lectures in applied econometrics 14

8/19/2019 Lectures in Applied Econometrics 14

1/27

14. Διαρθρωτική μεταβολή και μεταβλητικότητα στις αγορές

Κ εφάλαιο 14.Διαθρωτική Μεταβολήκαι Μεταβλητικότητα

στις Αγορές

Διαρθρωτική μεταβολή

Η υπόθεση ότι οι παράμετροι του γραμμικού υποδείγματος έου!παραμεί!ει σταθερές σε όλη τη! περίοδο του δείγματος" εί!αι αρκετάισυρή. #ημα!τικά γεγο!ότα όπως οι πόλεμοι" οι διαταραές τω!τιμ$! του πετρελαίου και μεταβολές στο οικο!ομικό ή θεσμικόπεριβάλλο!1" μπορεί !α έου! οδηγήσει σε μεταβολή τηςσυμπερι%οράς τω! οικο!ομικ$! παραγό!τω! και επομέ!ως μεταβολή

στις παραμέτρους του υποδείγματος.

Η πιο γε!ική μορ%ή ε!ός υποδείγματος στο οποίο οι παράμετροιμεταβάλλο!ται διαρο!ικά" εί!αι&

t t t t y x uβ = × + " για κάθε 1, ,t n= L .

'πορούμε !α υποθέσουμε ότι ( )2~ 0,t u iid σ . (ε!ικά" ωστόσο" θα ήτα!δυ!ατό! !α είαμε και μεταβολές στη διακύμα!ση σα! συ!έπεια τηςδιαρθρωτικής μεταβολής" η οποία στο πλαίσιό μας" δε! σημαί!ειτίποτε άλλο παρά μεταβολή στις παραμέτρους.

)ολλές υποθέσεις μπορού! !α γί!ου! σετικά με το! τρόπο με το!

οποίο έου! μεταβληθεί διαρο!ικά οι συ!τελεστές t β . 'πορούμε" για

παράδειγμα" !α υποθέσουμε οτι μεταβάλλο!ται σα! γραμμική

1 Η γνωστή «κριτική του Lucas» στη σύγχρονη μακροοικονομική θεωρία, αφορά το γεγονό ότι μετα!ο"#

στην οικονομική $ο"ιτική τη κυ!#ρνηση ή ακρι!#στερα τι !ασικ# $αραμ#τρου τη %ημοσιονομικήκαι νομισματική $ο"ιτική, $ροκα"ούν μετα!ο"# στι $αραμ#τρου $ου θεωρούσαμε ω %ιαρθρωτικ#

στα οικονομετρικά υ$ο%είγματα, ό$ω $χ η «οριακή ρο$ή για κατανά"ωση» κτ"&

1'


2/27


συ!άρτηση του ρό!ου" σα! γραμμική συ!άρτηση του t x " κάποιω!

άλλω! μεταβλητ$! κτλ.

*!" για παράδειγμα μπορούμε !α υποθέσουμε ότι& t t t xβ γ δ ϕ = + + "

α!τικαθιστ$!τας στο αρικό υπόδειγμα" θα είαμε απλά&

( ) ( ) 2 ( (t t t t t t t t y t x x u x tx x uγ δ ϕ γ δ ϕ + + + + + + .

Η ε+ίσωση αυτή" μπορεί !α εκτιμηθεί πολύ εύκολα με τη μέθοδο τω!ελαίστω! τετραγ$!ω! και !α ελέγ+ουμε τη! υπόθεση τηςσταθερότητας του συ!τελεστή" ελέγο!τας τη! από κοι!ού υπόθεση

0δ ϕ = = .

'ια άλλη συ!ηθισμέ!η υπόθεση εί!αι ότι σε κάποια γ!ωστή ήάγ!ωστη ρο!ική στιγμή N ,μετα+ύ 1 και n - ο συ!τελεστής έει

μεταβληθεί +α%!ικά&

1

2

, 1, , , (

, 1, , &t

t N

t N n

β β

β

=

= +

L

L

*! η ρο!ική στιγμή N εί!αι γ!ωστή" τότε το υπόδειγμα μπορεί !αεκτιμηθεί με μια απλή μέθοδο. *! ορίσουμε τη ευδομεταβλητή&

0, 1, , , (

1, 1, ,t

t N I

t N n

=

= +

L

L

και θεωρήσουμε το υπόδειγμα ( )1t t t t t y x I x uβ γ = + + "

εί!αι %α!ερό ότι στη! πρ$τη περίοδο με 0t I = " έουμε 1t t t y x uβ = + " ε!$

στη δεύτερη περίοδο έουμε 1t I = και επομέ!ως προκύπτει

( )1t t t y x uβ γ = + + . /ί!αι προ%α!ές ότι θα έουμε 2 1β β γ = + " ε%όσο!

είμαστε στη δεύτερη περίοδο.

Η εκτίμηση του υποδείγματος ( )1t t t t t y x I x uβ γ = + + " με τη μέθοδο τω!

ελαίστω! τετραγ$!ω!" θα μας δ$σει απευθείας τις εκτιμήσεις τω!β και γ " δηλαδή τω! β1 και β0 και επομέ!ως μας δί!ει τη δυ!ατότητα!α ελέγ+ουμε τη! υπόθεση της διαρθρωτικής μεταβολής" ελέγο!ταςτη! υπόθεση ότι 0γ = " με τη ρήση της tστατιστικής.

*! η ρο!ική στιγμή 2" δε! εί!αι γ!ωστή" η προσέγγιση αυτή δε!εί!αι πλέο! ε%ικτή. #τις περιπτ$σεις αυτές" μπορούμε !α

1)


3/27


εκτιμήσουμε το απλό υπόδειγμα t t t y x uα β = + + ρησιμοποι$!τας

ακολουθιακή εκτίμηση ,recursive estimation-.

*!" για παράδειγμα" έουμε 133 παρατηρήσεις" μπορούμε !αε%αρμόσουμε 5 με τις πρ$τες 13" τις πρ$τες 11" τις πρ$τες 10 κτλ.

παρατηρήσεις.

Α σε κά!οια "ροική στιγμή συέβη μια #ιαρθρωτικήμεταβολή$ η #ια#ικασία αυτή θα !ρέ!ει α είαι σε θέση αμας το #εί%ει.

