la transformรฉe de laplace
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Chap. 5 La Transformรฉe de Laplace 2020
B. Boulebtateche | Cours : Thรฉorie du Signal Licence ELN2 Annรฉe 2019/2020 1
I. Transformรฉe de Laplace
I.1 Introduction
La transformรฉe de Laplace (๐๐ฟ) joue un rรดle trรจs important dans lโรฉtude et lโanalyse des systรจmes
linรฉaires invariants dans le temps. Cโest un outil trรจs utile qui facilite รฉnormรฉment la rรฉsolution des
รฉquations diffรฉrentielles linรฉaires ร paramรจtres constants. Par consรฉquent, cela permettra de
dรฉterminer la rรฉponse de tels systรจmes ร nโimporte quelle excitation (signal dโentrรฉe) pourvu que la
rรฉponse du systรจme ร une excitation de Dirac soit connue. Ceci est le fait du thรฉorรจme de la
convolution qui conduit ร la notion de fonction de transfert dโun systรจme. Lโimportance de la ๐๐ฟ
pour les systรจmes linรฉaires invariants est ce que la transformรฉe de Fourier (๐๐น) est pour les
signaux. La ๐๐ฟ est une transformรฉe qui agit sur lโintervalle [0,โ] et non pas, comme la transformรฉe
de Fourier qui opรจre sur [โโ,โ]. Pour cette raison, la TL est utile pour rรฉsoudre les problรจmes
dรฉpendants de conditions initiales, tel que la thรฉorie des circuits รฉlรฉctriques, dont le comportement
est dรฉcrit par lโinstant ๐ก = 0 de fermeture des interrupteurs et la valeur initiale ๐(0) dโune grandeur
(courant, tension,...) spรฉcifiรฉe.
I.2 Dรฉfinition
La ๐๐ฟ est une gรฉnรฉralisation de la transformรฉe de Fourier en ce qui concerne le domaine de
dรฉfinition de la variable ๐ รฉtendu au domaine complexe de la variable๐. Dโautre part, on admet que
la fonction ร transformer est causale, c'est-ร -dire ๐๐ข๐๐๐ ๐๐๐ข๐ ๐ก < 0. La transformรฉe de Fourier est
un cas particulier de la transformรฉe de Laplace dรฉfinie sur lโaxe imaginaire ๐๐ , c'est-ร -dire en posant
๐ = ๐๐ .
La transformรฉe de Laplace ๐น(๐) d โune fonction ๐(๐ก) ๐๐๐ข๐ ๐๐๐ est dรฉfinie par :
๐(๐) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐(๐)] = ๐ญ(๐) = โซ ๐(๐)
+โ
๐
๐โ ๐๐ ๐ ๐ = โซ ๐(๐)
+โ
๐
๐โ ๐๐ ๐โ ๐๐๐๐ ๐
avec ๐ = ๐ + ๐๐ variable complexe de Laplace, la multiplication par ๐โ๐๐ก ๐๐ก ๐ > 0 assure la
convergence de lโintรฉgrale de Fourier โ ๐ก โฅ 0
Si cette intรฉgrale converge, on dira que la transformรฉe de Laplace existe, ce qui est
gรฉnรฉralement le cas pour un domaine de convergence. Dans ce domaine, ๐น(๐) existe
lorsque ๐ = ๐ ๐(๐): ๐๐๐๐ก๐๐ ๐รฉ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ > ๐พ ๐รฉ๐๐ , il dรฉfinit le plan de convergence dans le
domaine complexe ๐ = ๐ + ๐๐ de Laplace.
