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LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES
• Definición de potencia y signos de esta.
• Multiplicación y división de potencias de igual base.
• Potencia de potencia.
• Potencia de un producto y de un cuociente.
• Multiplicación y división de potencias de igual exponente.
• Potencias de exponente cero, negativo y fraccionario
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Potencias:
Una potencia es el producto de un número "a" por si
mismo "n" veces lo que se denota por an ; con a ∈IR y
n ∈ Z ; luego:
a......aaana ⋅⋅⋅⋅=n veces a
donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el producto a obtener es la potencia.
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Ejercicios:Calcular aplicando la definición las siguientes potencias indicadas:
8⋅8=645⋅5⋅5=125
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32
(a) 82 =
(b) 53 =
(c) (-3)4 =
(d) (-2)5 =
(e) (-12)2 =
(f) 73 =
(g) 44 =
(h) (-3)5 =
(-12)⋅(-12)=144
7⋅7⋅7=343
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)=-243
4⋅4⋅4⋅4 = 256
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Notar que:
(c) Si la base es negativa, se indica esta entre paréntesis; así:
(a) Si el exponente es par, la potencia es siemprepositiva.
(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.
(-5)2 =
(-4)3 =
-52 =
-43 =
(-2)4 = -24 =
En el caso de tener exponente par, podemos ver la diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.
(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25
(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16
-1 ⋅ 43 = -1 ⋅ 64 = -64
-1 ⋅ 24 = -1 ⋅ 16 = -16
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d) Al calcular y comparar:
i) (3 + 5)2 =
32 + 52 =
ii) (8 - 5)2 =
82 - 52 =
generalizando, se deduce que:
( 8 )2 = 64
9 + 25 = 34
( 3 )2 = 9
64 - 25 = 39≠ ≠
nbnan)ba(
nbnan)ba(
−≠−
+≠+
La potencia de una suma es distinta de una suma de potencias, de igual forma la potencia de una resta es distinta de una resta de potencias, luego la potenciación no es distributiva sobre la adición y sustracción.
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Propiedades de las potencias:
1) Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.
Ejemplos: Al calcular:
(a) 23 . 24 =
(b) 5-3 ⋅ 57 =
(c) 3 ⋅ 32 ⋅ 33=
(d) (-4)3 ⋅ (-4)-2 ⋅ (-4) =
23 + 4 =27= 128
5-3 + 7 = 54= 625
31+ 2+ 3 =36 = 729
(-4)3 + -2 + 1 = (-4)2 =16
(e) 21/2 ⋅ 25/2 =
nmanama +=⋅
26/2 = 23 = 821/2 + 5/2 =
1
1
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(g) (-3)2 ⋅ ⋅ (-3)5 = 81(-3)-3 = (-3)4
(h) (-1)32 ⋅ (-1)-15 ⋅ (-1)43 = (-1)32 + -15 + 43 = (-1)60 = 1
Recíprocamente se tiene que ; luego:namanma ⋅=+
Ejemplos:
(a) 42+3 =
(b) 5x+y+z =
42 · 43
5x ·5y · 5z
(f) . 23 = 256 = 2825
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2) Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.
nmana:ma −=
Ejemplos: Al calcular:
(a) 27 : 24 =
(b) 59 : 55 =
(c) (-3)-2 : (-3)-5 =
(d) (-4)3 : (-4)-2 =
(e) 68/3 : 62/3 =
27 - 4 = 23 = 8
59 - 5 = 54 = 625
(-3)-2 - -5 = (-3)-2+5 = (-3)3 = -27
(-4)3 - -2 = (-4)3+2 = (-4)5 = -1.024
68/3 - 2/3 = 66/3 = 62 = 36
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(h) (-1)-12 : (-1)-25 =
Recíprocamente se tiene que ; luego:na:manma =−
Ejemplos:
(a) 35 - 2 =
(b) 5x – y - z =
(f) : 43 = 256 = 4447
= (-3)4(g) (-3)2 : = 81(-3)-2
(-1)-12 - -25 = (-1)-12 + 25 = (-1)13 = -1
35 : 32
5x : 5y : 5z
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3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
nmanma ⋅=
Ejercicios:
(a) (32)3 =
(b) (x5)4 =
(c) ((a2)3)5 =
(d) (615)1/5 =
(e) (((-3)5)9)1/15 =
(f) ((-1)3)6)7 =
36 = 729
x20
a30
615/5 = 63 = 216
(-3)45/15 = (-3)3 = -27
(-1)126 = 1
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4) Un producto elevado a un exponente común, es igual al producto de cada uno de los factores elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la multiplicación.
