lectures in applied econometrics 06
TRANSCRIPT
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 1/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Κ εφάλαιο 6.Περισσότερα
ΟικονομετρικάΠροβλήματα
1. Σφάλματα στις ερμηνευτικές μεταβλητές
Συνήθως, είναι όταν οι ερμηνευτικές μεταβλητές μπορούν ναμετρηθούν μόνο με σφάλματα όπως ακριβ!ς, άλλωστε, και ηε"αρτημένη μεταβλητή#. $"άλλου πολλές οικονομικές μεταβλητέςσυ%κεντρ!νονται και κατα%ράφονται από τις ί&ιες υπηρεσίες π'την $Σ($# και έτσι είναι πιθανό να υπόκεινται στα ί&ια σφάλματαμέτρησης.
)ο υπό&ει%μα που θα μπορούσαμε να έ'ουμε, είναι*
*
t t t β = × +y x u ,
*
t t t = +x x e ,
όπου *
t x είναι η ά%νωστη, αληθινή τιμή της μεταβλητής και t
x είναι
η τιμή την οποία έ'ουμε στην πρα%ματικότητα και παρατηρούμε.
Σαν παρά&ει%μα, t y είναι η επέν&υση μιας επι'είρησης, *
t x είναι η
πρα%ματική από&οση την οποία έλαβε υπό+η της η επι'είρηση κατάτο σ'ε&ιασμό της επέν&υσης και t
x είναι η λο%ιστική της από&οση
όπως προκύπτει από τα στοι'εία του ισολο%ισμού. Στη &ιάθεσήμας, έ'ουμε μόνο τη λο%ιστική από&οση. α υποθέσουμε ότι ηπρα%ματική και λο%ιστική από&οση &ιαφέρουν μόνο ε"αιτίαςτυ'αίων παρα%όντων-.
μέθο&ος /0 &εν μπορεί να ο&η%ήσει, σε καμία περίπτωση σεαμερόληπτες ή συνεπείς εκτιμητές. 1πορούμε να &εί"ουμεσυμβολικά το λό%ο, ως ε"ής*
1
Αυτό υποθέτει ότι ο manager είναι σε θέση να έχει τη σωστή προσδοκία, κατά μέσον όρο, για τηναπόδοση της επένδυσης που πραγματικά θα επιτευχθεί. Τέτοιες υποθέσεις έγονται, συχνά,
!ορθοογικές προσδοκίες".
1#1
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 2/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Πιο συ%κεκριμένα, θα έ'ουμε*
( )*
t t t t t t t t β β β = + = − + =y x u x e u x + v ,
όπου t t t β = −v u e . 2ς υποθέσουμε ότι*
( ) ( ) $t t
= =u eE E ,
( ) ( ) ( )* * $t t t t t t
= = =u e x u x eE E E
και ( ) %
t ar σ =
eeV .
Στην περίπτωση αυτή θα έ'ουμε*
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
*
* * %
% %
& '
$.
t t t t t t
t t t t t t t
t
β
β β
β βσ
= + − =
− + − =
− = − ≠e
x v x e u e
u x e x e u e
e
E E
E E E E
E
Στην περίπτωση, λοιπόν, που οι ερμηνευτικές μεταβλητέςμετρούνται με σφάλματα, μια βασική υπόθεση της μεθό&ου /0παραβιά3εται και η εφαρμο%ή της ο&η%εί σε ασυνεπείς εκτιμητές.
Σε τέτοιες περιπτ!σεις μπορεί να είναι 'ρήσιμη η μέθοδος τωνβοηθητικν μεταβλητν instrumental variables, 45#. ια νακατανοήσουμε τη μέθο&ο αυτή, ας υποθέσουμε το κλασσικό
%ραμμικό υπό&ει%μα* t t t β = +y x u , %ια κάθε 1, ,t n= L .
$ίναι σαφές ότι αν πολλαπλασιάσουμε και τα &υο μέλη με t x , θαέ'ουμε %
t t t t vβ = +x y x u . 2ν είμαστε σε θέση να υποθέσουμε ότι
( ) $t t =x uE , ο εκτιμητής /0, 1
%
1
(
n
t t
t
n
t
t
=
=
=∑
∑
x y
β
x
θα είναι αμερόληπτος. 2υτή
είναι βέβαια μια εναλλακτική παρουσίαση της μεθό&ου /0. $άν,
όμως, τα t x και t u συσ'ετί3ονται, τότε &εν μπορούμε να
εφαρμόσουμε αυτή την τε'νική.
1#%
( )*
*
t t t
t t t t t t t t
t t t t
β β β β
= × + ⇒ = × − + ⇒ = × + − ×= + v
y x uy x e u y x u e
x x e 142 43
)πομένως το t e επιδρά στο t
v και στο t x οπότε τα ( ),
t t x v θα πρέπει να
συσχετίονται.
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 3/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
2ν ωστόσο "εκινήσουμε με τη σ'έση t t t β = +y x u και θεωρήσουμε
μια μεταβλητή t z με την οποία πολλαπλασιά3ουμε και τα &υο μέλη
%ια να έ'ουμε*
t t t t t t β = +z y z x z u ,
τότε, αθροί3οντας και &ιαιρ!ντας με n , προκύπτει*
1 1 1
1 1 1
n n n
t t t t t t
t t t
n n nβ − − −
= = =
= +∑ ∑ ∑z y z X z u .
