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Potencias
de
Exponente Natural
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Potencias de exponente natural
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales.
a·a·a·a·a = a5 BASE
EXPONENTE
Ejemplo: La potencia de base 3 y exponente 5 es:
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243EXPONENTE
BASE
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Cálculo de potencias con la calculadora
Por ejemplo, para calcular (1,4)3 tecleamos:
y obtenemos como resultado en pantalla 2,744.
Para calcular potencias con la calculadora utilizamos la tecla xy o x^y
1 , 4 x^y 3 =
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Propiedades de las potencias de exponente natural
Producto de potencias de la misma baseSi multiplicamos dos potencias de la
misma base, el resultado es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la
suma de los exponentes.
an · am = an + m
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Multiplicación de potencias de igual base
32 44
44444
54
Se conserva la base y se suman los exponentes.
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Producto de potencias de la misma baseLos factores del producto
42 · 45 · 43
Puede hacerse de dos modos:
son potencias que tienen la misma base.
Modo 1º Directamente, multiplicando:= 16 · 1024 · 64 = 1048576
Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después:
42 · 45 · 43
= (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) =42 · 45 · 43 42+5+3 = 410
Luego, 42 · 45 · 43 = 42+5+3
Es un producto de potencias de la misma base
2, 5 y 3 factores
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El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.
–2 = (–2)1 o 61 = 6
Ejemplos:
1. (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128,
utilizando la propiedad vista.
También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.
2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3)
= (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6
Igualmente: (b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7
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Cociente de potencias de la misma base
El dividendo y el divisor de 65 : 63
Puede hacerse de dos modos:
son potencias de la misma base
Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo:
Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando:
65 : 63
Es un cociente de potencias
de la misma base
36216
7776
6
63
5
2523
5
666·66·6·6
6·6·6·6·6
6
6 65 : 63 = 65–3
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Cociente de potencias de igual base
37 44
444
4444444
44
Se conserva la base y se restan los exponentes.
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Cociente de potencias de la misma base
Si dividimos dos potencias de la misma base, el resultado es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual
a la diferencia de los exponentes.
an : am = = an – m con n > mm
n
a
a
5
2
3
3 3 3 3 3 3
3 3
33
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Ejercicio:
El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.
(a) 27 : 24 = 27–4 = 23
El cociente 54 : 54 = 1
Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50
Se admite que:50 = 1; (–7)0 = 1
Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24
(b) (–5)6 : (–5)3
(b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3
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Multiplicación de potencias de igual exponente
38
342
424242
4442223432
Se conserva el exponente y se multiplican las bases.
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División de potencias de igual exponente
3
3
33
4
28
282828
22288828
Se conserva el exponente y se dividen las bases.
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Potencia de una potencia
La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia.
Puede hacerse de dos modos:
Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia:
Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:
(52)4 = 52 ·52 · 52 · 52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58 (52)4 = 52 · 4
Se llama potencia de una potencia
(52)4 = (25)4 = 390625
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Ejercicios
La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes.
1. Calcula: [(–2)4]2 [(–2)4]2 = (–2)4·2 = (–2)8 = 64
2. Calcula: [(35)4]2[(35)4]2 = 35·4·2 = 340
340 es un número enorme: tiene
20 cifras.
3. Calcula: {[(–1)3]9}7 {[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1
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Potencia de una Potencia
342
444 222
12444 22
4*32Se conserva el exponente y se
multiplican las bases.