La ๐๐ฟ est une fonction complexe analytique de la variable complexe ๐ (dรฉrivable) et sa
dรฉrivรฉe est donnรฉe par :
๐๐น(๐)
๐๐=๐
๐๐( โซ ๐(๐ก)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก) = โซ ๐(๐ก)
+โ
0
(โ๐ก๐โ ๐๐ก) ๐๐ก = โซ โ๐ก ๐(๐ก)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก
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Exemple de Transformรฉe de Laplace des signaux usuels :
๐ผ๐๐๐ข๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ท๐๐๐๐ ๐ฟ(๐ก) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐น(๐)] = ๐น(๐) = โซ ๐ฟ(๐ก)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก = ๐โ ๐๐ก|๐ก=0 = 1
๐น(๐) ๐ฃ๐ โ ๐
๐๐โ๐๐๐๐ ๐ข๐๐๐กรฉ ๐ข(๐ก) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐(๐)] = โซ ๐โ ๐๐ก
+โ
0
๐๐ก = โ1
๐๐โ ๐๐ก|
๐ก=0
๐ก=โ
= 0 โ (โ1
๐) =
1
๐
๐(๐) ๐ฃ๐ โ
๐
๐
๐ธ๐ฅ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐รฉ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐ ๐๐๐ข๐ ๐๐๐ ๐โ๐๐ก๐ข(๐ก):
๐โ๐๐ก๐ข(๐ก) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐โ๐๐ก๐(๐)] = โซ ๐โ๐๐ก๐โ ๐๐ก
+โ
0
๐๐ก = โซ ๐โ (๐+๐)๐ก๐๐ก =
+โ
0
โ1
๐ + ๐๐โ ๐๐ก|
๐ก=0
๐ก=โ
= 0 โ (โ1
๐ + ๐) =
1
๐ + ๐ , ๐ ๐(๐ + ๐) > 0 โ ๐ ๐(๐) > โ๐
๐โ๐๐๐(๐) ๐ฃ๐ โ
๐
๐ + ๐
I.3 Propriรฉtรฉs de la Transformรฉe de Laplace
Soient ๐(๐), ๐1(๐), ๐2(๐) ๐๐ก ๐(๐) les transformรฉes de Laplace desdes signaux ๐ฅ(๐ก),
๐ฅ1(๐ก), ๐ฅ2(๐ก) ๐๐ก ๐ฆ(๐ก) ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก, ๐๐ก ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐๐ ๐ , ๐1๐๐ก ๐2 ๐๐๐ ๐รฉ๐๐๐ , on a les
propriรฉtรฉs suivantes trรจs utiles pour le calcul de la transformรฉe de Laplace :
Linรฉaritรฉ :
๐ ๐ ๐(๐) = ๐๐๐๐(๐) + ๐๐๐๐(๐) ๐๐๐๐๐ ๐ฟ(๐) = ๐๐๐ฟ๐(๐) + ๐๐๐ฟ๐(๐)
Translation ou retard frรฉquentiel (ou multiplication par une exponentielle) :
๐๐๐๐(๐) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐๐๐๐(๐)] = ๐ฟ(๐ โ ๐)
Translation ou retard temporel :
๐(๐) = ๐(๐ โ ๐) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐(๐ โ ๐)] = ๐(๐) = ๐โ๐๐๐ฟ(๐)
Changement dโรฉchelle :
๐(๐) = ๐(๐๐) ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐(๐) = ๐(๐๐)] = ๐(๐) =
๐
๐๐ฟ(
๐
๐)
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Dรฉrivation : ๐ฆ(๐ก) =๐๐ฅ(๐ก)
๐๐ก
๐(๐) =๐
๐ ๐๐(๐)
๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐[๐(๐) = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)] = ๐(๐) = ๐๐ฟ(๐) โ ๐(๐)
Dรฉmonstration :
๐ฃ๐[๐(๐) = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)] = โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก = [๐ฅ(๐ก)๐โ ๐๐ก]๐ก=0++โ + ๐ โซ ๐(๐)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก =
๐๐๐รจ๐ ๐๐๐กรฉ๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐ ๐(๐) = ๐ ๐ฟ(๐) โ ๐(๐)
Pour la dรฉrivรฉe seconde ๐2๐ฅ(๐ก)
๐๐ก2= ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก) on a, en intรฉgrant par partie :
๐ฃ๐[๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)] = โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก = [๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐ก)๐โ ๐๐ก]๐ก=0++โ + ๐ โซ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
+โ
0
๐โ ๐๐ก ๐๐ก =
๐ฃ๐[๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)] = ๐๐ ๐ฟ(๐) โ ๐ ๐(๐) โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
En gรฉnรฉral, pour une dรฉrivรฉe ๐โ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ฅ(๐ก) on a :
๐ฃ๐ [๐(๐)(๐) =๐ ๐๐(๐)
๐ ๐๐] =
= ๐๐ ๐ฟ(๐) โ ๐๐โ๐ ๐(๐) โ ๐๐โ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)โฆ .โ๐๐(๐โ๐)(๐)โ ๐(๐โ๐)(๐)
Intรฉgration de x(t) :
๐ ๐ ๐ฆ(๐ก) = โซ๐ฅ(๐)
๐ก
0
๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐ [๐ฆ(๐ก) = โซ๐ฅ(๐)
๐ก
0
๐๐ ] = ๐(๐) = ๐ฟ(๐)
๐
Multiplication de ๐(๐) ๐๐๐ ๐๐ โถ
๐ ๐ ๐ฆ(๐ก) = ๐ก๐ ๐ฅ(๐ก) ๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐[๐ฆ(๐ก) = ๐ก๐ ๐ฅ(๐ก)] = ๐(๐) = (โ๐)๐ ๐ ๐๐ฟ(๐)
๐ ๐๐
Thรฉorรจme de la valeur initiale :
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐(๐) = ๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ+โ
๐๐ฟ(๐)
Thรฉorรจme de la valeur finale :
๐๐๐๐โ+โ
๐(๐) = ๐(+โ) = ๐๐๐ ๐โ๐
๐๐ฟ(๐)
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Thรฉorรจme de Convolution :
La transformรฉe de Laplace dโun produit de convolution dans le domaine temps devient un
produit simple dans le domaine de Laplace et vice versa.