( ) nbnanba ⋅=⋅Ejercicios:
(a) (2 ⋅ 3)2 =
(b) (-5 ⋅ 2)3 =
(c) (2 ⋅ -4)4 =
(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 =
22·32 = 4 · 9 = 36
(-5)3 ·23 = -125 · 8 = -1.000
24 · (-4)4 = 16 · 256 = 4.096
(-2)5·(-3)5·(-1)5 = -32 ·-243 ·-1= -7.776
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(e) (-3x2y3)5 =
(f) (2a6b4c3d)7 =
Ejecicios:
(a) 34 . 24 =
(b) x6 . y6 =
(3 · 2)4 = 64 = 1.296
(x·y)6 = (xy)6
27·(a6)7·(b4)7·(c3)7·(d1)7= 128a42b28c21d7
(-3)5·(x2)5·(y3)5 = -243x10y15
Recíprocamente se tiene que ; luego
se deduce que para multiplicar potencias de igual
exponente, se eleva el producto de las bases al exponente común.
n)ba(nbna ⋅=⋅
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(c) 44 ⋅ (-5)4 =
(d) 22 ⋅ 32 ⋅ 42 =
(e) (-8)3 ⋅ 103 =
(f) (-2)3 ⋅ (-3)3 ⋅ (-5)3 =
(g) (2x)3 . (4x)3 =
(h) (-3a2b)2 . (2a3b)2 =
(4 · -5)4 = (-20)4 = 160.000
(2 · 3 · 4)2 = 242 = 576
(-8 · 10)3 = (-80)3 = -512.000
(-2 · -3 · -5)3 = (-30)3 = -27.000
(2x · 4x)3 = (8x2)3 = 83·(x2)3 = 512x6
(-3a2b ·2a3b)2 = (-6a5b2)2
= (-6)2·(a5)2·(b2)2 = 36a10b4
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5) Al tener un cuociente elevado a un exponente común, es igual al cuociente de cada uno de los términos elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la división.
( ) nb:nanb:a =
nb
nan
ba
=
Ejercicios:
(a) =
5
32
(b) =
−
3
43
=53
5224332
=−
34
3)3(6427−
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(c) =
−
4
52
(d) =
5
101
=
3/1
92
65(e)
(f) =
5
3y
2x
(g) =
3
3b4
2a3
=−
45
4)2(62516
=510
51000.100
1
=3/92
3/65 =32
25825
=5)3y(
5)2x(15y
10x
=3)3b4(
3)2a3(=
⋅
⋅3)3b(34
3)2a(339b64
6a27
=3/1)92(
3/1)65(
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Recíprocamente se tiene que:
n)b:a(nb:na =
n
ba
nb
na
=
luego se deduce que para dividir potencias de igual exponente, se eleva el cuociente de las bases al exponente común.
Ejercicios:
(a) 183 : 93 =
(b) 754 : 254 =
(18 : 9)3 = 23 = 8
(75 : 25)4 =34 = 81
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=
⋅
5
45
158
(c) (-35)5 : 75 =
(d) 1353 : (-15)3 =
(e) (-96)4 : (-12)4 =
(h) (-36a5)6 : (12a2)6 =
=
5
54
:5
158(f)
=
−
3
56
:3
52
(g)
(-35 : 7)5 =
(135 : -15)3 =
(-96 : -12)4 =
(-5)5 = -3.125
(-9)3 = -729
(8)4 = 4.096
=
5
54
:158 =
5
32 =
53
52
-127
3 1
12
=
− 3
56
:52 =
⋅
−3
65
52
1 3
1-1
=−
33
3)1(=
−3
31
32243
(-36a5 : 12a2)6 = (-3a3)6
= (-3)6·(a3)6 = 729a18
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6) Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevada al mismo exponente , pero positivo.
na
1na =−na
nbn
abn
ba =
=
−
Ejercicios:
(a) (5)-3 =
(b) (-3)-5 =
(c) =−
4
32
=35
1
1251
=− 5)3(
1=
− 2431
2431
−
=
4
23 =
42
43
1681
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=−
−
3
75(d)
(e) (a)-3 =
(f) (-2x3)-5 =
=−
3
y5x3(g)
=
−
3
57 =−
35
37
125343
−
3a
1
=− 5)3x2(
1 =⋅− 5)3x(5)2(
1=
− 15x32
115x32
1−
=
3
x3y5
=3)x3(
3)y5( =⋅
⋅3x33
3y353x27
3y125
=
−
4
3a2
2b5=
−4)3a2(
4)2b5(=
⋅
⋅−4)3a(42
4)2b(4)5((h)4
2b5
3a2−
− = 12a16
8b625
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7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.
10a =
(a) 30 =
(b) (-2)0 =
(c) =
−
0
75
(e) (-5)0 + 30 + 70 =
(f) 3x0 - 2y0 + 5z0 =
(d) ( ) =0
23
1
1
1
1
1 + 1 + 1 = 3
3·1 - 2·1 + 5·1
= 3 - 2 + 5= 6
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8) Toda potencia de exponente fraccionario se transforma a raíz.
n manm
a =
Notar que el denominador del exponente fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el numerador de este es el nuevo exponente de la base quedando esta expresión como cantidad subradical.
