rendimento. Consideriamo una macchina bistadio con il relativo triangolo di velocitareale e scriviamo l’espressione del lavoro:

L = LI + LII = U [(Vθ1 − U) (1 + ψI) + (Vθ3 − U) (1 + ψII)]

ma dai triangoli si ha anche:V3 = ϕraddV2

Vθ3 = ϕraddV2 cosα3 = ϕradd

(w2 cosβ

′2 − U

)= ϕradd (ψIw1 cosβ1 − U) = ϕradd [ψI (Vθ1 − U)− U ]

e quindi

L = U [(1 + ψI) + ϕraddψI (1 + ψII)]Vθ1 − [(1 + ψI) + ϕraddψI (1 + ψII) + (1 + ψII) (1 + ϕradd)]Uche possiamo anche scrivere introducendo X

L = X [(1 + ψI) + ϕraddψI (1 + ψII)]− [(1 + ψI) + ϕraddψI (1 + ψII) + (1 + ψII) (1 + ϕradd)]XV 2θ1

Calcolando pero il rendimento si vede che il rapporto con la turbina a singolo stadio

ηZpηp

< 1

5.6. TURBINA AD AZIONE A SALTI DI PRESSIONE 151

per le perdite introdotte dal secondo stadio in termini di: aumento del modulo di w1 e quindi delle perdite per attrito nel rotore; aumento della deviazione ∆β e quindi diminuzione di ψ.

Ne segue dunque che il rendimento, all’aumentare del numero di stadi, diminuisce e diminuisce ilvalore di Xott: le caratteristiche del sistema nel suo complesso, l’accoppiamento con la pompa e leesigenze strutturali saranno quelle che, stabilendo il valore di X, porteranno alla scelta del numerodi stadi.

Figura 5.27. Zott al variare di X

5.6. Turbina ad azione a salti di pressione

La turbina a salti di pressione e ottenuta mediante la successione di piu stadi semplici conl’espansione totale ripartita tra piu statori ; questa architettura ha diversi aspetti da analizzare:

visto che la velocita di uscita dal rotore V (i)2 dello stadio i-esimo che compone la turbina

viene utilizzata nello stadio i + 1 − esimo risulta corretto utilizzare il rendimento total tototal ηtt anziche ηts e le perdite allo scarico dell’ultimo stadio saranno accorpate alla perditeper ventilazione; sempre per la ragione sopra vista il fattore di recupero e superiore alla turbina a salti di

velocita; nell’ipotesi che

(1) vi sia un solo albero a velocita angolare ω dove sono calettati tutti i rotori;(2) il diametro medio sia costante lungo la macchina;(3) i triangoli di velocita siano gli stessi per tutti gli stadi

allora il salto entalpico del singolo stadio e una frazione del salto entalpico totale

∆h0Z =

∆h0

Z

e quindi da una parte il salto di pressione e inferiore e il flusso rimane subsonico6, dall’altrail rendimento ηZtt e il medesimo per tutti gli stadi; nelle ipotesi sopra fatte il valore ottimo di X per il singolo stadio e sempre

XZott =

12

le velocita, a salto ∆h0 fissato, sono scalate con la radice di Z

UZott =Vθ12

=V1 cosα1

2= ϕ

V1s cosα1

2=ϕ1

2cosα1

√2

∆h0

Z=UZ=1ott√Z

(5.62) V Z1 =

V Z=11√Z

6In ogni caso e possibile, ai fini di una regolazione piu agevole, aumentare il salto di pressione per avere un flussoin chocking negli ugelli di statore e quindi una portata costante.


wZ1 =wZ=1

1√Z

se invece fissiamo, per limiti strutturali ad esempio, UZmax allora il salto entalpico e funzionelineare di Z.7

la presenza di piu stadi statorici ove si realizza un salto di pressione porta alla necessita ditenute che evitino che parte della portata non espanda come dovuto; inoltre tali trafilamen-to, sempre presente per equilibrare la spinta assiale, porta alla necessita, nelle equazioni diconservazione, di considerare le grandezze estensive anziche specifiche. l’espansione nei vari stadi porta ad una diminuzione della densita: la progettazione di

una turbina a velocita assiale costante porterebbe ad un aumento dell’altezza delle palettetroppo grande (di gran lunga superiore all’aumento dovuto alle perdite per attrito per leturbine a salto di velocita) e quindi pale svergolate con grado di reazione variabile con ilraggio. Si considera allora, a

∣∣∣~V1

∣∣∣ costante, una diminuzione di α1 con conseguente aumentodella componente assiale; conseguenza marginale e la ripartizione non piu uniforme del saltoentalpico tra i diversi stadi.

