transformée de laplace
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Transformée de Laplace. Objectifs du cours . Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler Revoir la transformée de Laplace Détermination de la fonction de transfert Décomposition de la réponse en fractions partielles Introduction à la modélisation. Introduction. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 1
Transformée de Laplace
0
( ) ( ) stL f t f t e dt
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 2
Objectifs du cours
• Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler
• Revoir la transformée de Laplace• Détermination de la fonction de transfert • Décomposition de la réponse en fractions
partielles• Introduction à la modélisation
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 3
IntroductionPour effectuer l’analyse et la synthèse d’un système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs d’entrée et ses grandeurs de sorties. L’ensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système.
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 4
IntroductionLa mise en équations d’un système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent.
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 5
Introduction• des lois de la mécanique pour les mouvements des corps
solides en translations et/ou en rotation• des lois de l’électricité pour les circuits électriques (Les
systèmes à composants passifs et actifs) • des lois magnétiques (moteur à courant continu,…)• des lois de l’écoulement des fluides la thermodynamique…
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 6
Mécanique (Loi de Newton)• En translation : somme des forces agissant sur un corps =
accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps
• En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment d’inertie par rapport au centre de gravité
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 7
Loi de l’électricité (loi de Kirchhoff)
• Somme des tensions dans une maille est nulle
• Somme des courants traversant un nœud est nulle
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 8
Il s’agit de trouver un formalisme qui permet de relier l’entrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers d’un système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade.
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 9
SYSTÈME LINÉAIRE INVARIANT DANS LE TEMPS (S.L.I.T.)
1
1 01
1
1 01
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n
n nn n
m m
m mm m
d c t d c ta a a c tdt dtd r t d r tb b b r tdt dt
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 10
Transformée de Laplace• C’est une méthode opérationnelle pour la résolution des
équations différentielles. • Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous
forme de fonctions algébriques à variable complexe. • L’intégration et la dérivation peuvent être remplacées par une
opération algébrique dans le plan complexe. • La transformée de Laplace permet l’utilisation de techniques
graphiques pour prédire la performance d’un système sans résoudre le système.
• La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent.
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 11
Transformée de Laplace
( 0)( 0) 0; 0d x tx td t
Résolution des équations différentielles qui régissent les S.L.I.T. Exemple :
2 ( ) ( )2 5 ( ) 3 sin (5 )d x t d x t x t td t d t
22( ) ( )2 ( ) 5 td x t d x t x t e t
d t d t
( 0)( 0) 2; 1d x tx td t
Conditions initiales nulles
Conditions initiales
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Variable complexe et fonction complexe
Variable complexe. Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante:
Complexe conjugué
Complexes j
2
,
1j
s j
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Représentation géométriques des nombres complexes
GPA535. (C) R. AISSAOUI 13
Im
2 2
(cos sin )
(cos sin )
s j OM j
s j
On définit alors:Module de s
Phase de s1 10; tan ; 0; tan ;
2 2s OM
arg( )s s
Re0
Ms +
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Opérations dans l’ensemble des complexes
Addition:
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( )( ) ( )
s s s j js j
Multiplication:1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2
1 2
( )( )( ) ( )
s s s j js js s s
s s s
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 15
Division de 2 nombres complexes
1 1 1 1 1 2 2 1 22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 21
2
( )( )( )( )
s j j j s ss j j j s
s sss
2
2s1
2
11 2
2
ss
s s ss
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Exemples: déterminer le module et l’argument des complexes suivants
( 2.5 3 )( 0.5 4 )4 32 54 32
j jjjjj
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Fonctions TI - Matlab
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THÉORÈME D’EULER
Le développement en série de puissance des fonctions circulaires sinus et cosinus s’écrivent:
2 4 6
cos 12! 4! 6!θ θ θ
3 5 7
sin3! 5! 7!
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THÉORÈME D’EULER
2 3( ) ( )cos sin 1 ( )2! 3!j jj j
Or on sait que la fonction ex se développe par
Alors le théorème d’Euler:
cos sin jj e
2 3
12! 3!
x x xe x
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cos sin jj e cos sin jj e
Alors1cos ( )21sin ( )2
j j
j j
e e
e ej
THÉORÈME D’EULER
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 21
2 2( )(cos( ) sin( )) js j s e
s s
Tout nombre complexe peut s’écrire sous une forme exponentielle
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
s j j
s j
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VARIABLE COMPLEXE – FONCTION COMPLEXE (suite)
Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et s’écrit:
( ) x yF s F jF Où Fx et Fy sont des quantités réelles.