(ια !α κά!ουμε τα πράγματα πιο συγκεκριμέ!α" ας υποθέσουμε ότιέουμε 133 παρατηρήσεις. (ια τις πρ$τες 63 παρατηρήσεις" το

υπόδειγμα εί!αι& 1t t t y x u= + + . (ια τις επόμε!ες 63 παρατηρήσεις" το

υπόδειγμα εί!αι& 1t t t y x u= − − + . 7ποθέτουμε ότι ( )2

~ 0, 0,1t

u iidN και

στις δυο περιόδους.

&α ερωτήματά μας$ είαι #υο. 'ρ(το$ τι θα γίει ααγοήσουμε τη #ιαρθρωτική μεταβολή και εφαρμόσουμε )*σε ολόκληρο το #είγμα+ Δε,τερο$ τι θα μας #εί%ει η#ια#ικασία της ακολουθιακής εκτίμησης$ !ου είαιαυτοματο!οιημέη στο !ρόγραμμα EViews+

8ι σετικές ε!τολές και τα αποτελέσματα" δί!ο!ται στα επόμε!α.

RNDSEED 12

GENR X=NRNDSMPL 1 50GENR Y=1+X+0.1*NRNDSMPL 51 100GENR Y=-1-X+0.1*NRNDSMPL 1 100LS Y C X

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 11/19/06 Time: 2:12

Sample: 1 100

!n"luded obser#ations: 100

Variable $oe%%i"ient Std& 'rror t(Statisti" )rob&

$ (0&16*+*1 0&1,0+9 (1&2+-+11 0&2116

. (0&2-12,9 0&1,6996 (1&*,+2*1 0&06*0

(squared 0&0+-9 Mean dependent #ar (0&1-1-9

1*


4/27


dusted (squared 0&02-1- S&D& dependent #ar 1&+6+,-

S&'& o% reression 1&,06 3ai3e in%o "riterion &,,+++

Sum squared resid 1-6&06,2 S"h4ar5 "riterion &,9+6+9

Lo li3elihood (1-0&1--* (statisti" &,0+06,

Durbin(7atson stat 0&9*-++- )rob8(statisti" 0&06*016

20


5/27


(0&*

(0&,

0&0

0&,

0&*

1&2

10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100

/e"ursi#e $81 'stimates : 2 S&'&

(0&*

(0&,

0&0

0&,

0&*

1&2

10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100


21


6/27


Α!ό τα α!οτελέσματα αυτά$ είαι !ροφαές ότι η #ια#ικασίατης ακολουθιακής εκτίμησης μ!ορεί α μας #(σει μια ισ"υρήέ#ει%η σ"ετικά με τη ,!αρ%η #ιαθρωτικής μεταβολής στο

υ!ό#ειγμά μας. Α!ό τα #ιαγράμματα$ είαι σαφές ότι μετάτη !ερίο#ο -$ η !ρόσθεση #ια#ο"ικ( !αρατηρήσεωαλλά/ει #ραστικά τις εκτιμήσεις και τις ο#ηγεί ασυγκλίου σ0 έα #ιαφορετικό ε!ί!ε#ο.

9!α εμπειρικά ρήσιμο ερ$τημα" εί!αι !οια θα ήτα ησυμ!εριφορά της ακολουθιακής εκτίμησης σε έα υ!ό#ειγμαμε #ια"ροικά σταθερο,ς συτελεστές+ :ο υπόδειγμα για τιςπρ$τες 63 παρατηρήσεις" +έρουμε ότι εί!αι διαρθρωτικά σταθερό καιεπομέ!ως μπορούμε !α το εκτιμήσουμε με 5 και !α διακριβ$σουμεποιο εί!αι το πρότυπο της ακολουθιακής εκτίμησης. :α

αποτελέσματα" %αί!ο!ται στα επόμε!α διαγράμματα.

22


7/27


0&96

1&00

1&0,

1&0*

1&12

1&16

10 1+ 20 2+ 0 + ,0 ,+ +0


0&92

0&96

1&00

1&0,

1&0*

1&12

10 1+ 20 2+ 0 + ,0 ,+ +0


2+


8/27


*πό τα αποτελέσματα αυτά" εί!αι %α!ερό ότι οι εκτιμήσεις αρί;ου!!α σταθεροποιού!ται μετά από κάποια ρο!ική περίοδο. Η αρική


9/27


(0&2

0&0

0&2

0&,

0&6

0&*

1&0

1&2

10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100

$;S;M o% Squares +< Sini%i"an"e

9!ας άλλος ρήσιμος έλεγος εί!αι !α ε+ετάσουμε τις προβλέειςτου υποδείγματος ,για τη! επόμε!η ρο!ική περίοδο" one-step ahead forecast-. :α αποτελέσματα %αί!ο!ται στο ακόλουθο διάγραμμα.

2-


10/27


&00

&0+

&10

&1+

(6

(,

(2

0

2

,

10 20 0 ,0 +0 60 -0 *0 90 100

=ne(Step )robabilit> e"ursi#e esiduals

Cασική σημασία έει" %υσικά" !α ε+ηγήσει κα!είς γιατί έ!αυπόδειγμα υπέστη διαρθρωτική μεταβολή σε κάποια συγκεκριμέ!ηρο!ική περίοδο κιD όι σε κάποια! άλλη. :υπικές υποή%ιεςρο!ικές περίοδοι για διαρθρωτική μεταβολή" εί!αι τα έτη στα οποίαείαμε μεγάλες διαταραές τω! τιμ$! του πετρελαίου πουεπηρεά;ου! το σύ!ολο της οικο!ομίας ,1EFG" 1EHE κτλ.-.

(ε!ικά μιλ$!τας" η ,!αρ%η ή ό"ι #ιαρθρωτικής μεταβολήςείαι εμ!ειρικό /ήτημα. Iα πρέπει κα!είς !α ρησιμοποιήσει τιςκατάλληλες μεθόδους για !α διαπιστ$σει τη! ύπαρ+η ή μηδιαρθρωτικής μεταβολής και στη συ!έεια !α ε+ηγήσει το εύρημααυτό. 8ρισμέ!ες κατάλληλες μεθόδους" είδαμε ήδη σε όσα α!αλύσαμεπαραπά!ω.

#τη σύγρο!η οικο!ομετρική θεωρία και ε%αρμοσμέ!η οικο!ομετρία"τρεις α!τιλήεις %αί!εται !α κερδί;ου! έδα%ος σε ότι α%ορά τη!α!άλυση της μεταβολής τω! παραμέτρω!.

2.

