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Diceva Galileo Galilei, il grande fisico italiano vissuto quattrocento anni fa:

«La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aper-to innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intendere la lingua, conoscere i caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche...».

Le formule matematiche

Che cosa leggiamo nel libro dell’universo? Per esempio, che la Luna percorre un’orbita pressappoco circolare con la Terra al centro. La distanza Terra-Luna è il raggio dell’or-bita, che vale circa 400 000 kilometri.

Immaginiamo, allora, di dire «buongiorno» via radio a un astronauta sulla Luna. I se-gnali radio viaggiano alla velocità della luce, cioè percorrono 300 000 kilometri al secon-do. Quindi il nostro saluto arriva a destinazione dopo poco più di un secondo:

tempo di arrivo = velocità della lucedistanza Terra Luna-

= 300 000 s

km400 000 km

= 34

s = 1,3 s.

Per sapere con quanti secondi di ritardo l’astronauta sente il buongiorno, abbiamo cal-colato il rapporto tra due numeri, cioè abbiamo applicato una formula matematica. Ri-uscire a mettere in relazione i numeri tramite le formule significa «intendere la lingua» della fisica.

Ogni formula risponde a tante domande. Per calcolare il ritardo che subisce la conver-sazione con un astronauta su Marte, anziché sulla Luna, la formula da usare è la stessa: il tempo (t) è uguale alla distanza (D) diviso la velocità della luce (c).

La distanza media Terra-Marte è 225 milioni di kilometri. Quindi, l’astronauta su Marte riceve il buongiorno dopo 12 minuti e mezzo:

t = cD

= 300 000 s

km225 000 000 km

= 750 s = 12,5 min.

formula con le parole

Galileo Galilei (1504 - 1642) è

l’inventore del metodo sperimentale:

sono gli esperimenti che decidono se

un’affermazione è vera o falsa.

Neil Armstrong (1930-2012),

l’astronauta che per primo ha messo

piede sulla Luna il 20 luglio 1969.

NAS

A/S

cien

ce s

ourc

e

LE 10 COSE CHE DEVI SAPERE DI MATEMATICAper imparare la fisica

formula con i simboli

distanza

tempo

velocità della luce

2

Le 10 cose che devi sapere di matematica0

1 CALCOLARE UN’EQUIVALENZAPer esprimere una misura ci vogliono un numero e un’unità di misura

«Sono alto 1,75. La mia massa è aumentata di 2.» Queste frasi non hanno significato. Per esprimere un’altezza, una massa o qualsiasi altra misura, dobbiamo far seguire al numero l’unità di misura, per esempio, «1,75 m» e «2 kg».

L’unità di misura fondamentale della lunghezza è il metro (m); quella della massa è il ki-

logrammo (kg). Altre unità di lunghezza e di massa sono elencate nelle due tabelle a lato.

Come si fa a convertire un’unità di lunghezza in un’altra, un’unità di massa in un’altra

Un’equivalenza esprime una stessa misura in due unità diverse.

1,75 m = 175 cm; 2 kg = 20 hg.

428 mm = 42,8 cm; 153 g = 1,53 hg.

Se la seconda unità è 10, 100… volte più piccola della prima, si moltiplica la misura per 10, 100…;

se la seconda è 10, 100… volte più grande della prima, si divide il numero per 10, 100…

Con le unità di area si va di 100 in 100

L’area di una pagina di quaderno è 623,4 cm2, cioè 6,234 dm2 o 0,06234 m2.

L’unità di misura fondamentale dell’area è il metro quadrato (m2), cioè il metro molti-plicato per se stesso. Poiché il decimetro è 10 volte più piccolo del metro, il decimetro quadrato (dm2) è 10 × 10 = 100 volte più piccolo del m2; il centimetro quadrato (cm2) è 100 × 100 = 10 000 volte più piccolo del m2:

1 dm2 = 1001 m2; 1 cm2 = 100

1 dm2 = 10 0001 m2.

Perciò, per esprimere in m2 una misura data in dm2, si divide per 100; per esprimere in cm2 una misura data in dm2, si moltiplica per 100.

Con le unità di volume si va di 1000 in 1000

L’unità di misura fondamentale del volume è il metro cubo (m3); tra le altre unità ci sono il decimetro cubo (dm3) e il centimetro cubo (cm3):

1 dm3 = 10001 m3; 1 cm3 = 1000

1 dm3 = 1 000 0001 m3.

Il decimetro cubo è chiamato anche litro (L). Un decilitro (dL), un centilitro (cL) e un millilitro (mL) sono, rispettivamente, un decimo, un centesimo e un millesimo di litro:

dL = 0,1 L = 0,1 dm3; 1 cL = 0,01 L = 10 cm3; 1 mL = 0,001 L = 1 cm3.

Quali sono e come si usano le relazioni tra le unità di misura del tempo

L’unità di misura fondamentale del tempo è il secondo (s). In un minuto (min) ci sono 60 secondi e in un’ora (h) 60 minuti; un giorno (d) è fatto di 24 ore e un anno (a) com-prende 365 giorni (366 se bisestile). Perciò valgono le seguenti uguaglianze:

15 min = 6015 h = 0,25 h; 15 min = 15 × 60 s = 900 s.

Scomponiamo in un numero intero di giorni, ore e minuti la durata di 3,55 d:

3,55 d = 3 d + 0,55 × 24 h = 3 d + 13,2 h = 3 d + 13 h + 0,2 × 60 min = 3 d + 13 h + 12 min.

aLcUNe UNitÀ di

LUNGheZZa

reLaZioNecoN iL metro

kilometro(km)

1 km = 1000 m

ettometro(hm)

1 hm = 100 m

decametro(dam)

1 dam = 10 m

decimetro(dm)

1 dm = 101

m

centimetro(cm) 1 cm = 100

1 m

millimetro(mm)

1 mm = 10001

m

aLcUNe UNitÀ di massa

reLaZioNe coN iL

KiLoGrammo

ettogrammo(hg)

1 hg = 101

kg

grammo(g)

1 g = 10001

kg

UNitÀ di misUra deL tempo

1 min = 60 s;

1 h = 60 min = 3600 s;

1 d = 24 h = 86 400 s;

1 a = 365 d = 31 536 000 s.

3

Le 10 cose che devi sapere di matematica 0 ESERCIZI

La massa di una zanzara vale 0,010 g.

▶ Esprimila in mg e in kg.

Una borsa che pesa 32 g viene riempita con 1,250 kg di mele, 3,80 kg di pane e 4 merendine da 4,3 dg.

▶ Esprimi in kilogrammi la massa della borsa piena.

[1,834 kg]

Converti le seguenti lunghezze in metri:

a. 2,5 km = 2 500 m

b. 800 mm = …

c. 71 dam = …

d. 3,4 cm = …

Un ciclista percorre 8 000 m, 7 dam e 2 hm.

▶ Quanti kilometri ha percorso?

▶ Quanti metri deve percorrere ancora per totaliz-zare 10 km?

[8,270 km; 1730 m]

Converti le seguenti masse in kilogrammi:

a. 650 g = ….

b. 9,23 hg = …

c. 18,07 mg = …

d. 45 g = …

Converti le seguenti masse in grammi:

a. 271 hg = …

b. 0,03 kg = …

c. 98,15 dg = …

d. 64,25 mg = …

Un lottatore di sumo ha una massa pari a 230,5 kg. La massa del suo avversario è di 15 200 g in meno.

▶ Quanti kg pesa l’avversario?

[215,3 kg]

Un lavoratore pendolare trascorre in media 2 ore e mezza sui mezzi pubblici ogni giorno, se i mezzi sono tutti puntuali. Alla fine del mese può chiedere un rimborso se in totale i mezzi hanno accumulato un ritardo maggiore del 10% della durata totale dei viaggi nel mese. Nel mese di gennaio il ritardo totale accumulato è stato di 520 minuti.

▶ Può chiedere il rimborso?

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▶ Quanto tempo ha trascorso in totale sui mezzi pubblici nel mese di gennaio?

[sì; 83,7 h]

In laboratorio devi prelevare da un rubinetto 1,41 L di acqua. Hai a disposizione un cilindro da mezzo litro, un piccolo becher da 12 cL e un cucchiaio da 5 cL.

▶ Quante volte utilizzi il cilindro, il becher e il cuc-chiaio per ottenere il volume che devi prelevare?

Esprimi le seguenti misure di aree nelle unità indi-cate:

a. 100 cm2 = __________ m2

b. 3,7 km2 = __________ mm2

c. 25 dm2 = __________ hm2

d. 8,4 dam2 = __________ cm2

Il giardino della casa di campagna di Dario ha forma rettangolare: è lungo 0,020 km e largo 1500 cm.

▶ Quanto misura l’area del giardino in m2?

[300 m2]

Esprimi le seguenti misure di volume nelle unità in-dicate:

a. 2 dm3 = __________ cm3

b. 415 190 mm3 = __________ m3

c. 7,93 hm3 = __________ dam3

d. 1 868 L = __________ m3

Un serbatoio contiene 2 000 L di acqua.

▶ A quanti m3 corrisponde questo volume?

▶ Quante bottiglie da 2 dm3 si potrebbero riempire con tale quantità d’acqua?

[2 m3; 1 000]

Esprimi le seguenti misure di tempo nelle unità in-dicate:

a. 18,27 d = ___ d ___ h ___ min ___ s

b. 12,5 h = _______ s

c. 18 h 50 min = _______ s

d. 3 d 15 h 27 min 41 s = ____ h ____ min

Il 12 Novembre Amelia afferma che manca-no 17 280 minuti al suo compleanno.

▶ In che giorno Amelia compie gli anni?

[24 Novembre]

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2 RISOLVERE UNA PROPORZIONEUna proporzione è un’uguaglianza tra rapporti

Con 3 uova si preparano 4 porzioni di tiramisù. Per prepararne 8 porzioni (2 × 4 por-zioni) ci vogliono 6 uova (2 × 3 uova).

Numero di porzioni e numero di uova sono in proporzione: per avere più porzioni dob-biamo usare più uova, perché nella ricetta del tiramisù il rapporto tra uova e porzioni è fisso. Vale l’uguaglianza:

3 : 4 = 6 : 8 o 43 = 8

6 .

Entrambi i rapporti, ai due lati del segno «=», sono uguali a 0,75.

Con 7,50 € si comprano 3 kg di pane; con 5,00 € se ne comprano 2 kg.

I soldi spesi e i kilogrammi di pane acquistati sono in proporzione:

(7,50 €) : (3 kg) = (5,00 €) : (2 kg) o 3 kg7,50 € = 2 kg

5,00 €

Entrambi i rapporti sono uguali a 2,50 €/kg, cioè al prezzo unitario del pane (prezzo al kilogrammo).

Risolvere una proporzione significa calcolare il termine incognito quando gli altri tre sono noti

Quante uova servono per preparare 480 porzioni alla sagra del tiramisù?

Indichiamo con x il numero incognito delle uova. In base alla ricetta, x uova stanno a 480 porzioni come 3 uova stanno a 4 porzioni:

x : 480 = 3 : 4

La soluzione è x = 43 480# = 360. Infatti, con la sostituzione x → 360 la proporzione è

verificata (360 : 480 = 0,75).

Se l’incognita x è un estremo, il suo valore è uguale al prodotto dei medi diviso per l’altro estremo.

Un tratto di corda lungo 9 m ha una massa di 600 g. Qual è la lunghezza x di un tratto di corda dello stesso tipo che ha una massa di 200 g?

La lunghezza e la massa della corda sono in proporzione:

(9 m) : (600 g) = x : (200 g).

Questa proporzione è verificata per x = 600 g

(9 m) (200 g ) = 3 m.

Se l’incognita x è un medio, il suo valore è il prodotto degli estremi diviso per l’altro medio.

Figure geometriche simili hanno lati corrispondenti proporzionali

I due triangoli ABC e PQC hanno gli angoli corrispondenti congruenti; perciò sono simili. Qual è la lunghezza x del lato PQ?

Tra le lunghezze dei lati vale la proporzione QP : AB = PC : BC , cioè

x : (30 mm) = (20 mm) : (50 mm),

che è verificata per x = ( ) ( )

mmmm mm

5030 20

= 12 mm.

Possiamo scrivere la proporzione in forme equivalenti (che danno lo stesso risultato), per esempio con i medi scambiati: QP : PC = AB : BC .

3 uova

=

2x3 uova

2x4 porzioni

Stesso Rapporto

4 porzioni

estremi

medi

A

20

mm

30 mm

P

50 m

m

Q

C

B

x

5


Su una carta geografica con una scala 1 : 1 000 000, due località distano 5,2 cm.

▶ Quanto vale la loro distanza reale in linea d’aria?

[52 km]

A partire dai seguenti rapporti, puoi costruire 4 pro-porzioni. Quali?

; ; ; ; ;21

53

24

106

126

2412

Quali delle seguenti 5 coppie di rapporti non costi-tuiscono una proporzione?

; ; ; ; ; ; ; ; ,32

74

510

612

101

1000100

169

43

62525

1255

[la 1a e la 4a]

Risolvi le seguenti proporzioni:

a. : x12 8 2=

b. : :x 27 10 54=

c. , : , : ,x6 0 1 8 8 1=

d. : : x250 17 750=

e. 35 : 5 = 70 : x

[3; 5; 27; 51; 10]

Risolvi le seguenti proporzioni:

a. : :x 24 12 384=

b. : :x x72 18=

c. , : , : ,x6 4 102 4 25 6=

d. : x12 16 36=

e. 8,2 : x = 9,84 : 6

[3/4; 36; 1,6; 27; 5]

Un foglio di carta ha dimensioni rispettivamente pari a 15,0 cm e 10,5 cm.

▶ È possibile riprodurre su questo foglio un’imma-gine le cui dimensioni originarie sono rispetti-vamente pari a 20,0 cm e 12,0 cm, senza tagliare l’immagine né lasciare spazi bianchi?

Una stanza rettangolare è larga 4,0 m e lunga 5,2 m. Vogliamo realizzarne una piantina in scala, in modo che la larghezza della stanza risulti 16,0 cm.

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▶ Qual è lunghezza della piantina?

[20,8 cm]

Nella foto in scala 1:60, la Jaguar XJ-S è lunga 7,5 cm e largo 3,0 cm.

▶ Quali sono le dimensioni dell’automobile reale?

[4,5 m; 1,8 m]

Un poster, le cui dimensioni di stampa sono 80 cm (larghezza) x 100 cm (altezza), è stato realizzato con un software installato su un personal computer il cui schermo misura 34,5 cm (larghezza) x 19,5 cm (al-tezza).

▶ Determina le dimensioni effettive del poster quando è visualizzato per intero sullo schermo del pc mantenendo le proporzioni tra larghezza e lunghezza e nell’ipotesi di adottare una visualiz-zazione “a schermo intero”.

[larghezza 15,6 cm; altezza 19,5 cm]

Vanessa ha disegnato un triangolo isoscele di base 60 mm e lato obliquo 100 mm. Adesso vuole di-segnarne uno simile in modo che i lati obliqui misu-rino una volta e mezza quelli originari.

▶ Quanto misurerà la base del nuovo triangolo?

▶ E l’altezza?

[90 mm; 143 mm]

Per preparare 800 g di marmellata di albicocche ci vogliono 1,8 kg di albicocche e 350 g di zucchero.

▶ Trova le dosi necessarie per preparare 2 kg di marmellata.

[4,5 kg, 875 g]

Per ottenere 5 L di olio occorrono 18 kg di olive.

▶ Quanti litri di olio si ottengono con 936 kg di oli-ve?

[260 L]

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Nadez

da M

urm

ako

va/S

hutt

erst

ock

6


3 CALCOLARE UNA PERCENTUALEUn rapporto percentuale è una frazione con denominatore 100

25% = 10025 = 4

1 = 0,25.

Il simbolo «%» significa «fratto 100», cioè «diviso per 100».

perceNtUaLe 10% 20% 25% 50% 75% 100%

NUmero decimaLe 0,1 0,2 0,25 0,5 0,75 1

FraZioNe101

51

41

21

43

11

Una percentuale di un numero è un rapporto percentuale moltiplicato per il numero

Gli iscritti al primo anno delle scuole secondarie italiane di secondo grado sono circa 500 000. Il 52% ha scelto un liceo, il 30,5% un istituto tecnico. Quanti sono i nuovi iscrit-ti dei licei e quanti i nuovi iscritti degli istituti tecnici?

Licei: 10052 × 500 000 = 260 000. Istituti tecnici: ,

10030 5 × 500 000 = 152 500.

Per fare calcoli con le percentuali si devono risolvere proporzioni che hanno un termine uguale a 100

Quest’anno sono caduti 1600 mm di pioggia, l’80% della pioggia caduta un anno fa. Quanto è piovuto un anno fa?

La quantità x di pioggia caduta l’anno scorso è data dalla proporzione

(1600 mm) : x = 80 : 100.

Risolvendola, otteniamo x = 80(1600 mm) 100#

= 2000 mm.

Da un valore iniziale e un valore finale si calcola la variazione percentuale

L’indice FTSE MIB della Borsa italiana valeva 16 637,00 punti all’apertura della giornata finanziaria e vale 16 969,74 punti alla chiusura: di quanto è variato in percentuale?

La variazione subita dall’indice (un aumento, perché il valore finale è maggiore di quello iniziale) è:

16 969,74 − 16 637,00 = 332,74.

In percentuale rispetto al valore iniziale, questa variazione è data dalla proporzione

332,74 : 16 637,00 = x : 100,

che è verificata per x = ,,

16 637 00332 74 100# = 0,02 × 100 = 2.

Quindi, nella giornata, la variazione percentuale del FTSE MIB è stata +2%. Se l’indice fosse diminuito, la variazione percentuale sarebbe stata negativa.

Da un valore iniziale e una variazione percentuale si calcola il valore finale

Un paio di jeans costa 120 euro. Qual è il suo prezzo con lo sconto del 30%?

120 € − 10030

× (120 €) = 120 € − 36 € = 84 €.

Se una quantità positiva diminuisce del 100% diventa zero. Se una quantità positiva aumenta del 100% raddoppia; se aumenta del 200% triplica.

2016/17

liceo

tecnico

professionale

52,0%

30,5%

17,5%

variazione

La variazione

variazione > 0

variazione < 0

aumento

diminuzione

valorefinale

= − valoreiniziale

variazione % 100%variazione

La variazione percentuale

= ×valoreiniziale

variazione

valore iniziale variazione %

valore finale

7


Determina le percentuali indicate:

a. il 15% di 280 è 42

b. il 24% di 225 è ___________

c. il 3,6% di 115 è ___________

d. lo 0,88% di 0,900 è ___________

Calcola la percentuale:

a. 34 rispetto a 50 è il 68%

b. 0,17 rispetto a 1,2 è il ___________

c. 2,9 rispetto a 7,5 è il ___________

d. 13,8 rispetto a 200 è il ___________

Determina il numero che costituisce la percentuale indicata:

a. il 30% di 240 è 72

b. lo 0,85% di 6,8 è ___________

c. l’11,5% di 14,0 è ___________

d. il 91% di 0,80 è ___________

Il diametro di una penna, misurato con un calibro, è di 1,015 cm con un’incertezza dello 0,5%.

▶ Qual è, in millimetri, il massimo errore che si può commettere in questa misura?

[0,05 mm]

Maria ha acquistato online un hard disk portatile al prezzo di € 62,00. La settimana prima aveva visto lo stesso hard disk in un negozio della sua città al prez-zo di € 79,00.

▶ Quanto ha risparmiato in percentuale rispetto al prezzo del negozio?

[21,5 %]

In 100 g d’acqua sciogliamo 2,56 g di sale da cucina.

▶ Qual è la percentuale di sale nella soluzione, cioè la percentuale del sale rispetto all’intera massa dell’acqua e del sale?

[2,50%]

Antonio è in laboratorio e deve preparare 2 L di acqua régia. Lui sa che l’acqua régia è una miscela composta dal 25 % in volume di acido nitrico e dal restante 75 % di acido cloridrico.

▶ Quanti litri di acido nitrico e di acido cloridrico dovrà utilizzare Antonio per preparare i 2 L di miscela?

[0,5 L e 1,5 L]

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L’acciaio inossidabile è una lega costituita da ferro (85%), cromo (13%) e carbonio (2%).

▶ In un oggetto di acciaio inossidabile di massa pari a 1,25 kg qual è la massa rispettivamente del ferro, del cromo e del carbonio contenuti?

[1,06 kg; 0,16 kg; 0,03 kg]

Carmen per preparare delle “arepas”, piatto tipico venezuelano a base di farina di mais bianco, utiliz-za 500 g di farina e 625 g di acqua.

▶ Determina in percentuale la quantità di acqua in più rispetto alla farina.

[25 %]

Secondo i dati del Ministero dello Sviluppo Econo-mico in Italia negli anni 2013 e 2014 si sono avuti i seguenti consumi di energia in milioni di tonnellate:

Anno 2013

Anno 2014

∆%

Combustibili solidi 14,2 13,5

Gas naturale 57,4 50,7

Importazione netta di elettricità

9,3 9,6

Petrolio 58,3 57,3

Risorse rinnovabili 33,8 35,3

▶ Completa la tabella determinando per ciascu-na voce la variazione percentuale che si è avuta nell’anno 2014 rispetto al 2013.

[−4,9%; - 11,7%; +3,2%; −1,7%; + 4,4%]

Secondo i dati del Catasto Rifiuti dell’ISPRA, l’Isti-tuto Superiore per la Protezione e la Ricerca Am-bientale, nell’anno 2014 la produzione di rifiuti ur-bani (RU) e la raccolta differenziata (RD) pro capite in Italia sono state:

Area Geogra-

fica

Popolazio-ne

RU pro capite,kg/(ab. Anno)

RD pro capite,kg/(ab. Anno)

RD, %

Nord 27 799 803 495,56 280,83

Centro 12 090 637 546,79 223,33

Sud 20 905 172 443,35 138,63

ITALIA 60 795 612 487,79 220,50

▶ Completa la tabella determinando per ciascuna area geografica la percentuale che si è avuta di raccolta differenziata rispetto alla produzione di rifiuti urbani nell’anno 2014.

[56,67%; 40,84%; 31,27%; 45,20%]

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4 LEGGERE UNA FORMULA - 1A PARTEUna formula è un’uguaglianza tra una variabile e un’espressione che contiene altre variabili

L’area del rettangolo è uguale al prodotto della base per l’altezza:

area = base × altezza.

Per comodità, chiamiamo A l’area, b la base e h l’altezza. Inoltre sottintendiamo il segno «per», cioè usiamo la convenzione secondo cui due variabili scritte di seguito sono mol-tiplicate tra loro. Otteniamo la formula:

A = b h.

La base b e l’altezza h possono assumere qualsiasi valore. Il valore di A cambia a seconda dei valori assegnati a b e h.

Una formula definisce la variabile a sinistra dell’uguale in funzione delle variabili a destra.

Per sapere quanto vale la variabile a sinistra dell’uguale, si sostituiscono alle variabili a destra i rispettivi valori

La formula A = b h è come una macchina, con due ingressi (b e h) e un’uscita (A).

Inseriamo negli ingressi b e h i valori 2,5 cm e 12 cm, cioè facciamo le sostituzioni b → 2,5 cm e h → 12 cm:

A = (2,5 cm) (12 cm).

Calcolando l’espressione al secondo membro, otteniamo

A = (2,5 × 12) (cm × cm) = 30 cm2.

La formula-macchina, all’uscita A, dà il valore di 30 cm2.

Quando si sostituiscono i valori ai simboli di una formula, si devono includere sempre le unità di misura.

Se il secondo membro di una formula è un rapporto, la variabile al primo membro è una grandezza unitaria

In fisica si chiamano grandezze le quantità come la lunghezza, il tempo, l’area…, che si possono misurare e che si esprimono in relazione a un’unità di misura.

Chiamiamo D la distanza percorsa da un’automobile, misurata in kilometri, e t la durata del viaggio in ore. La velocità media v dell’automobile è data da:

v = tD .

La grandezza v è «unitaria» perché dice quanti kilometri sono percorsi in un’ora, cioè

nell’unità di tempo. Per esempio, per D = 50 km e t = 0,5 h, si ha v = 0,5 h50 km = 100 km/h,

mentre per D = 160 km e t = 2 h si ottiene v = 2 h160 km = 80 km/h.

Una grandezza unitaria è il rapporto tra altre due grandezze; come unità di misura, ha il rapporto tra l’unità di misura del numeratore e quella del denominatore.

b

h

4 cm 9 cm

2 m

6

48,2

1,47,5

0,5

A = bh

b

4 cm 9 cm

2 m 7,5m1,4

7,

0,5

A = bh

b h

6

48,2

A

=

80

velocitàin kilometri

all’ora

distanza in kilometri

tempoin ore

Il rapportocome

valore unitario

12 1

2

3

4

56

7

8

9

10

11

9


L’area di un triangolo è data dal semiprodotto della misura della base per la misura dell’altezza relativa. In simboli: A = bh/2.

▶ Calcola le aree in cm2 dei seguenti triangoli:

a. b = 5 cm; h = 1 dm → A = (5 cm × 10 cm) / 2 = 25 cm2

b. b = 30 mm; h = 8 cm → A = ___________

c. b = 0,2 dm; h = 70 mm → A = ___________

d. b = 25 cm; h = 0,50 m → A = ___________

[12 cm2; 7 cm2; 625 cm2]

La densità è il rapporto tra la massa di una sostanza e il volume che occupa. In simboli: d = m/V.

▶ Calcola le densità, nelle unità di misura richieste, per le seguenti sostanze:

a. Acqua: m = 2 kg; V = 2 L → d = ___________ kg/dm3

b. Mercurio: m = 1 355 kg; V = 0,1 m3 → d = ___________ kg/m3

c. Alcol etilico puro: m = 2 367 g; V = 3 000 cm3 → d = ___________ kg/L

d. Piombo: m = 56,70 hg; V = 0,5 dm3 → d = ___________ g/cm3

[1 kg/dm3; 13 550 kg/m3; 0,789 kg/L; 11,34 g/cm3]

La velocità media è il rapporto tra distanza percorsa e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerla. In simboli: v = D/t.

▶ Calcola le velocità medie in m/s corrispondenti ai seguenti dati:

a. D = 700 m; t = 28 s → v =________

b. D = 95 km; t = 56 min → ________

c. D = 238 dm; t = 11 s → ________

d. D = 44 cm; t = 0,06 min → ________

[25 m/s; 28 m/s; 2,16 m/s; 0,12 m/s]

Il volume di una sfera in funzione del raggio r è:

V r34 3r= .

▶ Calcola il volume di ciascuna delle sfere corri-spondenti ai seguenti raggi:

a. r = 5 mm

b. r = 1,0 dm

[524 mm3; 4,19 dm3]

1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

4★ ★ ★

Calcola il volume dei cilindri che hanno raggio di base 15 cm e altezze:

a. h = 5 cm → V = Ab × h = πr2 × h = π(15 cm)2 × 5 cm = = 3 534 cm3

b. h = 20 cm

c. h = 30 cm

d. h = 40 cm

[3 534 cm3; 14 137 cm3; 21 206 cm3; 28 274 cm3]

La distanza percorsa nel tempo t alla velocità costan-te v è: D = vt.

▶ Calcola le distanze percorse da un’automobile che viaggia alla velocità costante di 90 km/h nei seguenti intervalli di tempo:

a. t = 10 min

b. t = 30 min

c. t = 2 h

d. t = 5 h

[15 km/h; 45 km/h; 180 km/h; 450 km/h]

La densità è definita come rapporto tra la massa di un oggetto e il volume occupato (d = m/V).

Quattro liquidi di tipo diverso, tutti della stessa massa pari a 1,5 kg, sono versati in altrettanti con-tenitori identici di forma cilindrica con raggio di base 5 cm e raggiungono le seguenti altezze:

a. h = 28,10 cm

b. h = 24,18 cm

c. h = 19,10 cm

d. h = 1,4 cm

▶ Calcola la densità in g/cm3 dei diversi liquidi.

[0,68 g/cm3; 0,79 g/cm3; 1,00 g/cm3; 13,6 g/cm3]

Il parco di una villa in campagna è lungo 60 m e lar-go 40 m. Nel parco c’è un pozzo circolare di diame-tro 4,2 m, una piscina quadrata che occupa un’area di 36 m2 e un vialetto in cemento largo 2,5 m che si estende in linea retta per tutta la lunghezza del parco e conduce all’ingresso della villa.

▶ Qual è l’area «verde» rimasta libera?

▶ Calcola il rapporto AA

TOT

C tra la superficie ce-

mentata e la superficie totale del giardino.

[2200 m2; 0,063]

5★ ★ ★

6★ ★ ★

7★ ★ ★

8★ ★ ★

10


4 LEGGERE UNA FORMULA - 2A PARTEIn una formula, a una variabile si può sostituire la sua espressione

Il rapporto tra il numero N dei pixel di uno schermo e l’area A della sua superficie, espressa in centimetri quadrati, è una grandezza unitaria n, chiamata densità superficiale

di pixel. Questa grandezza dice quanti sono i pixel in ogni centimetro quadrato di super-ficie e può essere usata per specificare la qualità dello schermo.

La formula di n è

n = AN

.

Per esprimere n in funzione della base b e dell’altezza h di uno schermo rettangolare, sostituiamo ad A la sua espressione (A → b h). Otteniamo una nuova formula, che non contiene più la variabile A:

n = b hN .

Per capire l’andamento della variabile a sinistra, si fanno variare una alla volta le variabili a destra

Lo schermo di un nuovo modello di smartphone ha le dimensioni riportate nella figura. Qual è la sua area A? Come varia A, se il costruttore aumenta l’altezza h senza modifi-care la base b?

La formula A = b h, per b = 6 cm e h = 10 cm, dà

A = (6 cm) (10 cm) = 60 cm2.

Se h aumenta e b non cambia, l’area A = (6 cm) h aumenta.

Se uno dei due termini di un prodotto aumenta e l’altro resta costante, il prodotto aumenta.

Lo schermo dello smartphone contiene N = 1 200 000 pixel. Qual è la sua densità super-ficiale di pixel n? Come varia n, se il costruttore aumenta N senza cambiare A?

Dalla formula n = AN , per N = 1 200 000 pixel e A = 60 cm2, troviamo:

n = 60 cm1 200 000 pixel

2 = 20 000 pixel/cm2.

Se N aumenta e A non cambia, n = 60 cmN

2 aumenta: mettendo più pixel nella stessa

area si ottiene una densità superficiale maggiore di 20 000 pixel/cm2.

Se il denominatore di un rapporto è fisso e il numeratore aumenta, il rapporto aumenta.

Come varia n se N resta uguale e A aumenta?

In questo caso, n = 1 200 000 pixel

A diminuisce: distribuendo lo stesso numero di pixel in

un’area più grande, si ottiene una densità superficiale minore di 20 000 pixel/cm2.

Se il numeratore di un rapporto è fisso e il denominatore aumenta, il rapporto di-minuisce.

Le stesse considerazioni valgono per la formula n = b hN : se N aumenta, con b e h co-

stanti, n aumenta perché N è al numeratore; se N e b restano costanti e h aumenta, n diminuisce perché h è al denominatore.

densità superficiale di pixel

area

numero di pixel

h = 10 cm

b = 6 cm

h =N = 1 200 000

pixel

11


Considera diverse assi di legno, tutte con sezione rettangolare e di diversa lunghezza. Il legno ha den-sità pari a 500 kg/m3 . I lati della sezione rettangolare delle assi misurano a = 5 cm e b = 12 cm.

▶ Calcola la massa delle assi corrispondente alle se-guenti lunghezze:

a. L = 50 cm

b. L = 80 cm

c. L = 1 m

d. L = 1,7 m

[1,5 kg; 2,4 kg; 3 kg; 5,1 kg]

Un oggetto di alluminio ha una massa di 2,5 kg e oc-cupa un volume di 930 cm3.

▶ Calcola il volume occupato da un oggetto di mas-sa pari a 5 kg dello stesso materiale (Ricorda che la densità, pari al rapporto fra la massa e il volu-me, è costante fissato il materiale.)

