lectures in applied econometrics 17

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 17

1/73

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι. Εισαγωγή στις Στατιστικές Έννοιες

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑI.

Εισαγωγή στις

Στατιστικές ΈννοιεςΣκοπός της Εισαγωγής αυτής είναι να ασχοληθεί με τα κεντρικάερωτήματα των Ποσοτικών Μεθόδων στη λήψη επιχειρηματικώναποάσεων και να παρουσιάσει όσο απλο!στερα γίνεται τιςθεμελιώδεις στατιστικ"ς "ννοιες όπως χρησιμοποιο!νται στηνΕαρμοσμ"νη #ικονομετρία$

• Κεφαλαιαγορές.

Ερωτήματα:

Έχουν δυο μετοχές την ίδια μέση απόδοση;

Έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά ρίσκου;

119


2/73


Μεταβλήθηκαν αυτά τα χαρακτηριστικά στη

διάρκεια της περιόδου;

120


3/73


• Να εκτιμηθεί το ρίσκο μιας μετοχής (beta !e""##e$t% και &α σ'&αχθεί α& εί&αι σ'&τηρητική) ή ε*ιθετική).

Ερ+τημα:

Πόσο αξιόπιστα είναι τα b!" που

διαβά#ουμε στον τ$πο;

121


4/73


• Να α,ιολογηθεί έ&α χαρτοφ'λ-κιο ή έ&α αμοιαίοκεφ-λαιο και &α /ημιο'ργηθεί έ&α 0e12e "3$1 αμοιαίω&

κεφαλαίω&.

Ερωτήματα:

Παρέχει το αμοιβαίο κε%άλαιο

σημαντικά με&αλ$τερη απόδοση σε σχέση

με την α&ορά;

Συγχρονίζεται το αμοιβαίο κε%άλαιο

με τη κατάσταση της α&οράς;

122


5/73


• 4&-λ'ση *ιστωτικο5 κι&/5&ο' (και γε&ικ- *ιστολη*τικήςικα&6τητας%7 8e1#t 8#9.

Ερωτήματα:

Ποιοι πελάτες θα πρέπει να πάρουν δάνειο

και ποιοι όχι;

Τι καθορί#ει την επιλο&ή ορισμέν'ν

προ(όντ'ν )ίδιου τ$που* αλλά δια%ορετικής

μάρκας+ από τους καταναλ'τές; Πόσο σημαντικός

είναι ο ρόλος της τιμής; ,'ν εκπτ-σε'ν; ,ης

δια%ήμισης; .νός ορισμένου συνδυασμο$ όλων

τ'ν τρι-ν;

123


6/73


12


7/73


• ;ρολέ


8/73


• ;ρολέ


9/73


ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΩΝ Η.Π.Α.

Πηγή% &$'$ &()*+ ,+- .$'$ /012304 56674 Modern portfolio theory andinvestment analysis4 89): 3-;);*+4 3? @*0A4 σελ$ B5$ Cλα τα στοιχείαείναι σε ποσοστά DEF$

Μέσηαπ!οση" #

Τ$πικήαπκ%ιση" σ

#μολογίες του

δημοσίου

G4H G4G

#μολογίες εταιρειών 746 I4JΜετο&ές #εγ'%ων

εται(ει)ν*+", +-"

Μετο&ές #ικ()νεται(ει)ν

*/"0 ,1"2

12#

Β ΑΣ!"Σ ΣΤΑΤΣΤ!"Σ " ##$"Σ


10/73


3 ατανο#ές 4 πο!σεων

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

bonds

stocks

12$

=μολογίες

>ετοχές


11/73


Το αντικε%&ενο τ'ς Στατιστικής ε%ναι να (ε)ιγ)*+ει καταστ*σεις στις ο(ο%ες '

α,ε,αι-τ'τα ε%ναι κ)%α)/ο στοι/ε%ο το ()ο,ή&ατος. Σαν &ια ()τ' εα)&ογή ας

εω)ήσο&ε το ()-,'&α ()οσ4ιο)ισ&ο5 &ιας εε%ας (ο 4ιέ)/εται α(- ένα σ5νοο(α)ατ')ήσεων6 ένα κασσικ- αντικε%&ενο τ'ς 7ικονο&ετ)%ας.

>έθο/ος τω& ελαχίστω& τετραγ+&ω&7 ?ea9t 9@3a8e9 (AB%:

Y

X

Με δεδομ"νο "να σ!νολο παρατηρήσεων Dσημείων στο παραπάνωδιάγραμμαF το Kητο!μενο είναι να προσδιορίσουμε τηναντιπροσωπευτική ευθεία που δι"ρχεται από τα σημεία αυτά$

129

Ε$5ε6απα%ιν!(#

ησης

Πα(ατή(ηση


12/73


Lς υποθ"σουμε ότι είχαμε τα στοιχεία στον ακόλουθο πίνακα%

y x2 11 23 3

2 47 6

# σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε την ευθεία της μορής%

y xβ = × 4

η οποία δι"ρχεται από τις παρατηρήσεις αυτ"ς$ Στη σ&έση α$τή"!εν $π'(&ει στα5ε(ς (ος$

Lυτό μπορεί να γίνει αν επιλ"Mουμε τ* N4 "τσι ώστε ναελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων4δηλαδή τη συνάρτηση%

( ) ( )!

2

1

t t

t

S y xβ β =

= − ×∑ $

Lυτό4 είναι "να πρόNλημα που μπορεί να λυθεί με Nάση τιςμαθηματικ"ς συνθήκες για την ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης μιαςμεταNλητής4 που εδώ δεν είναι παρά το N$

Ποια τιμή του N είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των

τετραγώνων των καταλοίπων ( )2

1

n

t t

t

S y xβ =

= − ×∑ O

P συνθήκη πρώτης τάMης για ελαχιστοποίηση του S 4 είναι 0dS

d β = και

μας δίνει%

130

1

2

1

8

n

t t t

n

t

t

x y

x

β =

=

= ∑∑


13/73


Επομ"νως4 η εκτίμηση του N μπορεί να υπολογισθεί πολ! απλά με

Nάση τα δεδομ"να t x και t y $ Έ&ει πο%7 #εγ'%η ση#ασ6α να

κατα%'8ει κανε6ς τι πα(%ο$ς το$ς πε(ιο(ισ#ο7ς της" ηε96σωση α$τή έ&ει #εγ'%ο 8α5# γενικτητας. :ιαπα('!ειγ#α" $πο5έσα#ε τι το $π!ειγ#α !εν έ&ει στα5ε('

α%%' πως 5α !ο7#ε στη σ$νέ&εια" α$τ !εν έ&ει ι!ια6τε(ηανα%$τική ση#ασ6α.

Πραγματικά4 ας θεωρήσουμε το πιο γενικό υπόδειγμα t t t Y X uα β = + × + $

Qα επιλ"Mουμε τα 8α και 8β 4 ελαχιστοποιώντας το άθροισμα των

τετραγώνων των καταλοίπων%

2

1

6 6n

t t

t

S Y X α β α β =

= − − ×∑

το οποίο4 αν γραεί αναλυτικά4 είναι%

=:6 β α S 2 2 21 1 2 2 .n nY X Y X Y X α β α β α β − − × + − − × + + − − ×L

#ι μαθηματικ"ς συνθήκες για την ελαχιστοποίηση της συνάρτησηςαυτής ως προς α και β 4 είναι%

88 6 0

S α β

α

∂=

∂ και

88 6 0

S α β

β

∂=

∂$

Qα "χουμε%

6 0

S α β

α

∂=

∂RS

και%

6 0

S α β

β

∂=

∂RS

131


14/73


Q"τοντας τις παραγώγους ίσες με μηδ"ν Dυπολογισμ"νες στις

εκτιμήσεις TU που καλο!με 8α και 8β F "χουμε τις λεγόμενες

κανονικές ε9ισ)σεις%

1

88 06

n

t t t

Y X α β = − − × =∑

1

88 0.n

t t t

t

Y X X α β =

− − × × =∑

P πρώτη κανονική εMίσωση4 σημαίνει ότι το άθροισμα τωνκαταλοίπων Dάρα και το μ"σο κατάλοιποF θα είναι πάντοτε μηδ"ν ανυιοθετήσουμε τη μ"θοδο TU$

ΕαρμόKοντας τα αθροίσματα σε κάθε όρο Mεχωριστά στην πρώτηεMίσωση "χουμε%

1 1

88 6n n

t t

t t

Y n X α β = =

= × + ×∑ ∑

Lν διαιρ"σουμε και τα δ!ο μ"λη με n 4 "χουμε%

1 1

1 1

88 6n n

i t n n

t t

Y X α β = =

= −∑ ∑

ή

Lπό την εMίσωση αυτή4 είναι ανερό ότι αρκεί να προσδιορίσουμε το8β ώστε να "χουμε κατευθείαν το 8α $ P εMίσωση για το 8α μας λ"ει ότι

η ευθεία δι"ρχεται οπωσδήποτε από το σημείο των μ"σων ( )6 X Y 4δηλαδή "χουμε%

88Y X α β = + $

Lντικαθιστώντας στην δε!τερη κανονική εMίσωση4 θα "χουμε Dμετάαπό κάποιες πράMειςF%

132

1 1

2 2

1 1

8 .

n n

t t t t

t t

n n

t t

t t

X X Y Y x y

X X x

β = =

= =

− × −

= =

−

∑ ∑

∑ ∑

88 .Y X α β = − ×


15/73


όπου t t y Y Y = − και t t x X X = − είναι οι αποκ%6σεις των !ε!ο#ένων

απ; το$ς #έσο$ς το$ς$ Επομ"νως4 ακόμη και αν "χουμε "ναυπόδειγμα με σταθερά4 μπορο!με να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή

σχ"ση για το 8β 4 αρκεί τα x και y να είναι οι αποκ%6σεις των

στοιχείων απV τους μ"σους τους$ Lυτή είναι μια θεμελιώδης σχ"ση$

#ρισμ"νες πράMεις4 μας δίνουν μια εναλλακτική μορή%

1

2 2

1

8

n

t t

t n

t

t

X Y nXY

X nX

β =

=

−

=−

∑

∑4

η οποία μπορεί να είναι χρήσιμη αν θ"λουμε να χρησιμοποιήσουμε τα

αρχικά μας δεδομ"να για τον υπολογισμό του 8β αντί για αποκλίσεις

απV τους μ"σους$

Μια απ%ή εισαγωγή στην Οικονο#ετ(6α

Lς υποθ"σουμε ότι είχαμε τα στοιχεία στον ακόλουθο πίνακα%

Y X 2 1

1 2

3 3

2 4

7 6

# σκοπός μας4 είναι να προσδιορίσουμε την ευθεία της μορής%

Y X β = ×

η οποία δι"ρχεται από τις παρατηρήσεις αυτ"ς$

Cπως "χουμε δει4 αυτό μπορεί να γίνει αν επιλ"Mουμε τ* N4 "τσι ώστενα ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των τετραγώνων τωνκαταλοίπων4 δηλαδή τη συνάρτηση%

133


16/73


( ) ( )!