λα αυτά τα #ιαγράμματα$ φυσικά$ είαι σε θέση α μας!ροει#ο!οιήσου ότι το υ!ό#ειγμα έ"ει υ!οστεί

#ιαρθρωτική μεταβολή κι0 ε!ομέως θα !ρέ!ει α

ε!αε%ετάσουμε τη ε%ει#ίκευσή του.


11/27


'ρ(το" έουμε τη! υπόθεση ότι οι συ!τελεστές μεταβάλλο!ταιδιαρο!ικά με ομαλό τρόπο. 9!α κατάλληλο υπόδειγμα εί!αι το ε+ής&

t t t t y x uβ = + με 1t t t β γ δ β ε −= + × + . 7ποδείγματα αυτής της μορ%ής"

μπορού! !α εκτιμηθού! με τη ρήση του EViews και εί!αι γ!ωστά σα!

υποδείγματα στο! $ρο τω! καταστάσεω! ,state space models-./ί!αι προ%α!ές ότι α! έουμε 1δ < " τότε οι συ!τελεστές συγκλί!ου!"

κατά μέσο! όρο" στη! τιμή ( )/ 1γ δ − . *! υποθέσουμε ότι 1δ = " τότε δε!

έουμε σύγκλιση σε κάποια τιμή.

'ια τέτοια περίπτωση" έει ρησιμοποιηθεί από ορισμέ!ουςερευ!ητές" προκειμέ!ου !α ελεγθεί η υπόθεση μο!αδιαίας ρί;ας στη

σειρά t y . 'ια άλλη ε!δια%έρουσα περίπτωση εί!αι το υπόδειγμα

t t t t y x uα β = + + με 1t t t Aα ρα ε −= + + " στο οποίο μό!ο! η σταθερά

υπόκειται σε ομαλή μεταβολή.

9!α τέτοιο υπόδειγμα μπορεί !α εί!αι ρήσιμο στη! μελέτη τηςεμμο!ής ,persistence- της α+ιολόγησης τω! αμοιβαίω! κε%αλαίω! καιδε! %αί!εται !α έει ε%αρμοσθεί στη σετική βιβλιογρα%ία. :οβασικό ερ$τημα εδ$" εί!αι α! έουμε 0 ρ = . *! η υπόθεση μπορεί !αγί!ει δεκτή" τότε η επιλεκτικότητα μεταβάλλεται με τυαίο τρόπο καιδε! θα υπάρει επα!αληπτικότητα στη! επιλεκτικότητα.

*+ί;ει !α παρατηρήσουμε ότι το υπόδειγμα που α!α%έραμε" έεισέση με το λεγόμε!ο υ!ό#ειγμα 2μετα!ή#ησης Markov = , Markovswitching model- του Hamilton. Η μο!αδική δια%ορά" εί!αι ότι στουπόδειγμα του Hamilton" η παράμετρος βJ μπορεί !α έει μό!ο! δυο

τιμές" έστω 1β και 2β . Η μετάβαση από τη μια τιμή στη! άλλη γί!εται

με κάποιες πιθα!ότητες που εί!αι συμβατές με αυτοσυσέτιση"

δηλαδή α! 1t β β = τότε στη! επόμε!η περίοδο θα έουμε 1 1t β β + = με

μεγάλη πιθα!ότητα.

Δε,τερο" οι παράμετροι ,δηλαδή τα υποδείγματα- αλλά;ου! μό!οότα! υπάρου! μεγάλες διαταραές. 9!α λογικό υπόδειγμα εί!αι το

ε+ής& t t t t y x uβ = + με ( )1t t t I u cβ γ δ ε −= + × ≥ + " για κάποια τιμή του c . :α

υποδείγματα αυτά" δε! έου! μελετηθεί αρκετά και η διερεύ!ησήτους" σίγουρα θα απασολήσει τη! θεωρητική και ε%αρμοσμέ!ηοικο!ομετρία στο μέλλο!. 'ια ε!δια%έρουσα περίπτωση εί!αι ότα!

έουμε απλά 1t t x y −= .

:έτοια υποδείγματα μπορού! !α έου! σημα!τικές ε%αρμογές στουςελέγους για μο!αδιαίες ρί;ες" στη! α!άλυση τω! οικο!ομικ$!διακυμά!σεω!" στη! α+ιολόγηση τω! αμοιβαίω! κε%αλαίω! κτλ.

2'


12/27


&ρίτο" έουμε υποδείγματα στα οποία οι συ!τελεστές μεταβάλλο!ταιομαλά" αλλά με δια%ορετικό τρόπο απD ότι στη! πρ$τη περίπτωση.

9ουμε δυο γραμμικά υποδείγματα της μορ%ής& 1t t t y x uβ = + και

2t t t y x uβ = + .

Η μετάβαση από το έ!α υπόδειγμα στο άλλο γί!εται με βάση κάποια

μεταβλητή t z " η οποία μπορεί !α εί!αι μια γραμμική τάση" η

προηγούμε!η τιμή 1t y − ή κάποια άλλη προκαθορισμέ!η μεταβλητή. *!

θεωρήσουμε τη συ!άρτηση μετάβασης&

( )( )

1 (

1 F z

z ψ + −" με 0ψ > "

εί!αι σα%ές ότι καθ$ς z → ∞ " έουμε 1 F → . Kαθ$ς z → −∞ " έουμε0 F → . :ο υπόδειγμα&

( ) ( ) ( )1 2 21t t t t t t t t t t y x F z x F z u x x F z uβ β β δ = + − + = + + "

λέγεται υ!ό#ειγμα ομαλής μετάβασης ,smooth transition model-και μας επιτρέπει !α έουμε μετάβαση από το έ!α υπόδειγμα στο

άλλο" α!άλογα με τη! τιμή του t z .

Η παράμετρος σετί;εται με τη! ταύτητα της μετάβασης και έειμια ιδιαίτερη εμπειρική σημασία. (ια L3 ή +∞ ,δηλαδή μια πολύμεγάλη τιμή- έουμε έ!α ε!ιαίο υπόδειγμα. /πίσης" στη! πρά+η" κάθεσυ!άρτηση κατα!ομής F μπορεί !α ρησιμοποιηθεί σα! συ!άρτησημετάβασης ,π η κα!ο!ική-. Η συ!άρτηση που θεωρήσαμε εδ$"α!τιστοιεί στη λεγόμε!η λογιστική κατα!ομή. :α υποδείγματα αυτά"έου! αποδειθεί πολύ ρήσιμα στη! α!άλυση τω! μη γραμμικ$!ρο!ολογικ$! σειρ$!.