๐ ๐ ๐ฆ(๐ก) = โ(๐ก) โ ๐ฅ(๐ก) = โซโ(๐)
๐ก
0
๐ฅ(๐ก โ ๐)๐๐ = โซโ(๐ก โ ๐)
๐ก
0
๐ฅ(๐)๐๐
๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐ [๐(๐) = ๐(๐) โ ๐(๐)] = ๐(๐) = ๐ฟ(๐).๐ฏ(๐)
Ce thรฉorรจme joue un rรดle trรจs important dans lโanalyse des systรจmes linรฉaires invariants. Il
permet une description complรจte du comportement dynamique de tels systรจmes. La
rรฉponse du systรจme ร toute excitation dโentrรฉe est dรฉterminรฉe exactement si on connait
auparavant la rรฉponse impulsionnelle du systรจme ร lโexcitation par une impulsion de Dirac.
Dans ce cas, on peut analyser lโรฉvolution dynamique du systรจme concernant son rรฉgime
transitoire, sa rรฉponse statique ou rรฉgime permanent, voire mรชme sa rapiditรฉ et sa stabilitรฉ
en utilisant le concept de fonction de transfert qui relie la sortie ร lโentrรฉe dans le domaine
de Laplace.
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II. Transformรฉe de Laplace Inverse
II.1 Introduction
On dรฉtermine la transformรฉe de Laplace inverse ๐ฅ(๐ก) ๐๐ ๐(๐) ร partir de la transformรฉe de
Fourier inverse de ๐(๐ + ๐๐) et qui est ๐ฅ(๐ก)๐โ๐๐ก en effet :
en posant ๐ = ๐ + ๐๐ dans lโintรฉgrale de Laplace de ๐(๐) il vient que :
๐ฟ(๐ + ๐๐) = โซ ๐(๐)
+โ
๐
๐โ (๐+๐๐)๐ ๐ ๐ = โซ ๐(๐)
+โ
๐
๐โ ๐๐ ๐โ ๐๐๐๐ ๐
En admettant que ๐ , ๐๐๐๐ก๐๐ ๐รฉ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฟ๐๐๐๐๐๐ ๐, appartienne ร lโintervalle
de convergence de ๐(๐), on peut dire que ๐ฟ(๐ + ๐๐) , fonction de ๐ , reprรฉsente la
transformรฉe de Fourier de ๐ฅ(๐ก)๐โ๐๐ก .
La transformรฉe de Fourier inverse est ainsi donnรฉe par :
๐ฅ(๐ก)๐โ๐๐ก =1
2๐โซ ๐ฟ(๐ + ๐๐)
+โ
โโ
๐๐๐๐ก๐๐
Dโoรน on tire :
๐ฅ(๐ก) = ๐+๐๐ก1
2๐โซ ๐ฟ(๐ + ๐๐)
+โ
โโ
๐๐๐๐ก๐๐ =1
2๐โซ ๐ฟ(๐ + ๐๐)
+โ
โโ
๐(๐+๐๐)๐ก๐๐
Ce qui conduit ร :
๐ฃ๐โ๐[๐ฟ(๐)] = ๐(๐) =๐
๐๐ โซ ๐ฟ(๐ + ๐๐)
+โ
โโ
๐(๐+๐๐)๐๐ ๐
๐๐ข๐๐ ๐๐ข๐ ๐ = ๐ + ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ = ๐ ๐๐ โ ๐๐ =1
๐ ๐๐,
๐ฃ๐โ๐[๐ฟ(๐)] = ๐(๐) =๐
๐๐ ๐โซ ๐ฟ(๐)
+โ
โโ
๐๐๐๐ ๐
Cette expression dรฉfinit la transformรฉe de Laplace inverse. Pour dรฉterminer la transformรฉe
de Laplace inverse de X(p) on utlise souvent la table des transformรฉes de Laplace de
fonctions usuelles connues ou bien en dรฉcomposant X(p) sous forme dโune somme
dโรฉlรฉments plus simples que lโon peut facilement utiliser ร lโaide des tables de transformรฉes.
