clase 1 propiedades de las potencias
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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
Clase 1Propiedades de las potencias
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APRENDIZAJES ESPERADOS
• Interpretar la potencia de 10 y la notación científica
en situaciones cotidianas.
• Aplicar propiedades y operatoria de potencias (multiplicación,
división, potencia de potencia) en la resolución de problemas.
• Transformar números decimales y enteros múltiplos de 10 a potencias de 10.
• Comprender la definición de potencias
de base racional y exponente entero
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Contenidos
1. Definición de potencias• Base entera y exponente entero• Base racional y exponente entero
2. Signos de una potencia• Exponente par• Exponente impar
3. Propiedades• Operaciones• Exponentes de una potencia
4. Potencia de 10• Definición• Notación científica
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1. Definición de potencias
Una potencia es una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama base; la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente.
an =
a ∙
a ∙
a ∙
a ∙ … a ∙
∙ a
n veces
44 =
4 ∙
4 ∙
4 ∙4 =
(– 5)2 = (– 5)∙ (– 5) = 25
256
Ejemplo:
Nota: – 52 ≠ (– 5)2, ya que: – 52 = (–1)·(5 ∙ 5) = – 25 y
(– 5)2 = (– 5) · (– 5) = 25
.00≠natal que,
1.1 Base entera y exponente entero
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1.1 Base racional y exponente entero
1. Definición de potencias
En las potencias de base racional, el exponente entero eleva tanto aldenominador como al numerador.
2) 2
5
4
= 16
625=
2
5
2
52
52
5∙ ∙ ∙– – – – –
Ejemplos:
1) 8
3
2
=64
9=8 8
3 3
∙
3=8
2
2∙
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2.1 Exponente par
2. Signos de una potencia
Las potencias con exponente par, son siempre positivas.
(– 13) ∙ (– 13) = 1691) (– 13)2 =
2) 3
7
4
=3
7∙ ∙– –
Ejemplos:
7– 3
7∙–
7– 3 3
2.401 81 =
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En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.
Ejemplos:
1) (– 9)3 = (– 9) ∙ (– 9) ∙ (– 9) = – 729
2) 2
3
5
= = 32243
2
32
32
32
32
3∙ ∙ ∙ ∙
2.2 Exponente impar
2. Signos de una potencia
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3.1 Operatoria
3. Propiedades de potencias
1) De igual baseSe conserva la base y se suman los exponentes.
an+man ∙ am =
62 + 362 ∙ 63 = = 65
2) De igual exponente:
Ejemplos:
Se multiplican las bases, conservando el exponente.
(a ∙ b)nan ∙ bn =
67 ∙
24 ∙
34 =
67 ∙
(2 ∙ 3)4 = 67 ∙
64 = 611
• Multiplicación
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1) De igual baseSe conserva la base y se restan los exponentes.
an – m an : am =
2) De igual exponente:
Ejemplos:
Se dividen las bases, conservando el exponente.
(a : b)nan : bn =
532
54= = 528532 – 4
(Con a distinto de cero)
(Con b distinto de cero)
87 : 24
164
= 87 : (16 : 2)4 = 87 : 84 = 83
3.1 Operatoria
3. Propiedades de potencias
• División
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Se multiplican los exponentes.
(an )m = an ∙ m
(1112)3 = 1112 ∙ 3 = 11 36
Ejemplo
3. Propiedades de potencias
3.1 Operatoria
• Potencia de una potencia
Propongan un ejemplo para el caso de base racional
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= 23
3 23
3ya que:
y = 23
3= 2∙2∙2
3 83
23
3= = 8
27 23
23
23
∙ ∙
Nota: No existe una regla para sumar o restar potencias, sin embargo cuando se tiene suma o resta de potencias exactamente iguales, se pueden reducir como términos semejantes.
2 3
2
32
32
32
3+ + + + =
m m m m m5 ·
2
3
mEjemplo
3. Propiedades de potencias
3.1 Operatoria
• Operaciones entre potencias
FACTORIZAR!
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a0 = 1 (Para todo a distinto de cero)
Ejemplo
1
5– 3,8
9 – (16 – 7)
=1
5– 3,8
0
= 1
00 : indefinido
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente 0
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Ejemplo
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.
1) Potencia de exponente negativo y base entera:
(Con a distinto de cero)
1 a– n =
a
n
= 1 an
3–3 ∙ 12
4
3
= ∙ (3)3
3
3 1
= 3 1
∙ 3 3= 1
3
= 1
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente negativo
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Ejemplo
2) Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:
a
b
– n
= b
a
n
(Con a distinto de cero
y b distinto de cero)
23=
3 32
3
– 3
=
33
2=
27
8__
3. Propiedades de potencias
3.2 Exponentes de una potencia
• Exponente negativo
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4. Potencia de 10
1) Con exponente positivo:101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
32.000.000 = 32 ∙ 1.000.000
= 32 ∙ 106
.
.
.
Ejemplo
4.1 Definición
Si la base de una potencia es 10, el exponente indicará la cantidad de ceros que acompañarán al 1 inicial.
Si el exponente tiene valor 1, entonces solo un cero acompaña a uno, si es 2 entonces dos ceros lo acompañan, y así sucesivamente.
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2) Con exponente negativo:
Ejemplo
0,1
100= 1 0,01
10–3 = 11.000
= 0,001
10–1 =
10–2 =
.
.
.
10= 1
51072100.000
720,00072 −⋅==
4. Potencia de 10
4.1 Definición
Exponentes negativos indican el número de
decimales después de la coma.
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4. Potencia de 10
4.2 Notación científica
Existen situaciones que suelen ser descritas a través de números muy grandes o muy pequeños. ¿Qué hacer en tal caso?
Expresar el número en notación científica
La notación científica corresponde a la escritura de cualquier número como una potencia de 10 multiplicada por un número entre 1 y 10, sin incluir a este último.
Ejemplo
51040002,3000.10040002,3002.340 ⋅=⋅=
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Síntesis de la clase
Signos de una potencia
Potenciasan = a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a
n veces
Propiedades Potencias de 10
Exponente par
Exponente impar
(– 2)2 = −2∙ −2 = 4
(– 2)3 = −2∙ −2 ∙ −2 =−8
an+man ∙ am =
(a ∙ b)nan ∙ bn =
Multiplicación
Divisiónan – m an : am =
(a : b)nan : bn =
(an )m = an ∙ m
Potencia de una potencia
101 = 10102 = 100
Exponente positivo
10-1 = 0,110-2 = 0,01
Exponente negativo
Notación científica
0,41=4,1* 10-1
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