*πό τη! α!άλυσή μας" πρέπει !α εί!αι προ%α!ές ότι η διαρθρωτικήμεταβολή όπως και η ε+ειδίκευση τω! οικο!ομετρικ$! υποδειγμάτω!"γε!ικά" εί!αι εμπειρικό ;ήτημα που απαιτεί κατάλληλους ελέγουςκαι στη συ!έεια τη! ε+ειδίκευση κατάλληλω! υποδειγμάτω! που !αα!τικατοπτρί;ου! τα βασικά αρακτηριστικά τω! σειρ$! που μαςε!δια%έρου! στη συγκεκριμέ!η ε%αρμογή.

:ο γεγο!ός ότι αυτό το καθήκο! απαιτεί ε+οικείωση με τις τε!ικέςτης οικο!ομετρίας" τα ε!αλλακτικά υπάρο!τα υποδείγματα και τιςβασικές ιδιότητες τω! οικο!ομικ$! στοιείω!" πρέπει !α εί!αιαυτο!όητο. Mπως επίσης εί!αι αυτο!όητο ότι η %α!τασία και ηδημιουργική σκέη" μπορού! !α έου! και πραγματικά έου!

2)


13/27


!ρωτε,ουσα θέση στη! ε+ειδίκευση τω! οικο!ομετρικ$!υποδειγμάτω!.

2*


14/27


3ασικά "αρακτηριστικά τω υ!ο#ειγμάτω μεομα#ο!οιημέη μεταβλητικότητα

)ολλές ρηματοοικο!ομικές σειρές έου! το αρακτηριστικό πουμόλις είδαμε" δηλαδή τη! τάση της μεταβλητικότητας !α εμ%α!ί;εται

σε ομάδες μεγάλω! ή μικρ$! τιμ$!. 'D άλλα λόγια" μικρήμεταβλητικότητα σε μια μέρα ακολουθείται κατά κα!ό!α από μικρήμεταβλητικότητα στη! επόμε!η και το ίδιο συμβαί!ει για τις μεγάλεςτιμές.

*υτό λέγεται συ!ά" ομα#ο!οίηση της μεταβλητικότητας,volatility clustering-.

*υτό σημαί!ει ότι η μεταβλητικότητα πρέπει !α αυτοσυσετί;εται. *ς

θεωρήσουμε ότι t y εί!αι η απόδοση μιας μετοής στη! ημέρα t .

/πομέ!ως το υπόδειγμά μας" θα μπορούσε !α εί!αι το ε+ής απλό&

( )2 0,~t t y IN σ "

2 2

1345 ( 0,01 0,)- 345

t t t σ σ ε

−

− + × + "

( )2~ 0,t iidN ε ε σ " 1ε σ = και 0345 0σ = .

'πορεί έ!α τέτοιο υπόδειγμα !α εί!αι συμβατό με το βασικόαρακτηριστικό που μας ε!δια%έρει εδ$" δηλαδή τη! ομαδοποίησητης μεταβλητικότηταςN 063 παρατηρήσεις από το υπόδειγμα αυτό"προσομοιωμέ!ου με τη ρήση του προγράμματος EViews %αί!ο!ταιστο επόμε!ο διάγραμμα. 8ι ε!τολές που δόθηκα! εί!αι οι ακόλουθες&

RNDSEED 12GENR LOGSIGMASQ=0SMPL 2 250GENR LOGSIGMASQ=-0.01+0.85*LOGSIGMASQ(-1)+NRNDGENR SIGMASQ=EXP(LOGSIGMASQ)GENR SIGMA=SQR(SIGMASQ)GENR Y=SIGMA*NRNDPLOT Y

+0


15/27


(20

(10

0

10

20

0

2+ +0 -+ 100 12+ 1+0 1-+ 200 22+ 2+0

Y

/ί!αι %α!ερό ότι το υπόδειγμα έει πετύει !α α!απαράγει τη!ομαδοποίηση της μεταβλητικότητας που μας ε!δια%έρει εδ$" ε%όσο!οι περίοδοι αμηλής και υηλής μεταβλητικότητας εί!αι διακριτέςμετα+ύ τους& Δηλα#ή$ η μια !ερίο#ος ακολουθεί τη άλλη καισε κάθε !ερίο#ο έ"ουμε αρκετές !αρατηρήσεις.

8 λόγος εί!αι απλός. Η μεταβλητικότητα" δί!εται από τη σέση2 2

1345 345

t t t σ γ δ σ ε

−

= + × + και ο στοαστικός όρος t ε δε! εί!αι παρά μια

διαταραή ,shock- στη μεταβλητικότητα αυτή. *! συμβεί !α έουμε

μια μεγάλη θετική διαταραή 1t ε − στη! περίοδο 1t − " τότε η τιμή του2

1345

t σ

− και επομέ!ως του 2 1t σ − θα εί!αι μεγάλη. 'ε τη σειρά της όμως"

και η τιμή του 2t

σ θα τεί!ει !α εί!αι μεγάλη λόγω της σετικά

μεγάλης θετικής τιμής του δ" η οποία στη! περίπτωσή μας εί!αι 3"H6.

#τη συ!έεια" σετικά μεγάλες τιμές τω!2

1t σ − και2

t σ σημαί!ου! ότι ητιμή του t y θα προέρεται από μια κα!ο!ική τιμή με μεγάλη

διακύμα!ση και επομέ!ως μπορού! !α παραθού! μεγάλες θετικές ήαρ!ητικές τιμές" όπως ακριβ$ς βλέπουμε και στο διάγραμμα.

:ο συγκεκριμέ!ο υπόδειγμα λέγεται υ!ό#ειγμα με στο"αστικήμεταβλητικότητα ,stochastic volatility model-. Η εκτίμηση τω!

+1


16/27


υποδειγμάτω! αυτ$! με τη μέθοδο της μέγιστης πιθα!ο%ά!ειας" δε!εί!αι καθόλου εύκολη και απαιτού!ται ε+ειδικευμέ!ες μέθοδοιπροσομοίωσης Monte Carlo για τη! εκτίμηση.

Iα πρέπει" επομέ!ως" !α κατασκευάσουμε υποδείγματα τα οποία !α

διατηρού! το βασικό αρακτηριστικό της αυτοπαλί!δρομηςμεταβλητικότητας ,ή α! προτιμάτε" αυτοπαλί!δρομηςετεροσκεδαστικότητας- αλλά !α μπορού! !α εκτιμηθού! μεαπλούστερες μεθόδους.