2

1

i i

i

S Y X β β =

= − ×∑ $

Lυτό4 είναι "να πρόNλημα που μπορεί να λυθεί με Nάση τιςμαθηματικ"ς συνθήκες για την ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης μιας

μεταNλητής4 που εδώ δεν είναι παρά το N$

Lν δο!με το πρόNλημα από αριθμητική σκοπιά4 δηλαδή από τη σκοπιάτου υπολογισμο! των εκτιμήσεων4 η αλήθεια είναι ότι δεν χρειάKεταικανείς πολλά μαθηματικά για να υπολογίσει τις εκτιμήσεις αυτ"ςW

Εάν4 με τη Nοήθεια ενδεχόμενα του υπολογιστή4 μπορο!με ναυπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης S για διάορες τιμ"ς του N4τότε θα μπορο!σαμε να επιλ"Mουμε εκείνη που δίνει την ελάχιστητιμή στη συνάρτηση αυτή$

Lυτό4 υσικά4 μπορεί να γενικευθεί σε οποιαδήποτε αντικειμενική

συνάρτηση4 όπως για παράδειγμα τη συνάρτηση ( ) ( )!

1

i i

i

F Y X β β =

= − ×∑ ή

τη συνάρτηση ( )!

1

i i

i

G Y X β β =

= − ×∑ $

Xο μόνο που απαιτείται4 είναι να κάνουμε "να διάγραμμα στο οποίονα αίνεται η αντικειμενική συνάρτηση σε σχ"ση με το N4 όπωςαίνεται παρακάτω$

13


17/73


Οι αντικει#ενικές σ$να(τήσεις < και =

YYYY UDNF4 ZZZZZZZ [DNF$

Lπό το διάγραμμα αυτό4 η τιμή του N που ελαχιστοποιεί τιςαντικειμενικ"ς μας συναρτήσεις4 μπορεί να υπολογισθεί ε!κολα$X"τοιοι υπολογισμοί μπορο!ν4 υσικά4 να γίνουν ε!κολα με

προγράμματα όπως το Excel$

Lν υποθ"σουμε τώρα4 ότι η ευθεία που θ"λουμε να δι"λθει από ταδεδομ"να μας4 "χει και σταθερό όρο4 δηλαδή είναι της μορής%

Y X α β = + × 4

τότε οι αντικειμενικ"ς μας συναρτήσεις4 θα "πρεπε λογικά να είναι%

( ) ( )!

2

1

6i i

i

S Y X α β α β =

= − − ×∑ και ( ) ( )!

1

6i i

i

F Y X α β α β =

= − − ×∑ .

Lυτ"ς4 είναι συναρτήσεις δυο μεταNλητών4 δηλαδή των α και N καιμπορο!με να ακολουθήσουμε την ίδια προσ"γγιση για να λάNουμε ταεπόμενα διαγράμματα τα οποία4 υσικά4 είναι στον τρισδιάστατοχώρο4 εόσον χρειαKόμαστε δυο άMονες για τις μεταNλητ"ς α και Nκαι "ναν άMονα για την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης S ή F $

13!


18/73


Η αντικει#ενική σ$ν'(τηση S

Η αντικει#ενική σ$ν'(τηση =

13"


19/73


P διαγραμματική προσ"γγιση4 γίνεται προNληματική από τη στιγμήπου το υπόδειγμά μας είναι πιο περίπλοκο4 με την "ννοια ότιπεριλαμNάνει περισσότερες παραμ"τρους$

\ια παράδειγμα4 αν θ"λαμε το υπόδειγμά μας να είναι%

2Y X X α β γ = + × + × 4

τότε θα μπορο!σαμε να επιλ"Mουμε τις παραμ"τρους ώστε ναελαχιστοποιο!ν την αντικειμενική συνάρτηση%

( ) ( )!

22

1

6 6i i i

i

S Y X X α β γ α β γ =

= − − × − ×∑ 4

αλλά είναι προαν"ς ότι δεν μπορο!με να κατασκευάσουμε ή να

κατανοήσουμε "να διάγραμμα στον χώρο των τεσσάρων διαστάσεων$

Είναι4 όμως4 εMίσου αυτονόητο ότι δεν χρειαKόμαστε υποχρεωτικά"να διάγραμμα για να λ!σουμε το πρόNλημά μας4 δηλαδή ναυπολογίσουμε τα α4 N και γ$ Lπλά4 χρειαKόμαστε να M"ρουμε τιςαριθμητικ"ς τιμ"ς των α4 N και γ που δίνουν την ελάχιστη τιμή στησυνάρτηση S $

# υπολογιστής είναι σε θ"ση να χρησιμοποιηθεί ε!κολα4 για να μαςδώσει τ"τοιες αριθμητικ"ς τιμ"ς$ Lπλά4 συγκρίνει τις τιμ"ς του S γιαδιάορες τιμ"ς των παραμ"τρων Dα4 N και γF και επιλ"γει εκείνες τις

τιμ"ς που ελαχιστοποιο!ν το S $ ]υσικά4 ο υπολογιστής δεν μπορεί ναδοκιμάσει άπειρες τιμ"ς των παραμ"τρων και να διαλ"Mει εκείνες πουείναι οι καλ!τερες δυνατ"ς$ Qα πρ"πει%

5$ Είτε να περιορίσει τον υπολογισμό του S σε 5^ τιμ"ς D"στωF γιακαθ"να από τα α4 N και γ Dπράγμα που σημαίνει ότι πρ"πει ναυπολογίσει το S για 5$^^^ διαορετικο!ς συνδυασμο!ςWF4 είτε

B$ να Mεκινήσει από κάποια _λογική` εκτίμηση των παραμ"τρωνκαι να την αναθεωρήσει σ!μωνα με κάποιον αλγόριθμο4 για νατάσει γρήγορα στην _τελική` επιλογή των παραμ"τρων$

Xο DBF αποτελεί εMειδικευμ"νο αντικείμενο της λεγόμενης Lριθμητικής Lνάλυσης$ Στην Lριθμητική Lνάλυση4 ο σκοπός είναι ναπροσδιορίσουμε τρόπους με τους οποίους μπορο!με να υπολογίσουμεαριθμητικά την τιμή που ελαχιστοποιεί κάποια μη γραμμική

συνάρτηση4 όπως πχ η ( ) ( ) ( ) 22

12

1 2 x f x x e= − + − $

13#


20/73


21/73


P θεμελίωση μιας "ννοιας εγκυρότητας και αMιοπιστίας είναι4ουσιαστικά4 μεγάλο μ"ρος της δουλειάς που κάνουμε στη Qεωρητική#ικονομετρία%

Xι ακριNώς σημαίνει εγκυρότητα και αMιοπιστίαO

Ποιες αντικειμενικ"ς συναρτήσεις μας οδηγο!ν σε εγκυρότητα καιαMιοπιστία και κάτω από ποιες προdποθ"σειςO Xι κάνουμε όταν οι προdποθ"σεις αυτ"ς δεν ισχ!ουν και πως

M"ρουμε αν ισχ!ουν στην πράMη ή όχιO

Στην Εαρμοσμ"νη #ικονομετρία ασχολο!μαστε4 Nασικά4 με δυοπράγματα4%

eρησιμοποιο!με αυτά τα θεωρητικά αποτελ"σματα για ναυπολογίσουμε αριθμητικ"ς τιμ"ς των παραμ"τρων Dόπως τα α4 Nκαι γF που είναι4 στο μ"τρο του εικτο!4 "γκυρα και αMιόπιστα με

την "ννοια ότι προ"ρχονται από μια διαδικασία εκτίμησηςDδηλαδή4 από μια αντικειμενική συνάρτησηF που δίνει "γκυρα καιαMιόπιστα αποτελ"σματα κάτω από γνωστ"ς προdποθ"σεις καιεπίσης

ασχολο!μαστε με τον Nαθμό στον οποίο4 οι γνωστ"ς αυτ"ςπροdποθ"σεις ισχ!ουν στην εαρμογή μας$

Υπολογισμός της αντιπροσωπευτικής τιμής με τη μέθοδο LS

Σύμφωνα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, αν έχουμε τις

παρατηρήσεις 1 26 6...6 N X X X η αντιπροσωπευτική τιμή Α μπορεί να

ορισθεί σαν λύση του προλήματος!

