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ESERCIZI PRECORSO DI MATEMATICA
EQUAZIONI
1. cot 2x −10°( ) = 3
2. tan2 x = 3
3. 2 cos 2x − 45°( )+1= 0
4. sin x = sin2x
5. tan 180°− 2x( ) = tan −3x( )
6. 5− 2cos2 x − 4sin x = 2cos2 x
7. 3sin x − 3cos x = 0
8. 3cos x + sin x − 3 = 0
9. sin3x = sin 45°+ x( )
10. 6sin2 x −13sin x + 5= 0
11. 2 3 −3( ) tan2 x − 2 3− 3( ) tan x +3= 0
12. 2cos2 2x + cos2x = 0
13. 2sin2 x −3cos x = 0
14. 2sin 60°+ x( ) = 3cos x −1
DISEQUAZIONI
1. 9x2 −18x + 54x2 + 24x − 45
< 0
2. 19x2 −18x + 5
−2
3x2 −8x + 5≤
33x2 − 4x +1
3. x2 −8x +15 ≥ x − 2
4. x − x2 + 2x −3 > 0
5. log2 x >1− log2 x −1( )
6. log1/2 x2 − 5x + 6( ) < log1/2 x − 4( )
7. log3 2− x( ) < log3 2+ x( )− log3 x +1
8. log1/4 x2 − 4( ) < 0
9. log1/3 3− x( ) > log1/3 2x + 6( )
10. log2 x −3( ) > log4 5x −1( )
11. 3arctan x −π1+ log2 x
< 0
12.
5+ x2+ x
<12
1x−14>1
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%$$
13.
1− x2− x
> 0
4x +1> 3 x + 12
"
#$
%
&'
9x − 6 x +1( )− 42x −8
>12
(
)
***
+
***
2
14. x2 + 3x −1>1
x2 − x +1 > 2
"
#$
%$
15.
1− x2− x
> 0
4x +1> 3 x + 12
"
#$
%
&'
9x − 6 x +1( )− 42x −8
>12
(
)
***
+
***
16. 2sin2 x −3sin x +1> 0
17. x − b( ) x + 2b( ) > 02x + b( ) x − 2b( ) > 0
"#$
%$
18. x + 2 > 36+ x
19. 212!
"#$
%&2 x
− 7 12!
"#$
%&x
+3< 0
20. x2 −3ax + 2a2 ≥ 02x2 + ax − a2 ≤ 0
$%&
'&
21. x + 2x2 +1> 0
22. x − 2 + x2 − 4 > 0
23. 2x −1+ x − 2 >1
24. 2x + 54x − 2
−x −11− 2x
≤23
25. sin x 2cos x −1( ) > 0
26. 2sin2 x >1
27. 3 − 2sin x( ) 2sin x −1( ) < 0
28. sin xcos x +1
≥ 0
29. log2 x −1( )+ log2 x +1( ) > 3
30. tan2 x −3sin x
< 0
31. x2 − 2x + x2 >1
32. sin x + 3sin x
≥ 3
33. 1− 2 sin x2sin x +1
> 0
34. 2sin x <1+ sin x
35. 4sin2 x −3 >1+ 2sin x
36. x −1( ) ln x +1( )
x − 2> 0
37. log1/3 x
2 −1( ) >1
38. x2 − x − 6 −3x < 2
39. sin x + cos x3− 4cos2 x
< 0
40. 22 x − 22+x +3< 0
41. 3arccos 2x −3x2( ) < 2π
42. 3 1− x( ) < 2x +12x − 6 > 5x − 2
"#$
%$
43. ln2 x − 7ln x +12 < 0
44. 3x − x2 − x > 2
3
45. sin x + 3cos x2sin2 x −1
> 0
46. log1/e
2 x − 5log1/e x + 4 < 0
47. 6arcsin 2x2 − 7x + 4( ) > π
48. 2sin x − 3sin x
< 0
49. cos2 x −3cos x + 2 ≤ 0
50. 3arctan x2 −1( ) > −π
51. 2x +1x −3
< 2
52. tan x > 1
3
cos x > 12
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APPLICAZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
1. Data l’equazione 2k −1( ) x2 + 2k −1( ) x − k + 5= 0 stabilire per quali valori di k le radici sono reali.
2. Stabilire per quali valori di a l’equazione 3− 2a( ) x2 + 3a−10( ) x + 2a+8 = 0 ha radici reali che verificano la condizione x1 + x2 − x1x2 > 5 / 2 .
GONIOMETRIA
1. Calcolare i valori esatti delle funzioni goniometriche dei seguenti archi: § 105° osservando che 105° = 60° + 45° § 15° osservando che 15° = 45° - 15° § 75° osservando che 75° = 60° + 15° § 27° osservando che 27° = 45° - 18° § 63° osservando che 63° = 45° + 18° § 33° osservando che 105° = 18° + 15° § 78° osservando che 105° = 60° + 18°
2. Calcolare tan 30°+α( ) e tan 45°+α( ) sapendo che tanα =1/ 3 .
3. Noto che tanα = 3 e cosβ = 4 / 5
con 0 < β < 90°
calcolre tan α +β( ) e tan α −β( ) .
4. In un triangolo si ha cosβ = −1/ 3
e cosγ = 2 / 3
. Calcolare le funzioni del terzo angolo.