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II.2 Dรฉcomposition de la ๐ป๐ณ en somme de fractions simples
Dans le cas oรน X(p) est une fraction rationnelle propre, c'est-ร -dire , le rapport de deux polynomes en
p tel que lโordre du numรฉrateur est strictement infรฉrieur ร celui du dรฉnominateur alors on peut
factoriser ce dernier et exprimer X(p) sous forme :
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)= ๐๐๐
๐ + ๐๐โ1๐๐โ1 +โฏ+ ๐1๐
1 + ๐0๐๐๐๐ + ๐๐โ1๐๐โ1 +โฏ+ ๐1๐1 + ๐0
=๐(๐)
โ (๐ โ ๐ผ๐)๐๐=1
, ๐ > ๐
๐๐๐ ๐ผ๐ ๐๐๐๐รฉ๐ ๐๐๐ก๐๐๐ก ๐๐๐ ๐รด๐๐๐ ๐๐ ๐(๐), ๐๐ข ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข ๐รฉ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ข๐ ๐ท(๐)
Deux cas de catรฉgories de pรดles possibles pour ๐(๐):
- pรดles simples
- pรดles multiples
Dรฉcomposition de X(p) ayant uniquement de pรดles simples : ๐ถ๐ โ ๐ถ๐ โ ๐ โ ๐
Dans ce cas on peut dรฉcomposer X(p) sous forme de somme de fractions simples propres
dโordre 1 en p de la faรงon suivante :
๐ฟ(๐) =๐ต(๐)
๐ซ(๐)=
๐ต(๐)
โ (๐ โ ๐ถ๐)๐๐=๐
= โ๐จ๐
(๐ โ ๐ถ๐)
๐
๐=๐
๐(๐) = โ๐จ๐
๐
๐=๐
๐๐ถ๐๐ ๐(๐)
Calcul des coefficients ๐จ๐ :
Les coefficients ๐ด๐ sont dรฉterminรฉs en รฉvaluant le produit (๐ โ ๐ผ๐)๐(๐) au point
๐ = ๐ผ๐ , ๐๐๐ข๐ ๐ก๐๐ข๐ก ๐ = 1โฆ๐
๐จ๐ = (๐ โ ๐ถ๐)๐ฟ(๐)|๐=๐ถ๐=
๐ต(๐ถ๐)
โ (๐ถ๐ โ ๐ถ๐)๐๐=๐๐โ ๐
๐๐๐๐ ๐ = ๐โฆ๐
Exemple
soit ร calculer la ๐๐ฟ ๐๐๐ฃ๐๐๐ ๐ de :
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=
1
๐2 + 7 ๐ + 10
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Solution
On รฉcrit ๐ท(๐) sous forme de produit de facteurs en cherchant les racines de ce polynรดme,
c'est-ร -dire les pรดles de ๐(๐) :
๐ท(๐) = ๐2 + 7 ๐ + 10 = (๐ + 2)(๐ + 5),
๐ท(๐) ๐๐ ๐ก ๐ข๐ ๐๐๐๐ฆ๐รด๐๐ ๐โ๐๐๐๐๐ 2 , ๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐ฅ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก ๐ผ1 = โ2 ๐๐ก ๐ผ2 = โ5
On peut donc dรฉcomposer X(p) sous la forme suivante :
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=
1
๐2 + 7 ๐ + 10=
๐ด1๐ + 2
+๐ด2๐ + 5
Calcul des coefficients ๐จ๐ et ๐จ๐ :
๐จ๐ = (๐ + 2)๐(๐)|๐=โ2=
(๐ + 2)
(๐ + 2)(๐ + 5)|๐=โ2
=1
โ2 + 5= +
๐
๐
๐จ๐ = (๐ + 5)๐(๐)|๐=โ5=
(๐ + 5)
(๐ + 2)(๐ + 5)|๐=โ5
=1
โ5 + 2= โ
๐
๐
Ce qui nous permet dโรฉcrire :
๐ฟ(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=
