laai die volledige boek af

VAW VERENIGING VIR AFRIKMNSE

WISKUNDE•ONDERWYSERS

"a lnblatkf YIIII SoUibrltelt HelpHlde H.11,d

1

Solidariteit Helpende Hand Hoek van DF Malan & Eendracht strate Kloofsig Centurion 0157

Webblad: www.helpendehand.co.za Epos: [email protected]

ISBN: 9780620697064

Uitgereik deur die Solidariteit Helpende Hand se Vereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers (V.A.W.) 2016

Bronkode opdatering deur IT School Innovation (Pty) Ltd 2016

2

http://www.helpendehand.co.za/

Kopiereg Nota:

Hierdie handboek is gebaseer op Siyavula se Everything Maths handboek. Die werkstukke isvan die Everything Maths handboek se inhoud geneem en gedeeltelik aangepas. HelpendeHand het toestemming verkry vanaf Siyavula om die inhoud van die Everything Maths Graad10 handboek vir opvoedkundige doeleindes te verbruik. Die Everything Maths Graad 10handboek word uitgegee deur Siyavula, geborg deur MMI Holdings (Momentum enMetropolitan) en vrygestel in vennootskap met die Departement van Basiese Onderwys. Dieoorspronklike handboek is vrylik beskikbaar en aflaaibaar op die Everything Maths webblad bywww.everythingmaths.co.za.

Die Vereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers

Die Vereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers (V.A.W.) is ’n beroepsvereniging virAfrikaanse wiskundeonderwysers.

Visie

Om Afrikaanssprekende wiskundeonderwysers te ondersteun deur middel van opleiding in dienuutste onderrigmetodes en tegnologie.

Missie

Wiskundeonderwysers moet voel dat hul gewaardeer, ondersteun en bemagtig word deur dieVereniging vir Afrikaanse Wiskundeonderwysers. Die V.A.W. wil die voorloper in SuidAfrika wees van wiskundeonderwys, onderrigmetodes entegnologie wat wêreldwyd in die klaskamer toegepas word. Die V.A.W. wil elke wiskundeonderwyser se professionele liggaam en spreekbuis wees tenopsigte van kurrikulum inhoude asook die regte waarop wiskundeonderwysers in SuidAfrikakan aanspraak maak.

3

http://www.everythingmaths.co.za/

Gebruikersnota:

Hierdie handboek is aangevul met addisionele hulpmiddels in die vorm van video’s eninteraktiewe sketse. Die skakels wat lui na hierdie hulpmiddels gee aan die gebruiker tweekeuses. Indien die gebruiker toegang tot die internet het, kan die skakels gevolg word wat lei nadie aanlyn hulpmiddels, anders kan hierdie hulpmiddels afgelaai word en die gebruiker sal eenvan die applikasies wat gelys word benodig. Die hulpmiddels sal dan dus op die toestel gestoorword en kan enige tyd gebruik word.

Die boeke is in PDF formaat, dus benodig die gebruiker `n applikasie wat PDFs kan lees.

Voorgestelde PDF leser: Windows rekenaar: https://get.adobe.com/reader/ Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.adobe.reader Apple: https://appsto.re/za/Cxy-B.i

Wiskunde sketse sal voorsien word met behulp van die GeoGebra platform. Die gebruiker salaanlyn die sketse kan oopmaak by www.geogebratube.org, maar sal ok die GeoGebra applikasiekan aflaai om .ggb lêers oop te maak.

GeoGebra: Windows rekenaar: http://www.geogebra.org/download Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=org.geogebra Apple (slegs iPad): https://appsto.re/za/Eqs_O.i

Videos sal aanlyn beskikbaar wees op YouTube of aflaaibaar wees in .mp4 formaat. Alhoewelmeeste platforms `n video speler ingebou het kan dit dalk nodig wees om een af te laai.

4

https://get.adobe.com/reader/

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.adobe.reader

https://appsto.re/za/Cxy-B.i

http://www.geogebratube.org/

http://www.geogebra.org/download

https://play.google.com/store/apps/details?id=org.geogebra

https://appsto.re/za/Eqs_O.i

Voorgestelde video speler: Windows rekenaar: http://www.videolan.org/vlc/download-windows.html Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mxtech.videoplayer.ad Apple: https://appsto.re/za/QR_WM.i

5

http://www.videolan.org/vlc/download-windows.html

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mxtech.videoplayer.ad

https://appsto.re/za/QR_WM.i

Hoofstuk 1 – Algebraïese uitdrukkings 11 1.1. Die reële getalstelsel 12 1.2. Rasionale en irrasionale getalle 13 1.3. Afronding 27 1.4. Skatting van wortelvorme 33 1.5. Produkte 38 1.6. Faktorisering 49 1.7. Vereenvoudiging van breuke 72

84 Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 86

Hoofstuk 2 – Eksponente 105 2.1. Hersiening van eksponentwette 108 2.2. Rasionale eksponente 119 2.3. Eksponensiële vergelykings 122


Hoofstuk 3 – Getalpatrone 140 3.1. Beskrywing van rye 141


6

Inhoudsopgawe

Hoofstuk 4 – Vergelykings en ongelykhede 167 4.1. Oplos van lineêre vergelykings 168 4.2. Oplos van kwadratiese vergelykings 178 4.3. Oplos van gelyktydige vergelykings 186 4.4. Woordprobleme 200 4.5. Vergelykings met letterkoëffisiënte 211 4.6. Los lineêre ongelykhede op 216


Hoofstuk 5 – Trigonometrie 238 5.1. Gelykvormigheid van driehoeke 240 5.2. Definiëring van trigonometriese verhoudings 243 5.3. Resiprook verhoudings 254 5.4. Sakrekenaar vaardighede 255 5.5. Spesiale hoeke 262 5.6. Oplos van trigonometriese vergelykings 267 5.7. Vind ’n hoek 277 5.8. Oplos van trigonometriese vergelykings 281 5.9. Definieer verhoudings in die cartesiese vlak 288


7

Hoofstuk 6 – Funksies 318 6.1. Afhanklike en onafhanklike veranderlikes 320 6.2. Lineêre funksies 329 6.3. Kwadratiese funksies 346 6.4. Hiperboliese funksies 366 6.5. Eksponensiële funksies 386 6.6. Trigonometriese funksies 408 6.7. Interpretasie van grafieke 449


Hoofstuk 7 – Euklidiese meetkunde 505 7.1. Hoeke 507 7.2. Driehoeke 519 7.3. Vierhoeke 538 7.4. Die middelpuntstelling 562


Hoofstuk 8 – Analitiese meetkunde 604 8.1. Trek van figure op cartesiese vlak 605 8.2. Afstand tussen twee punte 612 8.3. Gradiënt van ’n lyn 623 8.4. Middelpunt van ’n lyn 652 Hersieningsoefeninge 664

8

Hoofstuk 9 – Finansies en groei 693 695 705

714 733

9.1. Enkelvoudige rente 9.2. Saamgestelde rente 9.3. Berekening deur gebruik te maak van enkelvoudige en

saamgestelde rente Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 734

Hoofstuk 10 – Statistiek 744 745 750 764 790 794

10.1. Versameling van data 10.2. Maatstawwe van sentrale neiging 10.3. Groepering van data 10.4. Vyfgetal opsomming Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 796

Hoofstuk 11 – Trigonometrie 811 812 827

11.1. Twee-dimensionele problem Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 828

Hoofstuk 12 – Euklidiese meetkunde 836 837 847

12.1. Bewyse en vermoedens Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 849

9

Hoofstuk 13 – Meting 858 859 866 881 890 904 921 930

13.1. Area van ’n veelhoek 13.2. Regte prismas en silinders 13.3. Volume van prismas en silinders 13.4. Regte piramides, regte keëls en sfere 13.5. Volume van piramides, keëls en sfere 13.6. Die effek van vermenigvuldiging met ’n faktor k Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 932

Hoofstuk 14 – Waarskynlikheid 951 957 962 968 975 979 982 985 992

14.1. Teoretiese waarskynlikheid 14.2. Relatiewe frekwensie 14.3. Venn-diagramme 14.4. Vereniging en snyding 14.5. Waarskynlikheididentiteite 14.6. Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse 14.7. Komplementêre gebeurtenisse Hoofstuk opsomming Hersieningsoefeninge 994

10

HOOFSTUK 1: ALGEBRAÏESEUITDRUKKINGS

InleidingDeur die menslike geskiedenis het alle mense en kulture bygedra tot die veld van diewiskunde. Onderwerpe soos algebra mag nou voor die handliggend lyk, maar vir baieeeue moes wiskundiges regkom daarsonder. In die volgende drie grade sal jy meergevorderde en abstrakte wiskunde ondersoek. Dit mag nie altyd ooglopend wees hoehierdie wiskunde toegepas kan word in die alledaagse lewe nie, maar die waarheid isdat wiskunde vereis word vir omtrent alles wat jy eendag in die lewe gaan doen.Geniet jou wiskunde reis. Onthou daar is nie so iets soos 'n “wiskunde mens” nie. Onskan almal wiskunde doen, dit neem net oefening.

'n Paar voorbeelde van vroeë kerfstok stokke. Dit is gebruik om mense te help om dinge soos

die aantal dae tussen gebeure of die aantal vee wat hulle gehad het te tel.

In hierdie hoofstuk sal ons begin met die hersiening van die reële getallestelsel en dansal ons aandag gee aan die skatting van die waardes van wortelvorme en dieafronding van reële getalle. Ons sal ook ons vorige kennis van faktorisering uitbrei enaandag gee aan meer komplekse berekenings wat tweeterme en drieterme insluit.

11

1.1 Die reële getalstelsel

Ons gebruik die volgende definisies:

: natuurlike getalle is

: telgetalle is

: heelgetalle is

LET WEL

Alle getalle is nie reële getalle nie. Die vierkantswortel van 'n negatiewe getal is

'n sogenaamde niereële of imaginêre getal. Byvoorbeeld , en

is almal niereële getalle.

12

1.2 Rasionale en irrasionale getalle

DEFINISIE

Rasionale getal

'n Rasionale getal ( ) is enige getal wat geskryf kan word as:

waar en heelgetalle is en .

Die volgende getalle is almal rasionale getalle:

Ons sien al die tellers en al die noemers is heelgetalle. Dit beteken dat alle heelgetallerasionale getalle is, want hulle kan geskryf word met 'n noemer van .

DEFINISIE

Irrasionale getalle

Irrasionale getalle ( ) is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk met'n teller en 'n noemer wat heelgetalle is nie.

Voorbeelde van irrasionale getalle:

Hierdie is nie rasionale getalle nie, want of die teller of die noemer is nie 'n heelgetalnie.

13

ADDISIONELE HUPLBRONNE

Kyk nou: Hoofstuk 1.2 Rasionale en irrasionale getalle

Laai af

Desimale getalle

Alle heelgetalle en breuke met heelgetal tellers en nienul heelgetal noemers israsionale getalle. Onthou dat wanneer die noemer van 'n breuk nul is, dan is die breukongedefinieer.

Jy kan enige rasionale getal skryf as 'n desimale getal maar nie alle desimale getalleis rasionale getalle nie. Hierdie tipes desimale getalle is rasionale getalle:

Desimale getalle wat eindig (of termineer). Byvoorbeeld, die breuk kangeskryf word as .

Desimale getalle met 'n enkele repeterende syfer. Byvoorbeeld, die breuk

kan geskryf word as of . Die kolletjie en balkie notasie is ekwivalent en

beide dui repeterende 'e aan, dus: .

Desimale getalle met meer as een repeterende syfer. Byvoorbeeld, die breuk

kan ook geskryf word as . Die balkie of strepie stel die repeterende

patroon van 'e en 's voor, dus .

LET WEL

Jy mag sien dat 'n punt in plaas van 'n komma gebruik word om 'n desimalegetal aan te dui. So die getal kan ook geskryf word as 0.4

14

http://tube.geogebra.org/m/2477163

https://www.dropbox.com/s/f0j8y9xxlshg56s/Gr%2010%20Bl%208%20Q%20en%20Irras.ggb?dl=0

Notasie: Jy kan 'n kolletjie of 'n balkie gebruik oor die herhalende syfers om aan te duidat die desimaal 'n repeterende desimaal is. As die balkie oor meer as een syfer strek,dan is al die syfers onder die balkie repeterend.

As jy gevra word of 'n getal rasionaal of irrasionaal is, skryf heel eerste die getal indesimale vorm. As die getal eindig, dan is dit rasionaal. As die getal vir ewig voortgaanen nooit eindig nie, kyk dan vir 'n herhalende patroon van syfers. As daar geenherhalende patroon is nie, dan is die getal irrasionaal.

Wanneer jy die irrasionale getalle in desimale vorm skryf, sou jy kon aanhou om hullete skryf met oneindig baie desimale plekke. Maar, dit is nie gerieflik nie en dit isdikwels nodig om die getalle af te rond.

LET WEL

Afronding van 'n irrasionale getal maak van die getal 'n rasionale getal wat bybenadering dieselfde waarde het as die irrasionale getal.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: RASIONALE EN IRRASIONALEGETALLE

VRAAG

Watter van die volgende is nie rasionale getalle nie?

1.

2.

3.

4.

5. 15

6.

OPLOSSING

1. Irrasionaal, desimaal eindig nooit en het nie 'n herhalende patroon nie.

2. Rasionaal, desimaal eindig.

3. Irrasionaal, desimaal eindig nooit en het nie 'n herhalende patroon nie.

4. Rasionaal, alle heelgetalle is rasionaal.

5. Rasionaal, desimaal het herhalende patroon.

6. Rasionaal, desimaal het herhalende patroon.


Kyk nou: Hoofstuk 1.2 Voorbeeld 1

Laai af

Skakel eindigende desimale om na rasionale getalle

'n Desimale getal het 'n heelgetalgedeelte en 'n breukgedeelte. Byvoorbeeld, het 'n heelgetalgedeelte van en 'n breukgedeelte van omdat

.

Elke syfer na die desimale punt is 'n breuk met 'n noemer in toenemende magte van .

16

https://youtu.be/1OBMqBRS6oM?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/7fdw5glikx62lm3/Graad_10_Hfst_1.2_VB_1.mp4?dl=0

Byvoorbeeld:

is

is

is

Dit beteken dat

Skakel repeterende desimale om in rasionale getalle

Wanneer die desimaal repeterend is, is 'n bietjie meer werk nodig om diebreukgedeelte van die desimale getal te skryf as 'n breuk.

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: SKAKEL DESIMALE GETALLEOM NA BREUKE

VRAAG

Skryf in die vorm (waar en heelgetalle is).

OPLOSSING

Stap 1: Definieer 'n vergelyking

17

Stap 2: Vermenigvuldig met aan beide kante

Stap 3: Trek die eerste vergelyking van die tweede vergelyking af

Stap 4: Vereenvoudig

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: SKAKEL DESIMALE GETALLEOM NA BREUKE

VRAAG

Skryf as 'n rasionale getal.

OPLOSSING

Stap 1: Definieer 'n vergelyking

Stap 2: Vermenigvuldig met aan beide kante

18

Stap 3: Trek die eerste vergelyking van die tweede vergelyking af


In die eerste voorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met en in die tweedevoorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met . Dit is omdat daar net eenrepeterende syfer was ( ) in die eerste voorbeeld, terwyl daar drie repeterende syferswas ( ) in die tweede voorbeeld.

In die algemeen, as jy een repeterende desimaal het, vermenigvuldig dan met . Asjy twee repeterende desimale het, vermenigvuldig dan met . As jy drie syfers hetwat repeteer, vermenigvuldig dan met en so verder.

Nie alle desimale getalle kan geskryf word as rasionale getalle nie. Hoekom nie?

Irrasionale desimale getalle soos kan nie geskryf word as 'nbreuk met 'n heelgetal noemer en teller nie, want hulle het nie 'n patroon vanrepeterende syfers nie en hulle eindig nie.

19

1.Die figuur toon die Venn diagram vir die spesiale versamelings

en .

a)

b)


en .

OEFENING 1.2.1

Waar pas die getal in die diagram?

In die volgende lys is daar twee vals bewerings en een waarbewering. Watter een van die bewerings is waar?

a. Elke heelgetal is 'n natuurlike getal.

b. Elke natuurlike getal is 'n telgetal.

c. Daar is geen desimale in die telgetalle nie.

20

a)

b)

a)

b)

c)

3.Sê of die volgende getalle reëel, niereëel of ongedefinieerd is.

Waar pas die getal in die diagram?


a. Elke heelgetal is 'n natuurlike getal.

b. Elke telgetal is 'n heelgetal.

c. Daar is geen desimale in die telgetalle nie.

21

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

4.Sê of die volgende getalle rasionaal of irrasionaal is. As die getalrasionaal is, sê of dit 'n natuurlike getal, 'n telgetal of 'n heelgetal is.

22

a)

b)

c)

d)

5.As 'n heelgetal is, 'n heelgetal is en is irrasionaal, watter vandie volgende is rasionale getalle?

a)

b)

c)

d)

6.

Vir elk van die volgende waardes van , sê of rasionaal ofirrasionaal is.

7.Oorweeg die volgende lys van getalle:

a)Watter van die getalle is:natuurlike getalle

23

b)

c)

d)

e)

f)

8.Vir elk van die volgende getalle:

a)

b)

c)

d)

e)

a)

b)

9.Skryf die volgende as breuke:

irrasionale getalle

niereële getalle

rasionale getalle

heelgetalle

ongedefinieerd

skryf die volgende drie syfers enmeld of die getalle rasionaal of irrasionaal is

24

c)

d)

a)

b)

c)

d)

10.Skryf die volgende deur die repeterende desimale notasie te gebruik:

a)

b)

c)

d)

e)

11.Skryf die volgende in desimale vorm, deur die repeterende desimalenotasie te gebruik:

25

f)

g)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

12.Skryf die volgende desimale in breukvorm:

26

1.3 AfrondingAfronding van 'n desimale getal tot 'n verlangde aantal desimale plekke, is dievinnigste manier om 'n getal te benader. Byvoorbeeld, as jy wil afrond totdrie desimale plekke, sal jy:

drie plekke tel na die desimaal en 'n plaas tussen die derde en die vierdegetalle;

rond die derde syfer boontoe af as die vierde syfer groter of gelyk is aan ;

laat die derde syfer onveranderd as die vierde syfer kleiner is as ;

as die derde syfer is en boontoe afgerond moet word, dan word die 'n en die tweede syfer word boontoe afgerond.

Dus, aangesien die eerste syfer na die 'n is, moet ons die syfer in die derdedesimale plek boontoe afrond na 'n en die finale antwoord van ,

afgerond tot drie desimale plekke, is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: ROND AF

VRAAG

Rond die volgende getalle af tot die aantal desimale plekke wat aangedui is:

1. tot desimale plekke.



27


OPLOSSING

Stap 1: Merk die verlangde aantal desimale plekke af

As die getal nie 'n desimaal is nie, moet jy eers die getal as 'n desimaalskryf.

1.

2.

3.

4.

Stap 2: Kontroleer die volgende syfer om te sien of jy moet boontoe

of ondertoe afrond

1. Die laaste syfer van moet ondertoeafgerond word.

2. Die laaste syfer moet boontoe afgerondword.

3. Die laaste syfer moet boontoe afgerondword.

4. Die laaste syfer moet boontoe afgerond word.

Aangesien dit 'n is, vervang ons dieg met 'n en rond dietweedelaaste syfer boontoe af.

28

a)

b)

1.Rond die volgende af tot desimale plekke:

OEFENING 1.3.1

Stap 3: Skryf die finale antwoord

1. afgerond na desimale plekke.



4.



Laai af


Kyk nou: Hoofstuk 1.3 Afronding

Laai af

29

https://youtu.be/6eGmEK34580?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/33y71dmgj3h11g8/Graad_10_Hfst_1.3_VB_4.mp4?dl=0

http://www.geogebra.org/m/2477815

https://www.dropbox.com/s/0hr2692oldgg271/Graad_10_Afronding.ggb?dl=0

c)

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.Rond elk van die volgende af tot die aantal desimale plekke wataangedui is:

3.Bestudeer die diagram hieronder

tot desimale plekke.






30

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

4.

Gegee ; ; ; .

5.

Bereken die area van tot desimale plekke.

Bereken die area van tot desimale plekke.

Gebruik jou antwoorde in (a) en (b) en bereken die area van .

Sonder afronding, wat is die area van ?

Bereken korrek tot desimale plekke.

Gebruik jou antwoord van (a) en bereken in .

Bereken sonder om jou antwoord in (a) af te rond en vergelykhierdie antwoord met jou antwoord in (b).

As dit persoon neem om bokse te dra, hoeveel mense is nodig om bokse te dra?

31

6.As kaartjies kos, hoeveel kos een kaartjie?

32

1.4 Skatting van wortelvormeAs die wortel van 'n getal nie vereenvoudig kan word tot 'n rasionale getal nie,

noem ons dit 'n wortelvorm. Byvoorbeeld, en is wortelvorme, maar isnie 'n wortelvorm nie omdat dit vereenvoudig kan word tot 'n rasionale getal .

In hierdie hoofstuk sal ons kyk na wortelvorme van die vorm waar enige

positiewe getal is, byvoorbeeld of . Dit is baie algemeen dat gelyk is aan

, dus skryf ons gewoonlik nie nie. In stede daarvan skryf ons die wortelvorm

slegs as

Dit is soms handig om die benaderde waarde van 'n wortelvorm te weet sonder om 'nsakrekenaar te gebruik. Byvoorbeeld, ons wil in staat wees om te skat waar 'n

wortelvorm soos op die getallelyn lê. Met behulp van 'n sakrekenaar weet ons dat

gelyk is aan . Dit is maklik om te sien dat groter is as en

kleiner is as . Maar, om dit te sien vir ander wortelvorme soos , sonder diegebruik van 'n sakrekenaar, moet jy eers die volgende verstaan:

As en positiewe heelgetalle is, en , dan

'n Volkome vierkant is die getal wat verkry word wanneer 'n heelgetal gekwadreerword. Byvoorbeeld, is 'n volkome vierkant aangesien .

Soortgelyk, 'n volkome derdemag is 'n getal wat die derdemag is van 'n heelgetal.Byvoorbeeld, is 'n volkome derdemag omdat .

Beskou die wortelvorm . Dit lê iewers tussen en omdat en

en , tussen en lê.

33

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: SKATTING VANWORTELVORME

VRAAG

Vind twee opeenvolgende heelgetalle wat so is dat tussen hulle lê.(Onthou dat opeenvolgende heelgetalle twee heelgetalle is wat op mekaar volgop die getallelyn, byvoorbeeld, en of en .)

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik volkome vierkante om die kleiner heelgetal te bepaal

. Dus .

Stap 2: Gebruik volkome vierkante om die groter heelgetal te skat.

. Dus .


34

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: SKATTING VANWORTELVORME

VRAAG

Vind twee opeenvolgende heelgetalle so dat tussen hulle lê.

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik volkome derdemagte om die kleiner heelgetal te skat

, dus .

Stap 2: Gebruik volkome derdemagte om die groter heelgetal te

bepaal

, dus .

Stap 3: Skryf die antwoord

Stap 4: Kontroleer die antwoord deur al die terme in die ongelykheid

te verhef tot die mag drie en vereenvoudig dan

. Dit is waar, dus lê tussen en .

35

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

1.Bepaal tussen watter twee opeenvolgende heelgetalle die volgendegetalle lê, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

a)

2.Evalueer die volgende wortelvorme tot die naaste desimale plek,sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

OEFENING 1.4.1

36

b)

c)

d)


Orden al die getalle in toenemende grootte, sonder om 'n sakrekenaar tegebruik.

37

1.5 ProdukteWiskundige uitdrukkings is net soos sinne en hulle dele het spesiale name. Jy moetbekend wees met die volgende woorde om die dele van wiskundige uitdrukkings tebeskryf.

Naam Voorbeelde

term

uitdrukking

koëffisiënt

eksponent

grondtal

konstante

veranderlike

vergelyking

Vermenigvuldig 'n eenterm met 'n tweeterm

'n Eenterm is 'n uitdrukking met een term, byvoorbeeld, of . 'n Tweeterm is 'nuitdrukking met twee terme, byvoorbeeld, of .

38

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VEREENVOUDIGING VANHAKIES

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING



Laai af

Vermenigvuldig twee tweeterme met mekaar

Hier vermenigvuldig ons twee lineêre tweeterme (of brei hulle uit):

39

https://youtu.be/9SX1yv6NSa0?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL


UITGEWERKTE VOORBEELD 8: VERMENIGVULDIG TWEETWEETERME MET MEKAAR

VRAAG

Vind die produk:

OPLOSSING

Die produk van twee identiese tweeterme staan bekend as die vierkant van dietweeterm en word geskryf as:

As die twee terme van die vorm en is, dan is hulle produk:

Die produk gee die verskil tussen twee vierkante.

Vermenigvuldig 'n tweeterm en 'n drieterm

'n Drieterm is 'n uitdrukking met drie terme, byvoorbeeld, . Nou kanons leer hoe om 'n tweeterm en 'n drieterm met mekaar te vermenigvuldig.

Om die produk van 'n tweeterm met 'n drieterm te vind, vermenigvuldig die hakies uit:

40

a)

b)

c)

d)

1.Brei die volgende produkte uit:

OEFENING 1.5.1

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: VERMENIGVULDIG 'NTWEETERM EN 'N DRIETERM

VRAAG

Vind die produk:

OPLOSSING

Stap 1: Brei die hakie uit


41

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

42

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)


43

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

44

v)

w)

x)

y)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


45

j)

k)

l)

4.

5.

a)

b)

c)

d)

6.

In :

a)

7.Antwoord die volgende:

Wat is die waarde van , in

Wat is die waarde van , in

Vir watter van hierdie waardes van sal positief wees?


Vir watter reële waardes van sal positief wees?

Vir watter waardes van sal positief wees?

Brei uit.46

b)

a)

b)

c)


a)


Gegee dat , bepaal die waarde van sonder om op te los.

Brei uit.



Brei uit.

47

b)

a)

b)

c)



Brei uit.

Brei uit.


48

1.6 FaktoriseringFaktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld,

uitbreiding van hakies sal vereis dat geskryf word as .

Faktorisering sal wees om te begin met en te eindig met .

Die twee uitdrukkings, en , is ekwivalent, dus het hulle dieselfdewaarde vir alle waardes van .

In vorige grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van 'n gemeenskaplike faktor endeur die gebruik van die verskil tussen vierkante.

Gemeenskaplike, of gemene, faktore

Faktorisering, gebaseer op gemene faktore, berus daarop dat daar faktore is watgemeenskaplik is aan al die terme.

Byvoorbeeld, kan as volg gefaktoriseer word:

En kan as volg gefaktoriseer word:

49

1.

2.

OEFENING 1.6.1

Faktoriseer:

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: FAKTORISERING DEUR DIEGEBRUIK VAN OMRUILING IN DIE HAKIES

VRAAG

Faktoriseer:

OPLOSSING

Gebruik die “omruilings strategie” om die gemeenskaplike faktor te vind.

Toon aan dat



Laai af

50

https://youtu.be/k48ChUMidZY?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/hmqbegwmpovfh3j/Graad_10_Hfst_1.6_VB_10.mp4?dl=0

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

51

Verskil van twee vierkante

Ons het gesien dat uitgebrei kan word na .

Dus kan gefaktoriseer word as .

Byvoorbeeld, kan geskryf word as , wat die verskil is tussen twee

vierkante. Dus, die faktore van is en .

Om 'n verskil tussen twee vierkante raak te sien, kyk vir uitdrukkings:

wat uit twee terme bestaan;

wat terme het met verskillende tekens (een positief, een negatief);

wat terme bevat wat beide volkome vierkante is.

Byvoorbeeld: ; ; .

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: DIE VERSKIL TUSSEN TWEEVIERKANTE

VRAAG

Faktoriseer: .

OPLOSSING

Stap 1: Haal die gemeenskaplike faktor uit

52

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

OEFENING 1.6.2

Faktoriseer:

Stap 2: Faktoriseer die verskil tussen twee vierkante

53

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Faktorisering deur groepering in pare

Die uithaal van gemene faktore is die vertrekpunt van alle faktoriseringsprobleme. Ons

weet die faktore van is en . Soortgelyk, die faktore van

is en . Dus, as ons 'n uitdrukking het:

54

dan is daar geen gemene faktor van al vier die terme nie, maar ons kan as volgfaktoriseer:

Ons kan sien daar is 'n ander gemene faktor . Dus, ons kan skryf:

Ons kry dit deur die uit te haal en te sien wat oorbly. Ons het van dieeerste term en van die tweede term. Dit word genoem faktorisering deurgroepering.

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: FAKTORISERING DEURGROEPERING IN PARE

VRAAG

Vind die faktore van .

OPLOSSING

Stap 1: Daar is geen faktore gemeenskaplik aan al die terme nie

Stap 2: Groepeer terme met gemene faktore bymekaar

is 'n gemeenskaplike faktor van die eerste twee terme en is 'ngemeenskaplike faktor van die laaste twee terme. Ons sien dat die ratio ofverhouding van die koëffisiënte dieselfde is as .

55


OF

Stap 4: Groepeer terme met gemene faktore bymekaar

is 'n gemeenskaplike faktor van die eerste en die derde terme en is'n gemeenskaplike faktor van die tweede en vierde terme

.

Stap 5: Herrangskik die uitdrukking met die gegroepeerde terme

saam



Die faktore van is en .

56

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

OEFENING 1.6.3

Faktoriseer die volgende:

57

15.

16.

17.

Faktoriseer 'n kwadratiese drieterm

Faktorisering is die omgekeerde van die berekening van die produk van faktore. Teneinde 'n volkome vierkant te faktoriseer, moet ons die faktore vind wat, wanneer hullesaam vermenigvuldig word, gelyk is aan die oorspronklike kwadraat.

Oorweeg 'n kwadratiese uitdrukking van die vorm . Ons sien hier dat 'n

gemene faktor is in beide terme. Dus faktoriseer as .

Byvoorbeeld, faktoriseer as .

'n Ander tipe vierkant is saamgestel uit die verskil tussen twee vierkante. Ons weetdat:

So, kan in gefaktoriseerde vorm geskryf word as .

Dit beteken dat wanneer ons te doen kry met 'n vierkant wat bestaan uit die verskiltussen vierkante, kan ons onmiddellik die faktore neerskryf. Hierdie tipe vierkante isbaie eenvoudig om te faktoriseer. Maar, baie vierkante val nie in hierdie kategorieë nieen ons het 'n meer algemene metode nodig om kwadratiese uitdrukkings tefaktoriseer.

Ons kan leer oor die faktorisering van kwadrate deur te kyk na die teenoorgesteldeproses waar twee tweeterme vermenigvuldig word om 'n kwadratiese uitdrukking tevorm.

58

Ons sien die term in die kwadratiese uitdrukking is die produk van die terme inelke hakie. Soortgelyk, die in die kwadratiese drieterm is die produk van die en in die hakies. Uiteindelik is die middelterm die som van twee terme.

Dus, hoe gebruik ons hierdie inligting om die kwadratiese uitdrukking te faktoriseer?

Laat ons begin om te faktoriseer en kyk of ons op sekere algemeneriglyne kan besluit. Eerstens, skryf twee hakies neer met 'n in elke hakie en spasievir die oorblywende terme.

Vervolgens, besluit op die faktore van . Aangesien positief is, is moontlikekombinasies: 1 en 6, 2 en 3, en of en .

Dus het ons vier moontlikhede:

Opsie 1 Opsie 2 Opsie 3 Opsie 4

Vervolgens brei ons elke stel hakies uit om te sien watter opsie gee vir ons diekorrekte middelterm.

Opsie 1 Opsie 2 Opsie 3 Opsie 4

Ons sien dat Opsie 3, , die korrekte oplossing is.

Die proses van faktorisering van 'n kwadratiese drieterm is meestal probeer en trefmaar daar is sommige strategieë wat ons kan gebruik om die proses te vergemaklik.

Algemene prosedure vir die faktorisering van 'n59

Algemene prosedure vir die faktorisering van 'ndrieterm

1. Haal alle gemene faktore in die koëffisiënte uit ten einde 'n uitdrukking te kry van

die vorm waar , en geen gemene faktore het nie en positief is.

2. Skryf twee hakies neer met 'n in elke hakie en spasie vir die oorblywendeterme:

3. Skryf 'n stel faktore neer vir en .

4. Skryf nou 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore van die kwadratiesedrieterm deur die gebruik van die faktore van en .

5. Brei alle opsies uit om te sien watter een gee die korrekte middelterm .

BELANGRIK

As positief is, dan moet die faktore van albei positief of albei negatief wees.As negatief is, beteken dit slegs een van die faktore van is negatief, en dieander een is positief. Wanneer jy 'n antwoord gekry het, vermenigvuldig altyd jouhakies weer uit om seker te maak dat dit regtig werk.

UITGEWERKTE VOORBEELD 13: FAKTORISEER 'NKWADRATIESE DRIETERM

VRAAG

Faktoriseer: .

60

OPLOSSING

Stap 1: Kontroleer dat die kwadratiese drieterm in die verlangde

formaat is

Stap 2: Skryf 'n stel faktore neer vir en

Die moontlike faktore vir is: 1 en 3

Die moontlike faktore vir is: en 1

Skryf 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore van die kwadratiesedrieterm deur die gebruik van die faktore van en . Dus, daar is tweemoontlike opsies.

Opsie 1 Opsie 2

Stap 3: Kontroleer dat die oplossing korrek is deur die

vermenigvuldiging van die faktore


61

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

OEFENING 1.6.4

Faktoriseer die volgende:


Kyk nou: Hoofstuk 1.6 Faktorisering van 3 term

Laai af

62


https://www.dropbox.com/s/gcmxwymoaw9cd85/Graad_10_Faktorisering_van_3_term.ggb?dl=0

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.63

Som en verskil van twee derdemagte

Ons kyk nou twee spesiale resultate wat verkry word deur die vermenigvuldiging van'n tweeterm en 'n drieterm:

Som van twee derdemagte:

Verskil van twee derdemagte:

Dus het ons gesien dat:

Ons gebruik hierdie twee basiese identiteite om die meer komplekse voorbeelde tefaktoriseer.

64

UITGEWERKTE VOORBEELD 14: FAKTORISEER DIE VERSKILVAN TWEE DERDEMAGTE

VRAAG

Faktoriseer: .

OPLOSSING

Stap 1: Neem die derdemagswortels van die terme wat volkome

derdemagte is

Ons werk met die verskil tussen twee derdemagte. Ons weet

, dus moet ons en identifiseer.

Ons begin deur op te let en . Hierdie gee die termein die eerste hakie. Dit vertel ook vir ons dat en .

Stap 2: Vind die drie terme in die tweede hakie

Ons kan en vervang in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukkingvir die verskil tussen twee derdemagte met en . Deur dit te doen, kryons die tweede hakie:

65

Stap 3: Brei die hakies uit om te kontroleer dat die uitdrukking korrek

gefaktoriseer is

UITGEWERKTE VOORBEELD 15: FAKTORISEER DIE SOM VANTWEE DERDEMAGTE

VRAAG

Faktoriseer: .

OPLOSSING


derdemagte is

Ons werk met die som van twee derdemagte. Ons weet dat




Ons kan en vervang in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukkingvir die som van twee derdemagte met en . Deur dit te doen, kry ons

66

die tweede hakie:


gefaktoriseer is

UITGEWERKTE VOORBEELD 16: FAKTORISEER DIE VERSKILVAN TWEE DERDEMAGTE

VRAAG

Faktoriseer: .

OPLOSSING

Stap 1: Haal die gemene faktor van 16 uit


derdemagte is

Ons werk met die verskil tussen twee derdemagte. Ons weet


67



Ons kan en vervang in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukkingvir die verskil tussen twee derdemagte met en . Deur dit te doen, kryons die tweede hakie:


gefaktoriseer is

UITGEWERKTE VOORBEELD 17: FAKTORISEER DIE SOM VANTWEE DERDEMAGTE

VRAAG

Faktoriseer: .

OPLOSSING


derdemagte is68

1.

OEFENING 1.6.5

Faktoriseer:

Ons werk met die som van twee derdemagte. Ons weet dat


Ons begin deur op te let en . Hierdie geedie terme in die eerste hakie. Dit vertel ook vir ons dat en

.


Ons kan en in die gefaktoriseerde vorm van die uitdrukking vir dieverskil tussen twee derdemagte vervang met en . Deur dit te doen,kry ons die tweede hakie:


gefaktoriseer is

69

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

70

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

71

1.7 Vereenvoudiging van breukeOns het prosedures vir bewerkings met breuke in vorige grade bestudeer.

1.

2.

3.

Nota: deling duer 'n breuk is dieselfde as vermenigvuldiging met die resiprook van diebreuk.

In sommige gevalle van die vereenvoudiging van 'n algebraïese uitdrukking, sal dieuitdrukking 'n breuk wees. Byvoorbeeld,

het 'n kwadratiese tweeterm in die teller en 'n lineêre tweeterm in die noemer. Onsmoet die verskillende faktoriseringsmetodes toepas ten einde die teller en die noemerte faktoriseer voor ons die uitdrukking kan vereenvoudig.

As dan is die noemer, en die breuk is ongedefinieerd.

72

UITGEWERKTE VOORBEELD 18: VEREENVOUDIGING VANBREUKE

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik groepering om die teller te faktoriseer en haal die

gemeenskaplike faktor in die noemer uit

Stap 2: Haal die gemene faktor in die teller uit

Stap 3: Kanselleer die gemene faktor in die teller en die noemer om

die finale antwoord te gee



Laai af

73

https://youtu.be/eYzLMysG8lE?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/28rae1cyio6v1cn/Graad_10_Hfst_1.7_VB_18.mp4?dl=0


VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING

Stap 1: Faktoriseer die teller en die noemer

Stap 2: Verander die deelteken en vermenigvuldig met die resiprook



VRAAG

Vereenvoudig:

74

OPLOSSING

Stap 1: Faktoriseer die noemers

Stap 2: Maak al die noemers dieselfde sodat ons die breuke kan optel

of aftrek

Die kleinste gemene noemer is .

Stap 3: Skryf as een breuk


Stap 5: Haal die gemene faktor uit en skryf die finale antwoord

75

a)

OEFENING 1.7.1

1.Vereenvoudig (aanvaar al die noemers is nienul)


VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING

Stap 1: Faktoriseer die teller en die noemer

Stap 2: Vereenvoudig en vind die gemene noemer


76

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

77

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

78

w)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)


79

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

80

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


81

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

82

a)

b)

c)

4.Wat is die beperkings in die volgende:

83

Hoofstuk opsomming

: natuurlike getalle is

: telgetalle is

: heelgetalle is

'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as waar en

heelgetalle is en .

Die volgende is rasionale getalle:

Breuke met beide die teller en die noemer as heelgetalle.

Heelgetalle.

Desimale getalle wat eindig.

Desimale getalle wat herhaal (repeterend is).

Irrasionale getalle is getalle wat nie geskryf kan word as 'n breuk met die telleren die noemer as heelgetalle nie.

As die wortel van 'n getal nie vereenvoudig kan word na 'n rasionale getalnie, word dit 'n wortelvorm genoem.

As en positiewe heelgetalle is, en , dan is .

'n Tweeterm is 'n uitdrukking met twee terme.

Die produk van twee identiese tweeterme is die kwadraat van die tweeterm.

Ons kry die verskil van twee vierkante wanneer ons vermenigvuldig.

84

Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies.

Die produk van 'n tweeterm en 'n drieterm is:

Die uithaal van 'n gemene faktor is die basiese metode vir faktorisering.

Ons moet dikwels groepering gebruik om polinome te faktoriseer.

Om 'n volkome vierkant te faktoriseer, moet ons die twee tweeterme vind watmet mekaar vermenigvuldig is om die volkome kwadraat te gee.

Die som van twee derdemagte kan gefaktoriseer word as:

Die verskil van twee derdemagte kan gefaktoriseer word as:

Ons kan breuke vereenvoudig deur die toepassing van die metodes wat onsgeleer het vir die faktorisering van uitdrukkings.

Slegs faktore kan uitgekanselleer word in breuke, nooit terme nie.

Die noemers van al die breuke moet dieselfde wees om breuke op te tel of af tetrek.

85


en .

a)

b)

a)

2.Meld of die volgende getalle reëel, niereëel of ongedefinieerd is.

HOOFSTUK 1: HERSIENINGSOEFENINGE

Waar hoort die getal in die diagram?


Elke natuurlike getal is 'n heelgetal.Elke heelgetal is 'n natuurlike getal.Daar is breuke in die heelgetalle.

86

b)

c)

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

3.Meld of elk van die volgende getalle rasionaal of irrasionaal is.

a)

b)

c)

4.As 'n heelgetal is, 'n heelgetal is en is irrasionaal, watter vandie volgende is rasionale getalle?

87

d)


a)

b)

c)

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

6.Skryf elke desimaal as 'n eenvoudige breuk.

Watter van die getalle is niereële getalle?

Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, orden al die reële getalle in 'norde van toenemende grootte.

Watter van die getalle is irrasionale getalle?

Watter van die getalle is rasionale getalle?

Watter van die getalle is heelgetalle?

Watter van die getalle is ongedefinieerd?

88

e)

f)

g)

7.

a)

b)

8.Skryf die volgende breuke as desimale getalle:

9.

10.Vir elk van die volgende getalle:

a)

b)

11.Skryf die volgende rasionale getalle tot 2 desimale plekke.

Toon dat die desimaal 'n rasionale getal is.

Druk uit as 'n breuk waar (toon al jou bewerkings).

skryf die volgende drie syfers;meld of die getal rasionaal of irrasionaal is.

89

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

12.Rond die volgende irrasionale getalle af tot 3 desimale plekke.

13.

14.

15.

a)

16.Gebruik jou sakrekenaar en skryf die volgende irrasionale getalle tot3 desimale plekke.

Rond die getal af tot desimale plekke.



90

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

17.Gebruik jou sakrekenaar (waar nodig) en skryf die volgende getalletot 5 desimale plekke. Meld of die getalle irrasionaal of rasionaal is.

91

a)

b)

18.Rond af:

a)

b)

c)

d)

19.Skryf die volgende irrasionale getalle tot 3 desimale plekke en skryfdan elkeen as 'n rasionale getal om 'n benadering te kry van dieirrasionale getal.

a)

b)

c)

d)

e)

20.Bepaal tussen watter twee opeenvolgende heelgetalle die volgendeirrasionale getalle lê, sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

tot die naaste desimale plekke.

tot die naaste desimale plekke.

92

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

a)

b)

c)

d)

21.Skat die volgende wortelvorme tot die naaste desimale plek,sonder die gebruik van 'n sakrekenaar.

a)


93

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)94

q)

r)

s)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

23.Brei die volgende uit:

95

j)

24.

a)

b)

c)

d)

25.

In :

a)

b)

c)


Wat is die waarde van in ?





Brei uit.

Brei uit.


96

a)

b)

c)

d)

27.Los op deur faktorisering:

a)

b)

c)

d)

e)

28.Stel die volgende voor as die produk van sy priemfaktore:

a)

b)

c)

d)

29.Faktoriseer:

97

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)98

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

30.Faktoriseer die volgende:

99

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

100

u)

v)

w)

x)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

31.Vereenvoudig die volgende:

101

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

102

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

32.

Wys dat vereenvoudig kan word tot

.

103

33.

34.

35.

36.

a)

b)

37.Wat is die beperkings op die volgende?

Wat moet by gevoeg word om dit gelyk te maak aan ?

Evalueer as

Met watter uitdrukking moet vermenigvuldig word om 'n produk te

kry van ?

Met watter uitdrukking moet gedeel word om 'n kwosiënt te kryvan ?

104

HOOFSTUK 2: EKSPONENTE

InleidingEksponensiële notasie is 'n kort manier om aan te dui dat dieselfde getal 'n aantal keremet homself vermenigvuldig word. Dit is baie handig in die alledaagse lewe. Jy hetseker al gehoor dat iemand die oppervlakte van 'n area beskryf in vierkante meter ofvierkante kilometer. Byvoorbeeld, die grootste radioteleskoop in die wêreld word inSuidAfrika gebou. Die teleskoop word die vierkante kilometer opstelling, of SKA,genoem. Dit is omdat die teleskoop 'n area van kilometer by kilometer of vierkante kilometer sal beslaan.

Antennas van die SKA (kunstenaarsvoorstelling).

Eksponente is ook baie handig om baie groot en baie klein getalle mee uit te druk.Byvoorbeeld, die SKA sal ongelooflike swak seine optel van voorwerpe wat so verweg is dat dit totaal onprakties sou wees om die sterkte van die sein of die afstand, inkilometers, uit te skryf. Benewens in die astronomie, word eksponente gebruik deurmense soos rekenaarprogrammeerders, ingenieurs, ekonome, finansiële analiste,bioloë en demograwe.

Jy is reeds in vorige grade bekend gestel aan eksponente en eksponentwette. Onthoudat eksponente ook indekse of magte genoem kan word. Eksponentnotasie is as volg:

105

Vir enige reële getal en natuurlike getal , kan ons aantal kerevermenigvuldig met homself, skryf as: .

Onthou die volgende identiteite:

1.

2.

3.

4. Net so,

Kyk na die volgende voorbeelde en sien hoe hierdie identiteite werk:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

106

LET WEL

As dit makliker is om jou finale antwoord uit te werk sonder 'n sakrekenaar, skryfdit volledig uit nie in eksponensiële notasie nie soos in voorbeelde 1 en 5.

LET WEL

Dit is die konvensie om jou finale antwoord met positiewe eksponente te skryf.

In hierdie hoofstuk sal ons die eksponentwette hersien en hierdie wette gebruik ommeer komplekse uitdrukkings te vereenvoudig en meer ingewikkelde vergelykings opte los.

107

2.1 Hersiening van eksponentwetteDaar is verskeie wette wat ons kan gebruik om bewerkings met eksponensiële getallete vergemaklik. Sommige van hierdie wette is moontlik behandel in vorige grade, maarons gee 'n volledige lys van al die wette vir maklike verwysing:

waar , en

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TOEPASSING VAN DIEEKSPONENTWETTE

VRAAG

Vereenvoudig:

1.

2.

3. 108

4.

5.

6.

7.

8.

OPLOSSING

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

109



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: EKSPONENSIËLEUITDRUKKINGS

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING

Stap 1: Verander die grondtalle na priemgetalle

Met die eerste oogopslag lyk dit nie asof ons hierdie uitdrukking kanvereenvoudig nie, maar, as ons die grondtalle reduseer tot priemgetalle,kan ons die eksponentwette toepas.

110

https://youtu.be/GD44F8Pxf-w?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL


Stap 2: Vereenvoudig die eksponente

WENK

Wanneer jy 'n breuk het van een term oor 'n ander term, gebruik die metode ompriemgrondtalle te vind met ander woorde, gebruik priemfaktorisering op diegrondtalle.

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: EKSPONENSIËLEUITDRUKKINGS

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING


111

Stap 2: Trek die eksponente af (dieselfde grondtal)

Stap 3: Skryf die antwoord as 'n breuk



Laai af

LET WEL

Wanneer jy met eksponente werk, geld al die berekeningswette van algebra nogsteeds.

112

https://youtu.be/R1z0UJ3ibu0?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/fmqm7msc1ebhufa/Graad_10_Hfst_2.1_VB_3.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VEREENVOUDIG DEUR DIEGEMENE FAKTOR UIT TE HAAL

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING

Stap 1: Vereenvoudig tot 'n faktoriseerbare vorm

Vir elke eksponentwet kan ons die wet “terugwerk” met ander woorde onskan in die teenoorgestelde rigting werk. Vir hierdie uitdrukking kan ons dievermenigvuldigingswet omkeer om te skryf as .

Stap 2: Haal 'n gemeenskaplike faktor uit

Stap 3: Kanselleer die gemeenskaplike faktor en vereenvoudig

113

WENK

Wanneer jy 'n breuk het met meer as een term in die teller of in die noemer,verander na priemgrondtalle wanneer nodig, en faktoriseer dan.



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VEREENVOUDIG DEUR DIEVERSKIL TUSSEN TWEE VIERKANTE TE GEBRUIK

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING


114

https://youtu.be/fJm273KDnME?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/pghc6diwbf7wp1w/Graad_10_Hfst_2.1_VB_4.mp4?dl=0

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

OEFENING 2.1.1

Vereenvoudig sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

Stap 2: Faktoriseer deur die verskil tussen vierkante te gebruik

Stap 3: Kanselleer die gemeenskaplike faktor en vereenvoudig

115

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

116

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

117

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

118

2.2 Rasionale eksponenteOns kan ook die eksponentwette toepas op uitdrukkings met rasionale eksponente.

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VEREENVOUDIGING VANRASIONALE EKSPONENTE

VRAAG

Vereenvoudig:

OPLOSSING

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VEREENVOUDIGING VANRASIONALE EKSPONENTE

VRAAG

Vereenvoudig:

119

1.

2.

3.

OEFENING 2.2.1

Vereenvoudig sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:

OPLOSSING

Stap 1: Skryf as 'n breuk en vereenvoudig



Laai af

120

https://youtu.be/pFpFTz28xs8?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/va9153v9p0olhrq/Graad_10_Hfst_2.2_VB_7.mp4?dl=0

4.

5.

6.

7.

8.

9.

121

2.3 Eksponensiële vergelykingsIn eksponensiële vergelykings is die onbekende veranderlike in die eksponent. Hier isenkele voorbeelde:

As ons 'n enkele term met dieselfde grondtal aan elke kant van die vergelyking kanskryf, dan kan ons die eksponente gelykstel. Dit is een manier waarop onseksponensiële vergelykings kan oplos.

Belangrik: as en dan:

Let ook op dat as , dan kan en verskillend wees.

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: STEL EKSPONENTE GELYK

VRAAG

Los op vir : .

OPLOSSING


122

Stap 2: Die grondtalle is dieselfde, dus kan ons die eksponente

gelykstel



Laai af


Kyk nou: Hoofstuk 2.3 Eksponensiële vergelykings

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: STEL EKSPONENTE GELYK

VRAAG

Los op vir : .

OPLOSSING

Stap 1: Los op vir

Vanaf die eksponent identiteite, weet ons dat , dus:

123

https://youtu.be/4mw995gggJo?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/gx4x8z9oh7rm1sf/Graad_10_Hfst_2.3_VB_8.mp4?dl=0


https://www.dropbox.com/s/7lx3x7mb8o503qr/Graad_10_Eksponensi%C3%ABle_vergelykings.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: LOS VERGELYKINGS OPDEUR DIE UITHAAL VAN 'N GEMEENSKAPLIKE FAKTOR

VRAAG

Los op vir : .

OPLOSSING

Stap 1: Herskryf die uitdrukking

Stap 2: Haal 'n gemeenskaplike faktor uit



124

Stap 5: Die grondtalle is dieselfde, dus kan ons die eksponente

gelykstel



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: LOS VERGELYKINGS OPDEUR DIE FAKTORISERING VAN 'N DRIETERM

VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Faktoriseer die drieterm

Stap 2: Los op vir

of . Maar is ongedefineer, dus:

125

https://youtu.be/kyTg-rmM_q4?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/tc0wiwd7angs34b/Graad_10_Hfst_2.3_VB_10.mp4?dl=0

Dus

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: LOS VERGELYKINGS OPDEUR DIE FAKTORISERING VAN 'N DRIETERM

VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Herskryf die vergelyking

Ons let op dat , dus kan ons die vergelyking herskryf as:

Stap 2: Faktoriseer as 'n drieterm

Stap 3: Los op om beide wortels te vind

126

Dus of .

UITGEWERKTE VOORBEELD 13: OPLOS VAN VERGELYKINGSDEUR FAKTORISERING

VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Herskryf die vergelyking

Ten einde die vergelyking in 'n faktoriseerbare vorm te kry, moet ons dievergelyking herskryf:

Elimineer nou die breuk deur weerskante te vermenigvuldig met dienoemer, .

Stap 2: Faktoriseer die vergelyking

Nadat ons die vergelyking herrangskik het, kan ons sien dat ons nou 'n127

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

1.Los die veranderlike op:

OEFENING 2.3.1

verskil tussen twee vierkante het. Dus:

Dus .

128

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

129

2.

3.

4.

Die groei van alge kan gemodelleer word met die funksie . Vind

die waarde van sodat .

Gebruik probeer en tref om die waarde van te vind, korrek tot 2 desimaleplekke.


130

Hoofstuk opsommingEksponensiële notasie beteken om 'n getal te skryf as waar 'n heelgetalis en enige reële getal kan wees.

is die grondtal en is die eksponent of indeks.

Definisie:

, as

, as

, as

Die eksponentwette:

Wanneer uitdrukkings met eksponente vereenvoudig moet word, kan ons diegrondtalle verander na priemgrondtalle of faktoriseer.Wanneer ons vergelykings met eksponente oplos, kan ons die reël toepas datas dan is ; of ons kan die uitdrukkings faktoriseer.

131

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

1.Vereenvoudig:


132

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

133

v)

w)

x)

y)

z)

a)

b)

c)

d)

e)

2.Vereenvoudig:

134

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

135

q)

r)

s)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

3.Los op:

136

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

137

x)

4.

5.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6.Verduidelik waarom die volgende bewerings vals is:

7.



As voluit geskryf word, uit hoeveel syfers sal dit bestaan?

138

8.

Bewys dat

139

HOOFSTUK 3: GETALPATRONE

InleidingIn vorige grade het jy patrone gesien in die vorm van prentjies en getalle. In hierdiehoofstuk leer ons meer oor die wiskunde van patrone. Patrone is herhalendesekwensies of rye wat ons vind in die natuur, in vorme, gebeure, versamelings vangetalle en omtrent enige plek waar mens kyk. Byvoorbeeld, die sade van 'nsonneblom, sneeuvlokkies, meetkundige ontwerpe op laslappiekomberse of teëls, ofrye getalle

Die patroon van die sade in 'n sonneblom volg die Fibonacci ry, of

Probeer om op jou eie patrone raak te sien in die volgende rye:

1.

2.

3.

4.

140

3.1 Beskrywing van rye'n Ry is 'n geordende lys van items, meestal getalle. Elke item wat die ry vorm, word 'n“term” genoem.

Rye kan interessante patrone vorm. Ons ondersoek nou sekere tipes patrone en hoehulle gevorm word.

Voorbeelde:

1.

Daar is 'n verskil van tussen opeenvolgende terme.

Die patroon word voortgesit deur by die vorige term te tel.

2.

Daar is 'n verskil van tussen opeenvolgende terme.

Die patroon word voortgesit deur by te tel by (dit is om af te trek van) dievorige term.

3.

Hierdie ry het 'n faktor van tussen opeenvolgende terme.

Die patroon word voortgesit deur die vorige term met 2 te vermenigvuldig.

4. 141


Die patroon word voortgesit deur die vorige term te vermenigvuldig met .