▶ Calcola la massa di un oggetto dello stesso mate-riale se il volume è 465 cm3.

[1860 cm3; 1,25 kg]

Una sfera di raggio r e di massa m che cade nell’at-mosfera accelera durante il suo moto di caduta fino a raggiungere una velocità limite che rimane poi co-stante fino alla fine del moto.

Questa velocità limite (trascurando il contributo della spinta di Archimede, e finché si mantiene non

troppo elevata) è espressa dalla formula:v rmg

6rh= ,

dove g è l’accelerazione di gravità e h è il coefficiente

di viscosità dell’atmosfera. Immagina di voler mantenere la velocità limite co-stante, modificando solo le caratteristiche della sfe-ra.

▶ Se il raggio della sfera dimezza, come deve diven-tare la sua massa per mantenere v costante?

▶ Se la massa della sfera diventa 1/5, come deve va-riare il suo raggio per mantenere v costante?

Il rapporto fra la durata D di un’escursione e il nu-mero N di tappe è costante. Per un certo valore di N, D risulta uguale a 2,5 h.

▶ Quale valore assume D per un numero di tappe triplo rispetto a quello dell’esempio?

▶ Quanto vale D per un numero di tappe pari alla metà di quello dell’esempio?

[D = 7,5 h; D = 1,25 h]

9★ ★ ★

10★ ★ ★

11★ ★ ★

12★ ★ ★

Il prodotto fra il tempo T necessario a fabbricare un certo prodotto e il numero O di operai che eseguono il lavoro è costante. Per un valore particolare di O, il valore di T risulta pari a 48 ore.

▶ Quale risulterà il valore di T se il numero degli operai viene moltiplicato per cinque volte?

[T = 9,6 ore]

Il rapporto fra la quantità Q di vernice necessaria per verniciare un oggetto sferico e il quadrato del raggio r dell’oggetto è costante. Q risulta uguale a 60 g per un certo valore di r.

▶ Quale valore assume Q se il valore di r è raddop-piato?

[Q = 240 g]

Giulia ha una scatola a forma di parallelepipedo che misura 40 cm x 60 cm x 20 cm (altezza) e la vuole ri-empire con dei cubetti di plastica tutti uguali.

▶ Calcola il numero di cubetti che Giulia riesce a mettere nella scatola, senza farli sporgere, se ha a disposizione cubetti con le seguenti misure dello spigolo:

a. l = 5 cm

b. l = 10 cm

c. l = 15 cm

d. l = 20 cm

[384; 48; 14; 6]

Il rapporto fra la distanza percorsa D e il consumo Q di kilocalorie impiegate è costante. Per percorre-re 2 km hai consumato 180 kcal.

▶ Quante kilocalorie consumi se corri per 6 km?

▶ E se corri per 12 km?

[540 kcal; 1080 kcal]

L’intensità (I) del suono emesso da una sorgente so-nora di potenza P a una distanza r è data dalla se-

guente formula: Ir

P4 2r

= . Immagina di voler man-

tenere costante l’intensità sonora.

▶ Se la distanza r raddoppia, come diventa la po-tenza P per mantenere I costante?

▶ Se la potenza diventa 1/4, a che distanza r l’inten-sità I resta costante?

[P' = 4P; 'r r21

= ]

13★ ★ ★

14★ ★ ★

15★ ★ ★

16★ ★ ★

17★ ★ ★

12


5 LEGGERE E DISEGNARE UN GRAFICO - 1A PARTEUn grafico rappresenta una corrispondenza tra due variabili

Consideriamo la corrispondenza popolazione mondiale ←→ tempo.

tempo (aNNo)

popoLaZioNe moNdiaLe(miLiardi di persoNe)

1804 1

1927 2

1959 3

1974 4

1987 5

1999 6

2012 7

2026 8

2042 9

Stime storiche e previsioni USCB (United

States Census Bureau)

La corrispondenza tra due variabili può essere descritta da una tabella, da una for-mula e da un grafico.

Un grafico cartesiano è fatto di due assi e una linea

Il grafico della popolazione mondiale in funzione del tempo riporta la variabile «tem-po» sull’asse orizzontale e la variabile «popolazione» sull’asse verticale. La linea descrive l’andamento della popolazione al passare del tempo.

Un asse orientato è una retta in cui fissiamo un verso e una scala: a ogni lineetta della scala corrisponde un valore riferito all’appropriata unità di misura.

Due assi orientati perpendicolari definiscono un piano cartesiano. Un grafico car-tesiano è una linea (o un insieme di punti) in un piano cartesiano.

Un grafico dà informazioni qualitative

Il grafico popolazione-tempo indica che la popolazione mondiale cresce al passare del tempo; mostra, inoltre, che l’aumento di popolazione è diventato progressivamente più rapido (bastano meno anni per avere lo stesso aumento di popolazione).

In un grafico cartesiano, una linea inclinata verso l’alto indica che la variabile y aumenta all’aumentare della variabile x; una linea inclinata verso il basso dice che y diminuisce all’aumentare di x e una linea orizzontale dice che y non varia.

Un grafico dà informazioni quantitative

Il grafico popolazione-tempo mostra che la popolazione mondiale era di 1 miliardo di persone attorno al 1800, aveva raggiunto i 2 miliardi verso il 1925, i 6 miliardi all’incirca nel 2000 e così via.

Ogni punto di un grafico ha due coordinate: un’ascissa x e un’ordinata y. Perciò,

a ogni punto P di un grafico corrispondono due valori: uno della variabile x e uno della variabile y.

1800O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1850 1900 1950

tempo (anno)

popola

zione (

milia

rdi di pers

one)

2000 2050

x

y

asse delle ordinate

asse delle ascisse

origine

Piano

x

ydiminuiscerapidamente

diminuiscelentamente

rimanecostante

aumenta

Informazioni qualitative

OO

1

2

3

4

1 2 3 4

x

y

Informazioni quantitative

OO

1

2

3 P (1; 3)

4

1 2 3 4

13


Un automobilista registra in una tabella i kilometri percorsi nel corso di ogni mese. La tabella ottenuta alla fine dell’anno è la seguente:

mese km

1 900

2 1300

3 1400

4 1400

5 1200

6 1200

7 800

8 2000

9 800

10 1300

11 1400

12 1000

▶ Scegli un opportuno fattore di scala sui due assi e costruisci il grafico corrispondente alla tabella come insieme di punti.

La tabella riporta la temperatura di una stanza al passare del tempo.

t (min) T (°C)

0 18,0

5 18,2

10 18,4

15 18,5

20 18,5

25 18,3

30 18,2

35 18,3

40 18,2

45 18,1

▶ Traccia un grafico a partire dalla tabella.

▶ Descrivi a parole l’andamento del grafico.

▶ Disegna un altro grafico che dia la sensazione che la temperatura vari di molto.

La formula che esprime la relazione fra due grandez-ze è y = 10 − x2.

▶ Assegnando a x un certo numero di valori da 0 a 3, traccia il grafico corrispondente.

1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

Il grafico qui sotto rappresenta la relazione fra due grandezze x e y.

x

y

1

0 1

La relazione fra le due grandezze può essere espres-sa con la formula y = k x, dove k è un numero asse-gnato.

▶ Determina il valore di k.

Il volume di un cilindro retto di raggio di base r e al-tezza h è dato dalla formula V = πr2h.

▶ Costruisci il grafico V, r corrispondente ai cilin-dri di altezza 50 cm assegnando al raggio di base valori compresi tra 4 cm e 50 cm.

Il diagramma illustra la riduzione dei pazienti in li-sta d’attesa negli ospedali di una determinata autori-tà sanitaria.

ge

nn

aio

feb

bra

io

ma

rzo

ap

rile

ma

gg

io

giu

gn

o

lug

lio

ag

ost

o

sett

em

bre

ott

ob

re

no

vem

bre

dic

em

bre

5120Numero di personein lista d’attesa

5100

5080

5060

5040

5020

5000

▶ A quanto equivale in percentuale la diminuzione di pazienti in lista d’attesa da gennaio a dicembre?

[2,0%]

La relazione tra due grandezze è y = 5 x + k.

▶ Quanto vale k se per x = 3 si ha y = 17?

[k = 13]

4★ ★ ★

5★ ★ ★

6★ ★ ★

7★ ★ ★

14


5 LEGGERE E DISEGNARE UN GRAFICO - 2A PARTEPer costruire un grafico si può partire da una tabella di dati

La tabella della popolazione mondiale contiene nove coppie di valori. Nella colonna «tempo» ci sono gli anni, compresi in un intervallo di 2042 − 1804 = 238 anni; nella colonna «popolazione» ci sono i miliardi di persone, da 1 a 9.

Nel grafico le tacche segnate sull’asse orizzontale sono separate di 1 cm. L’origine dell’as-se corrisponde all’anno 1800 e a ogni centimetro corrisponde un intervallo di tempo di 50 anni; perciò la prima tacca dopo l’origine indica l’anno 1850, la seconda l’anno 1900 e così via. Nello spazio di cinque tacche sono racchiusi, così, tutti i dati della colonna «tempo».

Sull’asse verticale, l’origine corrisponde a zero miliardi e le tacche, separate di 0,5 cm, indicano 1 miliardo, 2 miliardi eccetera.

Prima di disegnare il grafico si devono esaminare i dati. Poi si procede per passi.

1800O

1

2

3

4

5

6

7

8

91. Si tracciano gli assi e per ciascuno

si scrivono la quantità rappresentata

e l’unità di misura.

2. Si fissano le scale in modo da distribuire i dati

per tutta la lunghezza degli assi;

si segnano sugli assi delle tacche equidistanti e,

vicino alle tacche, si scrivono i valori da esse indicati.

1850 1900 1950

tempo (anno)

popola

zione

(milia

rdi di pers

one)

2000 2050 1800O

1

2

3

4

5

6

7

8

93. Si segna un punto

sul piano cartesiano

in corrispondenza

di ciascuna coppia

di valori da rappresentare.

4. Spesso si uniscono i punti con segmenti

per visualizzare l’andamento del grafico.

1850 1900 1950

tempo (anno)

popola

zione

(milia

rdi di pers

one)

2000 2050

Per costruire un grafico si può partire da una formula

Il volume V del cubo in funzione del suo lato l è espresso dalla formula

V = l3.

Per qualsiasi valore di l la formula dà il corrispondente valore di V; perciò da essa si possono costruire infinite tabelle. Ne otteniamo una assegnando a l i valori 1 m, 2 m, 3 m eccetera.

Rappresentiamo i dati della tabella con un grafico e congiungiamo i punti.

0O

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3

l (m)

V (

m3)

43

l (m)

4

2,5

0O

10

20

30

40

50

V (

m3)

1 2

l (m)

2,

15,625

Poiché il grafico deriva da una formula, per congiungere i punti usiamo una linea con-

tinua anziché un una spezzata. Il grafico, infatti, rappresenta anche le coppie di valori non riportate nella tabella.

La linea disegnata deve descrivere la formula correttamente: per esempio, deve mettere in corrispondenza l’ascissa l = 2,5 m con l’ordinata V = l3 = (2,5 m)3 = 15,625 m3, cioè deve passare per il punto (2,5; 15,625).

Lato l (m) Volume V (m3)

8

1 1

2

3 27

4 64

15


Il grafico di seguito è stato costruito in base ai dati sulla caduta di un oggetto all’interno di un tubo dove era stato fatto il vuoto. Con un sonar, lo sperimenta-tore ha registrato a intervalli regolari di tempo le di-stanze percorse dall’oggetto.

t (s)

d (m)

0 0,10

0,50

▶ Qual è l’ultimo istante in cui è stata effettuata una registrazione?

▶ Qual è la massima distanza misurata dal sonar?

▶ Compila una tabella corrispondente al grafico.

[1,00 s; 5,0 m]

Nel diagramma seguente sono riportati i dati di im-matricolazione di motocicli (M) e autoveicoli (A) nuovi in Italia forniti da ACI – Statistiche Automobi-listiche per gli anni 2014 e 2015. La divisione più pic-cola sull’asse y corrisponde a un numero di veicoli pari a 25 000.

Autovetture

2014

30

35

25

40

milioni

20

15

10

5

0

2015

N°

imm

atr

icola

zione v

eic

oli n

uovi

Motocicli

▶ Dai una stima approssimata, a partire dal dia-gramma, delle quantità dei dati forniti da ACI.

▶ Calcola la variazione percentuale delle immatri-colazioni nell’anno 2015 rispetto al 2014 per en-trambe le categorie di veicoli.

L’ACI fornisce anche i dati sul parco veicoli circo-lanti. La tabella seguente riporta questi dati per mo-tocicli e autoveicoli negli anni 2014 e 2015.

8★ ★ ★

9★ ★ ★

ANNOMotocicli circolanti

Autovetture circolanti

2014 6 505 625 37 080 753

2015 6 543 612 37 351 233

▶ Costruisci un diagramma simile al precedente in cui in ascissa ci siano gli anni e in ordinate il numero di veicoli circolanti per le due tipologie (motocicli e autovetture).

[2014: M = 150 000; A = 1 375 000; 2015: M = 175 000; A = 1 600 000; M: +14,3 %; A: +14,1 %]

In un esperimento sono stati trovati i seguenti va-lori della grandezza y in corrispondenza della gran-dezza x:

Valore di y Valore di x Punto

0 0 A = Origine degli Assi

4 1 B

4 3 C

2 5 D

▶ Disegna il grafico x, y.

▶ Descrivi l’andamento della variabile y nei tre trat-ti.

Un corpo di massa m è appeso in equilibrio a una molla fissata al soffitto. Luisa tira il corpo allungando la molla e poi lo rilascia: il corpo comincia a oscillare intorno alla sua posizione di equilibrio. Sul seguen-te grafico sono riportati: sull’asse delle ordinate, la posizione del corpo (lo zero rappresenta la posizio-ne iniziale di equilibrio), e su quello delle ascisse il tempo.

t (s)

s (c

m)

0,000,00

1,00

1,00

2,00

2,00

3,00

3,00

3,00

4,00

,

4,00

(cm

00,00

1,00

m)

1,00

s 0

2,00

2,00

3,00

0,2000 00000

0

0

0,0000

0

0

0

00 0,400 2020,2020 00 0,6000,40400000 0 0,8000,606 0 1,0000,808 1 1,200,0001,,0 1 1,4001,202 1 1,6001,404 1,8001,60611 01,808 2,00

Osservando il grafico:

▶ individua gli istanti di tempo in cui il corpo di massa m passa dalla posizione di equilibrio;

▶ determina l’istante di tempo in cui l’oggetto rag-giunge per la seconda volta la posizione di massi-ma altezza dal pavimento.

[0,32 s; 0,94 s; 1,57 s; 1,88 s]

10★ ★ ★

11★ ★ ★

16


6 RICONOSCERE UNA PROPORZIONALITÀ DIRETTADue variabili sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante

Il perimetro p del quadrato è uguale a 4 volte il lato l:

p = 4 l.

Quindi il rapporto tra p e l è costante (sempre uguale a 4):

lp

= ll4

= 4.

Per questa proprietà, il perimetro e il lato del quadrato sono direttamente proporzionali.

Indichiamo con k una costante. Tra due variabili x e y si ha una relazione di propor-

zionalità diretta se vale l’uguaglianza:

xy

= k

Com’è fatta la formula di una proporzionalità diretta

Assegniamo al lato l del quadrato i valori 1 m, 2 m, 3 m eccetera. Ricaviamo i corri-spondenti valori del perimetro dalla formula p = 4 l e riportiamoli in una tabella; poi disegniamo il grafico che rappresenta la corrispondenza tra p e l.

0

O

4

8

12

16

1 2 3

l (m)

p (

m)

4

Se il lato raddoppia, il perimetro raddoppia; se il lato triplica, il perimetro triplica…

Due variabili x e y direttamente proporzionali sono legate dalla formula:y = k x

In base a questa formula, al raddoppiare o triplicare di x, anche y raddoppia o triplica.

Il grafico di una proporzionalità diretta è una retta che passa per l’origine

Osserviamo il grafico del perimetro p in funzione del lato l: tutti i suoi punti apparten-gono a una retta che passa per l’origine degli assi.

Si ottiene lo stesso tipo di grafico per ogni coppia di variabili x e y direttamente propor-zionali.

La proporzionalità diretta è un caso particolare di dipendenza lineare

Il grafico che rappresenta la formula y = 2 x + 4 è una retta che non passa per l’origine, ma interseca l’asse verticale nel punto (0; 4).

Indichiamo con k e q due costanti. Due variabili x e y si dicono linearmente dipen-

denti se vale la formula: y = k x + q

Per q = 0, la dipendenza lineare si riduce a una relazione di proporzionalità diretta.

l

l

l

l

l

p

Lato l (m) Perimetro p (m)

8

1 4

2

3 12

4 16

32323333

0O

4

8

12

1 2 3 x

y

4

17


Scrivi il valore costante del rapporto fra queste cop-pie di grandezze, secondo l’esempio:

a. Perimetro P e lato l di un quadrato: P/l = 4

b. Perimetro P e lato l di un triangolo equilátero:

c. Circonferenza C e raggio R di un cerchio:

d. Diagonale d e lato l di un quadrato:

e. Area A e quadrato R2 del raggio di un cerchio:

La tabella seguente riporta il volume e la massa di quantità variabili di alcol.

volume (cm3) massa (g)

5 4,0

10 8,0

15 12,0

20 16,0

25 20,0

▶ Qual è il valore costante del rapporto fra massa e volume nell’alcol?

▶ Qual è la formula che lega la massa m e il volume V di una quantità data di alcol?

[0,80 g/cm3; m = (0,80 g/cm3) V]

Costruisci il grafico della relazione di proporzionali-tà presentata nell’esercizio precedente.

▶ Si tratta di una retta passante per l’origine? Per-ché?

La tabella seguente riporta due grandezze x e y diret-tamente proporzionali:

x (s) y (m)

20 72

40 …

… 180

90 …

… …

▶ Completa la tabella con i valori mancanti.

▶ Stabilisci il valore della costante di proporziona-lità.

▶ Scrivi la formula che lega le variabili y e x.

▶ Costruisci un grafico di tale relazione di propor-zionalità.

[ , m/sxy

3 6= ]

Il grafico qui sotto rappresenta la relazione di dipen-denza lineare fra le grandezze x e y.

1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

4★ ★ ★

5★ ★ ★

x

y

1

0 1

▶ Determina la formula che esprime tale relazione nella forma x = k x + q.

▶ Cosa accade alla relazione fra x e y se si pone q = 0?

▶ Come si trasforma un grafico in questo caso?

[y = x + 2]

Un’automobilista dopo aver percorso 10 km proce-de a una velocità media costante. Osservando il con-tachilometri, rileva che dopo 1 h ha percorso 60 km, dopo 2 h 120 km e dopo 3 h 180 km.

▶ Scrivi l’equazione che rappresenta la distanza percorsa dall’automobilista in funzione del tem-po.

▶ Rappresenta l’equazione trovata su un diagram-ma cartesiano.

▶ Come si trasforma il grafico se la distanza iniziale percorsa fosse stata di 30 km anziché di 10 km?

[s= 10 km + (60 km/h)t]

Il grafico seguente rappresenta la lunghezza (in cm) di circonferenze in funzione del proprio raggio (in cm).

0

O

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5

r (cm)

lc (

cm

)

6 7 8 9 10

▶ Di che tipo di relazione di proporzionalità si tratta?

▶ Scrivi l’equazione che rappresenta la retta del grafico.

▶ Se sull’asse delle ascisse fosse stato riportato il diametro anziché il raggio, mantenendo la stessa scala, come sarebbe cambiato il grafico?

[lc = 6,28r]

6★ ★ ★

7★ ★ ★

18


7 RICONOSCERE UNA PROPORZIONALITÀ INVERSADue variabili sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante

Un rettangolo di area 12 cm2 ha un numero infinito di rettangoli equivalenti (con la stessa area). Il prodotto tra la base b e l’altezza h di tutti questi rettangoli è uguale a 12 cm2, cioè è costante:

b h = 12 cm2.

Per questa proprietà, la base e l’altezza dei rettangoli equivalenti sono inversamente pro-

porzionali.

Indichiamo con k una costante. Tra due variabili x e y si ha una relazione di proporzionalità

inversa se vale l’uguaglianza:

x y = k

Com’è fatta la formula di una proporzionalità inversa

In funzione dell’altezza h, la base b di un rettangolo di area 12 cm2 è data dalla formula

b = 12 cmh

2

.

Assegniamo a h i valori 1 cm, 2 cm, 3 cm eccetera e sostituiamoli nella formula per cal-colare i corrispondenti valori di b.

cm12 cm

cmb 2 62

= =cm12 cm

cmb 1 122

= = cm12 cm

cmb 3 42

= =

Riportiamo le coppie di valori in una tabella; poi disegniamo il grafico cartesiano che rappresenta la corrispondenza tra b e h.

0 1 2 3 54

b (

cm

)

0

4

8

12

16

h (cm)

Raddoppiando l’altezza, la base si dimezza; triplicando l’altezza, la base diventa un ter-zo…

Due variabili x e y inversamente proporzionali sono legate dalla formula:

y = xk

In base a questa formula, se x raddoppia o triplica, y diventa la metà o un terzo.

Il grafico di una proporzionalità inversa è un ramo di iperbole

Osserviamo il grafico di b in funzione di h: tutti i suoi punti appartengono a un ramo di iperbole equilatera.

Si ottiene lo stesso tipo di grafico per ogni coppia di variabili x e y inversamente pro-porzionali.

h

b

bh = 12 cm2

Altezza h (cm) Base b (cm)

6

1 12

2

3 4

4 3

3323331/2/2/2111/2

1/3/3/3/11/3

19


Considera i triangoli di base b e altezza h.

▶ Scrivi l’equazione che rappresenta l’area dei triangoli in funzione della base b e dell’altezza h.

▶ Costruisci il grafico che ha in ordinata b e in ascissa h per i triangoli di area pari a 25 cm2. As-segna ad h valori compresi tra 1 cm e 50 cm.

Considera i coni retti di base circolare e volume pari a 5 dm3.

▶ Scrivi l’equazione che rappresenta il volume dei coni retti.

▶ Traccia il grafico che riporta sull’asse delle ascisse l’altezza h e sull’asse delle ordinate l’area di base Ab per i coni retti. Considera valori dell’altezza compresi tra 1 dm e 30 dm.

Il prodotto di due lunghezze x e y inversamente pro-porzionali ha il valore costante di 60 m2.

▶ Qual è il valore di y se x è pari a 5,0 m?

▶ Assegna ad x una serie di valori, calcola i corri-spondenti valori di y e traccia il grafico della loro relazione.

[12 m]

Con uno stesso volume di liquido, pari a 50 cm3, riempiamo alcuni recipienti cilindrici di diametro variabile. Il liquido raggiunge in ogni caso un’altez-za diversa.

▶ Compila la seguente tabella relativa all’esempio descritto:

area di base a (cm2)altezza raggiunta dal liquido h (cm)

10 5,0

20

30

40

50

▶ Qual è la formula che esprime la relazione fra A e h?

Rita vuole preparare una soluzione acquosa con 10 g di bicarbonato di sodio (detto comunemente bicar-bonato). Sciogliendo la stessa quantità di bicarbona-to in diversi volumi d’acqua si ottengono concentra-zioni diverse, poiché c = m/V.

▶ Determina le concentrazioni in g/L che ottiene Rita utilizzando m = 10 g e i volumi d’acqua ri-portati nella seguente tabella:

1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

4★ ★ ★

5★ ★ ★

V di H2O (mL) V di H2O (L)Concentrazione

c (g/L)

200

250

500

750

1000

Il grafico qui sotto illustra la relazione fra la base b e l’altezza h di una serie di rettangoli diversi, aventi tutti la stessa area.

b

h

0 1 cm

1 cm

▶ Qual è il valore comune dell’area dei rettangoli?

▶ Qual è la formula che esprime la relazione fra b e h?

[12 cm2; h = 12 cm2/b]

Il grafico seguente illustra come varia la grandezza y al variare della grandezza x.

0 2 4 6 12444444 8 26666 1288 10

0

10

5

–5–2–4–6–8 –66–10 –88––101–12

–10

–15

2222–55

22446

–20

5

––101010

–25

10

––151515

––2020

–252525

–30

25

20

00

0 22205

––22–44

5500

5

10101111101

5

15

1010

252555255

202000

15515555151555155

30y

x

▶ Qual è la relazione che lega x e y?

▶ Che valore assume y per x = 5? E per x = −5?

[xy = −10; y = −2; y = +2]

6★ ★ ★

7★ ★ ★

20


8 RICONOSCERE UNA PROPORZIONALITÀ QUADRATICASi ha una proporzionalità quadratica se una variabile è direttamente proporzionale al quadrato di un’altra

L’area A del cerchio è π volte il raggio r elevato al quadrato:

A = π r2.

Quindi il rapporto tra A e r2 è costante. In altri termini, A è direttamente proporzionale

al quadrato di r:

rA

2 = rr2

2r

= π.

Indichiamo con k una costante. Tra due variabili x e y si ha una relazione di propor-

zionalità quadratica se vale l’uguaglianza:

xy

2 = k

Com’è fatta la formula di una proporzionalità quadratica

Per r uguale a 1 m, 2 m, 3 m eccetera, ricaviamo i corrispondenti valori di A dalla formu-la A = π r2; riportiamoli in una tabella e disegniamo il grafico che rappresenta la tabella e la formula.

0 1 2 3 54

A (

m2)

0

4π

8π

12π

16π

r (m)

Raddoppiando il raggio del cerchio, la sua area quadruplica; triplicando il raggio, l’area diventa nove volte più grande…

Se y è direttamente proporzionale al quadrato di x, la formula che esprime y in funzione di

x è:

y = k x2

In base a questa formula, se x raddoppia o triplica, y diventa quattro o nove volte più grande.

Il grafico di una proporzionalità quadratica è un arco di parabola

Osserviamo il grafico di A in funzione di r: la curva ottenuta è un arco di parabola con il vertice nell’origine degli assi.

Si ottiene lo stesso tipo di grafico ogni volta che una variabile y è direttamente propor-zionale al quadrato di un’altra variabile x.

All’aumentare di x, l’aumento di y è più rapido nella proporzionalità quadratica e più lento nella proporzionalità diretta

Confrontiamo i grafici che rappresentano le formule

yD = 6 x (proporzionalità diretta) e yQ = 6 x2 (proporzionalità quadratica).

Quando x è piccola, yQ è minore di yD. A mano a mano che x aumenta, yQ diventa molto maggiore di yD e la differenza tra yQ e yD aumenta.

r

Proporzionalità diretta e quadratica

18

12

24

100

6

2 3 x

yQ

yD

Raggio r (m) Area A (m2)

4 π

1 π

2

3 9 π

4 16 π

33233322

32

21


Dopo aver scritto l’equazione che fornisce la superfi-cie A di un cubo di lato l, calcola A per i seguenti va-lori di l:

a. l = 10 dm → A = 6 × l2 = 6 × (10 dm)2 = 600 dm2

b. l = 15 cm

c. l = 32 mm

d. l = 0,021 km

Considera una sfera di raggio r.

▶ Scrivi l’equazione che fornisce la superficie A del-la sfera.

▶ Calcola l’area per valori di r compresi tra 1 cm e 30 cm (scegline una decina a tuo piacimento) e raccogli in una tabella i valori di r e le aree corri-spondenti.

▶ Costruisci un grafico con tali valori: che tipo di grafico hai ottenuto?

L’attrazione gravitazionale F fra due corpi rispetti-vamente di massa M1 e M2 posti alla distanza d si de-termina con la formula

F Gd

M M2

1 2#= ,

dove G è una costante detta costante di gravitazio-ne universale.

▶ Che tipo di relazione esiste fra F e d per due corpi dati?

Quando un oggetto cade all’interno di un tubo in cui è stato fatto il vuoto, la distanza d da esso percorsa e l’intervallo di tempo i da esso impiegato sono legati dalla relazione d = 4,9 i2.

▶ Qual è la distanza percorsa da un oggetto che ca-de in questo modo in un intervallo di 1,2 s?

[7,1 m]

In un cilindro di altezza h = 1,00 m, il volume V au-menta rapidamente all’aumentare del raggio r.

▶ Assegna al raggio una serie di valori compresi fra 0,10 m e 1,00 m, determina il corrispondente valore del volume e traccia il grafico in base alla tabella ottenuta.

Il valore della forza di repulsione tra due cariche elettriche positive si calcola con la seguente formula, nota come “legge di Coulomb”:

1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

4★ ★ ★

5★ ★ ★

6★ ★ ★

Fr

q qk 2

1 2= , dove k è una costante e r è la distanza tra

le cariche positive q1 e q2.

▶ Che tipo di relazione esiste tra la forza F e la di-stanza r tra due cariche date?

▶ Se la distanza r raddoppia come diventa la forza F?

[F' = F/4]

I valori riportati nella tabella rap-presentano due variabili legate da una relazione di proporzionalità:

▶ Che tipo di relazione c’è tra x e y?

▶ Scrivi l’equazione che rappre-senta tale relazione.

[y = 4x2]

L’energia cinetica di un corpo di massa m che si

muove alla velocità v è: E mv21

c2

= .

▶ Per un dato corpo, come varia Ec al variare di v?

▶ Disegna il grafico che ha in ordinate l’energia ci-netica (in Joule) e in ascissa la velocità (in m/s) per un corpo di massa 1 kg .

Per un veicolo di grandi dimensioni che si muove nell’aria con velocità elevata, la relazione che esiste fra la forza di attrito dell’aria sull’oggetto e la sua veloci-tà è F kv2

= , dove k è una costante che dipende dalla densità dell’aria e dalla dimensione dell’oggetto.

▶ Immagina di triplicare la velocità. Cosa succede alla forza F ?

▶ Immagina di dimezzare la velocità. Cosa succede alla forza F ?

▶ Che relazione esiste fra la forza e la velocità dell’oggetto?

Un oggetto scivola senza attrito lungo una discesa e a intervalli di un secondo vengono scattate delle foto per registrare la sua posizione. Ecco la tabella dei dati raccolti:

tempo t (s)Tempo al

quadrato t2 (s2)Posizione s (m)

1 1 0,752 4 3,003 9 6,754 16 12,00

▶ Stabilisci che relazione di proporzionalità sussi-ste fra la posizione dell’oggetto lungo la discesa e il tempo.

▶ Scrivi l’equazione che rappresenta tale relazione.

[s = (0,75 m/s2)t2]

7★ ★ ★

8★ ★ ★

9★ ★ ★

10★ ★ ★

x y

0 01 42 163 364 645 100

22


9 RISOLVERE UN’EQUAZIONE A UN’INCOGNITA 1A PARTE

Un’equazione a un’incognita è un’uguaglianza tra due espressioni, verificata per particolari valori della variabile incognita

Qual è la massa m che sommata a 1 kg è uguale al proprio triplo?

Questa domanda si traduce nell’equazione

m + 1 kg = 3 m,

in cui m è l’incognita, cioè la variabile di cui bisogna trovare il valore affinché l’espres-sione a sinistra dell’uguale sia uguale a quella a destra.

Se mettiamo su un piatto di una bilancia un corpo di massa m assieme a un peso da 1 kg, la bilancia è in equilibrio quando ha, sull’altro piatto, tre corpi della stessa massa m.

Se, per esempio, m fosse 1 kg, su un piatto ci sarebbero 1 kg + 1 kg = 2 kg e sull’altro 3 × 1 kg = 3 kg; quindi la bilancia non sarebbe in equilibrio. Il valore 1 kg non soddisfa l’equazione perché non verifica l’uguaglianza.

Risolvere l’equazione significa trovare il valore dell’incognita che rende il primo membro uguale al secondo

La soluzione dell’equazione è m = 21 kg.

Infatti, sostituendo a m il valore 21 kg, il primo membro diventa 2

1 kg + 1 kg = 23 kg e

il secondo membro diventa 3 × 21 kg = 2

3 kg, cioè uguale al primo.