2πό τη σ'έση αυτή, ο εκτιμητής*
1
1
( +
n
t t
t
IV n
t t
t
=
=
∑
∑
z y
β
z x ,
θα ήταν συνεπής, αν κανείς μπορούσε να υποθέσει &υο πρά%ματα*
-.1
1
- $n
t t
t
p n−
=
÷
≠∑z x ,
7.1
1
- + $n
t t
t
p n−
=
÷
∑z u .
-# μας λέει ουσιαστικά ότι τα t z και t x δεν πρέπει να είναι
ασυσ'έτιστα, εν! η 7# μας λέει ότι τα t z και t u !ρέ!ει να είναι
ασυσ'έτιστα.
8ι παραπάνω υποθέσεις, είναι &ιατυπωμένες σε όρους plim αλλά&εν πρέπει να μας προβληματίσουν. νωρί3ουμε τον 9όμο των1ε%άλων 2ριθμ!ν 912# ο οποίος λέει ότι αν έ'ουμε τυ'αίο
&εί%μα 1 %, , , nw w wL από κάποια κατανομή με πεπερασμένο μέσο μ,
τότε1
1
n
t
t
n−
=
= ∑w w , &ηλα&ή ο &ει%ματικός μέσος, είναι συνεπής
εκτιμητής του μ, &ηλα&ή έ'ουμε ( )1
1
-n
t t
t
p n µ −
=
= = ÷
∑w wE . :άτω από
ορισμένες υποθέσεις, είναι λο%ικό να έ'ουμε ανάλο%α, από τον912 ότι*
( )1
1
- $n
t t t t
t
p n−
=
= ≠ ÷
∑z x z xE και ( )1
1
- $n
t t t t
t
p n−
=
= = ÷
∑ z u z uE .7
% /ι συγκεκριμένες αναμενόμενες τιμές δεν είναι παρά συνδιακυμάνσεις.
1#0
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 4/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Σε μια τέτοια περίπτωση, λοιπόν, η t z λέ%εται βοηθητική
μεταβλητή. Στην ουσία, το πρόβλημα είναι ότι λό%ω της
συσ'έτισης μετα"ύ t x και t u , &εν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη
μέθο&ο /0.
2ν, ωστόσο, υπάρ'ει μια μεταβλητή που δεν συσ'ετί3εται με το t u
αλλά έ"ει κάποια σ'έση με το t x , τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε
τη μέθο&ο 45 και να έ'ουμε συνεπείς εκτιμητές.
#έτοιες μεταβλητές$ δεν ε%ναι &ενικά !ροφανές α!ό !ο'!ροέρ"ονται αλλά ό!ως θα δο'με !αρακάτω$ σε ορισμένεςσημαντικές !ερι!τσεις ε%ναι δυνατόν να τις!ροσδιορ%σουμε.
Στη συνέ'εια θα &ιερευνήσουμε τη συμπεριφορά των εκτιμητ!ν /0και 45 με τη 'ρήση προσομοίωσης. Σαν παρά&ει%μα, ας υποθέσουμε
$$n = , $,1u
σ = , $,e
σ = και * 2t
t n=x .
Σαν βοηθητική μεταβλητή, έ'ουμε την *
t t t = +z x w , ( )%3 $,
t wiidN σ w ,
&ηλα&ή σαν βοηθητική μεταβλητή έ'ουμε μια άλλη προσέ%%ιση της*
t x . α υποθέσουμε ότι το wσ μπορεί να λάβει τις τιμές ;,<, -, 7
και 7,=. θα 'ρησιμοποιήσουμε -;.;;; επαναλαμβανόμενα&εί%ματα. Στα επόμενα &ια%ράμματα, με συνε'ή %ραμμή φαίνεται ηκατανομή &ει%ματολη+ίας του εκτιμητή /0 και με &ιακεκομμένη
%ραμμή η κατανομή &ει%ματολη+ίας του εκτιμητή 45. 8ι σ'ετικοίυπολο%ισμοί έ%ιναν με το πακέτο WinGauss.
Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 89$:.
1#4
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 5/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 81.
1#
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 6/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 8;.
Κ(#()Ο*+ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) 34 Κ( 5 -Κ#*+#2) *- σ 7 8;$<.
$ίναι φανερό ότι όσο 'ειρότερη είναι η t z σαν προσέ%%ιση της *
t x ,
&ηλα&ή όσο αυ"άνεται η τιμή του σ w , ο εκτιμητής 45 παραμένει μεν
αμερόληπτος αλλά η κατανομή του %ίνεται έντονα ασυμμετρική
προς τα &ε"ιά. 2υτό το πρόβλημα είναι %νωστό στην οικονομετρική
1#5
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 7/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
βιβλιο%ραφία με τον όρο >ασθενείς βοηθητικές μεταβλητές? weakinstruments#.
8 εκτιμητής /0 είναι φυσικά πάντα μεροληπτικός.
1ια περίπτωση στην οποία είναι προφανές ποιες είναι οιβοηθητικές μεταβλητές, είναι η επόμενη.