5.


Die patroon word voorgesit deur die vorige term met te vermenigvuldig, watekwivalent is daaraan om die vorige term met 3 te deel.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: STUDIETABEL

VRAAG

Jy en vriende besluit om te studeer vir Wiskunde en julle sit saam om 'nvierkantige tafel. 'n Paar minute later kom nog vriende daar aan en hulle wilook by jou tafel sit. Jy skuif 'n ander tafel langs joune sodat mense kan sit.Nog vriende wil ook by julle groep aansluit, dus neem jy 'n derde tafel en lasdit by die bestaande tafels. Nou kan mense saam sit.

Ondersoek hoe die aantal mense wat kan sit, verband hou met die aantaltafels. Is daar 'n patroon?

Vir elke tafel wat bygevoeg word, kan twee ekstra persone plaasneem.

142

OPLOSSING

Stap 1: Voltooi 'n tabel om te sien of 'n patroon vorm

Aantal tafels, n Aantal mense wat kan sit

n

Stap 2: Beskryf die patroon

Ons sien dat met tafels, kan mense sit, met tafels, kan mensesit, ensovoorts. Ons het begin met mense en het elke keer tweebygevoeg. Dus, vir elke tafel wat bygevoeg word, vermeerder die aantalmense met .

Dus is die patroon wat gevorm word .



Laai af

Ons gebruik die volgende notasie om die terme in 'n getalpatroon mee te beskryf:

Die eerste term van 'n ry is .

143

https://youtu.be/2QctZYwn8tg?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/z1uher6yp5s9iy6/Graad_10_Hfst_3.1_VB_1.mp4?dl=0

Die vierde term van 'n ry is .

Die tiende term van 'n ry is .

Die algemene term word dikwels uitgedruk as die term en word geskryf as .

'n Ry hoef nie noodwendig 'n patroon te volg nie, maar wanneer dit wel doen, kan ons'n algemene formule neerskryf waarmee ons enige term kan bereken. Byvoorbeeld,beskou die volgende lineêre ry:

Die term word gegee deur die algemene formule:

Jy kan dit kontroleer deur waardes in die formule te stel:

As ons die verband tussen die posisie van 'n term en sy waarde vind, kan ons 'nalgemene formule opstel wat by die patroon pas en enige term van die ry vind.

Gemene verskil

Beskou die volgende ry:

Ons kan sien dat elke term met 5 afneem, maar hoe bepaal ons die algemene formulevir die term? Laat ons dit probeer doen met 'n tabel.

144

Nommer vanterm

Term

Formule

Jy kan sien dat die verskil tussen twee opeenvolgende terme altyd die koëffisiënt van in die formule is. Dit word 'n gemene verskil genoem.

Dus, vir rye met 'n gemene verskil, sal die algemene formule altyd van die vorm: wees, waar die verskil is tussen enige twee opeenvolgende terme

en 'n konstante is.

LET WEL

Rye met 'n gemene verskil, word lineêre rye genoem.

DEFINISIE

Gemene verskil

Die gemene verskil is die verskil tussen enige term en die voorafgaandeterm. Die gemene verskil word aangedui deur .

Byvoorbeeld, beskou die ry

Om die gemene verskil te bereken, moet ons die verskil vind tussen enige term en dievorige term.

Laat ons die verskil vind tussen die eerste twee terme.

145

Kom ons kontroleer twee ander terme:

Ons sien dat konstant is.

In die algemeen,

BELANGRIK

byvoorbeeld, , nie .

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: STUDIE TABEL, VERVOLG

VRAAG

Soos vantevore, studeer jy en jou vriende vir Wiskunde en julle sit saam by'n vierkantige tafel. 'n Paar minute later kom ander vriende daar aan en jyskuif nog 'n tafel langs julle s'n. Nou kan mense by die tafel sit. Nog vriende sluit by julle groep aan; jy neem 'n derde tafel en las dit by diebestaande twee tafels. Nou kan mense saam sit soos hier onder aangetoon.

1. Vind 'n uitdrukking vir die aantal mense wat by tafels kan sit.

2. Gebruik hierdie algemene formule om te bepaal hoeveel mense om tafels kan sit.

3. Hoeveel tafels word benodig om mense sitplek te gee?

146

Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat bygelas word.

OPLOSSING

Stap 1: Stel 'n tabel op om die patroon te sien.

Aantal tafels, Aantal mense wat kan sit Patroon

n

Nota: Daar mag variasies wees in die manier waarop jy dink oor diepatroon in hierdie probleem. Byvoorbeeld, jy mag hierdie probleem beskouasof die persoon aan die een punt vas is, twee mense sit regoor mekaarper tafel en een persoon op die ander punt is vas. Die resultaat hiervan is

. Jou formule vir sal steeds reg wees.

Stap 2: Beskryf die patroon

Die aantal mense wat by tafels sit, is

Stap 3: Bereken die twaalfde term, met ander woorde, vind as

147

Dus kan mense by tafels sit.

Stap 4: Bereken die aantal tafels wat benodig word om mense

sitplek te gee, met ander woorde vind as

Dus word tafels benodig vir mense.



Laai af

Dit is belangrik om die verskil raak te sien tussen en . kan vergelyk word met'n plekhouer wat die posisie van die term in die ry aandui, terwyl die waarde isvan die term. In die voorbeeld hierbo, het die eerste tafel plek vir mense. Dusvir , is die waarde van ensovoorts:

148

https://youtu.be/SXo5kBqyJpc?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/45b347bf1ldbp8b/Graad_10_Hfst_3.1_VB_2.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: DATAPLANNE

VRAAG

Raymond teken in vir 'n beperkte dataplan van Vodacell. Die beperkte dataplankos vir gigabyte (GB) per maand, vir per maand en

vir per maand. Aanvaar hierdie patroon word onbeperkvoortgesit.

1. Gebruik 'n tabel om die patroon van die koste van die dataplanne voor testel.

2. Vind die algemene formule vir die ry.

3. Gebruik die algemene formule om die koste te bepaal vir 'n dataplan.

4. Die koste van 'n onbeperkte dataplan in per maand. Bepaal diehoeveelheid data wat Raymond moet gebruik voordat dit goedkoper virhom sal wees om in te teken op 'n onbeperkte dataplan.

OPLOSSING

Stap 1: Stel 'n tabel op om die patroon te sien.

Aantal GB

Koste (inRand)

Patroon

149

Stap 2: Gebruik die waargenome patroon om die algemene formule te

vind.

Die prys van GB data is

Stap 3: Bepaal die koste van van data.

Hierdie vraag verwag van ons om die waarde te bepaal van die term, met ander woorde, vind as . Deur die gebruik van diealgemene formule, kry ons:

Dus is die koste van 'n datapakket .

Stap 4: Bepaal wanneer dit goedkoper is om die onbeperkte dataplan

te koop

Die finale vraag van hierdie uitgewerkte voorbeeld verwag van ons om tebepaal wanneer dit vir Raymond goedkoper sal wees om die onbeperktedatapakket te koop in plaas van die beperkte plan. Met ander woorde, onsmoet vind waar minder is as .

Ons weet dat:

Dus as

150

1.

OEFENING 3.1.1

As ons oplos, kry ons:

Dus is dit goedkoper vir Raymond om die onbeperkte dataplan te koopindien hy meer as per maand gebruik.


Kyk nou: Hoofstuk 3.1 Poligone

Laai af

Gebruik die gegewe rye om die tabel hieronder te voltooi.

Nommer van figuur

Aantal kolletjies

Aantal lyne

Totaal

151


https://www.dropbox.com/s/2agpzky1n8gj50r/Graad_10_Poligone.ggb?dl=0

2.

3.

a)

b)

c)

d)

4.Vir elk van die volgende rye, bepaal die algemene verskil. As die rynie lineêr is nie, skryf “geen gemene verskil”.

a)

b)

c)

d)

5.Skryf die volgende drie terme in elk van die volgende rye neer:

Beskou die volgende ry getalle:

As wat is die waarde van ?

Beskou die ry wat hier getoon word:


152

e)

f)

g)

6.

7.

8.

a)

b)

c)

d)

e)

9.Die algemene term vir elke ry hieronder, word gegee. Bereken dieontbrekende terme (elke ontbrekende term word deur aangedui).

Gegee 'n patroon wat begin met die getalle: . Bepaal diewaardes van en .

Gegee 'n ry wat begin met die letters: . Bepaal diewaardes van en .

Gegee 'n patroon wat begin met die getalle: . Bepaal diewaardes van en .

153

a)

b)

c)

10.Vind die algemene formule vir die volgende rye en bepaal dan ,

en

11.Die diagram hieronder toon prentjies wat 'n patroon vorm.

a)

b)

c)

12.Bestudeer die volgende ry:

Hoeveel driehoeke sal daar in die vyfde prentjie wees?

Bepaal 'n formule vir die term.

Gebruik die formule om te bepaal hoeveel driehoeke daar in die prentjie van die diagram is.

154

a)

b)

c)

a)

b)

c)


a)

b)

14.Beskou die volgende lys:

15.Beskou die volgende patroon:

Skryf die volgende terme neer.

Vind die algemene formule vir die ry

Vind die waarde van as is.


Vind die algemene formule vir die ry

Vind die waarde van as is .

Vind die gemene verskil vir die terme van die lys. As die ry nie lineêris nie (dus as dit nie 'n gemene verskil het nie), skryf “geen gemeneverskil”.

As daar nou vir jou gesê word dat , bepaal die waardes van en .

155

a)

b)

16a)

b)

17a)

b)

Vind die gemene verskil vir die terme van die patroon. As die ry nielineêr is nie (as dit nie 'n gemene verskil het nie), skryf “geen gemeneverskil”.


Bepaal die waarde van indien die volgende terme:

'n lineêre ry vorm. As dieantwoord nie 'n heelgetal is nie, skryf die antwoord as 'nvereenvoudigde breuk.

Bepaal nou die numeriese waarde van die eerste drie terme. As dieantwoorde nie heelgetalle is nie, skryf jou antwoorde as breuke.

As die volgende terme 'n lineêre ry vorm, bepaal :

Indien die antwoord nie 'n heelgetal is nie, skryf die antwoord invereenvoudigde breukvorm.


156

18.Wat is die letter van hierdie patroon:PATROONPATROONPATROONPATROONPATROONPATROONPATRO.............?

157

Hoofstuk opsommingDie algemene term word uitgedruk as die term en word geskryf as .

Ons definieer die gemene verskil van 'n ry as die verskil tussen enige twee

opeenvolgende terme, waar

Ons kan 'n algemene formule vir elke getalpatroon uitwerk en dit gebruik omenige term in die patroon te bepaal.


Kyk nou: Hoofstuk 3 Rye en Reekse

Laai af

158


https://www.dropbox.com/s/7hsjvtwjbx4s8h8/Hoofstuk_3_Rye%20en%20Reekse.ggb?dl=0

1.

2.

3.

4.


Analiseer die diagram en voltooi die tabel:

Nommer van figuur ( )

Aantal horisontale vuurhoutjies

Aantal vertikale vuurhoutjies

Totale aantal vuurhoutjies

Gegewe 'n lys van getalle: . Bepaal diegemene verskil vir die ry (as daar 'n gemene verskil is).

Bepaal die gemene verskil vir hierdie patroon: .

As die patroon nie lineêr is nie, skryf “geen gemene verskil”. Andersins, geejou antwoord as 'n desimaal.

Beskou die lys wat hier getoon word:


159

a)

b)

5.Skryf die volgende drie terme in elk van die volgende lineêre ryeneer:

6.

7.

a)

b)

c)

8.Vind die sesde term in elk van die volgende rye:

a)

b)

9.Vind die algemene formule vir die volgende rye en vind dan T10, T15en T30

Gegee 'n ry wat begin met die getalle: . Bepaal diewaardes van en .

Gegee 'n lys wat begin met die letters: . Bepaal diewaardes van en .

160

a)

b)

c)

10.Die algemene term word vir elke ry hieronder gegee. Bereken dieontbrekende terme (elke ontbrekende term woord as aangedui).

a)

b)

c)

d)

11.Vind die algemene term in elk van die volgende rye:

a)

b)

c)


13.


Vind die algemene formule vir die ry.

Vind die waarde van as is.

Wat is die letter van die ry: ALGEMENEALGEMENE.............?

161

14.

15.

16.Die diagram hieronder toon prentjies wat 'n patroon vorm.

a)

b)

c)

17.'n Enkele vierkant word gevorm deur vuurhoutjies. Twee vierkantein 'n ry benodig vuurhoutjies en drie vierkante gebruikvuurhoutjies.

Wat is die letter van die ry:WISKUNDEWISKUNDEWISKUNDEWISK.............?

Die sitplekke van 'n sportstadion is so gerangskik dat die eerste ry sitplekke het; die tweede ry het sitplekke, die derde ry het sitplekke,ensovoorts. Bereken hoeveel sitplekke is daar in die ry.

Hoeveel blokkies sal daar in die sesde prentjie wees?

Bepaal die formule vir die term.

Gebruik die formule om te bepaal hoeveel blokkies in die prentjie van die diagram is.

162

a)

b)

c)

d)

Beantwoord die volgende vrae vir hierdie ry.

18.

a)

b)

19.Beskou die volgende lys:

Bepaal die eerste term.

Bepaal die gemene verskil.

Bepaal die algemene formule.

'n Ry het vyf en twintig blokkies. Hoeveel vuurhoutjies is daar in diery?

Jy wil graag begin om geld te spaar, maar omdat jy nog nooit vantevoreprobeer het om geld te spaar nie, besluit jy om stadig te begin. Teen die eindevan die eerste week, deponeer jy in jou bankrekening. Teen die eindevan die tweede week, deponeer jy en teen die einde van die derdeweek, . Na hoeveel weke sal jy moet deponeer in joubankrekening?

Vind die gemene verskil vir die terme van die lys. As die ry nie lineêris nie (dus as dit nie 'n gemene verskil het nie), skryf “geen gemeneverskil”.


163

20a)

b)

21.

22.Analiseer die prentjie hieronder:

a)

Bepaal die waarde van indien die volgende terme:

'n lineêre ry vorm. As dieantwoord nie 'n heelgetal is nie, skryf die antwoord as 'nvereenvoudigde breuk.


Hoeveel blokkies sal daar in die prentjie wees?(Wenk: Gebruik die grys blokkies om te help)

Hoeveel blokkies is daar in die volgende prentjie?164

b)

c)

23.

a)

b)

24.Gebruik 'n sakrekenaar om 'n ondersoek te doen en veralgemeendan jou bevindings om die volgende te bepaal:

Skryf die algemene formule vir hierdie patroon neer.

Hoeveel blokkies sal daar in die prentjie wees?

'n Horisontale lyn sny 'n stuk tou by punte en verdeel dit in vyf dele, sooshieronder aangetoon.

As die stuk tou op hierdie manier gekruis word deur ewewydige lyne, watelkeen die tou by punte sny, bepaal die aantal dele waarin die stuk touverdeel word.

enesyfer van

tienesyfer van

165

c)

25.

res wanneer gedeel word deur

Analiseer die diagram en voltooi die tabel.

Die kolletjies vorm 'n driehoekige patroon en die formule is .

Die algemene formule vir die lyne is .

Nommer van figuur

Aantal kolletjies

Aantal lyne

Totaal

166

HOOFSTUK 4: VERGELYKINGS ENONGELYKHEDE

InleidingVergelykings word algemeen gebruik om die wêreld rondom ons te beskryf. Innatuurwetenskap word vergelykings gebruik om alles te beskryf van hoe 'n bal teen 'nskuinste afrol tot hoe die planete om die son beweeg.

In hierdie hoofstuk sal ons verskillende tipes vergelykings ondersoek, sowel as kykhoe die vergelykings gebruik kan word om probleme in die regte wêreld op te los. Onskyk ook na lineêre ongelykhede.

167

4.1 Oplos van lineêre vergelykings


Kyk nou: Hoofstuk 4.1 Oplos van lineêre vergelykings

Laai af

Die eenvoudigste vergelyking om op te los is 'n lineêre vergelyking. 'n Lineêrevergelyking is 'n vergelyking waar die hoogste eksponent van die veranderlike is.Die volgende is voorbeelde van lineêre vergelykings:

Om 'n vergelyking op te los, beteken om die waarde te vind van die veranderlike watdie vergelyking waar maak. Byvoorbeeld, om die eenvoudige vergelyking op te los, moet ons die waarde vind van wat die linkerkant gelyk sal maak aan dieregterkant. Die oplossing is .

Die oplossing, ook genoem die wortel van 'n vergelyking, is die waarde van dieveranderlike wat die vergelyking bevredig. Vir lineêre vergelykings is daar op diemeeste een oplossing vir die vergelyking.

Om vergelykings op te los, gebruik ons algebraïese metodes wat die uitbreiding vanuitdrukkings, groepering van terme en faktorisering insluit.

168


https://www.dropbox.com/s/cbmkuf50awroone/Graad_10_Oplos_van_line%C3%AAre_vergelykings.ggb?dl=0

Byvoorbeeld:

Kontroleer die antwoord deur substitusie van .

Dus

Metode vir die oplossing van lineêre vergelykings

Die algemene stappe vir die oplos van lineêre vergelykings is:

1. Brei al die hakies uit.

2. Herrangskik die terme so dat al die terme wat die veranderlike bevat aan die eenkant van die vergelyking is en al die konstante terme aan die ander kant.

3. Groepeer die terme saam en vereenvoudig.

4. Faktoriseer indien nodig.

5. Vind die oplossing en skryf die antwoord neer.169

6. Kontroleer die antwoord deur die oplossing weer te substitueer in dieoorspronklike vergelyking.

BELANGRIK

'n Vergelyking moet altyd gebalanseerd wees, wat jy ook al doen aan dielinkerkant, moet jy ook doen aan die regterkant.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: OPLOS VAN LINEÊREVERGELYKINGS

VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Brei die hakies uit en vereenvoudig

Stap 2: Deel weerskante deur 10

Stap 3: Kontroleer die antwoord deur die oplossing weer in te stel in

die oorspronklike vergelyking

170

Aangesien beide kant gelyk is, is die antwoord reg.



Laai af


VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Vermenigvuldig beide kante van die vergelyking met

Deling deur is ongedefinieerd, dus moet daar 'n beperking wees: 171

https://youtu.be/UoOQZEhCPcs?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/xipm08dvn8186bs/Graad_10_Hfst_4.1_VB_1.mp4?dl=0

.

Stap 2: Brei die hakies uit en vereenvoudig

Stap 3: Deel weerskante deur




172


VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Vermenigvuldig die vergelyking met die gemene noemer

en vereenvoudig

Stap 2: Herrangskik die terme en vereenvoudig




173

1.

2.

3.

4.

OEFENING 4.1.1

Los die volgende vergelykings op (aanvaar geen noemer is nul nie)


174

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

175

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

176

33.

34.

35.

177

4.2 Oplos van kwadratiese vergelykings'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van die veranderlikeop die meeste is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings:

Kwadratiese vergelykings verskil van lineêre vergelykings daarin dat 'n lineêrevergelyking op die meeste een oplossing het, terwyl 'n kwadratiese vergelyking op diemeeste twee oplossings het. Daar is egter sekere spesiale gevalle waar 'nkwadratiese vergelyking een of geen oplossings het.

Ons los kwadratiese vergelykings op deur faktorisering. Byvoorbeeld,om

op te los, moet ons dit skryf in sy ekwivalente gefaktoriseerde

vorm as . Let daarop dat as dan of .

Metode vir die oplos van kwadratiese vergelykings

1. Herskryf die vergelyking in die verlangde vorm, .

2. Deel die hele vergelyking deur enige gemeenskaplike faktor van die koëffisiënte

om 'n vergelyking te kry van die vorm , waar , en

geen gemene faktore het nie. Byvoorbeeld kan geskryf

word as .

3. Faktoriseer na die vorm .

178

4. Die twee oplossings is of , dus of

, onderskeidelik.

5. Kontroleer die antwoord deur substitusie in die oorspronklike vergelyking.

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: OPLOS VAN KWADRATIESEVERGELYKINGS

VRAAG

Los op vir :

OPLOSSING

Stap 1: Die vergelyking is alreeds in die verlangde vorm,

Stap 2: Faktoriseer

Stap 3: Los op vir beide faktore

Ons het

OF

179

Stap 4: Kontroleer beide antwoorde deur substitusie in die

oorspronklike vergelyking in


Die oplossing van is of .



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: OPLOS VAN KWADRATIESEVERGELYKINGS

VRAAG

Bepaal die wortels:

OPLOSSING

Stap 1: Die vergelyking is alreeds in die verlangde vorm,

180

https://youtu.be/4KHzT53F5Qg?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/45g6gqaiija2vhg/Graad_10_Hfst_4.2_VB_4.mp4?dl=0

Stap 2: Deel die vergelyking met die gemene faktor

Stap 3: Faktoriseer

Stap 4: Die linkerkant van die vergelyking is 'n volkome vierkant

Dit is 'n voorbeeld van 'n spesiale situasie waarin daar slegs een oplossingis vir 'n kwadratiese vergelyking omdat beide faktore dieselfde is.

Stap 5: Kontroleer die antwoord deur substitusie terug in die

oorspronklike vergelyking


Die oplossing van is .

181

a)

b)

c)

1.Skryf die volgende in standaardvorm

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2.Los die volgende vergelykings op:

OEFENING 4.2.1

182

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

183

y)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

3.Los die volgende vergelykings op (let op die beperkings wat vantoepassing is)

184

k)

l)

m)

n)

185

4.3 Oplos van gelyktydige vergelykingsTot op hede het ons vergelykings opgelos met slegs een onbekende veranderlike.Wanneer daar twee onbekende veranderlikes gevind moet word, is twee vergelykingsnodig en hierdie vergelykings staan bekend as gelyktydige vergelykings. Dieoplossings is die waardes vir die onbekende veranderlikes wat beide vergelykingsgelyktydig bevredig. In die algemeen, as daar onbekende veranderlikes is, danword onafhanklike vergelykings benodig om 'n waarde te kry vir elk van die veranderlikes.

'n Voorbeeld van 'n stelsel van gelyktydige vergelykings is:

Ons het twee onafhanklike vergelykings om twee onbekende veranderlikes op te los.Ons kan gelyktydige vergelykings algebraïes oplos deur substitusie en eliminasiemetodes. Ons sal ook wys dat 'n stel gelyktydige vergelykings grafies opgelos kanword.

Oplos deur substitusie

Gebruik die eenvoudigste van die twee gegewe vergelykings om een van dieveranderlikes uit te druk in terme van die ander.

Vervang in die tweede vergelyking. Deur dit te doen, verminder ons die getalvergelykings en die getal veranderlikes met een.

Ons het nou een vergelyking met een onbekende veranderlike om op te los.

Gebruik die oplossing en vervang terug in die eerste vergelyking om die waardete vind van die ander onbekende veranderlike.

186

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: GELYKTYDIGEVERGELYKINGS

VRAAG

Los op vir en :

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik vergelyking om uit te druk in terme van

Stap 2: Vervang in die vergelyking en los op vir

Stap 3: Vervang terug in die vergelyking in en los op vir

Stap 4: Kontroleer die oplossing deur die antwoorde terug te stel in

beide die oorspronklike vergelykings

187




Laai af


Kyk nou: Hoofstuk 4.3 Gelyktydige vergelykings

Laai af


VRAAG

Los die volgende stelsel van vergelykings op:

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik enige van die vergelykings om uit te druk in terme

van 188

https://youtu.be/iW04zkfNMHw?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/fjodt8sm9t29bll/Graad_10_Hfst_4.3_VB_5.mp4?dl=0


https://www.dropbox.com/s/9o8fmc141vkto34/Graad_10_Gelyktydige_vergelykings.ggb?dl=0

Stap 2: Vervang in die vergelyking en los op vir

Stap 3: Vervang terug in die vergelyking in en los op vir

Stap 4: Kontroleer die oplossing deur die antwoorde terug te stel in

beide die oorspronklike vergelykings


189

Los op deur eliminasie


VRAAG

Los die volgende stelsel van vergelykings op:

OPLOSSING

Stap 1: Maak die koëffisiënte van een van die veranderlikes dieselfde

in beide vergelykings

Die koëffisiënte van in die gegewe vergelykings is en . Elimineer

die veranderlike deur vergelyking en vergelyking bymekaar tetel.

Stap 2: Vereenvoudig en los op vir

190

Stap 3: Vervang terug in enige van die oorspronklike vergelykings

en los op vir

Stap 4: Toets dat die oplossing en beide die

oorspronklike vergelykings bevredig



VRAAG

Los die volgende gelyktydige vergelykings op:

OPLOSSING

Stap 1: Maak die koëffisiënte van een van die veranderlikes dieselfde

in beide vergelykings191

Deur vergelyking te vermenigvuldig met en vergelyking met , sal beide koëffisiënte van , gelyk wees aan .

(Wees versigtig met die tekens wanneer twee vergelykings afgetrek word.)

Stap 2: Vereenvoudig en los op vir

Stap 3: Substitueer die waarde van terug in enige van die

oorspronklike vergelykings en los op vir

Stap 4: Kontroleer dat die oplossing en beide die

oorspronklike vergelykings bevredig


192

Los grafies op

Gelyktydige vergelykings kan ook grafies opgelos word. As die grafieke van elkelineêre vergelyking getrek word, dan is die oplossing van die stelsel van gelyktydigevergelykings die koördinate van die punt waar die twee grafieke mekaar sny.

Byvoorbeeld:

Die grafieke van die twee vergelykings word hieronder getoon.

Die snypunt van die twee grafieke is . Dus die oplossing van die stelsel vangelyktydige vergelykings is en . Ons kan ook die oplossing toets deuralgebraïese metodes.

193

Substitueer vergelyking in :

Los dan op vir :

Vervang die waarde van terug in die vergelyking :

Let op dat beide metodes dieselfde oplossing gee.


VRAAG

Los die volgende stelsel van gelyktydige vergelykings grafies op:

OPLOSSING

Stap 1: Skryf beide vergelykings in die vorm

194

Stap 2: Skets die grafieke op dieselfde assestelsel

Stap 3: Vind die koördinate van die snypunt

Die twee grafieke sny by

195

1.

2.

OEFENING 4.3.1


Kyk na die grafiek hieronder

Los die vergelykings en gelyktydig op


196

3.



197

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

4.Los op vir en :


en .

en

en

en

en

en

en

en

en .

en

en

198

l)

m)

a)

b)

c)

d)

e)

5.Los grafies op en kontroleer jou antwoord algebraïes.

en

en

en

en

en

en

en

199

4.4 WoordproblemeOm woordprobleme op te los, moet ons 'n stel vergelykings skep wat die probleemwiskundig voorstel. Die oplossing van die vergelykings is dan die antwoord van dieprobleem.

Probleemoplossing strategie

1. Lees die hele vraag.

2. Wat moet ons oplos?

3. Ken 'n veranderlike toe aan die onbekende hoeveelheid, byvoorbeeld .

4. Vertaal die woorde in algebraïese uitdrukkings deurdat jy die gegewe inligtingherskryf in terme van die veranderlike.

5. Stel 'n vergelyking of 'n stelsel van vergelykings op om die veranderlike op te los.

6. Los die veranderlike algebraïes op met die gebruik van substitusie.

7. Toets die oplossing.

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: LOS WOORDPROBLEME OP

VRAAG

'n Winkel verkoop fietse en driewiele. Altesaam is daar rygoed (wat beidefietse en driewiele insluit), en wiele. Bepaal hoeveel van elke soort rydingdaar is, as jy onthou dat 'n fiets twee wiele en 'n driewiel drie wiele het.

200

OPLOSSING

Stap 1: Ken veranderlikes toe aan die onbekende hoeveelhede

Gestel daar is fietse en driewiele.

Stap 2: Stel die vergelykings op

Stap 3: Herrangskik vergelyking en vervang in vergelyking

Stap 4: Bereken die aantal driewiele


Daar is driewiele en fietse.

201



Laai af


VRAAG

Bongani en Jane is vriende. Bongani kyk na Jane se wiskundetoets en wil nievir haar sê wat haar toetspunt is nie. Hy weet Jane hou nie van wiskunde nieen besluit om haar te terg. Hy sê: “Ek het punte meer as jy en die som vanons twee se punte is gelyk aan . Wat is ons punte?”

OPLOSSING


Ons het twee onbekende hoeveelhede, Bongani se punt en Jane se punt.Gestel Bongani se punt is en Jane se punt is .

Stap 2: Stel 'n stelsel van vergelykings op

Bongani het meer punte as Jane.

Beide se punte bymekaargetel is .

202

https://youtu.be/8MYeBrhpgRs?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/nj039oyl2ppl1ud/Graad_10_Hfst_4.4_VB_10.mp4?dl=0

Stap 3: Gebruik vergelyking om uit te druk in terme van

Stap 4: Vervang in vergelyking

Stap 5: Herrangskik en los op vir

Stap 6: Vervang die waarde vir terug in die vergelyking en los

op vir

Stap 7: Kontroleer dat die oplossing beide die oorspronklike

vergelykings bevredig


Bongani het vir sy toets gekry en Jane het gekry.

203


VRAAG

'n Vrugteskommel kos meer as 'n sjokolade melkskommel. As vrugteskommels en sjokolade melkskommels kos, bepaal dieindividuele pryse.

OPLOSSING


Gestel die prys van 'n sjokolade melkskommel is en die prys van 'nvrugteskommel is .

Stap 2: Stel 'n stelsel van vergelykings op

Stap 3: Vervang vergelyking in


204

Stap 5: Vervang die waarde van terug in die vergelyking en

los op vir

Stap 6: Kontroleer dat die oplossing beide die oorspronklike

vergelykings bevredig


Een sjokolade melkskommel kos en een vrugteskommel kos .


VRAAG

Die produk van twee opeenvolgende negatiewe heelgetalle is . Vind dietwee heelgetalle.

OPLOSSING


Gestel die eerste heelgetal is en laat die tweede heelgetal dan wees

205

Stap 2: Stel 'n vergelyking op

Stap 3: Brei uit en los op vir

Stap 4: Vind die tekens van die heelgetalle

Dit word gegee dat beide heelgetalle negatief is.


Die twee opeenvolgende negatiewe heelgetalle is en .

206

1.

2.

3.

4.

5.

OEFENING 4.4.1

Twee straalvliegtuie vlieg na mekaar toe vanaf verskillende lughawens wat van mekaar is. Een vliegtuig vlieg teen en die

ander vlieg teen . As hulle op dieselfde tyd opstyg, hoe lanksal dit vat vir die twee vliegtuie om by mekaar verby te vlieg?

Twee bote beweeg na mekaar toe van hawens wat van mekaar afis. Een boot beweeg teen en die ander boot teen

. As beide bote hulle reis op dieselfde tyd begin, hoe lank sal ditneem voor hulle by mekaar verbyvaar?

Zwelibanzi en Jessica is vriende. Zwelibanzi neem Jessica se tegnologieantwoordstel en wil nie vir haar sê wat haar punt is nie. Hy weet sy hou nievan woordprobleme nie, dus besluit hy om haar te terg. Zwelibanzi sê: “Ek het

punte meer as jy en die som van albei van ons se punte saam is gelykaan . Wat is ons punte”

Kadesh koop hemde teen 'n totale koste van . As 'n groot hemp kos en 'n kleiner hemp kos , hoeveel van elke grootte het hy

gekoop?

Die diagonaal of hoeklyn van 'n reghoek is meer sy breedte. Dielengte van die reghoek is meer as sy breedte. Wat is die afmetingsvan die reghoek?

207

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Die som van en is meer as 'n onbekende getal. Vind dieonbekende getal.

'n Groep vriende koop middagete. Hier is 'n paar feite oor hulle ete:

'n melkskommel kos meer as 'n pannekoekdie groep koop 8 melkskommels en 2 pannekoekedie totale koste vir die middagete is

Bepaal die individuele pryse vir die verskillende items.

Die twee kleiner hoeke in 'n reghoekige driehoek is in die verhouding van . Wat is die groottes van die twee hoeke?

Die lengte van 'n reghoek is twee maal sy breedte. As die oppervlakte is, bepaal die lengte en die breedte.

As maal 'n getal vermeerder word met , is die resultaat minder as diekwadraat van die getal. Vind die getal.

Die lengte van 'n reghoek is meer as die breedte van die reghoek. Dieomtrek van die reghoek is . Vind die lengte en die breedte van diereghoek.

208

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Stephen het 1 liter van 'n mengsel wat % sout bevat. Hoeveel water moetStephen byvoeg sodat die mengsel % sout sal bevat? Skryf jou antwoordas 'n breukdeel van 'n liter.

Die som van twee opeenvolgende onewe getalle is en hulle verskil is .Vind die twee getalle.

Die noemer van 'n breuk is meer as die teller. Die som van die breuk en sy

resiprook is . Vind die breuk.

Masindi is jaar ouer as haar dogter, Mulivhu. Die som van hulleouderdomme is . Hoe oud is Mulivhu?

Tshamano is nou vyf maal so oud as sy seun Murunwa. Oor sewe jaar salTshamano drie maal so oud soos sy seun wees. Bepaal hoe oud is hulle nou.

Wanneer jy een bytel by drie maal 'n getal, is die antwoord gelyk aan diegetal. Wat is hierdie getal?

As 'n derde van die som van 'n getal en een ekwivalent is aan 'n breuk,waarvan die noemer dieselfde is as die getal en die teller gelyk is aan twee,wat is die getal?

209

19.

20.

21.

'n Winkeleienaar koop 40 sakke rys en mieliemeel wat in totaal werd is. As die rys per sak kos en die mieliemeel kos persak, hoeveel sakke mieliemeel het hy gekoop?

Daar is 100 koekies blou en groen seep in 'n boks. Die blou seep weeg per koekie seep en die groen seep weeg per koekie seep. Die totale

massa van die seep in die boks is . Hoeveel koekies groen seep isdaar in die boks?

Lisa het 170 krale. Sy het blou, rooi en pers krale wat onderskeidelik , en per kraal weeg. As daar tweekeer soveel rooi krale as blou krale is

en as al die krale saam weeg, hoeveel krale van elke tipe hetLisa?

210

4.5 Vergelykings met letterkoëffisiënte'n Vergelyking met letterkoëffisiënte is een wat verskeie letters of veranderlikes het.

Voorbeelde sluit in die area van 'n sirkel en die formule vir spoed

. In hierdie afdeling los ons vergelykings met letterkoëffisiënte op in termevan een van die veranderlikes. Om dit te doen, gebruik ons die beginsels wat onsgeleer het oor die oplos van vergelykings en pas hulle toe om vergelykings metletterkoëffisiënte te herrangskik. Om hierdie soort vergelykings op te los, staan ookbekend as verandering van die onderwerp van 'n formule.

Hou die volgende in gedagte wanneer jy vergelykings met letterkoëffisiënte oplos:

Ons isoleer die onbekende veranderlike deur te vra “waaraan is dit verbind?” en“hoe is dit verbind?” Ons voer dan die teenoorgestelde bewerking uit op beidekante van die geheel.

As die onbekende veranderlike in twee of meer terme voorkom, haal ons dit uitas 'n gemeenskaplike faktor.

As ons die vierkantswortel weerskante moet neem, moet ons onthou dat daar 'npositiewe en 'n negatiewe antwoord sal wees.

As die onbekende veranderlike in die noemer is, vermenigvuldig onsweerskante met die kleinste gemene noemer (KGN) en gaan voort om dievergelyking op te los.

UITGEWERKTE VOORBEELD 14: LOS VERGELYKINGS OP METLETTERKOËFFISIËNTE

VRAAG

Die oppervlakte (area) van 'n driehoek is . Wat is die hoogte vandie driehoek in terme van die basis en die oppervlakte?

211

OPLOSSING

Stap 1: Isoleer die verlangde veranderlike

Ons word gevra om die hoogte te isoleer, dus moet ons die vergelykingherrangskik met aan die aan kant van die gelykaanteken en die res vandie veranderlikes aan die ander kant.


Die hoogte van 'n driehoek word gegee deur:

UITGEWERKTE VOORBEELD 15: LOS VERGELYKINGS OP METLETTERKOËFFISIËNTE

VRAAG

Gegee die formule:

maak die onderwerp van die formule.

OPLOSSING

Stap 1: Isoleer die verlangde veranderlike

212

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

OEFENING 4.5.1

Los op vir in die volgende formule: .

Maak die onderwerp van die formule: .

Los op vir : .


Los op vir : .

Los op vir : .

Los op vir : .


213

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Los op vir : .

Los op vir : .

Los op vir : .


Los op vir : .

is die formule vir die omskakeling van temperatuur ingrade Celsius na grade Fahrenheit. Lei 'n formule af vir die omskakeling vangrade Fahrenheit na grade Celcius.

is die formule vir die bepaling van die volume van 'n sokkerbal.Druk die radius uit in terme van die volume.

Los op vir in

Los op vir in:

Los op vir in as , ,

214

19.

20.

21.


Los op vir in as ,

Los op vir in as ,

215

4.6 Los lineêre ongelykhede op'n Lineêre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineêre vergelyking daarin dat diegrootste eksponent van 'n veranderlike is. Die volgende is voorbeelde van lineêreongelykhede.

Die metodes wat gebruik word om lineêre ongelykhede op te los, is soortgelyk aan diemetodes gebruik om lineêre vergelykings op te los. Ons weet byvoorbeeld dat .As beide kante van hierdie ongelykheid gedeel word met , dan kry ons

, wat nie waar is nie. Dus, die ongelykheidsteken moet omgedraai word,wat gee.

Ten einde die ongelykheid te vergelyk met 'n gewone vergelyking, sal ons eers 'nvergelyking oplos.

Los op :

As ons hierdie antwoord voorstel op 'n getallelyn, kry ons:

216

Laat ons nou vir op in 'n ongelykheid los :

As ons hierdie antwoord voorstel op 'n getallelyn, kry ons:

Ons sien dat vir 'n vergelyking is daar 'n enkele waarde van waarvoor dievergelyking waar is. In 'n ongelykheid egter, is daar 'n reeks waardes waarvoor dieongelykheid waar is. Dit is die groot verskil tussen 'n vergelyking en 'n ongelykheid.

Onthou: wanneer ons beide kante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met 'nnegatiewe getal, verander die rigting van die ongelykheid. Byvoorbeeld, as ,dan . Let ook daarop dat ons nie met 'n veranderlike kan deel ofvermenigvuldig nie.

217

Intervalnotasie

Voorbeelde:

Ronde hakies dui aan dat die eindgetalle nie ingesluit is nie. Hierdie intervalsluit alle reële getalle in groter as, maar nie gelyk aan, nie en kleiner as,maar nie gelyk aan, nie.

Ronde hakies word altyd gebruik vir positief en negatief oneindig. Hierdieinterval sluit alle reële getalle in wat kleiner is as, maar nie gelyk is aan, nie.

'n Vierkantige hakie dui aan dat die eindgetal ingesluit is. Hierdie interval sluitin alle reële getalle wat groter of gelyk is aan en wat kleiner is as, maar niegelyk is aan, nie.


Kyk nou: Hoofstuk 4.6 Intevalnotasie

Laai af

Dit is belangrik om daarop te let dat hierdie notasie slegs gebruik kan word omintervalle bestaande uit reële getalle aan te dui.

Ons stel die antwoord hierbo in intervalnotasie voor as

218


https://www.dropbox.com/s/1r6qv3yj7nocozf/Graad_10_Intevalnotasie.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 16: LOS LINEÊREVERGELYKINGS OP

VRAAG

Los op vir :

Stel die antwoord voor op 'n getallelyn en in intervalnotasie.

OPLOSSING


Stap 2: Vermenigvuldig met en draai die ongelykheidsteken om

Stap 3: Stel die antwoord voor op 'n getallelyn

Stap 4: Stel die antwoord voor in intervalnotasie

219

UITGEWERKTE VOORBEELD 17: LOS LINEÊREVERGELYKINGS OP

VRAAG

Los op vir :


OPLOSSING

Stap 1: Brei die hakies uit



220



UITGEWERKTE VOORBEELD 18: LOS SAAMGESTELDELINEÊRE ONGELYKHEDE OP

VRAAG

Los op vir :


OPLOSSING

Stap 1: Trek af van elke deel van die ongelykheid


221

a)

b)

c)

d)

1.Kyk na die getallelyn en skryf die ongelykheid neer wat dit voorstel.

a)

b)

c)

2.Los op vir en stel die antwoord voor op 'n getallelyn en inintervalnotasie.

OEFENING 4.6.1


222

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

a)

b)

3.Los op vir en stel jou antwoord voor in intervalnotasie:

223

c)

d)

e)

f)

g)

h)

a)

b)

c)

d)

4.Los op vir die onbekende veranderlike en toon jou antwoord op 'ngetallelyn.

224

Hoofstuk opsomming'n Lineêre vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van die veranderlike is. 'n Lineêre vergelyking het op die meeste een oplossing.

''n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waar die eksponent van dieveranderlike op die meeste is. 'n Kwadratiese vergelyking het op die meestetwee oplossings.

Om vir twee onbekende veranderlikes op te los, het jy twee vergelykings nodig.Hierdie vergelykings staan bekend as 'n stelsel van gelyktydige vergelykings.Daar is twee maniere om gelyktydige lineêre vergelykings op te los: algebraïeseoplossings en grafiese oplossings. Om algebraïes op te los, gebruik onssubstitusie of eliminasie metodes. Om grafies op te los, trek ons die grafiek vanelke vergelyking en die oplossing sal dan die koördinate van die snypunt wees.

Vergelykings met letterkoëffisiënte is vergelykings met verskillende letters enveranderlikes.

Woordprobleme vereis 'n stel vergelykings wat die probleem wiskundig voorstel.

'n Lineêre ongelykheid is soortgelyk aan 'n lineêre vergelyking en het 'neksponent van by die veranderlike.

As ons beide kante van 'n ongelykheid deel of vermenigvuldig met enige getalmet 'n minusteken, verander die rigting van die ongelykheidsteken.

225

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

1.Los op:


226

m)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

2.Los op:

227

l)

3.

4.

Kyk na die grafiek hieronder:

Los die vergelykings en gelyktydig op.


228

5.




229

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

6.Los die volgende gelyktydige vergelykings op:

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

230

n)

o)

p)

q)

a)

b)

c)

7.Vind die oplossings vir die volgende woordprobleme:

en

en

en

van 'n sekere getal is meer as 'n van die getal. Vind diegetal.

Drie liniale en twee penne kos altesaam . Een liniaal eneen pen het 'n totale koste van . Hoeveel kos 'n liniaal enhoeveel kos 'n pen?

'n Groep vriende koop middagete. Hier is 'n paar feite oor hulle ete:

'n worsbroodjie kos meer as 'n melkskommeldie groep koop 3 worsbroodjies en 2 melkskommelsdie totale koste vir die middagete is

Bepaal die individuele pryse vir die verskillende items.

231

d)

e)

f)

g)

h)

Lefu en Monique is vriende. Monique neem Lefu sebesigheidstudietoets antwoordstel en wil nie vir hom sê wat sy punt isnie. Sy weet Lefu hou nie van woordprobleme nie en sy besluit omhom te terg. Monique sê: “Ek het meer punte as jy en die somvan ons twee se punte is gelyk aan . Wat is ons punte?”

'n Man hardloop na die busstop en terug in minute. Sy spoed oppad na die busstop is en sy spoed op pad terug is

. Vind die afstand na die busstop.

Twee trokke ry na mekaar toe vanaf fabrieke wat vanmekaar is. Een trok ry teen en die ander teen

. As beide trokke hulle reis op dieselfde tyd begin, hoelank sal dit neem voordat hulle by mekaar verbyry?

Zanele en Piet rolskaats na mekaar toe op 'n reguit stuk pad. Hullebegin van mekaar af. Zanele skaats teen enPiet teen . Hoe ver sal Piet skaats voor hulle mekaarbereik?

As die prys van sjokolade verhoog met , kan ons vyf mindersjokolades koop vir . Wat was die prys van elke sjokoladevoor die prysverhoging?

232

i)

j)

k)

a)

b)

c)

d)

8.Oorweeg die volgende vergelykings met letterkoëffisiënte:

'n Onderwyseres koop se handboeke. Die handboeke isvir Wetenskap en Wiskunde en elkeen van hulle word verkoop teen

per boek en per boek respektiewelik. As dieonderwyseres 97 boeke in totaal gekoop het, hoeveelWetenskapboeke het sy gekoop?

Thom se Ma het se paaseiers gekoop. Die paaseiers komin drie verskillende kleure naamlik blou, groen en geel. Die bloueskos elk, die groenes elk en die geles elk. Sykoop driemaal soveel geel paaseiers as groenes en eiers intotaal. Hoeveel blou paaseiers het sy gekoop?

Twee ekwivalente breuke het beide 'n teller van een. Die noemer vaneen breuk is die som van twee en 'n getal, terwyl die ander breuktweemaal die getal is minus 3. Wat is die getal?

Los op vir :

Los op vir : .


Los op vir : .

233

e)

f)

g)

h)

i)

a)

b)

c)

9.Skryf die ongelykheid neer wat voorgestel word deur die volgende:


Los op vir : .

Los op vir in:

Los op vir in as en


234

a)

b)

c)

d)

10.Los op vir en stel jou antwoord voor in intervalnotasie

a)

b)

c)

11.Los op en stel jou antwoord voor op 'n getallelyn

a)

b)

c)

d)

12.Los op vir die onbekende veranderlike

235

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

236

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

13.

Na hy 'n vergelyking opgelos het, gee Luke sy antwoord as , afgerond toteen desimale plek. Toon die interval waarin hierdie oplossing lê op 'ngetallelyn.

237

HOOFSTUK 5: TRIGONOMETRIE

InleidingTrigonometrie of driehoeksmeting hanteer die verhouding tussen die hoeke en die syevan 'n driehoek. Ons sal leer oor trigonometriese verhoudings in reghoekigedriehoeke. Dit vorm die basis van trigonometrie.

Daar is baie toepassings van trigonometrie. Die tegniek van triangulering,driehoeksvorming en meting, is van besondere waarde aangesien dit in astronomiegebruik word om afstande na nabygeleë sterre te meet, in geografie om die afstandetussen landmerke te meet, en in satelliet navigasie sisteme. GPS (globaleposisionering sisteem) sou nie moontlik gewees het sonder trigonometrie nie. Andervelde wat gebruik maak van trigonometrie sluit in akoestiek, optika, analise vanfinansiële markte, elektronika, waarskynlikheidsteorie, statistiek, biologie, medieseafbeeldings (CAT skaderings en ultrasoniese skaderings), chemie, kriptologie,meteorologie, landmeting, argitektuur, fonetika, ingenieurswese, rekenaargrafika enontwikkeling van speletjies.

'n Kunstenaarsvoorstellings van 'n GPS satelliet wat om die aarde wentel. Daar is ten minste 24238

GPS satelliete operasioneel op enige spesifieke oomblik. GPS gebruik 'n toepassing van

trigonometrie, wat bekend staan as triangulering, om iemand se posisie te bepaal. Die

akkuraatheid van GPS is binne 15 meters.

239

5.1 Gelykvormigheid van driehoekeVoltooi die volgende ondersoek om 'n beter begrip van die basis van trigonometrie teontwikkel, voordat ons in die teorie van trigonometrie ingaan.

ONDERSOEK

VERHOUDINGS OF RATIOS VAN GELYKVORMIGE DRIEHOEKE

Trek drie gelykvormige driehoeke van verskillende groottes met die gebruikvan 'n gradeboog en 'n liniaal, met elke driehoek wat binnehoeke het van °,

° en ° soos hieronder getoon. Meet die hoeke en lengtes akkuraat teneinde die tabel te voltooi (los jou antwoorde as vereenvoudigde breuke):

240

Deel die lengtes van sye (verhoudings)

Watter waarnemings kan jy maak oor die verhouding van die sye?

Het jy opgelet dat dit nie saak maak wat die lengtes van die sye van diedriehoeke is nie, as die hoek dieselfde bly, sal die verhoudings van die syealtyd dieselfde antwoord gee?

In die driehoeke hieronder, is gelykvormig aan . Dit word geskryfas:

In gelykvormige driehoeke is dit moontlik om verhouding tussen ooreenstemmendesye af te lei:

241

'n Ander belangrike feit oor gelykvormige driehoeke en is dat die hoekby die hoekpunt gelyk is aan die hoek by die hoekpunt , die hoek by hoekpunt

is gelyk aan die hoek by hoekpunt , en die hoek by hoekpunt is gelyk aandie hoek by hoekpunt .

LET WEL

Die volgorde van letters vir gelykvormige driehoeke is baie belangrik. Benoemaltyd gelykvormige driehoeke in ooreenstemmende volgorde. Byvoorbeeld,

242

5.2 Definiëring van die trigonometrieseverhoudingsDie verhoudings van gelykvormige driehoeke word gebruik om die trigonometrieseverhoudings te definieer. Beskou 'n reghoekige driehoek met 'n hoek gemerk (uitgespreek 'teta')

Die verhoudings van gelykvormige driehoeke word gebruik om die trigonometrieseverhoudings te definieer. Beskou 'n reghoekige driehoek met 'n hoek gemerk (uitgespreek 'teta')

In 'n reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hulleplasing met betrekking tot die hoek . Die sy oorkant die regte hoek, word dieskuinssy genoem, die sy oorkant word “teenoorstaande” genoem, en die sy langsdie word “aangrensend” genoem.

Jy kan enige van die nie ° binnehoeke kies en dan die aangrensende enteenoorstaande sye daarvolgens definieer. Maar, die skuinssy bly dieselfde ongeag nawatter binne hoek jy verwys omdat dit altyd oorkant die regte hoek is en altyd dielangste sy is.

Ons definieer die trigonometriese verhoudings: sinus ( ), cosinus ( ) en tangens( ) van 'n hoek, as volg:

243


Kyk nou: Hoofstuk 5.2 Definiëring van die trigonometriese verhoudings

Laai af

Hierdie verhoudings, wat ook bekend staan as trigonometriese definisies, gee dieverband tussen die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek tot sy binnehoeke.Hierdie drie verhoudings of ratios vorm die basis van die trigonometrie.

BELANGRIK

Die definisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssy is slegs vantoepassing op reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regtehoek voor jy hulle gebruik, anders gaan jy die verkeerde antwoord kry.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TRIGONOMETRIESEVERHOUDINGS

VRAAG

Gegee die volgende driehoek:

244


https://www.dropbox.com/s/tgzjelmqvzafael/Hoofstuk_5.2_Defini%C3%ABring_van_die_trigonometriese_verhoudings.ggb?dl=0

Benoem die skuinssy, die teenoorstaande en die aangrensende sye vandie driehoek met betrekking tot .

Noem watter sye van die driehoek jy sal gebruik om , en te vind.

Benoem die skuinssy, die teenoorstaande en die aangrensende sye vandie driehoek met betrekking tot .

Noem watter sye van die driehoek jy sal gebruik om , en te vind.

OPLOSSING

Stap 1: Benoem die driehoek

Kry eers die regte hoek. Die skuinssy is altyd tenoor die regte hoek. Dieskuinssy verander nooit van posisie nie, dit is altyd direk oorkant die regtehoek en daarom vind ons dit eerste.

Die teenoorstaande en aangrensende sye hang af van die hoek waarnaons kyk. Die teenoorstaande sy relatief tot hoek is direk oorkant diehoek (presies soos die woord aandui). Uiteindelik is die aangrensendesy die oorblywende sy van die driehoek en dit moet een van die sye weeswat die hoek vorm.

245

Stap 2: Voltooi die trigonometriese verhoudings

Nou kan ons die trigonometriese verhoudings vir voltooi:

Dus, om te vind, sal ons sye (sy teenoor ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind, sal ons sye (sy aangrensendaan ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind gebruik ons sye

(sy teenoor ) en (sy aangrensend aan ).

En dan kan ons die trigonometriese verhoudings vir voltooi. Vir hoek , sal die teenoorstaande en aangrensende sye plekke ruil (teken diedriehoek hierbo oor om jou te help om dit te sien). Let op dat die skuinssysteeds is.

246

1.Voltooi elk van die volgende:

a)

b)

c)

OEFENING 5.2.1

Dus, om te vind, sal ons sye (sy teenoor ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind, sal ons sye (sy aangrensendaan ) en (skuinssy) gebruik. Om te vind gebruik ons sye

(sy teenoor ) en (sy aangrensend aan ).

247

d)

e)

f)

a)

b)

c)

2.In elk van die volgende driehoeke, meld of , en die skuinssy,teenoorstaande of aangrensende sy is van die driehoek metbetrekking tot .

248

d)

e)

f)

3.Beskou die volgende diagram:

249

a)

b)

c)

d)

Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, antwoord elk van die volgendevrae.

4.

Skryf neer in terme van , en .




Vind in die diagram op drie verskillende maniere. Jy hoef nie die waardevan te bereken nie, skryf net die toepaslike verhouding neer vir .

250

5.

6.

Watter van die bewerings is waar omtrent ?

a.

b.

c.

d.

Sarah wil die waarde vind van in die driehoek hieronder. Watter stellingverteenwoordig 'n korrekte werkwyse?

251

a)

7.Verduidelik wat verkeerd is met elk van die volgende diagramme.

a.

b.

c.

d.

252

b)

253

5.3 Resiprook verhoudingsElk van die drie trigonometriese verhoudings het 'n resiprook (of omgekeerde). Dieresiproke: cosecans (cosec), secans ( ) en cotangens ( ), word as volggedefinieer:

Ons kan ook hierdie resiproke definieer vir enige reghoekige driehoek:

Let op dat:

LET WEL

Jy mag sien dat cosecans afgekort word tot .

254

5.4 Sakrekenaar vaardighedeIn hierdie afdeling sal ons kyk na die gebruik van 'n sakrekenaar om die waardes vandie trigonometriese verhoudings vir enige hoek te bepaal. Byvoorbeeld, ons wil dalkweet wat is die waarde van of wat is die waarde van .

Wanneer jy berekeninge doen met die resiprook verhoudings, moet jy die resiprookverhouding omskakel na een van die standaard trigonometriese verhoudings: ,

en aangesien dit die enigste manier is om hierdie verhoudings met 'nsakrekenaar te bereken.

BELANGRIK

Die meeste wetenskaplike sakrekenaars is redelik soortgelyk maar die stappemag tog verskil, afhangende van die sakrekenaar wat jy gebruik. Maak seker datjou sakrekenaar gestel is op 'degrees' modus.

WENK

Let daarop dat . Dit geld ook vir die ander trigonometrieseverhoudings.

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: GEBRUIK JOUSAKREKENAAR.

VRAAG

Gebruik jou sakrekenaar om die volgende te bereken (korrek tot desimale255

plekke):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

OPLOSSING

Stap 1:

Die volgende wys die sleuteldrukke op 'n Casio sakrekenaar. Ander

sakrekenaars werk op 'n soortgelyke wyse. Op 'n Casio sakrekenaar

word ( outomaties bygevoeg nadat jy , en gedruk het,

dus hoef jy slegs ) te druk om die hakies toe te maak nadat jy die

hoek ingetik het.