5.6.1. Rendimento. Consideriamo ora uno stadio ad azione (χ = 0) e scriviamo il salto idealedi entalpia totale in funzione di V1 e V2:

h00 − h0

2s = h00 − h1s −

(h0

2s − h1s

)=V 2

1s

2− V 2

2

2=

V 21

2ϕ2

[1− ϕ2

(V2

V1

)2]

e di seguito, utilizzando l’espressione del lavoro 5.57, il rendimento total to total

ηtt =2ϕ2 cos2 α1X (1−X) (1 + ψ)

1− ϕ2(V2V1

)2

che rispetto al rendimento 5.59 risulta maggiore per la presenza di un denominatore minore di unoe tale differenza cresce la crescere di V2 (visto che cio che veniva considerato perdita prima ora nonlo e piu). Dai triangoli di velocita

V 22 = U2 + w2 − 2Uw2 cosβ

′2 = U2 + ψ2w2

1 − 2ψUw1 cosβ′2

w21 = U2 + w2

1 − 2UV1 cosα1

si ha (V2

V1

)2

= ψ2 +X cos2 α1

[(1 + ψ)2X − 2ψ (1 + ψ)

]e dunque

ηtt =2ϕ2 cos2 α1X (1−X) (1 + ψ)

1− ϕ2ψ2 +X cos2 α1

[(1 + ψ)2X − 2ψ (1 + ψ)

]e possiamo vedere che, rispetto alla turbina a salti di velocita, il rendimento si presenta maggioree con un andamento piu piatto nell’intorno del massimo; ancora una volta, considerando anche leperdite per ventilazione (proporzionali ad U) il massimo si sposta ad X inferiori rispetto al Xott

dell’analisi fluidodinamica ed inoltre la cifra di pressione (che e inversamente proporzionale a U2)risulta superiore a bassi X.

7Rispetto alla turbina a salti di pressione dobbiamo notare pero che la dipendenza da Z (vedi 5.60 e 5.61) hal’esponente dimezzato.

5.6. TURBINA AD AZIONE A SALTI DI PRESSIONE 153

Figura 5.28. Confronto tra ηtt e ηts in funzione di X

5.6.1.1. Confronto tra monostadio e pluristadio. Prendiamo due macchine, una monostadio el’altra bistadio, con le seguenti condizioni:

sia reso disponibile lo stesso salto entalpico totale (inferiore al massimo sfruttabile per limitistrutturali); abbiano triangoli simili (scalati del fattore

√Z)

abbiano le medesime perdite (ϕ,ψ);allora le perdite nella macchina monostadio saranno somma delle perdite nel distributore e nellagirante (dalla 5.58)

RZ=1 = Rd +Rg =(

1ϕ2− 1)V 2

1

2

∣∣∣∣Z=1

+(1 + ψ2

) w21

2

∣∣∣∣Z=1

mentre nella turbina bistadio basta moltiplicare per Z la medesima espressione con le opportunevelocita

RZ = Z

[(1ϕ2− 1)V 2

1

2

∣∣∣∣Z

+(1 + ψ2

) w21

2

∣∣∣∣Z

]che, vista la 5.62 e seguenti, permette di affermare che le perdite fluidodinamiche nella turbina sonole medesime a prescindere dal numero di stadi impiegati. Allo scarico pero, supponendo la velocitaassiale, per la turbina monostadio si ha

RZ=1sc =

V 21

∣∣Z=1

sin2 α

2mentre per la pluristadio

RZsc =V 2

1

∣∣Z

sin2 α

2=RZ=1sc

Zla perdita e scalata di Z proprio come l’energia cinetica.