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1

1 21;


22/73


Αυτή είναι μια απλή συν#ρτηση του Α" η γραφική της παρ#στασημπορεί να γίνει εύκολα δίνοντας τιμές στο Α και υπολογί&οντας τηντιμή του '"

8.6

8.8

9.0

9.2

9.4

9.6

9.8

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4

A

S

Στο παραπ#νω δι#γραμμα, δώσαμε () τιμές στο Α *απ$ ) ως +,υπολογίσαμε την τιμή του ' και λέπουμε $τι η ελ#χιστη τιμή του 'δίνεται απ$ την τιμή Α περίπου ίσο με ("

-αθηματικ#, η συνθήκη για ελαχιστοποίηση του ' είναι!

( ) ( ) ( )

( )

2 22 0 ! 2 0

2 ! 2 22 0 " " 0 1.

S A A A A

A A A A A

′ ′ = ⇒ − + + + = ⇒

− − + + + = ⇒ − = ⇒ =

Αν θέλαμε θα μπορούσαμε να ασχοληθούμε με την αντικειμενικήσυν#ρτηση!

1 13 3

! 0 2 ! 2Q A A A A A A = − + − + − − = − + + + "

. γραφική της παρ#σταση είναι η ακ$λουθη!

10


23/73


2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3.0

3.1

-3 -2 -1 0 1 2 3

A

Q

. αντιπροσωπευτική τιμή εδώ, θα είναι η δι#μεσος που φυσικ# είναι )"

11


24/73


>ΑΣ?3ΕΣ ΣΤΑΤ?ΣΤ?3ΕΣ ΕΝΝΟ?ΕΣ

Στο υπόδειγμα

y x uβ = × + 4

μπορ"σαμε να προσδιορίσουμε μια _καλή` εκτίμηση του N4 το 8β $

Lλλά αυτό δεν είναι αρκετό σε καμία επιστήμη$

Πάντα χρειαKόμαστε "να πε(ι5)(ιο σ@'%#ατος$

Lς πο!με ότι 8β RBB είναι η εκτίμησή μας για τη θερμοκρασίαO Πόσο

N"Nαιοι είμαστε για μια τ"τοια εκτίμησηO

Cχι αρκετά εόσον συνήθως η θερμοκρασία λ"με ότι θα είναι στοδιάστημα 5H f BH$

Xι σημαίνει αυτόO Σημαίνει ότι θα είναι%

gρα το 7 είναι το περιθώριο σάλματος$

5$ Ποιο είναι το περιθώριο σάλματος του 8β O

B$ Lπό πο! δημιουργείταιO

Περιθώριο σάλματος σημαίνει ότι "χουμε μια τυχαία μεταNλητή$ #ιτυχαίες μεταNλητ"ς υσικά "χουν κατανομ"ς4 μ"σους καιδιακυμάνσεις$

12

BB± 7$

*. Πε(ι5)(ια σ@'%#ατος


25/73


μ"ση τιμή R αντιπροσωπευτική τιμή R ( ) E X 4

cιακ!μανση R 2σ R ( ) ( )2

Var X E X µ = −

+. Πι5αντητες

Με τον όρο _τυχαία μεταNλητή 4̀ A4 εννοο!με μια εMειδίκευση των

δυνατών ενδεχομ"νων { }1 26 6...6 k x x x=' και των πιθανοτήτων τους

1 26 6...6 k p p p $ Με τον όρο _πιθανότητα` εννοο!με "να μ"τρο

εμπιστοσ!νης που "χουμε αναορικά με την εμάνιση των διαόρωνενδεχομ"νων$

Lς θεωρήσουμε την ακόλουθη περίπτωση$ ΣυμNολίKουμε με _Z5` τοενδεχόμενο η μετοχή να "χει μικρότερη τιμή α!ριο σε σχ"ση μεσήμερα4 με _^` το ενδεχόμενο να "χει την ίδια τιμή και με _5` το

ενδεχόμενο να "χει μεγαλ!τερη τιμή$ #πότε ο δειγματικός χώροςείναι { }16 06 1= −' $ #ι πιθανότητες των ενδεχομ"νων4 αίνονται στον

επόμενο πίνακα%

x B* - *hDCRx

F

^4H^ ^4B^ ^45^

iτσι4 η πιθανότητα να "χουμε μείωση της τιμής της μετοχής είναι^4H^ Dή H^E όπως λ"με πολλ"ς ορ"ςF$ P συνάρτηση πιθανότητας4μπορεί να παρασταθεί γραικά με ε!κολο τρόπο όπως στο επόμενο

διάγραμμα$

ΣDΝΑΡΤΗΣΗ Π?EΑΝΟΤΗΤΑΣ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3-1 0 1

ΠΑΡΑΔΕ?:ΜΑ $ iστω η διακριτή τυχαία μεταNλητή C με%

13


26/73


CRZ5 CR5 CR^^4H^ ^4B^ ^45^

P αναμενόμενη τιμή της C θα είναι

=C/ DZ5F D^4H^FjD5F D^4B^Fj D^F D^45^F R Z^47^$

>ασικές ι!ιτητες της ανα#εν#ενης τι#ής

όπου a είναι μια σταθερά$

>ασικές ι!ιτητες της !ιακ7#ανσης

Lν C και D είναι τυχαίες μεταNλητ"ς και a είναι μια σταθεράισχ!ουν οι ακόλουθες ιδιότητες της διακ!μανσης$

ΠΑΡΑΔΕ?:ΜΑ $ Lς θεωρήσουμε μια διακριτή τυχαία μεταNλητή Cπου είναι η Kήτηση που αντιμετωπίKει μια επιχείρηση$ P συνάρτησηπιθανότητας4 είναι%

x ^ 5 B G JhDCRx

F^4^7 ^457 ^4G7 ^4B7 ^4B^

1

0ar a =02

ar a a ar = ×C C0 0

ar a ar + =C C0 0

ar ar ar ± = +C D C D0 0 0 αν οι C και D ε%ναι ασσ/έτιστες

a a=/

a a= ×C C/ /

± = ±C D C D/ / / a b a b+ = × + ×C D C D/ / /


27/73


P αναμενόμενη τιμή και διακ!μανση4 υπολογίKονται ως εMής%

1

n

i i

i

p x µ =

= = =∑C/ ^D^4^7Fj5D^457FjBD^4G7FjGD^4B7FjJD^4B^F R B4J^4

2 2

1

n

i i

i

ar p xσ µ =

= = − =∑C02 2 2 2 20 2. 0.0! 1 26 061! 2 26 063! 3 26 06 2! 26 06 20 16 2.− + − + − + − + − =

Επομ"νως4 η τυπική απόκλιση θα είναι%

2 1611σ σ = = $

Lς υποθ"σουμε τώρα ότι η τιμή του προkόντος είναι B^^ και τοσταθερό κόστος είναι 57^$ lατά συν"πεια4 το συνολικό κόστος θαείναι 1!0200 +⋅= CD $ P αναμενόμενη τιμή του D θα είναι%

200 1! 200 1! 200 26 1!0 "30= × + = × + = × + =D C C/ / / $

P διακ!μανση του D 4 θα είναι%

2 2 200 1! 200 200 162 9."00ar ar ar = × + = × = × =D C C0 0 0 $

,. Η σ$ν!ιακ7#ανση

Σε πολλ"ς περιπτώσεις η ανάλυση ενός προNλήματος μας οδηγεί στονα θεωρήσουμε δυο τυχαίες μεταNλητ"ς4 C και F 4 από κοινο!$ Πχ οιαποδόσεις δυο μετοχών$ Πως περιγράουμε την αNεNαιότητα σε μιατ"τοια περίπτωσηO

Lς υποθ"σουμε ότι τα δυνατά ενδεχόμενα της X είναι 1 26 6...6 n x x x και

της Y είναι 1 26 6...6 k y y y $ ]υσικά οι πιθανότητες

( )i i P P X x= = 4 για κάθε 16...6i n= και

( ) Q P Y y= = 4 για κάθε 16...6 k = 4 D5F

αν και είναι χρήσιμες δεν εMαντλο!ν την περιγραή της αNεNαιότηταςπου θ"λουμε να κάνουμε$ Πχ μπορεί να ενδιαερόμαστε για τηλεγόμενη από κοινο! πιθανότητα

( ) ( )6 >i i i p P X x Y y P X x Y y= = = ≡ = = $

1!


28/73


iνας εναλλακτικός συμNολισμός είναι%

( ) ( ) ( )6 6 > f x y P X x Y y P X x Y y= = = ≡ = = 4 για { }16...6 n x x x∈ και

{ }16...6 k y y y∈ $

Με Nάση τις από κοινο! πιθανότητες μπορο!με να ορίσουμε τιςλεγόμενες οριακ"ς ή περιθωριακ"ς Dm,0n;+,(F πιθανότητες όπως στηνD5F%

1

k

i i P p

== ∑ και 1

n

iiQ p

== ∑ ή εναλλακτικά%

( ) ( )6 y

P x f x y= ∑ και ( ) ( )6 x

Q y f x y= ∑ $

# συμNολισμός x∑ δηλώνει το άθροισμα ως προς όλα τα ενδεχόμενα

της τυχαίας μεταNλητής X $

Είναι ανερό ότι ( ) ( )6 1 x x y

P x f x y= =∑ ∑∑ και επίσης

( ) ( )6 1 y y x

Q y f x y= =∑ ∑∑ $

\ια να γίνει κατανοητή η τελευταία ιδιότητα ας υποθ"σουμε ότι

"χουμε δυο τυχαίες μεταNλητ"ς X και Y με μ"σους X µ

4 Y µ

αντίστοιχακαι διακυμάνσεις 2 X σ και

2

Y σ $ iστω ! X Y = ± $

Είναι ανερό ότι ( ) ( ) ( ) ( ) X Y E ! E X Y E X E Y µ µ = ± = ± = ± $

\ια τη διακ!μανση του ! θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό4 δηλαδή

( ) ( )2

Var ! E ! E ! = − $ Qα "χουμε%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