1. Druk cos 48 ) =

2. Druk 2 sin 35 ) =

3. Druk ( tan 81 ) ) =

OF256

Druk

4. Druk

OF

Druk

5. Druk \)

OF

Druk

6. Druk

OF

Druk

7. Skryf eers in terme van :

(aangesien daar geen “ ” knoppie op jou sakrekenaar is nie).

Druk

257

8. Skryf eers in terme van :

(aangesien daar geen “ ” knoppie op jou sakrekenaar is nie).

Druk

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: SAKREKENAARWERK METDIE GEBRUIK VAN SUBSTITUSIE OF VERVANGING

VRAAG

As en , gebruik jou sakrekenaar om te bepaal of dievolgende bewering waar of vals is:

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die linkerkant van die vergelyking

Druk


LK = RK, dus is die bewering waar.

258

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

1.Gebruik jou sakrekenaar om die waarde van die volgende te bepaal(korrek tot desimale plekke):

OEFENING 5.4.1

259

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

260

a)

b)

c)

d)

2.

As en , gebruik 'n sakrekenaar om te bepaal opdie volgende bewerings waar of vals is:

3.Los op vir in .

261

5.5 Spesiale hoekeVir meeste hoeke het ons 'n sakrekenaar nodig om die waardes te bereken van ,

en . Daar is egter sommige hoeke waarvoor ons maklik die waardes sonder'n sakrekenaar kan bepaal omdat hulle uit eenvoudige verhoudings bestaan. Diewaardes van trigonometriese verhoudings vir hierdie spesiale hoeke, sowel as diedriehoeke waarvan hulle afgelei is, word hieronder getoon.

LET WEL

Onthou dat die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek altyd aan dieStelling van Pythagoras moet voldoen: die vierkant van die skuinssy is gelyk aandie som van die vierkante van die ander twee sye.

262

a)

b)

c)

d)

1.Kies uit die gegewe lys die antwoord wat die naaste aan reg is virelke uitdrukking:

OEFENING 5.5.1

30° 45° 60°

1


Kyk nou: Hoofstuk 5.5 Spesiale hoeke

Laai af

Hierdie waardes is nuttig wanneer ons sonder 'n sakrekenaar 'n probleem moet oploswat trigonometriese verhoudings behels.

263


https://www.dropbox.com/s/pyzt8lhfkqqoqm3/Hoofstuk_5.5_Spesiale_hoeke.ggb?dl=0

e)

f)

g)

h)

2.

3.

Bepaal die waarde van in die volgende driehoek en laat die antwoordin wortelvorm:

Los op vir in die volgende driehoek en laat die antwoord in wortelvorm:

264

a)

b)

c)

4.Bereken die waarde van die volgende sonder die gebruik van 'nsakrekenaar:

a)

b)

c)

d)

5.Evalueer die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar. Kiesdie antwoord wat die naaste aan reg is uit die gegewe lys.

265

e)

f)

g)

a)

b)

c)

6.Gebruik spesiale hoeke om te wys dat:

a)

b)

c)

7.Gebruik die definisies van die trigonometriese verhoudings om dievolgende vrae te beantwoord:Verduidelik hoekom vir alle waardes van .

Verduidelik waarom 'n maksimumwaarde het van .

Is daar 'n maksimumwaarde vir ?

266

5.6 Oplos van trigonometriesevergelykingsIn hierdie afdeling kyk ons eerste daarna om die onbekende lengtes in reghoekigedriehoeke te vind en daarna sal ons kyk daarna om onbekende hoeke te vind inreghoekige driehoeke. Uiteindelik sal ons kyk na maniere om meer algemenetrigonometriese vergelykings op te los.

Vind lengtes

Van die definisies van die trigonometriese verhoudings en van wat ons geleer hetomtrent die bepaling van die waardes van hierdie verhoudings vir enige hoek, kan onsnou die onbekende lengtes in reghoekige driehoeke vind. Die volgende uitgewerktevoorbeelde sal jou wys hoe.

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VIND LENGTES

VRAAG

Vind die lengte van in die volgende reghoekige driehoek deur die toepasliketrigonometriese verhouding te gebruik (rond jou antwoord af tot twee desimaleplekke).

267

OPLOSSING

Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en die

skuinssy met betrekking tot die gegewe hoek

Onthou die skuinssy is altyd teenoor die regte hoek en dit verander nooitvan posisie nie. Die teenoorstaande sy is teenoor die hoek waarin onsgeïnteresseerd is en die aangrensende sy is die oorblywende sy.

Stap 2: Herrangskik die vergelyking en los op vir

Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar en vind die antwoord

268



Laai af


VRAAG

Vind die lengte van in die volgende reghoekige driehoek deur die toepasliketrigonometriese verhouding te gebruik (rond jou antwoord af tot twee desimaleplekke).

OPLOSSING



Onthou die skuinssy is altyd teenoor die regte hoek en dit verander nooitvan posisie nie. Die teenoorstaande sy is teenoor die hoek waarin onsgeïnteresseerd is en die aangrensende sy is die oorblywende sy.

269

https://youtu.be/eHslDF7QxEk?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/p8dxpklmmvx1tdm/Graad_10_Hfst_5.6_VB_4.mp4?dl=0

Stap 2: Herrangskik die vergelyking en los op vir

Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar en vind die antwoord


VRAAG

Vind die lengte van en in die volgende reghoekige driehoek, met diegebruik van die toepaslike trigonometriese verhouding (rond jou antwoord aftot twee desimale plekke).

270

OPLOSSING



Stap 2: Herrangskik die vergelykings om op te los vir en

271

a)

b)

c)

1.Vind die lengte van 'n sy met 'n letter gemerk in elke driehoek. Geejou antwoorde korrek tot desimale plekke.

OEFENING 5.6.1

Stap 3: Gebruik jou sakrekenaar om die antwoorde te vind

272

d)

e)

f)

g)

273

h)

i)

j)

274

2.Skryf twee verhoudings neer vir elk van die volgende in terme van diesye: .

a)

b)

c)

3.

4.

In , , en . Bereken en (korrek tot desimale plekke).

Bereken en in die volgende diagram.

275

5.7 Vind 'n hoekAs die lengte van twee sye van 'n driehoek bekend is, kan die hoeke bereken wordmet die gebruik van trigonometriese verhoudings. In hierdie afdeling vind ons hoekebinne in reghoekige driehoeke met die gebruik van die verhoudings van die sye.

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VIND HOEKE

VRAAG

Vind die hoeke van in die volgende reghoekige driehoeke deur die gebruikvan die toepaslike trigonometriese verhouding.

OPLOSSING

Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye met

betrekking tot die gegewe hoek en die skuinssy

In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die aangrensende sy virhoek .

277

OEFENING 5.7.1

Bepaal in die volgende reghoekige driehoeke:

Stap 2: Gebruik jou sakrekenaar om vir op te los

Om vir op te los, sal jy die inverse tangensfunksie op jou sakrekenaarnodig hê. Dit werk terugwaarts deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat daardie verhouding tot gevolg gehad het.

Druk




Laai af

278

https://youtu.be/obJoOgYmvdg?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/08x327wukvhvrer/Graad_10_Hfst_5.7_VB_7.mp4?dl=0

1.

2.

3.

279

4.

5.

6.

7.

Ons het nou gesien hoe om trigonometriese vergelyking in reghoekige driehoeke op telos. Ons kan dieselfde tegnieke gebruik om ons te help om trigonometriesevergelykings op te los wanneer die driehoeke nie getoon word nie.

280

5.8 Oplos van trigonometriesevergelykings

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: OPLOS VANTRIGONOMETRIESE VERGELYKINGS

VRAAG

Vind die waarde van as .

OPLOSSING


Om vir op te los, sal jy die inverse cosinusfunksie op jou sakrekenaargebruik. Dit werk terugwaarts, deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat aanleiding gegee het tot daardie verhouding.

Druk


281


VRAAG

Vind die waarde van as .

OPLOSSING

Stap 1: Herrangskik die vergelyking

Ons moet die vergelyking herrangskik sodat aan een kant van dievergelyking is.


Om vir op te los, moet jy die inverse sinusfunksie op jou sakrekenaargebruik. Dit werk terugwaarts deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat aanleiding gegee het tot daardie verhouding.

Druk .


282


Kyk nou: Hoofstuk 5.8 Trigonometrie

Laai af

LET WEL

Wanneer jy trigonometriese vergelykings gebruik, mag jy dalk 'n 'error" offoutboodskap kry wanneer jy probeer om of te bereken (onthou datbeide die sinus en cosinusfunksies 'n maksimumwaarde van 1 het). In hierdiegevalle is daar geen oplossings vir die vergelyking nie.


VRAAG

Los op vir : .

OPLOSSING

Stap 1: Skakel om na

Daar is geen “ ” knoppie op die sakrekenaar nie en dus moet ons omskakel na ten einde te kry.

283


https://www.dropbox.com/s/5wv3a4ss63swj2j/Graad_10_Trigonometrie.ggb?dl=0

Stap 2: Herrangskik die vergelyking

Ons moet die vergelyking herrangskik sodat ons aan een kant vandie vergelyking het.


Om vir op te los, sal jy die inverse cosinusfunksie op jou sakrekenaargebruik. Dit werk terugwaarts, deur die verhouding van die sye te gebruikom die hoek te vind wat aanleiding gegee het tot daardie verhouding.

Druk wiskundefout ("error")

In hierdie geval kry ons 'n fout wanneer ons die berekening probeer doen.

Dit is omdat groter is as 1 en die maksimumwaarde van diecosinusfunksie is 1. Dus daar is geen oplossing nie. In hierdie geval is ditbelangrik om 'geen oplossing' te skryf en nie 'wiskunde fout' nie.


Daar is geen oplossing nie.

284

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

1.Bepaal die hoek (korrek tot desimale plek):

OEFENING 5.8.1

285

n)

o)

p)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2.

As en , gebruik jou sakrekenaar om elk van dievolgende te bereken, korrek tot 3 desimale plekke.

a)

3.In elk van die volgende, bepaal die waardes van korrek tot tweedesimale plekke.

286

b)

c)

d)

e)

f)

287

5.9 Definieer verhoudings in dieCartesiese vlakOns het die trigonometriese verhoudings gedefinieer met die gebruik van reghoekigedriehoeke. Ons kan hierdie definisies uitbrei na enige driehoek, en waarneem dathierdie definisies nie afhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie,maar alleenlik van die grootte van die hoek. Dus, as ons enige punt op die Cartesiesevlak merk en dan 'n lyn trek vanaf die oorsprong na daardie punt, kan ons die hoektussen die positiewe as en daardie lyn uitwerk. Ons gaan dit eers ondersoek virtwee spesifieke punte en dan kyk na die meer algemene geval.

Vind 'n hoek vir spesifieke punte

In die figuur hieronder, is punte en gemerk. 'n Lyn is vanaf die oorsprong ( )na elke punt getrek. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke vir elke puntkan konstrueer. Die stippellyn moet altyd getrek word na die as. Nou kan onshoeke en vind:

LET WEL

Ons kan ook die definisies van die resiproke op dieselfde manier uitbrei.

288

Let die koördinate van , kan ons sien en . Dus, ons weet die

lengte van die sy teenoor is en die lengte van die aangrensende sy is . Metgebruik van:

bereken ons dat .

Ons kan ook die stelling van Pythagoras gebruik om die skuinssy van die driehoek te

bereken en bereken dan met gebruik van:

Beskou punt . Ons definieer as die hoek gevorm tussen lyn endie positiewe as. Dit word die standaardposisie van 'n hoek genoem. Hoeke wordaltyd bereken vanaf die positiewe as in 'n antikloksgewyse rigting. Gestel is die

hoek gevorm tussen die lyn en die negatiewe as sodat .

289

Let die koordinate van , weet ons die lengte van die sy teenoor is endie lengte van die aangrensende sy is . Met gebruik van

bereken ons dat . Dus .

Soortgelyk, 'n alternatiewe metode is om die skuinssy te bereken met die gebruik vandie stelling van Pythagoras en te bereken met die gebruik van :

Vind enige hoek

As ons 'n sirkel trek rondom die oorsprong ( ) en dit gaan deur punt , danis die afstand van die oorsprong na die punt die radius van die sirkel, wat onsaandui as . Ons dui die hoek aan wat gevorm word tussen die lyn en die -asmet .

290

Ons kan al die trigonometriese verhoudings herskryf in terme van , en . Diealgemene definisies van die trigonometriese verhoudings is:


Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Eenheidsirkel en sinus grafiek

Laai af

Die CAST diagram

Die Cartesiese vlak word verdeel in kwadrante in 'n antikloksgewyse rigting soosgetoon in die diagram hieronder. is altyd positief maar die waardes van en verander afhangende op die posisie van die punt in die Cartesiese vlak. Gevolglik kandie trigonometriese verhoudings positief of negatief wees. Die letters C, A, S en T duiaan watter van die verhoudings is positief in elke kwadrant.

291


https://www.dropbox.com/s/0x80rgji57d6lry/Hoofstuk_5.9_Eenheidsirkel_en_sinus_grafiek.ggb?dl=0


Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Eenheidsirkel en kosinus grafiek

Laai af

Die diagram staan bekend as die CAST diagram.

Ons let die volgende op as ons die algemene definisies van die trigonometrieseverhoudings gebruik:

Kwadrant I

Beide die en waardes is positief, dus is al die verhoudings in hierdiekwadrant positief.

292


https://www.dropbox.com/s/t3ulxoxopqnd1au/Hoofstuk_5.9_Eenheidsirkel_en_kosinus_grafiek.ggb?dl=0

Kwadrant II

Die waardes is positief, dus is en cosec positief in hierdie kwadrant(onthou dat en cosec word gedefinieer in terme van en ).

Kwadrant III

Beide en die waardes is negatief, dus is en positief in hierdiekwadrant (onthou dat en word gedefinieer in terme van en ).

Kwadrant IV

Die waardes is positief, dus is en positief in hierdie kwadrant(onthou dat en gedefinieer word in terme van en ).

BELANGRIK

Die skuinssy, , is 'n lengte, en is dus altyd positief.

Spesiale hoeke in die Cartesiese vlak

Wanneer ons in die Cartesiese vlak werk, sluit ons twee ander spesiale hoeke inreghoekige driehoeke in: ° en °.

Let op dat wanneer , is die lengte van die teenoorstaande sy gelyk aan endie lengte van die aangrensende sy is gelyk aan die skuinssy. Dus:

Wanneer , is die lengte van die aangrensende sy gelyk aan , en die lengtevan die teenoorstaande sy is gelyk aan die lengte van die skuinssy. Dus:

293

Nou kan ons ons kennis van spesiale hoeke uitbrei.

° ° ° ° °

0 1

1 0

0 1 ongedefinieerd

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: VERHOUDINGS IN DIECARTESIESE VLAK

VRAAG

is 'n punt in die Cartesiese vlak met oorsprong . is die hoektussen en die positiewe as. Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik,bepaal die waarde van:

1.

2.

3.

294

OPLOSSING

Stap 1: Skets punt in die Cartesiese vlak en noem die hoek

Stap 2: Gebruik die stelling van Pythagoras om te bereken

Let op: is positief aangesien dit die radius van die sirkel is.

Stap 3: Vervang waardes vir , en in die verlangde verhoudings

Dus , en .

1.

2.

295

3.



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: VERHOUDINGS IN DIECARTESIESE VLAK

VRAAG

is 'n hoek in die derde kwadrant waar 'n punt is op die

positiewe as en is die punt . is .

1. Bepaal sonder die gebruik van 'n sakrekenaar die waarde van .

2. Bewys dat sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.

OPLOSSING

Stap 1: Skets in die Cartesiese vlak en noem die hoek

296

https://youtu.be/RhrFqzNZrpI?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/que5tsbulr4ho4p/Graad_10_Hfst_5.9_VB_11.mp4?dl=0

Stap 2: Gebruik die stelling van Pythagoras om te bereken

Gegewe dat in die derde kwadrant is, moet negatief wees.

297

Stap 3: Substitueer waardes vir , en , en vereenvoudig

, en .

LK

RK

Gevolglik is die LK = RK en het ons bewys dat .

LET WEL

Wanneer jy trigonometriese probleme moet oplos sonder 'n sakrekenaar, kan ditbaie handig wees om 'n skets te maak.

298

1. is 'n punt in die Cartesiese vlak. Bepaal sonder 'n sakrekenaar:

a)

b)

c)

d)

OEFENING 5.9.1


Kyk nou: Hoofstuk 5.9 Trigonometrie

Laai af

299


https://www.dropbox.com/s/qx56lwdgimej0nv/Graad_10_Trigonometrie_2.ggb?dl=0

a)

b)

2.

As en 'n stomphoek is, bepaal:

a)

b)

c)

d)

3.

Gegee , waar . Bepaal die volgende interme van :

a)

b)

4.

Gegee: en . Bepaal diewaarde van:

a)

5.

As en , vind die volgende sonder diegebruik van 'n sakrekenaar:

300

b)

c)

6.

a)

b)

7.As en bepaal die volgende met diehulp van 'n diagram (nie 'n sakrekenaar nie).

a)

b)

c)

d)

e)

8.

is 'n punt met koördinate in 'n Cartesiese vlak. vorm'n hoek, , met die positiewe as. Trek 'n diagram en gebruik ditom die volgende vrae te beanwoord.

Vind die waarde van sonder 'n sakrekenaar, gegewe dat , waar .

Vind die afstand .

301

f)

g)

h)

9.

Gegewe die volgende diagram en dat .

a)

b)

c)

Noem twee stelle moontlike waardes van en .

As , meld die waardes van en .

Bepaal vervolgens sonder 'n sakrekenaar die waarde van .

302

10.

As en , bepaal sonder die gebruik van

'n sakrekenaar die waarde van

303

Hoofstuk opsommingOns kan drie trigonometriese verhoudings vir reghoekige driehoeke definieer:sinus ( ), cosinus ( ) en tangens ( )

Hierdie verhoudings kan gedefinieer word as:

Elk van hierdie verhoudings het 'n resiprook: cosecans ( ), secans ( )en cotangens ( ).

Hierdie verhoudings kan gedefinieer word as:

Ons kan die beginsels vir die oplos van vergelykings en die trigonometrieseverhoudings gebruik om ons te help om eenvoudige trigonometriesevergelykings op te los.

Vir sekere spesiale hoeke (0°, 30°, 45°, 60° en 90°), kan ons maklik diewaardes vind van , en sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.

Ons kan die definisies van die trigonometriese verhoudings uitbrei na enigehoeke.

304

a)

b)

c)

1.Sê of elk van die volgende trigonometriese verhoudings korrekgeskryf is.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2.Gebruik jou sakrekenaar om die volgende uitdrukkings korrek tottwee desimale te bereken

HOOFSTUK 5: HERSEININGSOEFENINGE

305

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

3.Gebruik die driehoek hieronder om die volgende te voltooi:

306

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4.Gebruik die driehoek hieronder om die volgende te voltooi:

a)

307

c)

b)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

5.Bereken die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar. Kiesdie antwoord wat korrek is uit die gegewe lys.

308

h)

6.

7.

8.

9.

Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, bepaal die waarde van:

Bepaal in die volgende driehoek en laat die antwoord in wortelvorm:

Bepaal in die volgende driehoek en laat die antwoord in wortelvorm:

'n Reghoekige driehoek het skuinssy . Vind die lengtes van die andertwee sye as een van die hoeke van die driehoek ° is.

309

a)

b)

c)

10.Los op vir tot die naaste heelgetal.

310

d)

e)

f)

311

g)

h)

i)

11.Bereken die onbekende lengtes in die diagramme hieronder:

312

a)

b)

c)

12.

In is , en . Die loodregte lyn van tot sny by . Bereken:

13.

die lengte

die lengte

die hoek

Bepaal die grootte van in die volgende driehoek.

313

14.

15.Bepaal

a)

Vind die lengte van sy in die volgende driehoek:

Die lengte van

314

b)

c)

16.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

17.Los op vir as 'n positiewe skerphoek is:

Die waarde van

Gegee: .Bereken .

315

h)

g)

a)

b)

c)

d)

18.As , en , gebruik jou sakrekenaar omelk van die volgende te bepaal, korrek tot 2 desimale plekke.

a)

b)

19.As en , gebruik 'n skets om dievolgende te bepaal:

20.

21.

Gegee: en , vind die hoek tussen die lyn deur en en die -as.

Gegee en , vind die hoek tussen die lyn deur en en die -as.

316

22.

23.

24.

Gegee die punte , en . Vind die hoek .

'n Driehoek met hoeke °, ° en ° het 'n omtrek van . Vinddie lengte van elke sy van die driehoek.

Bepaal die oppervlakte van

317

HOOFSTUK 6: FUNKSIES

InleidingFunksies is die wiskundige boustene vir die ontwerp van masjiene, die voorspellingvan natuurlikerampe, genesing van siektes, verstaan van die wereldekonomie en omvliegtuie in die lug te hou. Funksies kan invoer ontvang van baie veranderlikes, maargee altyd dieselfde uitvoer, uniek aan daardie funksie.

Funksies stel ons in staat om verwantskappe te visualiseer in die vorm van grafieke,wat baie makliker is om te lees en te interpreteer as lyste van getalle.

'n Krieketspeler ontvang 'n aflewering. As 'n krieketspeler op sy beenskutte getref word en die

skeidsregter dink die bal sou die paaltjies agter hom getref het, word hy BVP (been voor paaltjie)

uitgegee. Op professionele vlakke van die spel word gesofistikeerde sagteware gebruik om te

bepaal of die bal die paaltjies sou getref het. Die sagteware gebruik funksies om die vlug van die

bal te voorspel indien die krieketspeler se been nie in die pad van die bal gekom het nie.

318

Sommige voorbeelde van funksies sluit in:

Geld is 'n funksie van tyd. Jy het op enige gegewe oomblik altyd net een bedraggeld want jy kan altyd alles bymekaartel om een totale bedrag te gee. As jyverstaan hoe jou geldvoorraad verander oor tyd, kan jy beplan om jou geld sinvolte bestee. Besighede vind dit baie nuttig om die grafiek te trek van hulle geld metbetrekking tot tyd sodat hulle kan sien wanneer hulle te veel spandeer.

Temperatuur as 'n funksie van verskeie faktore. Temperatuur is 'n baieingewikkelde funksie omdat dit soveel invoer elemente het, onder andere: die tydvan die dag, die seisoen, die hoeveelheid wolke in die lug, die sterkte van diewind, waar jy is en nog baie meer. Die belangrike ding is egter dat daar net eentemperatuur uitvoerwaarde is wanneer jy dit meet op 'n spesifieke plek.

Plek as 'n funksie van tyd. Jy kan nooit op twee verskillende plekke op dieselfdetyd wees nie. As jy die grafieke sou trek van waar twee mense is as 'n funksievan tyd, sal die plek waar die lyne kruis, beteken dat die twee mense mekaarontmoet op daardie tydstip. Hierdie idee word gebruik in logistiek, 'n area vanwiskunde wat probeer beplan waar mense en items is met die oog op besigheid.

DEFINISIE

Funksie

'n Funksie is 'n wiskundige verwantskap tussen twee veranderlikes, waarelke invoerveranderlike net een uitvoerveranderlike het.


Kyk nou: Hoofstuk 6 Funksies

Laai af

319


https://www.dropbox.com/s/elu27q48shjfyj6/Graad_10_Funksies.ggb?dl=0

6.1 Afhanklike en onafhanklikeveranderlikesIn funksies, staan die veranderlike bekend as die invoer of onafhanklikeveranderlike omdat sy waarde vrylik gekies kan word. Die berekende -veranderlikestaan bekend as die uitvoer of afhanklike veranderlike omdat sy waarde afhang vandie gekose invoerwaarde.

Versamelingnotasie

Voorbeelde:

Die versameling van alle waardes wat so is dat 'n element isvan die versameling reële getalle en groter is as .

Die versameling van alle waardes wat so is dat 'n natuurlikegetal is, groter as en kleiner of gelyk aan .

Die versameling van alle waardes wat so is dat 'n heelgetal isen kleiner of gelyk is aan .

Intervalnotasie

Dit is belangrik om daarop te let dat hierdie notasie slegs gebruik kan word om 'ninterval voor te stel met reële getalle.

320

Voorbeelde:

Ronde hakies dui aan dat die eindwaarde nie ingesluit is nie. Hierdie intervalsluit alle reële getalle in groter as maar nie gelyk aan nie, en kleiner asmaar nie gelyk aan nie.

Ronde hakies sluit alle reële getalle in kleiner as, maar nie gelyk aan nie.

'n Vierkantige hakie dui aan dat die eindwaarde ingesluit is. Hierdie intervalsluit in alle reële getalle groter of gelyk aan en kleiner as, maar nie gelykaan nie.

Funksienotasie

Hierdie is 'n baie handige manier om 'n funksie voor te stel. 'n Ander manier om

te skryf, is . Ons sê “ van is gelyk aan

”. Enige letter kan gebruik word, byvoorbeeld , , , ens.

1. Bepaal die uitvoerwaarde:

“Vind die waarde van die funksie vir ”, kan geskryf word as: “vind

”.

Vervang met :

Dit beteken dat wanneer , is die waarde van die funksie .

2. Bepaal die invoerwaarde:

“Vind die waarde van wat 'n waarde van sal gee”, kan geskryf word as:

“vind as ”.

321

Ons skryf die volgende vergelyking en los vir op:

Dit beteken dat wanneer is die waarde van die funksie .

Voorstellings van funksies

Funksies kan uitgedruk word op baie verskillende maniere vir verskillende doeleindes.

1. Woorde: “Die verband tussen twee veranderlikes is so dat die een altyd minder is as die ander een.”

2. Vloeidiagram

3. Tabel:

Invoerveranderlike

Uitvoerveranderlike

4. Versameling van geordende getallepare: , ,

5. Algebraïese formule:

6. Grafiek:

322

a)

b)

c)

1.Skryf die volgende in versamelingnotasie:

OEFENING 6.1.1

Gebied en terrein

Die gebied van 'n funksie is die versameling van alle onafhanklike -waardeswaarvoor daar een waarde is volgens die funksie.

Die terrein is die versameling van alle afhanklike waardes wat verkry kan word deurdie gebruik van 'n onafhanklike -waarde.

323

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

2.Skryf die volgende in intervalnotasie:

a)

b)

c)

3.Voltooi die volgende tabelle en identifiseer die funksie.

324

a)

b)

4.Stip die volgende punte op 'n grafiek.

a)

b)

5.Stel 'n tabel op van waardes van die gegewe funksie en stip dan diegrafiek van die funksie. Jou tabel moet ten minste 5 geordende parehê.

a)

b)

c)

d)

e)

6.As die funksies

gegee is, vind die waarde van die volgende:

325

f)

g)

h)

7.Die prys van petrol en diesel per liter word gegee deur die funksies

en , waar:

a)

b)

c)

d)

e)

Gebruik hierdie inligting om die volgende te beantwoord:

8.'n Bal rol teen 'n skuinste af. Die grafiek hieronder toon dieverband tussen die afstand en die tyd.

Bereken

Bereken

Hoeveel liter petrol kan jy koop met ?

Hoeveel liter petrol kan jy koop met ?

Hoeveel is petrol duurder as diesel? Toon jou antwoord as 'n funksie.

326

a)

b)

c)


9.James en Themba gooi elkeen 'n klip vanaf die top van 'n gebou in 'nrivier. Die trajek van die klippe kan beskryf word met kwadratiese

vergelykings. beskryf die pad van die klip wat

deur James gegooi is en beskryf die pad vanThemba se klip.

a)

Na , hoeveel verder het die bal om te rol?

Wat is die terrein van die funksie?

Wat is die gebied van die funksie en wat verteenwoordig dit?

Hoe hoog is die gebou waarop hulle gestaan het?327

b)

c)

Hoe ver het James sy klip gegooi voor dit die rivier se oppervlakbereik het?

Hoeveel verder het Themba sy klip gegooi voor dit die rivier seoppervlak bereik het?

328

6.2 Lineêre funksies

Funksies van die vorm

Funksies van die vorm word reguitlynfunksies genoem. In dievergelyking is, en konstantes en hulle het verskillende invloedeop die grafiek van die funksie.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TREK VAN 'NREGUITLYNGRAFIEK

VRAAG

Voltooi die volgende tabel vir en stip die punte op 'n assestelsel.

1. Verbind die punte met 'n reguitlyn.

2. Bepaal die gebied en terrein.

3. Rondom watter lyn is simmetries?

4. Gebruik die grafiek en bepaal die waarde van waarvoor .Bevestig jou antwoord grafies.

5. Waar sny die grafiek die asse?

329

OPLOSSING

Stap 1: Vervang waardes in die vergelyking

Stap 2: Stip die punte en verbind met 'n reguitlyn

Stap 3: Stip die punte en verbind met 'n reguitlyn

Van die tabel kry ons die volgende punte en die grafiek:

330

Stap 4: Bepaal die gebied en terrein

Gebied:

Terrein:

Stap 5: Bepaal die waarde van waarvoor

Vanaf die grafiek sien ons dat wanneer , . Dit gee die

punt .

Stap 6: Bepaal die afsnit

Die funksie sny die asse by die oorsprong .


ONDERSOEK

DIE EFFEK VAN EN OP 'N REGUITLYNGRAFIEK

Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:

1.

2. 331

3.

4.

5.

Gebruik jou resultate om die uitwerking van die verskillende waardes van opdie grafiek af te lei.


1.

2.

3.

4.

Gebruik jou resultate om die uitwerking van die verskillende waardes van op die grafiek af te lei.

Die effek van

Ons let op dat die waarde van die helling van die grafiek bepaal. As toeneem,sal die gradiënt van die grafiek toeneem.

As , sal die grafiek toeneem van links na regs (loop opwaarts).

As , sal die grafiek toeneem van regs na links (loop afwaarts). Om hierdierede, word na verwys as die gradiënt van 'n reguitlyngrafiek.

Die effek van

Ons let ook op dat die waarde van bepaal waar die grafiek die as sny. Omhierdie rede staan bekend as die -afsnit.

As skuif die grafiek vertikaal opwaarts.

332

As skuif die grafiek vertikaal afwaarts.

Die effek van en op 'n reguitlyngrafiek.


Kyk nou: Hoofstuk 6.2 Funksies Reguitlyn

Laai af

Ontdek die eienskappe

Die standaardvorm van 'n reguitlyngrafiek is die vergelyking .333


https://www.dropbox.com/s/szbi15xao3iff0q/Hoofstuk_6.2_Funksies_Reguitlyn.ggb?dl=0

Gebied en terrein

Die gebied is want daar is geen waarde van waarvoor ongedefinieerd is nie.

Die terrein van is ook omdat enige reële waarde kan aanneem.

Afsnitte

Die -afsnit:

Elke punt op die as het 'n koördinaat van . Dus, om te bereken wat die -afsnit is stel .

Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur te stel:

Dit gee die punt .

Die -afsnit:

Elke punt op die as het 'n koördinaat van . Dus om te bereken wat is die -

afsnit, stel .


334

Dit gee die punt .

Skets grafieke van die vorm

Ten einde grafieke te skets van die vorm, , behoort ons drieeienskappe te bepaal:

1. teken van

2. -afsnit

3. -afsnit

Dubbelafsnit metode

Slegs twee punte is nodig om 'n reguitlyngrafiek te teken. Die maklikste punte om tegebruik is die afsnit en die -afsnit.

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: SKETS 'NREGUITLYNGRAFIEK DEUR GEBRUIK TE MAAK VAN DIEDUBBELAFSNIT METODE.

VRAAG

Skets die grafiek van deur gebruik te maak van die dubbelafsnit metode.

OPLOSSING

Stap 1: Ondersoek die standaardvorm van die vergelyking

335

. Dit beteken die grafiek neem toe as toeneem.

Stap 2: Bereken die afsnitte

Vir die afsnit, stel ; dus . Dit gee die punt .

Vir die afsnit, stel ; dus . Dit gee die punt .

Stap 3: Stip die punte en teken die grafiek

336



Laai af

Gradiënt en afsnit metode

Ons kan 'n reguitlyngrafiek van die vorm teken deur gebruik te maakvan die gradiënt ( ) en die afsnit ( ).

Ons bereken die afsnit deur te stel. Dit gee ons een punt om diegrafiek te trek en ons gebruik die gradiënt om die tweede punt te bereken.

Die gradiënt van 'n lyn is 'n maatstaf van helling. Helling of steilte word bepaal deur dieverhouding van die vertikale verandering met betrekking tot die horisontaleverandering:

Byvoorbeeld, , dus en die grafiek se helling is opwaarts.

337

https://youtu.be/RPfZGzUtvN4?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/ttxuswp0lw28ine/Graad_10_Hfst_6.2_VB_2.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: TEKEN VAN 'NREGUITLYNGRAFIEK DEUR GEBRUIK VAN DIE GRADIËNT -AFSNIT METODE

VRAAG

Skets die grafiek van deur gebruik te maak van diegradiëntafsnit metode.

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik die -afsnit

, wat die punt gee.

Stap 2: Gebruik die gradiënt

338

Begin by . Beweeg eenheid op en eenhede na regs. Dit gee

die tweede punt .

Of, begin by , beweeg eenheid af en eenhede links. Dit gee

die tweede punt .

Stap 3: Stip die punte en teken die grafiek



Laai af

Skryf altyd 'n funksie in die vorm en let op die waarde van . Na jydie grafiek getrek het, maak seker dat die grafiek toeneem as en dat die

339

https://youtu.be/wHyX1vSo4bs?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/df2r5vnj0o4f1xr/Graad_10_Hfst_6.2_VB_3.mp4?dl=0

a)

b)

c)

1.Bepaal die afsnit en die afsnit van die gegewe funksies.

2.

OEFENING 6.2.1

grafiek afneem as .

In die grafiek hieronder is daar 'n funksie met die vergelyking .Bepaal die waardes van (die gradiënt van die lyn) en (die afsnit vandie lyn).

340

3.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

4.Maak 'n lys van die en afsnitte vir die volgendereguitlyngrafieke. Dui aan of die grafiek toeneem of afneem:

Die grafiek toon 'n funksie met die vergelyking . Bepaal diewaardes van (die gradiënt van die lyn) en (die afsnit van die lyn).

341

h)

a)

b)

c)

d)

e)

5.Meld of die volgende waar is of nie.

a)

b)

c)

d)

6.Skryf die volgende in standaardvorm ( ):

7.Kyk na die grafiek hieronder. Elke grafiek word met 'n letteraangedui. In die vrae wat volg, pas die gegewe vergelyking by dieletter van 'n ooreenstemmende grafiek.

Die gradiënt van is .

Die afsnit van is .



Die afsnit van is .

342

a)

b)

c)

d)

e)

f)

343

8.Vir die funksies in die diagram hieronder, gee die vergelyking vanelke reguitlyn:

a)

b)

c)

d)

9.Skets die volgende funksies op dieselfde assestelsel, deur gebruik te maakvan die dubbelafsnit metode. Dui duidelik die koördinate aan van die afsnittemet die asse en die snypunt van die twee grafieke: en

.

344

10.

Op dieselfde assestelsel, teken die grafieke van en

deur die gradiëntafsnit metode te gebruik.

345

6.3 Kwadratiese funksies


Funksies van die algemene vorm word paraboliese funksies genoem.

In die vergelyking is en konstantes en het verskillende effekte opdie parabool.


Kyk nou: Hoofstuk 6.3 Grafieke tabelmetode

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: STIP 'N KWADRATIESEFUNKSIE

VRAAG

Voltooi die volgende tabel en stip die punte op 'n assestelsel.

1. Verbind die punte met 'n gladde kromme.

2. Die gebied van is . Bepaal die terrein.

346


https://www.dropbox.com/s/wvlho6a24xt07x3/Hoofstuk_6.3_Grafieke_tabelmetode.ggb?dl=0

3. Rondom watter lyn is simmetries?

4. Bepaal die waarde van waarvoor . Bevestig jou antwoordgrafies.

5. Waar sny die grafiek die asse?

OPLOSSING


Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme.

Vanaf die tabel kry ons die volgende punte:

347

Stap 3: Bepaal die gebied en terrein

Gebied:

Vanaf die grafiek sien ons dat vir alle waardes van , .

Terrein:

Stap 4: Vind die as van simmetrie

is simmetries rondom die as. Dus is die as van simmetrie van dielyn .

Stap 5: Bepaal die waarde waarvoor

348

Sien punte en op die grafiek.

Stap 6: Bepaal die afsnit

Die funksie sny die asse by die oorsprong .

Ons sien dat as die waarde van toeneem van tot , neem af.

By die , .

As die waarde van toeneem van tot , sal toeneem.


ONDERSOEK

DIE EFFEK VAN EN OP 'N PARABOOL.

Voltooi die tabel en stip die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:349

1.

2.

3.

4.

5.

Gebruik jou resultate om die effek van af te lei.

Voltooi die tabel en stip die volgende grafieke op dieselfde assestelsel:

1.

2.

3.

4.


350

Die effek van

Die effek van word 'n vertikale skuif genoem omdat alle punte oor dieselfde afstanden in dieselfde rigting beweeg (dit skuif die totale grafiek op of af).

Vir , word die grafiek van opwaarts geskuif met eenhede. Die

draaipunt van is bokant die -as.

Vir , word die grafiek van vertikaal afgeskuif met eenhede. Die

draaipunt van is onder die -as.

Die effek van

Die teken van bepaal die vorm van die grafiek.

Vir , is die grafiek van 'n “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt

by . Die grafiek van word vertikaal opwaarts gestrek; soos groter word, word die grafiek nouer.

Vir , soos al nader kom aan , word die grafiek van wyer.

Vir , is die grafiek van 'n “frons” en het dit 'n maksimum draaipunt

by . Die grafiek van word vertikaal afwaarts gestrek; soos kleiner word, word die grafiek nouer.

Vir , soos al nader kom aan , word die grafiek van wyer.

351

Die effek van en op 'n parabool.


Kyk nou: Hoofstuk 6.3 Kwadratiese funksies Die effek van a en q

Laai af

352


https://www.dropbox.com/s/dtn43dldbeu1c2h/Hoofstuk_6.3_Funksies_Kwadratiese%20funksies%20-%20Die%20effek%20van%20a%20en%20q.ggb?dl=0


Die standaardvorm van die vergelyking van 'n parabool is .

Gebied en terrein

Die gebied is omdat daar geen waarde is waarvoor ongedefinieer is nie.

As dan het ons:

Dus as , is die terrein . Soortgelyk, as dan is die terrein

.

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: GEBIED EN TERREIN VAN 'NPARABOOL

VRAAG

As , bepaal die gebied en die terrein van die funksie.

OPLOSSING

Stap 1: Bepaal die gebied

Die gebied is omdat daar geen waarde is waarvoor 353

ongedefinieer is nie.

Stap 2: Bepaal die terrein

Die terrein van kan as volg bereken word:

Dus die terrein is .

Afsnitte

Die -afsnit:

Elke punt op die as het 'n koördinaat van , dus, om die afsnit te bereken,stel .


Dit gee die punt .

Die -afsnitte:


354

Byvoorbeeld, die afsnitte van word gegee deur te stel:

Daar is geen reële oplossings nie, dus die grafiek van het geen -afsnitte nie.

Draaipunte

Die draaipunt van die funksie van die vorm word bepaal deur dieterrein van die funksie te ondersoek.

As , is die grafiek van 'n “glimlag” en het dit 'n minimum draaipunt

by .

As , is die grafiek van 'n “frons” en het dit 'n maksimum draaipunt

by .

Asse van simmetrie

Die as van simmetrie vir funksies van die vorm is die as, watdie lyn is.


Ten einde grafieke te teken van die vorm , moet ons die volgendeeienskappe bepaal:

355

1. teken van

2. -afsnit

3. -afsnit

4. draaipunt

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: SKETS 'N PARABOOL

VRAAG

Skets die grafiek van . Merk die afsnitte en draaipunt.

OPLOSSING


Ons let op dat . Dus is die grafiek 'n “glimlag” en het 'n minimumdraaipunt.


Vir die afsnit, stel :

Dit gee die punt .

Vir die afsnitte, stel :

356

Dit gee die punte en .

Stap 3: Bepaal die draaipunt

Vir die standaardvorm van die vergelyking sien ons dat die draaipunt

is.

Stap 4: Stip die punte en skets die grafiek

Gebied:

Terrein:

357

Die as van simmetrie is die lyn .



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: SKETS 'N PARABOOL

VRAAG

Skets die grafiek van . Merk die afsnitte en die draaipunt.

OPLOSSING


Ons let op dat . Dus is die grafiek 'n “frons” en het 'n maksimumdraaipunt.



358

https://youtu.be/p2VV7RcjqZY?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/pdtx2ck2yckcg0t/Graad_10_Hfst_6.3_VB_6.mp4?dl=0

Dit gee die punt .

Vir die afsnitte, stel :

Daar is nie 'n reële oplossing nie, dus daar is nie afsnitte nie.

Stap 3: Bepaal die draaipunt

Vir die standaardvorm van die vergelyking sien ons dat die draaipunt

is.


359

1.

OEFENING 6.3.1

Gebied: .

Terrein: .

Die as van simmetrie is die lyn .

Die grafiek hieronder toon 'n kwadratiese funksie met die volgende vorm:

. Twee punte op die parabool word getoon: Punt A, die

draaipunt van die parabool, by , en Punt B is by . Bereken diewaardes van en .

360

2.

a)

b)

3.Gegewe die volgende vergelyking:

Die grafiek hieronder toon 'n kwadratiese funksie met die volgende vorm:

. Twee punte op die parabool word getoon: Punt A, die

draaipunt van die parabool, by , en Punt B is by . Berekendie waardes van en .

Bereken die koördinaat van die -afsnit.

Bereken nou die afsnitte. Jy antwoord moet korrek wees tot 2desimale plekke.

361

a)

b)


5.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk vandie volgende vergelykings pas:



362

a)

b)

c)

d)

6.Gegewe die volgende grafiek, identifiseer 'n funksie wat by elk van

363

die volgende vergelykings pas:

a)

b)

c)

7.

Twee parabole is geteken: en

.

364

a)

b)

c)

d)

8.

9.

Vind die waardes van en .

Vind die waardes van en .

Vind die waardes van waarvoor .

Vir watter waardes van is toenemend?

Toon aan dat as is die terrein van gelyk aan

.

Teken die grafiek van die funksie en toon alle afsnitte metdie asse.

365

6.4 Hiperboliese funksies

Funksies met die vorm

Funksies van die algemene vorm word hiperboliese funksies genoem.

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: TEKEN DIE HIPERBOLIESEFUNKSIE

VRAAG

Voltooi die volgende tabel en stip die punte op 'n assestelsel.

0

1. Verbind die punte met gladde krommes.

2. Wat gebeur as ?

3. Verduidelik hoekom die grafiek uit twee aparte krommes bestaan.

4. Wat gebeur met as die waarde van baie klein of baie grootword?

366

5. Die gebied van is . Bepaal die terrein.

6. Rondom watter twee lyne is die grafiek simmetries?

OPLOSSING


ongedefinieerd

Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met twee gladde krommes

Vanaf die tabel kry ons die volgende punte: , , 367

, , , , , ,

,

Vir is die funksie ongedefinieer. Dit word 'n diskontinuïteit by genoem.

, dus kan ons skryf dat . Aangesien dieproduk van twee positiewe getalle en die produk van twee negatiewegetalle gelyk kan wees aan , lê die grafiek in die eerste en derdekwadrante.

Stap 3: Bepaal die asimptote

As die waarde van groter word, kom die waarde van al naderaan, maar word nooit gelyk aan nie. Dit is 'n horisontale asimptoot, dielyn . Dieselfde gebeur in die derde kwadrant; as kleiner word,

kom ook asimptotaal nader aan die negatiewe -as.

368

Ons let ook op dat daar 'n vertikale asimptoot is, die lyn ; soos

nader kom aan , sal die as asimptotaal nader.


Gebied:

Van die grafiek sien ons dat gedefinieer is vir alle waardes behalwe .

Terrein:

Stap 5: Bepaal die asse van simmetrie

Die grafiek van het twee asse van simmetrie: die lyne en . Een helfte van die hiperbool is die spieëlbeeld van die ander

helfte rondom hierdie twee lyne.


ONDERSOEK

DIE INVLOED VAN EN OP 'N HIPERBOOL.


369

1.

2.

3.

4.

5.



1.

2.

3.

4.


Die effek van


370

Vir , word die grafiek van vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Vir , word die grafiek van vertikaal af geskuif met eenhede.

Die horisontale asimptoot is die lyn en die vertikale asimptoot is altyd die -as, die lyn .

Die effek van

Die teken van bepaal die vorm van die grafiek.

As , lê die grafiek van in die eerste en derde kwadrante.

Vir , sal die grafiek van verder weg lê van die asse as .

Vir , soos neig na , beweeg die grafiek nader aan die asse as

.

As , lê die grafiek van in die tweede en vierde kwadrante.

Vir , sal die grafiek van verder weg lê van die asse as

.

Vir , soos neig na , beweeg die grafiek nader aan die asse

as .

371

Die invloed van en op 'n hiperbool.


Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Hiperboliese funksies tabelmetode

Laai af


Die standaardvorm van die hiperbool is die vergelyking .

Gebied en terrein

Vir , is die funksie ongedefinieerd vir . Die gebied is dus

.

372


https://www.dropbox.com/s/mws7jw4pez57rtc/Hoofstuk_6.4_Hiperboliese_funksies_tabelmetode.ggb?dl=0

Ons sien dat geskryf kan word as:

Dit toon dat die funksie slegs ongedefinieerd is by .

Dus is die terrein

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: GEBIED EN TERREIN VAN 'NHIPERBOOL

VRAAG

As , bepaal die gebied en die terrein van die funksie.

OPLOSSING

Stap 1: Bepaal die gebied

Die gebied is omdat slegs ongedefineerd isby .


Ons sien dat slegs ongedefinieerd is by . Dus is die terrein

373



Laai af

Afsnitte

Die -afsnit:



wat ongedefinieerd is, dus is daar geen -afsnit.

Die -afsnit:

Elke punt op die as het 'n koördinaat van ; dus om die afsnit te bereken,stel .


374

https://youtu.be/64LtTmNLLEY?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/pk8ae7hoejlr420/Graad_10_Hfst_6.4_VB_9.mp4?dl=0

Dit gee die punt .

Asimptote

Daar is twee asimptote vir funksies van die vorm .

Die horisontale asimptoot is die lyn en die vertikale asimptoot is altyd die -as, die lyn .

Asse van simmetrie

Daar is twee lyne ten opsigte waarvan hiperbole simmetries is: en .


Ten einde grafieke te teken van funksies van die vorm, , moetons vier eienskappe bepaal:

1. teken van 375

2. -afsnit

3. -afsnit

4. asimptote

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: SKETS 'N HIPERBOOL

VRAAG

Skets die grafiek van . Merk die asafsnitte en die asimptote.

OPLOSSING


Ons let op dat en dus lê die grafiek van in die eerste en diederde kwadrante.



Dit is ongedefineerd, dus is daar geen -afsnit.


376

Dit gee die punt .


Die horisontale asimptoot is die lyn . Die vertikale asimptoot is dielyn .

Stap 4: Skets die grafiek

Gebied:

377

Terrein:

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: SKETS 'N HIPERBOOL

VRAAG

Skets die grafiek van .

OPLOSSING


Ons sien dat , dus lê die grafiek in die tweede en vierde kwadrante.



Dit is ongedefineerd, dus is daar geen -afsnit.


378

Dit gee die punt .


Die horisontale asimptoot is die lyn . Die vertikale asimptoot is dielyn .

Stap 4: Skets die grafiek

Gebied: 379

1.

OEFENING 6.4.1

Terrein:

Asse van simmetrie: en

Die volgende grafiek toon 'n hiperboliese vergelyking van die vorm

. Punt A word getoon by . Bereken die waardes van en .

380

2.

a)

b)





Bepaal die posisie van die -afsnit.

Bepaal die posisie van die afsnit. Gee jou antwoord as 'n breuk.

381

a)

b)


a)

b)



382

c)

d)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6.

Gegee die funksie: .

a)

7.

Gegee die funksie: .

Teken die grafiek.

Lê die punt op die grafiek? Gee 'n rede vir jou antwoord.

As die waarde van 'n punt op die grafiek is, wat is dieooreenstemmende -waarde?

Wat gebeur met die waardes as die waardes baie groot word?

Gee die vergelykings van die asimptote.

Met die lyn as lyn van simmetrie, watter punt is simmetries

aan ?

Teken die grafiek.

383

b)

c)

a)

b)

c)

d)

8.Skets die gegewe funksies en beskryf die transformasie wat gebruikis om die tweede funksie te verkry. Toon alle asimptote.

Hoe sal die grafiek van vergelyk met die grafiek

van ? Verduidelik jou antwoord volledig.

Teken die grafiek van op dieselfde assestelsel en toondie asimptote, asse van simmetrie en die koördinate van een punt opdie grafiek.

en

en

en

en

384


Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Invloed van a op hiperbool

Laai af


Kyk nou: Hoofstuk 6.4 Invloed van q op hiperbool

Laai af

385


https://www.dropbox.com/s/2cmygxpbg5m7hcs/Graad_10_Invloed_van_a_op_hiperbool.ggb?dl=0


https://www.dropbox.com/s/i4lueu2eyc2tuag/Graad_10_Invloed_van_q_op_hiperbool.ggb?dl=0

6.5 Eksponensiële funksies


Funksies van die algemene vorm word eksponsiële funksies genoem.In die vergelyking, is en konstantes en hulle het verskillende invloede op diefunksie.

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: TEKEN VAN 'N EKSPONSIËLEFUNKSIE

VRAAG

Voltooi die volgende tabel vir elk van die funksies en teken die grafieke op

dieselfde assestelsel: , , .

1. By watter punt sny hierdie grafieke?

2. Verduidelik waarom hulle nie die as sny nie.

3. Gee die gebied en terrein van .

4. Neem toe of af soos toeneem?

386

5. Watter van hierdie grafieke neem toe teen die stadigste tempo?

6. Vir en , word die kurwe van die grafiek steiler hoe groterdie waarde van word. Waar of vals?

Voltooi die volgende tabel vir elk van die funksies en trek die grafieke op

dieselfde assestelsel: , ,

1. Gee die afsnit vir elke funksie.

2. Beskryf die verband tussen die grafieke en .

3. Beskryf die verband tussen die grafieke en .

4. Gee die gebied en terrein van .

5. Vir en , word die kurwe van die grafiek steiler hoegroter die waarde van word. Waar of vals?

6. Gee die vergelyking van die asimptote vir die funksies.

387

OPLOSSING

Stap 1: Vervang waardes in die vergelykings

Stap 2: Stip die punte en verbind hulle met 'n gladde kromme

1. Ons let op dat al die grafieke deur die punt gaan. Enige getal388

met die eksponent is gelyk aan .

2. Die grafieke sny nie die as nie, , want jy kan nooit 0 kry deur enigenienul getal tot die mag van enige ander getal te verhoog nie.

3. Gebied:

Terrein:

4. Soos toeneem, neem toe.

5. neem toe teen die stadigste tempo omdat dit diekleinste grondtal het.

6. Waar: hoe groter die waarde van , hoe steiler is die

grafiek van .

1. Die afsnit is die punt vir al die grafieke. Vir enige reële

getal : .

2. is die refleksie van om die -as.

389

3. is die refleksie van om die -as.

4. Gebied:

Terrein:

5. Waar: hoe groter die waarde van , hoe steiler is die

grafiek van .

6. Die vergelyking van die horisontale asimptoot is , die -as.


ONDERSOEK

DIE INVLOED VAN , EN OP 'N EKSPONENSIËLE GRAFIEK.

Op dieselfde stel asse, skets die volgende grafieke ( , en verander):

1.

2.

3.

4.

390


Op dieselfde stel asse, skets die volgende grafieke ( , en verander):

1.

2.

3.

4.

5.


Op dieselfde assestelsel , skets die volgende grafieke ( , en verander).

1.

2.

391

3.

4.


Die effek van


Vir , skuif die grafiek vertikaal opwaarts met eenhede.

Vir , skuif die grafiek vertikaal afwaarts met eenhede.

Die horisontale asimptoot skuif eenhede en is die lyn .

Die effek van

Die teken van bepaal of die grafiek opwaarts of afwaarts buig.

Vir :

Vir , buig die kromme afwaarts. Dit reflekteer die grafiek in diehorisontale asimptoot.

Vir , buig die kromme opwaarts.

Vir :

Vir , buig die kromme opwaarts.

392

Vir , buig die kromme afwaarts. Dit reflekteer die grafiek in diehorisontale asimptoot.

Die invloed van en op 'n eksponensiële grafiek as .

393

Die invloed van en op 'n eksponensiële grafiek as .


Kyk nou: Hoofstuk 6.5 Eksponensiële funksies Die effek van a, b, p en q

Laai af


Die standaardvorm van die eksponsiële funksie is .

Gebied en terrein

Vir , is die funksie gedefinieer vir alle reële waardes van . Dus is die

394


https://www.dropbox.com/s/uzmmypnjinwj24b/Hoofstuk_6.5_Eksponensi%C3%ABle_funksies-Die_effek_van_a%2Cb%2Cp_en_q.ggb?dl=0

gebied .

Die terrein van is afhanklik van die teken van .

Vir :

Dus, vir is die terrein .

Vir :

Dus, vir is die terrein .

UITGEWERKTE VOORBEELD 13: GEBIED EN TERREIN VAN 'NEKSPONSIËLE FUNKSIE

VRAAG

Vind die gebied en terrein van

OPLOSSING

Stap 1: Vind die gebied

Die gebied van is .

395

Stap 2: Vind die terrein

Dus is die terrein .

Afsnitte

Die -afsnit.


Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur testel:

Dit gee die punt .

Die -afsnit:

396

Vir die afsnit, stel .

Byvoorbeeld, die afsnit van word gegee deur testel:

Daar is geen reële oplossing nie. Dus, die grafiek van het geen afsnitte nie.

Asimptote

Eksponensiële funksies van die vorm het 'n enkele horisontaleasimptoot, die lyn .


Ten einde grafieke te teken van funksies van die vorm, , moet ons viereienskappe bepaal:

1. teken van

2. -afsnit

3. -afsnit

4. asimptoot

397

UITGEWERKTE VOORBEELD 14: SKETS 'N EKSPONENSIËLEFUNKSIE

VRAAG

Skets die grafiek van . Merk die asafsnit en dieasimptoot.

OPLOSSING


Van die vergelyking sien ons dat , dus die grafiek buig opwaarts. , dus die grafiek word vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.



Dit gee die punt .


Daar is geen reële oplossing nie, dus daar is geen afsnit nie.398

Stap 3: Bepaal die asimptoot

Die horisontale asimptoot is die lyn .