5.6.2. Analisi delle perdite di portata attraverso una turbina a salti di pressione.Consideriamo un caso semplice con tre stadi ad azione: le portate che attraversano ciascuno stadiosono legate tra di loro dai trafilamenti

mII = mI − (δme + δmII)

mIII = mII − (δmIII − δmII)


con i trafilamenti attraverso le tenute a labirinto sull’asse che possono essere scritte come

δm = αA

√1

RT 0

(p0

0

)1 − (pa)2

n

con αA il coefficiente di efflusso, A la sezione di passaggio ed n il numero di stadi del labirinto; dallarelazione presentata si puo trovare il numero minimo di labirinti

nmin =α2A2

(δmmax)

(p0

0

)2 − (pa)2

RT 0

che e funzione delle prestazioni; dal punto di vista fluidodinamico si puo pensare che, attraverso delleespansioni isoentropiche e successivi riscaldamenti isobari, il punto rappresentativo si sposti sempresulla curva di Fanno corrispondente alla portata adimensionalizzata m

αA .

Figura 5.29. Tenuta a labirinto

Il flusso principale puo, tra uno stadio e l’altro, subire alterne vicende:(1) conservare la sua energia cinetica se gli stadi sono sufficientemente ravvicinati e non esistono

organi dissipativi; il tal caso vediamo che il flusso principale (oro) e quello secondario (viola)hanno punti rappresentativi differenti sul piano entalpico8 fino a quando, a valle del II stadio,vi e la miscelazione con conservazione dell’energia e della quantita di moto (considerandotrascurabile quella della portata trafilata)

mIIh02II

+ (δmII − δmIII)h6 = mIIIh00III

mIIV2II = mIIIV0III

dalle quali si ricava l’entalpia (totale e statica) all’inizio del III stadio e di conseguenza,sulla curva p3 = cost. il punto di partenza del III stadio.

(2) dissipare, prima di arrivare allo stadio successivo, l’energia cinetica e quindi portarsi, as-sieme alle portate perse, a velocita nulla (punto di ristagno coincidente con punto statico):la miscelazione tra i flussi, avvenendo a piu elevata entropia, porta a sfruttare nell’ultimostadio un salto entalpico maggiore e di conseguenza un maggior fattore di recupero.

5.7. Curve caratteristiche

5.7.1. Analisi delle curve sperimentali e problematiche connesse. Dalle prove al bancopossiamo dedurre, per una data turbina, delle curve caratteristiche che legano, a diversi numeri digiri e con temperatura9 T 0

0 e pressione allo scarico psc costanti, il salto di pressione con la portataelaborata. Nell’andamento ottenuto possiamo notare che esiste una curva ben definita al di sottodella quale nessuno degli stadi e in chocking e in tali condizioni la portata aumenta sia percheaumenta la pressione totale a monte sia perche aumenta il rapporto di espansione. Quando invece opiu stadi si trovano in condizioni di saturazione allora succede che la portata non e piu influenzatadalle condizioni a valle e dunque risulta funzione lineare della pressione a monte. Si possono inoltre

8Il flusso principale prosegue nelle espansioni attraverso gli stadi mentre il flusso secondario si riscalda primaisoentalpicamente poi isobaricamente.

9Per avere la temperatura totale a monte costante si puo, a partire dalla camera di combustione, laminare,attraverso una valvola, il flusso con conseguente diminuzione della pressione totale al valore voluto.

5.7. CURVE CARATTERISTICHE 155

Figura 5.30. Rappresentazione delle perdite sul piano entalpico

Figura 5.31. Curve caratteristiche della turbina

trovare potenza e coppia fornita dalla turbina:

P = ηT m(CpT

00 − his

)C =

P

ωIn generale possiamo adimensionalizzare la pressione rispetto alla pressione di scarico e quindi

avere delle funzioni della portata adimensionalizzata rispetto alla portata di chocking e del numerodi adimensionale:

ηT ,p0

0

psc= F

(m√RT 0

0

D2p00

,ND√RT 0

0

)ottenendo che la portata adimensionalizzata e proprio costante in condizioni di saturazione.

Figura 5.32. Curve caratteristiche adimensionalizzate

Gli aspetti da considerare sono essenzialmente due: la saturazione della turbina inizia in uno stadio e successivamente si propaga al resto della

macchina; nell’espansione negli ugelli del distributore bisogna tenere conto, in condizioni di sottoespan-

sione, degli effetti bidimensionali in uscita dello stesso visto che la velocita non e assiale edunque il fan di uscita puo o meno incidere completamente sulla superficie opposta della


macchina: si definisce quindi un rapporto di sottoespansione massimo (quindi una pressionea valle minima) al di sotto della quale le caratteristiche ulteriore del fan di espansione nonsono incidenti sulla paletta e quindi non contribuiscono risultante delle pressioni.

