E V A N D R O A G A Z Z I

dell' ]Yniversitb, di Gonov~

L'ARITMETICA

COME STRUMENTO DI RICERCA LOGICO-MATEMATICA

(Conferenza tenuta il 28 aprile 2967) *

SUNTO. - - Dopo ave r r i c h i a m a t o il ruolo gi~ svolto in p a s s a t o dal l ' a r i t - me t i ca come r f o n d a m e n t o n a t u r a l e >) del la m a t e m a t i c a , si p a s s a a cons ide- r a r e la n u o v a i m p o r t a n z a che q u e s t a d i sc ip l ina h a a s s u n t o helle r icerche lo- g i c o - m a t e m a t i c h e a t tua l i . A t t r a v e r s o u n ' a n a l i s i p iu t tos to d e t t a g l i a t a del teo-

r e m a di GSdel del 1931, si m e t t e irt ev idenza la funz ione d e t e r m i n a n t e che in esso svolge la cons ideraz ione de l l ' a r i tme t i ca come discipl ina << c o n t e n u t i s t i c a >) ed << o g g e t t i v a >).

Col passare del tempo sembra divenga sempre pifi difficile dire quale sia l 'oggetto della matematica, anzi, addi r i t tura se la matema- tica abbia un proprio oggetto. Anche senza rievocare la pit toresca f rase con cui B. Russell ha voluto sintetizzare un simile punto di vista, basra tener conto di quelli che sono i rami pifi carat ter is t ic i della matemat ica moderna, o anche solo delle impostazioni pifi re- centi date a branche delle matematiche pur vetuste e cariche di t ra- dizione <~ contenutistica >~, per rendersi eonto come la spinta verso il pi~ alto grado di astrazione e verso 1' impostazione purame.nte for- male siano ormai penetrate ovunque. Non solo, quindi, i punt i di vista intorno alla matematica, ma ormai anche la matemat ica come si f~ paiono confermare adeguatamente il giudizio sopra ricordato.

Tuttavia, anche riconoscendo questa situazione di fatto, lo stu- dioso at tento non pub fare a meno di ammettere che, nonostante tu t te le dichiarazioni esplicite in contrario, un nucleo di conoscenze primitive, un complesso di e ntit~ matematiche << date >> si conserva al di sotto di tu t ta la costruzione formale. Con cib non si vuole a l l u - dere al fa t to che anche l 'operare formale ricostruisce in qua lche

* P e r v e n u t a in t i p o g r a f i a iI 15 n o v e m b r e 1967.

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modo un complesso di entit~ logiche che si o f f rono all' intelletto del r icerca tore con loro cara t te r i d i r oggettivitA >>, con s t ru t t u r e e leggi che si p resen tano come un universo da scoprire ben pi~ che come un gioco l iberamente progettabi le ed a rb i t r a r i amen te modificabile. Questo f a t t o ~ innegabile, ma la sua analisi condurrebbe forse t roppo lontano e probabilmente costr ingerebbe il discorso a Iasciare t roppo presto il t e r r eno matemat ico per avven tura rs i su quello della filo- sofia e dell 'epistemologia. Quello che si vuole invece ora esplici tare ~ un f a t to di pifi immediata verifica, ossia il f a t to che una ben pre- cisa disciplina matemat ica (l 'ari tmetica), intesa non come cos t ru t to

f o r m a l e , ma come sapere oggettivo, contenutistico, intui t ivo a t to rno a cert i enti (i humeri naturali), r isulta uti l izzata propr io nelle r icer-

�9 che pifi delicate che s tanno alla base delle moderne impostazioni for- malistiche. In questo senso l ' a r i tmet ica pare t o rna re a r ivendicare

�9 quella p re roga t iva di <~ base naturale >> della matemat ica che essa pos- �9 sedeva a livello <~ ingenuo >> fin dalle origini della matemat ica occi- dentale, che essa si e ra vista riconoscere nuovamente al t e rmine del t ravagl io r critico >> subito dall 'analisi nel secolo scorso, e che pa reva invece perduto dope la cosiddetta <~ crisi dei fondament i >>, che ha

t r a v a g l i a t o la matemat ica all' inizio del nostro secolo.

L A FONDAZIONE CRITICA D E L L ' A N A L I S I E LA S U A <~ A R I T M E T I Z Z A Z I O N E >>.

P e r valutare meglio questa specie di << r i to rno >> dell' a r i tmet ica

pub essere abbastanza utile, anche se non indispensabile, r ievocare

in pochi t r a t t i le vicende che videro questa diseiplina dappr ima gua-

d a g n a r e e poi perdere la cara t ter i s t ica di base pe r cosi dire <~ na tu- rale >~ della matematica.

Tu t t i sanno che l'analisi ot tocentesca si s tacca cara t ter i s t ica- mente da quella del secolo precedente perch, , accanto alle grandi ri- cerche tecniche che possono senz 'al t ro essere considerate come na- tu ra le prosecuzione del lavoro matemat ico svolto nel Settecento, avanza delle esigenze di r igore p r ima sconosciute. Natura lmente , a p romuovere queste esigenze non fu rono tan to le cri t iche di n a t u r a logica e filosofica che, spesso assai acute e pert inent i , gi~ da molto tempo erano s ta te diret te contro le oscurit~ concettuali che avvol- gevano i fondament i del calcolo infinitesimale, quanto piut tos to la constatazione che ormai, senza adeguate precisazioni dei concerti di fondo, lo stesso lavoro tecnico r ischiava di doversi arenare , E ' su- pe r f l uo r icordare come algoritmi fondamentat i (quali le serie) si t ro- vassero isterilit i dall 'oscurit~ sussistente circa le condizioni pe r un

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]oro uso sicuro e come i rapport i sussistenti f r a essenziali propriet~ delle funzioni, quali continuitY, derivabilitY, integrabilit~, non pores- sero venire adeguatamente studiat i a causa della troppo scarsa pro- cisione che questi concetti avevano nella loro rappresentazione in- tui t iva.

Fu Cauchy, come no~o, ad iniziare in modo consapevole ed el- ficace questo lavoro di sistemazione: la definizione r igorosa e for- malmente esplicita di limite, da lui fornita, consentiva di guadagnare quasi d 'un colpo solo tut to un fascio di r isultati e di chiarificazioni concettuali, quali la precisazione del concerto di convergenza di una successione, di somma di una serie, di infinitesimo e di infinito, di continuit~ di una funzione, di derivata e di integrale, uni tamente ad una pr ima enunciazione delle condizioni per l 'esistenza di certi enti, o di certe propriet~ e per l'eseguibilit~ di certe operazioni dell'ana- lisi infinitesimale.

Se consideriamo da vicino le precisazioni di Cauchy (incomin- ciando gi~ da quella pifi importante e <( fondante >>, ossia da quella del concer di limite), r iscontriamo facilmente un carat tere in esse, che non sarebbe pi~ stato smentito neppure dagli altri matematici che proseguirono poi lo sviluppo dell' indirizzo <~ critico >) da lui ini- ziato, ossia lo svincolamento da r i fer imenti intuitivi a favore di <~ definizioni >> di na tura r igorosamente formale. Non ~ il caso di sof fermarc i a confermare con esempi questa affermazione, del resto assai semplice da verificare. Piuttosto giova osservare che, cosi fa- cendo, l 'analisi veniva costituendo il suo stato di scienza autonoma, di disciplina matematica autosufficiente, il quale fino a quel mo- mento !e era sostanzialmente mancato.

Non ~ eccessivo, infatti , sostenere che fino a quel momento l 'analisi aveva svolto quasi esclusivamente il ruolo di scienza ausi- l iar ia nei confronti, particolarmente, della geometria e della fisica. CiS, del resto, era una conseguenza delle sue stesse origini che, in due filoni sufficientemente ben distinti, r iannodano la scoperta dei due procedimenti fondamentali del calcolo infinitesimale, o ssia dell' into- grazione e della derivazione, ai classici problemi geometrici delle quadra ture e della ricerca di tangent i da un lato e ai problemi fisici del calcolo di baricentri e della determinazione di velocit~ is tantanee dall 'altro. La stessa doppia <~ scoperta >) del calcolo rispetta, nella di- cotomia Leibniz-Newton, questa duplice s orgente geometrico-fisica dei suoi concerti, che era poi r imas ta inerente anche agli svi!uppi successivi, non consentendo di <~ pensare >> in analisi senza ricondursi a certe intuizioni geometriche o fisiche fondamentali .

S e m i n a r i o 3Ia temat ico e I:isico 14

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Ebbene, lo sforzo definitorio di Cauchy significa proprio u n a pr ima ro t tura di questa situazione, a t t raverso cui gli enti dell 'ana- tisi appaiono pensabili indipendentemente dalle immagini fisiche e geometriche che di solito li avevano carat terizzati in precedenza, e il punto pi~ significativo in questo i t inerar io logico pub considerars i conquistato quando Weierstrass fornisce i famosi esempi di f u n - zioni continue e non derivabili, ai quell l' intuizione geometrica non riesce ormai pi~ a f a r corrispondere 1' immagine correlativa di curve continue, ma ovunque prive di tangente.

A questo punte si pub ben dire che l'analisi, dismessi i sur oggetti tradizionali e t radott i i suoi concerti base in definizioni pu- ramente formali , a t t raversa una breve fase in cui sembra quasi p re - sentarsi con i carat ter i as t ra t t i della matemat ica dei nostri giorni; ma l' impressione ~ di breve durata, poich~ i matematici ottocen- teschi non ta rdano ad individuare per l 'analisi uno specifico oggetto, ossia i numeri reali, visti appunto come quel sistema di enti mate - matici, anzi, pill specificamente, di << humeri >>, entro, il quale si pub eseguire senza restrizioni l 'operazione di limite e che gode della ca- ra t ter is t ica della continuitY. E' proprio in questo essere riusciti a sosti tuire le precedenti immagini fisico-geometriche con dei humeri che consiste un primo senso di quella famosa << aritmetizzazione det- l 'analisi >>, la quale costituisce la fase pi~ ma tu ra di sviluppo di quella << esigenza di rigore >> con cui si era pra t icamente aper ta la v i - cenda dell'analisi ottocentesca. Ben presto, perb, questa r ar i tmet iz- zazione >> doveva caricarsi di un senso assai pi~ profondo e impe- gnativo, non limitandosi pi~ a significare che una certa specie d i humeri era venuta a presentarsi come l 'oggetto proprio dell'analisi, ma addir i t tura che l 'aritmetica, ossia la teoria dei numeri naturali, si presentava come la base sulla quale la stessa analisi poteva ve- nire edificata. Proprio nella seconda met~ dell'Ottocento, infatt i , si realizzano le ben note << costruzioni >> del s is tema dei numeri in ter i e dei humeri razionali a partire dai naturali e, da ultimo, tutta la

gamma delie << costruzioni >> dei reali a partire dai razio.nali, col che

sembrava di poter toccare con mano che, una volta dati i numeri.

naturali con le Ioro usuali propriet&, tutti gli altri tipi di humeri

possono ricavarsi a partire da questi. La notissima frase di Kro-

necker: << Dio ha ratio i numeri naturali, tutto il resto ~ opera del-

l'uomo 7>, da lui stesso precisata con l'aggiunta: << & necessario che

tutti i risultati della pi~l profonda ricerca matematica siano espri-

mibili nelle semplici forme delle propriet~ dei humeri naturali >>, ha

proprio il signifieato di questa profonda convinzione di Doter con-

L~ARITMETICA COME STRUMENTO DI RICERCA LOGICO-MATEMATICA 195

s iderare l 'a r i tmet ica come la base per cosi dire << natura le >> dell' in-

t e ra matematica. Dedekind e Peano, sviluppando la fondazione as-

siomatica dell 'ari tmetica, compivano alla fine del secolo un 'opera che

aveva appunto il senso di una esplicitazione r igorosa di tale ubi co~-

s i s tam dell' intero edificio matematico, poggiante sul concetto di nu-

mero na tura le e sulle sue intr inseche ed oggettive proprietY. Le ben

note appassionate difese che Peano condusse circa la << pr imi t iv i t~ >>

e la indefinibilit~ del concetto di numero naturale non rivelano sol-

tan to la presenza di un'esigenza logico-metodologica (che obbliga a

riconoscere la necessit~ di un punto di par tenza assunto come pr imi-

t ivo in ogni teor ia deduttiva), ma qualcosa di pif~ profondo, ossia la convinzione che il numero na tura le ~ per intr inseca na tu ra tale

entit~ primit iva.