8 λόγος για το! οποίο υιοθετήσαμε λογαρίθμους στο υπόδειγμα2 2

1345 345


−

= + × + εί!αι ότι το ε!αλλακτικό υπόδειγμα2 2

1t t t σ γ δ σ ε

−

= + × + μπορεί !α μας δ$σει αρ!ητικές τιμές της

διακύμα!σης 2t

σ για ορισμέ!ες τιμές τω! παραμέτρω! και τω!

διαταρα$!. )αρόλα αυτά" η α!άλυση εί!αι ευκολότερη στη! δεύτερη

περίπτωση και έτσι δε! θα ρησιμοποιήσουμε λογαρίθμους σε μέροςτης παρακάτω α!άλυσής μας.

8 λόγος για το! οποίο η εκτίμηση με τη μέθοδο της μέγιστηςπιθα!ο%ά!ειας εί!αι δύσκολη" έγκειται α!οκλειστικά και μόο

στη! παρουσία της διαταραής t ε . *! οι διαταραές εί!αι μικρές με

τη! έ!!οια ότι 0ε σ ≈ " μπορεί κα!είς !α τις αγ!οήσει και !α έει2 2

1t t σ γ δ σ

−

= + × .

:ο υπόδειγμα αυτό δε! εί!αι πια συμβατό" δυστυ$ς" με τη!

ομαδοποίηση της μεταβλητικότητας. *! 1δ < " στη! ουσία έουμε μιαε+ίσωση δια%ορ$!" η οποία ότα! λυθεί θα μας δ$σει ότι μετά απόέ!α! μεγάλο αριθμό περιόδω!" η μεταβλητικότητα συγκλί!ει στη!

τιμή ισορροπίας ( )2 26 378 / 1t σ σ γ δ = = − " η οποία αποτελεί απλά τη λύση

της ε+ίσωσης 2 26 6

σ γ δ σ = + × .

*! αυτή εί!αι θετική" τότε μετά από έ!α! αριθμό περιόδω!" η

διακύμα!ση δε! μεταβάλλεται σεδό! καθόλου και έτσι η σειρά t y

προέρεται από μια κα!ο!ική κατα!ομή με μηδε!ικό μέσο καισταθερή διακύμα!ση. 9τσι α! δε! υπάρου! διαταραές στουπόδειγμα" αυτές δε! μπορού! !α α!απτυθού! στο μέλλο! ,μέσω τηςθετικής τιμής του δ- και !α μας δ$σου! ομαδοποίηση τηςμεταβλητικότητας.

:ο πραγματικό κιD ε!δια%έρο! ερ$τημα" λοιπό!" εί!αι με ποιο! τρόπομπορούμε !α έουμε τέτοιες διαταραές α! θέλουμε" %υσικά !α μη

υπάρει ο στοαστικός όρος t ε στο υπόδειγμα.

+2


17/27


/ί!αι σα%ές ότι ( ) ( )2 21 1 1t t t ar y yσ − − −= =V E . Η σέση αυτή μπορεί !α γρα%εί

στη! ε!αλλακτική μορ%ή2 2

1 1 1t t t y vσ

− − −

= + " όπου 1t v − εί!αι έ!ας

στοαστικός όρος με μέση τιμή μηδέ!.

*πό τη σέση2 2

1t t σ γ δ σ

−

= + × " έουμε&

( )2 2 21 1 1 1t t t t t y v y vσ γ δ γ δ δ − − − −= + × + = + × + × .

*! συμ%ω!ήσουμε" όπως και προηγούμε!α" ότι ο στοαστικός όροςεί!αι αρκετά μικρός για !α μπορεί !α αγ!οηθεί στη! πρά+η" τότεέουμε απλά ότι&

2 2

1t t yσ γ δ

−

= + × .

:ο υπόδειγμα αυτό λέγεται 567 ,autoregressive conditionalheteroskedasticity - και εί!αι σε θέση !α παράγει ομαδοποίηση τηςμεταβλητικότητας. 8 λόγος εί!αι απλός& *! στη! περίοδο 1t − " είαμε

μεγάλη μεταβλητικότητα τότε" κατά κα!ό!α" η τιμή του t y θα έπρεπε

!α εί!αι μια μεγάλη ,θετική ή αρ!ητική τιμή-. /πομέ!ως" η τιμή του2

1t y

−

θα εί!αι μεγάλη και α! το δ έει μια θετική τιμή κο!τά στη

μο!άδα" η τιμή του 2t

σ θα εί!αι επίσης μεγάλη. 9τσι" κιD η τιμή του t y

θα εί!αι επίσης μεγάλη ,στη θετική ή αρ!ητική κατεύθυ!ση-.

/πομέ!ως" η ε%ει#ίκευση του υ!ο#είγματος 567" εί!αι ηακόλουθη&

( )2~ 0,t t y IN σ "2 2

1 (

t t yσ γ δ

−

+ × .

)ρο%α!$ς" το t y εδ$ έει μέση τιμή μηδέ!" πράγμα που δε! ισύει

γε!ικά για κάθε απόδοση μιας μετοής. /%όσο! το t y μπορεί" εδ$" !α

ερμη!ευθεί σα! απόκλιση από το! μέσο του" έστω μ" έ!α πιο γε!ικό

υπόδειγμα εί!αι&

t t y u µ = + "

( )2~ 0,t t u IN σ "

( ) 22 2

1 1( (

t t t u yσ γ δ γ δ µ

− −

+ × + × − .

++


18/27


*κόμη πιο γε!ικά" ο μέσος μπορεί !α εί!αι έ!α υπόδειγμαπαλι!δρόμησης και !α έουμε έτσι έ!α ακόμα πιο γε!ικό υπόδειγμα&

t t t y x uβ = + "

( )2 0,~t t u IN σ "

( ) 22 2

(1 1 1t t t t

u y xσ γ δ γ δ β − − −

+ × + × −= "

όπου t x εί!αι κάποια ερμη!ευτική μεταβλητή ,ή κάποιο διά!υσμα

μεταβλητ$!-. *υτό το υπόδειγμα" δε! εί!αι παρά έ!α υπόδειγμαπαλι!δρόμησης με σ%άλματα OP?Q.