Per risolvere l’equazione si isola l’incognita, applicando i principi di equivalenza

Se la bilancia è in equilibrio e da tutti e due i piatti togliamo una massa m, essa resta in equilibrio. Perciò, il valore di m che soddisfa l’equazione di partenza soddisfa anche l’equazione che otteniamo sottraendo m a entrambi i membri:

.kgm m m m1 3– –+ =

Semplificando le espressioni ai due membri troviamo:

1 kg = 2 m o 2 m = 1 kg.

Primo principio di equivalenza: se si aggiunge o si sottrae uno stesso numero o una stessa espressione a entrambi i membri di un’equazione, si ottiene un’altra equazio-ne che ha la stessa soluzione della prima, cioè è equivalente alla prima.

Il primo principio di equivalenza giustifica la regola del trasporto: si può spostare da un membro all’altro un termine di un’equazione, cambiandolo di segno.

La bilancia resta in equilibrio anche se dimezziamo la massa posta a destra e quella posta a sinistra. Quindi possiamo dividere i due membri per 2:

m2

2 =

kg2

1.

Abbiamo così isolato l’incognita m, cioè trovato il valore di m che rende uguali i due membri dell’equazione:

m = 21 kg.

Secondo principio di equivalenza: se si moltiplicano o si dividono entrambi i mem-bri dell’equazione per uno stesso numero diverso da zero o una stessa espressione diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente.

m

mm

m

m

1kg

mm1kg

m1

2

1

2kg

23


In queste equazioni, isola l’incognita e specifica qua-le principio hai usato:

a. x + 7 = 8 x = 8 − 7 Primo principio

b. 4 x = 35 ___________________________

c. 27 − x = 30 ___________________________

d. 5x − 9 = 31 ___________________________

In queste equazioni, isola l’incognita x applicando i principi di equivalenza:

a. x + a = b x = b - a

b. kx = h ___________________________

c. m − x = n ___________________________

d. ax − b = c ___________________________

Risolvi le seguenti equazioni:

a. 30x + 12 = 72

b. −4x + 24 = 8

c. 9 = 27x

d. 141 + 11x = 20

Ricava x dalle seguenti equazioni:

a. F kx=-

b. gx

t2 2=

c. vx a

t-

=

d. xV

r2r=

Trasforma queste frasi in equazioni e risolvile.

▶ Quale numero moltiplicato per 3 dà come risul-tato 126?

▶ Quale numero diminuito di 3 dà come risulta-to − 7?

▶ Quale numero diviso per 112 dà come risultato 1?

▶ Quale numero moltiplicato per 5 e sommato a 12 dà come risultato 27?

[42; −4; 112; 3]

Risolvi la seguente equazione, considerando che x è una quantità positiva: x168 27 852

- =

[x 32

= ]

Risolvi la seguente equazione nell’incognita positiva v: mv K2 02

- =

[v mK2

= ]

1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

4★ ★ ★

5★ ★ ★

6★ ★ ★

7★ ★ ★

Alessia e Federica insieme riescono ad equilibrare sull’altalena la massa di Roberto. Alessia pesa 10 kg in più di Federica e i tre ragazzi hanno una massa complessiva di 120 kg.

▶ Trasforma queste informazioni in equazione e calcola la massa dei tre ragazzi.

[35 kg; 25 kg; 60 kg]

Giulio, il giorno del suo 40° compleanno, afferma che sua figlia Angelica fra 15 anni avrà la metà degli anni che egli sta compiendo ora.

▶ Trasforma questa frase in equazione e determina l’età di Angelica.

[5 anni]

Andrea è nata 8 anni prima di sua cugina Alice che ha un quarto degli anni del nonno il quale ave-va 52 anni quando è nata Andrea.

▶ Trasforma queste informazioni in equazione.

▶ Quanti anni ha Andrea?

[28]

Dato un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenu-sa c, calcola il valore mancante nei seguenti casi:

a. a = 30 cm; b = 40 cm; c a b2 2= + =

30 cm 40 cm 2500 cm 50 cm2 2 2= + = =^ ^h h

b. a = 7,00 m; c = 13,04 m; b = _______ m

c. b = 31 dm; c = 6

13 dm; a = ______ dm

d. a = 100,0 mm; c = 223,6 mm; b = ______ mm

[11,00 m; 0,5 dm; 200,0 mm]

Sofia va in pasticceria e compra 5 cannoli e una cas-sata spendendo in totale 27€.

▶ La cassata è costata il doppio della cifra spesa per tutti i cannoli. Determina quanto è costato ogni cannolo.

[€ 1,8]

Il volume di una sfera di raggio r è V r34 3r= . Calco-

la il raggio delle sfere che hanno i seguenti volumi:

a. V = 4,19 m3

b. V = 523,60 cm3

c. V = 14,14 dm3

d. V = 212,17 cm3

[1,00 m3; 5,00 cm3; 1,50 dm3; 3,70 cm3]

8★ ★ ★

9★ ★ ★

10★ ★ ★

11★ ★ ★

12★ ★ ★

13★ ★ ★

24


9 RISOLVERE UN’EQUAZIONE A UN’INCOGNITA 2A PARTE

Le equazioni servono a risolvere i problemi

Spendi 2,00 € per una penna e una matita. La penna costa 1,00 € più della matita. Quan-to costa la matita?

Indichiamo con x il prezzo della matita. Allora quello della penna è x + 1,00 €. Cono-sciamo la spesa totale:

x + x + 1,00 € = 2,00 €.

Risolvendo questa equazione troviamo la risposta:

2 x = 1,00 €

x = 0,50 €.

Una formula • unÕequazione: come si fa a ricavare le formule inverse

La velocità media v in funzione della distanza D e del tempo t è

v = tD .

Se sappiamo quanto valgono v e t, per esempio v = 100 km/h e t = 0,25 h, da questa for-mula possiamo ricavare la distanza percorsa D.

Per isolare D moltiplichiamo entrambi i membri per t. Otteniamo:

v t = t

tD , cioè D = v t.

Sostituendo ora i valori noti, troviamo , h

km h km.D 100 0 25 25= =c ^m hDalla stessa formula, se conosciamo v e D, per esempio v = 80 km/h e D = 40 km, pos-siamo ricavare l’incognita t.

Prima portiamo t al numeratore, moltiplicando i due membri per t come sopra:

v t = D;

poi isoliamo t dividendo per v a sinistra e a destra dell’uguale. Otteniamo:

vv t

= vD , cioè t = v

D .

Siamo pronti, così, a sostituire i valori noti: t = vD = 80 km/h

40 km = 0,5 h.

La formula del volume del cilindro è V = π r2 h. Se conosciamo V e r, da essa possiamo ricavare h, dividendo entrambi i membri per π r2 e semplificando:

h = r

V2

r.

Se invece conosciamo V e h, possiamo ricavare r. Prima isoliamo r 2 dividendo i due membri per π h; poi estraiamo la radice quadrata di tutti e due:

r 2 = h

Vr

; r = h

Vr

.

Il teorema di Pitagora dice che il quadrato dell’ipotenusa c è uguale alla somma dei qua-drati dei cateti a e b, cioè c2 = a2 + b2.

Da questa formula, se conosciamo i cateti, ricaviamo l’ipotenusa:

c = a b2 2+ .

Se conosciamo l’ipotenusa e un cateto, per esempio b, ricaviamo l’altro cateto:

a2 = c2 − b2, da cui a = c b2 2- .

r

h

ac

b

25


A causa della rotazione della Terra intorno al suo asse, la velocità di un punto sull’equatore vale cir-ca 28 km/min. L’equazione che lega velocità (v), di-stanza (D) e tempo (t) è v = D/t.

▶ Calcola la distanza che percorrerebbe un punto sull’equatore in 2 h.

▶ E in 24 ore? A che cosa corrisponde quest’ultimo valore?

[3 360 km; 40 320 km]

Hai 30 cubetti uguali e vuoi riempire un volume di 240 dm3.

▶ Calcola quanto deve essere lungo il lato di ognu-no dei cubetti, in cm, per poter riempire esatta-mente il volume dato.

[20 cm]

La relazione tra due grandezze x e y è data dalla se-guente equazione: y = 3x2 − 5.

▶ Calcola il valore positivo di x per i seguenti valori di y:

a. y = −2

b. y = 4

c. y = −5

d. y = 103

[1, 3 ; 0; 6]

Un cilindro e un cono hanno uguale altezza, h = 20 cm, e uguale volume. Il cono ha raggio di base pari a 14 cm.

▶ Determina il raggio del cilindro.

[8,1 cm]

Un esagono regolare è inscritto in una circonferenza di raggio 10 cm. Il perimetro dell’esagono è 60 cm.

▶ Calcola l’area dell’esagono.

Suggerimento: ricorda che l’area dell’esagono rego-lare si calcola moltiplicando il perimetro per l’apo-tema e dividendo per due. Inoltre, determina l’apo-tema a con il teorema di Pitagora.

a

r

[260 cm2]

14★ ★ ★

15★ ★ ★

16★ ★ ★

17★ ★ ★

18★ ★ ★

Considera un rettangolo di lati a e b. L’area (A) del rettangolo è equivalente a due volte l’area del qua-drato di lato a.

a

b

▶ Completa la seguente tabella calcolando i valori dei lati a e b.

A = area del rettangolo

a = lato minore

b = lato maggiore

18

50

200

338

Caterina ha appeso nella sua stanza una corni-ce a giorno di lati 35 cm × 50 cm. In questa corni-ce ha inserito 9 fotografie tutte dello stesso formato (a × b). L’area della cornice non coperta dalle foto ri-sulta pari a 400 cm2. Il formato delle fotografie è di tipo 3:2, cioè un lato è 3/2 dell’altro.

▶ Calcola le misure dei lati a e b di ciascuna foto-grafia.

[15 cm; 10 cm]

La velocità di caduta di un corpo è data dall’equazio-ne: v = v0 + gt2, dove v0 è la velocità all’istante iniziale, g = 10 m/s2 è l’accelerazione di gravità e t è il tempo.

▶ Ricava l’incognita v0 e l’incognita t (considerata positiva) dall’equazione precedente.

Due grandezze a e b, entrambe positive, sono legate dalla relazione a= 1,5 b2.

Calcola il valore di b per i seguenti valori di a:

▶ a = 3

▶ a = 6

▶ a = 9

▶ a = 150

[ 2 ; 2; 6 ; 10]

La densità del sughero vale 300 kg/m3.

▶ Quanto vale il volume occupato da 150 kg di su-ghero? (Ricorda che la densità è definita come il rapporto fra massa e volume di un oggetto, cioè d = m/V.)

[0,5 m3]

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26


10 FARE I CONTI CON LE POTENZE DI 10 - 1A PARTE

Le potenze di 10 si classificano in base al segno dell’esponente

Per elevare 10 alla seconda potenza moltiplichiamo tra loro due termini uguali a 10; per elevare 10 alla quarta potenza ne moltiplichiamo quattro:

102 = 10 × 10 = 100, 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.

Per elevare 10 all’esponente negativo −4 prendiamo il reciproco di 104, cioè 1 fratto 104:

10−4 = 101

4 = 10 0001 = 0,000 1.

A seconda che l’esponente sia positivo, nullo o negativo, si ha:

...10 10 10 10n# # #= 10 10

= 10 101n

n–=

Vale la seguente regola mnemonica:

una potenza di 10 è un numero che, scritto in forma decimale, contiene tanti zeri quanti ne indica l’esponente; se l’esponente è negativo, bisogna includere nel conto anche lo zero che precede la virgola.

La forma decimale di 104 è 10 000 e il suo numero di zeri è uguale all’esponente 4; la forma decimale di 100 è 1, un numero privo di zeri; la forma decimale di 10−3 è 0,001 e ha 3 zeri, compreso quello prima della virgola.

Per moltiplicare due potenze di 10 si sommano gli esponenti

102 × 104 = 100 × 10 000 = 1 000 000 = 106 = 102+4.

103 × 10−5 = 1000 × 100 0001 = 100

1 = 10−2 = 103+(−5).

10−1 × 10−3 = 101 × 1000

1 = 10 0001 = 10−4 = 10−1+(−3).

10 10 10m n m n# =

+

Per dividere due potenze di 10 si sottraggono gli esponenti

1010

2

5

= 100100 000 = 1000 = 103 = 105−2.

1010

4

3

= 10 0001000 = 10

1 = 10−1 = 103−4.

1010

3

2

- =

10001

100 = 100 000 = 105 = 102−(−3).

1010 10n

mm n–

=

Per elevare a potenza una potenza di 10 si moltiplicano gli esponenti

(104)2 = (10 000)2 = 10 000 × 10 000 = 100 000 000 = 108 = 104 2# .

(10−1)3 = 101 3a k = 10

1 × 101 × 10

1 = 10001 = 10−3 = 10 1 3#- .

(10−2)−3 = 1001 3-a k =

10011

3a k =

1 000 00011 = 1 000 000 = 106 = 10 ( )2 3#- - .

10 10m n m n=^ h

poteNZa di 10 NUmero

109 1 000 000 000un miliardo

106 1 000 000un milione

103 1000mille

102 100cento

101 10dieci

100 1uno

10−1 0,1un decimo

10−2 0,01un centesimo

10−3 0,001un millesimo

10−6 0,000 001 un milionesimo

10−9 0,000 000 001un miliardesimo

n termini

27


Traduci queste potenze di 10 in numeri decimali:

a. 107 = 10 000 000

b. 1011 = _____________________

c. 10−4 = _____________________

d. 10−8 = _____________________

Traduci questi numeri decimali in potenze di 10:

a. 0,000 01 = 10−5

b. 0,001 = _____________________

c. 100 000 = _____________________

d. 10 000 000 = _____________________

Determina il risultato delle seguenti operazioni:

a. 104 × 1012 = 1016

b. 1011 × 10−8

c. 10−7 × 104

d. 10−18 × 10−7


a. 106 ÷ 109

b. 10−5 ÷ 10−11

c. (104)3

d. (10−2)5


a. 10−1 × 10−2 = 10−3

b. 10−6 × 106

c. 10−8 × 1015

d. 108 × 10


a. 107 ÷ 105

b. 103÷ 10−3

c. (103)−4

d. (104)2


a. 1010 10

4

3 2#

b. 10 102 3 5#

-^ hc. 10 10 103 0 7

' #-^ h

d. 1010 10

5

9 3 2#

-^ h

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Inserisci le potenze di 10 mancanti nelle seguenti uguaglianze:

a. ....10 10

86

=

b. ....10 103 15# =

c. .... 102 18=^ h

d. .... 10 105# =

Inserisci le potenze di 10 mancanti nelle seguenti uguaglianze:

a. ....10 105# =

b. ....

10 1016

=-

c. ....10 10 103 2# # =

-

d. ....

10 101

3

7=

-

^ h


a. 10 1010 10

4

12 2

#

#-

b. 10 101

5 7#

- -

c. :10 10 103 0 7#

- -^ hd. 10 10 10

10 105 11

6 4 2

# #

#

-

-^ h

Il lato dell’area quadrata rappresentata in scala in questa mappa misura 2,4 × 103 m.

▶ Determina l’area della zona in m2.

[5,8 × 106 m2]

Un appezzamento di terreno ha la forma di un rettangolo con i lati che misurano 2,61 × 103 m e 1,84 × 103 m.

▶ Calcola l’area dell’appezzamento.

[4,80 x 106 m]

Alberto ha ottenuto un incarico di lavoro che preve-de una retribuzione complessiva di € 2,88 × 104. Tale retribuzione gli sarà corrisposta con compensi men-sili di € 1,6 × 103.

▶ Quanti mesi durerà l’incarico di Alberto?

[18]

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28


10 FARE I CONTI CON LE POTENZE DI 10 - 2A PARTELa notazione scientifica: come si sfruttano le potenze di 10 per scrivere i numeri

Nella notazione scientifica un numero è scritto come il prodotto di due fattori: un coefficiente compreso tra 1 e 10 e una potenza di 10.

Come si scrive in notazione scientifica il numero 120?

Dividiamo 120 per 100: il risultato è il coefficiente 1,2 (compreso tra 1 e 10).

Se ora moltiplichiamo 1,2 per 100, cioè per 102, otteniamo di nuovo 120. Per scrivere 120 in notazione scientifica dobbiamo lasciare indicata questa moltiplicazione:

, .120 1 2 102#=

Vogliamo ora scrivere in notazione scientifica il numero 1251,4.

Dividendo e moltiplicando per 1000 otteniamo:

1251,4 = 1,2514 × 103.

Osserviamo che l’esponente della potenza di 10 è uguale al numero di posizioni di cui bisogna spostare la virgola verso sinistra per passare da 1251,4 a 1,2514.

Vogliamo scrivere in notazione scientifica anche 0,75, un numero minore di 1.

Per ottenere da 0,75 il coefficiente 7,5 (compreso tra 1 e 10), dobbiamo moltiplicare per 10; allora, per lasciare invariato il numero di partenza, dobbiamo anche dividere per 10, ossia moltiplicare per 10−1. Otteniamo:

0,75 = 7,5 × 10−1.

In questo caso l’esponente (preceduto dal segno meno perché il numero da rappresenta-re è minore di 1) è uguale al numero di posizioni di cui bisogna spostare la virgola verso destra per passare da 0,75 a 7,5.

Come addizionare e sottrarre i numeri scritti in notazione scientifica

3 × 107 + 5 × 107 − 2 × 107 = (3 + 5 − 2) × 107 = 6 × 107.

Se 10 è elevato allo stesso esponente in tutti i termini, si mette in evidenza la poten-za di 10 e si addizionano o sottraggono i coefficienti.

4,32 × 106 + 3 × 104 = 4,32 × 102 × 104 + 3 × 104 = (4,32 × 102 + 3) × 104 = = (432 + 3) × 104 = 435 × 104 = 4,35 × 106.

Nell’ultimo passaggio abbiamo aumentato di 2 l’esponente della potenza di 10 e diviso per 100 il fattore moltiplicativo: lasciando invariato il numero, lo abbiamo riscritto in notazione scientifica.

Se i termini dell’addizione o della sottrazione contengono potenze di 10 con espo-nenti diversi, prima si mette in evidenza il fattore comune, cioè la potenza di 10 con esponente più piccolo, poi si calcola la somma o la differenza.

Come moltiplicarli, dividerli e calcolare una loro potenza

2,5 × 102 × 1,2 × 103 = (2,5 × 1,4) × (102 × 103) = 3,5 × 105.

,,4 2 10

1 05 105

8

#

# = ,,4 2

1 05 × 1010

5

8

= 0,25 × 103 = 2,5 × 102.

(5 × 107)−2 = 51

2 × (107)−2 = 251 × 10−14 = 0,04 × 10−14 = 4 × 10−16.

Nell’addizione, nella sottrazione e nell’elevamento a potenza si opera sui coefficien-ti e sulle potenze di 10 separatamente.

notazione scientifica

potenza di 10coefficiente

29


Esegui le seguenti operazioni ed esprimi i risultati in notazione scientifica:

a. , ,1 7 10 4 2 10 8623 2# #+ +

-

b. ,10 10 2 651 2- +

- -

c. , , ,3 5 10 2 9 10 5 78 104 6 2# # # #-

d. , ,7 25 10 2 01 10 11 108 5 3 2# ' # #+ ^ h

[1,3 × 103; 2,7; 1,01 × 1011; 1,21 × 108]

Il raggio del pianeta Giove è 7,14 × 107 m e la sua massa vale 1,900 × 1027 kg.

▶ Calcola l’area della superficie di Giove, conside-randolo di forma sferica.

▶ Calcola la densità di Giove, considerandolo di forma sferica.

[6,41 × 1016 m2; 1,25 × 103 kg/m3]

Esegui le seguenti operazioni ed esprimi i risultati in notazione scientifica:

a. , ,2 8 10 3 7 104 6# #+

b. , , ,1 5 10 4 9 10 2 3 103 2 5# # #- +

c. , , ,3 4 10 6 9 10 2 5 107 10 4# # # #+

-^ ^h hd. , , ,5 2 10 2 6 10 1 2 1016 13 2

# ' # #-^ ^h hLa forza che si esercita tra due cariche elettriche po-sitive a riposo, q1 e q2, poste a distanza r l’una dall’al-

tra, è data dalla legge di Coulomb: F kr

q q2

1 2= , dove

k è una costante che vale 9 × 109 N ∙ m2/(C2). Le due cariche valgono q1 = q2 = 1,6 × 10−19 C e sono poste a distanza r = 10−10 m.

▶ Tralasciando le unità di misura, determina la for-za di repulsione tra le due cariche.

[2,304 × 10−8]

L’attrazione gravitazionale F fra due corpi rispetti-vamente di massa M1 e M2, posti alla distanza d, si determina (tralasciando le unità di misura) con la formula:

,Fd

M M6 67 10 11

21 2

# #=-

Nel caso del sistema Sole-Terra, i valori delle gran-dezze indicate sono:M1 = 1,99 × 1030 kg; M2 = 5,98 × 1024 kg; d = 1,50 × 1011 m.

▶ Determina l’intensità dell’attrazione gravitazio-nale fra il Sole e la Terra, sempre tralasciando le unità di misura.

[3,53 × 1022]

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Esprimi in notazione scientifica i seguenti dati:

a. Distanza media Terra-Luna, 380 000 000 m

b. Raggio terrestre, 640 000 000 cm

c. Distanza media Sole-Terra, 149 500 000 km

d. Velocità della luce nel vuoto, 300 000 km/s

La massa di un protone è mp = 1,7 × 10−24 g, quella di un elettrone è me = 9,1 × 10−28 g.

▶ Calcola la massa totale di un protone e un elet-trone.

▶ Determina il rapporto fra la massa del protone e quella dell’elettrone.

[1,70091 × 10−24g; 1,9 × 103]

Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri:

a. 0,000074

b. 14385926

c. 415,12

d. 0,00998

Dopo aver convertito le seguenti coppie di numeri in notazione scientifica, calcola il loro rapporto.

a. 630 000; 1 800

b. 91 000 000; 7 500 000 000

c. 5 400 000; 230

d. 27 000; 950 000 000

Dopo aver convertito le seguenti coppie di numeri in notazione scientifica, calcola il loro prodotto.

a. 370; 4100

b. 0,000 62; 850 000

c. 7 900 000; 0,0023

d. 14 000 000; 0,000 000 14

Converti le seguenti potenze in notazione scientifi-ca.

a. (4000)2

b. (2500)3

c. (0,000 3)4

d. (−710)5

e. (0,003)−4

f. (4000)−2

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30

1CAPITOLO

FISICA CON LE MANI Trova con un esperimento la relazione tra la massa e il volume di un oggetto metallico.

LE GRANDEZZE FISICHE

1 PROPRIETÀ MISURABILI E UNITÀ DI MISURA

Il vincitore della gara a cronometro di

handbike conclude la sua prova in 28 mi-

nuti 36 secondi e 81 centesimi.

Sia il tempo di gara del ciclista sia il punteggio della tuffatrice sono espressi da numeri;

possono quindi essere confrontati con altri tempi e altri punteggi.

L’origine e il significato di questi numeri, però, sono diversi: un tempo di gara è un

valore misurato in modo oggettivo con un cronometro; un punteggio è assegnato a di-

screzione di una giuria e quasi mai è espresso in modo unanime da tutti i giudici.

Solo le quantità misurabili sono grandezze fisiche

La durata di una gara è una grandezza fisica. Altre grandezze fisiche sono l’altezza di un

muro, la velocità di un treno, la temperatura dell’acqua di una piscina. Se queste pro-

prietà sono misurate con lo strumento adatto e con la procedura corretta, nessuno può

sostenere che il loro valore sia diverso da quello misurato.

La vincitrice della gara di tuffi totalizza

439,25 punti e stacca di 19,85 punti la se-

conda classificata.

VC

G/G

etty

NurP

hoto

/Get

ty

31

Le grandezze fisiche 1

Una grandezza fisica è una proprietà di un corpo o di un fenomeno che può essere

misurata.

Il punteggio dato da una giuria non è una grandezza fisica. Neanche il divertimento lo

è, perché non può essere misurato in modo oggettivo: possiamo avere un nostro criterio

di giudizio del divertimento («mi sono divertito meno dell’altra volta», «non mi sono

mai divertito così tanto») ma non possiamo stabilire il grado di divertimento in modo

preciso e condiviso da tutti.

Per specificare una grandezza fisica servono un numero e un’unità di misura

Per misurare una grandezza fisica dobbiamo metterci d’accordo sull’unità di misura.

L’unità di misura di una grandezza fisica è una quantità di riferimento di quella

grandezza a cui si assegna il valore 1.

Per esempio, come unità di misura della lunghezza (una grandezza fisica) possiamo usa-

re il metro (una determinata quantità di lunghezza); come unità di misura della velocità

(un’altra grandezza fisica) possiamo usare il kilometro all’ora (una determinata quantità

di velocità).

Misurare una grandezza fisica significa stabilire quante volte l’unità di misura è

contenuta nella grandezza che si sta esaminando.

Per esempio, dire che un tavolo è lungo 1,80 metri significa che:

la lunghezza del tavolo è maggiore di un

metro ma minore di due;

Per comunicare il risultato di una misurazione bisogna scrivere un’uguaglianza, che ha:

■ a sinistra il simbolo della grandezza misurata;

■ a destra il numero ottenuto, seguito dall’unità di misura.

Come simbolo della lunghezza del tavolo possiamo usare l. Poiché il metro è abbreviato

in «m», scriviamo:

l = 1,80 m.

AL VOLO

DA UNO A DIECI, QUANTO SEI GENEROSO?

▶ Riesci ad assegnare alla

tua generosità un valore

oggettivo?

▶ La generosità è una

grandezza fisica?

la parte in eccesso rispetto al metro con-

tiene otto volte un decimo di metro.

AL VOLO

LA LUNGHEZZA IN MATITE

▶ Usa una matita come

unità di misura della

lunghezza: quante matite è

lungo il tuo banco?

32


La velocità è indicata di solito con il simbolo v e il kilometro all’ora è abbreviato in

«km/h». Se il tachimetro di un’automobile segna una velocità di 110 kilometri all’ora,

scriviamo questa misura come

v = 110 h

km.

2 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

In fisica si utilizzano numeri molto grandi e altri molto piccoli.

Il diametro della Galassia di Androme-

da è:

dA = 2 000 000 000 000 000 000 000 m.

Con le potenze di 10 possiamo scrivere queste misure in modo più compatto e leggibile:

dA = 2 000 000 000 000 000 000 000 m = 2 × 1021 m;

dv = 0,000 000 1 m = 1 × 10–7 m.

Nella notazione scientifica un numero è scritto come il prodotto di due fattori: un

coefficiente, maggiore o uguale a 1 e minore di 10, una potenza di 10.

Per esempio, il numero 3857,9 diventa:

3857,9 = 3,8579 × 103.

L’esponente a cui eleviamo 10 è uguale al numero di posizioni di cui si sposta la virgola

verso sinistra per passare da 3857,9 a 3,8579.

Come altro esempio, il numero 0,00952 diventa:

0,00952 = 9,52 × 10–3 m

L’esponente (con il segno meno perché il numero che stiamo considerando è compreso

tra 0 e 1) è uguale al numero di posizioni di cui si sposta la virgola verso destra per pas-

sare da 0,00952 a 9,52.

Il diametro di una particella virale dell’in-

fluenza è:

dv = 0,000 000 1 m.

National I

nst

itute

of Alle

rgy

and Infe

ctio

us

Dis

ease

s

Adam

Eva

ns/

Flic

kr

potenza di 10

coefficiente

AL VOLO

NANI E GIGANTI

Esprimi in notazione

scientifica:

▶ la massa di una zanzara,

uguale a circa 0,002 g;

▶ il raggio medio della Luna,

uguale a circa 1 738 000 m.

33


L’ordine di grandezza

La distanza tra la Terra e il Sole è molto grande:

dTerra-Sole = 150 000 000 000 m =1,5 × 1011 m.

La distanza tra la Terra e Proxima Centauri, che è la stella più vicina dopo il Sole, è

enormemente più grande:

dTerra-Proxima Centauri = 40 000 000 000 000 000 m = 4 × 1016 m.

Per distinguere tra i diversi gradi di «grande» (e di «piccolo»), definiamo l’ordine di

grandezza di un numero.

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina a quel numero.

Quindi l’ordine di grandezza della distanza della Terra dal Sole è 1011 m, mentre quello

della distanza da Proxima Centauri è 1016 m.

Calcoliamo il rapporto tra questi ordini di grandezza:

mm

1010

11

16

= 105 = 100 000.

Scopriamo, così, che Proxima Centauri è circa 100 000 volte più lontana del Sole.

Facciamo altri esempi.

■ Bologna dista da Milano 210 km = 2,1 × 102 km.

L’ordine di grandezza di questa distanza è 102 km, cioè 100 km.

■ Bari dista da Milano 880 km = 8,8 × 102 km.

L’ordine di grandezza di quest’altra distanza è 103 km, cioè 1000 km, dato che 8,8 è

più vicino a 10 che a 1.

3 IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITÀ

I britannici e gli americani misurano le

masse in libbre. Una libbra equivale a

0,45359237 kilogrammi.

Le unità di misura delle grandezze fisiche sono fissate per convenzione e sono defi-

nite come quantità rigorosamente costanti.

AL VOLO

MILIARDI DI MILIARDI DI MILIARDI

Si stima che il corpo di

un uomo di 70 kg sia

composto di 7 miliardi di

miliardi di miliardi di atomi.

▶ Qual è l’ordine di

grandezza di questo

numero?

AL VOLO

BILANCE CINESI

▶ Qual è la tua massa

in jin?

La massa di uno spicchio

di cocomero vale 3,6 jin:

▶ quanto vale

in kilogrammi?

I cinesi pesano in jin. Un jin equivale a

1,10231131092 libbre e quindi a 0,5 kilo-

grammi.

Bra

dle

y M

ayh

ew/G

etty

Chad M

cDer

mott

/Shutt

erst

ock

34


Comunicare le misure sarebbe più semplice se tutto il mondo usasse le stesse unità.

Così, con l’obiettivo di facilitare la circolazione dei dati tecnici e dei risultati scientifici,

nel 1960 è stato stabilito il Sistema Internazionale di Unità (abbreviato in SI), che:

■ fissa sette grandezze fisiche fondamentali;

■ indica le loro unità di misura;

■ definisce le unità di misura di tutte le altre grandezze in termini di queste sette.

Il Sistema Internazionale è stato

adottato per legge nell’Unione Eu-

ropea ed è attualmente in vigore in

moltissimi Paesi. Le sue grandez-

ze fondamentali, con le rispettive

unità di misura, sono elencate nel-

la tabella.

Non sempre le unità di misura

del SI sono le più usate nella vita

quotidiana. Di solito, per esempio,

esprimiamo le temperature in gra-

di Celsius (°C) anziché in kelvin.

I simboli delle unità di misura possono essere preceduti dai prefissi descritti nella (vedi

la tabella a fianco).

Ciascun prefisso rappresenta un multiplo o un sottomultiplo dell’unità di misura.

4 L’INTERVALLO DI TEMPO

Alcune unità di misura del tempo che utilizziamo spesso sono:

il giorno, cioè il tempo

che separa due successive

culminazioni del Sole a

uno stesso meridiano;

La rotazione della Terra, il moto della Luna attorno alla Terra e il moto della Terra at-

torno al Sole sono esempi di moti periodici, cioè moti che si ripetono sempre uguali. La

misurazione del tempo richiede sempre il confronto con un moto periodico:

grandezza UniTÀ di MisUra siMBOLO

Lunghezza metro m

Intervallo di tempo secondo s

Massa kilogrammo kg

Temperatura kelvin K

Intensità di corrente ampere A

Intensità luminosa candela cd

Quantità di sostanza mole mol

nOMe siMBOLOfaTTOre MOLTiPLi-caTiVO

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

etto h 102

deca da 101

deci d 10−1

centi c 10−2

milli m 10−3

micro μ 10−6

nano n 10−9

pico p 10−12

femto f 10−15

atto a 10−18

la settimana, cioè il tem-

po che separa due fasi lu-

nari (per esempio la luna

nuova e il primo quarto);

Suppaki

j10

17

/Shutt

erst

ock

l’anno, cioè il tempo che

impiega la Terra a per-

correre un’orbita com-

pleta attorno al Sole.

sdec

ore

t/S

hutt

erst

ock

Ser

g64

/Shutt

erst

ock

35


per misurare un intervallo di tempo si conta quante volte la durata di un fenomeno

periodico si ripete tra l’inizio e la fine dell’intervallo.