;. Συστήματα ε=ισσεων>*ια εφαρμο&ή της μεθόδου των βοηθητικν μεταβλητν
2ς θεωρήσουμε το βασικό :ε@νσιανό υπό&ει%μα*
t t t β = × +C Y u ,
t t t = +Y C G ,A
%ια κάθε 1, ,t n= L , $ 1β ≤ < .
ανη%μένη μορφή του υπο&εί%ματος είναι*
+1
t t t
β
β
× +−
G uC , +
1
t t t
β
+−
G uY .
$ίναι προφανές ότι ( ), $t t Cov ≠Y u αφού t t →u Y #B και επομένως η
εκτίμηση της συνάρτησης κατανάλωσης με τη μέθο&ο /0, &ηλα&ή
1
%
1
(
n
t t
t
n
t
t
=
=
= ∑∑
C Yβ
Y
, θα ο&η%ήσει σε ασυνε!ε%ς εκτιμητές.
2ν το t G είναι μη στο'αστικό, ή τουλά'ιστον ( ), $t t Cov =G u =, τότε
το t G συσ'ετί3εται με το t Y αφού t t →G Y # αλλά ό"ι με το t u και
επομένως, μπορεί να 'ρησιμοποιηθεί σαν βοηθητική μεταβλητήστην εφαρμο%ή της μεθό&ου 45.
1πορεί να απο&ει'θεί ότι (- p β >β , πρά%μα που σημαίνει ότι C /0
εκτιμητής υπερεκτιμά τη πρα%ματική οριακή ροπή %ια κατανάλωσησε με%άλα &εί%ματα, στη ρεαλιστική περίπτωση που έ'ουμε 1β < .
0 6 ταυτότητα δεν περιέχει στοχαστικό όρο και άγνωστες παραμέτρους γιατί αυτός είναι ακρι78ς ο
ορισμός του Α)9.4 Το 7έος έχει, εδ8, την έννοια ότι η μια μετα7ητή επιδρά στην άη και όχι την έννοια της
στοχαστικής σ:γκισης. ;ια τέτοια υπόθεση, είναι ογική. Τα σ<άματα στη συνάρτηση κατανάωσης, u, είναι η !μη
προγραμματισμένη κατανάωση" των ιδιωτ8ν και επομένως δεν μπορο:ν να συσχετίονται με το G,
εκτός αν αυτό περιέχει συνιστ8σες που α<ορο:ν επιδοτήσεις προς τα νοικοκυριά. =υσικά, το Gπεριέχει και συνιστ8σες όπως η ιδιωτική επένδυση και οι καθαρές ε>αγωγές, που είναι ογικό να είναι
ασυσχέτιστες με το u.
1##
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 8/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Dστόσο η εφαρμο%ή της μεθό&ου 45 ε%ναι &υνατή σε τέτοιαυπο&εί%ματα και με%άλο μέρος της οικονομετρίας έ'ει ασ'οληθείμε την εύρεση καλύτερων εκτιμητ!ν, όπως είναι οι εκτιμητές των&υο και τρι!ν στα&ίων ελά'ιστων τετρα%!νων two-three stageleast squares, 70/0 και A0/0# ο εκτιμητής μέ%ιστης πιθανοφάνειαςμε πλήρη πληροφόρηση full information maximum likelihood,E4F/# και ο εκτιμητής μέ%ιστης πιθανοφάνειας με περιορισμένηπληροφόρηση limited information maximum likelihood, /4F/#.
Στη συνέ'εια θα &ιερευνήσουμε, με προσομοίωση, τη συμπεριφοράτων εκτιμητ!ν /0 και 45 70/0# στο υπό&ει%μα της κατανάλωσης,
με $,?β = , $,σ =u και 1$,1 $,?t t t −= + × +G G w , %ια κάθε %, ,t n= L , 1 1G = ,
( )%3 $, $,1t iid N w και μέ%εθος &εί%ματος 4$n = .6 Gρησιμοποιήθηκαν
7;.;;; επαναλαμβανόμενα &εί%ματα και οι κατανομές&ει%ματολη+ίας φαίνονται στο επόμενο &ιά%ραμμα.
Κ(#()Ο*-Σ ,-/*(#Ο0+(Σ #2) -Κ#*+#2) 34 Κ(5 ?;434@ Σ#Ο ΣAΣ#+*( #+Σ ΣA)(B#+Σ+Σ Κ(#()(02Σ+Σ
5 6 ε>ειδίκευση σημαίνει ότι οι δημόσιες δαπάνες ακοουθο:ν μια !ομαή πορεία" διαχρονικά,
δηαδή ένα αυτοπαίνδρομο σχήμα πρ8του 7αθμο: με σημαντική αυτοσυσχέτιση. 6 αρχική τιμή 1απά καθορίει τις μονάδες μέτρησης. /ι δημόσιες δαπάνες στη σταθερή κατάσταση & steady state'
είναι επίσης 1 και έτσι έχουμε ένα αυτοπαίνδρομο σχήμα που κινείται στη σταθερή κατάσταση.
1#@
+ μεροληC%α του εκτιμητή 34$ μας δε%"νει ότι δεν μ!ορε%να εφαρμοσθε% σε συστήματα ε=ισσεων ?simultaneous
equation models@ ό!ως το !αρα!άνω.