Per osservare quanto si e prossimi alla saturazione si puo tracciare, per una geometria assegnata,le curve di Fanno di ciascuno stadio che rappresenta le leggi di conservazione sul piano entalpico inpresenza di attrito

m

A= ρ1V1 =

m

ξ1πD1 sinα1

quindi, individuando il punto sulla curva che rappresenta la condizione a fine espansione, si valutala sua distanza dal punto di flusso sonico della curva stessa. Al variare della portata varieranno lecurve di Fanno, le perdite e di conseguenza i punti finali: esistera una condizione per cui in unostadio la pressione finale sara quindi quella critica e quindi il condotto sara in chocking. Nella figuradi pagina 156 si possono quindi vedere sia i casi di palettaggi tutti subcritici sia il caso il distributoresia in chocking.

Figura 5.33. Curve di Fanno e chocking del palettaggio

Nel caso in cui vada in chocking la girante allora si ha quanto detto sopra: una volta arrivati allapressione critica (quindi sull’estremo della stessa curva di Fanno visto che la portata e costante) si hauna post-espansione che porta il flusso ad essere supersonico, ad arrivare ad una pressione p

′2 inferiore

e quindi a sviluppare un lavoro superiore; possiamo quindi definire una p′2min

al di sotto della quale,essendo il fan di espansione non piu incidende sul palettaggio, non si ha ulteriore incremento dellapotenza sviluppata. Si puo infatti vedere come il lavoro di post-espansione sia limitato inferiormentecon il rapporto di espansione.

5.7.1.1. Trasformazioni reali e indice della politropica. Per una trasformazione isoentropica

p

p0=(ρ

ρ0

)γdalla termodinamica si possono trovare le espressioni della velocita e della portata specifica nel casosubcritico:

V =

√√√√ 2γγ − 1

p0ρ0

[1−

(p2

p00

) γ−1γ

]

m

A= ρV = ρ0

0

(p

p00

) 1γ

V =

√√√√ 2γγ − 1

(p0

0ρ00

) [( p

p00

) 2γ

−(p

p00

) γ+1γ

]mentre il caso supercritico si ottiene sostituendo al rapporto di pressioni quello critico.


Figura 5.34. Sovraespansione nei palettaggi

Se abbiamo ora una generica traformazione politropica (che schematizza un processo con perdite):

(5.63)p1

p0=(ρ1

ρ0

)nsi ottengono delle relazioni simili

(5.64) V =

√√√√ 2γγ − 1

p0ρ0

[1−

(p2

p00

)n−1n

]

(5.65)m

A=

√√√√ 2γγ − 1

(p0

0ρ00

) [(1 +

γ − 12

M20

)(p

p00

) 2n

−(p

p00

)n+1n

]Ricavando poi dalla definizione del coefficiente di perdita ϕ

ϕ2 =V 2

1

V 21s

=h0

0 − h1

h00 − h1s

=T 0

0 − T1

T 00 − T1s

il rapporto delle temperature (ricordando la relazione tra la temperatura totale e statica per 1 e 1s)

T 00

T1=

1

1− ϕ2[1− T1s

T1

] =1

1− ϕ2

[1−

(p1

p00

) γ−1γ

]Dalla relazione 5.63 si ha:

n =ln p1

p0

ln ρ1

ρ0

ma possiamo manipolare i rapporti

p1

p0=p1

p00

p00

p0=p1

p00

(1 + δM2

0

) γγ−1

ρ1

ρ0=p1

p0

T0

T1=p1

p00

(1 + δM2

0

) γγ−1

T 00

T1

11 + δM2

0

=p1

p00

(1 + δM2

0

) 1γ−1

1− ϕ2

[1−

(p1

p00

) γ−1γ

]


e quindi esiste un legame tra l’indice della politropica, l’espansione, le perdite e le condizioni iningresso:

(5.66) n = n

(p1

p00

, γ, ϕ,M0

)=

ln p1

p00

(1 + δM2

0

) γγ−1

ln p1

p00

(1+δM20 )