In passato per misurare il tempo si sono utilizzati i moti

periodici del pendolo e della molla a bilanciere. Questi

dispositivi erano incorporati negli orologi.

Nelle tecnologie moderne, e a scopi scientifici, serve

però confrontare gli intervalli di tempo con la durata di

oscillazioni più rapide e più regolari. La maggior parte

degli orologi da polso, per esempio, conta le oscillazio-

ni di un piccolo cristallo di quarzo collegato a una pila.

Nei laboratori di fisica si usano diversi tipi di orologi,

ma il più preciso è l’orologio atomico, che può misu-

rare intervalli di tempo di milioni di anni con un errore

inferiore al secondo. Questo orologio sfrutta il compor-

tamento degli atomi di alcuni elementi ed è adoperato

per definire il secondo, l’unità di misura degli intervalli

di tempo nel Sistema Internazionale:

il secondo (s) è l’intervallo di tempo impiegato da una particolare onda elettroma-

gnetica emessa dagli atomi di cesio per compiere 9 192 631 770 oscillazioni.

PrinciPaLi MULTiPLi e sOTTOMULTiPLi deL secOndO

Nome Simbolo Valore in secondi

anno a 3,16 × 107

giorno d 86 400

ora h 3600

minuto min 60

millisecondo ms 10001

10 3=

-

microsecondo μs 1000 0001

10 6=

-

5 LA LUNGHEZZA

Anche la grandezza fisica «lunghezza» è introdotta spiegando come viene misurata:

quando determiniamo le dimensioni di un oggetto con un righello:

sovrapponiamo la prima tacca del righel-

lo a un’estremità del segmento che vo-

gliamo misurare;

NIS

T

ESEMPIOLa durata di una

settimana in secondi è

7 × 86 400 s = 604 800 s.

In un anno ci sono

3,16 × 107 s, perciò

,.s a1

3 16 10

17

#

=

Quindi,

,

,

,

settimana

a

a

a.

1

604 8003 16 10

1

3 16 10

604 800

0 019

7

7

#

#

#

=

= =

= =

=

prendiamo come misura il valore rappre-

sentato dalla tacca che corrisponde alla

seconda estremità.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262200 221 22222 22333 2244 2255 2260 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262200 221 22222 22333 2244 2255 226

36


Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della lunghezza, il metro, è definita in base

a una proprietà della luce:

il metro (m) è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo

pari alla frazione 2997924581

di un secondo.

Il metro, così definito, è un’unità di misura stabile, non soggetta ad alcuna variazione.

Vediamo perché.

Gli esperimenti, in accordo con la teoria della relatività di Einstein, mostrano che la ve-

locità della luce nel vuoto, indicata con il simbolo c, non cambia nel tempo ed è uguale

dappertutto. La misura di questa velocità è fissata dal Sistema Internazionale al valore

c = 299 792 458 m/s.

La velocità è una grandezza unitaria: è definita come il rapporto tra la distanza percorsa

e l’intervallo di tempo impiegato e il suo valore indica quanti metri sono percorsi in un

secondo.

Poiché, dunque, la quantità c è un rapporto tra una distanza e un tempo, ed è costante,

dalla [1] deduciamo che:

■ in 1 s la luce percorre sempre la stessa distanza di 299 792 458 m;

■ in 21

s la luce percorre sempre la stessa distanza di 2299792458

m;

■ in 31

s percorre sempre la stessa distanza di 3299792458

m e così via.

Quindi, nell’intervallo di tempo specificato nella definizione del metro, 2997924581

s,

la luce percorre sempre 299792458299792458

m = 1 m.

PrinciPaLi MULTiPLi e sOTTOMULTiPLi deL MeTrO

Nome Simbolo Valore in metri

kilometro km 1000 = 103

ettometro hm 100 = 102

decametro dam 10

decimetro dm 101

10 1=

-

centimetro cm 1001

10 2=

-

millimetro mm 10001

10 3=

-

6 LA MASSA

Possiamo misurare la massa di un corpo con una bilan-

cia a bracci uguali: due corpi hanno la stessa massa se,

messi sui due piatti della bilancia, li lasciano in equili-

brio, cioè non fanno scendere un piatto e salire l’altro.

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della mas-

sa, il kilogrammo, è definita in relazione a un corpo

campione:

AL VOLO

DISTANZA DOPPIA

▶ Qual è la frazione di

secondo che la luce

impiega a percorrere 2 m?

[1]

oks

ana2

01

0/S

hutt

erst

ock

37


il kilogrammo (kg) è la massa di un cilindro di platino-iridio, di altezza e di diame-

tro uguali a 3,900 cm, conservato a Sèvres, in Francia.

Con questa definizione, il kilogrammo è praticamente uguale alla massa di un litro di

acqua distillata.

7 L’AREA

Nel Sistema Internazionale l’intervallo di tempo, la lunghezza e la massa sono tre gran-

dezze fisiche fondamentali; invece l’area è una grandezza derivata.

Si chiamano grandezze derivate le grandezze fisiche che sono definite a partire dal-

le grandezze fisiche fondamentali. Le loro unità si deducono da quelle delle gran-

dezze fondamentali.

L’unità di misura dell’area, nel SI, è definita in relazione al metro.

L’unità di misura dell’area è il metro quadrato (m2), cioè l’area di un quadrato di

lato 1 m:

m2 = (1m) × (1 m).

■ Vale 2 m2 l’area totale di due quadrati con area di 1 m2 ciascuno; non vale 2 m2 (ma vale

4 m2) l’area di un quadrato di lato 2 m.

■ Vale 3 m2 l’area totale di tre quadrati con area di 1 m2 ciascuno; non vale 3 m2 (ma vale

9 m2) l’area di un quadrato di lato 3 m.

8 IL VOLUME

Nel Sistema Internazionale anche il volume, come l’area, è una grandezza derivata la cui

unità di misura è costruita a partire dal metro.

L’unità di misura del volume è il metro cubo (m3), definito come il volume di un

cubo di lato 1 m:

m3 = (1m) × (1 m) × (1 m).

Vale 3 m3 il volume totale di tre cubi con volume di 1 m3 ciascuno; non vale 3 m3 (ma

vale 27 m3) il volume di un cubo di lato 3 m.

Per esprimere il volume di liquidi e gas si usa spesso il litro (L), un’unità di misura che

non fa parte del SI, ma che è equivalente a un sottomultiplo del metro cubo.

Un litro è uguale a un decimetro cubo: 1 L = 1 dm3.

Un litro contiene 1000 millilitri (mL). D’altra parte 1 dm3, che equivale a 1 L, contiene

1000 cm3. Quindi:

un millilitro è uguale a un centimetro cubo: 1 mL = 1 cm3.

ESEMPIOL’area A = 125 cm2:

espressa in mm2 è

( )

, ;

mm

mm

mm

A 125 10

25 10

1 25 10

1

2

2 2

4 2

#

#

#

= =

= =

=

espressa in dm2 è

( )

, ;

dm

dm

dm

A 125 10

125 10

1 25 2

1 2

2 2

–

–

#

#

= =

= =

=

espressa in m2 è

( )

, .

m

m

m

A 125 10

125 10

1 25 10

2 2

4 2

2 2

–

–

–

#

#

#

= =

= =

=

VIDEOQuadrati e quadratini

ESEMPIOIl volume V = 746 mm3:

espresso in cm3 è

, ;

cm

cm

cm

V 746 10

746 10

0 746

1 3

3 3

3

#

#

= =

= =

=

-

-

^ h

espresso in dm3 è

, .

dm

dm

dm

V 746 10

746 10

7 46 10

2 3

6

4 3

3

#

#

#

= =

= =

=

-

-

-

^ h

AL VOLO

BIBITA IN LATTINA

Il volume di una lattina

di bibita gassata è 330 mL.

▶ Esprimi questo volume

in mm3 e in m3.

38


9 LA DENSITÀ

Riempiamo due bottiglie da 1 L, una di latte e l’al-

tra di olio, e poniamole sui due piatti di una bilan-

cia (FIGURA 1). Osserviamo che la bottiglia di latte

ha massa maggiore rispetto alla bottiglia di olio:

lo stesso volume contiene una massa maggiore di

latte che di olio.

Per descrivere questa proprietà definiamo una

nuova grandezza, la densità.

La densità d di un corpo è il rapporto tra la sua massa m e il suo volume V:

d Vm

=

■ Se conosciamo la densità d e il volume V, ricaviamo

.m d V=

■ Se conosciamo la densità d e la massa m, ricaviamo

.Vdm

=

Nel SI l’unità di misura della densità è il kilogrammo al metro cubo (kg/m3), rapporto

tra l’unità di massa e l’unità di volume.

La densità dei liquidi e dei solidi è una proprietà che dipende soprattutto dal materiale

(tabella a lato). Tuttavia, per un dato materiale, essa può subire qualche piccola varia-

zione al variare della temperatura.

Per esempio, se la temperatura aumenta, il volume dell’olio di oliva aumenta: poiché la

massa non cambia, la densità diminuisce.

Conversioni tra unità di densità

A volte la densità è espressa in g/cm3. Il valore della densità del ghiaccio, per esempio,

può essere indicato come 0,917 g/cm3.

Come si fa a passare da questo valore al valore corrispondente in kg/m3?

Si considerano i simboli «g» e «cm3» del grammo e del centimetro cubo come delle

quantità algebriche e si sostituiscono a essi i loro valori, espressi rispettivamente in kilo-

grammi e in metri cubi. Si ottiene:

0,917 cm

g3 = 0,917

10 m10 kg

6 3

3

-

-

= 0,917 × 103

mkg

3 = 917 mkg

3 .

In pratica,

per passare da g/cm3 a kg/m3 si moltiplica per 1000; per passare da kg/m3 a g/cm3

si divide per 1000.

Mass

imili

ano T

revi

san

FIGURA 1

La massa di 1 L di latte è maggiore

della massa di 1 L di olio: a parità

di volume (uguale denominatore), la

massa del latte è maggiore (maggiore

numeratore).

sOsTanza (O MiscUgLiO)

densiTÀ (kg/m3)

Oro 19 300

Mercurio 13 550

Argento 10 500

Ferro 7860

La Terra 5515

Alluminio 2700

Il Sole 1410

Il corpo umano 1070

Acqua distillata (a 4 °C)

1000

Olio di oliva 920

Ghiaccio 917

Aria (al livello del mare)

1,29

Aria (a 20 km di altitudine)

0,09

volume (m3)

massa (kg)densità (kg/m3)

[2]

AL VOLO

ACQUA

La densità dell’acqua

distillata (precisamente

alla temperatura di 4 °C) è

1000 kg/m3.

▶ Esprimi questa densità in

g/cm3 e in kg/L.

▶ Qual è la massa di 1 L di

acqua distillata?

39

C O N L E MAN I

CHE COSATI SERVE

PREPARA L’ESPERIMENTO

FAI L’ESPERIMENTO

Scopri che relazione esiste tra la massa e il volume di un oggetto di metallo.

La densità di un metallo

Un bicchiere in vetro

alto e stretto

Una vite di 8-10 cm (diametro circa 1 cm) e una deci-

na di dadi dello stesso metallo (si

comprano in ferramenta)

Una siringa da almeno 5 mL

Una bilancia digitale

da cucina (sensibilità 1 g)

Un marker nero a punta fine

Acqua

1. Versa nel bicchiere una quantità d’acqua sufficiente a raggiungere un’altezza

almeno pari a quella della vite che hai a disposizione.

2. Con il pennarello, segna sul bicchiere il livello del liquido.

■ Con la bilancia, misura la massa della vite senza

dadi e annota il valore in una tabella.

■ Inserisci la vite nel bicchiere con l’acqua.

■ Immergi la siringa nell’acqua e aspira la quantità

necessaria a riportare il livello del liquido a quello

di riferimento. Fai attenzione a non aspirare aria!

(Questa è la fase più delicata dell’esperimento;

è importante riportare il livello dell’acqua quanto

più vicino possibile a quello di riferimento.)

■ Il volume d’acqua estratto coincide con il volume

dell’oggetto di metallo immerso in acqua, cioè il vo-

lume della vite. Riporta questo dato nella tabella.

■ Ora togli la vite dal bicchiere e aggiungi l’acqua

fino al livello di riferimento.

■ Avvita due, quattro, … dieci dadi alla vite e misu-

ra ogni volta la massa complessiva (FIGURA 2).

■ Ripeti ogni volta il procedimento di misura del

volume fino ad avere almeno cinque misure di

massa e volume.FIGURA 2

FIGURA 1

DURATA: 40 minuti DIFFICOLTÀ:

Vai a p. 30 per vedere

il video con lo smartphone

40

1 Le grandezze fisiche

Noggetti V (mL) M (g)

0

1 vite

1 vite + 2 dadi

1 vite + 4 dadi

1 vite + 7 dadi

1 vite+ 10 dadi

ANALIZZA I DATI

CHE COSA SUCCEDE SE

CHE COSA HAI CAPITO

■ Costruisci il grafico della massa M (sull’asse y) in funzione del volume V (sull’asse x).

▶ Cosa succede se utilizzi un materiale diverso?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

▶ Che tipo di curva ottieni?

...................................................................................................................................

▶ Che relazione di proporzionalità esiste fra la massa e il volume? Che cosa rappresen-

ta la costante di proporzionalità?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

FIGURA 3

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

M

(g)

0

90

60

30

120

180

150

V (mL)

MAPPA DEI CONCETTI

41

per esempio: lunghezza, velocità, energia

per esempio: 6,02 × 1023

FONDAMENTALI DERIVATEdefinite a partire dalle grandezze

fondamentali

NUMERO UNITÀ DI MISURA

LE GRANDEZZE FISICHE

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

50

2 000 000 = 2 × 106

4,1 × 102

0,0003 = 3 × 10 -4

km

V = 2 m3

1 m

1 m

2 m

densità =6300 kg---------------------

2 m3=

3150 kg---------------------

m3

6300 kgcemento

LA DENSITÀ

deriva da lunghezza e massa

per esempio

sono specificate da

è utile per scrivere

si dividono in

ha la forma

n × 10k

con n compreso tra 1 e 10

NUMERI MOLTO GRANDI

NUMERI MOLTO PICCOLI

sisTeMa inTernaziOnaLe

grandezzaUniTÀ

di MisUrasiMBOLO

Lunghezza metro m

intervallo di tempo secondo s

Massa kilogrammo kg

Temperatura Kelvin K

intensità di corrente ampere a

intensità luminosa candela cd

Quantità di sostanza mole mol

massa (kg)

volume (m3)

densità (kg/m3)

e

dV

m=

42

ESERCIZI Mettiti alla prova con 20 esercizi interattivi

ONLINE

MAPPA INTERATTIVA

1 PROPRIETÀ MISURABILI E UNITÀ DI MISURA

Tra i seguenti termini distingui le grandezze fisiche dalle unità di misura.

Lunghezza, centimetro quadrato, massa, temperatu-ra, litro, tempo, ora, ettogrammo, grado Celsius, se-condo, superficie, volume, millimetro, metro cubo, velocità.

LA FISICA IN PRATICA Una pentola piena d’acqua vie-ne posta sul fuoco finché l’acqua comincia a bollire.

▶ Indica cinque grandezze fisiche legate a questo fenomeno.

Suggerimento: volume dell’acqua, …

A COLPO D’OCCHIO Il seguente grafico riguarda i cambiamenti di stato dell’acqua.

tempo (s)0

a b

fusione

evaporazione

dc(°C)

?

▶ Quale grandezza fisica è rappresentata nel grafico in funzione del tempo?

▶ Quali sono le unità di misura utilizzate?

LA FISICA IN PRATICA Si può misurare la piccantezza di un peperoncino? Cerca informazioni sulla scala secondo la quale vengono classificate le diverse spe-cie di peperoncini.

TROVA L’ERRORE «Un ciclista ha percorso 100 km in 2 ore, perciò ha viaggiato con una velocità media di 50».

▶ Perché questa frase non è corretta?

Paolo misura la lunghezza L di un tavolo utilizzando come unità di misura la lunghezza di un foglio A4. Trova L = 5,6 A, dove A indica l’unità di misura.

1

2

3

4

Agr

icultura

l R

esea

rch S

ervi

ce

5

6

▶ Come ha fatto per ottenere la cifra decimale 6?

▶ Cosa dovrebbe fare se volesse ottenere un’altra cifra decimale (per esempio 5,62)?

A famous quotation by Albert Einstein is “Gra-vitation is not responsible for people falling in love.”

▶ What is the branch of physics for gravitation?

Nei paesi anglosassoni si usano come unità di misu-ra di lunghezza sia il piede (1 ft = 0,3048 m) sia la iar-da (1 yd = 0,9144 m).

▶ Quanti piedi vale una iarda?

▶ In generale come si fa a convertire in piedi una lunghezza data in iarde?

▶ E a convertire in iarde una lunghezza data in piedi?

Due muratori, Mario e Luigi, misurano il lato di una mattonella usando come unità di misura la loro spanna. Mario ottiene tre spanne, Luigi due spanne e mezza.

▶ Chi dei due ha la spanna più lunga? Perché?

▶ La spanna di Mario è lunga 15 cm. Quanto è lun-ga quella di Luigi?

[18 cm]

Anna e Maria decidono di misurare la larghezza del-la strada in cui abitano utilizzando i propri piedi. Per Anna la strada risulta larga 38,5 piedi, per Ma-ria 39,5 piedi.

▶ Chi delle due porta scarpe numero 37 e chi 38?

▶ Il numero 38 corrisponde a una lunghezza di pie-de di circa 26 cm; quanti metri è larga la strada?

[Anna porta il 38; circa 10 m]

Hai a disposizione una scatola di fiammiferi lunghi ciascuno 40 mm, alcune matite lunghe 18 cm e un metro da sarta lungo 1,5 m. Per misurare l’altezza di una porta utilizzi il metro da sarta una volta, 2 matite e 2 fiammiferi.

▶ Esprimi l’altezza della porta in centimetri.

[194 cm]

Il periodo di rivoluzione del pianeta Marte intor-no al Sole è più lungo di quello della Terra. Un anno marziano corrisponde a 1,88 anni terrestri.

▶ Esprimi la tua età Y usando come unità di misu-ra, l’anno marziano (am).

▶ La sonda Curiosity è atterrata su Marte nel 2012. Dopo 5 am sul pianeta, che anno sarà sulla Terra?

, ;Y

1 88 2021am: D

7

8★ ★ ★

9★ ★ ★

10★ ★ ★

11★ ★ ★

12★ ★ ★

43

LE gRANdEzzE fIsIchE 1 ESERCIZI

Chiara ha bisogno di acquistare 500 tessere per re-alizzare un mosaico all’interno di una cornice qua-drata. La cornice è occupata da 4 mattonelle grandi.

▶ Quanto vale il rapporto tra la superficie di una mattonella e quella di una tessera del mosaico?

▶ Una tessera ha una superficie di 1,2 cm2: quanto misura un piano di area A = 720 cm2 usando come unità di misura la mattonella (mat) o la tessera (t)?

[125; 4,8 mat; 600 t]

Giovanni è risultato vincitore dopo aver parteci-pato a un quiz televisivo. La sua vincita ammonta a 43 200 €, ma il premio sarà pagato con un quantita-tivo in gettoni d’oro di massa 9 g ciascuno. La quota-zione dell’oro in quel giorno è di 24,0 € /g.

▶ Quanto vale un gettone d’oro in euro?

▶ Esprimi la vincita di Giovanni in gettoni d’oro.

[216 €; 200 gettoni d’oro]

In un laboratorio oftalmico, un ricercatore B con-fronta tre colliri misurandone la concentrazione (in percentuale) di fenilefrina, una sostanza che causa l’effetto di dilatazione della pupilla e ottiene i valori:

%f 121 = , ,f f1 52 1= , f f33 1= .

▶ Sai individuare l’unità di misura utilizzata dal ri-cercatore per esprimere f2 e f3 ?

▶ Calcola i valori delle concentrazioni di fenilefrina misurate nei colliri 2 e 3.

[ f1; 18%; 36%]

La rivista «The Economist» ha introdotto un’unità di misura del potere d’acquisto di una nazione legata a un cibo diffuso in tutto il mondo, il Big Mac di Mc-Donald’s. Per acquistare un Big Mac nel paese in cui vive, un lavoratore medio deve lavorare 12 minuti ne-gli Stati Uniti, 15 minuti in Inghilterra, 14 minuti in Australia, 70 minuti in India e 91 minuti in Kenya.

▶ Quanti Big Mac “guadagna” un lavoratore ameri-cano in un’ora?

▶ E uno kenyota?[5; 0,7]

13★ ★ ★

14★ ★ ★

15★ ★ ★

16★ ★ ★

2 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

FAI UN ESEMPIO Esprimi l’ordine di grandezza della popolazione italiana e di quella mondiale. Calcolane il rapporto per stabilire di quanto la popolazione del pianeta supera quella dell’Italia.

COSA SUCCEDE SE Un materasso di gommapiuma si assottiglia di 0,5 mm per ogni 10 kg di massa che deve sostenere. Una cassa di massa ,3 0 10 kg3

# è poggiata sul materasso.

▶ Di quanti millimetri diminuisce lo spessore del materasso? Valuta l’ordine di grandezza.

Fai una stima dell’ordine di grandezza della lun-ghezza di ciascuno dei seguenti oggetti:

a. la tua borsa di scuola;

b. il tuo braccio;

c. la torre Eiffel.

TROVA L’ERRORE «Per trovare l’ordine di grandezza si scrive il numero in notazione scientifica e si pren-de la potenza di 10 che si ottiene.»

Estimate the order of magnitude of the mass in kilograms of each of the following:

a. an apple

b. your English dictionary

c. a car

La superficie totale degli Stati Uniti d’Ameri-ca è 9 857 000 km2, mentre quella dell’Italia è circa 301 300 km2.

▶ Utilizzando la notazione scientifica calcola il rap-porto tra le due aree.

Scrivi in notazione scientifica i numeri nella tabella e indicane l’ordine di grandezza.

17

18

19

20

21

22★ ★ ★

23★ ★ ★

Grandezza Valore Notazione scientifica Ordine di grandezza

Raggio equatoriale della Terra 6370 km 6,37 × 103 km 104 km

Altezza del monte Everest 8848 m

Velocità di una tartaruga 0,076 m/s

Massa di una balena 178 000 kg

Diametro di una molecola di DNA 0,000 000 002 m

Numero di secondi in un anno (365 giorni) 31 536 000 s

44

LE gRANdEzzE fIsIchE1ESERCIZI

Completa la tabella.

Grandezza Valore Notazione scientifica Ordine di grandezza

Numero di vocaboli conosciuti da un bambino di 5 anni

2000

Carico che può sopportareun tendine umano

58 000 kg

Numero di germi su 1 mm2

del telefono cellulare50 000

Diametro di un vaso capillare 0,006 mm

Numero di cellule nel fegato 300 miliardi

Numero di alveoli nei polmoni 300 milioni

Velocità massima di un impulso nervoso 120 m/s

L’anno-luce è un’unità di misura molto usata dagli astronomi per indicare le distanze fra i corpi cele-sti. Un anno-luce corrisponde alla distanza di circa 9 460 500 000 000 km.

▶ Come si scrive in notazione scientifica?

In astronomia, le distanze si esprimono spesso in parsec (1 pc = 3,0857 × 1016 m). La stella Sirio si trova a una distanza di 2,690 pc dal Sistema Solare.

▶ Qual è il valore in metri di questa lunghezza?

[8,301 × 1016 m]

La quantità totale di acqua contenuta negli oceani è stimata essere circa 1,3 × 1021 kg. Il calcio disciol-to nell’acqua di mare corrisponde allo 0,040% della massa di acqua.

▶ Quanti kilogrammi di calcio sono disciolti in to-tale negli oceani?

▶ Quanti grammi di calcio sono contenuti in un secchiello riempito con 3,0 kg di acqua di mare?

[5,2 × 1017 kg; 1,2 g]

In media facciamo un respiro ogni 3 s.

▶ Fai una stima del numero di respiri effettuati nell’arco di 80 anni, il tempo medio di vita di una persona.

[8 × 108]

Il numero di atomi presenti in 12 g di carbonio è ,6 022 1023# .

▶ Qual è l’ordine di grandezza del numero di atomi contenuti in 1 kg di carbonio?

▶ Quanto vale la massa di un atomo di carbonio? Usa la notazione scientifica.

[1026; 2,0 × 10–23 g]

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In un laboratorio sono state prodotte numerose col-ture batteriche di tipo A e di tipo B che contengono in media rispettivamente 106 e 108 batteri ciascuna. In 1 mL di un campione vengono diluite 1800 colo-nie di tipo A e 600 di tipo B.

▶ Quanti batteri sono contenuti in totale in 1 dL di questo campione? Scrivi il risultato in notazione scientifica.

▶ Qual è l’ordine di grandezza del risultato ottenuto?

▶ Quanto vale il rapporto /N NA B tra il numero di batteri provenienti dalla soluzione A e B?

[ ,6 18 1012# ; 1013; ,3 00 10 2

#- ]

3 IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITÀ

Quanti watt usa una lampadina da 300 mW? Quan-ti watt fornisce una stazione energetica da 20 MW?

COSA SUCCEDE SE Hai a disposizione una bilancia di precisione che è stata impostata per lavorare nell’in-tervallo (0,001 – 1) mg. Poggi sul piatto 0,025 dg di polvere: la bilancia andrà fuori scala?

Esprimi i seguenti dati in unità di misura del Sistema Internazionale.

5 cm 2 kmol 3 ms 4 hK 1 μA 33 mm 1,5 hg

0,05 m

Controlla se le misure in tabella sono espresse in modo corretto. Se sono sbagliate, scrivi l’espressio-ne corretta.

km 10 7 m. 8 sec 2 cm 4,47 s mt 3 4 gr.

10 km

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45


Quanti sacchettini da 15 g si possono confezionare con un sacco di 30 kg di lavanda appena raccolta?

La stazione radio preferita da tua nonna ha una fre-quenza di 102,7 MHz (megahertz).

▶ Esprimila in hertz.

Scrivi i nomi dei prefissi e la potenza di 10 corri-spondente.

Nome Prefisso Potenza

M mega 106

c

μ

m

h

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Un tecnico ha bisogno di acquistare da una ditta specializzata dei sottili film metallizzati di spesso-re 1,4 µm che vengono venduti sotto forma di fogli quadrati di lato 43 cm e di massa 2,3 mg ciascuno. Compilando il modulo di acquisto online, dove si richiede la quantità da acquistare, il tecnico inseri-sce 25,3 Mg. Il preventivo di spesa è incredibilmente alto e il tecnico annulla l’acquisto sconsolato.

▶ Qual è lo sbaglio che ha commesso?

▶ Quanti fogli avrebbe ricevuto se avesse confer-mato l’acquisto?

▶ Esprimi le dimensioni e la massa di un foglio in unità del Sistema Internazionale.

[1,1 × 1010; 1,4 × 10−6 m; 0,43 m; 2,3 × 10−6 kg]

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PROBLEMA MODELLO

Un lavoro di pazienza

La cotta di maglia è un tipo di armatura formata da file di anellini di ferro (di diametro esterno di circa 1 cm). Se tutti gli anellini che compongono una maglia fossero messi in un’unica fila uno accanto all’altro, si otter-rebbe una fila lunga circa 0,5 km.

f Da quanti anellini è composta la maglia?

f Una moderna macchina automatica impiega in media 4,4 × 105 μs per produrre un anellino di ferro.

f Quanti Gs impiega per produrre tutti gli anellini necessari per realizzare una cotta di maglia?

■ DATI

Diametro di un anellino: cmd 1=Lunghezza della fila di anellini: , kmL 0 5=

Tempo impiegato per produrre un anellino: , st 4 4 105# n=

■ INCOGNITE

Numero di anellini in una maglia: N = ?Tempo impiegato a produrre tutti gli anellini: T = ? Gs

L’IDEA

f Per calcolare il numero di anellini, svolgo la trasformazione di unità di misura di L da km a cm, poi divi-

do per il diametro di un anellino.

f Per trovare l’intervallo di tempo impiegato, trasformo i μs prima in s e poi in Gs, ricordando che

1 μs = 10−6 s e 1 Gs = 109 s.

LA SOLUZIONE

Eseguo la trasformazione da km a cm

Trasformo prima i km in m: 0,5 km 0,5 1 km 0,5 10 m 3# #= =

Ora posso trasformare i m in cm:

0,5 10 m 0,5 10 100 cm 0,5 10 cm3 3 5# # # #= =^ h

Quindi, poiché il diametro di un anellino è 1 cm, il numero totale di anellini sarà: N 5 104#= .

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L’anno scolastico dura circa 9 mesi.

▶ A quanti megasecondi corrisponde un intervallo di tempo pari a un anno scolastico?

[24 Ms]

1 kg di anidride carbonica è costituito da 273 g di carbonio e 727 g di ossigeno, mentre la stessa quan-tità di monossido di carbonio contiene 429 g di car-bonio e 571 g di ossigeno. Si stima che un uomo respirando produca in media 50 g di anidride carbo-nica in un’ora.

▶ Quanti ng di carbonio produce in media un uo-mo in un’ora respirando?

Un campione di 22 mg contiene 1,256 cg di ossige-no.

▶ Si tratta di anidride carbonica o di monossido di carbonio?

[1,37 × 1010 ng]

4 L’INTERVALLO DI TEMPO

FAI UN ESEMPIO Un dispositivo digitale misura il tempo che trascorre tra l’invio e la ricezione di un se-gnale. Il display mostra il numero in secondi.

▶ Quante cifre dopo la virgola devono comparire sul dis play per poter misurare intervalli di tempo di alcuni microsecondi?

COSA SUCCEDE SE La sveglia di Nicola è difettosa: ogni volta che scatta un’ora la lancetta dei minuti va avanti di due minuti. Nicola regola la sveglia in modo da dormire 8 ore. Che cosa succede in realtà?

A COLPO D’OCCHIO Il mese è una grandezza fisica?

Un anno è costituito da 365 giorni e 6 ore: 365 d 6 h.

▶ Calcola il numero esatto di secondi in un anno.

Fai una stima della tua età espressa in secondi.

Secondo gli scienziati l’età dell’Universo è dell’ordi-ne di 1010 anni.

▶ Esprimi questo tempo in secondi.

[3 × 1017 s]

Calcola quanti secondi ci sono in tre ore e tre quarti.

[1,35 × 104 s]

Esegui le seguenti equivalenze.

a. 0,000 073 Gs = ___________ s = _________ Ts =

= ______________ Ms

b. 15 000 000 ps = ___________ ns = ________ ks =

= ______________ Ms

Nel 2002 è stato realizzato il primo orologio atomi-co a ioni di mercurio, che sbaglia al massimo di 1 s in 150 milioni di anni.

▶ Se un orologio del genere fosse stato messo in moto quando la Terra si è formata, circa 4,5 mi-liardi di anni fa, quale sarebbe oggi il suo errore?

[30 s]

All’interno di un PC un oscillatore al quarzo con un periodo di 0,25 ns (detto clock) regola il ritmo con cui vengono eseguite le varie istruzioni elementari.

▶ Dopo quanti periodi di clock l’orologio del com-puter deve aumentare il valore dei minuti di uno?

▶ Per aprire un’immagine il computer deve porta-re a termine 2 × 109 istruzioni elementari: quanto tempo impiega ad aprirla?