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 9/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Hλέπουμε καθαρά τη θετική μερολη+ία του εκτιμητή /0 και τηνσυ%κέντρωση του εκτιμητή 45 %ύρω από την αληθινή τιμή τηςπαραμέτρου. :αι οι &υο κατανομές &ει%ματολη+ίας, εμφανί3ουναρνητική ασυμμετρία.
Παρότι φαίνεται ότι η μερολη+ία είναι πολύ μικρή περίπου ;,;7# η&ιαφορά %ίνεται ευ&ιάκριτη αν θεωρήσουμε τη κατανομή&ει%ματολη+ίας των αντίστοι'ων πολλαπλασιαστ!ν του
εισο&ήματος &ηλα&ή1
1π
β =
−# που προκύπτουν από τη 'ρήση
των &υο μεθό&ων, όπως φαίνεται στο παρακάτω &ιά%ραμμα.
Κ(#()Ο*-Σ ,-/*(#Ο0+(Σ#2) ΠΟ00(Π0(Σ(Σ#2) ?!@ Σ#Ο ΣAΣ#+*( #+Σ
ΣA)(B#+Σ+Σ Κ(#()(02Σ+Σ
1#?
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 10/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
D. ,υναμικά υ!οδε%&ματα με αυτοσυσ"έτιση στασφάλματα
Σαν μια άλλη εφαρμο%ή ας θεωρήσουμε ένα δυναμικό υ!όδει&μαμε αυτοσυσ'έτιση στα σφάλματα*
1t t t β −= +y y u ,
1t t t ρ −= +u u e ,
( )%3 $,t iid σ ee .
1πορεί να απο&ει'θεί, πολύ εύκολα, ότι η εφαρμο&ή τηςμεθόδου 34$ δεν οδη&ε% σε συνε!ε%ς εκτιμητές. $&! φυσικάέ'ουμε μια περίπτωση στην οποία η αυτοσυσ'έτιση &εν είναι τόσοαθ!α, &ηλα&ή ο&η%εί σε μεροληπτικούς και ασυνεπείς /0εκτιμητές και ό'ι απλά σε εκτιμητές με λανθασμένες
&ιακυμάνσεις.
Πρα%ματικά, αν λάβουμε πρ!τες &ιαφορές έ'ουμε*
1 % 1t t t β − − −= × +y y u .
2πό τις σ'έσεις μας είναι προφανές ότι 1t t − →u u και 1 1t t − −→u y ,
οπότε τα t u και 1t −y στην αρ'ική ε"ίσωση &εν μπορεί να είναι
ασυσ'έτιστα, εφόσον επηρεά3ονται από τον ί&ιο κοινό παρά%οντα,
&ηλα&ή το 1t −u .
1ια άλλη ερμηνεία του ί&ιου πρά%ματος, είναι ε"ίσου&ιαφωτιστική. 2ν πολλαπλασιάσουμε με ρ και λάβουμε πρ!τες&ιαφορές στην αρ'ική σ'έση θα έ'ουμε*
1 % 1t t t ρ βρ ρ − − −= +y y u .
2ν αφαιρέσουμε από την πρ!τη ε"ίσωση έ'ουμε*
( )1 1 %t t t t t ρ β ρ − − −− = − +y y y y e ,
την οποία μπορούμε να %ρά+ουμε στη μορφή*
( ) 1 %t t t t β ρ βρ − −= + − +y y y e .
Στην μορφή αυτή ωστόσο είναι φανερό ότι το σωστό υπό&ει%μα
είναι εκείνο που μόλις %ρά+αμε. 2υτό &ιαφέρει από το αρ'ικόυπό&ει%μα, %ια τον λό%ο ότι λανθασμένα έ'ουμε παραλεί+ει τη
1@$
-!ομένως μια βασική υ!όθεση της 34 !αραβιάEεται κιFέτσι δεν μ!ορο'με να ελ!%Eουμε ότι καταλή&ει σε
συνε!ε%ς εκτιμητές.
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 11/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
μεταβλητή %t −y και, επομένως η μέθο&ος /0 θα έ'ει μεροληπτικό
σφάλμα.
1@1
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 12/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
G. Hαινομενικά άσ"ετες !αλινδρομήσεις> *ια εφαρμο&ήτης μεθόδου I34
2ς υποθέσουμε ότι η επέν&υση tmy # της επι'είρησης m στο έτος t ,
ε"αρτάται από τα κέρ&η της επέν&υσης ti x # και ότι ένα λο%ικό
υπό&ει%μα είναι tm tm tm xβ = +y u , %ια 1, ,m M = L και 1, ,t n= L , &ηλα&ή
έ'ουμε M επι'ειρήσεις και n 'ρονικές περιό&ους.
2ν ο συντελεστής β είναι κοινός %ια κάθε επι'είρηση, είναιπιθανό ότι θα μπορούσαμε να κερ&ίσουμε σε αποτελεσματικότητααν εκτιμούσαμε το σύστημα των M επι'ειρήσεων από κοινού, αντίνα εκτιμήσουμε το β με τη μέθο&ο /0 %ια μια μόνο επι'είρηση. )οί&ιο θα συνέβαινε, αν υπήρ'αν περιορισμοί μετα"ύ των
παραμέτρων mβ που θα μπορούσαν, %ενικά, να &ιαφέρουν μετα"ύ
των επι'ειρήσεων.