X Y X Y Var ! E ! E ! E X Y E X Y µ µ µ µ = − = ± − ± = − ± − $

Lν εαρμόσουμε τη γνωστή ταυτότητα ( )2 2 2 2a b a b ab± = + ± στον όρο

της αγκ!λης4 "χουμε%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 X Y X Y Var ! E X Y X Y µ µ µ µ = − + − ± − − $

1"


29/73


Lν λάNουμε αναμενόμενες τιμ"ς σε κάθε όρο χωριστά4 προκ!πτει%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 X Y X Y Var ! E X E Y E X Y µ µ µ µ = − + − ± − − $

Είναι ανερό ότι ( )

2 2

X X E X µ σ − = και ( )

2 2

Y Y E Y µ σ − = $ Επομ"νως"χουμε%

( ) ( ) ( )2 2 2 X Y X Y Var ! E X Y σ σ µ µ = + ± − − $

# όρος ( ) ( ) ( )6 XY X Y E X Y "#$ X Y σ µ µ ≡ − − ≡ είναι γνωστός σαν

σ$ν!ιακ7#ανση Do*p,0;,+o3F των τυχαίων μεταNλητών X και Y $iχουμε λοιπόν την ακόλουθη θεμελιώδη "κραση%

( )

2 2

2 X Y XY Var ! σ σ σ = + ±

$

\ια να κατανοήσουμε τη !ση της συνδιακ!μανσης ας υποθ"σουμεότι οι τυχαίες μεταNλητ"ς συνδ"ονται γραμμικά μεταM! τους%

Y X % α β = + + 4 όπου % είναι μια τυχαία μεταNλητή Dμε μ"σο μηδ"ν και

διακ!μανση 2σ F που εισάγουμε ώστε η γραμμική εMάρτηση να μηνείναι ακριNής$ Είναι ανερό ότι%

( ) ( ) ( ) ( )Y X E Y E X % E X E % µ α β α β α βµ = = + + = + + = + $

Επομ"νως4 ( ) ( ) ( )Y X X Y X % X % µ α β α βµ β µ − = + + − + = − + $

Lν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο σκ"λη με X X µ − θα "χουμε%

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

Y X X X X X Y X X % X X % X µ µ β µ µ β µ µ − − = − + − = − + − $

qαμNάνοντας αναμενόμενες τιμ"ς4 προκ!πτει%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

Y X X X X X E Y X E X % X E % X µ µ β µ µ βσ µ − − = − + − = + − $

# τελευταίος όρος4 όπως θα δο!με παρακάτω4 "χει αναμενόμενη τιμή

μηδ"ν4 δηλαδή ( ) 0 X E % X µ − = $ Επομ"νως%

1#


30/73


( ) ( ) 2Y X XY X E Y X µ µ σ βσ − − ≡ = $

Εόσον το N προσδιορίKει την κλίση της ευθείας που συνδ"ει τα e και @ είναι ανερό ότι η συνδιακ!μανση είναι μια απλή συνάρτησή τουκαι μάλιστα

2

XY

X

σ β

σ = $

lατά συν"πεια και η συνδιακ!μανση δεν είναι παρά "να μ"τρο τηςγραμμικής εMάρτησης ή συσχ"τισης μεταM! των r και @$ Οι τ$&α6ες#ετα8%ητές 5α ε6ναι ασ$σ&έτιστες αν και #νο αν 8G- ήισο!7να#α αν HJKC"FLG-" !η%α!ή αν έ&ο$ν #η!ενικήσ$ν!ιακ7#ανση$

Lς δο!με στη συν"χεια γιατί ( ) 0 X E % X µ − = αν οι τ$&α6ες

#ετα8%ητές M και A ε6ναι ασ$σ&έτιστες$

Είναι ανερό ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X X X E % X E %X % E %X E % E %X µ µ µ − = − = − = $

Lν η από κοινο! κατανομή των τυχαίων μεταNλητών % και X είναι

( )6 f u x 4 τότε%

( ) ( ) ( ) 6 ? ? u x u x x u

E %X uxf u x uxf u x f x xf x uf u x

= = =

∑∑ ∑∑ ∑ ∑ $

\ια να "χουμε ( ) 0 E %X = θα πρ"πει να υποθ"σουμε ότι ? 0u

uf u x =∑ 4

για κάθε x $ Lλλά ( ) ? ?u

uf u x E % X x= =∑ $ Μια υπόθεση λοιπόν θαμπορο!σε να είναι ότι ( )? 0 E % X = $ Επίσης4 αν οι τυχαίες μεταNλητ"ς

% και X ήταν ανεMάρτητες θα είχαμε ( ) ( )? f u x f u= και κατά

συν"πεια% ( ) ? 0u u

uf u x uf u E % = = =∑ ∑ $

P υπόθεση ότι ( )? 0 E % X = είναι ανερό ότι αορά τη συνδιακ!μανση

των δυο τυχαίων μεταNλητών εόσον ( ) ( ) ( )6 X "#$ % X E % X E %X µ = − = $ Επομ"νως4 θα θ"λαμε οι δυο αυτ"ς τυχαίες μεταNλητ"ς να είναιασυσχ"τιστες$

1$


31/73


]υσικά αν είναι ανεMάρτητες τότε είναι ασυσχ"τιστες και δεν είναι

περίεργο που η υπόθεση της ανεMαρτησίας Dδηλαδή ( ) ( )? f u x f u= F

επίσης μας οδηγεί στο συμπ"ρασμα ότι ( ) 0 X E % X µ − = $

Η ιοσο%α τ'ς σν4ιακ5&ανσ'ς ε%ναι α(ή. Αν οι &ετα,'τές τε%νον να κινο5νται

στ'ν %4ια κατε5νσ'6 τ-τε το γιν-&ενο Y X µ µ −⋅− DC ()έ(ει να ε%ναι ετικ-6 εν

αν κινο5νται σε αντ%ετ' κατε5νσ' το γιν-&ενο ()έ(ει να ε%ναι α)ν'τικ-. Ας 4ο5&ε

γιατ% ακ)ι,ς ε%ναι έτσι &ε τ'ν ,οήεια το ε(-&ενο 4ιαγ)*&&ατος.

19

DD µ −

C

C µ −


32/73


Η α)/ή των α@-νων ε%ναι για α(-τ'τα οι &έσοι των &ετα,'τν6 ο(-τε στον

ο)ιA-ντιο *@ονα &ετ)*&ε X µ −C και στον κ*ετο &ετ)*&ε Y µ −D . Ε%ναι ()οανές -τι

οι &ετα,'τές έ/ον α)ν'τική γ)α&&ική σσ/έτισ' ' 4ιακεκο&&έν' εε%α (α)ιστ*νειτ'ν ()οσεγγιστική γ)α&&ική σ/έσ' των 4ο &ετα,'τν. Πως α &(ο)ο5σα&ε να

κατασκε*σο&ε ένα &έτ)ο (ο να α(εικον%Aει ατή τ'ν α)ν'τική σσ/έτισ'B Μια

ογική ()οσέγγισ' ε%ναι -τι -ταν 0>− X µ C 6 τ-τε ()έ(ει 0


33/73


X ↓Y →

1 y 2 y

1 x 11 f 12 f

2 x 21 f 22 f

#ι οριακ"ς πιθανότητες είναι οι εMής%

( )1 1 11 12 P P X x f f = = = + 4

( )2 2 21 22 P P X x f f = = = + 4 για την e και

( )1 1 11 21Q P Y y f f = = = + 4

( )2 2 12 22Q P Y y f f = = = + 4 για την @$

Εόσον 1 2 1 P P + = και 1 2 1Q Q+ = 4 είναι ανερό ότι 11 12 21 22 1 f f f f + + + = $

Με δεδομ"νο ότι 1 X x= τα ενδεχόμενα της Y είναι 1 y και 2 y με

_πιθανότητες` 11 f και 12 f $ bστόσο αν είναι γνωστό ότι 1 X x= 4 οι

πιθανότητες αυτ"ς δεν αθροίKουν στη μονάδα$ ΕMάλλου με δεδομ"νο

ότι 2 X x= τα ενδεχόμενα της Y είναι 1 y και 2 y με _πιθανότητες` 21 f

και 22 f $

Είναι ανερό λοιπόν ότι οι δεσμευμ"νες πιθανότητες της @ όταν

1 X x= δεν μπορεί να είναι 11 f και 12 f $ Παρόμοια οι δεσμευμ"νες

πιθανότητες της @ όταν 2 X x= δεν μπορεί να είναι 21 f και 22 f $ Lν ήταν

"τσι αυτό θα σήμαινε ότι 1 2 1 P P = = $

Cταν είναι γνωστό ότι 1 X x= 4 ο δειγματικός χώρος της Y "χει

περιορισθεί$ Qα μπορο!σαμε4 σε μια τ"τοια περίπτωση4 να ορίσουμετις δεσμευμ"νες πιθανότητες ως εMής%

( ) 111 111 12

? f

P Y y X x f f

= = =+

4 ( ) 122 111 12

? f

P Y y X x f f

= = =+

$

Xότε το άθροισμα των πιθανοτήτων θα ήταν μονάδα Dόπως πρ"πει γιατεχνικο!ς λόγουςF και δεν θα αποκλίναμε από τη λογική απαίτηση οι

δεσμευμ"νες και από κοινο! πιθανότητες να είναι _κατά Nάση` 11 f

και 12 f $

Παρόμοια4 αν είναι γνωστό ότι 2 X x= 4 μπορο!με να ορίσουμε τις

δεσμευμ"νες πιθανότητες ως εMής%

1!1


34/73


( ) 211 221 22

? f

P Y y X x f f

= = =+

4 ( )22

2 2

21 22

? f

P Y y X x f f

= = =+

$

Lπό τα παραπάνω4 πρ"πει να είναι σα"ς ότι θα "χουμε%

( ) ( )

( )

6?

f x y P Y y X x

P x= = = 4 για κάθε 6 x y $

Παρόμοια4 θα "χουμε%

( ) ( )

( )

6?

f x y P X x Y y

Q y= = = για κάθε 6 x y $

P δεσμευμ"νη κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για νV απαντήσει

"να σημαντικό ερώτημα% Πότε μπορο!με να πο!με ότι δυο τυχαίεςμεταNλητ"ς είναι _ανεMάρτητες`O # ορισμός της _ανεMαρτησίας` που"χουμε υπόψη δεν μπορεί να είναι άλλος από το γεγονός ότι οι#ετα8%ητές A και F ε6ναι ανε9'(τητες αν η γν)ση της A !ενα%%'Nει την αντ6%ηOή #ας για την D $

bστόσο4 η αντίληψη μας για την a δίνεται από την κατανομή ( )Q y $

Επίσης η αντίληψή μας για τη a με δεδομ"νη την e4 δίνεται από την

κατανομή ( )? f y X x= 4 για κάποιο συγκεκριμ"νο x $ Είναι ανερό

λοιπόν ότι%

Δ$ο τ$&α6ες #ετα8%ητές ε6ναι ανε9'(τητες αν PKQL G RKQSCGTL" για κ'5ε Q.