[2,4 × 1011 periodi; 0,5 s]

Un laser è in grado di emettere degli impulsi che hanno una durata di 4 ns. Confronta questa dura-

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Calcolo il tempo totale impiegato per produrre tutti gli anellini

, , ,T s sNt 0 5 10 4 4 10 2 2 105 5 10# # # #n n= = =^ h

Eseguo la trasformazione da µs a Gs

Trasformo prima i μs in s:

, , ,s s s2 2 10 2 2 10 10 2 2 1010 10 6 4# # # #n = =

-^ h

Per passare da s a Gs inverto la relazione Gs s1 109= , cioè 1 s 10 Gs9

=- .

2,2 10 1 s 2,2 10 10 Gs 2,2 10 Gs4 4 9 5# # # # #= =

- -^ ^h h

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ta con quella di un fulmine, che in media vale 0,2 s e calcola:

▶ quanti impulsi può emettere il laser in un arco di tempo pari alla durata media di un fulmine;

▶ la durata di entrambi i fenomeni in ps.

▶ Quanto tempo devi attendere perché siano emes-si ottocento milioni di impulsi laser? Esprimi questo risultato in unità del Sistema Internazio-nale.

[5 107# ; ps4 103

# , ps2 1011# ; 3,2 s]

5 LA LUNGHEZZA

TROVA IL MODELLO La lunghezza massima dell’isola d’Elba in direzione Est-Ovest è di 27 km, mentre in direzione Nord-Sud è di 18 km.

▶ Quali dimensioni dovrebbe avere una cartina ge-ografica in modo da rappresentare l’isola d’Elba in scala 1:54 000?

COSA SUCCEDE SE Se si utilizza per la velocità della luce il valore approssimato ,c 3 10 m/s8

#= di quan-to cambia la misura di un metro?

In una cartina geografica realizzata in scala 1:350 000, 1 cm sulla carta corrisponde a 350 000 cm nella realtà. Due città sono rappresentate sulla carta alla distanza di 28 cm.

▶ Quanti kilometri distano le due città?

[98 km]

Il tuo piede misura 250 mm, la tua spanna 13 cm e il tuo passo è lungo 0,85 m. Copri la larghezza della tua camera con 3 passi, 2 piedi e 2 spanne.

▶ Esprimi la larghezza della camera in metri.

[3,31 m]

I residenti della città di Los Angeles tutti insieme percorrono ogni giorno in auto 227 milioni di chilo-metri, pari alla distanza media della Terra da Marte.

▶ Trasforma questa lunghezza in metri.

▶ Esprimila in notazione scientifica e indica l’ordi-ne di grandezza.

Il miglio marino internazionale (1 M = 1852 m) è un’unità di misura di lunghezza ancora usata nella navigazione.

▶ Che distanza percorre, in kilometri, una nave che compie una crociera di 162 M?

[300 km]

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Il pollice (in) è un’unità di misura usata per indicare la lunghezza della diagonale di uno schermo, e corri-sponde a 2,54 cm. La diagonale di uno schermo mi-sura 45,7 cm.

▶ Di quanti pollici è lo schermo?

[18 in]

Convert the following measurements as indica-ted:

a. 45,6 m = ___________ km = _____________ cm

b. 2,54 cm = __________ mm = ____________ dm

c. 122,9 m = __________ hm = ____________ dam

d. 67,08 cm = ___________ m = ____________ km

In autostrada c’è una coda di 5 km per lavori.

▶ Fai una stima del numero di macchine che sono incolonnate (la lunghezza media di una macchi-na è di 4,2 m).

▶ Esprimi la lunghezza del ponte di Brooklyn (lun-go 1825 m) in macchine.

[1190; 435 macchine]

La dimensione minima di un oggetto visibile a oc-chio nudo vale 40 μm. Un atomo di tallio ha un rag-gio di 191 pm.

▶ Quanti atomi di tallio devono raggrupparsi per formare un quadrato che sia visibile a occhio nu-do?

[1,1025 × 1010]

Sullo scaffale della tua libreria è rimasto uno spa-zio vuoto ampio , hm3 2 10 4

#- tra un libro e un al-

tro. Tua madre ti chiede di mettere a posto il libro di storia che è fatto di 510 pagine ciascuna di spessore

, pm8 0 107# .

▶ Puoi riporre il libro di storia nello scaffale della tua libreria?

[no]

La Stazione Spaziale Internazionale (ISS) impiega circa 90 min per completare un’orbita intorno alla Terra. Il giorno 16 maggio 2016 ha completato la sua centomillesima orbita. Il colonnello Gennadij Pa-dalka è vissuto a bordo della stazione per 878 giorni superando il record precedente di permanenza nel-lo spazio.

▶ Calcola la distanza totale percorsa dalla ISS da quando è in orbita (il diametro della sua orbita è di circa , m1 38 107

# ).

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▶ Quanti giri completi intorno alla Terra ha com-piuto il colonnello?

▶ Calcola il rapporto /d ds c tra la distanza totale percorsa nello spazio dalla stazione e dal colon-nello.

[4,33 × 1012 m; 1,4 × 104; 7 ]

6 LA MASSA

LEGGI IL GRAFICO Un camion parte dal magazzino con 3 tonnellate di sabbia e imbocca l’autostrada di-menticandosi di coprire il cassone. Durante il tragit-to a causa del vento disperde la sabbia per strada. La massa di sabbia diminuisce seguendo l’andamento illustrato dal grafico.

tempo (s)0

900 9000

1000

2000

3000

ma

ssa

di s

ab

bia

(kg

)

▶ Dopo quanti minuti la massa di sabbia si dimez-za?

65

▶ Quanta sabbia è rimasta quando il camion si è fermato?

TROVA IL MODELLO Per pesare un gioiello lo metti sul piatto destro di una bilancia a bracci uguali. Se metti sul piatto sinistro 3 pesi da 5 g, uno da 500 mg, 7 da 50 mg e 2 da 5 mg, la bilancia pende verso destra. Se aggiungi un altro peso da 5 mg, pende verso sinistra.

▶ Non avendo pesi più piccoli, cosa puoi dire ri-guardo alla massa del gioiello?

Esegui le equivalenze.

15 μg = _________ ng = ________ Tg = ________ kg

Nei paesi anglosassoni si usa la libbra, un’unità di massa pari a 0,453 kg. Un contadino porta a macina-re al mulino 220 libbre di grano.

▶ Qual è la massa del grano in kilogrammi?

[99,66 kg]

Ogni anno, 14 miliardi di libbre di rifiuti sono scari-cate in mare (1 libbra = 0,453 kg).

▶ Trasforma questo dato in unità del Sistema Inter-nazionale.

▶ Esprimi il risultato in notazione scientifica e indi-ca l’ordine di grandezza.

[6,342 × 109 kg, 1010 kg]

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PROBLEMA MODELLO

Occhio alle truffe

Un orefice deve acquistare da un mercante 10 sacchetti che contengono 500 diamanti di massa 10 mg ciascu-no. Il mercante tenta di truffarlo e prepara 9 sacchetti di diamanti e uno di zirconi. L’orefice sa che lo zircone ha una massa che vale il 50% in più del diamante a parità di forma e dimensioni. Con una sola pesata con la bilancia a bracci uguali individua il sacchetto di zirconi: prende una pietra dal sacchetto 1, due dal sacchetto 2, tre dal 3, ecc. e dieci dal 10 e poi le pesa tutte insieme ottenendo una massa di 570 mg.

f Qual è il sacchetto di zirconi?

f Qual è la massa totale di questo sacchetto?

■ DATI

Numero di sacchetti: n = 10Pietre in ogni sacchetto: Q = 500Massa di un diamante: mD = 10 mgMassa di uno zircone: mZ = mD + 50% mD = 15 mgMassa totale: MTOT = 570 mg

■ INCOGNITE

Quale sacchetto contiene zirconi?Massa del sacchetto di zirconi: M

Z = ?

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Il carato (ct) è un’unità di misura della massa usata dai gioiellieri e corrisponde a 197,2 mg. Considera un anello d’oro da 10 ct e un bracciale d’argento di massa 13 g.

▶ Esprimi la massa dell’anello in grammi.

▶ Esprimi la massa del bracciale in carati.

[1,972 g; 65,9 ct]

La massa del Sole è MS = 1,99 × 1030 kg e la massa di un protone è mp = 1,673 × 10−27 kg.

▶ Calcola l’ordine di grandezza del rapporto MS /mp.

[1057]

La massa della Terra vale 5,9742 × 1024 kg e quella della Luna 7,37 × 1022 kg.

▶ Determina la massa totale del sistema Terra-Lu-na.

[6,0479 × 1024 kg]

In un laboratorio di chimica si preparano dei cam-pioni sperimentali. In media, partendo da 2 mg di materiale grezzo prelevato dall’ambiente, si ottengo-no 300 μg di campione utile per le analisi.

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▶ Qual è la quantità di materiale che viene scartato? Esprimila come frazione della massa di partenza.

▶ Quanto materiale deve essere prelevato per pro-durre un campione di 3 g?

; 202017

g: D

Uno stabilimento di un’azienda produce in totale ,1 22 108# kg di pasta all’anno. In un giorno si pro-

ducono , kg2 3 104# di fusilli, che hanno una massa

di circa 800 mg ciascuno.

▶ Calcola il rapporto /M mF tra la quantità totale di pasta prodotta in un anno e la quantità di fusilli prodotta in un giorno.

▶ Quanti fusilli si producono in media al giorno?

▶ Stima il numero di fusilli di questo tipo che com-pongono un piatto di pasta da 80 g.

[5,3 × 103; 3 × 107; circa 100]

7 L’AREA

A COLPO D’OCCHIO Un quadrato ha il lato di lun-ghezza 10 m. Si può dire che la sua area vale 10 m2?

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L’IDEA

• L’orefice ha trovato un metodo infallibile per trovare il sacchetto di falsi. Ogni diamante contribuisce in modo uguale alla massa totale, mentre uno zircone pesa di più. La massa totale risulterà più alta di quanto atteso se avessimo solo diamanti.

• In base a quanto vale la massa in eccesso si trova subito qual è il sacchetto incriminato: ogni sacchetto contribui sce con un numero di pietre (e quindi un aumento di massa) univoco che permette di indivi-duarlo.

LA SOLUZIONE

Calcolo la massa totale se le pietre fossero tutte diamanti.

M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 550mg mgTOT #= + + + + + + + + + =l ^ h

La massa in eccesso è pari a M M 20 mgTOT TOT- =l .

Ricavo il numero di zirconi presenti nella pesata.

Ogni zircone dà un aumento di massa di 5 mg rispetto a un diamante, quindi il numero di zirconi si ricava come:

/N

520

4mg zircone

mgzirconiZ = = .

Il sacchetto di zirconi è quindi il numero 4.

Calcolo la massa del sacchetto di zirconi.

,M 500 15 7 57500zirconizircone

mggmgZ #= = = .

50


LA FISICA IN PRATICA Provi a tappezzare un foglio bianco quadrato di lato l = 1 dm con 10 adesivi verdi quadrati di lato d = 1 cm, senza sovrapporli. Il foglio apparirà tutto verde?

IN FORMA DI GRAFICO Marco ha fatto uno studio sul-la presenza di aree verdi in alcune città italiane. I ri-sultati sono riportati nel grafico seguente.

Pal

erm

o

Bar

i

Nap

oli

Rom

a

Fir

enze

Mila

no

Gen

ova

Tori

no

05

10152025303540

m2 per abitante

▶ Fai una stima dell’area verde urbana totale in km2 a Milano (1,25 milioni di abitanti) e Napoli (314 000 abitanti).

In agricoltura si usa come unità di superficie l’ettaro (ha), che è un quadrato di lato 100 m.

▶ Quale altro nome conosci per la stessa unità di misura?

▶ Un campo da calcio ha le dimensioni di 90 m per 120 m. Esprimi la sua superficie in ettari.

How large (in squared meters) is the apartment described in the following advert of an estate agency in London?

“A beautiful 3 bedrooms 2200 square foot apart-ment available for rent in the heart of South Kens-ington….”. (Ricorda che 1 ft = 0,3048 m).

[204 m2]

Ogni anno, vengono distrutti dalla deforestazio-ne 27 milioni di acri di foreste pluviali tropicali (1 acro = 4047 m2).

▶ Esprimi l’ammontare della deforestazione in uni-tà del Sistema Internazionale.

▶ Esprimi il risultato in notazione scientifica e indi-ca l’ordine di grandezza.

[1,093 × 1011 m2; 1011 m2]

Il territorio italiano ha una superficie totale di 301 300 km2 e le montagne occupano il 35,2% dell’a-rea totale. In Brasile (8 516 000 km2) il territorio montagnoso occupa circa il 32,9% dell’area totale.

▶ Quanta area in più occupa il Brasile rispetto all’I-talia? Esprimi il risultato in notazione scientifica.

▶ Calcola il rapporto tra le aree montagnose italia-ne e brasiliane.

[8,2 × 1012 m2; 0,038]

Il diametro di un bottone circolare da camicia è pari a circa 1 cm, mentre il diametro di un DVD è di 12 cm.

▶ Calcola l’area del bottone e del DVD in unità del SI.

▶ Calcola il rapporto fra l’area del DVD e quella del bottone.

[8 × 10−5 m2, 1 × 10−2 m2; circa 100; ]

8 IL VOLUME

TROVA IL MODELLO Puoi approssimare la forma di un tuo braccio con quella di un cilindro.

▶ Dai una stima del volume del tuo braccio.

[3,0 × 10–3 m3]

COSA SUCCEDE SE Versi in una pentola da 3500 cm3

il contenuto di 3 bottiglie d’acqua da 1,5 L. L’acqua fuoriesce dal bordo?

LEGGI IL GRAFICO Giovanni ha gonfiato un pallon-cino. Il grafico seguente rappresenta l’aumento del volume del palloncino durante il gonfiaggio. Analiz-zando il grafico:

00

2

4

6

8

10

12

14

16

V (dm3)

t (s)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1312

▶ Determina il volume finale del palloncino in m3.

▶ Sai dire quante volte Giovanni ha ripreso fiato prima di finire?

▶ Riesci a indicare in quale intervallo di tempo l’e-spansione del palloncino è stata più veloce? Di quanto è aumentato il volume in questo tempo?

Una lattina di bibita ha un volume di 33 cL.

▶ A quanti litri corrisponde?

▶ A quanti metri cubi corrisponde?

[0,33 L; 3,3 × 10–4 m3]

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Una bottiglia di olio ha un volume di 3/4 di litro.

▶ A quanti metri cubi corrisponde?

▶ A quanti millilitri corrisponde?

[0,000 75 m3; 750 mL]


a. 12,5 mL = _______ L = ______ cL

b. 0,674 hL = ______ dL = ______ L

c. 0,54 m3 = _______ cm3 = ______ dm3

d. 564,9 m3 = ______ dm3 = ______ dam3

e. 415 μm3 = ______ nm3 = _____ Tm3 = _____ km3

Un grande vaso da giardino, a forma di parallelepi-pedo, ha le dimensioni di 1,5 m, 30 cm e 24 cm. Vie-ne riempito di ghiaia e poi vi vengono versati 26 L di acqua, che arriva fino all’orlo del vaso.

▶ Calcola il volume della ghiaia.

▶ Qual è il volume dell’aria intrappolata tra i sasso-lini di ghiaia prima di versare l’acqua?

[82 dm3; 26 dm3]

Gli esperti di alimentazione sostengono che do-vremmo bere ogni giorno circa 8 bicchieri d’acqua (un bicchiere contiene circa 20 cL di liquido).

▶ Fai una stima della quantità totale di acqua che beve una persona in 50 anni della sua vita

▶ Quanti metri cubi occuperebbe questa quantità di acqua?

[2,92 × 104 L; 29,2 m3]

Una palestra è alta 5 m, lunga 24 m e larga 12 m. Il diametro di un pallone da basket è di circa 24 cm.

▶ Fai una stima del numero di palloni da basket che servirebbero per riempire la palestra senza essere schiacciati.

[2 × 105]

In un cilindro graduato sono contenuti 30 mL di ac-qua. Un secondo cilindro contiene della sabbia fino al livello di 50 cm3. La sabbia viene versata nell’acqua e si ottiene un volume complessivo di 65 cm3.

▶ Quanto vale il volume effettivo della sabbia, cioè senza considerare l’aria tra i granelli?

▶ Quanto vale il volume dell’aria tra i granelli?

[35 cm3; 15 cm3]

Antonella mette una pentola d’acqua da 2,5 L a bol-

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lire in cucina e poi se ne dimentica. Dopo alcune ore l’acqua è completamente evaporata. Il vapore che si è diffuso nella stanza (di dimensioni 3,4 m, 4,5 m e 4,2 m) è formato da minuscole goccioline di volu-me medio , mµ1 4 10 4 3

#- ciascuna.

▶ Quante goccioline si sono diffuse nella stanza?

▶ Esprimi il volume totale della stanza in goccioline.

[ ,1 8 1019# ; , goccioline4 6 1023

# ]

9 LA DENSITÀ

TROVA IL MODELLO In una siringa, lo stantuffo scor-re dentro il cilindretto di plastica senza lasciar en-trare o uscire l’aria. L’ago è sostituito con un tappo di gomma. Lo stantuffo è inizialmente sollevato, poi viene spinto verso il basso (come per fare un’iniezio-ne).

▶ Per ciascuna grandezza indica se aumenta, dimi-nuisce o rimane invariata.

Massa dellÕaria, volume dellÕaria, densitˆ dellÕaria.

COSA SUCCEDE SE Con una pressa comprimi un cu-betto di gomma fino a ridurne il volume di un fatto-re 5.

▶ Cosa succede alla densità del materiale?

LEGGI IL GRAFICO In un laboratorio è stata misura-ta la densità dell’acqua al variare della temperatura fino a 80 °C. La massa di acqua era di 1 kg, ma il volu-me è variato e si è ottenendo il grafico seguente.

0

1,005

1,000

0,995

0,990

0,985

0,980

0,975

0,970

de

nsi

tà (

g/c

m3)

temperatura (°C)

20 40 60 80 100

▶ Quanto vale la densità dell’acqua a 40 °C in kg/m3?

▶ Dall’inizio alla fine il volume è aumentato o di-minuito? Di quanti cm3?

Un blocco di asfalto ha una massa di 90 kg e un volu-me di 0,075 m3.

▶ Determina la densità dell’asfalto.

[1200 kg/m3]

95

96

97

98★ ★ ★

52


Il volume di un tappo di sughero è 8,0 cm3; la densità del sughero è 300 kg/m3.

▶ Qual è la massa del tappo?

[2,4 g]

La massa di un cucchiaio di ferro è 52 g; la densità del ferro è 7860 kg/m3.

▶ Quale volume occupa il cucchiaio?

[6,6 cm3]

La densità del mercurio è 13 550 kg/m3, quella dell’acqua distillata è 1000 kg/m3. Considera 1 kg di mercurio.

▶ Quale volume occupa?

▶ Confrontalo con il volume di 1 kg di acqua. Il vo-lume occupato è maggiore o minore?

[73,8 cm3]

22,8 L di benzina costano 32,15 €.

99★ ★ ★

100★ ★ ★

101★ ★ ★

102★ ★ ★

▶ Quanto costa la benzina al litro?

[1,41 €/L]


a. 7860 kg/m3 = _______ kg/cm3= ________ g/cm3

b. 1 g/cm3= __________ kg/cm3= ________ kg/m3

c. 2,7 kg/dm3 = ________ kg/cm3= ________ g/cm3

d. 1000 kg/m3 = _______ g/cm3 = _________ g/mL

= _________ kg/L

Esegui le seguenti equivalenze:

a. 15 m/s = __________ km/h = ___________ m/h

= __________ cm/s

b. 150 km/h = _________ m/s = _________ nm/ps

= __________ mm/min

103★ ★ ★

104★ ★ ★

PROBLEMA MODELLO

Aria di mare e aria di montagna

Al livello del mare l’aria ha una densità di circa 1,3 kg/m3. Considera la massa di 1,0 g di aria a livello del mare.

f Quale volume occupa?

Lo stesso volume di aria sulla cima del monte Everest ha una massa di 0,23 g.

f Calcola la densitˆ dellÕaria a quella quota.

■ DATI

Densità dell’aria a livello del mare: d0 = 1,3 kg/m3

Massa di aria: m0 = 1,0 gMassa sul monte Everest: mE = 0,23 g

■ INCOGNITE

Volume di 1,0 g di aria a livello del mare: V0 = ?Densità dell’aria sull’Everest: dE = ?

L’IDEA

¥ Dalla formula d = m/V ricavo V = m/d, con cui posso calcolare il volume occupato da una certa massa di materiale conoscendo la sua densità.

LA SOLUZIONE

Calcolo il volume occupato da 1,0 g d’aria al livello del mare.

Per prima cosa trasformo la massa m0 in kg:

m0 = 1,0 g = 10–3 kg.

Quindi il volume vale:

, ,V dm

1 310

7 7 10kg/mkg

m0

03

34 3

0 #= = =

-

- .

105★ ★ ★

Vik

tor

Gla

dko

v/S

hutt

erst

ock

Gra

eme/

Flic

kr

53


In un recipiente di volume 1,9 L sono stati versati 870 g di alcool (d = 0,79 kg/dm3). In un secondo re-cipiente ci sono 500 mL di olio. Olio e alcool non si mescolano se posti nello stesso recipiente.

▶ È possibile travasare tutto l’olio nel primo reci-piente?

Una bottiglia di plastica vuota, di capacità 1,5 L, è posta su una bilancia: la sua massa risulta 40 g. Si ri-empie la bottiglia con una bibita e si trova la massa della bottiglia piena: 1574 g.

▶ Calcola la densità della bibita.

[1023 kg/m3]

L’imbottitura di un materasso di lunghezza 190 cm, larghezza 85 cm e spessore 10 cm è realizzata con un materiale di densità 50 kg/m3.

▶ Qual è la massa del materasso?

▶ Perché abbia una massa di soli 208 g, quale mate-riale potresti utilizzare? Trascura la struttura del materasso.

[8,1 kg]

Hai due cubi: il più grande ha massa 64 kg e il suo spigolo è il doppio di quello del cubo più piccolo. I cubi sono fatti dello stesso materiale.

▶ Quanto vale la massa del cubo più piccolo?

La Terra ha una massa di 5,97 × 1024 kg e un raggio di 6370 km. La crosta terrestre si estende dalla su-perficie fino a hc = 20 km di profondità. Sotto la cro-

sta, fino a una profondità di hm = 2890 km, si trova il mantello che ha una densità di 4500 km/m3.

crosta

mantello

nucleo

rT

hm

hc

▶ Calcola la densità media della Terra.

Suggerimento: il volume di una sfera è dato da r34 3r

▶ Calcola la massa del mantello.

[5,51 × 103 kg/m3; 4,03 × 1024 kg]

Una lampada di vetro ha una massa di 85,382 g se al suo interno viene fatto il vuoto. La lampada vie-ne riempita con gas xenon e la sua massa diven-ta 85,852 g. La lampada può contenere 80 mL di ac-qua.

▶ Calcola la densità dXe dello xenon.

In seguito la lampada viene di nuovo svuotata e ri-empita di idrogeno, fino a ottenere una densità

,d d0 153H Xe= .

▶ Determina la massa totale della lampada riempi-ta di idrogeno.

[5,9 kg/m3; 85,454 g]

PROBLEMI GENERALI

Il raggio medio della Terra è 6378 km.

▶ Percorrendo un gigametro, quanti giri della Ter-ra si fanno?

[25]

Il primo cronometro di precisione fu costruito dall’inglese John Harrison nella seconda metà del ’700. L’orologio di Harrison ritardava o anticipava al massimo di un secondo in tre giorni.

106★ ★ ★

107★ ★ ★

108★ ★ ★

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111★ ★ ★

1★ ★ ★

2★ ★ ★

Calcolo la densità dell’aria sul monte Everest.

Anche in questo caso esprimo mE in kg:

, ,m 0 23 2 3 10g kg4E #= =

- .

La densità è:

,,,

d Vm

7 7 102 3 10

0 3mkg

kg/m33

4

4

E

EE

#

#.= = -

-

.

PER NON SBAGLIARE

Ricorda che la densità viene comunemente espressa in kg/m3 oppure in g/cm3. Quindi si lavora con la massa e il volume espressi rispettivamente in kg e m3 oppure in g e cm3. In questo caso è stato più comodo trasfor-mare tutte le masse in kg.

54


▶ Quale errore massimo poteva commettere l’oro-logio di Harrison in 40 s?

[1/6480 s]

Una lastra di alluminio è larga 35 cm, lunga 11 dm e spessa 15 mm.

▶ Esprimi queste dimensioni in metri.

▶ Determina poi il volume e la massa della lastra in unità SI (cerca nel testo il dato di cui hai bisogno).

[5,78 × 10−3 m3; 15,6 kg]

La sostanza radioattiva radon-222 si trasforma in polonio con un tempo di dimezzamento di 3,82 giorni. Questo vuol dire che se sono inizialmente presenti 100 atomi di radon-222, dopo 3,82 giorni il loro numero si sarà ridotto della metà.

▶ Dopo quanti secondi il numero degli atomi di ra-don si riduce a un ottavo del valore iniziale?

[9,90 × 105 s]

Una bottiglia di acqua minerale che ha un volume di 1,5 L viene utilizzata per riempire una piccola pisci-na per bambini di volume pari a 3 m3.

▶ Quante bottiglie servono?

▶ Per riempire la bottiglia e svuotarla nella piscina ci vogliono 2 minuti. Quanto tempo impieghere-sti per riempire la piscina?

[2000; 2,8 d]

EcoPassenger è un servizio fornito dalle Ferrovie dello Stato che permette di calcolare l’impatto am-bientale – in termini di produzione di CO2 – di un viaggio effettuato in treno, auto o aereo. Sulla trat-ta Milano-Napoli, lunga 770 km, un viaggiatore in treno immette nell’atmosfera 31 kg di CO2, contro i 76 kg in auto e i 115 kg in aereo.

▶ A quanto ammonta la quantità di anidride carbo-nica prodotta per km da ciascun passeggero con i tre diversi mezzi di trasporto?

▶ Di che tipo di grandezza si tratta?

[0,040 kg/km; 0,10 kg/km; 0,16 kg/km]

Marta raccoglie alcune biglie (B), dei bottoni (b) e delle perline (p) e si mette a giocare con una bilancia a brac-ci uguali. Dopo aver fatto un po’ di prove vede che 3 bottoni e una biglia pesano quanto 10 perline, e che per equilibrare una biglia servono 5 perline e 2 bottoni.

▶ A quante perline equivale una biglia?

▶ La massa di una perlina vale 2 g: quanto vale la massa di una biglia?

[7 p; 14 g]

Il raggio del pianeta Giove è 7,14 × 107 m e la sua massa vale 1,900 × 1027 kg.

▶ Calcola l’area della superficie di Giove, conside-randolo di forma sferica.

▶ Calcola la densità di Giove, considerandolo di forma sferica.

[6,40 × 1016 m2; 1,25 × 103 kg/m3]

I bronzi sono delle leghe costituite da rame e un se-condo metallo. La concentrazione del secondo me-tallo determina la densità della lega. Per realizza-re delle valvole con una superficie rettangolare di dimensioni 7,00 cm, 5,00 cm e di spessore 6,0 mm, Bruno utilizza un bronzo allo stagno, che ha una densità di 8200 kg/m3. Michael invece utilizza un bronzo di alluminio di densità 14,9 sl/ft3. Lo slug (sl) è un’unità di misura della massa che corrisponde a 14,6 kg, mentre un piede (ft) vale 30,5 cm.

▶ Calcola il rapporto dd

Al

Sn tra la densità del bronzo di stagno e di alluminio espresse in unità del Si-stema Internazionale.

▶ Determina la massa di una valvola costruita da Bruno e di una di quelle costruite da Michael.

[1,07; 0,17 kg, 0,16 kg]

Il costo della benzina è 1,48 €/L, mentre la sua densi-tà è 0,72 kg/dm3.

▶ Quanto vale il volume occupato da 1 kg di ben-zina?

▶ Se hai 10 €, quanti kilogrammi di benzina puoi acquistare?

[1,39 L; 4,86 kg]

Una cellula dell’epidermide ha un diametro medio di 0,000 025 m. Una porzione di tessuto cutaneo ha un’area di 1,00 cm2 ed è spessa 0,10 mm.

▶ Esprimi il volume di una cellula utilizzando la notazione scientifica.

▶ Fai una stima del numero di cellule che occupano la porzione di tessuto.

[8,2 × 10−15 m3; 1 × 106]

Assumiamo che un virus sia composto per il 90% di acqua. Il suo diametro è 100 nm, la sua forma ap-prossimativamente sferica e la densità dell’acqua vale 1,0 × 103 kg/m3.

▶ Fai una stima della massa del virus.

[5 × 10−19 kg]

TECNOLOGIA Un prototipo di veicolo a idrogeno del-la casa automobilistica tedesca BMW consuma in

3★ ★ ★

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13★ ★ ★

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media 256 kWh di energia per ogni 100 km. L’au-to elettrica Aptera, invece, consuma in media 6 kWh per ogni 100 km. Il kilowattora (kWh) è un’unità di misura comunemente usata per l’energia.

▶ Quanti kWh consumano i due tipi di auto ecolo-giche per percorrere 1 km?

▶ Per andare ogni giorno al lavoro, percorri 25 km. Quanti kWh risparmieresti usando l’auto elettri-ca invece di quella a idrogeno?

▶ A quanto ammonta il risparmio percentuale?

[2,56 kWh/km, 0,06 kWh/km; 62,5 kWh; 98%]

Il più piccolo movimento rilevabile del mouse è chiamato mickey e vale circa 0,1 mm. Il monitor di un computer ha le dimensioni di 40 cm × 30 cm e contiene 800 pixel in larghezza e 600 in altezza.

▶ Calcola l’area di un pixel dello schermo in cm2.

▶ Determina l’ordine di grandezza del numero di pixel che compongono lo schermo di questo computer.

▶ Per selezionare una regione quadrata su un’im-magine trascini il puntatore in diagonale e il mouse sul tappetino si sposta di 3,0 cm. A quanti mickey corrisponde il lato del quadrato tracciato dal mouse? Esprimilo in notazione scientifica.

Suggerimento: ricorda che la diagonale di un quadrato è data da l 2 .

[2,5 × 10–3 cm2; 105; 2 × 102 mickey]

Volk

er S

tege

r/S

cien

ce P

hoto

Lib

rary

14★ ★ ★

TEST

Quale fra le seguenti caratteristiche di un suono non è una grandezza fisica:A la gradevolezza.

B la durata.

C la frequenza.

D l’intensità.

I simboli delle unità di misura che non derivano da nomi propri, e solo queste, vanno scritte:A con l’iniziale maiuscola.

B con l’iniziale minuscola.

C con il puntino di abbreviazione.

D senza il puntino di abbreviazione.

Dopo aver stampato tutte le copie di un nuo-vo libro, una tipografia ha conteggiato un totale di 8,32 × 106 pagine stampate. L’ordine di grandezza del numero di pagine è:A 8.

B 107.

C 6.

D 106.

A quante ore corrispondono 15 minuti?A 0,15 h

B 0,20 h

C 0,25 h

D 0,30 h

La ballerina di un carillon compie 3 giri su sé stessa impiegando 162 secondi. Quale delle seguenti frasi è esatta?A Un giro di carillon equivale a 1 minuto esatto.

B La durata del giorno è di 540 giri di carillon.

C La ballerina compie 25 giri su sé stessa in un’ora.

D La durata del giorno è di 1600 giri di carillon.

Il metro, secondo la convenzione attualmente adot-tata, è definito come:A la distanza tra due linee parallele incise su una

barra di platinoiridio che si trova nell’Ufficio In-ternazionale di Pesi e Misure di Sèvres.

B la distanza percorsa dalla luce in un secondo.

C la quarantamilionesima parte di un meridiano terrestre.

D la distanza percorsa dalla luce in 1/299792458 di secondo.

Per tappare un foro di forma circolare di 1 cm2 in un canotto gonfiabile puoi utilizzare:A Un cerotto rotondo di raggio 5 mm.

B Un pezzo di scotch largo 0,002 m e lungo 0,009 m.

C Un pezzo di scotch largo 18 mm e lungo 25 mm.