L A RICERCA DI UNA FONDAZIONE ULTERIORE PER L 'ARITMETICA.

La creazione cantor iana della teo.ria degli insiemi negli ultimi t re

decenni del l '0 t tocento present5 tu t t av ia quasi all' improvviso un oriz-

zonte matemat ico del tutto, nuovo, ent ro il quale la posizione di pri-

vilegio e di pr imarie t~ raggiun ta dall 'ar i tmetica doveva andare ra-

p idamente perduta. All' in terno di tale. teoria, infatt i , lo stesso con-

cetto di numero natura le r isul ta definibile, rivelandosi solo come caso par t icolare di un concerto pill ampio (quello di numero cardi- hale) che non ~ primitivo, ma risulta definibile a par t i re dai con- cetti p.ifl elementari della, teoria, come quello stesso di insieme e quello di corrispondenza biunivoca t ra elementi di insiemi diversi.

Anche le operazioni dell 'ari tmetica, come noto, riescono defi- nibili sulla base delle sole operazioni insiemistiche.

Mentre Cantor conduceva questo rivoluzionamento sul t e r r eno squis i tamente matematico, un al tro grande scienziato - - il logico Frege - - por tava innanzi indipendentemente da lui un 'opera pro- fondamente analoga intesa a mos t ra re c h e l a matemat ica altro non

che una branca della logica e, a tal fine, mostrava come i concerti e le operazioni dell 'ar i tmetica possano ricavarsi a pa r t i r e da concerti e operazioni logiche. Nonostante la reciproca indipendenza, apparve pres to assai chiaro che t ra 1' impostazione cantor iana e quella f re - geana sussiste una quasi immediata traducibilit~, cosicch~ oggi si par la di posizione cantoriano-fregeana, facendo coincidere con essa l 'origine del << logicismo >>, ossia di quella teoria che considera la ma temat i ca come rame della logica.

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A noi non interessa qui occuparci di una simile teorizzazione, ma semplicemente osservare che, con l ' a f fe rmars i di essa, l 'ar i tme- tica aveva perso la sua considerazione di << base naturale >> della ma- tematica, cedendo questa prerogat iva alla teoria degli insiemi o alla logica, a seconda della s fumatura che si preferisse dare alle teorizza- zioni logiciste.

LE ANTINOMIE E LA << CRISI DEI FONDAMENTI >> DELLA MATEMATICA.

I1 nuovo assetto concettuale non era perb nato sotto buona stella : Frege s tava ult imando la s tampa del secondo volume dei suoi GmLnd- gesetze der Arithmetik quando veniva scoperta da Russell la nota ant inomia delle classi, la quale mostrava come una ineliminabile con- traddizione si annidasse alle basi delt'edificio cantor iano-fregeano ovvero (data la s << fondante >> che ormai era s ta ta riconosciuta a tali sistemazioni) dentro i fondamenti stessi della matematica. Ha cosi inizio quella << crisi dei fendament i >> che, a t t raverso i diversi tentat ivi di soluzione, si pub ben dire abbia diret tamente influenzato lo sviluppo di tu t ta la matematica contemporanea, sia per quanto concerne il suo nuovo << volto >>, sia addir i t tura per quanto concerne il sorgere e lo svilupparsi di certe branche part icolarmente tipiche di essa.

La pi~ immediata reazione di f ronte al cestituirsi delle ant inomie (che sono diverse, per quanto quetla russelliana sia r imas ta la pih nora) fu dal pi6 al meno questa: le contraddizioni, si disse, proven- gono dal fa t to che si ~ troppo fiduciosamente fa t to uso del concetto intuit ivo di insieme con le sue proprietA. Se, invece, sosti tuiamo la teoria << ingenua >> degli insiemi con una rigorosa teoria assiomatica, a s t r a t t a si, ma totalmente esplicitata, sull 'esempio di quanto Peano ha fa t to per l 'ar i tmetica ed Hilbert per la geometria, potremo co- s t ruircela in modo che in essa le antinomie non siano pi~ ricavabili. Cosi infa t t i avvenne, incominciando dalla famosa assiomatizzazione della teoria degli insiemi proposta da Zermelo nel 1907. L' inconve- niente delle teorie assiomatiche, perb, apparve ben presto e di du- plice na tu ra : da un lato, infatti , ci si accorse che le teorie assioma- fiche, mediante la loro sapiente costruzione, eliminavano s i l e inde- siderate antinomie, ma insieme a queste rendevano impossibile anche l 'o t tenimento di non poche proposizioni interessanti ed important i della teoria intuit iva << ingenua >>. Di qui un primo problema: quello di ottenere teorie assiomatiche che, pur continuando ad escludere le antinomie, ridessero possibilmente tut to il contenuto desiderabile

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delle teor ie intui t ive (per questo la costruzione di teorie assiomati- che degli insiemi ~ continuato con tale scopo e non ~ ancora esaurito). D 'a l t ro lato non sfuggiva ad alcuno che le teorie assiomatiche rie- scono ad el iminare le antinomie note, ma non posseggono a pr ior i una garanz ia nei confront i del presentars i di altre fu tu re possibili e insospet tate antinomie. I1 vero problema cruciale apparve quindi ben pres to quello di o t tenere una dimostrazione di non-contradi t tor ie t~ int r inseca per i sistemi assiomatici della teor ia degli insiemi, la quale garant isse 1' impossibilitA a pr ior i del presentars i in essi di contrad- dizioni. Anzi, in questo ordine di idee, la questione ancor pifi gene- rale appar iva quella del come r iuscire ad ot tenere una dimostra- zione di non contradittorietA per un s is tema assiomatico in generale, la quale non consistesse nel semplice r invio della coerenza di questo a quella presupposta di altri sistemi assiomatici pifi semplici. Fu cosi che, in torno al 1920, Hilber t formul6 il suo celebre <~ p rog ramma >> se-

condo cui si t r a t t ava di cercare una prova di non contradit torietA per il pifi semplice sistema assiomatico f r a quelli che si incont rano

nelle matematiche, ossia per quello del l 'ar i tmetica elementare, spe- rando di riuscire ad ot tener la e di poter poi procedere, sulla base di

questa, a dimostrare la non contradi t tor ie t~ anche di sistemi assio-

matici pih complessi, quali quello dell 'analisi e della teoria degli in- siemi.

Pe r condurre le dimostrazioni di non contradi t tor iet~ sul s istema

dell 'ari tmetica, Hilber t pensava di potersi Iimitare all'uso di ele-

menta r i tecniche combinatorie con cui lavorare sui <~ segni >> del si-

sterna assiomatico stesso, r iuscendo cosi ad evitare il rinvio alla non

contradi t tor ie t~ di un 'a l t ra teoria. Gli insuccessi incontrat i in que-

sto tenta t ivo per circa un decennio da Hi lber t e dalla sua scuola dovevano r isul tare spiegati da un famoso risultato pubblicato da

G5del nel 1931: le tecniche combinatorie (e in genere gli s t rument i <~ f ini t is t i >> impiegati nella r icerca della prova di coerenza dell 'arit- metica dagli hilbertiani) sono esse pure formalizzabili ent ro il s is tema assiomatico del l 'ar i tmetica; ebbene: il teorema di GSdel d imostra che la p rova di non contradi t tor ie t~ di un sistema assiomatico, capace di formal izzare l 'ar i tmet ica non pub ottenersi con s t rument i fo rma- lizzabili ent ro il sistema stesso.

Queste eccezionate risultato, ment re segnava il fal l iment0 del <~ p r o g r a m m a hilbertiano >>, indicava anche che un formal ismo puro non ~ concepibile come adeguata spiegazione del sapere matemat ico, dal momento che per ga ran t i re la coerenza degli stessi sistemi for- mali bisogna r icor re re a qualche s t rumento che sia <~ fuori >> di essi,

198 ~.. AGAZZI

ed accettato quindi con le carat terist iche di qualcosa che sia con- tenutist icamente << veto >>, oggettivamente <~ sicuro >> al di fuori del si- stoma. La cosa pi~ interessante ~, comunque, forse un 'a l t ra : nel con- durre la sua dimostrazione G6del si ~ valso in modo essenziale del- l 'ar i tmetica intesa in senso contenutistico, intuitivo. E' preprio su questo fa t to che ora vogliamo soffermare la nost ra attenzione, poi- ch~ esso rappresenta in certa misura una r ivinci ta dell 'ari tmetica la quale, effrendosi come s t rumento essenziale per le ricerche << meta- matematiche >>, pare r iguadagnare oggi quella posizione privilegiata che gi~ era venuta a competerle in seno alle discipline matematiche nel passato.

I L T E O R E M A DI G O D E L - P R E M E S S A .

I1 modo pifi naturale per giustif icare quanto or ora enunciato quello di premettere un breve r iassunto della celebre dimostrazione gSdeliana.

Prendiamo le mosse da un sistema formale che, per ipotesi, sia in grado di formulare l 'ari tmetica elementare. Ci5 significa in pa- role povere che la << logica >> del sistema deve essere almeno una lo- gica dei predicati del primo ordine e che esso dove contenere in pi~, come assiomi specifici, extralogici, qualcosa di equivalente agli as- siomi di Peano.

In eoncreto, ci serviremo del sistema formale che passiamo ora immediatamente a descrivere.