1
๐2 + 7 ๐ + 10= +
๐
๐ ๐
๐ + ๐โ๐
๐
๐
๐ + ๐
En utilisant la table des transformรฉes la TL inverse ๐ฅ(๐ก) est donc:
๐ฅ(๐ก) = โ๐ด๐
2
๐=1
๐๐ผ๐๐ก ๐ข(๐ก) =1
3 ๐โ2๐ก ๐ข(๐ก) โ
1
3 ๐โ5๐ก ๐ข(๐ก) =
๐(๐) = ๐
๐ (๐โ๐๐ โ ๐โ๐๐) ๐(๐)
Dรฉcomposition de X(p) ayant des pรดles multiples de multiplicitรฉ r
Soit le cas dโun pรดle multiple ๐ผ1 ๐โ๐๐๐๐๐ ๐ ;
๐(๐) ๐๐๐ ๐ รจ๐๐ 1 ๐รด๐๐ ๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐ ๐โ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ก (๐ โ ๐) ๐รด๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ :
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=
๐(๐)
(๐ โ ๐ผ1)๐โ (๐ โ ๐ผ๐)๐๐=๐+1
,
๐(๐) ๐๐๐๐๐๐ โถ ๐ < ๐ , ๐(๐) โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ท(๐) โ ๐๐๐๐๐ ๐
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=
๐(๐)
(๐ โ ๐ผ1)๐ (๐ โ ๐ผ๐+1)(๐ โ ๐ผ๐+2)โฆ (๐ โ ๐ผ๐)
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Lโexpansion de ๐(๐) donne :
๐ฟ(๐) =๐ต(๐)
๐ซ(๐)=
๐จ๐๐(๐ โ ๐ถ๐)๐
+๐จ๐(๐โ๐)
(๐ โ ๐ถ๐)๐โ๐+โฏ+
๐จ๐(๐โ๐)(๐ โ ๐ถ๐)๐โ๐
+โฏ+๐จ๐๐
(๐ โ ๐ถ๐)๐
+๐จ๐๐
(๐ โ ๐ถ๐)๐+
๐จ๐+๐(๐ โ ๐ถ๐+๐)
+ โฏ+๐จ๐
(๐ โ ๐ถ๐)
Les coefficients des racines ou poles multiples de X(p) sโobtiennent en utilisant les formules
suivantes :
๐จ๐(๐โ๐)(๐ โ ๐ถ๐)๐โ๐
โ ๐จ๐(๐โ๐) =
๐
๐ ![๐ ๐
๐ ๐๐{(๐ โ ๐ถ๐)
๐ ๐ต(๐)
๐ซ(๐)}]๐=๐ถ๐
, ๐ = ๐, ๐, โฆ ๐ โ ๐
Exemple
soit ร calculer la TL inverse de X(p) donnรฉe par :
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=
1
๐2(๐ + 1)
๐(๐)๐๐ ๐ก ๐โฒ๐๐๐๐๐3, il possรจde un pรดle multiple dโordre ๐ = 2 ๐๐ข ๐๐๐๐๐ก ๐ถ๐ = 0
๐๐ก ๐ข๐ ๐รด๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ข ๐๐๐๐๐ก ๐ถ๐ = โ1 .
La dรฉcomposition de X(p) nous donne :
๐(๐) =๐(๐)
๐ท(๐)=๐จ๐๐๐๐+๐จ๐๐๐+
๐จ๐๐ + ๐
Calcul de ๐จ๐๐ , ๐จ๐๐ ๐๐ ๐จ๐
๐จ๐๐ = ๐2๐(๐)
|๐=0=
1
๐ + 1|๐=0
= ๐
๐จ๐๐ = 1
1! ๐
๐๐[๐2๐(๐)]
|๐=0=๐
๐๐[1
๐ + 1]|๐=0
= โ1
(๐ + 1)2|๐=0
= โ๐
๐จ๐ = (๐ + 1)๐(๐)|๐=โ1=1
๐2|๐=โ1
= ๐
Ce qui permet dโรฉcrire :
๐ฟ(๐) =๐
๐๐(๐ + ๐)=๐
๐๐+โ๐
๐+
๐
๐ + ๐
๐ฟ(๐) ๐ป๐ณโ๐ โ ๐(๐) = ๐. ๐(๐) โ ๐(๐) + ๐โ๐๐(๐)
๐(๐) = (๐ โ ๐ + ๐โ๐) ๐(๐)
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II.3 Rรฉsolution des Equations Diffรฉrentielles Linรฉaires
Il ressort du rรฉsultat gรฉnรฉral donnรฉ par la propriรฉtรฉ de dรฉrivation que ๐๐ฟ {๐๐๐ฆ(๐ก) ๐๐ก๐โ }