P σχ"ση αυτή συνεπάγεται ότι πρ"πει να "χουμε hDsF R 9Dst@R=F4 γιακάθε s$

Πραγματικά4 αν "χουμε ( ) ( )?Q y f y X x= = 4 επειδή

( ) ( )

( )

6?

f y x f y X x

P x= = 4 προκ!πτει%

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

6 ??

f x y f y X x P x Q y P x f x Y y P x

Q y Q y Q y

== = = = = $

1!2


35/73


Qα πρ"πει να σημειώσουμε ότι στην πρώτη ισότητα4 χρησιμοποιήσαμετον ορισμό της δεσμευμ"νης πιθανότητας

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

6? 6 ?

f x y f y X x f x y f y X x P x

P x= = ⇒ = = $ P σχ"ση

( ) ( )? f y X x Q y= =

στη δε!τερη ισότητα4 προ"ρχεται από τον ορισμό τηςανεMαρτησίας$

Επίσης4 η σχ"ση

( ) ( ) ( )

( )

??

f y X x P x f x Y y

Q y

== = 4

που δείMαμε κατά την πορεία4 είναι γνωστή σαν 5ε)(η#α το$

UVQWX$ Μας επιτρ"πει να προσδιορίσουμε την πιθανότητα ( )? f x Y y=

με Nάση την _αντίστροη` πιθανότητα ( )? f y X x= 4 γιV αυτό και είναιεναλλακτικά γνωστό σαν θεώρημα της αντίστροης πιθανότηταςD;+p30u3 v0*2,2;(;)=F$

Σαν εαρμογή4 ας υποθ"σουμε ότι BÊ του πληθυσμο! είναικαρκινοπαθείς DeF και JÊ του πληθυσμο! είναι καπνιστ"ς DaF$ Είναιγνωστό επίσης ότι η αναλογία DπιθανότηταF των καπνιστών ανάμεσαστους καρκινοπαθείς είναι 6Ê$ Xότε η πιθανότητα να είναι κάποιοςκαρκινοπαθής δεδομ"νου ότι καπνίKει είναι ^46^s^4B^w^4J^ R ^4J7$

ΕYΑΡΜΟ:Η. Δ?Α3DΜΑΝΣΗ ΣΤΑ AΡΗΜΑΤΟΟ?3ΟΝΟΜ?3Α

Παρόλο που είναι ε!κολο να θεωρήσει κανείς τη διακ!μανση μιαακόμα στατιστική "ννοια χωρίς πραγματικό περιεχόμενο4 τίποτε δενείναι πιο απομακρυσμ"νο από την πραγματικότηταW

Η !ιακ7#ανση έ&ει 8ασικ (%ο στα &(η#ατοοικονο#ικ'πο$ σ$ν!έεται #ε την α8ε8αιτητα ή επικιν!$ντηταKZ(6σκο[L των !ια@(ων πε(ιο$σιακ)ν στοι&ε6ων Kπ&#ετο&)νL κα5)ς επ6σης και στην αν'%$ση &α(το@$%ακ6ο$.

\ιατί είναι η διακ!μανση μ"τρο της αNεNαιότηταςO Lς υποθ"σουμε δυομετοχ"ς με κοινό μ"σο E1= µ και τυπικ"ς αποκλίσεις 2!.0= X σ και

1=Y

σ όπως στο επόμενο διάγραμμα$

1!3


36/73


0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

Y

Σαν εαρμογή ας υποθ"σουμε ότι "χουμε δυο μετοχ"ς των οποίων οιαποδόσεις είναι οι τυχαίες μεταNλητ"ς X και Y $ Lν σχηματίσουμε"να χαρτουλάκιο που επενδ!ει & στην πρώτη μετοχή και 1 &− στηδε!τερη Dμε 0 1&≤ ≤ F η απόδοση του χαρτουλακίου είναι η τυχαία

μεταNλητή ( )1 ' &X & Y = + − $

P μ"ση τιμή της απόδοσης του χαρτουλακίου είναι%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 E ' E &X & Y &E X & E Y = + − = + − $

Lν οι μ"σοι των αποδόσεων των μετοχών είναι ( ) X E X µ = και

( ) Y E Y µ = 4 τότε "χουμε%

( ) ( )1 X Y E ' & & µ µ = + − $

Xο επόμενο ενδια"ρον ερώτημα είναι ποια είναι η διακ!μανσηDρίσκοF του χαρτουλακίου$ Qα "χουμε%

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221 1 2 1 6Var ' Var &X & Y & Var X & Var Y & & "#$ X Y = + − = + − + − $

Lν ( ) 2 X Var X σ = 4 ( )2

Y Var Y σ = και ( )6 XY "#$ X Y σ = 4 τότε%

( ) ( ) ( )22 2 21 2 1 X Y XY Var ' & & & &σ σ σ = + − + − $

Lπό την "κραση αυτή είναι ανερό ότι όσο μεγαλ!τερη είναι ησυνδιακ!μανση των δυο μετοχών τόσο μεγαλ!τερη θα είναι ηδιακ!μανση της απόδοσης του χαρτουλακίου$ Επίσης4 θα ήτανεπιθυμητό οι αποδόσεις των μετοχών να "χουν αρνητική συσχ"τιση"τσι ώστε η απόδοση του χαρτουλακίου να "χει το μικρότερο δυνατόρίσκο$

1!


37/73


Lς υποθ"σουμε ότι 1 X σ = 4 1Y σ = και 06!& = $ Lν η συνδιακ!μανση είναι

1 XY σ = − τότε ( ) 0Var ' = 4 πράγμα που σημαίνει ότι το χαρτουλάκιο θα

"χει N"Nαιη απόδοση Dπου δίνεται από τη μ"ση τιμή τουFW

Xα σάλματα τα θεωρο!με τυχαίες μεταNλητ"ς$

t t t y x uβ = × + 4

iχουν σταθερό μ"σο ( ) 0t E u = και σταθερή διακ!μανση

( ) ( )2 2t t E u Var u σ = = $ P κατανομή του κάθε σάλματος θα μπορο!σε ναείναι όπως στο παραπάνω σχεδιάγραμμα$

Α$τές οι $πο5έσεις ε6ναι α(κετές για να π(οσ!ιο(6σο$#ε

ι!ιτητες της κατανο#ής !ειγ#ατο%ηO6ας το$ 8β .

\ια παράδειγμα4

( )8 E β β = και

( )2

2

1

8n

t t

Var x

σ β

=

=∑

$

Lυτ"ς οι ιδιότητες είναι ε!κολο να αποδειχθο!ν$

1!!

. Έ%εγ&ος στατιστικ)ν $πο5έσεων


38/73


Μας δίνουν την αναμενόμενη τιμή Dμ"σοF και τη διακ!μανση της

κατανομής δειγματοληψίας του 8β $

Η έννοια της κατανο#ής !ειγ#ατο%ηO6ας

Lς θεωρήσουμε "να τυχαίο δείγμα 16...6 nC C από πληθυσμό με μ"σο µ $

# δειγματικός μ"σος 11

n

iin−

== ∑C C είναι ασαλώς μια τυχαία

μεταNλητή εόσον εMαρτάται από τις τυχαίες μεταNλητ"ς iC $

P κατανομή δειγματοληψίας του C δεν είναι παρά η κατανομή αυτήςτης τυχαίας μεταNλητής$ \ια να γίνει κατανοητή η "ννοια αυτή ας

υποθ"σουμε οι "χουμε 3n = και οι δυνατ"ς τιμ"ς κάθε iC είναι ^ και 5

με πιθανότητες x και x αντίστοιχα$ Lς εMετάσουμε όλα τα δυνατάτυχαία δείγματα που θα μπορο!σαμε να "χουμε%

1C 2C 3C C

^ ^ ^ ^^ ^ 5 5wG^ 5 ^ 5wG^ 5 5 BwG5 ^ ^ 5wG5 ^ 5 BwG5 5 ^ BwG5 5 5 5

Lν συγκεντρώσουμε τις διάορες τιμ"ς του μ"σου θα "χουμε την εMήςκατάσταση%

X ^ 5wG BwG 5

Πιθανότητα 5wI GwI GwI 5wI

Επομ"νως4 η κατανομή δειγματοληψίας του C δεν είναι παρά μιαεικόνα των δυνατών τιμών του δειγματικο! μ"σου σε όλα τα δυνατάτυχαία δείγματα$

ΤΟ 3ΕΝΤΡ?3Ο ΟΡ?Α3Ο EΕΩΡΗΜΑ

Σε λογικά μεγάλα δείγματα Dπρακτικά 30n > F η κατανομή του 8β είναι

κανονική με μ"σο β και με διακ!μανση που είναι

2

2

1

n

t t x

σ

=∑$

1!"