Segni - I simboli del sistema constano, al solito, di variabili e costanti. Le prime, dal momento che usiamo una logica predicativa del primo ordine, saranno solo variabili individuMi (ossia, nel nostro caso effettivo, variabili che si pensano sostituibili con cifre di sin- goli humeri naturali). Mancheranno, in altri termini, variabili per proprietY, relazioni, operazioni f r a numeri natuali. Indicheremo tali variabili con x, y, z . . . . ecc. Avremo poi le costanti, ossia in primo luogo Ie co~tanti logiche proposizionali e predicative: per rendere pill r idotto il bagaglio segnico supporremo di introdurre come pri- mitive solo le costanti logiche proposizionali di negazione (--~) e di disgiunzione (V) e il quantificatore universale (V), e di in t rodurre poi per definizione metalinguistica a par t i re da esse, nei modi noti, le al tre costanti proposizionali di congiunzione (A) e di implicazione (-->), nonch~ il quantif icatore esistenziale (]), che incontreremo quindi nell 'enunciazione degli assiomi, anche se non li includiamo f r a i segni primitivi. Come costanti extralogiche avremo: una costante indivi-

L~ARITMETICA COME STRUME1NTO DI RICERCA LOGICO-MATEMATICA 2 9 9

duale, lo 0, che des igner~ un ind iv iduo pr iv i l eg ia to del n o s t r o do-

minio (ossia, in concre te , lo zero dei h u m er i na tu ra l i ) ; una cos t an te

funz iona le s, in tesa a des igna re una ben spec i f ica funz ione (nel no-

s t r o case s a r a quella di successore di un n u m e r o n a t u r a l e ) ; una co-

s t an te r e l az i ena le ( ~ ) ind ican te la re laz ione di ident i tY; due co-

s t a n t i pe r eperaz ion i ( + e �9 ) des t ina te a des ignare due prec ise ope-

r a z i o n i (che nel nos t ro case s a r a n n o la addiz iene e la mol t ip l icaz ione

f r a n u m e r i na tura l i ) . A v r e m o da ult imo, come segni cos tan t i ausi-

l iari , le pa ren tes i .

Termini - Non t u t t e le combinaz ioni possibili dei segni e lemen-

t a r i s o p r a e lencat i sono sensa te ed util i pe r f o r m u l a r e l ' a r i tme t i ca .

I n c o m i n c i a m o a selezionare, f r a tu t t e , quelle suscet t ibi l i di essere in-

dicate come ~ t e rmin i ~, ossia ( i n t u i t i v a m e n t e p a r t an d o ) capac i di

d e s i g n a r e un n u m e r o na tu ra le . O t t e r r e m o ci6 med ian t e le s eguen t i

<< regole di f o r m a z i o n e >> pe r t e r m i n i : 1) 0 ~ un t e r m i n e ; 2) u n a va ,

r iab i le ~ un t e r m i n e ; 3) s e a ~ un t e rmine , a l lora anche s(a) ~ un

t e r m i n e ; 4) s e a e b sono t e rmin i , a l lo ra anche a + b e d a �9 b sono

t e r m i n i ; 5) n i en t ' a l t ro ~ un t e rmine .

Espressioni - Combinando f r a lore in mode o p p o r t u n e dei t e r - mini , con l 'ausi l ie delle costant i , si o t t engono le << espress ioni >> della

teor ia , vale a dire, in tu i t ivamente , proposiz ioni sensa te a t t o r n o ai n u -

m e r i na tu ra l i .

I c r i t e r i pe r l ' e t t en imen te di espress ioni sono codif ica t i helle se-

g u e n t i << regole di f o rmaz ione >> pe r espress ioni : 1) s e a e b sono t e r -

mini , a l lora a ~ b ~ un ' e sp re s s ione ; 2) se A e B sono. espress ioni ,

a l lo ra sono tal i anche -~ A e (A ~ / B ) ; 3) s e x ~ una var iabi le , e A

un ' e sp ress ione , a l le ra anche V x ( A ) ~ un ' e sp ress ione ; 4) n i e n t ' a l t r o

un ' espress ione .

Vale la pena di os se rva re che, in sense r igoroso, non possono es-

.sere cons ide ra t e espress ioni quelle contenent i , ad esempio, il s egno

d i impl icaz ione e il quan t i f i c a to re esistenziale, in quan to essi n o n

.sono segni del s is tema. B isogna quindi << t r a d u r r e >>, m ed i an t e le no te

,def in iz ioni meta l inguis t iche , tali pseudo.espress ioni f i n e al p u n t o in

cui esse con tengano esc lus ivamente segni e lementa r i p r imi t iv i , pe r -

.ch~ possano essere cons idera te come au ten t iche espress ioni del calco.lo.

A ques to punto, non r i m a n e che p rocedere al l 'e lencazione degli a s s i om i , che d iv ide reme in t r e g r u p p i : il p r imo cont iene q u a t t r o c lass ic i ass iemi del caleolo proposiz ionale , il secondo due non m e n o ~classici che, aggiunt i ai pr imi , bas tano a ca r a t t e r i zza re il calcolo

200 ~ AGAZZl

dei predicat i del p r imo ordine; inf ine il terzo gruppo contiene un as- sioma per 1' identitA e gli assiomi comunemente noti de l l ' a r i tmet iea peaniana.

1 Gruppo

A i (P V P) ~ P

A2 P - . ( e v q )

A3 ( P V Q ) - + ( Q V P )

A4 (Q--+R) ~ ( (PVQ) - + ( P V R ) )

H Gruppo

A 5 V x (A (.~)) - + A (t) A G A (t) -+ ] x (A (x))

Dove A indica un'espressione, x una variabile comparente in A e t un te rmine qualunque.

III Gruppo

A7 x = y -- . ( x = z -+ y = z )

A8 --.(.~x = 0)

A9 A(O) AVx( A(x ) --* A(zx)) --+ A(x)

A10 sx = sy ~ x = y

A l l x = y ~ s x ~ s y

A12 x + 0 = x

A 1 3 x + s y = s ( x + y )

A 1 4 x . 0 = 0

A15 x - s y = x - y + x

La deduzione di teoremi a pa r t i r e da questi assiomi sara r e s a possibile dall 'enunciazione di un sis tema di << regole di deduzione >> scelto f r a uno di quelli s tandard del calcolo dei predicat i del p r im~ ordine, che qui per brevitA omett iamo di indicare esp]icitamente.

In definit iva, quindi, il s is tema formale che, sia pure senza espli- c i tare tu t t i i dettagli, ~ stato qui presentato, r i sul ta fo rn i to della r icchezza espressiva e della capacitg dedutt iva suff ic ient i per essere considerato una formalizzazione dell 'ar i tmetica e lementare ; esso pub quindi essere as sunto, secondo la prospet t iva hi lber t iana gi~ accen- na ta in precedenza, come oggetto da sot toporre ad una r icerca t esa a p rova rne la intr inseca non contradit toriet~.

L'ANTINOMIA DI RICHARD E LE SUE DEBOLEZZE.

P r i m a di procedere ad i l lustrare il r isul tato negativo che GSdeI ha r agg iun to circa la suddet ta prova di non contradittorietA, ~ ut i le r i ch iamare una ben nora antinomia, le cui linee general i son• abba- s tanza vicine ai procedimenti di GSdel, ossia l 'ant inomia di Richard.

Si supponga di disporre di una l ingua cost i tui ta da un dizio- nar io s di parole e di procedere mediante questo a f o r m u l a r e

L'ARITMETICA COME STRUMBNTO DI RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 2 0 1

tu t te te possibiti definizioni di propr ie t~ di numeri natural i . Queste, essendo f ini to il vocabolarie di par tenza, saranno in numero finito o, al massimo, costi tuirano un' infinit'~ numerabile. Procediamo poi ad o rd ina te queste definizioni in base ad un cr i ter io qualsiasi ( p e r esempio in ordine di lunghezza crescente e, a pari t~ di lunghezza, so - condo l 'ordine lessicografico); in tal modo a ciascuna spet ter~ un numero na tura le come suo numero d 'ordine e pot ranno darsi eviden-

temente due casi: o i l numero associato ad una cer ta definizione gode della propriet~ che tale definizione esprime, oppure no. Chia- miamo r ichardiano un numero che n o n goda della propriet~ espressa nella definizione cui esso ~ associato; si osservi allora che <~ essere

r ichard iano 5> risulta una propr ie t~ at tr ibuibile a numer i natural i , espressa mediante una definizione centenente un numero f in i to di parole e tale quindi da poter essere inserita, con un propr io numero d'ordine, entro la sequenza ord ina ta di" definizioni sopra i l lustrata.

Sia per ipotesi k il numero d 'ordine della definizione di <~ r ichar- dianit~ 5> e ci si chieda: ~ k r ichard iano oppure no? E ' immediato cons ta ta re che se si suppene che k sia r ichardiano bisogna de durne che esso non ~ r ichardiano (perch~ n o n dove godere della propr ie t~

di r ichardiani t~ espressa neila definizione ad esso associata); d 'a l t ra par te , se si suppone che k non sia r ichardiano, bisogna concludere che esso, propr io perch~ non gode della propriet~ espressa nella defini- zione cui esso ~ associato, r isul ta essere r ichardiano. Siamo quindi di f r o n t e ad un'antinomia.

La via per uscirne era s ta ta gi~ indicata da Peano quando

aveva osservato che l 'ant inomia di Richard r iguarda la <~ l inguist ica 5>

e non l 'ari tmetica. Infa t t i la propr ie t~ di <~ r ichardiani t~ >> non ~ una propr ie t~ aritmetica, ossia una propriet~ attr ibuibile ai humer i ha-

tu ra l i in base a ragionamenti fa t t i e n t r o la loro teoria, bensi una pro-

pr ie t~ di na tu ra metateorica, che pub essere a t t r ibui ta a un nu-

me ro na tura le solo se considerato come associato ad una proposi-

zione dell 'ar i tmetica stessa. La definizione di r ichardianit~, in al tr i t e rmini , n o n a p p a r t i e n e al l 'a r i tmet ica e quindi non pub essere in-

se r i t a f r a le altre proposizioni a r i t m e t i c h e , con l 'a t t r ibuzione di un suo numero d'ordine, se non per un abuso reso possibile dal fatto, che 1' impiego di uno stesso l inguaggio corrente per la teor ia ( l 'ar i tme- t ica) e la sua metateoria, pe rmet te una confusione che non sarebbe invece pifi possibile se si usassero per le due linguaggi diversi.

I1 mot ive per cui si ~ qui r ich iamata l 'antinomia di R ichard il seguente : essa presenta in embrione un procedimento che sa ra la chiave di volta della dimostrazione gSdeliana, ossia l 'associare un nu-

202 E. AGAZZI

mere naturale alle singole proposizioni dell 'aritmetica. Tu t tav ia il procedimento ideate da Gbdel consentir~ poi di peter costruire un'an- t inemia che si sot t rae all 'accusa di confusione del piano metateerico con quelle della teoria.

Si vedr~ infat t i che l 'ant inomia gSdeliana consiste in prat ica nella costruziene di una proposizione, appartenente al s is tema for- male schizzato in precedenza, la quale << asserisce la propria indimo- strabil i tk >>. e ra , ~ chiaro che, in sense stretto, cib nen potrebbe accadere corret tamente: infat t i le proposizioni del s is tema formale suddetto non possone parlare al tro che di numeri e lore propriet~ (in quanto abbiamo precisato che il sistema stesso centiene un solo ripe di variabili, le quali vanno considerate come variabili numeri- che), e quindi non perth mai esserci nel sistema una proposizione che, in sense immediate, parli di una proposizione (indipendente- mente dal fat to che questa sia ancora essa medesima) e di una sua proprietA quale, ad esempio, la dimostrabilit~ o la indimostrabilitA. Solo entre la metateo~ia del sistema possono f igura re proposizioni che parlano attorno a proposizioni del sistema e a lero proprietA.

