le plan des cours danalyse etude des phénomènes variables cm1-cm2 décrire les variations étude...
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Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’
CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles
CM3 Prendre du recul calculer une primitive et intégrer une fonction
CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle
MathSV : chapitre 6
Equations différentielles
• Introduction à la modélisation
• Définitions et généralités
• Méthodes de résolution
Croissance de la population chinoise
Etape 1
Démographie en Chine 1,28 milliards d’habitants en 2001
Une politique de contrôle des naissances
La démarche de modélisation
1. partir d’une problématique qui concerne le monde du vivant
Croissance de la population chinoise
Etape 2
Les conséquences d’une politique démographique :
le nombre d’habitant en 2005 ? En 2010 ?
La démarche de modélisation
2. identifier le phénomène à étudier, préciser le problème qui se pose
Croissance de la population chinoise
Etape 3
Modélisation de la variation au court du temps de la taille de la population chinoise : N(t)
Un problème de démographie (dynamique de population)
La démarche de modélisation
3. traduire le problème en langage mathématique/informatique/statistique
Données : Naissances, morts, migrations (négligées) :
On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période 2001-2005 seront stables :
Le taux de natalité est de 13‰ en 2001, le taux de mortalité est de 3‰.
Modèle : une équation différentielle
Etape 4
Quels sont les processus qui provoquent cette variation ?
Croissance de la population chinoise
La démarche de modélisation
4. faire l’inventaire des modèles connus et des données utiles
Etape 5
“Modèle exponentiel en temps continu”
r = taux d’accroissement absolu (constant = indépendant de N)
Mortalité AccroissementNatalité
dN taN t bN t rN t
dt
r a b
Croissance de la population chinoise
La démarche de modélisation
5. sélectionner un modèle et recueillir les données puis proposer une réponse
Résoudre le problème
K = N(t=0) = 1,28 milliards d’habitant en 2001r = (13-3)/1000 = 0,01N(t=4) = 1,33 milliards d’habitants en Chine en 2005.
rdtN
dNrN
dt
dN
Cstertrdt
CsteNN
dN)ln(
)exp()()ln( rtKtNCstertN Solution :
La démarche de modélisation
6. validation, protocoles expérimentaux, généralisations...
Exemple en pharmaco-cinétique
Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, sa concentration dans le sang est instantannément maximale, puis elle décroît… comment ?
f(t)=?
Exemple en pharmaco-cinétique
A partir d’un instant t, “la diminution de cette concentration est proportionnelle à la concentration à l’instant t” :
)()( tftf
Solution : )exp()( 0 tftf
Définitions, généralités
Définition
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x
et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.
Equation différentielle d’ordre n :
0),...,,,,( )( nyyyyxF
Définition
On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x
et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.
Equation différentielle d’ordre 1 :
0),,( yyxF
Exemple et notation
xyy
Dérivée première :
Dérivée nième :
dx
dyy
n
nn
dx
ydy )(
Lexique général
• Résoudre (intégrer)
Ndt
dN05,0
tKetN 05.0)(
MathSV : chapitre 6, section 7.1
Lexique général
• Solution générale
• Condition initiale
• Solution particulière
1010)0( KN
tetN 05,010)(
Ndt
dN05,0
tKetN 05.0)(
Lexique général
• Courbe intégrale
Équations Différentielles d’ordre 1
1. À variables séparables
2. Homogènes
3. Linéairessans second membreavec second membreà coefficients constants
E. D. 1 à variables séparablesOn peut se ramener à
“une intégrale sur y = une intégrale sur x”
2 2y xx
yKy
y
xy
Evolution de la population chinoise
la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population
Mortalité AccroissementNatalité
dN taN t bN t rN t
dt
Evolution du poids d’un organisme
mentralentissecroissance
pkpdt
dp 2
MathSV : chapitre 6, section 7.2.1
E. D. 1 homogène
On peut se ramener à une équation à variables séparablespar un changement de variable u = y/x
dx
duxu
dx
dy
xuy
xCxy
xCu
Cstexu
ln2
ln2
ln2
2
xy
xyy
22
x
yu
x
dxuduuf
u
u
dx
dy
xy
xyy
)(
1222
E. D. 1 linéaires
y f x y g x De la forme :
Linéaire en y
Second membre
1er ordre
E. D. 1 linéaires
y f x y g x
•ED linéaire d’ordre 1 sans second membre SSM
•ED linéaire d’ordre 1 avec second membreASM
•ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant
0)( xg
0)( xg
Cstexf )(
Méthodes de résolution des ED linéaires du 1er ordre
E. D. d’ordre 1 linéaire SSM
Une ED linéaire Sans Second Membre est
une ED à variables séparables
à solution de forme exponentielle
dxxfy
dyyxf
dx
dyyxfy )()(0)(
)()(ln xFKeyCstexFy
Selon les cas :
– Rechercher une solution particulière yp
– Méthode de variation de la constante
y f x y g x
E. D. d’ordre 1 linéaire ASM
Avec recherche d’une solution particulière
2 1y xy x
1. Résoudre l’ED sans second membre :
2exp0
2
1
xKyxyy
Avec recherche d’une solution particulière
2 1y xy x
2. Trouver une solution particulière :
baxy p De la forme
0
1
b
aPar identification, on obtient
Avec recherche d’une solution particulière
2 1y xy x
3. La solution générale est : la solution de l’ED SSM + la solution particulière
xx
Kyyy p
2exp
2
1
Avec recherche d’une solution particulière
La solution de l’ED SSM + Une solution particulière
est la solution générale
y f x y g x
pxF
p yKeyyy )(1
F est la primitive de f
1. Résoudre l’ED sans second membre :
Kxyx
yy 10
Méthode de variation de la constante
2xx
yy
2. Faire varier la constante :
De la forme
Par identification, on obtient
Méthode de variation de la constante
xxKy )(
2xx
yy
Cx
xKxxK 2
)()(2
Méthode de variation de la constante
y f x y g x
)()( xFexKy
On cherche une solution générale de la forme
F est la primitive de f
ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant
)(xgayy
y f x y g x avec f ( x ) = Cste = a
- Si g ( x ) est un polynôme de degré n
alors on cherche une solution particulière yp = an xn + an-1 xn-1 +… + a1x + a0 (un polynôme de degré n)
- Si g ( x ) = eax P ( x ) alors on pose yp = eax z
ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant
)(xgayy
y f x y g x avec f ( x ) = Cste = a
- sinon : la méthode de variation de la constante