D Un cerotto rotondo di diametro 1 cm.

1

2

3

4

5

6

7

56


Qual è il valore approssimativo della massa di una normale matita di legno nuova?A 1 × 10−5 kg

B 1 × 10−3 kg

C 1 × 10−2 kg

D 1 × 10−1 kg

E 1 × 100 kg

(Tratto dalle Olimpiadi della Fisica, anno 2013)

In the International System of Units, the unit of mass is:A The pound

B The gram

C The kilogram

D The ton

Per preparare un’insalata servono delle mele taglia-te in pezzi assai minuscoli. Una mela con diametro medio di 12 cm ci darà un volume di cubetti che, ri-spetto a quello dato da una mela con 6 cm di diame-tro, è approssimativamenteA il doppio

B il quadruplo

C otto volte di più

D sedici volte di più

Qual è fra le seguenti, la migliore stima della distan-za fra le pupille dei tuoi occhi?A 85 mm

B 1.0 cm

C 150 mm

D 1,5 ∙ 102 m

Nella figura sotto, quattro barre di vetro di densi-tà 2,6 g · cm−3 sono appoggiate sulla base la cui area, per tutte, è 1 cm2. Qual è il blocco di massa 13 g?

h = 15 cm

h = 10 cm

h = 5 cm

h = 2 cm

(Tratto dai Giochi di Anacleto, anno 2009)

8

9

10

11

12

In una prova sperimentale uno studente versa del li-quido in un cilindro graduato e ne misura il volume leggendolo sulla scala del cilindro; successivamente mette sulla bilancia il cilindro contenente il liquido e annota il valore della massa.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

cilindrograduato

liquidobilancia

▶ Che cosa altro deve misurare per determinare la densità di quel liquido?

A L’altezza del liquido nel cilindro graduato.

B La massa del cilindro graduato quando è vuoto.

C La temperatura del liquido nel cilindro gradua-to.

D Il volume del cilindro graduato quando è vuoto.


In figura viene schematizzato un metodo per misu-rare il volume di un sasso.

cilindrograduato

sasso

acqua

▶ Quale dei seguenti accorgimenti NON è necessa-rio al fine di ottenere un risultato accurato?

A Assicurarsi, prima di immergere il sasso, che l’acqua arrivi giusto al livello del beccuccio di sfiato, senza traboccare.

B Immergere il sasso completamente nell’acqua.

C Appoggiare il sasso sul fondo del recipiente con l’acqua.

D Attendere che l’acqua abbia finito di scorrere dal beccuccio di sfiato nel cilindro graduato.


13

14

57


SEI PRONTO PER LA VERIFICA?

TEST

L’area è una: A grandezza fisica adimensionale.

B grandezza fisica derivata.

C grandezza fisica unitaria.

D grandezza fisica fondamentale.

....../7

Devi comprare una chiavetta USB per salvare le tue foto (820 MB in totale), le tue e-mail (135 MB), un video (2,9 GB) e altri documenti vari (650 kB). Hai bisogno di una chiavetta da:A 3 GB.

B 3,2 × 10−5 TB.

C 4 GB.

D 5,12 × 103 B.

....../7

Quale delle seguenti misure è espressa correttamen-te in notazione scientifica e utilizzando l’unità di misura del Sistema Internazionale?

A 820 m

B 1,2 × 106 mg

C 6,4 × 10−4 s

D 2570 × 102 kg

....../7

Esegui le seguenti equivalenze e esprimi i risultati in notazione scientifica:

a. 214 mm = …… hm..

b. 3 × 10−12 dam = …… nm.

c. 26 cm2 = …… m2.

d. 0,0063 m2 = …… μm2.

e. 0,78 dm3 = …… mm3.

f. 860 s = …… min.

g. 250 L = …… cm3.

h. 3,7 × 10−3 m3 = …… mL.

....../7

PROBLEMI

Su uno dei due piatti di una bilancia è posto un sacco di patate, equilibrato da quattro pacchi di zucchero da 1 kg, un panetto di burro da 250 g, cinque pacchi di pasta da 5 hg e sette uova da 650 dg.

▶ Esprimi in kilogrammi fa massa del sacco.

[7,205 kg]

....../18

In una bottiglia sono contenuti 450 mL di acqua. Si versano 145 g di olio (d = 920 kg/m3) nella bottiglia: l’olio non si mescola con l’acqua e forma uno strato sopra di essa.

▶ Calcola il volume raggiunto dai due liquidi so-vrapposti.

▶ Calcola la loro massa complessiva.

[608 mL; 595 g]

....../18

La pista da ballo di un locale ha una forma circolare di raggio 3,20 m. Per una festa, il proprietario della discoteca vuole allestire un piano bar al centro del-

la pista che occuperà un’area di 5,10 × 104 cm2. Una persona in piedi occupa, in media, una superficie di circa 30 dm2.

▶ Qual è l’area della pista che rimane adibita al bal-lo?

▶ Quante persone in meno potranno stare in pista quando sarà montato il piano bar?

[27,1 m2; 17]

....../18

Nel negozio A il latte viene venduto a 0,99 €/L, men-tre nel negozio B viene venduto a 0,98 €/kg. La den-sità del latte è 1,03 kg/dm3.

▶ Quale volume occupa 1 kg di latte?

▶ Qual è il prezzo di un litro di latte nel negozio B?

▶ In quale dei due negozi il latte è più conveniente?

[0,97 L; 1,01 €/L; nel negozio A]

....../18

IN 1 ORA

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TOTALE ........ /100 punti

377

La temperatura 12

12CA

PIT

OLO

FISICA CON LE MANI Realizza un esperimento sulla dilatazione volumica dell’acqua.

LA TEMPERATURA

1 IL TERMOMETRO E LE SCALE DI TEMPERATURA

La FIGURA 1 mostra un’ampolla di vetro chiusa da un tappo forato, in cui è infilato un tubicino. Dentro c’è un liquido.

Il livello del liquido nel tubicino è più basso quando l’ampolla è più fredda ed è più alto quando l’ampolla è più calda. Per questa proprietà il dispositivo descritto è un termo-

scopio, cioè uno strumento adatto a confrontare le temperature: un corpo ha una tem-peratura più alta rispetto a un altro se, a contatto con il termoscopio, fa salire il livello del liquido più dell’altro.

Per sapere di quanto una temperatura è maggiore di un’altra, bisogna tarare il termo-scopio, cioè scegliere una scala di temperatura e mettere in corrispondenza ogni livello del liquido lungo il tubicino con un valore di quella scala. Un termoscopio tarato è chiamato termometro.

Mettiamo il termoscopio nel ghiaccio che fonde: il livello del liquido pian pia-no si abbassa e alla fine si stabilizza.

Con il termoscopio possiamo verificare che alla pressione atmosferica normale, uguale a 1,01 × 105 Pa (1 atm), la temperatura del ghiaccio che fonde e quella dell’acqua che bolle non variano.

Mass

imili

ano T

revi

san

FIGURA 1

Un’ampolla con del liquido dentro,

collegata a un tubicino, è un

termoscopio: il livello del liquido nel

tubicino dipende dalla temperatura.

Tra i vapori dell’acqua che bolle, la colon-na di liquido nel tubicino si stabilizza a un livello più alto.

ANIMAZIONE• Termometri e termoscopi

• La taratura di

un termoscopio

378

La temperatura12

Si chiama scala Celsius la scala termometrica che prende queste due temperature come punti fissi e assegna a esse, per convenzione, i seguenti valori:

■ 0 °C (0 gradi Celsius) → temperatura del ghiaccio fondente;

■ 100 °C (100 gradi Celsius) → temperatura dell’acqua bollente.

Nella scala Celsius la distanza tra i livelli raggiunti dal liquido del termoscopio nei due punti fissi è divisa in 100 parti uguali. Ogni parte corrisponde a una variazione di tem-peratura uguale a 1 °C.

Il grado Celsius (°C) è la centesima parte della differenza tra la temperatura dell’ac-qua che bolle (e del vapore da essa sprigionato) alla pressione di 1 atm e la tempe-ratura del ghiaccio che fonde alla stessa pressione.

La scala termometrica può essere estesa alle temperature negative e a quelle maggiori di 100 °C; nel termometro a liquido essa è indicata lungo il tubicino da tacche equidistanti.

La definizione operativa della temperatura

Per usare un termometro dobbiamo metterlo a contatto del corpo o inserirlo nell’am-biente di cui vogliamo misurare la temperatura; dobbiamo poi aspettare che il livello del liquido nel tubicino si stabilizzi e infine leggere sulla scala la temperatura che corrispon-de al livello raggiunto.

Ora che abbiamo descritto lo strumento e il procedimento di misura, possiamo dare la seguente definizione operativa:

la temperatura è la grandezza fisica che si misura con il termometro.

La scala Kelvin

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della temperatura è il kelvin (K).

Una variazione di temperatura di 1 K è uguale a una variazione di temperatura di 1 °C, ma «kelvin» e «grado Celsius» non sono due nomi per la stessa unità: il kelvin appartiene a una scala termometrica, chiamata scala Kelvin o scala assoluta, diversa dalla Celsius.

Nella scala Kelvin la temperatura del ghiaccio fondente vale 273,15 K e quella dell’acqua bollente vale 373,15 K. Ai nostri scopi, tuttavia, è sufficiente usare tre cifre significative, cioè dire che le due temperature valgono 273 K e 373 K (FIGURA 2).

°C-273 -173 -73 0 +100 +200

zeroassoluto

fusionedel ghiaccio

ebollizionedell'acqua

K+100 +200 +273 +373 +4730SCALA ASSOLUTA

(KELVIN)

SCALA CELSIUS

Aer

odim

/Shutt

erst

ock

FIGURA 2

I valori di alcune temperature, in kelvin

e in gradi Celsius.

379

La temperatura 12

Indichiamo con T la temperatura in kelvin, detta temperatura assoluta, e con t la tem-peratura in gradi Celsius. Per convertire in kelvin un valore di temperatura dato in gradi Celsius usiamo la seguente formula:

C 273 Kt°T = +a k

CHE COSA DICE LA FORMULA

Kelvin uguale Celsius più 273

La temperatura assoluta T è sempre maggiore della corrispondente temperatura t in gradi Celsius: per calcolare T bisogna addizionare 273 al numero che esprime t.

UN ESEMPIO

Convertiamo in kelvin il valore della temperatura corporea, t = 37 °C:

°CK K

°CT

37273 310= + =e o .

temperatura (°C)temperatura assoluta (K)

[1]

La formula inversa, che serve a passare dai kelvin ai gradi Celsius, è

K CT °t 273= -b l

Le due scale termometriche differiscono solo per la scelta dello zero. Perciò ogni varia-zione o differenza di temperatura è espressa dallo stesso numero sia in kelvin sia in gradi Celsius.

Gli esperimenti mostrano che nessun corpo può essere raffreddato alla temperatura di 0 K (–273 °C) o al di sotto di essa. Per questa ragione,

lo zero della scala Kelvin è detto zero assoluto e le temperature misurate in kelvin sono sempre positive.

2 LA DILATAZIONE TERMICA

Il liquido contenuto in un termometro si dilata quando si riscalda e si contrae quando si raffredda. Anche i corpi solidi, come i liquidi, si dilatano o si contraggono a seconda che la temperatura aumenti o diminuisca. Questo fenomeno è chiamato dilatazione

termica.

La dilatazione lineare dei solidi

Prendiamo delle barre sottili fatte di materiali diversi e sottoponiamole una dopo l’altra alla seguente prova:

AL VOLO

MASSIMA E MINIMA

La stazione meteorologica

ha registrato la temperatura

massima Tmax = 284 K e la

temperatura minima Tmin =

268 K.

▶ Esprimi entrambe le

temperature in gradi

Celsius e calcola, in kelvin

e Celsius, la differenza tra

la temperatura massima e

quella minima.

temperatura (°C) temperatura assoluta (K)

[2]

VIDEOLa bottiglia che dimagrisce

ANIMAZIONELa dilatazione termica

lineare

380

La temperatura12

colleghiamo la barra a uno strumento capace di misurare le variazioni della sua lunghezza;

Questo tipo di misurazioni mostra che, per qualunque barra di lunghezza iniziale li, la variazione di lunghezza ∆l che si osserva quando la temperatura varia di ∆t segue con buona approssimazione la legge sperimentale della dilatazione lineare:

∆ ∆l l ti m=

In questa formula la variazione di lunghezza ∆l è la differenza tra la lunghezza finale l e la lunghezza iniziale li (FIGURA 3):

∆l = l – li.

Il simbolo λ (lettera greca «lambda») indica il coefficiente di dilatazione lineare, che dipende dal materiale e si misura indifferentemente in °C

1 o 1K .


La variazione di lunghezza è direttamente proporzionale alla lunghezza iniziale e alla variazione di temperatura

■ Per una data variazione di temperatura ∆t, se la lunghezza iniziale li della barra è maggiore, la sua variazione di lunghezza ∆l è proporzionalmente maggiore.

■ Se li è fissata, ∆l raddoppia o triplica al raddoppiare o triplicare di ∆t.

■ Se la temperatura aumenta (∆t positiva), la barra si allunga (∆l positiva); se la tem-peratura diminuisce (∆t negativa), la barra si accorcia (∆l negativa).

UN ESEMPIO

■ Con un aumento di temperatura ∆t = 10 °C, una barra di zinco (λ = 3,02 × 10–5 °C–1) di lunghezza iniziale li = 2,0 m si allunga di

( , ) , ( ) , ,m °C m mm°C

l l t 2 0 3 02 10 1 10 6 0 10 0 60i5 4

# #mD D= = = =- -c m .

■ Con una variazione di temperatura ∆t' = –2 ∆t = –20 °C e partendo dalle stesse condizioni iniziali, la barra subisce la variazione di lunghezza

∆l' = li λ ∆t' = –2 li λ ∆t = –2 ∆l = –2 × 0,60 mm = –1,2 mm.

riscaldiamo la barra con un fornello e leg-giamo l’allungamento indicato dallo stru-mento.

lunghezza finaleluun lenghezza finalunghezza iniziale

variazione di temperatura (°C o K)

lunghezza iniziale (m)

variazione di lunghezza (m)coefficiente di

dilatazione lineare (°C–1 o K–1)

[3]

FIGURA 3

Con un aumento di temperatura ∆t la

barra si allunga di ∆l, passando dalla

lunghezza iniziale li alla lunghezza

finale l = li + ∆l.

I

t

lil

Alcuni valori di λ sono riportati nella tabella. Supponiamo che una barra di un dato materiale, lunga 1 m all’inizio, si riscaldi di 1 °C: la barra si allunga di un tratto che è numericamente uguale, se misurato in metri, al coefficiente λ di quel materiale.

COeFFICIeNtI DI DILataZIONe LINeare

Materiale λ (°C–1 o K–1)

Zinco 3,02 × 10–5

Piombo 2,89 × 10–5

Alluminio 2,31 × 10–5

Stagno 2,20 × 10–5

Argento 1,89 × 10–5

Rame 1,65 × 10–5

Cemento armato

1,4 × 10–5

Acciaio 1,3 × 10–5

Ferro 1,18 × 10–5

Vetro × 10–6

Diamante 1,3 × 10–6

381

La temperatura 12

Riscriviamo la formula [3] sostituendo l’espressione l – li a ∆l:

l – li = li λ ∆t.

Portiamo ora a destra dell’uguale il termine –li (cambiandolo di segno) e mettiamo in

evidenza li come fattore comune. Otteniamo:

l = li (1 + λ ∆t).

A causa delle variazioni di temperatura tra estate e inverno o tra notte e giorno, le strade, le ferrovie, gli oleodotti e altre opere ingegneristiche si allungano e si contraggono in modo significativo.

I giunti che tagliano i ponti e i cavalcavia fanno sì che queste strutture possano cambiare lunghezza senza danni.

La dilatazione volumica dei solidi e dei liquidi

All’aumentare della temperatura i solidi omogenei si dilatano in tutte le direzioni:

in una sfera aumenta il diametro senza che la sfera si deformi e in un parallelepipedo tutti gli spigoli si allun-gano.

Indichiamo con Vi e V il volume iniziale e il volume finale di un solido e con ∆t la sua variazione di tem-peratura. La variazione di volume subita dal solido è ∆V = V – Vi.

Gli esperimenti mostrano che vale la legge della dilatazione volumica, espressa dalla formula

V V t∆ ∆i a=

o dalla formula equivalente

V = Vi (1 + α ∆t).

La costante α è chiamata coefficiente di dilatazione volumica e ha la stessa unità di misura del coefficiente di dilatazione lineare λ.

Si può dimostrare che, per un solido, α è a tutti gli effetti uguale a 3 λ. Per l’alluminio, per esempio, si ha λ = 2,31 × 10–5 °C–1 e α = 6,9 × 10–5 °C–1 ≈ 3 λ.

Le formule [5] e [6] descrivono anche la dilatazione volumica dei liquidi.

I liquidi si dilatano più dei solidi. A parità di aumento di temperatura, l’aumento di volume in rapporto al volume iniziale è molto maggiore per un liquido che per un solido.

[4]

Natu

rsport

s/S

hutt

erst

ock

Δt

Vi

V

coefficiente di dilatazione volumica (°C–1 o K–1)


volume iniziale (m3)

variazione di volume (m3)

[5]

[6]

ESEMPIOQuando la temperatura

aumenta di ∆t = 10 °C,

un volume Vi = 1,0 m3 di

benzina aumenta della

quantità

( , ) ( , )

( ) ,

m °C

°C m

L.

V V t

1 0 1 0 10

10 1 0 10

10

∆ ∆i

3 3 1

2 3

– –

–

#

#

a= =

=

= =

=

382

La temperatura12

Dalla tabella a lato osserviamo che, in confronto ai solidi, i liquidi hanno coefficienti α da 10 a 100 volte maggiori.

Per esempio, il coefficiente di dilatazione volumica dell’olio di oliva (α = 7,2 × 10–4 °C–1) è quasi 30 volte maggiore di quello del vetro (α = 3 λ = 2,7 × 10–5 °C–1). Ciò spiega perché una damigiana d’olio, se riempita troppo, nelle giornate calde può traboccare.

Il comportamento anomalo dell’acqua

L’acqua si comporta in modo diverso dagli altri liquidi (FIGURA 4). Da 0 °C a 4 °C il suo volume, anziché aumentare, diminuisce; al di sopra dei 4 °C, invece, aumenta.

Alla temperatura di 4 °C, poiché il volume occupato da una data massa d’acqua è minimo, la densità dell’acqua (rapporto tra massa e volume) è massima.

Come conseguenza, durante l’inverno, le grandi masse d’acqua congelano solo in su-perficie. In sostanza, un lago ghiacciato resta un ambiente idoneo alla vita acquatica. Vediamo perché.

■ Dapprima tutta l’acqua si raffredda a 4 °C. Il contatto con l’aria fredda fa abbassare fino a 4 °C la temperatura dello strato d’acqua superiore. Perciò l’acqua superficiale, la cui densità è diventata massima, scende, mentre quella più profonda, meno densa, sale (per la condizione di galleggiamento). A sua volta, quest’acqua si raffredda fino a 4 °C, affonda e lascia il posto ad altri strati d’acqua. Il processo continua finché l’ac-qua di tutto il lago non raggiunge la temperatura di 4 °C.

■ L’acqua superficiale continua a raffreddarsi, quella profonda resta a 4 °C. Al di sotto dei 4 °C lo strato d’acqua superficiale diventa via via meno denso e resta a galla. A 0 °C, in superficie, inizia a formarsi il ghiaccio, che ha una densità ancora più bassa e quindi galleggia. Sotto il ghiaccio la vita continua, perché la temperatura dell’acqua resta superiore a 0 °C e negli strati più profondi non scende sotto i 4 °C.

3 LA PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC: TRASFORMAZIONI DI UN GAS A PRESSIONE COSTANTE

Come il volume di un solido o di un liquido, anche quello di un gas aumenta o diminu-isce al variare della temperatura.

Se scaldiamo con un asciugacapelli un palloncino gonfio d’aria, esso si dilata.

COeFFICIeNtI DI DILataZIONe VOLumICa

Materiale α (°C–1 o K–1)

Etanolo 1,12 × 10–3

Benzina 1,0 × 10–3

Olio d’oliva

7,2 × 10–4

Glicerina 5,3 × 10–4

Mercurio 1,8 × 10–4

temperatura t (°C)

0 4 8 12 16 18

volu

me

V

FIGURA 4

Grafico del volume di una massa

d’acqua in funzione della temperatura.

Mettiamo il palloncino in frigorifero e ve-diamo che esso si contrae.

Mass

imili

ano T

revi

san

Mass

imili

ano T

revi

san

383

La temperatura 12

Tuttavia il volume di un gas dipende anche dalla pressione. Per studiare il comporta-mento del gas in condizioni controllate dobbiamo racchiuderlo in un recipiente cilin-drico munito di pistone (FIGURA 5).

Supponiamo che il pistone sia a tenuta stagna. In questo caso il gas non esce né entra, cioè la massa di gas presa in esame non cambia. Allora lo stato del sistema è descritto da tre grandezze:

1. il volume V;

2. la temperatura t, che misuriamo con un ter-mometro;

3. la pressione p, che misuriamo con un mano-metro.

Per modificare lo stato del gas, possiamo variare la pressione aggiungendo o togliendo pesetti da sopra il pistone; possiamo anche aumentare la temperatura, ponendo il cilindro su un fornello, oppure diminuirla mediante l’uso di un refrige-ratore.

Ciascuno di questi interventi provoca una trasformazione del gas: dal suo stato iniziale il gas raggiunge uno stato finale, passando con continuità attraverso una serie di stati intermedi.

Tra le infinite trasformazioni che può subire un gas, le più interessanti da studiare sono quelle che si ottengono tenendo costante una delle tre grandezze V, t e p e facendo va-riare le altre due (tabella sotto).

prINCIpaLI traSFOrmaZIONI DeI GaS

Grandezze che variano Grandezza che resta costante Nome della trasformazione

V, t p isòbara

p, t V isocòra

p, V t isotèrma

Dilatazione e contrazione di un gas a pressione costante

Vogliamo modificare lo stato di una certa quantità di gas mantenendo costante la sua pressione, cioè vogliamo produrre una trasformazione isòbara: la pressione finale del gas sarà uguale a quella iniziale, ma il suo volume V e la sua temperatura t cambie-ranno.

La relazione tra V e t è descritta dalla prima legge di Gay-Lussac, che vale quando il gas è poco compresso ed è lontano dal punto di liquefazione:

un gas riscaldato a pressione costante si dilata (aumenta di volume); raffreddato a pressione costante si contrae (diminuisce di volume).

FIGURA 5

Per conoscere lo stato di una

certa quantità di gas, dobbiamo

misurarne la pressione, il volume e la

temperatura. Per trasformare lo stato

del gas, dobbiamo modificare queste

grandezze o alcune di esse.manometro

termometro

area S

h

384

La temperatura12

La trasformazione isòbara

L’esperimento

All’inizio fissiamo la pres-sione del gas appoggian-do un certo numero di pesetti sul pistone. Il ter-mometro indica la tempe-ratura t1 = 20 °C; il volu-me del gas è V1 = 1,07 dm3

(poco più di 1 L).

Il volume in funzione della temperatura Celsius

La formula che descrive i risultati dell’esperimento è la seguente:

( )V V t10 a= +

Il simbolo α rappresenta una costante, detta coefficiente di dilatazione volumica dei

gas. Poiché anche V0, è una costante, la [7] è l’equazione di una retta del piano V-t. È importante notare che V0 non rappresenta un generico volume iniziale del gas, ma pro-prio il volume del gas alla temperatura di 0 °C.

Quindi,

in una trasformazione isòbara la relazione tra il volume V del gas e la sua tempera-tura t in gradi Celsius è una dipendenza lineare.

Indichiamo con t1 e t2 due temperature qualsiasi e con V1 e V2 i corrispondenti volumi. Dalla [7] otteniamo:

V2 – V1 = V0 (1 + α t2) – V0 (1 + α t1) = V0(1 + α t2 –1 – α t1) = V0 α (t2 – t1).

Questo risultato, che riscriviamo nella forma

V V t∆ ∆0 a= ,

RISCALDAMENTOSTATO INIZIALE RAFFREDDAMENTO

Mettiamo il cilindro nel ghiaccio e aspettiamo che la temperatura del gas si porti a t0 = 0 °C. In queste condizioni verifichiamo che il volume è diminuito fino al valore V0 = 1,00 dm3

(1 L preciso).

1,00 dm3

0° C

pressione

costantet tecostantestasc

33mmddddmdd1 001,00,

Teniamo acceso il fornel-lo per un po’, poi spe-gniamolo e aspettiamo che il termometro si sta-bilizzi. La temperatura e il volume del gas sono di-ventati t2 = 200 °C e V2 = 1,73 dm3.

1,73 dm3

200° C

pressione

costante

1,73 dm31,07 dm3

20° C

volume (m3) alla temperatura di 0 °C

volume (m3) alla temperatura t

coefficiente di dilatazione volumica dei gas (°C–1)

temperatura (°C)

O

V0

t1

tt2

V1

V2

V

∆t = t – t2 1

∆V = V – V2 1

[7]

[8]

385

La temperatura 12

indica che la variazione di volume ∆V = V2 – V1 è direttamente proporzionale alla varia-

zione di temperatura ∆t = t2– t1.

Il coefficiente di dilatazione volumica

Il coefficiente α è lo stesso per tutti i gas, cioè non cambia da sostanza a sostanza. Gli esperimenti mostrano che vale l’uguaglianza

C2731c

a =

ossia

α = 3,66 × 10–3 °C–1.

I gas hanno un coefficiente α più grande rispetto a tutti i liquidi e molto più grande rispetto ai solidi. Ciò significa che i gas si dilatano più dei liquidi e molto più dei solidi. Per esempio, per una variazione di temperatura ∆t = 100 °C, la variazione percentuale di volume è circa dell’1% per l’alluminio, del 10% per il benzene, del 37% per l’ossigeno.

Il volume in funzione della temperatura assoluta

Si può dimostrare che, quando la temperatura è espressa in kelvin, la formula [7] assume questa forma:

TV

TV

i

i=

in cui Vi e Ti sono il volume e la temperatura assoluta in uno stato iniziale qualsiasi.

In base alla [10] enunciamo così la prima legge di Gay-Lussac:

il volume V di un gas a pressione costante è direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta T.


La legge di Gay-Lussac è più semplice se la temperatura è in kelvin

Un gas che subisce una trasformazione a pressione costante mantiene costante il rapporto tra il suo volume V e la sua temperatura assoluta T (ma non il rapporto tra V e la temperatura Celsius t).

UN ESEMPIO

Una certa quantità di aria, con volume Vi = 10,0 L, viene raffreddata a pressione co-stante; alla fine il suo volume è V = 8,00 L e la sua temperatura assoluta è T = 263 K.

Dalla formula [10] troviamo che la temperatura dell’aria nello stato iniziale era

8,00 L(10,0 L)(263 K)

329 KT VV T

ii

= = = .

[9]

volume (m3) alla temperatura assoluta T

temperatura assoluta (K)temperatura

assoluta iniziale (K)


[10]

386

La temperatura12

4 LA SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC: V COSTANTE

Vogliamo ora produrre una trasformazione isocòra, cioè cambiare la pressione p e la temperatura t di una data quantità di gas mantenendo costante il suo volume.

La relazione tra p e t è descritta dalla seconda legge di Gay-Lussac, che vale, come la prima, quando il gas è poco compresso e lontano dalla liquefazione:

se un gas è riscaldato a volume costante, la sua pressione aumenta; se è raffreddato a volume costante, la sua pressione diminuisce.

La trasformazione isocòra

L’esperimento

Fissiamo il volume del gas bloccando il pistone con una vite. Il termome-tro segna la temperatura t1 = 25 °C; il manometro dà la misura della pres-sione p1 = 1,11 × 105 Pa.

ANIMAZIONELe leggi di Boyle

e Guy-Lussac


Teniamo acceso il fornel-lo e aspettiamo che gli strumenti di misura si stabilizzino. La tempera-tura e la pressione del gas sono diventate t2 = 150 °C e p2 = 1,58 × 105 Pa.

150° C

1,58x105 Pax1058x1,5 volume

costante

Mettiamo il cilindro nel ghiaccio e aspettiamo che la temperatura del gas scenda a t0 = 0 °C. Il ma-nometro indica che la pressione è scesa al valore p0 = 1,02 × 105 Pa.

0° C

volume

costante

1,02x105 Pa01 02x1 5 aPa01 002x1 5 aPa01,002x1 aPaee

e

mm

an

meme

nte

mm

a

voluvolu

costaaa

25° C

1,11x105 Pa

La pressione in funzione della temperatura Celsius

Le formule che esprimono le due leggi di Gay-Lussac sono simmetriche. Per ottenere la formula della seconda legge, dobbiamo mettere la pressione al posto del volume in quella della prima:

( )p p t10 a= +

La costante α è la stessa in entrambe le leggi.

ESEMPIOAlla temperatura di

0 °C la pressione di una

certa quantità di aria è

p0 = 2,0 atm.

Usando la [12] troviamo

che, per ogni aumento di

temperatura ∆t = 10 °C

a volume costante, la

pressione di quest’aria

aumenta di

( , )

,

atm273 °C1 °C

.atm

0

p p t

2 0

7 3 10

∆ ∆o

2–#

a= =

=

=

b l temperatura (°C)pressione (Pa) alla

temperatura di 0 °C

pressione (Pa) alla temperatura t

coefficiente di dilatazione volumica dei gas (°C–1)

[11]

387

La temperatura 12

La [11] è l’equazione di una retta del

piano p-t, che taglia l’asse verticale nel punto di ordinata p0. Quindi, in una trasformazione isocòra la relazione tra la pressione p del gas e la sua tempera-tura t in gradi Celsius è una dipenden-za lineare.

Inoltre, in analogia con quanto abbiamo visto nel paragrafo precedente, la varia-zione di pressione ∆p è direttamente proporzionale alla corrispondente varia-zione di temperatura ∆t:

oppurep p ttp

p0 0a aD DD

D= = .

La pressione in funzione della temperatura assoluta

Quando la temperatura è espressa in kelvin, la formula [11] diventa

Tp

Tp

i

i=

in cui pi e Ti sono la pressione e la temperatura assoluta in uno stato iniziale qualsiasi.

L’equivalenza tra le formule [11] e [13] è analoga all’equivalenza tra le formule [10] e [7]

del paragrafo precedente.

In base alla [13], la seconda legge sperimentale di Gay-Lussac dice che:

la pressione p di un gas a volume costante è direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta T.

5 LA LEGGE DI BOYLE: T COSTANTE

Una trasformazione a temperatura costante è detta trasformazione isoterma: durante la trasformazione cambiano il volume V e la pressione p del gas.

La relazione tra p e V, per una quantità fissata di gas poco compresso e lontano dalla liquefazione, è descritta dalla legge di Boyle:

a temperatura costante, la pressione di un gas aumenta quando il suo volume dimi-nuisce; diminuisce quando il suo volume aumenta.

Per mantenere costante la temperatura del gas durante la trasformazione, basta immer-gere il cilindro che lo contiene in un grosso recipiente pieno d’acqua. L’acqua funziona da termostato, cioè contrasta le variazioni di temperatura.

[12]

pressione (Pa) alla temperatura assoluta T

temperatura assoluta (K) temperatura assoluta iniziale (K)

pressione iniziale (Pa)

[13]

O

p0

t1

tt2

p1

p2

p

∆t = t – t2 1

∆p = p – p2 1

388

La temperatura12

La trasformazione isoterma

L’esperimento

Appoggiamo sul pistone alcuni pesetti. Misurando il volume e la pressione tro-viamo i valori Vi = 1,50 dm3

e pi = 2,04 × 105 Pa.

La relazione tra pressione e volume

Quando la temperatura di un gas è costante, il grafico pressione-volume che otteniamo è un ramo di iperbole equilatera (FIGURA 6).