Gebied:

Terrein:

Let daarop dat eksponensiële funksies geen as van simmetrie het nie.

399

UITGEWERKTE VOORBEELD 15: SKETS 'N EKSPONENSIËLEGRAFIEK

VRAAG

Skets die grafiek van

OPLOSSING


Van die vergelyking sien ons dat en dus buig die krommeafwaarts. en dus word die grafiek vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.



Dit gee die punt .


Dit gee die punt .400

Stap 3: Bepaal die asimptoot

Die horisontale asimptoot is die lyn .


Gebied:

Terrein:

401

a)

b)


2.

OEFENING 6.5.1

Bereken die afsnit. Jou antwoord moet korrek wees tot 2 desimaleplekke.

Bereken nou die afsnit. Benader jou antwoord tot een desimaleplek indien nodig.

Die grafiek toon die eksponsiële funksie met die vergelyking . Een punt op die kromme word gegee: Punt A is by

. Bepaal die waardes van en , korrek tot die naasteheelgetal.

402

3.Hieronder sien jy 'n grafiek van die eksponensiële funksie met die vergelyking

. Een punt op die kromme is gegee: Punt A is by

. Bereken die waardes van en , korrek tot die naasteheelgetal.

403

a)

b)




Bereken nou die -afsnit.

404

a)

b)

c)

d)

a)

6.

Gegee die funksies en .Teken die grafieke op dieselfde assestelsel.

405

b)

c)

d)

7.In die bygaande diagram, sien ons die kromme van die

eksponensiële funksie sny die as by die punt en gaan

deur die punt .

a)

Is die as 'n asimptoot of 'n as van simmetrie vir beide grafieke?Verduidelik jou antwoord.

Watter grafiek word verteenwoordig deur die vergelyking ?Verduidelik jou antwoord.

Los die vergelyking grafies op en kontroleer deursubstitusie of jou antwoord reg is.

Bepaal die vergelyking van die funksie .

406

b)

c)

d)

e)

f)

Bepaal die vergelyking van funksie , die refleksie van indie -as.

Bepaal die terrein van .

Bepaal die vergelyking van funksie , die refleksie van indie -as.

Bepaal die vergelyking van die funksie as 'n vertikale

strekking is van met eenhede.

Bepaal die vergelyking van die funksie as 'n vertikale

skuif is van met eenhede.

407

6.6 Trigonometriese funksiesHierdie afdeling beskryf die grafieke van trigonometriese funksies.

Sinusfunksie


UITGEWERKTE VOORBEELD 16: TEKEN VAN 'NSINUSGRAFIEK

VRAAG

Gebruik jou sakrekenaar om die volgende tabel te voltooi.

Kies 'n toepaslike skaal en stip die waardes van op die as en van op die as. Rond antwoorde af tot desimale plekke.

OPLOSSING

Stap 1: Vervang waardes vir

408


Let op die golfvorm van die grafiek. Elke volledige golf neem om tevoltooi. Dit word die periode genoem. Die hoogte van die golf bo en onderdie as word die grafiek se amplitude genoem. Die maksimumwaarde

van is en die minimumwaarde is .

Gebied:

Terrein:

afsnitte: , ,

afsnit:

Maksimum draaipunt:

Minimum draaipunt:

Funksies van die vorm409


ONDERSOEK

DIE INVLOED VAN EN OP 'N SINUSGRAFIEK

In die vergelyking, , is en konstantes met verskillendeinvloede op die grafiek. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafiekevir :

1.

2.

3.

4.

5.


Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke vir :

1.

2.

3.

4.


410

Die effek van

Die invloed van word 'n vertikale skuif genoem omdat die hele sinuskurwe op ofafskuif met eenhede.



Die effek van

Die waarde van beïnvloed die amplitude van die grafiek; die hoogte van die piekeen die diepte van die trôe.

Vir , is daar 'n vertikale strekking en die amplitude neem toe.

Vir , neem die amplitude af

Vir , is daar 'n refleksie rondom die -as.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitudeverminder.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitude wordgroter.

Let daarop dat amplitude altyd positief is.

Invloed van

: vertikale strekking,amplitude neem toe

: basiese sinusgrafiek

: vertikaleinkrimping, amplitude neem af

411

: refleksie rondomas van

: refleksie rondom -as van

Die invloed van op 'n sinusgrafiek.

Invloed van

: vertikale skuifopwaarts met eenhede

: basiese sinusgrafiek

: vertikale skuifafwaarts met eenhede

Die invloed van op 'n sinusgrafiek.


Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Funksies Sinusfunksies Die effek van a en q

Laai af

412


https://www.dropbox.com/s/0hzwx2ngt5n729s/Hoofstuk_6.6_Funksies_Sinusfunksies-Die_effek_van_a_en_q.ggb?dl=0


Gebied en terrein

Vir , is die gebied

Die terrein van is afhanklik van die waardes van en .

Vir :

Vir alle waardes van , is altyd tussen en .

Dus vir , is die terrein van gelyk aan

Soortgelyk, vir , is die terrein van gelyk aan

Periode

Die periode van is . Dit beteken dat 'n volledige sinuskurwein voltooi word.

413

Afsnitte

Die afsnit van is eenvoudig die waarde van by

Dit gee die punt

Belangrik wanneer jy trigonometriese grafieke teken, begin altyd met die basiesegrafiek en oorweeg dan die invloed van en .

UITGEWERKTE VOORBEELD 17: TEKEN 'N SINUSGRAFIEK

VRAAG

Teken die grafiek van vir .

OPLOSSING


Van die vergelyking sien ons dat , dus is die grafiek vertikaalgestrek. Ons sien ook dat , dus is die grafiek vertikaal opwaartsgeskuif met eenhede.

414



Gebied:

Terrein:

afsnitte: geen

afsnitte:

Maksimum draaipunt:

Minimum draaipunt:

415



Laai af

Cosinusfunksie


UITGEWERKTE VOORBEELD 18: TEKEN 'N COSINUSGRAFIEK

VRAAG


Kies 'n toepaslike skaal en stip die waardes van op die as en opdie as. Rond jou antwoorde af tot desimale plekke.

OPLOSSING


416

https://youtu.be/Xo3tpycgICE?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/755igvcf00ra20y/Graad_10_Hfst_6.6_VB_17.mp4?dl=0


Let op die soortgelyke golfvorm van die grafiek. Die periode is ook

en die amplitude is . Die maksimumwaarde van is en dieminimumwaarde is .

Gebied:

Terrein:

afsnitte: ,

:

Maksimum draaipunte: ,

Minimum draaipunt:

Funksies van die vorm417


ONDERSOEK

DIE INVLOED VAN EN OP 'N COSINUSGRAFIEK

In die vergelyking, , is en konstantes met verskillendeinvloede op die grafiek

Op dieselfde assestelsel, stip die volgende grafieke vir :

1.

2.

3.

4.

5.



1.

2.

3.

4.


418

Die effek van

Die effek van word 'n opwaartse of afwaartse vertikale skuif genoem omdat die helecosinusgrafiek op of afskuif met eenhede.



Die effek van

Die waarde van beïnvloed die amplitude van die grafiek; die hoogte van die piekeen die diepte van die trôe.

Vir , is daar 'n vertikale strekking en die amplitude neem toe.

Vir , neem die amplitude af.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die -as.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitudeverminder.

Vir , is daar 'n refleksie rondom die as en die amplitude wordgroter.

Let daarop dat amplitude altyd positief is.

Invloed van

: vertikale strekking,amplitude neem toe

: basiese cosinusgrafiek

: amplitude neem af

419

: refleksie om die as, amplitude neem af

: refleksie om die -as,amplitude neem toe

Die invloed van op 'n cosinusgrafiek.

Invloed van

: vertikale skuifopwaarts met eenhede

: basiesecosinusgrafiek

: vertikale skuifafwaarts met eenhede

Die invloed van op 'n cosinusgrafiek.


Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Funksies Kosinusfunksies Die effek van a en q

Laai af

420


https://www.dropbox.com/s/wrzozxr127uq4fq/Hoofstuk_6.6_Funksies_Kosinusfunksies-Die_effek_van_a_en_q.ggb?dl=0


Gebied en terrein

Vir , is die gebied

Dit is maklik om te sien dat die terrein van dieselfde is as die terrein van

. Dit is omdat die maksimum en minimumwaardes van

dieselfde sal wees as die maksimum en minimumwaardes van .

Vir die terrein van is

Vir die terrein van is

Periode

Die periode van is . Dit beteken dat een cosinusgolf voltooiword in .

Afsnitte

Die afsnit van word op dieselfde manier bereken as virsinus.

421

Dit gee die punt .

UITGEWERKTE VOORBEELD 19: TEKEN 'N COSINUSGRAFIEK

VRAAG


OPLOSSING


Van die vergelyking sien ons dat , dus is die grafiek vertikaalgestrek. Ons sien ook dat , dus is die grafiek vertikaal opwaartsgeskuif met eenhede.



422

Gebied:

Terrein:

afsnitte: geen

afsnit:

Maksimum draaipunte: ,

Minimum draaipunt:



Laai af

Vergelyking van die grafieke van en 423

https://youtu.be/kTQNIBodOrE?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/5vaivzpg3yi8ot8/Graad_10_Hfst_6.6_VB_19.mp4?dl=0

Vergelyking van die grafieke van en

Let daarop dat die twee grafieke baie eenders lyk. Beide golwe beweeg op en af langsdie as. Die afstande tussen die pieke vir elke grafiek is dieselfde. Die hoogte vandie pieke en die diepte van die trôe is ook dieselfde.

As jy die hele cosinusgrafiek na regs skuif, sal dit perfek oorvleuel met diesinusgrafiek. As jy die sinusgrafiek na links skuif, sal dit perfek oorvleuel met diecosinusgrafiek. Dit beteken dat:

424

Tangensfunksie


UITGEWERKTE VOORBEELD 20: TEKEN DIETANGENSGRAFIEK

VRAAG


Kies 'n toepaslike skaal en stip die waardes met op die as en opdie as. (Rond jou antwoorde af tot desimale plekke.)

OPLOSSING


ongedef

undef

425


Daar is 'n maklike manier om die tangensgrafiek te visualiseer. Beskouons definisies van en vir reghoekige driehoeke:

So vir enige waarde van :

Dus weet ons dat vir die waardes van waarvoor , moet onsook hê dat . Ook as , is die waarde van ongedefinieerd omdat ons nie kan deel met nie. Die vertikale stippellyneis die waardes van waar nie gedefinieër is nie en word asimptote

426

genoem.

Asimptote: die lyne en

Periode:

Gebied:

Terrein:

afsnitte: , ,

afsnit:


ONDERSOEK

DIE INVLOED VAN EN OP 'N TANGENSGRAFIEK


1.

2.

3.

4.

427

5.



1.

2.

3.

4.


Die effek van

Die invloed van word 'n vertikale skuif genoem omdat die hele tangensgrafiek eenhede op of afskuif.



Die effek van

Die waarde van affekteer die steilheid van elk van die takke van die grafiek. Hoegroter die waarde van , hoe vinniger sal die takke van die grafiek die asimptotebenader.

428

Die invloed van en op 'n tangensgrafiek.

429


Kyk nou: Hoofstuk 6.6 Funksies Tangens funksie Die effek van a en q

Laai af


Gebied en terrein

Van die grafiek sien ons dat ongedefinieerd is by en .

Dus is die gebied .

Die terrein is .

Periode

Die periode van is . Dit beteken dat een tangens siklusvoltooi word in .

Afsnitte

Die afsnit van is eenvoudig die waarde van by .

430


https://www.dropbox.com/s/8grvo6gi630mkiy/Hoofstuk_6.6_Funksies_Tangens_funksie-Die_effek_van_a_en_q.ggb?dl=0

Dit gee die punt .

Asimptote

Die grafiek het asimptote by en .

UITGEWERKTE VOORBEELD 21: TEKEN 'N TANGENSGRAFIEK

VRAAG


OPLOSSING


Ons sien dat , dus sal die takke van die kromme steiler wees. Onssien ook dat , dus word die grafiek vertikaal opwaarts geskuif met eenheid.


– –

431


Gebied:

Terrein:



Laai af

432

https://youtu.be/AbA0DcnJVck?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/d0b73vx5e62qphl/Graad_10_Hfst_6.6_VB_21.mp4?dl=0

1.

2.

OEFENING 6.6.1

Die grafiek van die vorm: word gegee. Punt A is by

, en Punt B is by . Vind die waardes van en .

Die grafiek van die vorm: word gegee. Punt A is by

, en Punt B is by . Bepaal die waardes van en .

433

3.

4.

5.

Die grafiek hieronder toon 'n trigonometriese vergelyking van die vorm :

. Twee punte word op die grafiek getoon: Punt A is by

, en Punt B: . Bereken die waardes van (dieamplitude van die grafiek) en (die vertikale verskuiwing van die grafiek).



, en Punt B: . Bereken die waardes van (dieamplitude van die grafiek) en (die vertikale verskuiwing van die grafiek).

Op die grafiek hieronder sien jy 'n tangenskromme van die volgende vorm:

. Twee punte word gemerk op die kromme: Punt A is

, en Punt B is .Bereken, of bepaal andersins, die waardes van en .

435

6.Die grafiek hieronder toon 'n tangensgrafiek met 'n vergelyking van die vorm

. Twee punte word gemerk op die kromme: Punt A is

, en Punt B is .Vind en .

436


437

a)

b)

c)

d)

8.Die grafiek toon funksies en

438

9.

10.

Wat is die vergelyking vir ?

Met behulp van die tabel hieronder, skets die drie funksies op dieselfdeassestelsel.


439

a)

b)

11.Noem die koördinate by en die terrein van die funksie.

440

c)

d)

441

12.

a)

b)

c)

13.Maak gebruik van jou kennis van die effek van en en skets elkvan die volgende grafieke, sonder die gebruik van 'n tabel van

waardes, vir

Meld die koördinate by en die gebied en die terrein van die funksie in diegegewe interval.

442

d)

e)

f)

a)

14.Gee die vergelykings vir elk van die volgende grafieke:

443

b)

15.

16.

Vir watter waardes van in die gegewe interval is die funksie toenemend?

Vir watter waardes van in die gegewe interval is die funksie negatief ?

444

17.

18.Gegewe die volgende grafiek.

Vir watter waardes van in die gegewe interval is die funksie positief?

445

a)

b)

c)

d)

19.Gegewe die volgende grafiek.

Noem die koördinate by en .

Hoeveel keer in hierdie interval sal en mekaar sny?

Wat is die amplitude van ?

Bepaal: .

446

a)

b)

c)

d)

20.Gegewe die volgende grafiek:




Evalueer: .

447

a)

b)

c)

d)




Bepaal: .

448

6.7 Interpretasie van grafieke

UITGEWERKTE VOORBEELD 22: BEPAAL DIE VERGELYKINGVAN 'N PARABOOL

VRAAG

Gebruik die skets hieronder om die waardes te bepaal van en vir die

parabool van die vorm .

OPLOSSING

Stap 1: Ondersoek die skets

Van die skets sien ons die vorm van 'n grafiek is 'n “frons”, dus .

Ons sien ook dat die grafiek vertikaal opwaarts geskuif is, dus .

449

Stap 2: Bepaal deur gebruik te maak van die -afsnit

Die afsnit is die punt .

Stap 3: Gebruik die ander gegewe punt om te bepaal

Stel die punt in die vergelyking:


en , dus die vergelyking van die parabool is

.

UITGEWERKTE VOORBEELD 23: BEPAAL DIE VERGELYKINGVAN 'N HIPERBOOL

VRAAG

Gebruik die skets hieronder om die waardes te bepaal van en vir die

hiperbool van die vorm .

450

OPLOSSING


Die twee krommes van die hiperbool lê in die tweede en vierde kwadrante,dus . Ons sien ook dat die grafiek vertikaal opwaarts geskuif is, dus

.

Stap 2: Substitueer die gegewe punte in die vergelyking en los op

Substitueer die punt :

Substitueer die punt :

451

Stap 3: Los die gelyktydige vergelykings op deur substitusie te

gebruik


en , dus die vergelyking van die hiperbool is

.

UITGEWERKTE VOORBEELD 24: INTERPRETEER GRAFIEKE

VRAAG

Die grafieke van en word gegee. Bereken dievolgende:

1. koördinate van , , , 452

2. koördinate van

3. afstand

OPLOSSING


Om die afsnit van die parabool te bereken, stel :

Dit gee die punt .

Om die afsnit te bereken, stel :

453

Dit gee die punte en .

Om die afsnit van die reguitlyn te bereken, stel :

Dit gee die punt .

Stap 2: Bereken die snypunt

Die twee grafieke sny by , dus kan ons die twee uitdrukkings gelykstel:

By , , dus . Dit gee die punt

.

Stap 3: Bereken afstand

Afstand is eenhede.

454


1. koördinate van , , ,

2. koördinate van

3. afstand eenhede


Kyk nou: Hoofstuk 6.7 Afstand grafiese toets

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 25: INTERPRETASIE VANTRIGONOMETRIESE GRAFIEKE

VRAAG

Gebruik die skets en bepaal die vergelyking van die trigonometriese funksie

met die vorm .

455


https://www.dropbox.com/s/8aat3kv2it1i5yy/Graad_10_Afstand_grafiese_toets.ggb?dl=0

OPLOSSING


Uit die skets sien ons dat die grafiek 'n sinusgrafiek is wat vertikaalopwaarts geskuif is. Die algemene vorm van die vergelyking is

.

Stap 2: Substitueer die gegewe punte in die vergelyking en los op

By , en :

By , en :

456

a)

b)

1.Teken die volgende funksies op dieselfde assestelsel en merk al diepunte waar die funksies sny.

OEFENING 6.7.1

Stap 3: Los die gelyktydige vergelykings op deur substitusie te

gebruik


en

en

457

c)

d)

a)

2.Bepaal die vergelykings van die grafieke hieronder.

en

en

458

b)

a)

b)

3.Kies die korrekte antwoord:

Die terrein van is:

a.

b.

c.

d.

Die terrein van is:

a.

459

c)

d)

b.

c.

d.

Die afsnit van is:

a.

b.

c.

d.

Watter van die volgende gaan deur ?

a.

b.

c.

d.

460

Hoofstuk opsommingKenmerke van funksies:

Die gegewe waarde staan bekend as die onafhanklike veranderlikeomdat die waarde daarvan vrylik gekies kan word. Die berekende -waarde staan bekend as die afhanklike veranderlike, omdat die waardedaarvan afhanklik is van die -waarde.

Die gebied van 'n funksie is die versameling van alle waardes waarvoordaar op die meeste een waarde bestaan volgens die funksievoorskrif.Die terrein is die versameling van alle waardes wat verkry kan worddeur ten minste een waarde te gebruik.

'n Asimptoot is 'n reguitlyn waarnatoe die grafiek van 'n funksie al nadersal kom, maar nooit sal raak nie.

Spesiale funksies en hulle eienskappe:

Lineêre funksies van die vorm .

Paraboliese funksies van die vorm .

Hiperboliese funksies van die vorm .

Eksponensiële funksies van die vorm .

Trigonometriese funksies van die vorm

461

a)

b)

1.Voltooi die volgende tabelle en identifiseer die funksie.

a)

b)

2.Stip die volgende punte op 'n grafiek.

a)

b)

3.Stel 'n tabel van waardes saam vir die gegewe funksie en skets dandie funksie. Jou tabel moet ten minste 5 geordende getallepare hê.

a)

4.Bepaal die afsnit en die afsnitte van die funksie.


462

b)

5.

6.Kyk na die grafiek hieronder. Elke grafiek word aangedui met 'nletter. In die vrae wat volg, pas die gegewe vergelyking by die lettervan 'n ooreenstemmende grafiek.

Die grafiek hieronder toon 'n vergelyking van die vorm .Bereken, of vind andersins, die waardes van (die gradiënt van die lyn) en (die afsnit van die lyn).

463

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7.Meld of die volgende waar is of nie

464

a)

b)

c)

a)

b)

8.Skryf die volgende in standaardvorm:

a)

b)

c)

9.Skets die grafieke van die volgende:

a)

b)

10.Die funksie vir die hoeveelheid water wat 'n kraan lewer, word gegeedeur: , waar in sekondes en gemeet wordonderskeidelik.Gebruik hierdie inligting om die volgende te beantwoord:

Die afsnit van is .



Bereken .

Bereken .

465

c)

d)

11.Die grafiek hieronder toon die afstand afgelê deur 'n motor oor 'n

bestek van tyd, waar die afstand in en die tyd in minutegee.

a)

b)

c)


Hoe lank sal dit vat om 'n bottel vol water te maak?

Hoeveel water kan die kraan lewer in ?

Watter afstand het die motor afgelê in 'n uur?

Wat is die gebied van die funksie?

Wat is die terrein van die funksie? Wat verteenwoordig dit?

466

12.

a)

b)


Op die gegewe grafiek sien jy 'n funksie van die vorm: . Tweepunte op die parabool word getoon: Punt A, die draaipunt van die parabool, is

by , en Punt B is by . Bereken die waardes van en .



467


a)

b)

c)

468

d)


a)

b)

c)

a)

16.Skets die volgende funksies:

469

b)

c)

17.Sebastian en Lucas duik in 'n poel water in van verskillende hoogtesaf. Hulle paaie deur die lug kan beskryf word deur die volgende

kwadratiese vergelykings: vir Sebastian en

vir Lucas.

a)Van watter hoogte af het Sebastian geduik?

470

b)

c)

d)

18.


Van watter hoogte af het Lucas geduik?

Hoe ver van die poel se kant af het Lucas geland?

Hoeveel nader aan die kant van die poel het Sebastian geland?



471

a)

b)


a)

b)



472

c)

d)

a)

b)

c)

21.Skets die volgende funksies en identifiseer die asimptote:

a)

b)

c)

d)

22.Skets die gegewe funksies en beskryf die transformasie gebruik omdie tweede funksie te verkry. Toon alle asimptote.

en

en

en

en

473

a)

b)


a)

b)

c)

24.Skets die volgende funksies en identifiseer die asimptote:

25.


Bereken nou die afsnit. Benader jou antwoord tot een desimaleplek waar nodig.

Die vorm van die gegewe kromme is . Een punt op die

kromme is gegee: Punt A is by . Vind die waardes van en , korrek tot die naaste heelgetal.

474


475

a)

b)

c)

d)

a)

27.Gebruik die funksies

om die waarde van die volgende te vind:

476

b)

c)

d)

e)

f)

g)

a)

b)

c)

d)

e)

28.Bepaal of die volgende bewerings waar of onwaar is. As die beweringonwaar is, gee redes waarom.

Die gegewe of gekose waarde staan bekend as die onafhanklikeveranderlike.

'n Grafiek is kontinu as daar onderbrekings in die grafiek is.

Funksies van die vorm is reguitlyne.

Funksies van die vorm is eksponensiële funksies.

'n Asimptoot is 'n reguitlyn wat 'n grafiek ten minste eenmaal sal sny.

477

f)

a)

b)

c)

d)

29.

Gegee die funksies en .

30.

31.Mark het muntstukke in en munte. Hy het meer

munte as munte. Hy stel 'n stelsel van vergelykings opom die situasie voor te stel, waar die aantal munte voorstel,

Gegee 'n funksie van die vorm . Om die afsnit te kry,stel en los op vir .

Skets die grafieke van en op dieselfde assestelsel.

Bereken die snypunte van en .

Gebruik jou grafieke en die snypunte om vir op te los wanneer:

a.

b.

c.

Gee die vergelyking van die refleksie van in die -as.

As 'n bal laat val word, neem die hoogte wat die bal terugbons af met elke

bons. Die vergelyking toon die verband tussen die aantalterugbonse en die hoogte van die bons vir 'n sekere bal. Wat is diebenaderde hoogte van die vyfde bons van hierdie bal tot die naaste tiendevan 'n eenheid?

478

a)

b)

c)

terwyl die aantal munte voorstel. Toe los hy die vergelykingsop met behulp van grafieke.

32.

33.

Skryf die stelsel van vergelykings neer.

Trek die grafieke op dieselfde assestelsel.

Gebruik jou sketse en bepaal hoeveel en stukke Markhet.

Die volgende grafiek toon 'n funksie van die vorm: waar

Punt A is by , en Punt B is by . Bepaal die waardesvan en .



, en Punt B is by . Bereken die waardes van (dieamplitude van die grafiek) en (die vertikale verskuiwing van die grafiek).

479

34.Op die grafiek hieronder sien jy 'n tangenskromme van die volgende vorm:

. Twee punte word gemerk op die kromme: Punt A is by

, en Punt B is by .Bereken, of bepaal andersins, die waardes van en .

480


481

a)

b)

c)

d)

36.Die grafiek toon funksies en 482

37.

38.

Wat is die vergelyking vir



483

a)

b)

c)

d)

e)

39.Skets die grafieke van die volgende trigonometriese funksies vir

. Toon die afsnitte en asimptote.

40.Noem die koördinate by en die terrein van die funksie.

484

a)

485

b)

41.Meld die koördinate by en die gebied en die terrein van die funksie in diegegewe interval.

486

42.Vir watter waardes van neem die funksie af in die gegewe interval?

487

43.Vir watter waardes van is die funksie toenemend in die gegewe interval?

488

44.

45.

Gegee die algemene vergelykings , ,

, , ,

en , bepaal die spesifiekevergelykings vir elk van die volgende grafieke.

Vir watter waardes van is die funksie positief in die gegewe interval?

489

a)

b)

490

c)

d)

491

e)

f)

492

g)

493

a)

b)

c)

d)

46.




Bereken: .

494

a)

b)

c)

d)

47.




Evalueer: .495

48.

en is hieronder geskets. Beantwoord dievolgende vrae.

a)

b)

c)

d)

e)

49.Teken die volgende funksies op dieselfde assestelsel en merk al diesnypunte duidelik.

Bereken die koördinate van en .

Bereken die lengte van .

Bereken die lengte van as .

Gee die vergelyking van gereflekteer rondom die -as.

Gee die terrein van beide grafieke.

496

a)

b)

50.

en is hieronder geskets. Die

punte en word gegee. Beantwoord die volgendevrae.

a)

b)

c)

Bepaal die waarde van .


Gee die vergelyking van gereflekteer rondom die -as.

497

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

51.

Gegee en . Beantwoord dievrae wat volg.

52.

Gee die vergelyking van vertikaal opwaarts geskuif met eenhede.

Gee die vergelyking van die asimptote van .

Gee die terrein van en .

Skets beide grafieke op dieselfde assestelsel.

Beskryf die verband tussen en .

Gee die vergelyking van gereflekteer in die lyn .

Gee die gebied en terrein van .

Skets die grafieke van en op dieselfdeassestelsel. Gebruik jou skets om die volgende te bepaal:

a.

b.

c.

d. Die gebied en terrein van .

e. Die amplitude en periode van .498

53.

Die grafieke van en word getoon in die volgendediagram.

a)

b)

c)

d)

Bereken:

54.

Gegee die diagram met en .

Die koördinate van punte en .

Die lengte van .

Die lengte van .

Die lengte van , gegewe .

499

a)

b)

c)

d)

55.

Die diagram toon die grafiek van en

Bereken die koördinate van , en .

Beskryf in woorde wat gebeur by die punt .

Bereken die koördinate van .

Bereken die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punte en gaan.

500

a)

b)

c)

Gee die gebied van .


Bepaal vir watter waardes van :

a.

b.

c.

d. neem toe

501

a)

56.Bepaal die vergelykings van die grafieke hieronder.

502

b)

a)

b)

57.Kies die korrekte antwoord:Watter van die volgende het nie 'n gradiënt van 3 nie?

a.

b.

c.

d.

Die asimptoot van is:

a.

b. 503

a)

b)

c)

58.Skets die volgende

c.

d.

504

HOOFSTUK 7: EUKLIDIESE MEETKUNDE

InleidingMeetkunde of Geometrie (vanaf Grieks “geo” = aarde en “metria” = meting) hetontstaan as die veld van kennis wat ruimtelike verwantskappe hanteer. Meetkundigekennis kan op verskillende maniere ondersoek en gebruik word, onder andere asEuklidiese meetkunde of as analitiese meetkunde. Analitiese meetkunde hanteerruimte en vorm met behulp van algebra en 'n koördinaatstelsel. Euklidiese meetkundehanteer ruimte en vorm met 'n sisteem van logiese afleidings.

Eukildiese meetkunde is eerste aangewend in landmeting en dit word vandag noguitgebreid gebruik vir die opmeting van grond. Eukilidiese meetkunde word ookgebruik in argitektuur en die ontwerp van nuwe geboue. Ander gebruike vanEuklidiese meetkunde is in kuns en om die beste ruimtelike verpakking van verskeievoorwerpe te bepaal.

'n Klein stukkie van die oorspronklike kopie van Euklides se Elemente. Euklidies word beskou as

die vader van moderne meetkunde. Euklides se Elemente is vir baie jare gebruik as die

standaardwerk vir meetkunde.

505

HET JY GEWEET?

In Eukildiese meetkunde gebruik ons twee fundamentele tipes meting: diemeting van hoeke en van afstande.

506

7.1 Hoeke'n Hoek word gevorm wanneer twee reguitlyne ontmoet by 'n punt, ook genoem die

hoekpunt. Hoeke word aangedui met 'n kappie op 'n letter, byvoorbeeld, . Hoekekan ook benoem word volgens die lynsegmente wat die hoek vorm, byvoorbeeld

of . Die simbool is 'n kort metode om 'n hoek te skryf in meetkunde

en dit word dikwels gebruik in frases soos " e van ”. Hoeke word gemeet in gradewat aangedui word deur , 'n klein sirkeltjie regs bokant die syfer, soortgelyk aan 'neksponent.

Eienskappe en notasie

In die diagram hieronder sny twee reguitlyne in 'n punt en vier hoeke word gevorm: ,

, en .

507

Die volgende tabel som die verskillende tipes hoeke op, met voorbeelde uit die figuurhierbo.

Term Eienskap Voorbeelde

Skerphoek ;

Regte hoek Hoek

Stomphoek ;

Reguitlyn Hoek ;

Reflekse hoek

Aangrensendehoeke

Hoeke wat 'n hoekpunt en 'n gemeenskaplikesy deel. en ; en

Regoorstaandehoeke

Hoeke regoor mekaar wanneer twee lyne sny.Hulle deel 'n hoekpunt en is ewe groot. ;

Supplementêrehoeke Twee hoeke wat saam is ;

Komplementêrehoeke Twee hoeke wat saam is

Omwenteling Die som van alle hoeke rondom 'n punt.

Let op dat aangrensende hoeke op 'n reguitlyn supplementêr is.

508


Kyk nou: Hoofstuk 7.1 Euklidiese meetkunde Hoeke eienskappe en notasie

Laai af

Ewewydige lyne en snydende lyne

Twee lyne sny as hulle mekaar by 'n punt kruis. Byvoorbeeld, by 'n verkeerskruisingkruis twee of meer strate en die middel van die kruising is die gemeenskaplike punttussen die strate.

Ewewydige lyne is altyd dieselfde afstand van mekaar en hulle word aangedui metpyltjiesimbole soos hieronder aangedui.

In skryfwerk gebruik ons twee vertikale strepies om aan te dui dat twee lyne ewewydigis:

'n Snydende lyn sny twee of meer ewewydig lyne mekaar sny. In die diagram

hieronder, en is 'n snydende lyn.509


https://www.dropbox.com/s/aa3ksc3uzfle2rd/Hoofstuk_7.1_Euklidiese_meetkunde_Hoeke_eienskappe_en_notasie.ggb?dl=0

Die eienskappe van die hoeke wat gevorm word deur hierdie snydende lyne, wordopgesom in die volgende tabel:

Naam van hoek Definisie Voorbeelde Notas

Binnehoeke Hoeke wat tussen ewewydigelyne lê

, , en isbinnehoeke.

Binnebeteken'ingeslotetussen'.

Buitehoeke Hoeke wat buite dieewewydige lyne lê.

, , en isbuitehoeke.

Buitebeteken'aan diebuitekantvan'.

Ooreenkomstigehoeke

Hoeke aan dieselfde kante vandie lyne en aan dieselfde kantvan die snylyn. As die lyneewewydig is, sal dieooreenstemmende hoeke ewegroot wees.

en , en , en , en is pareooreenstemmendehoeke. ,

, en .

Hoeke wat tussen die lyne lê en , en is

510

Ko-binnehoekeen aan dieselfde kant van diesnylyn. As die lyne ewewydigis, is die hoeke supplementêr.

pare van kobinnehoeke.

, .

Verwisselendebinnehoeke

Binnehoeke wat binne die lynelê en aan teenoorgesteldekante van die snylyn. As dielyne ewewydig is, sal dieverwisselende binnehoeke ewegroot wees.

en , en ispare verwisselendebinnehoeke. ,


Kyk nou: Hoofstuk 7.1 Euklidiese meetkunde Tipe hoeke

Laai af

As twee lyne gesny word deur 'n snylyn sodat:

ooreenstemmende hoeke ewe groot is; of

verwisselende binnehoeke ewe groot is; of

kobinnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn supplementêr is,

dan is die twee lyne ewewydig.

LET WEL

Wanneer ons verwys na lyne, kan ons of skryf , bedoelende die lyn deur

punte en , of , bedoelende die lyn segment van punt tot punt .

511


https://www.dropbox.com/s/6yuqdal01yiz8fr/Hoofstuk_7.1_Euklidiese_meetkunde_Tipe_hoeke.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: VIND HOEKE

VRAAG

Vind al die onbekende hoeke. Is ? Verduidelik jou antwoord.

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik die eienskappe van ewewydige lyne om alle gelyke

hoeke op die diagram te vind

Teken die diagram oor en merk al die gelyke hoeke.

512

1.

OEFENING 7.1.1

Stap 2: Bepaal die onbekende hoeke

Stap 3: Bepaal of

As dan sal gelyk wees aan ooreenstemmende hoek ,

maar en . Dus is nie ewewydig aan nie.



Laai af

Gebruik aangrensende, ooreenstemmende, kobinnehoeke en verwisselendebinnehoeke om al die hoeke in die diagram met letters te bereken:

513

https://youtu.be/RtpXgEEfmBo?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/v2eutt14l3hq9it/Graad_10_Hfst_7.1_VB_1.mp4?dl=0

2.Vind al die onbekende hoeke in die figuur:

514

3.Vind die waarde van in die figuur:

515

4.Gegee die diagram hieronder:

a)

b)

Vind elk van die onbekende hoeke gemerk in die figuur hieronder.Vind 'n rede wat tot die antwoord sal lei in een enkele stap.

Gebaseer op die resultate vir die hoeke hierbo, is ?

516

5.Gegee die diagram hieronder:

a)

b)

a)

6.Bepaal of die pare lyne in die volgende figure ewewydig is:

Vind elk van die onbekende hoeke gemerk in die figuur hieronder.Vind 'n rede wat tot die antwoord sal lei in een enkele stap.


517

b)

c)

7.As ewewydig is aan en ewewydig is aan , verduidelikwaarom ewewydig moet wees aan .

518

7.2 Driehoeke

Klassifikasie van driehoeke

'n Driehoek is 'n driekantige veelhoek. Driehoeke kan geklassifiseer word volgens sye:gelyksydig, gelykbenig en ongelyksydig. Driehoeke kan ook geklassifiseer wordvolgens hoeke: skerphoekig, stomphoekig en reghoekig.

Ons gebruik die notasie om te verwys na 'n driehoek met hoekpunte , en .

Naam Diagram Eienskappe

Ongelyksydig Al die sye en hoeke is verskillend.

Gelykbenig Twee sye is ewe lank. Die hoeke teenoorgelyke sye is ook ewe groot.

519

Gelyksydig Al drie sye is ewe lank en al drie hoeke is ewegroot.

Skerphoekig Elk van die drie binnehoeke is kleiner as .

Stomphoekig Een binnehoek is groter as .

Reghoekig Een binnehoek is .

Verskillende kombinasies van hierdie eienskappe is ook moontlik. Byvoorbeeld, 'nstomphoekige gelykbenige driehoek en 'n reghoekige gelykbenige driehoek wordhieronder getoon.

520

ONDERSOEK

BINNEHOEKE VAN 'N DRIEHOEK

1. Trek 'n driehoek van enige grootte en vorm op 'n stuk papier.

2. Sny dit uit en benoem die hoeke , en op beide kante van diepapier.

3. Trek stippellyne soos getoon en sny langs die lyne om drie stukkiespapier te kry.

4. Plaas hulle langs jou liniaal soos getoon in die figuur hieronder.

5. Tot watter gevolgtrekking kan ons kom?

Wenk: Wat is die som van die hoeke op 'n reguitlyn?

521

ONDERSOEK

BUITEHOEKE VAN 'N DRIEHOEK

1. Trek 'n driehoek van enige grootte en vorm op 'n stuk papier. Maak 'nkopie van die driehoek op 'n ander stuk papier.

2. Sny beide uit en benoem die hoeke van beide driehoeke , en aanbeide kante van die papier.

3. Trek stippellyne op een driehoek soos getoon en sny langs die lyne.

4. Plaas die tweede driehoek en die uitgesnyde stukkies soos getoon in die522

figuur hieronder.

5. Tot watter gevolgtrekking kan ons kom?


Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Buite hoek van driehoek

Laai af

Kongruensie

Twee driehoeke is kongruent as die een presies op die ander een pas. Dit beteken diedriehoeke het hoeke en sye wat ooreenstemmend ewe groot is. Om te bepaal of dietwee driehoeke kongruent is, is dit nodig om elke sy en elke hoek te kontroleer. Onsdui kongruensie aan met .

523


https://www.dropbox.com/s/f0n0ikybh1giqyf/Graad_10_Buite_hoek_van_driehoek.ggb?dl=0

Die volgende tabel beskryf die voorwaardes vir kongruensie:

Reël Beskrywing Diagram

SkS

(,skuinssy, sy)

As die skuinssy en een ander sy van 'n reghoekigedriehoek ooreenstemmend gelyk is aan die skuinssyen 'n nog 'n sy van 'n ander reghoekige driehoek,dan is die twee driehoeke kongruent.

SSS

(sy,sy,sy)

As drie sye van 'n driehoek ooreenstemmend net solank is as die sye van 'n ander driehoek, dan is dietwee driehoeke kongruent.

SHS of S S

(sy,hoek,sy)

As twee sye en die ingeslote hoek van 'n driehoekooreenstemmend gelyk is aan twee sye en dieingeslote hoek van 'n ander driehoek, dan is dietwee driehoeke kongruent.

HHS of S

(hoek,hoek,sy)

As een sy en twee hoeke van 'n driehoekooreenstemmend gelyk is aan een sy en tweehoeke van 'n ander driehoek, dan is die tweedriehoeke kongruent.

Die volgorde van die letters wanneer ons kongruente driehoeke benoem, is baiebelangrik.

Hierdie notasie dui die volgende eienskappe van twee driehoeke aan ,

, , , en .


Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Kongruente driehoeke

Laai af

LET WEL

Jy mag sien wat gebruik word om te wys dat twee driehoeke kongruent is. Ditis die internasionaal erkende simbool vir kongruensie.

524


https://www.dropbox.com/s/6y6gewk4308a4mp/Hoofstuk_7.2_Euklidiese_meetkunde_Kongruente_driehoeke.ggb?dl=0

Gelykvormigheid

Twee driehoeke is gelykvormig as een driehoek 'n groter of kleiner, opskaalweergawe van die ander een is. Dit beteken dat hulle ooreenstemmende hoeke ewegroot is en dat die verhouding van hulle ooreenstemmende sye eweredig is. Die tweedriehoeke het dieselfde vorm, maar verskillende groottes. Kongruente driehoeke isgelykvormige driehoeke, maar nie alle gelykvormige driehoeke is kongruent nie. Ons

gebruik om aan te dui dat twee driehoeke gelykvormig is.

Die volgende tabelle beskryf die vereistes vir gelykvormigheid:


HHH

(hoek,hoek,hoek)

As al drie pare hoeke van tweeooreenstemmende driehoeke gelyk is,dan is die driehoeke gelykvormig. , ,


Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Gelykvormigheid hoek hoek hoek

Laai af

525


https://www.dropbox.com/s/03dnpf1v06b3xna/Hoofstuk_7.2_Euklidiese_meetkunde_Gelykvormigheid_hoek_hoek_hoek.ggb?dl=0


SSS

(sy,sy,sy)

As al drie pare sye van tweeooreenstemmende driehoeke eweredig is, danis die twee driehoeke gelykvormig.


Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Gelykvormigheid sye in gelyke verhouding

Laai af

Die volgorde van letters vir gelykvormige driehoeke is baie belangrik. Benoem altydgelykvormige driehoeke in ooreenstemmende volgorde. Byvoorbeeld:

LET WEL

Jy mag sien wat gebruik word om te toon dat twee driehoeke gelykvormig is.Dit is die internasionaal erkende simbool vir gelykvormigheid.

526


https://www.dropbox.com/s/e12ibhupksgyn57/Hoofstuk_7.2_Euklidiese_meetkunde_Gelykvormigheid_sye_in_gelyke_verhouding.ggb?dl=0

Die stelling van Pythagoras

As 'n reghoekige driehoek is met , dan .

Omgekeerde: As , dan is reghoekig met .


Kyk nou: Hoofstuk 7.2 Euklidiese meetkunde Pythagoras se stelling

Laai af

527

http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1965445

https://www.dropbox.com/s/f1aaw1r37236x5g/Hoofstuk_7.2_Euklidiese_meetkunde_Pythagoras.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: DRIEHOEKE

VRAAG

Bepaal of die twee driehoeke kongruent is. Gebruik die resultaat om , en te vind.

OPLOSSING

Stap 1: Ondersoek die inligting wat gegee is vir beide driehoeke

Stap 2: Bepaal of

In :

528

1.Bereken die onbekende veranderlikes in elk van die volgende figure.

OEFENING 7.2.1

In en :

Stap 3: Bepaal die onbekende hoeke en sye

In :

In :

529

a)

b)

c)

530

d)

e)

531

f)

g)

532

2.

3.

Gegee die volgende diagramme: Diagram A

Diagram B

Watter diagram gee 'n paar driehoeke wat gelykvormig is?


Diagram B

533

4.

5.

6.Meld of die volgende pare driehoeke kongruent is of nie. Gee redesvir jou antwoorde. As daar nie genoeg inligting is om 'n besluit teneem nie, verduidelik hoekom.


Beskou die volgende driehoeke, wat op skaal geteken is:

Is die twee driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik diekorrekte notasie om kongruensie aan te dui.


Is die twee driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik diekorrekte notasie om kongruensie aan te dui.

534

a)

b)

535

c)

d)

536

e)

537

7.3 Vierhoeke

DEFINISIE

Vierhoek

'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat bestaan uit vier reguitlyn segmente.

LET WEL

Die binnehoeke van 'n vierhoek is saam °.

Parallelogram

DEFINISIE

Parallelogram

'n Parallelogram is vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.

538

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: EIENSKAPPE VAN 'NPARALLELOGRAM

VRAAG

is 'n parallelogram met en . Toon dat:

1. en

2. en

OPLOSSING

Stap 1: Verbind om en te vorm

Teken die diagram oor en trek lyn .

Stap 2: Gebruik eienskappe van ewewydige lyne om alle hoeke in die

diagram wat ewe groot is, aan te dui

Merk alle ewe groot hoeke op jou diagram.

Stap 3: Bewys

In en :

539

Teenoorstaande sye van 'n parallelogram is ewe lank.

Ons het alreeds en getoon. Dus,

Verder,

Dus teenoorstaande hoeke van 'n parallelogram is gelyk.



Laai af

Opsomming van die eienskappe van 'n parallelogram:

Beide pare teenoorstaande sye is ewewydig.

Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.

Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.

Beide hoeklyne halveer mekaar.

540

https://youtu.be/tDdBgv63fGE?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/1rdiku4u324vtrd/Graad_10_Hfst_7.3_VB_3.mp4?dl=0


Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Parallelogram

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: BEWYS 'N VIERHOEK IS 'NPARALLELOGRAM

VRAAG

Bewys dat as beide pare teenoorstaande hoeke in 'n vierhoek gelyk is, is dievierhoek 'n parallelogram.

OPLOSSING

Stap 1: Vind die verwantskap tussen en 541


https://www.dropbox.com/s/xl1fkshx188foya/Hoofstuk_7.3_Euklidiese_meetkunde_Vierhoeke_Parallelogram.ggb?dl=0

In :

Maar, hierdie is kobinnehoeke tussen lyne en . Dus

.

Stap 2: Vind ewewydige lyne

. Hierdie is kobinnehoeke tussen lyne en .

Dus .

Beide pare teenoorstaande sye van 'n vierhoek is ewewydig, dus is 'n parallelogram.

ONDERSOEK

BEWYS 'N VIERHOEK IS 'N PARALLELOGRAM

1. Bewys dat as beide pare teenoorstaande sye van 'n vierhoek gelyk is,dan is die vierhoek 'n parallelogram.

2. Bewys dat as die hoeklyne van 'n vierhoek mekaar halveer, dan is die

542

1.

is 'n parallelogram. en .

en .

a)

OEFENING 7.3.1

vierhoek 'n parallelogram.

3. Bewys dat as een paar teenoorstaande sye van 'n vierhoek gelyk enewewydig is, dan is die vierhoek 'n parallelogram.

'n Vierhoek is 'n parallelogram as:


Beide pare teenoorstaande sye gelyk is.


Die hoeklyne of diagonale mekaar halveer.

Een paar teenoorstaande sye beide gelyk en ewewydig is.

Vind, met redes, twee ander hoeke gelyk aan .

543

b)

c)

2.

Skryf in terme van .

Bereken die waarde van .

Bewys dat die hoeklyne van parallelogram mekaar halveer by .

Wenk: Gebruik kongruensie.

Reghoek

DEFINISIE

Reghoek

'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan .

'n Reghoek het al die eienskappe van 'n parallelogram:



544



Dit het ook die volgende spesiale eienskap:


Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Reghoek

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: SPESIALE EIENSKAP VAN 'NREGHOEK

VRAAG

is 'n reghoek. Bewys dat die hoeklyne ewe lank is.

OPLOSSING

Stap 1: Verbind met en met om en te

vorm

Stap 2: Gebruik die definisie van 'n reghoek om op die diagram alle

gelyke hoeke en sye in te vul.545


https://www.dropbox.com/s/atq0dqjkb5eajuu/Hoofstuk_7.3_Euklidiese_meetkunde_Vierhoeke_Reghoek.ggb?dl=0

Stap 3: Bewys

In en :

Die hoeklyne van 'n reghoek is ewe lank.



Laai af

Opsomming van die eienskappe van 'n reghoek:





Hoeklyne is ewe lank.

Alle binnehoeke is gelyk aan

546

https://youtu.be/ZsL5uR3YBoM?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/rc1b780saqdnjmq/Graad_10_Hfst_7.3_VB_5.mp4?dl=0

1. is vierhoek. Hoeklyne en sny by .

, , . Bewys dat:

a)

b)

OEFENING 7.3.2

'n parallelogram is

'n reghoek is

Rombus of ruit

DEFINISIE

Rombus of ruit

'n Rombus of ruit is 'n parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is.

547

'n Ruit het al die eienskappe van 'n parallelogram:





Dit het ook twee spesiale eienskappe:


Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Ruit

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: SPESIALE EIENSKAPPE VAN'N RUIT

VRAAG

is ruit. Bewys dat:

1. die hoeklyne mekaar loodreg halveer;

2. die hoeklyne die binnehoeke halveer.

548


https://www.dropbox.com/s/2pqy6qg37aaf8xi/Hoofstuk_7.3_Euklidiese_meetkunde_Vierhoeke_Ruit.ggb?dl=0

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik die definisie van 'n ruit om op die diagram alle gelyke

hoeke en sye in te vul

Stap 2: Bewys

Ons kan verder tot die gevolgtrekking kom dat

.

Dus halveer die hoeklyne mekaar loodreg.

Stap 3: Gebruik eienskappe van kongruente driehoeke om te bewys

die hoeklyne die binnehoeke halveer

549

Dus hoeklyn halveer . Net so, kan ons toon dat halveer ook

; en dat hoeklyne halveer en .

Ons kom tot die gevolgtrekking dat die hoeklyne van 'n ruit die binnehoekehalveer.

Om te bewys 'n parallelogram is 'n ruit, moet ons een van die volgende aantoon:

Alle sye is ewe lank.

Hoeklyne sny mekaar reghoekig.

Hoeklyne halveer die binnehoeke.

Opsomming van die eienskappe van 'n ruit:






Die hoeklyne halveer mekaar loodreg

Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande hoeke.

550

Vierkant

DEFINISIE

Vierkant

'n Vierkant is 'n ruit met al vier binnehoeke gelyk aan

OF

'n Vierkant is 'n reghoek met al vier sye ewe lank.

'n Vierkant het al die eienskappe van 'n ruit:






Die hoeklyne halveer mekaar loodreg 551

Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande hoeke.

Dit het ook die volgende eienskappe:


Hoeklyne is ewe lank.

Hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande binnehoeke (d.w.s. almal is )

Om te bewys 'n parallelogram is 'n vierkant, moet ons een van die volgende toon:

Dit is 'n ruit (al vier sye ewe lank) met binnehoeke gelyk aan .

Dit is 'n reghoek (binnehoeke gelyk aan ).


Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Vierkant

Laai af

552


https://www.dropbox.com/s/qdxkrxg2q8ebptg/Hoofstuk_7.3_Euklidiese_meetkunde_Vierhoeke_Vierkant.ggb?dl=0

Trapesium

DEFINISIE

Trapesium

'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye ewewydig.

LET WEL

'n Trapesium word soms 'n trapesoïde genoem.

Sommige voorbeeld van trapesiums word hieronder gegee:


Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Trapesium

Laai af

Vlieër553


https://www.dropbox.com/s/9khgs10ng84bh8j/Hoofstuk_7.3_Euklidiese_meetkunde_Vierhoeke_Trapesium.ggb?dl=0

Vlieër

DEFINISIE

Vlieër

'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye gelyk.

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: EIENSKAPPE VAN 'N VLIEËR

VRAAG

is 'n vlieër met en . Bewys dat:

1.

2. Hoeklyn halveer en

554

OPLOSSING

Stap 1: Bewys

In en :

Dus is een paar teenoorstaande hoeke gelyk in 'n vlieër .

Stap 2: Gebruik eienskappe van kongruente driehoeke om te bewys

halveer en

Dus halveer hoeklyn en .

Ons kom tot die gevolgtrekking dat die hoeklyn tussen die gelyke sye van'n vlieër die twee binnehoeke halveer en 'n as van simmetrie is.

555

1.

OEFENING 7.3.3

Opsomming van die eienskappe van 'n vlieër:

Hoeklyn tussen gelyke sye halveer die ander hoeklyn.

Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk (die hoeke tussen ongelyke sye)

Hoeklyn tussen gelyke sye halveer die binnehoeke en is 'n as van simmetrie.

Hoeklyne sny mekaar loodreg


Kyk nou: Hoofstuk 7.3 Euklidiese meetkunde Vierhoeke Vlieër

Laai af

Gebruik die skets van vierhoek om te bewys die hoeklyne van 'nvlieër is loodreg op mekaar.

556


https://www.dropbox.com/s/3pltf7cbns4gexh/Hoofstuk_7.3_Euklidiese_meetkunde_Vierhoeke_Vlie%C3%ABr.ggb?dl=0

2.Verduidelik waarom vierhoek 'n vlieër is. Skryf al die eienskappeneer van vierhoek .

ONDERSOEK

VERWANTSKAPPE TUSSEN DIE VERSKILLENDE VIERHOEKE

Heather trek die volgende diagram ter illustrasie van haar begrip van dieverwantskappe tussen die verskillende vierhoeke. Die volgende diagram somdie verskillende tipes spesiale vierhoeke op.

557

1. Verduidelik hoe sy moontlik geredeneer het om die diagram testruktureer soos getoon.

2. Ontwerp jou eie diagram om die verwantskappe tussen die verskillendevierhoeke te wys en skryf 'n kort verduideliking van jou ontwerp.

558

1.

2.

3.

OEFENING 7.3.4

Die volgende vorm is op skaal geteken:

Gee die mees spesifieke naam vir die vorm.

Die volgende vorm is op skaal geteken:

Gee die mees spesifieke naam vir die vorm.

Gebaseer op die vorm wat jy sien, maak 'n lys van al die name van die vorm.Die figuur is op skaal geteken.

559

4.

5.



560

6.Vind die oppervlakte van as

561

7.4 Die middelpuntstelling

ONDERSOEK

BEWYS DIE MIDDELPUNTSTELLING

1. Trek 'n groot ongelyksydige driehoek op 'n vel papier.

2. Benoem die hoekpunte , en . Vind die middelpunte ( en )van twee sye en verbind hulle.

3. Sny uit en sny langs lyn .

4. Plaas op vierhoek met hoekpunt op hoekpunt . Skryf jou waarnemings neer.

5. Skuif om hoekpunt op hoekpunt te plaas. Skryf jouwaarnemings neer.

6. Wat let jy op in verband met die lengtes van en ?

7. Formuleer 'n vermoede aangaande die lyn wat die middelpunte van tweesye van 'n driehoek verbind.

562


Kyk nou: Hoofstuk 7.4 Euklidiese meetkunde Die Middelpuntstelling

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: MIDDELPUNTSTELLING

VRAAG

Bewys dat die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind,ewewydig is aan die derde sy en gelyk is aan die helfte van die lengte van diederde sy.

OPLOSSING

Stap 1: Verleng na sodat en verbind

563


https://www.dropbox.com/s/gru9xrikt0cgl63/Hoofstuk_7.4_Euklidiese_meetkunde_Die_Middelpuntstelling.ggb?dl=0

Stap 2: Bewys is 'n parallelogram

In en :

Maar hierdie is verwisselende binnehoeke, dus

Dus .

Ons kom tot die gevolgtrekking dat die lyn wat die middelpunte van tweesye van 'n driehoek verbind, ewewydig is aan die derde sy.

Stap 3: Gebruik die eienskappe van 'n parallelogram om te

bewys dat 564

1.

OEFENING 7.4.1

Ons kom tot die gevolgtrekking dat die lyn wat die middelpunte van tweesye van 'n driehoek verbind, gelyk is aan die helfte van die lengte van diederde sy.

Omgekeerde

Die omgekeerde van hierdie stelling sê: As 'n lyn getrek word deur die middelpunt van'n sy van 'n driehoek ewewydig aan die tweede sy, sal dit die derde sy halveer.

Punte en is die middelpunte van lyne en . Bestudeer

noukeurig. Identifiseer die derde sy van hierdie driehoek, gebruikdie inligting soos gegee, tesame met dit wat jy weet van diemiddelpuntstelling. Benoem die derde sy volgens sy eindpunte, bv. .

565

2.

3.