Ebbene, il geniale art if icio escogitato da GSdel riesce a tener debito conte di queste fa t t e : esso consente infat t i di ottenere net si- s tema un rispecchiamento della propria metateoria, cosicch6 la f rase

me ta t eo r i ca sep.raddetta risulter~ asserire l' indimostrabili t~ della p r e p r i a frase-immagine nel sistema, la quale quindi, a sua volta, ri- sulter~t esprimere una condizione aritmetica legata in mode ben pre- c:ise al fa t to della sua indimostrabilit~. Allera, prendende in esame l' ipotesi che tale frase del sistema sia dimostrabile e l' ipotesi che essa sia refutabile, si perverr~ in entrambi i casi ad una contrad-

. dizione.

L'ARITMETIZZAZIONE DEL SISTEMA FORMALE.

Passiamo era ad esporre il pifi volte menzionato artificio che consente la rappresentazione entre il sistema delia sua metateoria; esso ~ note come << aritmetizzazione >> della sintassi del sistema, o anche come r gSdelizzazione >> della medesima. Seguendo lo stesso GSdel, designeremo con ]P (iniziale del nome di Peano) il sistema formale dell'aritmetica giA schizzato in precedenza.

Il primo obiettivo che si vuol raggiungere & quello di ottenere una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi dei segni, dei termini, delle espressioni di P e certi settoinsiemi dei numeri naturali. La

cosa si ottiene per gradi.

L~ARITMETICA COME STI~UMIiibrTO D][ RICERCA LOGICO-MATEMATICA 203

In p r i m o luogo si assoc ia un ben d e t e r m i n a t o (ancorchd a r b i -

t r a r i o ) n u m e r o n a t u r a l e a c iascun segno e l emen ta re , ad e s e m p i o nel

m o d o s e g u e n t e :

C o s t a n t i : 0 . . . . . 1 V . . . . . 7 ) . . . . . 13 . . . . . 19

s . . . . . 3 V . . . . . 9 . . . . . . 15

. . . . . . 5 ( . . . . . 11 + . . . . . 17

V a r i a b i l i : x . . . . . 23

y . . . . . 29

z . . . . . 31

in gene re , suppos t e o rd ina t e le v a r i a - biti di P , a l la k - e s i m a sari~ c o o r d i n a t o it k -es imo n u m e r o p r i m o m a g g i o r e di 19, in ord ine crescente .

Si osse rv i o r a che t e r m i n i ed espress ion i a l t ro non sono che

c o n c a t e n a z i o n i f in i te di segni e l emen ta r i , a c iascuno dei qual i ~ as-

soc ia to un n u m e r o n a t u r a l e ; p e r f a r si che un solo n u m e r o n a t u r a l e

r i su l t i a s soc ia to ad ogni s ingolo t e r m i n e e ad ogni s ingo la e s p r e s -

s ione si p o t r e b b e p r o c e d e r e in pifi di un modo, m a f r a i t a n t i u n e se

ne p r e s e n t a come p a r t i c o l a r m e n t e f ru t tuoso , ed ~ il s e g u e n t e : s e i l

t e r m i n e o l ' e sp res s ione in e s a m e r i s u l t a n o cos t i tu i t i da u n a conca-

t e n a z i o n e di n segn i e l emen ta r i , si f a c c i a il p r o d o t t o dei p r i m i n

n u m e r i p r i m i , a s s e g n a n d o a c iascuno come esponen te il n u m e r o na-

t u r a l e a s soc ia to al segno e l e m e n t a r e che, ne l l ' e spress ione , occupa lo

s t e s so pos to del n u m e r o p r i m o medes imo . Ad e sempio : s ia da to il t e r -

m i n e x ~ s y. Ad esse r isultanc) associa t i , ne l l 'o rd ine , i s eguen t i nu- m e r i n a t u r a l i r e la t iv i ai suoi segni e l e m e n t a r i : 23 15 3 29. Al l ' in- t e r o t e r m i n e a s soce remo quindi il n u m e r o : ~ = ~ y

n ---- 2 : a �9 3 i5 �9 5 a �9 7 e g .

A n a l o g a m e n t e si p rocede pe r ogni espress ione , pe r quan to com- p l e s s a e s sa sia. I n ta l modo anche ad ogni e spress ione del s i s t e m a a s s o c i a t o uno ed un solo r n u m e r o gSdel iano >>, m a non solo: g r a z i e a l l ' un ic i t~ della scompos iz ione di un n u m e r o in f a t t o r i p r imi , ad ogni n u m e r o gSdel iano ~ a s soc ia t a u n a ed u n a sola espress ione , o t e r m i n e , o s e g n o e l emen ta re , r i g o r o s a m e n t e r icos t ru ib i l i a p a r t i r e dal n u m e r o g S d e l i a n o s tesso, essendo a ci5 su f f i c i en t e p r o c e d e r e al la s c o m p o s i - z ione in f a t t o r i p r imi , a l l ' o r d i n a m e n t o di quest i in success ione p e r o rd ine di g r a n d e z z a c rescente e al la t r a sc r i z ione dei segni e l e m e n t a r i a s s o c i a t i , ne l l 'o rd ine , ai s ingol i e sponen t i della success ione di h u m e r i :p r imi cosl o t t enu ta .

204 E. AGAZZI

Ma v'~ ancora qualcosa: con la stessa tecnica che permet te di associare biunivocamente un numero gSdeliano ad una espressione, pensata come sequenza di segni elementari, si potrh associare un numero gSdeliano ad ogni sequenza di espressioni, facendo il prodot to di tant i humeri primi, in ordine di successione crescente, quante sono le espressioni della sequenza ed assegnando a ciascun numero p r imo come esponente il numero gSdeliano dell'espressione corrispondente, come posto, nella sequenza. E' chiaro da quanto detto che, se si t iene presente che una << dimostrazione >> entro P altro non ~ che una se~ quenza f in i ta di espressioni di P soddisfacente a certi requisiti, ad ogni dimostrazione corrisponde uno ed un solo numero gSde]iano.

In parole povere, si ~ in possesso di una corrispondenza biuni- voca t r a 1' insieme dei segni, t e r m i n i , espressioni e sequenze di espressioni di P (vale a dire dell' intero <~ linguaggio >> di P) e l' in- sieme dei humeri goedeliani i quali, ovviamente, costituiscono un sottoinsieme dei naturali .

IL RISPECCHIAMENTO DELLA METATEORIA ENTRO LA TEORIA.

L'esistenza della suddetta corrispondenza biunivoea ha una con- seguenza immediata ed automatica: tu t te le propriet~ e relazioni f r a seg~ni, termini, espressioni e sequenze di espressioni di P r i su l tano traducibili in propriet~ e relazioni f r a numeri naturali , ossia f r a i gSdeliani associati a tali componenti del linguaggio di P .

Della cosa non ci si stupisce certamente quando si ricordi che, dal punto di vista estensionale, propriet~ e relazioni altro non sono. che insiemi di individui o insiemi di n-ple ordinate di individui, co- sicch~ la legge di corrispondenza biunivoca associa veramente in modo automatico ad ogni insieme-propriet~ di enti del l inguaggio di P il r ispettivo insieme-propriet~ di numeri gSdeliani (e lo stesso vale per le relazioni). Possiamo pertanto asserire gi~ ora che le p ro- priet~t e le relazio,ni met~teoriche concernenti enti del l inguaggi~ di P si t raducono in propriet~ e relazioni numeriche f ra i numeri gS- deliani associati a tali entit~ linguistiche.

Anche se questo fa t to ~ di per s~ gi~ assai significativo, t u t t a v i a ancora troppo elementare per poter essere s f ru t t a to ai fini c h e l a

dimostrazione gSdeliana si propone; infat t i ~ ben vero che ad ogni propriet~ metateorica corrisponde una propriet~ aritmetica, ma cib non significa af fa t to che sia immediato sapere quale proprietA a r i t - metica, esplicitamente formulata, corrisponda ad una certa propr ie t~ metateorica. Ora, vi sono casi assai elementari in cui una simile cor-

L~ARITMETIC& COME STRUMENTO DI RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 205

rispondenza si stabilisce subito: ad esempio, alla propriet~ meta- teorica (r ifer i ta a segni di P) espressa nella locuzione ~( essere una variabile >>, corrisponde la propriet~ ari tmetica (r i fer i ta a numeri natural i gSdeliani) espessa nella locuzione <( essere un numero primo maggiore di 19 >>, per cui possiamo dire che un segno di 1 ~ ~ una va- riabile s e e solo se il suo numero gSdeliano ~ un numero primo mag- giore di 19. Un'a l t ra semplice proprietY, r i fer i ta questa volta ad una <~ espressione >> di P, potrebbe essere questa : <(essere una negazione >>. Da quanto detto in precedenza ~ immediato che una espressione di 1 a

una negazione se e solo se il suo numero gSdeliano, scomposto in fa t tor i primi, ha come esponente di 2 il numero 5, e questa ~ evi- dentemente una propriet~ aritmetica.

Ebbene, la domanda che ci si pone ora ~ la seguente: siamo in grado, per tu t te le propriet~ metateoriche che ci interessano, di condurre a termine una simile esplicitazione delle relative propriet~ ar i tmetiche di numeri g5deliani? La risposta a questa domanda ~ di es t rema importanza: non si dimentichi, infatti , che l'obiettivo finale della dimostrazione gSdeliana si raggiunge, come gi~ accennato, me- diante la costruzione di una proposizione di P enunciante la pro- priet~, ar i tmetica corrispondente alla proprietk metateorica della (( indimostrabilit~ ~ (e soddisfacente anche ad altre condizioni che per ora non interessano). Ora, ~ chiaro che cib ~ possibile solo se tale requisito metateorico risulta t radot to esplicitamente in una pro- priet~ ari tmetica da verificare su humeri gSdeliani e se, inoltre, tale propriet~ risulta formulabile con i mezzi espressivi di cui ~ dotato P.

Questa seconda essenziale condizione, infatti , non ~ detto che si verifichi automaticamente: potrebbe darsi che ad una certa pro- priet~ metateorica corrispondesse l'enunciazione di una propriet~ di humeri gSdeliani troppo complessa per r isultare esprimibile mediante l ' a r i tmet ica elementare.

Buona parte della memoria gSdeliana ~ spesa proprio ad espli- citare le relazioni aritmetiche corrispondenti alle fondamentali rela- zioni metateoriche e ad esibire la loro esprimibilit~ entro P . Que- s t 'u l t ima ~ una semplice conseguenza del fat to che le suddette pro- priet~ e relazioni metateoriche risultano corrispondere a proprietA e relazioni aritmetiche ricorsive (anzi, nella quasi totalitY, ricorsive primitive), le quali sono un sottoinsieme delle propriet~ e relazioni ari tmetiche elementari che P ~ in grado di esprimere formalmente.