Rυσικά" εί!αι γεγο!ός ότι +εκι!ήσαμε από το υπόδειγμα 2 2 1t t σ γ δ σ −= + × "

στο οποίο η διακύμα!ση εί!αι αυτοπαλί!δρομη. /%όσο! το υπόδειγμαδε! εί!αι συμβατό με ομαδοποιημέ!η μεταβλητικότητα" καταλή+αμε

σD έ!α υπόδειγμα OP?Q. :ο υπόδειγμα OP?Q μπορεί !α εκτιμηθεί μεμη γραμμικές μεθόδους που υπάρου! σD όλα τα οικο!ομετρικάπρογράμματα.

Η αλήθεια εί!αι ότι τ$ρα πια μπορούμε !α εισάγουμε τη! διακύμα!σητης προηγούμε!ης περιόδου και !α έουμε το πιο γε!ικό υπόδειγμα&

2 2 2

1 1t t t uσ γ δ ρ σ

− −

= + × + × "

το οποίο λέγεται 8567 ,generalized autoregressive conditionalheteroskedasticity -.

#το υπόδειγμα αυτό" μπορεί !α δοθεί μια ε!αλλακτική ερμη!εία. :ο

υπόδειγμα 2 21t t

σ γ ρ σ −

= + × γ!ωρί;ουμε ότι δε! παράγει ομαδοποιημέ!η

μεταβλητικότητα ε%όσο! δε! υπάρου! διαταραές. 'πορούμε !αεισάγουμε σα! διαταραή το τετράγω!ο του καταλοίπου της

ε+ίσωσης της προηγουμέ!ης περιόδου" δηλαδή το! όρο 21t

u−

.

*υτό θα μας επιτρέει" σε απλούς όρους !α κά!ουμε το ε+ής. Ηδιακύμα!ση εί!αι μια !τετερμι!ιστική ε+ίσωση δια%ορ$! της μορ%ής

2 2

1t t σ γ δ σ

−

= + × η οποία συγκλί!ει στο επίπεδο ισορροπίας ( )/ 1γ δ − .

8υσιαστικά" με τη! εισαγωγή του όρου 21t

u−

" μετατρέπουμε αυτή τη!

ε+ίσωση στη !έα μορ%ή 2 21t t t

σ γ δ σ ξ −

= + × + " η οποία θα δ$σει στη σειρά

της διακύμα!σης αρακτηριστικά μιας πραγματικής σειράς. 8ι τιμές

που παράγει η ε+ίσωση δια%ορ$! 2 21t t

σ γ δ σ −

= + × εί!αι μο!οτο!ικές και

συγκλί!ου! προς το επίπεδο ισορροπίας" πράγμα που δε! εί!αι ούτερήσιμο ούτε ρεαλιστικό.

+


19/27


#το υπόδειγμα 85679: ,SOP?Q in mean- η μεταβλητικότηταρησιμοποιείται σα! ερμη!ευτική μεταβλητή" στο υπόδειγμα τηςπαλι!δρόμησης&

2

t t t t y x uβ ψ σ = + × + "( )2~ 0,t t u IN σ "

2 2 2

1 1t t t uσ γ δ ρσ

− −

= + × + .

8 συ!τελεστής ψ " μετρά τη! επίδραση του κι!δύ!ου ,risk premium-και α!αμέ!εται !α εί!αι θετικός" δεδομέ!ου ότι μετοές μεμεγαλύτερο ρίσκο πρέπει !α παρέου! μεγαλύτερες μέσες αποδόσειςπροκειμέ!ου !α έου! θετική ;ήτηση απD τους επε!δυτές.

/!αλλακτικές μορ%ές της παλι!δρόμησης" εί!αι οι ε+ής&

2345t t t t

y x uβ ψ σ = + × + "

t t t t y x uβ ψ σ = + × + κτλ.

Η βασική %ιλοσο%ία τω! υποδειγμάτω! αυτ$!" πέρα απD τη! ερμη!είατου risk premium" στηρί;εται και στη! ε+ής απλή διαπίστωση.(ε!ικά" εί!αι πολύ δύσκολο !α προβλέουμε τις αποδόσεις τω!

μετο$!. Δηλαδή" παλι!δρομήσεις του t y σε ρο!ικές υστερήσεις ή

άλλες μεταβλητές" δί!ου! σεδό! μηδε!ικά 2 R .

)αλι!δρομήσεις του 2t y σε ρο!ικές υστερήσεις του" δί!ου!

υηλότερες τιμές" πράγμα που σημαί!ει" %υσικά" ότι έουμευποδείγματα τύπου OP?Q. /πομέ!ως" εί!αι λογικό !α σκε%τούμε σε

ποιο βαθμό η μεταβλητικότητα 2t

σ μπορεί !α μας βοηθήσει !α κά!ουμε

καλ,τερες !ροβλέ;εις τω α!ο#όσεω τω μετο"(.

*υτό" επίσης" εί!αι συμβατό με τη! α!τίληη ότι μπορούμε !απροβλέουμε καλύτερα τη μεταβλητικότητα παρά τις ίδιες τιςαποδόσεις. 'D αυτή τη λογική θα %αι!ότα! ευκολότερο !απροβλέουμε α! η απόδοση μιας μετοής βρίσκεται σε %άση υηλής ή

αμηλής μεταβλητικότητας παρά τη! ίδια τη! απόδοσή της. Rυσικάκα!είς πρέπει !α θεωρήσει αυτά τα συμπεράσματα με κάποιο!συ!τηρητισμό" δεδομέ!ου ότι και τα 2 R με τα τετράγω!α τω!αποδόσεω! ,δηλαδή παλι!δρομήσεις που έου! τη μεταβλητικότητασα! ε+αρτημέ!η μεταβλητή- δε %αί!εται !α εί!αι ιδιαίτερα υηλάστη! πρά+η.

+-


20/27


:α υποδείγματα τύπου


21/27


Dependent Variable: Y

Method: ML ( $? 8Marquardt ( @ormal distribution

Sample 8adusted: 2 2+0

!n"luded obser#ations: 2,9 a%ter adustments

$on#eren"e a"hie#ed a%ter * iterations

Varian"e ba"3"ast: =

A$? B $8 C $8,'S!D8(1E2

$oe%%i"ient Std& 'rror 5(Statisti" )rob&

A$? 0&001262 0&0009,0 1&,2,66 0&1-9,

$ (0&1++,0 0&0,201 (&69-+ 0&0002

Varian"e 'quation

$ 0&-2,9+ 0&099902 -&2121 0&0000'S!D8(1E2 &999-96 0&2*6*, 16&-+-69 0&0000

(squared (0&020660 Mean dependent #ar (0&0,26,

:ο υπόδειγμα που εκτιμάμε" %υσικά δε! εί!αι το γ!ωστό γιατί ταδεδομέ!α κατασκευάσθηκα! με βάση το υπόδειγμα στοαστικήςμεταβλητικότητας.