39/73


3ανονική κατανο#ή #ε #G- και σ+G*\

.0

.1

.2

.3

.4

.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

X

n o r m a l d e n s t !

Π(οσέ9τε τι στο !ι'στη#α ]B*"^0" *"^0_ έ&ο$#ε το ^` τηςπι5αντητας.

Y$σικ'" α$τ απαιτε6 να ZκOο$#ε[ τις ο$(ές.

P κανονική κατανομή είναι μια κατανομή που αορά συνεχείς

τυχαίες μεταNλητ"ς4 δηλαδή τυχαίες μεταNλητ"ς των οποίων ταδυνατά ενδεχόμενα είναι σε ολόκληρο το σ!νολο ( )6= −∞ ∞1 $

Στο μ"τρο που μια συνεχής τυχαία μεταNλητή δεν "χει πεπερασμ"νοκαι μετρήσιμο αριθμό ενδεχομ"νων δεν είναι ε!κολο νV αντιστοιχήσεικανείς πιθανότητες στα ενδεχόμενά της$

P αNεNαιότητα στην περίπτωση αυτή4 περιγράεται με μια συνάρτηση

( ) f x που ικανοποιεί δυο Nασικ"ς ιδιότητες%

( ) 0 f x ≥ και ( ) 1 f x dx∞

−∞ =∫ $

P συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σαν συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας Dv0*2,2;(;)= -3+u;)= 91+o);*+F$

\ια παράδειγμα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικήςκατανομής με μ"σο 0 µ = και διακ!μανση 2 1σ = 4 είναι η εMής%

1!#


40/73


( )2 F 21

2

x f x eπ

−= $

P συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της γενικής κανονικήςκατανομής είναι%

( )( )

2

22

2

1

2

x

f x e

µ

σ

πσ

−−

= $

P κανονική κατανομή ανακ!πτει με υσιολογικό τρόπο όταν "χουμε

να εMετάσουμε την τυχαία μεταNλητή 11

n

in i== ∑B C 4 δηλαδή τον μ"σο

ενός αριθμο! τυχαίων μεταNλητών$

Lς υποθ"σουμε για απλότητα ότι ( )i E µ =C 4 ( )2

iVar σ =C και οι τυχαίες

μεταNλητ"ς είναι ασυσχ"τιστες$ cεν κάνουμε καμιά πρόσθετηυπόθεση αναορικά με τις κατανομ"ς τους4 οι οποίες μπορεί να είναιδιαορετικ"ς$

Μπορο!με να προσδιορίσουμε την κατανομή του B O \ια μικρ"ς τιμ"ςτου n η απάντηση είναι4 γενικά4 αρνητική$ bστόσο4 καθώς n → ∞ 4 ηκατανομή του B είναι κανονική με μ"σο µ και διακ!μανση 2 F nσ $ Lυτό είναι το lεντρικό #ριακό Qεώρημα$

P σημασία του lεντρικο! #ριακο! Qεωρήματος προκ!πτει από τογεγονός ότι%

αF δεν "χουμε εMειδικε!σει τις κατανομ"ς των iC 4

NF ισχ!ει ακόμη και αν οι μ"σοι και διακυμάνσεις των τυχαίωνμεταNλητών δια"ρουν4

γF ισχ!ει Dμε πρόσθετες αλλά πολ! γενικ"ς υποθ"σειςF ακόμη και ανοι τυχαίες μεταNλητ"ς συσχετίKονται και

δF ισχ!ει στην πράMη αν 30n ≥ 4 τουλάχιστον στην περίπτωση που"χουμε ασυσχ"τιστες τυχαίες μεταNλητ"ς με κοινό μ"σο καιδιακ!μανση$

Μια πολ! απλή συν"πεια του lεντρικο! #ριακο! Qεωρήματος είναι ηεMής$ Lν οι τυχαίες μεταNλητ"ς μας "χουν κοινό μ"σο µ και κοινή

1!$


41/73


διακ!μανση 2σ τότε καθώς n → ∞ η κατανομή του 11

n

in i== ∑B C θα είναι

κανονική με μ"ση τιμή µ και διακ!μανση 2 F nσ $

bστόσο4 καθώς n → ∞ είναι ανερό ότι η διακ!μανση της κανονικής

κατανομής συγκλίνει στο μηδ"ν4 εόσον2

G


42/73


0. A(ήση της κανονικής κατανο#ής στην στατιστική καιοικονο#ετ(6α

P κανονική κατανομή δειγματοληψίας του 8β

Lς υποθ"σουμε ότι πρ"πει να ελ"γMουμε την υπόθεση : 1 ) β = $ Lν ηυπόθεση είναι σωστή "χουμε την ακόλουθη εικόνα%

P κανονική κατανομή δειγματοληψίας του 8β

E

1"0


43/73


Στ' σνέ/εια6 α ()έ(ει τα στοι/ε%α να α(οασ%σον αν κ*να&ε σωστ* να ιοετήσο&ε

σαν σωστή τ'ν (-εσ' ή -/ι.

P κανονική κατανομή δειγματοληψίας του 8β 4 τα στοιχεία 8β είναι τοκκκινο κουτάκι

1Εδώ4 πρ"πει να απορρίψουμε την υπόθεση$

P κανονική κατανομή δειγματοληψίας του 8β 4 τα στοιχεία 8β είναι το

κκκινο κουτάκι

1

1"1


44/73


Ε!)" π(έπει να !ε&το7#ε την $π5εση.

Πως τάσαμε στην αποδοχή ή απόρριψηO

Lς υποθ"σουμε τώρα ότι μας ενδι"ερε μια υπόθεση της μορής: 0 ) β = $ Xι κάνουμεO

P κανονική κατανομή δειγματοληψίας του 8β 4 τα στοιχεία 8β είναι το

κκκινο κουτάκι

0

1"2

*. eρησιμοποιήσαμε το 3εντ(ικ Ο(ιακ Eε)(η#α για να"χουμε την lανονική lατανομή$

+. Q"σαμε κάποια όρια με Nάση το ^` !ι'στη#α τιμών τηςlανονικής lατανομής που αίνεται παραπάνω με τουςκίτρινους κ!κλους$

,. Xοποθετήσαμε την εκτ6#ηση στο ίδιο διάγραμμα$ Lν είναιμ"σα στα όρια4 τότε η εκτίμηση και τα στοιχεία είναι συμNατά$


45/73


P εκτίμησή μας4 είναι συμNατή με την υπόθεση : 0 ) β = OKΝΑ?L

1"3


46/73


Lς αντιστρ"ψουμε το ερώτημα για να ολοκληρώσουμε τη συKήτησήμας%

Έστω τι 8G-. Η κατανο#ή !ειγ#ατο%ηO6ας @α6νεταιπα(ακ'τω\

0

Ποιο ε6ναι το πε(ι5)(ιο σ@'%#ατοςa Ασ@α%)ς" ε6ναι 169"± .

Α$τ #ως $πο5έτει τι σG*. !εν #πο(ε6 α$τ να ε6ναιγενικ' σωστ.

Η !ιακ7#ανση το$ εκτι#ητή b< ε6ναι2

2

1

n

t t x

σ

=∑.

Η (6Nα της πα(απ'νω έκ@(ασης" %έγεται τ$πικ σ@'%#α\

( ) ( )2

2 21 1

8 8n n

t t t t

SE Var x x

σ σ β β

= =

= = =∑ ∑

.

Μπορεί να υπολογισθεί αν "χουμε τα στοιχεία t x και το σ $

>ασικ 5ε)(η#α.

1"

( ) ( )2I 6 I 06 1 X

X N ! N µ

µ σ σ

−⇔ = $


47/73


Lς πάρουμε τη ορά ⇐ $ Lν ( )I 061 ! N 4 τότε ( )2I 6 X ! N µ σ µ σ = + $

Στη δική μας περίπτωση ( )28 I 6 N SE β β 4 όπου ( )2

2

2

1

8n

t t

SE Var x

σ β

=

= =∑

$

iστω τώρα ότι δεχόμαστε 0β = $ Που θα κινηθο!ν οι εκτιμήσεις μας O

Lπλά στο διάστημα 8 169" SE β ± × $

# λόγος είναι ότι

( ) ( ) ( )08 8I 06 1 I 06 1 N N

SE SE

β β β β =

− ⇒⇒

το N με πιθανότητα 67E είναι στο διάστημα 8 169" SE β ± × $

1"!


48/73


/. Ε@α(#ογή των πα(απ'νω ι!ε)ν στην π(αγ#ατικήοικονο#ετ(6α

"e#endent $arable% Y&et'od% (east S)*aresSam#le% 1 70+ncl*ded obser,atons% 70

$arable oecent Std. /rror t-Statstc rob.

-0.002095 0.012340 -0.169788 0.8657X -0.123126 0.012309 -10.00290 0.0000

-s)*ared 0.595378

1""

Εκτι&ήσεις

JKΤ(ικ*

σ*&ατα

t Dστατιστικές (ο &(ο)ο5ν να

/)'σι&ο(οι'ο5ν α(εε%αςγια τον έεγ/ο -τι '

αντ%στοι/' (α)*&ετ)ος ε%ναι

&'4έν. Η σταε)* ε%ναι &'4έν

α* -/ι και ' κ%σ' σε !E.

pDτι&ές των t Dστατιστικν.

Αν &ια τι&ή p ε%ναι &ικ)ή&ικ)-τε)' το 060! '

(α)*&ετ)ος 4ιαέ)ει α(- το

&'4έν σε !E.