Non possiamo qui indugiare ad esporre i minuziosi procedimenti definitori con i quali GSdel perviene a dimostrare quanto detto; basti dire c h e l a cosa riesce effett ivamente, at traverso !a costruzione, per cosi dire in parallelo, del predicato metateorico e del predicato grit-

206 E. AGAZZI

metico ricorsivo che gli corrisponde. D'al t ra parte, un convincimento, rigoroso a proposito di questo fa t to pub essere raggiunto molto in breve, s f ru t tando alcune elementari conoscenze di teoria delle fun- zioni ricorsive matura te cronologicamente dopo la pubblicazione della memoria di GSdel: ~ noto infat t i che, secondo, la comune teoria delle funzioni ricorsive (accettando quindi anche la (~ tesi di Church >>), ad ogni propriet~ o relazione decidibile corrisponde un insieme r i- corsivo. 0ra , se si considerano le pro priet~ metateoriche che in pra- tica interessano a proposito deg]i enti del l inguaggio di P , si con- trolla facilmente che esse sono tutte, in tui t ivamente parlando, deci- dibili, ossia che in un numero f ini to di controlli si riesce sempre a dire se una sequenza di segni elementari di P ~ o non ~, ad esempio, una variabile, un termine, un'espressione, un assioma, un'espressione contenente variabili libere, e cosi via. Allo stesso modo ~ Mtret tanto facilmente decidibile la propriet~ <~ essere una sequenza f in i ta di espressioni >> e simili. Ne segue allora che i predicati numerici corre- lati a simili propriet~ sono tut t i ricorsivi (in pratica, anzi, essi sono quasi tu t t i ricorsivi primitivi). Allora, anche un predicato complesso come il seguente : <~ X ~ una dimostrazione di Y a par t i re da K )> r i - sulta decidibile e quindi associato ad un predicato ari tmetico r icor- sivo; infa t t i esso, completamente esplicitato, suona cosi: r X ~ una sequenza f ini ta di espressioni, ciascuna delle quali o ~ un assioma, o un'espressione appartenente a K, o un'espressione ot tenuta dalle pre- cedenti a t t raverso l'applicazione delle regole di inferenza, ment re Y

l 'ul t ima espressione di tale sequenza finita, e K ~ un insieme fi- nito di espressioni >>. E' evidente che tu t te le propriet~ contenute in questo lungo enunciato sono decidibili; quindi esso pure r isul ta de- cidibile e r isul ta percib ricorsivo il predicato aritmetico, corrispo~- dente. Per il seguito pub valet ]a pena di osservare fin d'ora che decidibile anche la seguente propriet~ di espressione: <~ Y ~ l'espes- sione che si ottiene sostituendo nell 'espressione X, contenente una variabile libera, tale variabile con la cifra del gSdeliano di X stessa >> ; cib s ignif ica che all'operazione di sostituzione suddet ta ~ associata una funzione ricorsiva che permette, dato il gSdeliano della X, di calcolare effet t ivamente il gSdeliano della Y.

In conclusione, quindi, il procedimento di aritmetizzazione altro non ~ c h e l a traduzione det linguaggio di I" in un codice numerico, che ha come risu]tato una copia fedele di tale linguaggio. Si verifica poi che le propriet~ metateriche interessanti , concernenti il l inguag- gio di P , corrispondono a propriet~ aritmetiche ragionevolmente ele- mentar i (ossia ricorsive) dei numeri-codice con cui il l inguaggio tradotto. Essendo 1 ~ per ipotesi suff icientemente ricco per formulare

L~ARITMETICA COME STRUMENTO DI RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 2 0 7

prop r i e t~ e re lazioni a r i tme t i che (e quindi in pa r t i co l a r e anche quelle r icors ive) , ne segue che in P sono fo rmulab i l i le condizioni a r i t m e - t iche co r r i sponden t i alle propos iz ioni della sue s tessa me ta t eo r i a .

Vogl iamo e r a agg iunge re qualche ch i a r imen to a l l 'osservaz ione f a t t a in precedenza , quando si ~ det to che non ogni propriet /~ o re- lazione f r a n u m e r i na tu ra l i ~ neces sa r i amen te << espr imibi le a t t r a - ve r so l ' a r i tme t i ca e l ementa re >>. Gik le sole r propriet/~ >> dei h u m e r i na tu ra l i cos t i tu i sceno un ins ieme pill che numerab i l e (in q u a n t e equi- va len te all' ins ieme di tu t t i i so t to ins iemi dei n u m e r i n a t u r a l i ) ; e ra , l ' a r i tme t i c a e lementare , in tesa come la r t eo r i a >> dei h u m e r i na tu - rali , che si p ropone di d e t e r m i n a r e le lore p ro p r i e tk a p a r t i r e da un cer to n u m e r o f i n i t e di assiomi, pub g e n e r a r e al mass imo una inf i - ni t~ numerab i l e di t eo remi e quindi ~ g ioeoforza che u n a infinit/~ pi/1 ehe numerab i l e di propriet/~ dei h u m e r i na tu ra l i res t i f uo r i della por- t a t a de l l ' a r i tme t i ea e l emen ta r e e, in questo p rec i se sense, non sia << espr imibi le >> in essa. Pe r t an to , d i remo ehe un p r e d i c a t e (ossia t a n t o un p r e d i c a t e monadieo o proprietY, quan to uno potiadieo o. re laz ione) r i f e r e n t e s i a h u m e r i na tu ra l i ~ << f o r m a l m e n t e espr imib i le >> e n t r e P s e e solo se si ve r i f i ea quan to s egue : a) se il p r ed i ca t e eonvie.ne a un n u m e r e (e ad una n-pla o rd ina t a di numeri ) , a l le ra ~ d i m o s t r a b i l e e n t r e P un 'espress ione in eui il s e g n e di eos tan te p r ed i ea t i v a di quel p r e d i c a t e g r i f e r i t e alla e i f ra (o alla n-pla o rd in a t a di c i f re) di quel n u m e r o ; b) s e i l p red ica te non eonviene a quel n u m e r o (o a quella n-p la di numer i ) , a l lora e n t r e P ~ d imost rabi le la negaz ione d e l - l ' e spress ione suddet ta . In pa ro le pevere , il p r ed i ca t e diadieo << di- ve r s e >> ~ espr imibi le f o r m a l m e n t e e n t r e P pereh~ se ~ v e r o ehe il n u m e r e q u a t t r e ~ d iverse dal nume.ro t r e posse d i m e s t r a r e e n t r e P l ' e spress ione eo r r i sponden te <<-~ (ssssO ~ sssO)7> e se ~ f a l s e ehe il n u m e r o q u a t t r o ~ d iverse da qua t t r o posse d i m e t r a r e entre. P l a espress ione <<-~-- (ssssO = ssssO)>> e s imi lmente p e r ogni a l t r a cop- p ia e r d i n a t a di numer i na tura l i .

L ' i m p o r t a n z a dei r i su l ta t i s tabi l i t i nella p r i m a p a r t e della me- m o r i a gSdel iana ~ cost i tu i ta p r o p r i o dal f a t t o che vi si d i m o s t r a come i p red ica t i a r i tme t i c i co r r i spe t t iv i dei p red ica t i me ta t eo r i c i f onda - men ta l i (quali, ad esempio, i gih r i corda t i r essere un ' e sp re s s ione 7>, << essere una var iab i l e t ibera ~>, << essere un 'ass ioma >>, << essere una d i m e s t r a z i o n e >>, << essere d imos t rab i le >>, eee.) sono tu t t i << f o r m a l - m e n t e espr imibi l i >> en t r e P . Cib vuol dire, ad esempie, ehe se una e sp ress ione ~ dimostrabi le , non solo un oppor tune p r ed i ca t e a r i tme- t ieo e e r r i s p o n d e n t e alla<< d imost rab i l i t~ >> vale pe r il sue n u m e r o gS- del iano, ma anehe ehe en t r e P s i d imos t r a un 'espress ione in cui u n a eos t an t e p red iea t iva des ignan te ta le p red ica te a r i tme t i eo g a t t r i b u i t a

208 ~. AGAZZI

alla c i f ra del suo numero gSdeliano e, viceversa, che se si riesce a d imost rare in P una espressione in cui la co s tante corr i spondente al predicato ar i tmet ico che equivale alla <~ dimostrabil i t~ >> ~ r i f e r i t a alla c i f ra di un certo gSdeliano, allora quello ~ veramente un numero gSdeliano che gode di tale predicato aritmetico, ossia ~ il gSdeliano di una proposizione dimostrabile Con una molto ragionevole con- venzione di l inguaggio diremo quindi che una propr ie t~ meta teor ica

�9 di segni, termini , espressioni di P ~ << formalmente esprimibile in P >> quando tale ~ il predicato numerico ad essa corr ispondente.

COSTRUZIONE DELL'ESPRESSIONE (< FORMALMENTE INDECIDIBILE >>.

A questo punto si pub ormai a f f ron t a r e il cuore della dimostra-

zione gSdeliana, premet tendo solo che le ipotesi fa t te a proposi to del s istema P sono quella gi~ menzionata c i rca la sua capacit~ ad espri-

mere fo rmalmente l 'ar i tmet ica e lementare e, ancora, quella della sua

co-non contradit toriet~. Quest 'ul t ima ~ una fo rma di coerenza leg- g e r m e n t e part icolare, che si pub def inire soltanto per sistemi adat t i

a formal izzare l ' a r i tmet ica; essa chiede, in sostanza, che nel s is tema

non si possa d imost rare l 'asserto << non per ogni numero vale la pro-

priet~ P >> e si possa poi d imostrare c h e l a propriet~ P vale per 1,

p e r 2, per 3 . . . . e cosi via per ogni numero che si consideri. Come si vede, la o~-coerenza ~ pill for te della coerenza pu ra e semplice; infat t i , la o~-coerenza cadrebbe se si verif icasse quanto or ora chia- rito, men t r e la semplice coerenza sarebbe ancora salva f i n t an to che non si provasse la ben pif~ impegnat iva proposizione: r per ogni nu-

m e r o vale la propr ie t~ P >>. (Ricordiamo ad ogni modo che, come s ta to mos t ra to da Rosser, il teorema di GSdel si pub d imos t ra re anche r icorrendo all' ipotesi della semplice coerenza, usando un ar- t if icio dimostra t ivo leggermente pih complicato di quello originale, sul quale p re fe r iamo sorvolare).

Si consideri ora il seguente predicato numerico b inar io (ossia la seguente relazione f r a due numeri natural i ) : << f r a due numer i x e y sussiste la relazione Q s e x ~ il numero gSdeliano di una espres- sione di P contenente la variabile l ibera x, mentre y ~ il gSdeliano di una dimostrazione della espressione ot tenuta dalla precedente so- s t i tuendo la variabile x con la c i f ra del numero gSdeliane x >>.

Da quanto detto in precedenza sappiamo che il predicato Q ~ ve- r amen te un predicato aritmetico, anzi un predicato r icorsivo pr imi-

t ivo , in quanto definit~o a pa r t i r e dai predicat i ricorsivi pr imi t iv i << e s -

s e r e u n a e s p r e s s i o n e >>, << e s s e r e u n a d i m o s t r a z i o n e >>, << e s s e r e u n a v a -

L'ARITMETICA COME STRUMENTO DI RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 209

~iabile libera >>, << essere una cifra >>, che sono appunto i predicati ar i tmetici corrispondenti ai predicati metateorici di ugual home (per evidenziare anche esteriormente questo fatto, abbiamo scri t to tali predicati in corsivo, come fa GSdel stesso; in genere il corsivo viene r iservato a variabili, costanti, predicati dell' ar i tmet ica intuitiva, men t re il carat tere tondo, nelle formule, indica le espressioni di P) .