dรฉpend de ๐(๐) = ๐๐ฟ{๐ฆ(๐ก)} et des (๐ โ 1) dรฉrivรฉes de ๐ฆ (๐ก) รฉvaluรฉ au temps ๐ก = 0. Cette
propriรฉtรฉ rend la transformรฉe de Laplace parfaitement adaptรฉe pour rรฉsoudre des
problรจmes linรฉaires avec conditions initiales dans lesquels l'รฉquation diffรฉrentielle est ร
coefficients constants. Une telle รฉquation diffรฉrentielle est simplement une combinaison
linรฉaire de termes ๐ฆ, ๐ฆโฒ, ๐ฆโฒโฒ, โฆ , ๐ฆ(๐โ1), ๐ฆ(๐):
๐๐๐๐๐ฆ
๐๐ก๐+ ๐๐โ1
๐๐โ1๐ฆ
๐๐ก๐โ1+โฏ+ ๐1
๐๐ฆ
๐๐ก+ ๐0๐ฆ = ๐ฅ(๐ก)
๐๐ก ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐ฆ(0) = ๐ฆ0, ๐ฆโฒ(0) = ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ
(๐โ1)(0) = ๐ฆ๐โ1
๐๐๐ ๐๐ , ๐ = 0โฆ๐, ๐๐ก ๐ฆ0, ๐ฆ1, โฆ ๐ฆ๐โ1 ๐ ๐๐๐ก ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐
Par la propriรฉtรฉ de linรฉaritรฉ, la transformรฉe de Laplace de cette combinaison linรฉaire est une
combinaison linรฉaire de transformรฉes de Laplace:
๐๐๐๐ฟ {๐๐๐ฆ
๐๐ก๐} + ๐๐โ1๐๐ฟ {
๐๐โ1๐ฆ
๐๐ก๐โ1} + โฏ+ ๐1๐๐ฟ {
๐๐ฆ
๐๐ก} + ๐0๐๐ฟ{๐ฆ(๐ก)} = ๐๐ฟ{๐ฅ(๐ก)}
En appliquant la propriรฉtรฉ de la TL des signaux dรฉrivรฉs on obtient lโexpression suivante :
๐๐[๐๐๐(๐) โ ๐๐โ1๐ฆ(0) โโฏโ ๐ฆ(๐โ1)(0)]
+ ๐๐โ1[๐๐โ1๐(๐) โ ๐๐โ2๐ฆ(0) โโฏโ ๐ฆ(๐โ2)(0)] + โฏ+ ๐0๐(๐) = ๐(๐)
En d'autres termes, la transformation de Laplace dโune รฉquation diffรฉrentielle linรฉaire ร
coefficients constants devient une รฉquation algรฉbrique en ๐(๐). Si nous rรฉsolvons cette
รฉquation gรฉnรฉrale transformรฉe pour ๐(๐), nous obtenons alors :
[๐๐๐๐ + ๐๐โ๐๐
๐โ๐ +โฏ+ ๐๐]๐(๐)
= [[๐๐๐๐โ1 + ๐๐โ1๐
๐โ2 +โฏ+ ๐1]๐ฆ(0)
+ [๐๐๐๐โ2 + ๐๐โ1๐
๐โ3 +โฏ+ ๐2]๐ฆโฒ(0) + โฏ+ [๐๐๐
1 + ๐๐โ1]๐ฆ(๐โ2)(0)
+ ๐๐๐ฆ(๐โ1)(0)] + ๐ฟ(๐)
C'est-ร -dire, on obtient lโexpression compacte suivante :
๐ซ(๐) ๐ (๐) = ๐ธ (๐) โ ๐๐๐๐๐ ๐ รป
๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐ฟ(๐) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ โฒ๐๐๐๐รฉ๐
๐รน ๐ท(๐) = [๐๐๐๐ + ๐๐โ1๐
๐โ1 +โฏ+ ๐0]
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๐ (๐) = [[๐๐๐๐โ1 + ๐๐โ1๐
๐โ2 +โฏ+ ๐1]๐(๐) + [๐๐๐๐โ2 + ๐๐โ1๐
๐โ3 +โฏ+ ๐2]๐โฒ(๐)
+ โฏ+ [๐๐๐1 + ๐๐โ1]๐
(๐โ๐)(๐) + ๐๐๐(๐โ๐)(๐)]
Ce qui permet dโรฉcrire :
๐(๐) = ๐ธ(๐)
๐ซ(๐)+๐ฟ(๐)
๐ซ(๐)
En passant ร la transformรฉe de Laplace inverse de Y(p) on obtient la solution gรฉnรฉrale ๐ฆ(๐ก)