Στη συ%κεκριμένη περίπτωση μπορούμε να υποθέσουμε ότι τασφάλματα της κάθε ε"ίσωσης, έ'ουν μέση τιμή μη&έν και &εναυτοσυσ'ετί3ονται.
Jα υ!οθέσουμε όμως ότι τα σφάλματα δυο ε!ι"ειρήσεωνμ!ορο'ν να συσ"ετ%Eονται στην %δια "ρονική !ερ%οδο αλλάό'ι σε άλλες περιό&ους#. λο%ική της υπόθεσης αυτής, είναι ότι οιεπεν&ύσεις &ιαφορετικ!ν επι'ειρήσεων μπορούν να έ'ουνεπηρεασθεί από μια κοινή μακροοικονομική &ιαταρα'ή και
επομένως, &εν μπορούν να θεωρηθούν ως ανε"άρτητες.
Πιο %ενικά ας υποθέσουμε το ακόλουθο σύστημα των M ε"ισ!σεων*
1 1 1 1
% % % %
,
,
...
,
t t t
t t t
tM M tM tM
x
x
x
β
β
β
′= +′= +
′= +
y u
y u
y u
%ια κάθε 1, ,t n= L .$ναλλακτικά έ'ουμε*
1 1
1 1 1 1& 1' & ' & 1' & 1'n n k k n
X β × × × ×
= +y u ,
% %
% % % %& 1' & ' & 1' & 1'n n k k n
X β × × × ×
= +y u ,
I
& 1' & ' & 1' & 1' M M
M M M M n n k k n
X β × × × ×
= +y u .
α υποθέσουμε ότι*
1@%
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 13/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
( )1
%
& '& 1'3 $ ,
t
t
t M M M
tM
iid ××
≡ Σ
u
uU
u
M, %ια κάθε 1, ,t n= L .
α συμβολίσουμε με
1
%
+
m
m
m
tm
nm
u
u
uu
u
M
M
,
το &ιάνυσμα των στο'αστικ!ν όρων της ε"ίσωσηςm
%ια κάθε1, ,m M = L # %ια όλες τις παρατηρήσεις.
ια απλότητα ας υποθέσουμε ότι έ'ουμε μόνο &υο επι'ειρήσεις καιτο σύστημά μας είναι
1 1 1 1
% % % %
,
.
t t t
t t t
x
x
β
β
= +
= +
y u
y u
ια να μετατρέ+ουμε το σύστημα σε μια ε"ίσωση< μπορούμε να το%ρά+ουμε στη μορφή*
11 11
%1 %1
1 1
1 1
1% 1%
%% %%
% %
% %
$
$
$
$ +
$
$
$
$
t t
n n
t t
n n
x
x
x
x
x
x
x
x
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
M M
M M
M M
M M
11
%1
1
11
% 1%
%%
%
%
t
n
t
n
β
β
× +
u
u
u
u
u
u
u
u
M
M
M
M
.
μορφή αυτή, απαιτεί φυσικά έναν κατάλληλο ορισμό της μήτρας X , όπως φαίνεται στα παραπάνω. 2πό τη μορφή αυτή, ωστόσο,
#
/ όγος είναι, <υσικά, ότι γνωρίουμε τρόπους εκτίμησης μιας εκτίμησης αά όχι τρόπουςεκτίμησης ενός συστήματος. )πομένως, είναι ογικό να σκε<το:με τρόπους με τους οποίους το
σ:στημα μπορεί να αναχθεί σε μια ε>ίσωση.
1@0
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 14/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
είναι φανερό ότι τα σφάλματα θα είναι ετεροσκε&αστικά και θασυσ'ετί3ονται μετα"ύ τους, εφόσον*
8ι όροι 1t u και %t u θα έ'ουν &ιαφορετική &ιακύμανση και
οι όροι 1t u και %t u %ενικά θα συσ'ετί3ονται,
%ια κάθε 1, ,t n= L .
$πομένως η κατάλληλη μέθοδος εκτ%μησης$ ε%ναι η I34. 8εκτιμητής αυτός, λέ%εται και 0JK από τον όρο seemingly unrelated regressions# .
8 υ!ολο&ισμός του KI34 εκτιμητή, στηρί3εται στα ε"ήςβήματα*
-. :άθε ε"ίσωση εκτιμάται με τη μέθο&ο /0, η οποία%νωρί3ουμε ότι &ίνει αμερόληπτους και συνεπείς εκτιμητές.
7. 2πό τα κατάλοιπα των ε"ισ!σεων, υπολο%ί3εται μιαεκτίμηση (Σ της μήτρας συν&ιακύμανσης των σφαλμάτων.
A. 1ε βάση τη μήτρα (Σ , υπολο%ί3εται η %νωστή EL/0 εκτίμηση
των παραμέτρων β .