In quanto ricorsivo primitivo, il predicato Q(x, y) ~ <~ formal- mente esprimibile >> entro P , ossia: si pub effet t ivamente scrivere una espressione di P contenente due ~ariabili libere e tale che essa dh luogo ad una esp.ressione dimostrabile se alle variabili si sosti- tuiscono ordinatamente le <~ cifre >> con cui in P s i denotano i due humeri x ed y, quando il predicato ~ verificato; tale invece c h e l a negazione di tale espressione sia dimostrabile se il predicato non soddisfat to e si opera la stessa sostituzione delle variabili con le �9 cifre di x ed y. (Per speditezza graf ica noi indicheremo con n la <~ cifra >> del numero n. La espressione che esprime formalmente Q(x, y) sarebbe pertanto Q(x, y), tale che Q(x, y) sia dimostrabile se Q(x,y) vale, ossia ~ vero, e tale che -~Q(x ,y ) sia dimostrabile se Q(x, y) non vale.)

Sia dunque Q(x, y) l 'espressione di ]F corrispondente al predi- ~ato Q(x, y) e si consideri ora la seguente espressione:

A~ (x) V y ( -- Q (x, y)).

Essa altro non ~ che l'espressione precedente in cui, delle due ~r libere, ~ s ta ta quant i f ieata universalmente la y, cosicch6 -el resta libera solo la variabile x. A questa espressione spetta it suo numero gSdeliano, che supporremo s i a p .

Scriviamo ora una nuova espressione, the otteniamo da quella test~ scri t ta sostituendo in essa la variabile x con la cifra p (ossia r la cifra del gSdeliano della formula stessa). Avremo:

x

Sost (Ap p) V y ( -~ Q (p, y)). G

Non ~ difficile in terpretare quanto <~ dicono >> le formule ora scr i t te : la A~(x)asserisce che per ogni y non vale 1' espressione Q(x, y). Ma la Q(x, y), esprimendo formalmente il predicato nume- rico Q(x,y), dice che un certo numero, la cui cifra andrebbe al posto, di y, ~ il gSdeliano di una dimostrazione di una formula otte- nu t a da una espressione con variabile libera x quando tale varia- bile venga sostituita col gSdeliano dell'espressione stessa. Allora la A~(x), dicendo che per ogni y non accade quanto detto, asserisce che

8eminar io ~Iatematico e Fisieo 15

210 E. AGAZZI

non esiste alcuna dimostrazione della espressione contenente la varia-- bile libera x, quando a questa sia sost i tui ta la cifra del gSdeliano della formula stessa. Ora, Ap(x) ~ proprio una espressione conte- nente libera la sola variabile x, e dotata del sue gSdeliano, che ~ p. I1 passaggio da AT(x) alla seguente G avviene proprio eseguendo l a sostituzio.ne di x mediante la cifra p del suddetto gSdeliano. Quindi G asserisce che non esiste alcuna dimostrazione dell'espressione e t - t enu ta da Ap(x)sos t i tuendo x con p e percib, essendo essa s tessa tale espressione, asserisce la propria indimostrabilit~. Per essere pih esatti, diremo che G esprime formalmente entre P l e condizioni a r i t - metiche corrispondenti al predicate metateorico della propria indi- mostrabilit~.

Ad ogni mode, per sgombrare qualsiasi perplessit~ circa il si- gnificato di G e la correttezza della sua costruzione (che potrebbe forse essere ingenerata dalla complessit~ delle relative formulazioni verbali), baster~t distinguere brevemente l 'aspetto della << costru- zione >> di G da quello della sua successiva interpretazione.

La co struzione di G ~ il f ru t to di una elementare applicazione, del procedimento diagonale, ben note ad ogni matematico a par t i re dalle classiche dimestrazioni di Cantor circa la non numerabilitA. dell' insieme dei reali e circa iI fa t to che ]' insieme delle part i di un insieme ha potenza superiore a quella dell' insieme stesso. Si indi- chino infa t t i con Al(x), A~(x), As(x), . . . ecc. dette generiche espres- sioni di P contenenti tu t te come sola variabile libera l a x . Si indi- chino poi con P l , P~, P3 . . . . . ecc. i numeri gSdeliani di tali espres- sieni, ovdinatamente. E' allora immediate costruire una tabella per r ighe e colonne ponendo in testa alle colonne, ad esempio, le espres- sioni, e a cape delle righe i relativi numeri gSdeliani. L'elemento ge- nerico a~ della tabella sar~ poi l 'espressione ottenuta sostituendo nel- l 'espressione A~(x) la variabile x con la cifra del gSdeliano Pk, nel mode seguente :

A01

P3

A , (x) A~ (x) A 3 (x) . . . . . . . . . . . .

a~(p5 A~(p~) A~(p~) . . . . . . . . . . . .

A, (p~) A~ (p~) A~ (p~) . . . . . . . . . . . .

A, (p~) A~ (p~) A~ (p~) . . . . . . . . . . . .

L~ARITMETICA COME STRUMENTO DI RICERCA LOGICO-MATEMATICA 211

Orbene, a nessuno sfugge che la proposizione G si ottiene, co- s t rut t ivamente, come una qualsiasi delle espressioni della diagonale della tabella sopra r ipor ta ta : A,(p,) . Infat t i la peculiarit~ di G ~, dal punto di vista della pura costruzione, solo questa: la variabile libera comparente in Ap(x), la quale in linea di principio pub essere sost i tui ta con qua]siasi al tra variabile o con la cifra di qualsiasi nu- mero naturale, ~ s tata sostituita in modo particolarissimo con la cifra del numero, gSdeliano di Ap(x) stessa. I1 f ru t to di tale pura e sem- plice sostituzione ~ ]a G.

I1 <( significato >> di G dipende invece in maniera esplicita dal modo con cui ~ definita la Ap(x). Infat t i , se questa non fosse l 'espres- sione Yy(-1 Q(x, y)), dove Q(x, y) ~ l 'espressione che esprime in 1 a il predicato numerico Q(x, y) a suo tempo illustrato, essa non po- trebbe dar luogo alla G come ~spressione asserente la propria indi- mostrabilit~. Che invece la G abbia proprio tale significato r isul ta assai chiaro se si r i torna a prendere in considerazione la tabella or ora fornita. Supponiamo, per f issare le idee, che la Ap(x) sia la A3(x) della nostra tabella; allora la colonna ad essa relat iva ha come primo termine Vy(-~ Q(p l ,y ) ) e questa espressione significa, per quanto sappiamo: r non ~ dimostrabile Al(pi) >> ; il secondo termine della colonna ~ l'espressione Vy(-~ Q(P2, Y)), che significa: << non dimostrabile A2(p=,)>>; in generale, l'n-esimo termine della colonna sar~ l'espressione Vy( -~ Q(p,,, y)), che significa: <~ non ~ dimostra- bile A~(p~) >>. Ebbene, la nostra G ~ l'espressione che si r icava dalla A~(x), sostituendo in essa la variabile libera x con P3, ossia ~ la A3(la3), il cui significato ~: <~ non ~ dimostrabile A3(p:3 >>. E' praprio evidente, quindi, come la G <~ si trovi >> ad asserire la propria indi- mostrabilit~.

Eliminato in questo modo ogni dubbio circa l 'esatto significato di G, procediamo ora a mostrare che essa ~ (~ formalmente indecidi- bile >>, ossia n~ dimostrabile, n~ refutabile (cio~ tale che neppure la sua negazione ~ dimostrabile) in P.

1) - Supponiamo per assurdo che G sia dimostrabile: allora esister~ una sua dimostrazione, consistente in una sequenza di op- portune espressioni di P , alla quale spetter~ un numero gSdeliano; sia esso k. Avremo allora: p ~ il gSdeliano di un'espressione conte- nente la variabile libera x, e k ~ il gSdeliano di una dimostrazione dell'espressione ot tenuta dalla precedente sostituendo alla x la cifra di p (ch~ tale ~ appunto la G rispetto alla A~(x)). Dobbiamo quindi concludere che per p e k vale il predicato aritmetico sopra definito Q(p, k), ossia che ~ essendo tale predicato <~ formalmente esprimi-

212 E. AGAZZI

bile in P >> - - ~ dimostrabile in IF l'espressione Q(p, k). Ma se tale espressione ~ dimostrabile per un certo k, ~ dimostrabile anche quella che dice che per almeno un y ~ dimostrabile Q(p, y), ossia ~ dimo- strabile :

] y (Q (p, y)) che ~ notoriamente equivalente a -~ V y ( -~ Q (p, y)).

Ipotizzando quindi la dimostrabilit~ di G ~ V y ( - ~ Q(p, y)) si ~ con- cluso alla dimostrabilit/~ della sua negazione -~Vy( - -Q(p , y)). Ma ci6 ~ incompatibile con la presupposta coerenza di P , percib G ~ in- dimostrabile.

2) - Supponiamo ora c h e - - G sia dimostrabile. Si osservi in- nanzi tu t to che, essendosi provato or ora che G non ~ dimostrabile, nessun numero pub essere il gSdeliano di una sua dimostrazione, ossia il predicato Q (p, y) non ~ mai verificato, per qualsiasi numero prenda il posto di y. Conseguentemente, sono dimostrabiti in IF tu t te le espressioni del tipo -~ Q(p, O), -~ Q(p, 1), ... -- Q(p, n) . . . . ecc., per qualunque cifra di numero naturale si consideri. Si vede allora che sarebbe lesa la w-coerenza di IF se ad un certo punto si potesse dimo- s t rare - , G, ossia -~Yy(-~ Q(p,y)). Quindi, anche -- G ~ indimo- strabile.

E' il caso di osservare esplicitamente, prima di procedere ad ul- teriori approfondimenti , che l 'antinomia gSdeliana non ~ passibile delte obiezioni cui soggiace l 'ant inomia di Richard. In quel caso, in- fat t i , si era potuto obiettare che il predicato di r ichardiani t~ non aritmetico, ossia che l 'argomentazione di Richard non ~ tale da farci dire che, entro un sistema formale dell 'aritmetica, si pub costruire un'espressione R(k), dove R indica il predicato di r ichardianit~, e tale che R(k) implica - -R(k ) e viceversa. L'espressione G di GSdel, invece, ~ proprio aritmetica, perch~ esprime effet t ivamente un pre- dicato relativo a numeri natural i il quale, per quanto contenga nella sua formulazione un continuo r i fer imento a predicati metateorici, in realt~ si occupa dei predicati numerici ad essi correlativi, r i fer i t i a humeri gSdeliani, e tali da poter essere definiti a part ire dai pi/1 noti ed elementari predicati dell 'aritmetica.

VALIDIT-~ SEMANTICA DELL'ESPRESSIONE INDECIDIBILE.