Questa curva del piano p-V (chiamata isoterma) rappresenta una relazione di propor-zionalità inversa. Perciò possiamo enunciare la legge di Boyle come segue:

in una trasformazione isoterma la pressione p e il volume V del gas sono inversa-mente proporzionali, cioè variano mantenendo costante il loro prodotto.

Se pi e Vi sono la pressione e il volume nello stato iniziale, vale la formula:

p V p Vi i=

6 IL MODELLO MICROSCOPICO DELLA MATERIA

La materia che ci circonda e di cui noi stessi siamo fatti è formata da una novantina di «mattoni» fondamentali: gli atomi dei diversi elementi.

La FIGURA 7 mostra un riquadro della tavola periodica degli elementi. Al di sopra del simbolo chimico compare la massa atomica, cioè la massa dell’atomo dell’elemento mi-surata in unità di massa atomica u (1 u = 1,6605 × 10–27 kg).

Gli atomi si aggregano in molecole.

La massa molecolare di una sostanza è la massa della molecola di quella sostanza misurata in unità di massa atomica.


Togliamo i pesetti. Ora il volume è V2 = 3,00 dm3, il doppio di Vi, e la pres-sione è p2 = 1,02 × 105 Pa, la metà di pi.

temperatura costante

3,00 dm3

1,02x105 Pa

Aggiungiamo altri peset-ti. Il volume si riduce a V1 = 1,00 dm3 e la pres-sione aumenta fino a p1 = 3,06 × 105 Pa.

1,00 dm3


3,06x105 Pa

1,50 dm32,04 x105 Pa

O

volume

pre

ssio

ne

FIGURA 6

Un ramo di iperbole nel piano p-V

descrive una trasformazione isoterma

di un gas.

pressione iniziale (Pa)

volume iniziale (m3)volume (m3)

pressione (Pa)

[14]

FIGURA 7

Ogni casella della tavola riporta il

simbolo, il nome, il numero atomico

(numero di protoni) e la massa

atomica dellÕelemento.

612,011

carbonio

C

massaatomica

nome dell’elemento

simbolochimico

numero atomico

389

La temperatura 12

La molecola d’acqua è composta da un atomo di ossigeno (massa atomica 15,9994) e da due atomi di idrogeno (massa atomica 1,00794). Quindi la sua massa molecolare è

mH O2 = 15,9994 u + 2 (1,00794 u) = 18,0153 u.

Il moto di agitazione termica

Le molecole si muovono l’una rispetto all’altra, in direzioni casuali e con velocità diver-se. Questo moto disordinato e incessante è chiamato agitazione termica:

■ nei solidi le molecole o i singoli atomi oscillano attorno alle posizioni di equilibrio;

■ nei liquidi le molecole scorrono le une sulle altre;

■ nei gas le molecole compiono moti particolarmente liberi e rapidi.

Per il fatto di avere una massa e una velocità, ogni molecola ha un’energia cinetica.

L’interpretazione microscopica della temperatura

Il modello microscopico della materia mette in relazione l’agitazione termica con la temperatura: le molecole di un corpo più caldo sono più veloci di quelle di un corpo più freddo; quindi hanno, in media, un’energia cinetica maggiore.

L’energia cinetica media Kmedia dovuta all’agitazione termica delle molecole di un sistema è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta T del sistema.

La proporzionalità diretta tra Kmedia e T vale sempre, ma la costante di proporzionalità cambia a seconda della struttura delle molecole. Se le molecole sono monoatomiche (fatte di un solo atomo) si ha:

TK k23

media B= .

La costante kB è chiamata costante di Boltzmann:

, KJ

k 1 381 10B23

#=- .

Visto che l’energia cinetica di un corpo non può essere negativa, la formula [16] spiega perché non è possibile che la temperatura assoluta T assuma valori minori di zero.

7 IL GAS PERFETTO

Un gas ideale che obbedisce esattamente alla prima e alla seconda legge di Gay-Lus-sac e alla legge di Boyle è chiamato gas perfetto.

Le tre leggi sperimentali dei gas stabiliscono dei legami tra la pressione p, il volume V e la temperatura assoluta T di una quantità di gas fissata. Vogliamo ora includere la quantità di gas tra le variabili. Cominciamo definendo la mole, l’unità di misura della quantità di sostanza nel Sistema Internazionale.

AL VOLO

TEMPERATURA CHE RADDOPPIA

La temperatura di un gas

passa da 250 K (–23 °C) a

500 K (227 °C).

▶ Come varia l’energia

cinetica media delle sue

molecole?

▶ Di quale fattore aumenta

l’energia cinetica media

delle molecole se, invece,

la temperatura passa da

40 °C a 80 °C?

[15]

[16]

390

La temperatura12

Il numero di Avogadro e la mole

La massa atomica dell’elio (He) è mHe = 4,00 u. Per sapere quanti atomi ci sono in 4,00 g di elio dividiamo 4,00 g (massa totale) per mHe (massa di un singolo atomo):

NA = 4,00 u4,00 g

= 4,00 1,66 10 kg

4,00 10 kg27

3

# #

#

-

-

= 6,02 × 1023.

La massa atomica dell’ossigeno (O) è mO = 16,0 u. Per avere lo stesso numero NA di ato-mi di ossigeno bisogna prendere 16,0 g di ossigeno. Il numero NA è chiamato numero di

Avogadro, in onore del fisico italiano Amedeo Avogadro (1776-1856).

Una mole di una sostanza è la quantità di tale sostanza che contiene un numero di componenti elementari (molecole o atomi) uguale al numero di Avogadro.

Il numero di Avogadro non è un numero puro, ma un numero in rapporto a una mole:

NA = 6,02 × 1023 mol–1,

Indichiamo con m la massa in grammi di una data quantità di una sostanza e con n il numero delle moli di molecole (o di atomi) che essa contiene. Si definisce massa molare M della sostanza il rapporto tra m e n:

nm

M =

La massa molare e la massa atomica sono espresse dallo stesso numero ma hanno unità di misura diverse: g/mol per la massa molare e u per la massa atomica. Per esempio, per l’elio la massa molare è MHe = 4,00 g/mol e la massa atomica è mHe = 4,00 u.

L’equazione di stato del gas perfetto

La legge più generale che per un gas perfetto mette in relazione le grandezze p, V, T e n è chiamata equazione di stato del gas perfetto. La sua forma è la seguente:

p V n R T=

La costante di proporzionalità R, detta costante universale dei gas, è determinata spe-rimentalmente:

, mol KJ

R 8 3145 ·= .

Fissato il numero di moli n del gas, dalla [19] ritroviamo le leggi che già conosciamo:

■ se p è costante, allora V è direttamente proporzionale a T (prima di Gay-Lussac);

■ se V è costante, p è direttamente proporzionale a T (seconda di Gay-Lussac);

■ se T è costante, p e V sono inversamente proporzionali (Boyle).

SPL

[17]

massa (g) massa molare (g/mol)

numero di moli (mol)

[18]

ESEMPIOPoiché la massa

molecolare dell’acqua

è mH O2 = 18,0 u, la

sua massa molare è

MH O2 = 18,0 g/mol.

Perciò il numero di moli

di molecole contenuto in

m = 50,9 g d’acqua è:

,,

,

g/molg

mol

mn

M 18 050 9

2 83

H O2

= = =

=

costante universale dei gas (J/(mol · K))

volume (m3)

quantità di gas (mol)

pressione (Pa)temperatura assoluta (K)

[19]

[20]

391

C O N L E M A N I

CHE COSATI SERVE

PREPARA L’ESPERIMENTO

FAI L’ESPERIMENTO

Determina il coefficiente di dilatazione volumica dell’acqua dalla relazione

∆

∆

V T

V

·iniziale

a = .

La dilatazione dell’acqua

Una bottiglia in vetro

da 1 L con tappo ad avvitamento

Una siringada 5 mL o 10 mL

Un termometro digitale da cucina

(sensibilità fino a 1°C )

1. Fai scorrere l’acqua calda dal rubinetto e con il termometro controlla la

temperatura finché non raggiunge più o meno il valore massimo (normalmente tra

i 40 °C e 50 °C).

2. Riempi completamente la bottiglia di acqua calda fino all’orlo.

■ Inserisci rapidamente la son-

da del termometro nell’acqua

della bottiglia e rileva la tem-

peratura che annoterai in una

tabella (FIGURA 2).

■ Togli delicatamente la sonda,

facendo attenzione a non

modificare il livello dell’acqua

dentro la bottiglia, che deve

rimanere piena fino all’orlo.

Chiudi bene la bottiglia con il

tappo ad avvitamento. Assicu-

rati che nella bottiglia non sia

presente dell’aria.

■ Lascia raffreddare l’acqua per almeno un paio d’ore, prima di metterla in frigorifero

per altre due o tre ore. Se la temperatura esterna è molto bassa, puoi metterla fuo-

ri dalla finestra per qualche ora.

■ Quando l’acqua è ben fredda (cioè ha raggiunto una temperatura di circa 10 °C),

noterai che il suo livello, all’interno della bottiglia, si è abbassato. Misura di nuovo

la temperatura e annota il valore nella tabella.

FIGURA 1

DURATA: 15 minuti DIFFICOLTÀ:

FIGURA 2

Vai a p. 377 per vedere

il video con lo smartphone

392

12

ANALIZZA I DATI

CHE COSA SUCCEDE SE

CHE COSA HAI CAPITO

■ Hai tutti i dati necessari per determinare il coefficiente di dilatazione volumica dell’acqua:

il volume iniziale dell’acqua (circa 1 L), la variazione di temperatura e la diminuzione di

volume dell’acqua, quindi:

∆

∆

V T

V

·iniziale

a =

■ Ora devi misurare il volume lascia-

to vuoto dall’acqua fredda nella

bottiglia. A questo scopo, riempi

una siringa di acqua fino a 5 mL

(o 10 mL, a seconda della porta-

ta) e inizia ad aggiungere l’acqua

dentro la bottiglia fino a riportarne

il livello esattamente in corrispon-

denza del bordo. Se hai rispettato

con cura il procedimento descritto,

la variazione di volume dovrebbe

essere compresa tra i 10 mL e i

15 mL (FIGURA 3).

■ Il volume d’acqua che hai utilizzato per riportare l’acqua nella bottiglia al livello iniziale

corrisponde alla variazione di volume dell’acqua dovuta al raffreddamento. Osserva che,

quando riempi la bottiglia fino all’orlo, il volume di acqua non è esattamente 1 L, ma cir-

ca il 5% in più.

▶ Cosa succede se lasci che la bottiglia con l’acqua, raffreddata e riempita nuovamente

fino all’orlo con l’aiuto della siringa, raggiunga la temperatura ambiente?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

▶ Qual è l’ordine di grandezza del coefficiente di dilatazione che hai ottenuto?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

▶ Prova a calcolare l’incertezza da associare alla misura del coefficiente di dilatazione.

Ricorda che il volume iniziale di acqua ha un’incertezza di circa il 5%.

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

FIGURA 3

VIniziale (m3) TIniziale (°C) Tfinale (°C) ΔT (°C) ΔV (× 10−6 m3) a (°C−1)

1 × 10−3

variazione di velocità (m/s)accelerazione media (m/s2)

atv

mD

D=

MAPPA DEI CONCETTI

393

ISÒBARA (p = costante) ISOTERMA (t = costante)ISOCÒRA (V = costante)

LA TRASFORMAZIONE DEI GAS

LA TEMPERATURA

unitˆ di misura: grado Celsius (¡C) o kelvin (K)

quando aumenta, causa

VOLUMICALINEARE

coefficiente di dilatazione lineare (°C−1 o K−1)

coefficiente di dilatazione volumica (°C−1 o K−1)

variazione di lunghezza (m)


lunghezza iniziale (m)



variazione di volume (m3)

1a LEGGE DI GAY-LUSSAC LEGGE DI BOYLE2a LEGGE DI GAY-LUSSAC

sono riassunte nella

può essere

si misura con il termometro

EQUAZIONE DI STATO DEL GAS PERFETTO

pressione (Pa) alla temperatura assoluta t (K)

volume (m3) alla temperatura assoluta t (K)

quantità di gas (mol)

temperatura assoluta t (K)

costante universale dei gas 8,3145 J/(mol ∙ K)

l l timD D=tV ViaD D=

TV

TV

1

1

2

2=

T Tp p

1

1

2

2= p V p V1 1 2 2=

pV n R T=

0SCALA ASSOLUTA (KELVIN)

zero assoluto ebolizione dell’acqua

+373 KSCALA CELSIUS

–273 +100 °C

li

l

∆l

∆t

Vi

V

∆t

V

tO

pressionecostante

V0

∆t

∆V

p

VO


p

tO

p0

∆t

∆p

volume costante

LA DILATAZIONE TERMICA

394

ESERCIZI Mettiti alla prova con 20 esercizi interattivi

ONLINE

MAPPA INTERATTIVA

LE FORMULE

Grandezza Formula Significato

Temperatura assoluta T = °Ct + 273 K (temperatura Celsius) + 273 K

Temperatura Celsius t = Kt – 273 °C (temperatura assoluta) – 273 °C

Allungamento (m)∆

∆l l l t

l

i im- =9 (lunghezza iniziale) × (coefficiente di dilatazione) × × (variazione di temperatura)

Lunghezza finale (m) ( )l l t1 ∆i m= +(lunghezza iniziale) × [1 + (coefficiente λ) × (variazio-ne di t)]

Volume finale (m3) ( )V V t1 ∆i a= +(volume iniziale) × [1 + (coefficiente α) × (variazione di t)]

Coefficiente di dilatazione volumica dei gas (°C−1)

,°C °C2731 3 66 10 13

#a = =--

Pressione finale (Pa) ( )p p t10 a= +(pressione iniziale) × [1 +coefficiente α) × (variazio-ne di t)]

Prima legge di Guy-Lussac T TVV

i

i= temperatura iniziale

volume iniziale

Seconda legge di Guy-Lussac TTPP

i

i= temperatura iniziale

inizialepressione

Legge di Boyle p VpV i i= (pressione iniziale) × (volume iniziale)

Equazione di stato del gas perfetto nRTpV = (numero di moli) × (costante dei gas) × (temperatu-ra assoluta)

Costante universale dei gas (J ∙ mol−1 ∙ K)

, mol KJ

·R 8 3145=

Massa molare M nm

= numero di molimassa

IN 3 MINUTI • La temperatura

1 IL TERMOMETRO E LE SCALE DI TEMPERATURA

TROVA IL MODELLO Per definire la scala Celsius ab-biamo preso in considerazione due temperature come punti fissi di riferimento: la temperatura del ghiaccio che fonde e quella del vapore d’acqua bol-lente, entrambe alla normale pressione atmosferica. Uno studente, durante un esperimento che richiede la misurazione della temperatura, potrebbe però an-che prendere come riferimenti la temperatura atmo-sferica minima e la temperatura atmosferica mas-

1

sima del giorno che precede l’esperimento. Perché, secondo te, questa scelta non sarebbe conveniente?

LA FISICA IN PRATICA In un bicchiere mescoli i con-tenuti di una tazza di latte a 40 °C e di una tazza di caffè a 50 °C. La temperatura finale sarà minore di 40 °C? Maggiore di 50 °C? O intermedia fra i due?

A COLPO DÕOCCHIO «È in arrivo una corrente d’aria fredda dai Balcani, che provocherà una diminuzione della temperatura di 10 °C in media. Le temperature minime toccheranno i −5 °C.»

2

3

395

LA TEMPERATuRA 12 ESERCIZI

1012

1016

1020

1028

1016

1012

1008

B

▶ Riscrivi questo bollettino meteorologico indican-do le temperature in kelvin.

La temperatura più alta mai registrata in Italia è di 321,5 K. Fu raggiunta il 10 agosto 1999 a Catenanuo-va, in provincia di Enna.

▶ La temperatura di fusione della cera è di 45,0 °C; una candela avrebbe iniziato a sciogliersi quel giorno a Catenanuova?

[Sì.]

Nel deserto del Sahara, di giorno, si registra una temperatura media di 36 °C. Di notte, la temperatu-ra cala e arriva a 7 °C.

▶ Quanto vale la variazione di temperatura in gradi Celsius? E in kelvin?

[29 °C; 29 K]

La temperatura di fusione dell’azoto è di –210 °C e quella di ebollizione è di 77 K.

▶ Calcola la differenza tra la temperatura di fusione e quella di ebollizione.

[14 K]

Un alimentatore per PC si trova in equilibrio con l’ambiente alla temperatura di 298 K. Dopo un pe-riodo di funzionamento si surriscalda e la sua tem-peratura aumenta di 20 °C.

▶ Calcola la temperatura finale in kelvin e in gradi Celsius.

[318 K; 45 °C]

4★ ★ ★

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6★ ★ ★

7★ ★ ★

Mean ground temperatures on Mars and Venus are respectively 210 K and 726 K.

▶ What is their equivalent in °C?

[−63 °C; 453°C]

La temperatura di −89,2 °C, la più bassa mai regi-strata fino ad allora sulla faccia del pianeta, venne ri-levata nella base sovietica Vostok, in Antartide, il 21 luglio 1983.

▶ Esprimi in kelvin la temperatura registrata nella base.

▶ La temperatura più bassa, in Italia, è stata regi-strata il 18 dicembre 2009 sulle Pale di San Marti-no (TN), dove sono stati raggiunti i −47 °C. Cal-cola la differenza, espressa in gradi Celsius e in kelvin, tra la temperatura minima record in Italia e la temperatura registrata dalla base Vostok nel 1983.

[184 K; 42 °C; 42 K]

2 LA DILATAZIONE TERMICA

TROVA L’ERRORE Nella legge sperimentale di dilata-zione lineare dei solidi, il coefficiente di dilatazione lineare λ cambia a seconda che ∆t sia espressa in gra-di Celsius o in kelvin?

TROVA L’ERRORE Considerando la dilatazione linea-re di una barra, è corretto dire che la lunghezza della barra è direttamente proporzionale alla sua tempe-ratura? Perché?

COSA SUCCEDE SE Quando apri un poco il rubinetto dell’acqua calda avrai notato che il getto iniziale pian piano si assottiglia, talvolta interrompendosi. Que-sto effetto non si verifica aprendo ulteriormente il rubinetto. Perché?

Una bottiglia contenente dell’acqua passa da una temperatura di 4 °C a una temperatura finale di −4 °C. Come si comporta il volume dell’acqua?

8★ ★ ★

9★ ★ ★

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11

12

13

PROBLEMA MODELLO

Calcolo dellÕallungamento

Ponti e viadotti autostradali sono spesso divisi in settori, detti «cam-pate». Supponiamo che, tra inverno e estate si registri una variazione di temperatura di 60 °C. La campata di cemento armato, nel giorno più freddo dell’anno, è lunga li = 80,00 m.

f Qual è il suo allungamento massimo, dovuto alla dilatazione ter-

mica, in estate?

f Qual è la sua lunghezza massima raggiunta in estate?

14★ ★ ★

Dw

ightN

adig

/Shutt

erst

ock

396

La temperatura12ESERCIZI

■ DATI

Variazione di temperatura Δt = 60 °CLunghezza iniziale prima dell’aumento di tempe-ratura li = 80,00 m

■ INCOGNITE

Allungamento dovuto al riscaldamento Δl = ? Lunghezza massima d’estate lf = ?

L’IDEA

• L’allungamento dovuto alla dilatazione termica è direttamente proporzionale alla lunghezza iniziale, alla variazione di temperatura e al coefficiente di dilatazione termica λ, cioè l l t∆ ∆im= .

• Poiché l l l∆ f i= - , ricavo la lunghezza finale l l l∆f i= + .

• Nella tabella a pag 380 trovo il valore di λ per il cemento armato K1 104 16#m =

- -

LA SOLUZIONE

Sostituisco nella formula i valori numerici e trovo il risultato:

, , m K1 K ml l t 80 00 14 10 60 0 067∆ ∆i

6# # #m= = =

-^ a ^h k hRicavo la lunghezza massima d’estate è:

, , ,m m ml 80 00 0 0 80 067 7f = + =

PER NON SBAGLIARE

Come unità di misura per λ si può usare allo stesso modo K−1 oppure °C−1 perché la variazione di temperatu-ra di 1 K è identica a quella di 1 °C.

A 50-cm-long lead rod (coefficient of linear expansion for lead equal to 29 × 10−6 K−1) is heated from 0°C to 45°C.

▶ Determine the change in length of the rod.

[0,65 mm]

Una barretta di rame in una fornace a 825 °C è lunga 10,50 cm. La barretta viene tolta dalla fornace e rag-giunge la temperatura dell’ambiente esterno, pari a 20 °C.

▶ Come è cambiata la sua lunghezza?

[Si è accorciata di 1,4 mm]

Un filo metallico, inizialmente lungo 1,5 m, subisce un allungamento di 2,42 mm quando la sua tempe-ratura passa da 20 °C a 90 °C.

▶ Qual è il valore del coefficiente di dilatazione li-neare del metallo che costituisce il filo?

[23 × 10−6 K−1]

15� � �

16� � �

17� � �

I cavi in alluminio di una linea elettrica aerea ad alta tensione lunga 25,47 km sono agganciati ai tralicci a una temperatura media di +12,5 °C. La loro tempe-ratura può raggiungere i 55,0 °C.

▶ Qual è la lunghezza massima dei cavi?

[25,49 km]

Un’asta di rame lunga 55 cm è fissata rigidamen-te a un’estremità mentre l’altra, alla temperatura di 20 °C, dista 1,5 mm da una lastra metallica fissa, ad essa perpendicolare.

lastra metallica

asta

parte fissa

18� � �

19� � �

397

La temperatura 12 ESERCIZI

▶ A quale temperatura vi sarà contatto tra i due metalli?

[1,9 × 102 °C]

Un operaio prende una barra di piombo lunga 1,0000 m da un deposito all’aperto e la posiziona all’interno di una fornace per riscaldarla a 1000 °C. La lunghezza della barra diventa 1,0288 m.

▶ Questa operazione si svolge d’inverno o d’estate?

[inverno]

Il granito ha un coefficiente di dilatazione lineare pari a 7,5 × 10−6 K−1.

▶ Qual è il valore del coefficiente di dilatazione vo-lumica del granito?

[23 × 10−6 K−1]

Un cubo di piombo (λ = 2,9 × 10−5 °C−1) di lato 41 cm viene riscaldato da 70 °C a 150 °C.

▶ Calcola la variazione del suo volume.

[4,8 × 102 cm3]

Una colonna di mercurio ha un volume di 10 cm3

alla temperatura di 273 K. Il coefficiente di dilatazio-ne volumica del mercurio è 182 × 10−6 K−1 .

▶ Di quanto aumenta il volume del mercurio se la sua temperatura sale a 373 K?

[0,182 cm3]

Un viadotto di cemento è lungo 1,500 km in inverno a una temperatura di −10,00 °C. In estate la tempe-ratura del cemento raggiunge il valore di 40,00 °C.

▶ Calcola la lunghezza del viadotto in estate.

[1,501 × 103 m]

Un bidone di forma cilindrica, con diametro 50,0 cm, contiene 120 dm3 di glicerina. Il bidone è trasportato in una località dove si riscontra un au-mento di temperatura di 30 °C rispetto al luogo di partenza.

▶ Di quanto è variata l’altezza della glicerina all’in-terno del bidone?

[L’altezza è aumentata di 1,0 cm]

Il volume di un attizzatoio da camino in ferro, a tem-peratura ambiente (20 °C), è 12,2 cm3. A contatto con le braci si riscalda e passa al volume di 12,4 cm3.

▶ Calcola temperatura delle braci.

[5 × 102 °C]

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In un impianto di riscaldamento domestico, che contiene 270 L d’acqua, è previsto un vaso di espan-sione per evitare che la dilatazione dell’acqua (α = 210 × 10−6 °C−1), la cui temperatura varia nell’inter-vallo da 10 °C a 90 °C, danneggi tubi e radiatori che la contengono.

▶ Determina la corrispondente variazione massi-ma di volume.

[4,5 L]

Un’asta metallica, inizialmente lunga 0,85 m, subi-sce un allungamento di 1,0 mm quando la sua tem-peratura passa da 0 °C a 100 °C.

▶ Di che materiale è probabilmente fatta l’asta?

[Ferro]

Una rondella di alluminio che a 283 K ha il foro di diametro interno 30,05 mm e di diametro esterno di 50,00 mm è montata nel motore di un’auto, e rag-giunge una temperatura di 85 °C.

▶ Calcola la nuova dimensione del foro.

[30,10 mm]

Una barra di rame è lunga 5,50 m alla temperatura di 20,0 °C. La barra viene messa in una fornace e si al-lunga di 3,50 cm.

▶ Calcola la temperatura della fornace.

[394 °C]

Un contenitore di forma cubica di lato 10 cm è riem-pito di etanolo fino ai tre quarti e si trova a tempera-tura ambiente (20 °C).

▶ Calcola a quale temperatura il liquido riempireb-be il contenitore.

[318 °C, temperatura a cui l’etanolo è aeriforme]

3 LA PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC: TRASFORMAZIONI DI UN GAS A PRESSIONE COSTANTE

LA FISICA IN PRATICA Un gas è racchiuso in un re-cipiente indeformabile e sigillato. Il recipiente viene messo sopra il fuoco di un fornello acceso.

▶ Quale tipo di trasformazione subisce il gas?

TROVA IL MODELLO Una bombola piena di gas si tro-va al livello del mare e viene portata in alta monta-gna. Quale grandezza rimane costante?

COSA SUCCEDE SE Luca infila un palloncino sgonfio sul collo di una bottiglia di vetro vuota e immerge la bottiglia in una pentola d’acqua a temperatura am-

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398

LA TEMPERATuRA12ESERCIZI

biente. Successivamente, pone la pentola su un for-nello e accende il fuoco. Cosa succederà al pallonci-no, secondo te, dopo un po’? Perché?

LA FISICA IN PRATICA A volte ci si riferisce alla pri-ma legge di Gay-Lussac con il nome di legge di Char-les. All’inizio dell’Ottocento, infatti, i due scienziati francesi Jacques Charles e Joseph-Louis Gay-Lussac elaborarono in maniera indipendente questa legge, studiando il volo delle mongolfiere. In che modo la prima legge di Gay-Lussac spiega perché una mon-golfiera riesce a volare?

Explain why it might be dangerous to heat a gas trapped in a sealed box.

Un recipiente munito di un pistone a tenuta stagna e con attrito trascurabile contiene 2,50 × 10−4 m3 di gas alla temperatura di 0 °C.

▶ Quale volume occuperà il gas alla temperatura di 35 °C se la pressione viene mantenuta costante?

[2,8 × 10−4 m3]

35

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37★ ★ ★

Una certa quantità di gas è libera di espandersi a pressione costante. Alla temperatura di 800 K il vo-lume del gas è doppio rispetto a quello iniziale.

▶ Qual è la temperatura iniziale?

[400 K]

Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lu-brificato e contiene 0,80 mL di aria alla temperatura di 0 °C. La siringa così predisposta viene introdot-ta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a −18 °C.

▶ Quale sarà il volume dell’aria nella siringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il free-zer?

[0,75 mL]

Un gas alla temperatura di 0 °C occupa un volume di 2,5 L, mentre alla temperatura di 251 °C occupa un volume di 4,8 L.

▶ Calcola la costante di dilatazione volumica del gas.

▶ Verifica che essa è pari a 2731 °C−1 fino alla se-

conda cifra significativa.

[3,7 × 10−3 °C−1]

Un gas è riscaldato a pressione costante dalla tempe-ratura iniziale di 20 °C fino a che il suo volume non diventa triplo di quello originario.

▶ Calcola la variazione di temperatura.

[586 °C]

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PROBLEMA MODELLO

Il palloncino dentro al freezer

Leonardo mette in freezer un palloncino contenente 1,31 dm3 di aria alla tem-peratura ambiente di 20 °C. La temperatura nel freezer è di −18 °C.

f Di quanto diminuisce, in percentuale, il volume del palloncino?

■ DATI

Volume d’aria iniziale , dmV 1 31 3i =

Temperatura iniziale dell’aria °Ct 20i =

Temperatura dell’aria nel freezer °Ct 18f =-

■ INCOGNITE

Diminuzione percentuale del volume ?V∆ % =

LÕIDEA

¥ Poiché la trasformazione avviene a pressione costante, applico la prima legge di Gay-Lussac TV

TV

f

f

i

i= per

trovare il volume finale.

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399


La temperatura di un gas mantenuto a pressione co-stante è portata da 0 °C a 100 °C.

▶ Di quanto aumenta, in percentuale, il volume del gas?

[37%]

Un gas ha una temperatura iniziale di 0 °C. Il gas vie-ne riscaldato a pressione costante fino a quando il suo volume è aumentato di un decimo.

▶ Calcola la temperatura finale del gas.

[27 °C]

DISEGNA IL GRAFICO Un gas è raffreddato alla pres-sione atmosferica dalla temperatura di 120 °C a quella di 15°C fino a che occupa un volume finale di 3,0 dm3.

▶ Calcola il volume che inizialmente occupava il gas.

▶ Disegna il grafico pV (pressione-volume) della trasformazione

[4,1 × 10−3 m3]

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45★ ★ ★

Uno dei momenti più critici della missione spaziale della Nasa giunta su Marte nel gennaio 2004 è stata la fase di atterraggio delle apparecchiature. Per far atterrare incolume il robot Spirit sono stati utilizzati ben 24 airbag del diametro di circa 2,0 m. Se duran-te l’apertura degli airbag qualcosa fosse andato stor-to, il robot si sarebbe schiantato al suolo riportando danni irreparabili e mandando in fumo centinaia di milioni di dollari. La temperatura media di Marte si aggira intorno a –70 °C.

▶ All’arrivo su Marte, di quanto si ridurrebbe il vo-

46★ ★ ★

NAS

A/J

PL

• Trasformo le temperature in temperature assolute.

• Ricavo infine la diminuzione percentuale di volume rispetto al volume iniziale: V VV

%i

DD

= .

LA SOLUZIONE

Trasformo le unità di misura in unità del Sistema Internazionale:

, ,

°C K

°C K

dm m

t T

t T

V

20 293

18 255

1 31 1 31 103 3

i i

f f

i3

&

&

#

= =

=- =

= =-

.

Applico la prima legge di Gay-Lussac:

, , 293 K255 K m mT

VTV

V TT

V 1 31 10 1 14 103 3

f

f

i

if

i

f

i3 3

& # # #= = = =- -

Calcolo la differenza di volume:, , ,m mV V V 1 14 10 1 31 10 0 17 103 3

f i3 3 3

# # #D = - = - =-- - -^ h .

Calcolo la diminuzione percentuale di volume:

, %1,31 10 m0,17 10 m

V VV 0 13 13% 3 3

3 3

i #

#D

D= =

-=- =-

-

-

.

PER NON SBAGLIARE

Per verificare che il risultato è corretto, considero che:

VV

TT

i

f

i

f= , dunque V

V VTT

V TT

V TT

1 1i

i

i

f

pi

f

pi

f& &

DD D

+= + = = -

Sostituendo i dati del problema ottengo: , %293 K255 K

V 1 0 13 13pD = - =- =- , cioè il risultato ottenuto in pre-cedenza.

400


Un tuo amico si lamenta di come è stato progettato

il frigorifero nuovo che è appena stato acquistato:

una volta aperto e chiuso lo sportello (per esempio

per prendere una bottiglia di acqua fresca), lo spor-

tello stesso si blocca e per aprirlo di nuovi bisogna

aspettare almeno un paio di minuti.

A te viene il sospetto che questo comportamento

non dipenda dai progettisti del frigorifero, ma sem-

plicemente dalle leggi della fisica.

lume degli airbag se questi fossero stati gonfiati sulla Terra con aria alla temperatura ambiente di 20°C?

[31 %]

4 LA SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC: V COSTANTE

TROVA IL MODELLO Durante una trasformazione isocòra, quanto vale la variazione di pressione di un gas se la sua temperatura aumenta di 1 °C?

LA FISICA IN PRATICA Perché una bomboletta spray non va mai lasciata sul cruscotto di un’auto al sole?