Σντεεστής

()οσ4ιο)ισ&ο5 L 2. Το

(-4ειγ&α ε@'γε% το!96!E τ'ς

4ιακ5&ανσ'ς τ'ς M.


49/73


ΕΜΠΕ?Ρ?3Α ΑΠΟΤΕcΕΣΜΑΤΑ ΑΜΟ?>Α?ΩΝ 3ΕYΑcΑ?ΩΝ

LμοιNαίοκεάλαιο

Εκτίμησηα

Εκτίμηση β

R 2

Alpha ^4^^BID54GIJF

^4GIBD5z4IzF

^4HHI

Hambros ^4^57IDG47JF

^4IBHD5z47IF

^4HHB

Midland ^45HDJ4zGF

^4H76D5I4^BF

^4I^^

Nationale Nederlanden

^4^^7GDB4BzF

^46JBDG74IBF

^46J^

Σε πα(έν5εση" !6νονται οι t Bστατιστικές των πα(α#έτ(ων"#ε τις οπο6ες #πο(ο7#ε να ε%έγ9ο$#ε κατε$5ε6αν αν #ια

πα('#ετ(ος ε6ναι στατιστικ' ση#αντική" !η%α!ή!ια@ο(ετική απ το #η!έν.

1"#


50/73


2. Ε@α(#ογή της Ασ$#πτωτικής Eεω(6ας στο :(α##ικ Dπ!ειγ#α

Στο γραμμικό υπόδειγμα4 t t t y x uβ = + 4 16...6t n= 4 είδαμε ότι ο εκτιμητής

ελαχίστων τετραγώνων 1 21

8

n

t t t

n

t t

x y

xβ =

=

=∑∑ "χει μια λογική Nάση$ Μπορο!με

άραγε να χρησιμοποιήσουμε το lεντρικό #ριακό Qεώρημα και τονyόμο των Μεγάλων Lριθμών για να Nρο!με ορισμ"νες ιδιότητ"ς τουσε μεγάλα δείγματαO

Είναι ανερό ότι

( ) 21 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

8n n n n n

t t t t t t t t t t t t t t t

n n n n

t t t t t t t t

x y x x u x x u x u

x x x x

β β β β = = = = =

= = = =

+ += = = = +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

$

Lπό τη σχ"ση αυτή4 είναι ανερό ότι

1

2

1

8n

t t t

n

t t

x u

xβ β =

=

− =∑∑

$

Lν τα t x είναι σταθερά Dδηλαδή δεν είναι τυχαίες μεταNλητ"ςF

αποδείMαμε ήδη ότι ( )8 E β β = και ( )2

2

1

8n

t t

Var x

σ β

=

=

∑

$

\ια νV αποδείMουμε "ναν yόμο των Μεγάλων Lριθμών4 αρκεί νV

αποδείMουμε ότι ( )2

2

1

8G


51/73


11

12

1

8

n

nt t t t n t

t t

x un S

xβ β −=

=

=

− = =∑

∑∑

4

όπου ( )2 2 2 1 2 2 21 2 1 2... ...t t t t

t n n

n x u x uS

x x x n x x x−

× × ×= =

+ + + + + + $

# όρος t S "χει μ"ση τιμή μηδ"ν και διακ!μανση2 2

2

t

n

x

Q

σ 4 όπου

1 2

1

n

n t t Q n x−

== ∑ $

Σε ότι αορά τους όρους του αθροίσματος 11

8 nt t

n S β β −=

− = ∑ θα "χουνκοινό μ"σο Dμηδ"νF αλλά διαορετικ"ς διακυμάνσεις Dεόσον

εMαρτώνται από τα t x F$

lάτω από τις προdποθ"σεις αυτ"ς4 όπως ανα"ραμε4 #πο(ο7#ε ναε@α(#σο$#ε το 3εντ(ικ Ο(ιακ Eε)(η#α$

lαθώς n → ∞ η κατανομή του 8β συγκλίνει προς την κανονική

κατανομή4 με μ"ση τιμή β $

Επίσης θα "χουμε%

( ) ( ) ( )

( )

221 2

1 1

2 2 2 22

2 2 21

8 8

F .

n n

t t t t

n t nt

n n n

Var E E n S n Var S

x nn nQ

Q n Q Q

β β β

σ σ σ

− −

= =

−

=

= − = = =

= =

∑ ∑∑

Lν μπορο!με να υποθ"σουμε ότι ( )1 21G


52/73


Lυτό σημαίνει ότι σε μεγάλα δείγματα μπορο!με να πο!με ότι το 8β

θα "χει την κανονική κατανομή με μ"ση τιμή β και διακ!μανση2V

n ή

τυπική απόκλισηV

n

$

1#0


53/73


Έστω -τι ένας N('σ&-ςO X ε%ναι 4ιαέσι&ος.

Π/ οι μελλο&τικές τιμές μιας μετοχής

(ο 4%νον γένεσ' στις τ/α%ες &ετα,'τές

(, +, , nX X XL à οι n &εοντικές α(ο4-σεις.

7)ισ&ένες ογικές α* -/ι (*ντοτε (οέσεις ε%ναι -τι

7 ('σ&-ς X έ/ει &ια (α)*&ετ)ο 6 (/ τον &έσο το &6 (ο 4εν εκ)*Aει (α)* τ'&έσ' κατανο&ή κ*ε &εοντικής α(-4οσ'ς.

P'α4ή Q &.

Fκο*6ς μας εί&αι &α ελέγ,ο'με τη& GH: θIH (μη/ε&ική μέση α*6/οση%.

Το σ2 α(οτεε% &ια *γνωστ' εν4ε/ο&ένως ενο/'τική (α)*&ετ)ο.

1#1

J. Kε&ικ- Fτοιχεία το' Ελέγχο' L*οθέσεω&

4. =ι μέσες α*ο/6σεις εί&αι ί/ιες* , * , * , * ,( + 2 nE E E E q3 3 3 3 3X X X XL

M. =ι /ιακ'μ-&σεις εί&αι οι ί/ιες

* , * , * , * ,+

( + 2 nVar Var Var Var s3 3 3 3 3X X X XL

K. G α*6/οση της κ-θε μέρας εί&αι ασ'σχέτιστη με το *αρελθ6&* , )t sCov X X 3 6 για t s4


54/73


Ας (οέσο&ε -τι 4%νεται ένας εκτι&'τής (5

n

t i

nq 33 3 6 XX .

Rα έ/ο&ε

* , * * ,

( ( ( (5

n n n n

t t t i i i i

E En

E E En n n n n

mm

q m3 3 3 3

7 87 8 99 :: 99 :: 99 9:: 9 ; < =: 9:3 3 3 3 3 3 39: 99: 9: 9: 99:; <

6 6 6 6X X XX

και

* , * * , +

+ +( ( ( (

+ + + +

>5

n n n n

t t t i i i i

Var Var n

Var Var Var n nn n n n

ss s

q 3 3 3 3

7 87 8 99 :: 99 :: 99 9:: 9 ; < =: 9:3 3 3 3 3 3 39: 99: 9: 9: 99:; <

6 6 6 6X X XX

Α(- το Κε&τρικ6 =ριακ6 Nε+ρημα γνω)%Aο&ε -τι κας n ' κατανο&ή το Xε%ναι &ια κα&ο&ική κατα&ομή.

Μ(ο)ο5&ε οι(-ν να γ)*+ο&ε:

1#2

Σε ογικ* &εγ*α 4ε%γ&ατα6

+

A ,Nn

sm

7 8:::; <

X

.

F'&έ*εια: >ια σημα&τική ι/ι6τητα

Sας n 6 έ/ο&ε * )Var ?X

και ε(ο&ένως * E? 3X X

.Σε ογικ* &εγ*α 4ε%γ&ατα 4εν έ/ει σ'&ασ%α αν γνω)%Aο&ε τ'ν (α)*&ετ)ο ή αν έ/ο&ε

έναν Nσνε(ήO TU=V


55/73


Zω)%ς οι(-ν να έ/ο&ε 4ει ακ-&' κανένα οικονο&ικ- 4ε4ο&ένο έ/ο&ε τ'ν ακ-ο'

εικ-να σ/ετικ* &ε τ'ν Nκατανο&ή 4ειγ&ατο'+%αςO το X :

μ

(,BCn

sD (,BC

n

sE

1#3

>ε /ε/ομέ&α τα σ7 η και με /ε/ομέ&ο 6τι θέλο'με &α ελέγ,ο'με στατιστικ- τη& τιμή

μIμH /ε& θα *ρέ*ει &α εί&αι καθ6λο' /5σκολο &α το κ-&ο'με.


56/73


[σικ* κ*(οια στιγ&ή α α(οκτήσο&ε ο(οιήσεις των

(, +, ,

nX X XL

(ο 4εν ε%ναι (α)* κ*(οιες τι&ές

( +, , , n X X X L .

Έστω σQ1 και =Q100 à (

3 3 ),(())n

s.

Ατές &ας ο4'γο5ν σε κ*(οια εκτ%&'σ'

* ,(5 3 3 3 3 ),++

n

t t

X

X n

q 36

L.

Fκο*6ς μας εί&αι &α ελέγ,ο'με α& μIH (μη/ε&ική μέση α*6/οση%.

1#

4&-λ'ση εφ6σο& έχο'με τα στοιχεία


57/73


4ς '*οθέσο'με 6τι η '*6θεση GH: μIH εί&αι σωστή.

O6τε θα έχο'με τη& ε,ής κατα&ομή /ειγματολη


58/73


Αν ' εκτ%&'σή &ας ήταν ),(+ X 3 D τ-τε:

Pε& μ*ορο5με *αρ- &α α*ο/εχθο5με τη& '*6θεση.

= λ6γος εί&αι 6τι σ'&-/ει με τη θεωρητική α&-λ'ση.