Passiamo ora a t r a r re altre importanti conseguenze dal teorema sopra dimostrato. In primo luogo si osservi che, nella parte 1) della dimostrazione precedente, si ~ approdati a questa conclusione di na- tu ra metateorica: << G ~ indimostrabile >>. Siccome P, a t t raverso la

L'ARITMETICA COME STRUMENTO DI RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 213

aritmetizzazione, ~ in grado di esprimere la propria metateoria, ci si chiede: qual ~ in P l'espressione che esprime tale frase metateorica? Per ragionamenti diffusamente cendotti in precedenza, sappiamo che una tale espressione ~ G stessa, che enuncia iI predicato ari tmetico correlativo alla propria indimostrabilit~. Ecco allora una conclusione immediata: G esprime un predicato aritmetico su un numero gSde- liano ed ~ vera o falsa a seconda che questo convenga o no a quel numero gSdeliano; ma quel predicato conviene al numero g5deliano s e e solo se essa ~ indimostrabile; d 'altra parte G ~ preprio indi- mostrabile; quindi G ~ vera, ~ universalmente valida come espres- sione aritmetica, n~ pif~ n~ meno, ad esempio, dell' espressione V x (x �9 1 ~ x). Questo fa t to ~ di grande importanza, perch~ ci dice che nell 'ari tmetica elementare esistono proposizioni universalmente valide sui numeri naturali , e tu t tav ia non dimostrabili a par t i re da qualunque formalizzazione dell 'aritmetica stessa (si noti infa t t i che, se anche noi arricchissimo P aggiungendo G agli assiomi, potremmo pur sempre ottener un 'a l t ra espressione G' formalmente indecidibile rispetto al nuovo sistema, mediante l'applicazione det procedimento diagonale con cui ~ stata ot tenuta G entro P). I1 fat to che una teoria formalizzata contenga espressioni universalmente valide rispetto al sistema w di enti cui essa si riferisce, e tu t tavia indimostrabili in essa, si suole indicare come co-incompletezza semantica della teoria. L 'ar i tmet ica elementare ~ quindi incompleta semanticamente.

A L C U N E C O N S E G U E N Z E DEL TEOREMA DI GODEL.

Questa conclusione ~ sconcertante solo fino ad un certo punto: essa non fa che confermare quanto gi~ si era potuto ricavare in pre- cedenza sulla base di elementari considerazioni di cardinalit&, ossia che 1' insieme delle propriet~ dei numeri naturali , essendo pi~ the numerabile, non pub essere esaurito dall'enunciazione di tu t t i i possi- bili teeremi di una teoria formale dell 'aritmetica, i quali possono co- s t i tui re solo una infinit~ numerabile. La proposizione G ~ solo un esempio di tall proposizioni vere sui humeri naturali che non possono essere teoremi dell'aritmetica.

Tut tavia qualcosa di inatteso scaturisce egualmente da questa conclusione: la proposizione G fa parte det sistema P formula to me- diante la logica dei predicati del primo ordine, come sappiamo. Ora, proprio GSdel, un anno prima di dimostrare questo suo celebre too- rema, ne aveva dimostrato un altro non meno fondamentale, in cui provava che la logica del primo ordine ~ ~ semanticamente cempleta >>. Cib significa, in parole povere, che se da un sistema di assiomi si

214 E. AGAZZI

deducono proposizioni mediante la logica del pr imo ordine, questa deduzione ~ in grado di p rovare t u t t e le <( conseguenze logiche >> di tali assiomi. E' chiaro per tan to che se G ~ indimostrabile ent ro P , cib significa che essa non ~ una ~( conseguenza logica >> degli assiomi dell 'ari tmetica. Per capire bene che cosa cib significhi, bisogna ricor- dare che, tecnicame~te, si dice che una espressione A ~ ~ conseguenza logica >> di un insieme di espressioni M quando ogni in te rpre taz ione capace di rendere vere le espressioni di M renda vera anche A. Ora, noi s iamo in questa si tuazione: in te rpre tando gli assiomi di P sui numeri naturali , questi r isul tano veri su tall enti, e d 'a l t ra pa r t e anche G ~ vera su di essi. Se G non ~ conseguenza logica degli assiomi di P ~ quindi necessario che esistano altri enti capaci di rendere veri gli assiomi di P e sui quali, invece, G risulti falsa. Cib ~ come dire che l 'ar i tmet ica e lementare ammette, oltre al modello ~ stan- dard >> costituito dai humeri natural i , anche dei modelli r non-stan- dard >>. E ' questa una conclusione indubbiamente inattesa, la quale Iia dato il via a tu t t a una serie di r icerche molto interessant i sui too- delli non-s tandard delle teorie deduttive.

La conseguenza pih impor tan te del teorema di GSdel, it famoso corollario che ha fat-to scor re re t an to inchiostro, r i gua rda tu t t av ia un altro problema: quello della dimostrazione di coerenza di un si- sterna formale.

I1 t eo rema precedentemente dimostrato ~ costi tui to - - per la p r ima par te - - dalla seguente f rase metateor ica: <~ se P ~ coerente, allora G ~ indimostrabile >>. E ' tale f rase esprimibile fo rmalmente ent ro P ? La risposta ~ posit iva: infa t t i gi~ sappiamo che l 'espres- sione di P esprimente ~ G ~ indimostrabile >> ~ cost i tui ta da G stessa. Inol t re la f rase ~ P ~ coerente >> ~ notor iamente equivalente a que- s t ' a l t r a : <~P contiene almeno una proposizione non dimostrabile >> e questa f rase metateorica contiene solo i predicati <~ essere una pro- posizione >> ed <~ essere dimostrabile >> che gi~ sappiamo fo rma lmen te esprimibil i entro P . Chiamando ad esempio Coer (P) la espressione di P che ne <~ esprime fo rmalmente >> la coerenza, avremo in P una espressione esprimente il t eorema metator ico ~ se P ~ coerente, al- lora G ~ indimostrabile >>, e indichiamola con Coer ( P ) --+ G. Ora, l 'espressione cosi indicata non solo appart iene a P , ma ~ anche di- mostrabi]e in P , essendo la t raduzione in P di una proposizione me- ta teor ica dimostrabile. Ora, se fosse dimostrabile in P anche l 'espres- sione indicata qui con Coer (P ) , vale a dire l 'espressione di P che ne esprime la coerenza, avremmo: ~ dimostrabile Coer (P), ~ dimo- s t rabi le Coer (P)--> G, quindi ~ dimostrabile anche G per la nora regola di separazione; ma cib contraddice alla p rova ta indimostra-

L'ARITMETICA COME STRUMENTO DI RICERCA LOGICO-MATEMATICA 215

]~ilit~ di G. Dobbiamo quindi concludere che non ~ dimostrabile in P qualunque espressione ne espr ima la non contradi t tor ie tk .

Ora, se si t iene conto che, in fondo, l 'unica ipotesi f a t t a su P , a par te quella della coerenza, e ra che esso fosse in grado di forma- lizzare l 'ar i tmet ica elementare, si pub concludere: << se un sistema formale coerente ~ in grado di espr imere l ' a r i tmet ica elementare, al- lora esso non pub contenere una dimostrazione dell 'espressione espri- mente la sua non contradi t tor ie t~ >>.

Questa conclusione segnava il fal l imento del p rog ramma hilber-

t iano e spiegava nello stesso tempo perch~ si fossero invano profusi per un decennio tant i sforzi nel tenta t ivo di p rovare la non contra-

di t toriet~ dell 'ar i tmetica eIementare: i metodi f ini t is t i mediante i

quali gli hi lbert iani avevano sperato di provare tale coerenza sono

esprimibil i nel sistema formale del l 'ar i tmetica s tessa; quindi non v'~

alcuna speranza di ot tenere con essi la prova di non contradit torietA

dell 'ari tmetica. Infat t i , nel 1936 Gentzen r iusciva a d imost rare tale

non contradi t tor ieth, valendosi perb dell 'assioma di induzione t ran-

sf ini ta , tipico della teoria degli insiemi e non esprimibile neI sistema

:formale dell 'ar i tmetica elementare.

I L I M I T I INTRINSECI DEL PURO FORMALISMO.

Molte sono le considerazioni che si presentano alla r if lessione d i chi valuta questo comptesso di risultati . Ci l imiteremo ad accen- na rne un paio, che hanno pih d i re t ta a t t inenza con l 'ordine di que- st ioni da cui abbiamo preso le mosse.

In pr imo luogo, si pub dire che il t eorema di Gbdel segna un limite essenziale alle pretese di un eccessivo formal ismo nella mate- mat ica e in part icolare al punto di vista di chi considera la mate- mat ica come puro complesso di sistemi formali , svincolati da ogni << contenuto >> e capaci di sussistere per vir th propria . Si ~ visto in precedenza che il requisito minimo cui tali sistemi formal i debbono soddisfare per poter essere considerati come veramente << dati >> ~ la non contradit toriet~, o coerenza che dir si voglia. Ebbene, questa non pub essere garan t i t a dall' in terno del s istema stesso, il quale non

quindi in grado di presentars i come autosufficiente, ma richiede sempre la presenza di almeno un principio, di un assioma ad esso esterno, che venga accettato a titolo diverso dagli assiomi del si- sterna. Questi infat t i sono sottoposti all' indagine di non contradi t to- riet~, mentre quello s t rumento esterno ~ assunto come <~ sicuro >>, come intr insecamente non questionabile, come un ubi consistam og-

216 E. AGAZZI

g e t t i v a m e n t e fonda to , come una propos iz ione a c a r a t t e r e non f o r - mate, ma con tenu t i s t i co e do ta ta di veritY. L ' e f f e t t o di un simile r i - d im e ns ionamen to del t r oppo sp in to fo rm a l i sm o si ~ f a t t o i m m e d i a - t a m e n t e s en t i r e helle r i ce rche logiche, a t t r a v e r s o lo sv i luppo della. s eman t i ca e della t eo r i a dei model l i : l ' es is tenza di un <~ model lo >>, in fa t t i , ~ o rma i la g a r a n z i a pill c o m u n e m e n t e r i c e r c a t a p e r la coe- r enza di un s i s t ema formale .

Ma non ~ ques ta la sola r l imi taz ione i n t e r n a >> del f o r m a t i s m e r icavab i le dal t e o r e m a di GSdel. Si ~ vis to in fa t t i che esso o s t en d e una propos iz ione la quale, p u r essendo u n iv e r s a lm en te va l ida sui nu- mer i na tura l i , non ~ t u t t a v i a d imos t rab i le a p a r t i r e dagli a s s iomf

de l l ' a r i tme t i ca e cib m o s t r a in t u t t a concre tezza le i n su f f i c i enze che un s i s t ema f o r m a l e p r e sen t a nei con f ron t i di un adegua to p a d r o - n e g g i a m e n t o dei contenut i ve r i t a t i v i di una t eor ia i n t u i t i v a : ques t i

u l t imi sono ragg iung ib i l i solo in p a r t e med ian te i t e o r e m i di un s i - s t e ma f o r m a l e e cib r i va lu t a i ndubb iamen te l' i m p o r t a n z a di quel- l' i n tu i to e di quel la f an t a s i a ma t ema t i ca , che p a r e v a n o t r o p p o m o r - t i f i ca t i dai r i go r i del f o r m a l i s m o . N a t u r a l m e n t e , ogni medag l i a ha il suo rovesc io : la fo rma l i zzaz ione non copre l 'o r izzonte i n t e ro de l la ve r i t~ in tu i t iva , ma in compense ~ to t a lmen te esplicita, s i cu r a e r i -

gorosa nel suo p r e c e d e r e ; la p u r a in tu i t iv i t~ ha in l inea di p r i n c i - pio un campo pih vas to en t ro cui spaziare , ma ~ assai m en o s i cu r a e cont ro l labi le e pub i l luderci di r ved e re >> anche le cose che non ci sono, p e r cui non pub r i t ene r s i s i cu ra delle sue acquis iz ioni f in t a n t o che queste, in p ra t i ca , non sono s t a t e r icondot te a t eo remi di un s i - s terna fo rmale .