2 2x yAmplitude Module (F F )
1y xPhase Angle tan (F F )
x yConjuguée de F(s) F jF
+
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 23
EXEMPLE DE FONCTION COMPLEXE
1F(s) s 1
2K(s 2)(s 10)F(s) s(s 1)(s 5)(s 15)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 24
Exemple - TI
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 25
Exemple - TI
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TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe
Et L désigne l’opérateur de la T.L. alors:
0
[ ( )] ( ) ( ) stL f t F s f t e dt
Condition d’existence = convergence de l’intégrale
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 27
TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE
Le processus inverse est définit:
1 1( ( )) ( ) ( )2
c jst
c j
L F s f t F s e dsj
Où c est l’abscisse de convergence et choisit plus grand que toute les valeurs singulières (pôles) de F(s). Le chemin de l’intégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON N’UTILISERA PAS CETTE FORME
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 28
SIGNAUX DE COMMANDE (Tableau 1.1 p.19)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 29
TRANSFORMÉE DE LAPLACE (Tableau 2.1p. 41)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 30
2 2cos( )
at s ae ts a
TRANSFORMÉE DE LAPLACE
2 2sin( )
ate ts a
Fonction sinus amortie
Fonction cosinus amortie
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 31
Propriétés de la transformée de Laplace
• Linéarité (items 2 et 3)• Décalage fréquentiel (item 4)• Décalage temporel (item 5)• Modification d’échelle (item 6)• Dérivation (items 7, 8 et 9)• Intégration (item 10)• Théorème de la valeur finale (item 11)• Théorème de la valeur initiale (item 12)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 32
Propriétés des transformée de Laplace
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 33
Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques.
Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière.
Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue.
La transformée de Laplace sert à :
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 34
FONCTION DE TRANSFERT
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 35
Étape à suivre pour déterminer la réponse d’un système
1. Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties.
2. Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff)
3. Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s))
4. Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/ R(s)5. Déterminer la réponse à partir de C(s)6. C(s) = N(s) / D(s) 7. Décomposer en fraction partielle 8. Identifier les composants et leurs transformée de Laplace
inverse (Tables)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 36
Décomposition en fraction partielle d’une fonction complexe
• Les racines du dénominateur et distincts• Les racines du dénominateur sont réelles et multiples• Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires
pures
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Racines réelles distinctes
21( 1 1)2
( 1 2) ( 1 2)KK
GPA535. (C) R. AISSAOUI 37
1 22( )( 1)( 2) ( 1) ( 2)
K KF ss s s s
Pour déterminer K1
21( 1)2
( 2) ( 2)s KK
s s
On donne à s la valeur qui annule le terme de K2 (s+1=0) donc s =-1
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 38
Racines réelles distinctes
2 2 2( )( 1)( 2) ( 1) ( 2)
F ss s s s
La décomposition nous permet de retrouver grâce au tableau 2.1 la réponse temporelle f(t)
2( ) (2 2 ) ( )t tf t e e u t
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Racines réelles distinctes
GPA535. (C) R. AISSAOUI 39
1 2
1 2
1 2
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
n
n
n
mm
N s N sF sD s s p s p s p
KK KF ss p s p s p
s pK
1 2
( )
( )( ) ( )m
N s
s p s p s p |
( ) ms pns p
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Exemple
GPA535. (C) R. AISSAOUI 40
2( )( 1)( 2)
F ss s s
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 41
Réponse
1 2 2( )( 1) ( 2)
F ss s s
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 42
Racines réelles multiples et distinctes
1 2
( ) ( )( )( ) ( ) ( )...( )r
n
N s N sF sD s s p s p s p
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 43
1 2
1 2 11
1 1 1 2
1 1
2 11 1 2 1 3 1 1
11 1
2
( ) ( )( )( ) ( ) ( )...( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
1(
rn
r rr r
n
n
r
rr
rrnr
n
i
N s N sF sD s s p s p s p
K K K KF ss p s p s p s pKs p
F s s p F s
F s K K s p K s p K s p
K s pK s ps p s p
Ki
1
111
( ) | 1,1)!
i
s pi
d F s i rds
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 44
Racines complexes
2
1( )2 17
F ss s
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 45
Exemple 1 racines multiples (TI)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 46
Exemple 1 (TI)
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 47
Racine complexe
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 48
Ça ne fonctionne pas ?
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 49
Utilisation de s_ à la place de s
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 50
La réponse
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 51
La réponse temporelle
(4 ) (4 )( ) ( ) 0.5 0.5i t i tf t u t ie ie
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GPA535. (C) R. AISSAOUI 52
Quelle est la forme de f(t)?
4 4
4
4
4
4
( ) ( ) 0.5 0.5
( ) ( ) 0.5
( ) ( ) 0.5
( ) ( )2
( ) ( ) sin( )
t it t it
t it it
t it it
it itt
t
f t u t ie e ie e
f t u t ie e e
if t u t ie e ei
e ef t u t e
i
f t u t e t
Sinusoide amortie
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Exemple-2
• 1
• 2
• 3
• 4
2 3
1 1 1 127( 3) 27 9 3s s s s
2 2 3
1 1 1 127( 3) 27 9 3s s s s
GPA535. (C) R. AISSAOUI 53
3
1( )( 3)
G ss s
2
1 1 1 127( 3) 27 9 ( 1)s s s s
2 2 3
1 1 1 127( 3) 27 9 3s s s s
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Exemple -3
• Soit l’équation différentielle suivante :
• Déterminer la réponse C(s) dans le domaine de Laplace en fonction de R(s) (conditions initiales nulles)
2
22 ( ) 14 ( ) 32 ( ) ( )d dc t c t c t r tdt dt
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Exemple -3
• Déterminer la valeur de la réponse c(t) à l’instant t tend vers l’infini en supposant que l’entrée r(t) est une fonction échelon de valeur 4