CAMPI DI ESISTENZA
4
1. ( ) ( ) 22 arcsin
24xxxxf −=
2. ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−= 1
37ln2
2
2x
x
xxxxf
3. ( ) ( )42ln 2 −−−= xxxxf
4. ( ) ( ) ( )1arccoslg1 22
3/1 −−+= xxxxf
5. ( ) ( ) xeexf xx arcsincoslnsin +−=
6. ( ) ( )ee
xxfx −
+=
−1
21ln
7. f x( ) =ln 4arctan x +π( )ln x2 − 4( )
8. f x( ) = log1/2 2sin
2 x −1( )
9. f x( ) = logπ /2 2arcsin x( )−1
10. f x( ) = 1− tan x2cos x −1
11. f x( ) =3tan2 x
2−1
cos x − sin x +1
12. f x( ) = cos x 1− 2sin2 x( )
13. ( ) ( )1arcsin1ln 2
−
+=
xxxf
14. ( )( )
( )1lnarcsin1
21
+−
=+
xexfx
15. ( ) ( )1ln 2 +−−= xxxxf
16. ( ) ( ) xxxxxf
arcsin2 1+−−=
17. ( ) ( )( ) 4/4arctan
2
2
6lnπee
xxfx −
−=
−
18. ( ) ( ) ( )π+= xxxf arcsin2lnlnarcsin
19. ( ) ( ) ( )1coshlnarcsin6 3 −+−= xxxf π
20. f x( ) = 6arccos x −1( )−π
21. f x( ) = ln 9x −8 ⋅3x − 9( )
22. f x( ) = 12− log2
2 x
23. f x( ) = ex
x2+x+1
24. f x( ) = arcsin 3x −1( )
GEOMETRIA ANALITICA
1. Calcolare il punto medio dei lati di un triangolo i cui vertici sono di coordinate (1, 2), (1, 1) e (-1, 3).
2. Calcolare l’equazione della retta passante per il punto (1, 2) e parallela alla retta 2x −3y+1= 0 .
3. Calcolare l’equazione della retta passante per il punto (-1, 3) e perpendicolare alla retta 2x −3y+1= 0 .
4. Calcolare l’equazione della retta passante per i punti (1, 2) e (-1, 3). 5. Calcolare il valore del parametro k affinché dal fascio di rette di equazione
kx − 3− k( ) y+1= 0 si individui la retta parallela all’asse delle ascisse e quella parallela all’asse delle ordinate.
6. Calcolare la distanza del punto di coordinate (2, -3) dalla retta passante per l’origine e per il punto (5, -6).
5
7. Calcolare l’equazione della parabola di vertice (1, 1) e passante per il punto (-1, 2). 8. Calcolare l’equazione della parabola passante per i punti (0, -1), (1, 1) e (2, -2). 9. Determinare le tangenti alla parabola di equazione y = −x2 +3x − 4 e passanti per il punto
(3, 4). 10. Determinare l’equazione della circonferenza di centro (1, 3) e raggio pari a 2. 11. Determinare l’equazione della circonferenza passate per i punti (0, 0), (1, 0) e (3, 4). 12. Condurre dal punto (-3, -2) le tangenti alla circonferenza di raggio 1, passante per il punto
− 22 ,
22
"#$
%&' e centro sulla retta 2y− x = 0 .
13. Calcolare l’equazione della tangente alla parabola di equazione y = x2 + 2x −1 nel punto P0 di ascissa x0 = 1 e disegnarne i grafici.
14.
VETTORI
1. Dato un vettore a = (-1, 3, 2). Calcolare il modulo e l’angolo formato dal vettore con l’asse
z.
2. Calcolare il modulo della proiezione del vettore a = (1, -3, 2) nel piano xy e l’angolo
formato dalla proiezione con l’asse y.
3. Il vettore a di modulo a = 10 forma un angolo di 60° con l’asse z e la sua proiezione nel
piano xy forma un angolo di 45° con l’asse x. Calcolare le componenti di a lungo i tre assi
coordinati.
4. Dati due vettori a = (-1, 0, 3) e b
= (2, 1, -1). Calcolare il vettore risultante ba
+ e b3-a .
5. Dati tre vettori a , b
e c tali che siano soddisfatte le seguenti proprietà: bac
+= , e
bac
+= . Cosa possiamo affermare circa la mutua posizione dei tre vettori? E se la
proprietà tra i moduli fosse 222 bac
+= ?
6. Dati due vettori a , b
tali che baba
−=+ . Quale proprietà soddisfa il vettore b
?
7. Dati due vettori a e b
di modulo a = 2 e b
= 4. Determinare il modulo del vettore
bac
+= sapendo che l’angolo compreso tra i vettori è 45°.
8. Dati due vettori a = (-1, 0, 3) e b
= (2, 1, -1), calcolare il prodotto scalare ba⋅ ed il
prodotto vettoriale ba
× e ab × .
9. Dati i vettori a = (-1, 0, 0), b
= (1, 1, -1) e c = (-1, 1, 3), calcolare )cb(a ×⋅ .
10. I vettori a e b
, appartenenti al piano yz (con y, z > 0), hanno lo stesso modulo ( a = b
=
5) ma formano con l’asse z, rispettivamente un angolo di 30° e 60°. Calcolare le componenti
del vettore ba
+ e ba
− .
6
11. Dati il vettore a = (-1, 0, 3) ed una famiglia di vettori b
= (2, 1, k) con k ε R. Calcolare k
tale che b
sia ortogonale ad a . Per quale valore di k il modulo di ba
× ha un estremo.
12. Calcolare l’angolo compreso tra i vettori a = (-1, 0, 3) e b
= (0, 1, 3).
13. Dato il vettore a = (-1, -5, 0) calcolare l’angolo formato tra a e l’asse x.
14. Un vettore a di modulo 5 è diretto verso est, mentre un vettore b
di modulo 4 è diretto
verso nord-ovest. Calcolare i vettori ba
+ e ba
− ed i rispettivi moduli.