4.


noukeurig. Identifiseer die derde sy van hierdie driehoek, gebruikdie inligting soos gegee, tesame met dit wat jy weet van diemiddelpuntstelling. Benoem die derde sy volgens sy eindpunte, bv. .

Punte en op die lyne en word gegee. Bestudeer diedriehoek noukeurig, identifiseer en benoem die ewewydige lyne.

Punte en op die lyne en word gegee. Bestudeer diedriehoek noukeurig, identifiseer en benoem die ewewydige lyne.

566

5.Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'nkleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .

a)

b)

6.Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'n

Drie hoeke word gegee: , en ;

bepaal die waarde van .

Die twee driehoeke in hierdie vraag is gelykvormige driehoeke.Voltooi die volgende stelling korrek deur die drie hoekpunte in dieregte volgorde te skryf (daar is slegs een korrekte antwoord).

567

kleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .

a)

b)

7.

Drie hoeke word gegee: , , en ;

bepaal die waarde van .


Beskou die driehoek in die diagram hieronder. Daar loop 'n lyn deur die grootdriehoek. Let op dat sommige lyne in die figuur gelyk aan mekaar gemerk is.Een sy van die driehoek het 'n lengte van 3.


568

8.

9.

Beskou die driehoek in die diagram hieronder. 'n Snylyn loop deur die grootdriehoek. Let op dat sommige lyne in die figuur gelyk aan mekaar gemerk is.Een sy van die driehoek is 6 eenhede lank.


In die figuur hieronder, , soos benoem. Verder word dievolgende lengtes en hoekgroottes gegee: ; ;

; en . Die figuur is op skaal geteken.

Bepaal die lengte van .

569

10.

a)

11.Vind en in die volgende:

In die figuur hieronder, , soos benoem. Verder word dievolgende lengtes en hoekgroottes gegee: ; ;

; en . Die figuur is op skaal geteken.


570

b)

c)

d)

571

e)

12.

13.

In die diagram hieronder is die middelpunt van en is diemiddelpunt van . Die segment binnein die groot driehoek wordaangedui met 'n lengte van .

In die volgende diagram is en .

Toon dat die middelpunt is van en dat .

572

a)

b)

14.

In die diagram hieronder, is die middelpunt van en is diemiddelpunt van . Een sy van die driehoek het 'n lengte van

.

a)

b)

Bereken die waardes van in terme van .

Dit word verder gegee dat 'n lengte het van . Wat is diewaarde van ? Gee jou antwoord as 'n breuk.

Vind die waarde van in terme van .

Dit word verder gegee dat 'n lengte het van . Wat is diewaarde van ?

573

15.

Die figuur hieronder toon wat gesny word deur .Punte en halveer hulle onderskeie sye van die driehoek.

a)

b)

16.


Die hoeke en word gegee; bepaal die

waarde van in terme van .

Dit word verder gegee dat . Bereken die waarde van .

574

a)

b)

Gegee die hoeke en , bepaal die waarde

van in terme van .

Dit word verder gegee dat . Bepaal die waarde van .Gee jou antwoord as 'n breuk.

575

Hoofstuk opsomming'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat bestaan uit vier reguitlyn segmente.

'n Parallelogram is vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.




'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan



Die hoeklyne of diagonale halveer mekaar.

Die hoeklyne is ewe lank.

Alle binnehoeke is gelyk aan .

'n Ruit is 'n parallelogram wat vier ewe lang sye het.




Die hoeklyne halveer mekaar loodreg .

Die hoeklyne van 'n ruit halveer beide pare teenoorstaande hoeke.

'n Vierkant is 'n ruit met al vier binnehoeke gelyk aan .


576

Die hoeklyne halveer mekaar loodreg .

Alle binnehoeke is gelyk aan .


Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande binnehoeke (almal is )


'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye gelyk.

Een paar teenoorstaande binnehoeke is ewe groot (die hoeke is tussendie sye wat nie ewe lank is nie).

Die hoeklyn tussen gelyke sye halveer die ander hoeklyn.

Die hoeklyn tussen gelyke sye halveer die binnehoeke.

Die hoeklyne sny mekaar loodreg .

Die middelpuntstelling stel dit dat die lyn wat die middelpunte van twee sye van'n driehoek verbind, ewewydig is aan die derde sy en gelyk is aan die helfte vandie lengte van die derde sy.

577

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

1.Identifiseer die tipes hoeke hieronder getoon:


'n Hoek van °

'n Hoek van °578

h)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2.Besluit of die volgende stellings waar of vals is. As die stelling vals is,verduidelik hoekom:

'n Hoek van °

'n Trapesium is 'n vierhoek met twee pare teenoorstaande sye watewewydig is.

Beide hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar.

'n Reghoek is 'n parallelogram met alle binnehoeke gelyk aan °.

Twee aangrensende sye van 'n ruit het verskillende lengtes.

Die hoeklyne van 'n vlieër sny reghoekig.

Alle vierkante is parallelogramme.

'n Ruit is 'n vlieër met 'n paar gelyke teenoorstaande sye.

Die hoeklyne van 'n parallelogram is asse van simmetrie.

Die hoeklyne van 'n ruit is ewe lank.

Beide hoeklyne van 'n vlieër halveer die binnehoeke.

579

a)

b)

c)

3.Vind alle pare ewewydige lyne in die volgende figure, en gee redes inelke geval.

580

a)

b)

4.Vind hoeke , , en in elke geval en gee redes:

581

c)

5.Vind elk van die onbekende hoeke gemerk in die figuur hieronder.Vind 'n rede wat in een enkele stap tot die antwoord sal lei.

a)

b)

c)

582

d)

e)

f)

6.

7.



Diagram B



583

8.

Diagram B



Is die driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik die korrektenotasie om aan te toon dat hulle kongruent is.

584

9.

a)

10.Sê watter van die volgende pare driehoeke is kongruent en geeredes.


Is die driehoeke kongruent? Indien wel, gee die rede en gebruik die korrektenotasie om aan te toon dat hulle kongruent is.

585

b)

c)

d)

11.Gebruik die stelling van Pythagoras en bereken die lengte :

586

a)

b)

c)

587

d)

a)

b)

12.Bereken en in die diagram hieronder:

588

c)

d)

589

e)

f)

13.

Beskou die diagram hieronder. Is ? Gee redes vir jouantwoord.

590

14.

15.

16.

Verduidelik hoekom is gelykvormig aan en bereken diewaardes van en .

Die volgende vorm is op skaal geteken:Gee die mees spesifieke naam vir die vorm.


591

17.

18.In die diagram hieronder,

.

a)

b)

c)

Noem:

is 'n ruit. ; . Bepaal die waardevan .

reghoeke

parallelogramme

trapesiums

592

d)

19.

20.

21.Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'nkleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .

ruite


noukeurig. Identifiseer die derde sy van hierdie driehoek, deur diegegewe inligting te gebruik, tesame met die middelpuntstelling. (Benoem diederde sy volgens sy eindpunte, bv. .)

Punte en op die segmente en word gegee. Bestudeer diedriehoek noukeurig, en identifiseer en benoem dan die ewewydigelynsegmente.

593

a)

b)

22.

Die figuur toon 'n groot driehoek met hoekpunte , en , en 'nkleiner driehoek met hoekpunte by , en . Punt is diemiddelpunt van en punt is die middelpunt van .

Die hoeke en word gegee. Bepaal die waarde

van .


594

a)

b)

Met die twee gegewe hoeke, en , bepaal

die waarde van .


595

23.

24.

25.

Beskou die driehoek in die diagram hieronder. Daar is 'n lynsegment wat deurdie groot driehoek sny. Let op dat sekere segmente gelyk aan mekaargemerk is. Een sy van die driehoek is 10 eenhede lank. Bepaal die waardevan .

In die figuur hieronder, , soos benoem. Verder word die volgendelengtes en hoekgroottes gegee: ; ; ;

en . Die figuur is op skaal geteken.


Die figuur toon driehoek met die kleiner driehoek binne in diegroter driehoek. Verder word die lengtes en hoeke gegee:

; . Die figuur isvolgens skaal geteken.

596

26.

In die diagram hieronder, is die middelpunt van en is diemiddelpunt van . Een sy van die driehoek het 'n lengte van

.

a)

b)

27.

Die figuur hieronder toon wat gesny word deur .

Vind die lengte van .

Bepaal die waarde van in terme van .

Dit word verder gegee 'n lengte het van . Wat is die waardevan ?

597

Punte en halveer hulle onderskeie sye van die driehoek.

a)

b)

28.


Met die twee hoeke wat gegee is, en ,

bepaal die waarde van in terme van .

Dit word nou gegee dat 'n grotte het van . Bepaal diewaarde van . Gee jou antwoord as 'n presiese breukwaarde.

598

a)

b)

29.

30.

Die hoeke en in die groter driehoek word

gegee; bepaal die waarde van in terme van .

Dit word verder gegee dat 'n grootte het van . Los op virdie waarde van . Gee jou antwoord as 'n presiese breukwaarde.

Bereken en :

en is gelyksydige driehoeke. Bewys dat 'n ruitis.

599

31. is 'n vierhoek met en hoeklyne wat sny by

sodat . Bewys dat:

a)

b)

c)

600

32.

33.

is 'n gelykbenige driehoek met . is diemiddelpunt van , is die middelpunt van en is diemiddelpunt van .

a)

Gebruik die figuur hieronder en toon dat die som van die drie hoeke in 'ndriehoek 180° is. Lyn is ewewydig aan .

Bewys is ook gelykbenig.

601

b)

c)

34.

35.In die diagram hieronder, is , en die middelpunte van ,

en onderskeidelik. .

Watter tipe vierhoek is ? Motiveer jou antwoord.

As bereken, met redes, die grootte van .

is 'n parallelogram. . Bewys dat .

602

a)

b)

Bewys dat 'n parallelogram is.

Bewys dat .

603

HOOFSTUK 8: ANALITIESE MEETKUNDE

InleidingAnalitiese meetkunde is die studie van meetkundige eienskappe, verbande en diemeting van punte, lyne en hoeke in die Cartesiese vlak. Geometriese vorme wordgedefinieer met die gebruik van 'n koördinaatstelsel en algebraïese beginsels.Sommige wiskundiges beskou die ontwikkeling van analitiese meetkunde, ookgenoem koördinaat of Cartesiese meetkunde, as die begin van moderne wiskunde.

Die beweging van 'n projektiel kan gestip word op die Cartesiese vlak. Animasie tegnici gebruik

hierdie inligting om hulle te help om animasies te skep.

604

8.1 Trek van figure op die CartesiesevlakAs ons die koördinate van die hoekpunte van 'n figuur gegee word, kan ons die figuurtrek op die Cartesiese vlak. Byvoorbeeld, vierkhoek met koördinate

, , en .

LET WEL

Jy mag ook koördinate geskryf sien as .

Die volgorde van die letters vir die benoeming van 'n figuur is belangrik. Dit dui dievolgorde aan waarin punte verbind moet word: met , met , met en

terug na . Dus ons kan na bostaande vierhoek verwys as vierhoek of of . Dit is egter gebruiklik om die letters in alfabetiese volgorde te

skryf en dan verwys ons na die vierhoek as .605

1.

OEFENING 8.1.1

Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:

Vind die koördinate van punt .

606

2.Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:

Vind die koördinate van al die benoemde punte.

607


Watter punt lê by die koördinate ?

608



609

5.Die volgende diagram word gegee, met 4 vorme geteken.Al die vorme is identies, maar gebruik verskillende benoemings konvensies:

Watter vorm gebruik die korrekte benoeming?

610

6.Die volgende diagram word gegee, met 4 vorme geteken.Al die vorme is identies, maar gebruik verskillende benoemings konvensies:Watter vorm gebruik die korrekte benoeming?

611

8.2 Afstand tussen twee punte'n Punt is 'n eenvoudige meetkundige voorwerp wat posisie as sy enigste eienskaphet.

DEFINISIE

Punt

'n Punt is 'n geordende getallepaar geskryf as .

DEFINISIE

Afstand

Afstand is 'n maatstaf van die lengte tussen twee punte.

ONDERSOEK

AFSTAND TUSSEN TWEE PUNTE

Punte , en word gegee.

Kan ons aanvaar dat ? Indien wel, hoekom?

Pas die stelling van Pythagoras toe in om die lengte te vindvan .

612

Om die algemene formule te vind vir die afstand tussen twee punte en

, gebruik ons die stelling van Pythagoras.

613

En:

Dus:

Dus, om die afstand tussen enige twee punte, en te bereken,gebruik ons:

Let op dat .


Kyk nou: Hoofstuk 8.2 Afstand formule

Laai af

614


https://www.dropbox.com/s/judh3pfk6ir7881/Graad_10_Afstand_formule.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: GEBRUIK DIEAFSTANDFORMULE

VRAAG

Vind die afstand tussen en .

OPLOSSING

Stap 1: Teken 'n skets

Stap 2: Ken waardes toe aan en

Gestel die koördinate van is en die koördinate van is

.

615

Stap 3: Skryf die afstandsformule neer

Stap 4: Substitueer waardes


Die afstand tussen en is eenhede.



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: GEBRUIK DIEAFSTANDFORMULE

VRAAG

Gegee , en , vind .616

https://youtu.be/SL_vZ108Ck4?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/aoaqd5dtlw04064/Graad_10_Hfst_8.2_VB_1.mp4?dl=0

OPLOSSING


Let op dat ons twee moontlike waardes vir verwag. Dit is omdat die

afstandsformule die term bevat wat uitloop op 'n kwadratiesevergelyking wanneer ons substitueer in die koördinate in.



.

Stap 3: Skryf die afstandsformule neer

617

Stap 4: Substitueer waardes en los op vir

Stap 5: Kontroleer beide waardes vir

Kontroleer :

Kontroleer :


is of .

Dus of .

618

1.

2.

OEFENING 8.2.1

WENK

Die teken van 'n skets help met jou berekening en maak dit makliker om tekontroleer of jou antwoord reg is.

Jy word die volgende diagram gegee:

Bereken die lengte van lyn , korrek tot 2 desimale plekke.


619

3.


Die volgende skets toon twee punte op die Cartesiese vlak, en .

Die afstand tussen die punte is . Bereken die ontbrekende koördinaatvan punt .

620

4.

a)

b)

c)

5.Vind die lengte van vir elk van die volgende. Laat jou antwoordin wortelvorm.

a)

6.Die lengte van . Vind die ontbrekende koördinaat as:


Die lyn het 'n lengte van . Bereken die ontbrekende koördinaatvan punt . Rond jou antwoord af tot een desimale plek.

en

en

en

en .

621

b)

7.

en .

As die afstand tussen en 10 eenhede is, vind diemoontlike waardes van .

622

8.3 Gradiënt van 'n lyn

DEFINISIE

Gradiënt

Die gradiënt van 'n lyn word bepaal deur die verhouding van die vertikaleverandering met betrekking tot die horisontale verandering.

Gradiënt ( ) beskryf die helling of steilheid van die lyn wat twee punte verbind. In diefiguur hieronder, is lyn die mins steil lyn en lyn is die steilste.

Om die formule vir gradiënt af te lei, beskou ons enige reghoekige driehoek wat

gevorm word deur en met skuinssy soos getoon in diediagram. Die gradiënt word bepaal deur die verhouding van die lengte van dievertikale sy van die driehoek tot die lengte van die horisontale sy van die driehoek. Dielengte van die vertikale sy van die driehoek is die verskil in waardes van punte

623

en . Die lengte van die horisontale sy van die driehoek is die verskil in -waardesvan punte en .

Dus, die gradiënt word bepaal deur die formule te gebruik:

Gradiënt of


Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Analitiese meetkunde Gradient van 'n lyn

Laai af

BELANGRIK

Onthou om konsekwent te wees:

624


https://www.dropbox.com/s/ae15xgs370xo5h5/Hoofstuk_8.3_Analitiese_meetkunde_Gradient_van_n_lyn.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: GRADIËNT TUSSEN TWEEPUNTE

VRAAG

Vind die gradiënt van die lyn tussen punte en .

OPLOSSING




.

625

Stap 3: Skryf die formule vir gradiënt neer

Stap 4: Substitueer bekende waardes


Die gradiënt van



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: GRADIËNT TUSSEN TWEEPUNTE

VRAAG

Gegee en , met . Vind .

626

https://youtu.be/nZZ3Rky9jbA?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/bb3ug8rry98dwsy/Graad_10_Hfst_8.3_VB_3.mp4?dl=0

OPLOSSING





Stap 4: Substitueer waardes en los op vir x

627

a)

b)

c)

1.Vind die gradiënt van as:

2.

OEFENING 8.3.1


Die koördinate van is .

Dus .

en

en

en


628

3.

Bereken die gradiënt ( ) van lyn .

Bereken die gradiënt ( ) van lyn in die volgende diagram:

629

a)

b)

4.

As die gradiënt van , vind , gegewe:

5.

en .

en .

In die volgende diagram lyn 'n gradiënt ( ) het van .Bereken die ontbrekende koördinaat van die punt .

630

6.Jy word die volgende diagram gegee:

Dit word ook gegee dat lyn 'n gradiënt ( ) het van van .Bereken die ontbrekende koördinaat van die punt .

Reguitlyne

DEFINISIE

Reguitlyn

'n Reguitlyn is 'n versameling punte met 'n konstante gradiënt tussen enigetwee van hierdie punte.

631

Beskou die diagram hieronder met punte , en .

Ons het en

Die algemene formule vir die vind van die vergelyking van 'n reguitlyn is

waar enige punt op die lyn is.

Hierdie formule kan ook geskryf word as .

Die standaardvorm van die reguitlyn vergelyking is waar diegradiënt is en die afsnit is.

632

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VIND DIE VERGELYKING VAN'N REGUITLYN

VRAAG

Vind die vergelyking van die reguitlyn deur en .

OPLOSSING


Stap 2: Ken waardes toe


.

633

Stap 3: Skryf die algemene formule van die lyn neer

Stap 4: Vervang waardes en maak die onderwerp van die

vergelyking


Die vergelyking van die reguitlyn is .

634



Laai af

Ewewydige en loodregte lyne

Twee lyne wat ewewydig aan mekaar loop is altyd dieselfde afstand van mekaar af enhet dieselfde gradiënte.

As twee lyne mekaar loodreg sny, sal die produk van hulle gradiënte gelyk wees aan .

As lyn , dan . Loodregte lyne het gradiëntewat die negatiewe inverses is van mekaar.

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: EWEWYDIGE LYNE

VRAAG

Bewys dat die lyn met en ewewydig is aan lyn met vergelyking .

OPLOSSING


635

https://youtu.be/Kj78MdaT7o8?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/cjmu6kg2pmpnmjt/Graad_10_Hfst_8.3_VB_5.mp4?dl=0

(Wees versigtig sommige lyne mag lyk of hulle ewewydig is, maar hulle isnie!)


Stap 3: Substitueer waardes om die gradiënt te vind vir lyn

Stap 4: Kontroleer dat die vergelyking van in standaardvorm

is

636


Dus is lyn ewewydig aan lyn .

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: LOODREGTE LYNE

VRAAG

Lyn is loodreg op lyn . Vind indien gegee ,

, en .

OPLOSSING


637

Stap 2: Skryf die verwantskap neer tussen die gradiënte van die

loodregte lyne

Stap 3: Substitueer waardes in en los op vir

638


Dus is die koördinate van .


Kyk nou: Hoofstuk 8.3 Loodregte lyne

Laai af

Horisontale en vertikale lyne

'n Lyn ewewydig aan die as word 'n horisontale lyn genoem en het 'n gradiënt van639


https://www.dropbox.com/s/uyrwy9pjriklhpa/Graad_10_Loodregte_lyne.ggb?dl=0

nul. Dit is omdat daar geen vertikale verandering is nie:

'n Lyn ewewydig aan die as word 'n vertikale lyn genoem en sy gradiënt isongedefinieerd. Dit is omdat daar geen horisontale verandering is nie:

Punte op 'n lyn

'n Reguitlyn is 'n versameling punte met 'n konstante gradiënt tussen enige tweepunte. Daar is twee metodes om te bewys dat die punte op dieselfde lyn lê: diegradiënt metode en 'n metode wat die afstandformule gebruik.

LET WEL

As twee punte op dieselfde lyn lê, dan sê ons die twee punte is kolineêr ofsaamlynig.

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: PUNTE OP 'N LYN

VRAAG

Bewys dat , en op 'n reguitlyn is.

OPLOSSING


640

Stap 2: Bereken twee gradiënte tussen enige drie punte

en

OF

en

Stap 3: Verduidelik jou antwoord

641

Dus is die punte , en op 'n reguitlyn.



Laai af

As ons die afstandsformule gebruik om te bewys dat drie punte op 'n reguitlyn lê, moetons die afstande bereken tussen elke paar punte en dan bewys dat die som van dietwee korter afstande gelyk is aan die langste afstand.

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: PUNTE OP 'N REGUITLYN

VRAAG

Bewys dat , en op 'n reguitlyn is.

OPLOSSING


642

https://youtu.be/f0H2mPNlQBQ?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/g85t63tnghspmsb/Graad_10_Hfst_8.3_VB_8.mp4?dl=0

Stap 2: Bereken die drie afstande , en

643

a)

b)

c)

1.Bepaal of en ewewydig is, of loodreg of nie een van dietwee nie:

a)

b)

c)

2.Bepaal of die volgende punte op dieselfde reguitlyn lê:

OEFENING 8.3.2

Stap 3: Vind die som van die twee korter afstande

Stap 4: Verduidelik jou antwoord

Dus lê punte , en op dieselfde reguitlyn.

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

, ,

, , 644

3.

4.

Bereken die vergelyking van die lyn in die volgende diagram:

Bereken die vergelyking van die lyn in die volgende diagram:

645

5.

6.

7.

8.

Punte , en lê op 'n reguitlyn. Vind diewaarde van .

Lyn met en het 'n gradiënt van . Vind .


Jy weet ook dat die lyn ewewydig loop aan die volgende lyn:

. Punt is by .Vind die vergelyking van die lyn .


646

9.

10.

11.

Jy weet ook dat die lyn ewewydig loop aan die volgende lyn:


Gegewe lyn wat ewewydig loop aan . Punte

en word ook gegee.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .

Gegewe lyn wat ewewydig loop aan . Punte

en word ook gegee.

Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .

Die grafiek toon die lyn . Die blou stippellyn is loodreg op .

647

12.

Die vergelyking van die blou stippellyn is . Punt is by

.Bepaal die vergelyking van lyn .

Die grafiek toon die lyn . Die blou stippellyn is loodreg op .

648

13.

14.

15.



Gegewe lyn wat loodreg is op die lyn met vergelyking

. Punte en is ook gegee.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .

Gegewe lyn wat loodreg is op die lyn met vergelyking

. Punte en is ook gegee.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .


Jy weet ook lyn het die volgende vergelyking: .Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .

649

16.

17.

18.

19.Verwys na die diagram hieronder:


Jy weet ook lyn het die volgende vergelyking: .Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .

is die punt en is die punt . is loodreg op

lyn met vergelyking . Vind die waarde van .

Die punte , en word gegee. Bepaal diewaarde van as , en saamlynig is.

650

a)

b)

a)

b)

c)

20.

Die punte , en is gegee.

Toon dat reghoekig is. Toon jou bewerkings.

Vind die area van .

Bewys driehoek is 'n reghoekige driehoek.

Vind die koördinate van , as 'n parallelogram is.

Vind die vergelyking van die lyn ewewydig aan die lyn , en watdeur die punt gaan.

651

8.4 Middelpunt van 'n lyn

ONDERSOEK

VIND DIE MIDDELPUNT VAN 'N LYN

Stip die punte en noukeurig op grafiekpapier en trek dielyn .

Vou die stuk papier so dat punt presies boop punt val.

Waar die gevoude lyn die lyn sny, merk punt

Tel die blokkies en vind die presiese posisie van .

Skryf die koördinate van neer.

Ons gebruik die volgende formule om die koördinate te bereken van die middelpunt

van enige lyn tussen die punte en :

652

Hiervan verkry ons die middelpunt van 'n lyn:

Middelpunt


Kyk nou: Hoofstuk 8.4 Middelpunt

Laai af

653


https://www.dropbox.com/s/ils28veyx0z8fyv/Graad_10_Middelpunt.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: BEREKENING VAN DIEMIDDELPUNT

VRAAG

Bereken die koördinate van die middelpunt van die lyn tussen punt

en punt .

OPLOSSING


Van die skets kan ons skat dat op die as sal lê, met 'n negatiewe -koördinaat.


654

Stap 3: Skryf die middelpuntformule neer

Stap 4: Vervang waardes in die middelpuntformule

Stap 5: Skryf die antwoord

Die middelpunt is by .

As ons na die skets kyk, sien ons dit is wat ons sou verwag vir diekoördinate van .



Laai af

655

https://youtu.be/JvzuokL81G0?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/gi10nheya120lt9/Graad_10_Hfst_8.4_VB_10.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: BEREKENING VAN DIEMIDDELPUNT

VRAAG

Vind die middelpunt van die lyn , gegewe en .

OPLOSSING


Van die skets kan ons skat dat in kwadrant 1 sal lê met positiewe -en -koördinate.


Laat die middelpunt wees

656


Stap 4: Vervang waardes en vereenvoudig


is die middelpunt van lyn .

Ons het verwag dat positiewe en koördinate sal hê en dit is danook wat ons gekry het met berekening.

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: GEBRUIK DIEMIDDELPUNTFORMULE

VRAAG

Die lyn wat en verbind, het middelpunt .Vind punt .

OPLOSSING


657

Van die skets kan ons oordeel dat in kwadrant IV sal val, met 'npositiewe en negatiewe -koördinaat.



.


Stap 4: Substitueer waardes en los op vir en

658


Die koördinate van punt is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 13: GEBRUIK DIEMIDDELPUNTFORMULE

VRAAG

Punte , , en is punte op die

Cartesiese vlak. Vind as 'n parallelogram is.

OPLOSSING


659

Metode: die diagonale van 'n parallelogram halveer mekaar, dus sal diemiddelpunt van dieselfde wees as die middelpunt van . Onsmoet eers die middelpunt kry van . Ons kan dit dan gebruik om diekoördinate van punt te bepaal.


Laat die middelpunt van wees


Stap 4: Substitueer waardes en bereken die koördinate van

660

Stap 5: Gebruik die koördinate van om te bepaal

is ook die middelpunt van dus gebruik ons en

om vir op te los.

Stap 6: Substitueer waardes en los op vir en


Die koördinate van is .

661

1.

2.

OEFENING 8.4.1


Bereken die koördinate van die middelpunt ( ) tussen punt en

punt .


662

a)

b)

c)

3.Vind die middelpunte van die volgende lyne:

4.

5.

Bereken die koördinate van die middelpunt ( ) tussen punt en

punt .

,

,

,

Die middelpunt van is . Vind as is.

is 'n parallelogram met die punte , en

. Vind punt .663

1.


Jy word die volgende diagram gegee, met verskeie punte getoon:

Vind die koördinate van punte , , , en .

664



665

3.

a)

b)

4.Stel die volgende figure voor in die Cartesiese vlak:

Die volgende diagram word gegee, met 4 vorme getrek.Al die vorme is identies, maar gebruik verskillende benoemingskonvensies:

Watter vorm gebruik die korrekte benoeming?

Driehoek met , en .

Vierhoek met , , en

.

666

c)

d)

5.

Vierhoek met , , en

.

Vierhoek met , ,

en .



667

6.

7.


Die afstand tussen die punte is . Bereken die ontbrekende koördinaatvan punt .


668

8.

9.

Bereken die gradiënt ( ) van lyn . Die koördinate is en

onderskeidelik.


Dit word verder gegee dat 'n gradiënt, , van het.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .


669

10.

In die diagram is die punt en is die punt .

Dit word verder gegee dat die lyn 'n gradiënt, , van het.Bereken die ontbrekende koördinaat van punt .

670

a)

b)

11.

12.

Vind die vergelyking van lyn .



Jy word ook gegee dat die lyn ewewydig loop aan die volgende lyn:



671

13.

Jy word ook gegee dat lyn ewewydig is aan die volgende lyn: .



Jy word ook gegee dat lyn loodreg is op lyn: .672

14.

15.


Die grafiek hier toon lyn . Die blou stippellyn is loodreg op .




673

16.

Jy word ook gegee dat lyn die volgende vergelyking: het.



674

17.

a)

b)

c)

18.Bepaal die vergelykings van die volgende reguitlyne:

Bereken die koördinate van die middelpunt ( ) tussen punt

en punt korrek tot 1 desimale plek.

en is punte in die Cartesiese vlak. is diemiddelpunt van . Vind die waardes van en .

gaan deur en .

ewewydig aan terwyl dit deur gaan.

gaan deur en die middelpunt van waar

and .

675

19.

In die diagram hieronder is die hoekpunte van die vierhoek ,

, en .

a)

b)

c)

d)

a)

20.

Beskou 'n vierhoek met hoekpunte , ,

en .

Bereken die lengtes van die sye van .

Is die teenoorstaande sye van ewewydig?

Halveer die hoeklyne van mekaar?

Kan jy vasstel watter tipe vierhoek is? Gee redes vir jouantwoord.

Teken die vierhoek.676

b)

i)

ii)

21a)Toon deur berekening dat:

b)

c)

21.

is 'n vierhoek met hoekpunte , ,

en .

i)

ii)

22a)Wys dat:

i)

ii)

22b)Bereken:

22.

, , en is die punte , , en

onderskeidelik.

Vind die lengtes van die sye van die vierhoek.

Watter tipe vierhoek is ?

Toon dat hoeklyne en mekaar nie halveer nie.

677

c)

23.

a)

b)

c)

d)

24.

is vierhoek met punte , ,

en in die Cartesiese vlak.

a)

b)

c)

25.

Oorweeg driehoek met hoekpunte , en

.

Watter soort vierhoek is ? Gee redes vir jou antwoord.

is 'n parallelogram met hoekpunte , en

. Vind die koördinate van deur gebruik te maak van die feit datdie diagonale of hoeklyne van 'n parallelogram mekaar halveer.


Vind die gradiënt van .

Vind die middelpunt van .

Is 'n parallelogram? Gee redes vir jou antwoord.

Skets driehoek op die Cartesiese vlak.

Wys dat 'n gelykbenige driehoek is.

Bepaal die koördinate van , die middelpunt van .

678

d)

e)

26.

27.

28a)

b)

29.Die diagram toon 'n vierhoek. Punte en het onderskeidelik die

koördinate en . Die hoeklyne van halveermekaar reghoekig. is die snypunt van lyn met die -as.

Bepaal die gradiënt van .

Toon dat op die lyn lê wat deur en gaan.

het hoekpunte , en . Toon deur

berekening dat 'n reghoekige gelykbenige driehoek is.

het hoekpunte , en . isdie middelpunt van en is die middelpunt van . Gebruik

om die middelpuntstelling te bewys met die gebruik van analitiesemeetkunde metodes.

Noem twee eienskappe van 'n parallelogram.

Die punte , , en is diehoekpunte van 'n vierhoek. Toon dat die vierhoek 'n parallelogram is.

679

a)

b)

c)

a)

b)

c)

30.

, en is die hoekpunte van

.


Toon dat die vergelyking van gegee word deur .

Bepaal die koördinate van .

Vind die lengte van , korrek tot 1 desimale plek.

Bereken die gradiënt van .

As koördinate het van , toon dat , en kolineêr is.

680

d)

e)

31.Die volgende diagram word gegee:

a)

b)

c)

d)

Bepaal die vergelyking van lyn .

Toon dat reghoekig is.

As die middelpunt is van , vind die waardes van and .

Vind die vergelyking van die lyn loodreg op , en wat deur dieoorsprong gaan.

Vind die koördinate van die middelpunt van die hoeklyn .

Toon vervolgens dat nie 'n parallelogram is nie.

681

e)

a)

b)

c)

d)

e)

32.

'n Driehoek het hoekpunte , en .

a)

b)

33.

'n Vierhoek het hoekpunte , , en

waar .

34.

Op die Cartesiese vlak, is die drie punte , en

saamlynig.

As geskuif kon word, gee die nuwe koördinate sodat 'nparallelogram sou wees.


Bewys dat die driehoek reghoekig is by .


Bepaal die vergelyking van die lyn van tot by die middelpunt van .

Vind die oppervlakte van die driehoek .

Wat moet wees sodat ewewydig is aan ?

Wat moet wees sodat ?

682

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

e)

35.

Gegee en .

a)

36.

, , en is die hoekpuntevan parallelogram .



Vind die vergelyking van .

Vind die waarde van .

Vind die middelpunt van .


Vind die gradiënt van die lyn loodreg op .

Vind die vergelyking van die loodregte halveerlyn (middelloodlyn) van.

Vind die vergelyking van die lyn ewewydig aan , en wat deur

gaan.

Bepaal die koördinate van .

683

b)

c)

37.

, en is die hoekpunte van

. en is die middelpunte en onderskeidelik.

a)

b)

c)

Wys dat loodreg is op en sê watter soort vierhoek is, bo en behalwe 'n parallelogram.

Wys dat 'n vierkant is.


Toon dat die koördinate van , die middelpunt van , is

.

Vind die lengte van .684

d)

e)

38.

In die diagram is punte , , en

die hoekpunte van 'n parallelogram.

a)

b)

c)

d)

Vind die gradiënt van . Formuleer 'n vermoede aangaande lyne en .

Bepaal die vergelyking van .


Vind die koördinate van waar die hoeklyne ontmoet.

Vind , die middelpunt van .

Wys dat .685

e)

a)

b)

c)

d)

39.

Die koördinate van is as volg: , en

.

40.

Die volgende diagram toon met . Dievergelyking van is en die vergelyking van

is . .

Bereken die koördinate van .

Bepaal deur berekening of die driehoek gelyksydig, gelykbenig ofskerphoekig is. Maak seker dat jy al jou werk toon.

Vind die koördinate van punte en , die middelpunte van en .

Bepaal die gradiënt van die lyn .

Bewys dat .

686

a)

b)

c)

d)

e)

a)

41.

Die punte , en is saamlynig.

Skryf die koördinate van neer.

Bewys dat .

Skryf die gradiënt neer van .

As die koördinaat van 4 is, bereken die koördinaat.

Vind die vergelyking van die lyn van tot (die middelpunt van ).


687

b)

a)

b)

c)

d)

e)

42.

Gegee: .

a)

b)

c)

d)

43.

is die middelpunt van met punt . Bepaal:

Bepaal die waardes van en as die vergelyking van die lyn, wat

gaan deur , en is.

Bereken die afstand en die afstand . Laat jou antwoord inwortelvorm.


Bewys dat .

Bewys dat , en saamlynig is.

Watter tipe vierhoek is ?

die koördinate van .

die gradiënt van .

die vergelyking van die lyn .

die loodregte halveerlyn van .

688

44. is 'n vierhoek met

.

a)

b)

c)

d)

e)

f)



Vind die vergelyking van hoeklyn .

Bepaal die vergelyking van die loodregte halveerlyn van .


Is 'n ruit? Verduidelik waarom of waarom nie.

689

g)

45.

In die diagram hieronder, is geskets met

op .

a)

b)

c)


Bepaal die waarde van a in .

'n Lyn, , wat deur gaan, is loodreg op . lê

op . Bepaal die waarde van .

As en saamlynig is, bepaal diewaarde van .

690

46.In die diagram hieronder is en die middelpunte van en

onderskeidelik.

a)

b)

c)

d)

e)


Vind die vergelyking van die lyn deur en in die vorm .

Wys dat .

Skryf die ratio of verhouding neer: .

Skryf die koördinate van neer sodat 'n parallelogram is.

691

a)

b)

47.

en is punte op dieCartesiese vlak. Bepaal die waarde van:

as , en is saamlynig.

en as die middelpunt van en is.

692

HOOFSTUK 9: FINANSIES EN GROEI

InleidingIn hierdie hoofstuk pas ons wiskundige vaardighede toe op alledaagse finansiëlesituasies.

As jy het, kan jy dit in jou spaarvarkie hou of dit in jou bankrekeninginbetaal. Wanneer jy geld deponeer in jou bankrekening, leen jy effektief geld aan diebank. Aangesien jy vir die bank geld leen, kan jy ekstra geld terugverwag. Dit staanbekend as rente. Soortgelyk, as jy geld leen van 'n bank, dan kan jy verwag om rentete betaal op die lening. Rente word bereken as 'n persentasie van die geld wat jyskuld, bereken oor die tyd wat dit neem om die lening terug te betaal. Dit beteken dathoe langer die lening bestaan, hoe meer rente sal daarop betaal moet word.

Die ingang van die Johannesburgse Aandelebeurs (JSE) in Sandton, Johannesburg die

finansiële sentrum van Suid-Afrika. Die JSE is Afrika se grootste aandelebeurs en die

grootste in die wêreld. Elke maand word meer as 60 miljard rand se aandele verhandel op die

JSE.

Die konsep is eenvoudig, maar dit is die kern van die wêreld van finansies. Ouditeurs,aktuarisse en bankiers kan hulle ganse loopbane besig bly met die invloed van renteop finansiële sake.

693

DEFINISIE

Rente

In finansies is rente die geld wat gevra word om geld te leen. Dit wordgewoonlik uitgedruk as 'n persentasie van die geleende geld.

694

9.1 Enkelvoudige rente

DEFINISIE

Enkelvoudige rente

Enkelvoudige rente is die rente wat bereken word slegs op die aanvanklikebedrag wat jy belê het.

As 'n eenvoudige voorbeeld van enkelvoudige rente, bereken hoeveel ons sal kry asons belê vir jaar by 'n bank wat % p.a. enkelvoudige rente betaal.

Teen die einde van die jaar het ons

Met 'n openingsbalans van aan die begin van die jaar, sal diesluitingsbalans of eindbedrag aan die einde van die jaar dus wees

Die openingsbalans in finansiële berekeninge word dikwels die hoofsom genoem engenoteer as ( in die voorbeeld). Die rentekoers word gewoonlik aangeduias ( % p.a. in die voorbeeld en “p.a.” beteken per annum of per jaar). Dierentebedrag word aangedui as ( in die voorbeeld).

695

Dus kan ons sien dat

en

Bostaande berekeninge gee 'n goeie aanduiding van hoe die enkelvoudige renteformule lyk. Ons gebruik die simbool om die tydsperiode, wat in jare uitgedruk moetword, aan te dui.

Die algemene formule vir die berekening van enkelvoudige rente is


Kyk nou: Hoofstuk 9.1 Finansies Enkelvoudige rente

Laai af

696


https://www.dropbox.com/s/etfqq1fzpdmn8ad/Hoofstuk_9.1_Finansies_Enkelvoudige_rente.ggb?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: BEREKENING VAN RENTE OP'N BELEGGING

VRAAG

Carine belê in 'n spesiale bankrekening teen 'n enkelvoudigerentekoers van % p.a. vir jaar. Hoeveel sal sy in haar bankrekening hêteen die einde van die beleggingsperiode?

OPLOSSING

Stap 1: Skryf die bekende waardes neer

Stap 2: Skryf die formule neer

Stap 3: Vervang die waardes

Stap 4: Skryf die finale antwoord neer

Aan die einde van jaar, sal Carine in haar bankrekening hê.

697

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: BEREKENING VAN RENTE OP'N LENING

VRAAG

Sarah leen van haar buurman en hulle kom ooreen op 'nenkelvoudige rentekoers van % p.a. Sy sal die lening in een bedragterugbetaal aan die einde van jaar. Hoeveel sal sy moet terugbetaal aanhaar buurman?

OPLOSSING

Stap 1: Skryf die bekende veranderlikes neer




Aan die einde van jaar, sal Sarah aan haar buurman betaal.

698

Ons kan die enkelvoudige rente formule gebruik om die ontbrekende inligting te vind.Byvoorbeeld, as ons 'n bedrag geld het wat ons wil belê vir 'n vasgestelde tyd om 'nmikpunt te bereik, kan ons die veranderlikes herrangskik om die verlangde rentekoerste bereken. Dieselfde beginsels geld as ons wil uitvind hoe lank ons die geld moetbelê indien ons weet wat die hoofsom en die eindbedrag en die rentekoers is.

Belangrik: om 'n meer akkurate antwoord te kry, probeer om al jou berekeninge ineen bewerking op die sakrekenaar te doen. Dit voorkom dat afrondingsfoute jou finaleantwoord beïnvloed.

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: BEPALING VAN DIEBELEGGINGSPERIODE OM 'N VASGESTELDE BEDRAG TEVERKRY

VRAAG

Prashant belê in 'n bankrekening wat 'n enkelvoudige rentekoersvan % p.a. betaal. Hoeveel jaar moet hy sy geld belê om tegenereer?

OPLOSSING



699

Stap 3: Vervang die waardes en los op vir


Dit sal jaar en maande neem om te laat groei tot teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: BEREKEN DIEENKELVOUDIGE RENTEKOERS OM DIE VERLANGDE GROEITE BEHAAL

VRAAG

Teen watter enkelvoudige rentekoers behoort Fritha te belê indien sy groei wil

700

https://youtu.be/e7eiaYARBQY?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/nhbpcpqtd7gnkip/Graad_10_Hfst_9.1_VB_3.mp4?dl=0

hê van tot in jaar?

OPLOSSING





'n Enkelvoudige rentekoers van % p.a. sal nodig wees om wat belê is vir jaar, te laat groei tot .

701

1.

2.

3.

4.

a)

b)

5.Bereken die vermeerderde bedrag in die volgende situasies:

OEFENING 9.1.1

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans wat opgehouhet teen die einde van jaar.

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans watgeakkumuleer het teen die einde van jaar.

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans watgeakkumuleer het teen die einde van jaar.

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % per annum betaal. Bereken die balans wat opgebou hetteen die einde van jaar.

'n Lening van teen 'n rentekoers van % vir jaar.

'n Belegging van teen 'n koers van % p.a. vir jaar.

702

6.

7.

8.

9.

'n Bank bied 'n spaarrekening aan wat enkelvoudige rente betaal teen 'nkoers van % per annum. As jy wil bymekaarmaak in jaar,hoeveel moet jy nou belê?

Sally wil die aantal jare bereken wat sy nodig het om te belê teneinde bymekaar te maak. Sy word 'n enkelvoudige rentekoers van

% p.a. aangebied. Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om tevermeerder tot ?

Joseph belê in 'n spaarrekening op sy seun se vyfde verjaarsdag.Toe sy seun geword het, het die balans in die rekening reeds gegroei tot

. As enkelvoudige rente gebruik is, bereken die koers waarteendie geld belê was.

Toe sy seun jaar oud was, het Methuli 'n bedrag van in die bankbelê. Die belegging het gegroei teen 'n enkelvoudige rentekoers en toeMethuli se seun jaar oud was, was die waarde van die belegging

.Teen watter rentekoers was die geld belê?

703

10.

11.

12.

13.

Toe sy seun jaar oud was, het Philip 'n belegging van in die bankgemaak. Die belegging het gegroei teen 'n enkelvoudige rentekoers en toePhilip se seun jaar oud was, was die waarde van die belegging

.

Toe sy seun jaar oud was, het Lefu in die bank belê. Diebelegging het gegroei teen 'n enkelvoudige rentekoers en toe Lefu se seun

jaar oud was, was die waarde van die belegging .

Abdoul wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.

Andrew wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.

704

9.2 Saamgestelde renteSaamgestelde rente laat toe dat rente op rente verdien word. Met enkelvoudige renteverdien slegs die oorspronklike belegging rente, maar met saamgestelde rente verdienbeide die oorspronklike belegging sowel as die rente daarop, weer rente.

Saamgestelde rente is voordelig vir die belegging van geld, maar nie vir die uitneemvan 'n lening nie.

DEFINISIE

Saamgestelde rente

Saamgestelde rente is die rente verdien op die hoofsom en op diegeakkumuleerde, of opgehoopte, rente.

Beskou die voorbeeld van belê vir jaar by 'n bank wat saamgestelderente van % p.a. betaal.

Aan die einde van die eerste jaar is die opgehoopte bedrag

Die bedrag word die nuwe hoofsom vir die berekening van die opgehooptebedrag vir die einde van die tweede jaar.

705

Soortgelyk, ons gebruik die bedrag as die nuwe hoofbedrag vir die berekeningvan die opgehoopte bedrag teen die einde van die derde jaar.

Sien jy 'n patroon?

Deur gebruik te maak van enkelvoudige rente, kan ons 'n soortgelyke formule virsaamgestelde rente bereken.

Met 'n openingsbalans van en 'n rentekoers van , sal die opgehoopte balans aandie einde van die eerste jaar wees:

Dit is dieselfde as enkelvoudige rente omdat dit slegs oor 'n enkele jaar bereken is.Hierdie opgehoopte balans word die openingsbalans vir die tweede jaar vanbelegging.

Soortgelyk, vir die derde jaar

Ons sien die mag van term is dieselfde as die aantal jare. Dus, die algemeneformule vir die berekening van saamgestelde rente is:

706


Kyk nou: Hoofstuk 9.2 Finansies Saamgestelde rente

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: SAAMGESTELDE RENTE

VRAAG

Mpho wil belê in 'n rekening wat 'n saamgestelde rentekoers van % p.a. aanbied. Hoeveel geld sal daar in die rekening wees aan die einde

van jaar?

OPLOSSING



707


https://www.dropbox.com/s/lw4wqh7lsh68qwd/Hoofstuk_9.2_Finansies_Saamgestelde_rente.ggb?dl=0



Mpho sal in die rekening hê aan die einde van jaar.



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: BEREKENING VAN DIESAAMGESTELDE RENTEKOERS OM DIE VERLANGDE GROEITE BEHAAL

VRAAG

Charlie het ontvang vir sy sestiende verjaarsdag. Hy wil dit niespandeer nie, maar besluit om dit iewers te belê sodat hy 'n deposito van

op 'n motor op sy agtiende verjaarsdag het. Watter saamgestelderentekoers benodig hy om hierdie groei in sy geld te bewerkstelling? Bespreekjou antwoord.

OPLOSSING


708

https://youtu.be/h07JZg6WmZ8?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/kvzmr15dsqgpw1k/Graad_10_Hfst_9.2_VB_5.mp4?dl=0



Stap 4: Skryf die finale antwoord neer en lewer kommentaar

Charlie moet 'n belegging vind wat 'n rentekoers van % p.a.aanbied ten einde die verlangde groei te behaal. 'n Tipiese spaarrekeninggee 'n opbrengs van ongeveer % p.a. en 'n aggressiewebeleggingsportefeulje gee 'n opbrengs van ongeveer % p.a. Dit lyk dusonwaarskynlik dat Charlie sy geld teen 'n rentekoers van % p.a. salkan belê.

709



Laai af

Die krag van saamgestelde rente

Om aan te toon hoe belangrik “rente op rente” is, vergelyk ons die verskil in diesluitingsbalanse van 'n belegging wat enkelvoudige rente verdien en 'n belegging watsaamgestelde rente verdien. Beskou 'n bedrag van belê vir jaar, teen'n rentekoers van % p.a.

Die sluitingsbalans vir die belegging wat enkelvoudige rente verdien, is

Die sluitingsbalans vir die belegging wat saamgestelde rente verdien is

Ons dui die groei van die twee beleggings op dieselfde assestelsel aan en neem diebeduidende verskil waar in hulle groeitempo: enkelvoudige rente is 'n reguitlyn grafieken saamgestelde rente is 'n eksponensiële grafiek.

710

https://youtu.be/SfRkvOiR0fI?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/p65am8ukqbvlcs6/Graad_10_Hfst_9.2_VB_6.mp4?dl=0

Dit is makliker om die groot verskil in hulle groei te sien as ons die tydsperiode verlengtot jaar:

711

1.

2.

3.

4.

5.

OEFENING 9.2.1

Hou in gedagte dat dit goeie en slegte nuus is.Wanneer rente verdien word op 'nbelegging, help saamgestelde rente dat die bedrag eksponensieel groei. Maar, as geldgeleen word, sal die opgehoopte bedrag van geld wat geskuld word, ookeksponensieel toeneem.

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal. Bereken die balans wat opgebou het teendie einde van jaar.

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat 'n saamgestelderentekoers van % p.a. betaal.Bereken die balans wat opgebou het teen die einde van jaar. Soosgewoonlik, met finansiële berekeninge, rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke, maar moenie afrond voor die finale antwoord nie.


Nicola wil 'n bedrag geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.Hoeveel geld (tot die naaste rand) behoort sy te belê as sy die som van

wil bereik in vyf jaar?

Thobeka wil geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.712

6.

7.

8.

9.

Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.

Likengkeng wil 'n bedrag geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.

Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.

Morgan belê in 'n rekening wat 'n eenmalige bedrag uitbetaal aandie einde van jaar. As hy kry aan die einde van die periode,watter saamgestelde rentekoers het die bank vir hom aangebied?

Kabir belê in 'n rekening wat 'n eenmalige bedrag uitbetaal aan dieeinde van jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee die antwoord korrek tot eendesimale plek.

Bongani belê in 'n rekening wat 'n eenmalige bedrag uitbetaal aandie einde van jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee die antwoord korrek tot eendesimale plek.

713

9.3 Berekening deur gebruik vanenkelvoudige en saamgestelde rente

Huurkoop

As 'n algemene reël is dit nie verstandig om items op krediet te koop nie. Wanneer jyop krediet koop, moet jy geld leen om te betaal vir die aankoop, wat beteken dat jymeer betaal as gevolg van die rente op die lening. Bygesê, van tyd tot tyd is daartoerusting, soos 'n yskas, waarsonder mens moeilik kan lewe. Meeste mense het niedie kontant om sulke items direk te koop nie, dus koop hulle dit met 'nhuurkoopooreenkoms.

'n Huurkoopooreenkoms is 'n finansiële ooreenkoms tussen die winkel en die klant oorhoe die klant vir die produk wat hy wil hê, gaan betaal.Die rente op 'nhuurkoopooreenkoms word altyd bereken teen 'n enkelvoudige rentekoers en wordslegs bereken op die bedrag wat nog geskuld word. Meeste ooreenkomste vereis dat'n deposito betaal moet word voordat die klant die produk kan neem. Dieaanvangsbedrag van die lening is dus die kontant minus die deposito. Diegeakkumuleerde lening sal bereken word oor die aantal jare waarvoor die leningbenodig word. Die totale leningsbedrag word dan verdeel in maandelikse paaiementeoor die totale periode van die lening.

BELANGRIK

Huurkoop word bereken teen 'n enkelvoudige rentekoers. Wanneer jy 'n vraagoor huurkoop gevra word, onthou om altyd die enkelvoudige rente formule tegebruik.

714

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: HUURKOOP

VRAAG

Troy wil 'n addisionele skerm vir sy rekenaar koop en hy het een gesien wat opdie internet geadverteer is vir . Daar is 'n opsie om % deposito tebetaal en dan maandelikse paaiemente te betaal met 'nhuurkoopooreenkoms, waar rente bereken word teen % p.a. enkelvoudigerente. Bereken wat Troy se maandelikse paaiement sal wees.

OPLOSSING


'n Nuwe openingsbalans moet bepaal word as die % deposito kontantbetaal word.



715

Stap 4: Bereken die maandelikse paaiement op die

huurkoopooreenkoms


Troy se maandelikse paaiement is .



Laai af

'n Winkel kan ook 'n maandelikse versekeringspremie hef op die maandeliksepaaiemente. Hierdie versekeringspremie sal 'n bedrag wees wat maandeliks betaalword en dit gee die klant meer tyd tussen 'n oorgeslane paaiement en beslagleggingvan die produk.

LET WEL

Die maandelikse betaling word ook die maandelikse paaiement genoem.

716

https://youtu.be/WO9hYf3bXbs?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/0b7zckd4iiez9np/Graad_10_Hfst_9.3_VB_7.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: HUURKOOP METADDISIONELE VOORWAARDES

VRAAG

Cassidy wil 'n televisiestel koop en besluit om een te koop op 'nhuurkoopooreenkoms. Die kontantprys van die televisiestel is . Sy saldit betaal oor 'n tydperk van maande teen 'n rentekoers van % p.a. 'nVersekeringspremie van word by elke maandelike paaiementgevoeg. Hoe groot is haar maandelikse betaling?

OPLOSSING


Die vraag noem nie 'n deposito nie, dus aanvaar ons Cassidy het nie eenbetaal nie.



717

a)

b)

c)

d)

1.Angelique wil 'n mikrogolfoond koop met 'n huurkoopooreenkoms.Die kontantprys van die mikrogolfoond is . Sy moet 'ndeposito van % betaal en sy delg die res van die lening oor maande teen 'n rentekoers van % p.a.

OEFENING 9.3.1

Stap 4: Bereken die maandelikse paaiement op die

huurkoopooreenkoms

Stap 5: Voeg die versekeringspremie by


Cassidy sal per maand betaal vir maande voordat haarTV afbetaal is.

Wat is die leningsbedrag?

Wat is die opgehoopte leningsbedrag?

Wat is Angelique se maandelikse terugbetalings?

Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die mikrogolfoond?718

a)

b)

c)

d)

2.Nyakallo wil 'n televisiestel koop met 'n huurkoopooreenkoms. Diekontantprys van die televisiestel is . Daar word van haarverwag om 'n deposito van % te betaal en om die oorblywendelening af te betaal oor maande, teen 'n rentekoers van % p.a.

a)

b)

c)

d)

3.'n Maatskappy wil 'n rekenaardrukker koop. Die kontantprys van diedrukker is . 'n Deposito van % moet betaal word. Dieoorblywende bedrag sal afbetaal word oor maande teen 'nrentekoers van % p.a.


Wat is die opgehoopte bedrag?

Wat is Nyakallo se maandelikse terugbetaling?

Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die televisiestel?



Hoeveel sal die maatskappy elke maand betaal?

Wat is die totale bedrag wat die maatskappy betaal het vir diedrukker?

719

a)

b)

c)

4.Sandile koop 'n eetkamertafel wat kos met 'nhuurkoopooreenkoms. Hulle hef 'n rentekoers van % p.a. oor jaar.

a)

b)

c)

5.Mike koop 'n tafel wat kos met 'n huurkoopooreenkoms. Hyword aangeslaan teen 'n rentekoers van % p.a. oor jaar.

a)

b)

c)

6.Talwar koop 'n kas wat kos op huurkoop. Hy word gevraom 'n rentekoers van % p.a. oor jaar te betaal.

Hoeveel sal Sandile in totaal betaal?

Hoeveel rente betaal hy?

Wat is die maandelikse paaiement?

Hoeveel betaal Mike in totaal?



Hoeveel sal Talwar in totaal betaal?



720

a)

b)

7.'n Sitkamerstel word te koop geadverteer op televisie. Dit kanafbetaal word oor maande teen per maand.

8.

9.

10.

As dit aanvaar word dat geen deposito betaalbaar is nie, hoeveel saldie koper betaal vir die sitkamerstel wanneer dit uiteindelik afbetaalis?

As die rentekoers % p.a. is, wat is die kontantprys van die stel?