&ια&ικασία αυτή υπάρ'ει σε όλα τα οικονομετρικά πακέτα καιέτσι &εν είναι ανά%κη να απασ'ολήσει τον 'ρήστη. α πούμε
μόνον ότι με βάση τα κατάλοιπα της μεθό&ου /0, έστω 1(t u και %(t u , ηεκτίμηση της μήτρας Σ , θα είναι*
1 % 1
1 1 %
1 1
1 1 %
1 % %
1 1
( ( (
+
( ( (
(
n n
t t t
t t
n n
t t t
t t
n u n u u
n u u n u
− −
= =
− −
= =
Σ∑ ∑
∑ ∑.
(=%Eει να σημειωθε% ότι με&άλο μέρος της εφαρμοσμένηςοικονομετρ%ας στη θεωρ%α Eήτησης και στη θεωρ%α!αρα&ω&ής$ στηρ%Eεται σε τέτοια συστήματα. -!ομένως$ ηε=οικε%ωση με τα βασικά "αρακτηριστικά της μεθόδου$ε%ναι α!αρα%τητη.
Σαν ένα άλλο απλό παρά&ει%μα των &υνατοτήτων της μεθό&ου0JK, ας θεωρήσουμε το ακόλουθο σύστημα που έ'ει πολλά από τα'αρακτηριστικά των συστημάτων που θα συναντήσουμε στηθεωρία 3ήτησης και στη θεωρία παρα%ω%ής*
1@4
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 15/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
1 1 1 % % 1
% % 0 0 4 %
,
,
t t t t
t t t t
X X
X X
β β
β β
= + += + +
Y u
Y u
με τον επιπλέον περιορισμό* % 0 1β β + = .
Στο υ!όδει&μα αυτό έ"ουμε !εριορισμο'ς στις!αραμέτρους μιας ε=%σωσης ?της δε'τερης@ αλλά και!εριορισμο'ς μετα=' των !αραμέτρων των ε=ισσεων*
παράμετρος %β , εμφανί3εται και στις &υο ε"ισ!σεις.
)ο σύστημα θα μπορούσε να %ραφεί στην εναλλακτική μορφή*
1 1 1 % % 1
% 0 0 4 4 %
,
,
t t t t
t t t t
x x
x x
β β
β β
= + +
= + +
y u
y u
με τους περιορισμούς % 0 $β β − = και 0 4 1β β + = . Hυσικά
ε!ιτρέ!ουμε στα σφάλματα των ε=ισσεων νασυσ"ετ%Eονται μετα=' τους στην %δια "ρονική !ερ%οδο.
1πορεί να απο&ει'θεί ότι ο 0JKMEL/0 εκτιμητής, είναι ί&ιος μετον εκτιμητή /0 κάθε ε"ίσωσης "ε'ωριστά, σε &υο περιπτ!σεις*
Nταν τα σφάλματα της κάθε ε"ίσωσης δεν συσ'ετί3ονται με τασφάλματα των υπόλοιπων ε"ισ!σεων και
όταν όλες οι ε"ισ!σεις έ'ουν τις %διες ερμηνευτικέςμεταβλητές.
$πομένως, αν μια τουλά'ιστον# από τις περιπτ!σεις αυτές ισ'ύει,τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε την κάθε ε"ίσωση "ε'ωριστά με /0,'ωρίς να είναι ανά%κη να καταφύ%ουμε στη μέθο&ο 0JK. 1ια πολύεν&ιαφέρουσα τέτοια περίπτωση, είναι η ακόλουθη.
<. ,ιανυσματικά αυτο!αλ%νδρομα σ"ήματα
Oνα εν&ιαφέρον υπό&ει%μα στο οποίο η εφαρμο%ή της μεθό&ου 0JK είναι ισο&ύναμη με τη μέθο&ο /0, είναι το υπό&ει%μα LM vector autoregression#.
1@
+ μέθοδος 4NMOKI34 μ!ορε% να ε!εκταθε% &ια να εκτιμήσειτέτοια συστήματα$ τα ο!ο%α !ου έ"ουν !εριορισμο'ς στις
!αραμέτρους μετα=' των ε=ισσεων ?cross equationrestrictions@ και ο εκτιμητής αυτός υ!άρ"ει σε όλα$
σ"εδόν$ τα οικονομετρικά !ακέτα.
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 16/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
2ς υποθέσουμε ότι μας εν&ιαφέρει η επί&ραση της νομισματικήςπολιτικής στο εισό&ημα. 2ς ορίσουμε το &ιάνυσμα*
+t
t
tM
XY
,
όπου t M είναι η ποσότητα 'ρήματος και t Y είναι το εθνικό
εισό&ημα.
)ο υπό&ει%μα 5PK είναι*
11 1% 1 10 1 1
%1 %% 1 %0 1 %
,
,
t t t t
t t t t
β β β
β β β
− −
− −
= + + += + + +
M M Y u
Y M Y u
το οποίο μπορεί να %ραφεί στη μορφή*
1% 10 1 111
%1 %% %0 1 %
t t t
t t t
β β β
β β β
−
−
= + × +
M M u
Y Y u, &ηλα&ή
1 1t t t Bβ −= + × +X X u ,
όπου*
11
1
%1
β β
β
=
και
1% 10
%% %0
B
β β
β β
=
.