8 έλεγος για σ%άλματα τύπου OP?Q,0- %αί!εται στο! επόμε!οπί!ακα. *πό τα αποτελέσματα για τη! πιθα!ότητα του ελέγου

έουμε OP?Q σε επίπεδο 6U" αλλά όι σε επίπεδο 1U.

$? Test:

(statisti" &+,*22 )robabilit> 0&06+,

=bs(squared 6&6106, )robabilit> 0&0669

Test 'quation:

Dependent Variable: 'S!DE2


Sample 8adusted: , 2+0

!n"luded obser#ations: 2,- a%ter adustments


$ *&+,06*- &102-2 2&-+21+6 0&006,

'S!DE28(1 0&0-1,*9 0&06-6 1&12*00- 0&260,

'S!DE28(2 0&1,109 0&06-+ 2&229-1 0&026-

+'


22/27


(squared 0&026-6 Mean dependent #ar 10&*,*00

:ο υπόδειγμα στοαστικής μεταβλητικότητας που ρησιμοποιείλογαρίθμους" μπορεί !α γρα%εί σε μια απλούστερη μορ%ή. *ςυποθέσουμε ότι&

( )2 0,~t t y IN σ "2 2

1345 ( 345


−

+ × + " ( )2~ 0,t t iidN ε σ .

'πορούμε !α εκ%ράσουμε τη! πρ$τη σέση στη μορ%ή t t t y z σ = " όπου

( )~ 0, 1t z iidN . 7$!ο!τας στο τετράγω!ο και λαμβά!ο!τας

λογαρίθμους" έουμε&

2 2345 ( 345t t t

y σ ξ + " όπου 2 ( 345t t

z ξ εί!αι έ!α στοαστικό σ%άλμα.

*! ορίσουμε 2345t t

aσ = και 2345t t

X y= που αποτελεί στοιεία" το

υπόδειγμά μας εί!αι απλά&

(t t t

X a ξ + "

1 (

t t t a aγ δ ε

−

+ × + .

8 στοαστικός όρος t ξ δε! μπορεί" %υσικά" !α έει τη! κα!ο!ική

κατα!ομή0. *!" ωστόσο" θεωρηθεί σε πρ$τη προσέγγιση σα!κα!ο!ικός" το υπόδειγμα εί!αι σε μια μορ%ή που μπορεί !α εκτιμηθείμε τη μέθοδο μέγιστης πιθα!ο%ά!ειας κιD έ!α! αλγόριθμο που εί!αιγ!ωστός σα! %ίλτρο του alman.

Η μεταβλητή t a " δηλαδή ο λογάριθμος της διακύμα!σης" εί!αι γ!ωστή

σα! μεταβλητή κατάστασης ,state varia!le- και τέτοια υποδείγματαεί!αι γ!ωστά σα! υ!ο#είγματα στο "(ρο καταστάσεω >statespace models?.

8ρισμέ!α απD αυτά τα ε!δια%έρο!τα υποδείγματα" μπορού! !αεκτιμηθού! με τη ρήση του προγράμματος EViews.

:α αρικά μας δεδομέ!α" όπως είπαμε" προέρο!ται από έ!αυπόδειγμα με στοαστική μεταβλητικότητα. )οια θα ήτα! τα

αποτελέσματα" α! παλι!δρομούσαμε το 2t

y στο 21t

y−

N Mπως %αί!εται

στο! επόμε!ο πί!ακα" τα αποτελέσματα δε! εί!αι πολύ καλά. 'ε τη!

2 Η κατανομή του όρου αυτού %εν είναι γνωστή&

+)


23/27


έ!!οια αυτή" τα υποδείγματα OP?Q και στοαστικήςμεταβλητικότητας" εί!αι πολύ δια%ορετικά μετα+ύ τους.

+*


24/27


Dependent Variable: YE2


Sample 8adusted: 2+0

!n"luded obser#ations: 2,* a%ter adustments


$ 9&*9,-, &0,+69 &2+0616 0&001

Y8(1E2 0&0*,- 0&06++ 1&2-9*1 0&1*+,

(squared 0&00-11* Mean dependent #ar 10&*06*,

dusted (squared 0&000*2 S&D& dependent #ar ,6&-62,2

S&'& o% reression ,6&6901 3ai3e in%o "riterion 10&+29*

Sum squared resid +62-6& S"h4ar5 "riterion 10&+612

Lo li3elihood (10,&090 (statisti" 1&-6+

Durbin(7atson stat 2&0269 )rob8(statisti" 0&1*+,1+

*! είαμε ρησιμοποιήσει έ!α σήμα OP?Q,4- ο συ!τελεστήςπροσδιορισμού θα αυ+α!ότα! σε περίπου G"6U.

:έλος" για τη! εκτίμηση του υποδείγματος ,S-OP?Q"2 2 2

1 1t t t uσ γ δ ρ σ

− −

= + × + × " τα περισσότερα οικο!ομετρικά προγράμματα

επιβάλλου! τους περιορισμούς ότι τα γ" δ και ρ εί!αι μη αρ!ητικά.

*υτό μας ε+ασ%αλί;ει τη! απαίτηση ότι η μεταβλητικότητα2

t σ εί!αι

θετική.

(ια !α εί!αι το υπόδειγμα στάσιμο" θα πρέπει !α έουμε 1δ ρ + < . *!1δ ρ + ≥ " τότε η διακύμα!ση διαρο!ικά αυ+ά!ει και μετά από έ!α!

αριθμό περιόδω! γί!εται πολύ μεγάλη" με συ!έπεια οι αποδόσεις τηςτιμής της μετοής !α προέρο!ται από κατα!ομές με μεγάληδιακύμα!ση. :ο γεγο!ός αυτό" δε! %αί!εται ρεαλιστικό.