Twee winkels bied 'n gesamentlike yskas en wasmasjien pakket aan. WinkelA bied 'n maandelikse paaiement van oor maande aan. Winkel Bbied 'n maandelikse paaiement van oor maande aan.As beide winkels % rente vra, by watter winkel behoort jy die yskas enwasmasjien pakket te koop as jy die minste rente wil betaal?

Tlali wil 'n nuwe rekenaar koop en besluit om een te koop met 'nhuurkoopooreenkoms. Die kontantprys van die rekenaar is . Hy saldit betaal oor 'n tydperk van maande teen 'n rentekoers van % p.a. 'nVersekeringspremie van word by elke maandelike paaiementgevoeg. Hoe groot is sy maandelikse betalings?

Richard beplan om 'n nuwe stoof te koop op huurkoop. Die kontantprys vandie stoof is . Hy betaal 'n deposito van % en betaal dan dieoorblywende bedrag af oor maande teen 'n rentekoers van % p.a. 'nVersekeringspremie van word bygevoeg by elke maandeliksepaaiement. Bereken Richard se maandelikse paaiement.

Inflasie721

Inflasie

Daar is baie faktore wat veranderinge in die prys van 'n item beïnvloed, en een vanhierdie faktore is inflasie. Inflasie is die gemiddelde jaarlikse toename in die prys vangoedere en dit word uitgedruk as 'n persentasie. Aangesien die inflasiekoers jaar opjaar toeneem, word dit bereken deur die saamgestelde rente formule te gebruik.

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: BEREKEN TOEKOMSTIGEKOSTE GEBASEER OP INFLASIE

VRAAG

Melk kos vir twee liter. Hoeveel sal dit kos oor jaar as dieinflasiekoers % p.a. is?

OPLOSSING




722


Oor vier jaar sal twee liter melk kos.



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: BEREKEN VROEËRE KOSTEGEBASEER OP INFLASIE

VRAAG

'n Boks sjokolade kos vandag . Hoeveel het dit jaar gelede gekos asdie gemiddelde inflasiekoers % p.a. was?

OPLOSSING



723

https://youtu.be/iGDR3yOTsNA?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/glfrt2qhymuslo7/Graad_10_Hfst_9.3_VB_9.mp4?dl=0

1.

2.

3.

4.

OEFENING 9.3.2



Drie jaar gelede sou die boks sjokolade gekos het.

Die prys van sakkie appels is . Hoeveel sal dit oor jaar kos as dieinflasiekoers % p.a. is?

Die prys van 'n sak aartappels is .Hoeveel sal dit oor jaar kos as die inflasiekoers % p.a. is?

Die prys van 'n boks springmielies is . Hoeveel sal dit oor jaar kos asdie inflasiekoers % p.a. is?

'n Pakkie rosyntjies kos vandag . Hoeveel het dit jaar gelede gekosas die gemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jou antwoord af tot 2desimale plekke.

724

5.

6.

7.

'n Blik koekies kos vandag . Hoeveel het dit jaar gelede gekos as diegemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jou antwoord af tot 2desimale plekke.

As die gemiddelde inflasiekoers oor die afgelope paar jaar % p.a. was enjou water en kragrekening is nou gemiddeld , wat kan jy verwag omte betaal oor jaar?

'n Pak springmielies en 'n Coke kos nou by die flick. As diegemiddelde inflasiekoers % p.a. is, wat was die prys van springmielies enCoke jaar gelede?

Bevolkingsgroei

Familiestambome groei eksponsieel aangesien elke persoon wat gebore word diemoontlikheid het om 'n nuwe familie te begin. Om hierdie rede bereken ons diebevolkingsgroei deur die saamgestelde groei formule te gebruik.

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: BEVOLKINGSGROEI

VRAAG

As die huidige bevolking van Johannesburg is, en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika % p.a. is, wat kan stadsbeplanners verwagsal die bevolking van Johannesburg oor jaar wees?

725

OPLOSSING





Stadsbeplanners kan verwag dat Johannesburg se bevolking oor tien jaar sal wees.


Kyk nou: Hoofstuk 9.3 Populasiegroei

Laai af

726


https://www.dropbox.com/s/vcd9qswfo0cwbpa/Graad_10_Populasiegroei.ggb?dl=0

1.

2.

3.

OEFENING 9.3.3

Die huidige bevolking van Durban is en die gemiddeldebevolkingsgroei van SuidAfrika is % p.a.Hoeveel kan die stadsbeplanners van Durban verwag sal die bevolking vandie stad oor jaar wees? Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.

Die huidige bevolking van Polokwane is en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika is % p.a.Wat kan die stadsbeplanners verwag sal die bevolking van Polokwane oor

jaar wees? Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.

'n Klein dorpie in Ohio, VSA, ondervind 'n groot toename in geboortes. As diegemiddelde groeikoers van die bevolking % p.a. is, hoeveel babas salgebore word vir die inwoners in die volgende jaar?

Buitelandse wisselkoerse

Verskillende lande het verskillende geldeenhede. In Engeland kos 'n Big Mac vanMcDonald's , in SuidAfrika kos dit en in Noorweë kos dit kr. Diemaaltyd is dieselfde in al drie lande maar in sommige plekke kos dit meer as in ander.

As en , beteken dit 'n Big Mac in Engeland kos en 'n Big Mac in Noorweë kos .

Wisselkoerse beïnvloed veel meer as slegs die prys van 'n Big Mac. Die prys van olieneem toe wanneer die SuidAfrikaanse rand verswak. Dit gebeur omdat ons met 'n

727

swakker rand minder van ander geldeenhede kan koop vir dieselfde bedrag geld.

'n Geldeenheid versterk wanneer geld belê word in die land. Wanneer ons SuidAfrikaans vervaardigde produkte koop, belê ons in SuidAfrikaanse besighede en houons die geld in die land. Wanneer ons ingevoerde produkte van ander lande koop,belê ons geld in daardie lande en gevolglik sal die rand verswak. Hoe meer SuidAfrikaanse produkte ons koop, hoe groter word die aanvraag daarvoor en dit skepmeer werksgeleenthede vir SuidAfrikaners. Local is lekker!

LET WEL

Die drie geldeenhede wat jy waarskynlik die meeste sal sien, is die Britse pond(£), die Amerikaanse dollar ( ) en die euro (\euro).

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: BUITELANDSEWISSELKOERSE

VRAAG

Saba wil haar familie in Spanje gaan besoek. Sy het ontvang omdaar te spandeer. Hoeveel euro kan sy koop met die huidige wisselkoers van€ ?

OPLOSSING

Stap 1: Skryf die vergelyking neer

Laat die ekwivalente bedrag euro wees

728

a)

b)

c)

1.Bridget wil 'n iPod koop wat kos, met die wisselkoers tansop . Sy bereken dat die wisselkoers in 'n maand setyd sal daal tot .

a)

2.Mthuli wil 'n televisiestel koop wat kos, met die huidigewisselkoers op . Hy beraam dat die wisselkoers saldaal tot oor 'n maand.

OEFENING 9.3.4


Saba kan € koop met .



Laai af

Hoeveel sal die iPod in rand kos as sy dit nou koop?

Hoeveel sal sy spaar as die wisselkoers daal tot ?

Hoeveel sal sy verloor as die wisselkoers verander na ?

Hoeveel sal die televisiestel in rand kos as hy dit nou koop?

729

https://youtu.be/2OEs1oh-VXc?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/kdvmiuo6n4gk9re/Graad_10_Hfst_9.3_VB_12.mp4?dl=0

b)

c)

a)

b)

c)

3.Nthabiseng wil 'n iPad koop wat kos, met die huidigewisselkoers op . Sy skat dat die wisselkoers sal daaltot oor 'n maand.

4.Bestudeer die volgende wisselkoerstabel:

Land Geldeenheid Wisselkoers

Verenigde Koninkryk van Brittanje(VK) Pond (£)

Verenigde State van Amerika (VSA) Dollar ( )

a)

Hoeveel sal hy spaar as die wisselkoers daal tot ?

Hoeveel sal hy verloor as die wisselkoers verander na ?

Hoeveel rand sal die iPad kos as sy dit nou koop?



In SuidAfrika kos 'n nuwe Honda Civic . In Engelandkos dieselfde motor en in die VSA . Inwatter land is die motor die goedkoopste?

730

b)

5.

6.

7.Lulamile en Jacob bied oor naweke toere aan. Hulle vra nie geld virtoere nie, maar aanvaar fooitjies van die groep. Die tabel hierondertoon die fooitjies aan wat hulle van die verskillende toergroepeontvang het.

Sollie en Arinda is kelners by 'n restaurant in SuidAfrika wat baiebuitelandse toeriste ontvang. Sollie ontvang 'n fooitjie van van'n toeris en Arinda een van . Wie het die grootste fooitjieontvang?

Yaseen wil 'n boek oor die internet koop. Hy kry 'n uitgewer in London wat dieboek verkoop vir . Hierdie uitgewer bied gratis versending van dieproduk aan.Hy vind uit dieselfde boek is beskikbaar by 'n uitgewer in New York vir

met 'n versendingsfooi van .Vervolgens kyk hy na die wisselkoerse om te sien watter uitgewer die beste

aanbod het. As en , van watteruitgewer behoort hy die boek te koop?

Mathe spaar om haar vriend in Duitsland te gaan besoek. Sy bereken dat dietotale koste van haar reis sal wees. Die wisselkoers is tans

.Mathe se vriend besluit om haar te help en hy gee vir haar .Hoeveel geld (in rand) moet Mathe nou nog spaar?

Groep Totale fooie

Britse toeriste

Japanese toeriste731

Die huidige wisselkoerse is:

a)

b)

8.

Amerikaanse toeriste

Nederlandse toeriste

Brasiliaanse toeriste

Australiese toeriste

SuidAfrikaanse toeriste

Watter groep toeriste het die beste fooi gegee? Hoeveel het hullegegee (in rand)?

Watter groep toeriste het die swakste fooitjies gegee? Hoeveel hethulle gegee (in rand)?

Kayla beplan om haar familie in Malawi te besoek en om daarna tyd tespandeer in die Serengeti Reservaat in Tanzanië. Sy moet eers haar SuidAfrikaanse rande omskakel na Malawi kwacha. Daarna moet sy haaroorblywende Malawi kwacha omskakel na Tanzanië sjielings.Sy vind uit oor die huidige wisselkoerse en vind die volgende inligting:

Sy begin met in SuidAfrika. In Malawi spandeer sy . Wanneer sy die oorblywende Malawi kwacha vir Tanzanië

sjieling omruil, hoeveel geld het sy (in Tanzanië sjieling)?

732

Hoofstuk opsommingDaar is twee tipes rentekoerse:

Enkelvoudige rente Saamgestelde rente

Waar:

Huurkoop leningsterugbetalings word bereken deur die toepassing van dieenkelvoudige rente formule op die kontantprys minus die deposito. Maandelikseterugbetalings word bereken deur die opgehoopte bedrag te deel deur die aantalmaande vir die terugbetaling.

Bevolkingsgroei en inflasie word bereken deur die saamgestelde rente formulete gebruik.

Buitelandse wisselkoerse is die prys van een geldeenheid in terme van 'n andereen.

733

1.

2.

3.

4.

5.


'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % p.a. betaal. Bereken die balans wat geakkumuleer hetteen die einde van jaar.

'n Bedrag van word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige renteteen 'n koers van % p.a. betaal. Bereken die balans wat geakkumuleer hetteen die einde van jaar.

Adam open 'n spaarrekening toe hy jaar oud is. Hy wil hêteen die tyd dat hy is. As die spaarrekening enkelvoudige rente aanbiedteen ' n koers van % per annum, hoeveel geld moet hy nou belê om sydoel te bereik?

Toe sy seun jaar oud was, het Dumile gedeponeer in die bank.Die belegging het teen 'n enkelvoudige rentekoers gegroei en toe Dumile seseun jaar oud was, was die waarde van die belegging . Teenwatter koers is die geld hele? Gee die antwoord korrek tot een desimale plek.

Toe sy seun jaar oud was, het Jared 'n deposito van in die bankgemaak. Die belegging het teen 'n enkelvoudige rentekoers gegroei en toeJared se seun jaar oud was, was die waarde van die belegging

. Teen watter koers is die geld hele? Gee die antwoord korrektot een desimale plek.

734

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Sehlolo wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.

Mphikeleli wil belê teen 'n enkelvoudige rentekoers van % p.a.Hoeveel jaar sal dit neem vir die geld om te groei tot ? Rond jouantwoord op tot die naaste jaar.

'n Bedrag van is belê in 'n rekening wat enkelvoudige rente betaalteen 'n koers van % per annum. Bereken die bedrag geakkumuleerderente teen die einde van jaar.



Emma wil geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.

735

12.

a)

b)

c)

13.Bereken die saamgestelde rente vir die volgende probleme.

14.

15.

a)

16.Bereken hoeveel jy sal kry as jy belê vir jaar teen dievolgende rentekoerse:

Limpho wil geld belê teen 'n saamgestelde rentekoers van % p.a.Hoeveel geld behoort sy te belê as sy 'n som van wil bereik in jaar? Rond jou antwoord op tot die naaste rand.

'n lening vir jaar teen % p.a.

'n belegging vir jaar teen % p.a.

'n lening vir jaar teen % p.a.

Ali belê in 'n rekening wat 'n enkelbedrag uitbetaal aan die eindevan jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee jou antwoord korrek tot eendesimale plek.

Christopher belê in 'n rekening wat 'n enkelbedrag uitbetaal aan dieeinde van jaar.As hy kry aan die einde van die periode, watter saamgestelderentekoers het die bank vir hom aangebied? Gee jou antwoord korrek tot eendesimale plek.

% enkelvoudige rente

736

b)

17.

a)

b)

18.Gegee:'n Lening van vir 'n jaar teen 'n rentekoers van % p.a.

19.

a)

20.Bespreek:

% saamgestelde rente

Bianca het om te belê vir jaar. Bank A bied 'n spaarrekening aanwat enkelvoudige rente betaal teen 'n koers van % per annum, terwylBank B 'n spaarrekening aanbied wat saamgestelde rente betaal teen 'nkoers van % per annum. Watter rekening sal vir Bianca die grootstegeakkumuleerde balans oplewer teen die einde van jaar?

Hoeveel enkelvoudige rente is betaalbaar op die lening?

Hoeveel saamgestelde rente is betaalbaar op die lening?

is belê teen 'n rentekoers van % per annum.Voltooi die volgende tabel.

Aantal jare Enkelvoudige rente Saamgestelde rente

Watter tipe rente sou jy graag wou gebruik as jy 'n lener is?

737

b)

a)

b)

c)

d)

21.Portia wil 'n televisiestel koop op 'n huurkoopooreenkoms. Diekontantprys van die televisiestel is . Sy moet 'n depositobetaal van % en sy betaal die oorblywende leningsbedrag af oor

maande teen 'n rentekoers van % p.a.

a)

b)

c)

d)

22.Gabisile wil 'n verwarmer koop op huurkoop. Die kontantprys van dieverwarmer is . Sy moet 'n deposito betaal van % enbetaal die oorblywende lening af oor maande teen 'n rentekoersvan % p.a.

Watter tipe rente sou jy wou gebruik as jy die bankier is?



Wat is Portia se maandelike terugbetaling?

Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die televisiestel?



Wat is Gabisile se maandelikse paaiement?

Wat is die totale bedrag wat sy betaal het vir die verwarmer?

738

a)

b)

c)

23.Khayalethu koop 'n bank wat kos met 'nhuurkoopooreenkoms. Hulle hef 'n rentekoers van % p.a. oor jaar.

a)

b)

c)

24.Jwayelani koop 'n sofabed van met 'nhuurkoopooreenkoms. Die rentekoers is % p.a. oor jaar.

25.

26.

Hoeveel sal Khayalethu in totaal betaal?



Hoeveel sal Jwayelani in totaal betaal?



Bonnie koop 'n stoof vir . Na jaar is sy klaar betaal aan die stoofen die rente wat gehef was vir die huurkoop. Bepaal dieenkelvoudige rentekoers wat gehef was.

'n Nuwe meubelwinkel het pas oopgemaak in die dorp en hulle het dievolgende spesiale aanbiedings:

739

27.

28.

29.

30.

Koop 'n sitkamerstel, 'n slaapkamerstel en die kombuistoerusting (yskas,stoof, wasmasjien) vir slegs en ontvang 'n gratis mikrogolfoond.Geen deposito word verlang nie en 'n jaar afbetalingsplan is beskikbaar.Rente word gehef teen slegs % p.a.Babelwa koop al die items op huurkoop. Sy besluit om 'n deposito van

te betaal. Die winkel voeg 'n versekeringspremie van permaand by.Wat is Babelwa se maandelikse paaiement op die items?

Die prys van 2 liter melk is . Hoeveel sal dit oor jaar kos as dieinflasiekoers % p.a. is?

Die prys van 'n bottel vrugtesap is . Wat sal die sap oor jaar kosmet 'n inflasiekoers % p.a.?

'n Boks vrugtelekkers kos vandag . Hoeveel het dit jaar geledegekos as die gemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jou antwoord aftot 2 desimale plekke.

'n Boksie Smarties kos vandag . Hoeveel het dieselfde boksie jaargelede gekos as die gemiddelde inflasiekoers % p.a. was? Rond jouantwoord af tot 2 desimale plekke.

740

a)

b)

31.Volgens die laaste sensus, het SuidAfrika tans 'n bevolking van

.

32.

33.

a)

34.Monique wil 'n iPad koop wat kos, met die wisselkoers tansop = . Sy skat dat die wisselkoers sal daal tot oor'n maand.

As die verwagte jaarlikse groeitempo % is, bereken hoeveelSuidAfrikaners sal daar oor jaar wees (korrek tot die naastehonderd duisend).

As dit na jaar blyk dat die bevolking in der waarheid gegroei hetmet miljoen tot miljoen, wat was die groeitempo?

Die huidige bevolking van Kaapstad is en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika is % p.a.Wat verwag die stadsbeplanners sal die bevolking van Kaapstad oor jaarwees? Nota: Rond jou antwoord af tot die naaste heelgetal.

Die huidige bevolking van Pretoria is en die gemiddeldebevolkingsgroei in SuidAfrika is % p.a.Wat sal die bevolking van Pretoria oor jaar wees? Nota: Rond jou antwoordaf tot die naaste heelgetal.

Hoeveel sal die iPad kos, in rand, as sy dit nou koop?

741

b)

c)

a)

b)

c)

35.Xolile wil 'n CD speler koop wat kos, terwyl die huidigewisselkoers is. Sy skat dat die wisselkoers sal daaltot in 'n maand.

36.

37.

38.



Hoeveel sal die CD speler kos, in rand, as sy dit nou koop?

Hoeveel sal sy spaar as die wisselkoers val tot ?


Alison gaan met vakansie na Europa. Haar hotel kos per nag.Hoeveel geld het sy nodig, in rand, om haar hotel rekening te kan betaal teen

'n wisselkoers van ?

Jennifer koop boeke op die internet. Sy vind 'n uitgewer in die VK wat dieboeke verkoop vir .

Sy vind dieselfde boeke by 'n uitgewer in die VSA vir .Vervolgens kyk sy na die wisselkoers om te sien watter uitgewer vir haar die

beste opsie gee. As en , van watteruitgewer behoort sy die boeke te koop?

Bonani wen 'n reis na Machu Picchu in Peru, gevolg deur 'n toer na Brasiliëvir die karnaval. Hy kry om te spandeer op sy toer.

742

39.

40.

Hy kyk vervolgens na die huidige wisselkoerse en vind die volgende inligting:

In Peru spandeer hy . Hoeveel geld het hy (in Brasilië real)nadat hy sy orige Peru sol omgeskakel het na Brasilië real of BRL?

As die wisselkoers van die Rand tot die Japanese Yen ¥ = is,en tot die Australiese dollar AUD = is, bereken die wisselkoerstussen die Australiese dollar en die Japanese yen.

Khetang was onlangs vir 'n paar maande in Europa vir werk. Hy keer terug naSuidAfrika met om te belê in 'n spaarrekening.Sy bank bied hom 'n spaarrekening aan wat % saamgestelde rente perannum betaal. Die bank skakel Khetang se euro om na rand teen 'n

wisselkoers van .As Khetang sy geld belê vir jaar, hoeveel rente verdien hy op sybelegging?

743

HOOFSTUK 10: STATISTIEK

InleidingWanneer ons 'n eksperiment uitvoer of 'n opname doen, kan ons potensieel eindig methonderde, duisende of selfs miljoene waardes in die uiteindelike datastel. Te veel datakan oorweldigend wees en ons moet dit verminder of die data op 'n manier voorstelwat makliker is om te verstaan en te kommunikeer.

Statistiek gaan oor die opsomming van data. Statistiese metodes laat ons toe om dieessensiële inligting in 'n datastel voor te stel terwyl al die onbelangrike inligting tersyde gestel word. Ons moet versigtig wees om seker te maak dat ons nie per ongeluksommige van die belangrike aspekte van 'n datastel weggooi nie.

Deur statistiek behoorlik toe te pas, kan ons die belangrike aspekte van die data uitligen die data makliker maak om te interpreteer. Deur statistiek of oneerlik te gebruik,kan ons belangrike inligting wegsteek en mense verkeerde gevolgtrekkings laat maak.

In hierdie hoofstuk sal ons kyk na 'n paar numeriese en grafiese maniere waarmeedatastelle voorgestel kan word om dit makliker te maak om hulle te interepreteer.

Statistiek word op verskeie webblaaie gebruik om lesers te wys wie na die inhoud van die

betrokke webblad kyk.

744

10.1 Versameling van data

DEFINISIE

Data

Data verwys na die stukkies inligting wat waargeneem en aangeteken is in 'neksperiment of 'n opname.

LET WEL

Die woord data is die meervoud van die woord datum , en dus behoort mens inEngels te sê “the data are” en nie “the data is” nie.

Ons onderskei tussen twee hooftipes data: kwantitatiewe data en kwalitatiewe data.

DEFINISIE

Kwantitatiewe data

Kwantitatiewe data is data wat geskryf kan word as getalle.

Kwantitatiewe data kan diskreet of kontinu wees. Diskrete kwantitatiewe data kanvoorgestel word met heelgetalle en dit kom gewoonlik voor wanneer ons dinge tel,byvoorbeeld, die aantal leerders in 'n klas, die getal molekules in 'n chemieseoplossing, of die aantal SMS boodskappe wat in een dag gestuur word.

Kontinue kwantitatiewe data kan voorgestel word met reële getalle, byvoorbeeld, diehoogte of massa van 'n persoon, die afstand afgelê deur 'n motor, of die lengte van 'n

745

foonoproep.

DEFINISIE

Kwalitatiewe data

Kwalitatiewe data is data wat nie as getalle geskryf kan word nie.

Twee algemene tipes kwalitatiewe data is kategoriale data en anekdotiese data.Kategoriale data kom gewoonlik uit 'n beperkte aantal moontlikhede, byvoorbeeld, jougeliefkoosde koeldrank, die kleur van jou selfoon, of jou huistaal.

Anekdotiese data neem die vorm aan van 'n onderhoud of 'n storie, byvoorbeeld,wanneer jy iemand vra wat hulle persoonlike ervaring was toe hulle 'n sekere produkgebruik het, of wat hulle dink van iemand anders se gedrag.

Kategoriale kwalitatiewe data word somtyds omgeskakel na kwantitatiewe data deurdie aantal kere te tel wat elke kategorie voorkom. Byvoorbeeld, in 'n klas met leerders, vra ons vir almal wat die kleure van hulle selfone is en kry die volgendeantwoorde:

swart swart swart wit pers rooi rooi swart swart swart

wit wit swart swart swart swart pers swart swart wit

pers swart rooi rooi wit swart oranje oranje swart wit

Hierdie is 'n kategoriale kwalitatiewe datastel aangesien elkeen van die antwoorde uit'n klein aantal moontlike kleure kom.

746

Ons kan presies dieselfde data op 'n verskillende manier voorstel deur te tel hoeveelkeer elke kleur voorkom.

Kleur Telling

swart

wit

rooi

pers

oranje

Hierdie is 'n diskrete kwantitatiewe datastel aangesien elke telling 'n heelgetal is.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: KWALITATIEWE ENKWANTITATIEWE DATA

VRAAG

Thembisile stel daarin belang om lugtyd te herverkoop aan sy klasmaats. Hywil graag weet hoeveel besigheid hy van hulle kan verwag. Hy vra elk van sy

klasmaats hoeveel SMS boodskappe hulle die vorige dag gestuur het. Dieresultate was:

Is hierdie datastel kwalitatief of kwantitatief? Verduidelik jou antwoord.

OPLOSSING

Die getal SMS boodskappe is 'n telling wat verteenwoordig word deur 'nheelgetal, wat beteken dat dit kwantitatief en diskreet is.

747

1.

OEFENING 10.1.1

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: KWALITATIEWE ENKWANTITATIEWE DATA

VRAAG

Thembisile wil graag weet wat die mees gewilde selfoon diensverskaffer isonder die leerders in sy skool. Hierdie keer kies Thembisile, op 'n willekeurigemanier, leerders uit die hele skool en vra hulle watter selfoondiensverskaffer hulle tans gebruik. Die resultate was:

Cell C Vodacom Vodacom MTN Vodacom

MTN MTN Virgin Mobile Cell C 8-ta

Vodacom MTN Vodacom Vodacom MTN

Vodacom Vodacom Vodacom Virgin Mobile MTN

Is hierdie datastel kwalitatief of kwantitatief? Verduidelik jou antwoord.

OPLOSSING

Aangesien elke antwoord nie 'n getal is nie, maar een van 'n klein aantalmoontlikhede, is hierdie kategoriale kwalitatiewe data.

Die volgende datastel van leerders se drome of planne, is ingesamel vanGraad 12 leerders net na hulle finale eksamens.

Kategoriseer die datastel.

748

2.

3.

Die volgende datastel van lekkers in 'n pakkie is ingesamel van besoekersaan 'n lekkergoedwinkel.


Die volgende datastel van vrae wat korrek beantwoord is, is ingesamel van 'nklas van wiskunde leerders.


749

10.2 Maatstawwe van sentrale neiging

Gemiddelde

DEFINISIE

Gemiddelde

Die gemiddelde is die som van 'n stel van waardes, gedeel deur die aantalwaardes in die stel. Die notasie vir die gemiddelde van 'n stel waardes is 'nhorisontale balkie oor die veranderlike wat gebruik word om die versamelingte verteenwoordig, byvoorbeeld . Die formule vir die gemiddelde van 'n

datastel is:

Die gemiddelde word somtyds ook die rekenkundige gemiddelde genoem.

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: BEREKENING VAN DIEGEMIDDELDE

VRAAG

Wat is die gemiddelde van die datastel ?

750

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die som van die data

Stap 2: Deel deur die aantal waardes in die datastel om die

gemiddelde te kry

Aangesien daar waardes in die datastel is, is die gemiddelde:



Laai af

Mediaan

DEFINISIE

Mediaan

Die mediaan van 'n datastel is die waarde in die middelste posisie van diedatastel, wanneer die datastel georden is van die kleinste tot die grootstewaarde.

Let daarop dat presies die helfte van die waardes van die datastel kleiner is as die751

https://youtu.be/P81R90DMTCU?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/w7em5ohlwz8v5hf/Graad_10_Hfst_10.2_VB_3.mp4?dl=0

mediaan en die ander helfte is groter as die mediaan.

Om die mediaan te bereken van 'n kwantitatiewe datastel, orden eers die data van diekleinste tot die grootste waarde en vind dan die waarde in die middel. As daar 'nonewe aantal waardes in die datastel is, sal die mediaan gelyk wees aan een van diewaardes in die datastel. As daar 'n ewe aantal waardes in die datastel is, sal diemediaan halfpad tussen twee waardes in die datastel wees.

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: MEDIAAN VIR 'N ONEWEAANTAL WAARDES

VRAAG

Wat is die mediaan van ?

OPLOSSING

Stap 1: Orden die waardes

Die waardes in die datastel, gerangskik van die kleinste tot die grootste, is

Stap 2: Vind die getal in die middel

Daar is waardes in die datastel. Aangesien daar 'n onewe aantalwaardes is, sal die mediaan gelyk wees aan die waarde in die middel,naamlik in die vierde posisie. Dus is die mediaan van die datastel.

752



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: MEDIAAN VIR 'N ONEWEAANTAL WAARDES

VRAAG

Wat is die mediaan van ?

OPLOSSING

Stap 1: Orden die waardes

Die waardes in die datastel, gerangskik van die kleinste tot die grootste, is

Stap 2: Vind die getal in die middel

Daar is waardes in die datastel. Aangesien daar 'n ewe aantal waardesis, sal die mediaan halfpad tussen die middelste twee waardes wees,naamlik tussen die vierde en vyfde posisies. Die waarde in die vierdeposisie is en die waarde in die vyfde posisie is . Die mediaan lêhalfpad tussen hierdie twee waardes en is dus

Modus753

https://youtu.be/MzrCu29pGGo?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/e3u94xkvc6m87v6/Graad_10_Hfst_10.2_VB_4.mp4?dl=0

Modus

DEFINISIE

Modus

Die modus van 'n datastel is die waarde wat die meeste voorkom in diedataversameling. Die modus kan ook beskryf word as die waarde met diegrootste frekwensie of die mees algemene waarde in die datastel.

Om die modus te bereken, tel ons eenvoudig die aantal kere wat elke waardevoorkom in die datastel en vind dan die waarde wat die meeste voorkom.

'n Datastel kan meer as een modus hê as daar meer as een waarde is met diehoogste telling. Byvoorbeeld, beide en is modusse in die datastel

. As alle punte in 'n datastel met dieselfde frekwensie voorkom, is ditewe akkuraat om te sê die datastel het baie modusse of geen modus nie.

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VIND DIE MODUS

VRAAG

Vind die modus van die datastel .

754

OPLOSSING

Stap 1: Tel die aantal kere wat elke waarde in die datastel verskyn

Waarde Telling

Stap 2: Vind die waarde wat die meeste voorkom

Van die tabel hierbo kan ons sien dat die enigste waarde is wat keervoorkom. Al die ander waardes verskyn minder as 3 keer. Dus is diemodus van die datastel .



Laai af

Een probleem met die gebruik van die modus as 'n maatstaf van sentrale neiging, isdat ons meestal nie die modus van 'n kontinue datastel kan bereken nie. Aangesienkontinue waardes enige plek op die reële getallelyn kan lê, sal enige spesifiekewaarde feitlik nooit herhaal word nie. Dit beteken dat die frekwensie van elke waardein die datastel sal wees en dat daar dus nie 'n modus sal wees nie. Ons sal kyk naeen manier om die probleem aan te spreek in die afdeling oor die groepering van data.

755

https://youtu.be/lrnDCufrTPk?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/wxcx62n68x106xi/Graad_10_Hfst_10.2_VB_6.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VERGELYKING VAN DIEMAATSTAWWE VAN SENTRALE NEIGING

VRAAG

Daar is regulasies in SuidAfrika met betrekking tot die produksie van broodom verbruikers te beskerm. As 'n brood nie 'n etiket het nie, moet dit, volgenswet, weeg, met die speling van persent onder of persent oor.Vishnu stel belang in hoe 'n welbekende nasionale verskaffer voldoen aanhierdie standaard. Hy besoek sy plaaslike tak van die verskaffer en teken diemassas van verskillende brode vir een week aan. Die resultate, in gram,word hieronder gegee:

Maandag Dinsdag Woensdag Donderdag Vrydag Saterdag Sondag

1. Is hierdie datastel kwalitatief of kwantitatief? Verduidelik jou antwoord.

2. Bepaal die gemiddelde, mediaan en modus van die massa van 'n broodvir elke dag van die week. Gee jou antwoord korrek tot 1 desimale plek.

3. Gebaseer op hierdie data, dink jy hierdie verskaffer se brode is binne dieSuidAfrikaanse regulasies?

756

OPLOSSING

Stap 1: Kwalitatief of kwantitatief?

Aangesien elke massa verteenwoordig kan word deur 'n getal, is diedatastel kwantitatief. Verder, aangesien die massa enige reële getal kanwees, is die data kontinu.

Stap 2: Bereken die gemiddelde

In elke kolom (vir elke dag van die week), tel ons die metings bymekaar endeel deur die aantal metings, .

Vir Maandag is die som van die gemete waardes en dus is diegemiddelde vir Maandag

Op dieselfde manier kan ons die gemiddelde vir elke dag van die weekbereken. Sien die tabel hieronder vir die resultate.

Stap 3: Bereken die mediaan

In elke kolom sorteer ons die getalle van die laagste tot die hoogste en virdie waarde in die middel. Aangesien daar 'n ewe aantal metings is, ( ),is die mediaan halfpad tussen die twee getalle in die middel.

Vir Maandag is die geordende lys van getalle

Die twee getalle in die middel is en en dus is die mediaan

757

Op dieselfde manier kan ons die mediaan vir elke dag van die weekbereken:

Dag Gemiddelde Mediaan

Maandag

Dinsdag

Woensdag

Donderdag

Vrydag

Saterdag

Sondag

Van die berekenings hierbo kan ons sien dat die gemiddeldes en diemediane naby aan mekaar is, maar nie heeltemal dieselfde is nie. In dievolgende uitgewerkte voorbeeld sal ons sien dat die gemiddelde en diemediaan nie altyd naby aan mekaar is nie.

Stap 4: Bepaal die modus

Aangesien die data kontinu is, kan ons nie die modus bereken nie. In dievolgende afdeling sal ons wys hoe ons data kan groepeer ten einde ditmoontlik te maak om 'n benaderde modus te bereken.

Stap 5: Gevolgtrekking: Is die verskaffer betroubaar?

Soos gemeld in die vraag, is die voorskrif dat die massa van 'n brood moetlê tussen minus %, wat is, en plus %, wat is.Aangesien elke meting wat Vishnu gemaak het binne hierdie omvang lê enal die mediane naby aan lê, kan ons aflei dat die verskafferbetroubaar is.

758

DEFINISIE

Uitskieter

'n Uitskieter is 'n waarde in die datastel wat nie tipies is van die res van diestel nie. Dit is gewoonlik 'n waarde wat baie groter of baie kleiner is as al dieander waardes in die datastel.


Kyk nou: Hoofstuk 10.2 Uitskieter

Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: EFFEK VAN UITSKIETERS OPDIE GEMIDDELDE EN DIE MEDIAAN

VRAAG

Die lengtes van leerders word in sentimeters gemeet om die volgendedatastel te verkry:

Agterna sluit ons nog een leerder, met 'n uitsonderlike lengte van , indie groep in.

Vergelyk die gemiddelde en die mediaan van die lengtes van die leerders vooren na die elfde leerder ingesluit is.

759


https://www.dropbox.com/s/iazc1bib9tfkk2b/Graad_10_Uitskieter.ggb?dl=0

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die gemiddelde van die eerste leerders

Stap 2: Bereken die gemiddelde van al leerders

Ons sien dat die gemiddelde lengte met verander wanneer ons die uitskieter (die lang persoon) insluit in diedatastel.

Stap 3: Bereken die mediaan van die eerste leerders

Om die mediaan te vind, moet ons die datastel orden:

Aangesien daar 'n ewe aantal waardes is, naamlik , lê die mediaanhalfpad tussen die vyfde en die sesde waardes:

Stap 4: Bereken die mediaan van al leerders

Nadat die lang leerder ingesluit is, is die geordende datastel

Nou, met waardes, is die mediaan die sesde waarde: . Dus,die mediaan verander slegs met wanneer ons die uitskieter bytel

760

1.

2.

3.

a)

b)

c)

4.Bereken die gemiddelde, die mediaan en die modus van dievolgende datastelle:

OEFENING 10.2.1

by die datastel.

In die algemeen word die mediaan minder geaffekteer deur die byvoegingvan uitskieters by 'n datastel, as die gemiddelde. Dit is belangrik omdat ditheel algemeen voorkom dat uitskieters gemeet word gedurende 'neksperiment as gevolg van probleme met toerusting of onverwagteinmenging.

Bereken die gemiddelde van die volgende datastel:

. Rond jou antwoord af tot 1 desimale plek.

Bereken die mediaan van die volgende datastel:

.

Bereken die modus van die volgende datastel:

761

d)

5.

6.

7.

8.

Die ouderdomme van atlete in die Comrades Marathon is opgeteken:

Bereken die gemiddelde, die mediaan en die modale ouderdom.

'n Groep van 10 vriende het 'n aantal klippies tussen hulle. Hulle werk uit datdie gemiddelde aantal klippies wat hulle het, 6 is. Vervolgens verlaat 7 vandie vriende die groep met 'n onbekende aantal ( ) van die klippies. Dieoorblywende 3 vriende werk uit die gemiddelde aantal klippies wat hulle oorhet, is.Hoeveel klippies het die 7 vriende met hulle saamgeneem toe hulle padgegeehet?

'n Groep van 9 vriende het elk 'n aantal muntstukke. Hulle werk uit dat diegemiddelde aantal muntstukke wat hulle het, 4 is. Dan verlaat 5 vriende diegroep en neem 'n onbekende aantal ( ) munte met hulle saam. Dieoorblywende 4 vriende bereken dat die gemiddelde aantal muntstukke wathulle nou oor het, is.Hoeveel muntstukke het die 5 vriende met hulle saamgeneem toe hulle wegis?

'n Groep van 9 vriende het elkeen 'n aantal albasters. Hulle bereken dat diegemiddelde aantal albasters wat hulle het 3 is. Dan verlaat 3 vriende diegroep met 'n onbekende aantal ( ) albasters. Die oorblywende 6 vriendewerk uit dat die gemiddelde aantal albasters wat hulle nou oor het, is.Hoeveel albasters het die 3 vriende met hulle saamgeneem toe hulle diegroep verlaat het?

762

a)

b)

9.In die eerste van 'n reeks flessies is daar lekkertjie. In die tweedeflessie is daar lekkers. Die gemiddelde aantal lekkers in die eerstetwee flessies is .

10.

11.

As die gemiddelde aantal lekkers in die eerste drie flessies is,hoeveel lekkers is daar in die derde flessie?

As die gemiddelde aantal lekkers in die eerste vier flessies is,hoeveel lekkers is daar dan in die vierde flessie?

Vind 'n stel van vyf ouderdomme, waarvan die gemiddelde ouderdom is,die modale ouderdom is en die mediaan ouderdom jaar is.

Vier vriende het elkeen 'n aantal albasters. Hulle bereken dat hulle gemiddeldelkeen albasters het. Een vriend vertrek met albasters. Hoeveelalbasters het die oorblywende vriende altesaam?

763

10.3 Groepering van data'n Algemene manier om kontinue kwantitatiewe data te hanteer, is om die volleomvang van waardes te onderverdeel in 'n paar subintervalle. Deur elke kontinuewaarde toe te ken aan 'n subinterval of klas waarin dit val, verander die datastel vankontinu na diskreet.

Groepering word gedoen deur die definiëring van 'n stel intervalle en dan te telhoeveel van hierdie data binne elke interval val. Die subintervalle moenie oorvleuelnie en moet die totale omvang van die datastel dek.

Een manier om gegroepeerde data visueel voor te stel, is 'n histogram. 'n Histogram is'n versameling van reghoeke, waar die basis van die reghoek (op die as) diewaardes insluit wat daarmee geassosieer is en die hoogte van die reghoekooreenstem met die aantal waardes in hierdie interval.

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: GROEPE EN HISTOGRAMME

VRAAG

Die lengtes, in sentimeters, van leerders word hieronder gegee.

Groepeer die data in die volgende intervalle en teken 'n histogram van diegegroepeerde data:

764

(Let op dat die intervalle nie oorvleuel nie aangesien die een begin waar dievorige een geëindig het.)

OPLOSSING

Stap 1: Tel die aantal waardes in elke interval

Omvang Telling

Stap 2: Teken die histogram

Aangesien daar intervalle is, sal die histogram reghoeke hê. Diebasis van elke reghoek word gedefinieer deur sy omvang. Die hoogte vanelke reghoek word bepaal deur die datatelling in daardie interval.

765

Die histogram maak dit maklik om te sien in watter interval die meeste vandie lengtes geleë is en voorsien 'n oorsig oor die verspreiding van diewaardes in die datastel.



Laai af

766

https://youtu.be/teQXESlhP40?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/5ytc3pfeqbxnfv5/Graad_10_Hfst_10.3_VB_9.mp4?dl=0

1.

2.

OEFENING 10.3.1

'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris 'n histogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:

Tel die aantal speelkaarte in die volgende interval:

'n Groep van leerders tel die aantal klippe wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:

767

3.

4.

Tel die aantal klippe in die volgende interval:

'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris die data wat hulle ingesamel het:

Tel die aantal leerders wat van tot kaarte het. Met ander woorde,hoeveel leerders het speelkaarte in die volgende interval:

? Dit mag handig wees om 'n histogramte trek om die vraag te beantwoord.

'n Groep van leerders tel die klippe wat hulle elkeen het. Hier is die datawat hulle bymekaar gemaak het:

768

5.

Tel die aantal leerders wat van tot klippe het. Met ander woorde,hoeveel leerders het 'n aantal klippe in die volgende interval:

? Dit mag help as jy 'n histogram trek ten eindedie vraag te beantwoord.

'n Groep van 20 leerders tel die aantal klippe wat elkeen het. Die leerders trek'n histogram wat die data beskryf wat hulle bymekaar gemaak het. Maar, hullehet 'n fout gemaak met die trek van die histogram.

Die data hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal klippe wat dieleerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal klippe vir een leerder.

Help hulle om uit te pluis watter kolom in die histogram verkeerd is.

769

6.'n Groep van 20 leerders tel die aantal klippe wat elkeen het. Die leerders trek'n histogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het. Maar, hulle het 'nfout gemaak met die trek van die histogram.

Die data hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal klippe wat dieleerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal klippe vir een leerder.


770

7.'n Groep leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:

'n Kat spring per ongeluk op die tafel en al hulle notas land deurmekaar op dievloer.Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle by die histogrampas:Datastel A

Datastel B

Datastel C

771

8.'n Groep leerders tel die aantal klippe wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het.

'n Skoonmaker stamp per ongeluk hulle tafel om en al hulle notas land in 'ndeurmekaarspul op die vloer!Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle by die histogrampas:Datastel A

Datastel B

Datastel C

772

9.'n Klaseksperiment is uitgevoer en leerders is gevra om dieaantal lekkers in 'n bottel te raai. Die volgende raaiskote isaangeteken:

a)

b)

Teken 'n gegroepeerde frekwensietabel op deur gebruik te maak vandie intervalle , , ,

en .

Trek 'n histogram wat ooreenstem met die frekwensietabel van diegegroepeerde data.

Maatstawwe van sentrale neiging

Met gegroepeerde data sal ons skatting van sentrale neigings verander omdat onssekere inligting sal verloor wanneer ons elke waarde in 'n interval plaas. As ons slegsgegroepeeerde data het om mee te werk, het ons nie meer dieselfde akkurate inligtingvan die gemete waardes nie. Die beste wat ons kan doen, is om aan te neem dat diewaardes gegroepeer is in die middel van elke interval.

As ons terugkyk na die vorige uitgewerkte voorbeeld, sien ons dat ons begin het metdie datastel van die leerders se lengtes.

773

Let op dat die data georden is.

Die gemiddelde van hierdie data is en die mediaan is . Die modus is , maar onthou dat daar probleme is met die berekening van die modus van kontinuekwantatiewe data.

Na groepering van die data, het ons nou die datastel hieronder. Let op dat elkewaarde geplaas is in die middel van die interval en dat die aantal kere wat elkewaarde herhaal word, presies ooreenstem met die telling in elke interval.

Die groepering verander die maatstawwe van sentrale neiging aangesien elke datumhanteer word asof dit presies in die middel van die interval geleë is waarin dit geplaaswas.

Die gemiddelde is nou , die mediaan is en die modus is . Hierdie iseintlik 'n beter skatting van die modus aangesien die groepering toon in watter intervaldie meeste van die leerders se lengtes geval het.

LET WEL

Ons kan ook slegs die modale groep en mediaangroep vir die gegroepeerdedata gee. Die modale groep is die groep wat die grootste aantal datawaardeshet. Die mediaangroep is die sentrale groep wanneer die groepe in volgordegerangskik is.

774

1.

2.

3.Die histogram hieronder toon die aantal passasiers wat elke week inAlfred se minibus taxi reis.

OEFENING 10.3.2

Oorweeg die volgende stel gegroepeerde data en bereken die gemiddelde,die modale groep en die mediaangroep.

Massa ( ) Telling

Vind die gemiddelde, die modale groep en die mediaangroep van hierdiedatastel wat aandui hoeveel tyd mense nodig het om 'n spel klaar te maak.

Tyd (s) Telling

775

a)

b)

c)

d)

Bereken:die modale interval

die totale aantal passasiers wat in Alfred se taxi ry

'n skatting van die gemiddelde

'n skatting van die mediaan

776

e)as dit beraam word dat elke passasier 'n gemiddelde afstand van

reis, hoeveel geld sou Alfred gemaak het as hy per kmgevra het?

Maatstawwe van verspreiding

Die sentrale neiging is nie die enigste interessante of bruikbare inligting van 'n datastelnie. Die twee datastelle hieronder geïllustreer het dieselfde gemiddelde ( ), maarhulle het verskillende verspreidings rondom die gemiddelde. Elke sirkelverteenwoordig een waarde van die datastel (of een 'datum').

Dispersie of verspreiding is 'n algemene term vir verskillende statistieke wat beskryfhoe die waardes versprei is rondom die middel. In hierdie afdeling sal ons kyk na diemaatstawwe van verspreiding.

Omvang

DEFINISIE

Omvang

Die omvang van 'n datastel is die verskil tussen die maksimum enminimumwaardes in die stel.

777

Die mees voor die handliggende maatstaf van verspreiding is die omvang. Dieomvang vertel doodeenvoudig vir ons hoe ver van mekaar af die grootste en diekleinste waardes in die datastel lê. Die omvang is baie sensitief vir uitskieters.

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: OMVANG

VRAAG

Vind die omvang van die volgende datastel:

Wat sou gebeur as ons die eerste waarde uit die datastel verwyder?

OPLOSSING

Stap 1: Bepaal die omvang

Die kleinste waarde in die datastel is en die grootste waarde is .

Die omvang is

Stap 2: Verwyder die eerste waarde

As die eerste waarde, , uit die datastel verwyder word, sal dieminimumwaarde wees. Dit beteken die omvang sal verander na

. is nie tipies van die ander datawaardes nie. Dit is 'nuitskieter en het 'n groot invloed op die omvang.

Persentiele778

Persentiele

DEFINISIE

Persentiel

Die persentiel is die waarde, , wat die datastel verdeel in twee dele,sodat persent van die waardes in die datastel kleiner is as en

persent van die waardes groter is as . Persentiele kan in dieomvang lê.

Om persentiele behoorlik te verstaan , moet ons onderskei tussen verskillendeaspekte van 'n datapunt: sy waarde, sy rangorde en sy persentiel:

Die waarde van 'n datapunt is dit wat gemeet en aangeteken is gedurende 'neksperiment of 'n ondersoek.

Die rangorde van 'n datapunt is sy posisie in die gesorteerde datastel(byvoorbeeld, eerste, tweede, derde, en so aan).

Die persentiel waarby 'n sekere datapunt is, vertel vir ons watter persentasievan die waardes in die volle datastel kleiner is as hierdie datapunt.

Die tabel hieronder som die waarde, rangorde en persentiel van die datastel op:

Waarde Rangorde Persentiel

779

As 'n voorbeeld, is by die persentiel aangesien daar waardes is watminder is as en waardes wat groter is as .

In die algemeen, die formule om die persentiel te vind vir 'n geordende datastelmet waardes is

Dit gee vir ons die rangorde, , van die persentiel. Om die waarde te vind van

die persentiel, moet ons van die eerste waarde in die geordende datastel tel totby die waarde.

Somtyds sal die rangorde of posisie nie 'n heelgetal wees nie. Dit beteken dat diepersentiel tussen twee waardes in die datastel lê. Die konvensie is om die waarde teneem wat halfpad tussen die twee waardes lê wat aangedui is deur die rangorde.

Die figuur hieronder toon die verband tussen die rangorde en die persentiel op 'ngrafiese manier. Ons het alreeds drie persentiele in hierdie hoofstuk teëgekom (persentiel), die minimum ( persentiel) en die maksimum ( ). Die mediaan isgedefinieer as die middelwaarde halfpad in die gesorteerde datastel.

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: GEBRUIK DIE PERSENTIELFORMULE

VRAAG

Bepaal die minimum, maksimum en mediaanwaardes van die volgende

780

datastel deur gebruik te maak van die persentielformule.

OPLOSSING

Stap 1: Sorteer die waardes in die datastel.

Voor ons rangorde kan gebruik om waardes te vind in die datastel, moetons altyd die waardes orden van die kleinste tot die grootste. Diegesorteerde datastel is

Stap 2: Vind die minimum

Ons weet alreeds dat die minimumwaarde die eerste waarde in diegeordende datastel is. Ons sal nou bevestig dat die persentielformuledieselfde antwoord gee. Die minimum is ekwivalent aan die persentiel. Volgens die persentielformule, , die rangorde van die

persentiel in 'n datastel met waardes, is:

Dit bevestig dat die minimumwaarde die eerste waarde in die lys is,naamlik .

Stap 3: Vind die maksimum

Ons weet reeds dat die maksimumwaarde die laaste waarde in diegeordende datastel is. Die maksimum is ook ekwivalent aan die

781

persentiel. Deur die gebruik van die persentielformule met en , vind ons die rangorde van die maksimumwaarde is:

Dit bevestig dat die maksimumwaarde die laaste (die negende) waarde indie lys is, naamlik .

Stap 4: Vind die mediaan

Die mediaan is ekwivalent aan die persentiel. Deur die gebruik vandie persentielformule met en , vind ons die rangorde vandie mediaanwaarde is:

Dit wys die mediaan is in die middel (in die vyfde posisie) van diegeordende datastel. Dus is die mediaanwaarde .

DEFINISIE

Kwartiele

Die kwartiele is die drie datawaardes wat die geordende datastel verdeel in

782

vier groepe, waar elke groep 'n gelyke aantal datawaardes bevat. Diemediaan ( persentiel) is die tweede kwartiel ( ). Die persentiel word ook die eerste of laer kwartiel ( ) genoem. Die persentiel word ook die derde of boonste kwartiel ( ) genoem.

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: KWARTIELE

VRAAG

Bepaal die kwartiele van die volgende datastel:

OPLOSSING

Stap 1: Sorteer die datastel

Stap 2: Vind die rangordes van die kwartiele

Deur die persentielformules te gebruik met , kan ons dierangordes of posisies vind van die , en persentiele:

783

Stap 3: Vind die waardes van die kwartiele

Let op dat elk van hierdie rangordes 'n breuk is, wat beteken dat diewaarde van elke persentiel iewers tussen twee waardes in die datastel is.

Vir die persentiel is die rangorde , wat tussen die derde envierde waardes lê. Aangesien beide hierdie waardes gelyk is aan , is die

persentiel .

Vir die persentiel (die mediaan) is die rangorde , dit wil sêhalfpad tussen die sesde en die sewende waardes. Die sesde waarde is

en die sewende waarde is , wat beteken dat die mediaan

is. Vir die persentiel is die rangorde , watbeteken tussen die negende en tiende waardes. Dus die persentiel

is .

Desiele

Die desiele is die nege datawaardes wat die geordende data verdeel in tien groepe,waar elke groep 'n gelyke aantal datawaardes bevat.

Byvoorbeeld, beskou die geordende datastel:

Die nege desiele is:

784

Persentiele vir gegroepeerde data

In gegroepeerde data sal die persentiele iewers binne die interval lê, eerder as by 'nspesifieke waarde. Om die interval te vind waarbinne die persentiel lê, gebruik onssteeds die persentielformule om die rangorde van die persentiel te bepaal en vind dandie interval waarbinne daardie rangorde lê.

UITGEWERKTE VOORBEELD 13: PERSENTIELE INGEGROEPEERDE DATA

VRAAG

Die wiskundepunte van graad leerders by 'n skool is ingesamel. Diedata word voorgestel in die volgende tabel:

Persentasiepunt Getal leerders

2

5

18

22

18

13

12

10

1. Bereken die gemiddelde van hierdie gegroepeerde datastel

2. Binne watter intervalle is die kwartiele van die datastel?

3. In watter interval lê die persentiel van die datastel?

785

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die gemiddelde

Aangesien ons die gegroepeerde data eerder as die oorspronklikeongegroepeerde data het om mee te werk, is die beste wat ons kan doenom die gemiddelde te benader asof al die leerders in elke interval geplaasis by die sentrale waarde van die interval.

Stap 2: Vind die kwartiele

Aangesien die data gegroepeer is, is dit ook alreeds georden. Met gebruikvan die persentielformule en die feit dat daar leerders is, kan ons dierangorde vind van die , en persentiele as

Nou moet ons uitvind in watter intervalle elk van hierdie rangordes lê.

Vir die eerste kwartiel, het ons leerders in die eerstetwee intervalle gekombineerd en leerders in dieeerste drie intervalle gekombineerd. Aangesien ,beteken dit die eerste kwartiel lê iewers in die derde interval:

.

786

Vir die tweede kwartiel (die mediaan), beteken dit dat daar leerders is in die eerste vier intervalle

gekombineerd. Aangesien , beteken dit dat diemediaan iewers in die vyfde interval lê: .

Vir die boonste kwartiel, beteken dit dat daar leerders is in dieeerste vyf intervalle gekombineerd en leerders indie eerste ses intervalle gekombineerd. Aangesien , beteken dit dat die boonste kwartiel iewers in die sesde interval lê:

.

Stap 3: Vind die persentiel

Met dieselfde metode as vir die kwartiele, vind ons eers die rangorde vandie persentiel.

Nou moet ons die interval vind waarbinne hierdie rangorde val. Aangesiendaar leerders is in die eerste intervalle gekombineerd en leerders in die eerste intervalle gekombineerd, lê die persentielin die vierde interval:

Omvang

Ons definieer data omvang in terme van persentiele. Ons het alreeds kennis gemaakmet die volle data omvang, wat eenvoudig die verskil is tussen die en die

persentiel (dit is, tussen die maksimum en die minimumwaardes van die787

1.

2.

OEFENING 10.3.3

datastel).

DEFINISIE

Interkwartielomvang

Die interkwartielomvang is 'n maatstaf van verspreiding wat bereken worddeur die eerste kwartiel ( ) af te trek van die derde kwartiel ( ). Dit geedie omvang van die middelste helfte van die datastel.

DEFINISIE

Semi interkwartielomvang

Die semi interkwartielomvang is die helfte van die interkwartielomvang.

'n Groep van leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier isdie data wat hulle ingesamel het:

Bereken die omvang van die waardes in die datastel.

'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris die data wat hulle insamel:

Bereken die omvang van die waardes in die datastel.788

3.