$φόσον κάθε ε"ίσωση περιέ'ει ακριβ!ς τις ί&ιες ερμηνευτικέςμεταβλητές, το υπό&ει%μα μπορεί να εκτιμηθεί με τη μέθο&ο /0 καιαυτή θα είναι ισο&ύναμη με τη μέθο&ο 0JK, ακόμη και αν
( )1 %, $t t Cov ≠u u .
Στο συ%κεκριμένο υπό&ει%μα ο συντελεστής 10β &ίνει την επί&ραση
της νομισματικής πολιτικής στο εισό&ημα.
Oνα άλλο εν&ιαφέρον υπό&ει%μα είναι το υ!όδει&μα
α!οτ%μησης της α&οράς κεφαλα%ου capital asset pricingmodel, PLQR#.
2ς υποθέσουμε ότι έ'ουμε τις M υπερβάλλουσες απο&όσειςQ
μετο'!ν, tmR , 1, ,m M = L , %ια τις 'ρονικές περιό&ους 1, ,t n= L . 2ν
t R είναι η υπερβάλλουσα από&οση της α%οράςR, το SPTF λέει ότι*
tm m m t tmα β = + +R R u , 1, ,m M = L , 1, ,t n= L .
@
Αν Χ είναι η απόδοση μιας μετοχής και r είναι η 7έ7αιη απόδοση &πχ η απόδοση των τραπεικ8νκαταθέσεων ή των τίτων του δημοσίου' η υπερ7άουσα απόδοση ορίεται σαν Χ Ar .? Αυτή δεν είναι παρά η απόδοση του γενικο: δείκτη μείον τη 7έ7αιη απόδοση.
1@5
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 17/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
2κόμη και αν υποθέσουμε, όπως είναι λο%ικό, ότι τα σφάλματασυσ'ετί3ονται %ια την ί&ια 'ρονική περίο&ο, το υπό&ει%μα μ!ορε%να εκτιμηθεί με τη μέθο&ο /0 %ια την κάθε μετο'ή "ε'ωριστά αν
0n ≥ #, εφόσον κάθε ε"ίσωση περιλαμβάνει την ί&ια ερμηνευτική
μεταβλητή, &ηλα&ή την *
t R .
6. Sνα !αράδει&μα μη &ραμμικής εκτ%μησης
Oνα ρεαλιστικό παρά&ει%μα είναι το ακόλουθο. )ο υπό&ει%μά μας,είναι*
1 1 1 % % 0 % 1
%
% 1 0 1 4 % 1 %
,
,
t t t t t
t t t t t
β β β
β β β
= + + +
= + + +
y x x y u
y x x y u
με τον περιορισμό 1 % 0 $β β β + + = . Uυσικά η πρ!τη ε"ίσωση μπορείνα %ραφεί στη μορφή* ( )1 1 1 % % 1 % % 1t t t t t β β β β = + − + +y x x y u .
2υτό είναι ένα σύστημα ταυτό'ρονα προσ&ιορι3όμενων ε"ισ!σεωνsimultaneous equations model# με περιορισμούς στις παραμέτρουςκάθε ε"ίσωσης και μη %ραμμικούς περιορισμούς στις παραμέτρους*
8 συντελεστής της 4t x στη &εύτερη ε"ίσωση ισούται με το
τετρά%ωνο του 1β . 8ι παράμετροι που πρέπει να εκτιμήσουμε, είναι
τα 1β και %β .
κατάλληλη μέθο&ος εκτίμησης είναι η LFF στην οποία
'ρησιμοποιούνται σαν βοηθητικές μεταβλητές οι 1t x , %t x , 0t x και 4t x .
Oνα βασικό πλεονέκτημα της μεθό&ου είναι, ασφαλ!ς, ότιεπιτρέπει να έ'ουμε VPS τυπικά σφάλματα. Στον επόμενο πίνακα&ίνονται τα στοι'εία και ακολουθούν οι εκτιμήσεις με τη μέθο&οLFF. )α τυπικά σφάλματα είναι VPS με &ιόρθωσηαυτοσυσ'έτισης.