*υτό" μπορείτε !α το διαπιστ$σετε εύκολα με τη ρήση ε!όςπροσομοιωμέ!ου δείγματος" όπως ακριβ$ς κά!αμε στη! αρή. #α!παράδειγμα" μπορείτε !α θεωρήσετε το απλό υπόδειγμα στοαστικής

μεταβλητικότητας&2 2

10,01t t t σ σ ε −= − + + " με ( )~ 0, 1t iidN ε .

#α! μια επιπλέο! άσκηση" α%ή!εται η εκτίμηση τω! αρικ$!δεδομέ!ω! με τη ρήση του υποδείγματος SOP?Q ή SOP?QA. 2αδιαπιστ$σετε γιατί αυτά τα αποτελέσματα δε! εί!αι ικα!οποιητικά.

0


25/27


9!α άλλο αρακτηριστικό πολλ$! ρηματοοικο!ομικ$! σειρ$! εί!αιότι παρουσιά;ου! βαριές ουρές ,heavy tails- με τη! έ!!οια ότιυπάρου! περισσότερη μά;α πιθα!ότητας !α εμ%α!ισθού! ακραία%αι!όμε!α ,δηλαδή αποδόσεις G ή 4 τυπικές αποκλίσεις σε σέση μετο! μέσο-. :α υποδείγματα με στοαστική μεταβλητικότητα ή

μεταβλητικότητα τύπου ,S-OP?Q επιτρέπου! τέτοια %αι!όμε!α" σεέ!α! ορισμέ!ο βαθμό.

)ολλές %ορές" αυτός ο βαθμός δε! εί!αι εμπειρικά αρκετός κιD έτσιέου! προταθεί υποδείγματα στα οποία η κατα!ομή τω! αποδόσεω!"

t y " εί!αι "tudent-t με σετικά μικρούς βαθμούς ελευθερίας ! ,για

παράδειγμα" !L6- και μεταβλητικότητα τύπου SOP?Q.

Η κατα!ομή "tudent-t# εί!αι γ!ωστό ότι έει πιο βαριές ουρές σεσέση με τη! κα!ο!ική" εκτός α! οι βαθμοί ελευθερίας +0ν > " στη!οποία περίπτωση ,όπως γ!ωρί;ουμε πολύ καλά από τη θεωρία

ελέγου υποθέσεω!- εί!αι πολύ κο!τά στη! κα!ο!ική κατα!ομή.

8ι ουρές της κατα!ομής εί!αι" γε!ικά" τόσο βαριές" $στε με 1ν = " ημέση τιμή της κατα!ομής δε! υπάρει. (ια !α υπάρει η διακύμα!σητης κατα!ομής" θα πρέπει !α έουμε 2ν > . (ια !α υπάρου! οι πρ$τεςτέσσερεις ροπές" πρέπει !α έουμε ν > . #ε α!τίθεση" ίσως" με ότιγ!ωρί;ουμε για τη! κατα!ομή "tudent-t" δε! εί!αι α!αγκαίο οι βαθμοίελευθερίας ! !α εί!αι έ!ας ακέραιος αριθμός. 8ποιαδήποτε θετικήτιμή εί!αι αποδεκτή. Η κατα!ομή αυτή" μπορεί !α ρησιμοποιηθεί μετο EViews" σε συ!δυασμό με υποδείγματα τύπου SOP?Q. 'ιασύγκριση τω! κατα!ομ$! "tudent με 1ν = και της κα!ο!ικής

κατα!ομής" %αί!εται στο επόμε!ο διάγραμμα.

1


26/27


Καταομές !ου ε!ιτρέ!ου !ιο !ολλές ακραίες τιμές$ σεσ"έση με τη καοική καταομή$ είαι γωστές σαλε!τόκυρτες και είαι$ φυσικά$ !ολ, "ρήσιμες στη!εριγραφή τω "ρηματοοικοομικ( στοι"είω.

/πίσης" τόσο η κα!ο!ική όσο και η "tudent-t κατα!ομή εί!αισυμμετρικές. *υτό σημαί!ει" ότι δε! επιτρέπου! ασυμμετρικήσυμπερι%ορά τω! αποδόσεω! τω! τιμ$! τω! μετο$!. Η συμμετρία"εδ$" σημαί!ει" ότι η πιθα!ότητα αποδόσεω! μεγαλύτερω! από το!μέσο" εί!αι ίδια με τη! πιθα!ότητα αποδόσεω! μικρότερω! από το!μέσο ,ή τη! διάμεσο" α! ο μέσος δε! υπάρει-" δηλαδή V.

Kατα!ομές που εί!αι μη συμμετρικές και επίσης έου! βαριές ουρές"υπάρου! αλλά δε! θα μας απασολήσου! εδ$. 'πορούμε" ωστόσο"!α κατασκευάσουμε εύκολα υ!ο#είγματα !ου είαι συμβατά μεασυμμετρική συμ!εριφορά κιD έτσι !α ελέγ+ουμε τη! ύπαρ+ή της.9!α τέτοιο παράδειγμα" εί!αι μια παλι!δρόμηση του τύπου

2


27/27


1 1t t t t t t y y I y I uα β γ δ

− −

= + + + + " όπου ( )1t t I I y c−= > ισούται με τη μο!άδα"

α! η συ!θήκη 1t y c− > ικα!οποιείται και μηδέ! δια%ορετικά.

Η συ!άρτηση ( ) I × " εί!αι γ!ωστή σα! δείκτρια συ!άρτηση ,indicator

function-. *υτή" δε! εί!αι παρά μια ευδομεταβλητή. :ο c εί!αι απλάμια σταθερά ή ε!δεόμε!α μια παράμετρος που θα πρέπει !αεκτιμηθεί. :ο υπόδειγμα θα εί!αι&

1t t y yα β

−

= + ότα! 1t y c− ≤ και ( ) ( ) 1t t y yα γ β δ −= + + + " δια%ορετικά.

8 έλεγος της υπόθεσης ότι 0γ δ = = " ισοδυ!αμεί με το! έλεγο τηςυπόθεσης ότι δε! έουμε δια%ορετική, δηλαδή ασυμμετρική-συμπερι%ορά α!άλογα με το α! οι τιμές τω! απόλυτω! αποδόσεω!εί!αι μεγάλες ή μικρές.

:έλος" τα υποδείγματα με στοαστική μεταβλητικότητα ήμεταβλητικότητα τύπου ,S-OP?Q" εί!αι πολύ ρήσιμα στη!τιμολόγηση δικαιωμάτω! ,options- με βάση το! κα!ό!α $lack-"choles.

lectures in applied econometrics 14

Documents