Ejercicios:
(a) 91/2 =
(b) 641/3 =
=2 19 =9 3
=3 164 =3 64 4
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(c) (-125)1/3 =
(d) 2561/4 =
(e) 43/2 =
(f) 82/3 =
=−3 1125 =−3 125 -5
=4 1256 =4 256 4
=2 34 =64 8
=3 28 =3 64 4
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Ejercicios Complementarios:
1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:
(a) Para x = -3 el valor de:
5x3 - 3x2 + 5x – 1 =
(b) =−
⋅
2
34
43
5·(-3)3 - 3·(-3)2 + 5·(-3) - 1
5·-27 - 3·9 + -15 - 1
-135 - 27 + -15 - 1
-162 + -15 - 1
-177 + -1
= -178
2
431
43
⋅
=
3
43
=
=2764
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(c) =
7
32
:3
32
(d) =⋅ 12)6/154/16(
73
32 −
=
=8116
4
32 −
=
4
23
=
42
43=
12)6/15(12)4/16( ⋅=
1212646 5= ⋅
2536 ⋅=
= 216·25
= 5.400
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=
4
81
:2
161(f)=
−
22
53(e)
43
21
:
24
21
=
12
21
:8
21
=
4
21 −
=
42=
= 16
22
35
=
4
35
=
=62581
43
45=
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(g) =
⋅
3
1653
158
=
5
421
:5
2035(h)
3
165
158
⋅=
3
61
=
=1
216
36
31=
1 1
3 2
5
421
:2035
=
5
214
2035
⋅=
5 1
5 3
1
151
3 =
=1243
5153
=
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(i) =−
−−−
33
2313
33
123
113
1−
271
91
31
−=
27192
=
127
92
⋅=3
116
= = 6
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2) Si y ¿Cuál de las relaciones es verdadera?
2 3a b 32⋅ = 3a 8=
A) a = b
B) > 2·a
C) 2·a >
D) b < a
E) a < b
2b
2b
Si 3a =8 ⇒ a = 2
Si a = 2 ⇒ 2 3a b =32⋅2 32 b =32⋅
34 b =32⋅
323b = =84
⇒ b = 2
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3) Si A = ; entonces = ?32x 4A
A) 2x
B) 6x
C) 8x
D) 16x
E) 16x
12
12
12
12
7
3A=2x ⇒ 4A = 3 4(2x )
4 3 4= 2 (x )⋅
= 16 12x
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3 1 23 3 2: ?
2 2 3
− − − ⋅ =
4)
A) 4/9
B) 9/4
C) 81/16
D) 64/729
E) 729/64
3 1 23 3 2:2 2 3
− − − ⋅ =
432
− :
232
=
4 232
− − =
632
− =
623
=
64729
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5 5 3 36 4 5 2: ?
8 9 6 5
⋅ ⋅ = 5)
A) 9
B) 3
C) 1
D)
E)
1319
5 36 4 5 2:
8 9 6 5
⋅ ⋅ =
2
3
1
2 3
1 1
1
1
15 31 1
:3 3
=
5 313
− =
213
= =
19
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6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s):
2n 3b
l) Si a = 64 ⇒ b = 2
ll) Si n = 8 ⇒ a = 64 lll) Si b = 2 ⇒ n = 8
A) Sólo l y ll
B) Sólo l y lll
C) Sólo ll y lll
D) Todas
E) Ninguna
2a=n ⇒; si a = 64 264=n ⇒ 8 = n
3n=b ⇒; si n = 8 38=b ⇒ 2 = b
⇒ 2a=8 ⇒ a = 64
si n = 8 con 2a=n
⇒ 3n=2 ⇒ n = 8
si b = 2 con 3n=b
üüü
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7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que es un número positivo si:
n(a-b)
(1) El exponente “n” es par.
(2) Si se cumple que a > b.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
SiExponente par ⇒ potencia positiva.
Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva
Si
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Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10
1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256
e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375
2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91an ≠ na (a + b)n ≠ an + bn (a - b)n ≠ an - bn
3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .925
827
−
4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .9
168
125−
5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .1
729164
−
6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 .1216
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7) a) 225 b)-1.000.000 c) d) e) 128 .278
1256
8) a) b) c) d) e)827
1219
164
− 772
−3
616
9) a) 25 b) -27 c) d) -27 e) .132
164
10) a) b) c) d) e) 243 .1
161
243−
49
125216
11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3
12) a) 4 b) 2 c) d) 8 e) 2 .12
13) E 14) D 15) C 16) A
17) D 18) C 19) A 20) D