de lโรฉquation diffรฉrentielle et dont lโexpression est la suivante :
๐๐ ๐ ๐๐๐ข๐ก๐๐๐ ๐รฉ๐รฉ๐๐๐๐ ๐(๐) = ๐ป๐ณโ๐{๐(๐)} = ๐ป๐ณโ๐ {๐(๐)
๐ท(๐)}
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐โฒรฉ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐รจ๐๐
+ ๐ป๐ณโ๐ {๐(๐)
๐ท(๐)}
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐รจ๐๐๐ รป๐ ร ๐โฒ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
La solution gรฉnรฉrale de lโรฉquation diffรฉrentialle est composรฉe de la combinaison de deux
parties, ร savoir, la solution de lโรฉquation homogรจne (sans excitation, ๐ฅ(๐ก) = 0) qui est dรปe
aux conditions initiales non nulles(๐ฆ(๐)(0) โ 0) , et la solution particuliรจre qui elle est dรปe
uniquement ร lโรฉffet de lโรฉxcitation ๐ฅ(๐ก) avec conditions initiales nulles (๐ฆ(๐)(0) = 0 โ๐).
La procรฉdure de rรฉsolution est rรฉsumรฉe dans le diagramme suivant :
Exemple
Utiliser la transformรฉe de Laplace pour rรฉsoudre lโรฉquation diffรฉrentielle suivante :
๐ ๐
๐ ๐+ ๐๐ = ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐) , ๐๐๐๐ ๐(๐) = ๐
Chercher lโinconnue
๐(๐) de lโรฉq. diff.
avec conditions
initiales ๐ป๐ณ
Appliquer la transformรฉe
de Laplace Lโรฉq. diffรฉrentielle
en ๐(๐) devient une
รฉq. algรฉbrique en
๐(๐)
Rรฉsoudre lโรฉq.
algรฉbrique pour ๐(๐) ๐ป๐ณโ๐
Appliquer la transformรฉe
de Laplace inverse Solution ๐(๐) de
lโรฉq. diffรฉrentielle
de dรฉpart
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Solution
Tout dโabord on applique la Tโ aux deux membres de lโรฉquation diffรฉrentielle :
๐โ {๐๐ฆ
๐๐ฅ} + 3 ๐โ{๐ฆ} = 13 ๐โ{sin(2๐ก)}
A partir de la propriรฉtรฉ de la transformรฉe de la dรฉrivรฉe on a :
๐โ {๐๐ฆ
๐๐ฅ} = ๐ ๐(๐) โ ๐ฆ(0) = ๐ ๐(๐) โ 6
๐โ{๐ฆ} = ๐(๐) ๐๐ก ๐โ{sin(2๐ก)} =2
๐2 + 22
Dโoรน lโรฉquation algรฉbrique en fonction de Y(p) :
๐ ๐(๐) โ 6 + 3๐(๐) = 13 2
๐2 + 4
(๐ + 3)๐(๐) โ 6 = 26
๐2 + 4
(๐ + 3)๐(๐) = 6 + 26
๐2 + 4
La rรฉsolution de cette รฉquation algรฉbrique donne :
๐(๐) = ๐
(๐ + ๐) +
๐๐
(๐ + ๐)(๐๐ + ๐)=
๐๐๐ + ๐๐
(๐ + ๐)(๐๐ + ๐)
๐(๐) รฉtant une fonction rationelle propre, ayant un pรดle simple ๐ผ0 = โ3 et deux pรดles
complexes conjuguรฉs ๐ผ1,2 = ยฑ2๐ on peut la dรฉcomposer en fractions simples de la maniรจre
suivante :
๐(๐) =๐๐๐ + ๐๐
(๐ + ๐)(๐๐ + ๐)=
๐จ
(๐ + ๐) +
๐ฉ๐ + ๐ช