4.

5.

6.Drie stelle data word gegee:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Vir elke stel data vind:

Vind die omvang van die datastel:

Wat is die kwartiele van hierdie datastel?

'n Klas van leerders skryf 'n toets en die resultaat is as volg:

Vind die omvang, kwartiele en die interkwartielomvang.

die omvang

die eerste kwartiel

die mediaan

die boonste kwartiel

die interkwartielwydte

die semiinterkwartielomvang

789

10.4 Vyfgetal opsomming'n Populêre manier om die totale datastel op te som, is met die vyfgetal opsomming endie mondensnordiagram. Hierdie twee voorstellings verteenwoordig presies dieselfdeinligting, numeries in die geval van die vyfgetal opsomming en grafies in die geval vandie mondensnordiagram.

Die vyfgetal opsomming bestaan uit die minimumwaarde, die maksimumwaarde endie drie kwartiele. 'n Ander manier om dit te sê is dat die vyfgetal opsomming bestaanuit die volgende persentiele : , , , , .

Die mondensnordiagram toon hierdie vyf persentiele soos in die figuur hieronder. Dieboks (“mond”) toon die interkwartielomvang (die afstand tussen en ). 'n Lyn indie boks toon die mediaan. Die lyne wat weerskante uit die boks (“mond”) loop (diesnorre) toon waar die maksimum en minimumwaardes lê. Hierdie grafiek kan ookhorisontaal geteken word.

790

UITGEWERKTE VOORBEELD 14: VYFGETAL OPSOMMING.

VRAAG

Trek 'n mondensnordiagram vir die volgende datastel.

OPLOSSING

Stap 1: Bepaal die minimum en die maksimum

Aangesien die datastel alreeds georden is, kan ons die minimum aflees asdie eerste waarde ( ) en die maksimum as die laaste waarde ( ).

Stap 2: Bepaal die kwartiele

Daar is waardes in die datastel. Met gebruik van die persentielformule,bepaal ons dat die mediaan tussen die sesde en sewende waardes lê, watdie volgende gee:

Die eerste kwartiel lê tussen die derde en vierde waardes, wat dievolgende gee:

Die derde kwartiel lê tussen die negende en tiende waardes:

Dit gee die vyfgetal opsomming van die datastel en laat ons toe om dievolgende mondensnordiagram te teken.

791

1.

2.

OEFENING 10.4.1



Laai af

Lisa werk in 'n rekenaarwinkel. Sy verkoop die volgende aantal rekenaarselke maand:

Gee die vyfgetal opsomming en die mondensnordiagram van Lisa severkope.

Zithulele werk as 'n televerkoper. Hy hou 'n rekord van sy verkope elkemaand. Die data hieronder toon hoeveel hy elke maand verkoop.

792

https://youtu.be/-lWVI5sIrDI?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/c18hiipp216a7t1/Graad_10_Hfst_10.4_VB_14.mp4?dl=0

3.

a)

b)

4.Bepaal die vyfgetal opsomming vir elke mondensnordiagramhieronder.

Gee die vyfgetal opsomming en die mondensnordiagram van Zithulele severkope.

Nombusa het as 'n bloemis gewerk vir nege maande. Sy verkoop dievolgende aantal trouruikers:

Gee die vyfgetal opsomming vir Nombusa se verkope.


Kyk nou: Hoofstuk 10.4 Mond en snor

Laai af

793


https://www.dropbox.com/s/b4e66zha8bmix9q/Graad_10_Mond_en_snor.ggb?dl=0

Hoofstuk opsommingData verwys na die stukkies inligting wat waargeneem en aangeteken word naaanleiding van 'n eksperiment of 'n opname.

Kwantitatiewe data is data wat geskryf kan word as getalle. Kwantitatiewe datakan diskreet of kontinu wees.

Kwalitatiewe data is data wat nie as getalle geskryf kan word nie. Daar is tweealgemene tipes kwalitatiewe data: kategoriale en anekdotiese data.

Die gemiddelde is die som van 'n stel waardes verdeel deur die aantal waardesin die stel.

Die mediaan van die datastel is die waarde in die sentrale posisie wanneer diedatastel georden is van die laagste tot die hoogste waarde. As daar 'n oneweaantal datawaardes is, sal die mediaan gelyk wees aan een van die waardes indie datastel. As daar 'n ewe aantal datawaardes is, sal die mediaan halfpadtussen twee waardes in die datastel lê.

Die modus van 'n datastel is die waarde wat die meeste kere voorkom in diestel.

'n Uitskieter is 'n waarde in die datastel wat nie tipies is van die res van die stelnie. Dit is gewoonlik 'n waarde wat baie groter of baie kleiner is as al die anderwaardes in die datastel.

Kontinue kwantitatiewe data kan gegroepeer word deur die volle omvang vandie datawaardes te groepeer in 'n paar subintervalle. Deur elk van die kontinuewaardes toe te ken aan 'n subinterval of 'n klas waarbinne dit val, verander die

794

datastel van kontinu na diskreet.

Verspreiding is die algemene term vir verskillende statistiese tegnieke watbeskryf hoe die waardes versprei is rondom die middel.

Die omvang van 'n datastel is die verskil tussen die maksimum enminimumwaardes in die stel.

Die persentiel is die waarde, , wat die data verdeel in twee dele, sodat

van die waardes in die datastel minder is as en van die

waardes groter is as . Die algemene formule om die persentiel te vind in'n geordende datastel van waardes is

Die kwartiele is die drie datawaardes wat die geordende datastel verdeel in viergroepe, waar elke groep 'n gelyke aantal datawaardes bevat. Die eerste kwartielword genoteer as , die mediaan is en die boonstel kwartiel is .

Die interkwartielomvang is die maatstaf van verspreiding wat bereken word deurdie laer (eerste) kwartiel af te trek van die boonste (derde) kwartiel. Dit gee dieomvang van die middelste helfte van die datastel.

Die semiinterkwartielomvang is die helfte van die interkwartielomvang.

Die vyfgetal opsomming bestaan uit die minimumwaarde, die maksimumwaardeen die drie kwartiele ( , en ).

Die mondensnordiagram is 'n grafiese voorstelling van die vyfgetalopsomming.

795

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


Die volgende datastel van lengtes is ingesamel van 'n klas van leerders.


Die volgende datastel van toebroodjiesmere is ingesamel van leerders bymiddagete.


Bereken die modus van die volgende datastel:

Bereken die mediaan van die volgende datastel:

In 'n park het die hoogste bome hoogtes (in meter) van:

Vind die mediaan van hulle hoogtes.

Die leerders in Ndeme se klas het die volgende ouderdomme:

Vind die modus van hulle ouderdomme.

'n Groep van 7 vriende het elkeen 'n paar lekkers. Hulle werk uit dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle het, 6 is. Dan gee 4 vriende pad met 'nonbekende aantal ( ) lekkers. Die oorblywende 3 vriende werk uit dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle oor het, is.

796

8.

9.

10.

11.

Toe die 4 vriende padgegee het, hoeveel lekkers het hulle met hullesaamgeneem?

'n Groep van 10 vriende het elkeen 'n paar lekkers. Hulle bereken dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle het, 3 is. Dan vertrek 5 vriende met 'nonbekende aantal ( ) lekkers. Die oorblywende 5 vriende werk uit dat diegemiddelde aantal lekkers wat hulle oor het, 3 is.Toe die 5 vriende vertrek het, hoeveel lekkers het hulle met hullesaamgeneem?

Vyf datawaardes word as volg voorgestel: ,met 'n gemiddelde van . Los op vir .

Vyf datawaardes word as volg voorgestel: . Vind diegemiddelde terme van .

'n Groep van leerders tel die aantal albasters wat hulle elkeen het. Hierdiehistogram beskryf die data wat hulle ingesamel het:

797

12.

13.

Tel die aantal albasters in die volgende interval:

'n Groep van leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Hieris die data wat hulle insamel:

Tel die aantal leerders wat van tot kaarte het. Met ander woorde,hoeveel leerders het speelkaarte in die volgende interval:

? Dit mag handig wees om 'n histogram teteken om die vraag te beantwoord.

'n Groep van leerders tel die muntstukke wat hulle elkeen het. Hier is diedata wat hulle ingesamel het:

798

14.

Tel die aantal leerders wat van tot muntstukke het. Met ander woorde,hoeveel leerders het munte in die volgende interval:

? Dit mag help om 'n histogram te teken omhierdie vraag te beantwoord.

'n Groep van 20 leerders tel die aantal speelkaarte wat hulle elkeen het. Dieleerders teken 'n histogram wat die data voorstel wat hulle ingesamel het.Maar, hulle het 'n fout gemaak met die teken van die histogram.

799

15.

Die datastel hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal speelkaarte watdie leerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal speelkaarte vir eenleerder.


'n Groep van 10 leerders tel die aantal lekkers wat elkeen het. Hulle teken 'nhistogram wat die data voorstel. Hulle maak egter 'n fout in die teken van diehistogram.

Die datastel hieronder toon die korrekte inligting vir die aantal lekkers wat dieleerders het. Elke waarde verteenwoordig die aantal lekkers vir een leerder.

800

16.


'n Groep leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier is 'nhistogram wat die data beskryf wat hulle ingesamel het:

'n Skoonmaker stamp per ongeluk hulle tafel om en al hulle notas land in 'ndeurmekaarspul op die vloer!Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle pas by diehistogram:Datastel A

Datastel B

Datastel C

801

17.'n Groep leerders tel die albasters wat hulle het. Hier is 'n histogram wat diedata beskryf.

'n Kat spring per ongeluk op die tafel en al hulle notas land deurmekaar op dievloer.Help hulle om uit te vind watter van die volgende datastelle pas by diehistogram:Datastel A

Datastel B

802

18.

19.

Datastel C

'n Groep van leerders tel die hoeveelheid albasters wat hulle elkeen het.Hier is die data wat hulle insamel.

Bereken die omvang van die waardes in die datastel

'n Groep van leerders tel die aantal lekkers wat hulle elkeen het. Hier isdie data wat hulle ingesamel het:

Bereken die omvang van die waardes in die datastel

803

20.'n Ingenieursfirma het twee verskillende tipes enjins vir motorfietseontwerp. Die twee verskillende motorfietse word getoets vir die tyd (insekondes) wat dit neem om te versnel van tot

.

Toets 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Motorfiets1

Motorfiets2

a)

b)

c)

Watter maatstaf van sentrale neiging behoort mens te gebruik virhierdie inligting?

Bereken die maatstaf van sentrale neiging wat jy gekies het in dievorige vraag, vir elke motorfiets.

Watter motorfiets sal jy kies, gebaseer op hierdie inligting? Let op dieakkuraatheid van die getalle van elke stel toetse.

804

21.In 'n verkeersopname word 'n willekeurige monster van motoristegevra watter afstand hulle elke dag werk toe ry. Hierdie inligting wordgetoon in die tabel hieronder.

Afstand ( ) Telling

a)

b)

c)

22.'n Maatskappy wil die opleidingsprogram in sy fabriek evalueer. Hullegee dieselfde taak aan opgeleide en onopgeleide werknemers enneem elkeen se tyd in sekondes.

Vind die benaderde gemiddelde van die data.

Watter persentasie motoriste het 'n afstand van

a. minder as of gelyk aan ?

b. meer as ?

c. tussen en ?

Teken 'n histogram om die data voor te stel.

805

Opgeleide

Onopgeleide

a)

b)

c)

d)

23.'n Klein firma neem mense in diens. Die jaarlikse salarisse van diewerknemers is:

a)

b)

c)

Vind die mediane en die kwartiele vir beide stelle data.

Vind die interkwartielomvang vir beide stelle data.

Lewer kommentaar op die resultate.

Trek 'n mondensnordiagram vir elke datastel om die vyfgetalopsomming te illustreer.

Vind die gemiddelde van hierdie salarisse.

Vind die modus.

Vind die mediaan.806

d)

24.Die stingelenblaardiagram hieronder dui die polsslag per minuutvan tien Graad 10 leerders aan.

a)

b)

Sleutel: .

a)

b)

c)

25.

Die volgende is 'n lys van data: In elke afsonderlike geval, bepaal die waarde van as die:

Watter een van hierdie drie syfers sal jy gebruik vir onderhandelingsvir salarisverhogings as jy 'n vakbond beampte was? Hoekom?

Bepaal die gemiddelde en die omvang van die data.

Gee die vyfgetal opsomming en teken 'n mondensnordiagram virdie data.

omvang =

modus =

mediaan =

807

d)

e)

26.

a)

b)

27.Gegee (wat verteenwoordig die goue verhouding) tot 20 desimaleplekke:

gemiddelde =

mondensnordiagram

Skryf een lys van getalle neer wat die mondensnordiagram hieronderbevredig:

Vir die eerste 20 desimale plekke vir , bepaal die:

a. mediaan

b. modus

c. gemiddelde

As die gemiddeld van die eerste 21 desimale syfers van , is, bepaal die desimale syfer.

808

c)

a)

b)

c)

28.Daar werk 14 mans by 'n fabriek. Hulle ouderdomme is:

29.Die voorbeeld toon 'n vergelyking tussen die hoeveelheid vuiligheidwat verwyder word deur vier verskillende soorte skoonmaakmiddels(tipes tot ).

Hieronder is 'n mondensnordiagram van die desimale syfers. Skryf een lys van getalle neer wat hierdie mond-en-snordiagram bevredig.

Skryf die vyfgetal opsomming neer.

As 3 mans afgedank moet word, maar die mediaan moet dieselfdebly, toon die ouderdomme van die mans wat jy sou afdank.

Vind die gemiddelde ouderdom van die mans in die fabriek deur dieoorspronklike data te gebruik.

809

a)

b)

c)

d)

Watter tipes het die grootste omvang en wat is hierdie omvang?

Wat verteenwoordig die getal vir tipe ?

Gee die interkwartielwydte vir tipe .

Watter soort skoonmaakmiddel sou jy koop? Verduidelik jouantwoord.

810

HOOFSTUK 11: TRIGONOMETRIE

InleidingTrigonometrie is in antieke beskawings ontwikkel om praktiese probleme, soosboukonstruksies en navigering deur die sterre, op te los. Ons gaan wys dattrigonometrie ook gebruik kan word om sekere praktiese probleme op te los. Ons kandie trigonometriese verhoudings gebruik vir die oplos van tweedimensioneleprobleme wat reghoekige driehoeke insluit.

Vir hersiening kan ons die drie trigonometriese verhoudings as volg definieer virreghoekige driehoeke:

Ons sal hierdie drie verhoudings en die stelling van Pythagoras gebruik om ons tehelp om tweedimensionele probleme op te los.

811

11.1 Tweedimensionele problemeIn tweedimensionele probleme sal ons dikwels verwys na die hoogtehoek en diedieptehoek. Om hierdie twee hoeke te verstaan, kan ons dink aan 'n persoon watverbyseil teen die voet van 'n krans langs. Die persoon kyk op en sien die bopunt vandie kranse soos hieronder getoon:

In hierdie diagram is die hoogtehoek.

DEFINISIE

HoogtehoekDie hoogtehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp bokant die horisontale vlak.

In ons diagram is die lyn van sig vanaf die skip na die top van die krans. Diehorisontale vlak is vanaf die skip na die voet van die krans. Let ook daarop dat ons diekrans kan beskou as 'n reguit vertikale lyn en dus het ons 'n reghoekige driehoek.

Om die dieptehoek te verstaan, beskou ons dieselfde situasie as vantevore maar onswaarnemer staan nou op die bopunt van die krans en kyk af na die skip.

812

In hierdie diagram is die dieptehoek.

DEFINISIE

DieptehoekDie dieptehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp onder die horisontale vlak.

In ons diagram is die lyn van sig vanaf die bopunt van die krans na die skip. Diehorisontale vlak is van die top van die krans deur . Let op dat hierdie vlak ewewydigis aan die lyn tussen die voet van die krans en die skip. lê direk bokant die skip.Ons kan 'n vertikale lyn konstrueer, loodreg op die lyn na die horisontale vlak by diepunt .

Uiteindelik kan ons die hoogtehoek en die dieptehoek vergelyk. In die volgendediagram is die lyn van die voet van die krans na die skip ewewydig aan die lyn van diebopunt van die krans na . Die hoogtehoek en die dieptehoek is aangedui. Let opdat .

813

'n Hoekmeter, in Engels "inclinometer". 'n Hoekmeter kan gebruik word om hoogtehoeke te meet

en kan gebruik word om die hoogte van 'n voorwerp te bepaal.

LET WEL

In trigonometrie is die hoogtehoek net so groot as die dieptehoek.

814

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: VLIEG 'N VLIEËR

VRAAG

Mandla vlieg 'n vlieër aan 'n tou teen 'n hoogtehoek van °.

1. Wat is die hoogte, , van die vlieër bokant die grond?

2. As Mandla se vriend, Sipho, direk onder die vlieër staan, bereken dieafstand, , tussen die twee vriende.

OPLOSSING

Stap 1: Maak 'n skets en identifiseer die teenoorstaande en

aangrensende sye en die skuinssy.

815

Stap 2: Gebruik gegewe inligting en toepaslike verhoudings om vir

en op te los

1.

2.

Let daarop dat die derde sy van die driehoek ook bereken kan word met

die gebruik van die stelling van Pythagoras: .

Stap 3: Skryf die finale antwoorde

1. Die vlieër is bokant die grond.

2. Mandla en Sipho is van mekaar af.

816



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: BEREKEN HOEKE

VRAAG

is 'n trapesium met , , en . Punt op hoeklyn verdeel die hoeklyn op so 'n

manier dat . . Vind .

OPLOSSING

Stap 1: Teken die trapesium en dui alle gegewe lengtes op die

diagram aan. Toon aan dat

Gebruik en om die twee hoeke by te vind. Ons

817

https://youtu.be/3UxQM-AJaoE?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/y4udt38a55cyyl7/Graad_10_Hfst_11.1_VB_1.mp4?dl=0

kan dan tel hierdie twee hoeke op om te vind.

Stap 2: Bereken die eerste hoek,

Die skuinssy en teenoorstaande sy word gegee vir beide driehoeke, dusgebruik ons die verhouding.

In :

Stap 3: Gebruik die stelling van Pythagoras om te bepaal

In :

Stap 4: Vind die tweede hoek

In :

818

Stap 5: Bereken die som van die hoeke

'n Ander toepassing is om trigonometrie te gebruik om die hoogte van 'n gebou tevind. Ons kan 'n maatband laat afhang van die dak, maar dit is onprakties (engevaarlik) vir hoë geboue. Dit is baie meer sinvol om trigonometrie te gebruik.

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: VIND DIE HOOGTE VAN 'NGEBOU

VRAAG

819

Die gegewe diagram toon 'n gebou van onbekende hoogte . Ons begin bypunt en stap weg van die gebou na punt . Vervolgens meet onsdie hoogtehoek van die grond na die top van die gebou, , en vind die hoek is

. Bereken die hoogte van die gebou, korrek tot die naaste meter.

OPLOSSING

Stap 1: Identifiseer die teenoorstaande en aangrensende sye en

skuinssy

Ons het 'n reghoekige driehoek en weet wat is die lengte van een sy endie grootte van een hoek. Ons kan gevolglik die hoogte van die geboubereken.

Stap 2:

In :



Die hoogte van die gebou is .

820

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: HOOGTEHOEKE ENDIEPTEHOEKE

VRAAG

'n Woonstelblok is weg van 'n selfoontoring. Iemand staan by .Hulle meet dat die hoek van na die bopunt van die toring ( ), (diehoogtehoek) is. Hulle meet dan dat die hoek na die voet van dietoring ( ) (die dieptehoek), is.

Hoe hoog is die selfoontoring (korrek tot die naaste meter)?

Let op: die diagram is nie op skaal geteken nie

OPLOSSING

Stap 1: Om die hoogte te bepaal, bereken eers lengtes en

en is beide reghoekige driehoeke. In elk van die

821

driehoeke is die lengte bekend. Dus kan ons die sye van diedriehoeke bereken.

Stap 2: Bereken

Die lengte is gegee. is reghoek, dus .

In :

Stap 3: Bereken

In :

Stap 4: Tel die twee hoogtes bymekaar om die finale antwoord te kry

Die hoogte van die toring is: .

822



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: BOUPLAN

VRAAG

Mnr Nkosi het 'n garage by sy huis en hy besluit om 'n sinkdak aan te las aandie sykant van die garage. Die garage is hoog en sy sinkplaat vir die dakis lank. As die hoek van die dak ° is, hoe hoog moet hy muur bou? Gee die korrekte antwoord tot desimale plek.

OPLOSSING

Stap 1: Identifiseer teenoorstaande en aangrensende sye en

skuinssy

is reghoekig. Die skuinssy en 'n hoek is bekend en dus kan ons bereken. Die hoogte van muur is dan die hoogte van die

garage minus .

823

https://youtu.be/3c64LzW6HOU?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/3524odbowjv3fnf/Graad_10_Hfst_11.1_VB_4.mp4?dl=0

1.

OEFENING 11.1.1


Mnr Nkosi moet sy muur hoog bou.

'n Persoon staan by punt , en kyk op na 'n voëltjie wat boop 'n gebou, bypunt , sit.Die hoogte van die gebou is meter, die lengte van die lyn van sig vanafpunt na die bopunt van die gebou (punt ) is meter, en diehoogtehoek na die bopunt van die gebou is .Bereken die hoogte van die gebou ( ) soos getoon in die diagram hieronder:

824

2.'n Persoon staan by punt , en kyk op na 'n voëltjie wat op die bopunt van 'npaal sit (punt ).

Die hoogte van die paal is meter, punt A is meter weg van die voetvan die paal en die hoogtehoek na die bopunt van die paal is .Bereken die hoogte van die paal ( ), tot die naaste meter.

825

3.

4.

5.

6.

'n Seun wat 'n vlieër vlieg, staan vanaf 'n punt direk onder die vlieër.As die vlieër se tou lank is, vind die hoogtehoek van die vlieër.

Wat is die hoogtehoek van die son wanneer 'n boom, wat hoog is, 'nskaduwee van lank gooi?

Susan kyk op na die top van 'n vuurtoring van 'n afstand van . Diehoogtehoek is °. Bepaal die hoogte van die vuurtoring tot die naaste meter.

'n Leer wat lank is, rus teen 'n muur en maak 'n hoek van ° met diemuur. Vind die afstand tussen die muur en die voet van die leer tot die naastemeter.

826

Hoofstuk opsommingOns kan die drie trigonometriese verhoudings vir reghoekige driehoekedefinieer: sinus ( ), cosinus ( ) en tangens ( ).

Trigonometrie word gebruik in die oplossing van tweedimensionele problemewat reghoekige driehoeke insluit, soos byvoorbeeld die bepaling van die hoogtevan 'n gebou.

Die hoogtehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp bokant die horisontale vlak.

Die dieptehoek is die hoek wat gevorm word deur die lyn van sig en diehorisontale vlak vir 'n voorwerp onder die horisontale vlak.

827

1.

a)

b)

2.Kaptein Jack seil in die rigting van 'n krans met 'n hoogte van .

3.


'n Leer van rus teen 'n muur en die voet van die leer is van diemuur af. Vind die hoek tussen die muur en die leer.

Die afstand vanaf die boot na die voet van die krans is .Bereken die hoogtehoek vanaf die boot na die bopunt van die krans(korrek tot die naaste graad).

As die boot nader aan die krans seil, wat is die nuwehoogtehoek vanaf die boot na die bopunt van die krans?

Jim staan by punt by die voet van 'n telefoonpaal en kyk op na 'n voëltjiewat op die bopunt van 'n ander telefoonpaal sit (punt ).Die hoogte van elk van die telefoonpale is meter, en die hoogtehoek na dietop van die telefoonpaal is .Bereken die afstand tussen die telefoonpale ( ) soos getoon in die diagramhieronder:

828

4.

5.

Alfred staan by punt en kyk op na 'n vlag aan 'n paal (punt ).

Punt is meter weg van die voet van die vlagpaal, die afstand van dielyn van sig vanaf punt na die bopunt van die vlagpaal (punt ) is meter, en die hoogtehoek na die bopunt van die vlagpaal is .Bereken die hoogtehoek na die bopunt van die vlagpaal ( ) soos getoon indie diagram hieronder:

'n Rugbyspeler probeer 'n bal oor die dwarsbalk en tussen die pale deurskop.Die dwarsbalk is hoog. Die bal word reg voor die pale, vanafdie pale gestel. Wat is die minimumhoek waarteen hy die bal moet lig om ditoor die dwarsbalk te skop?

829

6.

a)

b)

7.'n Leer is meter lank. Dit leun teen die muur van 'n huis en kom totby 'n hoogte van meter teen die muur op.

a)

b)

8.Nandi staan op plat grond meter weg van 'n hoë toring. Van haarposisie is die hoogtehoek na die bopunt van die toring °.

Die roltrap by 'n inkopiesentrum is gebou teen 'n hoek van 30° en is lank

Deur watter vertikale hoogte sal 'n persoon opwaarts gelig word met dieroltrap?

Teken 'n skets van die situasie.

Bereken die hoek wat die leer maak met die plat (gelyk) grond.


Wat is die hoogte van die toring?

830

9.

10.

11.

Die bopunt van 'n paal is geanker met 'n kabel wat 'n hoek van grade maak met die horisontaal. Hoe hoog is die paal?

'n Skip se navigator kyk na 'n vuurtoring op 'n krans. Volgens dienavigasiekaarte is die bopunt van die vuurtoring 35 meter bokant seevlak. Symeet dat die hoogtehoek na die bopunt van die vuurtoring ° is.Skepe word aangeraai om ten minste van die kus af te bly. Is hierdieskip veilig?

Bepaal die omtrek van die reghoek :

831

12.

13.

'n Ruit se hoeklyne is en lank. Bereken die groottes van diebinnehoeke.

'n Ruit het sylengtes van . Die skerp binnehoeke is elk 70°. Bereken dielengtes van beide die hoeklyne.

832

14.

a)

b)

15.Een van die hoeke van 'n ruit met omtrek is °.

'n Parallelogram het sye van en onderskeidelik, en 'n hoek van58° tussen hulle. Bereken die loodregte afstand tussen die twee langer sye.

Vind die lengte van sye van die ruit.

Vind die lengtes van beide hoeklyne.

833

a)

b)

16.Regop stokke en die skaduwees wat hulle gooi, kan gebruik word omdie benaderde hoogte van die son in die lug (die hoek wat die sonmaak met die horisontaal) en die hoogte van voorwerpe te bepaal.

a)

b)

17.Die hoogtehoek van 'n warmlugballon, wat vertikaal klim, verandervan 25 grade teen 11:00 vm tot 60 grade teen 11:02 vm. Diewaarnemingspunt waarvandaan die hoogtehoek gemeet word, is 300meter van die punt waar die lugballon begin opstyg het.

18.

19.

Die diagram hieronder toon vierhoek , met , , en hoek , en hoeke

'n Regop stok, 1 meter hoog, gooi 'n skaduwee van meter. Watis die hoogtehoek van die son?

Die skaduwee van 'n gebou is 47 meter lank, op dieselfde tydstip.Hoe hoog is die gebou?


Bereken die toename in hoogte tussen 11:00 en 11:02 vm.

Wanneer die toppunt van 'n berg, , beskou word vanaf punt , van die grond af, is die dieptehoek ( ) 15°. Wanneer dit beskou word vanaf

op die grond, is die hoogtehoek ( ) 10°. As punte en in dieselfdevertikale vlak lê, vind , die hoogte van die berg. Rond jou antwoord af toteen desimale plek.

834

en is regte hoeke.

a)

b)

20.

Vind , korrek tot 2 desimale plekke.

Vind die grootte van hoek , korrek tot een desimale plek.

Vanaf ( ), 'n boot op die see, is die hoogtehoek na die bopunt van 'nvuurtoring op 'n rots, , 27°.Die vuurtoring is hoog en die rotspunt is bokant seevlak.Hoe ver is die boot vanaf die basis van die rots, tot die naaste meter?

835

HOOFSTUK 12: EUKLIDIESEMEETKUNDE

InleidingMeetkunde het ontstaan as die kennisveld wat ruimtelike verwantskappe hanteer.Meetkunde kan verdeel word in Euklidiese meetkunde en analitiese meetkunde.Analitiese meetkunde hanteer ruimte en vorm vanuit die hoekpunt van algebra en 'nkoördinaatsisteem. Euklidiese meetkunde hanteer ruimte en vorm deur 'n sisteem vanlogiese afleidings.

836

12.1 Bewyse en vermoedensOns sal nou toepas wat ons geleer het oor meetkunde en die eienskappe vanveelhoeke (spesifiek in driehoeke en vierhoeke) om sommige van hierdie eienskappete bewys. Ons sal ook kyk hoe ons kan bewys dat 'n spesifieke vierhoek een van diespesiale vierhoeke is.

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: BEWYS DAT 'N VIERHOEK 'NPARALLELOGRAM IS

VRAAG

In parallelogram is die halveerlyne van die hoeke ( , , en ) gekonstrueer. Dit word ook gegee: ,

, , , , . Bewys dat 'n parallelogram is.

837

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik die eienskappe van die parallelogram om

alle gelyke sye en hoeke op die diagram in te vul

Stap 2: Bewys dat

In en ,

In en 838

a)

1.In die diagram hieronder, halveer en mekaar by . isdie middelpunt van , en is die middelpunt van .

OEFENING 12.1.1

Stap 3: Soortgelyk kan ons aantoon dat

Bewys eers . Bewys dan .

Stap 4: Gevolgtrekking

Beide pare teenoorstaande hoeke van is gelyk. Dus is 'n parallelogram.

Bewys is 'n parallelogram.

839

b)

2.

3.

Bewys is 'n parallelogram.

Parallelogram en word hieronder getoon. Bewys .

is 'n parallelogram. . Bewys .

840

4.

5.

Bestudeer die vierhoek met teenoorstaande hoeke

en hoeke noukeurig. Vul dieontbrekende redes en stappe in om te bewys dat vierhoek 'nparallelogram is.


en hoeke noukeurig. Vul die ontbrekenderedes en stappe in om te bewys dat vierhoek 'n parallelogram is.

841

6a)

b)

Vierhoek met sye en word gegee.

Dit word ook gegee dat: en ; en

. Bewys is 'n parallelogram.


842

c)

7a)

b)

c)

8.


Vierhoek met sye en is

gegee. Dit is ook gegee dat en ;

en . Bewys is 'nparallelogram.



In parallelogram , is die halveerlyne van die hoeke gekonstrueer en dit is aangedui met die rooi lyne hieronder. Dit word ook

gegee: , , , ,

en .Bewys vierhoek is 'n parallelogram.Let op dat die diagram op skaal geteken is.

843

9.Bestudeer die diagram hieronder; dit is nie noodwendig op skaal geteken nie.

Twee driehoeke in die figuur is kongruent: . Verder is . Jy moet bewys dat 'n parallelogram is.

844

10.Bestudeer die diagram hieronder; dit is nie noodwendig op skaal geteken nie.Vierhoek is 'n parallelogram en en het lengtes en

onderskeidelik, soos getoon. Jy moet bewys dat .

845

Hoofstuk opsomming'n Vierhoek is 'n geslote vorm wat bestaan uit vier reguitlyn segmente.

'n Parallelogram is 'n vierhoek met beide pare teenoorstaande sye ewewydig.




'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke gelyk aan



Die hoeklyne halveer mekaar.



'n Ruit is 'n parallelogram met vier sye wat almal ewe lank is.


Al die sye is ewe lank.


Die hoeklyne halveer mekaar loodreg ( )

Die hoeklyne van 'n ruit halveer beide pare teenoorstaande hoeke.

'n Vierkant is 'n ruit met al vier binnehoeke gelyk aan


847

Die hoeklyne halveer mekaar loodreg ( )



Die hoeklyne halveer beide pare teenoorstaande binnehoeke (d.w.s. almalis )


'n Vlieër is 'n vierhoek met twee paar aangrensende sye gelyk.

Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk (die hoeke is tussen ongelykesye).

Die hoeklyn tussen die gelyke sye halveer die ander hoeklyn.

Die hoeklyn tussen die gelyke sye halveer die binnehoeke.

Die hoeklyne sny mekaar loodreg ( )

Die middelpuntstelling: Die lyn wat die middelpunte van twee sye van 'ndriehoek verbind is ewewydig aan die derde sy en gelyk aan die helfte van dielengte van die derde sy.

848

1.

2. is 'n parallelogram met hoeklyn . Gegewe dat

, toon dat:

a)

b)

c)


is 'n ruit met en . Bewys is ook 'n ruit.

is 'n parallelogram

849

3.

Gegewe parallelogram met wat halveer en

wat halveer.

a)

b)

4.

Gegewe dat , en ,bewys dat:

a)

b)

5.

is 'n punt op , in . is die middelpunt van .

Skryf alle binnehoeke in terme van .


halveer

850

is die middelpunt van en is die middelpunt van .

.

a)

b)

6.

In , , is die middelpunt van en isdie middelpunt van .

a)


Bewys dat .

Bewys is die middelpunt van .

851

b)

c)

7a)

b)

c)

As en die oppervlakte van is ,

bereken die oppervlakte van .

Bewys dat die oppervlakte van altyd viermaal die

oppervlakte van sal wees; laat en

.

Gegee vierhoek met sye en . Ook

gegee: en ; en .

Voltooi die bewys hieronder om te bewys dat 'nparallelogram is.



852

8.

9.


en hoeke noukeurig. Vul die korrekteredes of stappe in om te bewys vierhoek is 'n parallelogram.

Bestudeer die vierhoek met en noukeurig. Vul die korrekte redes of die stappe in om te bewys vierhoek

is 'n parallelogram.

853

10.

In parallelogram is die halveerlyne van die hoeke gekonstrueer endit word aangedui met die rooi lyne hieronder. Jy word ook ,

, , , en gegee.Bewys vierhoek is 'n parallelogram.Let op dat die diagram op skaal geteken is.

854

11.

12.Gegee die volgende diagram:

a)

b)

c)

Bestudeer die diagram hieronder; dit is nie noodwendig op skaal geteken nie.

Twee driehoeke in die figuur is kongruent: . Verder is . Jy moet bewys dat 'n parallelogram is.

Toon dat 'n parallelogram is.

Toon dat 'n parallelogram is.

Bewys dat .855

13.

14.

is 'n parallelogram. is 'n parallelogram. is 'nreguitlyn. Bewys dat .

In die figuur hieronder , . is 'nparallelogram. Bewys is 'n reguitlyn.

856

HOOFSTUK 13: METING

InleidingOm te weet hoe om die buiteoppervlakte en volume van 'n voorwerp te bereken, kannuttig wees in baie kontekste, veral om uit te vind hoeveel 'n taak gaan kos en hoeveelmateriaal benodig word om 'n voorwerp te vervaardig. Sommige voorbeelde hiervan isdie berekening van die buiteoppervlakte van 'n houer, om ons te help om die kostevan die materiaal uit te werk, of die berekening van die volume van 'n dam sodat onsweet hoeveel die water die dam kan hou.

Hierdie hoofstuk ondersoek die buiteoppervlakte en volumes van driedimensionelevoorwerpe, ook bekend as vaste liggame. Ten einde met hierdie voorwerpe kan werk,moet jy weet hoe om die buiteoppervlakte en omtrek van tweedimensionelevoorwerpe te bereken.

'n Tennisbaan. Die posisie van elk van die lyne is noukeurig bereken om seker te maak dat die

areas of oppervlaktes van die reghoeke dieselfde is enige plek in die wêreld.

858

13.1 Area van 'n veelhoek

DEFINISIE

Area

Area (oppervlakte) is die tweedimensionale ruimte binne die grense van 'nplat voorwerp. Dit word gemeet in vierkante eenhede.

HET JY GEWEET?

Akkers en hektare is twee algemene eenhede wat gebruik word vir dieoppervlakte van oppervlakte van grond. Een hektaar is ongeveer vierkantekilometer en een akker is omtrent vierkante kilometer.

Naam Vorm Formule

Vierkant

Reghoek

Driehoek

859

Trapesium

Parallelogram

Sirkel

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: VIND DIE AREA VAN 'NVEELHOEK

VRAAG

Vind die area van die volgende parallelogram:

OPLOSSING

Stap 1: Vind die hoogte

860

a)

1.Vind die area van elk van die veelhoeke hieronder:

OEFENING 13.1.1

Stap 2: Vind die area met die gebruik van die formule vir 'n

parallelogram



Laai af

861

https://youtu.be/90_cWdOPDiY?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/kruiiegzdzna4yf/Graad_10_Hfst_13.1_VB_1.mp4?dl=0

b)

c)

d)

e)

862

f)

g)

h)

2a)Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die sirkel het 'n radius van . Skryf jou antwoord in

uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).

863

b)

3a)

Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die hoogte van die figuur is , en twee sye word benoem as

en . Skryf jou antwoord in uitgebreide vorm (niegefaktoriseer nie).

Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die sirkel het 'n radius van . Skryf jou antwoord in

uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).

864

b)Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van en . Die hoogte van die figuur is , en twee sye word benoem as

en . Skryf jou antwoord in uitgebreide vorm (niegefaktoriseer nie).

865

13.2 Regte prismas en silinders

DEFINISIE

Regte prisma

'n Regte prisma is 'n geometriese vaste liggaam met 'n veelhoek as basis envertikale syvlakke loodreg op die basis.

'n Driehoekige prisma het 'n driehoek as basis, 'n reghoekige prisma het 'n reghoek asbasis, en 'n kubus is 'n reghoekige prisma met al sy sye ewe lank. 'n Silinder het 'nsirkel as basis. Voorbeelde van regte prismas en 'n silinder word hieronder gegee: 'nreghoekige prisma, 'n kubus en 'n driehoekige prisma.

866

Buiteoppervlakte van prismas en silinders

DEFINISIE

Buite-oppervlakte

Buiteoppervlakte is die totale area van die blootgestelde of buiteoppervlakke van 'n prisma.

867

Dit is makliker om te verstaan as ons ons verbeel die prisma is van karton gemaak watoopgevou kan word. 'n Soliede voorwerp wat op hierdie manier ontvou word, word 'nnet genoem. Wanneer 'n prisma ontvou in 'n net, kan ons duidelik elkeen van syvlakke sien. Ten einde die buiteoppervlakte van 'n prisma te bereken, kan ons daneenvoudig die area van elke vlak bereken en hulle almal bymekaartel.

Byvoorbeeld, wanneer 'n driehoekige prisma ontvou in 'n net, kan ons sien dat dit tweevlakke het wat driehoeke is en drie aansigte wat reghoeke is. Om die buiteoppervlakte van die prisma te bereken, vind ons die area van elke driehoek en elkereghoek, en tel hulle bymekaar.

In die geval van 'n silinder is die boonste en onderste vlakke sirkels en die gekromdevlak ontvou tot 'n reghoek met lengte gelyk aan die omtrek van die sirkelvormigebasis. Om die buiteoppervlakte te bereken, vind ons die area van die twee sirkels endie reghoek en tel hulle bymekaar.

Hieronder is voorbeelde van regte prismas en 'n silinder wat ontvou is in nette:

Reghoekige prisma

868

Reghoekige prisma

'n Reghoekige prisma, wat ontvou word in 'n net, bestaan uit ses reghoeke.

Kubus

869

Kubus

'n Kubus wat ontvou word in 'n net, bestaan uit ses identiese vierkante.

Driehoekige prisma

870

Driehoekige prisma

'n Driehoekige prisma, wat ontvou word in 'n net, bestaan uit twee driehoeke en driereghoeke. Die som van die lengtes van die reghoeke is gelyk aan die omtrek van diedriehoeke.

Silinder

871

Silinder

'n Silinder, wat ontvou word in 'n net, bestaan uit twee identiese sirkels en 'n reghoekmet 'n lengte gelyk aan die omtrek van die sirkels.

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N REGHOEKIGE PRISMA

VRAAG

Vind die buiteoppervlakte van die volgende reghoekige prisma:

872

OPLOSSING

Stap 1: Skets en benoem die net van die prisma

Stap 2: Vind die areas van die verskillende vorme in die net

873

Stap 3: Vind die som van die oppervlaktes van die vlakke


Die buiteoppervlakte van die reghoekige prisma is .



Laai af

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N DRIEHOEKIGE PRISMA

VRAAG

Vind die buite oppervlakte van die volgende driehoekige prisma:

874

https://youtu.be/HD-uzfMBqyQ?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/iol87mb9aa0isru/Graad_10_Hfst_13.2_VB_2.mp4?dl=0

OPLOSSING

Stap 1: Skets en benoem die net van die prisma

Stap 2: Vind die oppervlaktes van die verskillende vorme in die net

Om die oppervlakte van die reghoek te kry, moet ons sy lengte, wat gelykis aan die omtrek van die driehoeke, bereken.

Om die omtrek van die driehoek te vind, moet ons eers die lengte vind vansy sye met behulp van die stelling van Pythagoras:

875

Stap 3: Vind die som van die oppervlaktes van die vlakke


Die buiteoppervlakte van die driehoekige prisma is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N SILINDER

VRAAG

Vind die buiteoppervlakte van die volgende silinder (korrek tot 1 desimaleplek):

OPLOSSING

Stap 1: Skets en benoem die net van die silinder876

Stap 2: Vind die oppervlaktes van die verskillende vorme in die net


Die buiteoppervlakte van die silinder is .877

a)

b)

1.Bereken die buiteoppervlakte van die volgende prismas:

OEFENING 13.2.1

878

c)

d)

e)

879

f)

a)

b)

2.As 'n liter verf genoeg is vir 'n area van , hoeveel verf het 'nverwer nodig vir:

'n reghoekige swembad met afmetings (slegs die binnemure en vloer);

die binnemure en die vloer van 'n sirkelvormige tenk met middellyn en hoogte .

880

13.3 Volume van prismas en silinders

DEFINISIE

Volume

Volume is die drie dimensionele ruimte wat opgeneem word deur 'nvoorwerp of liggaam, of die inhoud van die voorwerp. Dit word gemeet inkubieke eenhede.

Die volume van regte prismas en silinders word eenvoudig bereken deur dievermenigvuldiging van die area van die basis met die hoogte van die liggaam.

Reghoekigeprisma

Driehoekigeprisma

Silinder

881

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VIND DIE VOLUME VAN 'NKUBUS

VRAAG

Vind die volume van die volgende kubus:

OPLOSSING

Stap 1: Vind die area van die basis

882

Stap 2: Vermenigvuldig die area van die basis met die hoogte van die

vaste liggaam en vind die volume


Die volume van die kubus is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VIND DIE VOLUME VAN 'NDRIEHOEKIGE PRISMA

VRAAG

Vind die volume van die driehoekige prisma:

883

OPLOSSING




884


Die volume van die driehoekige prisma is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: VIND DIE VOLUME VAN 'NSILINDER

VRAAG

Vind die volume van die volgende silinder (korrek tot 1 desimale plek):

OPLOSSING


885

1.

OEFENING 13.3.1

Bereken die volumes van die volgende prismas (korrek tot desimale plek):




Die volume van die silinder is .

886

2.

3.

4.Die figuur hieronder is 'n driehoekige prisma. Die hoogte van die prisma is

eenhede; die driehoeke, wat beide reghoekig is, het sye wat , en eenhede lank is. Bereken die volume van die figuur. Rond af tot tweedesimale plekke indien nodig.

887

5.

6.

Die figuur hieronder is 'n reghoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die ander afmetings van die prisma is en eenhede. Vind dievolume van die figuur.

Die prentjie hieronder toon 'n silinder. Die hoogte van die silinder is eenhede; die radius van die silinder is eenhede. Bepaal die volumevan die figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.

888

13.4 Regte piramides, regte keëls ensfere

DEFINISIE

Piramide

'n Piramide is 'n geometriese vaste liggaam wat 'n veelhoek as basis het ensyvlakke wat konvergeer na 'n punt, genoem die toppunt. Met ander woorde,die syvlakke is nie loodreg op die basis nie.

Die driehoekige piramide en vierkantige piramide kry hulle name van die vorm vanhulle basis. Ons noem 'n piramide 'n "regte piramide" as die lyn tussen die toppunt endie middel van die basis loodreg is op die basis. Keëls is soortelyk behalwe aanpiramides dat hulle sirkels as basisie het in plaas van veelhoeke. Sfere is vasteliggame wat perfek rond is en dieselfde lyk vanuit enige rigting.

LET WEL

Keëls word ook konusse of kegels genoem.

Voorbeelde van 'n vierkantige piramide, 'n driehoekige piramide, 'n keël en 'n sfeer:

890

Buiteoppervlakte van piramides, keëls en sfere891

Buiteoppervlakte van piramides, keëls en sfere

Vierkantigpiramide

Driehoekigepiramide

Regte keël

Sfeer

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N DRIEHOEKIGE PIRAMIDE

VRAAG

Vind die buiteoppervlakte van die volgende driehoekige piramide (korrek tot892

een desimale plek):

OPLOSSING


Om die hoogte te vind van die basis driehoek , gebruik ons diestelling van Pythagoras:

893

Stap 2: Vind die area van die syvlakke

Stap 3: Vind die som van die areas


Die buiteoppervlakte van die driehoekige piramide is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 9: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N KEËL

VRAAG

Vind die buiteoppervlakte van die volgende keël (korrek tot 1 desimale plek):

894

OPLOSSING


Stap 2: Vind die geboë area

Om die skuinssy, , te vind, gebruik ons die stelling van Pythagoras:

895



Die buiteoppervlakte van die keël is .



Laai af

896

https://youtu.be/oKOIg8GsFoA?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/mt6kkr24n01mpzd/Graad_10_Hfst_13.4_VB_9.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 10: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N SFEER

VRAAG

Vind die buiteoppervlakte van die volgende sfeer (korrek tot 1 desimale plek):

OPLOSSING

UITGEWERKTE VOORBEELD 11: ONDERSOEK DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N KEËL

VRAAG

As 'n keël 'n hoogte het van en 'n basis met radius , toon dat die buiteoppervlakte die volgende is:

897

OPLOSSING

Stap 1: Skets en benoem die keël

Stap 2: Identifiseer die vlakke wat die keël vorm

Die keël het twee vlakke: die basis en die geboë oppervlakte. Die basis is'n sirkel met radius en die geboë oppervlakte kan ontvou word tot 'nsektor van 'n sirkel:

Hierdie geboë oppervlak kan opgedeel word in baie, smal driehoeke methoogte naby aan (waar die skuinshoogte is). Die area van hierdiedriehoeke of sektore, kan as volg opgesom word

898

1.Vind die totale buiteoppervlakte van die volgende voorwerpe (korrektot 1 desimale plek indien nodig):

OEFENING 13.4.1

Stap 3: Bereken

kan bereken word met die stelling van Pythagoras:

Stap 4: Bereken die area van die sirkelvormige basis ( )

Stap 5: Bereken die area van die geboë area ( )


899

a)

b)

900

c)

d)

2.

Hierdie figuur is 'n keël. Die vertikale hoogte van die keël is eenhede en die skuinshoogte van die keël is eenhede; die radiusvan die keël word getoon, eenhede. Bereken die buiteoppervlaktevan die figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.

901

3.

4.

Die figuur hieronder is 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede.Bereken die buiteoppervlakte van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.

Die figuur hieronder toon 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die sye van diebasis is almal eenhede lank. Die vertikale hoogte van die piramide is eenhede en die skuinshoogte van die piramide is eenhede. Bepaal diebuiteoppervlakte van die piramide.

902

13.5 Volume van piramides, keëls ensfere

Vierkantigepiramide

Driehoekigepiramide

Regte keël

Sfeer

904

UITGEWERKTE VOORBEELD 12: VIND DIE VOLUME VAN 'NVIERKANTIGE PIRAMIDE

VRAAG

Vind die volume van 'n vierkantige piramide met 'n hoogte van 3 cm en 'nsylengte van 2 cm.

OPLOSSING

Stap 1: Skets en benoem die piramide

905

Stap 2: Kies die regte formule en substitueer die gegewe waardes

Ons word en gegee, dus


Die volume van die vierkantige piramide is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 13: VIND DIE VOLUME VAN 'NDRIEHOEKIGE PIRAMIDE

VRAAG

Vind die volume van die volgende driehoekige piramide (korrek tot 1 desimaleplek):

906

OPLOSSING

Stap 1: Skets die basisdriehoek en bereken sy area

907

Die hoogte van die basisdriehoek ( ) is:

Die area van die basisdriehoek is

Stap 2: Skets die driehoekige syvlak en bereken die piramide se

hoogte

908

Stap 3: Bereken die volume van die piramide


Die volume van die driehoekige piramide is .

UITGEWERKTE VOORBEELD 14: VIND DIE VOLUME VAN 'NKEËL

VRAAG

Vind die volume van die volgende keël ( korrek tot desimale plek):

909

OPLOSSING


Stap 2: Bereken die volume


Die volume van die keël is .

910

UITGEWERKTE VOORBEELD 15: VIND DIE VOLUME VAN 'NSFEER

VRAAG

Vind die volume van die volgende sfeer (korrek tot 1 desimale plek):

OPLOSSING

Stap 1: Gebruik die formule om die volume te vind


Die volume van die sfeer is .

911

UITGEWERKTE VOORBEELD 16: VIND DIE VOLUME VAN 'NSAAMGESTELDE OF KOMPLEKSE VOORWERP

VRAAG

'n Driehoekige piramide word geplaas boop 'n driehoekige prisma, sooshieronder aangetoon. Die basis van die prisma is 'n gelyksydige driehoek metsylengte en die hoogte van die prisma is . Die piramide het 'nhoogte van . Bereken die totale volume van die voorwerp.

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die volume van die prisma

Vind eers die hoogte van die basis driehoek met die gebruik van diestelling van Pythagoras:

912

Vind vervolgens die area van die basisdriehoek:

Nou kan ons die volume van die prisma vind:

Stap 2: Bereken die volume van die piramide

Die area van die basisdriehoek is gelyk aan die area van die basis van diepiramide.

913

Stap 3: Bereken die totale volume

Dus is die totale volume van die voorwerp .

UITGEWERKTE VOORBEELD 17: VIND DIE BUITEOPPERVLAKTE VAN 'N SAAMGESTELDE VOORWERP

VRAAG

Met dieselfde saamgestelde voorwerp as in die vorige voorbeeld, word jy dieaddisionele inligting gegee dat die skuinshoogte = . Bereken noudie totale buiteoppervlakte van die voorwerp.

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die buiteoppervlakte van elke blootgestelde sigbare

vlak van die piramide

Omdat die basisdriehoek gelyksydig is, het elke vlak dieselfde basis endus dieselfde buiteoppervlakte. Dus is die buiteoppervlakte vir elke vlakvan die piramide .

914

1.

OEFENING 13.5.1

Stap 2: Bereken die buiteoppervlakte van elke syvlak van die prisma

Elke syvlak van die prisma is 'n reghoek met basis en

hoogte .

Omdat die basisdriehoek gelyksydig is, het elke sy van die prismadieselfde area. Dus is die buiteoppervlakte van elke syvlak van die prisma

.

Stap 3: Bereken die totale buiteoppervlakte van die voorwerp

Dus is die totale buiteoppervlakte (van die sigbare vlakke) van dievoorwerp .

Die figuur hieronder toon 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede. Bepaal die volume van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.

915

2.

3.

Die figuur is 'n konus. Die vertikale hoogte van die konus is eenhede

en die skuinshoogte is eenhede; die radius van die konus isgetoon, eenhede. Bereken die volume van die figuur. Rond jouantwoord af tot twee desimale plekke.

Die figuur hieronder is 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die vertikale

hoogte van die piramide is eenhede en die skuinssy is eenhede; die lengte van die sy van die piramide is eenhede. Rond jouantwoord af tot twee desimale plekke.

916

a)

4.Vind die volume van die volgende voorwerpe (rond af tot 1 desimaleplek indien nodig):

917

b)

c)

918

d)

5.

6.Bereken die volgende eienskappe vir die piramide hieronder getoon.Rond jou antwoorde af tot twee desimale plekke.

Vind die buiteoppervlakte en volume van die keël wat hier getoon word.Rond jou antwoorde af tot die naaste heelgetal.

919

a)

b)

7.

Buite-oppervlakte

Volume

Die vaste liggaam hieronder bestaan uit 'n kubus en 'n vierkantige piramide.Vind sy volume en buiteoppervlakte (korrek tot desimale plek):

920

13.6 Die effek van vermenigvuldigingmet 'n faktor kWanneer een of meer afmetings van 'n prisma of 'n silinder vermenigvuldig word met'n konstante, sal die buiteoppervlakte en die volume verander. Die nuwe buiteoppervlakte en volume kan bereken word deur die formules van die voorafgaandeseksie te gebruik.

Dit is moontlik om 'n verband te sien tussen die verandering in afmetings en diegevolglike verandering in die buiteoppervlakte en volume. Hierdie verbande maak diteenvoudig om die nuwe volume of buiteoppervlakte van 'n voorwerp, waarvan dieafmetings op of afgeskaal word, te bereken.

Beskou 'n reghoekige prisma met afmetings , en . Hieronder vermenigvuldig onseen, twee en drie van sy afmetings met 'n konstante faktor van en bereken dienuwe volume en buiteoppervlakte.

Afmetings Volume Oppervlak

Oorspronklike afmetings

Vermenigvuldig eenafmeting met

Vermenigvuldig twee921

afmetings met

Vermenigvuldig al drieafmetings met

Vermenigvuldig al drieafmetings met k

UITGEWERKTE VOORBEELD 18: BEREKEN DIE NUWEAFMETINGS VAN 'N REGHOEKIGE PRISMA

VRAAG

Beskou 'n reghoekige prisma met 'n hoogte van en basislengte van .

922

1. Bereken die buiteoppervlakte van volume.

2. Bereken die nuwe buiteoppervlakte ( ) en volume ( ) as dielengtes vermenigvuldig word met 'n konstante faktor van .

3. Druk die nuwe buiteoppervlakte en volume uit as 'n faktor van dieoorspronklike buiteoppervlakte en volume.

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die oorspronklike volume en buiteoppervlakte

Stap 2: Bereken die nuwe volume en buiteoppervlakte

Twee van die afmetings word vermenigvuldig met 'n faktor van 3

923

Stap 3: Druk die nuwe afmetings uit as 'n faktor van die

oorspronklike afmetings

924

UITGEWERKTE VOORBEELD 19: VERMENIGVULDIG DIEAFMETINGS VAN 'N REGHOEKIGE PRISMA MET

VRAAG

Bewys dat as die hoogte van 'n reghoekige prisma met afmetings , en is, vermenigvuldig word met 'n konstante waarde van , sal die volumevermeerder met 'n faktor van .

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die oorspronklike volume

Die oorspronklike afmetings van , en is gegee, en dus is dieoorspronklike volume .

Stap 2: Bereken die nuwe volume

Die nuwe afmetings is , , en en dus is die nuwe volume:

925


As die hoogte van 'n reghoekige prisma vermenigvuldig word met 'nkonstante , dan neem die volume ook toe met 'n faktor van .