Le ruote di una motocicletta contengono aria alla pressione di 200 kPa quando la temperatura è di 25 °C. Dopo un breve viaggio, le ruote risultano più calde, alla temperatura di 80 °C.

▶ Trascurando la variazione di volume delle ruote, qual è il valore della pressione alla fine del viag-gio?

[2,37 × 105 Pa]

A COLPO D’OCCHIO Una bom-bola per gas tecnico è proget-tata per resistere alla pressione interna di 250 bar. Per ragioni di sicurezza non si vuole supe-rare l’80,0% di questo valore. La bombola contiene una cer-ta quantità di gas e, alla tempe-ratura ambiente (20 °C), il pri-mo manometro del riduttore a essa collegato segna una pres-sione di 73,0 bar. Il riduttore è un dispositivo che si collega alla bombola per regolare la pres-sione di uscita del gas ed è dota-to di due manometri: aprendo la bombola, il primo manometro indica la pressione all’interno della bombola, il secondo segna la pres-sione di uscita del gas dal riduttore.

▶ Calcola la temperatura massima a cui può essere esposta la bombola con quella quantità di gas ri-manendo in condizioni di sicurezza.

[530 °C]

Stai per partire per le vacanze e porti l’automobile a fare un controllo generale. Il tuo meccanico misura la pressione di uno pneumatico e ottiene il valore di 2,5 atm. La temperatura è di 20 °C. Dopo un viaggio piuttosto lungo, le gomme si sono riscaldate e hanno

47

48

49★ ★ ★

uscita gas

50★ ★ ★

51★ ★ ★

raggiunto la temperatura di 38 °C.

▶ A quale pressione si trovano adesso le gomme?

Suggerimento: considera il volume costante.

[2,7 atm]

Quando una bicicletta è in garage alla temperatura t1 = 18,3 °C uno dei suoi pneumatici contiene aria alla pressione p1 = 2,15 × 105 Pa. Una volta lasciata la bicicletta in un luogo assolato, la temperatura dell’a-ria degli pneumatici sale al valore t2 = 34,7 °C.

▶ Trascurando la variazione di volume della came-ra d’aria, calcoliamo la nuova pressione p2 dell’a-ria contenuta in essa.

[2,27 × 105 Pa]

Una bombola contiene idrogeno alla pressione di 5,0 × 105 Pa quando il gas si trova alla temperatura di 16 °C. Successivamente, il manometro della bombo-la indica una pressione di 5,5 × 105 Pa.

▶ Qual è ora la temperatura del gas?

[45 °C]

Un gas ha una pressione iniziale di 1,70 × 105 Pa a 0 °C.

▶ Il gas subisce una trasformazione isocòra e la sua temperatura finale è di −80 °C. Calcola la sua pressione finale.

▶ Calcola la temperatura che il gas deve raggiunge-re affinché la sua pressione sia il doppio di quella calcolata al punto precedente.

[1,20 × 105 Pa; 112 °C ]

Un gas subisce una trasformazione a volume costan-te.

▶ Di quanto bisogna far aumentare, in percentuale, la sua temperatura perché la sua pressione rad-doppi?

[100%]

PROVA AUTENTICA

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INDIVIDUARE COLLEGAMENTI E RELAZIONI

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DATI PRELIMINARI

Lo sportello del frigorifero è largo 55 cm e alto 130 cm. La temperatura ambiente è 28 °C e l’inter-no del frigorifero è mantenuto alla temperatura di 3 °C. Prima di aprire lo sportello, l’aria all’interno e all’esterno del frigorifero si trova alla pressione at-mosferica normale di 1,0 × 105 Pa.

MODELLIZZA IL PROBLEMA

Per semplicità supponi che, aprendo lo sportello, tutta l’aria contenuta nel frigorifero sia sostituita da un uguale volume di aria a temperatura ambiente. Una volta chiuso lo sportello, la stessa aria viene raffreddata alla temperatura del frigorifero.

LEGGI DEI GAS

Cosa accade all’aria penetrata nel frigorifero, una volta raffreddata a volume costante? Quale è la sua pressione finale?

FORZE SULLO SPORTELLO DEL FRIGORIFERO

Che pressione agisce sulla faccia esterna dello spor-tello? In base a quelle legge fisica puoi fare questa affermazione? Calcola quindi il valore della forza che l’atmosfera esterna esercita sullo sportello.

Calcola poi la forza esercitata sullo sportello dall’a-ria contenuta nel frigorifero. In che verso si esercita la forza totale dovuta all’aria? Qual è il suo modulo, in base al modello semplificato che abbiamo adot-tato?

ANALISI DEL RISULTATO OTTENUTO

Come puoi definire, in modo intuitivo, l’intensità della forza che hai calcolato? Quale massa si potreb-be sollevare con tale forza? In base a ciò, ritieni cor-rette le ipotesi fatte? In tutti i casi, ritieni che il cal-colo svolto insegni qualcosa sul perché lo sportello del frigorifero non si riesce ad aprire subito dopo averlo aperto una prima volta?

Dopo qualche decina di secondi o qualche minuto il frigorifero si apre di nuovo. Come pensi che ciò sia possibile?

COMUNICA I RISULTATI OTTENUTI

Prepara un elenco delle leggi e dei principi fisici che hai utilizzato per analizzare il fenomeno che hai studiato. Sulla base di questo, prepara un testo di mezza pagina che contiene ciò che potresti dire al tuo amico per spiegargli la ragione per cui non si

deve arrabbiare quando deve aspettare un po’ per aprire una seconda volta il frigorifero.

5 LA LEGGE DI BOYLE: T COSTANTE

LA FISICA IN PRATICA Una campana pneumatica è una campana di vetro provvista di una pompa per aspirare l’aria. Questo strumento di laboratorio per-mette di creare una buona approssimazione del vuo-to: basta infatti togliere, grazie alla pompa, quasi tutta l’aria contenuta nella campana. Gonfia un pal-loncino e mettilo in una campana pneumatica. Suc-cessivamente, crea il vuoto all’interno della campa-na. Considera la temperatura pressoché costante. Cosa succede al palloncino e perché?

LA FISICA IN PRATICA Perché le bolle d’aria che si for-mano sott’acqua diventano più grandi man mano che salgono in superficie?

A COLPO DÕOCCHIO Una pompa per biciclette, con la valvola di uscita chiusa, contiene 98 cm3 di aria alla pressione di 1,4 × 105 Pa.

▶ Quale diventa il volume della stessa quantità d’a-ria se, mantenendo la temperatura costante, au-mentiamo la pressione fino a 2,3 × 105 Pa?

V1 = 98 cm3

p1 = 1,4 3105 Pa

V = ?

p = 2,3 3105 Pa

[60 cm3]

Un mantice è riempito di aria alla pressione di 1 atm.

▶ Calcola quale pressione occorre esercitare affin-ché il volume si dimezzi se la temperatura resta costante.

[2 atm]

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402


Una siringa (ben tappata e chiusa da uno stantuffo che scorre senza attrito) contiene 0,90 mL di aria alla pressione atmosferica di 101 kPa. Premiamo lenta-mente sullo stantuffo (in modo che la temperatura rimanga costante) fino a quando il volume si riduce a 0,40 mL.

▶ Qual è la pressione finale all’interno della siringa?

[2,3 × 105 Pa]

Un recipiente munito di un pistone a tenuta stagna e con attrito trascurabile contiene 1,28 × 10−3 m3 di gas alla pressione di 101,5 kPa. Aggiungiamo lenta-mente dei pesi sul pistone per aumentare la pressio-ne, che si porta a 110 kPa.

▶ Quale volume occuperà il gas, se la temperatura rimane costante?

[1,18 × 10−3 m3]

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PROBLEMA MODELLO

Il volume dell’aria nel serbatoio

Durante un esperimento il volume di aria contenuto in un serbato-io ben sigillato viene modificato agendo su uno stantuffo. Quando lo stantuffo è sollevato lentamente in modo che la temperatura ri-manga costante, il volume dell’aria aumenta di 90 mL e la pressione si riduce a 1/3 di quella iniziale.

f Calcola il volume iniziale di aria.

■ DATI

Aumento di volume mLV 90D =

Pressione finale p p31

f i=

■ INCOGNITE

Volume iniziale ?Vi =

L’IDEA

• La temperatura si mantiene costante, dunque applico la legge di Boyle: p V p Vi i f f= .

• Se esprimo il volume iniziale come V pp V

ii

f f= , posso esprimere pf in funzione di pi e semplificare poi pi.

• Inoltre, esprimo il volume finale come V V Vf i D= + .

LA SOLUZIONE

Applico la legge di Boyle:

V pp V

p

p V VV V3

1

31

ii

f f

i

i i

i

DD= =

+

= +

^ ^h hRisolvo rispetto al volume iniziale Vi e ottengo:

m m L mL

V V V

VV

3

2 290 10 45 10 45 10 45

i i

i

6 36 3 3#

# #

D

D

- =

= = = = =

-

- -.

PER NON SBAGLIARE

La legge di Boyle afferma che a temperatura costante, il prodotto del volume occupato da un gas per la sua pressione rimane costante. Quindi se la pressione finale diventa 1/3 di quella iniziale, il volume finale deve diventare pari a 3 volte quello iniziale.

Si può verificare la correttezza del risultato ottenuto considerando che il volume finale è proprio pari a 90 mL + 45 mL = 135 mL, pari al triplo del volume iniziale calcolato.

63★ ★ ★

403


Un gas ideale è compresso a temperatura costante in un cilindro dotato di pistone scorrevole a perfetta te-nuta. Nelle condizioni finali, il volume e la pressio-ne raggiunti sono stati, rispettivamente, 50,0 cm3 e 6,0 × 105 Pa, mentre la pressione iniziale era quella atmosferica.

▶ Di quanto si è ridotto il volume?

[247 cm3]

Un cilindro sigillato provvisto di stantuffo contiene elio a una certa pressione. Lo stantuffo viene premuto lentamente, mantenendo costante la temperatura, e la pressione aumenta del 20% fino al valore di 350 kPa.

▶ Di quanto è diminuito il volume del gas?

[17%]

La pressione dell’acqua marina aumenta di 101 kPa ogni 10 m di profondità, a partire dal valore di 101 kPa al livello della superficie. Una bolla d’aria esce dal respiratore di un subacqueo che si trova a 30 m di profondità.

▶ Di quanto è aumentato, in percentuale, il suo vo-lume quando la bolla raggiunge la superficie se la temperatura resta costante?

[300%]

Una quantità di aria secca subisce un aumento di pressione del 150 % a temperatura ambiente mante-nuta costante.

▶ Di quanto è variato il volume in percentuale?

[riduzione del 60,0%]

6 IL MODELLO MICROSCOPICO DELLA MATERIA

LA FISICA IN PRATICA Un bicchiere d’acqua viene messo in un congelatore e dopo qualche ora l’acqua nel bicchiere si è congelata. Cosa è avvenuto alle mo-lecole d’acqua? Le molecole di ghiaccio sono diverse da quelle dell’acqua?

Chiudi un forno con pareti ermetiche e isolanti e ac-cendilo. L’aria (approssimabile ad un gas perfetto) che rimane all’interno si scalda fino alla temperatu-ra di 455 K.

▶ Quanto vale l’energia cinetica media di traslazio-ne delle molecole del gas a quella temperatura?

[9,42 × 10−21 J]

Il gas contenuto in una bombola si trova alla tempe-ratura di 17 °C.

▶ Calcola l’energia cinetica media di traslazione delle molecole del gas.

[6,0 × 10−21 J]

Un gas si trova alla temperatura di 512 K in un reci-piente chiuso e indeformabile. Il recipiente è posto in una vasca contenente acqua e ghiaccio.

▶ Calcola l’energia cinetica media di traslazione delle molecole del gas quando la temperatura si è dimezzata.

▶ Di quanto si è ridotta questa energia?

[5,30 × 10−21 J; si è dimezzata]

La massa in kilogrammi di un atomo di ferro vale 9,3 × 10−26 kg.

▶ Qual è il suo valore espresso in unità di massa atomica?

[56 u]

La molecola di biossido di carbonio è formata da un atomo di carbonio (massa atomica 12) e due atomi di ossigeno (massa atomica 16).

▶ Qual è il valore del massa molecolare del biossido di carbonio?

▶ Qual è il valore in kilogrammi della massa di una molecola di biossido di carbonio?

[44; 7,3 × 10−26 kg]

Un pallone riempito di gas, inizialmente alla tempe-ratura di 295 K, rimane al sole per qualche ora. L’e-nergia cinetica media di traslazione delle molecole del gas aumenta di 3,20 × 10−22 J .

▶ Qual è la temperatura raggiunta dal gas?

[310 K]

7 IL GAS PERFETTO

TROVA IL MODELLO Una certa quantità di gas ha una pressione di 1,7 × 105 Pa a 0 °C. Dopo una trasforma-zione isocòra, la sua temperatura finale è di 0 K.

▶ È possibile secondo te calcolare la sua pressione finale con l’equazione di stato del gas perfetto?

TROVA IL MODELLO Quale tra questi gas è il più adat-to ad essere studiato con il modello del gas perfetto? Perché?

a. Azoto liquido;

b. ossigeno in una bombola per sub ad una pressio-ne pari a 200 volte quella atmosferica;

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404


c. gas butano liquefatto contenuto in una bombola da campeggio;

d. neon contenuto in una lampada al neon;

e. vapore acqueo sprigionato da acqua in ebollizio-ne.

LA FISICA IN PRATICA Hanno volume maggiore 2 mol di ossigeno o 2 mol di elio?

LA FISICA IN PRATICA Considera una mole di ossige-no e una mole di elio: quale ha massa maggiore?

Un recipiente contiene 3,2 g di elio. La massa molare dell’elio è 4,0 g/mol.

▶ Calcola quanti atomi di elio sono contenuti nel recipiente.

[4,8 × 1023]

1,00 mol of an ideal gas is trapped in a cylin-der at the temperature of 273,15 K. The pressure is 1,013 × 105 Pa (atmospheric pressure).

▶ Calculate the volume of the gas.

Un gas contiene 1,0 moli di gas alla temperatura di 21 °C e alla pressione di 1,4 × 105 Pa.

▶ Determina il suo volume nell’ipotesi che il gas si comporti come un gas perfetto.

[1,7 × 10−2 m3]

Un recipiente contiene circa 10/8 di mole di un gas alla temperatura di 200 K e alla pressione di 105 Pa.

▶ Calcola l’ordine di grandezza del suo volume espresso in metri cubi.

[10−2 m3]

Un palloncino di elio perfettamente sferico ha un raggio di 15,0 cm. Al suo interno la pressione è di 1,05 × 105 Pa e la temperatura è di 28,0 °C.

▶ Quante moli di elio sono contenute nel pallon-cino?

[0,593]

Un gas subisce una trasformazione in cui il volume triplica e la pressione dimezza.

▶ Come diventa la temperatura finale?

[T Ti23

= ]

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PROBLEMA MODELLO

La bombola del sub

La bombola dell’ossigeno di un sub contiene 17,95 dm3 di ossigeno gassoso. La massa molare di una molecola di ossigeno gassoso è 32,0 g/mol. Il gas è a una temperatura di 293 K e a una pressione di 20,2 MPa. L’ossigeno si com-porta come un gas perfetto.

f Calcola la massa del gas contenuto nella bombola.

■ DATI

Volume V = 17,65 dm3

Temperatura T = 293 KPressione p = 20,2 MPaMassa molare dell’ossigeno: M = 32,0 g/mol

■ INCOGNITE

Massa m = ?

LÕIDEA

• Poiché l’ossigeno nella bombola si comporta come un gas perfetto, applichiamo l’equazione di stato per il gas perfetto pV nRT= .

• Dall’equazione di stato ricavo n, numero di moli.

• Infine, per trovare la massa m di gas in kilogrammi, inverto M nm

= , dove conosco la massa molare M dell’ossigeno (che so essere biatomico) e il numero di moli n.

85★ ★ ★

Nic

ram

Sabod/S

hutt

erst

ock

405


Un gas perfetto è in un recipiente di volume 10,0 dm3

ed ha una temperatura di 300 K. Il recipiente vie-ne messo in comunicazione con un altro recipiente vuoto, di volume pari a 4,00 dm3. In seguito a que-sta operazione, la pressione diventa la metà di quel-la iniziale.

▶ Calcola la temperatura del gas dopo il collega-mento del nuovo recipiente.

[210 K]

Una bombola contiene 36,0 L di azoto (massa ato-mica 14,0). Il gas è a una pressione di 202 kPa e a una temperatura di 290 K.

▶ Calcola la massa in kg dell’azoto contenuto nella bombola.

[4,23 × 10−2 kg]

Durante un esperimento, si utilizzano 1,5 mol di gas Neon (massa molare 20g/mol) alla temperatura di 15 °C e alla pressione di 1,1 × 105 Pa. Dopo aver ri-scaldato a pressione costante il gas, esso occupa un volume finale di 38 L.

▶ Calcola il volume iniziale del gas.

▶ Calcola la temperatura finale del gas.

▶ Calcola la massa del gas.

[33 L; 62 °C; 0,030 kg]

PROBLEMI GENERALI

Una certa quantità di liquido passa dal volume di 1,000 L al volume di 1,075 L quando la sua tempera-tura aumenta di 100 °C.

▶ Qual è il coefficiente di dilatazione del liquido considerato?

▶ Di quanto dovrebbe variare la temperatura per produrre un ulteriore aumento di volume pari a 25 mL?

[7,5 × 10−4 K−1; 31 °C]

Una rotaia è composta da segmenti in acciaio lunghi 55,00 m alla temperatura di posa di 20 °C. Le tem-perature esterne, nel corso dell’anno, variano da un minimo di −10 °C a un massimo di 38 °C e alla tem-peratura di 20 °C la distanza tra un segmento e l’altro è di 14,00 mm.

▶ Calcola la massima differenza di lunghezza dei segmenti nel corso dell’anno.

▶ La distanza tra due segmenti consecutivi è suffi-ciente per tenere conto della dilatazione termica rispetto alla temperatura di posa oppure c’è stato un errore di progettazione?

[34 mm; la distanza è sufficiente]

Una certa quantità di gas perfetto si trova inizial-mente in uno stato con pressione pari a 101 kPa, vo-lume 25,0 L e temperatura 300 K. Poi subisce due trasformazioni successive, come mostrato nel grafi-co:

1. prima la temperatura aumenta a pressione co-stante fino al valore di 400 K;

2. poi, la temperatura rimane costante mentre il vo-lume è dimezzato.

▶ Descrivi le caratteristiche degli stati 1 e 2 e deter-mina i valori finali delle variabili che descrivono lo stato del gas.

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1★ ★ ★

2★ ★ ★

3★ ★ ★

LA SOLUZIONE

Trasformo il volume in m3

, ,dm mV 17 95 0 017953 3= =

Applico l’equazione di stato del gas perfetto all’ossigeno

(8,3145 J mol K ) (293 K)(20,2 10 Pa) (0,01795 m )

moln RTpV

149· 1 1

6 3

#

# #= = =

- -.

Calcolo la massa di ossigeno dentro la bombola

( ) ( , ) , , mol molg

g kgm Mn 149 32 0 4 77 10 4 773# #= = = = .

Impostando una ricerca su Internet si trova che la differenza di massa tra una bombola da sub piena e una vuota oscilla tra i 3 e i 5 kg: ciò conferma che il valore trovato è realistico.

406


p0

p2

p

VV2

V0

V1

[202 kPa; 16,7 L; 400 K]

Un gas si trova inizialmente in uno stato descritto dalle tre variabili p0, V0 e T0. Subisce una trasforma-zione isòbara al termine della quale il suo volume si è ridotto a un terzo di quello iniziale. Successivamente subisce una trasformazione isocòra che ne fa tripli-care la pressione.

▶ Disegna le due trasformazioni in un grafico che abbia sull’asse orizzontale il volume e su quello verticale la pressione.

▶ È possibile che il gas, dopo la seconda trasforma-zione, ritorni allo stato iniziale per mezzo di una trasformazione isoterma? Perché?

[Sì]

Tre moli di gas perfetto biatomico, inizialmente a volume VA = 20 litri sono in equilibrio a contatto con una sorgente di calore a temperatura TA = 400 K. Mantenendo costante la pressione, la sorgente viene poi sostituita con un’altra a temperatura TB = 300 K.

▶ Calcolare le coordinate termodinamiche man-canti degli stati di equilibrio A e B.

(Esame di Fisica, Corso di laurea in Scienze biologiche, Università di Genova, 2002/2003)

[4,9 atm; 15 × 10−3 m3]

Con 30 L di gas inerte alla pressione di 3,0 atm vo-gliamo riempire due tipi di palloncini entrambi alla pressione di 1,3 atm. Il “tipo I” deve raggiungere il volume di 3,5 dm3, mentre per il “tipo II” il volu-me deve essere di 2,0 dm3. Durante l’operazione di riempimento dei palloncini la temperatura del gas non cambia ed è quella ambiente di 20 °C.

▶ Calcola il numero di moli di gas inerte.

▶ Calcola il numero di palloncini che è possibile ri-empire di entrambi i tipi cominciando a riempire prima il massimo numero possibile di palloncini di “tipo I”.

[3,7 mol; 19 di “tipo I” e 1 di “tipo II”]

Una lamina bimetallica è formata da due lamelle della lunghezza di 10,0 cm, una di ferro e una di zin-co, accoppiate come nel disegno e che vengono ri-scaldate di 150 °C.

▶ Qual è l’allungamento di ciascuna lamina?

▶ Qual è la differenza di allungamento fra le due la-mine?

▶ Cosa accade alle due lamine in seguito al loro al-lungamento?

[0,18 mm; 0,45 mm; 0,27 mm]

Una sfera di ferro di raggio 12,0 cm si trova in una stanza a una temperatura di 0,00 °C. Nella stessa stanza, si trova un palloncino elastico che contiene neon (massa molare 20,18 g/mol) che ha lo stesso volume della sfera. La temperatura nella stanza viene portata a 45,0 °C e il palloncino e la sfera aumenta-no di volume. La densità del ferro è 7,87 × 103 kg/m3, quella del neon è di 0,900 kg/m3. La pressione del gas al termine dell’aumento di temperatura è pari a 101 kPa.

▶ Calcola il rapporto tra l’aumento di volume della sfera e l’aumento di volume del palloncino.

[9,65 × 10−3]

Una coppia di ammortizzatori a gas equipaggia un’utilitaria di massa 1000 kg. Questi due ammor-tizzatori – ciascuno schematizzabile come un cilin-dro di diametro 5,00 cm e altezza, ad auto vuota, di 23,0 cm – sono montati nel sistema di sospensioni delle ruote posteriori. Sull’utilitaria salgono 4 per-sone, ciascuna di massa 70,0 kg. Considera il carico equamente distribuito tra asse posteriore e asse an-teriore. Inoltre, considera il gas contenuto negli am-mortizzatori come un gas perfetto che subisce tra-sformazioni a temperatura costante (Tamb = 20,0 °C).

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studio

loco

/Shutt

erst

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▶ Di quanto è variata la lunghezza degli ammortiz-zatori posteriori dopo che le 4 persone sono salite

a bordo?

[La lunghezza si è ridotta di 5,1 cm]

TEST

Due fili metallici A e B hanno la stessa lunghezza. Riscaldati alla stessa temperatura, A si allunga del doppio rispetto a B. Quindi:A il coefficiente di dilatazione di A è il doppio di

quello di B.

B il coefficiente di dilatazione di A è la metà di quello di B.

C il coefficiente di dilatazione di A è maggiore di quello di B.

D non si può dire nulla, senza sapere di che metal-li si tratta.

Quale fra i seguenti grafici rappresenta la relazione fra l’allungamento ∆l di una barra e la variazione ∆T di temperatura?

A

Δl

ΔT

B

Δl

ΔT

C

Δl

ΔT

D

Δl

ΔT

In un piano cartesiano rappresenta sull’asse y il vo-lume V e sull’asse x la temperatura T di un gas du-rante una trasformazione isocora. Come appare il grafico?A Una retta parallela all’asse x.

B Una retta parallela all’asse y.

C Una retta che passa per l’origine degli assi.

D Una retta con una pendenza positiva.

La legge di Boyle è valida:A in una trasformazione isobara.

B in una trasformazione isocora.

C in una trasformazione isoterma.

D in una trasformazione qualunque.

In quale delle seguenti affermazioni i valori numeri-ci non cambiano se si esprimono le temperature in gradi Kelvin anziché gradi °C?A la temperatura corporea è di circa 37 °C.

B la temperatura della stanza è aumentata di 10 °C.

C la temperatura di ebollizione dell’acqua è di 100 °C.

D la temperatura di questo corpo era di 58 °C.

Test di ammissione Corso di laurea in Biotecnologie 2012/2013

A gas cylinder has a volume of 0.02 m3 and contains 88 g of carbon dioxide at a temperature of 27 °C. The molar gas constant R = 8.3 J ∙ mol−1K−1. What is the gas pressure?A ≈ 101 kPa

B ≈ 149 kPa

C ≈ 201 kPa

D ≈ 249 kPa

Oxford University – Physics Aptitude Test (PAT) 2012/2013

In quali unità di misura si esprime il coefficiente di dilatazione lineare?A Kelvin.

B Metri fratto kelvin.

C Kelvin fratto metro.

D Kelvin alla meno uno.

Quale variazione di temperatura nella scala kelvin è equivalente alla variazione di 27 gradi nella sca-la Celsius?A 300 K

B 246 K

C 273 K

D 27 K


Le grandezze che caratterizzano lo stato di un gas sono:A Massa, volume, pressione e temperatura.

B Numero di Avogadro, densità, pressione e tem-peratura.

C Massa, volume, densità e temperatura.

D Massa, volume, pressione e reattività (attitudine a reagire più o meno facilmente con altre sostan-ze).

1

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5

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È stata introdotta una nuova unità di misura per la temperatura, il grado Caldo. Il simbolo della nuova grandezza è °Cd. Si sa che una temperatura T °Cd, misurata in gradi Caldo, sta nella seguente relazione con la medesima temperatura misurata in gradi Cel-sius (°C): ,°Cd °C 20 °CdT T1 5 #= -

In base a ciò la temperatura di 100 °Cd corrispon-de a:

A 150 °C

B 130 °C

C 120 °C

D 80 °C


Un’ampolla di vetro è riempita con un liquido colo-rato e chiusa con un tappo. Attraverso il tappo vie-ne inserito un tubo sottilissimo che pesca nel liqui-do. In figura si vede il livello della colonna di liquido quando l’ampolla si trova, rispettivamente, a 0 °C, a 100 °C e ad una temperatura incognita X.

80

40

0

millim

etr

i

0 °C 100 °C X °C

Il liquido si espande in modo proporzionale alla va-riazione della temperatura. Quanto vale la tempe-ratura X?

A 40 °C

B 50 °C

C 60 °C

D 80 °C


Il disegno mostra un esperimento per indagare l’ef-fetto di un aumento della temperatura in una sbar-retta di acciaio.

calore

supporto fisso barretta di acciaio indice mobile

rullo conindice mobile

▶ Che cosa pensi di vedere dopo l’esperimento?

A B

C D


Un termometro immerso in acqua e ghiaccio indica una temperatura di 1 °C. Lo stesso termometro po-sto nel vapore immediatamente al di sopra di un re-cipiente con acqua in ebollizione indica 101 °C. Se si usano le letture di questo termometro per misu-rare la differenza di temperatura fra l’acqua in ebol-lizione ed il ghiaccio fondente di quanti gradi risulta sbagliato il risultato?A 2 °C in meno.

B 1 °C in meno.

C Zero.

D 1 °C in più.


Un palloncino elastico viene riempito con del gas ed ermeticamente sigillato. Come cambia la massa, il volume e la densità del gas contenuto nel pallon-cino se viene raffreddato?

Massa Volume Densità

A Diminuisce Rimane lo stesso Aumenta

B Aumenta Rimane lo stesso Diminuisce

C Rimane la stessa Diminuisce Aumenta

D Rimane la stessa Aumenta Diminuisce


In un termometro a mercurio si misurano le lun-ghezze della colonna di mercurio in tre situazioni:

Situazione Lunghezza

(mm)

Il bulbo è immerso in acqua e ghiaccio 20

Il bulbo è immerso in acqua in ebollizione

170

Il bulbo è immerso in un liquido X 50

▶ Qual è la temperatura del liquido X?

A 20 °C

B 25 °C

C 30 °C

D 33,3 °C


Un blocco omogeneo di legno galleggia in una va-schetta piena d’acqua a 1 °C. La parte immersa del blocco ha volume V. Cosa accade al volume V del-la parte immersa se la temperatura dell’acqua viene portata lentamente da 1 °C a 20 °C?A Rimane costante.

B Diminuisce dall’inizio alla fine del riscaldamento.

C Diminuisce fino a che la temperatura è di 4 °C e poi aumenta.

D Aumenta fino a che la temperatura è di 4 °C e poi diminuisce.


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TOTALE ........ /100 punti

SEI PRONTO PER LA VERIFICA?

TEST

Un gas perfetto subisce una trasformazione in cui il volume e la pressione si riducono a 1/3 del valore iniziale. La temperatura:A si riduce a 1/3 del valore iniziale.

B rimane costante.

C si riduce a 1/9 del suo valore iniziale.

D triplica il suo valore.

...../7

Se la prima legge di Gay-Lussac è valida, quale im-portante proprietà vale per la costante α?A Ha un valore triplo di quello valido per i solidi.

B Ha un valore triplo di quello valido per i liquidi.

C Ha lo stesso valore per tutte le sostanze allo stato gassoso.

D Ha un valore costante e diverso per ogni sostan-za allo stato gassoso.

...../7

Quando la temperatura di un gas aumenta da 30 °C a 60 °C a pressione costante, il suo volume:A raddoppia.

B si dimezza.

C resta costante.

D sicuramente aumenta.

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Nell’equazione di stato dei gas perfetti, la tempera-tura assoluta è: A direttamente proporzionale al numero di moli

del gas.

B direttamente proporzionale solo al volume del gas.

C direttamente proporzionale solo alla pressione del gas.

D direttamente proporzionale al prodotto della pressione e del volume del gas.

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PROBLEMI

Una sbarretta di vetro lunga 30 cm viene scaldata in modo che la sua temperatura aumenti di 65 °C. Calcolare l’allungamento della sbarretta, sapendo che il coefficiente di dilatazione lineare del vetro è λ = 9 × 10−6 °C−1.

[2 × 10−4 m]

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Un contenitore cilindrico ha un diametro interno di 30,0 cm ed è chiuso ermeticamente da un pistone li-bero di scorrere senza attrito. Al suo interno è sta-ta introdotta una certa quantità di elio che, a 25°C, occupa un volume di 13,0 L. Successivamente il gas viene portato alla temperatura di 90°C, mantenendo costante la pressione sul pistone.

▶ Di quanti centimetri si alza il pistone?

[4,0 cm]

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La pressione sulla superficie marina è pari a quella atmosferica standard, cioè 101 kPa. Quando ci si im-merge in acqua, ad ogni 10 m di discesa corrisponde un aumento di pressione di 101 kPa. Un subacqueo porta con sé un pallone gonfio d’aria.

▶ Quale profondità deve raggiungere affinché il vo-lume del pallone diminuisca del 60%? (Considera la temperatura dell’acqua pressoché costante.)

[circa 15 m]

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Una stanza è riempita di aria alla temperatura di 20,0 °C e alla pressione di 101 kPa. La densità dell’a-ria nella stanza è di 1,204 kg/m3. Un bambino, nella stanza, regge un palloncino contenente 0,0100 kg di elio.

▶ Quale volume dovrebbe avere il palloncino per-ché, una volta lasciato il palloncino, questo con-tinui a galleggiare a mezz’aria (cioè senza alzarsi, né abbassarsi)?

▶ Se il palloncino ha effettivamente il volume appe-na calcolato, a quale temperatura dovrebbe tro-varsi il gas, se vogliamo che esso abbia una pres-sione di 101 kPa? (Ricorda che il peso atomico dell’elio è 4,00 g/mol.)

[8,31 dm3; 40,4 K]

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