(๐๐ + ๐)
Calcul des coefficients ๐ด, ๐ต, ๐๐ก ๐ถ:
En mettant sous dรฉnominateur communs les deux termes de droite :
๐(๐) =6๐2 + 50
(๐ + 3)(๐2 + 4)= ๐ด(๐2 + 4) + (๐ต๐ + ๐ถ)(๐ + 3)
(๐ + 3)(๐2 + 4)
Par รฉgalitรฉ des deux numรฉrateurs on a :
6๐2 + 50 = ๐ด(๐2 + 4) + (๐ต๐ + ๐ถ)(๐ + 3)
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Si on prend ๐ = โ3 , il vient directement que :
๐ = โ3 โ ๐จ = ๐
Par identification des coefficients en ๐2 ๐๐ก ๐ on obtient les relations suivantes :
6 = ๐ด + ๐ต, ๐๐ก 0 = 3๐ต + ๐ถ
๐ด = 8 โ ๐ฉ = 6 โ ๐ด = 6 โ 8 = โ๐
๐๐ก ๐๐๐ ๐ร ๐๐ ๐รฉ๐๐ข๐๐ก ๐ช = 0 โ 3๐ต = โ3๐ต = โ3 ร ( โ2) = ๐
Les coefficients sont alors :
๐จ = ๐ , ๐ฉ = โ๐, ๐๐ ๐ช = ๐
Ainsi :
๐(๐) =6๐2 + 50
(๐ + 3)(๐2 + 4)=
8
(๐ + 3) +
โ2๐ + 6
(๐2 + 4)=
8
(๐ + 3)โ 2
๐
(๐2 + 4)+
6
(๐2 + 4)
En passant ร la transformรฉe de Laplace pour chaque terme de droite on obtient la solution
suivante pour ๐ฆ(๐ก) :
๐ฆ(๐ก) = ๐โโ1{๐(๐)} = ๐โโ1 { 8
(๐ + 3)} โ 2๐โโ1 {
๐
(๐2 + 4)} + ๐โโ1 {
6
(๐2 + 4)}
Sachant que : ๐โโ1 { 8
(๐+3)} = 8๐โ3๐ก
๐๐ ๐รช๐๐ โ 2๐โโ1 {๐
(๐2 + 4)} = โ2 cos(2๐ก)
๐๐ก ๐โโ1 {6
(๐2 + 4)} = 3๐โโ1 {
2
(๐2 + 4)} = 3 sin(2๐ก)
On obtient donc la solution :
๐(๐) = = ๐ป๐โ๐{๐(๐)} = ๐๐โ๐๐ โ ๐๐๐จ๐ฌ(๐๐) + ๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐๐)
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Table de quelques transformรฉes de Laplace
Fonction causale ๐(๐)๐(๐)
Transformรฉe de Laplace
๐ฟ(๐) = ๐ป๐ณ{๐(๐)}
Impulsion de Dirac ๐น(๐)
๐
Echelon unitรฉ ๐(๐)
๐
๐
Echelon retardรฉ ๐(๐ โ ๐)
๐โ๐๐
๐
Signal retardรฉ ๐(๐ โ ๐)๐(๐ โ ๐)
๐ฟ(๐)๐โ๐๐
Signal rampe ๐ . ๐(๐)
๐
๐๐
๐๐ . ๐(๐) , ๐ = ๐, ๐, ๐โฆ. ๐!
๐๐+๐
Signal Exponentiel ๐๐๐ ๐(๐)
๐
๐ โ ๐
Multiplication par Exponentielle ๐๐๐ ๐(๐)
๐ฟ(๐ โ ๐)
๐๐ . ๐๐๐ , ๐ = ๐, ๐, ๐โฆ. ๐!
(๐ โ ๐)๐+๐
Signal sinusoide ๐ฌ๐ข๐ง (๐๐)
๐
๐๐ + ๐๐
๐โ๐๐. ๐ฌ๐ข๐ง (๐๐) ๐
(๐ + ๐)๐ + ๐๐
๐๐จ๐ฌ (๐๐) ๐
๐๐ + ๐๐
๐โ๐๐. ๐๐จ๐ฌ (๐๐) ๐ + ๐
(๐ + ๐)๐ + ๐๐
Multiplication par ๐ ๐ . ๐(๐)
โ๐
๐ ๐๐ฟ(๐)
๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ ๐) ๐๐๐
(๐๐ + ๐๐)๐
๐ ๐๐จ๐ฌ (๐ ๐) ๐๐ โ๐๐
(๐๐ + ๐๐)๐
Multiplication par ๐๐ ๐๐ . ๐(๐)
(โ๐)๐๐ ๐
๐ ๐๐๐ฟ(๐)
La transformรฉe de Laplace est dรฉfinie pour les signaux causaux, = ๐ โ ๐ < 0 .
On obtient un signal causal en le multipliant par lโรฉchelon unitรฉ ๐(๐).