UITGEWERKTE VOORBEELD 20: VERMENIGVULDIGING VANDIE AFMETINGS VAN 'N SILINDER MET

VRAAG

Beskou 'n silinder met 'n radius van en 'n hoogte van . Bereken die nuwevolume en die buiteoppervlakte (uitgedruk in terme van en ) as die radiusvermenigvuldig word met 'n konstante faktor van .

OPLOSSING

Stap 1: Bereken die oorspronklike volume en buiteoppervlakte

926

1.

2.

OEFENING 13.6.1

Stap 2: Bereken die nuwe volume en buiteoppervlakte

Die nuwe afmetings is en .

As die lengte van die radius van 'n sirkel 'n derde is van sy oorspronklikegrootte, wat sal die area van die nuwe sirkel wees?

As die lengte van die radius van die basis en die hoogte van 'n konusverdubbel word, wat sal die buiteoppervlakte van die nuwe konus wees?

927

3.

a)

b)

4.Beskryf die verandering in die volume van 'n reghoekige prisma asdie

5.

As die hoogte van 'n prisma verdubbel, met hoeveel sal sy volumevermeerder?

lengte en breedte toeneem met 'n konstante faktor van .

lengte, breedte en hoogte word vermenigvuldig met 'n konstantefaktor van .

As die lengte van elke sy van 'n driehoekige prisma vervierdubbel, wat sal dievolume van die nuwe driehoekige prisma wees?

928

6.Gegee 'n prisma met 'n volume van en 'n buiteoppervlakte van

. Vind die nuwe buiteoppervlakte en volume vir prisma as al dieafmetings vermeerder met 'n konstante faktor van .

929

Hoofstuk opsommingArea (oppervlak) is die tweedimensionale ruimte binne die grense van 'n platvoorwerp. Dit word gemeet in vierkante eenhede.

Oppervlakte formules

vierkant:

reghoek:

driehoek:

trapesium:

parallelogram:

sirkel:

'n Regte prisma is 'n geometriese vaste liggaam met 'n veelhoek as basis envertikale syvlakke loodreg op die basis.

'n Driehoekige prisma het 'n driehoek as sy basis, 'n reghoekige prisma het 'nreghoek as sy basis, en 'n kubus is 'n reghoekige prisma met al die sye dieselfdelengte. 'n Silinder is 'n ander tipe regte prisma met 'n sirkel as sy basis.

Buiteoppervlakte is die totale area van die blootgestelde of buite oppervlakkevan 'n prisma.

'n Net is die ontvouings "plan" van 'n vaste liggaam.

Volume is die drie dimensionele ruimte wat opgeneem word deur 'n voorwerp ofliggaam, of die inhoud van die voorwerp. Dit word gemeet in kubieke eenhede.

Volume formules vir prismas en silinders:

Volume van 'n reghoekige prisma:

930

Volume van 'n driehoekige prisma:

Volume van 'n vierkantige prisma of kubus:

Volume van 'n silinder:

'n Piramide is 'n geometriese vaste liggaam wat 'n veelhoek as sy basis het ensyvlakke wat konvergeer na 'n punt wat die toppunt genoem word. Die syvlakkeis nie loodreg op die basis nie.

Die driehoekige piramide en vierkantige piramide kry hulle name van die vormvan hulle basis. Ons noem 'n piramide 'n "regte piramide" as die lyn tussen dietoppunt en die middel van die basis loodreg is op die basis. Keëls is soortelykbehalwe aan piramides dat hulle sirkels as basisie het in plaas van veelhoeke.Sfere is vaste liggame wat perfek rond is en dieselfde lyk vanuit enige rigting.

Buiteoppervlakte formules vir regte piramides, regte keëls en sfere:

vierkantige piramide:

driehoekige piramide:

regte keël:

sfeer:

Volume formules vir regte piramides, regte keëls en sfere:

vierkantige piramide:

driehoekige piramide:

regte keël:

sfeer:

Vermenigvuldiging van een of meer afmetings van 'n prisma of 'n silinder met 'nkonstante beïnvloed die buiteoppervlakte en volume.

931

a)

b)

1.Vind die area van elk van die vorme getoon. Rond jou antwoord af tottwee desimale plekke waar nodig.


932

c)

2a)

b)

Vind 'n uitdrukking vir die area van hierdie figuur in terme van . Dieafmetings van die figuur is benoem en . Skryf jouantwoord in uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).

Vind 'n uitdrukking vir die oppervlakte van hierdie figuur in terme van . Die figuur het afmetings van en , soos benoem.

Skryf jou antwoord in uitgebreide vorm (nie gefaktoriseer nie).

933

3.

4.

5.

Die figuur hieronder is 'n driehoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die driehoeke, wat beide regte driehoeke is, het sye wat , en

eenhede lank is. Vind die buiteoppervlakte van die figuur.

Hierdie figuur is 'n reghoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die ander afmetings van die prisma is en eenhede. Vind diebuiteoppervlakte van die figuur.

'n Silinder word hieronder gewys. Die hoogte van die silinder is ; dieradius van die silinder is , soos getoon. Vind die buiteoppervlaktevan die figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.

934

6.

7.

Die figuur hieronder is 'n driehoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die driehoeke, wat beide regte hoeke bevat, het sye van , en

eenhede. Bepaal die volume van die figuur.

Die figuur hieronder is 'n reghoekige prisma. Die hoogte van die prisma is eenhede; die ander afmetings van die prisma is en eenhede. Berekendie volume van die figuur.

935

8.

9.

Die figuur hieronder toon 'n silinder. Die hoogte van die silinder is ; dieradius van die silinder is . Bereken die volume van die figuur.Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke

Die figuur hieronder is 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede.Vind die buiteoppervlakte van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.

936

10.

11.

Die figuur hieronder toon 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die sye van diebasis is almal eenhede lank. Die vertikale hoogte van die piramide is eenhede en die skuinshoogte van die piramide is eenhede. Bepaal diebuiteoppervlakte van die piramide.

Die figuur hier is 'n kegel. Die vertikale hoogte van die kegel is eenhede en die skuinshoogte van die kegel is eenhede; die radiusvan die kegel word getoon, eenhede. Vind die buiteoppervlakte vandie figuur. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke.

937

12.

13.

Die figuur hieronder toon 'n sfeer. Die radius van die sfeer is eenhede. Bepaal die volume van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.

Die figuur hier is 'n keël. Die vertikale hoogte van die keël is

eenhede en die skuinshoogte is eenhede; die radius van die keëlword getoon, eenhede. Vind die volume van die figuur. Rond jouantwoord af tot twee desimale plekke.

938

14.

15.Beskou die vaste liggame hieronder:

Die figuur hieronder is 'n piramide met 'n vierkantige basis. Die vertikalehoogte van die piramide is eenhede en die skuinshoogte is

eenhede; die sye van die basis van die piramide is eenhede. Vind die volume van die figuur. Rond jou antwoord af tot tweedesimale plekke.

939

a)

b)

16.

17.

Bereken die buiteoppervlakte van elke vaste liggaam.

Bereken die volume van elke vaste liggaam.

As die lengte van elke sy van 'n vierkant 'n kwart is van sy oorspronklikegrootte, wat sal die oppervlakte van die nuwe vierkant wees?

As die lengte van elke sy van 'n vierkantige piramide verminder word na 'nderde van die oorspronklike lengte, wat sal die buiteoppervlakte van dienuwe vierkantige piramide wees?

940

18.

19.Beskou die vaste liggame hieronder en antwoord die vrae wat volg(korrek tot desimale plek, indien nodig):

a)

b)

As die lengte van die radius van die basis en die hoogte van 'n silindergehalveer word, wat sal die volume van die nuwe silinder wees?

Bereken die buiteoppervlakte van elke vaste liggaam.

Bereken die volume van elke vaste liggaam.941

c)

d)

20.Die vaste liggaam hieronder bestaan uit 'n kubus en 'n vierkantigepiramide. Beantwoord die volgende:

a)

b)

As elke afmeting van die vaste liggame toeneem met 'n faktor van ,bereken die nuwe buiteoppervlakte van elke vorm.

As elke afmeting van die vorme toeneem met 'n faktor van ,bereken die nuwe volume van elke vaste liggaam.

Vind die buiteoppervlakte van die vorm getoon. Gee jou antwoordetot twee desimale plekke.

Bepaal nou die volume van die vorm. Gee jou antwoord tot dienaaste heelgetalwaarde.

942

21.

a)

22.Vind die volume en buiteoppervlakte van die volgende saamgesteldevorme.

Bereken die volume en die totale buiteoppervlakte van die vaste liggaamhieronder (korrek tot 1 desimale plek):

943

b)

c)

944

23.

24.'n Houer wat gevul is met petrol het die vorm van 'n omgekeerderegte sirkelvormige keël met hoogte en die radius van diebasis is . 'n Sekere hoeveelheid brandstof word uitgetap uitdie houer sodat brandstof tot op 'n diepte van cm oor is.

a)

b)

25.Vind die volume en buite-oppervlakte van die volgende prismas.

'n Roomyshorinkie (regte keël) het 'n radius van en 'n hoogte van . 'n Halwe bolletjie roomys (hemisfeer) word boop die horinkie geskep.

As die roomys smelt, sal dit in die horinkie pas? Toon al jou werk.

Toon dat .

Bepaal die volume van die brandstof wat uitgetap is. Druk jouantwoord uit in liters as

945

a)

b)

c)

26.Bepaal die volume van die volgende:

946

a)

b)

27.Die prisma hier langsaan het die volgende afmetings:

eenhede, eenhede, eenhede.

is 'n boog van 'n sirkel met middelpunt . .

is 'n vierkant, , .

947

a)

b)

c)

28.'n Koeldrankhouer is gemaak in die vorm van 'n piramide met 'ngelykbenige driehoekige basis. Dit staan bekend as 'n tetrahedron.

Die hoogtehoek na die bopunt van die houer, is . ; .

Verduidelik hoekom , die radius van die sirkelboog , eenhede is.

Bereken die oppervlakte van die gearseerde gedeelte.

Vind die volume van die prisma.

948

a)

b)

a. Wys dat die lengte , cm is.

b. Vind die hoogte van (tot die naaste eenheid).

c. Bereken die area van .Wenk: konstrueer 'n loodregte lyn van U tot

d. Vind die volume van die houer

Die houer word gevul met sap sodat 'n % opening vir luggelaat word. Bepaal die volume van die sap.

949

29.Hieronder is 'n diagram van Die Groot Piramide.Dit is 'n vierkantige piramide en is die middelpunt van die vierkant.

a)

b)

c)

d)

en .

Die lengte van die sy van die piramide is endie hoogte van die piramide is .Bepaal die area van die basis van die piramide in terme van .

Bereken tot desimale plekke.

Van jou berekening in vraag (b), bepaal .

Bepaal die volume en buiteoppervlakte van die piramide.

950

HOOFSTUK 14: WAARSKYNLIKHEID

InleidingOns gebruik waarskynlikheid om onsekere gebeurtenisse te beskryf. As jy per ongeluk'n sny brood laat val, weet jy nie of dit gaan val met die gesmeerde kant boontoe ofondertoe nie. Wanneer jou gunsteling sportspan 'n wedstryd speel, weet jy nie of hullegaan wen nie. Wanneer die weervoorspeller sê daar is 'n % kans van reën môre,mag dit gebeur dat jy natreën, of jy mag droog bly. Onsekerheid kom tot 'n mindere ofmeerdere mate voor in elke gebeurtenis rondom ons en in elke besluit wat ons maak.

Ons sal in hierdie hoofstuk sien dat al hierdie onsekerhede kan beskryf word deur diereëls van die waarskynlikheidsteorie te gebruik en dat ons besliste gevolgtrekkingskan maak oor onseker prosesse.

Bepaling van die pad van 'n superstorm. Meteoroloë gebruik rekenaar sagteware om hulle te

help om storms se paaie te volg en om die weer te voorspel.

Ons sal drie voorbeelde van onseker prosesse gebruik om jou te help om diebetekenis van verskillende woorde in waarskynlikheidsteorie te verstaan: opskiet van'n muntstuk, rol van 'n dobbelsteen, en 'n sokkerwedstryd.

951

DEFINISIE

Eksperiment

'n Eksperiment verwys na onseker prosesse.

DEFINISIE

Uitkoms

'n Uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van daardieeksperiment.

Eksperiment 1: 'n Muntstuk word opgeskiet en dit land met kop (K) of stert (S)boontoe. 'n Voorbeeld van 'n uitkoms van die opskiet van 'n muntstuk is dat dit landmet kop boontoe:

Eksperiment 2: Twee dobbelstene word gerol en die totale aantal kolletjiesbymekaargetel. 'n Voorbeeld van 'n uitkoms as die dobbelsteen tweemaal gerol word:

Eksperiment 3: Twee spanne speel 'n sokkerwedstryd en ons stel belang in die finaletelling. 'n Voorbeeld van die uitkoms van 'n sokkerwedstryd:

952

DEFINISIE

Steekproefruimte

Die steekproefruimte van 'n eksperiment is die versameling van moontlikeuitkomste van daardie eksperiment. Die steekproefruimte word aangeduimet die simbool en die grootte van die steekproefruimte (die totale aantal

moontlike uitkomste) word aangedui met

Selfs al is ons gewoonlik geïnteresseerd in die uitkoms van 'n eksperiment, wil onsook weet wat die ander uitkomste kon gewees het. Laat ons kyk na diesteekproefruimte van elk van ons drie eksperimente.

Eksperiment 1: Aangesien 'n muntstuk slegs op een van twee maniere kan land (onslaat die moontlikheid dat die muntstuk op sy kant kan val, buite rekening), is die

steekproefruimte die versameling . Die grootte van die steekproefruimte

van die muntstuk se opskiet is :

Eksperiment 2: Elk van die dobbelstene kan land op 'n getal van tot . In hierdieeksperiment is die steekproefruimte van die al die moontlike uitkomste, elke moontlike

953

kombinasie van die getalle op die eerste dobbelsteen met die getalle op die

tweede dobbelsteen. Dit gee 'n totaal van moontlikeuitkomste. Die figuur hieronder toon al die uitkomste in die steekproefruimte van dierol van twee dobbelstene:

Eksperiment 3: Elke sokkerspan kan 'n heelgetaltelling kry van of meer. Gewoonlikverwag ons nie 'n telling van veel meer as doele nie, maar daar is geen redehoekom dit nie kan gebeur nie. Dus die steekproefruimte van die eksperiment bestaanuit alle moontlike kombinasies van twee nienegatiewe heelgetalle. Die figuurhieronder toon al die moontlikhede. Aangesien ons nie die telling van 'n span beperknie, is die steekproefruimte oneindig groot:

954

LET WEL

Wanneer ons 'n steekproefruimte wat die reële getalle bevat voorstel, kan ons al

die uitkomste in die steekproefruimte skryf: of

ons kan die steekproefruimte voorstel as: .

DEFINISIE

Gebeurtenis

'n Gebeurtenis is 'n spesifieke stel uitkomste van 'n eksperiment waarin jygeïnteresseerd is. 'n Gebeurtenis word aangedui met die letter en die

aantal uitkomste in die gebeurtenis met .

Eksperiment 1: Laat ons sê dat ons wil hê dat die muntstuk moet land met kop

boontoe. Hier bevat die gebeurtenis 'n enkele uitkoms: . Die grootte van

die gebeurtenisversameling is .

Eksperiment 2: Laat ons sê ons wil hê die som van die dobbelstene moet wees. In955

hierdie geval is die gebeurtenisversameling:


Kyk nou: Hoofstuk 14 Eksperiment 1

Laai af

Eksperiment 3: Ons sal graag wil weet of die eerste span gaan wen. Vir hierdiegebeurtenis om te gebeur moet die eerste telling groter wees as die tweede.

. Hierdiegebeurtenisversameling is oneindig groot.

956

https://youtu.be/4bTdNeZuw8M?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/eupjnx5icz2nozc/Graad_10_Hfst_14_Eksperiment_1.mp4?dl=0

14.1 Teoretiese waarskynlikheid

DEFINISIE

Waarskynlikheid

'n Waarskynlikheid is 'n reële getal tussen en wat beskryf hoewaarskynlik dit is dat die gebeurtenis sal plaasvind.

Ons kan waarskynlikhede beskryf op drie maniere:

1. As 'n reële getal tussen 0 en 1. Byvoorbeeld .

2. As 'n persentasie. Byvoorbeeld kan geskryf word as 'n %.

3. As 'n breuk. Byvoorbeeld kan ook geskryf word as .

Ons let die volgende op met betrekking tot waarskynlikhede:

'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis nooit sal plaasvind nie.

'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis altyd sal plaasvind.

'n Waarskynlikheid van beteken dat 'n gebeurtenis die helfte van die tyd salvoorkom, of keer uit elke .

Wanneer al die moontlike uitkomste van die eksperiment 'n gelyke kans het om tegebeur, kan ons die presiese teoretiese waarskynlikheid van die gebeurtenis bereken.Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die ratio of verhouding tussen die aantaluitkomste in die gebeurtenisversameling en die getal moontlike uitkomste in diesteekproefruimte.

957

UITGEWERKTE VOORBEELD 1: TEORETIESEWAARSKYNLIKHEDE

VRAAG

Wat is die teoretiese waarskynlikheid van elke van die gebeurtenisse in dieeerste twee van ons drie eksperimente?

OPLOSSING

Stap 1: Skryf die waarde neer van

Eksperiment 1 (muntstuk):

Eksperiment 2 (dobbelstene):

Stap 2: Skryf die grootte neer van die gebeurtenisversameling

Eksperiment 1:

Eksperiment 2:

Stap 3: Bereken die teoretiese waarskynlikheid

Eksperiment 1:

Eksperiment 2:

958

1.

2.

3.

OEFENING 14.1.1

Let daarop dat ons nie die teoretiese waarskynlikheid van die derde eksperimentoorweeg nie. Die derde eksperiment is anders as die eerste twee in 'n belangrikeopsig, naamlik dat al die moontlike uitkomste (al die finale tellings) is nie ewe moontliknie. Ons weet byvoorbeeld dat 'n sokkertelling van 11 baie algemeen is, terwyl 'ntelling van 1115 uiters raar is. Omdat al die uitkomste nie ewe moontlik is nie, kan ons

nie die ratio tussen en gebruik om die teoretiese waarskynlikheid dateen span sal wen te bereken nie.

'n Leerder wil die term "gebeurtenis" verstaan. Dus rol die leerder 2dobbelstene in die hoop om 'n totaal van 8 te kry. Watter van die volgende isdie mees toepaslike voorbeeld van die term "gebeurtenis"?

gebeurtenisversameling



'n Leerder wil die term "steekproefruimte" verstaan. Dus rol die leerder 'ndobbelsteen. Watter van die volgende is die mees toepaslike voorbeeld vandie term "steekproefruimte"?

'n Leerder kry 'n 6kantige dobbelsteen en rol dit dan eenmaal op 'n tafel. Watis die waarskynlikheid dat die dobbelsteen op 'n 1 of 'n 2 sal land?

959

4.

5.

a)

b)

c)

d)

6.'n Sak bevat rooi balle, blou balle, groen balle en wit bal. 'nBal word willekeurig gekies. Bepaal die waarskynlikheid dat dit:

a)

b)

7.'n Speelkaart word willekeurig gekies uit 'n pak van kaarte.Bepaal die waarskynlikheid dat dit:

Skryf jou antwoord as 'n vereenvoudigde breuk.

'n Leerder kry 'n handboek wat 100 bladsye het. Sy kies dan een bladsy vandie handboek. Wat is die waarskynlikheid dat die bladsy 'n onewebladsynommer het?Skryf jou antwoord as 'n desimaal (korrek tot 2 desimale plekke).

Ewe getalle van tot word op kaarte geskryf. Wat is diewaarskynlikheid om 'n veelvoud van te kies as 'n kaart willekeurig gekiesword?

rooi is

blou of wit is

nie groen is nie

nie groen of rooi is nie

die van harte is

'n rooi kaart is960

c)

d)

e)

'n prentkaart is

'n aas is

'n getal kleiner as is

961

14.2 Relatiewe frekwensie

DEFINISIE

Relatiewe frekwensie

Die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis is gedefinieer as die aantal kerewat die gebeurtenis voorkom gedurende eksperimentele proefnemings,gedeel deur die totale aantal proefnemings wat uitgevoer is.

Die relatiewe frekwensie is nie 'n teoretiese hoeveelheid nie, maar 'n eksperimenteleeen. Ons moet 'n eksperiment 'n aantal kere herhaal en tel hoeveel kere die uitkomsvan die proefneming in die gebeurtenisversameling voorkom. Omdat diteksperimenteel is, is dit moontlik om elke keer wat ons die eksperiment herhaal, 'nander relatiewe frekwensie te kry.

UITGEWERKTE VOORBEELD 2: RELATIEWE FREKWENSIE ENTEORETIESE WAARSKYNLIKHEID

VRAAG

Ons skiet 'n muntstuk keer op en neem die uitkoms waar. Die resultaat vandie proefnemings word getoon in die tabel hieronder.

proefneming

uitkoms K S S S K S K K K S

proefneming

uitkoms K S S K S S S K S K

proefneming

uitkoms K K K S K S K S S S

962

Wat is die relatiewe frekwensie om kop te kry na elke proefneming en hoevergelyk dit met die teoretiese waarskynlikheid om kop te kry?

OPLOSSING

Stap 1: Tel die aantal positiewe uitkomste

'n Positiewe uitkoms is wanneer die uitkoms in onsgebeurtenisversameling val. Die tabel toon 'n lopende telling (na elke proef) van die aantal positiewe uitkomste wat ons waargeneem het.

Byvoorbeeld, na proefnemings het ons keer kop gesien en keer stert en dus is die positiewe uitkomstelling .

Stap 2: Bereken die relatiewe frekwensie

Aangesien die relatiewe frekwensie gedefinieer is as die verhoudingtussen die aantal positiewe proefnemings en die totale aantalproefnemings,

Die relatiewe frekwensie om kop te kry, , na voltooiing van muntopskiete is:

963

Van die laaste inskrywing in hierdie tabel kan ons maklik die relatiewe

frekwensie na proefnemings aflees, naamlik . Dierelatiewe frekwensie is naby aan die teoretiese waarskynlikheid van .Algemeen gesproke, sal die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis neigom al nader te kom aan die teoretiese waarskynlikheid van die gebeurtenissoos ons meer proefnemings uitvoer.

'n Veel beter manier om hierdie tabel van relatiewe frekwensies op te som,is met 'n grafiek:

Die grafiek hierbo is die stipping van die relatiewe frekwensie om kop te

kry, , na die voltooiing van munt opskiete. Dit is verkry van die tabelvan getalle hierbo deur die getal proefnemings wat reeds voltooi is, te stip

met op die as en die relatiewe frekwensie, , op die as. In diebegin (na 'n klein aantal proefnemings) fluktueer die relatiewe frekwensiebaie rondom die teoretiese frekwensie by , wat getoon word met diestippellyn. Soos die aantal proefnemings toeneem, fluktueer die relatiewefrekwensie al minder en kom dit al nader aan die teoretiesewaarskynlikheid.

964

UITGEWERKTE VOORBEELD 3: RELATIEWE FREKWENSIE ENTEORETIESE WAARSKYNLIKHEID

VRAAG

Terwyl ons na sokkerwedstryde kyk waar Span 1 teen Span 2 speel, tekenons die volgende finale tellings aan:

Proefneming

Span 1

Span 2

Wat is die relatiewe frekwensie dat Span 1 wen?

OPLOSSING

Stap 1:

In hierdie eksperiment is elke proefneming 'n sokkerwedstryd tussen

Span 1 en Span 2.

Stap 2: Tel die aantal positiewe uitkomste

Ons stel belang in die gebeurtenis waar Span 1 wen. Van die tabel hierbosien ons dat dit keer gebeur het.

Stap 3: Bereken die relatiewe frekwensie

Die totale aantal proefnemings is . Dit beteken die relatiewe frekwensievan die gebeurtenis is

965



Laai af

Dit is belangrik om die verskil te verstaan tussen die teoretiese waarskynlikheid van 'ngebeurtenis en die waargenome relatiewe frekwensie van die gebeurtenis ineksperimentele proewe. Die teoretiese waarskynlikheid is 'n getal wat ons kanbereken as ons genoeg inligting het oor die eksperiment. As elke moontlike uitkoms indie steekproefruimte ewe moontlik is, tel ons die aantal uitkomste in die gebeurtenisen die aantal uitkomste in die steekproefruimte om die teoretiese waarskynlikheid tebereken.

Die relatiewe frekwensie is afhanklik van die volgorde van uitkomste wat onswaarneem terwyl ons 'n statistiese eksperiment uitvoer. Die relatiewe frekwensie kanbaie verskillend wees elke keer wat ons die eksperiment herhaal. Hoe meer proeweons doen gedurende die eksperiment, hoe nader sal die waargenome relatiewefrekwensie van 'n gebeurtenis kom aan die teoretiese waarskynlikheid van diegebeurtenis.

So, waarom doen ons statistiese eksperimente as ons teoretiese waarskynlikhedehet? In sommige gevalle, soos ons sokker eksperiment, is dit moeilik om die teoretiesewaarskynlikheid van 'n gebeurtenis te bereken. Aangesien ons nie presies weet hoemoontlik dit is dat een sokkerspan doele sal aanteken teen 'n ander span nie, kan onsnooit die teoretiese waarskynlikheid van gebeure in sokker bereken nie. In sulkegevalle kan ons wel die relatiewe frekwensie gebruik om die teoretiesewaarskynlikheid te skat deur eksperimente te doen en die aantal positiewe uitkomstete tel.

966

https://youtu.be/lwUf97-0els?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/gieh8hot9z1eri0/Graad_10_Hfst_14.2_VB_3.mp4?dl=0

1.

2.

3.

OEFENING 14.2.1

'n Dobbelsteen word 44 keer gegooi en land 5 keer op die getal 3.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan om 'n 3 gooi met die dobbelsteen?Skryf jou antwoord neer tot 2 desimale plekke.

'n Muntstuk word 30 keer opgeskiet en land 17 keer op kop.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan dat 'n muntstuk op kop land? Skryfjou antwoord neer korrek tot 2 desimale plekke.

'n Dobbelsteen word 27 keer gegooi en land 6 keer op die getal 6.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan om waar te neem dat diedobbelsteen op die getal 6 land? Skryf jou antwoord korrek tot 2 desimaleplekke.

967

14.3 Venndiagramme'n Venndiagram is 'n grafiese manier om die verwantskappe tussen versamelings voorte stel. In elke Venndiagram word 'n versameling voorgestel deur 'n geslote kromme.Die area binne in die kromme verteenwoordig die elemente wat behoort aan daardieversameling, terwyl die area buite die kromme die elemente verteenwoordig watuitgesluit is van die versameling.

Venndiagramme is nuttig vir ons denke oor waarskynlikheid aangesien ons metverskillende versamelings werk. Oorweeg twee gebeurtenisse, en , in diesteekproefruimte . Die diagram hieronder toon die moontlike maniere waarop dieversamelings kan oorvleuel, voorgestel met Venndiagramme:

Die versamelings word voorgestel met die gebruik van 'n reghoek vir en sirkels virelk van en . In die eerste diagram oorvleuel die twee gebeurtenisse gedeeltelik.In die tweede diagram oorvleuel die twee gebeurtenisse glad nie. In die derde diagramis die een gebeurtenis ten volle ingesluit in die ander. Let daarop dat gebeurtenissealtyd binne in die steekproefruimte sal verskyn aangesien die steekproefruimte allemoontlike uitkomste van die eksperiment bevat.

968

UITGEWERKTE VOORBEELD 4: VENNDIAGRAMME

VRAAG

Teken die steekproefruimte van twee dobbelstene wat gegooi word en dievolgende twee gebeurtenisse deur 'n Venndiagram te gebruik:

Gebeurtenis A: die som van die dobbelstene is gelyk aan

Gebeurtenis B: ten minste een van die dobbelstene toon 'n 2

OPLOSSING



Laai af

969

https://youtu.be/TD9CmF_Fy2Y?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/oyghiv4vadcyxst/Graad_10_Hfst_14.3_VB_4.mp4?dl=0

UITGEWERKTE VOORBEELD 5: VENNDIAGRAMME

VRAAG

Beskou die stel van diamante wat uitgehaal is uit 'n pak kaarte. 'n Kaart wordwillekeurig geselekteer uit die stel diamante.

Skryf die steekproefruimte, , vir die eksperiment neer.

Wat is die waarde van ?

Beskou die volgende twee gebeurtenisse:

: 'n Ewe diamantkaart word gekies

: 'n Adelike diamant word gekies

Stel die steekproefruimte en gebeurtenisse en voor met diegebruik van 'n Venndiagram.

OPLOSSING

Stap 1: Skryf steekproefruimte S neer

Stap 2: Skryf die waarde neer van

Stap 3: Trek die Venndiagram

970

1.

OEFENING 14.3.1

Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:

Die steekproefruimte kan beskryf word as .Daar word van hulle gevra om die gebeurtenisversameling van teidentifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle te help om dit te vind.

971

2.

Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling die beste?


Die steekproefruimte kan beskryf word as .Daar word van hulle gevra om die gebeurtenisversameling van teidentifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle te help om dit te vind.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling die beste?

972

a)

b)

c)

d)

e)

3.Stukkies papier waarop die getalle van tot geskryf is, word in'n boks geplaas en die boks word geskud. Een stukkie papier worduitgehaal en dan teruggeplaas.

4.

Wat is die steekproefruimte, ?

Skryf die versameling neer. Dit verteenwoordig die gebeurtenisom 'n papiertjie te trek met 'n getal op wat 'n faktor is van .

Skryf die versameling neer. Dit verteenwoordig die gebeurtenisom 'n papiertjie te trek met 'n priemgetal op.

Stel , en deur middel van 'n Venndiagram.

Vind:

a.

b.

c.

Gestel stel 'n versameling heelgetalle voor van tot , stel dieversameling ewe getalle voor van tot en stel die versamelingpriemgetalle voor van tot . Trek 'n Venndiagram wat , en voorstel.

973

a)

b)

c)

d)

5.Daar is Graad leerders by die skool. Al hierdie leerders neem'n kombinasie van Wiskunde (M), Geografie (G) en Geskiedenis (H).Die aantal wat Geografie neem is , neem Geskiedenis, en neem Wiskunde. Die aantal wat Wiskunde en Geskiedenis neem, is

; die getal wat Geografie en Geskiedenis neem, is , en daar is wat slegs Wiskunde neem en wat slegs Geskiedenis neem.Trek 'n Venndiagram om al hierdie inligting te illustreer.

Hoeveel leerders neem Wiskunde en Geografie maar nieGeskiedenis nie?

Hoeveel leerders neem slegs Geografie?

Hoeveel leerders neem al drie vakke?

974

14.4 Vereniging en snyding

DEFINISIE

Vereniging

Die vereniging van twee versamelings is 'n nuwe versameling van al dieelemente wat in ten minste een van die twee versamelings is. Dieversameling word geskryf as of “ ”.

DEFINISIE

Snyding

Die snyding van twee versamelings is 'n nuwe versameling wat al dieelemente bevat wat in beide versamelings voorkom. Die snyding wordgeskryf as of “ ”.

Die figuur hieronder toon die vereniging en die snyding vir verskillende konfigurasiesvan die twee gebeurtenisse in die steekproefruimte, deur van Venndiagramme gebruikte maak.

975

Die verenigings en snydings van verskillende gebeurtenisse. Let daarop dat in die middelste

kolom, is die snyding leeg aangesien die twee versamelings nie oorvleuel nie. In die

finale kolom is die vereniging, , gelyk aan en die snyding, , is gelyk aan

aangesien ten volle ingesluit is in .

976

1.

OEFENING 14.4.1


Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die gebeurtenisversameling van die snyding tussengebeurtenisversameling en gebeurtenisversameling , ook geskryf as

, te identifiseer. Hulle steek vas en jy bied aan om hulle te help om ditte vind.Watter versameling beskryf die gebeurtenisversameling van diebeste?

977

2.Die volgende Venndiagram word vir 'n groep leerders gegee:

Die steekproefruimte kan beskryf kan word as Hulle word gevra om die gebeurtenisversameling van die die verenigingtussen gebeurtenisversameling en gebeurtenisversameling , ookgeskryf as , te identifiseer.. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle tehelp om dit te vind.Watter versameling beskryf die gebeurtenisversameling van diebeste?

978

14.5 WaarskynlikheidsidentiteitePer definisie bevat die steekproefruimte al die moontlik uitkomste van 'n eksperiment.Dus weet ons dat die waarskynlikheid om 'n uitkoms waar te neem wat in diesteekproefruimte is, is.

Ons kan die waarskynlikheid van die vereniging van twee gebeurtenisse bereken met:

Ons sal hierdie identiteit bewys deur die Venndiagramme hierbo te gebruik.

Vir elk van die terme in die vereniging en die snydingsidentiteit, kan ons dieVenndiagram trek en dan die verskillende diagramme optel en aftrek. Die area van 'nruimte verteenwoordig sy waarskynlikheid.

Ons sal dit doen vir die eerste kolom van die Venndiagram figuur wat vantevore gegeeis. Jy behoort te probeer om dit vir die ander kolomme ook te doen.

979

UITGEWERKTE VOORBEELD 6: VERENIGING EN SNYDINGVAN GEBEURTENISSE.

VRAAG

Verduidelik die waarskynlikhede van gebeurtenisse en van Voorbeeld 4(twee dobbelstene gerol) en toon dat hulle die identiteit bevredig

OPLOSSING

Stap 1: Skryf die waarskynlikhede van die twee gebeurtenisse neer,

sowel as hulle vereniging en hulle snyding

Van die Venndiagram in Voorbeeld 4, kan ons die aantal uitkomste in elkegebeurtenis tel. Om die waarskynlikheid van enige gebeurtenis te kry, deelons die grootte van die gebeurtenis deur die grootte van die

steekproefruimte, wat is.

Stap 2: Skryf die identiteit neer en kontroleer dit

980

1.

2.

OEFENING 14.5.1

Die volgende gebeurtenisversameling word aan 'n groep leerders gegee:

Die steekproefruimte kan beskryf word as .

Hulle word gevra om die waarde van te bereken. Hulle haak vasen jy bied aan om dit vir hulle te bereken. Gee jou antwoord as 'n desimalegetal, afgerond tot twee desimale plekke.



Hulle word gevra om die waarde van te bereken. Hulle kan ditnie regkry nie en jy bied aan om dit vir hulle te bereken. Gee jou antwoord as'n desimale getal, afgerond tot twee desimale plekke.

981

14.6 Wedersyds uitsluitendegebeurtenisse

DEFINISIE

Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse

Twee gebeurtenisse word wedersyds uitsluitend genoem as hulle nieterselfdertyd kan plaasvind nie. Wanneer die uitkoms van 'n eksperiment indie eerste gebeurtenis is, kan dit nie ook in die tweede gebeurtenis weesnie, en omgekeerd.

'n Ander manier om dit te sê, is dat die twee gebeurtenisversamelings en , geen

gemeenskaplike elemente kan hê nie, of (waar die leëversameling aandui). Ons het alreeds die Venndiagram van wedersyds uitsluitendegebeurtenisse gesien in die middelkolom van die Venndiagramme wat vroeër verskafis.

Van hierdie figuur kan jy sien die snyding het geen elemente nie. Jy kan ook sien diewaarskynlikheid van die vereniging is die som van die waarskynlikhede van diegebeurtenisse.

982

Die verwantskap is waar vir wedersyds uitsluitende gebeurtenisse alleenlik.

UITGEWERKTE VOORBEELD 7: WEDERSYDS UITSLUITENDEGEBEURTENISSE

VRAAG

Ons rol twee dobbelstene en stel belang in die volgende twee gebeurtenisse:

Die som van die dobbelstene is gelyk aan

Ten minste een van die dobbelstene wys

Toon aan dat die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is.

OPLOSSING

Stap 1: Trek die steekproefruimte en die twee gebeurtenisse

Stap 2: Bepaal die snyding

Van die bostaande figuur sien ons daar is geen elemente gemeenskaplik983

1.

2.

3.

4.

OEFENING 14.6.1

Sê of die volgende gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is of nie.

aan A en B nie. Dus is die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend.



Laai af

'n Yskas bevat lemoensap, appelsap en druiwesap. 'n Koeldrank wordwillekeurig gekies uit die yskas. Gebeurtenis A: die koeldrank is lemoensap.Gebeurtenis B: die koeldrank is appelsap.

'n Pakkie kolwyntjies bevat sjokeladekoekies, vanillakoekies en rooifluweelkoekies. 'n Kolwyntjie word willekeurig uit die pakkie geneem.Gebeurtenis A: die kolwyntjie is rooi fluweel. Gebeurtenis B: die kolwyntjie isvanilla.

'n Kaart word willekeurig uit 'n pak kaarte gekies. Gebeurtenis A: die kaart isrooi kaart. Gebeurtenis B: die kaart is 'n prentkaart.

'n Krieketspan speel 'n wedstryd. Gebeurtenis A: hulle wen die wedstryd.Gebeurtenis B: hulle verloor die wedstryd.

984

https://youtu.be/95-bF9oP2Gk?list=PL0aPlt8Uk94uDSrHDIEc5RfwDAvXk_AjL

https://www.dropbox.com/s/7q08er2sch01zp0/Graad_10_Hfst_14.6_VB_7.mp4?dl=0

14.7 Komplementêre gebeurtenisse

DEFINISIE

Komplementêre versameling

Die komplement van 'n versameling, , is 'n nuwe versameling wat al dieelemente bevat wat nie in is nie. Ons skryf die komplement van as

, of somtyds .

Vir 'n eksperiment met steekproefruimte en 'n gebeurtenis kan ons sekereidentiteite vir komplementêre gebeurtenisse aflei. Aangesien elke element in nie in

is nie, weet ons dat die komplementêre gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is.

Aangesien elke element in die steekproefruimte in of in is, sal die verenigingvan die komplementêre gebeurtenisse die hele steekproefruimte dek.

Van die voorafgaande twee identiteite, weet ons ook dat die waarskynlikhede vankomplementêre gebeurtenisse se som is.

UITGEWERKTE VOORBEELD 8: BEREDENERING METVENNDIAGRAMME

VRAAG

In 'n opname word mense gevra oor watter produk hulle gebruik: A of B ofbeide. Die verslag van die opname toon dat mense produk A gebruik,

985

mense gebruik produk B en mense gebruik nie een van die twee nie.

Bepaal hoeveel mense:

1. gebruik slegs produk A

2. gebruik slegs produk B

3. gebruik beide produk A en produk B

OPLOSSING

Stap 1: Som die groottes van die steekproefruimtes, die

gebeurtenisversamelings, hulle vereniging en hulle snyding op

Ons word vertel dat mense ondervra is, dus is die grootte van

die steekproefruimte .

Ons word vertel dat mense produk A gebruik, dus .

Ons word vertel dat mense produk B gebruik, dus

.

Ons word vertel dat mense nie een van die produkte gebruiknie. Dit beteken dat mense ten minste een van die

twee produkte gebruik, dus .

Ons word nie vertel hoeveel mense beide produkte gebruik nie, dusmoet ons die grootte van die snyding uitwerk, , deur dieidentiteit vir die vereniging van die twee gebeurtenisse te gebruik:

986

Stap 2: Bepaal of die gebeurtenisse wedersyds uitsluitend is

Aangesien die snyding van die gebeurtenisse, , nie leeg is nie, isdie gebeurtenisse nie wedersyds uitsluitend nie. Dit beteken dat hullesirkels sal oorvleuel in die Venndiagram.

Stap 3: Trek die Venndiagram en vul die getalle in

Stap 4: Lees die antwoorde af

1. mense gebruik net produk A.

2. mense gebruik net produk B.

3. mense gebruik beide produkte.

987

1.

OEFENING 14.7.1


Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die komplementêre gebeurtenisversameling van , ookbekend as te identifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om te hulle tehelp om dit te kry.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling

die beste?

988


Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die komplementêre gebeurtenisversameling van

, ook bekend as te identifiseer. Hulle haak vas en jybied aan om te hulle te help om dit te kry.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling

die beste?

989

3.

4.

Gegee die volgende Venndiagram:


Is en wedersyds uitsluitend?


990

Die steekproefruimte kan beskryf word as .Is en wedersyds uitsluitend?

991

Hoofstuk opsomming'n Eksperiment verwys na 'n onseker proses.

'n Uitkoms van 'n eksperiment is 'n enkele resultaat van daardie eksperiment.

Die steekproefruimte van 'n eksperiment is die versameling van alle moontlikeuitkomste van daardie eksperiment. Die steekproefruimte word aangedui met diesimbool en die grootte van die steekproefruimte (die totale aantal moontlike

uitkomste) word aangedui met .

'n Gebeurtenis is 'n spesifieke stel uitkomste van 'n eksperiment waarin jygeïnteresseerd is. 'n Gebeurtenis word aangedui met die letter en die aantal

uitkomste in die gebeurtenis met .

'n Waarskynlikheid is 'n reële getal tussen en wat beskryf hoe waarskynlikdit is dat die gebeurtenis sal plaasvind.

'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis nooit sal plaasvindnie.

'n Waarskynlikheid van beteken dat die gebeurtenis altyd sal plaasvind.

'n Waarskynlikheid van beteken dat 'n gebeurtenis die helfte van dietyd sal voorkom, of keer uit elke .

'n Waarskynlikheid kan ook geskryf word as 'n persentasie of as 'n breuk.

Wanneer al die moontlike uitkomste van die eksperiment 'n gelyke kans het omte gebeur, kan ons die presiese teoretiese waarskynlikheid van die gebeurtenisbereken. Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die ratio of verhoudingtussen die aantal uitkomste in die gebeurtenisversameling en die getal moontlikeuitkomste in die steekproefruimte.

992

Die relatiewe frekwensie van 'n gebeurtenis is gedefinieer as die aantal kere watdie gebeurtenis voorkom gedurende eksperimentele proefnemings, gedeel deurdie totale aantal proefnemings wat uitgevoer is.

Die vereniging van twee versamelings is 'n nuwe versameling van al dieelemente wat in ten minste een van die twee versamelings is. Die versamelingword geskryf as of .

Die snyding van twee versamelings is 'n nuwe versameling wat al die elementebevat wat in beide versamelings voorkom. Die snyding word geskryf as of .

Die waarskynlikheid om 'n uitkoms wat in die steekproefruimte lê, waar te neem,

is 1: .

Die waarskynlikheid van die vereniging van twee gebeurtenisse word bereken

met: .

Wedersyds uitsluitende gebeurtenisse is twee gebeurtenisse wat nie opdieselfde tyd kan voorkom nie. Wanneer die uitkoms van 'n eksperiment in dieeerste gebeurtenis is, kan dit nie ook in die tweede gebeurtenis wees nie.

Die komplement van 'n versameling, , is 'n nuwe versameling wat al dieelemente bevat wat nie in is nie. Ons skryf die komplement van as of

“ ”.

Komplementêre gebeurtenisse is wedersyds uitsluitend : .

Komplementêre gebeurtenisse dek die steekproefruimte:

Waarskynlikhede van komplementêre gebeurtenisse tel op na :

.

993

1.

2.


'n Leerder wil die term "uitkoms" verstaan. Dus gooi die leerder 'ndobbelsteen. Watter van die volgende is die mees toepaslike voorbeeld vandie term "uitkoms"?

'n Onderwyser stap die klaskamer binne.Die dobbelsteen land op die gestel 5.Die horlosie slaan 3 nm.


Die steekproefruimte kan beskryf word as .Daar word van hulle gevra om die gebeurtenisversameling van teidentifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle te help om dit te vind.Watter van die volgende versamelings beskryf die gebeurtenisversameling die beste?

994


Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die gebeurtenisversameling van die die verenigingtussen gebeurtenisversameling en gebeurtenisversameling , ookgeskryf as , te identifiseer. Hulle haak vas en jy bied aan om hulle tehelp om dit te vind.Skryf die gebeurtenisverameling neer wat die beste beskryf.

995

4.

5.



Is en wedersyds uitsluitend?


996

6.

7.

8.

9.

10.In 'n groep van leerders, het almal behalwe 'n pakkie skyfies of'n koeldrank of beide. As 'n pakkie skyfies het en van hierdieook 'n koeldrank het, wat is die waarskynlikheid dat 'n leerder watwillekeurig gekies word, die volgende sal hê:

Die steekproefruimte kan beskryf word as .Hulle word gevra om die komplementêre gebeurtenisversameling van

, ook bekend as te identifiseer. Hulle haak vas en jybied aan om te hulle te help om dit te kry.

Skryf die versameling neer wat die gebeurtenisversameling van die beste beskryf.

'n Leerder vind 'n pak van 52 kaarte en neem dan een kaart uit die pak. Watis die waarskynlikheid dat die kaart 'n koning is?Skryf jou antwoord as 'n desimaal (korrek tot 2 desimale plekke).

'n Dobbelsteen word 21 keer gegooi en land 2 keer op die getal 3.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan om 'n 3 gooi met die dobbelsteen?Skryf jou antwoord neer tot 2 desimale plekke.

'n Muntstuk word 44 keer opgeskiet en land 22 keer op kop.Wat is die relatiewe frekwensie daarvan dat 'n muntstuk op kop land? Skryfjou antwoord neer korrek tot 2 desimale plekke.

'n Groep van kinders word gevra of hulle Frosties, Strawberry Pops ofbeide eet. kinders sê hulle eet beide en sê hulle eet net Frosties. Watis die waarskynlikheid dat 'n kind wat willekeurig gekies word slegsStrawberry Pops sal eet?

997

a)

b)

Kleur Pers Oranje Wit Pienk

Aantal blokkies 24 32 41 19

11.'n Boks bevat gekleurde blokkies. Die aantal van elke kleur word indie volgende tabel gegee.

a)

b)

c)

d)

'n Blokkie word willekeurig gekies. Wat is die waarskynlikheid dat dieblokkie die volgende sal wees:

3 jaar oud 4 jaar oud 5 jaar oud

Manlik

Vroulik

12.'n Klein kleuterskool het 'n klas met kinders van verskeieouderdomme. Die tabel gee die aantal kinders van elkeouderdomsgroep in die klas.

a)

As 'n kind willekeurig gekies word, wat is die waarskynlikheid dat diekind die volgende sal wees:

beide skyfies en koeldrank

slegs koeldrank

pers

pers of wit

pienk en oranje

nie oranje

vroulik

998

b)

c)

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

13.Fiona het diskette wat genommer is van tot . As 'n disketwillekeurig geselekteer word, wat is die waarskynlikheid dat diedisketnommer:

'n 4 jaar oue manlike persoon

of jaar oud

en jaar oud

nie

of of vroulik

eindig met

'n veelvoud is van

'n veelvoud is van

nommer is

nie 'n veelvoud van is nie

'n veelvoud is van of

'n veelvoud is van en

999

h)

a)

b)

c)

14.Gebruik 'n Venndiagram om die volgende waarskynlikhede uit tewerk vir 'n dobbelsteen wat gegooi word:

15.

a)

b)

16.In 'n parkeerterrein met motors, is daar Opels. Wat is diewaarskynlikheid dat die eerste motor wat die parkeerterrein verlaat:

17.Nezi het los sokkies in 'n laai. Agt van hierdie is oranje en twee ispienk. Die oorblywende sokkies is nie oranje of pienk nie. Berekendie waarskynlikheid dat die eerste sokkie wat willekeurig gevat word:

nommer is

'n veelvoud van en 'n onewe getal

'n getal wat nie 'n veelvoud van is nie en ook nie 'n onewe getal isnie

'n getal wat nie 'n veelvoud van is nie, maar wat onewe is

'n Pakkie bevat geel lekkers en pienk lekkers. Die waarskynlikheid om 'n

pienk lekker uit die pakkie te haal, is . Wat is die waarskynlikheid om 'ngeel lekker uit te haal?

'n Opel is

nie 'n Opel is nie

1000

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a)

b)

18.'n Bakplaat bevat 'shortbread' koekies, gemmerkoekies, 'chocolate chip' koekies en Jambos. As 'n koekie willekeuriggeneem word, wat is die waarskynlikheid dat:

a)

b)

19. kaartjies is verkoop vir 'n gelukkige trekking. Jabulile het

kaartjies gekoop. Wat is die waarskynlikheid dat Jabulile:

oranje is

nie oranje

pienk is

nie pienk is nie

oranje of pienk is

nie oranje of pienk is nie

dit 'n gemmerkoekie of 'n Jambo is

dit is nie 'n "shortbread" koekie nie

'n prys wen

nie 'n prys wen nie

1001

a)

b)

c)

20.'n Groep kinders is waargeneem om te sien hoeveel het rooi hare enbruin oë. kinders het rooi hare maar nie bruin oë nie, kindershet bruin oë en rooi hare, kinders het bruin oë maar nie rooi harenie en kinders het nie bruin oë of rooi hare nie.

a)

21.'n Fles het pers lekkers, blou lekkers en groen lekkers daarin. Diewaarskynlikheid dat 'n lekkertjie wat willekeurig gekies word, pers sal

wees, is en die waarskynlikheid dat dit groen sal wees, is .

Hoeveel kinders was daar in die skool?

Wat is die waarskynlikheid dat 'n willekeurig gekose kind dievolgende sal hê:

a. bruin oë

b. rooi hare

'n Kind met bruin oë word willekeurig gekies. Wat is diewaarskynlikheid dat hierdie kind rooi hare sal hê?

As ons 'n lekkertjie willekeurig kies, wat is die waarskynlikheid dat ditdie volgende sal wees:

a. pers of blou

b. groen

c. pers

1002

b)

c)

a)

b)

c)

d)

22.Boks A bevat kaarte wat genommer is as , en .Boks B bevat kaarte wat genommer is as en .Een kaart word willekeurig verwyder uit elke boks.Vind die waarskynlikheid dat:

a)

23.'n Kaart word willekeurig getrek uit 'n gewone pak van speelkaarte.

As daar lekkers in die fles is, hoeveel pers lekkers is daar?

van die pers lekkers in (b) het strepies op en die res het nie.Hoeveel pers lekkers het strepies?

die som van die getalle is.

die som van die twee getalle 'n priemgetal is.

die produk van die twee getalle ten minste is.

die som gelyk is aan die produk.

Vind die waarskynlikheid dat die gekose kaart die volgende sal wees:

a. die drie van diamante

b. die drie van diamante of enige hart

c. 'n diamant of 'n drie

1003

b)

24.

a)

b)

25.Vir elk van die volgende, trek 'n Venndiagram om die situasie te voorte stel en vind 'n voorbeeld om die situasie te illustreer.

26.

Die kaart wat getrek is, is die drie van diamante. Dit word op die tafelgeplaas en 'n tweede kaart word getrek. Wat is die waarskynlikheiddat die tweede kaart nie 'n diamant is nie?


Die steekproefruimte kan beskryf kan word as

Hulle word gevra om die waarde van te bereken. Hulle kan ditnie regkry nie en jy bied aan om dit vir hulle te bereken. Gee jou antwoord as'n desimale getal, afgerond tot twee desimale plekke.

'n steekproefruimte waarin daar twee gebeurtenisse is wat niewedersyds uitsluitend is nie

'n Steekproefruimte waarin daar twee gebeurtenisse is

Gebruik 'n Venndiagram om te bewys dat die waarskynlikheid dat ofgebeurtenis A of gebeurtenis B sal plaasvind (A en B is nie wedersydsuitsluitend nie) gegee word deur:

1004

a)

b)

c)

d)

e)

27.Al die klawers word uitgehaal uit 'n pak kaarte. Die oorblywendekaarte word dan geskommel en een kaart gekies. Nadat die kaartgekies is, word dit teruggesit in die pak voordat 'n volgende kaartgekies word.

leerders het niks gekoop nie leerders het vetkoek gekoop leerders het lekkers gekoop

28.'n Opname is uitgevoer by Mutende Laerskool om vas te stel hoeveelvan die leerders koop vetkoek en hoeveel koop lekkersgedurende pouse. Die volgende is gevind:

a)

Wat is die steekproefruimte?

Vind 'n versameling om die gebeurtenis , , dat 'n prentkaart getrekword, te verteenwoordig.

Vind 'n versameling, , om 'n genommerde kaart te trek.

Stel die bostaande gebeurtenisse voor met 'n Venndiagram.

Watter beskrywing van die versamelings en is geskik? (Wenk:Vind enige elemente van in en van in .)

Stel hierdie inligting voor met 'n Venndiagram

1005

b)

a)

b)

c)

29.In 'n opname by Lwandani Sekondêre Skool, is mense ondervraom uit te vind hoeveel lees die Sowetan, hoeveel lees die Daily Sunen hoeveel lees beide. Die opname het getoon lees die DailySun, lees die Sowetan en lees nie een van die twee nie.Gebruik 'n Venndiagram om die persentasie mense te vind wat dievolgende lees:

30.

As 'n leerder willekeurig gekies word, bereken die waarskynlikheiddat hierdie leerder die volgende koop:

a. slegs lekkers

b. slegs vetkoek

c. nie vetkoek of lekkers nie

d. vetkoek en lekkers

e. vetkoek of lekkers

slegs die Daily Sun

slegs die Sowetan

beide die Daily Sun en die Sowetan

In 'n klas is daar

8 leerders wat sokker en hokkie speel7 leerders wat nie sokker of hokkie speel nie13 leerders wat hokkie speel19 leerders wat sokker speel

Hoeveel leerders is daar in die klas?1006

a)

b)

c)

31.Uit mense, stel belang om tydskrifte te lees, stel belangom boeke te lees, stel belang om beide tydskrifte en boeke te lees.

leerders neem Geografie (G) leerders neem Frans (F)

32. leerders is ondervra en die volgende inligting is verkry van

hierdie groep:

leerders neem Geskiedenis (H), maar neem nie Geografieof Frans nie.

Addisioneel is die volgende Venndiagram hieronder ingevul.Gestel is die gebeurtenis dat 'n leerder Geografie neemGestel is die gebeurtenis dat 'n leerder Frans neem.Gestel is die gebeurtenis dat 'n leerder Geskiedenis neem.

Stel die inligting voor met 'n Venndiagram.

Hoeveel mense stel glad nie belang om tydskrifte of boeke te leesnie?

Vind die waarskynlikheid dat 'n persoon wat willekeurig gekies worduit die groep, sal:

a. belangstel om tydskrifte en boeke te lees.

b. slegs belangstel om boeke te lees.

c. nie belangstel om boeke te lees nie.

1007

a)

b)

Van die inligting hierbo, bepaal die waardes van , , en .

Bepaal die waarskynlikheid dat 'n leerder wat willekeurig gekies worduit hierdie groep:

a. net Geografie sal neem.

b. Frans en Geskiedenis sal neem, maar nie Geografie nie.

1008

laai die volledige boek af

Documents