y1 y2 x1 x2 x3 x4
1,412344 2,920948 0,150645 0,147622 0,164130 0,805968 4,246618 5,064032 1,183424 1,063464 1,204891 1,067046 0,388842 1,643424 0,214647 0,121320 -0,040345 0,086820-4,576535 -3,553341 -1,109765 -1,085179 -1,385549 -1,045268-6,237492 -5,360389 -1,249125 -0,981696 -2,577468 -1,505484-1,312643 0,850305 -0,425001 -0,456285 -0,671712 0,307213-0,011813 -0,679121 -0,242983 -0,346230 1,389806 -0,968318-6,213443 -5,868868 -1,145942 -1,062972 -2,950327 -1,079733-2,673456 -1,938396 -0,836925 -0,873152 -0,306150 -0,714004 2,234125 2,332337 0,714011 0,504589 0,637706 0,434801
8ι εντολές %ια την ε"ει&ίκευση του συστήματος στο EViews είναι
οι ακόλουθες* Y1=C(1)*X1+C(2)*X2-(C(1)+C(2))*Y2
1@#
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 18/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Y2=C(1)*X3+(C(1)^2)*X4+C(2)*Y1INST X1 X2 X3 X4
Estimation Method: Generalized Method of Momentsam!le: 1 10"n#l$ded o%ser&ations: 10'otal s(stem )%alan#ed* o%ser&ations 20+ernel: artlett, andidth: .i/ed )2*, o !rehitenin"terate #oeffi#ients after one-ste! eihtin matri/on&eren#e a#hie&ed after: 1 eiht matri/, 7 total #oef iterations
oeffi#ient td Error t-tatisti# ro%
)1* -1733600 0063891 -2713371 00000)2* 0750779 0014716 5101923 00000
eterminant resid$al #o&arian#e 9174316-statisti# 0434524
E$ation: 1)1*;1<)2*;2-))1*<)2**2"nstr$ments: ;1 ;2 ;3 ;4 =%ser&ations: 10
>-s$ared 0777198 Mean de!endent &ar -1274345 ?d@$sted >-s$ared 0749348 de!endent &ar 3594128
E of reression 1799407 $m s$ared resid 2590291$r%in-Aatson stat 1022123
E$ation: 2)1*;3<))1*B2*;4<)2*1"nstr$ments: ;1 ;2 ;3 ;4 =%ser&ations: 10
>-s$ared 0697137 Mean de!endent &ar -0458907 ?d@$sted >-s$ared 0659279 de!endent &ar 3666004E of reression 2139893 $m s$ared resid 3663315$r%in-Aatson stat 3024393
$ίναι %νωστό ότι σε μικρά &εί%ματα οι &ιάφοροι εκτιμητές μπορείνα &ίνουν &ιαφορετικά αποτελέσματα. 1ια πρ!τη αίσθηση
μπορούμε να πάρουμε αν εκτιμήσουμε το υπό&ει%μα με τη μέθο&οτης μέ%ιστης πιθανοφάνειας %ια την οποία τα αποτελέσματα είναιτα ακόλουθα.
1@@
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 19/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα
Estimation Method: .$ll "nformation Ma/im$m CiDelihood )Mar$ardt*am!le: 1 10"n#l$ded o%ser&ations: 10'otal s(stem )%alan#ed* o%ser&ations 20on&eren#e a#hie&ed after 42 iterations
oeffi#ient td Error z-tatisti# ro%)1* -0593399 1947801 -0304651 07606)2* 1302706 1136112 0114663 09087
Co CiDelihood -3973450eterminant resid$al #o&arian#e 3587270
E$ation: 1)1*;1<)2*;2-))1*<)2**2=%ser&ations: 10
>-s$ared -1702049 Mean de!endent &ar -1274345 ?d@$sted >-s$ared -2039805 de!endent &ar 3594128E of reression 6266376 $m s$ared resid 3141397$r%in-Aatson stat 1210823
E$ation: 2)1*;3<))1*B2*;4<)2*1=%ser&ations: 10
>-s$ared 0860643 Mean de!endent &ar -0458907 ?d@$sted >-s$ared 0843224 de!endent &ar 3666004E of reression 1451553 $m s$ared resid 1685605$r%in-Aatson stat 0615210
α μπορούσαμε να συνο+ίσουμε την συ3ήτησή μας, λέ%οντας ταακόλουθα.
-. 1πορούμε να εκτιμήσουμε συστήματα που είναι μη %ραμμικάστις παραμέτρους και στις μεταβλητές και έ'ουν %ραμμικούςή μη %ραμμικούς περιορισμούς στις παραμέτρους μιαςε"ίσωσης ή μετα"ύ των ε"ισ!σεων.
7. 8ι ε"ισ!σεις μπορούν να εκτιμηθούν από κοινού ή 'ωριστάανάλο%α με το πόσο βέβαιοι είμαστε %ια τη συναρτησιακήε"ει&ίκευση του συστήματος.
A. Uυσικά η ύπαρ"η παραμετρικ!ν περιορισμ!ν μετα"ύ τωνε"ισ!σεων, ο&η%εί από μόνη της στην από κοινού εκτίμησητου συστήματος.
B. 1πορούμε να &ούμε άτυπα κατά πόσο το σύστημα είναι ορθάε"ει&ικευμένο, συ%κρίνοντας τις εκτιμήσεις που προέρ'ονταιαπό την LFF μέθο&ο εκτίμησης του συστήματος και τηνLFF μέθο&ο εκτίμησης μιας ε"ίσωσης μεμονωμένα ή ενόςυποσυνόλου των ε"ισ!σεων.
=. μέθο&ος LFF είναι σε πολλές περιπτ!σεις μια λο%ικήμέθο&ος εκτίμησης, που είναι αρκετά ευέλικτη σε ότι αφοράτην επιλο%ή των βοηθητικ!ν μεταβλητ!ν και τα VPS τυπικάσφάλματα τα οποία είναι εύρωστα στην ύπαρ"ηαυτοσυσ'έτισης ή ετεροσκε&αστικότητας.
6. 1η %ραμμικές συναρτήσεις των βοηθητικ!ν μεταβλητ!ν,μπορούν επίσης να 'ρησιμοποιηθούν. )έτοιες συναρτήσειςείναι τα τετρά%ωνα και οι αλληλεπι&ράσεις των βασικ!νβοηθητικ!ν μεταβλητ!ν.
1@?
8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 06
http://slidepdf.com/reader/full/lectures-in-applied-econometrics-06 20/20
6. Περισσότερα οικονομετρικά προβλήματα