1γ−1

1−ϕ2

241−„p1p00

« γ−1γ

35che per piccole velocita in ingresso (M0 ' 0) diventa

(5.67) n = n

(p1

p00

, γ, ϕ

)=

ln p1

p00

lnp1p00

1−ϕ2

241−„p1p00

« γ−1γ

355.7.2. Prestazioni di fuori progetto di macchine a stadio singolo. Il comportamento

fuori progetto di uno stadio di turbina puo essere facilmente caratterizzato a partire dalla relazione(5.3). Infatti, se si accetta l’approssimazione che la relazione (5.3) valga sia in condizioni di progetto,indivuate con un’asterisco:

Ψ∗ = −1 + ϕ∗ (cotα∗1 + cotβ∗2)che in una qualsiasi altra condizione diversa da quella di progetto:

Ψ = −1 + ϕ (cotα1 + cotβ2)e questo avviene se gli angoli di uscita del flusso sono uguali a quelli geometrici e che gli angoli diflusso variano poco tra le condizioni di e fuori progetto:

cotα∗1 + cotβ∗2 ≈ cotα1 + cotβ2

allora si ottiene:

ΨΨ∗

=ϕ

ϕ∗

(1 +

1ψ∗

)− 1ψ∗

Da questa relazione si vede che il rapporto tra le cifre di pressione e di flusso in condizione di ine fuori progetto e descritto da una retta con pendenza Ψ∗. Tutte le rette passano per il punto (1,1)nel piano (Ψ/Ψ∗, ϕ/ϕ∗).

5.7.3. Prestazioni di fuori progetto di macchine multistadio. Il metodo approssimato edovuto a Stodola e si distingue l’analisi per il caso, piu semplice, del numero infinito di stadi

5.7.3.1. Metodo di Stodola per un numero infinito di stadi. Le ipotesi di studio sono: il numero Z di stadi della turbina sia infinito ciascuno dei quali con un salto di pressione

infinitesimo; ne segue che nessuno stadio potra mai essere in chocking ; l’indice della politropica n e le perdite ϕ e ψ siano costanti la pressione p1; gli angoli di deflusso siano, a differenti portate, costanti.

La portata potremo allora scriverla come:

m = −µiAi√

2ρidpicon µi coefficiente di efflusso

µi =

sinα1is1−„V0iV1i

«2ϕ fisso

sinβ′2is

1−„w1iw2i

«2ψ mobile


Per la turbina completa isoliamo il termine ρdp ed integriamo considerando l’espressione 5.63:

m2

2

Z∑i=1

1µ2iA

2i

= −∫ psc

p00

ρdp =n

n+ 1p0

0ρ00

[1−

(pscp0

0

)n+1n

]Facendo il rapporto tra l’espressione appena trovata e la medesima in condizioni di progetto

(indicata da una barra), nelle ipotesi fatte:

m2

2

∑Zi=1

1µ2iA

2i

¯m2

2

∑Zi=1

1µ2iA

2i

=p0

0

√RT 0

0

[1−

(pscp0

0

)n+1n

]p0

0

√RT 0

0

[1−

(pscp0

0

)n+1n

]che, nel caso comune di curve a T 0

0 costante e considerando che a primo membro il rapporto tra lesommatorie e circa unitario per le ipotesi fatte:

(5.68)m¯m

p00

vuut1−„pscp00

«n+1n

= p00

√√√√1−(pscp0

0

)n+1n

che fornisce nello spazio(m, p0

0, psc)

un cono a sezione ellittica. Da tale superficie potremo quindiricavare le curve caratteristiche ideali a p0

0 costante o a psc costante: si nota che in quest’ultimocaso l’assenza di choking porta all’aumento della portata al diminuire della pressione psc (fino allacondizione di pressione nulla) mentre nella realta la saturazione di uno o piu stadio porta ad unaportata massima ben definita.

Figura 5.35. Curve caratteristiche ideali

Adimensionalizzando come segue

m∗ = m

√RT 0

0

p00

p∗ = pp0

0

si ha una relazione semplificata

(5.69)

m√RT 0

0

p00

¯m√RT 0

0

p00

=m∗

¯m∗=

√1− (p∗sc)

n+1n√

1− (p∗sc)n+1n

che ci porta, sul piano (m∗, p∗sc), ad un’unico ellisse di equazione

m∗

Γ+ (p∗sc) = 1


con Γ che rappresenta la massima portata non dimensionale

Γ =¯m

p00

√1−

(pscp0

0

)n+1n

Figura 5.36. Curva caratteristica adimensionale

5.7.3.2. Metodo di Stodola per un numero finito di stadi. La correzione della teoria presentataper l’insorgere del chocking la si conduce semplicemente considerando il rapporto di espansionedisponibile per la turbina:

(1) sep1

p00

≥(p1

p00

)cr

=(

2n+ 1

) nn−1

allora la portata e quella trovata sopra

m

A=

√√√√ 2γγ − 1

(p0

0ρ00

) [(p1

p00

) 2n

−(p1

p00

)n+1n

](2) nel caso in cui

p1

p00

<

(p1

p00

)cr

=(

2n+ 1

) nn−1

allora la portata e costante e pari a quella di chocking

m

A=

√√√√ 2γγ − 1

(p0

0ρ00

) [( 2n+ 1

) 2n−1

−(

2n+ 1

)n+1n−1

]con il punto di raccordo in condizioni critiche: la superficie conica acquista una base parallelepipedache tiene conto della saturazione. L’equazione della curva corrispondente sara:(

m

mcr

)2

+(p1 − pcrp0

0 − pcr

)2

= 1

per p1 ≥ pcr em = mcr

per p1 < pcr.Introducendo ancora la portata massima smaltibile

Γ = A1

√γ

γ − 1(n− 1)

(2

n+ 1

)n+1n−1

si ha (m

Γ

)2

+(p1 − pcrp0

0 − pcr

)2

= 1

e la curva di m in funzione di p00 ottenuta approssima bene il caso reale.

Bibliografia 161

Figura 5.37. Curve ideali con saturazione

Bibliografia

[1] J. H. Horlock. Axial Flow Turbines. Robert E. Krieger Publ. Co., 2 edition, 1973.[2] D. G. Ainley and G. C. R. Mathieson. A method of performance estimation for axial flow turbines.

ARC R and M 2974, Aeronautical Research Council, London, 1957.

Elenco delle figure

1.1 Diagramma di stato dell’idrogeno [2]. 41.2 Diagramma di stato dell’idrogeno e validita dell’equazione di stato dei gas ideali. 61.3 Schema di sistema macroscopico. 151.4 Particella, suo intorno e linea di corrente. 231.5 Schema e nomenclatura per il calcolo del momento della quantita di moto. 35

2.1 Flusso tridimensionale nelle turbomacchine. 392.2 Sistema di riferimento relativo solidale con la girante rotante a velocita angolare costante 412.3 Triangolo delle velocita 412.4 Flusso in uscita dalla girante 422.5 Moto relativo nel caso di palette piane. 442.6 Tipi di turbomacchina in base alla direzione della linea di corrente. 492.7 Andamenti della velocita e pressione per un vortice libero 512.8 Andamenti delle velocita e pressione per un vortice forzato 51

3.1 Schematizzazione del flusso energetico in una pompa. 573.2 Schematizzazione del flusso energetico in una turbina. 573.3 Evoluzione del flusso in turbina riportata nel piano entalpico. 583.4 Stati termodinamici all’ingresso e all’uscita di ciascuno dei tre stadi simili di una turbina

nel piano entalpico. 613.5 Rappresentazione sul piano (h, s) espansione e compressione di ugelli e diffusori 643.6 Triangoli di velocita e paletta di turbina assiale 663.7 Curva caratteristica per una turbopompa 703.8 Curva del rendimento per una pompa a geometria variabile 703.9 Curve caratteristiche per compressori e turbine 723.10 Curva fondamentale delle turbomacchine 73

4.1 Traiettoria delle particelle nel moto assoluto e relativo 784.2 Curve ψ, ϕ per diverse pompe 794.3 Curve P , Q per diverse macchine 804.4 Triangoli di velocita a diversi R 814.5 Triangolo ai limiti di funzionamento 814.6 Gradienti di pressione nella pompa reale 834.7 Deviazione della corrente sul piano palare per flusso secondario 834.8 Fattore σ nella trattazione di Stodola 864.9 Fattore di Busemann 874.10 Determinazione di ∆Wθ nella girante 94