μIH

(,BC ),(D F (,BC ),(E FRH7EQ

1#"


59/73


θ(,BC nV D F (,BC nV E F

1##

5 Kε&ικ6τερα στη& =ικο&ομετρία θα '*-ρχει έ&ας εκτιμητής5

nq για το& ο*οίο

,έρο'με 6τι εί&αι σ'&ε*ής (το'λ-χιστο&% και έχει μια ορισμέ&η /ιακ5μα&σηnV 7 *ο' μ*ορεί &α '*ολογισθεί κ-τω α*6 ορισμέ&ες *ροS*οθέσεις.

5 F'&έ*εια σημαί&ει 6τι

5n

q q?με τη& έ&&οια 6τι η κατα&ομή το'

5n

q

καταρρέει τελικ- γ5ρω α*6 τη& τιμή θ7 σε μεγ-λα /είγματα.

5 Fε μεγ-λα /είγματα η κατα&ομή το'5

nq θα εί&αι γε&ικ- μια κα&ο&ική

κατα&ομή.

5 Ε*ομέ&ως θα έχο'με τη& ακ6λο'θη ασ'μ*τωτική) κατα&ομή το':


60/73


1#$

à Κατ- σ'&έ*εια ο έλεγχος της '*6θεσης GH: θIθH7 εί&αι α*λ6ς /ε/ομέ&ο' 6τι τα

/ε/ομέ&α '*-ρχο'& και μια εκτίμηση 5q έχει '*ολογισθεί.

à Oο 6λο θέμα α&-γεται στο *οια θέση έχει η εκτίμηση 5q *ο' κ-&αμε σε σχέση με

τα *αρα*-&ω 6ρια της κατα&ομής το' εκτιμητή.


61/73


;αρατήρηση:

Pε& εί&αι /'&ατ6& &α *ο5με το ί/ιο για 6λο'ς το'ς οικο&ομετρικο5ς εκτιμητές.

Ένας γνωστ-ς εκτι&'τής τ'ς 4ε5τε)'ς κατ'γο)%ας ε%ναι:

* +

+ ( +(5 3

n

t t

n n

X X n

n ns 3

DD

3 =6

S6 (ο 4ιαέ)ει α(- τον +nS .

\έ)ο&ε (/ -τι

1#9

T'σικ- *ολλές φορές το σQ εί&αι -γ&ωστο.

= εκτιμητής

* +

+ (

(

n

t t

n

X X

n3

D

3D

6S

εί&αι αμερ6λη*τος και σ'&ε*ής.

Pηλα/ή σε μεγ-λα /είγματα7 6*ως εί*αμε7 /ε& έχει σημασία α& γ&ωρίUο'με ή /ε&

γ&ωρίUο'με τη& *αρ-μετρο σQ.

7)ισ&ένοι ε%ναι αμερ6λη*τοι και ' 4ιακ5&ανσή τος σγκ%νει στο &'4έν:

* ,5nE b b3 και * ,5 )

n

nVar b?@?

6 ο(-τε ε%ναι σ'&ε*είς α(εε%ας.

7)ισ&ένοι *οι ε%ναι μερολη*τικοί6 4'α4ή:

* ,5nE b b4 6 α* (α)-α ατ* ε%ναι σ'&ε*είς.


62/73


* + + +(

5nn

En

s s sD

3 4 .

Ε%ναι ωστ-σο σνε(ής 4ε4ο&ένο -τι

+ +(

nn

n s

D= ?S αν + +n s?S .

VWBXYB Z[ \D]Z^\_BXB ^_B^B

Test Statistic Assumptions

Testing the mean,

00 : µ µ = ) N S

X *

F

0 µ −

=]^X _`W` `aX


63/73


• 11.0= p ;X`=V jUg T`= aXqXTW `W 1!E hgW =UW `W 10E Ua ! E.

W ba9# a``8!a0 t! !$13t 0`!t0e9#9 te9t9 #$ `8at#e

• rXWXa;


64/73


1$2


65/73


0

4

8

12

16

-20 -10 0 10 20 30

Seres% X

Sam#le 1 83

bser,atons 83

&ean 1.702651

&edan 0.690000

&am*m 33.23000

&nm*m -20.01000

Std. "e,. 8.676493

Skeness 0.760286

*rtoss 5.123758

ar)*e-era 23.59443

robablt! 0.000008

0

2

4

6

8

10

12

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Seres% Y

Sam#le 1 83

bser,atons 83

&ean 0.754578

&edan 0.460000

&am*m 11.25000

&nm*m -7.440000

Std. "e,. 3.864312

Skeness 0.459623

*rtoss 3.291511

ar)*e-era 3.216218

robablt! 0.200266

1$3


66/73


4;h=g ΕhΕKi=g =Og Εi=L>Ε >GPΕΝgΚΕF 4;=P=FΕgF

!#ot'ess estn: or X"ate% 11;22;02 me% 13%35Sam#le% 1 83

+ncl*ded obser,atons% 83est o !#ot'ess% &ean < 0.000000

Sam#le &ean < 1.702651Sam#le Std. "e,. < 8.676493

&et'od $al*e robablt!t-statstc 1.787806 0.0775

!#ot'ess estn: or Y"ate% 11;22;02 me% 13%36

Sam#le% 1 83+ncl*ded obser,atons% 83

est o !#ot'ess% &ean < 0.000000

Sam#le &ean < 0.754578Sam#le Std. "e,. < 3.864312

&et'od $al*e robablt!t-statstc 1.778981 0.0789

1$


67/73


ΕhΕKi=F =Og =g >ΕFΕF 4;=P=FΕgF ΕgΝ4g gPgΕF

est or /)*alt! o &eans eteen Seres"ate% 11;22;02 me% 13%38Sam#le% 1 83

+ncl*ded obser,atons% 83

&et'od d $al*e robablt!

t-test 164 0.909374 0.364487 Ano,a =-statstc >1? 164@ 0.826961 0.364487

Anal!ss o $arance

So*rce o $araton d S*m o

S).

&ean S).

eteen 1 37.30190 37.30190t'n 164 7397.583 45.10722

otal 165 7434.885 45.05991

ate:or! Statstcs

Std. /rr.

$arable o*nt &ean Std. "e,. o &eanX 83 1.702651 8.676493 0.952369Y 83 0.754578 3.864312 0.424163

All 166 1.228614 6.712668 0.521004

1$!


68/73


ΕhΕKi=g =Og =g Pg4ΚL>4ΝFΕgF ΕgΝ4g gPgΕF

est or /)*alt! o $arances beteen Seres"ate% 11;22;02 me% 13%39Sam#le% 1 83

+ncl*ded obser,atons% 83

&et'od d $al*e robablt!

=-test >82? 82@ 5.041318 3.53/-12artlett 1 48.35432 3.56/-12(e,ene >1? 164@ 21.21189 8.21/-06ron-=ors!t'e >1? 164@ 19.15998 2.13/-05

ate:or! Statstcs

&ean Abs.

&ean Abs. &ean*ke!-

$arable o*nt Std. "e,. &ean ". &edan".

Se:elank

X 83 8.676493 6.264271 6.172410 69.86747Y 83 3.864312 3.015918 2.996747 97.13253

All 166 6.712668 4.640094 4.584578 83.50000

artlett e:'ted standard de,aton% 6.716191

1$"


69/73


;f=MhG>4O4 OjΝ ΕhΕKijΝ

E. gκα&ο*οιείται η '*6θεση της κα&ο&ικής κατα&ομήςk

Α(- τον έεγ/ο z`aogXD{Xa` α%νεται -τι 4εν ικανο(οιε%ται για το Z. |ια το M 4εν έ/ο&ε

τέτοιο ()-,'&α.

Q. gκα&ο*οιείται η '*6θεση 6τι έχο'με α&ε,-ρτητα /είγματαk

-10

-5

0

5

10

15

-40 -20 0 20 40

X

Y

Α(- το 4ι*γ)α&&α α%νεται -τι ' (-εσ' τ'ς ανε@α)τ'σ%ας 4εν ε%ναι σωστή (*)/ον

και έεγ/οι (ο &(ο)ο5ν να γ%νον ε4 α* 4εν α &ας α(ασ/οήσον αο5 το4ι*γ)α&&α ε%ναι τεε%ως σαές.

Τα ()ο,ή&ατα (α)α&ένον ακ-&' και αν εω)ήσο&ε τις σει)ές σε 4ιαο)ές α(- τον|ενικ- Pε%κτ' ο(-τε α ε@ετ*Aα&ε (ε),*οσες α(ο4-σεις.

Τα α(οτεέσ&ατα ατ* &ας 4ε%/νον -τι &ε ()αγ&ατικ* στοι/ε%α ε%ναι σ/ν* 45σκοο να

ικανο(οιήσο&ε τις αστ')ές (οέσεις των στατιστικν εέγ/ων και έτσι /)ειαA-&αστεε)γαε%α (ο να &ας ε(ιτ)έ(ον να κ*νο&ε εέγ/ος -ταν οι (οέσεις (α)α,ι*Aονται.

1$#


70/73


ΕT4f>=KG. FLΝ4hh4K>4OgΚG gF=Og>g4 OGF Pf4i>GF

Σαν γενική εα)&ογή των στατιστικν εέγ/ων &ε στοι/ε%α τ'ς Ε'νικής οικονο&%ας ας

εω)ήσο&ε '&ε)ήσια στοι/ε%α τ'ς σνααγ&ατικής ισοτι&%ας τ'ς 4)α/&ής σε σ/έσ' &ετο 4ο*)ιο ΗΠΑ για τ'ν (ε)%ο4ο 1F1F199# έως 31F12F2000. Τα στοι/ε%α ατ* ε%ναι 1.000

(α)ατ')ήσεις. Μια 4ιαγ)α&&ατική (α)οσ%ασ' των στοι/ε%ων α%νεται στα �

lectures in applied econometrics 17

Documents