IL RIEMERGERE DI UNA FUNZIONE << FONDANTE >> DELL'ARITMETICA.

A questo p u n t o pub s o r g e r e sp o n t an ea una d o m a n d a : che s ign i - f i ca mai d i re che es i s t ene propos iz ioni , quali la proposizio,ne G, che sono ve re a p ropos i to dei h u m e r i na tura l i , p u r non essendo d i m o s t r a - bill e n t r o l ' a r i tme t i ca f o r m a l i z z a t a ? E v i d e n t e m e n t e ci6 s ign i f i ca che i h u m e r i na tu ra l i , in un modo o nel l 'a l t ro, << ci sono >>, possono e s se r e ogge t to della n o s t r a conoscenza e r i ve l a r e ad essa delle p r o p r i e t ~ di cui godono, i nd ipenden t emen te dal f a t t o che un s i s t ema f o r m a l e r i e - sca a r i c a v a r e dedu t t i vamen te ta l i proprietY. In a l t r i t e r m i n i : non

a f f a t t o vero, come ~ s ta to spesso sos tenuto anche au to revo lmen te , che sono i s i s temi fo rma l i a <~ c r e a r e >>, a << p o r r e >> gti ent i m a t e m a - tici. Se cosi fosse, i humer i na tu ra l i , con ]e loro p ropr i e t~ e re lazioni , s a r e b b e r o <~ cos t ru i t i >> dagli ass iomi di Peano e dai t eo remi da essi

L~ARITMETICA COME STRUMENT0 DI RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 2 1 7

dedotti e non potrebbero godere di propr ie t~ che non fossero enun-- ciate da tall assiomi e teoremi, mentre accade propr io il con t ra r io : essi godono per conto propr io di propr ie t~ che solo in par te sone ricavabili come teoremi nel l 'ar i tmetica formalizzata. Anzi, l ' e s i s t enza di modeIli r non-s tandard >> degli assiomi del l 'ar i tmetica ci dice che questi, ben lungi dal <~ creare >> i humeri natural i , non sono neppure t roppo fedelmente aderenti a tali enti matematici , potendo r isul tare- soddisfat t i anche su altr i modelli (diversi dal s i s tema dei numeri na- turali) sui quali, ad esempio, ~ falsa la proposizione G.

Alla luce di queste considerazioni, quindi, appare assai meno an-

t iquato di quanto si soglia oggi r i tenere il punto di vista di chi con-

s idera ar i tmetica, analisi, geometria, e in genere le discipline mate-

matiche, come scienze a loro modo anche <~ contenutist iche >>, come forme di sapre << oggettivo >> e non unicamente <~ ipotetico-dedut-

t ivo >>. I1 vero guadagno recato dal formalismo, il vero progresso se-

guito allo sviluppo del metodo assiomatico, non consiste a f f a t t o in

una vanificazione del cara t te re di oggettivit~ della matemat ica e nel- l' in t roduzione in essa di un facile convenzionalismo, bens~ in un au-

mento notevole delresigenza di r igore e di esplicitezza e in una pro-

spet t iva di <~ polivalenza >> della r icerca as t ra t ta . E ' quindi veto che l ' a r i tmet ica o la geometr ia si possono assai bene t r a t t a r e as t ra t t a -

mente, ma cib non gi~ perch~ sia insensata una loro considerazione

contenutist ica, bensi perch~ la considerazione as t ra t t a consente di t ro- va re in esse s t ru t t u r e assai generali, capaci di inerire anche ad a l t r i

campi della matematica, consente di giovarsi nel loro studio di s t ru- ment i as t ra t t i gi~ scoperti e studiati in a l t ra sede, consente di co- gIiere la parente la che queste discipline possono avere con altre, e cosi via, perch~ la t ra t taz ione formale ha ]a cara t ter is t ica di eviden- ziare le propr ie t~ che sono in comune a tut t i i possibiIi modelli degli assiomi.

Natura lmente , questo recupero del senso anche <~ contenuti- stico >> delle matematiche, questo r idimensionamento delle t roppo spinte pretese formalist iche non ~ tale da privilegiare, ipso facto, una ben precisa concezione circa la na tu ra degli enti matematici . Se

ve to infa t t i che siamo autorizzati a concludere che, ad esempio, i numer i natural i <~ ci sono >> indipendentemente dalle nos t re costru- zioni assiomatiche, non ~ ancora precisato quale t ipo di <~ esistenza >> sia la loro e r imane quindi aperto il campo alle ulteriori indagin i circa la na tu ra del numero.

Come effe t to dei r isultat i logico-matematici che si sono passat i in rassegna, si pub dire senz'al tro che l 'ar i tmet ica tende a r i p r e n d e r e

218 E. AGAZZI

l 'antico ruolo di disciplina matemat ica << fondamentale >> e cib pe r due ragioni diverse: in pr imo luogo perch& le limitazioni di potere espressivo e dedutt ivo dei sistemi formal i sono s ta te r i levate << pe r confronto >> con l 'ari tmetica, intesa come disciplina contenut is t ica e par lan te con verit~ a t torno ai propr i contenuti ; in secondo luogo perch~ la via a t t raverso cui si seno potuti guadagnare quegli essen- ziali r isul tat i passa necessar iamente a t t raverso una utilizzazione di- r e t t a del l 'ar i tmetica intesa ancora come teor ia intuit iva.

Velendo servirci di una immagine pittoresca, po t remmo infa t t i

dire che il s is tema ]P, non essendo in grade di par la re d i re t t amente

dis& stesso, ha parlato di una fedele immagine di s~, cos t ru i ta nel-

l ' a r i tmet ica elementare. La proposiziene G ha asseri to una p ropr ia

carat- terist ica (la indimostrabilit~) allo stesso mode con cui una per-

sona pus asser i re di avere una macchia in f ron te perch& si contempla

in uno specchio. Ma tu t to ci5 ~ possibile se una tale immagine << esi-

ate >>, se essa viene esaminata per ci6 che essa ~, se viene conside-

r a t a come un << date >>. Ebbene, tale ~ appunto la posizione dell 'ari t-

metica nel corse delle dimostrazioni di GSdel: lo stesso ar t i f ic io fon-

damentale della << ari tmetizzazione >> segna gi~, sul l imitare stesso del

lunge procedimento dimostrativo, tale aggancie con i humer i natu-

rali, intesi come un sistema << date >> con tut te le sue propr ie t~ e re-

lazioni. La definizione dei predicat i ar i tmetici corr ispondent i ai pre-

dicati metateorici , poi, avviene passe passe a pa r t i r e da predicat i

numerici molto semplici s~, ma in ogni case pensati come propr ie t~ e relazioni ef fe t t ivamente sussistenti f r a i numeri natural i . Anzi, nella costruzione della << immagine fedele >> di P en t re l 'ar i tmetica, si s f r u t t a la propr ie tk dell 'unicitk della scomposizione di un numero in fa t to r i primi, che non @ f r a le pitl elementari ed immedia te del- l ' a r i tmet ica e, pur essendo vero che ulteriori studi hanno consenti to ad esempio di ottenere la gSdelizzazione di un sistema formale senza r icor re re alla scomposizione in fa t tor i primi, @ p u t sempre vero che

a propriet~ ari tmetiche intuit ive si deve in ogni case r icorrere .

In questo mode l 'ar i tmet ica e lementare 6 divenuta da oggetto principale della r icerca ]ogico-matematica (quale era alla f ine del secolo scorso, all 'epoca delle r icerche sui fondamenti , e quale era ancora ent re la prospett iva hilbertiana), strumento fondamenta le della r icerca logica stessa. Nella memoria di GSdel tale metamorfos i

ancora ai suoi inizi, ma l' idea fondamentale in essa contenuta avrebbe provocato nel giro di pochi anni lo svilupparsi di un indi- rizzo nuovo e fecendissimo degli studi logici, costituito dall 'applica- zione della teor ia delle funzioni r icorsive allo studio dei sistemi for -

L~ARITMETICA COME STRUMENT0 D][ RICERCA LOGIC0-MATEMATICA 219

mali. Si pub anzi dire che tale teoria matematica ~ s ta ta sviluppata proprio in funzione delle ricerche logiche ed oggi essa cestituisce una delle punte pifi avanzate della logica matematica, uno stru- mento di lavoro indispensabile per la ricerca in questo campo.

In questo modo si pub dire che l 'ar i tmetica ha riacquistato una certa sun posizione privilegiata di << fondamento naturale >> della matematica, anche se in un senso del tutto nuovo: non pifi, cio~, come unico ramo << naturali ter dato >> a part i re dal quale l 'opera dell'uomo << cestruisce >> i r imanent i rami del sapere matematico, e neppure come sistema formale part icolarmente semplice al quale si possano ricondurre quelli pifi complessi delle altre discipline, bensi come nucleo di sapere oggettivo al quale ancorare l 'esame critico degli stessi sistemi formali che costringono helle loro formulazioni as t ra t te 1' intero edificio della matematica.

In altri termini, si potrebbe dire c h e l a conclusione di un lungo travaglio di ricerca as t ra t ta ~ stato questo: anche per parlare del formale puro bisogna put sempre << sapere qualche cesa >>, e l 'ar i tme- tica si ~ presentata una volta ancora come quel r qualche cosa >> che

saputo neI modo pill immediato, certo e naturale all 'origine det pensiero matematico. Quindi, ~ vero che l'uso delle funzioni ricor- sive per lo studio della logica r ient ra per certi aspetti in un feno- meno pifi generale assai interessante, ossia nel fenomeno dell'appli- cazione della matematica alla logica stessa (che non si l imita alla ricorsivitk, m a c h e vede impegnate anche l 'algebra e la topologia a forni re s t rumenti di ricerca alla logica matematica). Tuttavia, men- t re nel ricorso ad altre discipline, quali l 'algebra e la topologia, si assiste in rondo all' impiego di metodi e tecniche ast ra t t i per lo stu- dio dell 'astratto, nel ricorso al l 'ar i tmetica si ha proprio il senso dell 'aggancio con un contenuto, il quale costituisce uno dei motivi fondamental i per i quali la ricerca logica si at teggia come sapere oggettivo (1).

SUMMARY. - - A f t e r a br ief account of the role a l r eady played in the pas t by a r i thmet i c as a << na tu ra l founda t ion >> for mathemat ics , the new impor- t ance is considered t h a t a r i thmet ic obtains wi th in ma thema t i ca l logic's re- searches . Through a r a t h e r detailed examina t ion of GSdel's proof (1931) the decisive funct ion is pointed out t h a t ful f i ls in i t the view of a r i thmet ic as an (( objective >> science about cer ta in contents .

(~) La paI~e non puramen te esposi t iva di questo lavoro r ispecchia alcune conclusioni ragg iun te dal l 'autore nel corso di r icerche a l l ' i n t e r n o del Gruppo di Ricerca n. 37 per la Matemat ica del C.N.R.