163

164 ELENCO DELLE FIGURE

4.11 Perdite per urti nel diffusore:δV slipθ2U2

= cost. 95

4.12 Perdite nel diffusore per Cp = cost. 96

4.13 Curve reali nel caso∆V slipθ2U2

= cost. 96

4.14 Curve reali a Cp = cost. 964.15 Effetto della cavitazione per ns differenti 974.16 Schema del circuito all’aspirazione della pompa 984.17 NPSH critico 994.18 NPSH in funzione di Q e N 1004.19 1074.20 1074.21 Carichi laterali 1084.22 Distribuzione di pressione per impeller senza foro di comunicazione. 1094.23 Distribuzione di pressione per impeller con foro di comunicazione. 1104.24 Disegno di assieme della girante e dei canali palari 1124.25 Grafico delle funzione polinomiale relativa al rendimento η. 1134.26 Grafici delle funzioni polinomiali relative a ξ, NSS e σ. 1134.27 Velocita tangenziale in uscita (indicata nel grafico con CU 2) decresce all’aumentare della

portata 1144.28 NPSH al variare della pressione di aspirazione 1144.29 NPSH al variare della pressione di vapore saturo 1154.30 Nomenclatura per il triangolo delle velocita in uscita della girante. 1154.31 Effetto dell’angolo di uscita delle pale sulla potenza assorbita 1164.32 Effetto dell’angolo di uscita delle pale sulla prevalenza 1164.33 Curve caratteristiche della prevalenza a diversi numeri di giri 1164.34 Curve caratteristiche della potenza assorbita a diversi numeri di giri 1174.35 Curve caratteristiche adimensionali 1174.36 Prevalenza al variare della pre-rotazione all’aspirazione 1174.37 Potenza assorbita al variare della pre-rotazione all’aspirazione 118

5.1 Piano entalpico per un condotto fisso 1205.2 Perdite in relazione al rapporto di espansione 1215.3 Piano entalpico per il condotto mobile 1225.4 Sistema statore-rotore sul piano entalpico 1255.5 Punti di progetto per uno stadio di turbina assiale 1285.6 Confronto tra diversi χ 1295.7 Confronto tra stadi con χ = 0 o χ > 0 1305.8 Sezione della schiera bidimensionale. 1305.9 Sezione del distributore di una turbina ad azione supersonica. 1315.10 Sezione della schiera bidimensionale di una turbine a reazione. 1315.11 Break-up dei principali contributi di perdite meccaniche. 1325.12 Separazione del flusso all’ingresso delle palette in condizioni di fuori progetto. 1335.13 Vortice di passaggio (a sinistra) e vortice a staffa (a destra). 134

ELENCO DELLE FIGURE 165

5.14 Sistema d’urti allo scarico del canale palare 1345.15 Perdite al tip delle palette 1355.16 Palette con e senza shroud 1355.17 Perdite di profilo secondo Sodeberg: in alto, palettaggio a reazione, α

′1 = 0; in basso,

palettaggio ad impulso, α′1 = α2. 137

5.18 Perdite dovute allo spessore del trailing edge 1375.19 a) Incidenza di stallo is(s/l = 0.75) in funzione del rapporto fra angolo del flusso

all’ingresso e allo scarico α1/α2; b) Fattore di correzione sull’angolo in uscita della schieradi pale in funzione del rapporto s/c. Grafici validi per Re = 2 × 105, Mach < 0.5 ,rapporto passo/corda s/l pari a 0.75. 138

5.20 Variazione dell’incidenza di stallo is − is(s/l=0.75) in funzione del rapporto s/c 1385.21 d) Coefficiente di perdita χi = YP /YP (i=0) in funzione del rapporto i/is; e) variazione

dell’angolo in uscita dalla schiera α2 in funzione del coefficiente χi = YP /YP (i=0) 1395.22 Perdite dovute al trailing edge 1435.23 Rendimento in funzione di X 1465.24 Rendimento reale in funzione di X 1475.25 Schema di una turbina a salti di velocita 1495.26 Piano entalpico turbina pluristadio 1505.27 Zott al variare di X 1515.28 Confronto tra ηtt e ηts in funzione di X 1535.29 Tenuta a labirinto 1545.30 Rappresentazione delle perdite sul piano entalpico 1555.31 Curve caratteristiche della turbina 1555.32 Curve caratteristiche adimensionalizzate 1555.33 Curve di Fanno e chocking del palettaggio 1565.34 Sovraespansione nei palettaggi 1575.35 Curve caratteristiche ideali 1595.36 Curva caratteristica adimensionale 1605.37 Curve ideali con saturazione 161

Elenco delle tabelle

1.1 Grandezze critiche per alcuni dei propellenti piu comuni (i valori dell’acqua sono riportatiper confronto). 6

167

metodi di analisi delle...

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